ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ"

Transcript

1

2

3 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ 8 ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Φεβρουαρίου 2012 Πάφος ΟΡΓΑΝΩΣΗ 30 Χρόνια Προσφοράς και Δημιουργίας στη Μαθηματική Επιστήμη και Παιδεία της Κύπρου Σε συνεργασία με: Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Επιθεώρηση Μαθηματικών Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου Ίδρυμα Θαλής Επιμέλεια Πρακτικών Θεόκλητος Παραγιού, Δημήτρης Καραντάνος, Ανδρέας Φιλίππου ISBN (Ηλεκτρονική Έκδοση) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: ,

4 15 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Επιστήμης και Παιδείας 9 ο Μαθητικό Συνέδριο για τα Μαθηματικά Οργάνωση Γενικός Συντονιστής Συνεδρίου: Γρηγόρης Μακρίδης, Πρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Προϊστάμενος ΥΕΔΣ Πανεπιστημίου Κύπρου Επιστημονικός Υπεύθυνος Συνεδρίου Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης: Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Ανδρέας Φιλίππου, Γενικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Συντονιστές Μαθητικού Συνεδρίου: Θεόκλητος Παραγιού, Ταμίας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Δημήτρης Καραντάνος, Οργανωτικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης (ii)

5 Μέλη Οργανωτικής Επιτροπής Κωνσταντίνος Χρίστου, Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Κωνσταντίνος Παπαγιάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Αντωνίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Μάριος Ευσταθίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σωτήρης Λοϊζιάς, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σκοτεινός, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Τιμοθέου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σαββίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Αναστασία Ηρακλέους-Θεοδώρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Χαράλαμπος Καττιμέρης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Δώρα Συμεού, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Γρηγόρης Γρηγορίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ιωάννου Ιωάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κυριάκος Κωνσταντινίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κωνσταντίνος Κουμής, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Νικόλας Γιασουμής, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Πέτρος Πέτρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Παντελής Ζαμπυρίνης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τάνια Παναγιώτου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τα ενυπόγραφα άρθρα εκφράζουν τις απόψεις και μόνον των αρθογράφων και δεν απηχούν απαραίτητα τις απόψεις του εκδότη. (iii)

6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ A Το 15o Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης οργανώνεται στην πιο δύσκολη περίοδο που διανύει η χώρα μας σε σχέση με την οικονομία. Οι προκλήσεις και η αξία της εκπαίδευσης δημιουργούν σύγχυση, πολλοί επιστήμονες είναι άνεργοι ενώ ταυτόχρονα δεν φαίνεται προοπτική για ποιες είναι οι σωστές επιλογές. Τα μαθηματικά ως η βασίλισσα των επιστημών καλούνται να δώσουν λύσεις και η λύση είναι απλή και μία. Οι γερές βάσεις στα μαθηματικά θα βοηθήσουν τους νέους μας ώστε να μπορούν να αποκτούν διαθεματικές γνώσεις και να αναπτύσσουν δεξιότητες χρήσιμες για κάθε είδος εργασίας, μέσα στο άγνωστο μέλλον. Τα συνέδρια όπως το Παγκύπριο Συνέδριο στα Μαθηματικά επικοινωνούν με τρόπο χρήσιμο προς όλους, μαθητές, εκπαιδευτικούς, ερευνητές. Η παράλληλη διοργάνωση με το Παγκύπριο Μαθητικό Συνέδριο δίνει διαφορετική διάσταση σε όλο το περιβάλλον του Συνεδρίου. Ελπίζουμε ότι μέσα από το Παγκύπριο Συνέδριο θα αναπτυχθούν συνεργασίες και θα δημιουργηθούν νέες ιδέες για νέες καινοτομίες στο τομέα της μαθηματικής επιστήμης και παιδείας. Ευχαριστούμε τους συνεργάτες μας στο συνέδριο αυτό όπως το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμούς (Γενική Διεύθυνση, Διεύθυνση Μέσης Εκπαίδευσης, Γενική Επιθεώρηση), τη Σχολή Κοινωνικών Επιστημών και Επιστημών της Αγωγής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου και την Κυπριακή Αστροναυτική Εταιρεία. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Α. Γαγάτση, Α. Φιλίππου, Δ. Καραντάνο και Θ. Παραγυίου που ανάλαβαν την επιμέλεια των πρακτικών του 15ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης και του 9 ου Μαθητικού Συνεδρίου για τα Μαθηματικά. Ιδιαίτερες ευχαριστίες στη Γενική Διευθύντρια του Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού, κα Ολυμπία Στυλιανού, που έθεσε το Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης υπό την Αιγίδα της. Εκ μέρους του Διοικητικού Συμβουλίου της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας εκφράζω ευχαριστίες σε όλους όσοι βοήθησαν στην οργάνωση των Συνεδρίων. Δρ Γρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Πρόεδρος Ιδρύματος ΘΑΛΗΣ (iv)

7 (v)

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Β Η παρούσα έκδοση του τόμου των Πρακτικών του συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας της ΚΥΜΕ 2013 φανερώνει τη θέληση της ΚΥΜΕ για διατήρηση και ενίσχυση του θεσμού των συνεδρίων στην Μαθηματική Παιδεία. Η επιμονή αυτή δηλώνει τη σημασία που αποδίδει το Συμβούλιο της ΚΥΜΕ στη διάδοση θεμάτων διδασκαλίας των μαθηματικών και στην ενίσχυση του διαλόγου μεταξύ των συναδέλφων. Ο ΤΟΜΟΣ αυτός είναι αποτέλεσμα για ακόμα μια φορά της άριστης συνεργασίας μου με τον Ανδρέα Φιλίππου Γενικό Γραμματέα της ΚΥΜΕ. Δύο είναι οι τάσεις που διαφαίνονται στις εργασίες του τόμου αυτού : Η πρώτη αφορά ένα σημαντικό αριθμό εργασιών συναδέλφων και φοιτητών του Πανεπιστημίου Κύπρου. Η δεύτερη τάση αφορά κείμενα συναδέλφων μαθηματικών από την Ελλάδα. Ελπίζω ότι ο παρών τόμος θα εκπληρώσει τις φιλοδοξίες του, να είναι δηλαδή χρήσιμος για τους εκπαιδευτικούς Μέσης και Δημοτικής Εκπαίδευσης και γενικά για όλους όσοι έχουν ερευνητικά ή πρακτικά ενδιαφέροντα για τα Μαθηματικά και τη Διδακτική τους. Αθανάσιος Γαγάτσης Αντιπρόεδρος ΚΥΜΕ Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων, Πανεπιστήμιο Κύπρου (vi)

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΤΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΓΟΝΙΩΝ Θεοδώρου Μαρία, Νικολάου Κωνσταντίνα, Οικονομίδης Σκεύος, Παναγίδου Μαρία Ντολόρες, Στυλιανού Κατερίνα, Τσιάρλεστον Έλενα, Χριστοδούλου Στέλια Λύκειο Κύκκου Β ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πετρίδης Ανδρέας, Ιουλιανού Αθανάσιος, Σάββα Μαρία, Πτωχοπούλου Θεογνωσία, Χάρπα Άντρη, Βορκά Φλώρα, Ιωάννου Μαρία Λύκειο Βεργίνας Ο ΜΗΔΕΝ, Ο π, Ο e, Ο I ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΑΤΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥΣ Χριστοδούλου Άντρη, Ελευθερίου Παναγιώτα, Πιερή Μαρία, Συμεού Δήμητρα Λύκειο Παραλιμνίου ΓΕΥΣΗ ΑΠΟ ΑΠΕΙΡΟ Αβραάμ Αιμιλία, Αναστασίου Στυλιάνα, Κυριάκου Άντρη, Παπαντωνίου Δέσποινα, Σκουρίδη Ροδούλλα. Λύκειο Παραλιμνίου ΜΑΘΗΗΗΗ.ΜΑΓΙΚΑ!!!!! Δημητρίου Άντρια, Νέστορος Χριστιάνα ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΠΑΣΚΑΛ ΚΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ Αδάμου Αντρέας, Πορφυρίου Στέφανη, Κωστή Κυριακή Pascal English School Larnaka ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Μάριος Χατζημιχαήλ Λύκειο Παλιομετόχου ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΕΡΟΦΩΛΙΑΣ Παναγιώτης Παναγιώτου, Αντρέας Θεοχάρους, Ραφαήλ Δημητρίου Σελίδα (vii)

10 ΣΠΕΙΡΕΣ Γαβριήλ Ελεάνα, Χατζηνικολάου Άννα Αγγλική Σχολή Πασκάλ, Λευκωσία ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ ΜΟΡΦΟΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αλεξάνδρου Χαρά, Μιχαήλ Νατάσα Λύκειο Αγίου Ιωάννη ΙΕΡΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αλεξάνδρου Ζαχαρίας, Πατέρας Ανδρόνικος Λυκείου Αγίου Ιωάννη Λεμεσού ΟΙ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ Καβάζη Κυριακή, Πέτσας Γιώργος, Προκοπίου Άννα, Ραουνά Κλαίρη, Χαραλαμπίδου Ειρήνη Λύκειο Αποστόλων Πέτρου και Παύλου Λεμεσού ΤΟ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Αγησιλάου Ερασμία, Αντωνίου Παναγιώτης, Κατελάρη Έλενα, Στυλιανού Χρύσα Ελληνική σχολή Pascal Λευκωσία ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ Ιωάννα Μεσημέρη και Δάφνη Παπαϊωάννου Λύκειο Αραδίππου ΑΝΑΝEΩΣIΜΕΣ ΠΗΓΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Παναγιώτης Ψαράς, Χρυσόστομος Χαραλάμπους (viii)

11 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΤΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΓΟΝΙΩΝ Θεοδώρου Μαρία, Νικολάου Κωνσταντίνα, Οικονομίδης Σκεύος, Παναγίδου Μαρία Ντολόρες, Στυλιανού Κατερίνα, Τσιάρλεστον Έλενα, Χριστοδούλου Στέλια Λύκειο Κύκκου Β ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ψάχνοντας να βρούμε τους λόγους για τους οποίους πολλοί μαθητές παρακολουθούν φροντιστήρια μαθηματικών, πραγματοποιήσαμε μια έρευνα μέσα από την οποία διάφορα αναπάντητα από καιρό ερωτήματα βρίσκουν επιτέλους μιαν απάντηση! Μέσα, λοιπόν, από αυτή την έρευνα μας δόθηκε η ευκαιρία να μελετήσουμε όλες τις πτυχές του προβλήματος έχοντας προσεγγίσει όλους τους εμπλεκόμενους με το θέμα, ώστε να έχουμε μια πλήρη και ολοκληρωμένη εικόνα. Ουσιαστικά, επιδιώξαμε να συλλέξουμε στοιχεία για τις προσδοκίες και το βαθμό ικανοποίησης τους από το σχολικό ή το φροντιστηριακό μάθημα των μαθηματικών όπως προκύπτουν από τις απόψεις των μαθητών, των γονέων, των καθηγητών που διδάσκουν στο σχολείο και των καθηγητών που διδάσκουν στο φροντιστήριο. Ωστόσο, δεν μείναμε μέχρι εδώ αλλά προχωρήσαμε στα δικά μας συμπεράσματα και εισηγήσεις για το θέμα. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ. ΠΟΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Στις διάφορες συζητήσεις που γίνονται τα τελευταία χρόνια για την ποιότητα της κυπριακής δημόσιας εκπαίδευσης και τις μεταρρύθμισης που είναι αναγκαίο να γίνουν, το θέμα των φροντιστηρίων αναφέρεται πολύ συχνά. Το ίδιο θέμα κυριαρχεί στην καθημερινότητα τη δική μας και των συμμαθητών μας. Θεωρήσαμε, λοιπόν, πολύ ενδιαφέρον και πρωτότυπο να ασχοληθούμε μ αυτό το ζήτημα, ειδικά όταν μετά από μια σύντομη αναζήτηση στο διαδίκτυο αντιληφθήκαμε πως δεν έχει γίνει τα τελευταία χρόνια καμιά έρευνα που να καταγράφει στατιστικά στοιχεία για την Κύπρο σχετικά με το θέμα που να κοινοποιείται στο ευρύ κοινό. Δεν γνωρίζουμε κατά πόσο παρουσιάστηκαν παρόμοια στοιχεία σε εξειδικευμένα παιδαγωγικά έντυπα. Ξεκινήσαμε την έρευνα μας με μια σειρά συνεντεύξεις με σκοπό να εντοπίσουμε τις πτυχές του προβλήματος που απασχολούν τους ίδιους τους εμπλεκόμενους. Συνομιλήσαμε με συμμαθητές και καθηγητές μαθηματικών του σχολείου μας, με γονείς συμμαθητών μας, με καθηγητές που εργάζονται σε φροντιστήρια. Είχαμε 1

12 μαζί τους μια πλατιά συζήτηση που μας βοήθησε να κατανοήσουμε τις βασικές πτυχές του προβλήματος. Σαν αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας καταλήξαμε στα ερωτηματολόγιά μας. ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Δημιουργήσαμε τέσσερις κατηγορίες ερωτηματολογίων: για τους μαθητές, για τους γονείς, για τους καθηγητές μαθηματικών του δημόσιου σχολείου και για τους καθηγητές που διδάσκουν στα φροντιστήρια. Τα θέματα που προσπαθήσαμε να καλύψουμε ήταν: 1) ποιοι λόγοι οδηγούν τους μαθητές στο φροντιστήριο, 2) τι προσδοκίες έχουν μαθητές και γονείς από αυτό, 3) ποιος είναι ο ρόλος του μαθητή και 4) ποιος είναι ο ρόλος του σχολείου στη μαθησιακή διαδικασία, 5) πώς συγκρίνονται στην αντίληψη των διάφορων εμπλεκόμενων το σχολικό μάθημα και το μάθημα του φροντιστηρίου και 6) ποιες είναι οι επιπτώσεις των φροντιστηρίων στην ζωή των μαθητών. Όσον αφορά τα ερωτηματολόγια των μαθητών, εξετάσαμε το κατά πόσο οι μαθητές πηγαίνουν ή όχι φροντιστήρια, τι γνώμη έχουν για το σχολικό μάθημα, ενώ για τους μαθητές που πηγαίνουν φροντιστήριο ρωτήσαμε ποια βοήθεια λαμβάνουν από αυτά. Παράλληλα, θέσαμε ερωτήσεις για την άποψη τους αναφορικά με τους καθηγητές του σχολείου, αλλά και για την προσπάθεια που καταβάλλουν οι ίδιοι στο μάθημα των μαθηματικών. Επίσης, θεωρήσαμε χρήσιμο να ζητήσουμε να μας προτείνουν λύσεις για τη μείωση του προβλήματος. Στο ερωτηματολόγιο των γονέων εξετάσαμε αν στέλνουν τα παιδιά τους στο φροντιστήριο, και αν ναι, για ποιους λόγους. Εκτός των άλλων, ερευνήσαμε ποιες είναι οι επιπτώσεις των φροντιστηρίων στην καθημερινή τους ζωή. Στη συνέχεια, υποβάλαμε ερώτηση για το τι εντυπώσεις λαμβάνουν οι ίδιοι από τα παιδιά τους για το μάθημα του φροντιστηρίου. Επίσης ζητήσαμε και την άποψη τους για τα φροντιστήρια, αλλά και για την προσπάθεια του ίδιου του παιδιού τους στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου. Επιπλέον, εξετάσαμε ποια αντίληψη έχουν οι γονείς για τις διδακτικές μεθόδους, αν θεωρούν απαραίτητη την παρακολούθηση φροντιστηρίου και ποια πιστεύουν θα ήταν η επίδοση των παιδιών τους χωρίς αυτά. Τέλος, συλλέξαμε τις εισηγήσεις τους για την μείωση αυτού του φαινομένου. Από τα ερωτηματολόγια των καθηγητών προσπαθήσαμε να μαζέψουμε πληροφορίες σχετικά με των εξοπλισμό των σχολείων όπου εργάζονται, καθώς επίσης και αν αυτό επηρεάζει την απόδοση των μαθητών. Ακόμη, ρωτήσαμε για το πόσοι μαθητές πιστεύουν ότι παρακολουθούν μαθήματα μαθηματικών τα απογεύματα, αλλά και τους λόγους για τους οποίους θεωρούν ότι οι μαθητές τους πηγαίνουν φροντιστήρια. Επίσης, τους ρωτήσαμε κατά πόσο το μάθημα τους επηρεάζεται από τα φροντιστήρια και αν τους ενοχλεί που οι μαθητές τους 2

13 κάνουν φροντιστήρια. Μάλιστα, θέσαμε και την ερώτηση αν είναι ικανοποιημένοι από τη διδασκαλία του μαθήματος και τι είναι αυτό που μπορεί να τους εμποδίσει να διεξάγουν σωστά το μάθημα. Εν τέλει, ζητήσαμε να μας παραθέσουν τις δικές τους εισηγήσεις για την καλύτερη απόδοση των μαθητών. Φυσικά, δε θα μπορούσαμε ν αφήσουμε έξω από την έρευνά μας τη γνώμη των καθηγητών του φροντιστηρίου. Απ αυτούς προσπαθήσαμε να μάθουμε ποια είναι η εμπειρία τους στο χώρο του φροντιστηρίου και μετά πως οι ίδιοι αξιολογούν το μάθημα των μαθηματικών που γίνεται στο σχολείο. Μετέπειτα, θελήσαμε να μάθουμε από την πλευρά των φροντιστών ποιοι είναι οι λόγοι που κατά την άποψη τους οι μαθητές έρχονται κοντά τους και τι βοήθεια θεωρούν ότι παρέχουν στους μαθητές τους. Επιπλέον, θέσαμε την ερώτηση αν οι ίδιοι μπορούν να προσαρμοστούν εύκολα στον τρόπο διδασκαλίας του κάθε καθηγητή. Μάλιστα, για να συγκρίνουμε την άποψη των καθηγητών του σχολείου με του φροντιστηρίου ζητήσαμε και από τους καθηγητές του φροντιστηρίου να μας πουν για το ποιοι παράγοντες ευθύνονται για τη μη ικανοποιητική επίδοση των μαθητών, αλλά και τρόπους επίλυσης του προβλήματος. Στο τέλος, για τη συσχέτιση φροντιστηρίου και σχολικού περιβάλλοντος ρωτήσαμε τι μέσα χρησιμοποιούν για τη διδασκαλία στο φροντιστήριο. ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. Αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε άτομα από το περιβάλλον μας και από τις τέσσερις κατηγορίες που προαναφέραμε. Αυτό σε κάποιο βαθμό αφαίρεσε από το δείγμα μας το χαρακτήρα της απλής τυχαίας επιλογής, αλλά θεωρούμε πως δεν μας στέρησε τη δυνατότητα να καταγράψουμε ένα ευρύ φάσμα απόψεων. Η συλλογή των στοιχείων έγινε μέσω της συμπλήρωσης του κατάλληλου κάθε φορά ερωτηματολογίου. Εξηγούσαμε στον ερωτώμενο το σκοπό της έρευνας (να καταγράψουμε την άποψη του για το θέμα των φροντιστηρίων μαθηματικών) και του δίναμε το ερωτηματολόγιο για να το συμπληρώσει είτε στην παρουσία μέλους της ομάδας είτε σε άλλο χρόνο και να το επιστρέψει. Σε κάθε περίπτωση διατηρήσαμε την ανωνυμία του ερωτώμενου. Κάθε ερωτηματολόγιο περιέχει μια σειρά ερωτήσεων δημογραφικού χαρακτήρα (φύλο, ηλικία, μόρφωση κ.λ.π.) και μια σειρά ερωτήσεων που καταγράφουν την άποψή του για διάφορες πτυχές του θέματος. Οι περισσότερες ερωτήσεις ήταν πολλαπλής επιλογής γι αυτό και η συμπλήρωση των ερωτηματολογίων απαιτούσε πολύ λίγο χρόνο. Κύριες ομάδες του δείγματος μας αποτέλεσαν οι μαθητές και οι γονείς τους γι αυτό και θέσαμε ως στόχο να συμπληρωθούν από 100 ερωτηματολόγια από κάθε κατηγορία. Τελικά αυτός ο στόχος αποδείχτηκε πολύ φιλόδοξος για τις δυνατότητες μας και καταλήξαμε να έχουμε 82 ερωτηματολόγια μαθητών και 67 ερωτηματολόγια γονέων. 3

14 Οι ομάδες των καθηγητών μαθηματικών δημόσιου σχολείου και φροντιστηρίων αποφασίστηκε να χρησιμοποιηθούν σαν βοηθητικές και είχαμε σκοπό να δώσουμε είκοσι ερωτηματολόγια σε κάθε ομάδα. Τελικά καταφέραμε να πάρουμε μόνο 10 συμπληρωμένα από καθηγητές φροντιστηρίου ενώ από τους μαθηματικούς του δημόσιου σχολείου καταφέραμε αισίως να πάρουμε 24 συμπληρωμένα ερωτηματολόγια! Παρατηρήσαμε πως στα ερωτηματολόγια των μαθητών τα κορίτσια ήταν πιο θετικά και πιο πρόθυμα από τα αγόρια για βοήθεια. Επίσης είχαμε μαθητές από όλες τις τάξεις του λυκείου, από τους οποίους οι περισσότεροι ήταν της Β τάξης, ίσως γιατί έχουμε καλύτερη πρόσβαση σε αυτούς. Με τα ερωτηματολόγια των γονέων παρατηρήσαμε πως οι μητέρες είναι αυτές που ασχολούνται περισσότερο με τη διευθέτηση των φροντιστηρίων των παιδιών τους. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ Το μέγεθος του προβλήματος: Το μέγεθος του προβλήματος φαίνεται να είναι αρκετά μεγάλο. Το 82% των μαθητών που απάντησαν το ερωτηματολόγιο παρακολουθεί ιδιαίτερα μαθηματικών το απόγευμα από τους οποίους το 80% παρακολουθεί μαθηματικά για να βοηθηθούν στο σχολείο, το 11% για να δώσουν άλλες εξετάσεις και το 9% και για τα δύο. Επίσης το 93% των γονέων που απάντησαν το ερωτηματολόγιο δηλώνει πως στέλνει το παιδί του σε απογευματινά μαθήματα μαθηματικών, ενώ 71% των καθηγητών των σχολείων πιστεύουν ότι σχεδόν όλοι οι μαθητές τους παρακολουθούν ιδιαίτερα μαθηματικών το απόγευμα. Από τους μαθητές που μας απάντησαν τα ερωτηματολόγια το 28% ήταν μαθητές της Γ τάξης Λυκείου. Από αυτούς μόλις το 48 % παρακολουθεί ιδιαίτερα μαθήματα Νέων Ελληνικών που όπως και τα Μαθηματικά εξετάζεται στις Παγκύπριες εξετάσεις. Μαθηματικά παρακολουθεί το 96% των τελειόφοιτων που λαμβάνουν μέρος στην έρευνα μας. Λόγοι που οδηγούν στο φροντιστήριο: Παρά το γεγονός ότι το 59% των μαθητών δηλώνει πως ο καθηγητής των μαθηματικών του σχολείου τους ασχολείται με όλους και 74% ότι είναι πρόθυμος να βοηθήσει, πολλοί οδηγούνται στα φροντιστήρια. Αυτό γίνεται μιας και σχεδόν οι μισοί από αυτούς θεωρούν ότι έχουν κενά από προηγούμενες τάξεις. Σ αυτό το σημείο, όμως αξίζει να αναφερθεί ότι οι γονείς δεν θεωρούν αυτό τον λόγο τόσο σημαντικό. Οι γονείς που στέλνουν τα παιδιά τους σε απογευματινά μαθήματα μαθηματικών δηλώνουν σε μεγάλο βαθμό (57%) πως το κάνουν αυτό ούτως ώστε να βελτιωθεί ο βαθμός τους, να έχουν περισσότερη εξάσκηση (49%) αλλά και για να μπορέσουν να εξασφαλίσουν μια θέση στο πανεπιστήμιο ( 43%). Η βελτίωση 4

15 του βαθμού αναφέρεται και από τους φροντιστές (70%) ως σημαντικός λόγος για να παρακολουθεί κάποιος φροντιστήριο. Επίσης, οι καθηγητές των φροντιστηρίων υποστηρίζουν σε μεγάλο βαθμό (70%) πως οι μαθητές παρακολουθούν φροντιστήρια για να εξασφαλίσουν μια θέση σε ανώτερες σχολές και πανεπιστήμια. Το γεγονός αυτό είναι κατανοητό και από τους καθηγητές των σχολείων μιας και το 50% συμφωνεί. Και οι τρεις πλευρές (μαθητές, γονείς, καθηγητές σχολείου) συμφωνούν με την άποψη πως το μάθημα παρεμποδίζεται από άλλους μαθητές, σε διαφορετικά ποσοστά η κάθε ομάδα. (7% των μαθητών, 12% των γονιών, 17% των καθηγητών). Ωστόσο, καταρρίπτεται ο μύθος της δυσκολίας στο μάθημα λόγω του μεγάλου αριθμού των μαθητών στη τάξη (μόνο 7% των μαθητών το θεωρεί πολύ ή πάρα πολύ σημαντικό). Μπορεί συχνά να ακούμε για διαφωνίες, έλλειψη αλληλοκατανόησης ή και συγκρούσεις μαθητών-καθηγητών στο σχολείο αλλά μέσα από την έρευνα μας βλέπουμε πως 58% των μαθητών θεωρεί ότι έχουν πολύ καλές σχέσεις με τους καθηγητές τους και 43% ότι ο ρυθμός διδασκαλίας του καθηγητή τους συμβαδίζει με το δικό τους ρυθμό αφομοίωσης της γνώσης. Προσδοκίες από το φροντιστήριο: Οι μαθητές αξιολογούν ως κύρια προσδοκία από το φροντιστήριο την επίλυση των αποριών τους. Ποσοστό 77% αναφέρει ότι βοηθείται από το φροντιστήριο στον τομέα αυτό πολύ ή πάρα πολύ. Ως δεύτερη σε σειρά προσδοκία κατονομάζουν τη βελτίωση του βαθμού τους (75% απαντά ότι το φροντιστήριο βοηθά πολύ ή πάρα πολύ). Ακολουθούν τα θέματα «κάλυψη τυχόν κενών στις γνώσεις από προηγούμενες τάξεις» με 66%, «περισσότερη εξάσκηση» με 64% και «σιγουριά ότι θα καλυφθεί η ύλη» με 61%. Οι γονείς στην ανοικτή ερώτηση για το γιατί θεωρούν απαραίτητο να παρακολουθεί το παιδί τους φροντιστήριο πιο συχνά απαντούν «για να βελτιώσει τον βαθμό του» (32%), «γιατί δεν γίνεται ικανοποιητικό μάθημα στο σχολείο» (21%), «για περισσότερη εξάσκηση» (15%), «για να εξασφαλίσει θέση στο πανεπιστήμιο» (13%).» Από την πλευρά τους οι φροντιστές αξιολογούν ότι η κύρια βοήθεια που προσφέρουν είναι στην επίλυση των αποριών και τη βελτίωση του βαθμού, ως δεύτερη φροντίδα τους έχουν την κάλυψη τυχόν κενών στις γνώσεις των μαθητών και την προσφορά ευκαιριών για εξάσκηση και τελευταίο ταξινομούν το στόχο της κάλυψης της ύλης. (Υπενθυμίζουμε ότι το δείγμα μας από αυτή την ομάδα είναι μικρό και οι οποιεσδήποτε γενικεύσεις είναι παρακινδυνευμένες). 5

16 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Ξεκάθαρη ερώτηση για το ρόλο του μαθητή στην εκμάθηση των μαθηματικών υπάρχει μόνο στο ερωτηματολόγιο για μαθητές και έχει δύο σκέλη: 1) εξετάζει σε ποιο βαθμό ο μαθητής μελετά για το μάθημα και 2) σε ποιο βαθμό παρακολουθεί στην τάξη. Στο 1 ο σκέλος («σε ποιο βαθμό πιστεύεις ότι μελετάς») 46% των μαθητών απαντά πολύ και πάρα πολύ, ενώ στο 2 ο σκέλος («σε ποιο βαθμό πιστεύεις ότι προσέχεις στην τάξη» 56% απαντά πολύ ή πάρα πολύ. Να αναφέρουμε ότι 4% των μαθητών απαντά πως δεν μελετά, ούτε προσέχει καθόλου! 2 στους 3 από αυτούς απαντούν ότι πηγαίνουν φροντιστήριο. Στην ανοικτή ερώτηση «τι χρειάζεται να αλλάξει στο μάθημα των μαθηματικών για να γίνει πιο ενδιαφέρον και αποτελεσματικό» κανένας μαθητής δεν αναφέρει κάτι που πρέπει να γίνει από πλευράς μαθητών. Αυτό, ίσως να γίνεται για να μην τους καταλογιστούν οι ευθύνες, αλλά και επειδή πιστεύουν πως οι καθηγητές και το σύστημα έχουν την μερίδα του λέοντος στο φταίξιμο, γι αυτό το πρόβλημα. Στο ερωτηματολόγιο των γονέων στην ερώτηση «σε ποιο βαθμό θεωρείτε ότι προσπαθεί το παιδί σας στο μάθημα των μαθηματικών στο σχολείο» 61% απαντούν πολύ ή πάρα πολύ. Βλέπουμε δηλαδή πως οι γονείς θεωρούν ότι τα παιδιά τους προσπαθούν περισσότερο από ότι παραδέχονται τα ίδια! Στην ερώτηση «τι πρέπει να αλλάξει ώστε οι μαθητές να μην χρειάζονται φροντιστήρια» μόνο ένας γονιός βρίσκει ότι πρέπει να αλλάξει κάτι στην στάση των μαθητών και απαντά «να προσπαθούν περισσότερο, να προσέχουν περισσότερο και να μάθουν να διαβάζουν και από το βιβλίο». Ο ρόλος του σχολείου στη μαθησιακή διαδικασία (καθηγητές, μεθοδολογία και εξοπλισμός) Θα αναλύσουμε τον ρόλο του σχολείου στη μαθησιακή διαδικασία προς 2 κατευθύνσεις: α) καθηγητές, β) μεθοδολογία και εξοπλισμός. Οι μαθητές φαίνεται να έχουν γενικά καλή γνώμη για τους καθηγητές αφού 62% απαντά ότι ο καθηγητής τους είναι πολύ ή πάρα πολύ πρόθυμος να λύσει απορίες, 58% ότι έχουν καλές σχέσεις με τον καθηγητή, 59% ότι ο καθηγητής ασχολείται με όλους τους μαθητές, 74% χαρακτηρίζει των καθηγητή πρόθυμο στην εργασία του. Την ίδια στιγμή, από τους 14 μαθητές που απαντούν στην ανοικτή ερώτηση «τι χρειάζεται να αλλάξει στο μάθημα των μαθηματικών, ώστε να γίνει πιο ελκυστικό και αποτελεσματικό» οι 7 αναφέρονται στον καθηγητή. Οι 5 επιθυμούν περισσότερη επικοινωνία και οι 2 περισσότερη αυστηρότητα. Οι γονείς από την πλευρά τους κρίνουν αυστηρότερα τους καθηγητές. 18% θεωρούν ότι οι καθηγητές δεν δίνουν στους μαθητές τη σημασία που χρειάζεται και 15% ότι ο ρυθμός διδασκαλίας του καθηγητή δεν συμβαδίζει με τον ρυθμό 6

17 αφομοίωσης των μαθητών. Στην ανοικτή ερώτηση «τι νομίζετε ότι πρέπει να αλλάξει ώστε οι μαθητές να μην χρειάζονται φροντιστήρια» οι 27 από τους 52 γονείς που απάντησαν αναφέρονται στον καθηγητή με απαιτήσεις για αλλαγές στο βαθμό προσοχής που δίνει σε κάθε μαθητή, στην αυστηρότητα, στην οργάνωση του μαθήματος και ούτω καθεξής. Οι ίδιοι οι καθηγητές στο σημείο της ερώτησης «τι πιστεύετε ότι πρέπει να αλλάξει για να επιτύχετε στην καλύτερη απόδοση των μαθητών σας» που μπορούσαν να αναφέρουν τις δικές τους εισηγήσεις δεν αναφέρονται καθόλου στον καθηγητή. Το 48% είναι πολύ ή πάρα πολύ ικανοποιημένοι από το μάθημά τους και κύριο εμπόδιο για να είναι απόλυτα ικανοποιημένοι από τη διδασκαλία θεωρούν σε ποσοστό 40% την έλλειψη συνεργασίας των μαθητών λόγω αδιαφορίας. 40% των φροντιστών από την πλευρά τους θεωρούν ότι ο καθηγητής στην τάξη δεν δίνει την απαραίτητη σημασία σε όλα τα παιδιά, ενώ το 30% θεωρεί το σχολικό μάθημα πολύ ικανοποιητικό. Σε ότι αφορά τη μεθοδολογία που χρησιμοποιείται στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών μόνο 2 μαθητές ανέφεραν ότι η χρήση της τεχνολογίας θα έκανε το μάθημα πιο αποτελεσματικό. Το 43% των γονέων έχει θετική ή πολύ θετική γνώμη για την ποιότητα των διδακτικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται στο μάθημα των μαθηματικών στο σχολείο και 32% για την ποικιλία τους. Το 13% των γονέων θεωρεί πως η αλλαγή των διδακτικών μεθόδων και η χρήση της τεχνολογίας μπορεί να βοηθήσει ώστε οι μαθητές να μην χρειάζονται φροντιστήρια. Σε αυτό συνηγορούν και οι καθηγητές μιας και το 96% από αυτούς πιστεύει ότι τα σχολεία πρέπει να εκσυγχρονιστούν με την τεχνολογία για να γίνεται το μάθημα πιο δημιουργικό και ενδιαφέρον. Είναι αξιοσημείωτο ότι 90% των φροντιστών απαντά ΝΑΙ στην ίδια ερώτηση, αλλά στην ερώτηση για τα μέσα που χρησιμοποιεί στο μάθημα 30% απαντά ότι χρησιμοποιεί πολύ την μετωπική διδασκαλία, 50% σημειώσεις, 60% διαγωνίσματα των καθηγητών του σχολείου και μόλις 10% απαντά ότι χρησιμοποιεί αρκετά (όχι πολύ ή πάρα πολύ) παρουσιάσεις τύπου power point. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ Κατά την ανάλυση του ρόλου του σχολείου στη μαθησιακή διαδικασία είδαμε πως οι γονείς τηρούν κριτική στάση προς το σχολείο. Με τα φροντιστήριο φαίνεται πως τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά. Το 66% των γονέων έχει καλές ή πολύ καλές εντυπώσεις για το μάθημα του φροντιστηρίου και 81% των μαθητών δίνει στους γονείς την εικόνα ότι έχει πολύ καλές ή άριστες εντυπώσεις από το φροντιστήριο. Για τις επιπτώσεις του φροντιστηρίου στη βελτίωση της απόδοσης του μαθητή το 62% των γονέων πιστεύει ότι βελτιώνεται πολύ ή πάρα πολύ. Επίσης το 33% πιστεύει ότι βελτιώνεται ακόμη και η αυτοπεποίθηση του ιδίου 7

18 του μαθητή με τα φροντιστήρια. Από τις απαντήσεις στις ανοικτές ερωτήσεις φαίνεται πως οι γονείς νιώθουν ότι ελέγχουν καλύτερα τα αποτελέσματα των φροντιστηρίων παρά του σχολείου, αισθάνονται ότι το φροντιστήριο προσαρμόζεται περισσότερο στις ανάγκες των παιδιών τους. Από την άλλη πλευρά, το μεγαλύτερο ποσοστό των καθηγητών του φροντιστηρίου (60%) έχουν την αντίληψη πως το μάθημα του σχολείου είναι ικανοποιητικό. Επίσης, αξιοσημείωτο είναι ότι οι γονείς πιστεύουν πως οι καθηγητές του σχολείου δε δίνουν την απαραίτητη προσοχή στους μαθητές, ενώ οι ίδιοι οι μαθητές είναι πλήρως ευχαριστημένοι από τη στάση των καθηγητών τους απέναντι τους. Όταν θίξαμε το θέμα για την χρήση της τεχνολογίας στα ερωτηματολόγια μας, είδαμε πως το ενδιαφέρον ήταν μεγάλο. Οι καθηγητές του σχολείου δεν επηρεάζονται και πολύ από την έλλειψη της τεχνολογίας, αλλά από την άλλη πιστεύουν ότι θα ήταν χρήσιμο να ενταχθεί η τεχνολογία στο μάθημα. Αντιθέτως, εντύπωση μας έκανε το γεγονός ότι οι καθηγητές του φροντιστηρίου παρά του ότι υποστηρίζουν πως η χρησιμοποίηση της τεχνολογίας βοηθά στην υλοποίηση ενός πιο δημιουργικού μαθήματος οι ίδιοι δεν την χρησιμοποιούν! ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ Σύμφωνα με την έρευνα μας 37% των γονέων ισχυρίζονται ότι τα φροντιστήρια έχουν αρκετά αρνητικές οικονομικές επιπτώσεις που επηρεάζουν τη ζωή τους. Όσον αφορά τις κοινωνικές συνθήκες δηλαδή χάσιμο χρόνου στις διαδρομές, το άγχος κ.τ.λ. - το 31% πιστεύει ότι τα φροντιστήρια δεν αποτελούν μεγάλο εμπόδιο. Ενώ το 33% των μαθητών πιστεύει ότι υπάρχει έλλειψη ελεύθερου χρόνου λόγω των φροντιστηρίων Από την πλευρά των καθηγητών το 32% απαντά πως το μάθημα του σχολείου δεν επηρεάζεται από τα φροντιστήρια. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Μελετώντας τις απαντήσεις στα ερωτηματολόγια και από τις 4 κατηγορίες των συμμετέχοντων στην έρευνα καταλήξαμε στα πιο κάτω συμπεράσματα: 1) Μεγάλος αριθμός μαθητών παρακολουθεί φροντιστήρια. Το γεγονός αυτό επηρεάζει, την οικογενειακή ζωή του μαθητή, αφού επιβαρύνει τον οικογενειακό προϋπολογισμό και μετατρέπει τους γονείς σε προσωπικούς οδηγούς των παιδιών τους για τη μεταφορά τους στα απογευματινά μαθήματα, επηρεάζει την προσωπική ζωή του μαθητή μειώνοντας τον ελεύθερο χρόνο του και επηρεάζει την διεξαγωγή των μαθημάτων δημιουργώντας «μαθητές διαφορετικών ταχυτήτων». 8

19 2) Το πρόβλημα φαίνεται να είναι ιδιαίτερα οξύ σε ότι αφορά στα μαθηματικά. Αυτό φαίνεται έντονα συγκρίνοντας με τα Νέα Ελληνικά που είναι επίσης εξεταζόμενο μάθημα για όλους τους μαθητές στις Παγκύπριες εξετάσεις. 3) Οι μαθητές αναφέρουν ως κύριο λόγο για τον οποίο χρειάζονται τα φροντιστήρια την ανάγκη να επιλύουν τυχόν απορίες τους, ενώ την ίδια στιγμή αναφέρουν πως οι καθηγητές τους στο σχολείο δεν αρνούνται να επιτελέσουν αυτό το καθήκον. Φαίνεται ότι ο διπλός ρόλος του καθηγητή ως καθοδηγητή και ως αξιολογητή τους παρεμποδίζει να εκφράσουν ελεύθερα τις απορίες τους, μην τυχόν και φανούν αδιάβαστοι στα μάτια του καθηγητή. Επίσης είναι πιθανόν να ανησυχούν για την εικόνα που θα δώσουν στους συμμαθητές τους. 4) Ένα άλλο σημείο που αναφέρουν οι μαθητές είναι η ανάγκη τους το μάθημα να προκαλεί το ενδιαφέρον τους και να είναι συνδεδεμένο με την καθημερινή ζωή. Οι μαθητές το αναφέρουν αυτό σαν λόγο που τους οδηγεί στο φροντιστήριο. Στην πραγματικότητα όμως αυτή η ανάγκη δεν καλύπτεται ούτε από το σχολείο ούτε από το φροντιστήριο. 5) Η ανάγκη για περισσότερη εξάσκηση είναι ένας άλλος σημαντικός λόγος για τον οποίο οι μαθητές καταφεύγουν στα φροντιστήρια. Από αυτό φαίνεται πως το σχολείο δεν επιτυγχάνει την εξατομίκευση του μαθήματος, δεν δίνει την ευκαιρία σε κάθε μαθητή να ασχοληθεί με τα μαθηματικά στο βαθμό που το επιτρέπουν οι δυνάμεις του. Σε άλλα μαθήματα είναι πιο εύκολο να εμβαθύνει κάποιος από μόνος του μελετώντας επιπλέον υλικό. Στα μαθηματικά η εμβάθυνση χρειάζεται καθοδήγηση. 6) Οι γονείς αναφέρουν ως κυριότερο λόγο για τον οποίο τα παιδιά τους χρειάζονται τα φροντιστήρια την βελτίωση του βαθμού τους, ίσως γιατί ο βαθμός είναι κατά την άποψη τους το κύριο κριτήριο για την ποιότητα των γνώσεων των παιδιών τους στο μάθημα. Επιπλέον ένας καλός βαθμός αυξάνει τις πιθανότητες του παιδιού να κερδίσει τη θέση που επιδιώκει στα ανώτερα εκπαιδευτικά ιδρύματα 7) Ο μαθητής όπως φάνηκε μέσα από την έρευνά μας δεν αντιλαμβάνεται τον ενεργητικό ρόλο που πρέπει να έχει στην μαθησιακή διαδικασία. Φαίνεται ότι σε καμιά σχολική βαθμίδα και σε κανένα μάθημα ο μαθητής δεν διδάσκεται πώς να μελετά και το εκπαιδευτικό μας σύστημα δεν ενθαρύνει τους μαθητές να υποβάλλουν ερωτήσεις. Η ανάγκη να διδαχθεί ένας τρόπος αποτελεσματικής μελέτης είναι μεγαλύτερη στα μαθηματικά, όπου η παθητική ανάγνωση λυμένων ασκήσεων δεν μας διδάσκει πώς να προσεγγίσουμε μια άλυτη άσκηση. 8) Οι γονείς έχουν έντονα κριτική στάση απέναντι στο μάθημα που γίνεται στο σχολείο και θεωρούν το φροντιστήριο ως ένα βαθμό απαραίτητο. Αυτό είναι ως ένα βαθμό δικαιολογημένο αφού προσπαθούν να δώσουν στα 9

20 παιδιά τους το καλύτερο. Την ίδια στιγμή οι απαντήσεις τους σε πολλά σημεία διαφέρουν από τις απαντήσεις των παιδιών τους, γεγονός που δείχνει ότι δεν είναι πάντοτε σωστά ενημερωμένοι. Σε κάποιες μάλιστα περιπτώσεις οι απαντήσεις τους δείχνουν ότι υπερεκτιμούν τις δυνατότητες των παιδιών τους. 9) Όλες οι ομάδες των ερωτηθέντων φαίνεται να θεωρούν την χρήση της τεχνολογίας βοηθητικό παράγοντα για να βελτιωθεί η αποδοτικότητα του μαθήματος. Στην πράξη όμως φαίνεται ότι δεν χρησιμοποιείται συχνά ούτε στο σχολείο που έγιναν διάφορα βήματα για να εξοπλιστεί με σύγχρονα τεχνολογικά μέσα ούτε στο φροντιστήριο που σαν ιδιωτική επιχείρηση θα έπρεπε να ανταποκρίνεται πιο εύκολα στα αιτήματα αυτών που καλείται να εξυπηρετήσει. ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ: Οι δικές μας εισηγήσεις για τον περιορισμό της ανάγκης να καταφεύγουν οι μαθητές στα φροντιστήρια για να νοιώσουν οτι παίρνουν τις απαραίτητες για κάθε επίπεδο γνώσεις στα μαθηματικά είναι: Προς τους καθηγητές: Να ενημερώνουν καλύτερα τους μαθητές τους για τις απαιτήσεις του προγράμματος μαθηματικών της τάξης τους. Να βοηθήσουν τους μαθητές τους να αποκτήσουν δεξιότητες ατομικής μελέτης. Να είναι πιο προσιτοί προς τους μαθητές και να αγκαλιάζουν με το ίδιο ενδιαφέρον όλους τους μαθητές, ανεξάρτητα από το βαθμό της επιτυχίας τους στο μάθημα. Να χρησιμοποιούν μεγαλύτερη ποικιλία μεθόδων διδασκαλίας και αξιολόγησης. Να δίνουν πιο πολλές ευκαιρίες για εξάσκηση και ομαδική εργασία. Προς τους μαθητές: Να αναπτύξουν μεγαλύτερη πρωτοβουλία και πιο ενεργητική στάση προς το μάθημα. Να προσέχουν περισσότερο στην τάξη και να μελετούν καλύτερα στο σπίτι. Να περιορίσουν την απώλεια διδακτικού χρόνου που οφείλεται σε δικές τους καθυστερήσεις ή σε άσκοπες διακοπές της ροής του μαθήματος για παρατηρήσεις. Να συζητούν τις ανάγκες τους με τον καθηγητή τους. 10

21 Προς τους γονείς: Να αφουγκράζονται τις ανάγκες των παιδιών τους και να γνωρίζουν τις πραγματικές τους δυνατότητες. Να ενημερώνονται καλύτερα για τα αναλυτικά προγράμματα και τις απαιτήσεις των Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων για να μπορούν να ελέγχουν καλύτερα και τα παιδιά τους και την ποιότητα της παρεχόμενης εκπαίδευσης. Να επικοινωνούν με τους καθηγητές των παιδιών τους και να τους ενημερώνουν για τις όποιες ανησυχίες τους για την πρόοδο των παιδιών τους. Να έχουν υψηλές, ρεαλιστικές απαιτήσεις από τα παιδιά τους και να τα καθοδηγούν ώστε να θέτουν στόχους και όρια. Προς όλους τους αρμόδιους εκπαιδευτικούς φορείς: Να ενημερώνουν όσο καλύτερα γίνεται καθηγητές, μαθητές και γονείς για το περιεχόμενο των προγραμμάτων σπουδών. Να προσφέρουν περισσότερα βοηθήματα εμπλουτισμού των γνώσεων των μαθητών. Να εξοπλίσουν όσο καλύτερα γίνεται τα σχολεία. Να καταστήσουν την σύχρονη τεχνολογία προσβάσιμη σε καθηγητές και μαθητές και να δημιουργήσουν μηχανισμούς που να ελέγχουν ότι χρησιμοποιείται. Να δημιουργήσουν τέτοια προγράμματα σπουδών που να προσφέρουν περισσότερη σύνδεση με την καθημερινή ζωή και περισσότερες ευκαιρίες για εξάσκηση. Να δίνουν την ευκαιρία στους μαθητές να αξιολογούν τους καθηγητές τους και να ενημερώνουν τους καθηγητές για τα αποτελέσματα αυτής της αξιολόγησης, ώστε να γίνονται καλύτεροι. Να μειώσουν τον αριθμό των μαθητών κατά τμήμα, για να υπάρχουν περισσότερες ευκαιρίες εξατομίκευσης του μαθήματος. 11

22 12

23 ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πετρίδης Ανδρέας *, Ιουλιανού Αθανάσιος *, Σάββα Μαρία *, Πτωχοπούλου Θεογνωσία *, Χάρπα Άντρη*, Βορκά Φλώρα*, Ιωάννου Μαρία* Ιωάννου Ιωάννης ** (*) Λύκειο Βεργίνας, μαθητές Γ τάξης (**) Λύκειο Βεργίνας, Μαθηματικός Περίληψη Στη μελέτη μας εξετάζουμε διάφορα προβλήματα πιθανοτήτων των οποίων είτε η λύση δεν είναι μοναδική και πολλές φορές εξαρτάται από την διατύπωση του προβλήματος, είτε μπερδεύουν τον απλό μελετητή. Μεταξύ άλλων εξετάζονται τα παράδοξα (α) του Joseph Bertrand, (β) του σπασμένου ραβδιού, (γ) το πρόβλημα Monty Hall και (δ) παράδοξα που βασίζονται στην μεταβατική αρχή. Γίνεται μια προσπάθεια ερμηνείας του παράδοξου σε κάθε πρόβλημα και παρουσιάζονται οι διάφορες προσεγγίσεις στη λύση τους. Τέλος επιχειρούμε την εξεικόνιση των παραδόξων δημιουργώντας μοντέλα προσομοίωσής τους στον υπολογιστή. Εισαγωγή Τα διάφορα φυσικά φαινόμενα, πειράματα ή και μοντέλα διακρίνονται σε δυο μεγάλες κατηγορίες. Από την μια είναι τα αιτιοκρατικά (deterministic) μοντέλα των οποίων το αποτέλεσμα μπορεί εκτιμηθεί με ακρίβεια αν είναι γνωστές οι μεταβλητές (παράμετροι) που το διέπουν. Από την άλλη είναι τα στοχαστικά (stochastic) ή πιθανολογικά (probabilistic) μοντέλα στα οποία το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια έστω και αν είναι γνωστές οι αρχικές τους συνθήκες μεταβλητές. Ενυπάρχει στα πειράματα αυτά ο παράγοντας τύχη και για τούτο αποκαλούνται πειράματα τύχης. Για την πρόβλεψη μιας εκτίμησης του αποτελέσματος ενός πειράματος τύχης καταφεύγουμε στην μέτρηση της συχνότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος (Von Mises) και την εκφράζουμε συνήθως ως ποσοστό επί τοις εκατό. Για παράδειγμα, εάν ρίψουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα 100 φορές αναμένουμε πως στις 50 φορές θα εμφανίσει «κορόνα» και τις άλλες 50 θα εμφανίσει «γράμματα». Έτσι η πιθανότητα του ενδεχομένου η ρίψη ενός νομίσματος να εμφανίσει «κορόνα» ή «γράμματα» είναι 50%. Ο Laplace έδωσε ένα άλλο ορισμό για την πιθανότητα ενός ενδεχομένου. Συγκεκριμένα πήρε τον λόγο του πλήθους των ευνοϊκών, για ένα ενδεχόμενο, αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης προς τον συνολικό αριθμό όλων των 13

24 δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος. Αν συμβολίσουμε με Α το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων και με Ω το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων τότε: ( ) ( ) ( ) Ο ορισμός κατά Laplace προϋποθέτει ότι τόσο το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων όσο και το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένα και πως το ενδεχόμενο Α είναι απλό ενδεχόμενο, με την έννοια ότι η πιθανότητα εμφάνισης του δεν βασίζεται σε άλλα ενδεχόμενα και προϋποθέσεις. Ακόμα, στην πιθανότητα κατά Laplace είναι αναγκαίο να υποθέσουμε πως τα ενδεχόμενα Α ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή. Με άλλα λόγια ότι όλα τα Α ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε πραγματικά πειράματα τύχης οι πιο πάνω προϋποθέσεις δεν πάντοτε ευδιάκριτες. Αδυναμία εντοπισμού μιας έκαστης των υποθέσεων αυτών είναι δυνατό να οδηγήσει στην εμφάνιση φαινομενικά παράδοξων αποτελεσμάτων. Στην εργασία μας μελετούμε μια σειρά από τέτοια παράδοξα και με την βοήθεια της προσομοίωσης προσπαθούμε να εντοπίσουμε ενδεχόμενους λόγους της εμφάνισης τους. Το Πρόβλημα Monty Hall Σε ένα τηλεπαιχνίδι, εμφανίζονται τρία κλειστά χαρτιά. Το ένα από τα τρία χαρτιά κρύβει ένα ακριβό δώρο ενώ τα άλλα δύο κρύβουν μια γλάστρα ή ένα γαϊδούρι. Επιλέγετε στην τύχη ένα χαρτί, ας πούμε το πρώτο και ο παρουσιαστής του παιγνιδιού ο οποίος γνωρίζει που βρίσκεται το δώρο ανοίγει ένα άλλο χαρτί πίσω από το οποίο βρίσκεται μια γλάστρα. Στη συνέχεια σας προτείνει να ανταλλάξετε το χαρτί της επιλογής σας με το άλλο χαρτί πού παραμένει κλειστό. Σας συμφέρει ή όχι η ανταλλαγή της επιλογής σας με το προτεινόμενο από τον τηλεπαρουσιαστή χαρτί; Στο δίλημμα αυτό βρέθηκαν οι διαγωνιζόμενοι στο τηλεπαιχνίδι Let s Make a Deal το οποίο παρουσιαζόταν στην Αμερική την δεκαετία του 70 με παρουσιαστές τους Monty Hall και Carol Merill. Σε σχετικό ερώτημα στον ημερήσιο τύπο της εποχής η παρουσιάστρια του Α παιγνιδιού αποκάλυψε πως συμφέρει στον διαγωνιζόμενο να ανταλλάξει την επιλογή του. Η αποκάλυψη αυτή ξεσήκωσε κύμα διαφωνιών από ένα σύνολο θεατών του παιγνιδιού ακόμα και Β μαθηματικών. Το πρόβλημα αποτελεί κλασσικό παράδειγμα διαισθητικής γκάφας στον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου υπό συνθήκη. Στα 14 Α Φάση Γ

25 επόμενα θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι πράγματι συμφέρει στον διαγωνιζόμενο να ανταλλάξει το χαρτί του. Το πρόβλημα έχει τρις φάσεις. Στην πρώτη φάση τοποθετείται το δώρο πίσω από ένα χαρτί. Η πιθανότητα τοποθέτησης του χαρτιού σε οποιαδήποτε θέση είναι η ίδια και ίση με. Σε δεύτερη φάση ο διαγωνιζόμενος καλείται να επιλέξει ένα από τα τρία χαρτιά. Η πιθανότητα επιλογής οποιουδήποτε χαρτιού είναι ίση με. Η πιθανότητα για κάθε ένα από τα εννέα δυνατά ενδεχόμενα είναι. Στην τρίτη φάση του παιγνιδιού ο Β παρουσιαστής φανερώνει ένα από τα χαρτιά στο όποιο δεν είναι το δώρο. Στην φάση αυτή εμφανίζονται δυο ειδών περιορισμοί. Στην περίπτωση που ο διαγωνιζόμενος δεν επιλέξει το Γ Γ Α Β Γ τυχερό χαρτί ο παρουσιαστής δεν έχει άλλη επιλογή από το να αποκαλύψει το μοναδικό χαρτί που παραμένει Α Φάση Β Φάση κλειστό στο οποίο δεν κρύβεται το δώρο. Ενώ, στην περίπτωση που ο διαγωνιζόμενος επιλέξει το τυχερό χαρτί ο παρουσιαστής μπορεί να αποκαλύψει ένα από τα δυο εναπομείναντα χαρτιά, όποιο θέλει με πιθανότητα. Το επόμενο δενδροδιάγραμμα παρουσιάζει τα δυνατά ενδεχόμενα μαζί με τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου. Τα ευνοϊκά για τον διαγωνιζόμενο ενδεχόμενα, δεδομένου ότι δεν ανταλλάζει το χαρτί του είναι τα, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η συνολική πιθανότητα ο διαγωνιζόμενος να κερδίσει το δώρο δεδομένης της απόφασης του να κρατήσει το χαρτί της αρχικής του επιλογής είναι: ( ) Αντίστροφα τα ευνοϊκά ενδεχόμενα να κερδίσει το δώρο όταν δεχθεί την ανταλλαγή του χαρτιού είναι: {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η πιθανότητα ο διαγωνιζόμενος να κερδίσει το δώρο αν ανταλλάξει το χαρτί είναι: Α Α Β Γ Α Β 15

26 ( ) Άρα συμπεραίνουμε ότι η διαίσθηση του διαγωνιζόμενου πως είτε αλλάξει το χαρτὶ του, είτε όχι θα έχει την ίδια πιθανότητα να κερδίσει το δώρο είναι, σύμφωνα με όλα τα πιο πάνω λανθασμένη. Το παράδοξο βασίζεται στην λανθασμένη εκτίμηση πως το ενδεχόμενο ανταλλαγής του χαρτιού είναι απλό και όχι σύνθετο. ΑΑΒ P(AAB) ΑΑ ΑΑΓ P(AAΓ) Α ΑΒ ΑΓ ΒΑ ΑΒΓ ΑΓΒ ΒΑΓ P(AΒΓ) P(AΓΒ) P(ΒΑΓ) ΒΒΑ P(ΒΒΑ) Β ΒΒ ΒΒΓ P(ΒΒΓ) ΒΓ ΒΓΑ P(ΒΓΑ) ΓΑ ΓΑΒ P(ΓΑΒ) Γ ΓΒ ΓΒΑ ΓΓΑ P(ΓΒΑ) P(ΓΓΑ) ΓΓ ΓΓΒ P(ΓΓΒ) Α Φάση Β Φάση Γ Φάση Το Σπασμένο Ραβδί 16

27 Ένα άλλο κλασσικό παράδειγμα παράδοξου στις πιθανότητες είναι το πρόβλημα με το σπασμένο ραβδί το οποίο έχει ως εξής: Αν ένα ραβδί σπάσει τυχαία σε τρία κομμάτια, ποια η πιθανότητα τα σπασμένα κομμάτια να σχηματίσουν τρίγωνο. Για να βρούμε τη σωστή απάντηση πρέπει να βρούμε την σωστή μέθοδο με την οποία θα σπάσουμε το ραβδί. Η πρώτη μέθοδος είναι να σπάσουμε το ραβδάκι ταυτόχρονα σε τρία τυχαία κομμάτια. Τότε θα αποδείξουμε ότι η πιθανότητά του ενδεχομένου είναι ¼. Κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου το ύψος είναι ίσο με το μήκος του ραβδιού του πειράματός μας. Φέρουμε τις ορθές προβολές τυχαίου σημείου Τ του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. Θα δείξουμε ότι το άθροισμα των τριών προβολών είναι σταθερό και ισούται με το ύψος του κανονικού τριγώνου ΑΒΓ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ό ή ά ώ ( ) Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι αν το σημείο Τ βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο ΔΖΕ τότε τα κομμάτια του ραβδιού σχηματίζουν τρίγωνο ενώ αν βρίσκεται εκτός του μικρού τριγώνου ΔΕΖ τότε τα κομμάτια δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Παρατηρούμε ότι αν το Τ βρίσκεται εκτός του τριγώνου ΔΕΖ τότε δεν ισχύει η τριγωνική ιδιότητα για τα τμήματα των ορθών προβολών και επομένως δεν σχηματίζουν τρίγωνο. (ΤΘ) +(ΤΗ) +(ΤΥ) = υ (μικρούτριγώνου) Και ΤΙ = ΤΥ+ΥΙ = ΤΥ+υ Άρα, 17

28 (ΤΘ)+(ΤΗ)+(ΤΥ)=υ (μικρού τριγ.) (ΤΘ)+(ΤΗ)+(ΤΥ) υ+2(τυ) (ΤΘ)+(ΤΗ) υ+(τυ) (ΤΘ)+(ΤΗ) (ΤΙ) Αφού η πιθανότητα να ενωθούν οι τρεις ορθές προβολές μέσα στο σκιασμένο εγγεγραμμένο τρίγωνο είναι 1 προς 4 τότε η πιθανότητα να σχηματιστεί τρίγωνο είναι 1/4. Μια άλλη μέθοδος είναι να σπάσουμε το ραβδί τυχαία σε δύο κομμάτια. Στην συνέχεια επιλέγουμε στην τύχη ένα από τα δύο κομμάτια και το ξανασπάμε. Αν επιλέξουμε να σπάσουμε το μικρό κομμάτι τότε δεν θα μπορέσουμε να φτιάξουμε τρίγωνο. Αν επιλέξουμε να σπάσουμε το μεγάλο τότε η πιθανότητα θα είναι 1/3, διότι σε αυτήν την περίπτωση οι ευνοϊκές θέσεις του σημείου Τ είναι μέσα στο τρίγωνο ΔΕΖ ενώ οι δυνατές θέσεις του είναι μέσα σε ένα από τα τρία τρίγωνα, ΔΒΕ, ΔΕΖ και ΓΕΖ. Αν θεωρήσουμε ότι τα ενδεχόμενα εκλογής του ενός ή του άλλου κομματιού είναι ισοπιθάνα η πιθανότητα να επιλέξουμε το μεγάλο κομμάτι είναι 1/2. Άρα, η πιθανότητα σχηματισμού τριγώνου περιορίζεται στο Μια διόρθωση που αναφέρεται στην βιβλιογραφία και αφορά στην δεύτερη περίπτωση είναι η ακόλουθη. Έστω και ( ) τα μήκη των δυο κομματιών με. Τότε το Τ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση μέσα στο τραπέζιο ΔΖΓΒ (η ΔΖ χωρίζει το ύψος του τριγώνου μήκος ραβδιού σε δυο ίσα μέρη). Για κάθε τυχαία θέση του σημείου Τ η πιθανότητα τα τρία κομμάτια να σχηματίσουν τρίγωνο, δεδομένου ότι επιλέγεται το μεγαλύτερο κομμάτι, είναι ίση με τον λόγο, x 1 x Αθροίζοντας για όλες τις δυνατές θέσεις του σημείου Τ στο διάστημα ( ) έχουμε, 18

29 x 1x x 1x 0 0 P( A) dx dx x ln(1 x) ln ln1 ln 2 ln 2 0, Αν Α/Β το ενδεχόμενο τα τρία κομμάτια να φτιάξουν τρίγωνο δεδομένου ότι επιλέγεται το μεγαλύτερο από τα δύο κομμάτια που προέκυψαν από το αρχικό σπάσιμο. Ο τύπος του Bays της ολικής πιθανότητας μας επιτρέπει τον υπολογισμό της ( ). P( A) P( A / B) P( B) P( A / B) P( B) 1 1 0,193 P( A / B) P( A / B) 20,193 0,386 Παρατηρούμε ότι η υπολογισμένη πιθανότητα είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από το 1/3 που μας έδωσε το γεωμετρικό μοντέλο. Μια προέκταση της μεθόδου που μόλις έχουμε αναλύσει είναι να θεωρήσουμε ότι η επιλογή των δύο κομματιών που προκύπτουν από το αρχικό σπάσιμο δεν είναι ισοπίθανη αλλά ανάλογη του μήκους των κομματιών. Τότε αν και ( ) είναι τα μήκη των δύο κομματιών τότε η πιθανότητα επιλογής ενός εκάστου είναι και ( ) αντίστοιχα. Άρα για το τυχαίο σημείο Τ είναι, x P( A / B) (1 x) x 1 x Ολοκληρώνοντας στο διάστημα ( ) παίρνουμε, x 1 P( A / B) 2 4 Δηλαδή, αποδείξαμε το ισοδύναμο του γεωμετρικού μοντέλου όπου το ραβδί σπάζει ταυτόχρονα σε τρία κομμάτια. Επομένως, το παράδοξο της ύπαρξης δυο διαφορετικών λύσεων στο πρόβλημα του σπασμένου ραβδιού βασίζεται στην λανθασμένη εκτίμηση του ισοπίθανου της μεταβλητής «λήψη ενός εκ των δυο κομματιών», στην περίπτωση που το ραβδί δεν σπάζει ταυτόχρονα σε τρία κομμάτια. 0 Το Παράδοξο του Bertrand 19

30 Το παράδοξο του Bertrand είναι ένα πρόβλημα που εξετάζει την πιθανότητα μια χορδή ενός κύκλου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο. Αυτό το πρόβλημα τέθηκε αρχικά από τον Joseph Bertrand στην εργασία του Calcul des probabilities το O Bertrand έδωσε τρία επιχειρήματα, όλα προφανώς έγκυρα, που παράγουν όμως τρία ασυμβίβαστα αποτελέσματα. Εμείς, με την βοήθεια του προγράμματος Geogebra, προσπαθήσαμε να αναπαραστήσουμε εφαρμογές των τριών εκδοχών του προβλήματος έτσι ώστε να πλησιάσουμε την έννοιά τους και να την κατανοήσουμε. Πρώτη λύση Αρχικά κατασκευάζουμε έναν κύκλο με ακτίνα r και κέντρο C, και εγγράφουμε σ αυτόν ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές Α,Β,Γ. Στον κύκλο δημιουργούνται τρία ίσα τόξα (ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ). Στην συνέχεια φέρουμε τυχαίες χορδές από την κορυφή Α. παρατηρούμε ότι μόνο οι χορδές που καταλήγουν στο τόξο ΒΓ είναι μεγαλύτερες από την πλευρά του τριγώνου. Άρα μόνο το 1/3 της περιφέρειας του κύκλου έχει χορδές μεγαλύτερες από τις πλευρές του τριγώνου. Στην προσομοίωση στον υπολογιστή παρατηρήσαμε πως όταν εκφράσαμε τις συντεταγμένες των σημείων της περιφέρειας του κύκλου σε πολικές συντεταγμένες η πειραματική πιθανότητα προσέγγιζε περισσότερο προς την θεωρητική λύση του 1/3. Δεύτερη λύση Φέρουμε τη διάμετρο BD του κύκλου που είναι κάθετη στην πλευρά ΑΓ. Αναμένουμε πως όλες οι χορδές του κύκλου που είναι κάθετες στην διάμετρο αυτή θα κατανέμονται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της διαμέτρου. Από το σύνολο των χορδών αυτών μόνο εκείνες που βρίσκονται σε απόσταση από το κέντρο του κύκλου θα έχουν μήκος μεγαλύτερο της πλευράς του εγγεγραμμένου τριγώνου. Άρα η πιθανότητα οι χορδές που φέραμε να είναι μεγαλύτερες από τις πλευρές του τριγώνου είναι 20

31 . Παρατηρούμε, όμως πως αν ξεφύγουμε από τον περιορισμό, οι χορδές να φέρονται κάθετα στην διάμετρο BD του κύκλου, και δεχθούμε οι χορδές να φέρονται τυχαία στον κύκλο, τότε η πιθανότητα οι χορδὲς να έχουν μήκος μεγαλύτερο από την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι και πάλι ( ). Επομένως, το παράδοξο στην περίπτωση αυτή προέκυψε από την λανθασμένη υπόθεση πως το ενδεχόμενο δημιουργίας χορδών κάθετων σε τυχαία διάμετρο του κύκλου είναι απλό ενδεχόμενο. Τρίτη λύση Στην αρχική κατασκευή μας προσθέτουμε έναν μικρότερο κύκλο εγγεγραμμένο στο ισόπλευρο τρίγωνο. Η ακτίνα του κύκλου αυτού είναι. Άρα το εμβαδόν του μικρού κύκλου είναι το ¼ του μεγάλου κύκλου. Στη συνέχεια φέρουμε τυχαίες χορδές στον κύκλο. Παρατηρούμε ότι μόνο οι χορδές που έχουν το μέσο τους μέσα στον μικρό κύκλο είναι μεγαλύτερες από την πλευρά του τριγώνου. Και επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι. Όταν προσομοιώσαμε την περίπτωση αυτή στον υπολογιστή με την βοήθεια του προγράμματος Geogebra, παρατηρήσαμε πως η πιθανότητα πλησίαζε το και όχι το. Για να διερευνήσουμε τη διαφορά αυτή πήραμε το ίχνος των μέσων τον τυχαίων χορδών. Παρατηρήσαμε πως η κατανομή των σημείων αυτών δεν είναι ομοιόμορφη σε όλη την επιφάνεια του κύκλου αλλά παρατηρείται μια μεγαλύτερη συγκέντρωση προς το κέντρο του κύκλου. Αυτό εξηγεί και την διαφορά ανάμεσα στο θεωρητικό μοντέλο που αναγράφεται στην βιβλιογραφία με το αποτέλεσμα της προσομοίωσης που κάναμε στον υπολογιστή. Επομένως, το λάθος στην περίπτωση αυτή βρίσκεται στο ότι λανθασμένα υποτέθηκε πως η κατανομή των χορδών του κύκλου είναι ομοιόμορφη. Παράδοξα μεταβατικής ιδιότητας Είναι γνωστό από την λογική πως αν μια πρόταση ισχύει μεταξύ των αντικειμένων Α και Β και η ίδια πρόταση ισχύει επίσης μεταξύ των Β και Γ τότε η πρόταση θα είναι επίσης αληθής μεταξύ των Α και Γ. Η ιδιότητα αυτή λέγεται μεταβατική. Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι η ανισοτική σχέση. Συγκεκριμένα αν ο Γιάννης είναι πιο βαρύς από τον Κώστα και ο Κώστας πιο βαρύς από τον Αντώνη, τότε ο Γιάννης είναι πιο βαρύς από τον Αντώνη. 21

32 Θα περίμενε κανείς πως η μεταβατική ιδιότητα θα ίσχυε και στις πιθανότητες. Μια σειρά όμως από αντιπαραδείγματα καταδεικνύουν, αντίθετα με την ανθρώπινη διαίσθηση, ότι στο χώρο των πιθανοτήτων δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. Για παράδειγμα σε δυαδικές σχέσης προτίμησης δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. Δηλαδή, αν το προϊόν Α προτιμάται από το προϊόν Β και το προϊόν Β προτιμάται έναντι του Γ προϊόντος, τότε δεν είναι σίγουρο αν μεταξύ των προϊόντων Α και Γ, το Α είναι περισσότερο προτιμητέο. Το ίδιο ισχύει σε προτιμήσεις υποψηφίων σε εκλογές κ.ο.κ. Ο Bradley Efron, στατιστικολόγος στο Stanford University, κατασκεύασε μια σειρά από ζάρια για να καταδείξει την μη εφαρμογή της μεταβατικής ιδιότητας στις πιθανότητες. Παρακάτω παραθέτουμε μια τετράδα από τέτοια ζάρια στο ανάπτυγμα τους. Α Β Γ Δ Ανάμεσα στο 4 Α και στο Β παρατηρούμε 3 ότι η πιθανότητα 6 να κερδίσει 5 το Α είναι 24/36 και η πιθανότητα να κερδίσει το Β είναι 12/36. Συμπεραίνουμε λοιπόν πως μεταξύ του Α και του Β περισσότερες πιθανότητες για να κερδίσει έχει το Α ζάρι Α/Β Β Β Α Α Α Α 3 Β Β Α Α Α Α 3 Β Β Α Α Α Α 3 Β Β Α Α Α Α 3 Β Β Α Α Α Α 3 Β Β Α Α Α Α Β/Γ Β Β Β Β Β Β 2 Β Β Β Β Β Β 2 Β Β Β Β Β Β 2 Β Β Β Β Β Β 6 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 6 Γ Γ Γ Γ Γ Γ Ανάμεσα στο Β και στο Γ παρατηρούμε ότι η πιθανότητα να κερδίσει το Β είναι 24/36 και η πιθανότητα να κερδίσει το Γ είναι 12/36. Επομένως, ανάμεσα στο Β και στο Γ περισσότερες πιθανότητες για να κερδίσει έχει το Β ζάρι. Τέλος, ανάμεσα στο Γ και στο Δ παρατηρούμε ότι η πιθανότητα να κερδίσει το Γ είναι 27/36 και η πιθανότητα να κερδίσει το Δ είναι 9/36. Άρα, μεταξύ του Γ και του Δ περισσότερες πιθανότητες για να κερδίσει έχει το Γ ζάρι. 22

33 Γ/Δ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 1 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 1 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 5 Δ Δ Δ Γ Γ Γ 5 Δ Δ Δ Γ Γ Γ 5 Δ Δ Δ Γ Γ Γ Δ/Α Δ Δ Δ Δ Δ Δ 0 Δ Δ Δ Δ Δ Δ 4 Α Α Α Δ Δ Δ 4 Α Α Α Δ Δ Δ 4 Α Α Α Δ Δ Δ 4 Α Α Α Δ Δ Δ Μετά την φθίνουσα αυτή ακολουθία πιθανοτήτων θα συμπέραινε ο ανυποψίαστος μελετητής πως το Α ζάρι θα είχε περισσότερες πιθανότητες να νικήσει το Δ ζάρι. Η ανάλυση, όμως, του δειγματικού χώρου των ζαριών Α και Δ δείχνει πως είναι το ζάρι Δ που νικά το ζάρι Α με πιθανότητα 12/36. Το παράδοξο αυτό φαινόμενο στις πιθανότητες, θελήσαμε να το εξεικονίσουμε στον υπολογιστή. Συγκεκριμένα, πήραμε τα τρία ζάρια οι όψεις των φαίνονται στον επόμενο πίνακα. Το πρώτο ζάρι έχει στις δύο έδρες τον αριθμό 1 ενώ Έδρες Ζαριών στις υπόλοιπες τον αριθμό 4. Το δεύτερο ζάρι έχει σε όλες τις έδρες του τον αριθμό 3. Το τρίτο ζάρι έχει Χ στις δύο έδρες τον αριθμό 5 και στις υπόλοιπες τον Υ αριθμό 2. Ζ Ρίχνοντας αρκετές φορές τα ζάρια μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το πρώτο ζάρι νικά το δεύτερο και το δεύτερο νικά το τρίτο. Κατά παράδοξο, όμως τρόπο το τρίτο ζάρι νικά το πρώτο. Συμπεράσματα Μετά την συζήτηση γνωστών στην βιβλιογραφία παραδόξων στις πιθανότητες, όπως αυτά στα οποία αναφερθήκαμε στην εργασία μας αυτή, γίνεται φανερό πως έχει ιδιαίτερη σημασία η προσεκτική μελέτη των προϋποθέσεων που υπάρχουν όταν στα μαθηματικά χρησιμοποιούμε ορισμούς, σχέσεις, προτάσεις ή θεωρήματα 23

34 για την εξαγωγή συμπερασμάτων. Συγκεκριμένα έχουμε προσέξει πως όταν στις πιθανότητες χρησιμοποιούμε τον ορισμό κατά Laplace, τότε θα πρέπει να έχουμε κατά νουν πως τα ενδεχόμενα θα πρέπει να απλά, ισοπίθανα (ομοιόμορφη κατανομή) και πως το σύνολο του δειγματικού χώρου και του ενδεχομένου θα πρέπει να είναι πεπερασμένα. Αδυναμία να ελέγξουμε μια από τις προϋποθέσεις αυτές είναι πολύ πιθανόν να μας οδηγήσει σε αντιφατικές απαντήσεις παράδοξα. Τέλος, μια σειρά από παράδοξα, όπως είναι τα μη μεταβατικά ζάρια, στηρίζονται στην λανθασμένη διαίσθησή για την χρήση απλών ιδιοτήτων που ισχύουν σε άλλες περιοχές των μαθηματικών στις οποίες μπορεί να είμαστε περισσότερο εξοικειωμένοι. Βιβλιογραφία 1. Μαθηματικά Επιλογής, Γ Λυκείου, 2003, Υπηρεσία Ανάπτυξης Προγραμμάτων M. Jackson, Paradoxes with dice and elections, Towards Excellence in Mathematics (Melbourne, 2004), Mathematical Association of Victoria, 2004, pp A. R. Meyer and R. Rubinfeld, Course notes, Mathematics for Computer Science Introduction to Probabilities, (Fall 2005), Massachusetts Institute of Technology. 5. M. Gardner, The Colossal Book of Mathematics, W.W. Norton & Co, 2001, pp

35 Ο ΜΗΔΕΝ, Ο π, Ο e, Ο i ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΑΤΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥΣ Χριστοδούλου Άντρη, Ελευθερίου Παναγιώτα, Πιερή Μαρία, Συμεού Δήμητρα Υπεύθυνες καθηγήτριες: Παπαγιάννη Ευαγγελία, Ματθαίου Λουκία Λύκειο Παραλιμνίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κάποτε το 1748, ο Euler σκέφτηκε να διοργανώσει στο σπίτι του ένα πάρτι. Επίτιμοι καλεσμένοι ήταν δύο Ευρωπαίοι, ο i, ο e, ο πανάρχαιος Έλληνας π και ο Ινδός μηδέν. Αν και άγνωστοι μεταξύ τους οι 4 κύριοι, έδεσαν με την πρώτη, ανακαλύπτοντας συνεχώς πως τα κοινά μεταξύ τους δεν ήταν λίγα. Αυτή η συνάντηση στάθηκε αφορμή για τη μετέπειτα συγκατοίκησή τους που χωρίς αυτή ο τομέας των μαθηματικών θα έμοιαζε πολύ φτωχός. Γιατί αν και φαίνονταν ξένοι μεταξύ τους, στην πραγματικότητα συνδέονται πάρα πολύ. Πιο κάτω επισημαίνουμε την ιστορία του καθενός ξεχωριστά: Η χρήση του μηδέν θεωρήθηκε σαν σημείο ένδειξης μιας σημαντικής πολιτιστικής προόδου. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν είδαν το μηδέν ούτε σαν αριθμό ούτε σαν σύμβολο δείκτη. Στην Προσωκρατική ελληνική φιλοσοφία η έννοια του μηδέν επικράτησε με τον όρο ουδέν, ενώ οι Βαβυλώνιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τον μηδέν σαν δείκτη. Είναι ιστορικά αποδεδειγμένο ότι πρώτη γραπτή εμφάνιση του μηδέν έγινε σε ινδικό κείμενο. Το εξαιρετικό έργο των Ινδών ξαπλώθηκε στην Κίνα αλλά και στον Αραβικό κόσμο Η Ευρώπη γνώρισε το μηδέν από τους Άραβες της Δύσης. Το «π», μία από τις πιο διαδεδομένες «σπαζοκεφαλιές» των μαθηματικών, δεν είναι παρά μια σταθερά που προσεγγίζει την τιμή (3,14 ), της οποίας τα συνεχιζόμενα ψηφία φτάνουν πολύ μακριά. Ο συμβολισμός με το ελληνικό γράμμα π είναι σχετικά πρόσφατος και αρχίζει να επικρατεί μόνο όταν τον χρησιμοποιεί ο Leonard Euler τo Το «e» είναι μια σταθερά που προσεγγίζει τον αριθμό e Η πρώτη φορά που αποδόθηκε η σημερινή σημασία στο 25

36 «e» ήταν με τον Leibniz το 1690, όχι όμως με το σημερινό συμβολισμό. Το σημερινό συμβολισμό φέρνει ο Euler το Το «i» προέρχεται από τη γαλλική λέξη imaginaire που σημαίνει φανταστικός και μεταξύ των μαθητών είναι γνωστό σαν «γιωτ». Γέννημα θρέμμα της Ευρώπης έκανε μια πρώιμη εμφάνιση στην ιστορία των μαθηματικών τον 16 ο αιώνα. Προς το τέλος του 17 ου αιώνα ο Leibniz θα περιγράψει εύστοχα την παράξενη φύση του και τον 18 ο αιώνα θα αποκτήσει τον δικό του παγκόσμιο συμβολισμό «i». Ο ΛΕΟΝΑΡΝΤ ΟΙΛΕΡ (LEONARD EULER) Γεννήθηκε στη Βασιλεία της Ελβετίας στις 15 Απριλίου 1707 και ήταν γιος ιερέα. Υπήρξε πρωτοπόρος μαθηματικός και φυσικός. Σπούδασε γεωμετρία στο πανεπιστήμιο της Βασιλεία. ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ Διακρίθηκε στα ανώτερα μαθηματικά και κυρίως στο διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό. Οι σπουδαιότερες εργασίες του αναφέρονται στην ανάλυση των ισοπεριμέτρων, στη συσχέτιση των κυκλικών και των εκθετικών συναρτήσεων, στη θεωρία της περιστροφής σώματος γύρω από σταθερό σημείο, στην αναλυτική γεωμετρία και στη θεωρία των αριθμών. Ακόμη υπήρξε ο εισηγητής της συντομογραφίας και του συμβολισμού (τριγωνομετρία), κάνοντας πρώτος τη χρήση του συμβόλου e για τον προσδιορισμό της βάσης των φυσικών λογαρίθμων. Πολλοί μαθηματικοί όροι φέρουν το όνομά του, όπως η σταθερά του Euler, ο αριθμός του Euler (το γνωστό e), οι μεταβλητές, η γραμμή και η εξίσωση του Euler. Τα τελευταία 17 χρόνια της ζωής του ο διάσημος μαθηματικός ήταν σχεδόν τυφλός. Πέθανε στις 18 Σεπτεμβρίου Ο μαθηματικός και φιλόσοφος Ζαν ντε Κοντορσέ είπε στον επικήδειο του : «Ο Euler σταμάτησε να ζει και να υπολογίζει». Ο Ινδός Μηδέν 0: Επειδή οι αρχαίοι λαοί ασχολούνταν με πρακτικά προβλήματα της καθημερινής ζωής δεν είχε νόημα γι αυτούς η έννοια του μηδενός ή των αρνητικών αριθμών. Οι Έλληνες δεν είδαν το μηδέν ούτε σαν αριθμό ούτε σαν σύμβολο-δείκτη. Μια άποψη είναι αυτή που λέει ότι τα ελληνικά μαθηματικά ήταν κατά βάση Γεωμετρία. Παρόλο που στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη, υπάρχει ένα βιβλίο πάνω στη θεωρία των αριθμών, η όλη θεώρηση βασίζεται στη Γεωμετρία. 26

37 Οι Αρχαίοι Έλληνες υποστήριζαν ότι το στοιχείο που δημιουργεί τον κόσμο είναι 1 και είναι αιώνιο και αναλλοίωτο. Δηλαδή ούτε δημιουργείται ούτε φθείρεται. Στον κόσμο τίποτα δε χάνεται και τίποτα δε δημιουργείται τυχαία, ούτε επιστρέφει στην ανυπαρξία. Να λοιπόν γιατί θεωρούσαν ότι δεν υπάρχει λόγος να συμβολιστεί το μηδέν. Θεωρούσαν ότι υπάρχει μια αδιαίρετη, αγέννητη και μη φθαρτή ουσία που αποτελεί τα πάντα και περιέχει τα πάντα. Ταύτιζαν δηλαδή την έννοια του μηδενός με την έννοια του μη όντος. Και εφόσον το μη ον δεν υφίσταται δεν υπήρχε λόγος και να συμβολιστεί. Η μια χρήση του μηδέν είναι σαν σύμβολο-δείκτης της κενής θέσης στο σύστημα γραφής των αριθμών. Σύμβολο για να δείξουμε τη διαφορά ανάμεσα στον αριθμό 345 και στον αριθμό Η δεύτερη χρήση του είναι ως αριθμός ανάμεσα στο 1 και στο +1.Οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν το μηδέν σαν δείκτη ήταν οι Βαβυλώνιοι. Η Ευρώπη γνώρισε το ινδοαραβικό σύστημα γραφής και το μηδέν από τους Άραβες της Δύσης. Ο Fibonacci ήταν αυτός που βοήθησε στην ένωση της ευρωπαϊκής με την ινδοαραβική μαθηματική κληρονομιά. Μαζί με τα ινδικά σύμβολα μας παρουσιάζουν και το μηδέν. Το μηδέν χρειάστηκε για πρώτη φορά, όταν οι άνθρωποι έπρεπε να γράψουν αστρονομικά δεδομένα και θέλησαν να εκφράσουν την κενή θέση (π.χ. 3 έτη, 0 μήνες, 12 ημέρες). O Φανταστικός αριθμός i : Εννοιολογικά, φανταστικός αριθμός i ορίζεται ως ένας αριθμός, το τετράγωνο του οποίου ισούται με 1. Τον εφηύρε ο René Descartes το 1637 στο έργο του «La Géométrie». Συμβολίζεται με το γράμμα i, αρχικό της γαλλικής λέξης imaginaire, και διαβάζεται «γιωτ». Ο «γιωτ» έκανε μια πρώτη εμφάνιση στη σκηνή της Ιστορίας των Μαθηματικών τον 16ο αιώνα κατά την εποχή που οι Ιταλοί μαθηματικοί προσπαθούσαν να βρουν τρόπους για τη λύση τριτοβάθμιων εξισώσεων όπως η x 3 + x = 2 Ο Ιταλός μαθηματικός Bombelli, μελετώντας τις τετραγωνικές ρίζες διάφορων αριθμών σκόνταψε στο εξής: «Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του αρνητικού αριθμού 1» ; Η λύση ήταν να «δημιουργήσει» έναν καινούριο αριθμό ο οποίος θα ήταν η τετραγωνική ρίζα της αρνητικής μονάδας. Ο φανταστικός αριθμός γεννήθηκε λοιπόν τον 16 ο αιώνα, χωρίς να συμβολίζεται με κάποιο συγκεκριμένο σύμβολο, και απέκτησε τον δικό του «παγκόσμιο» συμβολισμό με το γράμμα i, τον 18ο αιώνα ύστερα από πρόταση του Euler. 27

38 Επειδή το i είναι η τετραγωνική ρίζα του 1, είναι προφανές ότι είναι ένας μη πραγματικός αριθμός και μπορούμε να γράψουμε πλήθος τέτοιων αριθμών. i 2 = -1 i 3 = -i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = -1 Στην πορεία ο «i» αποτέλεσε τη λεγόμενη φανταστική μονάδα. Έτσι μπορούμε να δημιουργήσουμε φανταστικά κλάσματα όπως το «3 i», 4 αριθμούς όπως ο «5i» ο οποίος δεν είναι ούτε μικρότερος ούτε μεγαλύτερος από το μηδέν (διότι η σύγκρισή του με το μηδέν δεν έχει νόημα) αλλά και άρρητα πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας όπως ο «13i». Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται με Ι, όπου Ι = { βi, β Є R } Το άθροισμα ενός φανταστικού και ενός πραγματικού αριθμού, συνιστά τον λεγόμενο ΜΙΓΑΔΙΚΟ αριθμό ο οποίος συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα z. Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή z = α + βi, όπου αєr, β Є R και i η φανταστική μονάδα Το πρόβλημα βέβαια που δημιουργήθηκε είναι ότι όλοι αυτοί οι φανταστικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί δεν έχουν θέση στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Οι μαθηματικοί όμως ξεπέρασαν και αυτή τη δυσκολία δημιουργώντας, την ευθεία των φανταστικών αριθμών κάθετη στην ευθεία των πραγματικών αριθμών και από τότε, ενώ οι πραγματικοί εξακολουθούν να κυκλοφορούν στη δική τους ευθεία, οι φανταστικοί «ζουν» πάνω στην άλλη. Όσο για τους μιγαδικούς, αυτοί «ζουν» στο επίπεδο των δύο αυτών ευθειών. ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Ένας μιγαδικός z = α + βi, παριστάνεται με ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή είναι η αρχή των αξόνων και τέλος το σημείο (α,β). Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως το μέτρο του διανύσματος αυτού. Δηλαδή : 28

39 Ο ασύλληπτος e: Στη γλώσσα των μαθηματικών είναι μια σταθερά. Για την ακρίβεια είναι ένας πραγματικός αριθμός αλλά δεν είναι ούτε ακέραιος, ούτε κλάσμα, ούτε περιοδικός. O Euler ήταν ο πρώτος που απέδειξε ότι ο e είναι άρρητος. Προσεγγίζει τιμές μεγαλύτερες του 2 και μικρότερες από το 3. Με προσέγγιση 18 δεκαδικών ψηφίων παίρνει τιμή: e Τελικά τι είναι ο e: Το 1647 υπολογίζεται το εμβαδόν (ολοκλήρωμα) κάτω από την ισοσκελή υπερβολή xy = 1 από 1 έως e και αποδεικνείεται ότι είναι ίσο με 1. Αυτή είναι και η κύρια ιδιότητα που καθιστά τον αριθμό αυτό «βάση των φυσικών λογαρίθμων». 14 χρόνια αργότερα ο Huygens αναγνώρισε τη σχέση ανάμεσα στην υπερβολή xy = 1 και στο λογάριθμο. Το e εμφανίστηκε στο προσκήνιο 300 χρόνια πριν και με πρόταση του Euler η σταθερά συμβολίζεται με το γράμμα e, από το αρχικό της λέξης exponential (δηλ. εκθετική συνάρτηση). Δικαίως λοιπόν ονομάζεται και σαν αριθμός Euler αφού ήταν και ο πρώτος που απέδειξε πως είναι άρρητος αριθμός σύμφωνα με την πλειοψηφία των ιστορικών. Οι επικρατέστεροι ορισμοί: Είναι το όριο της συνάρτησης ( / n)n όταν το n τείνει στο άπειρο. Έτσι καθιερώθηκε σαν ο πρώτος ορισμός της σταθεράς αυτής. Είναι το άθροισμα των απείρων όρων της σειράς: όπου n! = n 29

40 Είναι ένας αριθμός e>0 για τον οποίο ισχύει: Τελικά γι αυτό τον άρρητο αριθμό, τον αριθμό του Euler, έχουμε τρεις ορισμούς οι οποίοι είναι ισοδύναμοι. Για τον πρώτο επιστρατεύεται η έννοια ΟΡΙΟ, για το δεύτερο η έννοια ΣΕΙΡΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ και για τον τρίτο η έννοια ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Ο ΠΑΝΑΡΧΑΙΟΣ π: Η ιστορία του "π" Μαθηματικοί σε πρώιμους πολιτισμούς πρέπει να είχαν υπολογίσει στο περίπου, πως το μήκος ενός σχοινιού γύρω από την περιφέρεια ενός κύκλου ισοδυναμούσε με λίγο περισσότερο από το τριπλάσιο της διαμέτρου του. Στη συνέχεια, με πιο ακριβείς μετρήσεις ανακάλυψαν πως περίσσευε περισσότερο από ένα όγδοο του μήκους του σχοινιού αλλά λιγότερο από ένα τέταρτο. Η ανακάλυψη αυτή έγινε γνωστή από έναν Αιγύπτιο γραφέα, τον Αχμές, γύρω στο 1650π.Χ., πάνω στον πάπυρο που σήμερα ονομάζεται «Πάπυρος Ριντ». Σύμφωνα με τον πάπυρο : Αν κόψουμε το 1/9 της διαμέτρου και σχηματίσουμε ένα τετράγωνο με βάση το υπόλοιπο της διαμέτρου, τότε αυτό το τετράγωνο έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με τον κύκλο. Γνωρίζοντας πως το εμβαδόν του κύκλου είναι πr 2,αν και δεδομένου ότι το εμβαδόν αυτό ισούται με το τετράγωνο του (8/9)*2R, τότε ο λόγος της περιφέρειας προς την ακτίνα ισούται με 256/81 ή Η τιμή αυτή αποκλίνει λιγότερο από ένα εκατοστό της πραγματικής τιμής, δίνοντας έτσι μια πολύ σημαντική ακρίβεια. 30

41 Άρα στον Πάπυρο Ριντ φαίνεται η πρώτη απόπειρα «τετραγωνισμού του κύκλου». Δηλαδή να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο που να έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα κύκλο. Ιστορικοί της μαθηματικής επιστήμης αναφέρουν πως οι Αιγύπτιοι θεωρούσαν την τιμή του π ίση με 256/81. Τους ενδιέφερε περισσότερο να βρουν μια σχέση ανάμεσα στον κύκλο και στο τετράγωνο παρά να χρησιμοποιούν το «π» σαν μια σταθερά. Ο αριθμός π δεν μπορεί να γραφεί σαν κλάσμα, αλλά ούτε με χρήση άλλων πράξεων επί ακεραίων(π.χ. ως τετραγωνική ρίζα ακεραίου). Μια προσέγγιση του π είναι το 3,14. Για να δώσουμε την ακριβή τιμή του π, πρέπει μετά την υποδιαστολή, να γράψουμε άπειρα δεκαδικά ψηφία. Έχουν βρεθεί με χρήση υπολογιστή 1 τρισεκατομμύριο ψηφία του π.ο Νικόλαος Χατζηδάκης, καθηγητής του πανεπιστημίου Αθηνών, είχε εντάξει το παρακάτω κείμενο ως μνημονικό κανόνα για τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π. «Αεί ο θεός ο μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον. Και ον φευ ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι». ΤΟ ΣΥΜΒΟΛΟ «π»: Είναι παράξενο, αλλά ακόμα και οι Αρχαίοι Έλληνες δεν χρησιμοποίησαν το σύμβολο π για να δηλώσουν το λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του. Με τη σύχγρονη σημασία του, χρησιμοποιείται κανονικά τα τελευταία 250 χρόνια. Ο πρώτος που χρησιμοποίησε το «σύμβολο π» στα μαθηματικά ήταν ο Ουίλιαμ Όουτρεντ το 1652 ο οποίος προσδιόρισε το λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο ως π/δ, όπου το π αντιπροσώπευε την περιφέρεια και το δ τη διάμετρο. Ακόμη και σήμερα, το «π» χρησιμοποιείται και για κάτι άλλο εκτός από το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρο. Πολλές φορές το π(n) 31

42 χρησιμοποιείται ως συνάρτηση των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον αριθμό n. Αν πάρουμε το π(10) ισούται με 4 γιατί υπάρχουν 4 πρώτοι αριθμοί ανάμεσα του 1 και του 10. Επίλογος Όλοι οι παραπάνω που σας έχουμε παρουσιάσει, οι δύο Ευρωπαίοι i και e, ο πανάρχαιος Έλληνας π και ο Ινδός μηδέν, αν και άγνωστοι μεταξύ τους συναντώνται στο σπίτι του Euler και συγκατοικούν σε αυτό. Μέσα από αυτή τη συγκατοίκηση, οι δύο Ευρωπαίοι έκτισαν ένα ιδιαίτερο δεσμό φιλίας που εκφράστηκε σαν e ix =συνx + iημx. Ο πανάρχαιος π αφού έδιωξε τον άγνωστο x προσκάλεσε και τον Ινδό μηδέν. Τελικά οι 4 φίλοι μπαίνουν σε μια ξεχωριστή σχέση φιλίας, που την ονόμασαν e iπ +1=0. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: 1. Η χαρά του π, Ντέϊβιντ Μπλάντερ. 2. Επιστημονική βιβλιοθήκη ΛΑΪΦ Μαθηματικά υπό Ντεϊβιντ Μπεργκαμίνι. 3. Ιστοσελίδες: 32

43 ΓΕΥΣΗ ΑΠΟ ΑΠΕΙΡΟ Αβραάμ Αιμιλία, Αναστασίου Στυλιάνα, Κυριάκου Άντρη, Παπαντωνίου Δέσποινα, Σκουρίδη Ροδούλλα. Συντονίστρια : Σωτηρίου Βάσω Λύκειο Παραλιμνίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια του απείρου έχει μια ξεχωριστή θέση στα Μαθηματικά. Aπασχολεί ανέκαθεν την ανθρώπινη νόηση. Από τα αρχαία χρόνια μέχρι και σήμερα πολλοί είναι αυτοί που έχουν ασχοληθεί τόσο με τον ορισμό και με τις κατηγοριοποιήσεις του, όσο και με τις ιδιότητές του. Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η παρουσίαση κάποιων πτυχών της έννοιας του απείρου. Τρία διαφορετικά θέματα με κάτι όμως κοινό! Πώς ένα παράδοξο του διάσημου Μαθηματικού Ντέιβιντ Χίλμπερτ μπορεί να έχει σχέση με το γεγονός ότι ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο ή μη και πώς μπορούμε να αναγνωρίζουμε αν ένας δεκαδικός αριθμός χαρακτηρίζεται ρητός ή άρρητος; Ποια είναι η φύση του απείρου; Πώς είναι δυνατόν να του προσθέτουμε ή να του αφαιρούμε στοιχεία και αυτό να παραμένει άπειρο; Υπάρχουν μικρά και μεγάλα άπειρα; Διερωτηθήκατε ποτέ πόσες τρίχες έχουμε στο κεφάλι μας ή πόσοι κόκκοι άμμου υπάρχουν σε μια παραλία; Ή μήπως πόσοι άνθρωποι έχουν ζήσει μέχρι τώρα, από την εποχή της δημιουργίας μας; Η αλήθεια είναι ότι ναι, μπορούμε να τα μετρήσουμε όλα αυτά, αν και για μερικά βέβαια θα χρειαζόμασταν τη βοήθεια των τρισεγγόνων μας και των δικών τους τρισέγγονων για παράδειγμα στην περίπτωση της άμμου θα λέγαμε: ένας κόκκος, δεύτερος κόκκος, τρίτος κόκκος, χιλιοστός πεντακοσιοστός εξηνταπεντηκοστός κόκκος και ούτω καθ εξής. Αν αρχίσω να κόβω ένα μακαρόνι στη μέση, πόσο μικρό μπορώ να το κάνω; Αν το βάλω κάτω από ένα μικροσκόπιο και συνεχίσω να το κόβω; Θα μου τελειώσει ποτέ ή θα υπάρχει πάντοτε ένα μικρό κομματάκι, έστω και απειροελάχιστο; Ναι, θα υπάρχει. Αν το αρχικό μας μακαρόνι είχε μήκος 20 εκατοστά, στο πρώτο κόψιμο θα παίρναμε μακαρόνι μήκους 10 εκατοστών, στο δεύτερο κόψιμο μήκους 5 εκατοστών και η διαδικασία αυτή θα συνεχιζόταν επ άπειρο, χωρίς να τελειώνει ποτέ. Εάν θα μπορούσαμε να βάλουμε στο κάθε στοιχείο του συνόλου μας μια 33

44 ταμπέλα με ένα φυσικό αριθμό που δεν θα έχει κανένα άλλο από τα στοιχεία, τότε το σύνολο μας μπορεί να ονομαστεί αριθμήσιμο. Ο γενικός ορισμός είναι ότι ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο, εάν ανάμεσα σε αυτό και στους φυσικούς αριθμούς υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα. Στην περίπτωση των μακαρονιών, εάν βάζαμε σε σειρά τα μήκη, ξεκινώντας από το αρχικό μας μήκος, το 20 θα έπαιρνε την ταμπέλα με τον φυσικό αριθμό ένα, το 10 θα έπαιρνε το 2, το 5 θα έπαιρνε το 3 και ούτω καθ εξής. Παράδειγμα άπειρα αριθμήσιμου συνόλου αποτελούν και οι τετράγωνοι αριθμοί. 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81,... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... Θα ελέγξουμε αν οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν αριθμήσιμο σύνολο. Ξεκινώντας, ας σκεφτούμε ποιος αριθμός έρχεται μετά το 1. Το πρώτο που έρχεται στο νου κάποιου είναι ο αριθμός δύο, αφού το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το πρώτο που έχουμε μάθει σαν παιδιά του δημοτικού. Δεν είναι μόνο οι φυσικοί όμως. Αν πάρουμε τους δεκαδικούς ο επόμενος αριθμός μετά το 1 θα ήταν το 1,1. Ή μήπως το 1,01; Ή μήπως το 1,001; Ή μήπως 1, ; Όσο και να προσπαθήσουμε να βρούμε τον επόμενο αριθμό, δυστυχώς δε θα τα καταφέρουμε. Θα είναι σαν τον σκύλο που προσπαθεί να πιάσει την ουρά του. Αναποτελεσματικό, ατελείωτο και κουραστικό. Ο Καντόρ ήταν ο πρώτος που πρόσεξε ότι υπάρχουν σύνολα των οποίων τα στοιχεία τους δεν μπορούν να βρεθούν σε αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς. Προκάλεσε τους συναδέλφους να του απαντήσουν εάν το σύνολο των αριθμών μεταξύ του 0 και 1 είναι αριθμήσιμο. Έπειτα παρουσίασε την απόδειξή του με την οποία υποστήριξε ότι υπάρχουν και μη αριθμήσιμα σύνολα. Ας δούμε την απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο (0,1) είναι αριθμήσιμο σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε όλους τους αριθμούς του συνόλου σαν μια ακολουθία. Αν βάζαμε λοιπόν στον κάθε όρο της ακολουθίας το όνομα d, ο πρώτος αριθμός θα πρέπει να έχει το όνομα d 0, ο δεύτερος το d 1, ο τρίτος το d 2 και ούτω καθ εξής. Ο κάθε αριθμός όμως, λόγω του ότι είναι δεκαδικός, αποτελείται από περισσότερα από ένα δεκαδικά ψηφία.. Έτσι δίνουμε και στο καθένα δεκαδικό ψηφίο τη δική του ετικέτα. Αφού υποθέσαμε ότι το (0,1) είναι αριθμήσιμο, σημαίνει ότι κάθε δεκαδικός αριθμός που ανήκει στο (0,1) θα είναι μέρος της πιο κάτω ακολουθίας. 34

45 d = 0,α α α α α α d = 0,α α α α α α d = 0,α α α α α α d = o,α α α α α α d = 0,α α α α α α... n n0 n1 n2 n3 n4 n5 Κατασκευάζουμε ένα δεκαδικό αριθμό με τέτοιο τρόπο ώστε να μην είναι κάποιο από τα στοιχεία της πιο πάνω ακολουθίας. Συμβολίζουμε με X το δεκαδικό αυτό αριθμό X = 0,x 0x1x2x3x 4x 5... Επιλέγουμε x0 Ή α00, Αυτό σημαίνει ότι ο νέος μας δεκαδικός αριθμός διαφέρει από τον πρώτο αριθμό της ακολουθίας στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο, α00 ή d0 Ή X. Με τον ίδιο τρόπο διαλέγω x 1 τέτοιο ώστε x1 Ή α11. Αυτό σημαίνει ότι το X δε μπορεί να είναι ο αριθμός d 1, αφού διαφέρουν στο δεύτερό τους δεκαδικό ψηφίο. Συνεχίζοντας: x x x... x n Ή α Ή α Ή α Ή α nn Καταλήγουμε με αυτόν τον τρόπο στα παρακάτω συμπεράσματα: Το X δεν μπορεί να είναι κανένα από τα στοιχεία της ακολουθίας, αφού με το κάθε στοιχείο διαφέρουν σε ένα τουλάχιστον δεκαδικό ψηφίο, στη διαγώνιό τους. Η υπόθεση που είχαμε κάνει στην αρχή είναι λανθασμένη. 35

46 Το σύνολο (0,1) δεν είναι αριθμήσιμο. Κατ επέκταση, ούτε το σύνολο R είναι αριθμήσιμο. Τί γίνεται με την πληθικότητα των άπειρων συνόλων; Ο ορισμός λέει ότι δύο σύνολα S και T έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό (S = T ), αν και μόνο αν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο S στο σύνολο T. Παίρνουμε τους φυσικούς αριθμούς Ν, οι οποίοι είναι αριθμήσιμο άπειρο σύνολο. Δηλ. N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.} Εάν πάρω κάποιους από αυτούς, ας πούμε μόνο τους άρτιους, Δηλ. Α={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24.} Τί μπορώ να πω για την πληθικότητα των δύο συνόλων; Εκ πρώτης όψεως φαίνετε ότι οι άρτιοι είναι λιγότεροι και μάλιστα η πρώτη αίσθηση που έχουμε είναι ότι είναι οι μισοί. Είναι όμως έτσι τα πράγματα ή αυτή η εντύπωση είναι λανθασμένη; Είναι προφανές ότι μπορούμε να φέρουμε τους άρτιους σε αντιστοιχία ένα προς ένα με το Ν. Αυτό σημαίνει ότι τα δύο σύνολά μας έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Το γεγονός ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με ένα γνήσιο υποσύνολό του μας προκαλεί μεγάλη έκπληξη! Ας πάρουμε τώρα δύο υπεραριθμήσιμα σύνολα και να τα μελετήσουμε ως προς την πληθικότητά τους. Παίρνουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών ανάμεσα στο 0 και στο 1 (0,1)={ x Ξ R : 0 < x < 1} 36

47 Η συνάρτηση Άρα έχουμε R= R + x f(x) = 2 είναι μία ένα προς ένα απεικόνιση του R επί του R +. Η συνάρτηση 1 g(x) = είναι μία ένα προς ένα απεικόνιση του R + επί του (0,1). 1 + x Άρα έχουμε R + = (0,1) Δείξαμε έτσι ότι το R και το (0,1) έχουν την ίδια πληθικότητα! Το ευθύγραμμο μοναδιαίο τμήμα έχει τόσα σημεία όσα έχει και ολόκληρη η ευθεία των πραγματικών αριθμών! Πότε βαπτίζουμε ένα δεκαδικό αριθμό ως ρητό και πότε ως άρρητο; Το ορισμός λέει πως ένας πραγματικός αριθμός r είναι ρητός, αν και μόνον αν έχει περιοδική δεκαδική ανάπτυξη. Στην παρούσα εργασία δεν θα δοθεί απόδειξη αλλά θα παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα το οποίο επαληθεύει και τις δύο κατευθύνσεις του θεωρήματος. Με τον όρο περιοδική ανάπτυξη εννοούμε ένα πλήθος αριθμών σε ένα δεκαδικό αριθμό που επαναλαμβάνεται. Για παράδειγμα παίρνουμε έναν πραγματικό αριθμό, το κλάσμα 5 7. Για να βρούμε τη δεκαδική του μορφή διαιρούμε το 5 διά του 7. Αν κάποιο υπόλοιπο επανεμφανιστεί τότε οι δεκαδικοί αρχίζουν να επαναλαμβάνονται, αφού ακολουθεί η ίδια ακολουθία διαιρέσεων. Παίρνουμε τώρα τον πραγματικό αριθμό r τον 0, ο οποίος έχει περιοδικό δεκαδικό ανάπτυγμα. Το περιοδικό του ανάπτυγμα έχει άπειρο πλήθος από Εάν μετακινήσουμε ένα από αυτά στα αριστερά της υποδιαστολής, θα έχει πάλι άπειρο πλήθος από στο δεκαδικό του ανάπτυγμα αλλά ο πραγματικός αριθμός θα είναι πολλαπλασιασμένος με το Αφαιρώντας τον r από το r θα πάρουμε έναν ακέραιο, το r. Μετέπειτα διαιρώντας το με το παίρνουμε ένα ρητό αριθμό που είναι ο r. 37

48 10000 r =714285, r =0, r = r = r = 5 7 Κατ επέκτασην άρρητος αριθμός είναι ο πραγματικός αριθμός που στη δεκαδική του μορφή έχει άπειρο αριθμό από δεκαδικά ψηφία αλλά όχι επαναλαμβανόμενα π.χ η τετραγωνική ρίζα του 3. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ θεωρείται ένας από τους πιο σημαντικούς και διακεκριμένους μαθηματικούς του 19 ου και του 20 ου αιώνα που σφράγισε με το έργο του τα σύγχρονα μαθηματικά. Γεννήθηκε στις 23 Ιανουαρίου του 1862 και πέθανε στις 14 Φεβρουαρίου το Η πιο γνωστή εργασία του περιλαμβάνει τα Αξιώματα Χίλμπερτ για τη γεωμετρία καθώς και για την περιγραφή των χώρων Χίλμπερτ με εφαρμογές στην Κβαντομηχανική και τη Θεωρία της Σχετικότητας. Ασχολήθηκε επίσης ιδιαίτερα με την έννοια του απείρου. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ συνήθιζε να διανθίζει τις προσφιλείς στο ευρύ κοινό παραδόσεις του με ιστορίες για ένα ξενοδοχείο με άπειρα στο πλήθος δωμάτια. Ένα από τα παράδοξα χαρακτηριστικά του ξενοδοχείου Χίλμπερτ είναι ότι ακόμα και όταν είναι γεμάτο είναι δυνατό να βολέψει και άλλους πελάτες (είτε αυτοί είναι ένας είτε είναι άπειροι) χωρίς να χρειάζεται κάποιος να μοιραστεί το δωμάτιο με κάποιον άλλον. Κάθε κανονικό ξενοδοχείο έχει ένα καθορισμένο αριθμό δωματίων που προσφέρουν άνεση και υπέροχη θέα του τόπου διαμονής συνήθως. Όταν όλα τα δωμάτια είναι γεμάτα και ένας καινούριος επισκέπτης έρχεται τότε δεν μπορεί να μείνει εκτός αν ένας από τους διαμένοντες φύγει και κάποιο από τα δωμάτια μείνει κενό. Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια να φιλοξενεί άπειρους επισκέπτες και να έχει και άπειρες καμαριέρες φυσικά! Σε αυτή την περίπτωση η έλευση ενός νέου επισκέπτη δημιουργεί πρόβλημα για το λόγο ότι το άπειρο δεν είναι αριθμός αλλά έννοια. Οπότε είναι αδύνατο να στείλουμε τον νέο επισκέπτη 38

49 στο δωμάτιο +1! Ο ξενοδόχος όμως σκέφτηκε μια λύση. Ο καθένας από τους άπειρους επισκέπτες να μετακινηθεί ένα δωμάτιο. Μετά από ένα χείμαρρο παραπόνων ο επισκέπτης στο δωμάτιο 1 μετακινήθηκε στο δωμάτιο 2, αυτός στο δωμάτιο 2 στο δωμάτιο 3 δηλαδή ο ένοικος από το δωμάτιο με αριθμό n μετακινήθηκε στο δωμάτιο n+1. Με αυτό τον τρόπο το δωμάτιο με τον αριθμό 1 θα μείνει άδειο έτσι ο νέος ένοικος θα μπορεί να διαμείνει στο φανταστικό αυτό ξενοδοχείο. Αφού, λοιπόν, ο ξενοδόχος κατάφερε να τακτοποιήσει το καινούριο πελάτη αποφάσισε να ξεκουραστεί για λίγο. Τον ξυπνάει πανικόβλητος ένας υπάλληλος, λέγοντάς του ότι μόλις κατέφθασε ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες που ήθελαν να τακτοποιηθούν στο ξενοδοχείο. Αυτό όντως φαντάζει ακατόρθωτο. Ένας τρόπος θα ήταν να επαναληφθεί η προηγούμενη διαδικασία άπειρες φορές. Όμως αυτό δε μπορεί να πραγματοποιηθεί σε πεπερασμένο χρόνο. Έτσι ο πανούργος ιδιοκτήτης χωρίς ίχνος πανικού σκέφτηκε ένα άλλο τρόπο πιο αποτελεσματικό που θα μπορούσε να δώσει λύση στο πρόβλημά του. Ζήτησε από τον ένοικο του δωματίου 1 να μετακινηθεί στο δωμάτιο με το νούμερο 2, τον ένοικο του δωματίου 2 να μετακινηθεί στο νούμερο 4, τον ένοικο του δωματίου 3 στο δωμάτιο 6 δηλαδή ζήτησε από τους ενοίκους να μετακινηθούν στο δωμάτιο με τον διπλάσιο αριθμό του δωματίου τους. Μαθηματικά μιλώντας ζήτησε από τον ένοικο του δωματίου n να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2n. Έτσι κατόρθωσε να απελευθερώσει το απειροσύνολο των δωματίων με περιττό αριθμό με τέτοιο τρόπο ώστε όλοι οι νέοι άπειροι πελάτες να μπορέσουν να βρουν δωμάτιο. Κι εκεί που είναι όλα καλά κι όλα άγια, ένα νέο αναπάντεχο πρόβλημα έρχεται να ταλανίσει για άλλη μια φορά τον απτόητο ξενοδόχο. Άπειρα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες καταφθάνουν στο ξενοδοχείο του για να το κατακλύσουν. Ο ξενοδόχος βρίσκεται μπροστά σε ένα νέο αδιέξοδο. Το μόνο θετικό που ξεπροβάλλει, είναι το αδιαμφισβήτητα άπειρο κέρδος που θα αποκομίσει το ξενοδοχείο. Απελπισμένα αναζητά λύση στο πρόβλημα, αφού οι άπειροι αυτοί επισκέπτες που βρίσκονται στα άπειρα λεωφορεία τους, απαιτούν την άμεση τακτοποίηση τους, ο καθένας, σε ένα από τα άπειρα δωμάτια. Γι αρχή, λοιπόν, βάζει ξανά σε εφαρμογή το προηγούμενο βήμα, κατά το οποίο ο πελάτης που διαμένει στο δωμάτιο με αριθμό n πηγαίνει κι εγκαθίσταται στο δωμάτιο με αριθμό 2n κι έτσι όλα τα δωμάτια με περιττό αριθμό ελευθερώνονται, τα οποία είναι άπειρα. Κατόπιν αποφασίζει όπως οι άπειροι επιβάτες του κάθε λεωφορείου τακτοποιηθούν στις δυνάμεις των πρώτων αριθμών ξεκινώντας από το n=3. Δηλ. οι επιβάτες του 1 ου λεωφορείου, θα τακτοποιηθούν στα δωμάτια με αριθμούς: 3,9,27,81,..., του 2 ου στους αριθμούς: 5,25,125,625,..., κ.ο.κ. Με αυτόν τον τρόπο, δεν θα συμπίπτει να βρίσκονται 2 πελάτες στο ίδιο δωμάτιο επειδή παίρνοντας 2 τυχαίους πρώτους αριθμούς, όλες οι δυνάμεις τους με φυσικό m n αριθμό, είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Δηλαδή p Ή q όπου p και q είναι πρώτοι αριθμοί, με p q και m,n φυσικοί αριθμοί. Επομένως, για άλλη μια φορά, ο 39

50 μοναδικός αυτός ξενοδόχος ανταποκρίθηκε στη νέα πρόκληση με επιτυχία. Το μόνο που έχουν να αντιμετωπίσουν οι πελάτες μπροστά τους, είναι η απέραντη διαδρομή που θα έχουν να διανύσουν μέχρις ότου φτάσουν, στο δωμάτιο τους. 9 Σκεφτείτε αυτόν που θα του δοθεί το δωμάτιο με αριθμό 19, για παράδειγμα, πόσο δρόμο θα έχει να διανύσει. Γι αυτό θα πρέπει να μεριμνήσει ούτως ώστε να εφοδιάσει τους νέους επισκέπτες αλλά και τον εαυτό του με άπειρη υπομονή. Μεταφέρoντας τα όσα είδαμε με τους άπειρους επισκέπτες, σε μαθηματικά σύμβολα, σε ποιά συμπεράσματα μπορούμε να καταλήξουμε για τις πράξεις που αφορούν στο άπειρο; Σε άπειρους επισκέπτες προστίθεται ένας. Πόσοι γίνονται; + 1= Αν από άπειρους επισκέπτες αναχωρήσουν 100. Πόσοι μένουν; = Σε άπειρους επισκέπτες προστίθενται ακόμα άπειροι. Πόσοι γίνονται; + = Συμπερασματικά βλέπουμε ότι : + =, αλλά όσον αφορά στο άπειρο πλην άπειρο δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε κανένα συμπέρασμα!! - =? Αν από άπειρους επισκέπτες αναχωρήσουν όσοι έχουν δωμάτιο με άρτιο αριθμό. Πόσοι μένουν; - = Αν από άπειρους επισκέπτες αναχωρήσουν όλοι εκτός από ένα; - = 1 Αν από τους άπειρους επισκέπτες αναχωρήσουν όλοι; - = 0 40

51 ΜΑΘΗΗΗΗ.ΜΑΓΙΚΑ!!!!! Δημητρίου Άντρια, Νέστορος Χριστιάνα Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Παπαμιχαήλ Έλενα Περίληψη: Έχετε ποτέ σκεφτεί πως μπορείτε να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο από ένα τηλεπαιχνίδι; Μέσα από την παρουσίαση μας θα μπορέσετε να καταλάβετε πως μπορεί να σκεφτεί κανείς με βάση τις πιθανότητες για να το κερδίσει! Το πρόβλημα που θα σας παρουσιάσουμε έχει παρουσιαστεί σε ένα τηλεπαιχνίδι και ονομάζεται Monty Hall Problem και έχει ως εξής: Πίσω από τρεις κουρτίνες τοποθετούνται δύο κατσίκες και ένα αυτοκίνητο. Ο παίχτης καλείται να διαλέξει μια από τις τρεις κουρτίνες και στη συνέχεια ο παρουσιαστής, γνωρίζοντας το περιεχόμενο τους, ανοίγει μια από τις άλλες κουρτίνες που κρύβει πίσω της μια κατσίκα. Έπειτα ο παρουσιαστής δίνει στον παίχτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δυο κουρτίνες που έχουν απομείνει ή βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει. Έτσι είναι τόσο δύσκολο να κερδίσει κανείς σε ένα τηλεπαιχνίδι που βασίζεται κυρίως στην τύχη, διότι κανένας δε μπορεί να είναι σίγουρος με τις πιθανότητες ή.. μήπως όχι; Πρόβλημα: Πίσω από τρεις κουρτίνες τοποθετούνται δύο κατσίκες και ένα αυτοκίνητο. Ο παίχτης καλείται να διαλέξει μια από τις τρεις κουρτίνες και στη συνέχεια ο παρουσιαστής, γνωρίζοντας το περιεχόμενο τους, ανοίγει μια από τις άλλες κουρτίνες που κρύβει πίσω της μια κατσίκα. Έπειτα ο παρουσιαστής δίνει στον παίχτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δυο κουρτίνες που έχουν απομείνει ή βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει. Επιλογή του παίχτη Κουρτίνα που ανοίγει ο παρουσιαστής 41

52 Λύση προβλήματος: Εάν ο παίχτης θελήσει να αλλάξει την αρχική του επιλογή και ζητήσει την άλλη κουρτίνα, έχει δυο φορές περισσότερες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο απ ότι αν εμμείνει στην αρχική του επιλογή. Ισχύει ή όχι; Η πρώτη προσέγγιση λέει ότι εφόσον έχουν απομείνει δύο κουρτίνες, εκ των οποίων η μία έχει το αυτοκίνητο και η άλλη την κατσίκα, οι πιθανότητες να πετύχει κανείς το αυτοκίνητο είναι 50% σε οποιαδήποτε κουρτίνα, το πρόβλημα πλέον έχει μετατραπεί σε παιχνίδι τύπου κορώνα-γράμματα, οι πιθανότητες είναι οι ίδιες και ο παίκτης δεν έχει ιδιαίτερο λόγο να αλλάξει την αρχική του επιλογή. Με την πρώτη αυτήν προσέγγιση, η απάντηση αυτή θεωρείτε εξόφθαλμη και προφανέστατη. Όμως αν κανείς το μελετήσει λίγο περισσότερο θα βρει πως η απάντηση αυτή είναι και η λανθασμένη. Έτσι αν το πάρουμε από την αρχή θα δούμε πως υπήρχαν τρεις κλειστές κουρτίνες και η πιθανότητα του παίχτη να επιλέξει την κουρτίνα με το αυτοκίνητο ήταν 1/3 ή 33%, ενώ η πιθανότητα να επιλέξει κουρτίνα με κατσίκα ήταν 2/3 ή 66%. Με την αποκάλυψη της κατσίκας από τον παρουσιαστή το δεδομένο αυτό δεν άλλαξε. Πιθανότητα του αυτοκινήτου πριν την αποκάλυψη Πιθανότητα για τις δυο κατσίκες πριν την αποκάλυψη Οι πιθανότητες παραμένουν οι ίδιες. Λαμβάνοντας υπόψη, λοιπόν, το παρακάτω δεδομένο και μάλιστα από την υπόθεση του προβλήματος, καταλαβαίνουμε ότι με το άνοιγμα της πρώτης κουρτίνας ο παρουσιαστής δεν αλλάζει καθόλου τις πιθανότητες, απλώς παρατείνει την αγωνία μεταθέτοντας κατά κάποιο τρόπο στη μία κλειστή 42

53 κουρτίνα που έχει κατσίκα ολόκληρο το 66,6% που αντιστοιχούσε προηγουμένως συγκεντρωτικά στις δύο κλειστές κουρτίνες που είχαν κατσίκες. Κουρτίνα 1 Κουρτίνα 2 Κουρτίνα 3 Αποτέλεσμα εάν αλλάξει Αποτέλεσμα εάν δεν αλλάξει Αυτοκίνητο Κατσίκα Κατσίκα Κατσίκα Αυτοκίνητο Κατσίκα Αυτοκίνητο Κατσίκα Αυτοκίνητο Κατσίκα Κατσίκα Κατσίκα Αυτοκίνητο Αυτοκίνητο Κατσίκα Έτσι η αρχική επιλογή του παίκτη εξακολουθεί να έχει 33,3% πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 66,6% πιθανότητα να κρύβει κατσίκα. Τότε η άλλη κουρτίνα θα έχει, αντιστρόφως τώρα, 66,6% πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 33,3% να έχει κατσίκα. Με αυτό συμπεραίνουμε πως αλλάζοντας κουρτίνα έχουμε πράγματι διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο. Πίνακας Πιθαοτήτων ΜΗ ΑΛΛΑΓΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΛΛΑΓΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1/3 ή 33% 2/3 ή 66% 2/3 ή 66% 1/3 ή 33% 43

54 Συμπεράσματα Εάν δεν αλλάξει ο παίχτης την αρχική του επιλογή, τότε δεν έχει σημασία τι κρύβει η άλλη κουρτίνα. Έτσι έχει 33% να κερδίσει το αυτοκίνητο και 66% να φύγει με μια κατσίκα. Εάν ο παίχτης αποφασίσει να αλλάξει την αρχική του επιλογή και διαλέξει την άλλη κουρτίνα, τότε θα έχει διπλές πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο εάν στην αρχή η κουρτίνα που είχε διαλέξει έκρυβε μια από τις δυο κατσίκες, που είναι το πιο πιθανόν. Όμως αν στην αρχή είχε διαλέξει αυτοκίνητο τότε αλλάζοντας την επιλογή του θα φύγει με μια κατσίκα! Η ιδανικότερη επιλογή στην ερώτηση αν θέλουμε να αλλάξουμε κουρτίνα είναι πάντοτε να αλλάζουμε την αρχική μας επιλογή γιατί έτσι διπλασιάζονται οι πιθανότητες να φύγουμε με ένα αυτοκίνητο. 44

55 ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΠΑΣΚΑΛ ΚΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ Αδάμου Αντρέας, Πορφυρίου Στέφανη, Κωστή Κυριακή Συντονιστής εκπαιδευτικός Σωκράτης Πετρίδης Pascal English School Larnaka ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή έχει ως κύριο θέμα το τρίγωνο του Πασκάλ και τη σχέση του με την ακολουθία Φιμπονάτσι. Αφού δώσουμε τους ορισμούς και κάποια ιστορικά στοιχεία θα εξηγήσουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα δίνοντας έμφαση στη σχέση ανάμεσα στο τρίγωνο του Πασκάλ και τους συντελεστές του αναπτύγματος. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε διάφορες ιδιότητες και κάποια πολύ ενδιαφέροντα μοτίβα που προκύπτουν από το τρίγωνο του Πασκάλ. Αφού σταθούμε στην ακολουθία Φιμπονάτσι και δείξουμε πως προκύπτει από το τρίγωνο του Πασκάλ, ακολούθως θα ασχοληθούμε με το όριο της ακολουθίας αυτής, δηλαδή τη χρυσή τομή. Κλείνοντας, θα περιγράψουμε τι είναι η χρυσή τομή και που τη συναντούμε στη φύση, στην αρχιτεκτονική και στις τέχνες. Μέρος Α

56 Το πιο πάνω αριθμητικό τρίγωνο ονομάζεται Τρίγωνο του Πασκάλ. Πήρε το όνομα του από τον Γάλλο μαθηματικό Μπλεζ Πασκάλ ( ). Το τρίγωνο σχηματίζεται με τον εξής τρόπο Η 1 η σειρά αποτελείται μόνο από τον αριθμό 1. Στη 2 η σειρά τοποθετούμε κάτω από τον αριθμό 1, αριστερά και δεξιά του και πάλι τον αριθμό 1. Στήν 3 η σειρά τοποθετουμε στα άκρα και πάλι τον αριθμό 1 και συμπληρώνουμε τις υπόλοιπες θέσεις με το άθροισμα των δύο αριθμών της προηγούμενης σειράς που βρίσκονται ακριβώς από πάνω. Συμπληρώνουμε τις υπόλοιπες σειρές με τον ίδιο τρόπο. Α1 Το διωνυμικό αναπτυγμα Το τρίγωνο του Πασκαλ αποδείκτηκε οτι είναι πολυ σημαντικό στα μαθηματικά επειδή όπως ανακάλυψε ο Πασκάλ ισχύουν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες είναι το γεγονος οτι τα στοιχεία κάθε γραμμής του τριγώνου δίνουν τους συντελεστές του διωνυμικου αναπτύγματός ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Οι πιο πάνω συντελεστές είναι πολυ σημαντικοί σε προβλήματα της Συνδιαστικής και αυτό γιατί μπορούν να υπολογιστούν από τον τύπο ( ) ( ) ( ) ( ) Ο πιο πάνω τύπος μας δίνει τον αριθμό των διαφορετικών συνδιασμών στοιχείων που μπορουν να γίνουν από ένα σύνολο ν στοιχείων. κ 46

57 Για παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορειτέ να φτιάξετε μια τριμελή επιτροπή από ένα σύνολο πέντε ατομών? (Σημείωση: Η σειρά δεν παίζει ρόλο) Λύση Έστω οτι έχουμε τα άτομα Α Β Γ Δ Ε Οι πιθανοί συνδιασμοί είναι οι ακόλουθοι: Α Β Γ, Α Β Δ, Α Β Ε, Α Γ Δ, Α Γ Ε, Α Δ Ε, Β Γ Δ, Β Γ Ε, Β Δ Ε, Γ Δ Ε Δηλαδή με 10 τρόπους. Αυτό θα μπορούσαμε εύκολα να το υπολογίσουμε από το τύπο ( ) ( ) ( ) ( ) Αυτό θα μπορούσαμε εύκολα να το βρούμε απο το τρίγωνο του Πασκάλ. Είναι ο 4 ος αριθμός στην 6 η γραμμή. Α2 Ιδιότητες Πιο κάτω παραθέτουμε κάποιες αξιόλογες ιδιότητες του τριγώνου. 1) Το άθροισμα των αριθμών κάθε σειράς του τριγώνου του πασκάλ δίνει ως αποτέλεσμα δυνάμεις του 2. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα αφού το ( ) ( ) 47

58 2) Ηockey sticky pattern Αν ξεκινήσουμε από οποιοδήποτε 1 στο τρίγωνο και κατευθυνθούμε διαγώνια αλλά στο τέλος δεν ολοκληρώσουμε την γραμμή διαγώνια αλλά την ολοκληρώσουμε με αντίθετη κλήση τότε ο τελευταίος αριθμός αποτελεί το άθροισμα των προηγούμενων αριθμών της γραμμής. 3) Αν αρχίσουμε απο το τρίτο 1 στα αριστερά του τριγώνου του πασκάλ και κατευθυνθούμε διαγώνια(δεξία) μέχρι το τέλος τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι τριγωνικοί. Σημείωση Ένας αριθμός ονομάζεται τριγωνικός όταν ισούται με το άθροισμα ορισμένων διαδοχικών ακεραίων αριθμών με πρώτο το 1. 4) Αν αρχίσουμε από το 1 της 2ης γραμμης και κατευθυνθούμε διαγώνια προς τα αριστερά τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι οι φυσικοί αριθμοί. 5) Παρατηρούμε ακόμη ότι στο τρίγωνο του Πασκάλ μπορούμε να διακρίνουμε τις δυνάμεις του 11. Αν διαβάσουμε τους αριθμούς των πέντε πρώτων γραμμών σαν ένα αριθμό παρατηρούμε οτι προκύπτουν οι πρώτες πέντε δυνάμεις του 11. Απο την πέμπτη σειρά και μετά ο πιο πάνω κανόνας διαφοροποιείται. Αρχίζουμε από το τελευταίο ψηφίο δεξιά και όταν συναντάμε διψήφιο αριθμό τότε το πρώτο ψηφίο του προστίθεται στο δεύτερο ψηφίο του επόμενου αριθμού στα αριστερά. Αν εμφανιστούν και πάλι διψήφιοι αριθμοί μετά τις προσθέσεις πρέπει να επαναλάβουμε την διαδικασία μέχρι η γραμμή να περιέχει μόνο μονοψήφιους αριθμούς. Μετά από αυτή την διαφοροποίηση προκύπτουν και πάλι οι δυνάμεις του 11. Μέρος Β: Ακολουθία Φιμπονάτσι Η ακολουθία Φιμπονάτσι ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο με αρχικές τιμές Δηλαδή κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων. 48

59 Άρα Συνεχίζοντας την πιο πάνω διαδικασία φτιάχνουμε την ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, Παρατηρούμε ότι οι όροι της ακολουθίας προκύπτουν από το τρίγωνο του Πασκάλ όπως φένεται στο διπλανό σχήμα. Β1 Χρύση τομή Η χρύση τομή ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχυεί Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως πρός το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με το λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο. Από το πιο πάνω προκύπτει (1) και (2) Αντικαθιστώντας την (1) στην (2) έχουμε Άρα Αν λύσουμε την πιο πάνω δευτεροβάθμια εξίσωση βρίσκουμε οτι Μία πολύ ενδιαφερον παράτηρηση είναι η πιο κάτω. Η χρυσή τομή φ αποτελεί το όριο του πηλίκου δύο διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι 49

60 Δήλαδη Το πιο πάνω αποτέλεσμα μπορούμε να το δούμε στον πιο κάτω πίνακα Β2 Που συναντούμε τη χρυσή τομή Πιο κάτω δίνουμε μερικά ενδιαφέροντα παραδείγματα για το που συναντούμε τη χρυσή τομή στη φύση, στην αρχιτεκτονική και στις τέχνες 1) Στο ανθρώπινο σώμα Ο ομφαλός διαιρεί το ανθρώπινο σώμα σε λόγο χρυσής τομής. Ο καρπός διαιρεί το χέρι από τον αγκώνα και κάτω σε λόγο χρυσής τομής και αν παρτηρήσουμε τις φάλαγγες του δείκτη μας, φαίνεται πως καθεμιά βρίσκεται σε χρυσή αναλογία με την επόμενή της Το σχεδιάγραμμα είναι ένα καρδιογράφημα σε στιγμή ηρεμίας. Για τους γιατρούς είναι μία ιδιαίτερα ικανοποιητική ένδειξη όταν το διάστημα μεταξύ δύο οξέων επαρμάτων R διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής από ένα έπαρμα Τ. (το κόκκινο βέλος στο διάγραμμα) Η πρόσοψη του Παρθενώνα είχε φτιαχτεί χρησιμοποιώντας δύο μεγάλα ορθογώνια πλευράς ρίζας πέντε και τέσσερα μικρότερα. αναλογία του μήκους του κτηρίου προς το ύψος της πρόσοψης είναι φ, η χρυσή τομή. Το πρόσωπο της Μόνα Λίζα είναι ένα τέλειο χρυσό ορθογώνιο, σύμφωνα με την αναλογία του πλάτους του μετώπου της σε σύγκριση με το μήκος από την κορυφή του κεφαλιού της μέχρι το πηγούνι της. 50

61 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Μάριος Χατζημιχαήλ Λύκειο Παλιομετόχου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Θεωρία Παιγνίων (ΘΠ) είναι ένας κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών που μοντελοποιεί καταστάσεις όπου οι δρώντες, υπό αβέβαιες συνήθως συνθήκες, συμμετέχουν σε μια στρατηγική κατάσταση, μέσα στην οποία δρουν ποικιλοτρόπως, προσπαθώντας να μεγιστοποιήσουν τα κέρδη τους και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιήσουν τις απώλειές τους. Παρόλο που η ΘΠ έχει εφαρμογές σε πολλούς τομείς, χρησιμοποιείται κυρίως ως εργαλείο στη μελέτη των οικονομικών, στις πολιτικές επιστήμες, στη ψυχολογία και στη βιολογία. Είναι δηλαδή η επιστήμη που μπορεί να εκτιμήσει τους συσχετισμούς μεταξύ των αντιπάλων και τις βέλτιστες επιλογές που πρέπει να γίνουν, προς όφελος αυτών που την χρησιμοποιούν (εργαλείο ορθότερης λήψης αποφάσεων). Σε αυτή την εργασία, παρουσιάζονται οι βασικότερες έννοιες της ΘΠ, καθώς επίσης και κάποια παραδείγματα εφαρμογών της ΘΠ. Η Θεωρία Παιγνίων (ΘΠ) είναι ένας κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών, που μοντελοποιεί καταστάσεις, όπου οι δρώντες (συμμετέχοντες σ ένα παίγνιο), συμμετέχουν σε μια στρατηγική κατάσταση (στο παίγνιο), στην οποία ενεργούν ποικιλοτρόπως, προσπαθώντας να μεγιστοποιήσουν τα κέρδη τους, και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιήσουν τις απώλειές τους. Έχει τις ρίζες της στα αρχαία χρόνια, παρόλο που έγινε επίσημα κλάδος των μαθηματικών μόλις το Χαρακτηριστικά παραδείγματα της ΘΠ στην αρχαιότητα βρίσκονται σε δύο κείμενα του Πλάτωνα, στο Λάχη και στο Συμπόσιο, όπου ο Σωκράτης ανακαλεί από τις μνήμες του ένα επεισόδιο από τη Μάχη του Δηλίου, και αναλύει τι και γιατί έκαναν ότι έκαναν οι στρατιώτες. Το 1944, ο μαθηματικός Von Neumann και ο οικονομολόγος Oskar Morgenstern, εκδίδουν το βιβλίο «Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά», βασισμένο και σε προηγούμενες έρευνες και εκδόσεις του Von Neumann το Αυτό το βιβλίο αποτέλεσε την βάση της ΘΠ, αφού έθεσε τις βασικές αρχές της, που καθιερώθηκαν και χρησιμοποιούνται μέχρι σήμερα. Το 1950, ο John Nash, παρατήρησε ότι τα πεπερασμένα (αυτά που κάποτε τελειώνουν) παίγνια έχουν πάντοτε ένα σημείο ισορροπίας (equilibrium) και αυτό το σημείο ισορροπίας ονομάστηκε ισορροπία Nash. Σ αυτά τα παίγνια, δίνεται η 51

62 δυνατότητα στους παίκτες να επιλέγουν να δρουν με τρόπους που είναι καλύτεροι για τους ιδίους, αντί κάποιων άλλων τρόπων. Με αυτή την ανακάλυψη, κατά το , η ΘΠ διευρύνθηκε ευρέως και εφαρμόστηκε στη στρατιωτική στρατηγική και πολιτική. Από το 1970, η ΘΠ οδήγησε την θεωρία οικονομικών σε μια επανάσταση. Επιπρόσθετα, διάφοροι τομείς, όπως η κοινωνιολογία, η ψυχολογία και η βιολογία, την χρησιμοποιούν. Η συμβολή της ΘΠ αναγνωρίστηκε, ειδικά στα οικονομικά, έτσι, το 1994, απονεμήθηκε Βραβείο Νόμπελ Οικονομικών στους John Nash, John Harsanyi και Reinhard Selten. Πολλά ελέχθησαν, αλλά ποια είναι τα κύρια χαρακτηριστικά ενός παιγνίου; Πρώτ απ όλα, έχουμε τους παίκτες, που αλληλεπιδρούν στο παίγνιο. Υπάρχουν οι κανόνες, δηλαδή οι οδηγίες και περιορισμοί που ισχύουν στο παίγνιο, που συνήθως προκύπτουν από το σύνολο των στρατηγικών και τα κέρδη όλων των παικτών. Τα κέρδη, είναι το έπαθλο του παιγνίου. Υπολογίζονται από τη συνάρτηση κέρδους, που εξαρτάται από τη στρατηγική του παίκτη και ορισμένων από τους υπόλοιπους παίκτες. Στρατηγική είναι το σύνολο των ενεργειών που ακολουθούνται από ένα συγκεκριμένο παίκτη. Κυρίαρχη Στρατηγική είναι η στρατηγική η οποία, αναλόγως με το τι έκαναν οι άλλοι παίκτες, αποδίδει το μέγιστο κέρδος ή στη χειρότερη περίπτωση την ελάχιστη ζημιά συγκριτικά με το κέρδος/ζημιά εάν ακολουθείτω οποιαδήποτε άλλη στρατηγική. Υπάρχουν διαφόρων ειδών παίγνια και τρόποι δράσης. Υπάρχουν συνεργατικά και μη συνεργατικά παίγνια. Στα μη συνεργατικά παίγνια, δεν μπορεί να υπάρξει συνεργασία μεταξύ των παικτών, εκτός εάν επιβάλλεται από τους κανόνες (δηλαδή μπορεί να υπάρξει μόνο επιβεβλημένη συνεργασία). Στα συνεργατικά παίγνια οι παίκτες συνεργάζονται, κυρίως επειδή, εάν συνεργαστούν με κάποιους, μπορούν να έχουν περισσότερο κέρδος. Για να επιτευχθεί αυτό, πρέπει να υπάρχει τέλεια επικοινωνία και συνεννόηση μεταξύ των συμπαικτών, και να τηρούνται αυστηρώς οι κοινές αποφάσεις. Πολλές φορές, μάλιστα, η συνάρτηση κέρδους είναι ακριβώς η ίδια για όλους τους παίκτες της ίδιας ομάδας. Είναι εμφανές ότι, οι στρατηγικές των παικτών αλληλοεξαρτούνται. Στα παίγνια διαδοχικής δράσης οι παίκτες δρουν διαδοχικά, γνωρίζοντας τις προηγούμενες κινήσεις των αντιπάλων, και έτσι μπορούν να δρουν «βλέποντας μπροστά», βασισμένοι στις προηγούμενες κινήσεις. Κάπως αλλιώς, στα παίγνια ταυτόχρονης δράσης, οι παίκτες δρουν ταυτόχρονα, χωρίς να γνωρίζουν τις κινήσεις των άλλων. Παρ όλ αυτά, γνωρίζουν τις πιθανές κινήσεις των άλλων, και έτσι μπορούν να δράσουν έξυπνα. Εδώ εφαρμόζει η Ισορροπία Nash. Η Ισορροπία Nash, είναι το στρατηγικό προφίλ, όπου ο παίκτης δεν έχει κίνητρο να δράσει με άλλο τρόπο, παρά με κάποιο συγκεκριμένο, δεδομένου ότι κανένας παίκτης δεν μπορεί να επιλέξει μια καλύτερη στρατηγική, εφόσον οι επιλογές των άλλων παικτών είναι γνωστές. Δηλαδή, είναι η στρατηγική η οποία επιφέρει την 52

63 ελάχιστη δυνατή ζημιά ή μέγιστο δυνατό κέρδος, στη χείριστη των περιπτώσεων στην χείριστη, δηλαδή, για τον συγκεκριμένο παίκτη, κίνηση του αντιπάλου. Βλέπουμε πως η ΘΠ μπορεί να βρει εφαρμογές σε μια πληθώρα τομέων. Μερικοί απ αυτούς τους τομείς είναι: μαθηματικά, πληροφορική, βιολογία, οικονομικά, πολιτικές επιστήμες, παγκόσμιες σχέσεις, ψυχολογία, κοινωνιολογία, νομικά, στρατιωτικά, αθλητισμός, και φυσικά, στα παιχνίδια. Συγκεκριμένο κι επίκαιρο παράδειγμα εφαρμογής της ΘΠ στα οικονομικά, αποτελεί η χρεοκοπία. Έστω ότι μια εταιρεία χρεοκοπεί και η τράπεζα παγώνει όλα της τα ακίνητα και σχεδιάζει να τα εκμεταλλευτεί με κάποιο τρόπο, για εξόφληση. Η τράπεζα έχει τη δυνατότητα να πωλήσει τα ακίνητα, ή να τα κρατήσει για δική της χρήση. Τι συμφέρει περισσότερο στην τράπεζα; Η τράπεζα πρέπει να αναλύσει κάθε περίπτωση και να δράσει με τον πιο καλό, για εκείνη, τρόπο. Άλλο ένα παράδειγμα αποτελεί η δίκαιη κατανομή, γνωστό και ως «κόψιμο γλυκίσματος». Σ αυτό το παίγνιο, πρέπει να γίνει κατανομή ενός αγαθού, με τέτοιο τρόπο, ούτως ώστε οι παραλήπτες να πιστεύουν ότι έχουν λάβει ένα δίκαιο μερίδιο. Εντούτοις, το αγαθό μπορεί να είναι από ένα γλύκισμα, μέχρι ένα οικόπεδο ή οτιδήποτε άλλο. Έτσι, μερικοί παραλήπτες πιθανώς να έχουν κάποιες ιδιαίτερες προτιμήσεις, και η κατανομή πρέπει να γίνει βάσει αυτών, χωρίς να αδικηθεί κανένας. Επιπρόσθετα, υπάρχουν και παίγνια της ακόλουθης μορφής, γνωστά ως «το δίλημμα του εθελοντή». Σε κάποια κατάσταση, χρειάζεται ένα άτομο (ή μια ομάδα απ αυτούς), να δράσει (ή δράσουν) εθελοντικά, για το κοινό καλό. Το κοινό καλό, όμως, ενδέχεται να έρχεται με κάποιο τίμημα του ίδιου του εθελοντή (ή εθελοντών). Εάν κάποιος προθυμοποιηθεί να χάσει κάτι, για το κοινό καλό, τότε όλοι έχουν κέρδος (ενώ ο εθελοντής ίσως όχι), αλλά σε περίπτωση που δεν προθυμοποιηθεί κανένας, όλοι έχουν ζημιά. Πολύ διαδεδομένα παραδείγματα στη ΘΠ αποτελούν το «Ταίριασμα Κερμάτων» και το «Δίλημμα των Φυλακισμένων». Στο «Ταίριασμα Κερμάτων», λαμβάνουν μέρος δύο παίκτες. Καθένας απ αυτούς, έχει στη διάθεση του ένα κέρμα. Παίζουν ταυτόχρονα και θα επιλέξουν να δείξουν είτε κορόνα, είτε γράμματα. Σε περίπτωση που τα δύο κέρματα ταιριάζουν (δηλαδή είναι ίδια κορόνα ή γράμματα), τότε ο δεύτερος παίκτης, κερδίζει το κέρμα του πρώτου. Αλλιώς, ο πρώτος παίκτης, κερδίζει το κέρμα του δεύτερου. Προφανώς, δεν υπάρχει κάποια στρατηγική που να επιφέρει καλύτερο αποτέλεσμα από κάποια άλλη. Το συγκεκριμένο παίγνιο είναι παίγνιο μηδενικού αθροίσματος, αφού ότι κερδίσει ο ένας παίκτης, χάνει ο άλλος. Σ αυτό το παίγνιο, δεν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική με ισορροπία Nash, αφού καμία επιλογή (κορόνα ή γράμματα), δεν εγγυάται τη βέλτιστη απάντηση στη βέλτιστη απόκρουση (που επίσης δεν υπάρχει). Γι αυτό, το συγκεκριμένο παίγνιο, μπορεί να αναλυθεί μόνο με μεικτές στρατηγικές. 53

64 Ας δούμε το «Δίλημμα των Φυλακισμένων» τώρα. Δύο άντρες, που πιστεύεται ότι διέπραξαν ένα έγκλημα, συνελήφθησαν από την αστυνομία, αλλά η αστυνομία δεν διαθέτει αρκετά στοιχεία για καταδίκη τους. Έτσι, τους χωρίζουν και τους ανακρίνουν ταυτόχρονα (σε διαφορετικά μέρη), ούτως ώστε να μην μπορούν να συνεννοηθούν. Τους ζητούν να καταδώσουν τον συνεργό τους (τον άλλο ύποπτο), και τους εξηγούν πως, εάν και οι δύο καταδώσουν τον συνεργό τους, θα φυλακιστούν για πέντε χρόνια έκαστος. Εάν δεν καταδώσει κανένας τον συνεργό του, τότε, θα φυλακιστούν για μόνο ένα χρόνο ο καθένας. Εάν καταδώσει μόνο ο ένας από τους δύο, τον άλλο, τότε αυτός που κατέδωσε θα φυλακιστεί για δύο χρόνια, αφού δεν τον κατήγγειλε εξαρχής στην αστυνομία, ενώ ο άλλος θα φυλακιστεί για δέκα χρόνια. Τους δίνεται χρόνος να σκεφτούν και να αποφασίσουν. Ποια είναι η πιο συμφέρουσα απόφαση; Επισημαίνεται πως, και οι δύο ύποπτοι, θέλουν να φυλακιστούν για το ελάχιστο δυνατό χρονικό διάστημα. Είναι άραγε αρκετή η εμπιστοσύνη που υπάρχει μεταξύ τους, οπόταν δεν θα καταδώσει κανένας, με αποτέλεσμα να φυλακιστούν μόνο για ένα χρόνο; Η πιο καλή (επειδή είναι σίγουρη) επιλογή που μπορούν να κάνουν, είναι να καταδώσουν τον συνεργό τους. Στη χείριστη των περιπτώσεων θα φυλακιστούν και οι δύο για πέντε χρόνια, ενώ εάν δεν κατέδιδαν, στη χείριστη περίπτωση θα φυλακίζονταν για δέκα χρόνια. Επίσης, στη βέλτιστη περίπτωση (που δεν παίζει ιδιαίτερο ρόλο στην τελική απόφαση, φυσικά), θα φυλακιστεί ο ένας για δύο μόνο χρόνια. Αυτή είναι η ορθότερη επιλογή που μπορούν να κάνουν, και αποτελεί κυρίαρχη στρατηγική, δηλαδή ισορροπία Nash. Είναι η καλύτερη απάντηση στην χειρότερη, για τον ένα ύποπτο, επιλογή του άλλου. Είναι στρατηγικά σταθερή απόφαση. Βεβαίως, όπως προαναφέρθηκε, εάν υπήρχε επικοινωνία κι εμπιστοσύνη μεταξύ τους, τότε, θα μπορούσαν να συνεργαστούν, ούτως ώστε να μην καταδώσει κανένας τον άλλο, με αποτέλεσμα να φυλακιστούν για μόνο ένα χρόνο ο καθένας. Αυτό είναι χαρακτηριστικό της ισορροπίας Nash. Δεν επιφέρει το βέλτιστο κέρδος (ή ελάχιστη ζημιά), αλλά επιφέρει τουλάχιστον κάποιο καλό κέρδος (ή μέτρια ζημιά). Συμπερασματικά, εκείνο που εκπηγάζει είναι ότι η ΘΠ άνοιξε ήδη, όχι απλά δρόμους, αλλά λεωφόρους, που μπορούν να αξιοποιηθούν ποικιλοτρόπως κι ευρέως, προς όφελος του κοινωνικού συνόλου, για επίλυση δυσεπίλυτων ζητημάτων. Στην Κύπρο, ακόμη, η χρήση της ΘΠ βρίσκεται σε εμβρυακή κατάσταση κι ευελπιστούμε στην πιθανή μελλοντική ευρύτερη της χρήση, αφού μπορεί να αξιοποιηθεί ακόμη και για τη δίκαιη επίλυση του Εθνικού μας ζητήματος. 54

65 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Alexandros Schillings et al. (2009) VGTR: A Collaborative, Energy and Information Aware Routing Algorithm for Wireless Sensor Networks through the Use of Game Theory, GeoSensor Networks, Springer Berlin / Heidelberg, vol Kwee-Bo Sim & Dong-Wook Lee & Ji-Yoon Kim (2004). Game Theory Based Coevolutionary Algorithm: A New Computational Coevolutionary Approach. International Journal of Control, Automation, and Systems, vol. 2, (4), Lonbørg, Andreas and Weisstein, Eric W. "Nash Equilibrium.", MathWorld Ross Don (2011). "Game Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy <http://plato.stanford.edu/entries/game-theory/> Theodore L. Turocy & Bernhard von Stengel (2001). Game Theory, CDAM Research Report. London School of Economics-CDAM Warland J., (n.d.). Game Theory A Tutorial, Berkeley <http://robotics.eecs.berkeley.edu/~wlr/tutorials/games.htm> 55

66 56

67 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΕΡΟΦΩΛΙΑΣ Παναγιώτης Παναγιώτου, Αντρέας Θεοχάρους, Ραφαήλ Δημητρίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία μας αναφέρεται στο Θεώρημα της Περιστεροφωλιάς. Στην εργασία εμπεριέχονται μερικά ιστορικά στοιχεία καθώς επίσης και μερικά παραδείγματα και εφαρμογές του Θεωρήματος. Το θεώρημα αποδίδεται στον Γερμανό Μαθηματικό Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Η αρχή της περιστεροφωλιάς (ή αρχή του Dirichlet) αναφέρεται πρώτη φορά στο βιβλίο του, Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes που εκδόθηκε το Θεωρείται μεγάλο μαθηματικό επίτευγμα κυρίως για την απλότητα του. Η προταση είναι η εξης: Αν ν+1 περιστέρια καθίσουν σε ν φωλιές, τότε σε τουλάχιστον μια φωλιά θα καθίσουν τουλάχιστον 2 περιστέρια. Η αρχή της περιστεροφωλιάς χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά ρητά από Dirichlet ( ). Λοιπόν αν και τόσο απλή στη διατύπωση, ως ιδέα χρησιμοποιείται έξυπνα και είναι ένα δυνατό εργαλείο για όμορφες λύσεις σε ποικίλα θέματα. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΣΤΕΡΟΦΩΛΙΑΣ: Το θεώρημα αποδίδεται στον Γερμανό Μαθηματικό Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Από μικρό παιδί ακόμα, είχε φανεί η μεγάλη κλίση του Dirichlet στα μαθηματικά. Τόσο πολύ τον ενδιέφεραν, που ξόδευε σχεδόν ολόκληρο το χαρτζιλίκι του σε βιβλία μαθηματικών. Συνεχίζοντας τις σπουδές του μετά το γυμνάσιο στη Γερμανία και τη Γαλλία, ο Dirichlet είχε την τύχη να διδαχθεί από τους σπουδαιότερους Μαθηματικούς εκείνης της εποχής όπως τον Οhm, τον Fourier, τον Laplace, τον Legendre και τον Poisson. Ο ίδιος υπήρξε εξαίρετος δάσκαλος που εκφραζόταν πάντα με πολύ μεγάλη σαφήνεια. Το 1855 μετά το θάνατο του Gauss, είχε την τιμή να τον διαδεχθεί στο Gottingen. Η αρχή της περιστεροφωλιάς (ή αρχή του Dirichlet) αναφέρεται πρώτη φορά στο βιβλίο του, Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes που εκδόθηκε το Θεωρείται μεγάλο μαθηματικό επίτευγμα κυρίως για την απλότητα του και αποδυκνύει ότι τα μαθηματικά δεν είναι πάντα αυτής της μορφής: Η αρχή αυτή λύει συχνά όμορφα προβλήματα λογικής σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Η προταση είναι η εξης: 57

68 Αν ν+1 περιστέρια καθίσουν σε ν φωλιές, τότε σε τουλάχιστον μια φωλιά θα καθίσουν τουλάχιστον 2 περιστέρια. Παραδείγματα: Μεταξύ των τριών προσώπων, υπάρχουν τουλάχιστον δύο του ίδιου φύλου. Σε 3 αριθμούς(άνισους του μηδέν!) τουλάχιστον οι 2 είναι ομόσημοι. Ανάμεσα σε 13 άτομα, υπάρχουν τουλάχιστον δύο που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. Ένας εντεκαψήφιος αριθμός έχει τουλάχιστον 2 ίδια ψηφία. Ανάμεσα σε ν διαδοχικούς αριθμούς τουλάχιστον 1 διαιρείται με τον ν(ν-1 υπόλοιπα-φωλιές) Αν έχουμε 25 λέξεις τότε σίγουρα δυο από αυτές θα αρχίζουν από το ίδιο γράμμα. Οι 25 λέξεις (περιστέρια) και 24 γράμματα του ελληνικού αλφάβητου(περιστεροφωλιές ). Παράδειγμα 1-Απλή εφαρμογή Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου πράσινα ή κόκκινα(π ή Κ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 σημεία με το ίδιο χρώμα, τα οποία απέχουν μεταξύ τους 10 Κm. Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=10 Κm. Οι κορυφές του τριγώνου είναι 3 (περιστέρια) και τα χρώματα 2(φωλιές). Άρα με 1 χρώμα(φωλιά) θα χρωματιστούν τουλάχιστον 2 κορυφές(περιστέρια). Άρα 2 τουλάχιστον κορυφές θα έχουν το ίδιο χρώμα. Παράδειγμα 2- Ένα πιο σύνθετο πρόβλημα Να αποδειχθεί ότι σε κάθε παρέα από 5 άτομα υπάρχουν 2, τα οποία έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών. Κάθε άτομο μπορεί να γνωρίζει 0,1,2,3 ή 4 άτομα. Όμως αν κάποιος γνωρίζει τους άλλους 4, τότε δεν υπάρχει κανείς με 0 γνωριμίες(και αντίστροφα). Επομένως καθένα από τα 5 άτομα(περιστέρια) θα έχει 0,1,2,3 γνωριμίες ή 1,2,3,4 γνωριμίες δηλαδή 4 δυνατότητες(φωλιές). Άρα έχουμε 5 περιστέρια και 4 φωλιές και κατά συνέπεια 2 τουλάχιστον περιστέρια θα καθίσουν στην ίδια φωλιά. Αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον 2 άτομα έχουν τον ίδιο αριθμό γνωριμιών. Παράδειγμα 3-Μία όμορφη πρόκληση Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 577 παιδιά από 9 διαφορετικές χώρες. Σε οποιαδήποτε ομάδα 9 παιδιών υπάρχουν τουλάχιστον 2 παιδιά με το ίδιο ύψος. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ομάδα 5 παιδιών από την ίδια χώρα, του ιδίου φύλου και του ιδίου ύψους. 58

69 ΛΥΣΗ: Έχουμε 577(παιδία)=64*9(χώρες)+1 Άρα τουλάχιστον μια χώρα θα έχει τουλάχιστον 65 παιδιά. Αφού: 65=2*32+1 Σημαίνει πως 33 τουλάχιστον παιδιά είναι του ιδίου φύλου Έστω τώρα πως σε αυτά τα 33 παιδιά δεν υπάρχει ομάδα 5 παιδιών του ιδίου ύψους. Τότε θα υπάρχουν ομάδες με 4 το πολύ παιδία του ιδίου ύψους. Επειδή 33=4*8(ομάδες)+1 θα υπάρχουν τουλάχιστον 8+1=9 ομάδες παιδιών του ιδίου ύψους μέσα από τα 33 παιδία που αναφέραμε. Αν από καθεμία από αυτές τις 9 ομάδες πάρουμε ένα παιδί τότε θα δημιουργήσουμε μια ομάδα 9 παιδιών που έχουν όλα διαφορετικό ύψος. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι δίνεται ότι Σε οποιαδήποτε ομάδα 9 παιδιών υπάρχουν τουλάχιστον 2 παιδιά με το ίδιο ύψος ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η αρχή της περιστεροφωλιάς χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά ρητά από Dirichlet ( ). Λοιπόν αν και τόσο απλή στη διατύπωση, ως ιδέα χρησιμοποιείται έξυπνα και είναι ένα δυνατό εργαλείο για όμορφες λύσεις σε ποικίλα θέματα. 59

70 60

71 ΣΠΕΙΡΕΣ Γαβριήλ Ελεάνα, Χατζηνικολάου Άννα Υπεύθυνοι Καθηγητές: Κωνσταντίνου Κωνσταντίνα, Προκοπίου Γιώργος. Αγγλική Σχολή Πασκάλ, Λευκωσία ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη μελέτη αυτή ερευνούμε γνωστές σπείρες συγκεντρώνοντας ενδιαφέροντα ιστορικά και γεωμετρικά στοιχεία. Αναφέρουμε πώς χρησιμοποιούνται στην τέχνη και σε άλλους τομείς και εντοπίζουμε σπειροειδείς σχηματισμούς στη φύση. Φτιάχνουμε δικές μας σπείρες και δείχνουμε με ποιο τρόπο μπορούμε με τη βοήθεια μιας σπείρας και του Πυθαγόρειου Θεωρήματος να υπολογίσουμε τις τετραγωνικές ρίζες θετικών ακέραιων αριθμών. Τέλος εξηγούμε πώς κατασκευάζεται με γεωμετρικό τρόπο η σπείρα του Αρχιμήδη. Σπείρα είναι μία καμπύλη που περιελίσσεται - και διαρκώς απομακρύνεται - γύρω από ένα κεντρικό σημείο. Είναι ένα από τα πιο εντυπωσιακά σχήματα και ο τρόπος που εμφανίζονται στη φύση προκαλεί θαυμασμό. Αν κάνουμε μία βόλτα στην εξοχή, θα συναντήσουμε πληθώρα και ποικιλία σπειροειδών μορφών. Κάποια από τα πολλά παραδείγματα που συναντούμε στη φύση και το ζωικό βασίλειο, είναι οι έλικες της αμπέλου, οι σπείρες στο κέλυφος των σαλιγκαριών, τα ελικοειδή κέρατα της αιγάγρου (αγριοκάτσικο) καθώς και οι σχηματισμοί σπειρών στα ανθύλλια μιας μαργαρίτας, στα κουκουνάρια των πεύκων ή ακόμα και στο κουνουπίδι. Σπειροειδείς και ελικοειδείς σχηματισμούς συναντάμε επίσης στο διάστημα με τους απέραντους σπειροειδείς γαλαξίες ή τη διπλή έλικα στο μόριο του DNA. Η πιο γνωστή σπείρα είναι η σπείρα του Αρχιμήδη και ονομάζεται έτσι γιατί ο πρώτος που τη μελέτησε ήταν ο Αρχιμήδης. Είναι η σπειροειδής καμπύλη της οποίας χαρακτηριστικό είναι ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων παραμένει σταθερή και είναι ίσης απόστασης η μία από την άλλη όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ονομάζεται επίσης και επίπεδη έλικα. Μπορεί κάποιος να καταλάβει τη δημιουργία της αν φανταστεί το σχήμα της τροχιάς που καταγράφει 61

72 ένας άνθρωπος στο σταθερό πάτωμα μίας περιστρεφόμενης κυκλικής πλατφόρμας καθώς προχωράει ευθύγραμμα από το κέντρο προς την περιφέρεια του κύκλου. Παρόμοιο παράδειγμα είναι και οι γραμμές σε ένα δίσκο γραμμοφώνου. Η βελόνα του δίσκου κινείται επάνω στον περιστρεφόμενο δίσκο κατά τρόπο όμοιο με εκείνον που κινείται ο άνθρωπος πάνω στην κυκλική περιστρεφόμενη πλατφόρμα. Για να κατασκευάσουμε τη σπείρα του Αρχιμήδη ακολουθούμε τα εξής βήματα: Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε 8 ίσα μέρη. Με κέντρο το σημείο Α, μεταφέρουμε κυκλικά τα σημεία 1, 2, 3 κλπ διαδοχικά σε ακτίνες, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες 45 μοιρών. Ενώνοντας τα σημεία σχηματίζεται η καμπύλη της σπείρας του Αρχιμήδη. Τα βήματα που ακολουθούμε φαίνονται αναλυτικά στο πιο κάτω σχεδιάγραμμα. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιώντας τη σπείρα του, επινόησε μία μηχανή γνωστή ως κοχλίας του Αρχιμήδη ή Αιγυπτιακός κοχλίας, για να μπορέσουν να αντλήσουν με μικρό κόπο άφθονο νερό από τη θάλασσα. Ο κοχλίας αποτελείτο από μία ελικοειδή επιφάνεια γύρω από έναν άξονα, στο εσωτερικό ενός σωλήνα. Με περιστροφή του άξονα το νερό έβγαινε με ευκολία στην επιφάνεια, όπως φαίνεται και στα ακόλουθα σχεδιαγράμματα. 62

73 Η σπείρα του Αρχιμήδη βρίσκει εφαρμογές στη μηχανική και τα μαθηματικά. Χρησιμοποιήθηκε σε τροχούς για να μετατρέψει την ομαλή κυκλική κίνηση σε ευθύγραμμη ομαλή όπως φαίνεται στην πιο κάτω κατασκευή, όπου απεικονίζεται μία μηχανή που τυλίγει το νήμα ομοιόμορφα γύρω από έναν κύλινδρο. Μία δεύτερη εφαρμογή της σπείρας του Αρχιμήδη, είναι ότι μπορεί να διαιρέσει μία γωνία σε όσες ίσες γωνίες θέλουμε. Στο παράδειγμα που ακολουθεί περιγράφεται πώς γίνεται η τριχοτόμηση μιας γωνίας χρησιμοποιώντας την σπείρα του Αρχιμήδη. Παίρνουμε τυχαία μία γωνία και διαγράφουμε μια σπείρα Αρχιμήδη η οποία περνά από την κορυφή της γωνίας. Έστω R το μήκος του τμήματος με άκρα την κορυφή της γωνίας και το σημείο όπου η σπείρα τέμνει την πλευρά της γωνίας. Διαγράφουμε τόξα κύκλων με ακτίνες R/3 και 2R/3. Τα σημεία τομής τους με την σπείρα είναι τα σημεία στα οποία τριχοτομείται η γωνία. Μία άλλη γνωστή σπείρα είναι η σπείρα του Fibonacci. Η ονομασία της συνδέεται άμεσα με την κατασκευή της αφού για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται τετράγωνα με πλευρές αριθμούς Fibonacci δηλαδή τετράγωνα με πλευρές 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,. Ξεκινάμε με τα δύο πρώτα τετράγωνα πλευράς 1 τα οποία τα βάζουμε δίπλα δίπλα. Έτσι σχηματίζεται ένα ορθογώνιο διαστάσεων 21. Στην πλευρά του μήκους 2 «κολλάμε» το 22 τετράγωνο ώστε να σχηματιστεί ένα νέο ορθογώνιο διαστάσεων 32. Τώρα «κολλάμε» το 33 τετράγωνο στην πλευρά του μήκους 3 και σχηματίζεται έτσι ένα ορθογώνιο 35. Συνεχίζουμε κατ αυτόν τον τρόπο και παίρνουμε την διάταξη που απεικονίζεται στο σχήμα Α. Διαγράφοντας τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα σχηματίζεται η σπείρα του Fibonacci (σχήμα Β). 63

74 Η σπείρα αυτή εμφανίζεται συχνά στη φύση όπως στο κέλυφος του ναυτίλου (ενός θαλάσσιου σαλιγκαριού), στο κουνουπίδι και στο ανθρώπινο αυτί όπως φαίνεται αντίστοιχα στις πιο κάτω φωτογραφίες. Η τόσο απλή κατασκευή λογαριθμικών σπειρών με τετράγωνα ή τρίγωνα που το ένα περιέχει το άλλο, ενέπνευσε πολλούς σύγχρονους καλλιτέχνες στις δημιουργίες τους. Μάλιστα δημιουργήθηκε ολόκληρο καλλιτεχνικό ρεύμα γνωστό σαν οπτική ή μαθηματική τέχνη (op art στα αγγλικά) όπως φαίνεται στις πιο κάτω δημιουργίες. Ισογώνια ή Λογαριθμική Σπείρα 64

75 Η σπείρα του Fibonacci ανήκει στην κατηγορία των λογαριθμικών ή αλλιώς ισογώνιων σπειρών. Λέγονται ισογώνιες γιατί όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα η γωνία ω που σχηματίζεται από μία ακτίνα της σπείρας και την εφαπτομένη, είναι πάντα ίδια. Ακτίνα μιας σπείρας εννοούμε μία ευθεία που να διέρχεται από τον πόλο της σπείρας, δηλαδή από το σημείο γύρω από το οποίο περιστρέφεται. Χαρακτηριστικό της ισογώνιας σπείρας σύμφωνα με τον Torricelli είναι πως παρά το γεγονός ότι οι στροφές της σπείρας είναι άπειρες γύρω από το κέντρο της, επειδή γίνονται όλο και πιο κοντά στο κέντρο το μήκος της καμπύλης από τον πόλο της μέχρι ένα οποιοδήποτε σημείο της δεν είναι άπειρο αλλά πεπερασμένο. Η ισογώνια σπείρα έχει αρκετές μαθηματικές ιδιότητες. Εκτός του ότι στρέφεται άπειρες φορές γύρω από τον πόλο της, παραμένει αμετάβλητη όταν εφαρμόσουμε πάνω της κάποιους μαθηματικούς μετασχηματισμούς. Για παράδειγμα, αν την μεγεθύνουμε, το σχήμα της δεν θα αλλάξει αλλά θα είναι ένα ακριβές αντίγραφο του εαυτού της. Δηλαδή όπως κι αν τη χρησιμοποιήσουμε, σε μικρότερη ή μεγαλύτερη κλίμακα το σχήμα της είναι το ίδιο. Οι σπείρες διακρίνονται σε δεξιόστροφες και αριστερόστροφες, ανάλογα με τον προσανατολισμό της κίνησης από τον πόλο προς τα έξω. Δεξιόστροφη σπείρα Αριστερόστροφη σπείρα Αν περιστρέψουμε γύρω από τον πόλο της μία σπείρα, δημιουργείται η αίσθηση μίας κίνησης προς τα μέσα ή προς τα έξω, αναλόγως με την φορά της περιστροφής και με το αν περιστρέφουμε δεξιόστροφη η αριστερόστροφη σπείρα. Πολλές οπτικές απάτες έχουν εφαρμογή σ αυτή την ιδιότητα των σπειρών. Όπως αναφέραμε και στην αρχή οι σπείρες και ιδιαίτερα οι ισογώνιες σπείρες συναντώνται πολύ συχνά στη φύση και όχι μόνο: Στις διατάξεις ανθυλλιών ή σπορίων στα φυτά καθώς και σε πολλά περιγράμματα φύλλων όπως της μπιγκόνιας. 65

76 Στα όστρακα διαφόρων οργανισμών όπως είναι ο ναυτίλος, στα κέρατα ζώων όπως οι γαζέλες ή οι αίγαγροι, στους χαυλιόδοντες του ελέφαντα ή ακόμα και στα γαμψά νύχια πολλών ζώων. Στους ιστούς της αράχνης Epeira. Στους γαλαξίες με σπειροειδή μορφή. Σπειροειδής γαλαξίας Whirlpool 66

77 Στους κυκλώνες με σπειροειδή μορφή. Τέτοιοι κυκλώνες έχουν φωτογραφηθεί από δορυφόρους, τόσο στην γη, όσο και σε άλλους πλανήτες όπως τον Δία ή τον Κρόνο. Στις διακοσμήσεις πολλών κτιρίων όπως στις κολώνες στα αρχαία ελληνικά κιονόκρανα, ή τις ροζέτες, στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική. Το Μεγάλο Τζαμί, Σαμάρα στο Ιράκ. Ο μεγάλος μαθηματικός Euler πρότεινε την ισογώνια σπείρα ως τη βέλτιστη καμπύλη για τις ράγες των τρένων, τόσο για το σταμάτημα όσο και για το στρίψιμο των τραίνων. Για τον ίδιο λόγο η ισογώνια σπείρα είναι βέλτιστη και στις στροφές των αυτοκινητοδρόμων. 67

78 Οι ισογώνιες σπείρες είναι το αποτέλεσμα μιας απλής μαθηματικής διαδικασίας ανάπτυξης γι αυτό και εμφανίζονται τόσο συχνά στη φύση. Ένας απλός αλγόριθμος που περιγράφει τη διαδικασία δημιουργίας τους είναι ο εξής: Αυξήσου μία μονάδα, στρίψε μία μονάδα Αυξήσου δύο μονάδες, στρίψε μία μονάδα Αυξήσου τρεις μονάδες, στρίψε μία μονάδα κ.ο.κ. Κάθε διαδικασία που «στρίβει» με σταθερό ρυθμό και «αυξάνει» με σταθερά επιταχυνόμενο ρυθμό, θα δημιουργήσει μία ισογώνια σπείρα. Έτσι δημιουργούνται και οι σπείρες στα ανθύλλια των λουλουδιών. Με τη διαδικασία αυτή είναι εύκολο να δημιουργήσει κανείς μία δική του σπείρα ακολουθώντας σταθερά και επαναλαμβανόμενα βήματα όπως στην παρακάτω σπείρα που δημιουργείται χρησιμοποιώντας ημικύκλια. Σε ένα ευθύγραμμο τμήμα ορίζουμε το σημείο 1. Με κέντρο το 1 και ακτίνα 1Α σχεδιάζουμε το πρώτο ημικύκλιο και ορίζουμε το σημείο Β. Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ σχεδιάζουμε το δεύτερο ημικύκλιο που ορίζει το σημείο Γ. Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΓ σχεδιάζουμε το τρίτο ημικύκλιο που ορίζει το σημείο Δ. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία σχεδιάζουμε τα υπόλοιπα ημικύκλια που δημιουργούν τη σπείρα. Με τη βοήθεια μιας σπείρας και του Πυθαγόρειου Θεωρήματος καταφέραμε να υπολογίσουμε τις τετραγωνικές ρίζες θετικών ακέραιων αριθμών χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής. Τα βήματα που ακολουθήσαμε και τα οποία φαίνονται καθαρά στο πιο κάτω σχήμα που δημιουργήσαμε με τη βοήθεια του προγράμματος Geogebra είναι τα εξής: Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ορίσαμε την αρχή των αξόνων ως το κεντρικό μας σημείο Α. Φέραμε ευθύγραμμο τμήμα δοσμένου μήκους 1 από το κεντρικό μας σημείο κατά μήκος του θετικού ημι-άξονα των χ ορίζοντας το αρχικό μας ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Στη συνέχεια φέραμε κάθετο τμήμα δοσμένου μήκους 1 στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο σημείο 68

79 Β, ορίζοντας το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. Ενώνοντας τα σημεία Α και Γ δημιουργείται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα την ΑΓ. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα, Ζητώντας στη συνέχεια από το πρόγραμμα να μας δώσει το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ, παίρνουμε με αυτό τον τρόπο την τετραγωνική ρίζα του 2 που μας δίνεται ίση με Στον επόμενο βηματισμό επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία θεωρώντας ως αρχικό μας ευθύγραμμο τμήμα την υποτείνουσα ΑΓ η οποία θα αποτελεί πλέον την μία κάθετη πλευρά του επόμενου ορθογωνίου τριγώνου που θα σχηματίσουμε. Φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα δοσμένου μήκους 1, κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ στο σημείο Γ ορίζοντας έτσι το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ. Ενώνοντας τα σημεία Α και Δ δημιουργείται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ με υποτείνουσα την ΑΔ. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα, Ζητώντας στη συνέχεια από το πρόγραμμα να μας δώσει το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ, παίρνουμε με αυτό τον τρόπο την τετραγωνική ρίζα του 3 που μας δίνεται ίση με Στον επόμενο βηματισμό επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία θεωρώντας ως αρχικό μας ευθύγραμμο τμήμα την υποτείνουσα ΑΔ η οποία θα αποτελεί πλέον την μία κάθετη πλευρά του επόμενου ορθογωνίου τριγώνου που θα σχηματίσουμε. Φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα δοσμένου μήκους 1, κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ στο σημείο Δ ορίζοντας έτσι το ευθύγραμμο τμήμα ΔΖ. Ενώνοντας τα σημεία Α και Ζ δημιουργείται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΖ με υποτείνουσα την ΑΖ. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα, Z Ζητώντας στη συνέχεια από το πρόγραμμα να μας δώσει το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΖ, παίρνουμε με αυτό τον τρόπο την τετραγωνική ρίζα του 4 η οποία μας είναι ήδη γνωστή και μας δίνεται ίση με 2. Τα βήματα αυτά επαναλαμβάνονται όσες φορές θέλουμε υπολογίζοντας έτσι τις τετραγωνικές ρίζες φυσικών ακέραιων αριθμών. Η διαδικασία αυτή μπορεί να σχεδιαστεί και σε ένα απλό τετραγωνισμένο χαρτί, και απλά μετρώντας κάθε φορά με το χάρακα το μήκος της υποτείνουσας κάθε τριγώνου να υπολογίσει κάποιος κατά προσέγγιση τις τετραγωνικές ρίζες των φυσικών ακέραιων αριθμών. Παρατηρώντας το σχήμα που δημιουργήσαμε στο πρόγραμμα Geogebra βλέπουμε ότι όταν ενωθούν τα κέντρα των κύκλων που σχηματίσαμε 69

80 δημιουργείται μία σπείρα. Ακολουθούν κάποια από τα αποτελέσματα που μας έχει δώσει το πρόγραμμα για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας φυσικών ακέραιων αριθμών. 70

81 ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ ΜΟΡΦΟΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αλεξάνδρου Χαρά, Μιχαήλ Νατάσα Λύκειο Αγίου Ιωάννη ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θέμα το οποίο θα παρουσιάσουμε, είναι για τη Θεωρία του Χάους όπως επίσης και για τη Μορφοκλασματική Γεωμετρία. Η παρουσίασή μας θα περιλαμβάνει αρχικά την έννοια του χάους και αργότερα μια ιστορική αναδρομή για το θέμα, από που άρχισε, ποιοι θεσμοποίησαν τη θεωρία και παραδείγματα για τη στελέχωσή της. Επίσης, θα κάνουμε μια περιγραφή της θεωρίας δείχνοντας διάφορες εικόνες και σχεδιαγράμματα για να γίνει πιο κατανοητή η παρουσίαση μας. Ακόμη θα ασχοληθούμε με τους παράξενους ελκυστές και την μορφοκλασματική γεωμετρία. Θα δούμε στη συνέχεια που βρίσκουν σήμερα εφαρμογές τα fractals. ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΧΑΟΣ Στα μαθηματικά και τη φυσική, η Θεωρία του Χάους μελετά τη συμπεριφορά ορισμένων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων, τα οποία κάτω από ορισμένες συνθήκες παρουσιάζουν το φαινόμενο που είναι γνωστό ως χάος. Χάος είναι μια λέξη που επί αιώνες δεν έχει μεταβάλει διόλου τη σημασία της και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται από τους ανθρώπους για να δηλώσει κάτι το συγκεχυμένο, το ακατανόητο, το μη υποβαλλόμενο στο νόμο,δηλαδή την αταξία και την τυχαιότητα. Στην επιστήμη το χάος χρησιμοποιείται για να περιγράψει την συμπεριφορά συστημάτων με εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές τους συνθήκες.η ανεξέλεγκτη, απειροελάχιστη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες εκδηλώνεται ως χάος-αταξία, αδυναμία πρόβλεψης σε μια κατά τα άλλα αναμενόμενη τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ένα σύστημα είναι ένα σύνολο εξισώσεων που περιγράφουν μια κατάσταση. Στην φυσική, πρακτικά όλα τα φαινόμενα που περιγράφουμε είναι συστήματα εξισώσεων. Υπάρχει δηλαδή μια εξίσωση για την ενέργεια, μια για την ταχύτητα, μια για τη θέση και οι κοινές λύσεις των εξισώσεων αυτών μας περιγράφουν σε μια δεδομένη χρονική στιγμή την κατάσταση του φαινομένου. Γραμμικό είναι ένα σύστημα που αποτελείται μόνο από γραμμικές εξισώσεις. Οι λύσεις του συστήματος είναι οι τομές των ευθειών. Μη γραμμικό είναι το σύστημα που περιέχει τουλάχιστον μια μη γραμμική εξίσωση. Τα περισσότερα φυσικά 71

82 φαινόμενα περιγράφονται από μη γραμμικά συστήματα. Δυναμικό λέγεται το σύστημα το οποίο εξαρτάται από το αποτέλεσμα του για να περιγράψει τη μελλοντική κατάσταση του φαινομένου. ΙΣΤΟΡΙΚΑ Στα τέλη του 19ου αιώνα ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare έκανε μια ανακάλυψη που στόχευε στην αλλαγή των θεμελίων της Νευτώνειας μηχανικής και στην δημιουργία ενός νέου κλάδου της επιστήμης, της θεωρίας του Χάους. Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα και μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος. Είχε κατανοήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της αντίδρασης. Γι αυτό και διατύπωσε την άποψη: «Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα». Ο Αμερικανός μετεωρολόγος Edward Lorenz, ασχολήθηκε με ζητήματα καιρικών προγνώσεων. Στα μέσα του χειμώνα 1961,εργαζόταν στον υπολογιστή του και διαπίστωσε ότι η επανάληψη (iteration) γεννά το χάος. Για να λύσει μη γραμμικές εξισώσεις που περιέγραφαν το μοντέλο της γήινης ατμόσφαιρας, έδωσε δεδομένα με στρογγυλοποιημένους αριθμούς. Ενώ περίμενε την ίδια περίπου πρόγνωση όπως με τους δεκαδικούς αριθμούς, τα νέα αποτελέσματα ήταν τελείως διαφορετικά. Κατάλαβε πως η μεγέθυνση των διαφορών οφείλεται στο συνδυασμό της μη γραμμικότητας και της επανάληψης. Στην εικόνα πιο κάτω φαίνεται μια εκτύπωση που πήρε ο Lorenz το Από το ίδιο σημείο εκκίνησης ο Lorenz είδε τον καιρό που έδινε ο υπολογιστής να δημιουργεί σχήματα που εξελίσσονταν όλο και πιο διαφορετικά μέχρι που κάθε ομοιότητα εξαφανίστηκε. Η κόκκινη γραμμή είναι αυτή που είχε προβλέψει, ενώ η πράσινη αυτή που προέκυψε. Βλέπετε ότι βαθμιαία η μία διαχωρίζεται τελείως από την άλλη κι αυτό οφείλεται ακριβώς στην μη γραμμικότητα και την επαναληπτικότητα που μικρές διαφορές που θεωρούνται αμελητέες υπό άλλες συνθήκες γίνονται τελικά πολύ σημαντικές. Ο Ιλιά Πριγκοζίν, ένας από τους πιο σημαντικούς σύγχρονους επιστήμονες (χημικός μαθηματικός) οδηγήθηκε σε αντίστοιχα συμπεράσματα. Διαπίστωσε ότι οι ζωντανοί οργανισμοί βρίσκουν εν τέλει τάξη και νόμο, ζώντας μέσα σε ένα κόσμο που τρεκλίζει. Διατύπωσε ότι αυτή η τάξη προκύπτει από χημικά συστήματα ανισόρροπα και πολύπλοκα, δηλαδή χαοτικά.ισχυρίστηκε ακόμη ότι οι αλαζονικές κλασσικές επιστήμες καταρρίπτονται (το ωρολογιακό σύμπαν του Νεύτωνα, η έννοια της αντιστρεψιμότητας, η γραμμική συμπεριφορά 72

83 των συστημάτων) κι ότι ασήμαντες επιδράσεις, που οι επιστήμονες ως τώρα θεωρούσαν αμελητέες, μπορεί να εισχωρήσουν στο εσωτερικό των συστημάτων προκαλώντας, γιγαντιαίες αλλαγές, την ώρα που γιγαντιαίες δυνάμεις μπορεί ν αφήνουν τα συστήματα ανέπαφα. ΠΑΡΑΞΕΝΟΙ ΕΛΚΥΣΤΕΣ Ας πάρουμε για αρχή την κίνηση ενός ιδανικού εκκρεμούς. Μετά από μια ώθηση, παλινδρομεί μέχρι να ηρεμήσει και πάλι στο κέντρο. Η κεντρική αυτή θέση είναι το σημείο έλξης του συστήματος. Σε όποια θέση και αν αφήσουμε το εκκρεμές, θα έλκεται από αυτό το σημείο που ονομάζεται ελκυστής. Στην κλασσική λοιπόν μηχανική, η συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος μπορεί να περιγραφεί γεωμετρικά ως κίνηση προς έναν ελκυστή. Οι ελκυστές μπορεί να είναι σημεία, καμπύλες, στερεά που ακριβώς έλκουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Σε ένα ταλαντούμενο σώμα ο ελκυστής είναι το κατώτατο σημείο που σταματάει. Αυτό είναι σχεδόν αδύνατο να το αντιληφθούμε, δεδομένου ότι αναφερόμαστε σε πολυδιάστατους χώρους για να προσδιορίσουμε τους ελκυστές. Οι ελκυστές των χαοτικών συστημάτων ονομάζονται παράξενοι ελκυστές και είναι οι χώροι από τους οποίους τείνει να λαμβάνει τιμές μια χαοτική συμπεριφορά. Αντίθετα με το απλό παράδειγμα του ιδανικού εκκρεμούς, τα χαοτικά συστήματα έλκονται προς παράξενα και πολύπλοκα σχήματα. Για παράδειγμα το σχήμα μιας δίνης στο νερό είναι η εξέλιξη ενός παράξενου ελκυστή στον χρόνο.οι παρακάτω είναι οι εξισώσεις του Lorentz, dx 3( yx) dt dy xz 26,5x y dt dz xy z dt οι οποίες με ελάχιστα μικρή απόκλιση στις αρχικές τιμές δημιουργούν χαοτική συμπεριφορά. Όμως αυτή η συμπεριφορά έχει έναν εσωτερικό κανόνα που φαίνεται στο γράφημα του παράξενου ελκυστή του Lorentz: 73

84 Αυτή η εικόνα έγινε το σύμβολο του Χάους στα πρώτα χρόνια. Είναι η γραφική παράσταση ενός συστήματος τριών εξισώσεων με τρεις μεταβλητές όπως είναι οι πιο πάνω εξισώσεις του Lorentz. Κάθε στιγμή, οι τρεις μεταβλητές προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου στον τρισδιάστατο χώρο. Καθώς το σύστημα μεταβάλλεται, η κίνηση του σημείου θα παριστάνει τις συνεχώς μεταβαλλόμενες μεταβλητές. Επειδή το σύστημα δεν παίρνει ποτέ τις ίδιες τιμές δύο φορές, η τροχιά δεν τέμνει τον εαυτό της ποτέ, αλλά δημιουργεί βρόχους επ αόριστον. Η απεικόνιση αυτή εμφανίζει ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας. Η μορφή αυτή μοιάζει σαν δύο φτερά μιας πεταλούδας ή σαν ένα είδος διπλής έλικας.το σχήμα φανερώνει μια καθαρή αταξία, αφού δεν εμφανίζονται ποτέ δύο ίδιες λύσεις αλλά και ένα νέο είδος τάξης αφού προκύπτεί ένα συγκεκριμένο σχήμα με μια συγκεκριμένη νομοτέλεια.γύρω στο 1960 ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Stephen Smale μια νέα τάξη παράξενων ελκυστών για τους οποίους διαπιστώθηκε ότι έχουν λεπτομερή δομή σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Παρουσιάζουν δηλαδή αυτοομοιότητα. Σε αυτούς τους ελκυστές δόθηκε η ονομασία fractal. Φράκταλ: Η γεωμετρία της θεωρίας του χάους Σχεδόν ο καθένας μας έχει θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ημερολόγια, περιοδικά, ψυχεδελικά σχέδια κλπ. Η χρήση τους επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και είκοσι χρόνια οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές αφού είναι σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά ενώ οι εικόνες είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης. Ο όρος fractal πλάσθηκε από μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος που οι διαστάσεις που χρειάζεται για να αναπαρασταθεί δεν είναι ακέραιος αριθμός και αναπαριστά συναρτήσεις από τα μαθηματικά του χάους. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη. 74

85 Οι υπολογιστές έδωσαν την δυνατότητα να αναπαρασταθούν γραφικά συναρτήσεις και παράξενοι ελκυστές που συναντά κανείς στα μαθηματικά της επιστήμης του χάους. Η πολυπλοκότητα των γραφικών αυτών αναπαραστάσεων απαιτεί σημαντική υπολογιστική ισχύ, παρόλο που τα προγράμματα είναι σχετικά απλά αφού βασίζονται στην επαναληπτικότητα των αλγορίθμων. Συνήθως όταν ακούμε σχέδια ή σχήματα που προέρχονται από μαθηματικές συναρτήσεις έρχονται στο μυαλό μας κάποια ευκλείδεια γεωμετρικά σχήματα. Τα fractals διαφέρουν από αυτά τα σχήματα, όπως τον κύκλο, την έλλειψη, το τετράγωνο κλπ. Η λέξη εικόνα σε αντίθεση με την λέξη σχήμα με αυτή την έννοια είναι μάλλον πιο κατάλληλη για να προσδιορίσει τις γραφικές αυτές αναπαραστάσεις. Αυτοομοιότητα Ένα χαρακτηριστικό των fractalsείναι η αυτοομοιότητα ( όμοια προς εαυτόν).. Έτσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγεθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ. Αυτή τους η ιδιότητα ονομάζεται αυτοομοιότητα. Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη των ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και είναι δυνατόν να συνεχιστεί απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει με το αρχικό σχήμα.οι fractal εικόνες συνεπώς είναι ανεξάρτητες από κλίμακα μεγέθους. Αντίθετα με τα ευκλείδεια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης. Χαρακτηριστικό απλό παράδειγμα είναι η νιφάδα του Koch. Ξεκινώντας από ένα ισόπλευρο τρίγωνο και αντικαθιστώντας κατόπιν διαδοχικά τις πλευρές του με πλευρές που περιέχουν μια ισόπλευρη ακμή όπως στο σχήμα, δημιουργούμε διαδοχικά τα αστέρια αυτά που μοιάζουν με χιονονιφάδα. 75

86 Κάθε καινούρια «νιφάδα» που δημιουργείται έχει όλο και μεγαλύτερη περίμετρο αλλά περικλείει πεπερασμένο εμβαδόν που είναι πάντα μικρότερο από του περιγεγραμμένου κύκλου. Τελικά μετά από άπειρα βήματα θα είναι η περίμετρος του σχήματος άπειρη, και το εμβαδόν που περικλέιεται ακόμη πεπερασμένο! Χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση-fractal. Παραμένει σταθερό ανεξάρτητα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποια γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με έναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα κλάσμα, αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία. Το φτερούγισμα μιας πεταλούδας στην Αθήνα μπορεί λοιπόν να προκαλέσει καταιγίδα στο Τόκιο, αλλά το θέμα δεν είναι αυτό. Είναι ότι με τις νέες θεωρίες, ο άνθρωπος φτάνει στο σημείο να συνειδητοποιήσει ότι η έννοια του ελέγχου με την επιβολή ισχύος είναι ψευδαίσθηση. Κοντά στη θεωρία του χάους στέκει η θεωρία των καταστροφών του Rene Thom. Αυτή ψάχνει μια μαθηματική νομοτέλεια που κρύβεται πολλές φορές πίσω από κάθε βιολογική αλλαγή. Σκοπός, να εξηγήσει τις ξαφνικές αστάθειες σε σχετικά σταθερά συστήματα. Το γιατί π.χ. συμβαίνουν σεισμοί, ή γιατί αλλάζει το σχήμα ενός σύννεφου Η λέξη καταστροφή, δεν είναι κυριολεκτική. Μιλάει για εκείνη την 76

87 απειροελάχιστη στιγμή όπου όλα παίζονται κι η αλλαγή συντελείται. Οι συνεχιστές της θεωρίας αυτής την γενίκευσαν σε ό,τι κινείται και παρουσιάζει ταυτόχρονα απότομες αλλαγές. Π.χ. στην γέννηση των βιολογικών μορφών (κύτταρα), στις κοινωνικές αλλαγές- επαναστάσεις, σε στασιασμούς κρατουμένων, στην πτώση καθεστώτων, ακόμη και ψυχολογικές συμπεριφορές που εμφανίζουν απότομες ψυχολογικές κρίσεις και μεταπτώσεις. Στην θεωρία αυτή όλα γίνονται αντικείμενο μελέτης με μαθηματικά εργαλεία. Ιδρυτής της θεωρίας του χάους θεωρείται ο Γάλλος μαθηματικός της ΙΒΜ Μπενουά Μαντελμπρό. Αυτός εφεύρε πριν 25 χρόνια την μορφοκλασματική γεωμετρία (Fractal geometry), η οποία δίπλα στις καθαρές και συγκεκριμένες γραμμές της ευκλείδειας γεωμετρίας, εισάγει την έννοια της κλασματικής διάστασης που μας επιτρέπει να μετρήσουμε την αταξία, και το ακανόνιστο ενός αντικειμένου.η πιο γνωστή εφαρμογή της μορφοκλασματικής γεωμετρίας έγινε από τον ίδιο. Ονομάζεται Mandelbrot Set και είναι μια μορφοκλασματική εικόνα που δημιουργείται σε υπολογιστή. Όσο κι αν μεγεθυνθεί, τόσο πιο σύνθετα και ψυχεδελικά σύμπαντα θα αποκαλύπτεί, το ίδιο άτακτα όπως η αρχική εικόνα, το ίδιο ανεξάντλητα εξίσου όμορφα. Γιατί και η καρδιά είναι ένα χαοτικό σύστημα. Χτυπάει ανεξέλεγκτα, τυφλά κι όμως υπακούει κι αυτή σε ένα μαθηματικό νόμο.ποιον; Το νόμο του χάους. Τη γνώση της ελεγχόμενης αταξίας, τη γνώση ότι το μάταιο σκόρπισμα, το διαρκές ξέφτισμα της ζωής δεν είναι εν τέλει τόσο μάταιο, ούτε και τόσο εντροπικό. Όλα λοιπόν υπακούνε σε μια τάξη ίσως μια κρυφή τάξη για τα μάτια του αμύητου. Εφαρμογές fractals Η γεωμετρία fractal με τις έννοιες της αυτοομοιότητας και της μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί με αυξανόμενη συχνότητα στην στατιστική μηχανική, σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθούν προβλήματα που 77

88 σχετίζονται με την διαταραχή ενός ρευστού. Η γεωμετρία fractal επίσης συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου με αλγορίθμους fractal έχουν σχεδιαστεί σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλάδων δέντρων. 78

89 ΙΕΡΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αλεξάνδρου Ζαχαρίας, Πατέρας Ανδρόνικος Συντονιστής - μαθηματικός Χριστοδουλίδης Λούκάς Λυκείου Αγίου Ιωάννη Λεμεσού. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η γεωμετρία, λέει ο Σωκράτης στην Πολιτεία του Πλάτωνα, αναγκάζει την ψυχή να αντικρίσει την ουσία των όντων. Έλκει την ψυχή προς την αλήθεια και αναπτύσσει το φιλοσοφικό εκείνο πνεύμα που εξυψώνει τα βλέμματά μας προς τα ανώτερα πράγματα. Η ιερή γεωμετρία με τους 5 βασικούς γεωμετρικούς λόγους φ, π, 2, 3, 5 βρίσκετε παντού στην φύση, στο σώμα μας στα οικοδομήματα από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, το κάθε πράγμα γύρο μας, η κάθε οντότητα κρύβει μέσα της τους αρχαίους αυτούς μυστικούς αριθμούς. Το π βρίσκεται σε κάθε κύκλο είναι άρρητος αριθμός και χρησιμοποιείτε ως 3.14 αν και μέχρι σήμερα συνεχίζουν να καταγράφονται ψηφιά του. Η ρίζα 2 είναι πιθανόν ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός και είναι γνωστός επίσης ως ο Πυθαγόρα σταθερός και προσεγγίζεται σε 65 δεκαδικές θέσεις. Βρίσκει εφαρμογή στο τετράγωνο. Η ρίζα του 3 είναι άρρητος αριθμός γνωστός ως Θεόδωρος Κυρινέος γιατί από αυτόν έχει καταγραφεί πρώτα σύμφωνα με ιστορικές πηγές. Αυτός ο αριθμός βρίσκει εφαρμογή στην κύστη ιχθύος. Η ρίζα του 5 είναι παράλογος αλγεβρικός αριθμός και εμφανίζετε στον τύπο για την χρυσή αναλογία και εφαρμόζετε στο διπλό τετράγωνο. Τέλος το φ ή όπως είναι πιο γνωστός ο χρυσός αριθμός και ανήκει στην ακολουθία Fibonacci που είναι η αρχή για την κατασκευή ολόκληρου του σύμπαντος γύρο μας από το πιο βότσαλο μέχρι τον πιο σύνθετο οργανισμό. Στην αρχαιότητα, ο Πυθαγόρας -κατ' άλλους ο Πλάτωνας- είχε βάλει την επιγραφή "Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω" στην είσοδο της σχολής του. Αυτή η κίνηση του δείχνει την σημαντικότητα της γεωμετρίας κατά τον ίδιο στη ζωή του ανθρώπου. Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε την πνευματική υπόσταση του κάθε αριθμού αλλά και την περεταίρω υπόσταση τους στην υλη. 79

90 Ιερή Γεωμετρία Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δεv μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων. Ιερή Γεωμετρία περιλαμβάνει τις σταθερές: Φ = 1,61803 π = = = = Ο χρυσός αριθμός (φ): O αριθμός Φ έχει πάρει το όνομα του από τον ΦΕΙΔΙΑ, ο οποίος ήταν ο πρώτος που τον χρησιμοποίησε Πατέρας του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - Φ - είναι ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. To "Φ" αντιστοιχεί στο μαθηματικό σύμβολο του λεγόμενου "χρυσού αριθμού" ή "χρυσής τομής",όπως έχει περάσει στην καθημερινή μας γλώσσα. Πρόκειται για έναν άρρητο (όπως και το "π") αριθμό, έναν αριθμό δηλαδή του οποίου τα δεκαδικά ψηφία δε σταματούν πουθενά. Με ακρίβεια 150 δεκαδικών ψηφιών, ο αριθμός αυτός αντιστοιχεί στο νούμερο: 1, Χρυσό σπιράλ, κοχύλια και ηλιοτρόπια Εάν αντί να χρησιμοποιήσουμε το ψαλίδι σχεδιάσουμε πάνω στο αρχικό ορθογώνιο τις τομές και σε κάθε τετράγωνο που δημιουργείται σχεδιάσουμε τα αντίστοιχα τεταρτοκύκλια θα έχουμε αρχίσει να φτιάχνουμε το χρυσό ελικοειδές, το σπιράλ που σχεδιάζει η φύση και το διακρίνουμε στα κουκουνάρια, στα κοχύλια, στα ηλιοτρόπια και στους τρόπους με τους οποίους διευθετούνται τα πέταλα, τα 80

91 φύλλα και τα κλαδιά ποικίλων προσωρινών κατοίκων της γήινης βιόσφαιρας. Tο φ και η Γεωμετρία Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος λόγος είναι ίσος με τον αριθμό z z = α/β = β/γ ή α/β = β/(α-β) ή α(α-β) = β 2 ή α 2 αβ β 2 = 0 ή ή α 2 αβ β 2 = 0 (α/β) 2 -(α/β) 1 = 0 z 2 z-1 = 0 z = (1+5) /2 Με κανόνα και διαβήτη Η χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ μήκους λ μπορεί να γίνει με κανόνα και διαβήτη. Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ΑΒ=λ και BC = λ/2, οπότε η υποτείνουσα AC θα είναι 5λ/2. Με το διαβήτη χαράσσουμε έναν κύκλο κέντρου C και ακτίνας λ/2, οπότε προσδιορίζεται το σημείο D, σημείο τομής του κύκλου και της AC. Με κέντρο το Α χαράσσουμε έναν κύκλο ακτίνας AD, ο οποίος τέμνει την ΑΒ στο σημείο S. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ΑΒ/ΑS = 5+1 ότι το S δηλαδή τέμνει την ΑΒ με χρυσή τομή. Χρυσή Τομή Την φράση "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" σίγουρα την έχετε ακούσει. Χρησιμοποιείται ευρύτερα και σημαίνει να "βρούμε την σωστή λύση", την κατάλληλη λύση δηλαδή που πρέπει ή που ταιριάζει σε κάποιο πολιτικό ή κοινωνικό ή οικονομικό θέμα κ.λ.π. Η "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" όμως έχει "ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ", είναι γνωστή ως το "γεωμετρικό πρόβλημα" της "Χρυσής Τομής" Το 1871 για την ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ χρησιμοποιήθηκε και ο όρος "ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ" Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonachi ΚΑΙ Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ. 81

92 Να δούμε τώρα την καταπληκτική "θεική" σχέση της σειράς Fibonachi με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ=1, Κάντε το εξής απλό : διαιρέστε κάθε όρο της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο όρο (αντιστρέψτε το κλάσμα ) και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το Φ. Ν όρος / Ν+1 όρος Αντιστρέφ ουμε το κλάσμα Αποτέ λεσμα Διαφορά από Φ=1,618 0 Ν όρος / Ν+1 όρος Αντιστρέφ ουμε το κλάσμα Αποτέ λεσμα Διαφορά από Φ=1,618 ½ 2/1 1 0,618 8/13 13/8 1,625 0,007 2/3 3/2 1,5 0,118 13/21 21/13 3/5 5/3 1,666 0, /34 34/21 5/8 8/5 1,6 0,018 34/55 55/34 1, , , ,0026 0,0010 0,0003 Οσο πιο πολύ προχωρούμε στους μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας Fibonachi και κάνουμε την διαίρεση, τόσο πιο πολύ προσεγγίζουμε με καταπληκτική ακρίβεια τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ 1, ΚΑΝΟΝΑΣ ΔΕΚΑΓΩΝΟΥ Σχεδίασε το δεκάγωνο και είδε ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο που δημιουργείται με μία πλευρά (L) του δεκαγώνου και δύο ακτίνες (R) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 36 0., οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι Φέρνοντας τη διχοτόμο της ΟΑΒ είδε η γωνία ΟΑΔ θα είναι 36 0 και η ΟΔΒ = 72 0 άρα τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΔΑΒ θα είναι όμοια και ισχύει ΟΑ/ΑΒ = ΑΔ/ΔΒ. Αλλά ΟΑ =R ΟΔ=ΑΔ=ΑΒ=L και ΔΒ= R-L, οπότε R/ L = L/ R-L R 2 - RL- L 2 = 0 R = L (1+5) /2 Η ακτίνα του κύκλου είναι (1+5) /2 φορές μεγαλύτερη από την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου. Το Φ ειναι αριθμός τέτοιος ώστε: 82

93 Εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατά μία μονάδα. Εάν τον ελαττώσεις κατά μία μονάδα θα αντιστραφεί. Χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο. TO Φ ΣΤH ΖΩΗ: Στην Φύση: Στα φυτά: Στα τριαντάφυλλα τα πέταλα απέχουν περίπου μοίρες. Διαιρώντας τις 360 μοίρες με τις μοίρες προκύπτει ο αριθμός Φ. Αν μετρήσεις τις μέλισσες σε μια κυψέλη οπουδήποτε στον κόσμο θα παρατηρήσεις οτι η αναλογία των θηλυκών προς των αρσενικών μελισσών καταλήγει πάντα σε έναν αριθμό. Στο DNA: Για κάθε πλήρη κύκλο της διπλής έλικας του DNA, το μήκος της έλικας (34 argstroms) προς το πλάτος (21 argstroms) μας δίνει τον αριθμό Φ. Αν μετρήσεις την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός Αν μετρήσεις την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσεις με την απόσταση απο τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός. Στην αρχιτεκτονική: Με σκοπό το κάλλος και την ισορροπία των σχεδίων οι Έλληνες στηριχθηκαν στη θεία αναλαγία για την κατασκευή του Παρθενώνα. ΣΤΑΘΕΡΑ (π) 83

94 Η πιο διάσημη μαθηματική σταθερά,εξαιτίας των ιδιοτήτων της, είναι η σταθερά π (όπως περιγράφεται στα ελληνικά απο τη λέξη: περιφέρεια) ή Pi στα Λατινικά Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. «Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί...» Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση, την οποία επινόησε ο Ν. Χατζηδάκης ( ), καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Με αυτήν μπορεί κανείς να θυμάται τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π: Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, 3, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, και ον, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι Ο Κύκλος (3.1415) Το π βρίσκεται σε κάθε κύκλο. Σε έναν κύκλο με ακτίνα (ΓΔ) είναι 1, η διάμετρος (AB) είναι 2, η περιφέρεια είναι π*2ακτίνα και το εμβαδόν π*ακτίνα στο τετράγωνο. Στην Ιερή Γεωμετρία, ο κύκλος συμβολίζει τις ψυχικές σφαίρες. Ένας κύκλος, εξ αιτίας του π δεν μπορεί να περιγραφτεί με τον ίδιο βαθμό ακριβείας, όπως ένα φυσικό τετράγωνο. Είναι ένα σχήμα που πράττει όλα τα είδη των ψυχικών δραστηριοτήτων. Η σταθερά π είναι η σημαντικότερη σταθερά στα μαθηματικά, μια σταθερά που έχει παρατηρηθεί πολλές φορές στο κόσμο γύρω μας ακόμα και στο σύμπαν και γι αυτο το λόγο μερικοί την αποκαλουν σταθερά του σύμπαντος!!για παράδειγμα η ημερομηνία 28 Οκτωμβρίου 1940 γραμμένη ως παρουσιάζεται στο ψηφίο της σταθερας π! 2 Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι Το Τετράγωνο Η πλευρά του τετραγώνου είναι η (AB) = 1, η διαγώνιος του τετραγώνου είναι (AΓ) = Τετραγωνική ρίζα του 2 (1.414) Στην Ιερή Γεωμετρία, το τετράγωνο συμβολίζει τον φυσικό κόσμο. Το τετράγωνο καθορίζει την ολότητα. Αν η πλευρά του είναι 1, τότε η περίμετρός είναι 4 και η επιφάνειά του 1. 3 Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι 1,732 : 1 - Κύστη Ιχθύος 84

95 Η Κύστη Ιχθύος: Δύο κύκλοι έχουν κοινή ακτίνα (AB). Η ακτίνα AB είναι 1. Οι τεμνόμενοι κύκλοι δημιουργούν μια Κύστη Ιχθύος. Ο μικρός άξονας της Κύστης είναι (AB) ίσος με 1 και ο μεγάλος άξονας είναι ο (ΓΔ) ίσος με τετραγωνική ρίζα του 3 (1,732) Πώς αποδεικνύεται: στο δεξιό τρίγωνο (EBΓ), EB = 1/2 AB ή 0,5. Η ΓΒ είναι επίσης ακτίνα του κύκλου, με κέντρο Β. Έτσι, ΓB = AB = 1. Η ΓΔ είναι κάθετη στην ΑΒ. Ως εκ τούτου, η γωνία ΓΕΒ είναι 90 o. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα α 2 +β 2 =γ 2 => EB 2 + ΓE 2 = ΓB 2 => (ΑΒ/2) 2 +ΓΕ 2 =1 => 0,25+ΓΕ 2 =1 => ΓΕ 2 = => ΓΕ 2 = 0,75 => ΓΕ = Και ΓΕ= 0, αλλά η ΓΕ είναι το μισό της ΓΔ και έτσι ΓΔ =2 * 0, ή ΓΕ = 1, Η τιμή της ρίζας του 3 είναι: 3 = Και ΑΒ=ΓΔ= 3 Σε πολλούς Γοτθικούς Ναούς οι θόλοι και άλλα είναι κτισμένοι με αυτή την μορφή. 5 Η Τετραγωνική ρίζα του 5 είναι 2,236, το Διπλό Τετράγωνο. Το Διπλό Τετράγωνο βρίσκεται σε μερικά από τα πιο γνωστά ιερά μέρη σε όλο τον κόσμο. Η τετραγωνική ρίζα του 5 αναλύεται ως εξής: 0, ,618 Το Διπλό Τετράγωνο. Μικρή πλευρά (ΑΒ=ΓΔ) = 1, Μεγάλη πλευρά (ΑΔ=ΒΓ) = 2, Διαγώνιος (ΑΓ=ΒΔ) = Τετραγωνική ρίζα του 5, 2,

96 86

97 ΟΙ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ Καβάζη Κυριακή, Πέτσας Γιώργος, Προκοπίου Άννα, Ραουνά Κλαίρη, Χαραλαμπίδου Ειρήνη Συντονίστρια Εκπαιδευτικός: Νατάσα Αβερκίου Θεοδότου, Μαθηματικός Λύκειο Αποστόλων Πέτρου και Παύλου Λεμεσού ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο διάστημα υπάρχουν αστέρες που έχουν πολύ μεγαλύτερη μάζα από τον ήλιο. Οταν ένας αστέρας ξεπεράσει τις 20 ηλιακές μάζες περίπου, αφού περάσει από το στάδιο του υπεργίγαντα και έπειτα από μία βίαιη έκρηξη του υπερκαινοφανούς (supermovae), καταλήγει σε μαύρη τρύπα ή αλλιώς σε «μελανή οπή». Οι μελανές οπές είναι αντικείμενα των οποίων η πυκνότητα θεωρητικά τείνει στο άπειρο και οι γνωστές υλικές δομές καταστρέφονται. Οι Μαύρες Τρύπες είναι τα πιο πυκνά ουράνια σώματα ώστε είναι ασύμβατα με οποιαδήποτε γνωστή σ' εμάς μορφή ύλης. Ο λόγος για τον οποίο οι μαύρες τρύπες δεν είναι άμεσα ορατές είναι ότι το βαρυτικό πεδίο κοντά σε αυτές είναι τόσο ισχυρό ώστε δεν μπορεί να διαφύγει ούτε το φως. Υπάρχουν μαύρες τρύπες που είναι ακίνητες και άλλες που περιστρέφονται και δαπανούν ηλιακή ενέργεια. Ίσως το πιο εκπληκτικό απ' όλα είναι το γεγονός ότι η Χρυσή Αναλογία κάνει την εμφάνιση της στη Φυσική των Μαύρων Τρυπών, μία ανακάλυψη του Paul Davies από το Πανεπιστήμιο της Αδελαίδας το ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ Η ΜΑΥΡΗ ΤΡΥΠΑ; Στο διάστημα υπάρχουν αστέρες που έχουν πολύ μεγαλύτερη μάζα από τον ήλιο. Όταν ένας αστέρας ξεπεράσει τις 20 ηλιακές μάζες περίπου, αφού περάσει από το στάδιο του υπεργίγαντα, κατά το οποίο εκπέμπει πολύ μεγάλη ενέργεια, διαστέλλεται, παίρνει τεράστιες διαστάσεις, και έπειτα από μία βίαιη έκρηξη, καταλήγει σε μαύρη τρύπα (ή αλλιώς σε «μελανή οπή»). Η μαύρη τρύπα είναι δηλαδή ένα υποθετικό ουράνιο σώμα, με άπειρη πυκνότητα στο εσωτερικό της, που δημιουργεί ένα ισχυρό πεδίο βαρύτητας από το οποίο δεν είναι δυνατό να διαφύγει οτιδήποτε, ούτε καν το φως, γι αυτό δεν είναι ορατές. 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΑΥΡΗΣ ΤΡΥΠΑΣ Υπάρχουν μαύρες τρύπες που είναι «ακίνητες» και άλλες που περιστρέφονται και δαπανούν ηλεκτρική ενέργεια. Mπορούν, επίσης, να κινηθούν και πλαγίως στον γαλαξία που τους φιλοξενεί. 87

98 3. ΜΑΖΑ ΚΑΙ ΒΑΡΟΣ Οι μαύρες τρύπες ποικίλουν σε μέγεθος. Οι πιο συνηθισμένες έχουν μάζα 10 Ήλιων. Υπάρχουν επίσης τεράστιες μαύρες τρύπες κρυμμένες στα κέντρα φαινομενικά ήσυχων γαλαξιών. Οι επιστήμονες πιστεύουν επίσης πως υπάρχουν αμέτρητες μαύρες τρύπες που έχουν το μέγεθος ενός ατόμου. Δημιουργήθηκαν κατά τη γέννηση του Σύμπαντος και συνεχώς μικραίνουν. Το βάρος μιας μαύρης τρύπας μπορούμε να το διανοηθούμε συγκριτικά με γνωστά μας μεγέθη. Έτσι, για να αναλογιστούμε το βάρος μιας μαύρης τρύπας πρέπει να σκεφτούμε πως ένα κομμάτι λευκού νάνου σε μέγεθος σπιρτόκουτου έχει το βάρος ενός ελέφαντα! 4. ΠΩΣ ΜΕΓΑΛΩΝΕΙ ΜΙΑ ΜΑΥΡΗ ΤΡΥΠΑ; Οι μαύρες τρύπες αυξάνουν τη μάζα τους παίρνοντας υλικό από την αστρική γειτονιά τους. Οτιδήποτε μπαίνει από τον ορίζοντα γεγονότων δεν μπορεί να δραπετεύσει από τη βαρύτητα της μαύρης τρύπας. Έτσι, αντικείμενα που δεν έχουν μια ασφαλή απόσταση καταπίνονται. Η τροφή των μαύρων οπών αποτελείται συνήθως από μεσοαστρικό αέριο και σκόνη, οι οποίες γεμίζουν το κενό διάστημα σε όλο το σύμπαν. Οι μαύρες τρύπες μπορούν επίσης να καταναλώσουν το υλικό που αποχωρίζεται από τα κοντινά τους αστέρια. Στην πραγματικότητα, οι πιο μεγάλες μαύρες τρύπες μπορούν να καταπιούν ένα σύνολο άστρων. Οι μαύρες τρύπες μπορούν επίσης να μεγαλώσουν αν συγκρουστούν και συγχωνευτούν με άλλες μαύρες τρύπες. 5. ΜΕΛΕΤΗ ΜΙΑΣ ΜΑΥΡΗΣ ΤΡΥΠΑΣ Οι επιστήμονες που ασχολούνται με τις μαύρες τρύπες προσπαθούν, λοιπόν, να φέρουν στο φως το μυστικό που κρύβει ο πυρήνας τους. Mήπως υπάρχει τελικά κάποιο ορατό ίχνος μιας μαύρης τρύπας; Ενώ η μαύρη τρύπα καθαυτό είναι μαύρη, δηλαδή αόρατη, εντούτοις σκιάζει το υπόβαθρο των αστέρων που βρίσκονται από πίσω της. Μαύρες τρύπες δεν έχουν παρατηρηθεί μέχρι στιγμής απευθείας αλλά έμμεσα, λόγω των επιδράσεων που έχουν με τα γειτονικά τους άστρα. Οι αστροφυσικοί πιστεύουν ότι μια μεγάλη μαύρη τρύπα υπάρχει στο κέντρο κάθε μεγάλου γαλαξία. Επίσης, τη δεκαετία του 1970 ο διάσημος αστροφυσικός Στίβεν Χόκινγκ υποστήριξε ότι οι μαύρες τρύπες εκπέμπουν ενέργεια συνεχώς προς τα έξω σε μια διαδικασία παρόμοια με αυτή όλων των φυσικών σωμάτων που στο τέλος αφού «κάψουν» τα καύσιμά τους εξαφανίζονται. Έτσι, σύμφωνα με τον Χόκινγκ, μόλις εκπέμψει όλη της την ενέργεια η μαύρη τρύπα θα εξαφανιστεί μετά από μια τελευταία εκπομπή ακτινοβολίας. Οι επιστήμονες υποπτεύονται ότι αυτός ο «επιθανάτιος ρόγχος» μιας μαύρης τρύπας θα είναι ιδιαίτερα λαμπρός όσο και διαφωτιστικός και ευελπιστούν ότι αυτή η «τελευταία» ακτινοβολία θα κρύβει αρκετές πληροφορίες τόσο για τη διαδικασία του θανάτου της τρύπας όσο, κυριότερα, για το τι συμβαίνει στον πυρήνα της. 88

99 6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΙΑΣ ΜΑΥΡΗΣ ΤΡΥΠΑΣ Υπάρχουν όμως τρία μεγάλα προβλήματα στην παρατήρηση του τέλους μιας μαύρης τρύπας. Το ένα είναι ότι η κοντινότερη γνωστή σε εμάς μαύρη τρύπα βρίσκεται πολλά έτη φωτός μακριά από τη Γη, κάνοντας έτσι πολύ δύσκολη, σχεδόν αδύνατη, την ακριβή μέτρηση της ακτινοβολίας. Το δεύτερο πρόβλημα είναι ότι η διαδικασία του θανάτου της διαρκεί χρονικό διάστημα ανάλογο με το μέγεθός της. Το τρίτο πρόβλημα, είναι η δυσκολία στην προσπάθεια να γίνει παρατήρηση και μελέτη σε κάτι που δεν φαίνεται, αφού κανένα είδος σήματος δεν βγαίνει έξω από το όριο της μαύρης τρύπας, το οποίο είναι γνωστό και ως «ορίζοντας γεγονότων». Τα προβλήματα αυτά οδήγησαν τους επιστήμονες στο συμπέρασμα ότι αν θέλουν να παρατηρήσουν μια μαύρη τρύπα, θα πρέπει να φτιάξουν μια. Με πιο απλά λόγια, να δημιουργήσουν «εργαστηριακές» μαύρες τρύπες. 7. ΠΟΙΕΣ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ ΕΧΟΥΝ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΕΙ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ Μετά το 1971 η αστρονομία των ακτίνιων Χ σημείωσε μεγάλη πρόοδο και οδήγησε στον εντοπισμό και άλλων μαύρων τρυπών, από τις οποίες οι κυριότερες είναι: Η αστρονομική πηγή αχτίνων Χ Α στον αστερισμό του Μονόκερου, που ανακαλύφθηκε το Η αστρονομική πηγή των αχτίνων Χ LMC X-3 στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου. Η πηγή V 404 στον αστερισμό του Κύκνου που το 1989 εξέπεμψε εντονότατη ακτινοβολία Χ, η οποία καταγράφηκε από τον ιαπωνικό δορυφόρο Ginya. 8. ΟΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ ΣΤΟ ΣΥΜΠΑΝ Ομάδα ερευνητών με επικεφαλείς επιστήμονες του Πανεπιστημίου Μπέρκλεϊ στην Καλιφόρνια εντόπισε δύο μαύρες τρύπες με μάζα δέκα δισεκατομμύρια φορές μεγαλύτερη από αυτή του Ήλιου, χρησιμοποιώντας επίγεια αλλά και διαστημικά τηλεσκόπια. Η μια βρίσκεται στο κέντρο του γαλαξία NGC 3842 και η άλλη στο κέντρο του γειτονικού του NGC Οι δύο γαλαξίες βρίσκονται περίπου 310 εκατομμύρια έτη φωτός μακριά από το δικό μας. Η ανακάλυψη είναι εκτός από εντυπωσιακή και εξαιρετικά χρήσιμη για την επιστημονική κοινότητα, γιατί το μέγεθος των δύο τρυπών ξεπερνάει κατά πολύ τις προβλέψεις και θεωρίες που έχουν αναπτυχθεί για τη δημιουργία και κυρίως την εξέλιξη αυτών των μυστηριωδών κοσμικών αντικειμένων. Η νέα ανακάλυψη προσφέρει νέα στοιχεία που θα φωτίσουν το φαινόμενο των μαύρων τρυπών. 9. ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ 89

100 Με τη μελέτη των μαύρων τρυπών και με τον κατάλληλο εξοπλισμό, ίσως σε λίγα χρόνια καταφέρουμε να κάνουμε ένα ταξίδι στο χρόνο, να μεταφερθούμε σε άλλες διαστάσεις. Το ταξίδι μέσω μιας μαύρης τρύπας θα ήταν πιθανό να συμβεί κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις. Σημαντικό είναι να υπάρχει κάπου μία έξοδος αλλιώς το πιο πιθανό είναι να παγιδευτούμε για πάντα μέσα στο απόλυτο κενό. Οι εξισώσεις της σχετικότητας είναι συμμετρικές. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε μία έγκυρη λύση της εξίσωσης και φανταστούμε ότι ο χρόνος κυλάει αντίστροφα τότε θα φτάσουμε σε μία άλλη έγκυρη λύση της εξίσωσης. Εάν αυτό εφαρμοστεί στη λύση που περιγράφει τις μαύρες τρύπες καταλήγουμε σε ένα αντικείμενο γνωστό ως «άσπρη τρύπα». 10. ΑΣΠΡΗ ΤΡΥΠΑ Ουσιαστικά η άσπρη τρύπα κάνει ακριβώς την αντίθετη δουλειά από τη μαύρη. Αντί να απορροφάει αντικείμενα, τα αποβάλλει. Η θεωρία αυτή δεν έχει αποδειχθεί ακόμη στο σύμπαν. Οι επιστήμονες υποστηρίζουν ότι η δημιουργία μίας άσπρης τρύπας είναι τόσο δύσκολη όσο η καταστροφή μίας μαύρης. Αν εξετάσουμε μία περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα θα διαπιστώσουμε ότι υπάρχει περίπτωση το πεδίο της να ενώνεται με ένα άλλο πεδίο (πιθανότατα άσπρης τρύπας). Ο συνδυασμός μίας μαύρης με μία άσπρη τρύπα ονομάζεται σκουληκότρυπα (wormhole) και φαίνεται πως η διέλευση ενός αντικειμένου από εκεί είναι δυνατή. Η άσπρη τρύπα μπορεί να βρίσκεται σε άλλη διάσταση ακόμα και πίσω στο παρελθόν. Όλα αυτά μπορεί να δείχνουν εύκολα, αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι ο χρόνος είναι σχετικός. Αλλιώς αντιλαμβάνεται ο καθένας μας την έννοια «χρόνος». Ο χρόνος είναι όπως ένας κύκλος. Δεν έχει αρχή, ούτε τέλος, και είναι κάτι που το ανθρώπινο μυαλό δεν μπορεί να συλλάβει. Άρα η μέτρηση του χρόνου δεν είναι καθόλου εύκολη. 11. ΤΙ ΕΙΝΑΙ Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΚΑΙ ΠΟΙΟ ΤΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΤΟΥ Ο αριθμός φ= είναι ο λεγόμενος χρυσός αριθμός. Ο χρυσός 2 αριθμός υπολογίζεται ως φ=(1+ 5) 2 και είναι λύση της εξίσωσης 1. Το χαρακτηριστικό του είναι ο ρόλος του ως θεμελιώδους δομικού στοιχείου στη φύση. Τα πάντα διέπονται από αναλογίες που συντείνουν με τρομακτική ακρίβεια προς το φ. Το σύμπαν λοιπόν, τρέφει μια ιδιαίτερη αδυναμία γι αυτό τον αριθμό με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία. 12. ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΣΥΜΠΑΝ Η κατανομή της ύλης στους γαλαξίες και το σύμπαν ακολουθεί τον νόμο της χρυσής τομής. Νέα συμπεράσματα αποκαλύπτουν ότι το σχήμα του σύμπαντος είναι ένα δωδεκάεδρο με πλευρές σε σχήμα πενταγώνου, όλες βασισμένες στη 90

101 χρυσή αναλογία. Ακόμη και οι σχετικές αποστάσεις των 10 πλανητών και των μεγαλύτερων αστεροειδών προσεγγίζουν το φ. 13. ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Το πιο εκπληκτικό απ' όλα είναι το γεγονός ότι η Χρυσή Αναλογία κάνει την εμφάνιση της στη Φυσική των Μαύρων Τρυπών, μία ανακάλυψη του Paul Davies από το Πανεπιστήμιο της Αδελαίδας το Οι Μαύρες Τρύπες καθώς και άλλα σώματα τα οποία έχουν αυτοδύναμη βαρύτητα, όπως π.χ. ο Ήλιος, έχουν μία "αρνητική ειδική θερμότητα". Σε μία περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα υπάρχει μία εξωτερική κεντρομόλος δύναμη που δρα ώστε να μην επιτρέπει την αλλοίωση της μαύρης τρύπας. Η δύναμη αυτή εξαρτάται από το πόσο γρήγορα περιστρέφεται η μαύρη τρύπα. Φαίνεται ότι σε ένα συγκεκριμένο κρίσιμο σημείο της τιμής της περιστροφής, η ειδική θερμότητα της μαύρης τρύπας μεταβάλλεται από αρνητική σε θετική. Και αυτό σημαίνει ότι από το να γίνεται θερμότερη καθώς χάνει θερμοκρασία, γίνεται ψυχρότερη. Τι είναι αυτό που ορίζει το κρίσιμο αυτό σημείο; Η μάζα της μαύρης τρύπας και η Χρυσή Αναλογία! Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις μαύρες τρύπες της θεωρίας της σχετικότητας. Οι μαύρες τρύπες εναλλάσσονται μεταξύ δύο καταστάσεων. Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται μια μαύρη τρύπα κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την ταχύτητα περιστροφής. Στην εξίσωση για τον υπολογισμό της ταχύτητας αυτής περιέχεται και κάποια σταθερά, ο αριθμός του Σύμπαντος φ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΠΗΓΕΣ Εγκυκλοπαι δεια «Πα πυρος Larousse Britannica» news.nationalgeographic.com

102 92

103 ΤΟ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Αγησιλάου Ερασμία, Αντωνίου Παναγιώτης, Κατελάρη Έλενα, Στυλιανού Χρύσα Υπεύθυνοι καθηγητές: Ευτυχίου Μαρία, Παναγιώτου Ειρήνη Ελληνική σχολή Pascal Λευκωσία ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η μελέτη μας αφορά στο παλίμψηστο του Αρχιμήδη, μια περγαμηνή με κρυμμένα μυστικά που έμελλαν να αλλάξουν την ιστορία των Μαθηματικών. Πρόκειται για κείμενο του αρχαίου Μαθηματικού Αρχιμήδη και μεγάλο μέρος του κειμένου αποκρυπτογραφήθηκε το Στο εν λόγω παλίμψηστο είχε γραφεί λειτουργικό ευχολόγιο, όμως κάτω από αυτό διακρίνονταν ίχνη γραφής κάποιου μαθηματικού συγγράμματος. Στο παλίμψηστο βρέθηκαν καταγραμμένα τα πιο κάτω έργα του σπουδαίου αρχαίου μαθηματικού: «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», «Περί ελίκων τμήματα» από το «Κύκλου μέτρησις» και το «Περί επιπέδων ισορροπιών», «Περί οχουμένων» και τη μέχρι τότε άγνωστη αρχή του «Στομαχίου». Αλλά το σπουδαιότερο εύρημα που ήλθε στο φως με το παλίμψηστο ήταν η πραγματεία «Περί μεθόδου των θεωρημάτων μηχανικής», σύγγραμμα που ασχολείται με την έννοια του απόλυτου απείρου, προσέγγιση που συναντούμε στον 16ο και 17ο αιώνα και οδήγησε στην επινόηση του λογισμού. Το «Στομάχιον» επίσης, θεωρείται η αρχαιότερη πραγματεία για τη συνδυαστική, που θεωρείται θεμελιώδους σημασίας για την επιστήμη της Πληροφορικής. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τον Απειροστικό Λογισμό για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων σχημάτων χρησιμοποιώντας μια αθροιστική διαδικασία απείρων τεμαχίων των διαφόρων σχημάτων, κάτι με το οποίο ασχολήθηκε ο Leibnitz και ο Νεύτωνας μετά από 19 αιώνες. Αρχιμήδης Αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φυσικός, που γεννήθηκε το 287 πχ στις Συρακούσες. Ο Αρχιμήδης ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία, παρ' όλο που καταγόταν από ευγενική γενιά, ο Αρχιμήδης αρνήθηκε να πάρει οποιοδήποτε 93

104 αξίωμα, επιμένοντας να διαθέτει όλο του το χρόνο στη σπουδή και τη μάθηση. Το έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς: γεωμετρία, οπτική, υδραυλική, μηχανική, αρχιτεκτονική και την πολιορκητική. Έζησε για ένα διάστημα στην Αλεξάνδρεια, όπου συνδέθηκε με διάσημους μαθηματικούς, όπως ήταν ο Ερατοσθένης της Κυρηνείας και ο Κόνωνας ο Σάμιος. Στη συνέχεια επέστρεψε στις Συρακούσες, όπου ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά και τη φυσική και κατασκεύασε διάφορα χρήσιμα όργανα. Ανάμεσα στις εφευρέσεις του αναφέρονται αστρονομικά όργανα, η ελικοειδής αντλία, ο ατέρμονας κοχλίας, οι κοίλοι καθρέφτες που, όπως υποστηρίζεται, τους χρησιμοποίησε για να συγκεντρώσει τις ακτίνες του ήλιου πάνω στα πλοία των Ρωμαίων που επιτέθηκαν εναντίον της πατρίδας του το 215 π.χ.. Η τελευταία αυτή επινόηση του Έλληνα μαθηματικού δεν είναι επιβεβαιωμένη πλήρως. Επίσης ο Αρχιμήδης εφεύρε τις τροχαλίες και τους μοχλούς, με τη βοήθεια των όποιων θα ήταν πλέον εύκολη η μετακίνηση μεγάλων βαρών. Θέλοντας μάλιστα να δείξει τη μεγάλη σημασία της εφεύρεσης του αυτής, είπε την περίφημη φράση:<< Δώσε μου μέρος για να σταθώ και θα κινήσω τη γη>>. Ιδιαίτερη σπουδαιότητα έχει η αρχή που διατύπωσε ο αρχαίος φυσικός, η οποία μάλιστα πηρέ και το όνομα του, λέγεται δηλαδή << αρχή του Αρχιμήδη>>. Σύμφωνα μ αυτήν κάθε σώμα που βυθίζεται μέσα στο νερό υφίσταται πίεση ίση με το βάρος του νερού που εκτοπίζει. Η πίεση αυτή είναι φυσικά η άνωση. Την ανακάλυψη του φαινόμενου αυτού την έκανε ο Αρχιμήδης όταν βρισκόταν στο λουτρό, όποτε βγήκε αμέσως στους δρόμους γυμνός και φώναζε γεμάτος χαρά << Εύρηκα! Εύρηκα!>>. Την εποχή εκείνη τον απασχολούσε η λύση ενός ζητήματος που του είχε αναθέσει ο τύραννος των Συρακουσών Ιέρωνας, ο οποίος ήθελε να πληροφορηθεί κατά πόσο το χρυσό στεφάνι που του είχε κατασκευάσει κάποιος χρυσοχόος, ήταν φτιαγμένο από ατόφιο χρυσάφι ή ήταν νοθευμένο. Με βάση την αρχή που ανακάλυψε ο Αρχιμήδης, υπολόγισε το ειδικός βάρος του χρυσού και απόδειξε ότι το στεφάνι ήταν νοθευμένο. Ο μεγάλος αυτός μαθηματικός βρήκε επίσης τον τρόπο υπολογισμού του όγκου μιας σφαίρας ή της επιφάνειας της όταν γνωρίζουμε την ακτίνα της, καθώς και τη μέθοδο εύρεσης της περιφέρειας ενός κύκλου όταν είναι γνωστή η διάμετρος του. Ο Αρχιμήδης έγραψε τα πρώτα βιβλία για την επίπεδη γεωμετρία και στερεομετρία, την αριθμητική και τα μαθηματικά. Όπως αναφέρεται, ο Αρχιμήδης, ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας, σκοτώθηκε το 212 π.χ. από κάποιον Ρωμαίο στρατιώτη, όταν οι ρωμαίοι κατάφεραν τελικά να καταλάβουν τις Συρακούσες. Όταν μάλιστα ο στρατιώτης τον πλησίασε, ο Αρχιμήδης, αφοσιωμένος καθώς ήταν σε κάποιο μαθηματικό πρόβλημα, του είπε χωρίς να δώσει σημασία:<< Μη μου τους κύκλους τάραττε>>. Τότε ο ρωμαίος θύμωσε και τον σκότωσε, χωρίς να ξέρει πως επρόκειτο για το φημισμένο, μαθηματικό, για τον όποιο ο ρωμαίος στρατηγός Μαρκέλλος, νιώθοντας απέραντο θαυμασμό και εκτίμηση, είχε διατάξει να τον σεβαστούν όλοι και να μην τον ενοχλήσει κάνεις. Ο Αρχιμήδης αγαπούσε τόσο πολύ την εργασία του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, ώστε είπε ότι θα ήθελε όταν πεθάνει να χαραχτεί 94

105 στον τάφο του το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο. Ο κατακτητής Μάρκελλος είχε αναπτύξει τέτοιο θαυμασμό και εκτίμηση για τον Αρχιμήδη ως αντίπαλο, ώστε όταν έμαθε πως σκοτώθηκε, τον έθαψε με μεγαλοπρέπεια και τελετές και έστησε στον τάφο του μια πέτρινη στήλη πάνω στην οποία ήταν σκαλισμένο το σχήμα που είχε ζητήσει ο Αρχιμήδης. Πολλά χρόνια αργότερα, όταν Κικέρωνας επισκέφτηκε τις Συρακούσες σαν Ρωμαίος έφορος, κανείς δεν ήξερε να τον οδηγήσει στον τάφο του Αρχιμήδη. Μετά από πολλές έρευνες βρήκε την ταφόπετρα ανάμεσα σε ψηλούς βάτους και ξανάφτιαξε το έδαφος γύρω από τον τάφο. Με το πέρασμα του χρόνου όμως, ο τάφος παραμελήθηκε και όλα έδειχναν ότι με την αύξηση της πόλης ο τάφος θα χανόταν οριστικά. Όμως το 1965, σκάβοντας για τη θεμελίωση ενός νέου ξενοδοχείου στις Συρακούσες, ένας εκσκαφέας σήκωσε μία ταφόπετρα με σκαλισμένο πάνω της το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο σκαλισμένο. Έτσι ανακαλύφτηκε ο τάφος του Αρχιμήδη. Παλίμψηστο Παλίμψηστο, από τις λέξεις πάλιν+ ψάω (= αποξέω, αποτρίβω), είναι αρχαίος πάπυρος ή περγαμηνή, στoν οποίο σβήστηκε με κάποιον τρόπο το κείμενο που ήταν γραμμένο επάνω του, για να γραφτεί στην επιφάνειά του κάποιο άλλο, συνήθως κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη είναι, επομένως, ένα αρχαίο χειρόγραφο, το οποίο βρέθηκε σε κακή κατάσταση και μετά την αποκωδικοποίησή του, με τη βοήθεια της σύγχρονης τεχνολογίας, αποκάλυψε σημαντικότατες πληροφορίες για τα Μαθηματικά της Αρχαίας Ελλάδας. Το συγκεκριμένο παλίμψηστο καταδεικνύει ότι ο Αρχιμήδης, ασχολήθηκε με το διαφορικό λογισμό και γνώριζε τις αρχές που τον διέπουν, ενώ μέχρι πρόσφατα η διατύπωση αυτών των αρχών θεωρούνταν έργο του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς. Η ιστορία του Παλίμψηστου Το αρχικό κείμενο με τις πραγματείες του Αρχιμήδη θεωρείται ότι γράφτηκε τον 10 ο αιώνα μ.χ. στην Κωνσταντινούπολη από κάποιον αντιγραφέα. Τα ίχνη του βρίσκονται ξανά τον 13 ο αιώνα στο μοναστήρι του Αγίου Σάββα, στην Ιερουσαλήμ, όπου ένας μοναχός, ο Ιωάννης Μύρωνας, το 1229 έσβησε το αρχικό κείμενο, έκοψε τις σελίδες του και τις δίπλωσε στη μέση, ώστε να δημιουργηθεί ένα προσευχητάρι, πάνω στο οποίο έγραψε προσευχές. Οι επιστήμονες εκτιμούν ότι η αρχική περγαμηνή αποτελούνταν από 90 σελίδες αλλά μετά την επεξεργασία της, απέκτησε 177 σελίδες που είχαν πάνω χριστιανικές προσευχές. Έτσι το παλίμψηστο χρησιμοποιήθηκε ως προσευχητάρι 95

106 από το 1230 μέχρι και το Στη διάρκεια αυτών των χρόνων το παλίμψηστο έχασε κάποιες από τις σελίδες του αλλά, γενικά, διατηρήθηκε σε καλή κατάσταση. Το 1846, ο Γερμανός μελετητής Constantin Von Tischendorf βρήκε το περιεχόμενο του παλίμψηστου στη βιβλιοθήκη της εκκλησίας του Παναγίου Τάφου, στην Ιερουσαλήμ, δεν γνώριζε όμως περί τίνος επρόκειτο. Το 1906 ο Δανός φιλόλογος και ιστορικός Johan Ludvig Heiberg από το Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης, βρήκε σε μοναστήρι της Κωνσταντινούπολης το παλίμψηστο και μελέτησε το κείμενο που υπήρχε κάτω από τις προσευχές στο παλίμψηστο και φαινόταν πολύ αμυδρά. Ήταν ο πρώτος που κατάλαβε ότι υπήρχαν κάποια από τα κείμενα του Αρχιμήδη γραμμένα εκεί. Έτσι αντέγραψε τις 177 σελίδες αυτού του χειρόγραφου και φωτογράφησε 65. Το δημοσίευσε την αντιγραφή των έργων του Αρχιμήδη. Μέχρι και τότε όμως, υπήρχαν πολλά κενά και ασύνδετα τμήματα του παλίμψηστου. Το παλίμψηστο εμφανίζεται στα χέρια ενός Γάλλου συλλέκτη, κατοίκου Κωνσταντινούπολης, η οικογένεια του οποίου είχε στην κατοχή της το παλίμψηστο από το 1908 μέχρι και το Μέλος της οικογένειας αυτής, προκειμένου να αυξήσει το κύρος του παλίμψηστου και επομένως και την αξία του, πρόσθεσε τέσσερις πλαστές βυζαντινές εικόνες των Ευαγγελιστών, καλύπτοντας το αρχικό κείμενο σχεδόν ολόκληρο. Το 1998, οι απόγονοι της οικογένειας αυτής, έδωσαν το παλίμψηστο στον οίκο Christie s της Νέας Υόρκης, προκειμένου να τεθεί σε ανοιχτή δημοπρασία. Στη δημοπρασία συμμετείχε και εκπρόσωπος του ελληνικού κράτους, δεν πλειοδότησε όμως όταν η τιμή του έφτασε τα δύο εκατομμύρια δολάρια, και το παλίμψηστο αποκτήθηκε από κάποιον ανώνυμο συλλέκτη. Ο William Noel, ο διευθυντής του τομέα των αρχαίων χειρόγραφων του Walters Museum of Art, έστειλε ένα γράμμα στον ανώνυμο συλλέκτη που του έλεγε να παραδώσει το παλίμψηστο στο μουσείο έτσι ώστε να μελετηθεί. Ο συλλέκτης παρέδωσε το χειρόγραφο στο μουσείο και έτσι άρχισε η εξονυχιστική έρευνά του. Το πρόγραμμα αυτό ονομάστηκε «Πρόγραμμα Παλίμψηστο Αρχιμήδη» και συμμετείχαν επιστήμονες διαφόρων ειδικοτήτων για την ανάκτηση του αρχαίου κειμένου που βρισκόταν κάτω από τις βυζαντινές προσευχές. Το όλο πρόγραμμα χρηματοδοτήθηκε από τον ανώνυμο εκατομμυριούχο αλλά και πολλοί επιστήμονες δέχθηκαν να δουλέψουν αφιλοκερδώς. Το χειρόγραφο ήταν σε πολύ κακή κατάσταση και αρκετά σημεία του είχαν σκεπαστεί με σύγχρονη συνθετική κόλλα, ενώ άλλα είχαν καταστραφεί από τη μούχλα. Το 2000 έγινε η πρώτη φάση μελέτης του χειρόγραφου από ερευνητές του Ινστιτούτου τεχνολογίας Rochester και του Πανεπιστημίου Johns Hopkins. Το 96

107 πραγματοποιήθηκε η δεύτερη φάση με την παραγωγή ψευδοχρωματικών αντίγραφων του αρχαίου κειμένου που ελήφθησαν με την τεχνική της πολυφασματικής απεικόνισης. Το 2007 αποκαλύφθηκε ότι το παλίμψηστο δεν περιείχε μόνο έργα του Αρχιμήδη: βρέθηκαν επίσης δέκα σελίδες από ομιλίες του Αθηναίου ρήτορα του 4 ου αιώνα π.χ. Υπερείδη, καθώς δεκατέσσερις σελίδες από ένα Σχολιασμό για τις «Κατηγορίες» του Αριστοτέλη, του περιπατητικού φιλοσόφου Αλέξανδρου της Αφροδισιάδος, που δεν έχει διασωθεί πουθενά αλλού. Στο Παλίμψηστο υπάρχουν τα μοναδικά και άγνωστα μέχρι τώρα έργα του Αρχιμήδη: «Περί μεθόδου Μηχανικών Θεωρημάτων» «Περί των Επιπλεόντων Ισορροπιών» «Το Στομάχιον» «Περί Επιπέδων Ισορροπιών» «Περί Ελίκων» «Κύκλου Μέτρησις» «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου» «Περί Οχουμένων Για την ανάγνωση του κειμένου χρησιμοποιούνται τρεις μέθοδοι: 1) Η πολυφασματική απεικόνιση (Multispectral Imaging). 2) Η ομοεστιακή μικροσκόπηση (Confocal Microscopy). 3) Ο μαγνητικός συντονισμός (Magnetic Resonance), που είναι μια μορφή μαγνητικής τομογραφίας. Το περιεχόμενο Κύκλου μέτρησις Από την πραγματεία αυτή του Αρχιμήδη σώζονται μόνο τρία θεωρήματα. Στο πρώτο από αυτά αποδεικνύεται ότι κάθε κύκλος είναι ίσος με ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η μία κάθετος είναι ίση με την ακτίνα και η δε άλλη είναι ίση με την 97

108 περιφέρεια του κύκλου και στο δεύτερο, ότι ο κύκλος προς το τετράγωνο της διαμέτρου του έχει λόγο. Στο τρίτο θεώρημα αποδεικνύεται για πρώτη φορά στην Ιστορία των Μαθηματικών ότι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο του κύκλου είναι μικρότερος του 3 και μεγαλύτερος του 3, δηλαδή 3 < π < 3 που είναι η πλησιέστερη προσέγγιση της τιμής του π = 3,14. Η πρόταση αυτή που προσεγγίζει αριθμητικά το π είναι και η πιο ενδιαφέρουσα. Περί οχουμένων Όσο αφορά στο έργο «Περί οχουμένων» (για το οποίο όμως δεν γνωρίζουμε αν στο χειρόγραφο περιέχονται όλα τα φύλλα της πραγματείας) από την επεξεργασία του φάνηκε ότι μία τουλάχιστον από τις σελίδες που έμοιαζε κενή έφερε στην επιφάνεια μία νέα πληροφορία. Το κείμενο αυτό έχει δημοσιευτεί στο περιοδικό του Αμερικανικού Ινστιτούτου Φυσικής και γράφει: «Σε αυτή τη διατριβή του ο Αρχιμήδης αποδεικνύει τον νόμο του περί της άνωσης των σωμάτων και εξάγει συμπεράσματα για την επίπλευση στερεών που έχουν βασικά γεωμετρικά σχήματα». Το Στομάχιον Σύμφωνα με τον Ευάγγελο Σ. Σταμάτη, το «Στομάχιον», ήταν ένα παιχνίδι που είχε κάνει μεγάλη εντύπωση στους Λατίνους συγγραφείς συμπεριλαμβανομένου του Αυσόνιου, του Καίσιου Βάσσου και του Μάριου Βικτωρινού. Σκοπός του παιχνιδιού αυτού ήταν η κατασκευή επίπεδων ευθύγραμμων κομματιών διαφόρων σχημάτων από μέταλλο ή ελεφαντοστό τα οποία με τη συναρμολόγηση τους σχημάτιζαν κυρίως μορφές ζώων ή άλλων αντικειμένων. Μάλιστα η εν λόγω πραγματεία φαίνεται ότι περιείχε την θεωρία κατασκευής των 14 ευθύγραμμων τμημάτων του παραλληλογράμμου καθένα από τα οποία είχε ρητό λόγο προς το αρχικό σχήμα. Το «Στομάχιον» ήταν πάντα εκείνο το έργο του Αρχιμήδη που προσείλκυε το μικρότερο ενδιαφέρον για τους ερευνητές. Και ο λόγος για τον οποίο συνέβαινε κάτι τέτοιο ήταν τόσο διότι έλειπαν οι σχετικές πληροφορίες όσο και επειδή, με βάση τις πτωχές διαθέσιμες αναφορές, είχε θεωρηθεί ως ένα παιδικό παιχνίδι (κάτι σαν αρχαίο παζλ) που προφανώς ήταν ανάξιο της φήμης του μεγάλου μαθηματικού Αρχιμήδη. Τον Νοέμβριο του 2003 ο Bill Cutler χρησιμοποίησε ένα πρόγραμμα στον υπολογιστή προκειμένου να απαριθμήσει όλες τις πιθανές λύσεις. Περιστροφές, αντανακλάσεις και βρήκε 536 διαφορετικές λύσεις. Όμως, τον Ιούνιο του

109 στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής ήρθαν στην επιφάνεια νέα δεδομένα. Ερευνητές έπειτα από προσεκτική μελέτη του παλίμψηστου κώδικα του Αρχιμήδη κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για ένα πρόβλημα συνδυαστικής το οποίο είναι το παρακάτω. Χωρίζοντας ένα τετράγωνο σε 14 μέρη διαφορετικών επίπεδων σχημάτων, αναζητούσε το πλήθος των τρόπων με τους οποίους αναδιατεταγμένα θα ξανασυνέθεταν το ίδιο τετράγωνο. Το σύνολο των τρόπων αυτών είναι και για να βρεθούν εργάστηκαν 4 μαθηματικοί για 6 ολόκληρες βδομάδες. Ο Ιστορικός των Μαθηματικών Rebiel Netz του Πανεπιστημίου του Stanford πιστεύει ότι ο Αρχιμήδης είχε λύσει το πρόβλημα. Υποστηρίζει διαφορετικά, αν δεν είχε καταφέρει να το λύσει, δεν θα το έθετε. Όμως ο Rebiel Netz δεν γνωρίζει αν ο Αρχιμήδης είχε καταφέρει να βρει όλους τους συνδυασμούς. «Αυτή η ερμηνεία καθιστά το Στομάχιον ένα έργο συνδυαστικής μόνον που η συνδυαστική θεωρούνταν ως πρόσφατα ένα πεδίο το οποίο εμφανίστηκε όψιμα στην ιστορία των μαθηματικών. Τα τελευταία χρόνια όμως αυτό έχει ανατραπεί, έτσι έχουμε καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η συνδυαστική ήταν ένα υπαρκτό πεδίο έρευνας για τους αρχαίους έλληνες μαθηματικούς και επομένως αυτή η ερμηνεία του Στομαχίου θεωρείται πειστική», λέει ο κ. Χριστιανίδης. Περί των Μηχανικών Θεωρημάτων Όσο αφορά στο έργο του «Μηχανικά», στην πρώτη ενότητα της θεωρίας του ο Αρχιμήδης εξισορροπώντας αντικείμενα που έχουν τα βασικά γεωμετρικά σχήματα καταφέρνει να μετρήσει το εμβαδόν και τον όγκο τους. Με αυτόν τον τρόπο βγάζει γεωμετρικά θεωρήματα από φυσικά πειράματα. Στην δεύτερη ενότητα ο Αρχιμήδης καταφέρνει να υπολογίσει τα άπειρα αθροίσματα. Ο Reviel Netz γράφει χαρακτηριστικά: «Το πώς κατάφερε, προσθέτοντας άπειρα πολλά αντικείμενα, να βγάλει ένα πεπερασμένο άθροισμα αποτελεί μία τέτοια καινοτομία που είναι δυνατό να συγκριθεί με τα πιο μοντέρνα μαθηματικά. Πραγματικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτή η θεωρία όταν διατυπώθηκε ήταν δύο χιλιάδες χρόνια μπροστά από την εποχή της». Η πραγματεία αυτή του Αρχιμήδη, η οποία σώθηκε ελλιπής, περιλαμβάνει 15 θεωρήματα και παρόμοιες αποδείξεις για κωνοειδή, σφαιροειδή καθώς και για την εύρεση του κέντρου βάρους αυτών. Όμως, την σπουδαιότητα του έργου αυτού σηματοδοτεί η ύπαρξη της μεθόδου την οποία χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης για να βρει το εμβαδόν ενός παραβολικού χωρίου, όπου παρέχεται σαφής εικόνα της χρησιμοποίησης του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Πιο συγκεκριμένα, ο Αρχιμήδης στην πραγματεία του αυτή περιγράφει πως ανακάλυψε θεωρήματα εύρεσης εμβαδών και όγκων, κάνοντας χρήση της 99

110 μηχανικής. Δηλαδή συγκρίνοντας στοιχεία του σχήματος εκείνου του οποίου ήθελε να υπολογίσει το εμβαδόν ή όγκο με στοιχεία ενός άλλου πιο απλού σχήματος που ήδη γνώριζε. Η πραγματεία αυτή, την οποία συναντάμε και με το όνομα «Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος» ή «Μέθοδος» περιλαμβάνει τις αποδείξεις για: Το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου. Τον όγκο της σφαίρας. Τον όγκο ενός σφαιροειδούς. Τον όγκο τμήματος ενός παραβολοειδούς εκ περιστροφής. Το κέντρο βάρους τμήματος ενός παραβολοειδούς εκ περιστροφής, αποτεμνομένου από επίπεδο κάθετο άξονα. Το κέντρο βάρους ημισφαιρίου. Τον όγκο ενός σφαιρικού τμήματος. Τον όγκο ενός τμήματος ενός σφαιροειδούς. Το κέντρο βάρους ενός σφαιρικού τμήματος. Το κέντρο βάρους τμήματος ενός σφαιροειδούς. Το κέντρο βάρους τμήματος ενός υπερβολοειδούς εκ περιστροφής. Τον όγκο τμήματος ενός κυλινδρικού χωρίου. Τον όγκο της τομής δύο κυλίνδρων. Ο Αρχιμήδης θέτει ότι ο κύλινδρος που έχει ως βάση τον μέγιστο κύκλο σφαίρας και ως ύψος την διάμετρό της είναι τα της σφαίρας και η επιφάνειά του είναι τα της επιφάνειας της σφαίρας. Ο Αρχιμήδης θεωρούσε τα συμπεράσματα αυτά τα ωραιότερα από όσα άλλα πραγματοποίησε (ο Κικέρων διηγείται ότι βρήκε πάνω στον τάφο του Αρχιμήδη το σχήμα μιας σφαίρας και του περιγεγραμμένου σε αυτήν κυλίνδρου). Ο Αρχιμήδης παρουσίαζε τα συμπεράσματά του με ένα συλλογισμό δια της εις άτοπον απαγωγής, πλήρως θεμελιωμένο, αλλά όχι κατασκευαστικό. Παρ όλα αυτά το 1907 ο Γιόχαν Λουντβίχ Χάιντμπεργκ ανακάλυψε σε έναν πάπυρο επιστολή του Αρχιμήδη προς τον Ερατοσθένη ( περί μεθόδου), όπου αποκαλύπτεται ότι στην πραγματικότητα ο Αρχιμήδης ακολουθούσε μια μέθοδο απειροστικού τύπου, όμοια με εκείνη των απειροστών, την οποία ανακάλυψε 2000 χρόνια αργότερα ο Καβαλιέρι. Έτσι ο Αρχιμήδης μπορεί να θεωρείται ο πρόδρομος του ολοκληρωτικού λογισμού. Αξία Παλίμψηστου Αρχιμήδη 100

111 H ανακάλυψη του παλίμψηστου κώδικα του Αρχιμήδη και η ανάγνωσή του από τον Heiberg (1906), υπήρξε γεγονός μείζονος σημασίας για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών καθώς εμπεριέχονται συγκλονιστικές λεπτομέρειες για τις κατακτήσεις της μαθηματικής επιστήμης στην Αρχαία Ελλάδα. Παράλληλα σε αυτά παρουσιάζεται η βασική μεθοδολογία πάνω στην οποία στηρίχθηκαν όλες οι μελέτες και οι ανακαλύψεις του και με αυτό τον τρόπο μπορούμε εμείς να κατανοήσουμε καλύτερα τα θεωρήματα του αλλά παράλληλα και να προβούμε σε άλλα. Η ανθρωπότητα δεν έχει αποκτήσει ακόμα μια ξεκάθαρη εικόνα του μακρινού παρελθόντος. Συχνά οι απόψεις των Αρχαίων σχετικά με τη πορεία των επιστημονικών κατακτήσεων αποδεικνύονται ανακριβής και τα στοιχεία που υπάρχουν είναι ανεπαρκή. Όμως με την ανακάλυψη των έργων του Αρχιμήδη έχουμε φτάσει στην αναθεώρηση αυτής της άποψης. Με επιταχυντές σωματιδίων και άλλα μέσα υψηλής τεχνολογίας, οι επιστήμονες διαβάζουν τώρα τα μοναδικά έργα του μεγαλοφυούς Συρακούσιου μαθηματικού και ουσιαστικά αποκαλύπτουν πως η μαθηματική σκέψη στην αρχαία Ελλάδα ήταν αρκετά πιο προχωρημένη απ ότι πιστεύαμε και αποδεικνύουν πως υπήρχαν ακριβής και αυστηρές μαθηματικές αποδείξεις. Αυτή η διαπίστωση οδηγεί σε αναθεώρηση της ιστορίας των θετικών επιστημών και αποτελεί μια υπενθύμιση πως η επιστημονική αναζήτηση επιφυλάσσει εκπλήξεις. Παράλληλα το εντυπωσιακότερο όλων είναι ότι αποδεικνύεται πως ο Αρχιμήδης ήταν εξοικειωμένος με μαθηματικές έννοιες και πρακτικές οι οποίες θεωρούνται μέχρι πρόσφατα ανακαλύψεις μεταγενέστερων αιώνων. Το παλίμψηστο έφερε στο φως μερικά νέα κείμενα, τα οποία ως τότε ήταν παντελώς άγνωστα. Στα έργα του αναπτύσσονται μαθηματικές τεχνικές με τις οποίες οδηγήθηκε στις μαθηματικές ανακαλύψεις του πράγμα που αποδεικνύει την ύπαρξη γνώσης εκλεπτυσμένων μαθηματικών μεθόδων οι οποίες θεωρούνται πρόσφατες κατακτήσεις της ανθρωπότητας. Επιπλέον ο Αρχιμήδης γνώριζε τις αρχές και τη πρακτική του Διαφορικού και του Ολοκληρωτικού λογισμού πολλούς αιώνες πριν από τη διατύπωσή τους από τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς. Στην Ευρώπη του 1500 γνώριζαν λιγότερα στη μαθηματική επιστήμη σε σχέση με τη περίοδο του Αρχιμήδη που πέθανε το 212 π.χ. Με τη βοήθεια του παλίμψηστου έγινε αντιληπτό το γεγονός ότι ο Αρχιμήδης ήταν εξοικειωμένος με την έννοια του απείρου και τη χρήση του σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα πως οι αρχαίοι Έλληνες δεν χρησιμοποιούσαν το άπειρο ως μία αόριστη έννοια στους υπολογισμούς τους αλλά το όριζαν και το χρησιμοποιούσαν με ακρίβεια. Όλα τα πιο πάνω ανατρέπουν πολλά από τα δεδομένα για τη φιλοσοφική και τη μαθηματική σκέψη των Αρχαίων Ελλήνων και μπορούμε να διαπιστώσουμε πως ο Αρχιμήδης και τα έργα του έχουν παίξει καθοριστικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών και των θετικών επιστημών. 101

112 Το έργο έχει προκαλέσει μεγάλη δημόσια περιέργεια καθώς και το ενδιαφέρον των επιστημόνων σε όλο το κόσμο. Καθώς οι επιστήμονες έχουν χάσει τα λόγια τους από το γεγονός ότι ένα μεσαιωνικό προσευχητάρι έχει αποφέρει ένα σημαντικό αρχαίο κείμενο μέσα από μία περγαμηνή του. 102

113 ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ Ιωάννα Μεσημέρη και Δάφνη Παπαϊωάννου Λύκειο Αραδίππου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολύ μεγάλη σημασία έδινε ο Πυθαγόρας στη μουσική την οποία μάλιστα κατέτασσε μαζί με την αστρονομία και τα μαθηματικά/γεωμετρία στις τρεις βασικές επιστήμες για την κατανόηση όλων των υπολοίπων και εν τέλει, της ίδιας της ζωής και των νόμων της φύσεως. Στον Πυθαγόρα οφείλεται η θεωρεία της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών, το πεντάγραμμο, οι διαβαθμίσεις των τόνων, οι μουσικοί φθόγγοι και γενικά ό,τι έχει να κάνει με την μουσική και την εξέλιξή της. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του επένδυσαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο, κάτι που μας κίνησε το ενδιαφέρον και γι αυτό αποφασίσαμε να σας το παρουσιάσουμε. Εισαγωγή-Μουσική Η μουσική κλίμακα αποτελείται τις νότες Ντο-Ρε-Μι-Φα-Σολ-Λα-Σι-Ντο και συμβολίζονται με τα λατινικά γράμματα C-D- E-F-G-A-B-C. Το διάστημα μεταξύ των νοτών C-D, D-E, F-G, G-A, A-B ονομάζεται τόνος. Το διάστημα μεταξύ E-F και B-C είναι μισός τόνος και ονομάζεται ημιτόνιο. 103

114 Δίεση(#) ονομάζεται μια νότα που είναι ψηλότερη κατά ένα ημιτόνιο (π.χ. η C# είναι κατά ένα ημιτόνιο ψηλότερη της C) Ύφεση(b) ονομάζεται μια νότα που είναι χαμηλότερη κατά ένα ημιτόνιο (π.χ. η Db είναι κατά ένα ημιτόνιο χαμηλότερη της D) Άρα, η C# και η Db συμπτίπτουν. Όσο προχωρούμε στις ψηλότερες νότες, έχουν μεγαλύτερη συχνότητα(hz) Οκτάβα είναι είναι το διάστημα μεταξύ δυο ίδιων διαδοχικών νοτών (π.χ. διάστημα C-C, D-D.). Είναι διάστημα 12 ημιτονίων. Μάλιστα, μια νότα που είναι υψηλότερη κατά μία οκτάβα μιας άλλης έχει τη διπλάσια συχνότητα από αυτή. Για παράδειγμα, στο σχήμα, το ντο που φαίνεται δεξιά, έχει διπλάσια συχνότητα από το αριστερό ντο. Καθαρή πέμπτη είναι το διάστημα μεταξύ C-G, D-A, E-C δηλαδή διάστημα 7 ημιτονίων. Πυθαγόρεια κλίμακα-μονόχορδο του Πυθαγόρα Ο Πυθαγόρας όρισε όλες τις νότες και τα διαστήματα της κλίμακας χρησιμοποιώντας μόνο καθαρές πέμπτες και οκτάβες που είναι και τα πιο εύηχα διαστήματα. Το διάστημα πέμπτης παράγεται από τα της χορδής παράγοντας δηλαδή νότα με της συχνότητας. Το διάστημα οκτάβας όπως είπαμε και πριν παράγεται από το παράγοντας νότα με διπλάσια συχνότητα. της χορδής Όλες οι νότες λοιπόν παράγονται πολλαπλασιάζοντας συνεχώς με το ή αν κατεβαίνεις ή ανεβαίνεις δίαστημα πέμπτης αντίστοιχα. Για παράδειγμα Ντο =Σολ Σολ =Ρε. Όμως το Ρε που βρήκαμε είναι μια οκτάβα ψηλότερο και άρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με Άρα, =. G -D -A -E B F C G D A E B F C G. 104

115 Έτσι με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε όλες τις νότες Note G Formula Frequency ratio D A E B F C G D A E B F Xρησιμοποιώντας αυτές τις αναλογίες, μπορούμε να παράξουμε με το μονόχορδο τις διάφορες νότες και διαστήματα 105

116 Αρμονία των σφαιρών Oι πλανήτες καθώς περιστρέφονται παράγουν διάφορους μουσικούς ήχους που δεν τους ακούμε το σύνολο αυτών των ήχων αποτελεί την "αρμονία των σφαιρών". Η διαπασών (ογδόη) εκφράζει την αρμονική κίνηση των πλανητών και οι 7 μουσικοί φθόγγοι που την αποτελούν βγήκαν από τους επτά πλανήτες και τη θέση τους σε σχέση προς τη Γη. Από την κίνηση της Σελήνης, που είναι ο πιο χαμηλός απ' όλους και ο πιο κοντινός σε μας, στη Γη, ονομάστηκε η ΡΕ) Από την κίνηση της Αφροδίτης που είναι πάνω από τη Σελήνη αντιστοιχεί η παρανήτη(νότα ΝΤΟ) Από την κίνηση του Ερμή, που βρίσκεται στη μέση της Αφροδίτης και του Ήλιου αντιστοιχεί η παραμέση (νοτα ΣΙ) Από την κίνηση του Ήλιου που βρίσκεται στη μέση, τέταρτος από την κάθε πλευρά των επτά πλανητών, ονομάστηκε η μέση, που είναι η κεντρική νότα, αφού απέχει ένα διάστημα τετάρτης από την κάθε άκρη του επτάχορδου. (νότα ΛΑ) Από την κίνηση του Άρη, που βρίσκεται ανάμεσα στον Δία και τον Ήλιο αντιστοιχεί η υπερμέση ή λιχανός (νότα ΣΟΛ) Από την κίνηση του Δία που είναι κάτω από τον Κρόνο, αντιστοιχεί η παρυπάτη(νότα ΦΑ) ΚΡΟΝΟ Σ ΔΙΑΣ ΣΕΛΗΝ Η ΓΗ ΗΛΙΟΣ ΑΡΗΣ ΕΡΜΗΣ ΑΦΡΟΔΙΤΗ 106

117 Από την κίνηση του Κρόνου, που είναι ο πιο απομακρυσμένος από μας πλανήτης, η χαμηλότερη νότα στη διαπασών ονομάστηκε Υπάτη(νοτα ΜΙ) Ανάλυση του Fourier Η ανάλυση Fourier είναι ένα πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών το οποίο προέκυψε από την προσπάθεια αναπαράστασης μίας συνάρτησης ως αθροίσματος απλούστερων, περιοδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Άρα, κεντρική ιδέα στην ανάλυση Φουριέ είναι η προσπάθεια για κατανόηση των ιδιοτήτων μίας συνάρτησης (η οποία μπορεί να αναπαριστά π.χ. έναν ήχο) μέσω διάσπασής της σε γνωστά, στοιχειώδη μέρη (αποσύνθεση). Η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή η κατασκευή μιας συνάρτησης από άλλες γνωστές ονομάζεται σύνθεση. Ο όρος ανάλυση περιλαμβάνει και τις δύο διαδικασίες, σύνθεση και αποσύνθεση. Η μέθοδος αυτή εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό Joseph Fourier για να ερευνήσει τη διάδοση της θερμότητας. Ανάλυση του Fourier Σύμφωνα με αυτή, κάθε περιοδική συνάρτηση f με περίοδο Τ μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων με περιόδους ακέραια πολλαπλάσια του Τ. Συγκεκριμένα, όπου 107

118 Σύνδεση με τη μουσική Από τη μελέτη της αρμονίας και των συχνοτήτων του ήχου από τους μαθηματικούς προέκυψε η διαφορική εξίσωση: όπου είναι η κάθετη απομάκρυνση της χορδής από τον άξονα των χ στη θέση με τετμημένη χ τη χρονική στιγμή t. Τη συγκεκριμένη εξίσωση της παλλόμενης χορδής επιχείρησαν πολλοί μαθηματικοί να την επιλύσουν όπως ο Euler, o D'Alembert και ο Langrange. Η λύση της εξίσωσης μπορεί να βρεθεί τελικά με την ανάλυση του Fourier και περιγράφεται από την εξής ισότητα: όπου Ερμηνεία και παραδείγματα Ας υποθέσουμε ότι μέσω ενός μουσικού οργάνου ή με την φωνή μας παράγουμαι ένα ήχο, μία νότα. Αυτό σημαίνει ότι δημιουργήσαμε στον αέρα ένα ακουστικό κύμα το οποίο είναι ένα περιοδικό φαινόμενο. Έτσι, σύμφωνα μα την ανάλυση του Fourier προκύπτει ότι αυτή η νότα μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα άλλων νοτών διαφόρων συχνοτήτων.για παράδειγμα, αν μελετήσουμε τον ήχο 108

119 που παράγουν τα διάφορα μουσικά όργανα θα παρατηρήσουμε ότι δεν είναι απλά ένα ημιτονοειδές κύμα αλλά πιο περίπλοκο. Σύμφωνα όμως με τον Fourier αυτές οι περίπλοκες νότες μπορούν να χωριστούν σε απλούστερες(αρμονικές συνιστώσες). Δύο παραδείγματα φαίνονται πιο κάτω. Η σύγχρονη αυτή αντίληψη για τον ήχο και για τη διάσπαση του σε αρμονικές συιστώσες προτάαθηκε για πρώτη φορά από τον Helmholtz το 1682 και παρόλες της έντονες κριτικές που δέχτηκε είναι η επικρατέστερη σήμερα. Με τη βοήθεια της υπάρχει η δυνατότητα για επιστημονική ερμηνεία της καλής ή κακής συνήχησης δύο νοτών και της ανακάλυψης των μυστικών της μουσικής αρμονίας... Η πρώτη συγχορδία του τραγουδιού «Hard day s night» των Beatles είναι διάσημη αφού για 40 χρόνια όσοι μουσικοί προσπαθούσαν να αναπαράγουν τον ήχο της αποτύγχαναν. Πριν λίγα χρόνια ο μαθηματικός, Jason Brown κατάφερε και απομόνωσε τον ήχο της συγχορδίας σε ξεχωριστές συχνότητες χρησιμοποιώντας την ανάλυση του Φουριέρ. Ορισμένες αναλογίες μικρών φυσικών αριθμών ανάμεσα στα μήκη των χορδών παράγουν τόνους που όταν παιχθούν μαζί ακούγονται ευχάριστα. Στην επιθανάτια κλίνη του ο Πυθαγόρας παρότρυνε τους μαθητές του να ασκούνται στο μονόχορδο. Σήμερα η έρευνα στων τομέα των γνωστικών αντικειμένων μας παρέχει αρκετές ενδείξεις για να εξηγηθεί αυτή η σχέση. Όταν ακούμε μουσική με το αυτί, ενεργοποιείται το δεξιό ημισφαίριο του εγκεφάλου. Όταν μαθαίνουμε να διαβάζουμε μουσική, να καταλαβαίνουμε και να μελετάμε τη θεωρία και τις μουσικές παρτιτούρες, ενεργοποιείται το αριστερό ημισφαίριο και μάλιστα η ίδια περιοχή που εμπλέκεται στην αναλυτική και μαθηματική σκέψη. Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της 109

120 να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης. Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο. Επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών =10, του έδωσαν το όνομα 110

121 «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρω ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα. Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου). Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής: - Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής. - Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής. - Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής. 111