Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών"

Transcript

1 Προβλήµατα Ικανοποίησης Περιορισµών Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Λογικός προγραµµατισµός µε περιορισµούς Προβλήµατα Ικανοποίησης Περιορισµών Ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών (constraint satisfaction problem) αποτελείται από: Ένα σύνολο n µεταβλητών V 1, V 2,...,V n. Ένα σύνολο n πεδίων τιµών D 1,...D n, που αντιστοιχούν σε κάθε µεταβλητή έτσι ώστε V i D i, και Ένα σύνολο σχέσεων (περιορισµών) C 1, C 2,...C m όπου C i (V k,...,v m ) µια σχέση µεταξύ των µεταβλητών του προβλήµατος. Λύση αποτελεί µια ανάθεση τιµών στις µεταβλητές του προβλήµατος από τα αντίστοιχα πεδία, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισµοί Γιάννης Ρεφανίδης 2

2 Είδη περιορισµών Ανάλογα µε το πόσες µεταβλητές περιλαµβάνει ένας περιορισµός χαρακτηρίζεται ως: µοναδιαίος (unary) όταν περιλαµβάνει µια µεταβλητή, π.χ. V 1 >0 δυαδικός (binary) όταν περιλαµβάνει δύο µεταβλητές, π.χ. V 1 >V 2 ανώτερης τάξης (higher order) όταν περιλαµβάνει περισσότερες, π.χ. V 1 +V 2 +V 3 >0. Γιάννης Ρεφανίδης 3 Εφαρµογές Κατανοµή εργασιών(task allocation) Κατανοµή προσωπικού σε επιχειρήσεις Ωρολόγιο πρόγραµµα (timetable) Γιάννης Ρεφανίδης 4

3 Παράδειγµα (1/6) Έστω ότι πρέπει να ορισθεί η σειρά µε την οποία θα εκτελεστούν τέσσεριςεργασίεςα, Β, Γ,. Λόγω της φύσης του προβλήµατος, η εργασία Α πρέπει να εκτελεστεί µετά από την, η ΓπριναπότηνΒ, και η Β πριν από την Α. Μεταβλητές: Α, Β, Γ, Πεδία τιµών: D A =D B =D Γ =D ={1,2,3,4} Περιορισµοί: Α Β, Α Γ, Α, Β Γ, Β, Γ Α> Γ<Β Β<Α Γιάννης Ρεφανίδης 5 Παράδειγµα (2/6) Το πρόβληµα έχει τρεις λύσεις, τις ακόλουθες: Α=4, Β=2, Γ=1, =3, δηλαδή η σειρά είναι: ΓΒ Α Α=4, Β=3, Γ=1, =2, δηλαδή η σειρά είναι:γ ΒΑ Α=4, Β=3, Γ=2, =1, δηλαδή η σειρά είναι: ΓΒΑ Το ερώτηµα που τίθεται είναι πώς φθάνει κανείς στις παραπάνω λύσεις. Παραγωγή και δοκιµή Κλασσικοί αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι ελέγχου συνέπειας Τοπική αναζήτηση Γιάννης Ρεφανίδης 6

4 Παραγωγή και οκιµή Η µέθοδος δηµιουργεί όλους τους πιθανούς συνδυασµούς ανάθεσης τιµών. Α=1, Β=1, Γ=1, =1 Α=1, Β=1, Γ=1, =2... Α=4, Β=4, Γ=4, =4 Στο προηγούµενο παράδειγµα οισυνδυασµοί ήταν 4 4 =256. Κάθε συνδυασµός ελέγχεται µέχρις ότου βρεθεί ένας που ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς. Μειονέκτηµα: Ελέγχει όλο τον χώρο αναζήτησης. Γιάννης Ρεφανίδης 7 Κλασσικοί Αλγόριθµοι Αναζήτησης Μπορούν να χρησιµοποιηθούν όλοι οι γνωστοί αλγόριθµοι αναζήτησης (κατά βάθος, κατά πλάτος, πρώτα στο καλύτερο κλπ). Στην αρχική κατάσταση οι µεταβλητές δεν έχουν πάρει τιµές. Σε κάθε βήµα δίνουµε µια τιµή σε µια µεταβλητή, αρκεί να µην παραβιάζεται κανένας περιορισµός. Το βάθος του δένδρου αναζήτησης είναι ίσο µε το πλήθος των µεταβλητών. Μειονέκτηµα: Ο έλεγχος για την ικανοποίηση των περιορισµών ενός υποσυνόλου µεταβλητών γίνεται µετά την ανάθεση τιµών σε αυτό το υποσύνολο µεταβλητών. Γιάννης Ρεφανίδης 8

5 Αλγόριθµοι ελέγχου συνέπειας (1/2) Η βασική ιδέα των αλγορίθµων ελέγχου συνέπειας είναι η όσο το δυνατόν µεγαλύτερη µείωση του χώρου αναζήτησης πριν την ανάθεση τιµών. Γενικός αλγόριθµος: Για κάθε περιορισµό αφαίρεσε από τα πεδία τιµών των µεταβλητών τις τιµές εκείνες που δεν µπορούν να συµµετέχουν στην τελική λύση. Στο µειωµένο χώρο αναζήτησης που προκύπτει από το προηγούµενο βήµα εφάρµοσε έναν κλασσικό αλγόριθµο αναζήτησης για να βρεθεί η λύση (π.χ. πρώτακατάβάθος). Σε κάθε βήµα (ανάθεση τιµής) αυτής της αναζήτησης εφάρµοσε ξανά τον αλγόριθµο ελέγχου συνέπειας έτσι ώστε να αφαιρεθούν τυχόν τιµές από τα πεδία των µεταβλητών οι οποίες δεν µπορούν να συµµετέχουν στην λύση. Γιάννης Ρεφανίδης 9 Γράφος περιορισµών Περιορισµοί: Α > Γ < Β Β < Α Α Α>Β Β<Α Β Β>Γ Γ<Β Γ Α> <Α Γιάννης Ρεφανίδης 10

6 Παράδειγµα (3/6) Α Β (C1) Β Γ (C4) Α > (C7) Α Γ (C2) Β (C5) Γ < Β (C8) Α (C3) Γ (C6) Β < Α (C9) Τα αρχικά πεδία τιµών των µεταβλητών: Α {1,2,3,4} Β {1,2,3,4} Γ {1,2,3,4} {1,2,3,4} Γιάννης Ρεφανίδης 11 Παράδειγµα (4/6) Λόγω Β < Α (C9), η µεταβλητή Β δε µπορεί σε καµιά περίπτωση να πάρει την τιµή 4, αλλά ούτε και η Α να πάρει την τιµή 1: Α {2,3,4} Β {1,2,3} Γ {1,2,3,4} {1,2,3,4} Λόγω Γ < Β (C8), η Γδενµπορεί να πάρει την τιµή 3 ούτε και την τιµή 4, ενώ η Β δε µπορεί να πάρει την τιµή 1: Α {2,3,4} Β {2,3} Γ {1,2} {1,2,3,4} Γιάννης Ρεφανίδης 12

7 Παράδειγµα (5/6) Λόγω Α > (C7) η δενµπορεί να πάρει την τιµή 4: Α {2,3,4} Β {2,3} Γ {1,2} {1,2,3} Το πεδίο της Β έχει µεταβληθεί, οπότε ο περιορισµός C9 πρέπει να επανεξεταστεί. Λόγω του Β < Α (C9) δεν µπορεί να υπάρχει η τιµή 2 στο πεδίο της Α: Α {3,4} Β {2,3} Γ {1,2} {1,2,3} Τώρα οι πιθανοί συνδυασµοί γίνονται =24, σε σχέση µε τους 256 που υπήρχαν αρχικά. Γιάννης Ρεφανίδης 13 Αλγόριθµοι ελέγχου συνέπειας (2/2) Στο σηµείο αυτό τα πεδία τιµών των µεταβλητών δεν µπορούν να περιοριστούν παραπέρα. Επιλέγεται στην τύχη µια µεταβλητή και της αποδίδεται αυθαίρετα µία από τις τιµές της. Αυτό προκαλεί επιπλέον περιορισµούς στα πεδία των υπολοίπων µεταβλητών Η παραπάνω διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι: Όλες οι µεταβλητές να πάρουν µία τιµή. Κάποια µεταβλητή να µείνει χωρίς τιµές Το σηµείο αυτό αποτελεί σηµείο υπαναχώρησης Γιάννης Ρεφανίδης 14

8 Παράδειγµα (6/6) Α {3,4} Β {2,3} Γ {1,2} {1,2,3} Α= 3 Α = 4 Περιορισµοί Γ Β Γ <Β Α > Αποτυχία Α=3 Β {2,3} Γ {1,2} {1,2,3} Α = 4 Β {2,3} Γ {1,2} {1,2,3} Β = 2 Β = 3 Περιορισµοί Γ Β Γ < Β Α = 4 Β = 2 Γ {1,2} {1,2,3} Α = 4 Β = 3 Γ {1,2} {1,2,3} Περιορισµοί Β Λύση: Α=4, Β=2, Γ=1, =3 Γ = 1 Γ = 2 Περιορι σµοί Γ Β Α = 4 Β = 3 Γ = 1 Α = 4 Β = 3 Γ = 2 Περιορισµοί Γ {1,2,3} {1,2,3} Β Γιάννης Ρεφανίδης 15 Λύση: Α=4, Β=3, Γ=1, =2 Λύση: Α=4, Β=3, Γ=2, =1 Παρατηρήσεις Ο γράφος αναζήτησης διασχίζεται συνήθως πρώτα-κατά-βάθος. Ευρετικές τεχνικές για αύξηση της απόδοσης: Επιλέγουµε ναδώσουµε τιµή πρώτα στις µεταβλητές µε τις λιγότερες τιµές. Εναλλακτικά, επιλέγουµε ναδώσουµε τιµή πρώτα στις µεταβλητές εκείνες που συµµετέχουν στους περισσότερους περιορισµούς. Αφού επιλέξουµε µια µεταβλητή, στη συνέχεια επιλέγουµε νατης αναθέσουµε πρώτα την τιµήεκείνηπουπροκαλείτη µικρότερη απόρριψη τιµών από τα πεδία των υπολοίπων µεταβλητών. Γιάννης Ρεφανίδης 16

9 Παράδειγµα: Το πρόβληµα των 8 βασιλισσών (1/3) Παριστάνουµε το πρόβληµα µε 8 µεταβλητές, µια για κάθε βασίλισσα. Κάθε βασίλισσα είναι σε διαφορετική στήλη. Το πεδίο ορισµού κάθε βασίλισσας είναι οι 8 θέσεις στη στήλη της. Γραφική αναπαράσταση των περιορισµών: Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Γιάννης Ρεφανίδης 17 Παράδειγµα: Το πρόβληµα των 8 βασιλισσών (2/3) Ανάθεση τιµής στην πρώτη βασίλισσα: Ανάθεση τιµών στις δύο πρώτες βασίλισσες: Γιάννης Ρεφανίδης 18

10 Παράδειγµα: Το πρόβληµα των 8 βασιλισσών (3/3) Ανάθεση τιµών που δεν οδηγεί σε λύση: Λύση στο πρόβληµα των8 βασιλισσών: Γιάννης Ρεφανίδης 19 Επίλυση µε τοπική αναζήτηση(1/3) Τα προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών µπορούν να αντιµετωπισθούν και µε χρήση τοπικής αναζήτησης (local search). Ως τοπική αναζήτηση θεωρείται ο αλγόριθµος αναρρίχησης λόφων και διάφορες παραλλαγές του, µε χρήση κατάλληλης ευρετικής συνάρτησης. Σε πάρα πολλές περιπτώσεις η τοπική αναζήτηση δίνει εξαιρετικά αποτελέσµατα. Η γενική φιλοσοφία της τοπικής αναζήτησης είναι η εξής: ηµιούργησε µια αρχική ανάθεση τιµών για όλες τις µεταβλητές. Μέτρησε πόσοι περιορισµοί παραβιάζονται. Επέλεξε µια µεταβλητή και άλλαξέ της τη τιµή, έτσι ώστε να µειωθεί κατά το δυνατόν περισσότερο το πλήθος των περιορισµών που παραβιάζονται (ευρετική συνάρτηση). Επανέλαβε τα βήµατα 2 και 3 µέχρι να βρεις λύση. Γιάννης Ρεφανίδης 20

11 Επίλυση µε τοπική αναζήτηση(2/3) Ξαναθυµίζουµε έναπαράδειγµα από παλαιότερο µάθηµα. Θέλουµε ναβάλουµε 4 βασίλισσες σε µια σκακιέρα 4x4, έτσι ώστε καµία να µην απειλεί τις άλλες. Προφανώς σε κάθε στήλη θα υπάρχει µία µόνο βασίλισσα. Ξεκινάµε µε όλες τις βασίλισσες στην κάτω γραµµή. Σε κάθε βήµα µπορούµε να µετακινήσουµε µια βασίλισσα σέ µια άλλη θέση στη στήλη της, άρα οι δυνατές κινήσεις είναι 4x3=12. Χρησιμοποιούμε ως ευρετική συνάρτηση το πόσες απειλές υπάρχουν κάθε φορά (όλες οι απειλές είναι διπλές, εμείςτιςμετράμεωςμία απειλή κάθε φορά). Γιάννης Ρεφανίδης 21 Επίλυση µε τοπική αναζήτηση(3/3) Στο συγκεκριµένο παράδειγµα είµασταν τυχεροί, µιας και όλες οι επιλογές µας βγήκαν σωστές. οκιµάστε να λύσετε το ίδιο πρόβληµα σε σκακιέρα 8x8 µε 8 βασίλλισες. 0 Γιάννης Ρεφανίδης 22

12 Προβλήµατα Ικανοποίησης Περιορισµών Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Λογικός προγραµµατισµός µε περιορισµούς Λογικός Προγραµµατισµός µε Περιορισµούς (1/3) Έστω για παράδειγµα ο παρακάτω κανόνας: triangle(x,y,z) :- X>=0, Y>=0, Z>=0, X+Y>=Z, X+Z>=Y, Y+Z>=X. Εάν υποβάλλουµε την ερώτηση:?- triangle(3,4,5). στην κλασσική Prolog θα πάρουµε τηναπάντηση: yes. Αν όµως υποβάλλουµε την ερώτηση:?- triangle(3,4,ζ). δεν θα πάρουµε καµία απάντηση (εκτόςίσωςαπόκάποιο µήνυµα λάθους). Ο λόγος είναι ότι στην κλασσική Prolog οι αριθµητικές σχέσεις (ισότητες, ανισότητες) µπορούν να ελεγχθούν µόνο εφόσον οι µεταβλητές έχουν όλες πάρει τιµή. Γιάννης Ρεφανίδης 24

13 Λογικός Προγραµµατισµός µε Περιορισµούς (2/3) Οι νεώτερες εκδόσεις των πιο γνωστών υλοποιήσεων της Prolog έχουν επεκτείνει τη γλώσσα µε τη δυνατότητα να χειρίζεται µεταβλητές µε πεδίο ορισµού και περιορισµούς µεταξύ των µεταβλητών (Constraint Logic Programming ή CLP). Έτσι η ερώτηση:?- triangle(3,4,ζ). αναµένεται να δώσει την απάντηση: 1=<Z=<7 Μία λύση σε ένα πρόβληµα λογικού προγραµµατισµού µε περιορισµούς είναι το σύνολο των πιο συγκεκριµένων περιορισµών πάνω στις µεταβλητές της ερώτησης. Γιάννης Ρεφανίδης 25 Λογικός Προγραµµατισµός µε Περιορισµούς (3/3) Τα συστήµατα λογικού προγραµµατισµού µε περιορισµούς συνδυάζουν την ευκολία στην περιγραφή προβληµάτων που παρέχει ο λογικός προγραµµατισµός µε τις αυξηµένες δυνατότητες επίλυσης προβληµάτων που παρέχουν οι τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών. Φυσικά υπάρχουν πλατφόρµες επίλυσης προβληµάτων ικανοποίησης περιορισµών που δεν βασίζονται στον λογικό προγραµµατισµό. Τα διάφορα συστήµατα διαφέρουν συνήθως στο είδος των περιορισµών που υποστηρίζουν (π.χ. γραµµικές ανισότητες, µηισότητα µεταξύ 2 ή πολλών µεταβλητών κλπ). Γιάννης Ρεφανίδης 26

14 ECLiPSe Prolog Η ECLiPSe Prolog υποστηρίζει πολλές περιπτώσεις περιορισµών. Ειδικότερα, µεταξύ άλλων υποστηρίζει: Βιβλιοθήκη ic (Interval Constraints) Ακέραιοι και πραγµατικοί αριθµοί µε πεδία ορισµού διαστήµατα. Βιβλιοθήκη ic_global Περιορισµοί µε περισσότερες από δύο µεταβλητές Βιβλιοθήκες ic_cumulative, ic_edge_finder Ειδικοί περιορισµοί µε πολλές µεταβλητές για προβλήµατα χρονοπρογραµµατισµού Βιβλιοθήκη ic_sets Περιορισµοί σχετικοί µε πεπερασµένα σύνολα ακεραίων κλπ Γιάννης Ρεφανίδης 27 Φόρτωση βιβλιοθήκης Για να χρησιµοποιήσουµε τις δυνατότητες των βιβλιοθηκών της ECLiPSe, πρέπει πρώτα να τις «φορτώσουµε». Γιαναφορτώσουµε µια βιβλιοθήκη στην ECLiPSe, π.χ. την ic, έχουµε δύοεπιλογές. Μέσα στο πρόγραµµά µας να τοποθετήσουµε µια από τις παρακάτω εντολές: :-lib(ic). :-use_module(library(ic)). ή στην γραµµή ερωτήσεων της ECLiPSe να δώσουµε µία από τις παρακάτω «ερωτήσεις»: lib(ic). use_module(library(ic)). Γιάννης Ρεφανίδης 28

15 Γενική µορφή προγράµµατος Η γενική µορφή ενός προγράµµατος για επίλυση προβληµάτων ικανοποίησης περιορισµών είναι η εξής: solve(variables):- read_data(data), setup_constraints(data, Variables), labeling(variables). Το κατηγόρηµα read_data/1 ορίζεται από εµάς και διαβάζει κάποια δεδοµένα σχετικά µε το πρόβληµα. Το κατηγόρηµα setup_constraints/2 ορίζεται από εµάς και ορίζει τους περιορισµούς επί των µεταβλητών, βάσει των δεδοµένων που διαβάσαµε. Το κατηγόρηµα labeling/1 είναι ενσωµατωµένο στην ECLiPSe και λύνει το πρόβληµα. Γιάννης Ρεφανίδης 29 Παράδειγµα (1/2) Έστω το πρόβληµα κρυπταριθµητικής SEND + MORE = MONEY το οποίο ορίζεται ως εξής: Βρείτε µια ένα-προς-ένα αντιστοίχιση µεταξύ των γραµµάτων S,E,N,D,M,O,R,Y και των αριθµών 0,1,2,...,9, έτσι ώστε να ισχύει η παραπάνω ισότητα. Οι µεταβλητές µας είναι τα γράµµατα S,E,N,D,M,O,R,Y. Τα πεδία τιµών τους είναι το σύνολο ακεραίων 0,1,...,9. Οι περιορισµοί είναι ότι οι µεταβλητές πρέπει να πάρουν διαφορετικές τιµές µεταξύ τους και ότι πρέπει να ισχύει η εξίσωση. Γιάννης Ρεφανίδης 30

16 Παράδειγµα (2/2) Ένα πρόγραµµα που λύνει το πρόβληµα είναι το εξής: :-lib(ic). sendmore(digits):- Digits=[S,E,N,D,M,O,R,Y], Digits :: [0..9], alldifferent(digits), S #\= 0, M #\= 0, 1000*S+100*E+10*N+D *M+100*O+10*R+E #= 10000*M+1000*O+100*N+10*E+Y, labeling(digits). Γιάννης Ρεφανίδης 31 Η βιβλιοθήκη ic Η βιβλιοθήκη ic (interval constraints) υποστηρίζει περιορισµούς επί ακεραίων και πραγµατικών αριθµών, των οποίων τα πεδία ορισµού είναι διαστήµατα. Γιάννης Ρεφανίδης 32

17 ηλώσεις περιορισµών (1/3) ήλωση πεδίου ορισµού µιας ή περισσοτέρων µεταβλητών: Vars :: Domain. όπου: Vars µια µεταβλητή ή µια λίστα µεταβλητών Domain ένα διάστηµα της µορφής Low..High ή µια λίστα τέτοιων διαστηµάτων καθώς και µεµονωµένων τιµών. Παραδείγµατα: X :: X :: [-2..3, 8..15, 19]. [Χ, Υ] :: Inf. Χ :: Εάν όλα τα διαστήµατα στο domain είναι ακέραια, η µεταβλητή θεωρείται ακέραια (integer), αλλιώς θεωρείται πραγµατική (real). Γιάννης Ρεφανίδης 33 ηλώσεις περιορισµών (2/3) υο παραλλαγές δήλωσης του πεδίου ορισµού είναι οι: Vars #:: Domain. Vars $:: Domain. Η πρώτη δήλωση καθορίζει ότι οι µεταβλητές της Vars είναι υποχρεωτικά ακέραιες ενώ η δεύτερη ότι είναι υποχρεωτικά πραγµατικές. Μπορούµε να δηλώσουµε ότι µια µεταβλητή είναι ακέραια, χωρίς να ορίσουµε πεδίο ορισµού µε δήλωσησαντην: integer(x). Παρόµοια, µπορούµε να δηλώσουµε ότι µια µεταβλητή είναι πραγµατική, χωρίς να ορίσουµε πεδίο ορισµού µε δήλωση σαν την: real(x). Γιάννης Ρεφανίδης 34

18 ηλώσεις περιορισµών (3/3) Τέλος, µπορούµε να µην δηλώσουµε καθόλου το πεδίο ορισµού µιας µεταβλητής. Αρκεί να την χρησιµοποιήσουµε µέσα σε έναν περιορισµό. Εάν βρίσκεται µέσα σε περιορισµούς που αφορούν πραγµατικούς, τότε η µεταβλητή είναι πραγµατική. Y+X $>0. Εάν βρίσκεται µέσα σε περιορισµούς που αφορούν ακεραίους, τότε η µεταβλητή είναι ακέραια. Y+X #>0. Γιάννης Ρεφανίδης 35 Παρατήρηση Έστω οι δύο παρακάτω περιορισµοί: X/2+Y/2 #= 1. και X+Y #= 2. Και οι δύο περιορισµοί ορίζουν δύο µεταβλητές ακέραιες. Ωστόσο ο πρώτος επιβάλλει να είναι ακέραια και τα X/2, Y/2, άρα επιβάλλειταχκαιυναείναιάρτιοιαριθµοί! Γενικά, κάθε περιορισµός που αφορά ακεραίους επιβάλλει όλες οι εκφράσεις/υποεκφράσεις που εµφανίζονται στον περιορισµό να είναι ακέραιες ποσότητες. Γιάννης Ρεφανίδης 36

19 Περιορισµοί διαστηµάτων Οι παρακάτω περιορισµοί αφορούν ακέραιες εκφράσεις και υποεκφράσεις. ExprX #= ExprY ExprX #>= ExprY ExprX #=< ExprY ExprX #> ExprY ExprX #< ExprY ExprX #\= ExprY Οι παρακάτω περιορισµοί αφορούν πραγµατικές εκφράσεις και υποεκφράσεις. ExprX $= ExprY ExprX $>= ExprY ExprX $=< ExprY ExprX $> ExprY ExprX $< ExprY ExprX $\= ExprY Γιάννης Ρεφανίδης 37 Λογικοί σύνδεσµοι Μπορούµε να συνδυάσουµε περιορισµούς µε τους λογικούς συνδέσµους and, or, neg και =>. Παρακάτω φαίνονται µερικά παραδείγµατα: and: X$> 3 and X$<8 or: X$<3 or X$>8 neg: neg X$>3 =>: X $>3 => Y$<8 Γιάννης Ρεφανίδης 38

20 Καθολικοί περιορισµοί Οι καθολικοί περιορισµοί αφορούν συνήθως περισσότερες από δύο µεταβλητές. Υλοποιούνται στη βιβλιοθήκη ic_global. Ο πιο γνωστός περιορισµός είναι ο alldifferent: alldifferent(list): Ο περιορισµός alldifferent επιβάλλει ότι όλες οι µεταβλητές της λίστας List θα πάρουν ξεχωριστές τιµές. ΠΡΟΣΟΧΗ: Το alldifferent ορίζεται τόσο στη βιβλιοθήκη ic όσο και στην ic_global. Για να είµαστε σίγουροι ότι το πρόγραµµά µας χρησιµοποιεί τη βιβλιοθήκη ic_global το καλούµε ως: ic_global:alldifferent(list). Το alldifferent της βιβλιοθήκης ic δεν θα ανακάλυπτε ότι τρεις µεταβλητές, κάθε µια από τις οποίες έχει το ίδιο πεδίο ορισµού µε δύοµόνο τιµές, παραβιάζουν τον περιορισµό. Γιάννης Ρεφανίδης 39 Εύρεση λύσεων Υπάρχουν δύο κατηγορήµατα που ξεκινούν τη διαδικασία εύρεσης ανάθεσης τιµών στις µεταβλητές: indomain(x): Η µεταβλητή Χ είναι µια µεταβλητή για την οποία έχουν ορισθεί κάποιοι περιορισµοί. Η κλήση indomain(x) αναθέτει στην Χ µια από τις τιµές που αυτή µπορεί να πάρει, ενώ ταυτόχρονα ενηµερώνει όλες τις µεταβλητές που συµµετέχουν σε περιορισµούς µε την Χ. labeling(list): Η λίστα List περιλαµβάνει ένα σύνολο µεταβλητών για τις οποίες έχουν ορισθεί κάποιοι περιορισµοί. Η κλήση στην labeling επιχειρεί να βρει µια ανάθεση τιµών στις µεταβλητές της List, η οποία να είναι συµβατή µε όλους τους περιορισµούς όπου συµµετέχουν οι µεταβλητές. Συνήθως καλούµε τηνlabeling µε όλεςτιςµεταβλητές του προβλήµατος. Γιάννης Ρεφανίδης 40

21 Παράδειγµα Το παρακάτω πρόγραµµα βρίσκει µαγικά τετράγωνα 3x3. :-lib(ic). :-lib(ic_global). magic(digits):- Digits=[ A,B,C, D,E,F, G,H,I], Digits :: [1..9], ic_global:alldifferent(digits), A+B+C #= 15, D+E+F #= 15, G+H+I #= 15, A+D+G #= 15, B+E+H #= 15, C+F+I #= 15, A+E+I #= 15, C+E+G #= 15, labeling(digits). Γιάννης Ρεφανίδης 41 Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (1/2) Όταν η ECLiPSe εκτελεί πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς και εξάγει αποτελέσµατα, τα αποθηκεύει εσωτερικά ως ένα διάστηµα τιµών. Για παράδειγµα:?- 3*Χ $=4. X = Το διάστηµα τιµών παριστάνεται µε δύοόρια, το κάτω και το πάνω όριο, τα οποία διαχωρίζονται µεταξύ τους µε δύο παύλες. Η µορφή αυτή των πραγµατικών αριθµών ονοµάζεται «φραγµένοι πραγµατικοί» (bounded reals). Μπορούµε να µετατρέψουµε µόνοι µας έναν απλό πραγµατικό αριθµό σε φραγµένο, ως εξής:?- X is breal(2). X = Γιάννης Ρεφανίδης 42

22 Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (2/2) Ο λόγος χρήσης των φραγµένων πραγµατικών είναι για να µην δηµιουργούνται εσφαλµένα αποτελέσµατα λόγω περιορισµένης ακρίβειας των υπολογισµών του υπολογιστή. Συγκρίνετε τα παρακάτω δύο παραδείγµατα:?- Y is 1 / 10, X is Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y. X = Y = 0.1?- Y is breal(1) / 10, X is Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y + Y. X = Y = Μερικές φορές επιστρέφονται ιδιαίτερα µεγάλα διαστήµατα τιµών. Ωστόσο είναι προτιµότερο από το να επιστρέφεται µια συγκεκριµένη αλλά εσφαλµένη τιµή. Γιάννης Ρεφανίδης 43 Παρατηρήσεις Όταν εργαζόµαστε µε φραγµένους πραγµατικούς, χρειάζεται προσοχή όταν χρησιµοποιούµε συγκρίσεις αριθµών (προσοχή: απλές συγκρίσεις, όχι επιβολή περιορισµών), ιδιαίτερα όταν τα διαστήµατά τους επικαλύπτονται. Γενικά η ECLiPSe συγκρίνει δύο φραγµένους πραγµατικούς των οποίων τα διαστήµατα επικαλύπτονται µε βάση το κάτω τους όριο. Στο παρακάτω παράδειγµα, το κατηγόρηµα compare/3 επιστρέφει στο πρώτο του όρισµα τη σχέση διάταξης που υπάρχει µεταξύ των δύο επόµενων ορισµάτων του.?- X = , Y = , compare(r, X, Y). R = < X = Y = Γιάννης Ρεφανίδης 44

23 Περιορισµοί µε πραγµατικούς αριθµούς (1/6) Μπορούµε ναχρησιµοποιήσουµε τηνeclipse για να λύσουµε συστήµατα αριθµητικών εξισώσεων µε πολλούς αγνώστους πραγµατικούς αριθµούς. Για παράδειγµα:?- 3*Χ $=4. X = Για λίγο πιο σύνθετα όµως προβλήµατα, χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε το κατηγόρηµα locate/2. Γιάννης Ρεφανίδης 45 Περιορισµοί µε πραγµατικούς αριθµούς (2/6) Συγκρίνετε τα παρακάτω τρία παραδείγµατα:?- X ^ 2 + Y ^ 2 $= 4, (X - 1) ^ 2 + (Y - 1) ^ 2 $= 4. X = X{ } Y = Y{ } There are 12 delayed goals.?- X ^ 2 + Y ^ 2 $= 4, (X - 1) ^ 2 + (Y - 1) ^ 2 $= 4, labeling([x, Y]). Abort?- X ^ 2 + Y ^ 2 $= 4, (X - 1) ^ 2 + (Y - 1) ^ 2 $= 4, locate([x, Y], ). X = X{ } Y = Y{ } There are 12 delayed goals. Yes (0.01s cpu, solution 1, maybe more) Γιάννης Ρεφανίδης 46

24 Περιορισµοί µε πραγµατικούς αριθµούς (3/6) Στο προηγούµενο παράδειγµα προσπαθήσαµε να βρούµε τα σηµεία τοµής δύο κύκλων, µε κέντρατα(0,0) και (1,1) αντίστοιχα και ακτίνα 2. Το κατηγόρηµα locate/2 λειτουργεί καλά όταν υπάρχει πεπερασµένος αριθµός διακριτών λύσεων. Το δεύτερο όρισµα του locate/2 είναι η ακρίβεια µε την οποία θέλουµε ναπροσεγγίσουµε τις λύσεις. Γιάννης Ρεφανίδης 47 Περιορισµοί µε πραγµατικούς αριθµούς (4/6) Γιάννης Ρεφανίδης 48

25 Περιορισµοί µε πραγµατικούς αριθµούς (5/6) Εάν υπάρχει άπειρος αριθµός συνεχών λύσεων, τότε χρησιµοποιούµε τοκατηγόρηµα squash/3. Στο παρακάτω παράδειγµα επιχειρούµε να βρούµε την περιοχή τοµής των δύο κυκλικών δίσκων η οποία είναι από την επάνω πλευρά της ευθείας Y=X.?- X^2 + Y^2 $=< 4, (X-1)^2 + (Y-1)^ 2 $=< 4, Y $>= X, squash([x, Y], , lin). X = X{ } Y = Y{ } Γιάννης Ρεφανίδης 49 Περιορισµοί µε πραγµατικούς αριθµούς (6/6) Y=X Γιάννης Ρεφανίδης 50

26 Η βιβλιοθήκη ic_sets (1/2) Η βιβλιοθήκη ic_sets χειρίζεται σύνολα ακεραίων. Ένα σύνολο ακεραίων είναι µια διατεταγµένη λίστα ακεραίων αριθµών. S1 = [1, 3, 7] S2= [ ] Ορίζουµε µια µεταβλητή συνόλου δίνοντας τα σίγουρα και τα περισσότερα δυνατά στοιχεία της:?- S1 :: [2, 3].. [1, 2, 3, 4]. S1 = S1{[2, 3] \/ ([].. [1, 4]) : _313{2.. 4}} Η παραπάνω δήλωση σηµαίνει ότι η µεταβλητή S1 είναι ένα σύνολο το οποίο περιέχει σίγουρα τα στοιχεία 2 και 3, ενώ µπορεί ενδεχοµένως να περιέχει και τα 1 και 4. Στην απάντησή της η ECLiPSe µας δίνει και τον πληθικό αριθµό του συνόλου. Γιάννης Ρεφανίδης 51 Η βιβλιοθήκη ic_sets (2/2) Προσοχή: Εάν έχουµε φορτώσει και τη βιβλιοθήκη ic, η παραπάνω δήλωση θα έπρεπε να γραφεί ως: ic_sets:( S1 :: [ 2, 3]..[1,2,3,4] ) Γιάννης Ρεφανίδης 52

27 Περιορισµοί συνόλων Μπορούµε να θέσουµε περιορισµούς µεταξύ συνόλων ή µεταξύ ακεραίων και συνόλων.?x in?set : Ο ακέραιος Χ είναι µέλος του συνόλου Set?X notin?set : Ο ακέραιος Χ δεν είναι µέλος του συνόλου Set #(?Set,?Card) : Ο πληθικός αριθµός του συνόλου Set είναι Card?Set1 sameset?set2 : Τα σύνολα Set1 και Set2 είναι ίδια.?set1 disjoint?set2 : Τα σύνολα Set1 και Set2 είναι ξένα.?set1 includes?set2 : Το σύνολο Set1 είναι υπερσύνολο του Set2.?Set1 subset?set2 : Το σύνολο Set1 είναι υποσύνολο του Set2. intersection(?set1,?set2,?set3) : Το Set3 είναι τοµή τωνset1 και Set2. union(?set1,?set2,?set3) : Το Set3 είναι ένωση των Set1 και Set2. difference (?Set1,?Set2,?Set3) : Το Set3 είναι διαφορά των Set1 και Set2. symdiff (?Set1,?Set2,?Set3) : Το Set3 είναι συµµετρική διαφορά των Set1 και Set2. Γιάννης Ρεφανίδης 53

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ (ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΚΕΦ. 6 ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ «ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ» ΤΩΝ ΒΛΑΧΑΒΑ, ΚΕΦΑΛΑ, ΒΑΣΙΛΕΙΑ Η, ΚΟΚΚΟΡΑ & ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ) Ι. ΧΑΤΖΗΛΥΓΕΡΟΥ ΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Είναι γνωστές µερικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 6 Ικανοποίηση Περιορισµών Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Ικανοποίηση Περιορισµών Ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών (constraint

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Τελικές εξετάσεις 17 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια: 2 ώρες (15:00-17:00)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών

Πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Constraint Satisfaction Problems Πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών Μεταβλητές: X 1, X 2,, X n, Πεδία ορισµού: D 1, D 2, D n Περιορισµοί: C 1, C 2,, C m Ανάθεση τιµών:

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Ερωτήσεις Σωστό - Λάθος 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου αριθµού εντολών. 2. Η είσοδος σε έναν αλγόριθµο µπορεί να είναι έξοδος σε έναν άλλο αλγόριθµο. 3. Ένας αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

int array[10]; double arr[5]; char pin[20]; Προγραµµατισµός Ι

int array[10]; double arr[5]; char pin[20]; Προγραµµατισµός Ι Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό «C» Πίνακες Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Τµήµα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Νικόλαος Δ. Τσελίκας Νικόλαος Προγραµµατισµός Δ. Τσελίκας Ι Πίνακες στη C Ένας πίνακας στη C είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης! Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Αλγόριθµοι τυφλής

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 12 η Αναζήτηση/Ταξινόμηση Πίνακα Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα C: Από τη Θεωρία στην

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί κεφαλαίου. Σηµαντικά σηµεία κεφαλαίου

Ορισµοί κεφαλαίου. Σηµαντικά σηµεία κεφαλαίου Ορισµοί κεφαλαίου Αλγόριθµος είναι µια πεπερασµένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισµένων και εκτελέσιµων σε πεπερασµένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήµατος. Σηµαντικά σηµεία κεφαλαίου Κριτήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Τελικές εξετάσεις 20 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια: 3 ώρες (15:00-18:00)

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων! Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Γενικά " Τεχνητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της Java

Βασικά στοιχεία της Java Βασικά στοιχεία της Java προτάσεις, εκφράσεις, µεταβλητές, σταθερές, τελεστές Ορισµοί Πρόταση (statement) είναι µία απλή εντολή σε µία γλώσσα προγραµµατισµού. Γιαπαράδειγµα: int x=12; Έκφραση (expression)

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER 4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την "Επίλυση", µπορείτε να βρείτε τη βέλτιστη τιµή για τον τύπο ενός κελιού το οποίο ονοµάζεται κελί προορισµού σε ένα φύλλο εργασίας. Η "Επίλυση" λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

char name[5]; /* define a string of characters */

char name[5]; /* define a string of characters */ Συµβολοσειρές (Strings) Συµβολοσειρά (string) είναι µια σειρά αλφαριθµητικών χαρακτήρων (γενικά εκτυπώσιµων συµβόλων ASCII). Όταν λέµε σειρά εννοούµε διαδοχικές θέσεις µνήµης που µπορούν να αντιµετωπισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου (νέο βιβλίο Πληροφορικής Γυµνασίου Αράπογλου, Μαβόγλου, Οικονοµάκου, Φύτρου) Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις 1. Εξηγήσετε και συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα Περίπτωσης. Τίτλος: Οι διαφορές της απλής, της σύνθετης και της εμφωλευμένης δομής επιλογής

Δραστηριότητα Περίπτωσης. Τίτλος: Οι διαφορές της απλής, της σύνθετης και της εμφωλευμένης δομής επιλογής Δραστηριότητα Περίπτωσης Τίτλος: Οι διαφορές της απλής, της σύνθετης και της εμφωλευμένης δομής επιλογής Γενικός Διδακτικός Στόχος: Να κατανοήσουν οι μαθητές τις διαφορές της απλής, της σύνθετης και της

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. 1. Συμβολική γλώσσα 2. Γλώσσες υψηλού επιπέδου 3. Γλώσσες τέταρτής γενιάς 4. Γλώσσα μηχανής

ΘΕΜΑ 1. 1. Συμβολική γλώσσα 2. Γλώσσες υψηλού επιπέδου 3. Γλώσσες τέταρτής γενιάς 4. Γλώσσα μηχανής ΘΕΜΑ 1 Α1Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα τη λέξη Σώστο,αν είναι σωστή και τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1.ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού αλά

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνία:

Επικοινωνία: Σπύρος Ζυγούρης Καθηγητής Πληροφορικής Επικοινωνία: spzygouris@gmail.com Πως ορίζεται ο τμηματικός προγραμματισμός; Πρόγραμμα Εντολή 1 Εντολή 2 Εντολή 3 Εντολή 4 Εντολή 5 Εντολή 2 Εντολή 3 Εντολή 4 Εντολή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

Απλοποιεί τα γεγονότα έτσι ώστε να περιγράφει τι έχει γίνει και όχι πως έχει γίνει.

Απλοποιεί τα γεγονότα έτσι ώστε να περιγράφει τι έχει γίνει και όχι πως έχει γίνει. οµηµένες τεχνικές Ο στόχος των δοµηµένων τεχνικών είναι: Υψηλής ποιότητας προγράµµατα Εύκολη τροποποίηση προγραµµάτων Απλοποιηµένα προγράµµατα Μείωση κόστους και χρόνου ανάπτυξης. Οι βασικές αρχές τους

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Εισαγωγή στην C Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Τµήµα Α Με την εντολή include συµπεριλαµβάνω στο πρόγραµµα τα πρότυπα των συναρτήσεων εισόδου/εξόδου της C.Το αρχείο κεφαλίδας stdio.h είναι ένας κατάλογος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ευριστικής Αναζήτησης

Αλγόριθµοι Ευριστικής Αναζήτησης Αλγόριθµοι Ευριστικής Αναζήτησης Ευριστικός µηχανισµός (heuristic) είναι µία στρατηγική, βασισµένη στη γνώση για το συγκεκριµένο πρόβληµα, ηοποίαχρησιµοποιείται σα βοήθηµα στη γρήγορη επίλυσή του.! Ο ευριστικόςµηχανισµός

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις

Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις 15 Νοεμβρίου 2011 1 Γενικά Στην standard Pascal ορίζονται τέσσερις βασικοί τύποι μεταβλητών: integer: Παριστάνει ακέραιους αριθμούς από το -32768 μέχρι και το

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Τελικές εξετάσεις 20 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες (15:00-18:00)

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα. Η δομή Επιλογής στη PASCAL. H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Η εντολή επανάληψης for

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα. Η δομή Επιλογής στη PASCAL. H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Η εντολή επανάληψης for Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL Η εντολή επανάληψης for Σκοπός Η εντολή επανάληψης while. 1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 6 Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Εντολές επιλογής

Κεφάλαιο 4ο: Εντολές επιλογής Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 4ο: Εντολές επιλογής Μέχρι τώρα παρατηρήσαµε ότι τα προβλήµατα που αντιµετωπίσαµε είχαν σειριακή κίνηση, δηλαδή η µία εντολή

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Ερωτήσεων

Επεξεργασία Ερωτήσεων Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ερωτήσεων 1 Εισαγωγή ΣΔΒΔ Σύνολο από προγράµµατα για τη διαχείριση της ΒΔ Αρχεία ευρετηρίου Κατάλογος ΒΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχεία δεδοµένων συστήµατος Σύστηµα Βάσεων Δεδοµένων (ΣΒΔ)

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL. Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός

Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL. Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός 7.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η έννοια της συνάρτησης ως υποπρογράμματος είναι τόσο βασική σε όλες τις γλώσσες προγραμματισμού,

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

if(συνθήκη) {... // οµάδα εντολών } C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 5 ο Κεφάλαιο

if(συνθήκη) {... // οµάδα εντολών } C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 5 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 5 ο Έλεγχος Προγράµµατος Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Η εντολή if (Ι) Η εντολή if είναι µία από τις βασικότερες δοµές ελέγχου ροής στη C, αλλά και στις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ. Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας - Λευκάδα

Πληροφορική ΙΙ. Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας - Λευκάδα Πληροφορική ΙΙ Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας - Λευκάδα Στέργιος Παλαμάς, Υλικό Μαθήματος «Πληροφορική ΙΙ», 2015-2016 Μάθημα 1: Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Αλγόριθμος είναι μια πεπερασμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης

Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης Στο πρώτο µάθηµα θα εξοικειωθείς µε τις βασικές εντολές του Scratch που βρίσκονται στην παλέτα κίνηση. Θα µάθεις να µετακινείς ένα αντικείµενο, να το περιστρέφεις και να το

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων Εισαγωγή Η χρήση των μεταβλητών με δείκτες στην άλγεβρα είναι ένας ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι 5.1 Η έννοια του αλγορίθµου 5.2 Αναπαράσταση αλγορίθµων 5.3 Επινόηση αλγορίθµων 5.4 Δοµές επανάληψης 5.5 Αναδροµικές δοµές 1 Αλγόριθµος: Ορισµός Ένας αλγόριθµος είναι ένα διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον. Διάρκεια 3 ώρες. Όνομα... Επώνυμο... Βαθμός...

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον. Διάρκεια 3 ώρες. Όνομα... Επώνυμο... Βαθμός... 1 Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Διάρκεια 3 ώρες Στοιχεία Μαθητή: Όνομα... Επώνυμο... Βαθμός... 2 Θεμα Α (30%) Α1 ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ 1. Ένα υποπρόγραμμα δεν μπορεί να κληθεί περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση 1. Γενικά Η εξάσκηση στο Εργαστήριο προϋποθέτει τη γνώση των εντολών (τουλάχιστον) τις οποίες καλείται ο σπουδαστής κάθε φορά να εφαρµόσει. Αυτές παρέχονται µέσω της Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις Επαναληπτικό ιαγώνισµα Πληροφορικής Γ Γυµνασίου (νέο βιβλίο Πληροφορικής Γυµνασίου Αράπογλου, Μαβόγλου, Οικονοµάκου, Φύτρου) Γιώργος Λιακέας Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Ερωτήσεις 1. Τι είναι ο Αλγόριθµος;

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW.

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW. Front Panel και Block Diagram 1. Το LAbVIEW αποτελείται από δύο καρτέλες. Το Front Panel και το Block Diagram. Εναλλασσόµαστε ανάµεσα στις δύο καρτέλες µε τη συντόµευση CTRL+E ή µε το µενού Windows / Show

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα