ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ"

Ἰουλία Αναστασιάδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διαφορικός λογισμός - Πολυωνυμικό ανάπτυγμα - Τοπικά ακρότατα

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ 2

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (1D) Σχετική μεταβολή της τιμής μιας συνάρτησης ως προς τις μεταβολές της τιμής της μεταβλητής. Κλίση γραμμής εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση.

3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (1D) Σχετική μεταβολή της τιμής μιας συνάρτησης ως προς τις μεταβολές της τιμής της μεταβλητής. Κλίση γραμμής εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση. Καλύτερη «γραμμική» προσέγγιση στο εν λόγω σημείο. Ορισμός παραγώγου 1 ης τάξης: Η f(x): R R είναι διαφορίσιμη στο σημείο x 0 R αν και μόνο αν υπάρχει το πεπερασμένο όριο lim x x 0 f x f(x 0 ) x x 0, το οποίο και ονομάζεται παράγωγος df/dx = f (x) της f στο x 0. 3

4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (1D) 4

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (nd) Μερικές παράγωγοι Ολική παράγωγος. Μερικές (f): Διαφόριση 1D ως προς κάθε μεταβλητή με σταθεροποιημένες όλες τις υπόλοιπες μεταβλητές.

5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (nd) Μερικές παράγωγοι Ολική παράγωγος. Μερικές (f): Διαφόριση 1D ως προς κάθε μεταβλητή με σταθεροποιημένες όλες τις υπόλοιπες μεταβλητές. Ολική (df): Μέση μεταβολή ως προς όλες τις μεταβλητές. Ορισμός ολικής παραγώγου: Αν f: R n R διαφορίσιμη σε κάθε διεύθυνση του R n, ορίζεται στο Χ 0 (x 10, x 20,, x n0 ) η df X = f X dx, όπου f X = f/x 1 f/x n το διάνυσμα κλίσης της f στο Χ 0. 5

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (nd) Παράγωγοι του γινομένου συναρτήσεων: u R n, X R nxn uχ = u X + u X. X, Υ R nxn Χ Υ = Χ Υ + Χ Υ. Κανόνας της αλυσίδας (σύνθετες συναρτήσεις): X R n, f, g, h: R n R, h = g f h X = g f X f X. Θεώρημα μέσης τιμής διαφορίσιμης συνάρτησης: Αν Χ, Υ D R n, τότε Ξ D με f(υ) - f(χ) = f(ξ) Υ Χ. Θεώρημα του εφαπτόμενου επιπέδου: Η: R n R m, S = {Χ R n : Η(Χ) = 0}, Χ 0 S h i γραμ. ανεξ., ꓱ εφαπτ. επίπεδο της S στο Χ 0, Τ = {Υ R n : H X 0 Y = 0}. 6

7 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Αποτελούν γενίκευση των παραγώγων 1 ης τάξης: Πίνακες που έχουν διαστάσεις n [(τάξη παραγώγου)-1] x n. Παράδειγμα: Ολική παράγωγος 2 ης τάξης της f(χ): R n R. d 2 f X = dχ Τ 2 f X dx. 2 f: Εσσιανός πίνακας της f (Ιακωβιανός της f, συμμετρικός λόγω ταυτότητας 2 f x i x j = 2 f x j x i ). 2 f = 2 f 2 f 2 f x2 1 x 1 x 2 x 1 x n 2 f 2 f 2 f x 2 x 1 x2 x 2 x n 2 f 2 f 2 f x n x 1 x n x 2 x2 n Διανυσματική συνάρτηση Πίνακας mx1 με στοιχεία (υποπίνακες) την κλίση κάθε συνιστώσας f m της F. 7

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Ποιές οι παράγωγοι df 1 Τdx, 2 f 2 των συναρτήσεων f 1 x = ln x n + sin(x) και f 2 Χ = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1? Η f 1 είναι σύνθεση των g 1 (u) = ln u, u = g 2 (x) = x n + sin(x). Είναι dg 1 Τdu = 1Τu και Τdx = nx n 1 + cosx, συνεπώς: df 1 = d[g 1 g 2 ] dx dx dg 2 = dg 1 du dg 2 dx = 1 x n +sinx nxn 1 + cosx. Όσον αφορά την f 2, ο Εσσιανός πίνακας δίνεται από την: 2 f 2 = 2 f 2 x f 2 2 f 2 x 2 x 1 x2 2 2 f 2 2 f 2 x 1 x 2 x 1 x 3 2 f 2 x 2 x 3 2 f 2 2 f 2 2 f 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x2 3 = x x 2 + x 3 x 1 x 3 + x 1 1 x 1 x 1 + x 2 x x 2 + x 3 x 2 x 3 + x 1 2 x 2 x 1 + x 2 x x 2 + x 3 x 3 x 3 + x 1 3 x 3 x 1 + x 2 =

9 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR Κεντρικής σημασίας για μεθόδους βελτιστοποίησης. Οι συντελεστές του πολυωνυμικού αναπτύγματος έχουν συγκεκριμένη σχέση με τις ολικές παραγώγους της f. Ορισμός αναπτύγματος Taylor: Χ, Y R n, διαφορίσιμη f: S R n R. f X+Y =f X + σ m=1 Υ T m f(x) m!. Στο ανάπτυγμα διατηρούνται Μ όροι. Παράδειγμα: Σειρά 1 ης & 2 ης τάξης. f X = f(x 0 )+ f X 0 X X 0 + X X 0 T 2 f(x 0 ) X X 0 9

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Αναλύστε κατά Taylor γύρω από το Χ 0 = (1, 2, -1), με ακρίβεια 1 ης τάξης, τη συνάρτηση f 2 του Παρ. 1. Για τον υπολογισμό του αναπτύγματος μας λείπει μόνο η παράγωγος 1 ης τάξης της f 2. Αυτή υπολογίζεται ως εξής: f 2 = f 2 x 1 f 2 x 2 f 2 x 3 = x 2 + x 3 x 3 + x 1 x 1 + x 2. Με βάση το μαθηματικό τύπο της σειράς Taylor, έχουμε: f 2 X = f 2 X 0 + f 2 X 0 Χ X 0 = = x 1 1 x 2 2 x Τ. Με απλές πράξεις βρίσκουμε τελικά f 2 (X) = 1 + x 1 + 3x 3. 10

11 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τα σημεία όπου η f αποκτά ελάχιστη ή μέγιστη τιμή. Αλλαγή μονοτονίας Μηδενισμός df Κρίσιμο σημείο. Ορισμοί ακροτάτων και κρίσιμων σημειών: Ένα σημείο X* είναι τοπικό ελάχιστο (μέγιστο) αν υπάρχει ρ > 0 ώστε f(x*) f(x) (f(x*) f(x)) για κάθε X D(Χ*, ρ). X* = ολικό ακρότατο ρ = ελεύθερη παράμετρος. Ένα σημείο X* είναι κρίσιμο αν f x i = 0 (i = 1, 2,, n). Μέθοδος υπολογισμού των ακρότατων??? Εύρεση κρίσιμων σημείων Έλεγχος καμπυλότητας f. Παράδειγμα: Κρίσιμο σημείο είναι ελάχιστο αν 2 f 0. 11

12 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ 12

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ Ποιά τα c 1,c 2 0 ώστε το (α,β) (0,0) να είναι κρίσιμο σημείο της f Χ = c 1 c 2 x x 1 sin c 2 x 2? Ποιο το f(α,β)? (α,β) κρίσιμο σημείο της f f(α,β) = f(α,β) = 0. x 1 x 2 Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους στο (α,β): f α, β = f(α,β) x 1 f(α,β) x 2 = 3c 1 c 2 a 2 + 2sin c 2 β 2c 2 αcos c 2 β. Η 2 η σχέση μηδενισμού δίνει c 2 β = π/2, ή αλλιώς c 2 = π/2β. Η 1 η σχέση, επειδή sin(c 2 β) = 1, γίνεται 3c 1 πα 2 /2β + 2 = 0, με τελικό αποτέλεσμα το c 1 = - 4β/3πα 2. Με βάση τα παραπάνω, είναι f(α,β) = - 2α/3 + 2α = 4α/3. 13

Πολυωνυμικό ανάπτυγμα. Εύρεση κρίσιμων σημείων.

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ (σειρά 1) 8 ασκήσεις προς επίλυση: Πράξεις με πίνακες. Προβλήματα ιδιοτιμών. Υπολογισμός παραγώγων. Πολυωνυμικό ανάπτυγμα. Εύρεση κρίσιμων σημείων. Παράδοση των ασκήσεων 26/3/ εβδομάδες για να τις επεξεργαστείτε! Συνεχής επικοινωνία για απορίες 14

15 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Διαφορικός λογισμός Πολυωνυμικό ανάπτυγμα Τοπικά ακρότατα 15

Σχετικά έγγραφα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ - Διαφορικός λογισμός (3D) - Πολυωνυμικό ανάπτυγμα - Τοπικά ακρότατα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ