Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)"

Transcript

1 Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο ) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-1

2 Κίνητρα Υπάρχουν ήδη συλλογισμών που δεν μπορούν να δικαιολογηθούν μέσω του προτασιακού λογισμού. Για παράδειγμα Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί. Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος. Συμπέρασμα: Ο Σωκράτης είναι θνητός Στον προτασιακό συλλογισμό κάθε μια από τις πιο πάνω προτάσεις αποτελεί δήλωση η οποία μπορεί να πάρει ανεξάρτητα από κάθε άλλη τις τιμές T και F. Όμως, η ορθότητα του συλλογισμού εξαρτάται από τη δομή των επιμέρους προτάσεων καθώς και από τη σημασία της έκφρασης «όλοι οι άνθρωποι». ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-2

3 Κατηγορήματα και ποσοδείκτες (1) Για τον σκοπό αυτό ο κατηγορηματικός λογισμός εισάγει την έννοια του κατηγορήματος της μορφής Κ(x) που μας λέει ότι το αντικείμενο x έχει την ιδιότητα Κ. Χρησιμοποιεί επίσης τους ποσοδείκτες:, ο καθολικός ποσοδείκτης. x Θ(x) μας λέει ότι κάθε x έχει την ιδιότητα Θ., ο υπαρξιακός ποσοδείκτης. x Θ(x) μας λέει ότι υπάρχει κάποιο x που έχει την ιδιότητα Θ. Αν γράψουμε, Α(x): o x είναι άνθρωπος Θ(x): o x είναι θνητός Σ ο Σωκράτης ο συλλογισμός μας μπορεί να γραφτεί ως: x. A(x) Θ(x) Α(Σ) Θ(Σ) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-3

4 Κατηγορήματα και ποσοδείκτες (1) Η ορθότητα του συλλογισμού είναι ανεξάρτητη από τη σημασία των Α, Θ, Σ. Σημασία έχουν τα κατηγορήματα και οι ποσοδείκτες. Οι προτάσεις τυγχάνουν ερμηνείας μέσα σε ένα σύμπαν από αντικείμενα και ανάλογα μπορούν να είναι αληθείς ή ψευδείς. Ο κατηγορηματικός λογισμός ονομάζεται και πρωτοβάθμια λογική γιατί σε αυτόν οι ποσοδείκτες αναφέρονται σε στοιχεία του σύμπαντος και όχι σύνολα στοιχείων. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-4

5 Κατηγορηματικός Λογισμός Σύνταξη Μια γλώσσα κατηγορηματικού λογισμού περιέχει: Λογικά σύμβολα Μεταβλητές: x, y, z, Λογικούς συνδέσμους:,,, Παρενθέσεις: (, ) Ποσοδείκτες:, Μη λογικά σύμβολα Σταθερές: c 1, c 2, Σύμβολα κατηγορημάτων: Για κάθε φυσικό ακέραιο n υπάρχει ένα σύνολο συμβόλων, τα σύμβολα κατηγορημάτων βαθμού n. Σύμβολα συναρτήσεων: Για κάθε φυσικό ακέραιο n υπάρχει ένα σύνολο συναρτήσεων n θέσεων. Για τον ορισμό μιας γλώσσας κατηγορηματικού λογισμού αρκεί να ορίσουμε το σύνολο των μη λογικών συμβόλων. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-5

6 Γλώσσα για Αριθμητική, Λ Α : Παράδειγμα Σταθερές: 0, 1 Σύμβολα κατηγορημάτων: =, (σύμβολα βαθμού 2 αποτελούν δυαδικές σχέσεις) Σύμβολα συναρτήσεων:+, (συναρτήσεις βαθμού 2 παίρνουν δύο παραμέτρους). ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-6

7 Κατηγορηματικός Λογισμός Όροι Κάθε πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του κατηγορηματικού λογισμού ονομάζεται έκφραση. Δεν αποτελούν όμως όλες οι εκφράσεις νόμιμες προτάσεις. Το σύνολο των όρων μιας γλώσσας κατηγορηματικού λογισμού παράγεται ως εξής: term ::= c x f(term,, term) δηλαδή κάθε σταθερά της γλώσσας είναι όρος κάθε μεταβλητή της γλώσσας είναι όρος και, αν f n είναι μια συνάρτηση βαθμού n και t 1,, t n όροι, τότε και ο f n (t 1,, t n ) είναι όρος. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-7

8 Ατομικές προτάσεις και έγκυροι τύποι Ατομική πρόταση του Κατηγορηματικού Λογισμού ορίζούμε ως οποιαδήποτε έκφραση της μορφής p = R(term1,, term n ) όπου R είναι ένα κατηγορηματικό σύμβολο βαθμού n και term 1,, term n, όροι της γλώσσας. Το σύνολο των νόμιμων τύπων του Κατηγορηματικού Λογισμού ορίζεται ως το μικρότερο σύνολο προτάσεων που παράγονται ως εξής: ::= p ( ) ( ) ( ) ( ) x x Δηλαδή: Κάθε ατομική πρόταση p είναι τύπος Αν η Φ είναι ένας τύπος, τότε και η άρνηση του Φ είναι τύπος Αν οι Φ και Ψ είναι τύποι, τότε η σύζευξη, η διάζευξη και η συνεπαγωγή τους είναι επίσης τύποι Αν η x είναι μια μεταβλητή και η Φ είναι ένας τύπος τότε οι x και x είναι τύποι. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-8

9 Παράδειγμα Όροι στην Λ Α (Διαφάνεια 3-6) είναι οι: 0 x +(0, x) (ή 0+x ) (1, +(1, y)) (ή 1 (1+y) ) +( (1,1), +(0,1)) (ή (1 1) + (0+1) ) Κατηγορήματα στη γλώσσα Λ Α είναι τα: (0,1) (ή 0 1 ) = (+(0, x), 1) (ή 0+x = 1 ) ( (1, +(1, y),),0) (ή ) =( (1,1), +(0,1))) (ή ) Τύπος στη γλώσσα Λ Α είναι ο: x ( y ((1 x) (1 y) (x+y x y) (x+y x y) ) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-9

10 Ελεύθερες Μεταβλητές Στις προτάσεις x και x η πρόταση ονομάζεται το βεληνεκές του ποσοδείκτη. Όταν μια μεταβλητή x βρίσκεται εντός του βεληνεκούς ενός ποσοδείκτη x ή x τότε λέμε ότι η εμφάνιση της μεταβλητής είναι δεσμευμένη, διαφορετικά λέμε ότι είναι ελεύθερη. Ποιες εμφανίσεις μεταβλητών στις πιο κάτω προτάσεις είναι δεσμευμένες και ποιες ελεύθερες; x( y R(x,y) R(z,c)) x (R(y,x) y R(x,y)) x y R(y,x, f(x,y)) ( y R(y,f(x))) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-10

11 Αντικατάσταση Τιμές στις μεταβλητές μιας πρότασης δίνονται μέσω της έννοιας της αντικατάστασης. Έστω μεταβλητή x, όρος t και πρόταση. Ορίζουμε [t/x] ως την πρόταση που λαμβάνουμε αντικαθιστώντας κάθε ελεύθερη εμφάνιση της μεταβλητής x με τον όρο t. Αν φ είναι ένας τύπος και t ένας όρος τότε λέμε ότι η x είναι αντικαταστίσιμη από τον t στον φ αν καμιά ελεύθερη εμφάνιση της x στον φ δεν βρίσκεται στο βεληνεκές ενός ποσοδείκτη y ή y όπου y είναι μια μεταβλητή που εμφανίζεται στον t. Ή, ισοδύναμα, καμιά μεταβλητή δεν δεσμεύεται λόγω της αντικατάστασης στον φ. Παράδειγμα: Η x είναι αντικαταστίσιμη από τον όρο y στον τύπο R(x) αλλά η x δεν είναι αντικαταστίσιμη από τον όρο y στον τύπο y R(x). ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-11

12 Προτάσεις του Κατηγορηματικού Λογισμού Πρόταση του Κατηγορηματικού Λογισμού ονομάζεται οποιοσδήποτε τύπος δεν περιέχει ελεύθερες εμφανίσεις μεταβλητών. Μια πρόταση είναι ένας ισχυρισμός ο οποίος σε διαφορετικά μοντέλα μπορεί να ερμηνευθεί ως αληθής ή ψευδής. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-12

13 Λογικός Συμπερασμός Όπως και στον Προτασιακό Λογισμό, για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων χρησιμοποιούμε ένα σύνολο από αποδεικτικούς κανόνες. Η διαδοχική εφαρμογή τέτοιων κανόνων μας επιτρέπει, ξεκινώντας από ένα σύνολο προϋποθέσεων, να καταλήξουμε σε ένα λογικό συμπέρασμα αυτών. Γράφουμε 1, 2,... n ψ αν το συμπέρασμα ψ μπορεί να αποδειχθεί δεδομένων των προϋποθέσεων 1, 2,... και n. Όλοι οι κανόνες του Προτασιακού Λογισμού είναι και κανόνες του Κατηγορηματικού Λογισμού. Επιπλέον έχουμε τους ακόλουθους κανόνες. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-13

14 Κανόνες ισότητας t t i t 1 t2 [ t 2 [ t1 / / x] x] e Για να ισχύει ο κανόνας = e προφανώς πρέπει να ισχύει ότι τα t 1 και t 2 είναι αντικαταστίσιμα για το x στην. Από τώρα και στο εξής υποθέτουμε ότι κάθε φορά που γράφουμε [t/x] η x είναι αντικαταστίσιμη από τον όρο t. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-14

15 Παραδείγματα Να δείξετε ότι x+1 = 1+x, (x+1>1) (x+1>0) (1+x>1) (1+x>0) Απόδειξη 1. x +1 = 1 + x προϋπόθεση 2. (x+1>1) (x+1>0) προϋπόθεση 3. (1+x>1) (1+x>0) = e 1, 2 Να δείξετε ότι t 1 = t 2 t 2 = t 1. Απόδειξη 1. t 1 = t 2 προϋπόθεση 2. t 1 = t 1 = i 1 3. t 2 = t 1 = e 1, 2 όπου η πρόταση x = t 1 Άσκηση: Να δείξετε ότι t 1 = t 2, t 2 = t 3 t 1 = t 3. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-15

16 Νόμοι Καθολικού Ποσοδείκτη (1) x [ t / x] x e Εξήγηση κανόνα: Αν η πρόταση ισχύει για κάθε x, τότε ισχύει και για κάποιο συγκεκριμένο όρο t. Υπενθύμιση: Το x πρέπει να είναι (ως συνήθως) αντικαταστίσιμο από το t για να ισχύει ο κανόνας. Διαφορετικά, για = y (y<x) αν θεωρήσουμε ότι t = y, τότε από τον κανόνα θα είχαμε ότι το x y (y<x) συνεπάγεται y (y<y) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-16

17 Νόμοι Καθολικού Ποσοδείκτη (2) x 0 x [ 0 x / x] x i To κουτί σε αυτό τον κανόνα διαφέρει από τα κουτιά που χρησιμοποιήσαμε στους κανόνες του Προτασιακού Λογισμού. Εδώ το x 0 δεν αποτελεί υπόθεση αλλά δείχνει το βεληνεκές της συγκεκριμένης βοηθητικής μεταβλητής. Εξήγηση κανόνα: Αν ξεκινώντας με μια καινούρια μεταβλητή x 0 αποδείξουμε την πρόταση που περιέχει το x 0, τότε η πρόταση ισχύει για οποιαδήποτε μεταβλητή. Σημαντικό εδώ είναι το x 0 να είναι καινούρια μεταβλητή η οποία δεν περιέχεται έξω από το κουτί και για την οποία δεν υπάρχει οποιαδήποτε υπόθεση. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-17

18 Παράδειγμα (1) Να δείξετε ότι x (P(x) Q(x)), x P(x) x Q(x). Απόδειξη: 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x P(x) προϋπόθεση 3. x 0 4. P(x 0 ) Q(x 0 ) x e 1 5. P(x 0 ) x e 2 6. Q(x 0 ) e x Q(x) x i 3-6 ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-18

19 Παράδειγμα (2) Να δείξετε ότι x (P(x) Q(x)), P(t) Q(t). Απόδειξη: 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. P(t) προϋπόθεση 3. P(t) Q(t) x e 1 4. Q(t) e 3,2 ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-19

20 Νόμοι Υπαρξιακού Ποσοδείκτη (1) [ t / x] x x i Εξήγηση κανόνα: Αν δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για κάποιο όρο t, τότε υπάρχει τιμή της μεταβλητής για την οποία ισχύει. Παράδειγμα: Να δείξετε ότι x x. Απόδειξη: 1. x προϋπόθεση 2. (x 0 /x) x e 1 3. x x i 2 ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-20

21 Νόμοι Υπαρξιακού Ποσοδείκτη (2) x 0 [ 0 x / x] x x e Εξήγηση κανόνα: Αν υποθέτοντας την ύπαρξη μιας μεταβλητής x 0 για την οποία ισχύει η πρόταση (που ξέρουμε ότι υπάρχει από την προϋπόθεση x ) μπορούμε να αποδείξουμε μια πρόταση χ η οποία δεν περιέχει το x 0, τότε η πρόταση χ ισχύει. Σημαντικό εδώ είναι, και πάλι, το x 0 να είναι καινούρια μεταβλητή η οποία δεν περιέχεται έξω από το κουτί και για την οποία δεν υπάρχει οποιαδήποτε υπόθεση. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-21

22 Παράδειγμα Να δείξετε ότι x (P(x) Q(x)), x P(x) x Q(x). Απόδειξη: 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x P(x) προϋπόθεση 3. x 0 P(x 0 ) υπόθεση 4. P(x 0 ) Q(x 0 ) x e 1 5. Q(x 0 ) e 4, 3 6. x Q(x) x i 5 7. x Q(x) x e 2, 3-6 ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-22

23 (Αντι-)Παράδειγμα Ποιο είναι το πρόβλημα με την πιο κάτω απόδειξη του x (P(x) Q(x)), x P(x) x Q(x) ; Απόδειξη: 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x P(x) προϋπόθεση 3. x 0 P(x 0 ) υπόθεση 4. P(x 0 ) Q(x 0 ) x e 1 5. Q(x 0 ) e 4, 3 6. Q(x 0 ) x e 2, x Q(x) x i 6 Στη γραμμή 6 επιτράπηκε στην εσωτερική μεταβλητή x 0 να διαφύγει από το βεληνεκές της. Τέτοια λάθη μπορούν να οδηγήσουν σε εσφαλμένα συμπεράσματα: ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-23

24 Παράδειγμα Λανθασμένης Απόδειξης Ποιο είναι το πρόβλημα με την πιο κάτω απόδειξη του x (P(x) Q(x)), x P(x) y Q(y) ; Απόδειξη: 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x P(x) προϋπόθεση 3. x 0 4. x 0 P(x 0 ) υπόθεση 5. P(x 0 ) Q(x 0 ) x e 1 6. Q(x 0 ) e 4, 5 7. Q(x 0 ) x e 2, y Q(y) y i 3-7 Στη γραμμή 7 επιτράπηκε στην εσωτερική μεταβλητή x 0 να διαφύγει από το βεληνεκές της! ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-24

25 Παράδειγμα Λανθασμένης Απόδειξης Ποιο είναι το πρόβλημα με την πιο κάτω απόδειξη του x (P(x) Q(x)), x P(x) y Q(y) ; Απόδειξη: 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x P(x) προϋπόθεση 3. x 0 P(x 0 ) υπόθεση 4. P(x 0 ) Q(x 0 ) x e 1 5. Q(x 0 ) e 4, 5 6. y Q(y) y i 3-5 O κανόνας εισαγωγής καθολικού ποσοδείκτη στην γραμμή 6 χρησιμοποιήθηκε λανθασμένα! (Το x 0 πρέπει να είναι τυχαίο στοιχείο που δεν συνοδεύεται από οποιαδήποτε υπόθεση.) ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-25

26 Ποσοτικές Ισοδυναμίες Όπως και στον Προτασιακό Λογισμό, γράφουμε ψ αν ισχύει ότι ψκαι ψ και λέμε ότι οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες. Μπορούμε να αποδείξουμε τις πιο κάτω ισοδυναμίες του Κατηγορηματικού Λογισμού. 1. x x 2. x x 3. x x ψ x ( ψ) 4. x x ψ x ( ψ) 5. x y y x 6. x y y x ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-26

27 Ποσοτικές Ισοδυναμίες Εφόσον το x δεν εμφανίζεται ελεύθερο στο ψ 7. x ψ x ( ψ) 8. x ψ x ( ψ) 9. x ψ x ( ψ) 10. x ψ x ( ψ) 11. x ( ψ) x ψ 12. x (ψ ) ψ x 13. x (ψ ) ψ x 14. x ( ψ) x ψ ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-27

28 Απόδειξη Ισοδυναμίας 1 1. x προϋπόθεση 2. x υπόθεση 3. x 0 4. [x 0 /x] υπόθεση 5. x x i 4 6. e 5,2 7. [x 0 /x] RAA x x i e 8,1 10. x RAA 2-9 ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-28

29 Απόδειξη Ισοδυναμίας 1(συν.) 1. x προϋπόθεση 2. x υπόθεση 3. x 0 4. [x 0 /x] υπόθεση 5. [x 0 /x] x e 2 6. e 5,4 7. x e 1, x i 2-7 ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-29

30 Σημασιολογία Κατηγορηματικού Λογισμού Σημασιολογία εναλλακτικός χαρακτηρισμός ενός λογισμού Προτασιακός Λογισμός: πίνακες αλήθειας Κατηγορηματικός Λογισμός: μοντέλα Έστω ο συλλογισμός φ 1,φ 2, φ n ψ Αποδεικτική Θεωρία κατασκευή απόδειξης του επακόλουθου φ 1,φ 2, φ n ψμε τη χρήση αποδεικτικών κανόνων Πως μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα λογικό επακόλουθο δεν ισχύει; «Θετικός» χαρακτηρισμός του λογισμού Σημασιολογία Για να δείξουμε ότι ο συλλογισμός δεν είναι ορθός αρκεί να επιδείξουμε ότι υπάρχει ένα «μοντέλο» όπου ο συλλογισμός δεν ισχύει Για να δείξουμε ότι ο συλλογισμός είναι ορθός πρέπει να δείξουμε ότι σε κάθε «μοντέλο» ο συλλογισμός ισχύει Ακολουθεί η σημασιολογία του ΚΛ ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-30

31 Μοντέλο Μοντέλο (ερμηνεία ή δομή) για μια γλώσσα κατηγορηματικού λογισμού είναι η απόδοση εννοιών στα μη-λογικά σύμβολα που απαρτίζουν τη γλώσσα, δηλαδή, τα κατηγορήματα, τις συναρτήσεις και τις σταθερές. Πιο συγκεκριμένα: Μοντέλο M μιας γλώσσας κατηγορηματικού λογισμού είναι ένα σύστημα αποτελούμενο από Ένα σύνολο Α (το σύμπαν των αντικειμένων στα οποία αναφέρεται η λογική γλώσσα) Μια αντιστοίχηση στοιχείου από το Α σε κάθε σύμβολο σταθεράς της γλώσσας. Γράφουμε c A για το στοιχείο που αντιστοιχείται στο σύμβολο c. Μια αντιστοίχηση συνάρτησης με n μεταβλητές σε κάθε σύμβολο συνάρτησης με n μεταβλητές της γλώσσας. Γράφουμε f A για τη συνάρτηση που αντιστοιχείται στο σύμβολο f. Μια αντιστοίχηση σχέσης με n μεταβλητές σε κάθε σύμβολο κατηγορήματος βαθμού n της γλώσσας. Γράφουμε R A για τη σχέση που αντιστοιχείται στο σύμβολο R. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-31

32 Παράδειγμα Έστω μια κατηγορηματική γλώσσα με δύο κατηγορηματικά σύμβολα δύο θέσεων leq, eq και δύο σύμβολα συναρτήσεων m και p (δύο θέσεων). Δυνατά μοντέλα για τη γλώσσα περιλαμβάνουν τα εξής: 1. Α = οι θετικοί ακέραιοι, leq =, eq = =, m = -, p = + 2. Α = οι ακέραιοι, leq =, eq = =, m = -, p = + 3. Α = το σύνολο όλων των υποσυνόλων των φυσικών αριθμών, leq =, eq = =, m = -, p = Αν τώρα θεωρήσουμε τις προτάσεις = x [p(x, x) eq x] χ = x y [p(y,y) leq x] ψ = x y [x leq y (x eq y)] παρατηρούμε ότι κάθε μια έχει διαφορετική σημασία και σε κάθε μοντέλο παίρνει διαφορετικές τιμές αλήθειας. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-32

33 Απονομές Έστω V = {x 1, x 2, } το σύνολο των μεταβλητών της γλώσσας Γ και ένα μοντέλο της Γ με σύμπαν το Α. Τότε απονομή ονομάζεται κάθε συνάρτηση s:v A. Γράφουμε s[x a] για την απονομή Μία απονομή μας επιτρέπει να δώσουμε ερμηνεία σε κάθε όρο t της γλώσσας μας. Ορίζουμε το s(t) με επαγωγή στους όρους ως εξής: Αν t = v τότε s(t) = s(v) Αν t = c τότε s(t) = c A a s[ x a]( y) s( y) Αν t 1,, t n είναι όροι, τότε s(f(t 1,, t n )) = f A (s(t 1 ),, s(t n )) Παράδειγμα. Έστω η γλώσσα Λ Α (διαφάνεια 3-6) και το μοντέλο otherwise Α =, = Α ηισότητα μεταξύ των φυσικών αριθμών, Α ησχέση < στο, + Α και Α η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στο, και 0 Α, 1 Α οι φυσικοί αριθμοί 0 και 1. Έστω s: V η αποτίμηση s(x k ) = 2k. Τότε s(x 1 x 2 + 1) = s(x 1 x 2 ) + A s (1) = s (x 1 ) A s(x 2 ) + 1 = = 9 if y x ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-33

34 Σημασιολογία - Η αλήθεια του Tarski Έστω μοντέλο M και απονομή s. Ορίζουμε τι σημαίνει ο τύπος να ικανοποιείται στο μοντέλο Μ βάσει της s, M s, επαγωγικά ως εξής: Αν = R(t 1,,t n ) τότε M s R(t 1,,t n ) αν και μόνο αν R M (s(t 1 ),,s(t n )) Αν = ψ τότε M s αν και μόνο αν δεν ισχύει ότι M s ψ (ή M s ψ) Αν = 1 2, = 1 2 = 1 2 τότε M s ( 1 2 ) αν και μόνο αν M s 1 και M s 2 M s ( 1 2 ) αν και μόνο αν M s 1 ή M s 2 M s ( 1 2 ) αν και μόνο αν M s 1 ή M s 2 Αν = x ψ τότε M s αν και μόνο αν M s[x a] ψγια όλα τα a A Αν = x ψ τότε M s αν και μόνο αν M s[x a] ψ για κάποιο a A. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-34

35 Παράδειγμα Έστω το μοντέλο Α το σύνολο των φυσικών αριθμών eqη σχέση = σε αυτούς και leq η σχέση σε αυτούς. Η πρόταση x y(eq(x,y) eq(y,x)) ικανοποιείται στο μοντέλο για οποιαδήποτε απονομή τιμών στις μεταβλητές της. Η πρόταση x leq y (x eq y) ικανοποιείται στο μοντέλο με π.χ. απονομή τιμών s, όπου s[x] = 1 και s[y] = 4. Η πρόταση x y (y leq x (x eq y)) δεν ικανοποιείται στο μοντέλο αφού για x = 0 δεν υπάρχει καμία απονομή τιμής στη y που να κάνει την πρόταση y leq x (x eq y)) αληθή. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-35

36 Σημασιολογική Συνεπαγωγή Θεώρημα: Αν είναι ένας τύπος που δεν περιέχει ελεύθερες μεταβλητές (δηλαδή, είναι πρόταση) τότε η ικανοποιησιμότητά της δεν επηρεάζεται από την απονομή s. Σε τέτοια περίπτωση γράφουμε M. Ορισμός: Έστω τύποι 1, 2,... n, ψ. Τότε γράφουμε 1, 2,... n ψ αν για κάθε μοντέλο M και απονομή s τέτοια ώστε M s i για κάθε 1 i n ισχύει επίσης ότι M s ψ. Ονομάζουμε την σημασιολογική συνεπαγωγή. Έστω πρόταση μιας κατηγορηματικής γλώσσας Λ. H είναι ικανοποιήσιμη αν υπάρχει μοντέλο Μ και απονομή s που την κάνουν αληθή, δηλαδή, τέτοια ώστε M s. Η είναι έγκυρη αν είναι αληθής σε κάθε ερμηνεία και απονομή της Λ, δηλαδή,. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-36

37 Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι οι πιο κάτω τύποι είναι έγκυροι. 1. x p(x) p(a) 2. x ( ψ) ( x ψ), όπου η μεταβλητή x δεν εμφανίζεται ελεύθερα στην πρόταση Απόδειξη (1): Ας υποθέσουμε ότι ο τύπος δεν είναι έγκυρος. Τότε υπάρχει ερμηνεία M της γλώσσας για την οποία M x p(x) και M p(a). Εφόσον όμως M x p(x), για κάθε απονομή s και τιμή d, M s[x d] p(x) Αυτό συνεπάγεται ότι η πρόταση ισχύει και για x = a. Επομένως, M s[x a] p(x) και M p(a). Αντίφαση! ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-37

38 Ισοδυναμίες Αν δύο προτάσεις 1, 2 είναι τέτοιες ώστε 2 1 αν και μόνο αν 1 2 τότε λέμε ότι είναι σημασιολογικά ισοδύναμες. Παραδείγματα: Οι πιο κάτω προτάσεις είναι σημασιολογικά ισοδύναμες. x x ψ και x ( ψ) x x ψκαι x ( ψ) x y και y x x y και y x ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-38

39 Ορθότητα και Πληρότητα Θεώρημα: Έστω προτάσεις του Κατηγορηματικού Λογισμού 1, 2,, n και ψ. Τότε 1, 2,... n ψ αν και μόνο αν 1, 2,... n ψ. Απόδειξη: Η απόδειξη της ορθότητας (ότι δηλαδή αν 1, 2,... n ψ τότε 1, 2,... n ψ ) αποδεικνύεται με επαγωγή στο μέγεθος της απόδειξης και ανάλυση όλων των κανόνων συμπερασμού της θεωρίας μας. Η απόδειξη της Πληρότητας (το Θεώρημα Godel) βασίζεται στις έννοιες της συνέπειας και των κατασκευών Heskin. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-39

40 Αποφασισιμότητα Έστω πρόταση του Κατηγορηματικού Λογισμού. Ισχύει ότι. Ναι ή όχι; Οι Alonzo Church και Alan Τuring έχουν δείξει ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος να επιλύει αυτό το πρόβλημα. Κατά συνέπεια, ο Κατηγορηματικός Λογισμός είναι μη-αποφασίσιμος. ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-40

41 Παράδειγμα Να αποδείξετε τις πιο κάτω προτάσεις δεδομένου ότι το x δεν εμφανίζεται ελεύθερο στο ψ 1. x ( ψ) x ψ 2. x (ψ ) ψ x 3. x ( ψ) x ψ 4. x (ψ ) ψ x ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 3-41

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική

Κατηγορηµατική Λογική Προβλήµατα της Προτασιακής Λογικής Γιατί δεν µας αρκεί η Προτασιακή Λογική; Εστω ότι ισχύουν τα P και Q: P : «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος» Q : «Κάθε άνθρωπος είναι ϑνητός» R : «Ο Σωκράτης είναι ϑνητός» Μπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Επίλυση Resolution Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Προτασιακό Λογισμό στον Κατηγορηματικό Λογισμό ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Το όνειρο του

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 N φιλόσοφοι κάθονται γύρω από ένα τραπέζι με N καρέκλες, N πιάτα και N πιρούνια. Όταν κάποιος φιλόσοφος πεινάσει παίρνει τα δύο πιρούνια που βρίσκονται δίπλα από το πιάτο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό Λογισμό 1 ης Τάξης (First Order Predicate Calculus) Οι περισσότερες γλώσσες επερώτησης σχεσιακών βάσεων δεδομένων βασίζονται στον Σχεσιακό Λογισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων

Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Τα προγράμματα μιας (κλασικής) γλώσσας προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Διάλεξη 7η: Σχεσιακός Λογισμός Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 12/5/2012, στις 06:52. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι Η τυπική επαλήθευση βάση μοντέλου είναι κατάλληλη για συστήματα επικοινωνούντων διεργασιών (π.χ. κατανεμημένα συστήματα) όπου το βασικό πρόβλημα είναι ο έλεγχος αλλά γενικά δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Έστω L, η γλώσσα της αριθµητικής και Ν η στάνταρτ ερµηνεία της. Για µια πρόταση της L αντί να λέµε 'αληθής' στην στάνταρτ ερµηνεία θα λέµε για συντοµία ότι η πρόταση είναι ορθή.

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2004 Θέμα 1 ο : Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τα ακόλουθα Α. Η πρόταση (Α (Β C)) & (A B) & (A C) είναι μη επαληθεύσιμη Β. Η Β είναι αποδείξιμη από το Δ={ (Β

Διαβάστε περισσότερα

Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο.

Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο. Όταν γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία προτασιακής λογικής

Στοιχεία προτασιακής λογικής Σ. Κοσμαδάκης Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικές πράξεις and, or, not Για οποιεσδήποτε τιμές αλήθειας s, t στο σύνολο {true, false}, οι γνωστές πράξεις s and t, s or t, not s δίνουν αποτελέσματα στο

Διαβάστε περισσότερα

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων. Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 9η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται εν μέρει στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 α) p q r (p s) ((s t) t) 1. p q r προϋπόθεση 2. p s προσωρινή υπόθεση 3. s t προσωρινή υπόθεση 4. p e 1 5. s ΜP 2,4 6. t ΜP 3,5 7. (s t) t i 3, 6 8. (p s) ((s t) t)

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη Ι. Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική. Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Τεχνητή Νοημοσύνη Ι. Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική. Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τεχνητή Νοημοσύνη Ι Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Προτασιακή Λογική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας Προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οργάνωση του Μαθήματος Αναδρομή στην Ιστορία της Λογικής ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 1-1 Διδασκαλία Διαλέξεις:

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. Υπάρχει ένα πλήθος κανόνων συμπερασμού. Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων ΚανόνεςΑπόδειξηςΜερικήςΟρθότητας

Διαβάστε περισσότερα