Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής"

Transcript

1 Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 Κατηγορηματική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και μελέτης επιχειρημάτων για πεπερασμένο πλήθος «λογικών αντικειμένων». «Λογικό αντικείμενο»: παίρνει τιμές αλήθειας, ΑήΨ. ιαφορετικά, «μη λογικό αντικείμενο», π.χ. αριθμοί, σύνολα,... Κατηγορηματική (ή Πρωτοβάθμια) Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και μελέτης επιχειρημάτων για: «Μη λογικά αντικείμενα» (αριθμούς, σύνολα, γραφήματα). Πράξεις (συναρτήσεις) και σχέσεις (κατηγορήματα) μεταξύ τους. Άπειρο πλήθος αντικειμένων: ποσοδείκτες. «Κάθε φυσικός αριθμός είναι είτε άρτιος είτε περιττός». «Υπάρχει σύνολο που είναι υποσύνολο κάθε συνόλου». Τύποι ΚΛ είναι «λογικά αντικείμενα» που μπορεί να αφορούν / αναφέρονται σε «μη λογικά αντικείμενα». ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 2

3 Συντακτικό Πρωτοβάθμιας Γλώσσας «Λογικά Σύμβολα»: έχουν συγκεκριμένη ερμηνεία, λειτουργούνπάνταμετονίδιοτρόπο: Λογικοί σύνδεσμοι:,,,, Ποσοδείκτες: και (για κάθε): σύζευξη για όλα στοιχεία δομής (δυνάμει άπειρη). (υπάρχει): διάζευξη για όλα στοιχεία δομής (δυνάμει άπειρη). Ισότητα =:ελέγχει ταύτιση. Λειτουργεί ως κατηγορηματικό σύμβολο, αλλά εντάσσεται στα «λογικά σύμβολα» γιατί έχει συγκεκριμένη ερμηνεία. Σημεία στίξης και παρενθέσεις. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 3

4 Συντακτικό Πρωτοβάθμιας Γλώσσας «Μη Λογικά Σύμβολα»: ερμηνεία καθορίζει λειτουργία τους. Ορισμός γλώσσας και έλεγχος αλήθειας απαιτούν ερμηνεία τους (πολυσημία, εκφραστικότητα!). Μεταβλητές x, y, z, Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού μεταβλητών: σύμπαν. Ελεύθερες: τιμή τους καθορίζεται με αποτίμηση. εσμευμένες: ποσοδείκτες καθορίζουν «συμπεριφορά» τους. Σύμβολα σταθερών c, c 1, c 2, Αναπαριστούν συμβολικά συγκεκριμένες τιμές σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει τιμή κάθε συμβόλου σταθεράς. Πρόκειται για 0-θέσια συναρτησιακά σύμβολα. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 4

5 Συντακτικό Πρωτοβάθμιας Γλώσσας «Μη Λογικά Σύμβολα»: ερμηνεία καθορίζει λειτουργία τους. Συναρτησιακά σύμβολα f, g, h,, με αντίστοιχο πλήθος ορισμάτων. Π.χ. f είναι 2-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο. Εκφράζουν «πράξεις» μεταξύ στοιχείων σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού, πεδίο τιμών, και λειτουργία. Κατηγορηματικά σύμβολα P, Q, R,, με αντίστοιχο πλήθος ορισμάτων. Π.χ. Qείναι 2-μελές κατηγορηματικό σύμβολο. Εκφράζουν «σχέσεις» μεταξύ στοιχείων σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού και λειτουργία. Κατηγορηματικά σύμβολα υλοποιούν «μετάβαση» από «μη λογικό» σε «λογικό» κόσμο. Q(x, y) δέχεται δύο στοιχεία σύμπαντος (π.χ. αριθμούς), «ελέγχει» αν σχετίζονται με συγκεκριμένο τρόπο, και «απαντά» ΑήΨ. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 5

6 ομή Τύπων Πρωτοβάθμιας Γλώσσας: Όροι Όροι παίρνουν τιμές στο σύμπαν. Μεταβλητές x, y, z,... Σταθερές c, c 1, c 2,.. Οτιδήποτε προκύπτει από (σωστή) εφαρμογή συναρτησιακού συμβόλου σε ήδη σχηματισμένους όρους. Π.χ. f(x, y), f(g(x), c), g(f(x, g(y)), c f(x, y), ομή αναπαρίσταται με δενδροδιάγραμμα, ιδιότητες αποδεικνύονται με δομική επαγωγή. Όροι δεν μπορούν να συνδέονται με λογικούς συνδέσμους! ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 6

7 ομή Τύπων Πρωτοβάθμιας Γλώσσας: Τύποι Ατομικοί τύποι προκύπτουν εφαρμόζοντας ισότητα ή κατηγορηματικό σύμβολο σε όρους. Π.χ. x = c, f(x, y) = g(c), Q(x, y), R(f(x, y)), «Λογικές» τιμές Α ή Ψ, βασικά («λογικά») δομικά στοιχεία τύπων. Τύπος: Ατομικός τύπος (βάση επαγωγικού ορισμού). Εφαρμογή λογικών συνδέσμων σε τύπους φ, ψ: φ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ. Εφαρμογή ποσοδεικτών σε τύπο φ: xφ, xφ. ομή αναπαρίσταται με δενδροδιάγραμμα, ιδιότητες αποδεικνύονται με μαθηματική επαγωγή. Τύποι: τιμή ΑήΨ. Όροι: τιμές στο σύμπαν. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 7

8 ομή Τύπων Πρωτοβάθμιας Γλώσσας ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 8

9 Παράδειγμα Ποιά από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος); Q(f(c, y), P(x)) g(q(c, y), P(y)) Q(f(c, y), P(x)) g(q(c, y), P(y)) x P(g(x)) x g(p(x)) x P(g(x)) (τ) x g(p(x)) x = y c x = f(y, c) x = y c x = f(y, c) (ατ) x P(P(x)) x Q(x, c 1 ) x P(P(x)) x Q(x, c 1 )(τ) x (P(x) x P(x, x)) x(x = y Q(x, y)) x (P(x) x P(x, x)) x(x = y Q(x, y)) (τ) ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 9

10 Παράδειγμα Ποιά από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος); P(x) g(x) y x (Q(x, g(y)) P(g(x))) P(x) g(x) y x (Q(x, g(y)) P(g(x))) (τ) x Q(x, c) x Q(x, y) x Q(x, c) (τ) x Q(x, y) x+ y= x y (3 + 1) + 10 x+ y= x y(ατ) (3 + 1) + 10 (ορ) x y (x + y = x y) x y (P(x) (Q(x, y) P(x))) x y (x + y = x y) (τ) x y (P(x) (Q(x, y) P(x))) (τ) ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 10

11 Ελεύθερες και εσμευμένες Μεταβλητές εσμευμένη εμφάνιση μεταβλητής: εμπίπτει σε πεδίο εφαρμογής ποσοδείκτη. Ποσοδείκτης καθορίζει πως αποτιμάται η μεταβλητή. ( ): σύζευξη (διάζευξη) για όλες τιμές σύμπαντος. εσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητής x που εμπίπτουν στον ίδιο ποσοδείκτη: «ίδια» δεσμευμένη μεταβλητή. εσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητής x που εμπίπτουν σε διαφορετικό ποσοδείκτη: «διαφορετικές» δεσμευμένες μεταβλητές. Ελεύθερη εμφάνιση μεταβλητής: δεν εμπίπτει σε πεδίο εφαρμογής κάποιου ποσοδείκτη. Μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή, ηοποίακαθορίζεταιαπόαποτίμηση. Όλες οι ελεύθερες εμφανίσεις μεταβλητής x: «ίδια» μεταβλητή. x(p(x) Q(x, y)) P(y) και xp(x) xq(x, y) P(y) ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 11

12 Ελεύθερες και εσμευμένες Μεταβλητές Ελεύθερη μεταβλητή αν εμφανίζεται ελεύθερη (τουλ. μία φορά), διαφορετικά δεσμευμένη. Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες μεταβλητές. Τιμή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίμηση. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 12

13 Ελεύθερες και εσμευμένες Μεταβλητές Ποιές εμφανίσεις μεταβλητών είναι ελεύθερες και ποιές δεσμευμένες; y x(p(x, f(y)) Q(x)) x y(q(x) P(x, y)) Q(x) y x(p(x, f(y)) Q(x)) x y(q(x) P(x, y)) Q(x) xp(x, y) zp(z, x) Q(z) x yp(x, y) xp(x, y) zp(z, x) Q(z) x yp(x, y) xq(x) yp(x, y) x y z(x > y y > z) w(x > w) xq(x) yp(x, y) x y z(x > y y > z) w(x > w) y + x = x + y y(x + x = x y) y + x = x + y y(x + x = x y) Μετονομασία όλων εμφανίσεων της «ίδιας» μεταβλητής διατηρεί απαράλλακτο τον τύπο: αλφαβητική παραλλαγή. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 13

14 Ελεύθερες και εσμευμένες Μεταβλητές Ελεύθερη μεταβλητή αν εμφανίζεται ελεύθερη (τουλ. μία φορά), διαφορετικά δεσμευμένη. Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες μεταβλητές. Τιμή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίμηση. Ελεύθερεςμεταβλητέςχρειάζονται«αρχικοποίηση». Όλες οι ελεύθερες εμφανίσεις μιας μεταβλητής «αρχικοποιούνται» στην ίδια τιμή (αυτή που καθορίζεται από αποτίμηση). εσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητών δεν χρειάζονται «αρχικοποίηση». Ποσοδείκτης που τις δεσμεύει καθορίζει αποτίμηση. Μεταβλητές που δεσμεύονται από διαφορετικούς ποσοδείκτες είναι «διαφορετικές» (ακόμη και αν έχουν το ίδιο όνομα). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 14

15 Ερμηνεία (ή ομή) Ορισμός Πρωτοβάθμιας Γλώσσας απαιτεί ερμηνεία «μη λογικών» συμβόλων. Ερμηνεία (ή δομή) A καθορίζει: Σύμπαν Α : πεδίο ορισμού σταθερών, μεταβλητών, συναρτήσεων, και κατηγορημάτων. Α είναι το σύνολο αντικειμένων στα οποία αναφερόμαστε. Ορισμός συναρτησιακών συμβόλων: «πράξη» που αντιστοιχούν. Τι «επιστρέφει» κάθε συναρτησιακό σύμβολο. Ορισμός κατηγορηματικών συμβόλων: «σχέση» που αντιστοιχούν. Πότε κατηγορηματικό σύμβολο «επιστρέφει» ΑκαιπότεΨ. Ορισμός τιμής για κάθε σύμβολο σταθεράς. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 15

16 Παραδείγματα Ερμηνείας Γλώσσα Θεωρίας Αριθμών: Σύμπαν Ν (φυσικοί αριθμοί) Σταθερά 0 (αποτ. στο 0), συναρτησιακά (πρόσθεση), (πολλαπλασιασμός), και (επόμενος φυσικός), κατηγορηματικό < (αντ. σε σχέση x < y). Γλώσσα Θεωρίας Συνόλων: Σύμπαν δυναμοσύνολο συνόλου U (ή σύνολο με στοιχεία σύνολα) Σταθερά (αποτ. στο ), κατηγορηματικό (αντ. σε σχέση x y). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 16

17 Εναλλαγή Ποσοδεικτών P(x, y): ο x θαυμάζει τον y P(x, y): x y όλοι θαυμάζουν κάποιον (όχι αναγκαία όλοι τον ίδιο, μπορεί τον εαυτό τους). όλοι θαυμάζονται από κάποιον (όχι αναγκαία όλοι από τον ίδιο, μπορεί από εαυτό τους). όλοι θαυμάζουν τους πάντες (και τον εαυτό τους). υπάρχει κάποιος που τους θαυμάζει όλους (και εαυτό του). υπάρχει κάποιος που τον θαυμάζουν όλοι (και εαυτός του). υπάρχει ζευγάρι (όχι αναγκαία διαφορετικών) που οένας θαυμάζει τον άλλο. κάθε αριθμός έχει κάποιον μεγαλύτερο ή ίσο του. κάθε αριθμός έχει κάποιον μικρότερο ή ίσο του. για κάθε ζευγάρι αριθμών, ο ένας είναι μικρότερος ή ίσος του άλλου. υπάρχει αριθμός μικρότερος ή ίσος όλων (κάτω φράγμα). υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος όλων (άνω φράγμα) υπάρχουν αριθμοί που ο ένας είναι μικρότερος ή ίσος του άλλου. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 17

18 Νόμοι Άρνησης Ποσοδεικτών: Εκφραστικότητα Πρωτοβάθμιας Γλώσσας εδομένης ερμηνείας (π.χ. φυσικοί αριθμοί, σύνολα, γραφήματα), διατύπωση προτάσεων ιδιοτήτων σε πρωτοβάθμια γλώσσα. Όλοι οι άνθρωποι θαυμάζουν κάποιον άλλο. Υπάρχει κάποιος που δεν θαυμάζει κανέναν άλλο. Υπάρχει κάποιος που θαυμάζει τον εαυτό του και μόνον αυτόν. Όλοι θαυμάζονται από κάποιον άλλο. Υπάρχει κάποιος που θαυμάζει όλους τους άλλους. Υπάρχει κάποιος που δεν θαυμάζει κανέναν. εν υπάρχει κανένας άνθρωπος που να τον θαυμάζουν όλοι οι άλλοι. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 18

19 Εκφραστικότητα Απλές γλωσσικές δομές συνήθως επαρκούν. Κάθε αντικείμενο με ιδιότητα P έχει ιδιότητα Q. Ο επόμενος κάθε περιττού αριθμού είναι άρτιος. Κάθε πολλαπλάσιο του 4 είναι άρτιος. Υπάρχει αντικείμενο με ιδιότητα P και ιδιότητα Q εν είναι όλοι οι άρτιοι πολλαπλάσια του 4. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 19

20 Εκφραστικότητα Υπάρχει μοναδικό αντικείμενο με ιδιότητα Ρ. Υπάρχει μέγιστο (ελάχιστο) στοιχείο με ιδιότητα Ρ. Υπάρχει μοναδικός φυσικός που είναι μικρότερος του 1. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 20

21 Εκφραστικότητα: Αριθμοί Το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος. Ο x διαιρεί ακριβώς τον y: O x είναι μικρότερος ή ίσος του y: Ο x είναι πρώτος αριθμός: ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 21

22 Εκφραστικότητα Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 4 γράφεται ως άθροισμα δύο περιττών πρώτων αριθμών(εικασία του Goldbach). Για κάθε φυσικό αριθμό (έστω n), υπάρχει άλλος (έστω m) που είναι ο μέγιστος μεταξύ εκείνων που το διπλάσιό τους δεν ξεπερνά τον αρχικό (δηλ. το n). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 22

23 Εκφραστικότητα: Σύνολα Ερμηνεία με σύμπαν δυναμοσύνολο πεπερασμένου συνόλου S, 2-μελές κατηγορηματικό σύμβολο Q με ερμηνεία Q(x, y) x y, και σταθερά c που ερμηνεύεται ως το κενό σύνολο ( ). Υπάρχει σύνολο που περιέχει (ως υποσύνολα) κάθε σύνολο. Το κενό σύνολο έχει μόνο ένα υποσύνολο, τον εαυτό του. Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υποσύνολο που είναι το μεγαλύτερο δυνατό (τομή συνόλων). Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υπερσύνολο που είναι το ελάχιστο δυνατό (ένωση συνόλων). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 23

24 Εκφραστικότητα Τύπος φ(x) με ελεύθερη μεταβλητή x ορίζει σύνολο Α φ = { α Α : φ(α) αληθεύει στην Α } φ(x): ιδιότητα στοιχείων της δομής (όπως κατηγορήματα). Πρόταση ψ: ιδιότητα τηςίδιαςτηςδομής. Να ορίσετε έτσι (i) το, (ii) το {1}, και (iii) το {0, 1, 2, 3, }. (i) x = x + 1, (ii) x = 1, (iii) x = x. Να ορίσετε έτσι τα {0} και {1} (χωρίς σταθερά 0, συνάρτηση ). x είναι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης: y(x + y = y). Η δομή έχει ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση: x y(x + y = y). x είναι ουδέτερο στοιχείο του πολ/μού: y(x y = y). Η δομή έχει ουδέτερο στοιχείο για τον πολ/μό: x y(x y = y). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 24

25 Εκφραστικότητα Τύπος φ(x) με ελεύθερη μεταβλητή x ορίζει σύνολο Α φ = { α Α : φ(α) αληθεύει στην Α } φ(x): ιδιότητα στοιχείων της δομής (όπως κατηγορήματα). Αντίστοιχη πρόταση, π.χ. x φ 1 (x), x φ 0 (x), x φ 0 (x): ιδιότητα τηςίδιαςτηςδομής. Ερμηνεία ακεραίων με συναρτήσεις +,. Να ορίσετε έτσι το {1}, το {2}, το {1,, n}, το {-1} φ 1 (x) y(x y = y) φ 2 (x) y(φ 1 (y) x = y + y) φ [n] (x) y(φ 1 (y) (x = y x = y + y x = y+ +y)) φ 0 (x) y(x + y = y) φ -1 (x) y z(φ 1 (y) φ 0 (z) x+y= z) ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 25

26 Σημασιολογική Προσέγγιση Α = φ[v] : στην ερμηνεία Α, η αποτίμηση v επαληθεύει (ή ικανοποιεί) τον φ. Αποτίμηση v καθορίζει τιμές ελεύθερων μεταβλητών του φ και μόνο. Α = φ : ο φ ικανοποιείται από κάθε αποτίμηση στην ερμηνεία Α. Ο φαληθήςστηναήηερμηνείαα αποτελεί μοντέλο για τον φ. = φ : ο φ ικανοποιείται σε κάθε ερμηνεία. Ο φείναι(λογικά) έγκυρος (αντίστοιχο ταυτολογίας). Ταυτολογίες «δίνουν» λογικά έγκυρους τύπους με συντακτική αντικατάσταση. Εγκυρότητα / ικανοποιησιμότητα / αλήθεια φ ελέγχεται με εφαρμογή του ορισμού αλήθειας του Tarski. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 26

27 Ορισμός Tarski Ερμηνεύει λογικούς συνδέσμους και ποσοδείκτες. Ορίζει ότι ένας τύπος φ αληθεύει (σεμιαερμηνείαα, για μια αποτίμηση v) ανν το νόημα του εκφράζει μια αλήθεια στην Α. Η έννοια Α = φ[v] ορίζεται αναδρομικά ως εξής: Α = (x = y)[v] ανν ( v(x) = v(y) ). A = Q(x 1,, x n )[v] ανν ( (v(x 1 ),, v(x n )) Q A ). A = ψ[v] ανν ( δεν ισχύει ότι A = ψ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] και A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] ή A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( όταν A = ψ[v], τότε A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] ανν A = χ[v] ). A = xψ[v] ανν ( για κάθε α Α, Α = ψ[v(x α)] ). A = xψ[v] ανν ( υπάρχει α Α τέτοιο ώστε Α = ψ[v(x α)] ). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 27

28 Παραδείγματα εν ακολουθούμε τον φορμαλισμό του ορισμού Tarski, αλλά την ουσία του. Ελέγχουμε αν πρόταση αληθεύει σε συγκεκριμένη ερμηνεία. Απλά «αποκωδικοποιούμε» την πρόταση (στην συγκεκριμένη ερμηνεία) και εξηγούμε πειστικά αν αληθεύει ή όχι. Αληθεύουν οι παρακάτω προτάσεις στη δομή των φυσικών για c = 0 και P(x, y) x y; Στην δομή των ακεραίων; (α) αληθεύει σε φυσικούς και ακέραιους, (β) μόνο σε φυσικούς. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 28

29 Παραδείγματα ίνεται συγκεκριμένη πρόταση και ζητείται δομή που να (μην) την ικανοποιεί. ομή που ικανοποιεί παρακάτω προτάσεις ταυτόχρονα: οκιμάζουμε φυσικούς, με c = 0, Q(x, y) x < y, και f(x) = x+1. Νδο παρακάτω πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη περιγράφοντας ερμηνεία της Γλώσσας Θ. Αριθμών που δεν την ικανοποιεί. Αν Q(x, y) x < y, υπόθεση αληθής και συμπέρασμα ψευδές! ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 29

30 Παραδείγματα Συνολοθεωρητική ερμηνεία με κατηγορηματικό συμβολο Q(x, y) που αληθεύει ανν x y (δηλ. το σύνολο y περιέχει ως στοιχείο το σύνολο x). Να ορίσετε το σύμπαν Α ώστε να αληθεύει η 1 η από τις παρακάτω προτάσεις και να μην αληθεύει η 2 η. Για να αληθεύει η 1 η, αρκεί να υπάρχει στο σύμπαν σύνολο που δεν περιέχει (ως στοιχείο) κανένα σύνολο που ανήκει στο σύμπαν. Αυτό αληθεύει αν π.χ. Α. Για να μην αληθεύει η 2 η, αρκεί να υπάρχουν στο σύμπαν δύο διαφορετικά σύνολα που να περιέχουν (ως στοιχεία) τα ίδια ακριβώς σύνολα του σύμπαντος. Π.χ. Α = {, {{ }}, {, { }} } ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 30

31 Παραδείγματα Ελάχιστο και μέγιστο πλήθος στοιχείων μιας δομής που αποτελεί μοντέλο για τις παρακάτω προτάσεις: x y(x y) x y(x = y) x y z w(x y x z x w) y z w(y z z w y w) x y w(x = y y = w x = w) ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 31

32 Λογική Εγκυρότητα Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά έγκυρες: Ότι μια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη αποδεικνύεται με «αντιπαράδειγμα» (ερμηνεία που δεν την ικανοποιεί): Για την (i), φυσικοί αριθμοί, P(x) δηλώνει ότι x άρτιος, Q(x) δηλώνει ότι x περιττός. Λογική εγκυρότητα αποδεικνύεται με εφαρμογή ορισμού Tarski. Για αυθαίρετη ερμηνεία Α, πρόταση (ii) δηλώνει ότι: αν για κάθε στοιχείο α Α, Α = P(α) και Α = Q(α), τότε για κάθε στοιχείο α Α, Α = P(α) ήα = Q(α). Αυτό αληθεύει για κάθε δομή Α. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 32

33 Λογική Εγκυρότητα Νδο = φ(c) xφ(x) Θεωρούμε αυθαίρετη δομή Α. Α = φ(c) xφ(x) ανν όταν Α = φ(c), υπάρχει α A τ.ω. Α = φ(α). Ισχύει, αφού φ αληθεύει για στοιχείο όπου έχει αποτιμηθεί c. Νδο = x yp(x, y) y xp(x, y) ΈστωαυθαίρετηδομήΑ. Α = x yp(x, y) y xp(x, y)... ανν όταν (i) υπάρχει α A τ.ω. για κάθε β A, Α = Ρ(α, β), τότε (ii) για κάθε γ A, υπάρχει δ A τ.ω. Α = Ρ(δ, γ). Ισχύει, αφού για κάθε γ A, Α = Ρ(α, γ) λόγω υπόθεσης. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 33

34 Λογική Εγκυρότητα Νδο = x(p(x) Q(x)) ( xp(x) xq(x)) Θεωρούμε αυθαίρετη δομή Α. Πρέπει νδο: Αν (i) υπάρχει α Α : Α = P(α) Q(α), τότε (ii) αν για κάθε β Α, Α = Ρ(β), τότε (iii) υπάρχει γ Α : Α = Q(γ). Αρκεί νδο αν ισχύουν τα (i) και (ii), τότε ισχύει και το (iii). Λόγω (i): υπάρχει α Α : Α = P(α) Q(α). Λόγω (ii): A = P(α). Άρα Α = Q(α). Συνεπώς, αν ισχύουν τα (i) και (ii), υπάρχει στοιχείο του Α για το οποίο αληθεύει το Q στην ερμηνεία Α. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 34

35 Λογική Συνεπαγωγή Έστω οι τύποι (1) x(f(x) = x Q(x)), και (2) x(f(x) = x) xq(x). (α) Να βρείτε ποιος τύπος συνεπάγεται λογικά τον άλλο, και (β) νδο οι τύποι δεν είναι λογικά ισοδύναμοι. Θδο (1) = (2) (αλλά όχι το αντίστροφο). Έστω αυθαίρετη ερμηνεία Α. Από ορισμό Tarksi, αρκεί νδο: Αν (i) για κάθε α A, A = f(α) = α ανν A = Q(α), τότε (ii.1) για κάθε β A, A = f(β) = β ανν (ii.2) για κάθε γ A, A = Q(γ). ιακρίνουμε 2 περιπτώσεις: Ισχύει (ii.2), δηλ. για κάθε γ A, Α = Q(γ) ανν, λογω (i), για κάθε β A, Α = f(β) = β, ανν ισχύει (ii.1). εν ισχύει (ii.2), δηλ. υπάρχει δ A, Α = Q(δ), ανν, λόγω (i), υπάρχει δ A, Α = f(δ) δ, ανν δεν ισχύει (ii.2). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 35

36 Λογική Συνεπαγωγή Έστω οι τύποι (1) x(f(x) = x Q(x)), και (2) x(f(x) = x) xq(x). (α) Να βρείτε ποιος τύπος συνεπάγεται λογικά τον άλλο, και (β) νδο οι τύποι δεν είναι λογικά ισοδύναμοι. Ερμηνεία Α που επαληθεύει τον (2) αλλά όχι τον (1). Α = {α, β}, f(α) = α, f(β) = α, και Q(α) Ψ, Q(β) Α. Αμοντέλογιατον(2): Α = x(f(x) = x) και Α = xq(x) A όχι μοντέλο για τον (1): Υπάρχει στοιχείο του Α, το α, για το οποίο f(α) = α αλλά Q(α) δεν αληθεύει. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 36

37 Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή Για κάθε τύπο φ, μπορούμε να βρούμε λογικά ισοδύναμο τύπο όπου Q i ποσοδείκτες και φ (x 1,, x n ) ανοικτός τύπος. φ * αποτελεί Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή (ΚΠΜ) φ. Για υπολογισμό ΚΠΜ, χρησιμοποιούμε: Νόμους μετακίνησης ποσοδεικτών (μόνο αν x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στον φ): Νόμους άρνησης ποσοδεικτών: Νόμους κατανομής ποσοδεικτών: ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 37

38 Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή Να βρείτε μια ΚΠΜ του τύπου ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2011) Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής 38

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου:

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου: Ορισμός Συνόλου Σύνολα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση:

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1.

Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1. Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1. 1. Πότε μια πρόταση που περιέχει το ή είναι αληθής; Μια πρόταση που περιέχει τον σύνδεσμο "ή", ουσιαστικά αποτελείται από δύο ισχυρισμούς. Μπορεί και οι δύο ισχυρισμοί

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γλώσσα χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις

Διακριτά Μαθηματικά. Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις Διακριτά Μαθηματικά: πυλώνες Image source: http://www.patrasevents.gr Διακριτά Μαθηματικά: λογική Διακριτά Μαθηματικά: αποδείξεις Διακριτά Μαθηματικά:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 9η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται εν μέρει στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική

Κατηγορηµατική Λογική Προβλήµατα της Προτασιακής Λογικής Γιατί δεν µας αρκεί η Προτασιακή Λογική; Εστω ότι ισχύουν τα P και Q: P : «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος» Q : «Κάθε άνθρωπος είναι ϑνητός» R : «Ο Σωκράτης είναι ϑνητός» Μπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 10η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 10η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 10η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Τι θα ακούσετε σήμερα Σημασιολογία πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής. Υπενθύμιση: συντακτικό ΠΚΛ τύπος ατομικός_τύπος

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

mail:

mail: Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσα χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/4/2016

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 1 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 1 Συναρτήσεις 1.1 Έννοια συνάρτησης Ορισμός 1 Έστω Α, Β δύο υποσύνολα του R. Μια διαδικασία με το όνομα f ονομάζεται αν σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Άλγεβρα & Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Το λεξιλόγιο της Λογικής (2 διδακτικές ώρες)

Μάθημα: Άλγεβρα & Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Το λεξιλόγιο της Λογικής (2 διδακτικές ώρες) Μάθημα: Άλγεβρα & Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Το λεξιλόγιο της Λογικής (2 διδακτικές ώρες) Στόχοι του μαθήματος Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης Οι μαθητές στο τέλος της ενότητας θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε τους αριθμούς 1, 2, 3 από τη Στήλη Α και δίπλα το γράμμα α, β, γ, δ, ε από τη Στήλη Β που δίνει τη σωστή αντιστοιχία.

Να γράψετε τους αριθμούς 1, 2, 3 από τη Στήλη Α και δίπλα το γράμμα α, β, γ, δ, ε από τη Στήλη Β που δίνει τη σωστή αντιστοιχία. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : Προγραμματισμός Υπολογιστών / Γ ΕΠΑ.Λ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 22-1-2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΙΧΑΛΕΑΚΟΣ- ΑΝΝΑ ΚΑΤΡΑΚΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Ερωτήσεις Σωστό - Λάθος 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου αριθµού εντολών. 2. Η είσοδος σε έναν αλγόριθµο µπορεί να είναι έξοδος σε έναν άλλο αλγόριθµο. 3. Ένας αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα