Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.

Transcript

1 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09

2 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης /

3 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας ΚΕΦ Να βρείτε τα πεδία ορισμού τω συαρτήσεω: () log(9 ) Β) (). 4 Γ) e Ε) 5 Ζ) εφ Δ) ημ ημ ² 5 Στ) g 4 Η) () ln Να βρείτε τα πεδία ορισμού τω συαρτήσεω: k h ln ln 5 φ() ln r ln t log( log ) Να γίου οι γραφικές παραστάσεις τω: Β) p Γ) e Δ) Ε) s g ln Ζ) g ημ 4 A ln και g οριστού οι συαρτήσεις: g. Να, g /g 5 Να ορίσετε τις συαρτήσεις g, g ότα: ln και g 4. Β),4 και g 6 Να βρείτε τα κοιά σημείο τω αξόω με τις γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω A B 5 Γ) ln Γ e ημ 7 Να βρεθού τα σημεία τω γρ. παραστάσεω τω συαρτήσεω και 8 Έστω η συάρτηση οποίας η C διέρχεται από τα g () α 5 β της, 5 και, 0 A) Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί α, β Β) Να λυθεί η αίσωση () 0. 9 Δίεται η συάρτηση α Nα βρεθεί το α ώστε η C α διέρχεται από το M 4, 0 Δίεται η συάρτηση g με A) Για ποιες τιμές του R g g 0 ; έχουμε B) Για ποιες τιμές του R η γραφική παράσταση της g βρίσκεται κατω από το Γ) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τω συαρτήσεω, h, φ Δίεται η συάρτηση Να βρεθεί η απόσταση τω σημείω Α,() και Β, ( ) Α τότε α αποδείξετε ότι () και () A για μια συάρτηση ισχύει A) για κάθε R τότε α βρείτε το 0 και το B) 4 Έστω η ευθεία:, 0, τότε α βρείτε το y (λ λ) Α η διέρχεται από το, α) το λ τότε α βρείτε β) τα σημεία τομής της με τους άξοες Β) Για ποια λ η είαι παράλληλη προς το Γ) Για ποια λ η είαι παράλληλη προς τη ευθεία y 7 5 Να βρείτε το λ R ώστε οι ευθείες: y λ λ και y α είαι παράλληλες 6 Δίεται η συάρτηση log. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Β) Να δείξετε ότι α,β του πεδίου ορισμού της. α β α β για κάθε αβ 7 Nα εξετάσετε τη μοοτοία τω συαρτήσεω g ln h e k, >0 λ μ /

4

5 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΚΕΦ 8 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 7 lm e Β) lm 4 Γ) lm Δ) lm 9 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: A) Γ) 9 lm lm ( ) B) lm Δ) lm Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: lm t 4t 4t t (t )(t ) 5 6 Β) lm 4 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Γ) lm lm 5 Β) lm 4 6 Δ) Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Γ) π συ lm ημ 9 lm 7 lm 5 Β) lm Δ) lm 4 4 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: lm 4 Β) lm 6 Γ) 5 lm Δ) lm Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Γ) lm Β) lm lm Δ) 5 5 lm ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ 5 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Γ) 5 lm Β) lm lm Δ) 4 lm 6 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Γ) lm lm Β) lm Δ) lm 7 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Γ) 7 lm lm Β) lm 0 ² 4 ² Δ) lm 8 υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Ε) lm 0 8 lm Β) Στ) 7 lm 7 ² 7 lm 4 9 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Γ) lm 0 5 ( 4 ) lm 0 Β) lm Γ) 0 lm Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 9 lm Γ) lm 9 Β) 6 4 Α () 4 τότε α α 4 lm Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συάρτησης Β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η συάρτηση α είαι συεχής στο 4 M. Παπαγρηγοράκης.09

6 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας ΚΕΦ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους τω 8 Α,g είαι παραγωγίσιμες συαρτήσεις στο συαρτήσεω: R και ισχύει:, R, α αποδείξετε ότι A) () g() e B) ln Γ) ln Δ) ημ συ Ε) Στ) ημ e ημ Ζ) e Η) α, α R Θ) Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους τω συαρτήσεω: ln Β) Γ) ημσυθ 4, θ R Δ) () e Ε) Στ) α ημ, α R Ζ) e εφ g () g() g () () 9 Δίεται η συάρτηση () e α αποδείξετε ότι () () 0 για κάθε R. 40 Έστω η συάρτηση () e e, R A) Nα αποδείξετε ότι () 4() B) Να λύσετε τη εξίσωση () () e λ 4 Α () e, α υπολογιστεί ο λ R ώστε: () () (0)() 8() 0 4 Δίεται η συάρτηση με α e, α R. Να βρείτε: Τις τιμές του α, ώστε α ισχύει η σχέση () + () = (), για κάθε R. 4 Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους τω συαρτήσεω: A) e e B) Γ) ln(² e) Δ) e e εφ Ε) ημ συ Στ) συ Ζ) ημσυ Η) ln ln 5 Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους τω συαρτήσεω: ημ συ e Β) ln 4 Γ) e e Δ) e ημ Ε) συ 6 Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος τω συαρτήσεω: ln και g() ln(ημ) 4 Να βρείτε πολυώυμο P δευτέρου βαθμού τέτοιο ώστε α είαι P0, P 6, P0 44 Η θέση εός κιητού που εκτελεί ευθύγραμμη κίηση δίεται συαρτήσει του χρόου t από το τύπο S t t t. Να βρείτε: Τη μέση ταχύτητα του κιητού στο,4 Β) Τη στιγμιαία ταχύτητα του κιητού, ότα t 45 Έας πληθυσμός μικροβίω Ρ μεταβάλλεται συαρτήσει του χρόου t (σε ώρες) σύμφωα με το τύπο Pt 0 50 t Να βρείτε το αρχικό χρόο αριθμό μικροβίω Β) Να βρείτε το αριθμό τω μικροβίω ότα t 9 h Γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού τω μικροβίω ως προς το χρόο, ότα t 9 ώρες 7 Να αποδείξετε ότι : ημ Α τότε 0. Β) Α e ημ τότε 0 Γ) Α () e τότε () () 4e 0

7 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω Ασκήσεις για λύση Σχ. Έτος 0 0 ΚΕΦ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ EΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 46 Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης 54 Έστω η συάρτηση () 0 της συάρτησης στα οποία οι εφαπτόμεες είαι Να βρείτε τα σημεία όπου η εφαπτομέη της παράλληλες στο άξοα ότα: γραφικής παράστασης της, έχει κλίση ίση με το e () 6 Β) Γ) ln 47 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης: ημ στο σημείο της με 0 π συ ln Β), στο σημείο της με τετμημέη Γ) φ στο σημείο της με τεταγμέη 7 Δ) θ 48 Α π συθ σφθ στο σημείο της με θ g() α βln( ),, τότε α βρείτε τα α, β έτσι ώστε η γραφική παράσταση της g α έχει εφαπτομέη παράλληλη στο άξοα τω στα σημεία με τετμημέες 0,,5. 49 Έστω η συάρτηση, R. Να βρείτε τις εξισώσεις τω εφαπτομέω της γραφικής παράστασης της, που είαι παράλληλες στη ευθεία y. 50 Έστω η συάρτηση, R. Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της, που σχηματίζει με το γωία 5. 5 Δίεται η ln. Να βρείτε : Τη γωία που σχηματίζει η εφαπτομέη (ε) της C στο σημείο της A,(),με το άξοα. Β) Το σημείο όπου η εφαπτόμεη είαι παράλληλη στο Γ) Τη εξίσωση της εφαπτόμεης στο 0= 5 Δίεται η συάρτηση με α, R, α R. Nα βρείτε: α) το α ώστε ο συτελεστής διεύθυσης της εφα πτομέης της καμπύλης της στο A,() α είαι 4. β) τη εξίσωση της παραπάω εφαπτομέης 5 Δίεται η συάρτηση με αe β R, α,β R. Nα βρείτε: τα α,β ώστε η εφαπτομέης της C στο σημείο 0, α είαι παράλληλη στη y Β) τη εξίσωση της παραπάω εφαπτομέης Μ. Παπαγρηγοράκης ρυθμό μεταβολής της παραγώγου στα σημεία αυτά. Β) Στο σημείο (του α ερωτ.) με τη μικρότερη τετμημέη α βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομέης. 55 Δίεται η συάρτηση με α β, α,β R. Να υπολογίσετε τα α,β ώστε η y α είαι εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της με τετμημέη. 56 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομέες της γραφικής 4 παράστασης C της με στα σημεία που τέμει τους άξοες είαι παράλληλες 57 Έστω η συάρτησης α β 9. α προσδιορίσετε τα α, β R έτσι ώστε το σημείο A, 0 α αήκει στη γραφική παράσταση C της και η εφαπτομέη της C στο σημείο Α α έχει συτελεστή διεύθυσης το αριθμό. 58 Έστω ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R και είαι ημ e συ για κάθε 0,π Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομέης της. στο 0,(0) σχηματίζει ισοσκελές τρίγωο με τους άξοες. C 59 Έστω ότι η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R και είαι e. Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης στη γ.π. της ln() g στο o e 60 Δίεται η παραγωγίσιμη συάρτηση : 0, R με 4 ln. Να βρείτε τη εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης στο σημείο της A5,(5). 6 Έστω η ln α β. Να βρεθού οι τιμές τω α, β ώστε η y 5 α είαι εφαπτομέη της C στο o 0 6 Έστω τα σημεία Α ln,0 και B 0,e, 0. Α η εκφράζει τη απόσταση τω σημείω Α και Β, α βρείτε τη εφαπτομέη της C στο Μ,()

8

9 6 Να μελετήσετε ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα κάθε μια από τις συαρτήσεις: Β) g() e Γ) e, R Δ) ( ) Ε) 6 Στ) ln, [0, 00] 64 Δίεται η συάρτηση με e. α) Να βρεθού οι,. β) Να μελετηθεί η συάρτηση, ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατά της. 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ 70 Α V r 00p( ln r) 00qr, όπου p και q θετικές σταθερές, α αποδείξετε ότι το V έχει τη p μέγιστη τιμή του ότα r. q α 7 Έστω η συάρτηση e β, α,β R A) Nα βρείτε το α ώστε α ισχύει 4 4β 4 Β) Να βρεθεί το β ώστε η εφαπτομέη της στο σημείο (0,(0)) α είαι παράλληλη στο άξοα. Γ) Για τις τιμές τω α,β που βρήκατε α μελετηθεί η () ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. 7 Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συάρτησης () 6 η εφαπτομέη έχει το ελάχιστο συτελεστή διεύθυσης; 65 Δίεται η συάρτηση με A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και τη ' B) Να εξετάσετε τη ως προς τη μοοτοία. 66 Έστω η συάρτηση e 5 α, α R Να αποδείξετε ότι () + () = ( ()+e ) B) Να βρείτε το α ώστε η εφαπτόμεη στο σημείο, () α είαι παράλληλη στο. Γ) Για τη τιμή του α που βρήκατε, α μελετηθεί η ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. 67 Δίεται η συάρτηση με κ λ, R, κ, λ R. Να βρείτε τα κ, λ ώστε η α έχει στη θέση o τοπικό ακρότατο ίσο με. Β) Για τις τιμές τω κ, λ που βρήκατε στο προηγούμεο ερώτημα, α μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. 68 Α α β τότε Να βρείτε τους αριθμούς α,β R για του οποίους ισχύει 0. Β) Α α= και β=0, τότε α βρείτε τα τοπικά ακρότατα της. 69 Δίεται η συάρτηση αe βe, όπου α,β θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι η 7 Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συάρτησης ln η εφαπτομέη έχει το ελάχιστο συτελεστή διεύθυσης; 74 Δίεται η συάρτηση e e Να βρείτε τα ακρότατά της Β) Να αποδείξετε τη αίσωση e e 75 Δίεται η συάρτηση R. Να βρείτε: το πεδίο ορισμού της Β) το lm (), 0 () 4 5 Γ) τα διαστήματα στα οποία η είαι γησίως, όπου αύξουσα, αυτά στα οποία είαι γησίως φθίουσα και τα ακρότατά της. 76 Δίεται η συάρτηση με α λ, R κ,α,λ σταθερές. Βρείτε το α ώστε Β) Βρείτε το lm Γ) Να αποδείξετε ότι η έχει ελάχιστο. Δ) Α το ελάχιστο της είαι το λ βρείτε το λ Ε) Βρείτε τη εξίσωση εφαπτομέης της C στο σημείο,(). Στ) Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της στο o ελάχιστη τιμή της είαι αβ. M. Παπαγρηγοράκης 5.09

10 77 Σώμα κιείται σε οριζότιο άξοα ακολουθώτας τη συάρτηση θέσης t t 6t 9t 5 (t σε sec, σε m) Α Β Ποια η αρχική ταχύτητα του σώματος; Ποια η ταχύτητα και η επιτάχυση ότα το σώμα βρίσκεται στη θέση 5m; Γ Πότε το σώμα έχει μηδεική ταχύτητα. Ποια η θέση και η επιτάχυση αυτής της χροικής στιγμής; Δ. Ποιο διάστημα διέυσε το σώμα τα πρώτα sec της κίησης του; 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 8 Έχουμε δύο φάρμακα για τη υπόταση τω εηλίκω. Η μεταβολή της πίεσης σε συάρτηση με το t χρόο τω δύο φαρμάκω είαι: π t te και t π t t e t 0, (t σε ώρες). Ποιο από τα δύο φάρμακα δίει τη μεγαλύτερη μέγιστη πίεση και ποιο φάρμακο φέρει το αποτέλεσμα αυτό πιο γρήγορα; 8 Δίεται η ευθεία y. Να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίο απέχει από το σημείο A9,4 τη μικρότερη δυατή απόσταση. 78 Οι συολικές πωλήσεις εός μοτέλου αυτοκιήτου δίοται από τη συάρτηση 0000 (t) 0 t 0 e, όπου t 0,0 είαι ο χρόος σε μήες από τη έαρξη τω πωλήσεω. Να προσδιορίσετε τη χροική στιγμή κατά τη οποία ο ρυθμός αύξησης τω συολικώ πωλήσεω γίεται μέγιστος καθώς και τη μέγιστη τιμή του. 79 Μία βιομηχαία καθορίζει τη τιμή πώλησης Π κάθε μοάδας προϊότος συαρτήσει του πλήθους τω μοάδω παραγωγής σύμφωα με το τύπο: Π() 95. Το κόστος παραγωγής αά μοάδα προϊότος είαι 0 και επιπλέο η βιομηχαία πληρώει φόρο 6 για κάθε μοάδα προϊότος. Να βρεθεί πόσες μοάδες προϊότος θα πρέπει α παράγει η βιομηχαία ώστε α έχει το μέγιστο δυατό κέρδος. 80 Εα φορτηγό διαύει καθημεριά 00 km με σταθερή ταχύτητα km/h. Τα καύσιμα κοστίζου 0,8 το λίτρο και κατααλώοται με ρυθμό 400 lt/h. Α τα υπόλοιπα έξοδα του φορτηγού αέρχοται σε 9 τη ώρα, τότε: α εκφράσετε το κόστος της διαδρομής αυτής ως συάρτηση της ταχύτητας, Β) α βρείτε τη ταχύτητα που πρέπει α έχει το φορτηγό, ώστε τα έξοδά του α είαι τα ελάχιστα, Γ) πόσα είαι τα ελάχιστα αυτά έξοδα; 8 Μια εταιρεία διαθέτει 0000 για α περιφράξει έα οικόπεδο σχήματος ορθογωίου. Η πλευρά ΑΒ πρόκειται α κατασκευαστεί από υλικό που κοστίζει 6 /m και οι πλευρές ΑΔ και ΒΓ από υλικό που κοστίζει 5 /m. Στη πλευρά ΓΔ θα κατασκευαστεί έας τοίχος του οποίου το κόστος θα αέλθει σε 4000.Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου ώστε α έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. 84 Το άθροισμα δύο αριθμώ είαι 8. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γιομέου τους. 85 Απ όλα τα ορθογώια με εμβαδό είαι εκείο που έχει τη μικρότερη περίμετρο. 64m ποιο 86 Από όλα τα ορθογώια με περίμετρο 4 cm α βρείτε εκείο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. 87 Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της παραβολής y στη ευθεία y Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο,4 και σχηματίζει με τους ημιάξοες Ο και Oy τρίγωο ελαχίστου εμβαδού. 89 Η θέση εός υλικού σημείου που βάλλεται, με φορά προς τα πάω, από το έδαφος δίεται από το τύπο yt 5t0 t (t ο χρόος της κίησης σε sec) Να βρείτε τη ταχύτητα και τη επιτάχυση του σημείου ότα t sec. Τι συμπεραίετε για τη κίησή του τη στιγμή αυτή; Β) Να βρείτε τη αρχική ταχύτητα του σημείου και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάει. Γ) Σε ποια στιγμή το ύψος του είαι 75 m 90 Δίεται ορθή γωία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα AB μήκους 0 m του οποίου τα άκρα A και B ολισθαίου πάω στις πλευρές Oy και O ατίστοιχα. Το σημείο B κιείται με ταχύτητα m u και η θέση του στο άξοα O δίεται από sec τη συάρτηση St ut,t 0,5 ( t ο χρόος σε sec) Να βρεθεί το εμβαδό Et του τριγώου OAB ως συάρτηση του t Β) Ποιος είαι ο ρυθμός μεταβολής του Et τη στιγμή κατά τη οποία το μήκος του OA είαι 6 m; M. Παπαγρηγοράκης 6.09

11 Β) Να βρεθεί το σημείο τομής της C με το άξοα yy Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμεης της C στο παραπάω σημείο καθώς και το εμβαδό του τριγώου που ορίζει αυτή με τους άξοες. Δ) Αποδείξτε ότι "() () 4 4 () Ε) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συτελεστή διεύθυσης της εφαπτόμεης για 9 Μια αυτοκιητοβιομηχαία υπολόγισε ότι η σχέση μεταξύ της τιμής Τ εός έου μοτέλου αυτοκιήτου και της ζητούμεης ποσότητας αυτοκιήτω του μοτέλου αυτού δίεται από τη συάρτηση: T 0, 4000 για Να βρεθεί η συάρτηση E τω εσόδω της αυτοκιητοβιομηχαίας Β) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της συάρτησης εσόδω Α το κόστος τω μοάδω αυτοκιήτου που παράγοται, δίεται από τη σχέση: K για Γ) Να προσδιορίσετε τη συάρτηση κέρδους P Δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της συάρτησης κέρδους Ε) Για ποια έχει η αυτοκιητοβιομηχαία το μέγιστο κέρδος. 9 Διεται η συαρτηση () ln(). Να βρείτε : Τα σημεια όπυ η C τεμει τους αξοες Β) Να βρεθει το διαστημα στο οποιο η C είαι παω από τη ευθεια y=e Γ) Να βρεθει η () e Δ) Να βρεθει το Ε) Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομεης της C που είαι παράλληλη στη ευθεία y e 94 Έστω η συάρτηση e, R A) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της C στο σημείο της A,(). B) Nα βρείτε τα διαστήματα μοοτοίας και τα τοπικά ακρότατα της. 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ α β 9 Έστω η συάρτηση με () e με 95 Έα σώμα κιείται ευθύγραμμα πάω σε άξοα ώστε η θέση του τη τυχαία χροική στιγμή t (σε sec) α,β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται α δίεται από το τύπο t t t 45t σε μέτρα από τα σημεία: A(,e ) και B(,e), τότε: (m). Να βρείτε: Να βρεθεί ο τύπος της τη ταχύτητα του κιητού τη χροική στιγμή t Β) τις χροικές στιγμές που το σώμα είαι ακίητο Γ) τη απόσταση τω θέσεω του σώματος ότα αυτό είαι ακίητο. 96 Έστω η συάρτηση με e A) Nα βρείτε τη τιμή της παράστασης: ()+ ()-()+ B) Nα υπολογίσετε το Γ) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης στη C, στο σημείο της με τετμημέη 97 Α η εφαπτομέη ε στη γραφική παράσταση μιας συάρτησης : R R στο A,() είαι παράλληλη στη ευθεία y 0 τότε: Να βρείτε το Β) Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται στη C g με στο σημείο της B0,g(0) g 98 Δίοται οι συαρτήσεις ln και g α β, α,β R. Να βρείτε: τη εξίσωση της εφαπτομέης ε της C στο σημείο της A,() Β) τα α,β ώστε η ε α εφάπτεται στη C g στο σημείο της B,g(). 99 Θεωρούμε τη συάρτηση g µε τύπο g, 0,, 0,, A) Α η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης στο σημείο A,() είαι παράλληλη στη ευθεία ε : y, α αποδείξετε ότι η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης g στο σημείο B,g(), είαι παράλληλη στο άξοα. B) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία εφάπτεται στη C της g στο σημείο g Γ 4,g(4). M. Παπαγρηγοράκης 7.09

12 00 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΙΝΑΚΕΣ 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ % 0,0 0 0,5 5 % , ,05 5 0,05 5 ΑΘΡ ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ % -5 0,05-5 0, ,5 5 % , , 8 0, 0 ΑΘΡ ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ N % % ,40 0, ,0 0, ,0 0, , N % % ΑΘ ΑΘ % N - 4 0, , ,4 % N ΠΙΝΑΚΑΣ , ΑΘΡ 40 ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 5 N % 0 0, 0 5 0, , , , N % ΑΘΡ ΑΘΡ 60 ΠΙΝΑΚΑΣ 6 % N % ,0 0 0, ,5 0 0, , , ,5 5 0, , , , % N % ΑΘ ΑΘ 0 00 M. Παπαγρηγοράκης 8.09

13 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας ΠΙΝΑΚΑΣ 7 N % % 0 0,0 0, , ,0 6 0, ,60 6 0,0 0, ,5 7 0, ,0 9 0, ,05 0, N % % Σ Σ 0, Σε μια τάξη Λυκείου : Οι 0 μαθητές έχου καέα ή ή ή ή 4 αδέρφια Οι 8 έχου τουλάχιστο αδερφό Οι 9 έχου το πολύ αδέρφια Πέτε οικογέειες τω μαθητώ έχου ή 4 παιδιά Το 5% τω οικογεειώ τη μαθητώ έχου 4 τουλάχιστο παιδιά Να κάετε το πίακα καταομής συχοτήτω:,, %, N,, % 0 Σε μια πόλη η μικρότερη θερμοκρασία επί 0 συεχείς ημέρες ήτα 0,, 5, και 6 8 ημέρες είχα θερμοκρασία το πολύ 5 Το 85% του πλήθους τω ημερώ η θερμοκρασία ήτα τουλάχιστο Το πλήθος τω ημερώ που είχα θερμοκρασία ήτα διπλάσιο του πλήθους τω ημερώ που είχα Το 55% του πλήθους τω ημερώ η θερμοκρασία ήτα ή 5 Να κάετε το πίακα καταομής συχοτήτω:,, N,, %, % 0 Έστω,,..., 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους και ( ),,,4 α βρεθεί η (Απ./) 04 Έστω,,, 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος. Α 4 4 α βρείτε τις,,, 4 (Απ. /5, /50, /75, /00) 05 Έστω,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους Α,,, α βρεθεί ο Β) Α,, α βρεθεί τη (ΑΠ.6, /4) 06 Έστω,,..., 5 με... 5 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους. Α ισχύει,,,...,5 κ Να βρεθεί ο κ Β) 5 Για κ α βρείτε τη % Γ) Α N 0 α βρείτε το μέγεθος του δείγματος. (ΑΠ.5/,/5, 75) 07 Έστω,,..., 5 με... 5 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς τη οποία εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους. Α ισχύει %,,,...,5 κ Να βρεθεί ο κ Β) Για κ α βρείτε τη 0 9

14 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 08 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σε έα μάθημα φαίεται στο διπλαό πίακα. Να κάετε το διάγραμμα συχοτήτω και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω Βαθμός Πλήθος φοιτητώ Στο διπλαό πίακα φαίοται τα βιβλία που έχει μια βιβλιοθήκη. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχοτήτω και κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω Είδος βιβλίω Πλήθος βιβλίω Ιστορικά Λογοτεχικά 0 Μαθηματικά 6 Ταξιδιωτικά 4 Εγκυκλοπαιδικά 8 0 Σε έα κυκλικό διάγραμμα παριστάοται οι εξαγωγές της χώρας μας αξίας euro κατά το έτος 980 αάλογα με το μέσο μεταφοράς. Η γωία του κυκλικού τομέα για μέσο μεταφοράς θαλασσίως είαι 80. Το 4% της αξίας τω εξαγωγώ έγιε σιδηροδρομικώς. Οι μεταφορές που έγια οδικώς ήτα τετραπλάσιες σε αξία από αυτές που έγια αεροπορικώς. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω. Σε έα κυκλικό διάγραμμα παριστάεται το μορφωτικό επίπεδο τω 400 εργαζομέω μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες. Α Κατηγορία: Απόφοιτοι Γυμασίου Β Κατηγορία: Απόφοιτοι Λυκείου Γ Κατηγορία: Πτυχιούχοι Αωτάτης Εκπαίδευσης Δ Κατηγορία: Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου. Κάθε εργαζόμεος αήκει σε μία μόο από τις κατηγορίες αυτές. Στη Α κατηγορία αήκει το 5% τω εργαζομέω της επιχείρησης. Η γωία του κυκλικού τομέα που ατιστοιχεί στους εργαζόμεους της Δ κατηγορίας είαι 8. Οι εργαζόμεοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είαι εξαπλάσιοι τω εργαζομέω της Γ κατηγορίας. Α. Να υπολογίσετε το αριθμό τω εργαζομέω κάθε κατηγορίας. Β. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχοτήτω. Σε έα κυκλικό διάγραμμα, παριστάεται το χρώμα μαλλιώ 900 ατόμω. Το 0% τω ατόμω έχου μαύρα μαλλιά. Η γωία του ο κυκλικού τομέα για τα κασταά μαλλιά είαι α 44. Τα άτομα με Χρώμα μαλλιώ Κόκκια Μαύρα % α ξαθά μαλλιά είαι διπλάσια από αυτά με κόκκια μαλλιά. Να συμπληρώσετε το διπλαό πίακα και α κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχοτήτω. Καςταά Ξαθά Σύολο: Ο αριθμός τω ετήσιω επισκέψεω εός δείγματος 80 μαθητώ μιας περιοχής στα διάφορα μουσεία της χώρας δίεται από το διπλαό διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω Για το αωτέρω δείγμα βρείτε: Α Β πόσοι μαθητές κάου ακριβώς μία επίσκεψη ετησίως, το ποσοστό επί τοις εκατό τω μαθητώ που κάει ακριβώς δύο επισκέψεις ετησίως, Γ το ποσοστό επί τοις εκατό τω μαθητώ που κάει δύο τουλάχιστο επισκέψεις ετησίως. Μ. Παπαγρηγοράκης

15 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 4 Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίακες στους οποίους έχουμε ομαδοποιήσει τρία δείγματα σε κλάσεις ίσου πλάτους Κλάσεις.... Κλάσεις.... Κλάσεις Η βαθμολογία 40 μαθητώ σε έα διαγώισμα φαίεται στο διπλαό πίακα: Να κατασκευάσετε: α) Το πίακα με τις συχότητες: %, % β) Το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Β) Να βρείτε το βαθμό κάτω από το οποίο έχει: α) Το 0% τω μαθητώ β) Το 0% τω μαθητώ γ) Το 40% τω μαθητώ. Γ)Το ποσοστό τω μαθητώ που έχει γράψει: α) Κάτω από 6 β) κάτω από γ) Τουλάχιστο 4 Βαθμός, μαθητές 0,4 4 4,8 8 8, 6,6 0 6,0 Απ.: α) 8 β) 6 γ) 9 α) 95 β) 60 γ)7,5 6 Στο σχήμα έχουμε το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω της βαθμολογίας τω μαθητώ της Α Λυκείου σε έα διαγώισμα ιστορίας. Να βρείτε: ) Το βαθμό κάτω από το οποίο πήρε: α) το 70% τω μαθητώ β) το 50% τω μαθητώ γ) το 0% τω μαθητώ ) Το ποσοστό τω μαθητώ που πήρε βαθμό: α) μέχρι 8 β) μέχρι μαθητές βαθμολογία 7 Στο σχήμα είαι το πολύγωο συχοτήτω τω ομαδοποιημέω πωλήσεω σε δεκάδες χιλιάδες euro που έγια από τους πωλητές μια εταιρείας στη διάρκεια εός έτους. ) Πόσοι είαι οι πωλητές; ) ) Να κατασκευάσετε: α)το ιστόγραμμα συχοτήτω β)το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω % Πόσοι πωλητές έκαα πωλήσεις κάτω από: α) euro; β) euro; αριθμός πωλητώ γ) euro; Απ.: ) 00 α) 50 β) 0 γ) 90 πω λήσ εις 8 Το πολύγωο συχοτήτω μιας ομαδοποιημέης καταομής με 5 ισοπλατείς κλάσεις αποτελείται από τις ευθείες y και y A) Να βρεθεί το πλήθος του δείγματος. B) Να βρεθεί το πλάτος και τα άκρα κάθε κλάσης. Γ) Να βρεθεί η συχότητα κάθε κλάσης.

16 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ 9 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σε έα μάθημα φαίεται στο διπλαό πίακα. Να βρείτε το μέσο όρο τω βαθμώ. ΑΠ: 5, 85 Βαθμολογία Φοιτητές % Οι χρόοι που χρειάστηκα κάποιοι μαθητές για α λύσου έα πρόβλημα φαίοται στο διπλαό πίακα. Να βρείτε το μέσο χρόο λύσης του προβλήματος ΑΠ: 6, Χρόος Μαθητές 0,4 4,8 5 8, Οι χρόοι που κάου οι μαθητές εός σχολείου α πάε από το σπίτι στο σχολείο είαι από 4 έως 0 λεπτά. Το 0 % κάει χρόους κάτω από 8 λεπτά το 50% κάει χρόους κάτω από λεπτά και το 5% τουλάχιστο 6 λεπτά. Να βρείτε το μέσο χρόο τω μαθητώ. ΑΠ:,8 Στο διπλαό πίακα φαίεται η βαθμολογία 0 φοιτητώ σε έα μάθημα. Να βρείτε τα α, β α η μέση βαθμολογία είαι 5,9 ΑΠ: α 6 και β 4 Μια βιοτεχία έχει 0 εργαζόμεους με μέσο μηιαίο μισθό 00. Να βρείτε το μέσο μισθό ότα: α) έας εργαζόμεος με 00 μισθό πάρει σύταξη. β) προσληφθού δύο εργαζόμεοι ακόμη με μισθό 850 ο καθέας. γ) πάρει σύταξη έας με μισθό 90 και προσληφθού τρεις με μισθό 850 ο καθέας Βαθμός Φοιτητές 4 5 α β Β) Α προσληφθεί έας εργαζόμεος, ποιος πρέπει α είαι ο μηιαίος μισθός του ώστε ο μέσος μηιαίος μισθός όλω α είαι 0 ΑΠ: 00, 4,66,,, 0 4 Σε 0 παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X βρήκαμε μέση τιμή 60. Διαπιστώθηκε όμως στο τέλος ότι οι 0 παρατηρήσεις από αυτές είχα εσφαλμέα υπερεκτιμηθεί κατά 5 μοάδες κάθε μια εώ οι 9 από τις υπόλοιπες είχα υποεκτιμηθεί κατά 0 μοάδες η κάθε μια. Να βρείτε τη σωστή μέση τιμή τω παρατηρήσεω αυτώ. 5 Μια τάξη έχει αγόρια και άγωστο αριθμό κοριτσιώ. Σε έα διαγώισμα η μέση τιμή τω βαθμώ τω αγοριώ ήτα 4, εώ τω κοριτσιώ ήτα 4,875. Α η μέση τιμή τω βαθμώ όλω τω παιδιώ ήτα 4,5, α βρεθεί το πλήθος τω κοριτσιώ. 6 Σε μια επιχείρηση είαι 50 εργαζόμεοι στα τμήματα A και B. Οι εργαζόμεοι στο τμήμα A πήρα αύξηση στο μηιαίο μισθό 00 ο καθέας, εώ στο τμήμα B πήρα αύξηση στο μισθό, 50 ο καθέας. Α η μέση τιμή όλω τω μηιαίω μισθώ αυξήθηκε κατά 70, α βρείτε πόσοι είαι οι εργαζόμεοι του κάθε τμήματος. 7 Σε μια εταιρία οι 00 υπάλληλοι έχου μέσο μισθό 500. A) Το 0% τω υπαλλήλω έχει μέσο μισθό 800.Α ο μισθός αυτώ τω υπαλλήλω αυξηθεί ώστε α γίει ίσος με τη μέση τιμή, ποια θα είαι η έα μέση τιμή του μισθού ; B) Για λόγους μείωσης του κόστους απολύεται το 5% τω υπαλλήλω της εταιρίας. Οι υπάλληλοι αυτοί έχου μέσο μηιαίο μισθό 800. Να βρεθεί η έα μέση τιμή του μισθού. Γ ) Α σε όλους τους υπάλληλους δοθεί αύξηση,5% ποια η έα μέση τιμή του μισθού ; 8 Έα εργοστάσιο απασχολεί 5 υπαλλήλους στο Τμήμα A με μέσο μηιαίο μισθό 490, 6 υπαλλήλους στο Τμήμα Β με μέσο μηιαίο μισθό 800 και 4 υπαλλήλους στο Τμήμα Γ με μέσο μηιαίο μισθό 600. Να βρεθεί ο μέσος μηιαίος μισθός όλω τω υπαλλήλω. Α προσληφθού υπάλληλοι στο Τμήμα A, 4 στο Τμήμα Γ και οι μέσες τιμές τω μισθώ στα δύο αυτά τμήματα δε μεταβληθού, α βρεθεί η έα μέση τιμή. Μ. Παπαγρηγοράκης

17 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 9 Η μέση τιμή 00 αριθμώ είαι 4 και η μέση τιμή τω 60 πρώτω από αυτούς είαι 6. Να βρεθεί η μέση τιμή τω υπολοίπω.; 0 Σε έα Λύκειο τα τρία τμήματα της Πρώτης Τάξης έχου: Το πρώτο 5 μαθητές και μέση βαθμολογία 7,5 το δεύτερο 7 μαθητές και μέση βαθμολογία 8, το τρίτο μαθητές και μέση βαθμολογία 7, Να βρεθεί η μέση βαθμολογία τω μαθητώ της Πρώτης τάξης (απ: 7,6) Ο μέσος όρος βαθμολογίας ου τετραμήου 0 μαθητώ εός τμήματος στη στατιστική είαι 4,4. Επειδή συγκριτικά με τους μέσους όρους άλλω μαθημάτω η βαθμολογία θεωρήθηκε χαμηλή, ο καθηγητής αποφάσισε α δώσει μια μοάδα σε όλους τους μαθητές, εκτός από δυο μαθητές που είχα εικοσάρια. Ποια είαι τώρα η έα μέση τιμή της βαθμολογίας Οι αριθμοί α, β, 7, γ έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά και είαι οι βαθμοί εός μαθητή σε τέσσερα διαγωίσματα. Δίεται ότι το εύρος τω βαθμώ είαι, η διάμεσος και η μέση τιμή 6. Να βρείτε τους βαθμούς του μαθητή. Β) Α οι συτελεστές βαρύτητας τω βαθμώ είαι 0, 5 0,7 και 0,8 ατίστοιχα α βρείτε το μέσο όρο τω βαθμώ του μαθητή. Η μέση τιμή τω παρατηρήσεω t, t,..., t μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους είαι. Να βρείτε το αριθμητικό μέσο τω παρατηρήσεω: t λ, t λ,..., t λ Β) t λ, t λ,..., t λ Γ) λt, λt,..., λt Δ) t t t,,..., λ λ λ, (λ 0) Ε) λt κ, λt κ,..., λt κ 4 Σ έα Λύκειο φοιτού 00 μαθητές και η μέση βαθμολογία τους στα Μαθηματικά στο Α τετράμηο ήτα 5. Στο Β τετράμηο, έας ορισμέος αριθμός μαθητώ αύξησε τη βαθμολογία του κατά 4 μοάδες ο καθέας, εώ οι υπόλοιποι μείωσα τη βαθμολογία τους κατά μοάδες ο κάθε μαθητής. Να βρείτε πόσοι μαθητές βελτίωσα τη βαθμολογία τους και πόσοι τη χειροτέρευσα, α γωρίζουμε ότι η μέση βαθμολογία όλω στο Β τετράμηο έγιε 7. 5 Έα δείγμα έχει μέγεθος 8, 8 ( 6) 75 και S. Να βρείτε η και το Α είαι και = = 5 5, α υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) 0 β) = = 7 Στη διπλαή καταομή α υπολογίσετε τη μέση τιμή v Να υπολογίσετε το πλήθος τω παρατηρήσεω ln, ln, ln,, ln, α η μέση ln004 τιμή τους είαι

18 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΔΙΑΜΕΣΟΣ 9 Να βρείτε τη διάμεσο στα δείγματα A: -, 0,, 4,, 0,, B:, 5, 8, 9,,, 4, 8 40 Να βρείτε τη διάμεσο τω χρόω σε λεπτά που χρειάστηκα για α λύσου έα πρόβλημα οι μαθητές τω τεσσάρω τμημάτω της Α τάξης, που φαίοται στους παρακάτω πίακες. ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόoς Μαθητές ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόος Μαθητές ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόος Μαθητές ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Χρόος Μαθητές Να βρείτε τη διάμεσο τω βαθμώ τω μαθητώ της Α Λυκείου του κάθε τμήματος που πήρα σε έα διαγώισμα α τα πολύγωα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω είαι τα παρακάτω: % βαθμός % βαθμός % βαθμός 4 Α η μέση τιμή πέτε αριθμώ είαι διπλάσια της διαμέσου δ με 0 δ 5 και οι τέσσερις από αυτούς είαι οι 0,, 5,, α βρείτε το πέμπτο αριθμό. 4 Στο διπλαό πίακα φαίοται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τις ατίστοιχες αθροιστικές σχετικές συχότητές τους. Να βρείτε τους α, β, γ α η διάμεσος είαι 6 και η μέση τιμή 5,5 ΑΠ: 50,90,00 % α 7 β 9 γ 44 H διάμεσος 5 αριθμώ είαι 6. Α ο έας από τους αριθμούς αλλάξει ο διάμεσος γίεται 7. Ποιος είαι ο αριθμός που άλλαξε; 45 Ο διάμεσος βαθμός σε τρία τεστ είαι 90, ο μέσος βαθμός 9 και το εύρος 6. Nα βρεθού οι τρεις βαθμοί. 46 Σ έα τεστ πήρα μέρος 00 μαθητές προκειμέου ο καθέας α απατήσει σε 00 Βαθμοί Συχότη 60,80 5 ερωτήσεις. Η βαθμολογία είαι ή 0, αάλογα α ο μαθητής απατάει ή όχι στη ερώτηση. 80,00 0 Ο επόμεος πίακας δείχει τα αποτελέσματα της βαθμολογίας 00,0 6 Να εκτιμήσετε γραφικά τη διάμεσο. 0,40 0 Β) Να εκτιμήσετε το ποσοστό τω μαθητώ που έγραψα από: 80 έως 0. 40, , H διάμεσος 5 αριθμώ είαι 6. Α ο έας από τους αριθμούς αλλάξει ο διάμεσος γίεται 7. Ποιος είαι ο αριθμός που άλλαξε; 48 Α οι παρατηρήσεις του δείγματος 4, 8,, α,, 4,5 έχου δ 8 α βρείτε τη μέση τιμή και το α 49 Το μέσο ύψος τω 0 μαθητώ και μαθητριώ μιας τάξης είαι 70 cm. Υποθέτουμε ότι καέας μαθητής δε έχει αάστημα μικρότερο τω 60 cm. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του δείγματος δε υπερβαίει τα 80 cm. Μ. Παπαγρηγοράκης

19 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ 50 Οι ελάχιστες θερμοκρασίες σε μια πόλη για πέτε συεχείς ημέρες ήτα: 5,, 0,,. Να βρείτε το εύρος, τη διακύμαση και τη τυπική απόκλιση. 5 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σε έα μάθημα φαίεται από το διπλαό πίακα. Να βρείτε το εύρος, τη διασπορά και τη τυπική απόκλιση. 5 Οι χρόοι ααμοής σε στάση λεωφορείω 0 ατόμω φαίεται στο διπλαό πίακα. Να βρείτε τη τυπική απόκλιση. Βαθμολογία Φοιτητές Χρόος Μαθητές, 6,5 8 5,7 4 7,9 5 Έα δείγμα μεγέθους 5 έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. Παίρουμε τη μέση τιμή ως μία έα τιμή της μεταβλητής και δημιουργούμε έα δείγμα μεγέθους 6. Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του έου δείγματος. 54 Έστω t, t,,t 00 οι τιμές μιας μεταβλητής. Οι πρώτες 0 παρατηρήσεις έχου μέση τιμή = 0 με τυπική απόκλιση s =, εώ οι υπόλοιπες έχου μέση τιμή = 0 και τυπική απόκλιση s = 5. Να βρείτε: τη μέση τιμή του συόλου, Β) τη τυπική απόκλιση s του συόλου. 55 Ρωτήθηκα 40 μαθητές εός Λυκείου πόσα λογοτεχικά βιβλία έχου διαβάσει. Οι απατήσεις κυμαίοτα από 0 έως και 0. Οκτώ μαθητές απάτησα κάτω από 4, είκοσι μαθητές κάτω από 8, τέσσερις μαθητές πάω από 6 και δέκα πάω από. Να παραστήσετε τα δεδομέα σε έα πίακα συχοτήτω Β) Να υπολογίσετε μέση τιμή, διάμεσο και τυπική αποκλιση Γ) Α για τους που διαβάζου ποιο πολύ τους δοθεί μια λογοτεχική σειρά δωρεά, πόσα τουλάχιστο βιβλία πρέπει α έχει διαβάσει κάποιος για α κερδίσει; 56 Η μέση τιμή και η διακύμαση τω 0 τιμώ εός δείγματος είαι 6 και 9 δεκαεέα τιμές ισχύει 79, α βρεθεί η εικοστή τιμή. s 4, ατίστοιχα. Α για τις 57 Α για έα σύολο παρατηρήσεω ισχύει ότι 88, s 7,, α βρεθεί το v 58 Η μέση τιμή και η διασπορά τω 7 τιμώ εός δείγματος είαι 5 και S 6. Α ισχύει (t ) (t ) (t ) (t4 ) (t5 ) (t6 ), α βρεθεί η τιμή t H τυπική απόκλιση μιας μεταβλητής Χ είαι ίση με το μηδέ. Α t, t,..., t v είαι οι τιμές της και η μέση τιμή, δείξτε ότι t t... t v =. 60 Θεωρούμε α το πλήθος αριθμώ που έχου διακύμαση s και μέση τιμή. Όμοια θεωρούμε α το πλήθος αριθμώ που έχου διακύμαση Α. Η μέση τιμή τω α α αριθμώ είαι Β. Η διακύμαση s τω α α είαι: s s και τη ίδια μέση τιμή. Να αποδείξετε ότι: αs αs α α 5

20 ο Γεικό Λύκειο Χαίω Σε έα δείγμα ισχύει ότι 4s 0. Να βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας. CV 0 6 Έα σύρμα μήκους 0 cm κόβεται σε δέκα κομμάτια με μήκη,,..., 0 Α συτελεστή μεταβολής τω,,..., 0. 90, α βρείτε το 6 Οι βαθμοί τω μαθητώ εός τμήματος έχου μέση τιμή και CV 0,5. Α μαθητές του τμήματος; 060 πόσοι είαι οι 64 Στο διπλαό πίακα δίεται η καταομή της ηλικίας εός δείγματος ατόμω μια πόλης. Να βρείτε τη διάμεσο και τη μέση τιμή Β) το πλήθος τω ατόμω που έχει ηλικία κάτω από 6 έτη. Γ) τη τυπική απόκλιση και το συτελεστή μεταβολής 65 Στο διπλαό σχήμα δίεται το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω της βαθμολογίας μιας ομάδας μαθητώ σε έα μάθημα. Η βαθμολογία κυμαίεται από 0 έως 0. Δίεται ότι 0 μαθητές έχου βαθμό μικρότερο του 6. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός τω μαθητώ είαι 80 Β) Να βρείτε τη διάμεσο. Γ) Να εξετάσετε α το δείγμα τω 80 μαθητώ είαι ομοιογεές ως προς τη βαθμολογία. % Ηλικία..,.. Συχότητα βαθμολογία 66 Δίεται ο πίακας συχοτήτω v 0 6 κ Εά η μέση τιμή του δείγματός είαι = δείξτε ότι κ=0. Β) Να βρείτε τη τυπική απόκλιση της καταομής. Γ) Να βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας Δ) Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή c κατά τη οποία πρέπει α αυξηθού οι παρατηρήσεις ώστε το δείγμα α γίει ομοιογεές. 67 Σε μια εταιρεία ο μηιαίος μισθός τω εργατώ είαι 750 ευρώ εώ τω στελεχώ είαι 00 ευρώ. Α. Α οι εργάτες είαι τετραπλάσιοι σε αριθμό από τα στελέχη της εταιρείας,α βρείτε το μέσο μισθό τω υπαλλήλω (εργατώ και στελεχώ) της εταιρείας. Β. Θεωρούμε ότι η εταιρεία έχει υπαλλήλους με μισθούς,όπου,,...,v. α) Α η τυπική απόκλιση τω μισθώ είαι 40 ευρώ και το άθροισμα τω τετραγώω τους είαι ευρώ,τότε α βρείτε το αριθμό τω υπαλλήλω που απασχολεί η εταιρεία. β) Να εξετάσετε α υπάρχει ομοιογέεια στους μισθούς τω υπαλλήλω. γ) Η εταιρεία αποφασίζει α αυξήσει κατά α ευρώ τους μισθούς τω εργατώ,έτσι ώστε ο έος μέσος μισθός τω υπαλλήλω,α μη υπερβαίει τα 900 ευρώ. Να βρείτε τη μέγιστη αύξηση,που μπορεί α κάει η εταιρεία. 68 Η Γ τάξη εός λυκείου έχει δύο τμήματα A και B. Το τμήμα A έχει 8 μαθητές και το τμήμα B έχει μαθητές. Σε έα κοιό διαγώισμα, η τυπική απόκλιση της βαθμολογίας τω μαθητώ του τμήματος A είαι Sα, 5 και του τμήματος B είαι Sβ, 5,εώ η μέση βαθμολογία τω δύο τμημάτω είαι η ίδια. A) Από τις βαθμολογίες τω δύο τμημάτω, ποια έχει τη μεγαλύτερη ομοιογέεια; B) Να βρείτε τη τυπική απόκλιση της βαθμολογίας όλω τω μαθητώ της τάξης αυτής. 69 Θεωρούμε το δείγμα α, β, γ, δ με α β γ δ. Οομάζουμε μ το αριθμητικό μέσο του δείγματος, Μ το σταθμικό μέσο του δείγματος με ατίστοιχους συτελεστές στάθμισης 0, α 0,β 0,γ 0,δ, και s τη τυπική απόκλιση του δείγματος. Α μμ και s α β γ δ α βρείτε τα μ, s, CV Μ. Παπαγρηγοράκης

21 70 Έστω ότι έα σύολο παρατηρήσεω έχει μέση τιμή, διάμεσο δ 4 και τυπική απόκλιση s Nα συμπληρώσετε το πίακα: Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Y cx c y δ y s y CV y y y y 7 Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση s τω παρατηρήσεω,,..., είαι ατίστοιχα 8 και 0. Να βρείτε τη μέση τιμή μ και τη τυπική απόκλιση σ τω παρατηρήσεω 6 4, 6 4,..., Οι παρατηρήσεις,,..., εός δείγματος μεγέθους έχου μέση τιμή και διασπορά s 4. Να βρείτε το συτελεστή μεταβολής τω παρατηρήσεω y, y,...,y που προκύπτου από τις,,..., α: προσθέσουμε σε κάθε μία το και πολλαπλασιάσουμε κάθε μια με το Β) αυξήσουμε κάθε μια κατά 0% Γ) ελαττώσουμε κάθε μια κατά 0% και μετά προσθέσουμε σε κάθε μια το,6 7 Έστω ευθεία (ε) : y=-+ και τα σημεία της A, A,...,A 9 με τετμημέες,,..., 9 που έχου μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση. Να βρείτε το συτελεστή μεταβολής τω τεταγμέω τω σημείω A, A,...,A Έστω,,..., οι παρατηρήσεις εός δείγματος που έχου μέση τιμή και διακύμαση 4. Να βρείτε πόσες μοάδες -τουλάχιστο- πρέπει α αυξήσουμε τη κάθε μια από τις παρατηρήσεις ώστε το δείγμα α είαι ομοιογεές. 75 Μια τάξη έχει μέση τιμή ηλικίας τω μαθητώ 4 χρόια και τυπική απόκλιση μήες. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση της ηλικίας τω μαθητώ ύστερα από χρόια 76 Σε έα εργοστάσιο σε έα δείγμα εργαζομέω στο τμήμα A έχου μέσο (μηιαίο) μισθό 950 και τυπική απόκλιση 00 εώ στο τμήμα B έχου μέσο (μηιαίο) μισθό 080 και τυπική απόκλιση 0. Έστω ότι οι εργαζόμεοι θα πάρου αύξηση στο τμήμα A, 50 και στο τμήμα B 5%. Στους έους μισθούς α εξετάσετε ποιο από τα δύο δείγματα τιμώ έχει τη μεγαλύτερη ομοιογέεια και α αυτό είαι ομοιογεές. 77 Τα χρόια εργασίας εός δείγματος εργαζομέω σε έα εργοστάσιο σχηματίζου το διπλαό πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω. Να βρείτε: τη διάμεσο, τη μέση τιμή, τη τυπική απόκλιση, και το συτελεστή μεταβολής ύστερα από 5 χρόια. 78 Η μέση τιμή και ο συτελεστής μεταβολής τω 0 τιμώ εός δείγματος είαι 80 και CV 5% ατίστοιχα. Α για τις εέα τιμές ισχύει ότι: τη δέκατη τιμή α βρείτε: Β) πόσες μοάδες τουλάχιστο πρέπει α αυξηθεί κάθε τιμή του δείγματος του δείγματος ώστε α γίει ομοιογεές N χρόια εργασίας 79 Μία βιομηχαία συσκευάζει γάλα σε 4 μεγέθη κουτιώ και σε ποσοστά 0%, 0%, 0%, 40% με ατίστοιχα κόστη 8, 6, 4 και αά κουτί. Να βρεθεί το μέσο κόστος αά κουτί και η τυπική απόκλιση. Β) Α αυξηθεί το κόστος κατά 0%, α βρεθεί η έα τυπική απόκλιση. 80 Οι σημεριές ηλικίες κάποιω ατόμω έχου CV 0, 05 εώ πρι από 6 χρόια είχα CV 5% α βρεθεί η μέση σημεριή τους ηλικία Β) πρι πόσα χρόια από σήμερα το δείγμα τω ηλικιώ τους ήτα για πρώτη φορά ομογεές; Γ) α το άθροισμα τω τετράγωω τω σημεριώ ηλικιώ είαι 604 α βρεθεί το πλήθος τω ατόμω 7

22 ο Γεικό Λύκειο Χαίω 0 0 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 8 Η βαθμολογία 00 μαθητώ σε έα διαγώισμα είαι περίπου καοική. Εκατό μαθητές έχου βαθμό το πολύ και 5 μαθητές τουλάχιστο 6. Να βρείτε πόσοι μαθητές έχου βαθμό από 8 έως 6 και α α εξετάσετε α το δείγμα τω βαθμώ είαι ομοιογεές. ΑΠ: 90,όχι 8 Τα ούμερα τω παπουτσιώ εός δείγματος 400 ατόμω ακολουθού περίπου τη καοική καταομή. Δέκα άτομα φοράε παπούτσια με ούμερο τουλάχιστο 4 και 64 άτομα το πολύ 7. Να βρείτε πόσα άτομα φοράε παπούτσια από ούμερο 7 έως 4 ΑΠ: 6 8 Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X ακολουθού τη καοική καταομή. Α το 6% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες του 0 και το 50% μεγαλύτερες του, α βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας του δείγματος τω παρατηρήσεω. ΑΠ: CV 6 84 Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X ακολουθού τη καοική καταομή. Α το,5% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες του 0 και το 84% μεγαλύτερες του 0 α βρείτε το ποσοστό τω παρατηρήσεω από 5 εως 5 85 Οι παρατηρήσεις μια μεταβλητής X μεγέθους 800 ακολουθού τη καοική καταομή. Είκοσι παρατηρήσεις είαι μικρότερες του 8 και 8 μεγαλύτερες του 6. Να βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος του δείγματος. Β) Να εξετάσετε α το δείγμα τω παρατηρήσεω είαι ομοιογεές. 86 Έστω μεταβλητή Χ η οποία παίρει θετικές τιμές, ακολουθεί τη καοική καταομή και έχει εύρος περίπου- R 6 και CV 0% Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του δείγματος. Β) Να υπολογίσετε το ποσοστό τω ατόμω που η τιμή τους είαι μεταξύ 4 και 4 Γ) Να αποδείξετε ότι α οι τιμές της Χ αυξηθού κατά ω 0, ο CV θα μειωθεί Δ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ω, ώστε το δείγμα α γίει ομοιογεές. 87 Έα δείγμα έχει μέγεθος =0 και η μεταβλητή ακολουθεί τη καοική καταομή. 0 Α,4 και 0 4,86 τότε α βρείτε το συτελεστή CV 88 Η διάρκεια ζωής (σε χιλιάδες ώρες) εός δείγματος 8000 ηλεκτρικώ συσκευώ που παράγει μια μηχαή, ότα λειτουργεί καοικά, ακολουθεί καοική ή περίπου καοική καταομή. Η διάμεσος του δείγματος είαι 0 και 00 ηλεκτρικές συσκευές έχου ζωή τουλάχιστο Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές. Β) Να υπολογίσετε το πλήθος τω ηλεκτρικώ συσκευώ του δείγματος που έχου διάρκεια από 9 έως. Γ) Θεωρούμε μια συσκευή ελαττωματική ότα έχει διάρκεια ζωής κάτω από 7. Α στο δείγμα βρέθηκα 5 ηλεκτρικές συσκευές που έχου διάρκεια ζωής κάτω από 7, α εξετάσετε α έχει βλάβη η μηχαή που τις παράγει. 89 Έα μηχάημα κατασκευάζει βίδες. Ότα το μηχάημα λειτουργεί σωστά, η καταομή συχοτήτω τω βιδώ ως προς το μήκος τους, είαι καοική με μέση τιμή (σε cm) και τυπική απόκλιση s (σε cm). Α το 95% περίπου τω βιδώ που κατασκευάζει το παραπάω μηχάημα έχου μήκος μεταξύ 5,6 cm και 6,4 cm τότε Να υπολογίσετε το μέσο μήκος τω βιδώ, τη τυπική απόκλιση του μήκους και το εύρος της καταομής. Β) Να βρείτε το ποσοστό τω βιδώ που έχει μήκος μεταξύ 5,8 cm και 6 cm Γ) Α μία βίδα έχει μήκος μικρότερο ή ίσο τω 5,4 cm ή μεγαλύτερο ή ίσο τω 6,6 cm τότε θεωρείται ελαττωματική. Να βρείτε το ποσοστό τω ελαττωματικώ βιδώ. Δ) Σε ποιοτικό έλεγχο 0000 βιδώ που κατασκευάζει το μηχάημα, 45 βίδες βρίσκοται ελαττωματικές. Η πρόταση: «Το μηχάημα παρουσιάζει πρόβλημα λειτουργίας» είαι Σωστή ή Λαθασμέη; Μ. Παπαγρηγοράκης