2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ"

Transcript

1 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο. Οι περιορισμοί μπορεί να αφορούν το διαθέσιμο προσωπικό, τις διαθέσιμες ώρες των μηχανημάτων, τα κεφάλαια μιας επιχείρησης, τις αποθήκες, τις πρώτες ύλες κ.τ.λ. Η κατανομή των πόρων μπορεί να αφορά την παραγωγή διαφορετικών προϊόντων, το πρόγραμμα παραγωγής, την επιλογή επενδυτικών σχεδίων, το κόστος παραγωγής κ.τ.λ. Η συγκεκριμένη μεθοδολογία χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που έχουν σκοπό τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης που υπόκειται σε περιορισμούς υπό μορφή γραμμικών ανισοτήτων... ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Η επίλυση των προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού αλλά και των υπολοίπων μοντέλων στη συνέχεια θα γίνει με τη βοήθεια του προγράμματος QM for Windows. Η εγκατάσταση του προγράμματος γίνεται πολύ εύκολα ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα: α) START, β) INSTALL, γ) QM for Windows. Αφού ολοκληρωθεί η εγκατάσταση του προγράμματος εμφανίζεται το εικονίδιο (αφού το έχετε επιλέξει) στην επιφάνεια εργασίας. Κάνοντας διπλό κλικ εισέρχεστε στο περιβάλλον του προγράμματος. Αν εργάζεστε σε Windows P τότε χρειάζεται να κάνετε και την ακόλουθη διαδικασία: α) Βρείτε το αρχείο comdlg.ocx στο CD του προγράμματος, β) Επιλέξτε το και στη συνέχεια επιλέξτε «Αντιγραφή», γ) Πηγαίνετε στο σκληρό δίσκο C:\WINDOWS\SYSTEM και επιλέξτε «Επικόλληση». Άσκηση.. Να μεγιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση περιορισμούς: Χ + 4Υ Χ + Υ 0 Χ 0, Υ 0 Z = 4 + 0Y κάτω από τους Λύση Η λύση του προβλήματος θα γίνει με τη βοήθεια του προγράμματος QM for Windows. Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο

2 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς (η μη αρνητικότητα των μεταβλητών λαμβάνεται υπόψη από το πρόγραμμα). Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=0, Υ=0. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=40. Από το παράθυρο Graph μπορούμε να δούμε τη γραφική λύση του προβλήματος (μόνο αν έχουμε προβλήματα με δύο μεταβλητές). Η χρωματισμένη περιοχή ονομάζεται εφικτή περιοχή. Είναι η περιοχή που ικανοποιούνται ταυτόχρονα όλοι οι περιορισμοί. Δηλαδή είναι τα σημεία που επαληθεύουν το σύστημα των δύο ανισοτικών περιορισμών. + 4Y 4Y + Y Y 0 Y + 0 Y + Επομένως είναι τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = και τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = +.

3 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Άσκηση.. Να ελαχιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση περιορισμούς: + 6Y 8 + Y 0, Y 0 Z = 0 + 8Y κάτω από τους Λύση Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς (η μη αρνητικότητα των μεταβλητών λαμβάνεται υπόψη από το πρόγραμμα). Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=,6667. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=88. Από το παράθυρο Graph μπορούμε να δούμε τη γραφική λύση του προβλήματος. Η εφικτή περιοχή είναι το σύνολο των σημείων που επαληθεύουν το σύστημα των δύο ανισοτικών περιορισμών. + 6Y 8 6Y + Y Y + 8 Y 6 + Y + + 4

4 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Δηλαδή είναι τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = + και 6 τα σημεία που βρίσκονται πάνω από την ευθεία Y = + 4. Άσκηση.. α) Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min Z = 0 + 8Y κ. α. Χ + Υ 0 4Χ + 7Υ 8 Χ 0, Υ 0 β) Έστω ότι ο συντελεστής της μεταβλητής Χ στην αντικειμενική συνάρτηση ελαττώνεται κατά 0 μονάδες. Ποια θα είναι η νέα λύση του προβλήματος; Ποια η γραφική λύση; γ) Στη συνέχεια υποθέστε ότι προστίθεται και ένας τρίτος περιορισμός + Y 8. Ποια θα είναι η νέα λύση του προβλήματος; Ποια η γραφική λύση; Λύση α) Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=0, Υ=4. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=7. β) Χ=7, Υ=0. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=70. γ) Χ=8, Υ=0. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=80. Άσκηση..4 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max Z = 4 + Y κ. α. 0 + Y 0 + Y + Y 0 0, Y 0 Λύση 4

5 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τρεις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=,574, Υ=,49. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=,486. Άσκηση..5 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min Z = 6 + 4Y s. t. + Y + Y 0 4 0, Y 0 Λύση Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τρεις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=8. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=44. Άσκηση..6 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max R = + Y s. t. + Y 0 + Y 4 + Y 4 + Y 6 0, Y 0 Λύση Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τέσσερις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=7. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι R=7. 5

6 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Για την εφαρμογή της μεθόδου Γραμμικού Προγραμματισμού απαιτείται κατ αρχήν η δημιουργία μαθηματικής διατύπωσης του συγκεκριμένου επιχειρησιακού προβλήματος που προσπαθούμε να επιλύσουμε. Η διατύπωση αυτή μπορεί να είναι αρκετά πολύπλοκη ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Άσκηση.. Ένας διαιτολόγος ενός νοσοκομείου προετοιμάζει ένα γεύμα που αποτελείται από κρέας και ρύζι. Το γεύμα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 45g πρωτεΐνης και τουλάχιστον 5mg σιδήρου. Κάθε μερίδα κρέατος περιέχει 45g πρωτεΐνης και 9mg σιδήρου. Κάθε μερίδα ρυζιού περιέχει 9g πρωτεΐνης και 6mg σιδήρου. Η μερίδα κρέατος κοστίζει και η μερίδα ρυζιού 0.5. Πόσες μερίδες κρέατος και πόσες μερίδες ρυζιού θα πρέπει να προετοιμαστούν έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος; Λύση Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΚΡΕΑΣ ΡΥΖΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ (ΜΕΡΙΔΑ) (ΜΕΡΙΔΑ) ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΠΡΩΤΕΪΝΗ 45g 9g 45g ΣΙΔΗΡΟΣ 9mg 6mg 5mg ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΕΡΙΔΑ 0.5 Μεταβλητές Έστω Χ= μερίδες κρέατος και Υ= μερίδες ρυζιού που θα προετοιμαστούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους προετοιμασίας. Το συνολικό κόστος από την προετοιμασία Χ μερίδων κρέατος και Υ μερίδων ρυζιού είναι: C=Χ + 0.5Υ Περιορισμοί Περιορισμός στην ποσότητα της πρωτεΐνης: Y 45 Περιορισμός στην ποσότητα του σιδήρου: 9 + 6Y 5 6

7 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: min C = Y Y Y 5 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0.74 μερίδες κρέατος και Υ=.485 μερίδες ρυζιού. Το συνολικό κόστος θα είναι C= Άσκηση.. Μια εταιρεία επίπλων παράγει τραπέζια και καρέκλες. Η διαδικασία παραγωγής είναι παρόμοια και για τα δύο προϊόντα και απαιτεί διαφορετικές ώρες εργασίας για το κάθε προϊόν στα δύο τμήματα της επιχείρησης, το ξυλουργείο και το βαφείο. Για την παραγωγή κάθε τραπεζιού απαιτούνται 8 ώρες στο ξυλουργείο και 4 ώρες στο βαφείο, ενώ για κάθε καρέκλα οι ώρες που απαιτούνται είναι 8 στο ξυλουργείο και στο βαφείο. Για τον επόμενο μήνα η εταιρεία έχει προσδιορίσει ότι οι διαθέσιμες ώρες παραγωγής στο ξυλουργείο ανέρχονται συνολικά σε 960 ενώ στο βαφείο σε 400. Για κάθε τραπέζι το μικτό κέρδος της επιχείρησης είναι 45 ενώ για κάθε καρέκλα είναι 0. α) Το πρόβλημα της εταιρείας είναι ο καθορισμός των ποσοτήτων παραγωγής σε τραπέζια και καρέκλες έτσι ώστε να επιτύχει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος. β) Έστω ότι η επιχείρηση έχει περιορισμό ως προς την ποσότητα των πρώτων υλών. Η διαθέσιμη ποσότητα ξυλείας είναι 0 m. Για κάθε τραπέζι απαιτούνται 0.5 m ξύλου ενώ για κάθε καρέκλα 0. m. Επίσης υπάρχει περιορισμός και από το τμήμα πωλήσεων το οποίο θα ήθελε η αναλογία τραπεζιών και καρεκλών να είναι προς 4. Ποιες θα είναι σε αυτή την περίπτωση οι ποσότητες παραγωγής τραπεζιών και καρεκλών έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό μικτό κέρδος της επιχείρησης; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: 7

8 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΚΑΡΕΚΛΕΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ 8 ΩΡΕΣ 8 ΩΡΕΣ 960 ΩΡΕΣ ΒΑΦΕΙΟ 4 ΩΡΕΣ ΩΡΕΣ 400 ΩΡΕΣ ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 45 0 Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των τραπεζιών και Υ= ο αριθμός των καρεκλών που θα παραχθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του μικτού κέρδους της εταιρείας. Το συνολικό μικτό κέρδος από την παραγωγή Χ τραπεζιών και Υ καρεκλών είναι: R = Y Περιορισμοί Περιορισμός ξυλουργείου: 8 + 8Y 960 Περιορισμός βαφείου: 4 + Y 400 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y 8 + 8Y Y 400 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό μικτό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=80 τραπέζια και Υ= 40 καρέκλες. Το μέγιστο κέρδος θα είναι Μεταβλητές περιθωρίου ή πλεονάσματος (Slack/Surplus Variables) Η χρήση των μεταβλητών περιθωρίου ή πλεονάσματος μας επιτρέπει να μετατρέπουμε όλους τους περιορισμούς που διατυπώνονται με ανισότητες σε ισότητες. 8

9 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Όταν έχουμε ανισοτικούς περιορισμούς του τύπου μιλάμε για μεταβλητές περιθωρίου (slack variables). Αντιπροσωπεύουν αχρησιμοποίητους πόρους από τους συνολικά διαθέσιμους. Δηλαδή μας δείχνουν πόσο υστερεί το αριστερό μέλος του ανισοτικού περιορισμού από το δεξί μέλος (σταθερό όρο). Όταν έχουμε ανισοτικούς περιορισμούς του τύπου μιλάμε για μεταβλητές πλεονάσματος (surplus variables). Συμβολίζουν την ποσότητα υπέρβασης των ελάχιστων ορίων. Δηλαδή μας δείχνουν πόσο υπερβαίνει το αριστερό μέλος του περιορισμού το δεξί μέλος (σταθερό όρο). Στη συγκεκριμένη περίπτωση που έχουμε περιορισμούς του τύπου οι μεταβλητές περιθωρίου και για τους δύο περιορισμούς είναι μηδέν. Αυτό φαίνεται από το παράθυρο Ranging στη στήλη Slack/Surplus. Δηλαδή χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες ώρες και από τα δύο τμήματα στην παραγωγή. Οι δύο περιορισμοί είναι δεσμευτικοί (binding) και ονομάζονται ενεργοί περιορισμοί διότι είναι αυτοί που προσδιορίζουν τη βέλτιστη λύση (αν μεταβάλλουμε τις διαθέσιμες ώρες στα δύο τμήματα η βέλτιστη λύση αλλάζει). Σκιώδεις ή Δυϊκές τιμές (Shadow Prices or Dual Prices) Σκιώδεις ή δυϊκές τιμές είναι οι τιμές που προσδιορίζουν την οριακή αξία κάθε επιπλέον μονάδας πόρων των αντίστοιχων περιορισμών. Η δυϊκή ή σκιώδη τιμή ενός περιορισμού δείχνει τη «βελτίωση» στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ανά μονάδα αύξησης του σταθερού όρου του περιορισμού. Η ερμηνεία της βελτίωσης στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης εξαρτάται από το αν λύνουμε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε τα εξής: ) Η δυϊκή τιμή για τον πρώτο περιορισμό (ξυλουργείο) είναι.875. Αυτό σημαίνει ότι αν ο σταθερός όρος του πρώτου περιορισμού αυξηθεί κατά μία μονάδα, δηλαδή οι διαθέσιμες ώρες από 960 γίνουν 96, η αντικειμενική συνάρτηση θα αυξηθεί κατά.875. ) Η δυϊκή τιμή για τον δεύτερο περιορισμό (βαφείο) είναι 7.5. Αυτό σημαίνει ότι αν ο σταθερός όρος του δεύτερου περιορισμού αυξηθεί κατά μία μονάδα, δηλαδή οι διαθέσιμες ώρες από 400 γίνουν 40, η αντικειμενική συνάρτηση θα αυξηθεί κατά 7.5. Ανάλυση Ευαισθησίας Είναι αναπόσπαστο μέρος όλων των αναλυτικών και ποσοτικών μεθοδολογιών για τη λήψη αποφάσεων. Ονομάζεται η μελέτη που ακολουθεί μετά την εύρεση της 9

10 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ βέλτιστης λύσης, με σκοπό να προσδιορισθεί το πόσο εύκολα μεταβάλλεται η λύση στην οποία καταλήξαμε όταν αλλάζουν οι τιμές των διαφόρων παραμέτρων του προβλήματος. Η ανάλυση ευαισθησίας είναι δυνατό να γίνει στα ακόλουθα πεδία: i) Στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης. ii) Στις διαθέσιμες ποσότητες των περιορισμών. Το αποτέλεσμα είναι να προσδιορίσουμε τη ζώνη τιμών για κάθε μία από τις προηγούμενες κατηγορίες παραμέτρων μέσα στην οποία η βέλτιστη λύση του προβλήματος παραμένει αμετάβλητη. i) Άριστο διάστημα των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης Για οποιαδήποτε τιμή των συντελεστών ανάμεσα στα όρια, δεδομένου ότι οι άλλες παράμετροι του προβλήματος παραμένουν αμετάβλητες, η βέλτιστη λύση (Χ, Υ) δεν θα αλλάξει. Η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αλλάξει εφ όσον μεταβάλλονται οι συντελεστές της. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι [0, 60] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [.5, 45]. ii) Άριστο διάστημα των διαθέσιμων ποσοτήτων των περιορισμών Για οποιαδήποτε τιμή των σταθερών όρων ανάμεσα στα όρια, δεδομένου ότι οι άλλες παράμετροι του προβλήματος παραμένουν αμετάβλητες, η σύνθεση της παραγωγής δεν αλλάζει (δηλαδή παράγονται και τα δύο προϊόντα) και ισχύουν οι δυϊκές τιμές των περιορισμών. Η βέλτιστη λύση (Χ, Υ) και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλάζουν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (ξυλουργείο) είναι [800, 600] και για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (βαφείο) είναι [40, 480]. β) Περιορισμός πρώτων υλών: Y 0 Περιορισμός τμήματος πωλήσεων: = 4 = Y 4 Y = 0 Y 4 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y 8 + 8Y 960 0

11 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 4 + Y Y 0 4 Y = 0 0, Y 0 Η άριστη λύση του προβλήματος είναι τώρα Χ=4 τραπέζια και Υ= 96 καρέκλες. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 960. Παρατηρείστε ότι οι περιορισμοί του βαφείου και του ξυλουργείου δεν είναι δεσμευτικοί. Από τις 400 ώρες εργασίας που είναι διαθέσιμες στο τμήμα του ξυλουργείου περισσεύουν οι ώρες και από τα 0 m ξυλείας που είναι διαθέσιμα περισσεύουν τα 4.4 m. Επίσης παρατηρείστε ότι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές αυτών των περιορισμών είναι μηδέν. εξής: Η δυϊκή τιμή για τον πρώτο περιορισμό είναι 4.5 και για τον τέταρτο είναι. Τα άριστα διαστήματα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών έχουν ως ος : [0, 0.77] ος : [88, + ) ος : [5.6, + ) 4 ος : [-0, 46.67] Άσκηση.. Ένα εργοστάσιο παράγει δύο τύπους πολύφωτων. Ένα πολύφωτο τύπου Ι χρειάζεται για την κατασκευή του ώρες εργασίας για επίστρωση, ώρα εργασίας για περάτωση κατασκευής και ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Ένα πολύφωτο τύπου ΙΙ χρειάζεται για την κατασκευή του ώρες εργασίας για επίστρωση, ώρες εργασίας για περάτωση κατασκευής και.5 ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Το τμήμα επίστρωσης μπορεί να εργάζεται 00 ώρες, το τμήμα περάτωσης εργασιών κατασκευής μπορεί να εργάζεται 0 ώρες και το τμήμα συναρμολόγησης μπορεί να εργάζεται 80 ώρες. α) Αν το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου Ι είναι 50 και το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου ΙΙ είναι 0 να βρεθεί η ποσότητα κάθε τύπου πολύφωτου που πρέπει να κατασκευασθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος του εργοστασίου. β) Οι διαθέσιμες ώρες εργασίας στα τρία τμήματα αξιοποιούνται πλήρως;

12 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ γ) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; δ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ε) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; στ) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; ζ) Έστω ότι το εργοστάσιο ξεκινά την παραγωγή ενός τρίτου τύπου πολύφωτου. Ένα πολύφωτο τύπου ΙΙΙ χρειάζεται για την κατασκευή του ώρα εργασίας για επίστρωση, ώρα εργασίας για περάτωση κατασκευής και ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Αν το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου ΙΙΙ είναι 0 να βρεθεί η ποσότητα κάθε τύπου πολύφωτου που πρέπει να κατασκευασθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος του εργοστασίου. Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ 00 ΠΕΡΑΤΩΣΗ 0 ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗ.5 80 ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 50 0 Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των πολύφωτων τύπου Ι και Υ= ο αριθμός των πολύφωτων τύπου ΙΙ που θα παραχθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους της εταιρείας. Το συνολικό κέρδος από την παραγωγή Χ πολύφωτων τύπου Ι και Υ πολύφωτων τύπου ΙΙ είναι: R = Y Περιορισμοί Περιορισμός τμήματος επίστρωσης: + Y 00 Περιορισμός τμήματος περάτωσης: + Y 0

13 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Περιορισμός τμήματος συναρμολόγησης: +.5Y 80 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y + Y 00 + Y 0 +.5Y 80 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=40 και Υ= 40. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 00. β) Στο τμήμα επίστρωσης περισσεύουν 40 ώρες (slack: 40) από τις 00 ώρες που είναι διαθέσιμες. Στα άλλα δύο τμήματα χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες ώρες (slack: 0). γ) ος περιορισμός (τμήμα επίστρωσης): 0, ος περιορισμός (τμήμα περάτωσης):., ος περιορισμός (τμήμα συναρμολόγησης): δ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι [5, 60] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [5, 00]. ε) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (τμήμα επίστρωσης) είναι [60, ), για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (τμήμα περάτωσης) είναι [60, 80] και για το σταθερό όρο του τρίτου περιορισμού (τμήμα συναρμολόγησης) είναι [90, 70]. στ) Θα επιλεγεί ο ος περιορισμός (τμήμα συναρμολόγησης) γιατί έχει τη μεγαλύτερη σκιώδη τιμή. Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος (80) κατά μία μονάδα (8) γιατί έτσι θα πάρει η αντικειμενική συνάρτηση μεγαλύτερη τιμή (5.555 ). Μας ενδιαφέρει η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής γιατί έχουμε πρόβλημα μεγιστοποίησης. ζ) Με τα νέα δεδομένα έχουμε:

14 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΤΥΠΟΣ ΙΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ 00 ΠΕΡΑΤΩΣΗ 0 ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗ.5 80 ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y + 0W + Y + W 00 + Y + W 0 +.5Y + W 80 0, Y 0, W 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=40, Υ= 40 και W=0. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 00. Στο παράθυρο «Ranging» και στη στήλη «Reduced cost» βλέπουμε ότι το εργοστάσιο θα έχει συμφέρον να παράγει τον τύπο ΙΙΙ αν το ανά μονάδα κέρδος του αυξηθεί πάνω από Άσκηση..4 Μια αλυσίδα τουριστικών γραφείων πούλησε 500 εισιτήρια για την παγκόσμια έκθεση αυτοκινήτων. Το πακέτο ταξιδιού περιλαμβάνει το αεροπορικό εισιτήριο παρέχοντας τη δυνατότητα επιλογής ενός από δύο τύπους αεροπλάνων για τις πτήσεις charter. Τα αεροπλάνα τύπου Ι μπορούν να μεταφέρουν 50 επιβάτες και τα αεροπλάνα τύπου ΙΙ μπορούν να μεταφέρουν 00 επιβάτες. Κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου Ι κοστίζει 000 και κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου ΙΙ κοστίζει Η αλυσίδα των τουριστικών γραφείων δεν μπορεί να ενοικιάσει περισσότερα από 5 αεροπλάνα. α) Πόσα αεροπλάνα από τον κάθε τύπο μπορούν να ενοικιασθούν για να ελαχιστοποιήσουν το κόστος; β) Πόσο θα πρέπει να μεταβληθεί το κόστος των αεροπλάνων τύπου Ι έτσι ώστε το τουριστικό γραφείο να έχει συμφέρον να το ενοικιάσει; 4

15 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ γ) Αν μειωθεί το κόστος των αεροπλάνων τύπου Ι στα 00 ποια θα είναι η λύση του προβλήματος; δ) Οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως; ε) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; στ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ζ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; η) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΙ ΠΟΡΟΙ ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΕΡΟΠΛΑΝΩΝ 5 ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των αεροπλάνων τύπου Ι και Υ= ο αριθμός των αεροπλάνων τύπου ΙΙ που θα ενοικιασθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους του ταξιδιωτικού γραφείου. Το συνολικό κόστος από την ενοικίαση Χ αεροπλάνων τύπου Ι και Υ αεροπλάνων τύπου ΙΙ είναι: C = Y Περιορισμοί Περιορισμός επιβατών: Y = 500 Περιορισμός ενοικιαζόμενων αεροπλάνων: + Y 5 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: min C = Y 5

16 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Y = Y 5 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0 και Υ=.5. Το ελάχιστο κόστος θα είναι β) Στο παράθυρο «Ranging» και στη στήλη «Reduced cost» βλέπουμε ότι το γραφείο θα έχει συμφέρον να ενοικιάσει τον τύπο Ι αν το ανά μονάδα κόστος του μειωθεί περισσότερο από 750. (Στα προβλήματα ελαχιστοποίησης η ερμηνεία είναι αντίθετη με τα προβλήματα μεγιστοποίησης). γ) Κάνοντας την αλλαγή και λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0 και Υ= 5. Το ελάχιστο κόστος θα είναι δ) Ο ος περιορισμός είναι δεσμευτικός (ισότητα) και επομένως για να έχει λύση το πρόβλημα θα πρέπει να ισχύει. Στο ο περιορισμό η μεταβλητή περιθωρίου (slack variable) είναι μηδέν. Επομένως το τουριστικό γραφείο, από τα 5 αεροπλάνα που μπορεί να ενοικιάσει, ενοικιάζει και τα 5. ε) Για τις δυϊκές τιμές στα προβλήματα ελαχιστοποίησης ισχύουν τα αντίθετα από τα προβλήματα μεγιστοποίησης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε ότι η δυϊκή τιμή του ου περιορισμού είναι -76. Αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ο σταθερός όρος του ου περιορισμού κατά μία μονάδα (δηλ. από 500 γίνει 50) τότε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αυξηθεί (θα χειροτερεύσει γιατί είναι συνάρτηση κόστους) κατά 76. Η δυϊκή τιμή του ου περιορισμού είναι 00. Αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ο σταθερός όρος του ου περιορισμού κατά μία μονάδα (δηλ. από 5 γίνει 6) τότε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα μειωθεί (θα βελτιωθεί γιατί είναι συνάρτηση κόστους) κατά 00. στ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι (-, 50] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [49., ). ζ) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (αριθμός επιβατών) είναι [50,000] και για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (αριθμός αεροπλάνων) είναι [.5, 6.67]. η) Θα επιλεγεί ο ος περιορισμός (αριθμός αεροπλάνων) γιατί έχει τη μεγαλύτερη (σε απόλυτη τιμή) σκιώδη τιμή (00). Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος (5) κατά μία μονάδα (6) γιατί έτσι θα πάρει η αντικειμενική συνάρτηση μικρότερη τιμή 6

17 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (86800 ). Μας ενδιαφέρει η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής γιατί έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Άσκηση..5 Μια αεροπορική εταιρεία προσφέρει μια έκπτωση στα εισιτήρια πρώτης θέσης στους επιβάτες οι οποίοι δεν φέρουν αποσκευές. Το εισιτήριο με έκπτωση λέγεται «εκτελεστικό» εισιτήριο. Το αεροπλάνο για το οποίο προσφέρεται το «εκτελεστικό» εισιτήριο έχει 90 θέσεις. Η τιμή του εισιτηρίου πρώτης θέσης είναι 0, η τιμή του «εκτελεστικού» εισιτηρίου είναι 70 και η τιμή του εισιτηρίου οικονομικής θέσης είναι 40. Το κόστος της εταιρείας για ένα εισιτήριο πρώτης θέσης είναι 50, για ένα «εκτελεστικό» εισιτήριο 50 και για ένα εισιτήριο οικονομικής θέσης 50. Η αεροπορική εταιρεία πρέπει να έχει διαθέσιμες 0 κυβικές παλάμες (dm ) αποθηκευτικών χώρων για κάθε επιβάτη πρώτης θέσης και 5 dm για κάθε επιβάτη οικονομικής θέσης. Αποφασίστηκε ότι το κόστος κάθε πτήσης δεν θα υπερβαίνει τα 500 και οι αποθηκευτικοί χώροι δεν μπορούν να υπερβαίνουν τα 50 dm. α) Πόσα εισιτήρια κάθε είδους πρέπει να πωληθούν για να μεγιστοποιήσουν το κέρδος της εταιρείας; β) Οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως; γ) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; δ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ε) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; στ) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: 7

18 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΩΤΗ ΘΕΣΗ «ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΟ» ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΙ ΠΟΡΟΙ ΕΠΙΒΑΤΕΣ 90 ΑΠΟΘΗΚΕΥΤΙΚΟΙ dm ΧΩΡΟΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ ΤΙΜΗ ΕΙΣΙΤΗΡΙΟΥ ΚΕΡΔΟΣ = ΤΙΜΗ-ΚΟΣΤΟΣ Μεταβλητές Έστω = ο αριθμός των εισιτηρίων πρώτης θέσης, = ο αριθμός των «εκτελεστικών» εισιτηρίων και = ο αριθμός των εισιτηρίων οικονομικής θέσης που θα πωληθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους της αεροπορικής εταιρείας. Το συνολικό κέρδος από την πώληση εισιτηρίων πρώτης θέσης, «εκτελεστικών» εισιτηρίων και εισιτηρίων οικονομικής θέσης είναι: P = 60 + Περιορισμοί Περιορισμός επιβατών: Περιορισμός αποθηκευτικών χώρων: Περιορισμός στο συνολικό κόστος των εισιτηρίων: Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max P =

19 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ , 0, 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για =05, = 5 και = 60. Το κέρδος της εταιρείας θα είναι Π = 500. β) Οι μεταβλητές περιθωρίου είναι μηδέν και στους περιορισμούς. Άρα οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως. γ) ος περιορισμός: 45, ος περιορισμός: 4, ος περιορισμός: 0.5. δ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής είναι [0, 0], για το συντελεστή της μεταβλητής μεταβλητής είναι [60, 40]. είναι [0, 60] και για το συντελεστή της ε) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [50, 0], για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [00, 600] και για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [7500, 8500]. στ) Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος του πρώτου περιορισμού (από 90 θα γίνει 9) γιατί έχουμε τη μεγαλύτερη αύξηση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (545 ). 9

20 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. ΔΥΪΚΟΤΗΤΑ (DUALITY) Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει ένα συσχετιζόμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που ονομάζεται δυϊκό (dual). Αν ονομάσουμε την αρχική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σαν αρχικό πρόβλημα (primal), θα δούμε πως το αρχικό μπορεί να μετατραπεί στο αντίστοιχό του δυϊκό (dual). Μία βασική ιδιότητα αρχικού-δυϊκού είναι ότι η βέλτιστη λύση στο ένα συνεπάγεται βέλτιστη λύση στο άλλο. Πριν προχωρήσουμε στη διατύπωση αντίστοιχων προβλημάτων θα αναφερθούμε στην κανονική μορφή (canonical form) ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης (maximization) θα λέμε ότι είναι σε κανονική μορφή αν όλοι οι περιορισμοί του είναι του τύπου και οι μεταβλητές του μη αρνητικές ( x i 0 ). Ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης (minimization) θα λέμε ότι είναι σε κανονική μορφή αν όλοι οι περιορισμοί του είναι του τύπου αρνητικές ( 0 ). x i και οι μεταβλητές του μη Για να μετατρέψουμε ένα αρχικό πρόβλημα στο αντίστοιχό του δυϊκό θα πρέπει το αρχικό να είναι σε κανονική μορφή. Άσκηση.. Έστω το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού της άσκησης..5. Να διατυπώσετε το αντίστοιχο δυϊκό του. Ποια είναι η λύση του δυϊκού και ποια η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης; Ποιες είναι οι σκιώδεις τιμές των περιορισμών; Τι παρατηρείτε; Λύση Το αρχικό πρόβλημα έχει ως εξής: max P = , 0,

21 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα είναι σε κανονική μορφή. Επομένως το δυϊκό του θα είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης σε κανονική μορφή. Η διαδικασία για τη διατύπωση του δυϊκού ενός προβλήματος μεγιστοποίησης είναι η ακόλουθη:. Το δυϊκό είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης σε κανονική μορφή.. Όταν το αρχικό έχει n μεταβλητές απόφασης (n= στο συγκεκριμένο πρόβλημα), το δυϊκό θα έχει n περιορισμούς. Ο πρώτος περιορισμός του δυϊκού συσχετίζεται με τη μεταβλητή του αρχικού, ο δεύτερος περιορισμός του δυϊκού συσχετίζεται με τη μεταβλητή του αρχικού κ.ο.κ.. Όταν το αρχικό έχει m περιορισμούς (m= στο συγκεκριμένο πρόβλημα), το δυϊκό θα έχει m μεταβλητές απόφασης. Η μεταβλητή του δυϊκού συσχετίζεται με τον πρώτο περιορισμό του αρχικού, η U μεταβλητή U του δυϊκού συσχετίζεται με τον δεύτερο περιορισμό του αρχικού κ.ο.κ. 4. Οι σταθεροί όροι (δεξί μέλος) των περιορισμών του αρχικού προβλήματος γίνονται οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του δυϊκού. 5. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος γίνονται οι σταθεροί όροι (δεξί μέλος) των περιορισμών του δυϊκού. 6. Οι συντελεστές των περιορισμών της i μεταβλητής στο αρχικό πρόβλημα γίνονται συντελεστές στον i περιορισμό του δυϊκού. Το δυϊκό πρόβλημα είναι το ακόλουθο: minc = 90U U 500 U + 0U + 50U 60 U + 0U + 50U 0 U + 5U + 50U 90 U 0, U 0, U 0 U

22 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η λύση του προβλήματος είναι U= 45, U = 4 και U = 0. 5 της αντικειμενικής συνάρτησης είναι C = 500. Οι σκιώδεις τιμές των περιορισμών είναι οι εξής: ος περιορισμός: -05 ος περιορισμός: -5 ος περιορισμός: -60. Η βέλτιστη τιμή Από τη λύση του δυϊκού προβλήματος παρατηρούμε ότι η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι η ίδια και για τα δύο προβλήματα. Επομένως έχουμε την ακόλουθη ιδιότητα: ΙΔΙΟΤΗΤΑ : Αν το δυϊκό πρόβλημα έχει βέλτιστη λύση τότε και το αρχικό έχει βέλτιστη λύση και αντίστροφα. Επιπλέον, οι βέλτιστες τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων στο δυϊκό και στο αρχικό είναι ίσες. Αυτή η ιδιότητα μας λέει ότι αν είχαμε λύσει μόνο το δυϊκό πρόβλημα θα γνωρίζαμε ότι το κέρδος της εταιρείας θα ήταν 500. Από τη λύση του δυϊκού προβλήματος παρατηρούμε επίσης ότι οι βέλτιστες τιμές των δυϊκών μεταβλητών U i είναι ίδιες με τις δυϊκές τιμές των περιορισμών του αρχικού προβλήματος. Επομένως έχουμε την ακόλουθη ιδιότητα: ΙΔΙΟΤΗΤΑ : Οι βέλτιστες τιμές των δυϊκών μεταβλητών ( U i ) είναι ίδιες με τις δυϊκές τιμές των περιορισμών του αρχικού προβλήματος. Επιπλέον, οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών του δυϊκού προβλήματος είναι οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών απόφασης του αρχικού ( ) με αντίθετο πρόσημο. i Επομένως μπορούμε να πούμε τα εξής: Αρχικό Πρόβλημα: Με δεδομένο το ανά μονάδα κέρδος για κάθε τύπο εισιτηρίου ( i ) προσδιορίζουμε την ποσότητα από τον κάθε τύπο εισιτηρίου που πρέπει να πωληθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος της εταιρείας. Οι περιορισμοί απαιτούν την ποσότητα του κάθε πόρου που χρησιμοποιείται να είναι μικρότερη ή ίση από τη διαθέσιμη ποσότητα.

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming) κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming). Εισαγωγή Ορισμός.. Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming) είναι το όνομα της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Οι στρατηγικές χρηματοοικονομικής δομής αναφέρονται στην επιλογή των μέσων χρηματοδότησης επενδυτικών προγραμμάτων, λειτουργιών της παραγωγής και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Ένας κατασκευαστής αυτοκινήτων θέλει να προγραμματίσει για μια χρονική περίοδο την παραγωγή δύο μοντέλων αυτοκινήτου: του μοντέλου Α και του μοντέλου Β. Κάθε μοντέλο αυτοκινήτου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης - Στο εξής, συμβολίζουμε την ποσότητα του καταναλωτικού αγαθού με q. - Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: q=f(k,l),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2008-2009 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται με πολύ αναλυτικό τρόπο η μεθοδολογία Γραφικής Επίλυσης ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Data Envelopment Analysis

Data Envelopment Analysis Data Envelopment Analysis Η μέθοδος των «Βέλτιστων Προτύπων Αποδοτικότητας», γνωστή στην διεθνή βιβλιογραφία ως «Data Envelopment Analysis», εφαρμόζεται για τον υπολογισμό της σχετικής αποδοτικότητας και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής -H πλευρά της προσφοράς στην οικονομία μελετάει τη διαδικασία παραγωγής των αγαθών και υπηρεσιών που καταναλώνονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Γραμμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής - Η παραγωγή είναι η δραστηριότητα μέσω της οποίας κάποια αγαθά και υπηρεσίες (εισροές) μετατρέπονται σε άλλα αγαθά και υπηρεσίες (εκροές ή προϊόντα).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα