2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ"

Transcript

1 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο. Οι περιορισμοί μπορεί να αφορούν το διαθέσιμο προσωπικό, τις διαθέσιμες ώρες των μηχανημάτων, τα κεφάλαια μιας επιχείρησης, τις αποθήκες, τις πρώτες ύλες κ.τ.λ. Η κατανομή των πόρων μπορεί να αφορά την παραγωγή διαφορετικών προϊόντων, το πρόγραμμα παραγωγής, την επιλογή επενδυτικών σχεδίων, το κόστος παραγωγής κ.τ.λ. Η συγκεκριμένη μεθοδολογία χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που έχουν σκοπό τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης που υπόκειται σε περιορισμούς υπό μορφή γραμμικών ανισοτήτων... ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Η επίλυση των προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού αλλά και των υπολοίπων μοντέλων στη συνέχεια θα γίνει με τη βοήθεια του προγράμματος QM for Windows. Η εγκατάσταση του προγράμματος γίνεται πολύ εύκολα ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα: α) START, β) INSTALL, γ) QM for Windows. Αφού ολοκληρωθεί η εγκατάσταση του προγράμματος εμφανίζεται το εικονίδιο (αφού το έχετε επιλέξει) στην επιφάνεια εργασίας. Κάνοντας διπλό κλικ εισέρχεστε στο περιβάλλον του προγράμματος. Αν εργάζεστε σε Windows P τότε χρειάζεται να κάνετε και την ακόλουθη διαδικασία: α) Βρείτε το αρχείο comdlg.ocx στο CD του προγράμματος, β) Επιλέξτε το και στη συνέχεια επιλέξτε «Αντιγραφή», γ) Πηγαίνετε στο σκληρό δίσκο C:\WINDOWS\SYSTEM και επιλέξτε «Επικόλληση». Άσκηση.. Να μεγιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση περιορισμούς: Χ + 4Υ Χ + Υ 0 Χ 0, Υ 0 Z = 4 + 0Y κάτω από τους Λύση Η λύση του προβλήματος θα γίνει με τη βοήθεια του προγράμματος QM for Windows. Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο

2 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς (η μη αρνητικότητα των μεταβλητών λαμβάνεται υπόψη από το πρόγραμμα). Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=0, Υ=0. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=40. Από το παράθυρο Graph μπορούμε να δούμε τη γραφική λύση του προβλήματος (μόνο αν έχουμε προβλήματα με δύο μεταβλητές). Η χρωματισμένη περιοχή ονομάζεται εφικτή περιοχή. Είναι η περιοχή που ικανοποιούνται ταυτόχρονα όλοι οι περιορισμοί. Δηλαδή είναι τα σημεία που επαληθεύουν το σύστημα των δύο ανισοτικών περιορισμών. + 4Y 4Y + Y Y 0 Y + 0 Y + Επομένως είναι τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = και τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = +.

3 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Άσκηση.. Να ελαχιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση περιορισμούς: + 6Y 8 + Y 0, Y 0 Z = 0 + 8Y κάτω από τους Λύση Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς (η μη αρνητικότητα των μεταβλητών λαμβάνεται υπόψη από το πρόγραμμα). Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=,6667. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=88. Από το παράθυρο Graph μπορούμε να δούμε τη γραφική λύση του προβλήματος. Η εφικτή περιοχή είναι το σύνολο των σημείων που επαληθεύουν το σύστημα των δύο ανισοτικών περιορισμών. + 6Y 8 6Y + Y Y + 8 Y 6 + Y + + 4

4 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Δηλαδή είναι τα σημεία που βρίσκονται κάτω από την ευθεία Y = + και 6 τα σημεία που βρίσκονται πάνω από την ευθεία Y = + 4. Άσκηση.. α) Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min Z = 0 + 8Y κ. α. Χ + Υ 0 4Χ + 7Υ 8 Χ 0, Υ 0 β) Έστω ότι ο συντελεστής της μεταβλητής Χ στην αντικειμενική συνάρτηση ελαττώνεται κατά 0 μονάδες. Ποια θα είναι η νέα λύση του προβλήματος; Ποια η γραφική λύση; γ) Στη συνέχεια υποθέστε ότι προστίθεται και ένας τρίτος περιορισμός + Y 8. Ποια θα είναι η νέα λύση του προβλήματος; Ποια η γραφική λύση; Λύση α) Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από δύο περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=0, Υ=4. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=7. β) Χ=7, Υ=0. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=70. γ) Χ=8, Υ=0. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=80. Άσκηση..4 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max Z = 4 + Y κ. α. 0 + Y 0 + Y + Y 0 0, Y 0 Λύση 4

5 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τρεις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=,574, Υ=,49. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=,486. Άσκηση..5 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min Z = 6 + 4Y s. t. + Y + Y 0 4 0, Y 0 Λύση Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τρεις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=8. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι Ζ=44. Άσκηση..6 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max R = + Y s. t. + Y 0 + Y 4 + Y 4 + Y 6 0, Y 0 Λύση Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε μία αντικειμενική συνάρτηση δύο μεταβλητών (Χ,Υ) κάτω από τέσσερις περιορισμούς. Οι άριστες τιμές των μεταβλητών που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση είναι Χ=, Υ=7. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι R=7. 5

6 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Για την εφαρμογή της μεθόδου Γραμμικού Προγραμματισμού απαιτείται κατ αρχήν η δημιουργία μαθηματικής διατύπωσης του συγκεκριμένου επιχειρησιακού προβλήματος που προσπαθούμε να επιλύσουμε. Η διατύπωση αυτή μπορεί να είναι αρκετά πολύπλοκη ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Άσκηση.. Ένας διαιτολόγος ενός νοσοκομείου προετοιμάζει ένα γεύμα που αποτελείται από κρέας και ρύζι. Το γεύμα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 45g πρωτεΐνης και τουλάχιστον 5mg σιδήρου. Κάθε μερίδα κρέατος περιέχει 45g πρωτεΐνης και 9mg σιδήρου. Κάθε μερίδα ρυζιού περιέχει 9g πρωτεΐνης και 6mg σιδήρου. Η μερίδα κρέατος κοστίζει και η μερίδα ρυζιού 0.5. Πόσες μερίδες κρέατος και πόσες μερίδες ρυζιού θα πρέπει να προετοιμαστούν έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος; Λύση Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΚΡΕΑΣ ΡΥΖΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ (ΜΕΡΙΔΑ) (ΜΕΡΙΔΑ) ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΠΡΩΤΕΪΝΗ 45g 9g 45g ΣΙΔΗΡΟΣ 9mg 6mg 5mg ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΕΡΙΔΑ 0.5 Μεταβλητές Έστω Χ= μερίδες κρέατος και Υ= μερίδες ρυζιού που θα προετοιμαστούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους προετοιμασίας. Το συνολικό κόστος από την προετοιμασία Χ μερίδων κρέατος και Υ μερίδων ρυζιού είναι: C=Χ + 0.5Υ Περιορισμοί Περιορισμός στην ποσότητα της πρωτεΐνης: Y 45 Περιορισμός στην ποσότητα του σιδήρου: 9 + 6Y 5 6

7 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: min C = Y Y Y 5 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0.74 μερίδες κρέατος και Υ=.485 μερίδες ρυζιού. Το συνολικό κόστος θα είναι C= Άσκηση.. Μια εταιρεία επίπλων παράγει τραπέζια και καρέκλες. Η διαδικασία παραγωγής είναι παρόμοια και για τα δύο προϊόντα και απαιτεί διαφορετικές ώρες εργασίας για το κάθε προϊόν στα δύο τμήματα της επιχείρησης, το ξυλουργείο και το βαφείο. Για την παραγωγή κάθε τραπεζιού απαιτούνται 8 ώρες στο ξυλουργείο και 4 ώρες στο βαφείο, ενώ για κάθε καρέκλα οι ώρες που απαιτούνται είναι 8 στο ξυλουργείο και στο βαφείο. Για τον επόμενο μήνα η εταιρεία έχει προσδιορίσει ότι οι διαθέσιμες ώρες παραγωγής στο ξυλουργείο ανέρχονται συνολικά σε 960 ενώ στο βαφείο σε 400. Για κάθε τραπέζι το μικτό κέρδος της επιχείρησης είναι 45 ενώ για κάθε καρέκλα είναι 0. α) Το πρόβλημα της εταιρείας είναι ο καθορισμός των ποσοτήτων παραγωγής σε τραπέζια και καρέκλες έτσι ώστε να επιτύχει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος. β) Έστω ότι η επιχείρηση έχει περιορισμό ως προς την ποσότητα των πρώτων υλών. Η διαθέσιμη ποσότητα ξυλείας είναι 0 m. Για κάθε τραπέζι απαιτούνται 0.5 m ξύλου ενώ για κάθε καρέκλα 0. m. Επίσης υπάρχει περιορισμός και από το τμήμα πωλήσεων το οποίο θα ήθελε η αναλογία τραπεζιών και καρεκλών να είναι προς 4. Ποιες θα είναι σε αυτή την περίπτωση οι ποσότητες παραγωγής τραπεζιών και καρεκλών έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό μικτό κέρδος της επιχείρησης; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: 7

8 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΚΑΡΕΚΛΕΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ 8 ΩΡΕΣ 8 ΩΡΕΣ 960 ΩΡΕΣ ΒΑΦΕΙΟ 4 ΩΡΕΣ ΩΡΕΣ 400 ΩΡΕΣ ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 45 0 Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των τραπεζιών και Υ= ο αριθμός των καρεκλών που θα παραχθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του μικτού κέρδους της εταιρείας. Το συνολικό μικτό κέρδος από την παραγωγή Χ τραπεζιών και Υ καρεκλών είναι: R = Y Περιορισμοί Περιορισμός ξυλουργείου: 8 + 8Y 960 Περιορισμός βαφείου: 4 + Y 400 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y 8 + 8Y Y 400 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό μικτό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=80 τραπέζια και Υ= 40 καρέκλες. Το μέγιστο κέρδος θα είναι Μεταβλητές περιθωρίου ή πλεονάσματος (Slack/Surplus Variables) Η χρήση των μεταβλητών περιθωρίου ή πλεονάσματος μας επιτρέπει να μετατρέπουμε όλους τους περιορισμούς που διατυπώνονται με ανισότητες σε ισότητες. 8

9 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Όταν έχουμε ανισοτικούς περιορισμούς του τύπου μιλάμε για μεταβλητές περιθωρίου (slack variables). Αντιπροσωπεύουν αχρησιμοποίητους πόρους από τους συνολικά διαθέσιμους. Δηλαδή μας δείχνουν πόσο υστερεί το αριστερό μέλος του ανισοτικού περιορισμού από το δεξί μέλος (σταθερό όρο). Όταν έχουμε ανισοτικούς περιορισμούς του τύπου μιλάμε για μεταβλητές πλεονάσματος (surplus variables). Συμβολίζουν την ποσότητα υπέρβασης των ελάχιστων ορίων. Δηλαδή μας δείχνουν πόσο υπερβαίνει το αριστερό μέλος του περιορισμού το δεξί μέλος (σταθερό όρο). Στη συγκεκριμένη περίπτωση που έχουμε περιορισμούς του τύπου οι μεταβλητές περιθωρίου και για τους δύο περιορισμούς είναι μηδέν. Αυτό φαίνεται από το παράθυρο Ranging στη στήλη Slack/Surplus. Δηλαδή χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες ώρες και από τα δύο τμήματα στην παραγωγή. Οι δύο περιορισμοί είναι δεσμευτικοί (binding) και ονομάζονται ενεργοί περιορισμοί διότι είναι αυτοί που προσδιορίζουν τη βέλτιστη λύση (αν μεταβάλλουμε τις διαθέσιμες ώρες στα δύο τμήματα η βέλτιστη λύση αλλάζει). Σκιώδεις ή Δυϊκές τιμές (Shadow Prices or Dual Prices) Σκιώδεις ή δυϊκές τιμές είναι οι τιμές που προσδιορίζουν την οριακή αξία κάθε επιπλέον μονάδας πόρων των αντίστοιχων περιορισμών. Η δυϊκή ή σκιώδη τιμή ενός περιορισμού δείχνει τη «βελτίωση» στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ανά μονάδα αύξησης του σταθερού όρου του περιορισμού. Η ερμηνεία της βελτίωσης στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης εξαρτάται από το αν λύνουμε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε τα εξής: ) Η δυϊκή τιμή για τον πρώτο περιορισμό (ξυλουργείο) είναι.875. Αυτό σημαίνει ότι αν ο σταθερός όρος του πρώτου περιορισμού αυξηθεί κατά μία μονάδα, δηλαδή οι διαθέσιμες ώρες από 960 γίνουν 96, η αντικειμενική συνάρτηση θα αυξηθεί κατά.875. ) Η δυϊκή τιμή για τον δεύτερο περιορισμό (βαφείο) είναι 7.5. Αυτό σημαίνει ότι αν ο σταθερός όρος του δεύτερου περιορισμού αυξηθεί κατά μία μονάδα, δηλαδή οι διαθέσιμες ώρες από 400 γίνουν 40, η αντικειμενική συνάρτηση θα αυξηθεί κατά 7.5. Ανάλυση Ευαισθησίας Είναι αναπόσπαστο μέρος όλων των αναλυτικών και ποσοτικών μεθοδολογιών για τη λήψη αποφάσεων. Ονομάζεται η μελέτη που ακολουθεί μετά την εύρεση της 9

10 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ βέλτιστης λύσης, με σκοπό να προσδιορισθεί το πόσο εύκολα μεταβάλλεται η λύση στην οποία καταλήξαμε όταν αλλάζουν οι τιμές των διαφόρων παραμέτρων του προβλήματος. Η ανάλυση ευαισθησίας είναι δυνατό να γίνει στα ακόλουθα πεδία: i) Στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης. ii) Στις διαθέσιμες ποσότητες των περιορισμών. Το αποτέλεσμα είναι να προσδιορίσουμε τη ζώνη τιμών για κάθε μία από τις προηγούμενες κατηγορίες παραμέτρων μέσα στην οποία η βέλτιστη λύση του προβλήματος παραμένει αμετάβλητη. i) Άριστο διάστημα των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης Για οποιαδήποτε τιμή των συντελεστών ανάμεσα στα όρια, δεδομένου ότι οι άλλες παράμετροι του προβλήματος παραμένουν αμετάβλητες, η βέλτιστη λύση (Χ, Υ) δεν θα αλλάξει. Η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αλλάξει εφ όσον μεταβάλλονται οι συντελεστές της. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι [0, 60] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [.5, 45]. ii) Άριστο διάστημα των διαθέσιμων ποσοτήτων των περιορισμών Για οποιαδήποτε τιμή των σταθερών όρων ανάμεσα στα όρια, δεδομένου ότι οι άλλες παράμετροι του προβλήματος παραμένουν αμετάβλητες, η σύνθεση της παραγωγής δεν αλλάζει (δηλαδή παράγονται και τα δύο προϊόντα) και ισχύουν οι δυϊκές τιμές των περιορισμών. Η βέλτιστη λύση (Χ, Υ) και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλάζουν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (ξυλουργείο) είναι [800, 600] και για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (βαφείο) είναι [40, 480]. β) Περιορισμός πρώτων υλών: Y 0 Περιορισμός τμήματος πωλήσεων: = 4 = Y 4 Y = 0 Y 4 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y 8 + 8Y 960 0

11 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 4 + Y Y 0 4 Y = 0 0, Y 0 Η άριστη λύση του προβλήματος είναι τώρα Χ=4 τραπέζια και Υ= 96 καρέκλες. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 960. Παρατηρείστε ότι οι περιορισμοί του βαφείου και του ξυλουργείου δεν είναι δεσμευτικοί. Από τις 400 ώρες εργασίας που είναι διαθέσιμες στο τμήμα του ξυλουργείου περισσεύουν οι ώρες και από τα 0 m ξυλείας που είναι διαθέσιμα περισσεύουν τα 4.4 m. Επίσης παρατηρείστε ότι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές αυτών των περιορισμών είναι μηδέν. εξής: Η δυϊκή τιμή για τον πρώτο περιορισμό είναι 4.5 και για τον τέταρτο είναι. Τα άριστα διαστήματα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών έχουν ως ος : [0, 0.77] ος : [88, + ) ος : [5.6, + ) 4 ος : [-0, 46.67] Άσκηση.. Ένα εργοστάσιο παράγει δύο τύπους πολύφωτων. Ένα πολύφωτο τύπου Ι χρειάζεται για την κατασκευή του ώρες εργασίας για επίστρωση, ώρα εργασίας για περάτωση κατασκευής και ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Ένα πολύφωτο τύπου ΙΙ χρειάζεται για την κατασκευή του ώρες εργασίας για επίστρωση, ώρες εργασίας για περάτωση κατασκευής και.5 ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Το τμήμα επίστρωσης μπορεί να εργάζεται 00 ώρες, το τμήμα περάτωσης εργασιών κατασκευής μπορεί να εργάζεται 0 ώρες και το τμήμα συναρμολόγησης μπορεί να εργάζεται 80 ώρες. α) Αν το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου Ι είναι 50 και το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου ΙΙ είναι 0 να βρεθεί η ποσότητα κάθε τύπου πολύφωτου που πρέπει να κατασκευασθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος του εργοστασίου. β) Οι διαθέσιμες ώρες εργασίας στα τρία τμήματα αξιοποιούνται πλήρως;

12 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ γ) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; δ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ε) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; στ) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; ζ) Έστω ότι το εργοστάσιο ξεκινά την παραγωγή ενός τρίτου τύπου πολύφωτου. Ένα πολύφωτο τύπου ΙΙΙ χρειάζεται για την κατασκευή του ώρα εργασίας για επίστρωση, ώρα εργασίας για περάτωση κατασκευής και ώρες εργασίας για συναρμολόγηση. Αν το κέρδος κάθε πολύφωτου τύπου ΙΙΙ είναι 0 να βρεθεί η ποσότητα κάθε τύπου πολύφωτου που πρέπει να κατασκευασθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος του εργοστασίου. Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ 00 ΠΕΡΑΤΩΣΗ 0 ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗ.5 80 ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ 50 0 Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των πολύφωτων τύπου Ι και Υ= ο αριθμός των πολύφωτων τύπου ΙΙ που θα παραχθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους της εταιρείας. Το συνολικό κέρδος από την παραγωγή Χ πολύφωτων τύπου Ι και Υ πολύφωτων τύπου ΙΙ είναι: R = Y Περιορισμοί Περιορισμός τμήματος επίστρωσης: + Y 00 Περιορισμός τμήματος περάτωσης: + Y 0

13 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Περιορισμός τμήματος συναρμολόγησης: +.5Y 80 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y + Y 00 + Y 0 +.5Y 80 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=40 και Υ= 40. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 00. β) Στο τμήμα επίστρωσης περισσεύουν 40 ώρες (slack: 40) από τις 00 ώρες που είναι διαθέσιμες. Στα άλλα δύο τμήματα χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες ώρες (slack: 0). γ) ος περιορισμός (τμήμα επίστρωσης): 0, ος περιορισμός (τμήμα περάτωσης):., ος περιορισμός (τμήμα συναρμολόγησης): δ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι [5, 60] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [5, 00]. ε) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (τμήμα επίστρωσης) είναι [60, ), για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (τμήμα περάτωσης) είναι [60, 80] και για το σταθερό όρο του τρίτου περιορισμού (τμήμα συναρμολόγησης) είναι [90, 70]. στ) Θα επιλεγεί ο ος περιορισμός (τμήμα συναρμολόγησης) γιατί έχει τη μεγαλύτερη σκιώδη τιμή. Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος (80) κατά μία μονάδα (8) γιατί έτσι θα πάρει η αντικειμενική συνάρτηση μεγαλύτερη τιμή (5.555 ). Μας ενδιαφέρει η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής γιατί έχουμε πρόβλημα μεγιστοποίησης. ζ) Με τα νέα δεδομένα έχουμε:

14 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΤΥΠΟΣ ΙΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ 00 ΠΕΡΑΤΩΣΗ 0 ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗ.5 80 ΚΕΡΔΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max R = Y + 0W + Y + W 00 + Y + W 0 +.5Y + W 80 0, Y 0, W 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για Χ=40, Υ= 40 και W=0. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 00. Στο παράθυρο «Ranging» και στη στήλη «Reduced cost» βλέπουμε ότι το εργοστάσιο θα έχει συμφέρον να παράγει τον τύπο ΙΙΙ αν το ανά μονάδα κέρδος του αυξηθεί πάνω από Άσκηση..4 Μια αλυσίδα τουριστικών γραφείων πούλησε 500 εισιτήρια για την παγκόσμια έκθεση αυτοκινήτων. Το πακέτο ταξιδιού περιλαμβάνει το αεροπορικό εισιτήριο παρέχοντας τη δυνατότητα επιλογής ενός από δύο τύπους αεροπλάνων για τις πτήσεις charter. Τα αεροπλάνα τύπου Ι μπορούν να μεταφέρουν 50 επιβάτες και τα αεροπλάνα τύπου ΙΙ μπορούν να μεταφέρουν 00 επιβάτες. Κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου Ι κοστίζει 000 και κάθε πτήση του αεροπλάνου τύπου ΙΙ κοστίζει Η αλυσίδα των τουριστικών γραφείων δεν μπορεί να ενοικιάσει περισσότερα από 5 αεροπλάνα. α) Πόσα αεροπλάνα από τον κάθε τύπο μπορούν να ενοικιασθούν για να ελαχιστοποιήσουν το κόστος; β) Πόσο θα πρέπει να μεταβληθεί το κόστος των αεροπλάνων τύπου Ι έτσι ώστε το τουριστικό γραφείο να έχει συμφέρον να το ενοικιάσει; 4

15 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ γ) Αν μειωθεί το κόστος των αεροπλάνων τύπου Ι στα 00 ποια θα είναι η λύση του προβλήματος; δ) Οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως; ε) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; στ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ζ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; η) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: ΤΥΠΟΣ Ι ΤΥΠΟΣ ΙΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΙ ΠΟΡΟΙ ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΕΡΟΠΛΑΝΩΝ 5 ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ Μεταβλητές Έστω Χ= ο αριθμός των αεροπλάνων τύπου Ι και Υ= ο αριθμός των αεροπλάνων τύπου ΙΙ που θα ενοικιασθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους του ταξιδιωτικού γραφείου. Το συνολικό κόστος από την ενοικίαση Χ αεροπλάνων τύπου Ι και Υ αεροπλάνων τύπου ΙΙ είναι: C = Y Περιορισμοί Περιορισμός επιβατών: Y = 500 Περιορισμός ενοικιαζόμενων αεροπλάνων: + Y 5 Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: min C = Y 5

16 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Y = Y 5 0, Y 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0 και Υ=.5. Το ελάχιστο κόστος θα είναι β) Στο παράθυρο «Ranging» και στη στήλη «Reduced cost» βλέπουμε ότι το γραφείο θα έχει συμφέρον να ενοικιάσει τον τύπο Ι αν το ανά μονάδα κόστος του μειωθεί περισσότερο από 750. (Στα προβλήματα ελαχιστοποίησης η ερμηνεία είναι αντίθετη με τα προβλήματα μεγιστοποίησης). γ) Κάνοντας την αλλαγή και λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται για Χ=0 και Υ= 5. Το ελάχιστο κόστος θα είναι δ) Ο ος περιορισμός είναι δεσμευτικός (ισότητα) και επομένως για να έχει λύση το πρόβλημα θα πρέπει να ισχύει. Στο ο περιορισμό η μεταβλητή περιθωρίου (slack variable) είναι μηδέν. Επομένως το τουριστικό γραφείο, από τα 5 αεροπλάνα που μπορεί να ενοικιάσει, ενοικιάζει και τα 5. ε) Για τις δυϊκές τιμές στα προβλήματα ελαχιστοποίησης ισχύουν τα αντίθετα από τα προβλήματα μεγιστοποίησης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε ότι η δυϊκή τιμή του ου περιορισμού είναι -76. Αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ο σταθερός όρος του ου περιορισμού κατά μία μονάδα (δηλ. από 500 γίνει 50) τότε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αυξηθεί (θα χειροτερεύσει γιατί είναι συνάρτηση κόστους) κατά 76. Η δυϊκή τιμή του ου περιορισμού είναι 00. Αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ο σταθερός όρος του ου περιορισμού κατά μία μονάδα (δηλ. από 5 γίνει 6) τότε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα μειωθεί (θα βελτιωθεί γιατί είναι συνάρτηση κόστους) κατά 00. στ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής Χ είναι (-, 50] και για το συντελεστή της μεταβλητής Υ είναι [49., ). ζ) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του πρώτου περιορισμού (αριθμός επιβατών) είναι [50,000] και για το σταθερό όρο του δεύτερου περιορισμού (αριθμός αεροπλάνων) είναι [.5, 6.67]. η) Θα επιλεγεί ο ος περιορισμός (αριθμός αεροπλάνων) γιατί έχει τη μεγαλύτερη (σε απόλυτη τιμή) σκιώδη τιμή (00). Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος (5) κατά μία μονάδα (6) γιατί έτσι θα πάρει η αντικειμενική συνάρτηση μικρότερη τιμή 6

17 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (86800 ). Μας ενδιαφέρει η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής γιατί έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Άσκηση..5 Μια αεροπορική εταιρεία προσφέρει μια έκπτωση στα εισιτήρια πρώτης θέσης στους επιβάτες οι οποίοι δεν φέρουν αποσκευές. Το εισιτήριο με έκπτωση λέγεται «εκτελεστικό» εισιτήριο. Το αεροπλάνο για το οποίο προσφέρεται το «εκτελεστικό» εισιτήριο έχει 90 θέσεις. Η τιμή του εισιτηρίου πρώτης θέσης είναι 0, η τιμή του «εκτελεστικού» εισιτηρίου είναι 70 και η τιμή του εισιτηρίου οικονομικής θέσης είναι 40. Το κόστος της εταιρείας για ένα εισιτήριο πρώτης θέσης είναι 50, για ένα «εκτελεστικό» εισιτήριο 50 και για ένα εισιτήριο οικονομικής θέσης 50. Η αεροπορική εταιρεία πρέπει να έχει διαθέσιμες 0 κυβικές παλάμες (dm ) αποθηκευτικών χώρων για κάθε επιβάτη πρώτης θέσης και 5 dm για κάθε επιβάτη οικονομικής θέσης. Αποφασίστηκε ότι το κόστος κάθε πτήσης δεν θα υπερβαίνει τα 500 και οι αποθηκευτικοί χώροι δεν μπορούν να υπερβαίνουν τα 50 dm. α) Πόσα εισιτήρια κάθε είδους πρέπει να πωληθούν για να μεγιστοποιήσουν το κέρδος της εταιρείας; β) Οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως; γ) Ποιες είναι οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών; δ) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης; ε) Ποιο είναι το άριστο διάστημα για τους σταθερούς όρους των περιορισμών; στ) Αν ζητηθεί να μεταβληθεί ο σταθερός όρος ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ποιος περιορισμός θα επιλεγεί και τι μεταβολή θα γίνει; Λύση α) Μπορούμε να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: 7

18 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΩΤΗ ΘΕΣΗ «ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΟ» ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΙ ΠΟΡΟΙ ΕΠΙΒΑΤΕΣ 90 ΑΠΟΘΗΚΕΥΤΙΚΟΙ dm ΧΩΡΟΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ ΤΙΜΗ ΕΙΣΙΤΗΡΙΟΥ ΚΕΡΔΟΣ = ΤΙΜΗ-ΚΟΣΤΟΣ Μεταβλητές Έστω = ο αριθμός των εισιτηρίων πρώτης θέσης, = ο αριθμός των «εκτελεστικών» εισιτηρίων και = ο αριθμός των εισιτηρίων οικονομικής θέσης που θα πωληθούν. Αντικειμενική Συνάρτηση Διατυπώνουμε το στόχο του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους της αεροπορικής εταιρείας. Το συνολικό κέρδος από την πώληση εισιτηρίων πρώτης θέσης, «εκτελεστικών» εισιτηρίων και εισιτηρίων οικονομικής θέσης είναι: P = 60 + Περιορισμοί Περιορισμός επιβατών: Περιορισμός αποθηκευτικών χώρων: Περιορισμός στο συνολικό κόστος των εισιτηρίων: Επομένως έχουμε να επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού: max P =

19 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ , 0, 0 Λύνοντας το πρόβλημα βρίσκουμε ότι το συνολικό κέρδος μεγιστοποιείται για =05, = 5 και = 60. Το κέρδος της εταιρείας θα είναι Π = 500. β) Οι μεταβλητές περιθωρίου είναι μηδέν και στους περιορισμούς. Άρα οι διαθέσιμοι πόροι των περιορισμών αξιοποιούνται πλήρως. γ) ος περιορισμός: 45, ος περιορισμός: 4, ος περιορισμός: 0.5. δ) Το άριστο διάστημα για το συντελεστή της μεταβλητής είναι [0, 0], για το συντελεστή της μεταβλητής μεταβλητής είναι [60, 40]. είναι [0, 60] και για το συντελεστή της ε) Το άριστο διάστημα για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [50, 0], για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [00, 600] και για το σταθερό όρο του ου περιορισμού είναι [7500, 8500]. στ) Θα αυξηθεί ο σταθερός όρος του πρώτου περιορισμού (από 90 θα γίνει 9) γιατί έχουμε τη μεγαλύτερη αύξηση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (545 ). 9

20 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ.. ΔΥΪΚΟΤΗΤΑ (DUALITY) Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει ένα συσχετιζόμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που ονομάζεται δυϊκό (dual). Αν ονομάσουμε την αρχική διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σαν αρχικό πρόβλημα (primal), θα δούμε πως το αρχικό μπορεί να μετατραπεί στο αντίστοιχό του δυϊκό (dual). Μία βασική ιδιότητα αρχικού-δυϊκού είναι ότι η βέλτιστη λύση στο ένα συνεπάγεται βέλτιστη λύση στο άλλο. Πριν προχωρήσουμε στη διατύπωση αντίστοιχων προβλημάτων θα αναφερθούμε στην κανονική μορφή (canonical form) ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης (maximization) θα λέμε ότι είναι σε κανονική μορφή αν όλοι οι περιορισμοί του είναι του τύπου και οι μεταβλητές του μη αρνητικές ( x i 0 ). Ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης (minimization) θα λέμε ότι είναι σε κανονική μορφή αν όλοι οι περιορισμοί του είναι του τύπου αρνητικές ( 0 ). x i και οι μεταβλητές του μη Για να μετατρέψουμε ένα αρχικό πρόβλημα στο αντίστοιχό του δυϊκό θα πρέπει το αρχικό να είναι σε κανονική μορφή. Άσκηση.. Έστω το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού της άσκησης..5. Να διατυπώσετε το αντίστοιχο δυϊκό του. Ποια είναι η λύση του δυϊκού και ποια η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης; Ποιες είναι οι σκιώδεις τιμές των περιορισμών; Τι παρατηρείτε; Λύση Το αρχικό πρόβλημα έχει ως εξής: max P = , 0,

21 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα είναι σε κανονική μορφή. Επομένως το δυϊκό του θα είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης σε κανονική μορφή. Η διαδικασία για τη διατύπωση του δυϊκού ενός προβλήματος μεγιστοποίησης είναι η ακόλουθη:. Το δυϊκό είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης σε κανονική μορφή.. Όταν το αρχικό έχει n μεταβλητές απόφασης (n= στο συγκεκριμένο πρόβλημα), το δυϊκό θα έχει n περιορισμούς. Ο πρώτος περιορισμός του δυϊκού συσχετίζεται με τη μεταβλητή του αρχικού, ο δεύτερος περιορισμός του δυϊκού συσχετίζεται με τη μεταβλητή του αρχικού κ.ο.κ.. Όταν το αρχικό έχει m περιορισμούς (m= στο συγκεκριμένο πρόβλημα), το δυϊκό θα έχει m μεταβλητές απόφασης. Η μεταβλητή του δυϊκού συσχετίζεται με τον πρώτο περιορισμό του αρχικού, η U μεταβλητή U του δυϊκού συσχετίζεται με τον δεύτερο περιορισμό του αρχικού κ.ο.κ. 4. Οι σταθεροί όροι (δεξί μέλος) των περιορισμών του αρχικού προβλήματος γίνονται οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του δυϊκού. 5. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος γίνονται οι σταθεροί όροι (δεξί μέλος) των περιορισμών του δυϊκού. 6. Οι συντελεστές των περιορισμών της i μεταβλητής στο αρχικό πρόβλημα γίνονται συντελεστές στον i περιορισμό του δυϊκού. Το δυϊκό πρόβλημα είναι το ακόλουθο: minc = 90U U 500 U + 0U + 50U 60 U + 0U + 50U 0 U + 5U + 50U 90 U 0, U 0, U 0 U

22 . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η λύση του προβλήματος είναι U= 45, U = 4 και U = 0. 5 της αντικειμενικής συνάρτησης είναι C = 500. Οι σκιώδεις τιμές των περιορισμών είναι οι εξής: ος περιορισμός: -05 ος περιορισμός: -5 ος περιορισμός: -60. Η βέλτιστη τιμή Από τη λύση του δυϊκού προβλήματος παρατηρούμε ότι η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι η ίδια και για τα δύο προβλήματα. Επομένως έχουμε την ακόλουθη ιδιότητα: ΙΔΙΟΤΗΤΑ : Αν το δυϊκό πρόβλημα έχει βέλτιστη λύση τότε και το αρχικό έχει βέλτιστη λύση και αντίστροφα. Επιπλέον, οι βέλτιστες τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων στο δυϊκό και στο αρχικό είναι ίσες. Αυτή η ιδιότητα μας λέει ότι αν είχαμε λύσει μόνο το δυϊκό πρόβλημα θα γνωρίζαμε ότι το κέρδος της εταιρείας θα ήταν 500. Από τη λύση του δυϊκού προβλήματος παρατηρούμε επίσης ότι οι βέλτιστες τιμές των δυϊκών μεταβλητών U i είναι ίδιες με τις δυϊκές τιμές των περιορισμών του αρχικού προβλήματος. Επομένως έχουμε την ακόλουθη ιδιότητα: ΙΔΙΟΤΗΤΑ : Οι βέλτιστες τιμές των δυϊκών μεταβλητών ( U i ) είναι ίδιες με τις δυϊκές τιμές των περιορισμών του αρχικού προβλήματος. Επιπλέον, οι δυϊκές ή σκιώδεις τιμές των περιορισμών του δυϊκού προβλήματος είναι οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών απόφασης του αρχικού ( ) με αντίθετο πρόσημο. i Επομένως μπορούμε να πούμε τα εξής: Αρχικό Πρόβλημα: Με δεδομένο το ανά μονάδα κέρδος για κάθε τύπο εισιτηρίου ( i ) προσδιορίζουμε την ποσότητα από τον κάθε τύπο εισιτηρίου που πρέπει να πωληθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος της εταιρείας. Οι περιορισμοί απαιτούν την ποσότητα του κάθε πόρου που χρησιμοποιείται να είναι μικρότερη ή ίση από τη διαθέσιμη ποσότητα.

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming) κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming). Εισαγωγή Ορισμός.. Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming) είναι το όνομα της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή Διάκριση Τιμών ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) -H διάκριση τιμών 1 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή επιχείρηση γνωρίζει τις ατομικές συναρτήσεις ζήτησης όλων των καταναλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

ιαµόρφωση Προβλήµατος

ιαµόρφωση Προβλήµατος Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΕΣ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Έκδοση 3.2014.1

ΑΛΛΑΓΕΣ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Έκδοση 3.2014.1 ΑΛΛΑΓΕΣ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Έκδοση 3.2014.1 1. Δημιουργία Μεταβολή Καρτέλας Λογιστικής. Αν η καρτέλα έχει τύπο Λογιστικής και μορφή Κινούμενη, τότε ενεργοποιείται το πεδίο Αριθμός ΦΤΜ στην θέση του πεδίου Επάγγελμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας .. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Asset & Liability Management Διάλεξη 3

Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Cash-flow matching Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Τεχνικές Μοντελοποίησης, Εφαρμογές Μοντελοποίησης Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΊΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά για Νομικούς Μέρος 1ο Οι δυνάμεις της προσφοράς και της ζήτησης

Οικονομικά για Νομικούς Μέρος 1ο Οι δυνάμεις της προσφοράς και της ζήτησης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Τραπεζικής και Χρηματοοικονομικής Διοικητικής Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Χρηματοοικονομική Ανάλυση για Στελέχη» Οικονομικά για Νομικούς Μέρος 1ο Οι δυνάμεις της προσφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγική διαδικασία. Τεχνολογία

Παραγωγική διαδικασία. Τεχνολογία Σκοπός: Η μελέτη της σχέσης εισροών και εκροών Συντελεστές παραγωγής (Εισροές) Παραγωγική διαδικασία Παραγόμενο Προϊόν (Εκροές) Κεφαλαιουχικά αγαθά Εργασία Γή Επιχειρηματικές ή διοικητικές ικανότητες κλπ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 1 Το πρόβλημα των περιορισμένων πόρων Κάθε επιχειρηματική

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να πραγματοποιεί κέρδος ή ζημιά. Η βασική αρχή πάνω στην

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά - Ορισμός: Η αγορά ενός αγαθού είναι η διαδικασία (θεσμικό πλαίσιο) μέσω της οποίας έρχονται σε επικοινωνία οι αγοραστές και οι πωλητές του συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα