Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΤΩΣΗ, ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΠΡΟΝΕΥΣΗΣ ΑΕΡΟΤΟΜΗΣ ΤΥΠΟΥ NACA0012 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ Επιβλέπων Καθηγητής: ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΗΣ ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΚΑΒΑΛΑ 2013

2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση της παρούσας πτυχιακής εργασίας κλείνει ο κύκλος μου ως σπουδαστής στο Τ.Ε.Ι. Καβάλας. Θα ήθελα σ αυτό το σημείο να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Παναγιωτίδη Θεολόγο για την πολύτιμη βοήθεια και στήριξη που μου προσέφερε όλο αυτό το διάστημα. Ακόμη θέλω να εκφράσω ένα μεγάλο ευχαριστήσω στο μαθηματικό μου κ. Σαϊνίδη Παναγιώτη για τις γνώσεις και τη βοήθεια που μου προσέφερε με τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Κλείνοντας, οι μεγαλύτερες και θερμότερες ευχαριστίες ανήκουν στους γονείς μου, για τη βοήθεια και τη στήριξη που μου παρείχαν σε κάθε τομέα, όλα αυτά τα χρόνια.

4 ΣΥΝΟΨΗ Η παρούσα πτυχιακή εργασία έχει ως σκοπό την ανάλυση και επεξήγηση των ασκούμενων δυνάμεων, σε αεροτομή μικρών υποηχητικών ταχυτήτων (ασυμπίεστη ροή) και συγκεκριμένα του τύπου NACA0012, για συνθήκες δισδιάστατης ροής (απέραντης ή πειραματικής πτέρυγας δηλαδή). Αρχικά καθορίζεται ο όρος της αεροδυναμικής, γίνεται ιστορική αναδρομή και αναφορά σε βασικές έννοιες και ιδιότητες των ρευστών. Επίσης επισημαίνονται βασικά στοιχεία περί της ατμόσφαιρας και των αερίων. Στη συνέχεια, βάσει του ιξώδους και της πυκνότητας, αναλύεται και διαχωρίζεται η ροή του αέρα, προσδιορίζεται ο αριθμός Re και αναπτύσσονται οι Θεμελιώδεις Αρχές. Ακόμη αναλύεται η δυναμική ομοιότητα όπως και η σημαντικότατη έννοια του Οριακού Στρώματος και των χαρακτηριστικών γεωμετρικών μεγεθών του. Κλείνοντας αναφέρουμε τις έννοιες των στροβίλων καθώς και τους νόμους που διέπουν αυτούς. Στο 5 ο κεφάλαιο αναπτύσσονται κατ αρχήν τα αεροδυναμικά χαρακτηριστικά του αεροπλάνου και η γεωμετρία της πτέρυγας. Στη συνέχεια γίνεται ανάλυση του κέντρου πίεσης της αεροτομής καθώς και των ασκούμενων δυνάμεων σε αυτή. Προσδιορίζονται δηλαδή οι δύο συνιστώσες της Αεροδυναμικής Δύναμης (Άντωση και Οπισθέλκουσα), η Ροπή Πρόνευσης, και αναπτύσσονται τα διαγράμματα αυτών συναρτήσει της γωνίας προσβολής. Τέλος στο 6 ο κεφάλαιο εξηγείται η έννοια των ψηφίων των 4ψήφιων αεροτομών NACA, καθώς και της NACA 0012 και γίνεται σύγκριση των διαγραμμάτων, με αυτά που προέκυψαν από τα πειράματα που λήφθηκαν στην υποηχητική αεροδυναμική σήραγγα AF100 του εργαστηρίου.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1.1 Η έννοια της Αεροδυναμικής Ιστορική αναδρομή Γενικά Πρώτες πτήσεις Ιστορικό αεροτομών Η αεροδυναμική στο αυτοκίνητο... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ 2.1 Η έννοια του ρευστού σαν συνεχές μέσο Ιδιότητες των ρευστών Γενικά Ανάλυση των ιδιοτήτων του ρευστού Πυκνότητα Ειδικός Όγκος Ειδικό Βάρος Πίεση Συμπιεστότητα Διατμητική Τάση Δυναμικό Ιξώδες Κινηματικό Ιξώδες... 23

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΕΡΙΑ ΚΑΙ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ 3.1 Ατμόσφαιρα Γενικά Σύσταση της ατμόσφαιρας Στρώματα της ατμόσφαιρας Διεθνής Τυποποιημένη Ατμόσφαιρα (I.S.A.) Γενικά Τυποποίηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΙΚΡΩΝ ΥΠΟΗΧΗΤΙΚΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ (ΥΠΟΗΧΗΤΙΚΗ ΠΤΗΣΗ) 4.1 Κινηματική των ρευστών Γενικά Εξισώσεις κίνησης Ταχύτητα του αέρα Επιτάχυνση του αέρα Ασυμπίεστη ροή χωρίς τριβή Γενικά Θεμελιώδεις Αρχές Διατύπωση Εξίσωση της Συνέχειας Εξισώσεις του Eüler Εξίσωση Bernoulli Ασυμπίεστη ροή με τριβή Γενικά Θεμελιώδεις Αρχές Αρχή της Δυναμικής Ομοιότητας... 42

7 - Προσδιορισμός της Δυναμικής Ομοιότητας Γεωμετρική Ομοιότητα Κινηματική Ομοιότητα Δυναμική Ομοιότητα Δυναμική Ομοιότητα κατά Reynolds Διαστατική ανάλυση της Αντίστασης R του αέρα Αριθμός Reynolds Προσδιορισμός του αριθμού Reynolds Κρίσιμος Αριθμός Reynolds Οριακό Στρώμα Προσδιορισμός του οριακού στρώματος Πάχος δ και Πάχος Μετατόπισης δ 1 του οριακού στρώματος Μορφές ροής στο οριακό στρώμα Στρωτό οριακό στρώμα Τυρβώδες οριακό στρώμα Παράσιτος Οπισθέλκουσα Μέθοδοι Ελέγχου του οριακού στρώματος Στρόβιλοι Γενικά Αστρόβιλη ροή Στροβιλώδης ροή Προσδιορισμός της Στροβιλώδους ροή Κυκλοφορία Γ Νόμοι των Στροβίλων Εφαρμογές των Στροβίλων σε Πτέρυγες Όργανα μέτρησης της ταχύτητας του αέρα Χοάνη Ventouri Σωλήνας Pitot Δεικνυόμενη και Αληθής Ταχύτητα του αέρα... 81

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΕΡΟΤΟΜΕΣ ΜΙΚΡΩΝ ΥΠΟΗΧΗΤΙΚΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ 5.1 Αεροδυναμικά χαρακτηριστικά αεροπλάνου Γενικά Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Ανάπτυξη της Πτέρυγας Γενικά Γεωμετρικά χαρακτηριστικά της πτέρυγας Προσδιορισμός της πτέρυγας Κάτοψη της πτέρυγας Διατομή ή Αεροτομή της πτέρυγας (Πλάγια Όψη Γωνία Συστροφής της πτέρυγας (Πλάγια Όψη Δίεδρη Γωνία της πτέρυγας Ανάλυση της Αεροτομής Γενικά Δυνάμεις στην αεροτομή Κατανομή Πιέσεων στην αεροτομή Άντωση Παραγωγή Άντωσης Καμπύλη Άντωσης Οπισθέλκουσα Παραγωγή Παρασίτου Οπισθέλκουσας Καμπύλη Παρασίτου Οπισθέλκουσας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΕΡΟΤΟΜΕΣ ΝACA 6.1 Τυποποίηση αεροτομών κατά NACA Γενικά Αεροτομές NACA 4 Ψηφίων Αεροτομή NACA Διαγράμματα Δυνάμεων

9 6.2.2 Πειραματικές μετρήσεις στην Αεροσήραγγα AF Μετρήσεις Διαγράμματα Υποηχητική Αεροδυναμική Σήραγγα AF100 TecQuipment Λειτουργία Αεροσήραγγας Σχετικά Όργανα Έλεγχοι και Όργανα Μέτρησης Πρόσθετα Όργανα Τεχνικά Δεδομένα Αεροσήραγγας Επίπεδα Θορύβου ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1.1 Η έννοια της Αεροδυναμικής Η μελέτη της κίνησης της ύλης, η δυναμική, χωρίζεται σε δύο κατηγορίες. Την δυναμική των στερεών σωμάτων και τη δυναμική των ρευστών. Με τον όρο ρευστά εννοούμε τα μη στερεά σώματα, δηλαδή τα υγρά και τα αέρια. Οι επιστήμες που αναπτύχθηκαν για τον προσδιορισμό, την ανάλυση και μελέτη της κίνησης των ρευστών είναι η αεροδυναμική και η υδροδυναμική, οι οποίες αποτελούν ξεχωριστά μέρη, εξ αιτίας των ουσιωδών διαφορών μεταξύ υγρών και αερίων, της γενικής επιστήμης της Μηχανικής των Ρευστών. Η επιστήμη της αεροδυναμικής περιλαμβάνει δύο φαινομενικά χωριστές, αλλά στο βάθος σχετικές μελέτες. Αυτές είναι η Θεμελιώδης Αεροδυναμική και η Εφαρμοσμένη Αεροδυναμική. Η πρώτη εξετάζει την ποιότητα και την ποσότητα των αερίων που βρίσκονται σε κίνηση. Δηλαδή αναλύεται ο γενικός χαρακτήρας της κίνησης, η ταχύτητα και η επιτάχυνση των μορίων των αερίων και τα φυσικά χαρακτηριστικά τους. Από την άλλη πλευρά η Εφαρμοσμένη Αεροδυναμική ασχολείται με τις φυσικές δυνάμεις (Άντωση Οπισθέλκουσα Ροπή πρόνευσης) που ασκούνται από τα ρευστά στα όρια των στερεών σωμάτων που εμβυθίζονται σ αυτά, ένεκα της κινήσεως τους γύρω από το στερεό σώμα. Παράλληλα εξετάζει το πως μεταβάλλονται αυτές οι δυνάμεις με το σχήμα, τη θέση και την ταχύτητα του σώματος καθώς και με τις φυσικές ιδιότητες του αέρα. 1

11 1.2 Ιστορική αναδρομή Γενικά Από ιστορικής πλευράς η αεροδυναμική πρωτοεμφανίστηκε και εφαρμόστηκε, όπως και είναι φυσικό, στο χώρο των αεριωθούμενων οχημάτων. Στη συνέχεια λόγω πετυχημένων ερευνών, πειραμάτων και βελτιώσεων, κυρίως στις αεροτομές, έχουμε τις πρώτες απόπειρες και στο χώρο των αυτοκινήτων. Πλέον υπάρχει ευρεία εφαρμογή της αεροδυναμικής σε διάφορους κλάδους, όπως είναι τα τραίνα, τα κτίρια κτλ. Ας δούμε τώρα σε μια σύντομη ανασκόπηση πως ξεκίνησε και πως εξελίχθηκε ο χώρος της αεροδυναμικής, καθώς και ποια ήταν τα σημαντικότερα πρόσωπα που συνέβαλαν σε αυτό Πρώτες πτήσεις Ως γνωστόν το όραμα και η θέληση του ανθρώπου να πετάξει προϋπήρχε από την αρχαιότητα ακόμη. Αυτό κατέστη εφικτό χάρη στην παρατήρηση, αρχικά, και μετέπειτα στην αντιγραφή του σχήματος και του σώματος των πτηνών. Έτσι ξεκινώντας από τη μυθολογία με το Δαίδαλο και τον Ίκαρο, οι οποίοι απέδρασαν απ το παλάτι του βασιλιά Μίνωα κατασκευάζοντας κέρινα φτερά, αργότερα τον Αριστοτέλη που εξέφρασε την ιδέα ότι ο αέρας έχει βάρος και τον Αρχιμήδη που διατύπωσε το νόμο της άνωσης, μέχρι το Leonardo Da Vinci ( ) που μελέτησε τα ρεύματα αέρα και παρουσίασε τα πρώτα σχέδια πτητικών μηχανών, παρατηρείται σημαντική πρόοδος στον ερευνητικό τομέα, αφήνοντας έτσι τις πρώτες ελπίδες για πτήση να ανθίσουν. (Εικόνα : Leonardo Da Vinci) 2

12 (Εικόνα : Πρώτα σχέδια πτητικών μηχανών, από το Leonardo Da Vinci) Ως ιδρυτής της αεροδυναμικής και πατέρας του αεροσκάφους, βάση των πρωτοποριακών πειραμάτων και μελετών του πάνω στις αρχές της πτήσης, φαίνεται ο Sir George Cayley ( ). Αυτός διέκρινε πρώτος τη διαφορά μεταξύ άνωσης και οπισθέλκουσας, πειραματίστηκε με το σχήμα των φτερών, διατύπωσε τις έννοιες των κάθετων ουραίων επιφανειών, των πηδαλίων ελέγχου, των ουραίων πηδαλίων ύψους βάθους και των ελίκων. Το 1809 μετά από σειρά πειραμάτων σε μοντέλα κατασκεύασε και πέταξε το πρώτο στον κόσμο αιωρόπτερο, χωρίς πιλότο. Την εργασία του την δημοσίευσε στο «Mechanics Magazine», όπως βλέπουμε και στην εικόνα Το τριπλάνο αιωρόπτερο του Cayley πέταξε με πιλότο το 1853 κοντά στο Scarborough. (Εικόνα : Sir George Cayley) 3

13 (Εικόνα : Αιωρόπτερο Sir George Cayley) Μερικά χρόνια αργότερα έρχονται στο προσκήνιο ο Γερμανός μηχανικός Otto Lilienthal ( ) και ο αδερφός του Gustav. Οι δυο τους κατασκευάζουν πολλά ανεμόπτερα, αλλά ο Otto ήταν αυτός που πραγματοποιούσε το μεγαλύτερο μέρος της πτήσης. Χειριζόταν τα φτερά του ανεμοπλάνου του για να ελέγξει την κατεύθυνση και κινούσε το σώμα του κατάλληλα έτσι ώστε να προσαρμόζεται στα ρεύματα αέρα. Αποτέλεσμα των πολλαπλών πειραμάτων και κατασκευών ήταν να επιτύχουν τη βελτίωση των αιωρόπτερων, τα οποία πλέον διέθεταν μεγάλη ευστάθεια στην κίνηση. Έτσι το1890 η πτήση με αιρώπτερα είχε πλέον καθιερωθεί. Οι αδερφοί Lilienthal κατέγραψαν πάνω από 2000 ανεμοπορείες στο σύνολο τους και προετοίμασαν το έδαφος για τους νέους πειραματιστές. Ένας ακόμη μελετητής των πτήσεων, ήταν ο μηχανικός Octave Chanute ( ). Κυκλοφόρησε το βιβλίο «Progressin Flying Machines» το οποίο και έγινε ευρέως αποδεκτό, καθώς παρείχε σημαντικές πληροφορίες για τις πτήσεις. Υποστήριξε την κατασκευή αεροσκαφών και προχώρησε στην κατασκευή του Katydid και του ανεμοπλάνου Herring / Chanute, το οποίο αποτέλεσε και τη βάση για την κατασκευή του αεροπλάνου από τους αδερφούς Wright. Εκείνη την εποχή παράλληλα με τον Chanute ενδιαφέρον για τα ιπτάμενα οχήματα έδειξε και ο SamuelP. Langley ( ). Ο φυσικός, αστρονόμος και διευθυντής ιδρύματος Smithsonian της Ουάσιγκτον Langley, πραγματοποίησε πειράματα χρησιμοποιώντας περιστρεφόμενους βραχίονες και μηχανές ατμού. Το 1896 κατασκεύασε την Aerodome, μια πλήρης σε μέγεθος πτητική μηχανή, η οποία είχε δύο πτέρυγες με εκπέτασμα 5 μέτρων που κινούνταν με τη βοήθεια 2 ελίκων, οι 4

14 οποίοι έπαιρναν κίνηση από ατμομηχανή. Η μηχανή ήταν τοποθετημένη στην οροφή ενός ποταμόπλοιου και η πτήση γινόταν από ένα καταπέλτη. Δύο αποτυχημένες προσπάθειες πραγματοποιήθηκαν για την πτήση της μηχανής, με τη δεύτερη να καταλήγει σε βύθιση της Aerodome στον ποταμό Potomac. Wilbur&OrvilleWright. Ευρέως γνωστοί για την τεράστια συνεισφορά τους στην ιστορία της πτήσης και την κατασκευή του αεροπλάνου, οι οποίες και αποτέλεσαν σταθμό για τη σύγχρονη αεροπορία. Οι αδερφοί Wright, από παιδιά ακόμη, έδειξαν το πάθος και το ενδιαφέρον τους για την πτήση, κατασκευάζοντας μοντέλα αεροπλάνων. Ως ενήλικες είχαν στην κατοχή τους κατάστημα ποδηλάτων, ενώ παράλληλα πειραματιζόταν και μελετούσαν και εργασίες άλλων πρωτοπόρων της πτήσης. (Εικόνα : Wilbur & Orville Wright) 5

15 Το 1903 κατασκεύασαν το πρώτο τους αεροπλάνο με το όνομα Flyer No.1, το οποίο την ίδια χρονιά έκανε την πρώτη του επιτυχημένη πτήση. Συγκεκριμένα στις 17 Δεκεμβρίου στο Kitty Hawk στη βόρεια Καρολίνα, το Flyer1 απογειώθηκε χρησιμοποιώντας τη δύναμη που παράχθηκε από μια μηχανή την οποία είχαν φτιάξει μόνοι τους. Το αεροσκάφος υψώθηκε στα 3 μέτρα από το έδαφος και διήνυσε απόσταση 35 μέτρων, στα 12 δευτερόλεπτα που έμεινε στον αέρα. Η πρώτη πτήση αεροπλάνου στην ιστορία ήταν πλέον γεγονός. (Εικόνα : Πτήση Flyer1) Ιστορικό αεροτομών Παράλληλα με την πρόοδο του αεροπλάνου και της ιδανικής πτήσης εμφανίστηκε η ανάγκη για περισσότερη βελτίωση στα μέρη του αεροπλάνου τα οποία και καθορίζανε την απογείωση και την ευστάθεια στον αέρα, δηλαδή τις πτέρυγες. Στα τέλη του 1800 άρχισαν να γίνονται οι πρώτες σοβαρές προσπάθειες για καλύτερη σχεδίαση αεροτομών, ώστε να παράγεται όσο το δυνατόν περισσότερη άντωση στην 6

16 πτέρυγα. Έτσι ο H.F. Philips το 1884, μετά από εξέταση τους σε μια από τις πιο πρόωρες αεροσήραγγες, κατοχύρωσε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας μια σειρά καμπυλωτών μορφών αεροτομών, βασισμένες στο σχήμα των φτερών των πτηνών, οι οποίες θα αντικαθιστούσαν τις μέχρι τότε ορθογωνικές επιφάνειες. Παρόμοιες ιδέες την ίδια περίοδο είχε και ο Otto Lilienthal, ο οποίος πίστευε ότι η λύση για επιτυχή πτήση ήταν η κυρτότητα των φτερών. Εξέτασε κάποιες κυρτές αεροτομές, ύστερα από προσεκτικές μετρήσεις στο σχήμα των φτερών των πουλιών και πειραματίστηκε με διάφορες ακτίνες καμπυλότητας στο χείλος προσβολής και με διαφορετικές κατανομές πάχους. Επίσης ήταν πεπεισμένος ότι για να μπορέσει να υπάρξει εξέλιξη, ο σχεδιαστής θα έπρεπε να είχε και την εμπειρία του πιλότου και όχι απλά του παρατηρητή από το έδαφος. Αυτό άλλωστε φαίνεται και από το γεγονός ότι ήθελε να χειρίζεται ο ίδιος και να κατευθύνει τα ανεμοπλάνα που κατασκεύαζαν με τον αδερφό του, όπως αναφέραμε και παραπάνω. Τα σχέδια, οι μελέτες και τα πειράματα του Otto βοήθησαν πολύ την αεροναυπηγική και ιδιαίτερα τους αδερφούς Wright, ώστε να κατασκευάσουν τα πρώτα αεροπλάνα. Οι αεροτομές που χρησιμοποίησαν έμοιαζαν πολύ με αυτές του Otto, δηλαδή ήταν λεπτές και ιδιαίτερα καμπυλόγραμμες. Πιθανώς αυτό να προέκυψε λόγω του ότι οι πρόωρες δοκιμές αεροτομών πραγματοποιήθηκαν σε μικρές αεροσήραγγες με εξαιρετικά χαμηλό αριθμό Reynolds, όπου τέτοιες αεροτομές συμπεριφέρονται πολύ καλύτερα από παχύτερες. Έτσι είχαν καταλήξει στη λανθασμένη πεποίθηση ότι οι αποδοτικές αεροτομές έπρεπε να είναι λεπτές με μεγάλη καμπυλότητα, πράγμα που οδήγησε τα πρώτα αεροπλάνα να ήταν δίπλανα. Η τεχνοτροπία αυτή κράτησε μόλις λίγα χρόνια, καθώς στη διάρκεια της επόμενης δεκαετίας η χρήση τέτοιων αεροτομών μειωνόταν όλο και περισσότερο. Βασισμένο αρχικά στη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος, αναπτύχθηκε ένα ευρύ φάσμα των πρώτων αεροτομών. Οι πιο πετυχημένες από αυτές, όπως η ClarkY και η Göttingen, χρησιμοποιήθηκαν ως βάση, για μια οικογένεια αεροτομών που εξετάστηκαν στα επόμενα χρόνια από τη NACA (σημερινή NASA). Έτσι η πρώτη τυποποίηση αεροτομών έγινε το 1923 στην Göttingen της Δ. Γερμανίας με τη μέτρηση αεροτομών της κατηγορίας Joukowsky. Οι μετρήσεις συνεχίστηκαν και σε άλλες αεροτομές μέχρι και κατά τη διάρκεια του Β Παγκοσμίου Πολέμου. Από το 1935 λοιπόν ξεκίνησε η τυποποίηση αεροτομών από τη NACA, η οποία υπήρξε και η πιο οργανωμένη, με σκοπό την τελειοποίηση των παλαιών και 7

17 παράλληλα την προσθήκη νέων αεροτομών. Περισσότερες λεπτομέρειες για τις αεροτομές NACA, θα δούμε στο 6 ο κεφάλαιο. Στην εικόνα βλέπουμε την εξέλιξη των αεροτομών. (Εικόνα : Εξέλιξη αεροτομών) Η αεροδυναμική στο αυτοκίνητο Με την εντυπωσιακή εξέλιξη της αεροδυναμικής στο χώρο της πτήσης ξεκινάνε στα τέλη του 1890 και οι πρώτοι πειραματισμοί, αεροδυναμικών σχημάτων, στο χώρο του αυτοκινήτου. Συγκεκριμένα το έτος 1899 ο Βέλγος Καμίλ Ζενστζί κατασκευάζει έναν γήϊνο πύραυλο σπάζοντας το φράγμα των 100 km/h, γράφοντας 106 km/h. Το αγωνιστικό όχημα ήταν ηλεκτροκίνητο και έμοιαζε πολύ με πύραυλο, όπως φαίνεται και στην εικόνα (Εικόνα : Πρώτο αγωνιστικό αυτοκίνητο αεροδυναμικού σχήματος) 8

18 Λίγα χρόνια αργότερα ένα ακόμη αυτοκίνητο αεροδυναμικού σχήματος έρχεται στο προσκήνιο. Το 1913 ο κόμης Marco Ricotti σχεδιάζει για λογαριασμό της AlfaRomeo το επιβατηγό Castagna, το οποίο έπιανε τα 136 km/h και είχε το σχήμα σταγόνας. (Εικόνα : Alfa Romeo Castagna. Πρώτο επιβατηγό αυτοκίνητο αεροδυναμικού τύπου) Το ίδιο έτος κάποιοι σχεδιαστές, εμπνευσμένοι από τη ναυπηγική, σχεδιάζουν το πίσω μέρος του αυτοκινήτου με πρότυπο την πρύμνη πλοίου, που σκοπό έχει την ομαλότερη πορεία της ροής στο τελείωμα του οχήματος. Τελικά η προσέγγιση αυτή αποδεικνύεται λανθασμένη, καθώς η αποκόλληση του οριακού στρώματος ακριβώς μπροστά από την ουρά, λόγω των φτερών αλλά και των ακάλυπτων τροχών, αλλά και σε ολόκληρο το αυτοκίνητο, είναι πολύ έντονη. Η ουρά τύπου βάρκας (Boat Tail) όμως ήταν αρεστή στον κόσμο και έτσι επιλέχθηκε για την κατασκευή μοντέλων όπως το Audi Alpensiegerto Το 1918 ο Δρ.Edmund Rumpler άφηνε την βιομηχανία των αεροσκαφών και μεταπηδούσε στην αυτοκινητοβιομηχανία. Έτσι βάση της εμπειρίας του στον αεροδυναμικό σχεδιασμό, το 1923 σχεδιάζει ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο για λογαριασμό της BENZσε σχήμα σταγόνας. Την υπέρβαση όμως πραγματοποιεί το 1924 σχεδιάζοντας το Rumpler Car με ουσιαστικά αεροδυναμικά χαρακτηριστικά. Το όχημα κρίθηκε πετυχημένο, καθώς σχηματικά προσέγγιζε σε αεροτομή, πράγμα που φανέρωνε την πολύ καλή προσπάθεια του σχεδιαστή για τη μείωση των στροβίλων στο πίσω μέρος. Το πόσο καλά ζυγισμένο αεροδυναμικά ήταν το αυτοκίνητο του Rumpler, διαπιστώθηκε και από την Volkswagen το 1979, όταν 9

19 τοποθετώντας το σε αεροδυναμική σήραγγα, μέτρησε συντελεστή οπισθέλκουσας 0,28 για μετωπική επιφάνεια 2,57 m 2, πράγμα εντυπωσιακό για το Κατά παρόμοιο τρόπο με τον Rumpler λειτούργησε την ίδια χρονιά και ο Αυστριακός Paul Jaray, όπου ενώ δούλευε στη βιομηχανία αεροσκαφών ως σχεδιαστής αεροπλάνων για τον κόμη Ferdinand Adolf Heinrich August Grafvon Zeppelin, περνάει κι αυτός στο χώρο των αυτοκινήτων. Το ενδιαφέρον του όμως στρέφεται πλέον περισσότερο στη μελέτη της αεροδυναμικής και όχι τόσο στο σχεδιασμό. Έτσι ξεκινάει τις πρώτες του πειραματικές μελέτες σε αεροδυναμική σήραγγα. Η σήραγγα ανήκε στο Zeppelin και ήταν μικρή σχετικά. Εκεί ο Jaray τοποθετούσε διάφορα σώματα, διαφόρων σχημάτων, προσπαθώντας να καταλάβει ποια μορφή έχει το χαμηλότερο συντελεστή οπισθέλκουσας, αναπτύσσοντας παράλληλα και διάφορες τεχνικές μετρήσεως αυτών των μεγεθών. Πρώτος παρατήρησε πως τον μικρότερο συντελεστή αντίστασης παρουσίαζε το ελλειψοειδές σχήμα, το περίφημο δηλαδή σχήμα της σταγόνας. Έτσι έπειτα από μετρήσεις κατέληξε το 1922 πως ο κατώτατος συντελεστής οπισθέλκουσας οχήματος που κινείται επί εδάφους με ρόδες είναι το 0,15. Αυτό το όριο ήταν και ο απόλυτος στόχος του, αλλά φυσικά δεν μπόρεσε ποτέ να το πλησιάσει. Παρ όλα αυτά υπέδειξε τη μορφή που πρέπει να έχουν τα αυτοκίνητα, ώστε να μπορέσουν να προσεγγίσουν αυτό το συντελεστή. Όμως οι σχεδιαστικές του προτάσεις δεν στάθηκαν πρακτικές. Το δόγμα του «μακρύ και στενό» δεν φάνηκε να επιβεβαιώνεται, καθώς αυτό το σχήμα είχε μεγάλο πρόβλημα στους πλευρικούς ανέμους, εξ ου και η χρήση του κάθετου πτερυγίου στο πίσω μέρος. Ακόμη παρά το μεγάλο μήκος του αμαξώματος, ο εσωτερικός χώρος του αυτοκινήτου δεν ήταν ο ανάλογος. Πάντως κάποιοι ακολούθησαν το σκεπτικό του Jaray και τόλμησαν να βγάλουν στην παραγωγή αυτοκίνητα όπως τo Adler Trumpf σχεδιασμένο από τον Heinrich Kleyer το 1934 και το τσεχοσλοβάκικοtatra 87 το Επηρεασμένος από τις αρχές και τα σχέδια του Jaray φαίνεται και ο Δρ.Ferdinand Porsche, ο οποίος βασισμένος στο δόγμα «μακρύ και στενό», σχεδιάζει για τη VW το 1938 το Kraft Durch Freude (K.D.F.), γνωστό και ως σκαθάρι. Όπως προαναφέραμε όμως αυτό το σχήμα παρουσίαζε αστάθεια στους πλευρικούς ανέμους και στις υψηλές ταχύτητες, πράγμα που το καθιστούσε ακόμα μεγαλύτερο πρόβλημα και για τα αυτοκίνητα υψηλών επιδόσεων, που εμφανίστηκαν κατά την πορεία, όπως η Porsche 911. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα, η τοποθέτηση αεροτομής στο πίσω μέρος του αμαξώματος να κρίνεται απαραίτητη. 10

20 Στα μέσα της δεκαετίας του 1930 εμφανίζεται και το απότομο κόψιμο της ουράς. Εμπνευστής της ιδέας είναι ο καθηγητής Kamm, τιμής ένεκεν του οποίου τα αυτοκίνητα αυτού του τύπου ονομάστηκαν Kamm Back (ουρά Kamm). Έτσι το 1939 σχεδιάζει το K5. Το αυτοκίνητο αυτό επίσης μετρημένο από τη VW το 1979, έδωσε συντελεστή οπισθέλκουσας 0,37 με μετωπική επιφάνεια 2,17 m 2. Ο αριθμός αυτός σήμερα μπορεί να μην εντυπωσιάζει, αλλά σε σύγκριση με μοντέλα εκείνης της εποχής που μετρούσαν συντελεστή οπισθέλκουσας 0,8, με εξαίρεση το Rumpler Car που μέτρησε 0,28 όπως είδαμε και πρωτύτερα, καταλαβαίνουμε πως η τιμή που είχε πετύχει ήταν ιδιαίτερα χαμηλή. Με την κήρυξη του Β Παγκοσμίου Πολέμου έχουμε τη λήξη των αεροδυναμικών εξελίξεων με βάση τις ιδέες του Jaray. Η μοναδική που συνεχίζει σε αυτή την κατεύθυνση σχεδιασμών είναι η Citroen. Χαρακτηριστικό της παράδειγμα το DS, δημιούργημα του Ιταλού γλύπτη Flaminio Bertoni το 1955, όπου και μέτρησε συντελεστή οπισθέλκουσας 0,38 για μετωπική επιφάνεια 2,14m 2. Οι σημερινές τιμές του συντελεστή οπισθέλκουσας κυμαίνονται κατά μέσο όρο, για ένα συμβατικό όχημα, στο 0,30, με φωτεινές εξαιρέσεις τη Mercedes C-class με 0,26 και το Audi A2 με 0,25. 11

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ 2.1 Η έννοια του ρευστού σαν συνεχές μέσο Στη φύση την ύλη τη συναντούμε σε τέσσερις μορφές. Την στερεή, την υγρή, την αέρια και το πλάσμα, το οποίο διαχωρίστηκε από τα αέρια λόγο των διαφορετικών του ιδιοτήτων. Τα χαρακτηριστικά κάθε μορφής ύλης διαφέρουν από τις άλλες. Τα υγρά και τα αέρια έχουν την ιδιότητα να παραμορφώνονται συνεχώς όταν δέχονται την επίδραση διατμητικών τάσεων, δηλαδή εφαπτομενικών δυνάμεων ασκούμενων ανά μονάδα επιφάνειας του ρευστού, ανεξάρτητα από το μέγεθος αυτής. Από αυτή τους την ιδιότητα, δηλαδή τη ρευστότητα, τα υγρά και τα αέρια ονομάζονται Ρευστά. Όπως κάθε μορφή ύλης έτσι και τα ρευστά αποτελούνται από μόρια, των οποίων ο αριθμός για μια δεδομένη ποσότητα ύλης είναι υπερβολικά μεγάλος. Συγκεκριμένα ένας κύβος 1 ίντσας =2,54 cm, με αέρα σε συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας δωματίου, εμπεριέχει μόρια, το οποίο σημαίνει ότι η μελέτη της κίνησης κάθε μορίου ξεχωριστά, καθίσταται αδύνατη. Επιπρόσθετα στα περισσότερα προβλήματα που συναντούμε στην Αεροδυναμική και στις εφαρμογές της, οι γεωμετρικές διαστάσεις του προβλήματος είναι πολύ μεγαλύτερες από τις μοριακές διαστάσεις του ρευστού. Έτσι εργαζόμαστε με σωματίδια ρευστού τα οποία περιλαμβάνουν πολύ μεγάλο αριθμό μορίων. Υπολογίζουμε δηλαδή τις μέσες στατιστικές ιδιότητες, όπως πίεση, ταχύτητα κτλ, και τις μεταβολές στο χώρο και το χρόνο μεγάλου αριθμού μορίων και όχι κάθε μορίου ξεχωριστά. Οπότε μ αυτή τη θεώρηση η μοριακή (μικροσκοπική) σύσταση του ρευστού δε λαμβάνεται υπ όψιν και έτσι το ρευστό θεωρείται συνεχές μέσο. Η έννοια του συνεχούς προέρχεται από τα μαθηματικά. Για παράδειγμα όταν πούμε ότι το σύστημα των πραγματικών αριθμών είναι ένα συνεχές, εννοούμε ότι μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, υπάρχει πάντοτε κάποιος άλλος πραγματικός διάφορος απ αυτούς. Άρα με αυτόν το τρόπο διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν άπειροι 12

22 πραγματικοί αριθμοί μεταξύ δύο διακεκριμένων αριθμών. Επίσης ως συνεχές σύστημα πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί και ο χρόνος t, όπως και ο τρισδιάστατος φυσικός χώρος x, y, z ο οποίος παριστάνεται από ένα σύστημα τριών συνεχών πραγματικών μεταβλητών. Έτσι ταυτίζουμε το χρόνο και το χώρο με ένα τετραδιάστατο συνεχές. Έτσι όταν αναφερόμαστε στην έννοια του συνεχούς για την ύλη, εννοούμε τη συνεχή κατανομή της μέσα στο χώρο. Άρα για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων της Αεροδυναμικής θεωρούμε το μικρότερο δυνατό όγκο αερίου, οποίος περιέχει ένα αρκετά μεγάλο αριθμό μορίων έτσι ώστε να είναι επιτρεπτή η στατιστική μελέτη των ιδιοτήτων του και εφαρμόσιμη η έννοια του συνεχούς μέσου. Ο όγκος αυτός ορίζεται ως ρευστό σωματίδιο. Έτσι οι μακροσκοπικές ιδιότητες του ρευστού θεωρούνται ότι μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο του χώρου κατά συνεχή τρόπο. 2.2 Ιδιότητες των ρευστών Γενικά Ένα ρευστό όταν βρίσκεται σε κίνηση είναι δυνατό ποσότητες που συνδέονται με τη φύση, την κατάσταση και την κίνηση του, να μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο του χώρου, δηλαδή του πεδίου ροής, ή για το ίδιο σταθερό σημείο του πεδίου ροής να μεταβάλλονται σε σχέση με το χρόνο. Οι ποσότητες αυτές του ρευστού, με την έννοια αυτού ως συνεχούς μέσου, ορίζονται σαν χαρακτηριστικά ή ιδιότητες του ρευστού Ανάλυση των ιδιοτήτων του ρευστού Πυκνότητα ρ [kg/m 3 ] Ως Πυκνότητα ενός ρευστού ορίζουμε το πηλίκο της μάζας του ρευστού σωματιδίου διά τον όγκο που καταλαμβάνει. Οπότε σ ένα σημείο του ρευστού η πυκνότητα δίνεται από τη σχέση: ρ = = 13

23 Η πυκνότητα γενικά είναι μια συνάρτηση του χώρου και του χρόνου και εξαρτάται από την πίεση και τη θερμοκρασία. Εδώ μπορούμε να επισημάνουμε και τη διαφορά ανάμεσα στα υγρά και στα αέρια τα οποία παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά σε ενδεχόμενη μεταβολή της πίεσης και της θερμοκρασίας. Έτσι τα υγρά που υφίστανται ελάχιστη μεταβολή της πυκνότητας τους ακόμα και για μεγάλες μεταβολές πίεσης θερμοκρασίας, τα θεωρούμε ως ασυμπίεστα σε αντίθεση με τα αέρια, στα οποία μεταβάλλεται πολύ εύκολα η πυκνότητα τους και τα ονομάζουμε συμπιεστά. Ειδικός Όγκος v ή vs [m 3 /kg] Ως Ειδικός Όγκος ορίζεται το αντίστροφο της πυκνότητας, δηλαδή ο όγκος που καταλαμβάνει η μονάδα μάζας του ρευστού και υπολογίζεται από τη σχέση: v s = όπου: ρ πυκνότητα ρευστού Ειδικό Βάρος γ [N/m 3 ] Το Ειδικό Βάρος συμβολίζεται με γ ή ε και ορίζεται ως το πηλίκο του βάρους του ρευστού σωματιδίου προς τον όγκο που καταλαμβάνει και δίνεται από τη σχέση: γ = Φυσικό είναι το ειδικό βάρος ενός οποιουδήποτε ρευστού να εξαρτάται απ το αντίστοιχο πεδίο βαρύτητας. Έτσι για το γήινο βαρυτικό πεδίο το ειδικό βάρος ορίζεται από τη σχέση: γ = ρ g όπου: g = 9,806m/s 2 επιτάχυνση της βαρύτητας στο βαρυτικό πεδίο της γης 14

24 Στατική Πίεση p - Δυναμική Πίεση q [Pa=N/m 2 ] Οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε ρευστό σωματίδιο ενός ρευστού χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες. Στις Καθολικές και στις Επιφανειακές. Οι καθολικές δυνάμεις ενεργούν στο ρευστό σωματίδιο χωρίς να είναι απαραίτητο κάποιο φυσικό μέσο επαφής μ αυτό. Τέτοιες είναι οι δυνάμεις βαρύτητας και οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις, όταν πρόκειται για ηλεκτρικά αγώγιμο ρευστό. Επιφανειακές δυνάμεις τώρα είναι οι κάθετες και οι εφαπτομενικές (δηλ. τριβής) δυνάμεις, που ασκούνται σ ένα ρευστό σωματίδιο εξαιτίας των άλλων ρευστών σωματιδίων που βρίσκονται σε επαφή με αυτό. Αυτές είναι η Πίεση και η Διατμητική Τάση, την οποία και θα αναλύσουμε παρακάτω. Ως Πίεση ορίζεται η ορθή τάση που ασκείται στην στοιχειώδη επιφάνεια ενός σημείου P του ρευστού και ορίζεται από τη γενική σχέση: = Επίσης η πίεση σε ένα σημείο ειδικά για ρευστό που βρίσκεται σε στατικότητα (ακινησία), γνωστή ως Στατική Πίεση, υπολογίζεται από τη σχέση: p = γ h όπου: γ h ειδικό βάρος του ρευστού ύψος του σημείου από την ελεύθερη επιφάνεια Όταν ρεύμα ρευστού προσκρούσει κάθετα σε στερεή επιφάνεια η ταχύτητα του μηδενίζεται. Τότε παράλληλα με τη στατική αναπτύσσεται μία ακόμη πίεση ένεκα της κίνησης του ρευστού. Αυτή είναι η Δυναμική Πίεση που ονομάζεται και Κινητική Ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού, συμβολίζεται με q και δίνεται από τη σχέση: q = ρ V 2 όπου: ρ V πυκνότητα ρευστού ταχύτητα ρευστού 15

25 Αν η επιφάνεια είναι κεκλιμένη προς το ρεύμα τότε η πρόσθετη πίεση (δηλαδή η Ενεργή δυναμική πίεση) είναι η προβολή της q κάθετα στην επιφάνεια. Σύνηθες μονάδες μέτρησης της πίεσης εκτός από το N/m 2 είναι επίσης το bar και η atm όπου η αντιστοιχία είναι: 1N/m 2 = 10-5 bar = 9,87 *10-6 atm. Συμπιεστότητα Η Συμπιεστότητα είναι μια χαρακτηριστική ιδιότητα των ρευστών και αποτελεί το μέτρο της μεταβολής του όγκου ενός ρευστού, κάτω από την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Η μεταβολή του όγκου είναι συνάρτηση της ελαστικότητας που παρουσιάζει κάθε ρευστό και εκφράζεται όπως και στα στερεά από το νόμο του Hook. Έτσι ισχύει η γραμμική συνάρτηση πιέσεως και μεταβολής όγκου που δίνεται από τη σχέση: Δp = -Ε ή Δp = -K Όπου Δp η αύξηση της πίεσης του ρευστού, V 0 ο αρχικός του όγκος, ΔV/V 0 η ποσοτική μεταβολή του όγκου του ρευστού εξαιτίας της αύξησης της πίεσης, E = Κ το μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο διόγκωσης και το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η μεταβολή του όγκου είναι αρνητική, δηλαδή ότι ο όγκος μικραίνει. Όπως φαίνεται και από τη σχέση το μέτρο ελαστικότητας Ε είναι αντίστροφο της συμπιεστότητας ενός ρευστού. Άρα μεγάλο μέτρο ελαστικότητας σημαίνει μικρή συμπιεστότητα. Στα υγρά όπως έχουμε προαναφέρει η συμπιεστότητα είναι πολύ μικρή. Το νερό για παράδειγμα έχει μέτρο ελαστικότητας kp/cm 2. Άρα για ενδεχόμενη αύξηση της πίεσης κατά 1 kp/cm 2, σε δεδομένη ποσότητα νερού που καταλαμβάνει όγκο V 0, θα παρουσιασθεί σχετική μεταβολή του όγκου κατά 1/20000, δηλαδή ΔV/V 0 = 0, Τα περισσότερα υγρά συμπεριφέρονται παρόμοια με το νερό, έτσι ώστε πρακτικά να θεωρούνται ασυμπίεστα. Στα αέρια το μέτρο ελαστικότητας είναι ίσο προς την αρχική πίεση p 0 που δέχεται μια συγκεκριμένη ποσότητα αερίου V 0, όταν φυσικά η μεταβολή της κατάστασης είναι ισόθερμη. Οπότε p 0 Ε. Άρα επειδή το μέτρο ελαστικότητας είναι περίπου ίσο με την αρχική πίεση του αερίου και η συμπιεστότητα είναι αντίστροφη της p 0, η συμπιεστότητα στα αέρια θα είναι μικρότερη για μεγαλύτερες τιμές της p 0. Δηλαδή 16

26 όσο πιο μεγάλη αρχική πίεση έχει ένα αέριο τόσο πιο δύσκολα μπορούμε να το συμπιέσουμε. Τη μεταβολή της πίεσης ενός αερίου μπορούμε να την ορίσουμε και συναρτήσει της μεταβολής της πυκνότητας του. Αυτό αποδεικνύεται εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Μάζας. Έτσι αν θεωρήσουμε για αρχική κατάσταση αερίου μάζας m, ρ ο και V ο την πυκνότητα και τον όγκο του αντίστοιχα και Δρ, ΔV τις μεταβολές αυτών για μια άλλη κατάσταση του αερίου που θα έχουμε ρ και V, τότε από Αρχή Διατήρησης της Μάζας θα έχουμε: m o = m ρ ο V o = ρ V όμως, Δρ = ρ - ρ ο και ΔV = V - V o άρα: ρ ο V o = (ρ ο + Δρ) (V o + ΔV) ρ ο V o = ρ ο V o + ρ ο ΔV + ΔρV ο + ΔρΔV και επειδή ΔρΔV 0 άρα: = - Έτσι για: ΔV/V o = - Δρ/ρ ο η σχέση Δp = -Ε γίνεται: Δp = +Ε Ένα ακόμη κριτήριο ώστε να προσδιοριστεί η ροή ενός αερίου ως ασυμπίεστη ή συμπιεστή, είναι η σχέση της πυκνότητας με τον αδιάστατο αριθμό Mach (ο οποίος ορίζεται από το λόγο της ταχύτητας του αερίουv προς την ταχύτητα του ήχου α = 340 m/s, M=V/α, ή αλλιώς το λόγο των δυνάμεων αδρανείας προς τις δυνάμεις συμπιεστότητας). Η σχέση αυτή είναι: M 2 17

27 Εάν λοιπόν: 1 ή M 2 1 δηλαδή εάν M πολύ μικρότερο της μονάδας, άρα και u α, τα αποτελέσματα της συμπιεστότητας θεωρούνται αμελητέα και η ροή ασυμπίεστη. Βέβαια στην πράξη για να θεωρηθεί η ροή ως ασυμπίεστη και να γίνουν ακριβείς υπολογισμοί, πρέπει η σχετική μεταβολή της πυκνότητας ( ) να μην υπερβαίνει το 0,08. Αυτό από τις σχέσεις: M 2 και M = σημαίνει ότι η ταχύτητα της ροής (ή της πτήσης) V, δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 140 m/s. Αυτή η περιοχή πτήσεως (από m/s δηλ.) ονομάζεται περιοχή μικρών υποηχητικών ταχυτήτων και ορίζεται και σαν 0<Μ<0,4. Διατμητική Τάση τ [N/m 2 ] Η Διατμητική Τάση όπως και η πίεση, που είδαμε και πρωτύτερα, είναι οι Επιφανειακές δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε ρευστό σωματίδιο. Δηλαδή οι ορθές και οι εφαπτομενικές δυνάμεις που ασκούνται στο ρευστό σωματίδιο ένεκα επαφής του με τα άλλα ρευστά σωματίδια. Η Διατμητική Τάση λοιπόν ορίζεται ως η εφαπτομενική δύναμη που ασκείται στην στοιχειώδη επιφάνεια ενός σημείου του ρευστού και ορίζεται από τη σχέση: = Δυναμικό Ιξώδες μ [ Ns/m 2 ] Τα ρευστά, ως γνωστόν, παραμορφώνονται υπό την επίδραση διατμητικών τάσεων. Δηλαδή προκαλείται κίνηση μεταξύ των γειτονικών στρωμάτων του ρευστού, με αποτέλεσμα τη ροή αυτού. Το ρευστό όμως δύναται να προβάλει κάποια αντίσταση σε αυτή την παραμόρφωση. Αυτή η ιδιότητα του ρευστού που του δίνει τη 18

28 δυνατότητα να ανθίσταται σε διάτμηση ονομάζεται Δυναμικό Ιξώδες ή Απόλυτο Ιξώδες ή απλά Ιξώδες. Το ιξώδες αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα για κάθε ρευστό και εξαρτάται από τη σχετική κίνηση αλλά και τη φύση του ρευστού. Επίσης ορίζεται και ως Συνεκτικότητα (εσωτερική τριβή) και μεταβάλλεται με διαφορετικό τρόπο στα υγρά απ ότι στα αέρια, συναρτήσει της θερμοκρασίας. Δηλαδή για ενδεχόμενη αύξηση θερμοκρασίας το ιξώδες των υγρών μειώνεται, σε αντίθεση με των αερίων που αυξάνεται. Η αντίθετη αυτή συμπεριφορά οφείλεται στη διαφορετική μοριακή συγκρότηση μεταξύ υγρών και αερίων. Στα υγρά που το ιξώδες οφείλεται κυρίως στις δυνάμεις συνοχής, η μοριακή τους συγκρότηση είναι σχετικά σταθερή. Τα μόρια πάλλονται δηλαδή γύρω από μια θέση ισορροπίας. Λόγω επίδρασης των διατμητικών τάσεων, στρώματα του υγρού ολισθαίνουν παράλληλα με άλλα στρώματα, με αποτέλεσμα και τα μόρια κατά διαστήματα να καταλαμβάνουν καινούριες θέσεις ισορροπίας. Με την αύξηση της θερμοκρασίας του ρευστού λοιπόν, αυξάνεται και η δονητική κατάσταση των μορίων του, με αποτέλεσμα αυτά να καταλαμβάνουν καινούριες θέσεις ισορροπίας με μεγαλύτερη ευχέρεια. Αυτό σημαίνει ελάττωση της συνεκτικότητας των μορίων, δηλαδή μείωση του ιξώδους του ρευστού. Αντίθετα τα μόρια των αερίων δεν πάλλονται γύρω από μια θέση ισορροπίας, αλλά κινούνται άτακτα, συγκρουόμενα μεταξύ τους, μέσα στο χώρο που καταλαμβάνουν. Το ιξώδες στα αέρια οφείλεται στο γεγονός ότι τα μόρια που προέρχονται από μεγάλης ταχύτητας στρώματα εισέρχονται σε γειτονικά στρώματα μικρής ταχύτητας, μεταδίδοντας στα τελευταία την ορμή τους, προκαλώντας τους έτσι επιτάχυνση. Η αυτή μεταβολή της ορμής των μορίων όμως έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση των δυνάμεων εσωτερικής τριβής. Η αύξηση της θερμοκρασίας, εντείνει το φαινόμενο ανταλλαγής της ορμής μεταξύ στρωμάτων του αερίου, που βρίσκονται σε διαφορετική κινητική κατάσταση. Άρα για αύξηση της θερμοκρασίας θα αυξηθούν οι δυνάμεις εσωτερικής τριβής, δηλαδή το ιξώδες του αερίου. Όσον αφορά την πίεση, για συνηθισμένες πιέσεις το ιξώδες μένει ανεπηρέαστο και εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία. Για πολύ μεγάλες πιέσεις, το ιξώδες μεταβάλλεται ακανόνιστα με τη μεταβολή της πίεσης, στα αέρια και στα περισσότερα υγρά. 19

29 Για να καταλάβουμε καλύτερα την έννοια του ιξώδους θεωρούμε δύο πλάκες, οι οποίες έχουν μια σχετικά μικρή απόσταση μεταξύ τους, ύψους h. Επίσης η έκταση τους είναι αρκετή μεγάλη ώστε οι συνθήκες που επικρατούν στα άκρα τους να μπορούν να αγνοηθούν. Ανάμεσά τους υπάρχει κάποιο ρευστό. Η κάτω πλάκα είναι σταθερή ενώ η επάνω πλάκα δέχεται μια δύναμη F που την αναγκάζει να κινείται. Έτσι η επάνω πλάκα ασκεί μια διατμητική τάση F/A σε κάθε σημείο μεταξύ των πλακών, όπου Α το εμβαδόν της πλάκας. Τα μόρια του ρευστού που βρίσκονται σε άμεση επαφή με τα τοιχώματα έχουν την τάση να προσκολλούνται σε αυτά. Έτσι τα μόρια στην επάνω κινούμενη πλάκα έχουν την ίδια ταχύτητα με αυτήν, ενώ στην κάτω πλάκα που είναι ακίνητη τα μόρια του ρευστού είναι κι αυτά ακίνητα. Αυτό το φαινόμενο οφείλεται στις λεγόμενες Δυνάμεις Συνάφειας, δηλαδή πιο απλά τις δυνάμεις μεταξύ στερεής επιφάνειας και ρευστού. Έτσι το ρευστό ρέει από την ορθογώνια επιφάνεια (abcd), στη νέα επιφάνεια παραλληλεπίπεδης μορφής (ab c d) με κάθε σωματίδιο του ρευστού να κινείται παράλληλα προς την πλάκα, ενώ η ταχύτητα του u μεταβάλλεται ομοιόμορφα, από τη μηδενική τιμή της στην κάτω πλάκα μέχρι την μέγιστη τιμή της U στην επάνω πλάκα. Το σχήμα μας βοηθάει να κατανοήσουμε καλύτερα τι συμβαίνει. (Σχήμα ) Κατά συνέπεια διαπιστώνουμε ότι υπάρχει μια κατανομή της ταχύτητας u του ρευστού κατά τον άξονα y, αφού για y=0 έχουμε u=0 και για y=h, που είναι η απόσταση των πλακών, έχουμε u=u, δηλαδή τη μέγιστη ταχύτητα. Επίσης όπως προαναφέραμε η έκταση των πλακών θεωρείται αρκετά μεγάλη, πράγμα που σημαίνει ότι η ταχύτητα u δεν επηρεάζεται κατά μήκος της ροής, δηλ. κατά τον άξονα Χ. Πειράματα έχουν δείξει ότι η F είναι ευθέως ανάλογη του εμβαδού της επάνω πλάκας Α και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης μεταξύ των πλακών h, όταν τα άλλα μεγέθη είναι σταθερά. Αυτό εκφράζεται ως: 20

30 F = μ ή = μ Όμως F/A είναι η διατμητική τάση, άρα: τ = μ Ο λόγος U/h αποτελεί τη γωνιακή ταχύτητα του ευθύγραμμου τμήματος ab ή αλλιώς την ταχύτητα της γωνιακής παραμόρφωσης του ρευστού. Επίσης, από το σχήμα και το ορθογώνιο τρίγωνο abb που σχηματίζεται από την αρχική κατάσταση του ρευστού και την κατάσταση του ρευστού μετά την εφαρμογή της δύναμης F, παρατηρούμε ότι ο λόγος U/h είναι η εφαπτομένη της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ των πλευρών ab και ab. Την γωνία αυτή την ορίζουμε ως φ. Άρα: = =. Οπότε το λόγο U/h μπορούμε να τον εκφράσουμε και ως ταχύτητα μείωσης της γωνίας φ. Θεωρώντας τώρα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αβγδ, σε αντιστοιχία των πλευρών του με το abcd του σχήματος , στοιχειωδών διαστάσεων dx και dy (όπου αβ=γδ=dx και βγ=δα=dy) και υποθέτοντας ότι οι πλευρές αδ και βγ κινούνται αντίστοιχα με ταχύτητες u και u+du, μετά από χρόνο dt, λόγω της διαφοράς ταχύτητας du, η καινούρια θέση του αβγδ θα είναι αβ γ δ. Εξαιτίας δηλαδή αυτής της διαφοράς ταχύτητας (du), το στοιχειώδες ορθογώνιο παρ/μο παραμορφώνεται σε στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο (κατά παρόμοιο τρόπο με το σχήμα ), με μέτρο αυτής της παραμόρφωσης τη στοιχειώδη γωνία dφ. Έτσι ύστερα από χρήση γεωμετρίας καταλήγουμε στη σχέση: dφ = dt όμως επειδή η γωνία dφ αποτελεί το μέτρο παραμόρφωσης του ρευστού και όπως είναι φυσικό μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο, ο λόγος dφ/dt θα εκφράζει την ταχύτητα της γωνιακής παραμόρφωσης του ρευστού, άρα: 21

31 = Πειραματικά όμως έχει βρεθεί ότι η διατμητική τάση είναι ανάλογη προς την ταχύτητα μεταβολής της παραμόρφωσης. Δηλαδή: τ = μ Έτσι εξισώνοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε τη διαφορική εξίσωση: τ = Η σχέση αυτή αποτελεί το Νόμο Ιξώδους του Νεύτωνα και συνδέει τη διατμητική τάση με τη γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού για μια μονοδιάστατη ροή ρευστού. Λύνοντας ως προς μ έχουμε τη σχέση υπολογισμού του ιξώδους, η οποία ορίζεται ως: μ = όπου: τ διατμητική τάση ταχύτητα γωνιακής παραμόρφωσης Τέλος αναφέρουμε τον αδιάστατο αριθμό Reynolds (ο οποίος θα αναλυθεί με περισσότερες λεπτομέρειες σε επόμενο κεφάλαιο), που ορίζεται ως ο λόγος των δυνάμεων αδρανείας προς τις δυνάμεις του ιξώδους. Η σχέση που ισχύει είναι: Re = όπου: ρ V l μ πυκνότητα ρευστού ταχύτητα ρευστού χαρακτηριστικό μήκος του σώματος ιξώδες 22

32 Κινηματικό Ιξώδες ν [ m 2 /s] Σαν Κινηματικό Ιξώδες ορίζουμε το λόγο του δυναμικού ιξώδους προς την πυκνότητα που δίνεται από τη σχέση: ν = Την έννοια αυτή τη συναντούμε σε πολλά προβλήματα ροής όπου αλληλεπιδρούν δυνάμεις αδρανείας και δυνάμεις τριβής. Το κινηματικό ιξώδες των υγρών μεταβάλλεται κατά παρόμοιο τρόπο με το δυναμικό ιξώδες, σε σχέση με τη θερμοκρασία. Αυτό διότι στα υγρά, όπως έχουμε αναφέρει, για ενδεχόμενη αύξηση της θερμοκρασίας θα μειωθεί ελάχιστα η πυκνότητα τους, πράγμα που σημαίνει ότι δεν θα επηρεάσει σημαντικά το κινηματικό ιξώδες. Στα αέρια όμως το ν αυξάνεται πολύ γρήγορα με την αύξηση της θερμοκρασίας, αφ ενός μεν γιατί αυξάνεται το ιξώδες, αφετέρου δε γιατί μειώνεται η πυκνότητα. Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε ότι το δυναμικό ιξώδες σε συνηθισμένες πιέσεις παραμένει αμετάβλητο, ενώ για πολύ μεγάλες πιέσεις μεταβάλλεται ακανόνιστα στα αέρια και στα περισσότερα υγρά, πράγμα που σημαίνει ότι και το κινηματικό ιξώδες θα μεταβάλλεται ακανόνιστα για τις αντίστοιχες συνθήκες. Για μικρές αυξήσεις της πίεσης τώρα, το κινηματικό ιξώδες παραμένει στην ουσία αμετάβλητο στα υγρά, διότι το δυναμικό ιξώδες παραμένει αμετάβλητο και η πυκνότητα αυξάνεται μηδαμινά, ώστε να θεωρείται και αυτή αμετάβλητη, ενώ στα αέρια μειώνεται, δεδομένου ότι η πυκνότητα των αερίων αυξάνεται. Όσον αφορά τον αριθμό Re, η σχέση που ισχύει είναι: Re = όπου: V l ν ταχύτητα ρευστού χαρακτηριστικό μήκος του σώματος κινηματικό ιξώδες 23

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΕΡΙΑ ΚΑΙ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ 3.1 Ατμόσφαιρα Γενικά Τα αέρια αποτελούν την απλούστερη μορφή ύλης και κύριο χαρακτηριστικό τους είναι ότι τα μόρια τους παρουσιάζουν μεγάλη ευκινησία. Σαν ρευστά που είναι παρουσιάζουν τις περισσότερες ιδιότητες των υγρών όπως: Έχουν βάρος Ασκούν πιέσεις στα τοιχώματα Προκαλούν άνωση στα σώματα που βρίσκονται μέσα σ αυτά Παράλληλα όμως παρουσιάζουν και άλλες ιδιότητες χαρακτηριστικές γι αυτά, οι οποίες και αποτελούν την αιτία της ξεχωριστής μελέτης αυτών. Οι ιδιότητες αυτές αναφέρονται στο γεγονός ότι τα αέρια δεν έχουν καθορισμένο όγκο αλλά προσπαθούν να καταλάβουν όλο το χώρο που τους προσφέρεται και ότι είναι πάρα πολύ συμπιεστά σε σχέση με τα υγρά Σύσταση της ατμόσφαιρας Όπως είναι γνωστό, ατμόσφαιρα ονομάζουμε το αέριο περίβλημα που βρίσκεται γύρω από τη γη, δηλαδή τον ατμοσφαιρικό αέρα. Ο ατμοσφαιρικός αέρας αποτελείται από διάφορα αέρια, βασικότερα εκ των οποίων είναι το άζωτο και το οξυγόνο, όπου και αντιπροσωπεύουν το 99,032% του όγκου του. Η κανονική σύνθεση του καθαρού, στεγνού ατμοσφαιρικού αέρα κοντά στην επιφάνεια της θάλασσας παρουσιάζεται στον πίνακα , όπου δεν περιλαμβάνονται οι υδρατμοί, τα σωματίδια σκόνης 24

34 κλπ. Οι υδρατμοί, αν και είναι εξαιρετικά ευμετάβλητο συστατικό, εκτιμάται ότι βρίσκονται σε ποσοστό μόνο 0,41% επί του συνολικού όγκου. (Πίνακας : Κανονική σύνθεση του καθαρού, στεγνού ατμοσφαιρικού αέρα σε επίπεδο θαλάσσης.) Από τα 90 km και πάνω τα διάφορα αέρια αρχίζουν να διαχωρίζονται ανάλογα με τις αντίστοιχες πυκνότητες τους. Έτσι έχουμε σε αύξουσα σειρά υψηλές συγκεντρώσεις οξυγόνου, ηλίου και υδρογόνου, που είναι και το ελαφρύτερο από όλα τα αέρια. Η συμπεριφορά ενός αεροδυναμικού σώματος που βρίσκεται μέσα σε ένα κινούμενο ρευστό, θα εξαρτάται, όπως είναι λογικό, από τις φυσικές ιδιότητες αυτού του ρευστού. Τα αεροσκάφη κινούνται μέσα στην ατμόσφαιρα και επομένως μια λεπτομερειακή γνώση των φυσικών ιδιοτήτων του αέρα είναι ουσιαστική για την κάθε μελέτη συμπεριφορά του αεροσκάφους. Έτσι με την προϋπόθεση ότι η ατμόσφαιρα μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα ρευστό το οποίο βρίσκεται ουσιαστικά σε ηρεμία, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αεροστατική θεωρία για να 25

35 υπολογίσουμε αυτές τις μακροσκοπικές ιδιότητες, σπουδαιότερες εκ των οποίων είναι η Θερμοκρασία, η Πίεση, η Πυκνότητα, το Ιξώδες και η Ταχύτητα του Ήχου. Οι ιδιότητες αυτές επηρεάζονται από το ύψος, τον τόπο αλλά και το χρόνο, δηλαδή την ώρα και την εποχή Στρώματα της Ατμόσφαιρας Την ατμόσφαιρα κατά κύριο λόγο μπορούμε να τη χωρίσουμε σε: Τροπόσφαιρα Από 0 ύψος μέχρι 11 km, όπου και η τροπόπαυση. Η Τροπόσφαιρα είναι το σημαντικότερο ατμοσφαιρικό στρώμα, πρώτον στην αεροναυπηγική, λόγω του ότι τα περισσότερα αεροσκάφη πετούν σ αυτή την περιοχή, και δεύτερον για το ότι όλα τα καιρικά φαινόμενα συμβαίνουν σ αυτό το στρώμα. Στρατόσφαιρα Από τροπόπαυση μέχρι 50 km, όπου και η στρατόπαυση. Μεσόσφαιρα Από στρατόπαυση μέχρι 80 km, όπου και η μεσόπαυση. Ιονόσφαιρα ή Θερμόσφαιρα Από μεσόπαυση μέχρι 800 km, όπου η θερμόπαυση. Εξώσφαιρα Από θερμόπαυση μέχρι 3500 km. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τα στρώματα της ατμόσφαιρας, καθώς και τις μεταβολές των ιδιοτήτων της (θερμοκρασία, πίεση, πυκνότητα, ταχύτητα ήχου) συναρτήσει του ύψους. 26

36 (Σχήμα : Διακυμάνσεις ιδιοτήτων της ατμόσφαιρας) 27

37 3.2 Διεθνής Τυποποιημένη Ατμόσφαιρα International Standard Atmosphere (I.S.A.) Γενικά Οι επιδόσεις ενός αεροσκάφους εξαρτώνται απόλυτα από τις φυσικές ιδιότητες του αέρα, όπως αναφέραμε και πρωτύτερα. Επίσης ότι οι τιμές αυτών των ιδιοτήτων μεταβάλλονται όχι μόνο με το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας αλλά και με τον τόπο και το χρόνο. Οπότε για τη βαθμονόμηση σε όργανα μέτρησης υψομέτρου και πίεσης των αεροσκαφών, το σχεδιασμό τους, αλλά και για τους υπολογισμούς των επιδόσεων τους, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την κατανομή αυτών των ποσοτήτων (θερμοκρασία, πίεση, πυκνότητα, ιξώδες, κινηματικό ιξώδες, ταχύτητα του ήχου), για όμοιες ατμοσφαιρικές συνθήκες. Για το σκοπό αυτό στην Αεροναυτική, αλλά και στη Μετεωρολογία, υπάρχουν πολλές τυποποιημένες ατμόσφαιρες, διεθνείς και εθνικές. Μία απ αυτές είναι η Διεθνής Τυποποιημένη Ατμόσφαιρα (ISA), με την οποία καθιερώνεται, για όλες τις χώρες, ένα ενιαίο σύστημα τιμών για τις ατμοσφαιρικές συνθήκες που επικρατούν σε διάφορα ύψη. Οι τιμές αυτές έχουν εξαχθεί σαν μέσος όρος των τιμών των ατμοσφαιρικών συνθηκών που επικρατούν στο μεγαλύτερο μέρος του έτους σε εύκρατα πλάτη, όπως είναι η Ευρώπη και η Βόρεια Αμερική Τυποποίηση Η τυποποίηση των μεγεθών κατά την Διεθνή Τυποποιημένη Ατμόσφαιρα, στην επιφάνεια της θάλασσας έχει ως εξής: Θερμοκρασία Το = 288,2 0 Κ 15,2 0 C. Με αύξηση του ύψους μέχρι και τα 11 km, δηλαδή στην τροπόσφαιρα, η θερμοκρασία ελαττώνεται με μία σταθερή τιμή, η οποία ονομάζεται Θερμοβαθμίδα Ελαττώσεως (Lapse Rate) και συμβολίζεται με το λ. Για την τυποποιημένη ατμόσφαιρα λ=6,5 0 Κ/km και δίνεται από τη σχέση λ = - και επειδή το λ είναι σταθερό θα έχουμε Τ = Τ ο - λh. 28

38 Πίεση Pο= N/m 2. Η πίεση από το γεγονός ότι οφείλεται στο βάρος του αέρα ελαττώνεται με το ύψος. Στην τροπόπαυση η πίεση έχει περίπου το 1/5 της αρχικής της τιμής. Πυκνότητα ρο = 1,255 kg/m 3. Η πυκνότητα επίσης ελαττώνεται με το ύψος, με την τιμή της στην τροπόπαυση να είναι περίπου στο 1/3 της αρχικής. Ιξώδες μο=1,79*10-5 Νs/m 2. Ο συντελεστής ιξώδους για κάθε αέριο, όπως έχουμε προαναφέρει, εξαρτάται από τη θερμοκρασία του και αυξάνεται με την αύξηση της. Έτσι το ιξώδες ελαττώνεται σταθερά με την αύξηση του ύψους, μέχρις ότου φτάσει η τροπόπαυση, όπου τότε έχει την τιμή μ=1,42*10-5 Νs/m 2. Κινηματικό Ιξώδες νο= 1,46*10-5 m 2 /s. Λόγω του ότι το κινηματικό ιξώδες είναι συνάρτηση του ιξώδους και της πυκνότητας (ν=μ/ρ), η μεταβολή του με το ύψος θα εξαρτάται από τη μεταβολή αυτών των μεγεθών. Έτσι το κινηματικό ιξώδες αυξάνεται με το ύψος στην τροπόσφαιρα. Αυτό συμβαίνει διότι στην τροπόσφαιρα ελαττώνεται με το ύψος τόσο το ιξώδες αλλά πολύ περισσότερο η πυκνότητα, άρα θα αυξάνεται ο λόγος μ/ρ, οπότε θα αυξάνεται το ν. Ταχύτητα του Ήχου αο= 340 m/s. Εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία του αέρα. Έτσι στην τροπόσφαιρα ελαττώνεται σταθερά με το ύψος μέχρι την τροπόπαυση όπου και έχει την τιμή α=295 m/s. Επιτάχυνση της Βαρύτητας gο = 9,807 m/s 2. Η χρησιμότητα της καθιέρωσης της Τυποποιημένης Ατμόσφαιρας έγκειται στο γεγονός ότι, με την βοήθεια σχέσεων της Θερμοδυναμικής, οι οποίες μας παρέχουν την μεταβολή των διαφόρων μεγεθών και με προκαθορισμένες τις τιμές των καταστατικών μεγεθών στα εκάστοτε ύψη αναφοράς, είναι δυνατός ο υπολογισμός των μεγεθών αυτών για τα ενδιάμεσα ύψη. Οι τιμές των προκαθορισμένων μεγεθών συναρτήσει του ύψους δίνονται στον παρακάτω πίνακα, όπως δημοσιεύεται στις εκδόσεις της τυποποιημένης ατμόσφαιρας. 29

39 (Πίνακας ) 30

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΙΚΡΩΝ ΥΠΟΗΧΗΤΙΚΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ (ΥΠΟΗΧΗΤΙΚΗ ΠΤΗΣΗ) 4.1 Κινηματική των ρευστών Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τα είδη και τα χαρακτηριστικά της ροής, καθώς και με τις Βασικές Αρχές που διέπουν αυτές. Πρώτιστα όμως κρίνεται αναγκαία η αναφορά στη μελέτη της κίνησης του αέρα, καθώς και τις μεθόδους που έχουν αναπτυχθεί γύρω από αυτή τη μελέτη. Για τη μελέτη της κίνησης του αέρα λοιπόν, έχουν αναπτυχθεί δύο μέθοδοι. Αυτές είναι η Μικροσκοπική Μέθοδος ή Μέθοδος του Lagrange και η Μακροσκοπική Μέθοδος ή Μέθοδος του Eüler. Με τη μέθοδο του Lagrange παρακολουθείται η χρονική ιστορία καθενός σωματιδίου του ρευστού, δηλαδή η τροχιά, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του. Οπότε είναι απαραίτητο να καθορίσουμε τη θέση του σε μία δεδομένη χρονική στιγμή t και κατόπιν να παρακολουθούμε τις διαδοχικές του θέσεις, σε μεταγενέστερους χρόνους. Η μέθοδος του Lagrange όμως δεν μας δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα στη μελέτη της κίνησης των ρευστών. Αυτό διότι κατά την μελέτη αυτών, δεν ενδιαφερόμαστε για την συμπεριφορά καθενός σωματιδίου ξεχωριστά, αλλά για τις σχέσεις των ιδιοτήτων των ρευστών σε διάφορα σημεία του πεδίου ροής και τις μεταβολές αυτών με το χρόνο. Έτσι καταλήγουμε στη μέθοδο του Eüler. Με την μέθοδο αυτή μελετάμε τα χαρακτηριστικά της ροής γύρω από ένα σταθερό σημείο, καθώς τα ρευστά σωματίδια διέρχονται απ αυτό και τις μεταβολές των διαφόρων μεγεθών (ταχύτητας, πίεσης, πυκνότητας κλπ), οι οποίες λαμβάνουν χώρα σ αυτό το σημείο. 31

41 4.1.2 Εξισώσεις κίνησης Ταχύτητα του αέρα Η ταχύτητα του αέρα υπολογίζεται συναρτήσει των τριών Καρτεσιανών συντεταγμένων τηςu,υ,w. Έτσι ισχύει η σχέση: = u + υ + w = + + Επιτάχυνση του αέρα Η γενική σχέση της επιτάχυνσης του αέρα είναι: = + + Οι γενικές εκφράσεις της επιτάχυνσης του αέρα κατά Eüler είναι: = + u + υ + w = + u + υ + w = + u + υ + w Για τις εκφράσεις τη Ολικής Παραγώγου κατά τον Stokes έχει δοθεί ο συμβολισμός D/Dt. Έτσι έχουμε: = + u + υ + w = + u + υ + w = + u + υ + w 32

42 Αυτές είναι οι εκφράσεις της Ολικής ή Υλικής Παραγώγου και για τις τρεις συνιστώσες τις ταχύτητας. Υλική διότι παρακολουθεί την ύλη κατά την κίνηση της. Αυτή αποτελείται από δύο μεταβολές. Την Τοπική Μεταβολή, η οποία συνδέει την μεταβολή της ταχύτητας με τον χρόνο κατά μία διεύθυνση στο χώρο και την Μεταθετική Μεταβολή, που συνδέει τις μεταβολές της ταχύτητας με το χώρο, γνωστή και ως Μεταθετική Επιτάχυνση. Για παράδειγμα στην πρώτη εξίσωση η Τοπική Μεταβολή είναι η και η Μεταθετική Μεταβολή είναι η u + υ + w. Στην περίπτωση τώρα που όλες οι συνιστώσες της τοπικής μεταβολής είναι μηδενικές, δηλαδή αν: = = = 0 ή = 0 τότε η ροή ονομάζεται Μόνιμη. Σ αυτή την περίπτωση η ταχύτητα μπορεί να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο του χώρου, αλλά για κάθε σημείο παραμένει αμετάβλητη σε σχέση με το χρόνο. Στην περίπτωση που οι συνιστώσες της Τοπικής Μεταβολής δεν είναι μηδενικές, δηλαδή αν: = = 0 ή 0 τότε η ροή ονομάζεται Μεταβαλλόμενη. Εάν τώρα όλες οι συνιστώσες της Μεταθετικής Επιτάχυνσης είναι μηδενικές, δηλαδή αν: u + υ + w = 0 u + υ + w = 0 u + υ + w = 0 τότε η ροή ονομάζεται Ομοιόμορφη. Δηλαδή τα διανύσματα της ταχύτητας σε κάθε σημείο του πεδίου ροής, είναι παράλληλα μεταξύ τους και δεν υπάρχει μεταβολή της ταχύτητας κατά μήκος της διεύθυνσης της ροής. Αντίθετα αν: 33

43 u + υ + w 0 u + υ + w 0 u + υ + w 0 τότε η ροή ονομάζεται Ανομοιόμορφη. Από αυτή την ανάλυση διαπιστώνουμε ότι οι όροι Μόνιμη Μεταβαλλόμενη συνδέονται με μεταβολές ταχύτητας με τον χρόνο, ενώ οι όροι Ομοιόμορφη Ανομοιόμορφη ροή με μεταβολές της ταχύτητας με το χώρο. 4.2 Ασυμπίεστη ροή χωρίς τριβή Γενικά Η σημερινή εξέλιξη των φαινομένων που σχετίζονται με την Αεροδυναμική, έχει σαν αποτέλεσμα την διαίρεση αυτής σε δύο βασικά μέρη. Έτσι έχουμε την Υποηχητική Αεροδυναμική και την Υπερηχητική Αεροδυναμική, οι οποίες διαχωρίζονται ανάλογα με την ταχύτητα πτήσεως, η οποία είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη αντίστοιχα, από την ταχύτητα του ήχου. Για την υποηχητική αεροδυναμική ένα άλλο μέγεθος το οποίο επηρεάζει την μελέτη των φαινομένων αυτής και το οποίο εξαρτάται πάλι από την ταχύτητα πτήσεως, είναι η πυκνότητα του αέρα. Έτσι για ταχύτητες πτήσεως κάτω των 136 m/s, οι μεταβολές της πυκνότητας θεωρούνται αμελητέες. Αυτό ισοδυναμεί με την παραδοχή του αέρα σαν ασυμπίεστου, πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε σημαντική απλούστευση των φαινομένων. Για ταχύτητες άνω των 136 m/s και μάλιστα όταν το ύψος πτήσης είναι μεγάλο, ο αέρας πρέπει να θεωρείται όπως πραγματικά είναι, δηλαδή συμπιεστός. Έτσι η Υποηχητική αεροδυναμική χωρίζεται στην Υποηχητική Μικρών Ταχυτήτων (Ασυμπίεστη Ροή με και χωρίς Τριβή) και στην Υποηχητική Μεγάλων Ταχυτήτων ή Διηχητική Περιοχή (Συμπιεστή Ροή). Επίσης αναφέρουμε ότι όλες οι περιοχές επηρεάζονται από τις δυνάμεις τριβής που αναπτύσσονται κατά την 34

44 κίνηση του σώματος μέσα στον αέρα, εξαιτίας του ιξώδους (συνεκτικότητας) του. Η ύπαρξη του ιξώδους επιδρά στην επίδοση της πτήσης και επομένως θα πρέπει να λαμβάνεται υπ όψη στη μελέτη αυτής. Σ αυτή την ενότητα λοιπόν, θα αναπτύξουμε τους νόμους και τις εξισώσεις κίνησης του αέρα, θεωρώντας την ροή αυτού ασυμπίεστη (ρ=σταθ.) και χωρίς τριβές (μ=0). Στην πραγματικότητα βέβαια, όπως αναφέραμε και πρωτύτερα, το ιξώδες του αέρα είναι πολύ μικρό αλλά όχι μηδέν. Επομένως θα έχει μία σχετική επίδραση επί των μεγεθών της ροής, όπως την ταχύτητα, την επιτάχυνση κλπ. Το σφάλμα όμως που προκύπτει στα αποτελέσματα αυτών των μεγεθών είναι σχετικά μικρό, έτσι ώστε η υπόθεση της ιδανικής ροής να είναι δικαιολογήσιμη. Άλλωστε η περιοχή της ροής μέσα στην οποία εμφανίζονται οι δυνάμεις τριβής, είναι πάρα πολύ μικρή (Οριακό Στρώμα) και επομένως η επίδραση της στην κίνηση είναι κατά κανόνα περιορισμένη Θεμελιώδεις Αρχές Διατύπωση Η μελέτη των κινηματικών και δυναμικών χαρακτηριστικών της ροής του αέρα βασίζεται σε ορισμένες αρχές ή παγκόσμιους φυσικούς νόμους, οι οποίοι έχουν διατυπωθεί σαν συμπέρασμα φυσικών παρατηρήσεων και εμπειρίας. Οι αρχές αυτές είναι οι: Αρχή Διατήρησης της Μάζας Αρχή Διατήρησης της Ορμής Αρχή διατήρησης της Ενέργειας Οι νόμοι αυτοί έχουν αξιωματική διατύπωση και αποτελούν τις αρχές πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η αεροδυναμική και αποδεικνύονται έμμεσα, με σύγκριση των αποτελεσμάτων της μαθηματικής ανάλυσης και των πειραματικών δεδομένων. Εξίσωση της Συνέχειας Η μάζα όπως είναι γνωστό αποτελεί το ποσοτικό μέτρο της ύλης και δεν μπορεί ούτε να δημιουργηθεί, ούτε να εξαφανισθεί, σύμφωνα με τις αρχές της Κλασσικής Μηχανικής. Κατά την κίνηση του αέρα η μάζα μεταφέρεται από την μία θέση στην 35

45 άλλη παραμένοντας όμως αναλλοίωτη. Έτσι για στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο του αέρα διαστάσεων dx, dy, dz, η Αρχή Διατήρησης της Μάζας εκφράζεται από τη σχέση: = 0 ή = 0 ( ) dxdydzdt = = 0 Κι επειδή αναφερόμαστε για την περίπτωση της μόνιμης ασυμπίεστης ροής η παραπάνω σχέση γίνεται: + + = 0 Όπου το εκφράζει ένα σύνολο μάζας καθορισμένης οντότητας και την ολική μεταβολή ανά μονάδα χρόνου (παράγωγο). Όταν σε μια περιοχή του χώρου, μέσα στον οποίο κινείται αέρας, δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες, η αρχή της διατήρησης της μάζας λαμβάνει εξαιτίας της κινήσεως του αέρα μία έκφραση η οποία ονομάζεται Εξίσωση Συνέχειας. Έτσι για συγκεκριμένο αγωγό η μάζα του αέρα που διέρχεται από μια διατομή του στη μονάδα του χρόνου, λέγεται παροχή και είναι σταθερή κατά μήκος του αγωγού. Άρα για εμβαδόν διατομής Α, ταχύτητα του αέρα V και πυκνότητα του αέρα ρ, η παροχή εκφράζεται ως: Q = ραv Για ασυμπίεστη ροή (ρ=σταθερό), γίνεται: Q = ΑV Λαμβάνοντας τώρα αγωγό μεταβλητής διατομής, όπως στο σχήμα , συμπεριλαμβανομένου ότι στα τοιχώματα του αγωγού δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες, ισχύει σύμφωνα με την αρχή διατήρησης μάζας, ότι η παροχή αέρα θα 36

46 είναι ίδια και στις δύο διατομές. Αυτή η αρχή ορίζεται ως Εξίσωση της Συνέχειας και δίνεται από τον τύπο: Q = ρ 1 Α 1 V 1 = ρ 2 Α 2 V 2 Για ασυμπίεστη ροή (ρ=σταθερό), γίνεται: Q = Α 1 V 1 = Α 2 V 2 (Σχήμα : Αγωγός μεταβλητής διατομής) Εξισώσεις του Eüler Οι εξισώσεις του Eüler είναι οι γενικές εξισώσεις κινήσεως του αέρα, όταν αγνοούνται οι δυνάμεις τριβής (μηδενικό ιξώδες) και ισχύουν για συμπιεστή και ασυμπίεστη ροή. Οι εξισώσεις αυτές είναι απόρροια της Αρχής Διατήρησης της Ορμής και εξάγονται από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής (df = α dm), λαμβάνοντας υπ όψιν όλες τις δυνάμεις που ενεργούν σ ένα στοιχειώδες παρ/δο του αέρα, εκτός των δυνάμεων τριβής. Η εξίσωση κίνησης του Eüler, κατά τις τρεις διευθύνσεις της ροής, σε διανυσματική μορφή, δίνεται από τη σχέση: ρ = grad p 37

47 Δεδομένου ότι η ταχύτητα και η δύναμη μάζας ανά μονάδα όγκου είναι, =u +υ +w και =Χ +Υ +Ζ αντίστοιχα, σε σύστημα τρισορθογωνίων καρτεσιανών συντεταγμένων οι εξισώσεις του Eüler είναι: ρ = X - ρ = Y - ρ = Z - Και επειδή ο τελεστής του Stokes είναι: = + u + υ + w, οι εξισώσεις του Eüler λαμβάνουν τη μορφή: ρ ( + u + υ + w ) = X - ρ ( + u + υ + w ) = Y - ρ ( + u + υ + w ) = Z - Το σύστημα αυτό των τριών διαφορικών εξισώσεων μαζί με την εξίσωση της συνέχειας + + = 0, αποτελεί ένα σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, δηλαδή τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας u, υ, w και την πίεση p. Οι εξισώσεις αυτές είναι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτου βαθμού. Η μη γραμμικότητα αυτών, που προέρχεται από τους όρους u, υ, κ.τ.λ., δυσκολεύει την επίλυση του συστήματος και για τον λόγο αυτό λίγες μόνο λύσεις αυτών είναι γνωστές. 38

48 Εξίσωση Bernoulli Η εξίσωση Bernoulli είναι η εφαρμογή της Αρχής Διατήρησης Ενέργειας συνδέοντας την στατική πίεση p με την δυναμική πίεση q (ή αλλιώς κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού) και ισχύει για τα σημεία μίας και μοναδικής ρευματικής γραμμής. Το συνολικό ποσό της ενέργειας ανά μονάδα όγκου του αέρα, δηλαδή το άθροισμα της στατικής πίεσης p και της δυναμικής πίεσης q, πρέπει να παραμένει σταθερό όταν δεν προστίθεται ή αφαιρείται ενέργεια. Το άθροισμα αυτό (p + q), ονομάζεται ολική πίεση p t (total). Έτσι για παράδειγμα όταν λόγω αλλαγής της διατομής ενός αγωγού ή λόγω παρουσίας ενός στερεού σώματος, προκαλείται στένωση των ρευματικών γραμμών της ροής, μεταβάλλεται η ταχύτητα ροής V, και επομένως μεταβάλλεται η q. Άρα θα υπάρχει αντίθετη μεταβολή της p, ώστε p + q = σταθερό. Ο νόμος του Bernoulli δεν ισχύει όπως είπαμε σε περίπτωση που προστίθεται ή αφαιρείται ενέργεια. Έτσι δεν έχει εφαρμογή π.χ. στην μπροστινή πλευρά μιας περιστρεφόμενης έλικας ή ενός ανεμιστήρα. Επίσης δεν ισχύει μέσα στις περιοχές του οριακού στρώματος και του αναβρασμού του πεδίου ροής, διότι μέρος της κινητικής ενέργειας του αέρα μετατρέπεται σε θερμότητα. Η εξίσωση Bernoulli για ασυμπίεστη ροή (0<Μ<0,4) ορίζεται ως: p + q + ρgh = p + ρv 2 /2 + γh = σταθερό όπου: γ h ειδικό βάρος του αέρα η διαφορά ύψους μεταξύ των δύο σημείων 4.3 Ασυμπίεστη ροή με τριβή Γενικά Προηγουμένως ασχοληθήκαμε με την μελέτη των νόμων της ασυμπίεστης ροής χωρίς τριβή. Τώρα θα αναλύσουμε τους νόμους και τις συνθήκες πάνω στις οποίες πραγματοποιείται η ασυμπίεστη ροή με τριβή. Σε αντίθεση με τη ροή χωρίς τριβή όπου μεταξύ των στρωμάτων του αέρα, που έρχονται σε επαφή μεταξύ τους, εμφανίζονται μόνο κάθετες δυνάμεις (πιέσεις), στη 39

49 ροή με τριβή υπάρχουν και εφαπτομενικές δυνάμεις (διατμητικές τάσεις). Αυτές οι δυνάμεις (τριβής) προκαλούν συνάφεια, μεταξύ των μορίων του αέρα και των στερεών ορίων που έρχονται σε επαφή. Αποτέλεσμα αυτού λοιπόν είναι να μηδενίζεται και η κάθετη επί το στερεό όριο συνιστώσα της ταχύτητας (ακίνητο μόριο), αλλά και η εφαπτομενική συνιστώσα αυτής (συνθήκη συνάφειας ή μη ολίσθησης) Θεμελιώδεις Αρχές Η ροή αυτή, όπως και στην περίπτωση της ασυμπίεστης χωρίς τριβές ροή, θα διέπεται από τις θεμελιώδεις βασικές αρχές, δηλαδή την Αρχή Διατήρησης της Μάζας, την Αρχή Διατήρησης της Ορμής και την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας. Η πρώτη εκφράζεται, όπως είναι γνωστό, από την Εξίσωση της Συνέχειας (Q=Α 1 V 1 =Α 2 V 2 ), την οποία και αποδείξαμε προηγουμένως, και που ισχύει και στην περίπτωση της ροής με τριβή. Η δεύτερη μας παρέχει τις εξισώσεις κίνησης του αέρα, γνωστές και ως εξισώσεις Navier Stokes, οι οποίες για την περίπτωση μιας ασυμπίεστης τρισδιάστατης ροής, σε ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνονται από τις σχέσεις: ρ ( + u + υ + w ) = X - + μ ( + + ) ρ ( + u + υ + w ) = Y - + μ ( + + ) ρ ( + u + υ + w ) = Z - + μ ( + + ) Σημειώνουμε εδώ ότι οι εξισώσεις Eüler που είδαμε στην περίπτωση της ασυμπίεστης ροής χωρίς τριβή, είναι μερική περίπτωση των εξισώσεων Navier Stokes και διαφέρουν από αυτές μόνο κατά τον όρο της συνεκτικότητας. Άρα όπως οι εξισώσεις του Eüler, έτσι και οι εξισώσεις Navier Stokesείναι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, η μη γραμμικότητα των οποίων δυσκολεύει την επίλυση τους. Οι εξισώσεις Navier Stokes μαζί με την εξίσωση της 40

50 συνέχειας + + = 0, αποτελούν ένα σύστημα 4 διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, 4 αγνώστων (τρεις συνιστώσες της ταχύτητας και την πίεση p), οι οποίοι και πρέπει να καθοριστούν, αφού πρωτύτερα καθοριστούν οι οριακές συνθήκες και η αρχική συνθήκη. Με βάση τις εξισώσεις του Eüler, όπου η επίλυση τους αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης στα τέλη του 1800, την εποχή της λεγόμενης Κλασσικής Αεροδυναμικής, δόθηκε η αφορμή να τεθεί το εξής ερώτημα. Γιατί όταν αυτές εφαρμόζονται σε ρευστά πολύ μικρού ιξώδους, όπως ο αέρας, οι λύσεις που δίνουν δεν προσεγγίζουν τα αποτελέσματα των πειραμάτων, ή πιο απλά πόσο μικρό πρέπει να είναι το ιξώδες ενός ρευστού ώστε να είναι δυνατή η παράβλεψη των δυνάμεων ιξώδους ώστε από τις εξισώσεις Navier Stokes να καταλήξουμε στις εξισώσεις του Eüler και επιλύοντας τες να βρούμε ορθά αποτελέσματα. Την απάντηση έδωσε ο Prandtl το 1904, ο οποίος και θεωρείται ο θεμελιωτής της Σύγχρονης Αεροδυναμικής. Κατά τον Prandtl οι δυνάμεις ιξώδους εμφανίζονται σε μια μικρή περιοχή κοντά στο στερεό όριο, μέσα στην οποία είναι αδύνατο να παραληφθούν όσο μικρές κι αν είναι. Την περιοχή αυτή την ονόμασε Οριακό Στρώμα, την οποία και θα αναλύσουμε μετέπειτα, και επισήμανε ότι εκτός αυτής της περιοχής οι δυνάμεις ιξώδους δεν επηρεάζουν τη ροή του ρευστού. Ολοκληρώνοντας αναφέρουμε ότι στη ροή με τριβή σημαντικό ρόλο παίζει η Αρχή Διατήρησης Ενέργειας, η οποία εδώ εκφράζεται από την εξίσωση ενέργειας, η οποία και απορρέει από το Α Θερμοδυναμικό Αξίωμα. Από τη Θερμοδυναμική είναι γνωστό ότι αν προσφέρουμε θερμότητα σε ένα σώμα, ένα μέρος της αυξάνει την εσωτερική ενέργεια του σώματος (κινητική ενέργεια των μορίων) και το υπόλοιπο μετατρέπεται σε έργο. Έτσι το Α Θερμοδυναμικό Αξίωμα εκφράζεται ως: dq = du + dw όπου: dq du dw θερμότητα που προσφέρουμε μεταβολή εσωτερικής ενέργειας σώματος παραγόμενο έργο Λόγω του ότι η πυκνότητα των ρευστών μεταβάλλεται από την θερμοκρασία, είναι φυσικό η θερμότητα να επηρεάζει τη ροή πολύ περισσότερο δε, όταν στη μελέτη 41

51 αυτής συμπεριλαμβάνονται οι δυνάμεις τριβής. Έτσι η εξίσωση ενέργειας για δισδιάστατη ασυμπίεστη ροή με τριβή δίνεται από τη σχέση: ρc ( + u + υ ) = K ( + ) + μ [ 4 ( ) 2 + ( + ) 2 ] όπου: c ειδική θερμότητα του αέρα Κ θερμική αγωγιμότητα αέρα Τ θερμοκρασία αέρα Αρχή της Δυναμικής Ομοιότητας Προσδιορισμός της Δυναμικής Ομοιότητας Οι εξισώσεις Navier Stokesπου είδαμε μέχρι τώρα στη γενική τους μορφή, είναι αρκετά πολύπλοκες, με αποτέλεσμα να μην έχει βρεθεί μέχρι σήμερα μια μέθοδος που να δίνει αναλυτική λύση για όλες τις περιπτώσεις των ροών. Έτσι κρίθηκε απαραίτητος ο σχεδιασμός πειραμάτων, τόσο για την απόκτηση απαντήσεων σε ότι αφορά μεγέθη χρήσιμα στην τεχνική όσο και για την κατανόηση προβλημάτων ροής με ασαφή όρια. Ο σχεδιασμός πειραμάτων στηρίζεται στην αρχή της δυναμικής ομοιότητας, βάση της οποίας μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ροή γύρω από ένα σώμα, όταν έχουν διερευνηθεί τα θεωρητικά ή πειραματικά φαινόμενα της ροής γύρω από ένα άλλο σώμα όμοιο με το πρώτο. Έτσι για τις αεροδυναμικές μετρήσεις έχουμε πάντοτε δύο συστήματα. Ένα σύστημα που αναφέρεται στο «πρωτότυπο» και το συμβολίζουμε με το «Π» και ένα σύστημα που αναφέρεται στο «μοντέλο» (ομοίωμα) και το συμβολίζουμε με το «Μ». Τα αποτελέσματα των μετρήσεων στο μοντέλο μεταφέρονται στο πρωτότυπο μέσω των νόμων της ομοιότητας που εκφράζονται συνήθως με αδιάστατους χαρακτηριστικούς αριθμούς. Έτσι μεταξύ μοντέλου και πρωτότυπου ισχύει γενικά ο λόγος: r = Για να μπορέσουμε τώρα να προχωρήσουμε στη σύγκριση των δύο συστημάτων και να καταλήξουμε στη Δυναμική τους ομοιότητα θα πρέπει πρώτιστα μεταξύ αυτών 42

52 των συστημάτων να υπάρχει Γεωμετρική και Κινηματική ομοιότητα. Ας δούμε λοιπόν αναλυτικά αυτές τις συνθήκες. Γεωμετρική Ομοιότητα Δύο σώματα, πρωτότυπο και μοντέλο ( Π, Μ ), ονομάζονται γεωμετρικά όμοια, όταν οι λόγοι όλων των ομολόγων διαστάσεων τους είναι ίσοι μεταξύ τους. Οπότε θα ισχύει η γνωστή από τη Γεωμετρία σχέση αναλογίας μεταξύ δύο όμοιων σχημάτων η οποία δίνεται από τη γενική έκφραση: = = = όπου:,, συντεταγμένες τυχαίων ομολόγων σημείων μοντέλου,, συντεταγμένες τυχαίων ομολόγων σημείων πρωτοτύπου λόγος ομολόγων μηκών ή κλίμακα γεωμετρικής ομοιότητας Κινηματική Ομοιότητα Η κινηματική ομοιότητα αναφέρεται στην ομοιότητα των ροών που πραγματοποιούνται, γύρω από το πρωτότυπο και γύρω από το μοντέλο. Δύο ροές λοιπόν ονομάζονται κινηματικά όμοιες, όταν οι τροχιές, οι οποίες διαγράφονται από ομόλογα σωματίδια, είναι γεωμετρικά όμοιες και παράλληλα ο λόγος των ταχυτήτων τους παραμένει σταθερός και στα δύο συστήματα. Πιο απλά δηλαδή η κινηματική ομοιότητα επιβάλλει οι λόγοι των τροχιών και των ταχυτήτων να είναι σταθεροί. Έτσι, με την παρατήρηση ότι οι έννοιες μοντέλου και πρωτοτύπου (Μ Π) αναφέρονται στο πεδίο ροής αυτών των δύο σωμάτων, οι σχέσεις που ισχύουν γενικά είναι: = και = όπου: λόγος τροχιών (αποστάσεων) των ομολόγων σωματιδίων λόγος ταχυτήτων των ομολόγων σωματιδίων 43

53 Δυναμική Ομοιότητα Κατά την κίνηση ενός σώματος μέσα στον αέρα, αναπτύσσονται δυνάμεις διαφόρου προελεύσεως, οι οποίες κατά ένα μεγάλο ποσοστό τους συνδυάζονται με τη μάζα αυτού. Για την εξαγωγή ορθών συμπερασμάτων λοιπόν, όσον αφορά τη συμπεριφορά μεταξύ μοντέλου και πρωτοτύπου, απαιτείται η μελέτη της ομοιότητας και αυτών των μεγεθών. Αυτό πραγματοποιείται με την δυναμική ομοιότητα. Έτσι δύο κινήσεις αέρα είναι δυναμικά όμοιες εάν καταρχήν είναι κινηματικά όμοιες (όμοιες τροχιές και ταχύτητες δηλ.), καθώς επίσης και αν οι λόγοι των μαζών και των δυνάμεων όλων των ομολόγων σωματιδίων, είναι σταθεροί και για τα δύο συστήματα. Έτσι στην δυναμική ομοιότητα εκτός από τους λόγους και, θα πρέπει να είναι σταθεροί, για όλα τα ομόλογα στοιχεία των δύο συστημάτων, και οι λόγοι: = και = όπου: λόγος μαζών των ομολόγων σωματιδίων λόγος δυνάμεων των ομολόγων σωματιδίων Επιπλέον βασική αναγκαία συνθήκη η οποία πρέπει να ισχύει για την ύπαρξη δυναμικής ομοιότητας στα δύο συστήματα (Μοντέλο Πρωτότυπο) και προκύπτει βάση του 2 ου νόμου του Νεύτωνα και της πυκνότητας είναι: = όπου: λόγος πυκνοτήτων μεταξύ μοντέλου και πρωτοτύπου Η σχέση αυτή, παρ όλο που αποτελεί την βασική αναγκαία συνθήκη, για την ύπαρξη της δυναμικής ομοιότητας ανάμεσα στα δύο συστήματα, δεν μας δίνει πληροφορίες για τον συσχετισμό των διαφόρων συνιστωσών δυνάμεων στα δύο συστήματα (δεδομένου ότι οι συνιστώσες δυνάμεις είναι οι δυνάμεις βαρύτητας, πιέσεως, συνεκτικότητας, επιφανειακής τάσης και ελαστικότητας), παρά μόνο για την συνισταμένη αυτών. Αυτό το επιτυγχάνουμε γράφοντας το 2 ο νόμο του Νεύτωνα με τη μορφή των εξισώσεων Navier Stokes, οι οποίες και θα παραχθούν σε αδιάστατη μορφή. 44

54 Δυναμική Ομοιότητα κατά Reynolds Τα μεγέθη των εξισώσεων Navier Stokesκαι Συνέχειας που δόθηκαν μέχρι τώρα είναι διαστατικά και έτσι υπάρχει εξάρτηση των μεγεθών και των λύσεων από το σύστημα διαστάσεων που εφαρμόζεται. Ακόμη η έκφραση των λύσεων αυτών σε διαστατική μορφή, περιορίζει την ισχύ τους σε μια ειδική περίπτωση του θεωρούμενου προβλήματος. Μετατρέποντας όμως τα μεγέθη αυτών των εξισώσεων σε αδιάστατα οι λύσεις τους έχουν μια πιο γενικότερη ισχύ. Έτσι επιλέγοντας 2 χαρακτηριστικά μεγέθη αναφοράς του συστήματος, δηλαδή το μήκος ( L ) και την ταχύτητα ( V ), όλα τα υπόλοιπα μεγέθη των εξισώσεων Navier Stokesμπορούν να γίνουν αδιάστατα αναφορικά με τα εκλεγέντα μεγέθη αναφοράς. Οπότε εισάγοντας τα αδιάστατα μεγέθη =, = κτλ, καθώς και τα =, = στην πρώτη από τις εξισώσεις Navier Stokes, παρατηρούμε ότι έχει παραμείνει ο συντελεστής, ο αντίστροφος του οποίου είναι ο γνωστός αδιάστατος αριθμός Reynolds ( Re = ). Κατά παρόμοιο τρόπο εργαζόμενοι βρίσκουμε και την εξίσωση της Συνέχειας, ώστε να ολοκληρωθεί το σύστημα μας. Εντέλει καταλήγουμε ότι, για την περίπτωση συνεκτικού ασυμπίεστου ρευστού, οι αδιάστατες εξισώσεις Navier Stokes και Συνέχειας θα έχουν την ίδια λύση για τα δύο γεωμετρικά όμοια συστήματα Μ και Π, εφ όσον ο αριθμός Re είναι ίσος και στα δύο συστήματα. Δηλαδή όταν: = ή = 1 Οπότε οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για Δυναμική Ομοιότητα στην περίπτωση συνεκτικών ασυμπίεστων ρευστών είναι: = και = 1 Παρατηρούμε λοιπόν ότι η ιξώδης ασυμπίεστη ροή, όσον αφορά για την Αρχή της Ομοιότητας, διέπεται και από το νόμο ομοιότητας του Reynolds. Σ αυτό επάνω το 45

55 τεράστιας σημασίας θεώρημα στηρίζεται η λειτουργία των αεροσηράγγων, όπου οι μετρήσεις των πιο εύχρηστων και μικρότερων σε διαστάσεις μοντέλων, υποκαθιστούν τις πολυδάπανες μετρήσεις επί των πραγματικών σωμάτων. Στην περίπτωση βέβαια συνθήκης συμπιεστού ρευστού, εκτός από την ισότητα των αριθμών Reynolds για το Μοντέλο και το Πρωτότυπο, είναι αναγκαίες οι σχέσεις ισότητας και για μια σειρά άλλων αδιάστατων μεγεθών. Ενδεικτικά αναφέρουμε τον αριθμό Mach, τον οποίο έχουμε συναντήσει και σε προηγούμενο κεφάλαιο και που ορίζεται ως Μ = ( δηλαδή ταχύτητα της ροής προς ταχύτητα του ήχου ή δυνάμεις αδρανείας προς δυνάμεις συμπιεστότητας ), και χρησιμοποιείται στη συμπιεστή ροή. Επομένως όταν η πτήση του σώματος γίνεται με ταχύτητα Μ >0,4, θα πρέπει το μοντέλο να δοκιμάζεται στον ίδιο αριθμόmach που ίπταται και το πραγματικό σώμα Διαστατική ανάλυση της Αντίστασης R του αέρα Η διαστατική ανάλυση είναι μία αλγεβρική μέθοδος, η οποία επιτρέπει την εύρεση των συνθηκών δυναμικής ομοιότητας των διαφόρων συστημάτων. Έτσι για παράδειγμα εάν θέλουμε να προσδιορίσουμε την αντίσταση R του αέρα, η οποία αναπτύσσεται σε ένα στερεό σώμα που βρίσκεται σε ευθύγραμμη και ομαλή κίνηση μέσα σ αυτόν, η μελέτη του πεδίου ροής γίνεται ευκολότερα εάν μελετήσουμε την αντίστροφη κίνηση. Δηλαδή αν θεωρήσουμε τον αέρα κινούμενο, με την ταχύτητα που είχε το σώμα αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση, και το σώμα ακίνητο. Οι εξισώσεις και στις δύο περιπτώσεις οδηγούν στα ίδια αποτελέσματα. Οι συνιστώσες της συνολικής δύναμης R του αέρα, εάν παραληφθούν οι δυνάμεις βαρύτητας, θα είναι οι δυνάμεις αδρανείας και οι δυνάμεις συνεκτικότητας. Οι δυνάμεις αυτές, ως γνωστόν, εξαρτώνται από τις φυσικές ιδιότητες του αέρα. Δηλαδή την πυκνότητα ρ, μία χαρακτηριστική διάσταση του εκτοπισμένου από το σώμα αέρα l, τη διεύθυνση και το μέγεθος της ταχύτητας V (μορφή ροής γύρω από το σώμα), τον συντελεστή συνεκτικότητας μ (ιξώδες), και την ταχύτητα του ήχουa. Έτσι η συνολική δύναμη του αέρα R με μορφή συνάρτησης εκφράζεται ως: όπου: c R = f( c, ρ, l, V, μ, a ) αεροδυναμικός συντελεστής (εκφράζει την επίδραση του σχήματος και της γωνίας προσβολής του σώματος, επί της αντιστάσεως του αέρα) 46

56 Θεωρούμε τώρα ότι η συνάρτηση του R μπορεί να τεθεί με τη μορφή R = c ρ α l β V γ μ δ a ε, όπου οι εκθέτες α, β, γ, δ, ε είναι άγνωστοι. Η σχέση αυτή τώρα με τη μορφή διαστατικής εξισώσεως MLT (Μ=μάζα, L=μήκος, Τ=χρόνος) εκφράζεται ως: = c ( α L β ( ) γ ( ) δ ( ) ε Για να εξάγουμε διαστάσεις δυνάμεως στη συνέχεια, πρέπει να εξισώσουμε τους εκθέτες. Έτσι: 1 = α + δ (Εκθέτες του Μ) 1 = 3α + β + γ δ + ε (Εκθέτες του L) 2 = γ + δ + ε (Εκθέτες του Τ) Οι εκθέτες α, β, γ των παραπάνω σχέσεων μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των δ και ε. Οπότε βρίσκουμε τις εξισώσεις: α = 1 δ β = 2 δ γ = 2 δ ε Tοποθετώντας τώρα τις τιμές των α, β, γ στην αρχική σχέση του R έχουμε: R = c ρ 1-δ l 2-δ V 2-δ-ε μ δ a ε R = c ρ V 2 l 2 -δ -ε Αν θέσουμε τώρα όπου: c, = S, ν, η σχέση του R γίνεται: R = ρ V 2 S f 1 f 2 47

57 Όμως επειδή, = Re και =M, η παραπάνω σχέση παίρνει τελικά τη μορφή: R = ρ V 2 S c f 1 (Re) f 2 (M) Από την τελική σχέση του R παρατηρούμε ότι η αντίσταση του αέρα εξαρτάται από τις συναρτήσεις f 1 (Re) και f 2 (M). Δηλαδή οι τιμές Μach και Re είναι χαρακτηριστικές για την έκφραση της αντίστασης και η επιρροή τους σ αυτήν είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη, ανάλογα με την περίπτωση. Ιδιαίτερα για την περίπτωση ασυμπίεστης ροής ( V<140 m/s ), ο επηρεασμός της R από την f 2 (M) είναι αμελητέος Αριθμός Reynolds Προσδιορισμός του αριθμού Reynolds Για τον αδιάστατο αριθμό Reynolds, η γνωστή σχέση που ισχύει είναι: Re = = όπου: ρ V L μ ν πυκνότητα ρευστού ταχύτητα ρευστού γύρω από το σώμα ή ταχύτητα του σώματος ένα χαρακτηριστικό μήκος του σώματος ιξώδες ρευστού ή συνεκτικότητα κινηματικό ιξώδες ρευστού Ο αριθμός Reynolds, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, μπορεί να θεωρηθεί, από φυσικής άποψης, σαν σχέση των δυνάμεων αδρανείας προς τις δυνάμεις τριβής. Άρα οι μικροί αριθμοί Re, σημαίνουν ροή στην οποία υπερτερούν οι δυνάμεις τριβής, ενώ οι μεγάλοι αριθμοί Re δηλώνουν ροή στην οποία υπερτερούν οι δυνάμεις αδρανείας. Η πρώτη περίπτωση (πολύ μικρό Re), συμβαίνει όταν έχουμε πολύ μικρές διαστάσεις ή ταχύτητες και μεγάλο κινηματικό ιξώδες, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση νέφους σταγονιδίων ή φιλμ λαδιού μεταξύ στροφέως και εδράνου ενός περιστρεφόμενου άξονα. Την δεύτερη περίπτωση τώρα (πολύ μεγάλο Re), την συναντούμε στις περισσότερες τεχνικές εφαρμογές, όπως και στα προβλήματα 48

58 τεχνικής των πτήσεων. Αυτό συμβαίνει διότι τα δύο σπουδαία αυτά, από τεχνικής άποψης, ρευστά (νερό και αέρας), έχουν πολύ μικρό κινηματικό ιξώδες και παράλληλα οι διαστάσεις και οι ταχύτητες των σωμάτων σ αυτές τις εφαρμογές, είναι σχετικά μεγάλες. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι για πτέρυγα αεροπλάνου με μήκος l=2m και ταχύτητα πτήσεως 500km/h = 140m/s ο αριθμός Reynolds είναι: Re = = = 2*10 7 Στην περίπτωση αυτή λοιπόν, όπως θα δούμε και αναλυτικά στη συνέχεια, η επίδραση της συνεκτικότητας στα σώματα, περιορίζεται σ ένα λεπτό στρώμα γύρω από τις επιφάνειες και σ ένα μικρό τμήμα της ροής πίσω από το σώμα (οριακό στρώμα ή στρώμα τριβής), ενώ η υπόλοιπη ροή παραμένει ουσιαστικά χωρίς τριβή. Κρίσιμος Αριθμός Reynolds Η επίδραση του αριθμού Reynolds εντός του οριακού στρώματος, είναι σε πολλές περιπτώσεις πολύ μεγάλη. Για μικρούς σχετικά αριθμούς, η ροή πίσω από το σώμα ακολουθεί ισοπαχή, παράλληλα στρώματα και ονομάζεται Στρωτή. Σε μεγαλύτερους αριθμούς Re όμως, σχηματίζονται στη ροή πίσω από το σώμα ακανόνιστες εγκάρσιες κινήσεις, οι οποίες συνεχώς αυξάνουν, προκαλώντας έτσι μια ισχυρή ανάμειξη των γειτονικών στρωμάτων του ρευστού. Η ροή αυτή ονομάζεται Τυρβώδης. Παρακάτω στο σχήμα βλέπουμε τη ροή γύρω από ένα κύλινδρο, για διαφορετικούς αριθμούς Re. (Σχήμα : Επίδραση αριθμού Re σε ροή γύρω από κύλινδρο) 49

59 Παρατηρούμε λοιπόν ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός Re, έχουμε μετάπτωση της ροής από στρωτή σε τυρβώδη, η οποία γίνεται όλο και πιο άστατη για μεγαλύτερους αριθμούς Re. Η τιμή λοιπόν του αριθμού Re κατά την οποία συμβαίνει η μετάπτωση ονομάζεται Κρίσιμος Αριθμός Reynolds Οριακό Στρώμα Προσδιορισμός του οριακού στρώματος Το οριακό στρώμα ή στρώμα τριβής, που συναντήσαμε και στην ανάλυση του αριθμού Re, είναι μία περιοχή πολύ μικρού πάχους, γύρω από το κινούμενο σώμα, μέσα στην οποία η ταχύτητα ροής του αέρα είναι διαφορετική από αυτήν της υπόλοιπης ροής. Aυτό το στρώμα εξαρτάται άμεσα από τη συνεκτικότητα (ιξώδες). Έτσι όσο πιο μικρή είναι η συνεκτικότητα ενός ρευστού, τόσο πιο λεπτό είναι και το οριακό στρώμα. Το οριακό στρώμα επίσης, διακρίνεται από κάποια φυσικά χαρακτηριστικά τα οποία είναι: Το πάχος (δ) αυτού είναι πάρα πολύ μικρό Η ροή του αέρα μέσα στο οριακό στρώμα είναι πάρα πολύ πιο αργή εξαιτίας του ιξώδους Η έκταση της ροής είναι πολύ πιο μεγάλη κατά την x διεύθυνση παρά κατά την y. Τη θεωρία του οριακού στρώματος διετύπωσε για πρώτη φορά ο Prandtl, όπως αναφέραμε και σε προηγούμενη παράγραφο, το Κατά τον Prandtl όταν ο αέρας κινείται γύρω από ένα στερεό (ροή μικρής συνεκτικότητας άρα μεγάλου αριθμού Re), το όλο πεδίο ροής μπορούμε να το διαχωρίσουμε σε δύο περιοχές. Στην περιοχή του λεπτού στρώματος τριβής και στην υπόλοιπη περιοχή εκτός οριακού στρώματος. Στην περιοχή του λεπτού στρώματος τριβής, δηλαδή στο οριακό στρώμα, η κάθετη προς το τοίχωμα βαθμίδα της ταχύτητας ( ) είναι πολύ μεγάλη και το ιξώδες ασκεί μια ουσιώδη επίδραση μέσα σ αυτήν. Αποτέλεσμα λοιπόν είναι η διατμητική τάση ( τ = μ ), να παίρνει κι αυτή μεγάλες τιμές. Η ροή μέσα στην περιοχή αυτή ελέγχεται τόσο από δυνάμεις αδρανείας και πιέσεως όσο και από δυνάμεις τριβής. 50

60 Στην υπόλοιπη περιοχή τώρα που βρίσκεται εκτός οριακού στρώματος, οι δυνάμεις τριβής είναι πολύ μικρές κι έτσι μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες. Εδώ η συμπεριφορά του αέρα είναι παρόμοια με τη συμπεριφορά ιδανικού αερίου, οπότε οι εξισώσεις του Eüler δίνουν άριστα αποτελέσματα. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια του οριακού στρώματος θεωρούμε δισδιάστατη ασυμπίεστη ροή αέρα γύρω από μια επίπεδη οριακή επιφάνεια μηδενικού πάχους (επίπεδη πλάκα ή πτέρυγα απέραντου εκπετάσματος). Η διεύθυνση x θεωρούμε ότι βρίσκεται κατά μήκος της επιφάνειας και η διεύθυνση y κάθετα σε αυτήν. Επίσης θεωρούμε ότι μπροστά από την οριακή επιφάνεια η ταχύτητα του αέρα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη. Έτσι ο αέρας όταν συναντήσει την επιφάνεια, εξαιτίας του ιξώδους δημιουργείται το οριακό στρώμα, μέσα στο οποίο, όπως είναι γνωστό, η ταχύτητα του αέρα είναι διάφορη από την αρχική. Η κατανομή της ταχύτητας τώρα μέσα στο οριακό στρώμα αρχίζει από την τιμή μηδέν, για τα μόρια του αέρα που βρίσκονται σε επαφή με την επιφάνεια (συνθήκη μη ολίσθησης) και φτάνει τελικά μέχρι το 0,99 της αρχικής ταχύτητας V(x) στο επάνω μέρος του οριακού στρώματος. Τα παρακάτω σχήματα μας δίνουν μια πιο καθαρή εικόνα για το τι συμβαίνει. (Σχήμα : Διακύμανση της ταχύτητας του αέρα μέσα στο οριακό στρώμα) 51

61 (Σχήμα ) Πάχος δ και Πάχος Μετατόπισης δ1 του οριακού στρώματος Με τον όρο πάχος δ του οριακού στρώματος, εννοούμε το πλάτος αυτού, το οποίο δεν είναι δυνατό να καθοριστεί με ακρίβεια, διότι το σημείο που διαχωρίζει την κατανομή της ταχύτητας μέσα στο οριακό στρώμα και εκτός αυτού δεν είναι αυστηρά διακεκριμένο. Αυτό συμβαίνει διότι η μετάβαση από την ταχύτητα μέσα στο οριακό στρώμα στην ταχύτητα έξω απ αυτό γίνεται ασυμπτωτικά. Έτσι συνηθίζεται να ορίζουμε σαν πάχος δ του οριακού στρώματος, την κάθετη απόσταση μεταξύ στερεού ορίου και του σημείου στο οποίο η ταχύτητα διαφέρει απ την εξωτερική κατά 1%, δηλαδή την απόσταση y όπου η ταχύτητα είναι u = 0,99V. Το Σχήμα μας βοηθάει να κατανοήσουμε και οπτικά αυτή την απόσταση. (Σχήμα : Πάχος δ του οριακού στρώματος) Από το σχήμα φαίνεται ακόμη ότι το πάχος δ δεν είναι σταθερό από την αρχή μέχρι το τέλος, αλλά αυξάνει συνεχώς από το χείλος προσβολής προς τα πίσω. Αυτή 52

62 η αύξηση του πάχους του οριακού στρώματος, είναι αποτέλεσμα της αρνητικής επίδρασης του ιξώδους στην ενέργεια της ροής και έχει πολύ σοβαρές συνέπειες στην αεροδυναμική συμπεριφορά της πτέρυγας και των άλλων μερών του αεροσκάφους. Ακόμη το πάχος του οριακού στρώματος μεταβάλλεται και με άλλες παραμέτρους της πτήσης. Συγκεκριμένα αυξάνει όταν μειώνεται η ταχύτητα πτήσης V και αυξάνει επίσης όταν μειώνεται η πυκνότητα ρ του αέρα (όταν αυξάνεται το ύψος πτήσης δηλαδή). Το πάχος μετατόπισης δ 1 τώρα, προσδιορίστηκε για να μπορεί να έχει εφαρμογή η εξίσωση της Συνέχειας εντός του οριακού στρώματος, η οποία χωρίς αυτή τη διεργασία κρίνεται ανενεργή. Αυτό συμβαίνει διότι, λόγω της επιβράδυνσης της ροής μέσα στο οριακό στρώμα, έχουμε ως φυσικό επακόλουθο και την ελάττωση της παροχής. Επειδή όμως θα πρέπει να ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Μάζας και κατά συνέπεια και η εξίσωση της Συνέχειας, είναι απαραίτητη η μικρή μετατόπιση των γραμμών ροής της εξωτερικής ροής, κατά μία απόσταση δ 1, όπως βλέπουμε και στο σχήμα (Σχήμα : Πάχος δ και πάχος μετατόπισης δ 1 του οριακού στρώματος) Το πάχος μετατόπισης δ 1 παριστάνει το πάχος ενός ιδεατού στρώματος του αέρα, ταχύτητας V=0,99U και παροχής ίσης προς την ελάττωση αυτής και η σχέση υπολογισμού του είναι: δ 1 = ( ) 53

63 Μορφές ροής στο οριακό στρώμα (Στρωτή Τυρβώδη) Η ροή μέσα στο οριακό στρώμα παρουσιάζεται, όπως είδη έχουμε αναφέρει, με δύο διαφορετικές καταστάσεις,την Στρωτή και την Τυρβώδη. Στρωτή ροή εννοούμε τη ροή που γίνεται κατά επάλληλες στοιβάδες, οι οποίες ολισθαίνουν η μία πάνω στην άλλη χωρίς καμία ανάμειξη. Αυτή επικρατεί από την αρχή του οριακού στρώματος, από το χείλος προσβολής δηλαδή, μέχρι και το Σημείο Αποκόλλησης ή Σημείο Μετάπτωσης Α, όπου και εξαφανίζονται οι διατμητικές τάσεις. Η απόσταση αυτή από το χείλος προσβολής μέχρι το σημείο αποκόλλησης (δηλ. το μήκος του στρωτού οριακού στρώματος) εξαρτάται από συγκεκριμένους παράγοντες, οι οποίοι είναι: Η μορφή του σώματος Η λειότητα της επιφάνειας του σώματος Η αρχική τύρβωση του ρεύματος, με την οποία μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα Οι κραδασμοί που υπόκειται το σώμα (όσο πιο ήπιοι είναι, τόσο μεγαλύτερο το στρωτό οριακό στρώμα) Η ταχύτητα πτήσης V και η πυκνότητα του αέρα ρ, με τις οποίες μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα Ο συντελεστής ιξώδους μ, με τον οποίο μεταβάλλεται ευθέως ανάλογα Από το σημείο αυτό και μετά ακολουθεί μία Μεταβατική Περιοχή ή Περιοχή Μετάπτωσης, ώσπου τελικά η ροή μετατρέπεται ολοκληρωτικά σε Τυρβώδη. Στην τυρβώδη περιοχή του οριακού στρώματος έχουμε αποκόλληση του μεγαλύτερου τμήματος της ροής από το σώμα με αποτέλεσμα, την ανάμειξη των στοιβάδων (λόγω της ακανόνιστης τροχιάς των σωματιδίων) η οποία και προκαλεί τη δημιουργία δίνης, αύξηση του πάχους του οριακού στρώματος και αυξημένη οπισθέλκουσα τριβής (η έννοια της οποίας θα αναλυθεί στη συνέχεια). Στο σχήμα βλέπουμε αναλυτικά αυτές τις περιοχές, ενώ το σχήμα μας δείχνει τις κατανομές ταχυτήτων για τις δύο περιπτώσεις της ροής στο οριακό στρώμα. 54

64 (Σχήμα : Περιοχές οριακού στρώματος) (Σχήμα : Κατανομές ταχυτήτων στρωτής και τυρβώδους ροής) Γενικά για τη δημιουργία τύρβης, μπορούμε να πούμε ότι προέρχεται από μια αστάθεια της ροής. Στην περίπτωση του οριακού στρώματος, παρουσιάζεται μια αστάθεια από το γεγονός ότι η εξωτερική ταχύτητα ροής του αέρα είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του αέρα μέσα στο οριακό στρώμα. Έτσι η αύξηση της εξωτερικής ταχύτητας έχει σαν συνέπεια, την μεγαλύτερη αύξηση των δυνάμεων αδρανείας από τις δυνάμεις τριβής, με αποτέλεσμα οι τελευταίες να μην είναι πλέον σε θέση να κατευνάσουν τις διαταραχές, οι οποίες γίνονται εντονότερες και οδηγούν τελικά στην τυρβώδη ροή. Επομένως για τη μετάβαση από στρωτή σε τυρβώδη ροή σπουδαίο ρόλο παίζουν οι δυνάμεις αδρανείας και τριβής, κριτήριο των οποίων αποτελεί, όπως 55

65 είναι γνωστό, ο κρίσιμος αριθμός Re. Πληροφοριακά, σύμφωνα με πειράματα του Schiller το 1922, έχει βρεθεί ότι η κρίσιμη τιμή του αριθμού Re, όταν αυτή πραγματοποιείται γύρω από κυκλικούς αγωγούς, είναι Re cr = 2320 ενώ για ροή γύρω από μία πλάκα είναι Re cr = 5*10 5. Επανερχόμενοι τώρα στο φαινόμενο της αποκόλλησης της ροής, κρίνεται απαραίτητο να τονίσουμε ότι, δεν εμφανίζεται ποτέ στην περιοχή που έχουμε πτώση πίεσης αλλά μόνο στην περιοχή αυξημένης πίεσης, δηλαδή εκεί που έχουμε επιβράδυνσητης ροής. Το παρακάτω παράδειγμα θα μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια της αποκόλλησης. Έστω μία καμπύλη επιφάνεια, παρόμοια με την επιφάνεια της πτέρυγας, όπως στο σχήμα , όπου η διακεκομμένη γραμμή είναι το όριο του οριακού στρώματος. (Σχήμα ) Μέσα στο οριακό στρώμα οι δυνάμεις τριβής λόγω ιξώδους έχουν σαν αποτέλεσμα τη κατανομή ταχυτήτων που φαίνεται στο ίδιο σχήμα. Στη περιοχή από το σημείο Α έως το σημείο Β η διατομή μειώνεται σταδιακά, οπότε η ταχύτητα της εξωτερικής ροής αυξάνει και η πίεση ελαττώνεται. Πίσω από το σημείο Β η κατάσταση αντιστρέφεται. Η ταχύτητα των κατώτερων στοιβάδων μειώνεται γρήγορα όσο μεγαλώνει η διαδρομή που διατρέχει το οριακό στρώμα. Στη περιοχή από το σημείο Α έως το σημείο Β οι απώλειες ταχύτητας αντισταθμίζονται από τη γενική αύξηση της ταχύτητας της ροής. Μετά το σημείο Β οι απώλειες ταχύτητας στις κατώτερες 56

66 στοιβάδες προστίθεται στη γενική μείωση της ταχύτητας της ροής, και αν η αύξηση πίεσης είναι σημαντική, η ταχύτητα μηδενίζεται στο σημείο Γ και κατόπιν αντιστρέφεται με φορά προς τα εμπρός στο σημείο Δ. Δημιουργείται έτσι ανάμεσα στο οριακό στρώμα και την επιφάνεια μια περιοχή με δίνες, το οποίο είναι το φαινόμενο της αποκόλλησης του οριακού στρώματος. Πίσω από το σημείο αποκόλλησης το οριακό στρώμα μπορεί να επανακολληθεί στην επιφάνεια ως τυρβώδες ή να παραμείνει αποκολλημένο δημιουργώντας πάνω από την επιφάνεια μία περιοχή αναβρασμού με μεγάλη οπισθέλκουσα. Ειδικά για τη πτέρυγα, εκτός από την αύξηση της οπισθέλκουσας, η αποκόλληση του οριακού στρώματος έχει επίσης άμεση επίδραση, στην παραγόμενη άντωση και στα χαρακτηριστικά της απώλειας στήριξης. Αυτό διότι, το στρωτό οριακό στρώμα ενώ σε γωνίες προσβολής έως και 10 ο δεν μας δημιουργεί πρόβλημα, σχήμα , σε μεγαλύτερες γωνίες, δηλαδή σε μεγάλη καμπύλωση της ροής όπου η αύξηση της πίεσης είναι πολύ απότομη, αποδεικνύεται πολύ «ευαίσθητο» σε αποκόλληση, σχήμα Το τυρβώδες οριακό στρώμα από την άλλη, λόγω της έντονης ανάμειξης των στοιβάδων του, έχει μεγαλύτερη ενέργεια από το στρωτό και παρουσιάζει μεγαλύτερη αντοχή σε αποκόλληση. Για το λόγο αυτό, σε σημεία που είναι επιρρεπή σε αποκόλληση προτιμάμε τυρβώδες οριακό στρώμα, προκαλώντας πρόωρη μετάπτωση του στρωτού οριακού στρώματος σε τυρβώδες με κατάλληλες διατάξεις. Αναλυτικότερα για το τυρβώδες οριακό στρώμα θα μιλήσουμε και στην ενότητα της Παρασίτου Οπισθέλκουσας (Σχήμα ) 57

67 (Σχήμα ) Στρωτό οριακό στρώμα Ο Prandtl στηριζόμενος στα χαρακτηριστικά του οριακού στρώματος, καθώς και στο ότι η τάξη μεγέθους σε κάθε ένα όρο των εξισώσεων Navier Stokes και Συνέχειας είναι το πολύ (1), διετύπωσε τις εξισώσεις κίνησης του ασυμπίεστου οριακού στρώματος, οι οποίες αποτελούν απλοποίηση των εξισώσεων Navier Stokes. Οι εξισώσεις Prandtl λοιπόν είναι: + u + υ = - + ν = 0 + = 0 Η επίλυση των εξισώσεων αυτών είναι εύκολη αν δοθούν οι οριακές συνθήκες και η ελεύθερη ρευματική ταχύτητα V(x,t). Οι οριακές συνθήκες δε οι οποίες διέπουν τη ροή, για περίπτωση ακίνητης οριακής πλάκας είναι: y = 0: u = 0, υ = 0 y : u V(x,t) 58

68 Τυρβώδες οριακό στρώμα Η περιγραφή του τυρβώδους οριακού στρώματος γίνεται από τις εξισώσεις Reynolds, οι οποίες προκύπτουν από τις εξισώσεις Navier Stokes αν εισαχθούν σ αυτές οι όροι των τυρβωδών διακυμάνσεων, οι οποίοι είναι επιπρόσθετες διατμητικές τάσεις εξαιτίας της τυρβώδους κινήσεως και εκφράζουν ανταλλαγή ορμής στην κίνηση αυτή. Επειδή όμως οι εξισώσεις αυτές είναι μέχρι σήμερα άλυτες, έχει επικρατήσει ο προσεγγιστικός τρόπος της θεωρητικής διερεύνησης του τυρβώδους οριακού στρώματος. Έτσι σύμφωνα με αυτόν, στις εξισώσεις του στρωτού οριακού στρώματος αντί για το δυναμικό (μοριακό) ιξώδες μ για στρωτή ροή, χρησιμοποιείται ένα άλλο μέγεθος κατάλληλο για τυρβώδη ροή, το ιξώδες δίνης ή αλλιώς δινοϊξώδες μ τ ή n, ενώ τα μεγέθη που εκφράζουν τη ροή αντικαθίστανται από τις αντίστοιχες τομές αυτών. Θα πρέπει εδώ να παρατηρήσουμε ότι η τυρβώδης ροή προκαλεί αύξηση της εσωτερικής τριβής του αέρα, η οποία δεν προέρχεται από την αύξηση του μοριακού ιξώδους, αλλά από απώλειες ορμής οι οποίες οφείλονται στις διακυμάνσεις της ταχύτητας. Πράγματι αν αντικαταστήσουμε στην σχέση της διατμητικής τάσης του Newton (τ = μ ), την ταχύτητα u, με την έκφρασή της στην τυρβώδη ροή που είναι: u = + u όπου: u η μέση τιμή της ταχύτητας η μεταβολή της ταχύτητας εξαιτίας της τυρβώδους κίνησης κατά τη συνιστώσα x τότε η διατμητική τάση παίρνει τη μορφή: τ = μ ( + u ) Αυτή την αύξηση της διατμητικής τάσεως, κατά έναν επιπλέον όρο, την συμπεριέλαβε ο Boussinesq σε μία προσεγγιστική σχέση, ανάλογη προς την σχέση της διατμητικής τάσης του Newton, η οποία ισχύει στην τυρβώδη ροή και δίνεται από την έκφραση: 59

69 τ τ = μ τ όπου: μ τ ιξώδες δίνης Αντίστοιχα με το δινοϊξώδες μ τ, ορίζεται και το ανάλογο κινηματικό ιξώδες της τυρβώδους ροής, το οποίο λέγεται κινηματικό ιξώδες δίνης, συμβολίζεται με ε τ και δίνεται: ε τ = Επειδή τώρα, στην τυρβώδη ροή η κίνηση των μορίων δεν παύει να υπάρχει, συνυπάρχουν το μοριακό ιξώδες μ και το ιξώδες δίνης μ τ. Οπότε για την περίπτωση της ροής αυτής, σύμφωνα με την προσέγγιση Boussinesq, μπορούμε να εκφράσουμε το ολικό ιξώδες μ ολ ως: μ ολ = μ + μ τ = ρ (ν + ε τ ) Εφαρμόζοντας τώρα την προσέγγιση Boussinesq στις εξισώσεις του στρωτού ασυμπίεστου οριακού στρώματος (εξισώσεις Prandtl), λαμβάνουμε τις εξισώσεις που περιγράφουν το ασυμπίεστο τυρβώδες οριακό στρώμα επίπεδης πλάκας, οι οποίες είναι γνωστές και ως εξισώσεις του Boussinesq και έχουν τη μορφή: + + = - + [(ν + ετ ) ] + = 0 Παράσιτος Οπισθέλκουσα Η μελέτη και οι υπολογισμοί που πραγματοποιήθηκαν στη θεωρία του οριακού στρώματος μέχρι τώρα, έγιναν κυρίως για τη δυνατότητα της ακριβούς εκτίμησης της Αεροδυναμικής αντίστασης, την οποία προκαλούν οι διατμητικές τάσεις και η πίεση στην επιφάνεια ενός σώματος, όταν αυτό κινείται στον αέρα. Έτσι, όσον αφορά τις διατμητικές τάσεις, όταν ο αέρας κινείται σε σχέση με ένα στερεό σώμα ή ένα στερεό 60

70 σώμα κινείται μέσα στον αέρα, τότε ασκούνται στο σώμα δυνάμεις οι οποίες αντιδρούν σ αυτή την κίνηση. Αυτές οι αντιστάσεις είναι απόρροια των διατμητικών τάσεων που αναπτύσσονται κατά την κίνηση των σωμάτων μέσα στον αέρα και ονομάζονται Παράσιτος Οπισθέλκουσα Dπ. Η Παράσιτος Οπισθέλκουσα είναι το άθροισμα της Οπισθέλκουσας Τριβής Df και της Οπισθέλκουσας Σχήματος ή Μορφής Dp. Η Οπισθέλκουσα Τριβής Df είναι η ανταγωνιστική, στην κίνηση του σώματος, δύναμη και προκύπτει από το άθροισμα των δυνάμεων της εσωτερικής τριβής των μορίων του αέρα, μέσα στο οριακό στρώμα. Η εμφάνιση αυτών των δυνάμεων μεταξύ των στοιβάδων συμβαίνει λόγω της διαφορετικής ταχύτητας που επικρατεί ανάμεσα σ αυτές, διότι όπως είναι γνωστό, όσο απομακρυνόμαστε από το στερεό όριο, τόσο αυξάνεται η ταχύτητα των μορίων του αέρα. Η οπισθέλκουσα τριβής εξαρτάται γενικά από: Τη διαβρεχόμενη επιφάνεια του σώματος S Την πυκνότητα του αέρα ρ Την ταχύτητα πτήσεως V Τον συντελεστή ιξώδους μ Η εξάρτηση αυτή, της οπισθέλκουσας τριβής από τα παραπάνω μεγέθη, δεν είναι ίδια για το στρωτό και το τυρβώδες οριακό στρώμα. Το μεγαλύτερο μέρος της οπισθέλκουσας τριβής, παράγεται στο τυρβώδες οριακό στρώμα. Συγκεκριμένα είναι σχεδόν πενταπλάσιο από εκείνο που παράγεται στο στρωτό οριακό στρώμα. Απ το γεγονός αυτό συμπεραίνουμε ότι το στρωτό οριακό στρώμα πρέπει να το διατηρήσουμε όσο το δυνατόν σε μεγαλύτερο μήκος, δηλαδή να μεταφέρουμε το σημείο αποκολλήσεως όσο γίνετε προς τα πίσω. Αυτή η εφαρμογή ισχύει για τον σκοπό της μείωσης της οπισθέλκουσας τριβής. Όμως υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες μας συμφέρει, χρησιμοποιώντας κατάλληλες διατάξεις, το τυρβώδες οριακό στρώμα. Αυτή η προτίμηση συνίσταται, από το γεγονός ότι, εξαιτίας της έντονης ανάμειξης των στοιβάδων του και συγχρόνως της ικανότητας του να αντλεί ενέργεια από την εξωτερική ροή, βρίσκεται σε ενεργειακό επίπεδο υψηλότερο απ ότι το στρωτό οριακό στρώμα και έτσι μπορεί να ανθίσταται πιο αποτελεσματικά στην αποκόλληση της ροής. Η σπουδαιότητα του τυρβώδους οριακού στρώματος φαίνεται όταν έχουμε ροή γύρω από κολοβά σχήματα. Έτσι σε 61

71 ροή γύρω από σφαίρα, για μικρούς αριθμούς Reynolds (Re<3,85*10 5 ), επειδή έχουμε στρωτό οριακό στρώμα χαμηλής ενέργειας, η αποκόλληση πραγματοποιείται σε γωνία περίπου 84 ο από το χείλος προσβολής της σφαίρας, με αποτέλεσμα το μεγαλύτερο μέρος της επιφάνειας της να βρίσκεται σε αναβρασμό. Όταν τώρα αναφερόμαστε σε μεγάλους αριθμούς Reynolds (Re>3,85*10 5 ), επειδή έχουμε τυρβώδες οριακό στρώμα υψηλής ενεργειακής κατάστασης, η αποκόλληση του στρώματος πραγματοποιείται σε περίπου 140 ο από το χείλος προσβολής, με αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση της περιοχής αναβρασμού. Σ αυτήν την περίπτωση βέβαια έχουμε παράλληλα και μία αύξηση της οπισθέλκουσας τριβής, η οποία όμως συγκριτικά είναι πολύ μικρή και έτσι δεν μας απασχολεί. Τα δύο παραπάνω παραδείγματα απεικονίζονται στο σχήμα (Σχήμα : Στρωτό και τυρβώδες οριακό στρώμα σε σφαίρα) Τη δυνατότητα υπάρξεως ή διατήρησης του τυρβώδους οριακού στρώματος την επιτυγχάνουμε με μία σχετική τράχυνση της επιφάνειας του σώματος ή με τη δημιουργία μικρών τοπικών ανωμαλιών. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το μπαλάκι του γκολφ, του οποίου ολόκληρη η επιφάνεια κατασκευάζεται με ομοιόμορφα κατανεμημένες εμβαθύνσεις, με τη βοήθεια των οποίων επιτυγχάνεται η γρήγορη μετάβαση από το στρωτό στο τυρβώδες οριακό στρώμα, προτού εμφανιστεί η αποκόλληση. Μεταθέτουμε δηλαδή τον Κρίσιμο Αριθμό Re (στον οποίο έχουμε μετάβαση της ροής από στρωτή σε τυρβώδη) όσο το δυνατόν προς στο αρχικό σημείο επαφής του αέρα με το σώμα. Έτσι η μεγάλη μεταφορά ορμής στο τυρβώδες οριακό 62

72 στρώμα, καθυστερεί τη δημιουργία της αποκόλλησης με αποτέλεσμα ο ολκός (δίνες πίσω από το σώμα) να είναι σημαντικά μικρότερος. Οπότε για διάμετρο d = 41mm και αρχική ταχύτητα V > 35 m/s, έχουμε τυρβώδες οριακό στρώμα, με αποτέλεσμα το βεληνεκές της σφαίρας να αυξηθεί από τα 46m στα 210 m. Η σχέση για την οπισθέλκουσα τριβής είναι: Df = ρ V 2 S w C Df όπου: C Df αεροδυναμικός συντελεστής οπισθέλκουσας τριβής S W περιβρεχόμενη επιφάνεια του σώματος (το ανάπτυγμα του συνόλου της επιφάνειας) Με βάση την ανάλυση που έγινε προηγουμένως διαπιστώσαμε ότι αν δεν υπήρχε οριακό στρώμα δεν θα εμφανιζόταν η οπισθέλκουσα τριβής. Ωστόσο δεν είναι η μοναδική δύναμη που αντιδρά στην κίνηση του σώματος μέσα στον αέρα εξαιτίας του οριακού στρώματος. Αυτό συμβαίνει διότι το πάχος του οριακού στρώματος δεν είναι σταθερό αλλά αυξάνεται προς το πίσω μέρος του σώματος, με αποτέλεσμα η πραγματική ροή πίσω από αυτό να μην είναι συμμετρική. Αποτέλεσμα αυτής της μη συμμετρικότητας της ροής, είναι η δημιουργία διαφορετικής πίεσης του αέρα μεταξύ των προσηνέμων και των υπηνέμων μερών (δηλ. μεταξύ της κάτω και της άνω πλευράς του σώματος) με αποτέλεσμα την εμφάνιση μιας δυνάμεως ανταγωνιστικής στην κίνηση του σώματος η οποία ονομάζεται Οπισθέλκουσα Σχήματος Dp. Παρ ότι κι αυτή λοιπόν οφείλει την ύπαρξη της στην δημιουργία του οριακού στρώματος, η μεταβολή της και η ένταση της εξαρτώνται αποκλειστικά από το σχήμα που έχει το σώμα, από το γεγονός ότι αυτό προσδιορίζει το πεδίο ροής αέρα πίσω από το σώμα. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι σε περίπτωση επίπεδης επιφάνειας απειροελάχιστου πάχους, η οπισθέλκουσα σχήματος είναι μηδενική. Η οπισθέλκουσα σχήματος δίνεται από τη σχέση: Dp= ρ V 2 SC Dp όπου: C Dp S αεροδυναμικός συντελεστής οπισθέλκουσας τριβής μετωπική επιφάνεια του σώματος 63

73 Έτσι αθροίζοντας την οπισθέλκουσα τριβής και της οπισθέλκουσα σχήματος παίρνουμε τη συνολική οπισθέλκουσα η οποία είναι η Παράσιτος Οπισθέλκουσα Dπ και δίνεται από τη σχέση: Dπ = Df + Dp ή γενικά Dπ = ρ V 2 S C Dπ όπου: C Dπ αεροδυναμικός συντελεστής οπισθέλκουσας τριβής Στη μεταβολή της Παρασίτου Οπισθέλκουσας βασικό παράγοντα παίζει το σχήμα του σώματος. Έτσι Αεροδυναμικό Σχήμα ονομάζεται το σχήμα το οποίο για μία ορισμένη επιφάνεια S, παράγει την ελάχιστη παράσιτο οπισθέλκουσα και επομένως έχει τον μικρότερο δυνατό συντελεστή παρασίτου οπισθέλκουσας. Γενικά κατά την έννοια της ροής, το αεροδυναμικό σχήμα χαρακτηρίζεται, από το λόγο του μήκους του l προς τη μεγαλύτερη διάμετρο του d, ο οποίος και ονομάζεται Λόγος Ισχνότητας και ορίζεται ως: λ = Βάση αυτού λοιπόν, η επίτευξη αεροδυναμικού σχήματος προϋποθέτει την ελαχιστοποίηση της παρασίτου οπισθέλκουσας. Έτσι απαιτείται προοδευτική ελάττωση των διατομών του σώματος πίσω από το μέγιστο πάχος αυτού, δηλαδή μακριά ουρά, ώστε να μειωθεί οπισθέλκουσα σχήματος και περιορισμένη διαβρεχόμενη επιφάνεια S για μια δοθείσα μετωπική επιφάνεια ή διάμετρο, για την μείωση της οπισθέλκουσας τριβής. Οι δύο αυτές απαιτήσεις όμως είναι γενικά αντικρουόμενες. Αυτό διότι η πρώτη απαιτεί εξαιρετικά επίμηκες ιχθυοειδές σώμα, που στο όριο θα έχει l/d, ενώ η δεύτερη απαιτεί ύπαρξη επίπεδου δίσκου κάθετου προς την κίνηση, με όριο l/d 0. Βάση λοιπόν αυτής της παρατήρησης μπορούμε να εξάγουμε τα αεροδυναμικά χαρακτηριστικά, για μια Αεροτομή Μικρών Υποηχητικών Ταχυτήτων. Έτσι συνδυάζοντας τα δύο αυτά κριτήρια καταλήγουμε ότι, το αεροδυναμικό υποηχητικό 64

74 σχήμα οφείλει να έχει στρογγυλεμένο χείλος προσβολής, αιχμηρό χείλος εκφυγής και μέγιστη διάμετρο στο 1/3 του μήκους του από το χείλος προσβολής. Στο παρακάτω γράφημα απεικονίζεται η μεταβολή του συντελεστή παρασίτου οπισθέλκουσας με τον λόγο ισχνότητας, απ την οποία και διαπιστώνουμε ότι η μικρότερη τιμή του ο συντελεστή είναι για ένα λόγο ισχνότητας 2.5 με 3. (Σχήμα :Γραφική παράσταση Λόγου Ισχνότητας l/d Συντελεστή Παρασίτου Οπισθέλκουσας C Dπ ) Μέθοδοι Ελέγχου του οριακού στρώματος Οι παρακάτω μέθοδοι που θα αναπτυχθούν έχουν ως σκοπό, την αποφυγή της αποκόλλησης του οριακού στρώματος ή τουλάχιστον την ελάττωση των επιπτώσεων της στην αντίσταση των σωμάτων. Δηλαδή ο στόχος τους είναι να επηρεάσουν το οριακό στρώμα κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μην συμβεί καθόλου αποκόλληση ή αν συμβεί, να μετατεθεί το σημείο αποκόλλησης προς το χείλος εκφυγής έτσι ώστε να καθυστερήσει η μετάβαση της ροής από στρωτή σε τυρβώδη. Πιο συγκεκριμένα με τις μεθόδους αυτές ασκείται ένας έλεγχος στο οριακό στρώμα, με αποτέλεσμα τα κατώτερα στρώματα της ροής, τα οποία έχουν επιβραδυνθεί εξαιτίας της τριβής με το τοίχωμα, να εμπλουτιστούν με κινητική ενέργεια και να συνεχίσουν την κανονική ροή προσκολλημένα στην στερεή επιφάνεια. Ο έλεγχος αυτός πραγματοποιείται κατά βάση με την Μέθοδο της Απορρόφησης ή την Μέθοδο της Έγχυσης αέρα διά μέσου της στερεής επιφάνειας. 65

75 Στην μέθοδο της Απορρόφησης, πραγματοποιούμε διάνοιξη οπών στην επιφάνεια του σώματος και συγκεκριμένα στην περιοχή μετάβασης του στρωτού οριακού στρώματος σε τυρβώδες, ώστε να πετύχουμε την απορρόφηση, των πτωχών σε κινητική ενέργεια μορίων του αέρα. Έτσι η κατανομή της ταχύτητας γίνεται πιο πλήρης και η ροή παραμένει στρωτή, ενώ το πάχος του οριακού στρώματος ελαττώνεται. Στο σχήμα βλέπουμε τη μέθοδο αυτή. (Σχήμα : Μέθοδος Απορρόφησης αέρα στο οριακό στρώμα) Στην μέθοδο της Έγχυσης απ την άλλη, η οποία γίνεται πάλι με τη διάνοιξη οπών στη στερεή επιφάνεια, ο αέρας που εισέρχεται από τις οπές προσδίδει μία επιτάχυνση στα επιβραδυνόμενα μόρια του αέρα, έτσι ώστε να αποφεύγεται η αποκόλληση σε περιοχές που υπάρχει κίνδυνος να συμβεί. Η μέθοδος αυτή επειδή προκαλεί μεγάλες διαταραχές στη ροή, σε αντίθεση με την προηγούμενη μέθοδο απορρόφησης, υπάρχει κίνδυνος να προκληθεί πρόωρη μετάβαση του στρωτού στρώματος σε τυρβώδες. Έτσι εφαρμόζεται σε περιοχές όπου το τυρβώδες στρώμα έχει αναπτυχθεί πλήρως και όχι στη μεταβατική περιοχή. Η μέθοδος έγχυσης απεικονίζεται και στο παρακάτω σχήμα. (Σχήμα : Μέθοδος Έγχυσης αέρα στο οριακό στρώμα) 66

76 Επιπλέον, για τη μελέτη του ελέγχου του οριακού στρώματος, εκτός από τις δύο αυτές μεθόδους, έλεγχος μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τα πηδάλια καμπυλότητας. Με τη μέθοδο αυτή δημιουργούνται τέτοιες ροϊκές συνθήκες στην περιοχή του Α, όπως φαίνεται και στο Σχήμα , ώστε η επιτάχυνση να προέρχεται από την ίδια τη ροή και έτσι να εμποδίζεται η αποκόλληση σε ευαίσθητες περιοχές. (Σχήμα : Μέθοδος ελέγχου με Πηδάλια Καμπυλότητας) Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφέρουμε, ότι οι μέθοδοι της απορρόφησης και της έγχυσης έχουν δύο πολύ βασικά μειονεκτήματα τα οποία είναι, η αύξηση του νεκρού βάρους του αεροσκάφους για την εγκατάσταση καθώς και η δαπάνη ενέργειας για τη λειτουργία του συστήματος. Άρα για να πραγματοποιηθεί η εγκατάσταση ενός τέτοιου συστήματος, θα πρέπει να ληφθεί υπ όψιν ότι, το κέρδος που θα προσφέρει υπό μορφή αύξησης της ταχύτητας πλεύσεως ή ελάττωσης της ειδικής κατανάλωσης καυσίμου, θα υπεραντισταθμίζει τα δύο αυτά μειονεκτήματα. Έτσι η πιο διαδεδομένη εφαρμογή, που πληρεί τους παραπάνω όρους, είναι ο συνδυασμός της μεθόδου της έγχυσης με αυτήν των πηδαλίων καμπυλότητας, γνωστή ως πηδάλιο κλίσεως με έγχυση. Σε αυτή τη μέθοδο, που βλέπουμε και στο σχήμα , με μία απλή διάταξη, ανοίγει μία σχισμή στο πίσω μέρος της πτέρυγας, από την οποία εκτοξεύεται ρεύμα αέρα προς το επάνω μέρος του χείλους προσβολής του πτερυγίου. Αποτέλεσμα είναι σε μία απλή αεροτομή με συντελεστή άντωσης CL max =1,5 το πηδάλιο κλίσεως με έγχυση να παρέχει CL max = 4. Κλείνοντας θα πρέπει να αναφέρουμε ότι, παρ όλα τα θετικά αποτελέσματα που έχουν στις επιδόσεις του αεροσκάφους οι μέθοδοι απορρόφησης και εγχύσεως, δεν έχουν τύχει ακόμη ευρείας τεχνολογικής εφαρμογής. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι 67

77 οι οπές που πραγματοποιούν αυτές τις μεθόδους, θα πρέπει να έχουν μικρή διάμετρο, όπως ήδη αναφέραμε, και μάλιστα της τάξεως του εξαιρετικά μικρού πάχους του οριακού στρώματος. Έτσι αυτό δημιουργεί πρόβλημα αποφράξεως τους, όχι μόνο από έντομα, αλλά και από σταγονίδια βροχής ή κόκκους πάγου. (Σχήμα : Πηδάλιο Κλίσεως με Έγχυση) 4.4 Στρόβιλοι Γενικά Η ροή του αέρα μπορεί να χωρισθεί σε δύο βασικές μορφές ροής, οι οποίες έχουν διαφορετικές φυσικές και κινηματικές ιδιότητες και εξαιτίας αυτού διαφέρουν στη μαθηματική τους ανάλυση. Έτσι έχουμε τις ροές χωρίς περιστροφή, γνωστές ως Αστρόβιλες, και τις ροές με περιστροφή ονόματι Στροβιλώδεις Αστρόβιλη ροή Σαν Αστρόβιλη χαρακτηρίζεται μία ροή, όταν τα στοιχειώδη σωματίδια του αέρα ενώ μεταβάλλουν τη θέση τους στο χώρο, δεν στρέφονται περί τον εαυτό τους, σχήμα Η γωνιακή ταχύτητα κάθε στοιχείου δηλαδή είναι μηδέν. 68

78 (Σχήμα : Μορφή Αστρόβιλης ροής) Η αστρόβιλη ροή συναντάται γενικά σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει τριβή και πηγές ή καταβόθρες. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι μία ροή είναι αστρόβιλη, όταν ο στροβιλισμός του διανυσματικού πεδίου της ταχύτητας αυτής είναι μηδέν. Δηλαδή: rοt = 0 = 0 = 0 u υ w Με την προϋπόθεση βέβαια ότι: = u + υ + w και =

79 4.4.3 Στροβιλώδης ροή Προσδιορισμός της Στροβιλώδους ροής Στροβιλώδη ονομάζουμε τη ροή κατά την οποία, τα στοιχειώδη σωματίδια μεταβάλλουν τη θέση τους στο χώρο και ταυτόχρονα περιστρέφονται γύρω από τον εαυτό τους, όπως βλέπουμε και στο σχήμα (Σχήμα : Μορφή Στροβιλώδους ροής) Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, σε ροές χωρίς τριβή και χωρίς πηγές ή καταβόθρες, δεν έχουμε στροβίλους και ισχύει η εξίσωση της μη περιστροφής (rοt =0), όπως βέβαια και η εξίσωση της Συνέχειας. Όμως υπάρχουν ροές οι οποίες έχουν σημειακές πηγές ή καταβόθρες κι έτσι σχηματίζονται ενδιαφέροντα πεδία ροής, όπως το δίπολο, και στις οποίες δεν ισχύει φυσικά η εξίσωση της Συνέχειας. Αυτές είναι λοιπόν οι Στροβιλώδεις ροές και χαρακτηριστικό τους είναι φυσικά, ότι περιέχουν στροβίλους. Υπάρχουν επίσης δυναμικές ροές (ροές χωρίς τριβή) οι οποίες περιέχουν σημεία, για τα οποία δεν ισχύει η προϋπόθεση της μη περιστροφής. Αυτά τα σημεία βρίσκονται επάνω σε μία γραμμή η οποία ονομάζεται, Στροβιλογραμμή. Πάνω εδώ, πριν αναφερθούμε στις αρχές που διέπουν τη Στροβιλώδη ροή και στους νόμους των στροβίλων, θα πρέπει να ορίσουμε την έννοια της Κυκλοφορίας Γ. Κυκλοφορία Γ Η Κυκλοφορία είναι το μέτρο στροβιλότητας της ροής, η έννοια της είναι μαθηματική και εισάγεται με σκοπό την γεωμετρική περιγραφή της ροής. Έτσι μέσα σ ένα πεδίο ροής ορίζουμε ένα χώρο αέρα, όπως φαίνεται στο σχήμα , ο 70

80 οποίος περιβάλλεται από μια καμπύλη Κ. Την Κυκλοφορία Γ ορίζει λοιπόν, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του διανύσματος της ταχύτητας κατά μήκος της κλειστής καμπύλης Κ. Δηλαδή: Γ = Γ = Με μορφή δε καρτεσιανών συντεταγμένων η κυκλοφορία δίνεται από τη σχέση: Γ = (udx + υdy + wdz) (Σχήμα ) Τονίζουμε ακόμη ότι η κυκλοφοριακή κίνηση είναι αστρόβιλη παρ ότι κάθε στοιχείο διαγράφει τέλειο κύκλο. Δηλαδή κατά την κίνηση ένας θεωρητικός άξονας του στοιχείου παραμένει σταθερά παράλληλος σε μια αρχική θέση. 71

81 Νόμοι τωνστροβίλων Σαν στρόβιλο γενικά μπορούμε να θεωρήσουμε ένα πυρήνα του αέρα που περιστρέφεται σαν να ήταν στερεό και γύρω από αυτόν ο αέρας ρέει σε ομόκεντρους κύκλους, όπως βλέπουμε και στο παρακάτω σχήμα. (Σχήμα : Στρόβιλος) Προτού τώρα αναπτύξουμε τους νόμους των στροβίλων, αναφέρουμε ορισμένους σχετικούς ορισμούς, ενός πεδίου που περιέχει στροβίλους. Έτσι λοιπόν ως Στροβιλογραμμή ορίζουμε κάθε γραμμή της ροής επί της οποίας εφάπτονται τα διανύσματα rot, Στροβιλοσωλήνα το σύνολο των στροβιλογραμμών που περιέχονται σε μια κλειστή γραμμή, Στροβιλονημάτιο το στροβιλοσωλήνα μικρής διατομής, ενώ Στροβιλοστοιχείο ένα απειροστό τμήμα του στροβιλονηματίου. Τέλος Ρευστή Γραμμή ονομάζουμε κάθε γραμμή που περιέχει τα ίδια πάντοτε στοιχεία ρευστού και η οποία κινείται με την ταχύτητα της ροής. Μεταξύ της ταχύτητας Vτου αέρα και της απόστασης r από το κέντρο ενός στροβίλου ισχύει η σχέση: Vr = C = σταθερό Όπως παρατηρούμε από τη σχέση αυτή, η ταχύτητα στη ροή γύρω από ένα πυρήνα στροβίλου, είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ακτίνα. Δηλαδή πιο απλά, οι ταχύτητες που αναπτύσσονται στο κέντρο του στροβίλου είναι πιο μεγάλες από τις 72

82 ταχύτητες στην περιφέρεια του. Οπότε όσο πιο συγκεντρωμένος είναι ο πυρήνας του στροβίλου σ ένα σημείο τόσο μεγαλώνει η ταχύτητα του. Επίσης ο αέρας μέσα στον πυρήνα συμπεριφέρεται σαν ένας στερεός κύλινδρος και περιστρέφεται με μία ομοιόμορφη γωνιακή ταχύτητα. Ο στρόβιλος στο σύνολο του, βάση της αντίστροφης αναλογίας της ταχύτητας V προς την απόσταση r εντός της εξωτερικής περιοχής του, χαρακτηρίζεται από την κυκλοφορία του Γ, η οποία δίνεται από τη σχέση: Γ = 2 π C = 2 π Vr Από τη σχέση συμπεραίνουμε ότι λόγο της σταθερής ποσότητας C, σταθερή θα είναι και η κυκλοφορία Γ. Λύνοντας τώρα ως προς V λαμβάνουμε την σχέση που συνδέει την κυκλοφορία της ροής σε μια περιοχή που περιέχει ένα σημειακό στρόβιλο, με την ταχύτητα της ροής σ αυτή την περιοχή. Έτσι: V = Σημειώνουμε ακόμα ότι εφ όσον η περιοχή περιέχει το κέντρο του στροβίλου, η κυκλοφορία γύρω απ αυτό είναι ίση με Γ, οποιοδήποτε κι αν είναι το σχήμα της περιοχής, ενώ η ολική κυκλοφορία γύρω από την περιοχή, η οποία και δεν περιέχει το κέντρο του στροβίλου, είναι μηδέν. Στο σημείο αυτό μπορούμε να ορίσουμε τους νόμους που διέπουν τους στροβίλους. Έτσι λοιπόν έχουμε: Νόμος του Thomson (Lord Kelvin) Σε μια ομογενή ροή χωρίς τριβή η κυκλοφορία για μια ρευστή γραμμή είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο. Δηλαδή: = 0 73

83 Νόμοι του Helmholtz 1) Κάθε στροβιλονημάτιο αποτελείται πάντοτε από τα ίδια στοιχεία. 2) Κάθε στροβιλονημάτιο δεν τελειώνει ποτέ μέσα στο ρευστό. Έτσι ή είναι κλειστό ή καταλήγει σ ελεύθερη επιφάνεια ή σε τοίχωμα ή στο άπειρο. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ως: div rot = 0 3) Η γωνιακή ταχύτητα ω, σε οποιαδήποτε διατομή Α ενός στροβιλονηματίου, είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την διατομή του. Δηλαδή: 2 ω Α = Γ = σταθερό Νόμος Biot - Savart Κάθε στοιχείο ενός στροβιλονηματίου προσδίδει ταχύτητα σ ένα σημείο του χώρου P. Η ταχύτητα αυτή είναι κάθετη στην επίπεδη επιφάνεια που ορίζεται από τα διανύσματα και και δίνεται από τη σχέση: d = Αν τώρα το στροβιλονημάτιο βρίσκεται σ ένα επίπεδο, τότε η ταχύτητα που δημιουργεί η ύπαρξη αυτού δίνεται από τη σχέση: = ή = ds 74

84 Το νόμο Biot Savart τον εφαρμόζουμε όταν θέλουμε να υπολογίσουμε την επαγόμενη ταχύτητα για την περίπτωση μιας ευθείας πεπερασμένου μήκους. Η εισαγωγή των πεπερασμένων γραμμών είναι χρήσιμη διότι την χρησιμοποιούμε στον υπολογισμό των επαγομένων ταχυτήτων των ελεύθερων στροβίλων στην πτέρυγα πεπερασμένου εκπετάσματος. Έτσι, σύμφωνα με το νόμο Biot Savart, εάν έχουμε ένα στροβιλονημάτιο μήκους ΑΒ, όπως στο σχήμα , το οποίο έχει μια κυκλοφορία Γ, τότε το σημείο προς εξέταση Ρ το οποίο απέχει απόσταση α από την γραμμή, θα έχει μια ταχύτητα. Οπότε ύστερα από πράξεις καταλήγουμε ότι: Για περίπτωση ημιστροβιλονηματίου έχουμε: = Για περίπτωση απειροστροβιλονηματίου έχουμε: = (Σχήμα ) 75

85 Εφαρμογές των Στροβίλων σε Πτέρυγες Μία αεροτομή για να παράγει άντωση πρέπει να υπάρχει κυκλοφορία, σύμφωνα με το θεώρημα Kutta Joukowsky, το οποίο εκφράζεται ως: L = ρ V b Γ Αυτό το βλέπουμε και στα παρακάτω σχήματα, όπου στο έχουμε κυκλοφορία οπότε και άντωση, ενώ στο δεν έχουμε κυκλοφορία και επομένως δεν υπάρχει άντωση. (Σχήμα ) (Σχήμα ) Στο σχήμα μπορούμε να φανταστούμε ότι, το πεδίο ταχυτήτων γύρω απ την αεροτομή, δημιουργείται από τον συνδυασμό της παράλληλης ροής και του δεξιόστροφου στροβίλου Κυκλοφορίας Γ που βρίσκεται μέσα στην πτέρυγα κατά μήκος του εκπετάσματος. Αυτόν το στρόβιλο, που είναι αναγκαίος για τη δημιουργία 76

86 της μεγάλης ταχύτητας στην ράχη και της μικρής στην κοιλία, τον ονομάζουμε Στρόβιλο Πτέρυγας. Ο στρόβιλος πτέρυγας όμως, σύμφωνα με τους νόμους των στροβίλων και συγκεκριμένα του 2 ου νόμου του Helmholtz, δεν μπορεί να τελειώνει στα άκρα της πτέρυγας αλλά πρέπει να συνεχίζει. Πράγματι κατά την πτήση, εξαιτίας της ανακύκλωσης που δημιουργεί στα ακροπτερύγια η εξίσωση των πιέσεων κοιλίας ράχης, δημιουργούνται δύο στρόβιλοι παράλληλοι που ονομάζονται Ελεύθεροι Στρόβιλοι, τα άκρα των οποίων ενώνει τελικά ο Στρόβιλος Εκκινήσεως. Τους στροβίλους αυτούς τους βλέπουμε αναλυτικά στο σχήμα (Σχήμα : Κλειστό μοντέλο στροβίλων στην πτέρυγα) Στην πτέρυγα του αεροσκάφους έχει επίσης εφαρμογή και ο πρώτος νόμος στων στροβίλων, όπως βλέπουμε και στα παρακάτω σχήματα. Αυτό αποδεικνύεται από το εξής γεγονός. Πριν ξεκινήσει η πτήση, η κυκλοφορία είναι μηδέν,σχήμα , αφού παντού η ταχύτητα γύρω από την πτέρυγα είναι μηδέν. Όμως επειδή η κυκλοφορία δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, όταν ξεκινήσει η πτήση, η κυκλοφορία θα πρέπει να συνεχίσει να είναι μηδέν. Αυτό λοιπόν επιτυγχάνεται διότι, ταυτόχρονα εμφανίζεται και ο στρόβιλος εκκινήσεως, σχήμα , ο οποίος έχει ίση και αντίθετη κυκλοφορία με τον στρόβιλο πτέρυγας, με αποτέλεσμα η ολική κυκλοφορία να είναι μηδενική. (Σχήμα ) 77

87 (Σχήμα ) 4.5 Όργανα μέτρησης της ταχύτητας του αέρα Χοάνη Ventouri Μία από τις πρώτες συσκευές οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν για τη μέτρηση της ταχύτητας του αέρα ήταν η χοάνη που επινόησε ο Ventouri ( ). Η χοάνη αυτή συνδέεται με μανόμετρο ή με όργανο διαφορετικής πιέσεως, όπως βλέπουμε και στο σχήμα , και χρησιμοποιείται μόνο στις μικρές ταχύτητες, όπου ο αέρας θεωρείται ασυμπίεστος (0<Μ<0,4). Η θέση (1) αντιπροσωπεύει τις συνθήκες του ελεύθερου ρεύματος και η θέση (2) τις συνθήκες στη στένωση της χοάνης. Έτσι από την εξίσωση Bernoulli για τις θέσεις (1) και (2) έχουμε p 1 + ρv 2 1 = p 2 + ρv 2 2 και από την εξίσωση της Συνέχειας S 1 V 1 =S 2 V 2. Συνδυάζοντας τις σχέσεις αυτές προκύπτει: V 1 = Η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων (1) και (2), δηλαδή p 1 - p 2, μετράται από τη μετακίνηση Δh του υγρού μέσα στο μανόμετρο. Έτσι συνδέοντας κατάλληλα ένα βαθμονομημένο όργανο και δεδομένου ότι τα άλλα μεγέθη της σχέσης παραμένουν αμετάβλητα, λαμβάνουμε αμέσως την τιμή της V 1. Λόγω του ότι η χοάνη Ventouri δημιουργεί μεγάλη οπισθέλκουσα, οξειδώνεται εσωτερικά, είναι επιρρεπής στον σχηματισμό πάγου και γενικά δεν παρέχει την 78

88 απαιτούμενη ακρίβεια στη μέτρηση της ταχύτητας του αέρα, η χρήση της περιορίζεται στα βραδέα αεροπλάνα και ανεμοπλάνα. Παρ όλα αυτά χρησιμοποιείται και σήμερα στα αεροπλάνα στην πηγή υποπίεσης, στους ανεμιστήρες των εμβολοφόρων κινητήρων και στις υποηχητικές αεροδυναμικές σήραγγες. (Σχήμα : Χοάνη Ventouri) Σωλήνας Pitot Όπως προαναφέραμε η χοάνη Ventouri δεν μας δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για τη μέτρηση της ταχύτητας του αέρα. Έτσι από το 1732, οπότε και επινοήθηκε, χρησιμοποιείται σε όλα τα σύγχρονα αεροπλάνα ο σωλήνας Pitot. Στο σχήμα βλέπουμε τους δύο διαφορετικούς τρόπους εγκατάστασης του σωλήνα Pitot στο αεροπλάνο, οι οποίοι και μας δείχνουν την διαφορά πίεσης μεταξύ του στομίου του σωλήνα Pitot και των σχισμών λήψης της στατικής πίεσης, μέσω των διαφορικών οργάνων μετρήσεως. 79

89 (Σχήμα : Σωλήνας Pitot) Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulliγια οποιαδήποτε από τις δύο διατάξεις του σωλήνα Pitot και ορίζοντας το σημείο (1) στην είσοδο του σωλήνα και το σημείο (2) σε τυχαία ευθύγραμμη απόσταση από το (1) έχουμε: p 1 = p 2 + ρ Όπως παρατηρούμε στο σημείο (1) η ταχύτητα V 1 μηδενίζεται. Δηλαδή μετατρέπεται ολόκληρο το ποσό της δυναμικής πίεσης του αέρα σε στατική πίεση. Το σημείο αυτό ονομάζεται Σημείο Ανακοπής. Στη σχέση αυτή φαίνεται ότι έχουμε τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε την ταχύτητα V 2, αν μετρήσουμε την διαφορά των πιέσεων ( p 1 - p 2 ) μέσω των οργάνων διαφορικής πίεσης και εφ όσον βέβαια γνωρίζουμε την πυκνότητα ρ. Έτσι λύνοντας την παραπάνω σχέση ως προς V 2 έχουμε: V 2 = 80

90 4.5.3 Δεικνυόμενη και Αληθής Ταχύτητα του αέρα (V Ι - V T ) Η ταχύτητα V 2 όπως βλέπουμε και από την προηγούμενη σχέση, εξαρτάται και από την πυκνότητα. Επειδή όμως η πυκνότητα, ακόμα και για μικρές υποηχητικές πτήσεις ενός αεροπλάνου, δεν διατηρείται σταθερή, διότι μεταβάλλεται και με το ύψος πτήσης, είμαστε υποχρεωμένοι να βασιστούμε σε μια σταθερή τιμή της. Σαν τέτοια έχει επιλεγεί η καθορισμένη τιμή της πυκνότητας στην επιφάνεια της θάλασσας, ρ 0 = 1,255 kg/m 3. Αυτό όμως έχει ως αποτέλεσμα το ταχύμετρο του αεροπλάνου να μην παρέχει την πραγματική, ή αλλιώς την αληθή, ταχύτητα του αεροπλάνου V T ή TAS (True Air Speed), αλλά μια διαφορετική ταχύτητα η οποία ονομάζεται δεικνυόμενη, συμβολίζεται με V I ή IAS (Indicated Air Speed) και δίνεται από τον τύπο: V Ι = Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο προηγούμενες σχέσεις τώρα ( ), λαμβάνουμε τον τύπο που συνδέει τις δύο ταχύτητες, ο οποίος είναι: V T = V I όπου: σ σχετική πυκνότητα (σ = ) Αν και έχουν κατασκευασθεί ταχύμετρα της αληθούς ταχύτητας του αέρα, χρησιμοποιούνται κυρίως τα ταχύμετρα της δεικνυόμενης ταχύτητας αυτού, διότι η IAS είναι μέτρο της δυναμικής πίεσης του ρεύματος και η δυναμική πίεση με τη σειρά της αποτελεί την θεμελιώδη παράμετρο ασφαλείας της πτήσης, τόσο από άποψης στήριξης του αεροπλάνου όσο και από άποψης καταπόνησής του. Εν τούτοις συνηθίζεται εκτός του ταχύμετρου IAS να υπάρχει και ταχύμετρο TAS. Τέλος αναφέρουμε ότι η πραγματική ένδειξη του ταχύμετρου IAS διαφέρει από το αποτέλεσμα της σχέσης της V Ι. Αυτό συμβαίνει διότι το ταχύμετρο υπόκειται σε δύο βασικά σφάλματα. Πρώτον στο σφάλμα οργάνου και δεύτερον στο σφάλμα θέσεως. Το σφάλμα οργάνου οφείλεται σε κατασκευαστικές ατέλειες, είναι μικρό και μπορεί να αγνοηθεί. Το σφάλμα θέσεως απ την άλλη οφείλεται στο ότι το σύστημα λήψεως 81

91 της στατικής πίεσης δεν παρέχει την πραγματική στατική πίεση του ελεύθερου ρεύματος, διότι ακόμα και για την περίπτωση εύρεσης της καταλληλότερης θέσης για την τοποθέτηση των σχισμών, σημειώνονται μεταβολές εξαιτίας των αλλαγών της θέσης του αεροπλάνου κατά την πτήση ή της διαφορετικής του διαμόρφωσης. Έτσι για να πετύχουμε την εξουδετέρωση του σφάλματος θέσεως, πραγματοποιούμε δοκιμές σε πτήση με διάφορες διαμορφώσεις του αεροπλάνου και κατασκευάζουμε πίνακες και διαγράμματα, σύμφωνα με τα αποτελέσματα των μετρήσεων που λαμβάνουμε. Σε χαμηλών επιδόσεων αεροπλάνα το σφάλμα θέσεως παρέχεται μόνο σε σχέση της IAS, ενώ σε μεγάλων επιδόσεων παρέχεται σε σχέση και της IAS και του ύψους πτήσης. Η ταχύτητα V I μετά την διόρθωση της εξαιτίας του σφάλματος θέσεως ονομάζεται διακριβωμένη ταχύτητα του αέρα και συμβολίζεται με V C ή CAS (Calibrated Air Speed). 82

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΕΡΟΤΟΜΕΣ ΜΙΚΡΩΝ ΥΠΟΗΧΗΤΙΚΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ 5.1 Αεροδυναμικά χαρακτηριστικά αεροπλάνου Γενικά Όταν ένα στερεό σώμα τυχαίου σχήματος κινείται με σταθερή ταχύτητα μέσα στον αέρα, τότε εξασκείτε σ αυτό μία δύναμη ροής R (η δύναμη αντίστασης δηλαδή) και μία ροπή Μ. Λόγω του αξιόλογου ενδιαφέροντος, από πλευράς αεροδυναμικής, που παρουσιάζουν αυτές οι δυνάμεις, η μελέτη και η ανάλυση τους συνιστούν ένα από τα ενδιαφέροντα της Εφαρμοσμένης Αεροδυναμικής ή της Αεροδυναμικής του Αεροπλάνου. Έτσι σκοπός της Αεροδυναμικής του Αεροπλάνου είναι η παροχή πληροφοριών σχετικά με τις αεροδυναμικές δυνάμεις και την εξάρτηση τους από το γεωμετρικό σχήμα των διαφόρων τμημάτων του αεροπλάνου, βασικότερα εκ των οποίων είναι η πτέρυγα, η άτρακτος και το ουραίο πτέρωμα Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Η συνισταμένη δύναμη του αέρα που ασκείται στο αεροπλάνο αναλύεται γενικά σε τρεις δυνάμεις και τρεις ροπές. Οι έξι αυτές συνιστώσες αντιστοιχούν σε έξι Βαθμούς Ελευθερίας της κινήσεως του αεροπλάνου. Τις δυνάμεις αυτές τις περιγράφουμε καθορίζοντας δύο διαφορετικά συστήματα αξόνων. Έτσι έχουμε ένα Σταθερό Σύστημα Αξόνων με συντεταγμένες [ x f, y f, z f ]και ένα Μεταβλητό Σύστημα Αξόνων με συντεταγμένες[ x e, y e, z e ], τα οποία και βλέπουμε στο σχήμα Οι αρχές Ο των συντεταγμένων και των δύο συστημάτων, συμπίπτουν και βρίσκονται στο επίπεδο συμμετρίας του αεροπλάνου. Ως επίπεδο συμμετρίας νοούμε το επίπεδο που ορίζεται από τον διαμήκη άξονα x f και τον 83

93 κάθετο z f του αεροπλάνου. Η ακριβή θέση δε των αρχών αυτών των συστημάτων, στο επίπεδο συμμετρίας, επιλέγεται σε κάθε περίπτωση διαφορετικά. Έτσι για τη μελέτη της Μηχανικής της Πτήσης, σαν αρχή Ο λαμβάνεται το κέντρο βάρους του αεροπλάνου, ενώ για αεροδυναμικούς υπολογισμούς το Ο καθορίζεται από τη γεωμετρία του αεροπλάνου. Στο σχήμα βλέπουμε ακόμη ότι το σταθερό σύστημαfμε το μεταβλητό σύστημα e, έχουν τον εγκάρσιο άξονα κοινό (y e = y f ). (Σχήμα : Συστήματα αξόνων σε αεροπλάνο) Βάση λοιπόν των προϋποθέσεων που αναφέραμε, οι δυνάμεις και οι ροπές που ασκούνται στο αεροπλάνο, για κάθε σύστημα είναι: 84

94 ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΥΣΤΗΜΑ [ f ] xf Άξονας x f :Διαμήκης Δύναμη F f :Ροπή Διατοιχισμού yf Άξονας y f :Εγκάρσια Δύναμη M f :Ροπή Πρόνευσης (Ανατροπής) zf Άξονας z f :Κάθετη Δύναμη N f :Ροπή Εκτροπής ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ [ e ] xe Άξονας x e :Διαμήκης Δύναμη F e :Ροπή Διατοιχισμού ye Άξονας y e :Εγκάρσια Δύναμη M e :Ροπή Πρόνευσης (Ανατροπής) ze Άξονας z e :Κάθετη Δύναμη N e :Ροπή Εκτροπής 85

95 Επιπλέον στην Αεροδυναμική, εκτός αυτών των δυνάμεων και ροπών, χρησιμοποιούνται και οι γνωστές δυνάμεις, Άντωση L και Οπισθέλκουσα D. Αυτές σε συνάρτηση με τις παραπάνω δίνονται από τις σχέσεις: L = - z e και D = - x e Επίσης από το γεγονός ότι οι εγκάρσιοι άξονες συμπίπτουν έχουμε και τις σχέσεις: y f = y e και M f = M e Για την μετατροπή τέλος από το ένα σύστημα αξόνων στο άλλο ισχύουν οι τύποι: Μεταβλητό σε Σταθερό x f = x e cosα - z e sinα z f = z e cosα + x e sinα F f = F e cosα - N e sinα N f = N e cosα +F e sinα Σταθερό σε Μεταβλητό x e = x f cosα + z f sinα z e = z f cosα x f sinα F e = F f cosα + N f sinα N e = N f cosα F f sinα 86

96 5.2 Ανάπτυξη της Πτέρυγας Γενικά Όπως γνωρίζουμε η αεροτομή, η διαμήκης τομή της πτέρυγας δηλαδή, είναι ένας από τους παράγοντες του σχεδιασμού της πτέρυγας. Έτσι θεωρήσαμε σωστότερο, προτού αναφερθούμε στην αεροτομή και προχωρήσουμε στην ανάλυση της, να αναπτύξουμε συνολικά όλους τους παράγοντες που καθορίζουν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της πτέρυγας Γεωμετρικά χαρακτηριστικά της πτέρυγας Προσδιορισμός της Πτέρυγας Οι πτέρυγες, όπως είδαμε και στην αρχή του κεφαλαίου, είναι από τα βασικότερα τμήματα του αεροπλάνου, μαζί με την άτρακτο και το ουραίο πτέρωμα (στα 2 τελευταία δεν θα αναφερθούμε). Συγκεκριμένα είναι το πιο καθοριστικό τμήμα του αεροπλάνου, για την επίτευξη της απογείωσης και εν συνεχεία της ομαλούς πτήσεως. Με το ειδικό σχήμα τους δημιουργούν την αναγκαία άντωση καθώς και την ευστάθεια προς τον διαμήκη άξονα του αεροπλάνου, χωρίς να παρουσιάζουν μεγάλη οπισθέλκουσα κατά την κίνηση τους. Μπορούμε να την περιγράψουμε γενικά, σαν ένα επίπεδο σώμα, του οποίου η μία διάσταση (πάχος) είναι πολύ μικρή συγκριτικά με τις άλλες δύο (εκπέτασμα και μήκος αεροτομής). Επίσης, όπως είναι φυσικό, έχει ένα επίπεδο συμμετρίας, το οποίο συμπίπτει με το επίπεδο συμμετρίας του αεροπλάνου. Το γεωμετρικό σχήμα της πτέρυγας καθορίζεται κυρίως από την Κάτοψη (πτερυγιακή επιφάνεια και γωνία βέλους), την Αεροτομή (διατομή πτέρυγας), την Συστροφή και την Δίεδρη γωνία. Για την περιγραφή της γεωμετρίας της, καθορίζουμε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων. Τοποθετούμε δηλαδή, κατά την κάτοψη, την αρχή των αξόνων Ο, στο εμπρόσθιο σημείο της ακμής, της εσωτερικής τομής της πτέρυγας. Έτσι, με αυτή την τοποθέτηση του τρισορθογωνίου συστήματος καρτεσιανών συντεταγμένων, που φαίνεται στο σχήμα , η Κάτοψη της πτέρυγας μετριέται στο επίπεδο Οxy, η 87

97 Διατομή (Αεροτομή) και η Γωνία Συστροφής στο Οxz (πλάγια όψη) και η Δίεδρη γωνία ( Γ ) στο Οyz (πρόοψη). Επίσης την αρχή των αξόνων Ο, την τοποθετούμε και στο γεωμετρικό ουδέτερο σημείο. Με την περίπτωση αυτή όμως δεν θα ασχοληθούμε. (Σχήμα : Σύστημα αξόνων στην πτέρυγα) Κάτοψη της πτέρυγας Την περιγραφή της γεωμετρίας της πτέρυγας, ως προς την κάτοψή της, την πετυχαίνουμε καθορίζοντας επάνω σ αυτήν ένα σταθερό σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, το οποίο και ορίσαμε πρωτύτερα. Έτσι τον άξονα x τον ορίζουμε κατά μήκος της ατράκτου με θετική φορά προς τα πίσω, τον άξοναy κάθετο στο συμμετρικό επίπεδο της πτέρυγας με θετική φορά προς τα δεξιά και τον άξονα z, ο οποίος είναι φυσικά κάθετος στο επίπεδο Οxy, με θετική τη φορά προς τα επάνω. Στο σχήμα βλέπουμε τις κατόψεις για μία τραπεζοειδή, μία τριγωνική και μία ελλειψοειδή πτέρυγα αντιστοίχως. 88

98 (Σχήμα : Κατόψεις πτερύγων) Τα βασικά μεγέθη τώρα, κατά τα οποία καθορίζουμε την πτέρυγα, είναι: - Εκπέτασμα της Πτέρυγας b = 2l (μέγιστο άνοιγμα των πτερυγίων κατά την y διεύθυνση). - Μήκος Χορδής C. Είναι συνάρτηση της εγκάρσιας συντεταγμένης y και το διαχωρίζουμε σε: Μήκος χορδής της εσωτερικής τομής της πτέρυγας ή χορδή της ρίζας Ci (y=0) και σε Μήκος της εξωτερικής τομής ή χορδή ακροπτερυγίου Ca (y= l). - Λόγος Εκλέπτυνσης λ = Ca/Ci (λόγος εξωτερικής χορδής προς εσωτερική χορδή). - Πτερυγική Επιφάνεια S = (εμβαδόν της προβολής της πτέρυγας στο Οxy, στο οποίο συνυπολογίζεται τυχόν διακοπή της πτέρυγας από την 89

99 άτρακτο). Για πτέρυγα με σταθερό μήκος χορδής (ορθογώνια) ο τύπος γίνεται S = bc. - Λόγος Πτερυγικού Φόρτου λ w = W/S (λόγος του βάρους του αεροσκάφους προς την πτερυγική επιφάνεια). - Μέση Αεροδυναμική Xορδή Cm= S/b (λόγος πτερυγικής επιφάνειας προς μήκος εκπετάσματος). - Επιμήκυνση της Πτέρυγας ή Διάταμα AR (Aspect Ratio) Λ = b 2 /S (λόγος τετραγώνου του εκπετάσματος προς την πτερυγική επιφάνεια). Είναι το μέτρο προσδιορισμού της λεπτότητας της πτέρυγας κατά την διεύθυνση ανοίγματος αυτής. Επίσης η άλλη μορφή του τύπου είναι: Λ = b/cm, ενώ για ορθογώνια πτέρυγα ειδικά γίνεται: Λ = b/c. - Γωνία Βέλους. Είναι η γωνία μεταξύ, της ευθείας που απέχει από το χείλος προσβολής C/4 (Γραμμή ¼) και της ευθείας που είναι κάθετη στο επίπεδο συμμετρίας. Πτέρυγες με γωνία βέλους χρησιμοποιούνται κατά κανόνα σε αεροσκάφη υψηλών ταχυτήτων. Διατομή ή Αεροτομή της πτέρυγας (πλάγια όψη) Για την εύκολη και αποδοτική παραγωγή άντωσης, απαιτείται η κατάλληλη μορφή της διατομής της πτέρυγας η οποία χαρακτηρίζεται απ την αεροτομή της. Με τον όρο αεροτομή εννοούμε την τομή της πτέρυγας από ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο συμμετρίας του αεροπλάνου. (Σχήμα : Αεροτομή πτέρυγας) 90

100 Η αεροτομή χαρακτηρίζεται επίσης από ορισμένα γεωμετρικά χαρακτηριστικά, όπως βλέπουμε και στο επάνω σχήμα, τα οποία και είναι: Ράχη - Κοιλία: Η επάνω και η κάτω, αντίστοιχα, καμπύλες πλευρές της αεροτομής. Μέση Γραμμή Καμπυλότητας: Ονομάζεται η γραμμή η οποία ενώνει τα κέντρα των εγγεγραμμένων, στην αεροτομή, κύκλων. Χείλος Προσβολής: Το ακραίο εμπρόσθιο σημείο της αεροτομής. Χείλος Εκφυγής: Το ακραίο οπίσθιο σημείο της αεροτομής. Χορδή C : Ονομάζεται η ευθεία που ενώνει το χείλος προσβολής με το χείλος εκφυγής της αεροτομής. Μέγιστο Πάχος t: Είναι η διάμετρος του μεγαλύτερου εγγεγραμμένου κύκλου στην αεροτομή ή πιο απλά η μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ ράχης και κοιλίας. Μέγιστη Καμπυλότητα f : Είναι η μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ της μέσης γραμμής καμπυλότητας και της χορδής. Θέση Μέγιστου Πάχους xt : Είναι η απόσταση του μέγιστου πάχους από το χείλος προσβολής. Θέση Μέγιστης Καμπυλότητας xf : Είναι η απόσταση της μέγιστης καμπυλότητας από το χείλος προσβολής. Με βάση τα παραπάνω μεγέθη ορίζουμε και τα ακόλουθα αδιάστατα μεγέθη, τα οποία συνήθως εκφράζονται επί τοις % της χορδής. Έτσι έχουμε: 91

101 Σχετικό Πάχος t/c : Λόγος μέγιστου πάχους προς τη χορδή. Σχετική Καμπυλότητα f/c : Λόγος μέγιστης καμπυλότητας προς τη χορδή. Σχετική Θέση Μέγιστου Πάχους xt/c : Λόγος θέσης μέγιστου πάχους προς τη χορδή. Σχετική Θέση Μέγιστης Καμπυλότητας xf/c : Λόγος θέσης μέγιστης καμπυλότητας προς τη χορδή. Τέλος αναφέρουμε τις καθοριστικές γωνίες της αεροτομής, τις οποίες και βλέπουμε στο σχήμα Έτσι λοιπόν έχουμε: Γωνία Προσβολής α : Είναι η γωνία που σχηματίζει η χορδή με τη διεύθυνση της ελεύθερης ροής του αέρα και είναι θετική όταν ο αέρας προσβάλλει την αεροτομή από την κοιλία. Επίσης ονομάζεται και Γεωμετρική Γωνία Προσβολής. Απόλυτη (Absolute)Γωνία Προσβολής αα : Είναι η γωνία που σχηματίζει η ελεύθερη ροή με την ειδική διεύθυνση της ροής για την οποία η συγκεκριμένη αεροτομή παράγει μηδενική άντωση. Δηλαδή η διεύθυνση μηδενικής άντωσης. Γωνία Μηδενικής Άντωσης αl=0 : Είναι η μικρή αρνητική γωνία κατά την οποία η συνήθης αεροτομή παράγει μηδενική άντωση L. Η σχέση επίσης που ισχύει μεταξύ των γωνιών είναι: αα = α - α L=0. Γενικά η διαφορά μεταξύ γεωμετρικής α και απόλυτης γωνίας αα οφείλεται στην καμπυλότητα της αεροτομής. Ειδικά σε συμμετρικές αεροτομές που α L=0 =0 ο, έχουμε ταύτιση των γωνιών, δηλαδή αα=α. 92

102 (Σχήμα ) Γωνία Συστροφής της πτέρυγας (πλάγια όψη) Ως Γεωμετρική Συστροφή της πτέρυγας ορίζουμε τη γωνία που σχηματίζει η χορδή της πτέρυγας στη ρίζα, με το επίπεδο Οxy. Η γωνία συστροφής (που ονομάζεται επίσης και γωνία πρόσπτωσης ή σφήνωσης) έχει ως αποτέλεσμα την βελτίωση της κατανομής της άντωσης στα ακροπτερύγια, η οποία ελαττώνεται λόγο της εξισορροπήσεως των πιέσεων της κοιλίας και της ράχης. Επίσης είναι σχετικά μικρή και σπάνια ξεπερνάει τις 10 ο. Δίεδρη Γωνία της πτέρυγας (πρόοψη) Δίεδρη γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ ευθείας που εκτείνεται κατά το ημιεκπέτασμα στο μέσο μεταξύ ράχης και κοιλίας της πτέρυγας και του επιπέδου Οxy. Υπολογίζεται και για τις δύο πλευρές της πτέρυγας και χρησιμεύει στην αντιμετώπιση του φαινομένου της πλαγιολισθήσεως, το οποίο εμφανίζεται κατά την εκτέλεση ορισμένων ελιγμών. 5.3 Ανάλυση της αεροτομής Γενικά Η αεροτομή, όπως αναφέραμε και προηγουμένως, είναι η διατομή της πτέρυγας, από ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο συμμετρίας του αεροπλάνου, και ένας από τους παράγοντες, που καθορίζουν τη γεωμετρία της πτέρυγας. 93

103 Σ αυτή την παράγραφο λοιπόν, θα ασχοληθούμε με τη συμπεριφορά μικρών υποηχητικών αεροτομών, για δισδιάστατη ροή γύρω από πτέρυγα. Λέγοντας δισδιάστατη ροή εννοούμε τη ροή που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά, σε όλα τα σημεία κατά μήκος του εκπετάσματος. Δηλαδή αναφερόμαστε σε πτέρυγα απέραντου, θεωρητικά, εκπετάσματος, όπου δεν λαμβάνονται υπ όψιν οι συνθήκες που επικρατούν στα ακροπτερύγια. Αυτή είναι η περίπτωση των πειραμάτων σε αεροδυναμική σήραγγα για τον προσδιορισμό των αεροδυναμικών συντελεστών μιας αεροτομής, όπου χρησιμοποιείται ένα μοντέλο ορθογώνιας πτέρυγας το οποίο καλύπτει πλήρως το πλάτος του αγωγού. Αυτή λοιπόν είναι η πειραματική πτέρυγα. Αντίθετα στην πτέρυγα πεπερασμένου εκπετάσματος, στην πραγματική πτέρυγα δηλαδή, η ροή είναι τρισδιάστατη (φυσικά) οπότε λαμβάνονται υπ όψιν οι συνθήκες στα ακροπτερύγια. Με την τελευταία περίπτωση δεν θα ασχοληθούμε. Έτσι θα προσδιορίσουμε και θα αναλύσουμε, τις βασικές δυνάμεις που ασκούνται στην αεροτομή, την κατανομή των πιέσεων, όπως επίσης και τη σχέση αυτών με τη γεωμετρία της πτέρυγας και με τη γωνία προσβολής Δυνάμεις στην αεροτομή Στην αεροτομή ασκούνται, ένεκα της κίνησης της μέσα στον αέρα, πιέσεις σε κάθε σημείο της επιφάνειας της, με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται στοιχειώδεις δυνάμεις κάθετες σε κάθε σημείο της επιφάνειας. Η συνισταμένη δύναμη λοιπόν, όλων αυτών των κάθετων, στην επιφάνεια, δυνάμεων, είναι η Αεροδυναμική Δύναμη (R) και το σημείο εφαρμογής της ονομάζεται Κέντρο Πίεσης (c.p.), το οποίο δεν είναι σταθερό αλλά μεταβάλλεται με τη γωνία προσβολής α. Η δύναμη R αναλύεται σε δύο συνιστώσες, την Άντωση (L), η οποία είναι κάθετη στη διεύθυνση της ροής με φορά προς τα επάνω και την Οπισθέλκουσα (D) η οποία είναι, όπως είδαμε και στην ενότητα του οριακού στρώματος, παράλληλη με τη διεύθυνση της ροής και έχει φορά προς τα πίσω. Η διεύθυνση και το μέγεθος της R και κατ επέκταση και των δυνάμεων της άντωσης L και της οπισθέλκουσας D εξαρτώνται από τη γωνία προσβολής α. Στο παρακάτω σχήμα διακρίνονται αυτές οι δυνάμεις καθώς επίσης η δύναμη ώθησης αλλά και το βάρος. 94

104 (Σχήμα : Ασκούμενες δυνάμεις στην αεροτομή) Αν τώρα, η αεροτομή ήταν ελεύθερη να περιστραφεί, γύρω από τον εγκάρσιο, στη διεύθυνση της ροής, άξονα, ο οποίος περνάει από ένα σημείο της αεροτομής, η δύναμη R θα δημιουργούσε μία τάση περιστροφής, δηλαδή μία ροπή, ως προς αυτόν τον άξονα. Αυτή η ροπή περιστροφής είναι η Ροπή Πρόνευσης (Ανατροπής) ή Διαμήκης Ροπή (Μ) και ορίζεται θετική όταν τείνει να αυξήσει τη γωνία προσβολής. Το σημείο αυτό δε, όταν αναφερόμαστε σε πτέρυγες, το λαμβάνουμε κατά κανόνα στο ¼ της χορδής (c/4) από το χείλος προσβολής. Αυτό επειδή, θεωρητικά, αποδεικνύεται ότι για κάθε αεροτομή, υπάρχει ένα σημείο ως προς το οποίο η Μ έχει σταθερή τιμή, ανεξάρτητα από τη γωνία προσβολής (δηλαδή η ροπή πρόνευσης παραμένει σταθερή για μεγάλος εύρος γωνιών προσβολής). Το σημείο αυτό λοιπόν ονομάζεται Αεροδυναμικό Κέντρο και είναι πολύ κοντά στο σημείο c/4, γεγονός που εξηγεί την εκλογή του c/4 ως σημείο αναφοράς της ροπής πρόνευσης. Λόγω αυτού συνηθίζεται να συμβολίζουμε τη ροπή πρόνευσης και ως Μ c/4. Επίσης, όπως αναφέραμε αρχικά, το σημείο εφαρμογής της R, το κέντρο πίεσης δηλαδή, δεν είναι σταθερό αλλά εξαρτάται από την γωνία προσβολής. Για να αποφύγουμε τη δυσκολία προσδιορισμού του κέντρου πιέσεων, είναι ισοδύναμο να θεωρήσουμε ότι η R εφαρμόζεται στο σημείο c/4 και να προσθέσουμε τη ροπή περιστροφής της R ως προς το σημείο c/4, σχήμα Στις καμπυλωτές αεροτομές, το αεροδυναμικό κέντρο βρίσκεται λίγο μπροστά από το c/4 και η ροπή πρόνευσης που δημιουργείται έχει αρνητική τιμή. Στις συμμετρικές αεροτομές απ την άλλη, το κέντρο πίεσης συμπίπτει με το αεροδυναμικό κέντρο και βρίσκεται ακριβώς στο σημείο c/4, ενώ η ροπή πρόνευσης είναι μηδέν. 95

105 (Σχήμα ) Για τις δυνάμεις αυτές, καθώς και τη ροπή πρόνευσης, ισχύουν οι εξής σχέσεις: L = ½ ρ V 2 S C L D = ½ ρ V 2 S C D M = ½ ρv 2 S l C M όπου: V ρ S l ταχύτητα πτήσης πυκνότητα αέρα επιφάνεια εκπετάσματος πτέρυγας (πτερυγική επιφάνεια) χαρακτηριστικό μήκος Στην πράξη συνηθίζεται να χρησιμοποιούμε τους αεροδυναμικούς συντελεστές που αντίστοιχα είναι: C L = C D = C M = 96

106 Οι συντελεστές αυτοί εξαρτώνται κυρίως από τη γωνία προσβολής α και το σχήμα της αεροτομής. Στα παρακάτω σχήματα βλέπουμε τη μεταβολή τους συναρτήσει της α για μια τυπική αεροτομή με καμπυλότητα. Όπως παρατηρούμε στο σχήμα η σχέση μεταξύ C L και α, είναι σχεδόν γραμμική, πράγμα που σημαίνει ότι η ροή παραμένει προσκολλημένη, στο μεγαλύτερο μέρος, της επάνω επιφάνειας της αεροτομής. Έτσι σε μεγαλύτερες γωνίες προσβολής, που έχουμε αποκόλληση της ροής του αέρα, η αύξηση του C L σταδιακά μειώνεται, φτάνει μία μέγιστη τιμή και μετά μειώνεται όσο αυξάνει η γωνία προσβολής. Επίσης, όπως αναμενόταν, σε γωνία προσβολής α=0 0 ο C L έχει μια μικρή θετική τιμή και η γωνία προσβολής μηδενικής άντωσης (α L=0 ) είναι μια μικρή αρνητική γωνία. (Σχήμα : Διάγραμμα C L a για καμπυλωτή αεροτομή) Στο επόμενο σχήμα βλέπουμε αντίστοιχα το γράφημα C D α. Όπως παρατηρούμε εδώ ο συντελεστής οπισθέλκουσας παίρνει την ελάχιστη τιμή για μια συγκεκριμένη γωνία προσβολής. Αυτή είναι μία μικρή αρνητική γωνία για καμπυλωτές αεροτομές, όπως του σχήματος, ενώ για συμμετρικές αεροτομές η γωνία αυτή είναι μηδέν. Ακόμη βλέπουμε ότι, όσο απομακρυνόμαστε από τη βέλτιστη αυτή γωνία, ο C D αυξάνεται, με αργό ρυθμό σε μια μικρή περιοχή πάνω ή κάτω από αυτή και κατόπιν αυξάνεται απότομα. 97

107 (Σχήμα : Διάγραμμα C D - aγια καμπυλωτή αεροτομή) Τέλος στο σχήμα βλέπουμε τη διακύμανση του C M σε σχέση με την α. Εδώ η μεταβολή του C M είναι σχεδόν γραμμική για τις συνήθεις γωνίες, ενώ γίνεται μη γραμμική σε μεγάλες γωνίες προσβολής όπου η ροή αποκολλάται από την επάνω επιφάνεια ή σε μεγάλες αρνητικές γωνίες προσβολής όπου η ροή αποκολλάται από τη κάτω επιφάνεια. (Σχήμα : Διάγραμμα C M - aγια καμπυλωτή αεροτομή) Το πλεονέκτημα της χρήσης αυτών των συντελεστών φάνηκε από παλιά, από τις δοκιμές μικρών μοντέλων στην αεροδυναμική σήραγγα. Διότι όπως γνωρίζουμε, αν οι συντελεστές μιας αεροτομής προσδιοριστούν από δοκιμές μικρών μοντέλων 98

108 πτερύγων, μπορούν να εφαρμοστούν για τη πραγματική πτέρυγα, με την προϋπόθεση να υπάρχει δυναμική ομοιότητα ανάμεσα στη ροή του μοντέλου και στη ροή της πραγματικής πτέρυγας. Αυτή είναι η αρχή στην οποία βασίζονται οι δοκιμές σε αεροδυναμική σήραγγα, όπως είχαμε αναφέρει και στην ενότητα της δυναμικής ομοιότητας. Καθώς επίσης και ότι για μικρές ταχύτητες, δυναμική ομοιότητα συνεπάγεται ίδιο αριθμό Reynolds Κατανομή Πιέσεων στην αεροτομή Όταν μία αεροτομή είναι τοποθετημένη μέσα σε ρεύμα αέρα, τότε προκαλείται στένωση (πύκνωση) των ρευματικών γραμμών στη ράχη και διεύρυνση (αραίωση) αυτών στην κοιλία της αεροτομής, όπως φαίνεται και στο σχήμα (Σχήμα : Πεδίο ροής γύρω από αεροτομή ) Αυτή η μεταβολή των αποστάσεων των ρευματικών γραμμών, σημαίνει αύξηση της ταχύτητας της ροής στη ράχη της αεροτομής και μείωση στην κοιλία της, βάση της εξίσωσης της Συνέχειας. Επίσης από την εξίσωση Bernoulli, αυτές οι τοπικές αλλαγές της ταχύτητας συνεπάγονται και αλλαγές της στατικής πίεσης. Έτσι έχουμε αντίστοιχα μείωση της στατικής πίεσης στη ράχη και την αύξηση αυτής στην κοιλία της αεροτομής. Αυτή η κατανομή της πίεσης ορίζει την παραγόμενη άντωση, την ροπή πρόνευσης, την οπισθέλκουσα και τη θέση του κέντρου πίεσης. Εκφράζεται συνήθως μέσω ενός γενικού συντελεστή πίεσης C P, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση του Bernoulliκαι ορίζεται ως: 99

109 C p = = 1- όπου: p V πίεση ελεύθερης ροής ταχύτητα ελεύθερης ροής πίεση του αέρα σε τυχαίο σημείο της αεροτομής ταχύτητα ροής για τυχαίο σημείο γύρω από την αεροτομή Ο συντελεστής αυτός είναι Θετικός όταν η πίεση στην περιοχή της ροής (p) είναι μεγαλύτερη από την πίεση της ελεύθερης ροής ( ) και Αρνητικός όταν είναι μικρότερη από της ελεύθερης ροής. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αναφερθούμε στην έννοια του Σημείου Ανακοπής. Το Σημείο Ανακοπής S λοιπόν, που συναντήσαμε και στην ανάλυση του σωλήνα Pitot, είναι το σημείο εκείνο στο οποίο η ταχύτητα της ροής γίνεται μηδέν. Σύμφωνα με το νόμο του Bernoulli η στατική πίεση εκεί λαμβάνει πολύ μεγάλες τιμές, με αποτέλεσμα ο συντελεστής πίεσης C P να λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του που είναι 1, όπως εύκολα συμπεραίνουμε και από την παραπάνω σχέση. Η εμφάνιση του σημείου ανακοπής παίζει σπουδαίο ρόλο για την κατανομή των πιέσεων σε μια υποηχητική αεροτομή. Η θέση του δε στην αεροτομή, δεν είναι σταθερή αλλά μεταβάλλεται ανάλογα με την γωνία προσβολής. Το σημείο ανακοπής το βλέπουμε και στο σχήμα Σημειώνουμε γενικά εδώ ότι για να έχουμε ανακοπή της ροής, δεν είναι απαραίτητη η παρουσία στερεού σώματος. Διότι όταν συναντώνται δύο ή περισσότερα ρεύματα αέρα, έτσι ώστε σε κάποιο σημείο η συνισταμένη των ταχυτήτων τους να μηδενίζεται, το σημείο αυτό φυσικά, είναι το σημείο ανακοπής. Τη κατανομή της πίεσης καθώς και το σημείο ανακοπής, μπορούμε να τα κατανοήσουμε καλύτερα βάση του σχήματος , όπου λαμβάνουμε έναν θεωρητικό αγωγό και εφαρμόζουμε τα θεωρήματα της Συνέχειας και του Bernoulli μέσα σε αυτόν. Όπως παρατηρούμε η ρευματική γραμμή του σχήματος διακόπτεται στο Σημείο Ανακοπής S και ξαναεμφανίζεται στο πίσω μέρος της αεροτομής. Στο σημείο S λοιπόν, που διακόπτεται η ρευματική γραμμή, διαιρείται ο αγωγός σε δύο τμήματα, το ένα επάνω και το άλλο κάτω από την πτέρυγα με διατομές Αρ (ρ από τη ράχη) και Ακ (κ από την κοιλία), με τις αντίστοιχες ταχύτητες Vρ και Vκ. Βάση της εξίσωσης της Συνέχειας λοιπόν, οι αυξομειώσεις των Αρ και Ακ είναι αντιστρόφως ανάλογες των τοπικών ταχυτήτων Vρ και Vκ στα δυο τμήματα. Στο επάνω τμήμα δηλαδή του αγωγού, λόγω της παρουσίας της αεροτομής, αρχικά η διατομή Αρ 100

110 ελαττώνεται γρήγορα, επομένως θα έχουμε αύξηση της ταχύτητας (Vρ >V ). Επίσης από το νόμο του Bernoulli, λόγω αύξησης της ταχύτητας, έχουμε μείωση της τοπικής πίεσης στη ράχη (p ρ < ), δηλαδή Υποπίεση. Αντίστοιχα στην κάτω επιφάνεια λόγω αύξησης της διατομής Ακ, έχουμε μείωση της ταχύτητας (Vκ <V ) και αύξηση της τοπικής πίεσης (p κ > ), δηλαδή Υπερπίεση. Τέλος πλησιάζοντας προς το χείλος εκφυγής της αεροτομής, οι τοπικές ταχύτητες ράχης και κοιλίας τείνουν να εξισωθούν με την V και αντίστοιχα οι τοπικές πιέσεις με την. (Σχήμα :Ισοδύναμος θεωρητικός αγωγός επίδρασης της αεροτομής) Από το γεγονός λοιπόν ότι, γύρω από την αεροτομή υπάρχει διαφορετική κατανομή πίεσης, εξαιτίας των υπερπιέσεων της κοιλίας και των υποπιέσεων της ράχης, θεωρήθηκε απαραίτητη η απεικόνιση της, μέσω μιας γραφικής παραστάσεως. Για τη γραφική παράσταση της πίεσης λοιπόν, έχουν αναπτυχθεί δύο μέθοδοι: Στην 1 η μέθοδο χαράσσουμε ευθείες από κάθε σημείο της αεροτομής, κάθετες στην επιφάνεια της, των οποίων το μήκος είναι ανάλογο με το συντελεστή πίεσης σ εκείνο το σημείο. Το βέλος προς τα έξω εκφράζει Αρνητικό συντελεστή πίεσης (υποπίεση), ενώ το βέλος προς τα μέσα Θετικό (υπερπίεση). Οι άκρες των γραμμών αυτών ενώνονται με καμπύλες και έτσι παίρνουμε το γράφημα όπως βλέπουμε και στο σχήμα

111 (Σχήμα :Κατανομή πίεσης) Στη 2 η μέθοδο τώρα, που είναι και σημαντικότερη, η γραφική παράσταση ανάγεται σε δισδιάστατο σύστημα ορθογωνίων καρτεσιανών συντεταγμένων. Στον άξονα yτοποθετείται ο συντελεστής πίεσης C P και στον x ο λόγος x/c, όπου το x είναι η απόσταση από το χείλος προσβολής για το κάθε σημείο, μετρούμενη παράλληλα προς την χορδή C. Οι αρνητικές τιμές του C P βρίσκονται στο επάνω μέρος του άξονα y. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε μία αντίστοιχη γραφική παράσταση. (Σχήμα : Διάγραμμα Cp x/c) 102

112 Η κατανομή της πίεσης γύρω από την αεροτομή μεταβάλλεται, όπως είναι και το λογικό, με την γωνία προσβολής. Η μεταβολή αυτή παρουσιάζει ενδιαφέρον και έχει μεγάλη πρακτική σημασία, διότι η κατανομή της πίεσης είναι συνάρτηση της παραγόμενης άντωσης. Οι πιέσεις αυτές δηλαδή, σε κάθε σημείο της πτέρυγας, έχουν σαν συνισταμένη την γνωστή δύναμη R, απ την οποία προκύπτουν οι συνιστώσες τις, άντωση και οπισθέλκουσα, όπως γνωρίζουμε. Οπότε καταλαβαίνουμε γιατί η κατανομή της πίεσης, συνδέεται άμεσα με την άντωση. Στο σχήμα που ακολουθεί παρατηρούμε της γραφικές παραστάσεις μίας συμβατής καμπυλωτής αεροτομής, για διάφορες γωνίες προσβολής, και με τις δύο μορφές γραφημάτων. (Σχήμα :Διάγραμμα Cp x/c για διάφορες γωνίες προσβολής) 103

113 Όπως παρατηρούμε από το προηγούμενο σχήμα λοιπόν, όταν η α = -5 ο, το σημείο ανακοπής βρίσκεται στην επάνω επιφάνεια, προκαλώντας έτσι αρνητική άντωση. Στην δεύτερη περίπτωση που η α = -2 ο, έχουμε μία τυπική κλίση μηδενικής άντωσης. Αυτό το συμπεραίνουμε από το γράφημα ( C P x/c), όπου η συνολική εσώκλειστη επιφάνεια από την καμπύλη είναι μηδέν, λαμβάνοντας υπ όψη βέβαια και το πρόσημο. Επίσης βλέπουμε ότι το σημείο ανακοπής βρίσκεται ακόμα στην επάνω επιφάνεια. Τέλος από την τρίτη περίπτωση, α=+2 ο, και μετά, το σημείο ανακοπής βρίσκεται στην κάτω επιφάνεια και η άντωση γίνεται θετική. Βάση της σχολαστικής παρατήρησης των γραφικών παραστάσεων, καθώς και της ανάλυσης που έγινε προηγουμένως, μπορούμε τώρα να εξάγουμε τα εξής γενικά και σπουδαία συμπεράσματα: Η άντωση αυξάνει με την γωνία προσβολής μέχρι μία ορισμένη τιμή, πράγμα γνωστό. Στην περίπτωση μας η τιμή αυτή είναι μεταξύ 15 ο και 20 ο αλλά συνήθως, για μια συμβατική αεροτομή χαμηλής ταχύτητας, είναι 15 ο με 16 ο. Η υψηλή τιμή της άντωσης οφείλεται περισσότερο στην αρνητική τιμή της πίεσης στην επάνω επιφάνεια της αεροτομής, παρά στη θετική τιμή της στην κάτω επιφάνεια. Συγκεκριμένα για συνήθεις γωνίες προσβολής οφείλεται κατά 2/3 σε υποπιέσεις της ράχης και κατά 1/3 σε υπερπιέσεις της κοιλίας. Εκτός από την περίπτωση αλλαγής της γωνίας προσβολής, από αρνητική σε θετική, υπάρχει γενικά μικρή αλλαγή στην κατανομή των πιέσεων στην κοιλία στης αεροτομής. Με την αύξηση της γωνίας προσβολής, αυξάνει το μέγιστο ύψος της αρνητικής πίεσης στη ράχη και μετακινείται προς τα εμπρός. Αυτό σημαίνει δηλαδή πως όταν αυξάνει η γωνία προσβολής, το κέντρο πίεσης μετατοπίζεται προς το χείλος προσβολής. 104

114 Η γωνία στην οποία μηδενίζεται η άντωση, α L=0, είναι αρνητική. Σε συμμετρική αεροτομή, όπως γνωρίζουμε και από προηγούμενη αναφορά, η α L=0 θα ήταν μηδέν και φυσικά μηδέν θα ήταν και η ροπή πρόνευσης (διότι δημιουργείται από την άντωση). Η απότομη αστάθεια της κατανομής πίεσης στη ράχη της αεροτομής που παρατηρείται σε μεγάλες γωνίες προσβολής, οφείλεται στην αποκόλληση της ροής από την επιφάνεια, το οποίο είναι γνωστό και από την αρχική μας αναφορά στους αεροδυναμικούς συντελεστές. Οι αναταραχές αυτές λόγω της αποκόλλησης, μεταδίδονται πολύ γρήγορα από το πίσω μέρος της αεροτομής προς το χείλος προσβολής, με αποτέλεσμα την μείωση της μέγιστης τιμής της αρνητικής πίεσης της ράχης. Έχουμε δηλαδή απώλεια άντωσης, η οποία ελαττώνεται ακόμη περισσότερο για περαιτέρω αύξηση της γωνίας προσβολής. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται Απώλεια Στήριξης. Η κατανομή της πίεσης στην κοιλία δεν επηρεάζεται αμέσως. Το κέντρο πίεσης κινείται προς τα πίσω μετά την έναρξη της απώλειας στήριξης, λόγω της ελάττωσης του μέγιστου της αρνητικής πίεσης της ράχης Άντωση Παραγωγή Άντωσης Η άντωση, όπως είδαμε, δημιουργείται ένεκα διαφοράς πίεσης μεταξύ ράχης και κοιλίας και οφείλεται κατά 2/3 σε υποπιέσεις της ράχης και κατά 1/3 σε υπερπιέσεις της κοιλίας, για συνήθεις γωνίες προσβολής. Δηλαδή γίνεται συμψηφισμός όλων των πιέσεων που ασκούνται στην αεροτομή, δίνοντας την συνισταμένη δύναμη R, η οποία και αναλύεται με τη σειρά της στη άντωση και την οπισθέλκουσα. Αυτά σαν ανακεφαλαίωση. Για την μελέτη της τώρα, έχουν αναπτυχθεί δύο βασικές θεωρίες. Αυτές λοιπόν αναφέρονται στην περίπτωση απέραντης πτέρυγας (μεγάλου εκπετάσματος) και στην 105

115 περίπτωση πεπερασμένης πτέρυγας (μικρού εκπετάσματος), την οποία και δεν θα μελετήσουμε όπως έχουμε πει. Η περίπτωση της απέραντης πτέρυγα, είναι ένα θεωρητικό δημιούργημα και χρησιμοποιείται για να περιγράψει μία δισδιάστατη ροή γύρω από μια αεροτομή, όπου οι γραμμές ροής βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Η υπόθεση αυτή δίνει επαρκή αποτελέσματα μόνο στην μελέτη πτερύγων μεγάλου ανοίγματος. Στις μορφές πτερύγων των νεότερων τύπων μαχητικών αεροσκαφών, η επίδραση της ροής από τα άκρα αυτών, τα ακροπτερύγια δηλαδή, δεν επιτρέπει την απλοποίηση της μελέτης τους. Έτσι λοιπόν στην περίπτωση της απέραντης πτέρυγας, βασικό ρόλο παίζει το θεώρημα Kutta Zoukowsky, το οποίο συναντήσαμε και στην παράγραφο των στροβίλων και σύμφωνα με το οποίο η άντωση παράγεται λόγω συνδυασμού της ευθύγραμμης κίνησης του αέρα και μίας κυκλικής κυκλοφορίας που προκύπτει από την παρουσία της αεροτομής. Η γνωστή σχέση που ισχύει είναι: L = ρ bv Γ όπου: ρ b V Γ πυκνότητα του αέρα εκπέτασμα πτέρυγας ταχύτητα πτήσης κυκλοφορία του αέρα γύρω από την πτέρυγα Το θεώρημα αυτό θεωρείται θεμελιώδες για την Αεροδυναμική Μικρών Ταχυτήτων και βασίζεται στα ροϊκά φαινόμενα που παρατηρούνται, κατά την ροή του αέρα γύρω από ένα κυλινδρικό σώμα. Πράγματι αν θεωρήσουμε μια ασυμπίεστη και χωρίς τριβή ροή, γύρω από ένα κύλινδρο, η ροή είναι συμμετρική περί τον κύλινδρο, με σημεία ανακοπής S και S. Τα σημεία αυτά βρίσκονται στο μπροστινό και στο πίσω μέρος του κυλίνδρου, αντίστοιχα, ακριβώς κατά μήκος του άξονα του κυλίνδρου, ο οποίος είναι παράλληλος προς την διεύθυνση της ταχύτητας της ροής V. Εάν τώρα λάβουμε υπ όψη την τριβή, ο κύλινδρος αρχίζει να περιστρέφεται, γύρω από τον κύλινδρο δημιουργείται στρόβιλος και ο κύλινδρος καταλαμβάνει τον πυρήνα του στροβίλου. Στα σχήματα και βλέπουμε τις δύο αυτές περιπτώσεις. 106

116 (Σχήμα ) (Σχήμα ) Στην περίπτωση τώρα που το κυλινδρικό ή σφαιρικό σώμα βρίσκεται σε μεταφορική και συγχρόνως και περιστροφική κίνηση μέσα στον αέρα, η οριζόντια συμμετρία συνεχίζει και υπάρχει, πράγμα που σημαίνει ότι η οπισθέλκουσα είναι μηδέν, σε αντίθεση με την κατακόρυφη συμμετρία που πλέον δεν υπάρχει, όπως παρατηρούμε και στο σχήμα Το ρεύμα του αέρα επιταχύνεται στην επάνω επιφάνεια του κυλίνδρου, όπου η μεταφορική και η περιστροφική ταχύτητα προστίθενται, ενώ στην κάτω επιφάνεια όπου οι ταχύτητες αφαιρούνται, επιβραδύνεται. Επίσης παρατηρούμε ότι τα σημεία ανακοπής S και S έχουν μετατοπιστεί αρκετά κάτω από τον οριζόντιο άξονα του κυλίνδρου. 107

117 (Σχήμα ) Σύμφωνα λοιπόν με την εξίσωση του Bernoulli, οι μεταβολές αυτές των ταχυτήτων θα παράγουν αντίστροφες μεταβολές της στατικής πίεσης. Έτσι θα έχουμε μία αναρρόφηση στην επάνω επιφάνεια του κυλίνδρου, λόγω υποπίεσης, και μία ώθηση στην κάτω επιφάνεια, λόγω υπερπίεσης, με τελικό αποτέλεσμα την εμφάνιση της δύναμης της άντωσης L. Το συμπέρασμα λοιπόν από όλα αυτά είναι ότι, για την παραγωγή της άντωσης δεν αρκεί μόνο το παράλληλο ρεύμα του αέρα με ταχύτητα V, αλλά είναι απαραίτητη και μία στροβιλική κίνηση του αέρα, την ποσότητα της οποίας χαρακτηρίζει η κυκλοφορία Γ. Υποθέτουμε τώρα ότι μία αεροτομή με στρογγυλεμένο χείλος προσβολής και οξύ χείλος εκφυγής (μετασχηματισμός του κυλίνδρου σε αεροτομή), είναι τοποθετημένη σε ένα ομοιόμορφο ρεύμα αέρα χωρίς τριβή, οπότε και χωρίς κυκλοφορία, σχήμα Εδώ έχουμε πάλι δύο σημεία ανακοπής και δεν υπάρχει άντωση ή οπισθέλκουσα, όπως και στην περίπτωση του κυλίνδρου. (Σχήμα ) 108

118 Ας υποθέσουμε τώρα ότι εφαρμόζεται κυκλοφορία Γ με διάφορες τιμές, ενώ η ταχύτητα V της ομοιόμορφης ροής παραμένει σταθερή. Όπως βλέπουμε από το παρακάτω σχήμα, η αύξηση της κυκλοφορίας συνεπάγεται μια προς τα κάτω μετατόπιση των σημείων ανακοπής. Δεδομένου λοιπόν ότι για μικρές τιμές του Γ το πίσω σημείο ανακοπής είναι στην επάνω επιφάνεια (ράχη) της αεροτομής, ενώ για μεγαλύτερες τιμές του Γ μετακινείται στο κάτω μέρος (κοιλία), θα υπάρχει οπωσδήποτε μια ενδιάμεση τιμή, για την οποία το πίσω σημείο ανακοπής δεν θα βρίσκεται πουθενά και η ροή θα αφήνει το χείλος εκφυγής ομαλά. Η τελευταία αυτή κατάσταση είναι μεγάλης σημασίας, διότι είναι αυτή που συμβαίνει στην περίπτωση μιας αεροτομής σε πραγματικό ρευστό και είναι γνωστή ως Συνθήκη Kutta, σχήμα (Σχήμα ) Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, η προς τα κάτω κίνηση των σημείων ανακοπής, συνεπάγεται την ύπαρξη της κυκλοφορίας κατά την φορά του ρολογιού. Αυτό σημαίνει, όπως και στην περίπτωση του κυλίνδρου, αυξημένες ταχύτητες και μειωμένες πιέσεις στην επάνω επιφάνεια και μειωμένες ταχύτητες και αυξημένες πιέσεις στην κάτω επιφάνεια. Έτσι έχουμε τη δημιουργία της άντωσης, της οποίας η 109

119 τιμή εξαρτάται από την τιμή της κυκλοφορίας, σύμφωνα με την εξίσωση Kutta - Zoukowsky. Μέχρι τώρα αναφέραμε τις επιπτώσεις της κυκλοφορίας Γ στη ροή γύρω από ένα κύλινδρο και μια δισδιάστατη αεροτομή, χωρίς να αναφερθούμε στον μηχανισμό δημιουργίας της κυκλοφορίας. Στην παράγραφο των Στροβίλων βέβαια, είχε γίνει μια γενική αναφορά για την εφαρμογή τους στις πτέρυγες, η οποία όμως δεν αρκεί ώστε να κατανοηθούν πλήρως οι επιπτώσεις τους στην αεροτομή. Έτσι, θεωρήσαμε σωστότερο για την περίπτωση αυτή, να διατυπώσουμε την παρακάτω ανάλυση. Εξαιτίας των μεγάλων κλίσεων της ταχύτητας, παρά τον μικρό συντελεστή ιξώδους του αέρα, δημιουργούνται σημαντικές τάσεις τριβής στο χείλος εκφυγής της αεροτομής. Δηλαδή ο αέρας αντί να ακολουθεί τη μορφή της αεροτομής γύρω από τη γωνία, δημιουργεί ένα στρόβιλο, του οποίου η επίδραση είναι να επάγει μία προς τα κάτω ροή στην ράχη της αεροτομή, όπως βλέπουμε και στο σχήμα (Σχήμα ) Έτσι δημιουργείται κυκλοφορία και μετακινείται το σημείο ανακοπής προς την κοιλία. Όσο δηλαδή το σημείο ανακοπής είναι μπροστά από το χείλος εκφυγής, ο στρόβιλος υπερισχύει και το μετακινεί προς τα πίσω. Με τον ίδιο τρόπο, εάν το σημείο ανακοπής τείνει να μετακινηθεί από την ράχη προς την κοιλία, ο στρόβιλος θα δημιουργηθεί κατά την αντίθετη φορά και θα προκαλέσει ξανά την μετακίνηση του προς το χείλος εκφυγής. Συμπέρασμα λοιπόν όλων αυτών είναι, ότι μόνο όταν η ροή αφήνει το χείλος προσβολής ομαλά, όπως στο σχήμα (συνθήκη του Kutta), θα επιτευχθεί μία ευσταθής κατάσταση. Ο στρόβιλος τότε αποκολλάται από το χείλος εκφυγής και παραμένει πίσω στην ροή. Αυτός είναι ο Στρόβιλος Εκκινήσεως, γνωστός και από την παράγραφο των Στροβίλων. Το σχήμα μας δίνει την εικόνα του. 110

120 (Σχήμα : Στρόβιλος Εκκινήσεως) Βάση της Αρχής Διατήρησης της Στροφορμής τώρα, η αυτοδημιούργητη κυκλοτερή κίνηση του στροβίλου εκκινήσεως, οφείλει να έχει σαν αντίκρισμα, ίση και αντιθέτου φοράς κυκλοτερή κίνηση του αέρα. Την ίση και αντίθετη αυτή κυκλοφορία - Γ την βλέπουμε στο σχήμα , με την διακεκομμένη γραμμή. (Σχήμα ) Εν κατακλείδι λοιπόν, η κυκλοφορία Γ είναι ένα φυσικό μέγεθος, το οποίο περιέχει την κατανομή ταχυτήτων γύρω από την αεροτομή ως και την μορφή αυτής και είναι ο κύριος παράγοντας για τη δημιουργία της άντωσης. Παρ όλα ο υπολογισμός της κυκλοφορίας καθίσταται εξαιρετικά δύσκολος, με αποτέλεσμα να κρίνεται δύσκολος και ο υπολογισμός της άντωσης, σύμφωνα με την εξίσωση Kutta Joukowsky ( L = ρ b V Γ ). Οπότε το Γ αντικαθίσταται με μεγέθη τα οποία εξάγονται πειραματικά. Έτσι για την άντωση ισχύει η γνωστή σχέση: L = ½ ρ V 2 C L S = q C L S Καμπύλη Άντωσης Η καμπύλη της άντωσης, όπως γνωρίζουμε και από την αρχή της παραγράφου, εκφράζεται από τον συντελεστή άντωσης C L και την γωνία προσβολής α. Ο συντελεστής C L λοιπόν (ο οποίος για μικρές υποηχητικές ταχύτητες δίνεται και από τη σχέση: C L = 2 π α, όπου α η γωνία προσβολής σε ακτίνια), λαμβάνει τιμές 111

121 μέχρι 1,5 περίπου και η γωνία προσβολής α είναι συνήθως από -6 ο μέχρι 15 ο. Για γωνίες μικρότερες από -6 ο και μεγαλύτερες από 15 ο, το C L είναι μηδέν και άρα δεν υπάρχει άντωση. Παρακάτω στο σχήμα βλέπουμε το γενικό διάγραμμα (καμπυλωτής αεροτομής), το οποίο και είναι γνωστό από την αρχή της παραγράφου, και στο σχήμα το διάγραμμα για συμμετρική αεροτομή. (Σχήμα : Γενικό διάγραμμα C L - a) (Σχήμα : Διάγραμμα C L a συμμετρικής αεροτομής) 112

122 Από το σχήμα παρατηρούμε ότι αριστερά του σημείου Θ και δεξιά του σημείου Η δεν υπάρχει διάγραμμα και έτσι C L = 0. Σ αυτές τις δύο περιοχές υπάρχει μόνιμη απώλεια στηρίξεως. Αντίστοιχα, στο σχήμα της συμμετρικής αεροτομής, η απώλεια στήριξης βρίσκεται αριστερά από το Γ και δεξιά από το Β. Επίσης βλέπουμε ότι η γωνία μηδενικής άντωσης είναι η α = 0 ο, το οποίο είναι και γνωστό από προηγούμενη αναφορά. Από τα σχήματα παρατηρούμε ακόμη ότι σε κάποια τιμή της γωνίας προσβολής, ο συντελεστής άντωσης λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του, C Lmax. Η τιμή αυτή του C Lmax γιασυμμετρική αεροτομή, είναι λίγο μικρότερη από την αντίστοιχη της συνήθους αεροτομής. Η γωνία δε που έχουμε τη μέγιστη άντωση λέγεται Γωνία Απώλειας Στήριξης και η χαρακτηριστική τιμή της είναι περίπου στις 15 ο. Επίσης, το C Lmax, επηρεάζεται αισθητά από ορισμένα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της πτέρυγας, όπως και από τον αριθμό Re. Αναλυτικά: 1) Πάχος: Αυξάνει με το t/c μέχρι %, ενώ για περαιτέρω αύξηση του t/cμειώνεται. 2) Καμπυλότητα: Όπως είναι γνωστό, το αποτέλεσμα της καμπυλότητας της αεροτομής, είναι η αύξηση της κυκλοφοριακής περιστροφής γύρω από αυτή. Η αύξηση της κυκλοφορίας με τη σειρά της, συνεπάγεται, σύμφωνα με τη σχέση Kutta Zoukowsky, αύξηση της άντωσης για όλες τις γωνίες προσβολής, άρα και αύξηση του C Lmax. 3) Αριθμός Reynolds: Όσο πιο μεγάλος είναι ο Re της ροής, τόσο πιο μεγάλη είναι η τάση κατά της αποκόλλησης. Έτσι αυξάνοντας τον αριθμό Re, καθυστερούμε την αποκόλληση του οριακού στρώματος, αυξάνοντας έτσι το C Lmax. 4) Ακτίνα Χείλους Προσβολής: Ένα αρκετά αιχμηρό χείλος προσβολής, δηλαδή με μικρή ακτίνα καμπυλότητας, μπορεί να δημιουργήσει αποκόλληση της ροής πολύ γρήγορα (τη γνωστή απώλεια στήριξης του χείλους προσβολής) και έτσι μία μικρή τιμή για το C Lmax. Κλείνοντας αναφέρουμε ότι, όλα τα διαγράμματα [C L α] των αεροτομών που υπάρχουν, έχουν κατασκευαστεί από τη NASA και έτσι για κάθε τύπο αεροπλάνου μπορούμε να υπολογίσουμε την άντωση για ορισμένη γωνία προσβολής α, όταν 113

123 βεβαίως είναι γνωστές η ταχύτητα πτήσεως, η πυκνότητα του αέρα και η πτερυγική επιφάνεια του αεροπλάνου Οπισθέλκουσα Παραγωγή Παρασίτου Οπισθέλκουσας Η οπισθέλκουσα D, όπως ήδη έχουμε αναφέρει είναι η παράλληλη προς τη ροή, συνιστώσα δύναμη της R και δίνεται από τη γνωστή σχέση: D = ½ ρ V 2 S C D Η οπισθέλκουσα λοιπόν αποτελείται από την Παράσιτο Οπισθέλκουσα και την Επαγωγική Οπισθέλκουσα. Η δεύτερη λαμβάνεται υπ όψη στην μελέτη της πεπερασμένης πτέρυγας, οπότε και δεν θα μας απασχολήσει. Έτσι για διευκρινιστικούς λόγους η γενική παραπάνω σχέση γίνεται: D π = ½ ρ V 2 S C Dπ Η Παράσιτος ΟπισθέλκουσαD π, την οποία αναλύσαμε και στην ενότητα του Οριακού Στρώματος του 4 ου κεφαλαίου, αποτελείται όπως γνωρίζουμε, από την Οπισθέλκουσα Τριβής D f και από την Οπισθέλκουσα Σχήματος ή Μορφής D p. Οι γνωστές σχέσεις για αυτές είναι: Df = ½ ρ V 2 S w C Df και Dp = ½ ρ V 2 S C Dp όπου: S W S περιβρεχόμενη επιφάνεια του σώματος (το ανάπτυγμα του συνόλου της επιφάνειας) μετωπική επιφάνεια του σώματος Η πρώτη οφείλεται στις εσωτερικές τριβές των μορίων του αέρα και της επιφάνειας, δηλαδή στην διατμητική τάση του οριακού στρώματος. Η δεύτερη εξαρτάται απόλυτα από το σχήμα του σώματος, από το πάχος του απορρεύματος ή 114

124 ολκού (δίνες πίσω από το σώμα) που θα δημιουργήσει το σώμα δηλαδή. Έτσι για μια καλοσχεδιασμένη αεροτομή, σε μικρή γωνία προσβολής, το απόρρευμα είναι λεπτό και η οπισθέλκουσα σχήματος είναι πολύ μικρότερη από την οπισθέλκουσα τριβής. Καθώς η γωνία όμως πλησιάζει την τιμή της απώλειας στήριξης, το σημείο αποκόλλησης μετακινείται προς τα εμπρός, προς το χείλος προσβολής δηλαδή, με αποτέλεσμα να έχουμε αύξηση του πάχους του απορρεύματος. Σ αυτό το σημείο η οπισθέλκουσα σχήματος αυξάνεται πολύ γρήγορα και είναι μεγαλύτερη από την οπισθέλκουσα τριβής, η οποία δεν μεταβάλλεται αισθητά με την γωνία προσβολής. Έτσι για ένα μικρό φάσμα γωνιών, ο συντελεστής παρασίτου οπισθέλκουσας C Dπ, αυξάνει πολύ γρήγορα και συνήθως λαμβάνεται ως σταθερά. Για ένα μεγαλύτερο φάσμα γωνιών προσβολής, μικρότερου όμως της απώλειας στήριξης, η αύξηση του C Dπ είναι περίπου ανάλογη του τετραγώνου του συντελεστή άντωσης C L, σύμφωνα με τη σχέση: = +b 2 όπου: CDπ 0 συντελεστής παρασίτου οπισθέλκουσας για την γωνία που θέλουμε να υπολογίσουμε CDπ L=0 συντελεστήςπαρασίτου οπισθέλκουσας για μηδενική άντωση b θετική σταθερά, περίπου 0,01 Ένας σπουδαίος παράγοντας επίσης που μπορεί να χαρακτηρισθεί ως μέτρο απόδοσης της αεροτομής είναι ο λόγος της άντωσης προς την παράσιτο οπισθέλκουσα που εκφράζεται ως: = = 115

125 Καμπύλη Παρασίτου Οπισθέλκουσας Η καμπύλη της παρασίτου οπισθέλκουσας, όπως είδαμε επίσης στην αρχή της παραγράφου, εκφράζεται κι αυτή σαν την άντωση από το συντελεστή της C Dπ συναρτήσει της γωνίας προσβολής α. Στο σχήμα βλέπουμε τη διακύμανση του C Dπ για μια καμπυλωτή αεροτομή και στο σχήμα για μια συμμετρική αεροτομή. Όπως είναι γνωστό, στο διάγραμμα καμπυλωτής αεροτομής, η μικρότερη τιμή του C Dπ, είναι για μια μικρή αρνητική γωνία, ενώ στο διάγραμμα συμμετρικής αεροτομής, η γωνία ελάχιστου συντελεστή οπισθέλκουσας είναι των 0 ο. (Σχήμα : Διάγραμμα C Dπ a καμπυλωτής αεροτομής) (Σχήμα : Διάγραμμα C Dπ a συμμετρικής αεροτομής) 116

126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΕΡΟΤΟΜΕΣ NACA 6.1 Τυποποίηση αεροτομών κατά NACA Γενικά Όπως αναφέραμε και στο 1 ο κεφάλαιο, παράλληλα με την εξέλιξη των αεροπλάνων και την κατασκευή διαφορών τύπων αυτών, δημιουργήθηκε η ανάγκη για τη βελτιστοποίηση των πτερύγων, ώστε η πτήση να επιτυγχάνεται με περισσότερη ακρίβεια και ευστάθεια. Έτσι για την αποφυγή των πολύπλοκων θεωριών υπολογισμού της άντωσης και της οπισθέλκουσας, ξεκίνησαν οι μετρήσεις διαφόρων αεροτομών σε αεροσήραγγες. Το 1935 λοιπόν όπως γνωρίζουμε, έπειτα από τις αεροτομές Joukowsky το 1923, έγινε από τη ΝΑCA (σημερινή NASA) η πιο οργανωμένη τυποποίηση αεροτομών, η οποία συνεχίζει μέχρι και σήμερα. Η τυποποίηση αυτή συνίσταται στην κατάταξη των αεροτομών ανάλογα με τα γεωμετρικά τους μεγέθη και τις αεροδυναμικές τους ιδιότητες. Έτσι διαχωρίζονται σε αεροτομές 4,5,6 και 7 ψηφίων Αεροτομές NACA 4 ψηφίων Οι αεροτομές αυτές καθορίζονται από την κατανομή του πάχους και την μορφή της μέσης γραμμής καμπυλότητας. Η σημασία δε των τεσσάρων ψηφίων κωδικοποιήσεως είναι η ακόλουθη: Ο Πρώτος ακέραιος δηλώνει την μέγιστη καμπυλότηταfεπί τοις % του μήκους της χορδής C. Δηλαδή, f/c %. 117

127 Ο Δεύτερος ακέραιος δηλώνει την θέση της μέγιστης καμπυλότητας x f σε δέκατα του μήκους της χορδής C. Δηλαδή, x f /C 10. Ο Τρίτος και ο Τέταρτος ακέραιος δηλώνουν μαζί το μέγιστο πάχος t της αεροτομής επί τοις % του μήκους της χορδής C. Δηλαδή, t/c%. Συμπληρώνουμε πληροφοριακά ότι για 4ψήφιες αεροτομές, η θέση του μέγιστου πάχους x t βρίσκεται συνήθως στα τριάντα εκατοστά (x t / C 100 = 30%) της χορδής από το χείλος προσβολής. Από την ανάλυση αυτή διαπιστώνουμε ότι τα δύο πρώτα ψηφία ορίζουν την καμπυλότητα. Οπότε όταν αυτά είναι μηδέν, δεν υπάρχει καμπυλότητα και η αεροτομή είναι συμμετρική. Για παράδειγμα η αεροτομή NACA 0018, σημαίνει ότι είναι συμμετρική με μέγιστο πάχος ίσο με 18% της χορδής. Δηλαδή, f/c=0, x f /C= 0, και t/c=0,18. Επίσης η αεροτομή NACA 2415, σημαίνει ότι έχει μέγιστη καμπυλότητα 2% της χορδής, στα 0,4 της χορδής από το χείλος προσβολής και το μέγιστο πάχος αυτή είναι 15% της χορδής. Δηλαδή, f/c = 0,02 = 2 %, x f /C = 0,4 και t/c = 15%. Έτσι στην περίπτωση μας, η ΝΑCA 0012 σημαίνει ότι είναι συμμετρική αεροτομή με το μέγιστο πάχος της να είναι το 12% της χορδής C. 6.2 Αεροτομή NACA Διαγράμματα Δυνάμεων Η αεροτομή NACA 0012 λόγω της συμμετρικότητας της λοιπόν, δεν παράγει άντωση όταν η γωνία προσβολής είναι α = 0 ο, δηλαδή η γωνία μηδενικής άντωσης της αεροτομής είναι =0 ο και επίσης για την ίδια γωνία παράγει τη μικρότερη οπισθέλκουσα. Πιο αναλυτικά τα βλέπουμε και στα παρακάτω διαγράμματα δυνάμεων της NACA

128 (Σχήμα : Διάγραμμα C L a και C M α για NACA 0012) 119

129 (Σχήμα : Διάγραμμα C D a για NACA 0012) 120