Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης."

Ημέρα Δασκαλόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Kεφ. 4 OΔEYONTA KYMATA (pges -7 (Trveling Wves Eξετάσυμε ανικτά συστήματα, δηλ. συστήματα χωρίς σύνρα. Oδεύντα κύματα είναι διαταραχές (πυ μεταφέρυν ενέργεια και ρμή πυ διαδίδνται στν ανικτό χώρ με ρισμένη ταχύτητα διάδσης. Aρμνικά δεύντα κύματα σε χρδή z=0 z Eστω πηγή στ σημεί z=0 πυ παράγει μιά αρμνική ταλάντωση: A cos(ωt Mια διαταραχή πυ παράγεται στ σημεί z=0 στη χρνική στιγμή t=0, θα φθάσει στ σημεί z στ χρόν ( t - υ z, όπυ υ καλείται φασική ταχύτης τυ κύματς άρα στη περίπτωση αρμνικής ταλάντωσης πυ θεωρύμε, τ δεύν κύμα θα έχει τη μρφή στ z όμως ψ(z,t = Acos(t - υ z k = π λ = π υ/ ν = πν υ = ω υ

Aρμνικά δεύντα κύματα σε χρδή z=0 z Eστω πηγή στ σημεί z=0 πυ παράγει μιά αρμνική ταλάντωση: A cos(ωt Mια διαταραχή πυ παράγεται στ σημεί z=0 στη

2 άρα ψ(z,t = A cos (ωt - kz H πσότης φ = (ωt - kz καλείται φάση τυ κύματς (η αρχική φάση φ o έχει ληφθεί ίση με μηδέν Σχέσεις διασπράς Δεν περιμένυμε να βρύμε διαφρετικύς νόμυς διασπράς από αυτύς πυ βρήκαμε για τα στάσιμα κύματα σε χρδές. Θεωρύμε τ παράδειγμα μιάς άπειρης γραμμικής διάταξης συζευμένων μαθηματικών εκκρεμών, η πία διεγείρεται από μιά πηγή στ σημεί z=0 με διαταραχή της μρφής A cos(ωt. Eχυμε βρει την εξίσωση κίνησης τυ n-στύ εκκρεμύς στ παράδειγμα της αλυσίδας Ν απλών εκκρεμών dψ n = -ω ψ n -ω (ψ n -ψ n- -ψ n+ όπυ ω = g / l και ω = k / Μ. Yπθέτυμε ότι τ δεύν κύμα πυ φθάνει στ n-στό εκκρεμές έχει τη μρφή ψ n = A cos (ωt - kz, z=n Aντικαθιστώντας στην εξίσωση κίνησης παίρνυμε,

Θεωρύμε τ παράδειγμα μιάς άπειρης γραμμικής διάταξης συζευμένων μαθηματικών εκκρεμών, η πία διεγείρεται από μιά πηγή στ σημεί z=0 με διαταραχή της μρφής A cos(ωt.

3 3 (ω - ω cos(ωt - kn = - ω ή [cos(ωt - kn - cos(ωt - kn + k - cos(ωt - kn k ω = ω + 4ω sin ( - k] πυ είναι ίδις νόμς διασπράς με εκείν των συζευμένων εκκρεμών. Kαι άλλα παραδείγματα αν θεωρήσυμε, πάλι νόμς διασπράς δεν πρκύπτει διαφρετικός. Δύ συζευγμένα LC κυκλώματα (.4 Παράδειγμα 0 Yπθέτυμe ότι αρχικά (t=0 έχει φρτιστεί ς πυκνωτής από τα αριστερά με φρτί Q 0. Στη συνέχεια απκαθίσταται τ κύκλωμα τυ σχήματς και έχυμε τα ρεύματα πυ έχυν σχεδιαστεί (δηλ. εκφρτίζεται ς πυκνωτής και φρτίζνται ι υπόλιπι. I I Eφαρμγή υ κανόνα Kirchhoff (εξισώσεις κίνησης

4 Παράδειγμα 0 Yπθέτυμe ότι αρχικά (t=0 έχει φρτιστεί ς πυκνωτής από τα αριστερά με φρτί Q 0.

4 4 L di L di b + Q C - Q C = 0 + Q 3 C - Q C = 0 ( Παραγωγίζντας ως πρς t τις (, L d I L d Ib + C + C dq dq3 - C - C dq dq = 0 = 0 ( Oμως βλέπυμε από τ κύκλωμα ότι: I =-dq / (διότι εκφρτίζεται ς πυκνωτής, I =dq /, I b =dq 3 /, και εφαρμόζντας τν κανόνα τυ Kirchhoff στν ένα από τυς δύ κόμβυς των κυκλωμάτων: I =I +I b ή I =I -I b, συνεπώς L d I L d I b = - I -I b C - I C = - I b C + I -I b C (3 H (3 γράφεται d I d I b = - I LC + I b LC = I LC - I b LC

/, και εφαρμόζντας τν κανόνα τυ Kirchhoff στν ένα από τυς δύ κόμβυς των κυκλωμάτων: I =I +I b ή I =I -I b,

5 5 ή κμψότερα d Ι d Ιb = -ω = +ω Ι Ι + ω - ω Ι Ι b b (4 όπυ ω = / LC. H επίλυση τυ συστήματς μας είναι. γνώριμη. Πρσθέτντας κατά μέλη τις (4 πρκύπτει d (Ι + Ι b = -ω (Ι + Ι b η πία παριστά ταλάντωση με λύση της μρφής (τρόπς (I +I b = A cos(ω o t+φ (5α Aφαιρώντας κατά μέλη τις (4 πρκύπτει d (Ι - Ι b = -3ω (Ι - Ι b πυ και αυτή παριστά ταλάντωση με λύση της μρφής (τρόπς (I -I b = B cos(ω t+δ (5β όπυ ω = 3 ω. Oι σχέσεις (5 δίδυν I = ½A cos(ω o t+φ + ½B cos(ω t+δ I b = ½A cos(ω o t+φ - ½B cos(ω t+δ

cos(ω o t+φ (5α Aφαιρώντας κατά μέλη τις (4 πρκύπτει d (Ι - Ι b = -3ω (Ι - Ι b πυ και αυτή παριστά ταλάντωση με λύση της

6 6 Παρατηρύμε λιπόν ότι: τρόπς : I =I b ή Q =-Q 3 και Q =0, τρόπς : I =-I b και I =I ή Q =Q 3 και Q =-Q. N συζευγμένα LC κυκλώματα (.4 Παράδειγμα 4 Θεωρύμε μιά ακλυθία N συγευγμένων LC κυκλωμάτων. Yπθέτυμe ότι αρχικά (t=0 έχει φρτιστεί ς πυκνωτής από τα αριστερά με φρτί Q 0. Στη συνέχεια απκαθίσταται τ κύκλωμα τυ σχήματς και έχυμε τα ρεύματα πυ έχυν σχεδιαστεί (δηλ. εκφρτίζεται ς πυκνωτής και φρτίζνται ι υπόλιπι. I I Q Q + I C Q I - I 3C Eφαρμγή υ κανόνα Kirchhoff (εξισώσεις κίνησης L di + Q C - Q C = 0 L di + Q 3 C - Q C = 0... L di n + Q n+ C - Q n C = 0 Παραγωγίζντας ως πρς t τις (, (

Στη συνέχεια απκαθίσταται τ κύκλωμα τυ σχήματς και έχυμε τα ρεύματα πυ έχυν σχεδιαστεί (δηλ. εκφρτίζεται ς πυκνωτής και φρτίζνται ι υπόλιπι.

7 7 L d I L d I L d I n + C + C + C dq - dq = 0 C dq 3 - dq = 0 C... dq n+ - dq n = C ( Oμως βλέπυμε από τ κύκλωμα ότι: I =-dq / (διότι εκφρτίζεται ς πυκνωτής, I c =dq /, I 3c =dq 3 /, και εφαρμόζντας τν κανόνα τυ Kirchhoff στν πρώτ κόμβ τυ κυκλώματς: I =I c +I ή I c =I -I. Παρμίως, I 3c =I -I 3,... κλπ. Συνεπώς, d L d I = - I -I C - I C L d I = - I -I 3 C + I -I C... L d I n = - I n-i n+ C + I n--i n C η πία γράφεται, d Ι = -ω(ι - Ι0 + ω(ι - Ι d Ι = -ω(ι... Ιn = -ω (Ι n - Ι + ω - Ι n- (Ι + ω 3 (Ι - Ι n+ - Ι n (4 (3

εφαρμόζντας τν κανόνα τυ Kirchhoff στν πρώτ κόμβ τυ κυκλώματς: I =I c +I ή I c =I -I. Παρμίως, I 3c =I -I 3,... κλπ.

8 8 όπυ I o =0 και ω = / LC. Oι εξισώσεις αυτές είναι ίδιες με τις εξισώσεις κίνησης αλυσίδας ταλαντωτών πυ βρήκαμε σε πρηγύμενα μαθήματα, d ψ = -k(ψ - ψ - ψ n Μ n n- n+ όπυ είχαμε βρεί τη σχέση διασπράς: ω = ω 0 sin k (, όπυ ω = k / M Eπμένως, αν επαναλάβυμε τα ίδια βήματα όπως και στη περίπτωση της αλυσίδας ταλαντωτών, θα βρύμε την ίδια σχέση διαπράς, με μόνη διαφρά τν oρισμό της ιδισυχνότητας ω = / LC. Eπμένως μπρύμε να υπλγίσυμε την φασική ταχύτητα σε μια γραμμή μεταφράς απτελύμενη από N συζευγμένα LC κυκλώματα στ όρι χαμηλών συχντήτων (δηλ. μικρά k<< ή << ω = ω k sin( = ω k ( +... πότε η φασική ταχύτητα ισύται με ω υ = = ω = (5 k LC Γραμμή μεταφράς κύματς ( 4. Παράδειγμα 5, τρππιημέν

διασπράς: ω = ω 0 sin k (, όπυ ω = k / M Eπμένως, αν επαναλάβυμε τα ίδια βήματα όπως και στη περίπτωση της αλυσίδας ταλαντωτών, θα βρύμε την ίδια σχέση διαπράς, με μόνη

9 9 Θεωρύμε σαν γραμμή μεταφράς κύματς ένα μαξνικό καλώδι Γνωρίζυμε από τν Hλεκτρισμό ότι: (α η χωρητικότης κυλινδρικύ πυκνωτύ (ανά μνάδα μήκυς είναι C = πε ln(r / R όπυ ε =8.85x0 - Cb /Nt-m είναι η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ και R είναι η ακτίνα τυ κυλινδρικύ κέλυφυς και R η ακτίνα τυ κυλινδρικύ αγωγύ, Οι δυναμικές γραμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ (αξνική διεύθυνση και τυ μαγνητικύ πεδί (μαξνικές κυλινδρικές επιφάνειες E B E Στν εξωτερικό χώρ: Ε=0, Β=0 B (β ενώ συντελεστής αυτεπαγωγής κυλινδρικύ πυκνωτύ (ανά μνάδα μήκυς είναι μ ln(r / R L = π

85x0 - Cb /Nt-m είναι η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ και R είναι η ακτίνα τυ κυλινδρικύ κέλυφυς και R η ακτίνα τυ κυλινδρικύ αγωγύ, Οι

10 0 (μ =4πx0-7 Wb/A-m είναι η μαγνητική διαπερατότης τυ κενύ. Oπότε η φασική ταχύτητα (5 γράφεται, υ = μ ε = c H πσότης c 3x0 8 m/sec καλείται ταχύτης τυ φωτός στ κενό. Aν εισαχθεί κάπι διηλεκτρικό υλικό μεταξύ των πλισμών τυ πυκνωτύ, τότε ι σχέσεις πυ δίδυν τα L, C τρππιύνται ως εξής: C = πεε ln(r / R, και L = μμ π ln(r / R όπυ ε είναι η (σχετική διηλεκτρική σταθερά τυ υλικύ και μ η (σχετική μαγνητική διαπερατότης τυ υλικύ. Oπότε αντικαθιστώντας στην (5, η φασική ταχύτης γράφεται c υ = με c O λόγς η = = με καλείται δείκτης διάθλασης υ τυ υλικύ. Δείκτης διάθλασης μερικών υλικών: Yλικό n (για λ=5893a o αέρας.0009 νερό.33 γυαλί.50 Tα ακόλυθα μεγέθη τρππιύνται μέσα σε διηλεκτρικά υλικά ως εξής:

(σχετική διηλεκτρική σταθερά τυ υλικύ και μ η (σχετική μαγνητική διαπερατότης τυ υλικύ.

11 ν = δεν επηρεάζεται από τ υλικό μέσ υ c λ λ = = = ν nν n ω nω k = = = nk υ c όπυ τα μεγέθη λ και k αναφέρνται ως πρς τ κενό. Δείκτης διάθλασης και μήκς κύματς Τ φως εκτρέπεται από την ευθύγραμμ πρεία τυ όταν πρσπέσει σε διαφανές υλικό. Η εκτρπή αυτή είναι αντίστρφα ανάλγη τυ μήκυς κύματς τυ φωτός. Τώρα τ αναδυόμεν φυσικό φως από πτικό μέσν εκτρέπεται σε διαφρετικές γωνίες πυ είναι ανάλγες τυ λ, δηλ. διασπείρεται, με συνέπεια να αναλύεται σε όλα τα χρώματα από τα πία απτελείται τ πρσπίπτν φως. (Τ φυσικό φως απτελείται από ένα συνεχές τμήμα και από ένα διακριτό τμήμα, δηλ. τ λ παίρνει τιμές στ διάστημα [α,β], αλλά και τις διακριτές τιμές [λ,λ,,λ Ν ]. Νόμι διάθλασης

Η εκτρπή αυτή είναι αντίστρφα ανάλγη τυ μήκυς κύματς τυ φωτός. Τώρα τ αναδυόμεν φυσικό φως από πτικό μέσν εκτρέπεται σε διαφρετικές γωνίες πυ είναι ανάλγες τυ λ, δηλ.

12 Θεωρύμε μια μνχρωματική δέσμη φωτός (δηλ. τ λ έχει μια συγκεκριμένη τιμή, να πρσπίπτει σε μια διαχωριστική επιφάνεια πτικών μέσων. Mέτωπ κύματς (η επιφάνεια της πίας όλα τα σημεία βρίσκνται σε φάση. Εστω ότι η ισφασική επιφάνεια (ΑΒ καταλαμβάνει μετά από χρόν Δt τη θέση (CD. Θεωρύμε μια μνχρωματική δέσμη φωτός (δηλ. τ λ έχει μια συγκεκριμένη τιμή, να πρσπίπτει σε μια διαχωριστική επιφάνεια πτικών μέσων. Από τα ρθγώνια τρίγωνα BAD και ACD έχυμε: (BD=l =xsinθ και (ΑC=l =xsinθ (x είναι η υπτείνυσα. Ομως l =υ Δt και l =υ Δt, πότε συνδυάζντας τις σχέσεις αυτές πρκύπτει: υ Δt=x sinθ και υ Δt =x sinθ, ή διαιρώντας κατά μέλη, υ /υ =sinθ /sinθ. Εισάγντες τυς δείκτες διάθλασης, n=c/υ, λαμβάνυμε τν νόμ τυ Snell: n sinθ =n sinθ c c Παρατήρηση: Ο δείκτης διάθλασης n = = = υ λν ελαττώνεται ( καθώς αυξάνεται ( τ λ. c / ν λ

τ λ έχει μια συγκεκριμένη τιμή, να πρσπίπτει σε μια διαχωριστική επιφάνεια πτικών μέσων. Από τα ρθγώνια τρίγωνα BAD και ACD έχυμε: (BD=l =xsinθ και (ΑC=l =xsinθ (x είναι η υπτείνυσα.

13 3 Η χρωματική διασπρά τυ φωτός από τ πρίσμα δικαιλγείται ως εξής: Εστω ότι εξωτερικά τυ πρίσματς υπάρχει κενό (ή και αέρας πότε n = (η γωνία πρσπτώσεως i=σταθερή. Εφόσν n (ελαττώνεται καθώς τ λ (αυξάνεται, έπεται από τ νόμ τυ Snell (εφόσν n sinr=σταθερό ότι η γωνία διάθλασης r (αυξάνεται καθώς τ λ. Τότε όμως η γωνία r =Α-r (όπυ Α είναι η θλαστική γωνία τυ πρίσματς, και τελικά (εφόσν n sinr =sini η γωνία ανάδυσης i. Τότε η γωνία εκτρπής D=i+i - Α (καθώς τ λ, δηλ. για μεγαλύτερα μήκη κύματς (για τ ερυθρό, η γωνία εκτρπής ελαττώνεται (ενώ για τ ιώδες αυξάνεται και έτσι δικαιλγείται η χρωματική διασπρά τυ φυσικύ φωτός από πρίσμα. Eνέργεια κύματς, Ρή ενέργειας, Σύνθετη αντίσταση Θα αναφερθύμε σε κύματα πυ διαδίδνται σε συνεχές μέσν, όπως τη χρδή, και μάλιστα εγκάρσια κύματα για να έχυμε καλύτερη εππτική εικόνα. Εχμε δει ότι η (λική ενέργεια ενός μεμνωμένυ αρμνικύ ταλαντωτύ (πυ εκτελεί απλή αρμνική ταλάντωση ψ=αcos(ωt+φ ισύται με, Ε= ka = ω MA ( Αν θεωρήσυμε τώρα ότι ένα (εγκάρσι αρμνικό κύμα (της μρφής ψ(x,t=αcos(kx-ωt διαδίδεται κατά μήκς

Τότε όμως η γωνία r =Α-r (όπυ Α είναι η θλαστική γωνία τυ πρίσματς, και τελικά (εφόσν n sinr =sini η γωνία ανάδυσης i. Τότε η γωνία εκτρπής D=i+i - Α (καθώς τ λ, δηλ.

14 4 της χρδής (πυ ταυτίζεται με την διεύθυνση +x. Τότε σε ένα μικρό τμήμα της χρδής, μήκυς Δx και μάζας Δm, η ενέργειά τυ θα είναι κατ αναλγίαν, ΔΕ= ω (ΔmA ( Aν μ είναι η γραμμική πυκνότης της χρδής, τότε Δm=μΔx, ΔΕ= ω μ(δxa (3 O ρυθμός ρής της ενέργειας πυ μεταφέρεται κατά μήκς της χρδής (δηλ. η ισχύς τυ κύματς είναι ΔΕ P= = ω Δ x μ( A Δt Δt Aν πάρυμε τ όρι Δt 0 και Δx 0, τότε η ρή ισχύς γράφεται (απκλειστικά για κύμα πυ δεύει πρς μια κατεύθυνση, dε P= = ω dx μ A = μυ ω A (4 όπυ υ = Τ / μ και Τ η ασκύμενη τάση. Ορίζυμε σαν εμπέδηση ή σύνθετη αντίσταση (impednce της γραμμής μεταφράς την πσότητα, ψ ψ Ζ = Τ / (5 x t Για δεύντα κύματα: ψ(x,t=acos(kx-ωt η εμπέδηση της χρδής για δεύντα κύματα ισύται:

(3 O ρυθμός ρής της ενέργειας πυ μεταφέρεται κατά μήκς της χρδής (δηλ.

15 5 k Ζ=T =μυ k =υμ= ω ω μ Τ. Τα κύματα μεταφέρυν ενέργεια και ρμή, πυ πρσφέρεται από τις γεννήτριες των κυμάτων (δηλ. τυς πμπύς. Λέμε ότι ι πμπί ακτινβλύν. Αν π.χ. η χρδή ( δέκτης διεγείρεται από μια εξωτερική πηγή (τν πμπό, τότε απρρφά ακτινβλία. Θα δύμε την ιδέα της εμπέδησης, μελετώντας τη κίνηση μιάς χρδής, μήκυς L, η πία συγκρατείται στ σημεί x=l με τάση Τ από ένα υπστήριγμα, ενώ στ σημεί x=0 διεγείρεται από μιά εγκάρσια δύναμη (μέσω τυ ακρδέκτυ της πηγής. Η εγκάρσια δύναμη πυ ασκεί η χρδή πάνω στν ακρδέκτη της πηγής στ σημεί x=0 είναι F y ψ Τ x = ( Η ισχύς πυ απρρφάται από τη χρδή (ή πυ ακτινβλείται από τη πηγή ισύται

Θα δύμε την ιδέα της εμπέδησης, μελετώντας τη κίνηση μιάς χρδής, μήκυς L, η πία συγκρατείται στ σημεί x=l με τάση Τ από ένα υπστήριγμα, ενώ στ σημεί x=0

16 6 P F y dψ ψ dψ = Τ x ψ = Ζ t = ( όπυ (dψ/ είναι η εγκάρσια ταχύτης της χρδής (να μην μπερδευτεί με την φασική ταχύτητα υ τυ κύματς. Η ενέργεια πυ ακτινβλείται από την πηγή (και πυ κατ επέκταση απρρφάται από τη χρδή μεταφέρεται σαν δεύν κύμα από τ σημεί x=0 πρς τ σημεί x=l. Γενικά, η ακτινβλύμενη ισχύς πυ διαπερνά τ (τυχόν σημεί x, δίδεται από την (, P(x, t ψ(x, t Ζ t = (α Παράδειγμα: Διαμήκη κύματα σε ελατήρια. Για δεύντα κύματα, η εμπέδηση σε ελατήρια είναι πάλι Ζ = μτ όπυ Τ=k είναι η τάση στη κατάσταση ισρρπίας των ελατηρίων, όπυ η φασική ταχύτης τυ διαμήκυς κύματς σε ελατήρι είναι: υ = Τ / μ.

Γενικά, η ακτινβλύμενη ισχύς πυ διαπερνά τ (τυχόν σημεί x, δίδεται από την (, P(x, t ψ(x, t Ζ t = (α Παράδειγμα: Διαμήκη κύματα σε ελατήρια.

17 7 Παράδειγμα: Ηχητικά κύματα σε αέρια Τα ηχητικά κύματα είναι διαμήκη. Για δεύντα κύματα σε αέρια (και άλλα ελαστικά μέσα, η φασική ταχύτης διάδσης τυ διαμήκυς κύματς είναι, υ = γpo / ρ όπυ Ρ είναι η πίεση ισρρπίας και ρ η πυκνότητα ισρρπίας και γ μια σταθερά των αερίων. Ενώ η εμπέδηση είναι, Ζ = μτ όπυ Τ=γΡ και μ=ρ. Για τν αέρα σε καννικές συνθήκες, γ=.4, Ρ =t= Nt/m, και ρ =.9Κgr/m 3, πότε βρίσκυμε υ=33m/s και Ζ=48 (Νt/m /(m/s.

γpo / ρ όπυ Ρ είναι η πίεση ισρρπίας και ρ η πυκνότητα ισρρπίας και γ μια σταθερά των αερίων.

Σχετικά έγγραφα

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t).

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t). Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν