Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ιστορική εισαγωγή

Transcript

1 Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ιστορική εισαγωγή

2 Αρχαιότητα Ευθύγραμμη διάδοση του φωτός Πυθαγόρας, Δημόκριτος, Εμπεδοκλής, Πλάτων, Αριστοτέλης Νόμος της ανάκλασης 300 π.χ. Ευκλείδης Κατοπτρικά ~ 50 μ.χ. Ήρων: Η διαδρομή που ακολουθεί το φώς από το ένα σημείο στο άλλο είναι η μικρότερη. Διάθλαση 50 π.χ. Κλεομήδης, 30 μ.χ. Κλαύδιος Πτολεμαίος (πίνακες διάθλασης) Κάτοπτρα 900 π.χ. Αίγυπτος Συγκλίνοντες φακοί 44 π.χ. (Αριστοφάνης Νεφέλες) ~ 30 μ.χ. Σένεκας Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr a@ma als.u Μεσαίωνας 000 μ.χ. Αλχαζέν (Επίπεδο πρόσπτωσης, σφαιρικά και παραβολικά κάτοπτρα, λεπτομερής περιγραφή του ανθρώπινου οφθαλμού) ~30 μ.χ. Bacn Διόρθωση όρασης με φακούς Μπορούμε να κατασκευάσουμε τηλεσκόπιο συνδυάζοντας φακούς! ~ 500 μ.χ. Lenard Da Vinci Camera Obscura ~ 50 μ.χ. Γυαλιά όρασης ~300 μ.χ. Κάτοπτρα με επίστρωση ~500 μ.χ. Camera Obsura (Η πρώτη φωτογραφική κάμερα!) Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr a@ma als.u

3 7 ος -8 ος αιώνας 6 Kepler Diptrice ολική ανάκλαση 6 Snell Νόμος της διάθλασης 637 Descartes La Diptrique, «Το φώς είναι μια διαταραχή που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο!» ~ 657 Fermat Αρχή ελαχίστου χρόνου ~650 Grimaldi & Hke Περίθλαση, «Το φώς είναι μια ταχύτατη δόνηση του μέσου που διαδίδεται με μεγάλη ταχύτητα» ~665 Newtn Φασματική ανάλυση, Κατοπτρικά τηλεσκόπια, σωματιδιακή φύση του φωτός ~ 665 Huygens Πόλωση, το φώς είναι κύμα ~676 Rmer Μέτρηση της ταχύτητας του φωτός Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr 608 Lippershey Διοπτρικό Τηλεσκόπιο 60 Janssen Μικροσκόπιο 668 Newtn Κατοπτρικό τηλεσκόπιο 758 Dllnd Αχρωματικός φακός 9 ος αιώνας 80 Yung, αρχή της συμβολής ~80 Fresnel, κυματική διάδοση (διαμήκη κύματα), περίθλαση, συμβολή 85 Yung, Το φώς είναι εγκάρσιο κύμα 845 Faraday, Μαγνητο-οπτικό φαινόμενο ~ 849 Fizeau, επίγεια μέτρηση της ταχύτητας του φωτός 870 Maxwell, «Το φώς είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα!» 88,887 Michelsn, Mrely «Ο αιθέρας είναι ακίνητος ως προς τη γη» Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

4 0 ος αιώνας 900 Pincare, «Δεν υπάρχει αιθέρας!» 900 Planck, αρχή της κβαντομηχανικής 905 Einstein, Το φώς διαδίδεται στο κενό με σταθερή ταχύτητα ανεξάρτητη από την κίνηση της πηγής Το φώς έχει σωματιδιακή υφή 93 Bhr, κβαντομηχανική περιγραφή του ατόμου του υδρογόνου 948 Gabr, Ολογραφία 950 Oπτική Furier, οπτική & θεωρία τηλεπικοινωνιών 958 Twnes, Laser (97 Einstein Θεωρητική πρόβλεψη) 966 Ka, Οπτικές ίνες 966 Ashkin, Φωτοδιαθλαστικά υλικά 969 Byle, Smith, CCD κάμερα 987 Yablnvitch, Sajeev, Φωτονικά υλικά 999 Pedry, Μετα-υλικά (967 Veselag Θεωρητική πρόβλεψη) Δημήτρης Παπάζογλου 03 Πηγές: wikipedia, Κύματα Δημήτρης ης Παπάζογλου 03 als.

5 Εξίσωση κύματος διαταραχή (,) r t t 0 ταχύτητα διάδοσης Γραμμική το άθροισμα των λύσεων είναι λύση Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Γραμμικότητα και αρχή της επαλληλίας 0 t 0 N N t ( i) ( ) 0 i i t i N N 0 Ν κύματα t Η επαλληλία τους είναι κύμα Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

6 Εξίσωση κύματος σε μία διάσταση z t 0 Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Χαρακτηριστικά κυμάτων Μήκος κύματος (περιοδικότητα στον χώρο) Περίοδος (περιοδικότητα στον χρόνο) Πλάτος Ταχύτητα Φάση Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

7 Είδη κυμάτων Διαμήκη Εγκάρσια Διάδοση Διαταραχή Διάδοση Διαταραχή αριθμητικό μέγεθος (,) r t Τυπικό παράδειγμα τα ηχητικά κύματα διάνυσμα Ar (,) t Τυπικό παράδειγμα οι ταλαντώσεις μιας χορδής Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Αρμονικά κύματα Η διαταραχή (r, t) είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου πλάτος >0 (,) r t a()cs[ r g() r t] φάση Ισοφασική επιφάνεια Επιφάνεια σταθερού πλάτους g() r t cnst () r cnst Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

8 Ταχύτητα φάσης Η ταχύτητα φάσης p αναφέρεται στην ταχύτητα διάδοσης των ισοφασικών επιφανειών (,) r t g() r t cnst d(,) r t 0 g() r dr dt 0 dr ( g( r) qˆ ) dr dt dr drqˆ dt g() r qˆ g() r qˆ issurface qˆ g() r qˆ g() r g() r p g() r Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Αρμονικά επίπεδα κύματα Η διαταραχή (r, t) είναι αρμονική συνάρτηση στον χρόνο αλλά και στον χώρο. Το πλάτος είναι σταθερό. ( r, t) cs[ krt] κυματοδιάνυσμα κυματάριθμος (wavenumber) ισοφασική επιφάνεια kr cnst k k μήκος κύματος (wavelength) Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

9 Ταχύτητα φάσης επίπεδου αρμονικού κύματος p g() r ( kr) k / συχνότητα p k * ( kr ) ( k xk yk z) k xˆk yˆk zˆ k x y z x y z Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Μιγαδική περιγραφή αρμονικού κύματος ( r, t) a( r)cs[ g( r) t] A ( r ) μιγαδικό πλάτος ig ( r ) i t it Re{ a( r) e e } Re{ A( r) e } * cc.. c A r e A r e A r e cc it * it it [ ( ) ( ) ] ( ).. * Μπορούμε να παραλείπουμε το Re{..} μόνο σε γραμμικούς υπολογισμούς! Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

10 Μιγαδική περιγραφή και κυματική εξίσωση it it 0 e A( r) ( ) e A( r) t () () 0 A r A r Αν το κύμα είναι επίπεδο και αρμονικό: A r k A r () () 0 Εξίσωση Helmhltz Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Πηγές, Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας

11 Πηγές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Κλασική προσέγγιση Επιταχυνόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά ρεύματα Δεν υπάρχει κατώτατο όριο στην συχνότητα Κβαντομηχανική Ενεργειακές μεταπτώσεις Δημήτρης Παπάζογλου 03 Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Δημήτρης Παπάζογλου 03

12 Δημήτρης Παπάζογλου 03 Δημήτρης Παπάζογλου 03

13 Ηλεκτρομαγνητισμός Εξίσωση Η/Μ κύματος Εξισώσεις Maxwell D, B E t B0, D H j t Εξισώσεις Υλικού DEP DErE B ( ) istrpic HM BHrH Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

14 Εξίσωση Η/Μ κύματος (Ολοκληρωτική μορφή) Ddv dv Dnds q V V s V Bdv 0 Bnds 0 s B ( E) nds nds Edl Bnds t t S S L S D ( H) nds jnds nds Hdl I Dnds t t S S S L S Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Εξίσωση Η/Μ κύματος Εξαγωγή της κυματικής εξίσωσης για ισότροπο υλικό B ( E) ( B) t t ( E) E ( H) t BH D E ( E) ( E) E 0, j0e0 E ( ) 0 t t t E D E Εξίσωση κύματος r r r r c ταχύτητα διάδοσης στο κενό ταχύτητα διάδοσης Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

15 Διατήρηση Ενέργειας Διάνυσμα Pynting B ( ( EH) HE H t D B E H H E j E E H t t D EH jee ( ) t a b b a a b D B ( EH) jee H 0 t t D B ( EH) dv ( E H ) dv jedv 0 t t V V V S D B ( EH) nds ( E H ) dv dv 0 t t j E V V Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Διατήρηση Ενέργειας Διάνυσμα Pynting D B ( EH) nds ( E H ) dv jedv 0 t t S V V Ροή Η/Μ ακτινοβολίας Πυκνότητα ηλεκτρικής, Μαγνητικής ενέργειας Απώλειες S EH Διάνυσμα Pynting Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

16 Αρμονικά επίπεδα κύματα Επίπεδο αρμονικό κύμα A A e i( kr t) A A t t A ik A, A ik A, ia, A kr ( k xˆk yˆk zˆ) ( xxˆyyˆ zzˆ) k xk yk z x y z x y z it ikr AA ( ˆ ˆ ˆ e x y z) e x y z it A e i( k xˆ k yˆ k zˆ) e x y z AikA ikr e A i( kr t) [ Ae ] A A e i( kr t) i( kr t) A ka it ikr e e i Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Θεωρώντας ότι το Η/Μ κύμα μας είναι επίπεδο και αρμονικό DD e, EE e, BB e, HH e i( kr t) i( kr t) i( kr t) i( kr t) Οι εξισώσεις Maxwell απλοποιούνται: B D, E t ikd0, ikeib D i 0, i i 0, k B k H D B H j t kd0 k D kb0 k B kebk B, EB khdk D, HD Σε ισότροπα υλικά D// E, B// H οπότε ισχύει ότι k Dk E k Bk H Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

17 ΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ H D B E S k D// E, B// H H D B E S B// H k Ηλεκτρικά ανισότροπο Μαγνητικά ισότροπο D B E H D// E S k Ηλεκτρικά ισότροπο Μαγνητικά ανισότροπο D E kd, kb, EB, HD Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr k B H S Ηλεκτρικά ανισότροπο Μαγνητικά ανισότροπο Διάνυσμα Pynting σε ισότροπα υλικά (αρμονικά πεδία) Σε ισότροπα υλικά k Dk E D// E, B// H k B k H Επίπεδα αρμονικά κύματα A A e i( kr t) SEH S E H S E c keb E B B S E r E k n H B n S n c E Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

18 S E S H S H E E Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Πόσο γρήγορα ταλαντώνεται το πεδίο ; Η ταλάντωση του Η/Μ πεδίου στο οπτικό κύμα είναι κατά πολύ ταχύτερη από τον χρόνο απόκρισης του ανιχνευτή μας! περίοδος ~ fs z = cnst Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

19 Πώς ανιχνεύουμε την Η/Μ ακτινοβολία; Η περίοδος ταλάντωσης του διανύσματος Pynting είναι < fs στην περιοχή του ορατού. Κανένας ανιχνευτής δεν είναι τόσο γρήγορος. Στην πραγματικότητα μετράμε την μέση τιμή της ενέργειας που μεταφέρεται από το οπτικό κύμα σε πολλές περιόδους ταλάντευσης Δημήτρης Παπάζογλου 03 Ένταση ακτινοβολίας Η μέση τιμή του μέτρου του διανύσματος Pynting ως προς τον χρόνο ονομάζεται ένταση ακτινοβολίας I S n c t E t (W/m ) Για αρμονικά κύματα: Er (,) t E()cs( r t) E E E E cs ( t) [ cs( t)] t t t I nc E Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

20 Ένταση ακτινοβολίας I nc E Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Δείκτης διάθλασης Ο δείκτης διάθλασης συνδέεται με την ταχύτητα διάδοσης μιας ισοφασικής επιφάνειας ενός Η/Μ κύματος δείκτης διάθλασης c n r r r ( r ) Εξαρτάται από την συχνότητα Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

21 Διασπορά Η ταχύτητα της Η/Μ ακτινοβολίας σε ένα διηλεκτρικό μέσο εξαρτάται από την συχνότητα Πηγή: wikipedia Δημήτρης Παπάζογλου 03 Οπτικές ιδιότητες Δημήτρης Παπάζογλου 03

22 Διασπορά- Κλασική προσέγγιση Το διηλεκτρικό δεν είναι συνεχές αλλά αποτελείται από μεγάλο αριθμό ατόμων που μπορούν να πολωθούν. Το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο Ε(t) του η/μ κύματος "οδηγεί" τα άτομα σε εξαναγκασμένη ταλάντωση Κάθε ταλαντωτής έχει μια φυσική συχνότητα συντονισμού ω 0 D EP P E e Διηλεκτρική επιδεκτικότητα Μπορεί να είναι και τανυστής (ανισότροπα υλικά) Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Διασπορά- Κλασική προσέγγιση Ισότροπο υλικό Το μοντέλο είναι μαθηματικά ισοδύναμο με εξαναγκασμένο ταλαντωτή μετατόπιση Αρμονικό πεδίο dx e e m kx q E e dt Δύναμη επαναφοράς* it * m e it it dt e e it xe xt () d x k x mx e kxe k m Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

23 Απλοποιημένο μοντέλο: Απουσία απωλειών d x it e e e m m x q E e dt it xt () xe m x e m x e q E e it it it e e e x qe m e Nqe it Pt () Nqe xt () Pt () Ee me Dt () Et () Pt () ret () E Nq r Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr e me Διασπορά παρουσία απωλειών d x dx it e e e e m m x m q E e dt dt it xt () xe m xe m xe imxe qee it it it it e e e e x qe m e E i Nqe it Pt () Nqe xt () Pt () Ee me i Dt () Et () Pt () ret () Nq r i e me Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

24 Nq r i i e me Η διηλεκτρική σταθερά μπορεί να έχει φανταστικό μέρος Επομένως και ο δείκτης διάθλασης όταν έχουμε απορρόφηση είναι μιγαδικός r ( n i) n n n ( ), ( ) Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr E P n Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

25 Ομαλή διασπορά στην περιοχή του ορατού Δημήτρης Παπάζογλου 03 Φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης και απορρόφηση Er (,) t E e i( kr t) i( nk nr ˆ t) nk ˆ (,) t e k n E r E nni Er (,) t Ee e k nr ˆ i( nk nr ˆ t) nˆ zˆ E(,) E kz inkz ( t) zt e e Iz ( ) I(0) e kz I( z) I(0) e az Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr 4 a k cm ( ) Συντελεστής απορρόφησης

26 Βάθος διείσδυσης d: το βάθος στο οποίο λόγω της απορρόφησης η ένταση ακτινοβολίας έχει πέσει στο /e (~37%) της αρχικής της τιμής d a 4 4 water (@550 nm) a 50 cm d ~ 0m 6 Al (@550 nm) a.50 cm d ~ 6.6nm Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Πηγή: Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

27 Διάδοση Κυματική διάδοση Κλασική προσέγγιση Εξισώσεις Maxwell Εξισώσεις υλικού Οριακές συνθήκες Δύσκολη η εφαρμογή της σε όλα τα προβλήματα αφού απαιτείται η λύση της κυματικής εξίσωσης! Εφαρμόζεται με επιτυχία σε αριθμητικές λύσεις Οπτικές ακτίνες Εναλλακτικές προσεγγίσεις Αρχή του Huygens Αρχή του Huygens-Fresnel Προσέγγιση Kirchhff Δημήτρης Παπάζογλου 03

28 Οπτικές ακτίνες Οπτική ακτίνα: Καμπύλη που αντιστοιχεί στην διεύθυνση διάδοσης της ενέργειας Ισότροπο μέσο οι οπτικές ακτίνες είναι κάθετες στα μέτωπα κύματος οι οπτικές ακτίνες είναι παράλληλες με το κυματοδιάνυσμα k Πολύ απλή περιγραφή Αγνοεί την κυματική φύση του φωτός Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Πως διαδίδονται οι οπτικές ακτίνες ; Ήρων ο Αλεξανδρινός (~ 50 μ.χ.) «Η διαδρομή που ακολουθεί το φώς από το ένα σημείο στο άλλο είναι η μικρότερη» Μικρότερη διαδρομή (Ήρων) Ερμηνεύει την ανάκλαση αποτυγχάνει στην διάθλαση Μικρότερη διαδρομή (Ήρων) Συντομότερη διαδρομή (Fermat) Fermat (657 μ.χ.) «Η διαδρομή που ακολουθεί μια δέσμη φωτός ανάμεσα σε δύο σημεία είναι αυτή που διασχίζεται στον ελάχιστο χρόνο!» l ray O t dl c gemetrical path ndl ptical path Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

29 Κυματική διάδοση: Αρχή του Huygens (665 μ.χ.) Κάθε σημείο ενός πρωτεύοντος μετώπου κύματος αποτελεί πηγή σφαιρικών δευτερευόντων κυμάτων, έτσι ώστε σε μιά μεταγενέστερη χρονική στιγμή το κύριο μέτωπο κύματος να είναι η περιβάλλουσα αυτών των κυμάτων. Επίσης τα δευτερεύοντα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα και συχνότητα που είναι ίσες με τις αντίστοιχες του πρωτεύοντος κύματος σε κάθε σημείο στο χώρο. (Huygens 665) Ερμηνεύει την ανάκλαση & την διάθλαση Αποτυγχάνει να ερμηνεύσει την περίθλαση! Δημήτρης Παπάζογλου 03 Πηγή: wikipedia Κυματική διάδοση: Αρχή του Huygens-Fresnel (80 μ.χ.) το πλάτος του κύματος σε κάθε σημείο μια μεταγενέστερη χρονική στιγμή προκύπτει από την υπέρθεση όλων των δευτερευόντων κυμάτων λαμβάνοντας υπόψη τα πλάτη τους και τις σχετικές τους φάσεις. Ερμηνεύει την ανάκλαση & την διάθλαση και την περίθλαση! Αρχή της επαλληλίας! Πλάτος > λ Πλάτος = λ Πηγή: wikipedia Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

30 Γεωμετρική οπτική και εξισώσεις Maxwell Είναι η γεωμετρική οπτική μια καλή προσέγγιση των εξισώσεων Maxwell; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα θα πρέπει να εφαρμόσουμε μια διαδικασία απλοποίησης των εξισώσεων Maxwell. Ee() r, H h() r ikl( r) it ikl( r) it e e e e L() r er (), hr () Συνάρτηση γεωμετρικού οπτικού δρόμου (Real number) Διανυσματικά πλάτη (cmplex number) Επίσης θεωρούμε ότι δεν έχουμε ελεύθερα φορτία και ρεύματα 0, j0 Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr D0, DE ( E) 0 EE0 B0, BH ( H) 0 HH0 L ikl( r) it er () iker () () r er () e e 0 ikl( r) it hr () ikhr () L() r hr () e e 0 * er () L() r er () ln() er () ik hr () () r hr () ln( ) hr () ik L + (M) (M) * E[() e r e ] e e e() r e e e() r e ik L( r) it it ik L( r) it ik L( r) e er () e e ik e er () L() r [ er () ik er () L()] r e e it ikl( r) it ikl( r) ikl( r) it + ln( ) Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

31 B E, B H t [() er ] hr () D, hr er H D E t it ikl( r) ikl( r) it e e i e e it ikl( r) ikl( r) it e [ ( ) e ] i ( ) e e L er () ik () r er () i hr () hr () ikl() r hr () i er () L() r e() r c hr () er () ik L() r h() r c e() r h() r ik (M3) (M4) Γεωμετρική προσέγγιση: Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr 0k 0 k er () L() r er () ln() er () ik * er () L() r 0 hr () L() r hr () ln( ) hr () ik hr () L() r 0 c () () c () () L r e r h r L r e r h r e r ik L() r h() r c e() r 0 L() r h() r c e() r h() r ik k 0 ( ) ( ) ( ) 0 Οι (α),(β) προκύπτουν από τις (γ),(δ) (α) (β) (γ) (δ) L L L ()[ r () rer () hr ()] 0 hr () () r 0 L()[ r L() r hr () er ()] 0 er () L() r 0 * Επιπλέον συνθήκη τα, και το πεδίο e(r), h(r) δεν μεταβάλλονται απότομα σε διαστάσεις λ ο Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

32 L () r h() r c e() r 0 () hr () L() r er () c L() r [ L() r er ()] c er () 0 c L L L r e r r e r r e r ()[() ()] ()[ ()] c () 0 0 0(a) n L L L () r () r () r L r x y z [ ( )] ( ) ( ) ( ) n ( ) Εξίσωση εικόνας r Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Διάνυσμα Pynting και γεωμετρική προσέγγιση SEH ikl( r) it Ee() r e e ikl( r) it H h() r e e [ ( ) ikl( r) it * ( ) ikl( r) it ] [ ( ) ikl( r) it * ( ) ikl( r) it e e e e e e e e ] S e r e r h r h r 4 [ ( ) ( ) ik ( r) it * ( ) * ( ) ik ( r) it ( ) * e e e e ( ) L L S e r h r e r h r e r h r e * () r h()] r 4 S e r h r e r h r e r h r t 4 * * * [() () () ()] Re[() ()] Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

33 t * Re[ ( ) ( )] * S Re ( ) [ ( ) ( )] t e r L r e r S e r h r c hr () L() r er () c 0 0 Re ()[ * () ()] * S t L r e r e r e ()[() r e r L ()] r c S L() r e() r t c S n() t r er () nˆ L() r L() r ˆ c () ˆ er n n L() r n() r S w t e nˆ Η μέση τιμή του διανύσματος Pynting είναι κάθετη στην επιφάνεια L = cnst Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr Ροή η/μ ακτινοβολίας S w t e nˆ L L () r nˆ () r Οι οπτικές ακτίνες είναι καμπύλες κάθετες στις γεωμετρικές κυματικές επιφάνειες! O s r ray Γεωμετρικές κυματικές επιφάνειες O L L dr () r dr nˆ n() r L() r ds () r ds Εξίσωση ακτίνας Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr

34 L( r) n( r) dr d dr d dr n() r L() r [() n r ] [ L()] r [ L()] r ds ds ds ds ds d dr [() n r ] L() r [ L()] r {[ L()]} r ds ds n() r () n r n ( r) d dr [ n( r) ] n ( r) ds ds n( r) d dr [ n( r) ] n( ) ds ds r Εξίσωση ακτίνας Δημήτρης Παπάζογλου 03 dpapa@materials.uc.gr