Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B"

Transcript

1 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B!

2 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις ρητώ με εκθέτη ακέραιο. i. ii. iii. 0 α =.. α =.. μ α α =.. iv. μ α : α =.. v. ( α β ) =.. vi. ( α ) μ =.. a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; b. Με ποια συάρτηση εκφράζοται τα αάλογα ποσά και ποια είαι τα χαρακτηριστικά γωρίσματα της γραφικής παράστασης αυτής της συάρτησης; Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) 3x 5 2 x 1 x + 7 = Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( o Α = 90 ) με ΑΒ = 12cm και Β = 13cm α υπολογίσετε τα: ημβ, συβ, εφβ, ημ, συ και εφ. 40 Δ Σε κύκλο ( Ο, ρ) παίρουμε τα σημεία Α, Β,, Δ έτσι Α ώστε α είαι: o ΑΒ = 90, o Β = 150 και o ΑΔ = 40. Ο Να υπολογίσετε τις γωίες ΑΔΒ, ΒΔ και ΑΒ Β

3 115 A. Πως υπολογίζεται το γιόμεο πολλώ παραγότω διαφόρω του μηδεός και πως η διαίρεση δύο ρητώ αριθμώ; B. Να συμπληρωθού οι ισότητες: α α μ =... με μ > (α β) =... α β =... A. Σε κύκλο (Ο, ρ) με τι ισούται: a. Το μήκος τόξου μ ; b. Το μήκος τόξου α rad ; c. Το εμβαδό κυκλικού τομέα γωίας μ ; d. Το εμβαδό Ε του κύκλου; e. Το μήκος του κύκλου; B. Σε κύκλο (Ο, ρ): a. Να σχεδιάσετε και α δώσετε το ορισμό μιας εγγεγραμμέης και μιας επίκετρης γωίας b. Ποια σχέση συδέει το μέτρο της εγγεγραμμέης με το μέτρο ατίστοιχης της επίκετρης; Α είαι: μ ( α ) =... α =... με α 0 α 0 =... Α = ( 3) ( 2) 2 ( ) + 6 ( 2) και Β = 2 [ 3 ( 3) 4 ( 3) 2 ] + 2,5( 2) 2 α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α 2Β. 8 χ 2 (χ 1) χ + 6 χ Nα λυθεί η εξίσωση: + = Στο κύκλο (Ο, ρ) του σχήματος είαι εγγεγραμμέο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με κάθετες πλευρές ΑΒ = 6cm και Α = 8cm. Να υπολογίσετε: A 6cm 8cm i. Το μήκος και το εμβαδό του ημικυκλίου (Ο, ρ) B O ii. Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου μέρους του σχήματος

4 116 a. Τι οομάζουμε ημίτοο και τι συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; b. Πώς μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί οξειώ γωιώ; c. Μπορεί το ημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου α ισούται με τη εφαπτομέη της ίδιας γωίας; (Δικαιολόγηση) a. Συμπληρώστε τις ισότητες: α κ :β κ =..., και κ λ :κ μ =... b. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι και τι πρόσημο έχου; c. ια α έχει έας αριθμός ατίστροφο τι πρέπει α ισχύει; a. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω 2 4(χ+4) χ 2(4x 5) και 2 1 χ χ + 2 < χ 6 Να δείξετε τις λύσεις αυτές στο άξοα τω ρητώ αριθμώ: Να υπολογίσετε από το διπλαό σχήμα τις πλευρές ΚΛ και ΛΜ του τριγώου ΚΛΜ και α εξετάσετε α είαι ορθογώιο το ΚΛΜ α είαι ΚΜ=13cm, KN = 12cm και ΛΝ =16cm και η γωία KNM= 90 0 Να υπολογίσετε τις γωίες x, y, ω και ρ του διπλαού σχήματος. Δικαιολογήστε τους υπολογισμούς σας.

5 117 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ, (A= 90 0 ) a. Να δώσετε τους ορισμούς ημβ, συ, εφβ. b. Μεταξύ ποιω αριθμώ βρίσκεται το ημβ και το συβ. c. Να δικαιολογήσετε τη απάτηση σας. Το τρίγωο ΑΒ είαι ορθογώιο (Α = 90 0 ). a. Να γράψετε το τύπο που συδέει τα μήκη τω πλευρώ ΑΒ, Α, Β του τριγώου αυτού b. Με ποιο όομα είαι γωστό το θεώρημα που εκφράζει αυτός ο τύπος. c. Να διατυπώσετε το θεώρημα με λόγια. Να υπολογίσετε τη περίμετρο μιας κυκλικής πλατείας, α είαι γωστό ότι το εμβαδό της είαι 200,96m 2. Nα λυθεί η εξίσωση: χ 2 3χ χ 5 χ + = Να υπολογίσετε τη τιμή παράστασης: Α= 2 2 [( 1) 2 8 ( 1) 3 ] 2 [2 ( 3)+( 12):( 4)]+(-3) 0

6 118 α. Τι οομάζουμε εγγεγραμμέη γωία σε κύκλο (Ο,R); β. Τι οομάζουμε επίκετρη γωία σε κύκλο (Ο,ρ); γ. Τι οομάζουμε καοικό πολύγωο; Σ έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Â = 90 ), δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, συημιτόου και εφαπτομέης οξείας γωίας. Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης εφαρμόζοτας τη προτεραιότητα τω πράξεω: 1 Α= ( 3)² + ( 1) ( 8+3) [(2³ 4) 2]+( ) 1 2 Να λυθεί η αίσωση και α παραστήσετε τις λύσεις της σε άξοα: 2 + χ 3 χ +1 2 < χ + χ Σ έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Â=90 ) η μία κάθετη πλευρά ΑΒ έχει μήκος 8 cm και η υποτείουσα Β έχει μήκος 10 cm. Με διάμετρο τη κάθετη πλευρά Α του τριγώου κατασκευάζουμε ημικύκλιο στο ε- ξωτερικό του τριγώου. Να υπολογιστεί το μήκος του ημικυκλίου και το εμβαδό της γραμμοσκιασμέης επιφάειας. A B

7 119 C. Ποιοι αριθμοί οομάζοται ατίθετοι; D. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι; Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση) E. Πως υπολογίζουμε το γιόμεο πολλώ παραγότω; A. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) α δώσετε τους ορισμούς τω ημβ, συβ, εφβ. C. Ποιες τιμές παίρου το ημίτοο και το συημίτοο της οξείας γωίας Β. D. Α ω < 50 α συγκρίετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς: i. ημω και ημ50 ii. συω και συ50 iii. εφω και εφ50 Να υπολογίσετε η τιμή της παράστασης Α = ( 2) 8 : ( 2) 2 [ ( 1) 3 5 ( 2 + 4) 2 ] 5 0. Nα λυθεί η εξίσωση: χ (χ 1) χ = Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 )με ΑΒ = 4cm, Β = 8cm και Β = 60. ράφουμε κύκλο (Β, ΒΑ). Να υπολογίσετε το εμβαδό του σκιασμέου μέρους. (δίεται 48 7)

8 120 a. Τι οομάζεται επίκετρη και τι εγγεγραμμέη γωία ; ( Σε κάθε περίπτωση α γίει και σχήμα ) b. Ποια σχέση συδέει μια επίκετρη και μια εγγεγραμμέη γωία, που ατιστοιχού στο ίδιο τόξο ; c. Δυο τόξα μ ο πότε είαι ίσα ; a. Δίεται το τρίγωο ΑΒ ( A = 90 ). Να ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. b. Πως μεταβάλλοται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ; A c. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτοο μιας οξείας γωίας είαι αριθμός μικρότερος της μοάδας. Δίοται οι παραστάσεις : Α = 2 + [ 7 ( 1) 10 ] : ( 3 ) και 3 2 Β = 3 2 a. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α b. Ομοίως τη τιμή της παράστασης Β c. Να δείξετε ότι Α. Β = ( 1) 5 + ( 10) Δίοται: η εξίσωση 5( 2 χ 5 ) = 6( 3 χ + 4 ) και η αίσωση a. Να λύσετε τη εξίσωση b. Ομοίως τη αίσωση c. Να εξετάσετε α η λύση της εξίσωσης είαι λύση της αίσωσης Στο διπλαό σχήμα το ορθογώιο ΑΒΔ με διαστάσεις ΑΒ = 6cm και Β = 8cm είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο ( 0, Ρ ) a. Να βρεθεί η διάμετρος Α του κύκλου και b. Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου μέρος του σχήματος 0 2χ 1 3χ 3 > 3 4 B

9 121 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα που ισχύει σ έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A= 90 ) (σχήμα λόγια - σχέση) b. Δίεται έας θετικός αριθμός α. Να γράψετε το καόα της τετραγωικής του ρίζας και α συμπληρώσετε τις ισότητες : 0 =..., ( ) 2 α =. a. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α= ˆ 90 ο ) και α δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, του συημιτόου και της εφαπτομέης της οξείας γωίας. b. Ότα αυξάεται μια οξεία γωία, πώς μεταβάλλεται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη της γωίας αυτής ; (μόο καόες) Δίοται οι παραστάσεις: Α = ( ) 3 : ( 2 ) και Β = ( 1) : 2 ( 3) ( 6) Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές τω παραστάσεω Α και Β και α εξετάσετε α είαι ατίστροφοι αριθμοί.- Να λυθεί η παρακάτω αίσωση και α βρεθεί ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός που τη επαληθεύει : 3 3( 2) ( χ + ) χ χ χ Σ έα κύκλο( Ο, ρ) παίρουμε τα διαδοχικά τόξα ΑΒ = χ + 10 Β = χ + 30, Δ = 3χ 50 και ΔΑ = 70. a. Να υπολογίσετε πόσες μοίρες είαι τα τόξα ΑΒ, Β, Δ b. Να υπολογίσετε τις γωίες Α, Β,, Δ του τετραπλεύρου ΑΒΔ. c. Τι σχέση έχου οι χορδές ΑΒ και ΑΔ και γιατί ;

10 122 A. Τι οομάζεται -οστή δύαμη ρητού αριθμού α με εκθέτη φυσικό αριθμό >1. Να συμπληρώσετε τα κεά στις παρακάτω ισότητες: μ α α = α = β μ ( α ) = α = α :α μ = ο α = 1 α = α β = Β. Να χαρακτηρίσετε σα σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ότι: a. Το άθροισμα δύο αρητικώ αριθμώ είαι θετικός αριθμός. b. Το πηλίκο εός αρητικού και εός θετικού αριθμού είαι αρητικός αριθμός. c. Το γιόμεο δύο αρητικώ αριθμώ είαι αρητικός αριθμός. A. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. (Να γίει σχήμα και α γραφεί η σχέση). B. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. C. Ποιες από τις παρακάτω τριάδες αριθμώ είαι δυατό α αποτελού πλευρές ορθογωίου τριγώου: 12, 13, 5 3, 4, 6 6, 10, 8 8, 5, 12 9, 11, 4 χ +1 2χ +3 χ +5 a. Να λυθεί η αίσωση: b. Να παραστήσετε τις λύσεις στο άξοα τω πραγματικώ αριθμώ: Στο διπλαό σχήμα α βρείτε το μήκος του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A= 90 ).Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω σχέσεις a. ημβ = συ b. ημ 2 Β+ημ 2 =1 c. εφ = ημ συ.

11 123 Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες a. b. α α β =... μ α =... c. ( α ) μ =... 0 d. α =... e. α =... f. μ α α =... Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) a. α δώσετε το ορισμό του ημβ και συβ της εφβ b. α συμπληρωθού οι αισώσεις... <ημβ<...,...<συβ<... A B Στο διπλαό σχήμα είαι ΑΒ = 6, ΑΔ = 8 και Β = 80 και Δ =100. Να δείξετε ότι a. το τρίγωο ΑΒΔ είαι ορθογώιο στη κορυφή Α b. Να βρείτε τη ακτία του κύκλου α c. Να βρείτε το εμβαδό και το μήκος του κύκλου A 80 B 6cm Ο 8cm Δ 100 Να λυθεί η εξίσωση 2χ +1 χ 1 χ +2 = Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 3 ( 2 ):16 + ( 1) ( 5) 2 + ( 3 ) :( 7) = ( ) 5 5 2

12 124 A. Σε κάθε έοια της Στήλης Α α ατιστοιχίσετε το σωστό μαθηματικό συμβολισμό από τη Στήλη Β, έτσι ώστε α περιγράφου τη ίδια έοια. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Περιγραφή της έοιας στη φυσική γλώσσα Συμβολισμός της έοιας στη μαθηματική γλώσσα a. Απόλυτη τιμή του χ 1. χ b. Ατίθετος του χ 2. χ 1 c. Ατίστροφος του χ 3. χ d. -οστή δύαμη του χ 4. χ 5. χ Όπου χ είαι ρητός με χ 0 1 και θετικός ακέραιος. 6. χ α β γ δ ια κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις Β και, α γράψετε στο τετράδιό σας α είαι Σωστή (Σ) ή Λαθεμέη (Λ). α β + γ =αβ + γ B. ( ) C. αβγ ( ) = αβ αγ A. Να διατυπώσετε στο τετράδιό σας το πυθαγόρειο θεώρημα και α κάετε το αάλογο σχήμα. B. Τετραγωική ρίζα εός. αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός που ότα υψωθεί στο.. δίει το αριθμό α. ( ) Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ Α=90 με υποτείουσα Β = 5m και τη κάθετη πλευρά ΑΒ = 3m. a. Να αποδείξετε το μήκος της άλλης κάθετης πλευράς Α = 4m. b. Να βρείτε τα ημβ, συβ, εφβ. c. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης εφβεφ+1= 2 Α A= α αποδείξετε ότι Α=2. B = α αποδείξετε ότι Β= 1. Α ( ) ( ) Β Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης ( ) ( ) ( ) 2004 Δίεται η παράσταση Α= 3(2χ) 2(χ+3)+1 a. Να αποδείξετε ότι Α= 4χ 5 χ 10 χ b. Να λύσετε τη εξίσωση A =. 2 3 c. Να επαληθεύσετε τη λύση που θα βρείτε. ο = Α

13 125 A. Σε κάθε παράσταση της Στήλης Α α ατιστοιχίσετε ακριβώς μια παράσταση της Στήλης Β έτσι ώστε α προκύψει ισότητα. ΣΤΗΛΗ Α a. ( α+β ) 2 b. ( α β) ( α+β) c. ( α β) 3 d. α ( β + γ) α + β ΣΤΗΛΗ Β 2 2 β α 2 2 α + 2αβ +β α β 5. αβ + αγ 6. α 3α β + 3αβ β 7. αβ + γ α β α + αβ + β ( ) ( ) α b c d B. Να αποδείξετε ότι ( ) α β = α 2αβ + β. a. Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τυχαίω τριγώω. b. Α δύο ορθογώια τρίγωα έχου τις δύο ατίστοιχες οξείες γωίες ίσες, τότε είαι οπωσδήποτε ίσα. Να λυθεί το σύστημα Σωστό χ + 2ψ = 7 2χ ψ = 4 Λάθος Δίετε η εξίσωση 2 3χ 1 2 2χ + χ 1 = 2 χ 1 χ χ χ a. Να βγάλετε περιορισμούς για τη εξίσωση. b. Να μετασχηματίσετε τη εξίσωση στη μορφή 2 χ 4χ + 3 = 0. c. Να λυθεί η αρχική εξίσωση. Στο διπλαό ισοσκελές τρίγωο ΑΒ(ΑΒ = Α) είαι ΒΔ = Ε. a. Να συγκρίετε τα τρίγωα ΑΒΔ και ΑΕ b. Να δείξετε ότι και το ΑΔΕ είαι ισοσκελές.

14 126 α) Πως ορίζεται η δύαμη ρητού με εκθέτη φυσικό α ; β) Να ααφέρετε τις ιδιότητες τω δυάμεω. γ) Πως ορίζεται η δύαμη α 0 και πως η δύαμη α - ; α) Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; β) Ποια είαι η γραφική παράσταση της συάρτησης y = αx; γ) Ποια είαι η γραφική παράσταση της συάρτησης y = αx + β και τι σχέση έχει με τη γραφική παράσταση της y = αx; α) Να λυθεί η αίσωση: 3χ 3 > 2(1 χ). β) Να λυθεί η αίσωση: χ 2 1 χ γ) Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω παραπάω αισώσεω. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι ΑΒ = 6cm και Β = 10cm. Να υπολογιστού: α) το συβ και το ημ, 8cm β) η πλευρά Α, και Α 6cm γ) η εφβ και η εφ. Δίεται κύκλος με περίμετρο 31,4cm. Να υπολογιστού: α) η ακτία και η διάμετρος του κύκλου. β) το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. γ) το μήκος εός τόξου 60 ο του ίδιου κύκλου.

15 127 a. Πότε δυο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι; Να γράψετε έα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες που ααφέροται στους ορισμούς και στις ιδιότητες τω δυάμεω. Δίεται α 0. α 0 =.., α 1 =., α =., α α κ =, α :α κ =.., (α ) κ = a. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό και με τι ισούται η κετρική του γωία ω; b. Να γράψετε τους τύπους που δίου το εμβαδό και το μήκος εός κύκλου. Α είαι: Α= ( ) [( 6 + 3) ( 8 +1)] και Β = ( 2) 2 +( 2) (+ 4) ( 1) ( 3) ( + 2) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 6Α + Β Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω i. 2 (χ + 3) 10 < 1+3 (5 χ) ii. 2χ χ χ+ 2 > Δίεται ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο ΑΒ(Α = 90 ) με ΑΒ = Α = 5cm. ράφουμε το κύκλο (Β, ΒΑ) που τέμει τη Β στο σημείο Δ.. Να υπολογίσετε i. Τη υποτείουσα Β. ii. Το μήκος του τόξου ΑΔ iii. Τη περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώου ΑΔ. iv. Το εμβαδό του καμπυλόγραμμου τριγώου ΑΔ.

16 a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α α =., α =., α =.., =, ( 1) 2001 =.., ( 1) 2004 =. β b. Να γράψετε τις ιδιότητες τω δυάμεω με βάση τους ρητούς α, β και εκθέτες τους φυσικούς αριθμούς, μ >1. a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη και ποια η σχέση της με τη ατίστοιχη επίκετρη γωία; b. Τι οομάζουμε κετρική γωία εός καοικού πολυγώου, και με τι ισούται; c. ράψτε τους τύπους που δίου: i. το μήκος του κύκλου με ακτία ρ, ii. το εμβαδό του κυκλικού δίσκου με ακτία ρ. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 2 1 Α= 4 2 :( 2) 4 5 [3 ( 1)] ( 2) 3 2 Να λυθεί η εξίσωση: χ 2 3χ χ+ 4 = Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με (Â= 90 ) και πλευρές ΑΒ = 6cm, Β =10cm α βρείτε : a. τη πλευρά Α 10cm b. τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β A B 6cm

17 129 a. Ποιοι αριθμοί λέγοται ατίθετοι και ποιοι ατίστροφοι;(παράδειγμα). b. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς; c. Να συμπληρωθού οι ιδιότητες τω δυάμεω ρητώ με εκθέτη ακέραιο: α μ α =, μ α :α =.., ( α β =, α =., α β ) 0 α =.., a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη ; =.. α β =. b. Ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια η σχέση της με τη ατίστοιχη επίκετρη; c. Να γράψετε τους τύπους για το μήκος κύκλου και το εμβαδό κυκλικού δίσκου. a. Να υπολογιστού οι παραστάσεις Α = ( ) χ 4 5χ α x = 4 και Β = ( ) ( ) :2 b. Να υπολογιστεί το Να λυθεί η εξίσωση: Α +Β. 3χ 2 χ 1 χ 2 = Να βρεθού οι τριγωομετρικοί αριθμοί της A γωίας του ορθογωίου τριγώου ΑΒ καθώς και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου και Ο 13cm το μήκος του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ. B 12cm Δίοται Β =12cm και Α = 13cm.

18 130 α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) α δώσετε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού α. α) Πότε μια γωία οομάζεται επίκετρη, πότε εγγεγραμμέη; β) Πια σχέση συδέει τη εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχή της επίκετρη; Να λυθεί η εξίσωση: χ + 1 χ 2 = Να βρεθεί το εμβαδό εός κύκλου α γωρίζουμε ότι το μήκος του είαι 12,56 crm Δίεται π = 3,14. Να υπολογισθού οι εγγεγραμμέες γωίες ω, φ του παρακάτω σχήματος: Α φ Δ 50 Ε Ο ω Β

19 131 A. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. B. Να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ. A. Να δώσετε το ορισμό τω ημω, συω, εφω, όπου ω είαι μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου. B. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Ότα αυξάεται μια γωία ω, το ημίτοό της. Ότα αυξάεται μια γωία ω, το συημίτοό της. Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ 2 χ 3 6 = Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = ( ) x+ 1 x x 1 x 2 ( 2) , όπου χ = 1 Στο διπλαό σχήμα οι κάθετες πλευρές ΑΒ και Α είαι ΑΒ = 6cm και Α = 8cm. Να βρεθεί το εμβαδό του σκιασμέου ημικυκλίου.

20 132 a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη;: b. Ποια σχέση συδέει τη εγγεγραμμέη με τη επίκετρο στο ίδιο τόξο; c. Τι λέγεται καοικό πολύγωο; a. Να συμπληρωθού οι ισότητες: α μ α μ = ( α ) =... α =... β b. Ποιοι αριθμοί λέγοται ατίθετοι και ποιοι ατίστροφοι; Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω αισοτήτω: 3χ 1 2χ 6 χ και 3χ χ Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης: Α= 8 [ ( 2) 3 ]+3( 6+ 3) 2 + [( 2) 4 :2] Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ο ) με Α = 12cm και Β = 13cm. Να υπολογίσετε: a. Τη πλευρά ΑΒ, b. Το συβ c. Τη εφ

21 133 a. Να διατυπώσετε τη πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη. Ποια η σχέση μεταξύ εγγεγραμμέης γωίας και της ατίστοιχης επίκετρης γωίας. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης : Α = ( 5) 2 + ( ) :8 3 + ( 1) 4 4 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α ˆ = 90 ) του διπλαού σχήματος είαι Β = 13cm και ΑΒ = 5cm. Να υπολογίσετε : a. Το μήκος της πλευράς Α. b. Τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημβ, συβ και εφ. a. Να λύσετε τη παρακάτω αίσωση 5χ + 8 χ 2 3χ b. Να παραστήσετε τις λύσεις της στο άξοα τω πραγματικώ.

22 134 Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το ατίστροφο του. (Να κάετε σχήμα και α γράψετε τη σχέση) a. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη και πότε επίκετρη. b. Ποια η σχέση μεταξύ εγγεγραμμέης γωίας και της ατίστοιχης επίκετρης γωίας. Να λύσετε τη αίσωση: ( ) 3 χ + 1 2χ 1 χ 4 3 Να υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = 3 [2 ( 1)] 4 ( 4) 2 [4 3 2 :( 3)] 0 Δ Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ του χ ψ ω Ε Β διπλαού σχήματος α γωρίζετε ότι: Ο ΑΒ = 120 και Δ = 60 Α

23 135 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) Να ορίσετε τα ημω, συω, εφω. Α ω Β πότε μια γωία λέγεται: a. Εγγεγραμμέη σε κύκλο; b. Επίκετρη; c. Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ εγγεγραμμέης και επίκετρης γωίας που βαίου στο ίδιο τόξο 2χ 4 3χ 1 χ 5 Να λυθεί η εξίσωση: = Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού δακτυλίου που φαίεται στο διπλαό σχήμα. 4cm Ο 3cm Σε έα σύστημα αξόω χοψ α σημειώσετε τα σημεία: Α(2, 3), Β(3, 2), ( 1, 3), Δ( 2, 4) Ε(5, 5)

24 136 a. Να γράψετε το πυθαγόρειο θεώρημα, δίοτας και έα παράδειγμα. b. Σε έα ορθογώιο τρίγωο, με τι ισούται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας του; a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; b. Να ατιγράψετε και συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα τιμώ της συάρτησης με τύπο ψ = 3χ: χ ψ 6 Στο διπλαό σχήμα, είαι γωστό ότι ΑΒ = 6cm, Β =10cm και Α = 8cm. a. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο είαι ορθογώιο. b. Να υπολογίσετε τη ακτία του κύκλου. c. Να βρείτε το εμβαδό του κύκλου. (Δίεται ότι π = 3,14) a. Να λύσετε τη αίσωση χ χ +6. b. Να λύσετε τη αίσωση 2(3χ 14)+3<χ 3(χ 5). c. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω δύο παραπάω αισώσεω. 2χ 1 3χ 2 χ χ+ 10 a. Να λύσετε τη εξίσωση = b. Να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα που βρήκατε.

25 137 a. Να δώσετε τους ορισμούς του ημίτοου, συημίτοου και εφαπτομέης μιας οξείας γωίας ω εός ορθογωίου τριγώου. b. Να δικαιολογήσετε γιατί το ημίτοο και το συημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου, είαι αριθμοί μικρότεροι της μοάδας. a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; b. Ότα μια επίκετρη και μια εγγεγραμμέη βαίου στο ίδιο τόξο, ποια σχέση συδέει τη επίκετρη, τη εγγεγραμμέη και το ατίστοιχο τόξο; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = 8:( 2) 3 + ( 3) ( 1) ( 2) [ 5 2 ( 1) 10 Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ 4 5χ = Στο διπλαό σχήμα, το τρίγωο ΑΒ είαι ισοσκελές. Η περίμετρός του είαι 36 cm και η βάση του Β = 10 cm. Να υπολογιστού: a. Τα ίσα σκέλη ΑΒ και Α b. Το ύψος ΑΔ και c. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ.

26 138 A. Δώστε τους τύπους τω ιδιοτήτω : a. Προσεταιριστική πολ/σμού. =.. b. Ατιμεταθετική πρόσθεσης. =.. c. Επιμεριστική πολ/σμού ως προς αφαίρεση. =.. B. Συμπληρώστε τα κεά στις ισότητες : a. α + 0 = b. α - =. C. Να βρεθού οι ατίστροφοι τω : a. 0,5 1 b. 1 2 c. 3 c. α μ α = d. α α 0, α 0 = A. Δώστε το ορισμό και το τύπο του ημίτοου οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου B. Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: a. εφ30 0 > εφ40 0 b. ημ20 0 < ημ30 0 c. Υπάρχει οξεία γωία ω ώστε συω = 2 C. Διατάξτε τους παρακάτω τριγωομετρικούς αριθμούς αρχίζοτας από το μικρότερο : συ20 0,συ5 0,συ35 0,συ10 0,συ15 0. Δίεται η παράσταση: Α = 2 3 (3 2 20: ) (25: ) ( 1) 3 15: 5 a. Να γίου οι πράξεις στη παράσταση. b. Να λυθεί η αίσωση της παράστασης. χ 1 2χ 10 1 Α Α 1 όπου Α η αριθμητική τιμή Δίεται κύκλος με κέτρο Ο και πάω του παίρω σημεία Α,Β, ώστε τα τόξα ΑΒ = 2χ , Β= 4χ +40 0,Α= 3χ a. Να υπολογίσετε τα τόξα ΑΒ, Β, Α. b. Να βρείτε τις γωίες τω τριγώω ΑΒ και ΑΟΒ. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Â = 90 0 ) με υποτείουσα 10 cm στο οποίο ισχύει ημβ = 4 5 a. Να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. b. Να υπολογιστού οι τριγωομετρικοί αριθμοί συβ και εφ.

27 139 A. Α ω είαι μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α συμπληρώσετε τις ισότητες ημω =.., συω =.., εφω =. Β. Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο α υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημβ, συβ και εφβ.. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις: Β 5cm 4cm Α 3cm ι) Ότα μία οξεία γωία αυξάεται τότε το ημίτοό της.. ιι) Ότα μία οξεία γωία αυξάεται τότε το συημίτοό της ιιι) Ότα μία οξεία γωία αυξάεται τότε η εφαπτομέη της. Α. Να συμπληρώσετε τους ορισμούς: ι) Αάλογα ποσά λέγοται. ιι) Ατιστρόφως αάλογα ποσά λέγοται.. Β. ια κάθε έα από τους πίακες που ακολουθού α συμπληρώσετε με τη σωστή φράση α) αάλογα ποσά, β) ατιστρόφως αάλογα, γ) τίποτα ι ) ιι) χ 3 5 7,5 ψ χ ψ Να υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της παράστασης. Α = ( 2) [(3 2 4):5 11] Να λύσετε τη εξίσωση: χ 1 χ = χ Α στο διπλαό σχήμα η Β είαι διάμετρος του κύκλου και είαι ΑΒ = 6 cm και Α = 8 cm, α υπολογίσετε ι) Τη γωία Α ιι) Το εμβαδά του τριγώου ΑΒ ιι) Το εμβαδό της γραμμοσκιασμέης επιφάειας.

28 140 a. Να γράψετε τη πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο θεώρημα b. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με = 90 0 και α γράψετε γι αυτό τη ισότητα που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. c. Το τρίγωο με πλευρές α = 3,5cm, β = 3cm, γ = 4,5cm είαι ορθογώιο; ( Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας ) a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε κύκλο ; b. Τι λέμε επίκετρη γωία ; c. Ποια είαι η σχέση μεταξύ επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο ; Να λυθεί η εξίσωση : 2χ 4 χ 2 5= 3χ 3 2 Έας κύλιδρος έχει ακτία ρ= 5 cm και ύψος υ = 12 cm. Να βρεθεί το εμβαδό της ολικής επιφάειας και ο όγκος του. Στο διπλαό σχήμα είαι η γωία ΑΒ = 30 ο και το ΑΒ =3cm Α το σημείο Ν είαι το κέτρο του κύκλου, α υπολογιστού: a. οι γωίες ΒΑ και ΑΒ b. Τα μήκη τω πλευρώ Β και Α του τριγώου. (Δίοται ημ30 ο = 0,5 συ30 ο =0,9 εφ30 ο = 0,6)

29 141 Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ρητώ αριθμώ. a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη, ποια εγγεγραμμέη και ποια σχέση συδέει τη επίκετρη με τη εγγεγραμμέη που έχει το ίδιο ατίστοιχο τόξο; b. Να γράψετε τους τύπους του μήκους κύκλου, του μήκους τόξου, του εμβαδού κυκλικού δίσκου και του εμβαδού κυκλικού τομέα.(το τόξο είαι σε μοίρες) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α= [ 3 5 ( 3) ] + ( 2) ( 7) ( 6) :( 3) Να λύσετε τη εξίσωση: χ 3 χ 2 χ = Στο διπλαό σχήμα, α υπολογίσετε τους B τριγωομετρικούς αριθμούς τω οξειώ γωιώ Β, του ορθογωίου τριγώου ΑΒ( Α = 90 ). 5m A 13m

30 142 α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες δυάμεω ρητώ αριθμώ: α κ α λ = α κ :α λ = (α β) κ = α β κ = κ ( α ) λ =. β) Πότε η δύαμη α με εκθέτη φυσικό αριθμό, είαι θετικός αριθμός και πότε αρητικός; α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο και α γράψετε γι αυτό τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα γ) Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Να λύσετε τη παρακάτω εξίσωση: χ + χ 7 3 (χ 2) = 2χ Στο διπλαό σχήμα είαι: ΒΑ = ΑΔ = 90, ΒΑ = 30, ΑΔ = 60 και Α = 5cm. Α είαι γωστό ότι ημ30 = συ60 = 0,5 Β 30 5cm Α 60 Δ και εφ60 = 1, 732 α υπολογίσετε τα τμήματα Β, ΑΔ και Β. 30 Α 110 Ο β Β Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε τις γωίες α, β, γ και τα τόξα Β, ΒΔ γ α Δ

31 143 a. Πως απαλείφουμε μια παρέθεση, ότα έχει μπροστά της το μείο; b. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους αριθμούς; c. Πότε δύο αριθμοί είαι ατίστροφοι; a. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρημα μαζί με σχήμα και τύπο. b. Με τι ισούται η τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; Να λυθεί η εξίσωση: χ + 2 χ 3 = 5 7 Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω αισώσεω: 2χ + 3 > 5 και 3 (χ 1) + 5 < 2. Δίεται ο παρακάτω πίακας τιμώ δύο ποσώ: χ 1 1,3 2,4 3,7 ψ 3 3,9 7,2 11,1 a. Να αποδείξετε ότι τα ποσά είαι αάλογα b. Να εκφράσετε το ψ ως συάρτηση του χ.

32 144 a. Πότε οι αριθμοί α και β λέγοται ατίστροφοι; (α δώσετε έα παράδειγμα). b. Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση). μ c. Να συμπληρωθού οι ισότητες: ( )... β α = =... α 0 α = a. Τι οομάζουμε συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; ( Να δοθεί ορισμός και α γίει σχήμα). b. Να συμπληρωθού οι προτάσεις::. < ημω <.., < συω <.., «Ότα αυξάεται μια οξεία γωία εός ορθογωίου τριγώου, τότε το συημίτοό της». 5 c. Υπάρχει οξεία γωία ˆω σε ορθογώιο τρίγωο, ώστε: ημω = ; 2 (Αιτιολόγηση). Να λυθεί η εξίσωση: 2χ 1 7χ + 6 3χ 2 5χ 4 = Να υπολογισθεί το μήκος κύκλου του οποίου το εμβαδό ( του κυκλικού δίσκου) είαι 113,04 m². Δίεται το ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( ˆΑ =90 ο ), με ΑΒ=8 cm και Β=15 cm. Να υπολογίσετε: 15 cm a. Το μήκος της πλευράς Α. b. Οι τριγωομετρικοί αριθμοί της γωίας Β. Α 8 cm Β

33 145 a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 )α διατυπώστε το Θεώρημα του Πυθαγόρα. b. Τι οομάζεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; Σε κύκλο (Ο, ρ) a. Ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια επίκετρη; b. Ποια σχέση συδέει τη επίκετρη με τη εγγεγραμμέη γωία που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; c. ράψτε τους τύπους που εκφράζου το μήκος εός τόξου και το εμβαδό εός κυκλικού τομέα Να λυθού οι εξισώσεις a. 3 (2χ + 4) = 6χ b. 3(χ + 1) 2χ 1 χ = 4 3 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = ( 3) ( 4) 3 : 8 + [ 1 ( 1) 3 ] 2 A Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδό του κύκλου του B O διπλαού σχήματος α είαι, ΑΒ = 6cm και Β = 8cm.

34 146 a. Να γραφού οι τύποι υπολογισμού τω τριγωομετρικώ αριθμώ μιας γωίας. b. Πως μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί μιας γωίας ότα η γωία αυξάεται; d. Να γραφεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. e. Να γραφεί το ατίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Να εξεταστεί α έχου τη ίδια τιμή οι παραστάσεις Α και Β. A = 5 ( ): (+ 1 4 ) + (2 1 3 ) ( 3 2 ) Β = ( ) Να βρεθού οι ακέραιοι αριθμοί που είαι κοιές λύσεις τω παρακάτω αισώσεω: 6(2χ 4) 14(2χ 26) (3χ + 5) 1 4χ > 2 6 5χ Στο διπλαό σχήμα a. Να εξετάσετε τι τρίγωο είαι το ΑΒ και α υπολογισθεί το εμβαδό του. b. Να υπολογισθεί η ακτία του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. c. Να υπολογισθεί το γραμμοσκιασμέο εμβαδό. Δίεται ΑΒ = 4cm Α = 6cm

35 147 A. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. B. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο, α το οομάσετε και α γράψετε τη σχέση που προκύπτει από τη εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος σ' αυτό. C. Να δώσετε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού. A. Τι οομάζεται ημίτοο, τι συημίτοο και τι εφαπτομέη μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου; A. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είαι σωστές και ποιες λαθασμέες; ημ30 3 = συ = εφ45 =1 2 ημ45 = 2 2 συ30 = 1 2 εφ60 = 3 Να λυθεί η εξίσωση: 7 χ + 3(χ 1) 6 = 2χ 1 5 Να υπολογίσετε τη τιμή της παρακάτω αριθμητικής παράστασης: Α = ( 2) ( 1) ( 3) Στο διπλαό σχήμα είαι: Το ΙΕ ημικύκλιο κέτρου Δ και ακτίας ΔΕ, το ΘΚΖ είαι τεταρτοκύκλιο με κέτρο Η και ακτία ΗΘ = 2ΔΕ.και το ΙΘ = 12cm, ΔΕ = 3cm και ότι το π = 3,14. Να υπολογίσετε το εμβαδό του σκιασμέου μέρους του σχήματος αυτού:

36 148 α) Ποιοι αριθμοί οομάζοται ατίθετοι; Τι μας δίει το άθροισμά τους; Ποιος είαι ο ατίθετος του χ; β) Ποιοι αριθμοί οομάζοται ατίστροφοι; Ποιος είαι ο ατίστροφος του χ ; Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση) γ) Συμπληρώστε το ορισμό της δύαμης με βάση το ρητό αριθμό α 0 και εκθέτη ι) Το μηδέ α = ιι) Το έα α 1 = ιιι)το ακέραιο α = α) Τι οομάζεται επίκετρη γωία και τι εγγεγραμμέη. β) Συμπληρώστε τις προτάσεις. Η εγγεγραμμέη γωία σε μοίρες είαι της επίκετρης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο. Η εγγεγραμμέη γωία σε μοίρες είαι ίση με του ατίστοιχου τόξου της. γ) Να υπολογίσετε το μήκος s εός τόξου μετρημέου σε μοίρες μ 0. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω. α) 3χ + 22 > 5χ +2 β) χ 2 2 > χ Α Α = (2 2 ) 3 Β = ( 2) ( 1) 2 = :2 16 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α 2(Β ) Στο διπλαό σχήμα α αποδείξετε ότι α) ρ 2 = 8, όπου ρ ακτία του κύκλου β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του κύκλου Δίεται ΑΒ = 4 O 90 B

37 149 ια το διπλαό ορθογώιο τρίγωο. Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για Β. Να συμπληρωθού τα κεά και α χαρακτηρισθού οι προτάσεις ως Σωστές ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ). γ 2 = β 2 = α 2 = ΑΒ 2 = Α 2 = Β 2 = ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ι) Α 2 = Β 2 + ΒΑ 2 ( ) ιι) ΑΒ 2 = Α 2 + Β 2 ( ) ιιι) Α 2 = ΑΒ 2 Β 2 ( ) ι) Β 2 = ΑΒ 2 +Α 2 ( ) ) Β 2 = ΑΒ 2 Α 2 ( ) Α. Να δοθού οι παρακάτω ορισμοί: ι) Ημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. ιι) Συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. ιιι) Εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. Β. Με τη βοήθεια του σχήματος α συμπληρωθού τα κεά και α χαρακτηρισθού οι προτάσεις ως Σωστές ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ). ημ = = ΑΒ Β, εφβ = β... = Α ΑΒ, συ = β... = ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ι) ημ = β α, ι) ημβ = β α, ιι) συβ = γ α β Α γ α β β A Β γ α α B ) συ = Α Β, ιιι) εφβ = β γ, ι) εφ = γ Α Α γ Β Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΔ με μεγάλη βάση ΑΒ=30cm, μικρή βάση Δ=12cm και ίσες πλευρές ΑΔ=Β=15cm. Να υπολογιστεί το εμβαδό του τραπεζίου. Το 1 6 τω ποδοσφαιριστώ μιας ομάδας είαι επιθετικοί, τα 3 8 είαι παίκτες κέτρου, το 1 3 είαι αμυτικοί, εώ υπάρχου και 3 τερματοφύλακες. Να βρεθεί πόσους παίκτες έχει συολικά η ομάδα. Στο διπλαό ημικύκλιο είαι ΑΒ=6cm και ΟΒ = Β 2 = 5cm. ι) Να υπολογιστεί η γωία Α του τριγώου ΑΒ. ιι) Να υπολογιστού οι γωίες Β και του τριγώου ΑΒ. ιιι) Να υπολογιστεί το εμβαδό του ημικυκλίου. ι) Να υπολογιστεί το μήκος Α. ) Να υπολογιστεί το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου τμήματος. ι) Να υπολογιστεί το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΟΑ. 80 Β 6cm Α 5cm Ο

38 150 a. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι. b. Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης. c. Να γράψετε τους ορισμούς τω δυάμεω. a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα. b. Τι γωρίζεται για τη γραφική παράσταση της ψ = αχ + β ότα ο χ είαι πραγματικός αριθμός. c. Να γράψετε τις ιδιότητες τω ατιστρόφως ααλόγω ποσώ Να λύσετε τη αίσωση: 2χ + 1 5χ 1 4(3χ 1) 3 5χ χ Σε έα ισοσκελές τρίγωο είαι ΑΒ = Α = 10cm και Β = 12cm. a. Να κάετε σχήμα και α υπολογίσετε το ύψος ΑΔ. b. Να υπολογίσετε το ημβ, το συβ, και τη εφβ. Στο διπλαό σχήμα είαι η γωία ΑΟΒ = και η ακτία ρ = ΟΑ = ΟΒ = 4cm. π ω= 2 a. Να υπολογίσετε σε μ τη γωία ω. b. Να υπολογίσετε το τόξο ΑΒ c. Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τομέα. d. Να υπολογίσετε το εμβαδό του σκιασμέου κυκλικού τμήματος.

39 151 a. Να σχεδιάσετε και α δώσετε τους ορισμούς και τη σχέση που συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρή της, σε κύκλο (Ο,ρ). b. Να ατιστοιχίσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τις σχέσεις της δεύτερης Στήλη Α 1. Εμβαδό κυκλικού δίσκου 2. Μήκος τόξου 3. Μήκος κύκλου 4. Εμβαδό κυκλικού τομέα Στήλη Β a. = πδ b. ω = 360 v c. Ε = πρ 2 d. S = πρμ 180 e. Ε = 2 πρ μ 360 a. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ζωγραφίστε ορθογώιο τρίγωο ΔΕΖ ( Δ = 1 ) και γράψτε τις ισότητες του Πυθαγορείου Θεωρήματος. b. Δώστε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού α. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω και α τις παραστήσετε στο άξοα τω πραγματικώ αριθμώ 3χ + 1 χ 1 9χ και 2(χ +1) 3 (χ 4) >χ Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης A = ( 1) ( 2) ( 3) [ ( 2) 5 : 4] ( 3) + [ 2 + ( 3) 2 ]:( 7) Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ A = 90 o του διπλαού σχήματος δίοται: ( ) = 30 ο, ΒΔ = 135 ο και ΑΔ = 5cm. Να υπολογίσετε : a. Τις γωίες ω, φ και θ b. Τις πλευρές ΑΒ, Α και Β

40 152 a. Α ω μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α γράψετε το τύπο που μας δίει τη εφαπτομέη της γωίας ω b. Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ΑΒ, α βρείτε με τι ισούται το ημίτοο της γωίας Β. c. Είαι δυατό, α ω οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, το συω = 3 2. A B (Δικαιολογήστε τη απάτηση σας) Δίεται κύκλος κέτρου Ο και ακτίας ρ. a. Να γράψετε έα τύπο για τη εύρεση του μήκους του κύκλου. b. Ποια η σχέση εγγεγραμμέης και επίκετρης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; c. Α το ατίστοιχο τόξο εγγεγραμμέης γωίας είαι 80 ο, πόσω μοιρώ είαι η εγγεγραμμέη; Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= ( 2) 2 + ( 2) 2 ( 2) 2, Β = 3 [7 5 (2 6)] και α βάλετε αάμεσα στις παραστάσεις Α, Β το κατάλληλο σύμβολο (<, >, =) 1 3χ 2χ 1 Να λυθεί η εξίσωση: + 2 = χ 2 5 Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( ˆΑ = 90 ο ) με ΑΒ = 6cm και Β=10 cm. Με διάμετρο τη Β σχεδιάζουμε ημικύκλιο. Να βρεθού : a. Η πλευρά Α και το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. b. Πόσο μεγαλύτερο είαι το εμβαδό του ημικυκλίου από το εμβαδό του τριγώου.

41 153 ί) Να συμπληρώσετε τις προτάσεις : Α α <0 και άρτιος η δύαμη α είαι...αριθμός. Α α <0. και περιττός η δύαμη α είαι...αριθμός. α και περιττός η υαμη α ειαι αρι μος. ίί) Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α μ α =... α μ :α =... (α β) =... μ ( ) α =... α =... ι) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. ίί) Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) και α γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωο αυτό. Να λυθεί η εξίσωση χ χ 4 = 2χ + 1 Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) με Α = I,5cm και B = 2,5cm Να υπολογίσετε : ί) τη πλευρά ΑΒ ίί) τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. Στο διπλαό σχήμα είαι ΑΒ = 78 και Β =140. Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ, Β και Δ. 78 Α Β 140 Ο χ ψ Δ

42 154 c. Να γράψετε τις ιδιότητες τω δυάμεω (πέτε). d. Να υπολογισθού οι δυάμεις: 2 2 5, ( 1)3, ( 4) 3, (6,75) 0, d. Αάλογα ποσά (Ορισμός Ιδιότητες) e. Ατιστρόφως αάλογα ποσά (Ορισμός Ιδιότητες) Να βρεθεί η υποτείουσα ορθογωίου τριγώου ΑΒ με κάθετες πλευρές β = 9dm και γ = 1200mm. Να λυθεί και επαληθευθεί η εξίσωση: 2χ (χ 1) 5 = Να βρείτε τις τιμές τω παραστάσεω: a. ( ) [ 69 + ( ) ] ( ). b. [ ( 5) 4 ( 2) ( 8) ]:[ ( 0,6) ( 0,5) + 7 ( 0,9) ].

43 155 Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις ρητώ με εκθέτη ακέραιο. 1) 0 α = 2) - α = 3) 4) μ α α = μ α :α = 5) ( ) 6) ( α ) μ α β = = a. Πότε δύο ποσά λέγοται ατιστρόφως αάλογα; b. Με ποια συάρτηση εκφράζοται τα ατιστρόφως αάλογα ποσά και ποια είαι τα χαρακτηριστικά γωρίσματα της γραφικής παράστασης αυτής της συάρτησης; Να λύσετε τη αίσωση και α παραστήσετε τη λύση στο άξοα. ( ) 2 x 1 5x + 6 x Α σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι ΑΒ = 8cm και Β = 10cm α υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τω οξειώ γωιώ Β και. Στο διπλαό σχήμα α υπολογί- B 56 σετε τις εγγεγραμμέες γωίες ΑΒΔ, ΑΒ, ΑΒ, ΑΔ Ο Δ Α

44 156 a. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη; b. Ποια η σχέση μοιρώ μιας εγγεγραμμέης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της; c. Δυο τόξα μ πότε είαι ίσα; a. Σε ορθογώιο τρίγωο τι οομάζουμε συημίτοο και τι εφαπτομέη οξείας γωίας; b. Πώς μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωίας, ότα αυξάεται η γωία; c. Α σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι εφ = 1 ποιο είαι το συμπέρασμα για το τρίγωο; (Δικαιολογήστε τη απάτηση σας ) Να βρείτε τις τιμές τω παραστάσεω Α και Β και α τις συγκρίετε A = 64:( 2) :3 4 [ 8 + ( 1) 7 ] Β = Να βρείτε τις λύσεις της αίσωσης και α τις δείξετε στο άξοα τω ρητώ αριθμώ ( ) χ 2 3 χ 1 1 χ < Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) είαι Β = 13cm και ΑΒ = 12cm. Να υπολογίσετε a. το μήκος της πλευράς Α b. τα ημβ, συ και εφβ (Να γίει σχήμα)

45 157 Σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ), α δώσετε τους ορισμούς: a. του ημιτόου οξείας γωίας b. του συημιτόου οξείας γωίας c. της εφαπτομέης οξείας γωίας Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα που ισχύει σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ). (διατύπωση σχήμα τύπος) Να υπολογιστεί η παράσταση: ( ) + ( 2) [( 2) 2 (4 5)] Να λυθεί η εξίσωση: x 2 2x x 4 = Στο διπλαό σχήμα το τρίγωο ΑΒΕ είαι Α εγγεγραμμέο σε κύκλο με κέτρο Ο. Α είαι ΑΒ = 3 και ΑΕ = 4, α υπολογίσετε: a. τη διάμετρο του κύκλου Β Ο Ε b. το μήκος του κύκλου

46 158 a. Με τι ισούται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. b. Πως μεταβάλλεται το καθέα ότα ελαττώεται η γωία. c. Μπορεί α είαι το ημω = 2; ιατί; a. Τι λέγεται επίκετρη και τι εγγεγραμμέη σε κύκλο γωία; b. Ποια η σχέση εγγεγραμμέης και επίκετρης γωίας σε κύκλο με το ατίστοιχο τόξο της; c. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό; Είαι ο ρόμβος και το τετράγωο καοικά πολύγωα και γιατί; Να λυθεί η εξίσωση: 3(χ 2) 1 χ + 4 χ = Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: ( ).( 2) + 3.( 2) + [15 : ( 3) + 7].( 6) [( 3) ] : ( 3). 3 Δίεται ισοσκελές τρίγωο ΑΒ (ΑΒ = Α) με περίμετρο 36cm και βάση Β = 10cm. Να υπολογισθεί το ύψος ΑΔ και το εμβαδό του τριγώου.

47 Θέμα 1 o 159 a. Τι οομάζουμε δύαμη α με βάση το ρητό α και εκθέτη φυσικό >1; b. Να συμπληρωθού οι ισότητες: α 0 =, α - =, αμ α=, α μ :α =, (α μ ) = όπου α ρητός αριθμός διάφορος του μηδεός και μ, ακέραιοι. Θέμα 2 a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη και μια επίκετρη γωία που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; c. Ποιο πολύγωο οομάζεται καοικό; Να λυθεί η εξίσωση: 2x 1 6x 2 5x 4 = Έας παρατηρητής βλέπει μέσα από τη βάρκα έα υψηλό σημείο της ακτής και η γωία ύψους είαι Β =28 0. Α το σημείο έχει ύψος 15m, a. πόσο μακριά είαι η βάρκα από τη ακτή; b. Πόσο απέχει η βάρκα από το σημείο ; Β 28 A 15m (ημ28º = 0,469, συ28º = 0,883, εφ28º = 0,532) Στο διπλαό σχήμα δίεται το ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( A = 90 ) με πλευρές Α = 4cm και Β = 5cm. 4cm 5cm Με κέτρο το Α και ακτία ΑΒ γράφουμε τεταρτοκύκλιο. Να υπολογίσετε το εμβαδό ολόκληρου του σχήματος. A B B

48 160 Θέμα 1 o a. Να συμπληρώσετε τους 4 ορισμούς τω Δυάμεω: α =..., 1 α =..., 0 α =, b. Να συμπληρώσετε τις 6 ιδιότητες τω Δυάμεω: α =... κ λ..., ( αβ) κ α α = =..., κ α λ =..., α α β κ κ =..., ( α ) λ =..., α β κ =... c. ράψτε πιο απλά τις 4 παρακάτω παραστάσεις: 7 α α =..., α α α α=... Θέμα 2 o 8 α =... α a. Ποιοι είαι και πως ορίζοται οι Τριγωομετρικοί Αριθμοί μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου; b. Στο διπλαό σχήμα είαι Α = 90. Να συμπληρώσετε α, 9 =... α Ε τους παρακάτω τριγωομετρικούς αριθμούς: ημβ =... συ =..., εφδ =..., σφε =..., Α Β Δ Να λυθεί η εξίσωση: 5χ 1 4χ 2 3χ +8 + = Στο διπλαό σχήμα είαι: Α = 90, ΑΒ = 12cm, B ΒΔ = 20 cm και Β = 37 cm. Με τη βοήθεια τω 2 ορθογώιω τριγώω του σχήματος και με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, α υπολογίσετε: α) τη ΑΔ, β) τη Α, γ) τη Δ. Να υπολογίσετε τις έξι παρακάτω παραστάσεις: cm 20cm A =..., =..., ( ) =..., ( 2 2)(+3 9)(1 3) =..., 16 =..., 25 = Δ 37cm

49 161 a. Τι οομάζουμε δύαμη με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό >1 ; b. Να συμπληρωθού οι ισότητες : α μ α =., ( ) μ α =..., α β =..., α 0 =..., α =.. (όπου α 0, β 0 ) c. Πότε μια δύαμη με βάση ρητό αριθμό είαι θετικός αριθμός ; a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) α ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας. b. Πώς μεταβάλλοται το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ότα αυξάεται η γωία ; c. Α σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι εφβ = 1,τι συμπεραίετε για τις κάθετες πλευρές του τριγώου ; Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : ( 10 12) 3 :3 ( 5 4 ) 2 ( 1) + = Να βρεθού οι κοιές ακέραιες λύσεις τω αισώσεω : χ + 4 χ 4 3χ και 10 ( χ+2) 4 ( 2χ+3) < 5 ( χ+4) Δίεται κύκλος (Κ, ρ) με μήκος = 62,8cm. 2 Β Α είαι ΚΑ ΚΒ, α βρεθεί το εμβαδό του σκιασμέου μέρους.. Κ Α

50 162 a. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι; (Να γράψετε στη κάθε περίπτωση και από έα παράδειγμα) b. Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας) c. Τι συμπεραίετε για τα πρόσημα δυο αριθμώ, ότα έχου άθροισμα αρητικό; (Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας) a. Πως ορίζεται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ω ορθογωίου τριγώου ΑΒ ( Α = 90 ); (Να γίει σχήμα.) b. Ότα αυξάεται η οξεία γωία ω, πώς μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί της αριθμοί; c. Ποιες από τις σχέσεις ημω = 8 9, συω = 7, εφω = 2 είαι σωστές και γιατί; 3 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Κ=2Α-3Β, ότα: Α= ( 1) 6 ( 2) 3 + ( 1 ) 2 και Β = 2 3 (5 3) 4 + (6 + 4) 3 :( 5) 2 3 Να λυθεί η αίσωση: 3x x 2 5 3( x 2) 10 + x 4 2 Στο διπλαό σχήμα δίεται το τρίγωο ΑΒ, εγγε- Α γραμμέο σε κύκλο (Ο, ρ) με πλευρές ΑΒ = 16cm και Β =12cm. Να βρεθεί το εμβαδό της γραμ- Β Ο μοσκιασμέης επιφάειας του σχήματος.

51 163 α. Πώς πολλαπλασιάζουμε δυο ακέραιους αριθμούς διαφορετικούς του μηδεός; (δυο καόες) β. Να γράψετε με μεταβλητές τις παρακάτω ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: Προσεταιριστική - επιμεριστική (ως προς τη αφαίρεση) Ατιμεταθετική. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Â = 90 ο ): α. Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, του συημιτόου και της εφαπτομέης της οξείας γωίας. β. Ποιες τιμές μπορού α πάρου το ημίτοο και το συημίτοο της γωίας ; γ. Πώς μεταβάλλεται το συημίτοο και πώς η εφαπτομέη της γωίας ότα αυτή αυξάεται; Στο διπλαό σχήμα είαι ΚΑ Α, ΑΚ = 60, ΑΚ = 3cm και Κ = 6cm. Να βρείτε το εμβαδό του σκιασμέου μέρους του σχήματος. (Δίοται : 27 5,2 και 3 1,7) Α χ = ( 1 ) : ( + 3) και ψ = + ( 1 ) : α αποδείξετε ότι οι αριθμοί χ και ψ είαι ατίστροφοι. Να βρεθού οι κοιές ακέραιες λύσεις τω αισώσεω : 7 2( χ 1) 3( 2χ 5) + 8 και ( ) 3 2χ 1 χ+4 χ 2 <

52 164 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει β. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα για κάθετη πλευρά και τις δύο σχέσεις που το εκφράζου. γ. ράψετε το ατίστροφο για το πυθαγόρειο θεώρημα Να υπολογιστεί η τιμή της αριθμητικής παράστασης: Α = ( 2) ( 5) 3 : 25 + [3 ( 3) 2 2] Να λυθεί η εξίσωση : 5x 16 6 x = x Από μια ορθογώια λαμαρία με πλευρές α = 10cm και β = 30cm κόβουμε έα κυκλικό δίσκο διαμέτρου 20mm. Να βρεθού: α. Οι περίμετροι του ορθογωίου και του κυκλικού δίσκου. β. Το εμβαδό της λαμαρίας που απομέει.

53 165 a. Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες: α =..., β α κ =..., α κ α α =..., α =..., αβ =... b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες: ( 1) 2004 =..., 1 =..., 1 α = ( 1) =..., 0 α =... a. Πότε µία γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε κύκλο. b. Πότε µία γωία λέγεται επίκετρη σε κύκλο. c. Ποια η σχέση μεταξύ εγγεγραμμέης γωίας και της ατίστοιχης επίκετρης γωίας a. Να λυθεί η αίσωση: 2x 1 x < 2 3 b. Να λυθεί η αίσωση: 2(x 2) 3(2x 5) < 3 c. Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω παραπάω αισώσεω. Δίεται τρίγωο ΑΒ με Α = 12 και = 30 Α όπως φαίεται στο διπλαό σχήμα.. a. Να βρείτε το ύψος ΑΔ. b. Α είαι ΒΑΔ = 37, α βρείτε το τμήμα ΑΒ. Β Δ c. Να βρείτε τα ημβ, συβ και εφβ. Δίεται: συ37 = 0,8. Δίεται κύκλος (Ο, ρ).φέρουμε τη διάμετρο ΑΒ, θεωρούμε σημείο πάω στο κύκλο ώστε Α = 6 και Β = 8, όπως φαίεται στο διπλαό σχήμα. a. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο ΑΒ είαι ορθογώιο και α βρείτε τη ακτία του κύκλου Α Ο Β b. Να βρείτε το μήκος και το εμβαδό του κύκλου. c. Να βρείτε το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου τμήματος.

54 166 a. Σε ποιο τρίγωο εφαρμόζεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα; b. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. ( σχήμα, σχέσεις ) c. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο παρακάτω τρίγωο Κ Λ a. Πως ορίζεται η δύαμη με εκθέτη ακέραιο αριθμό ; b. Ποιες είαι οι ιδιότητες τω δυάμεω με εκθέτη ακέραιο αριθμό; c. Να χαρακτηρίσετε ως ΣΩΣΤΕΣ ( Σ ) ή ΛΑΘΟΣ ( Λ ) τις παρακάτω σχέσεις: 2 3 < 0 ( 1 ) 4 <0 ( 2 ) 5 >0 ( 3 ) 2 >0 Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ 2χ 1 3(χ +1) Να λυθεί η εξίσωση και α γίει επαλήθευση χ = 3 4 Α ( ) 2 5 A=( 2) + 1 ( ) ( ) 2 0 B= 1 45 ( ) ( ) = 3 1 Μ Να υπολογιστεί η παράσταση Κ=2Α Β Να υπολογιστού οι άγωστες γωίες χ, ω, ψ του σχήματος Α 60 χ Ο ω ψ Β

55 167 Δίεται τρίγωο ΚΛΜ με τη γωία Κ ορθή. Να γίει κατάλληλο σχήμα. Α. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα και α γραφεί η ισότητα που συδέει τις πλευρές του τριγώου ΚΛΜ. Β. Να δοθεί ο ορισμός του συημίτοου οξείας γωίας σε ορθογώιο τρίγωο και α γραφού το συμ και το συλ.. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις δε μπορεί α ισχύου; ημμ = 2 3, συμ = 4, συλ = 1 2, ημλ= 3. Δικαιολογήστε τη απάτηση σας Α. Αφού σχεδιάσετε κατάλληλο σχήμα α δοθεί ο ορισμός της εγγεγραμμέης και της επίκετρης γωίας. Ποια σχέση τις συδέει ότα βαίου στο ίδιο τόξο; Β. Τι οομάζουμε καοικό πολύγωο; Ποιο τρίγωο και ποιο τετράπλευρο είαι καοικά; ( Α Α = ) (3 4) + [6 +(5 9) 2 ] Β = Α. Nα αποδείξετε ότι Α = 22 και Β = 3 Β. Να λυθεί η εξίσωση 3χ +Α 2Β = 4χ + 5 Δίεται κύκλος ακτίας ρ = 5. Α. Να βρεθεί το εμβαδό και η περίμετρος του κύκλου. Καοικό οκτάγωο είαι εγγεγραμμέο στο κύκλο αυτό. Β. Να γίει κατάλληλο σχήμα, α αποδείξετε ότι η κετρική γωία του είαι 45 και α βρείτε πόσες μοίρες είαι η κάθε γωία του οκταγώου.. Να βρεθεί η πλευρά λ του οκταγώου Στο ορθογώιο τρίγωο ΒΔ( B = 90 ) του διπλαού Δ σχήματος είαι = 35 και ΔΒ = 10cm. Να βρεθού 10cm οι υπόλοιπες πλευρές και γωίες του τριγώου. Β 35

56 168 a. Ποιες είαι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού τω ρητώ αριθμώ; b. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι; c. Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση) a. Τι οομάζεται επίκετρη γωία; b. Τι οομάζεται εγγεγραμμέη γωία; c. Ποια είαι η σχέση μεταξύ επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; Να λύσετε τη εξίσωση: x + 2 3x + 1 = x Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A =90 ) με ΑΒ = 12cm και Β = 13cm. Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. Δίεται κύκλος με περίμετρο 25,12cm. Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού δίσκου.

57 169 a. Πως απαλείφουμε παρεθέσεις ; b. Πως πολλαπλασιάζουμε ομόσημους και πως ετερόσημους ρητούς αριθμούς; c. Α α, β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του μηδεός και, μ ακέραιοι με τα, μ >1 α συμπληρώσετε τις ισότητες: μ α α =..., μ α :α... =, α β =..., α =... β, ( α ) μ =... a. Ποια σχέση συδέει τη εγγεγραμμέη με τη επίκετρη γωία που ατιστοιχού στο ίδιο τόξο; b. Τι οομάζουμε κετρική γωία εός καοικού πολυγώου και με τι ισούται c. ράψτε τους τύπους που δίου: i. το μήκος του κύκλου με ακτία ρ, ii. το εμβαδό του κυκλικού δίσκου με ακτία ρ. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης A= ( 2) Να λυθεί η εξίσωση: x + 2 x x + 8 =2x Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με ( Α = 90 ) και πλευρές Α = 6cm και Β = 10 cm α βρείτε: a. τη πλευρά ΑΒ b. τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β Α 6cm 10cm Β

58 170 Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με Α = 90. a. Να δώσετε τους ορισμούς τω ημβ, συβ και εφβ. b. Α Β = 60, ποιες είαι οι τιμές τω τριγωομετρικώ αριθμώ της γωίας Β; c. Είαι δυατό α είαι ημβ = 2; Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας. a. Τι οομάζουμε δύαμη α με βάση το ρητό α και εκθέτη φυσικό >1; b. Πότε μια τέτοια δύαμη του α) ερωτήματος, με βάση αρητικό αριθμό είαι θετικός και πότε αρητικός αριθμός; Να δώσετε από έα παράδειγμα. c. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες (για τις τιμές τω γραμμάτω που έχου όημα): α =, β μ α :α =, 0 α =, α β =. Έας κύκλος έχει μήκος 62,8cm. a. Υπολογίστε τη διάμετρό του. b. Πόσο είαι το εμβαδό του ατίστοιχου κυκλικού δίσκου; c. Βρείτε το μήκος εός τόξου 18 0 του ίδιου κύκλου. a. Να λύσετε τη εξίσωση: είαι ο αριθμός 2. 2x + 1 x 1 3 x + = και α δικαιολογήσετε ότι η λύση της b. Να βρείτε τη τιμή της παράστασης: α α 2 Α = (2α 4) (α+7) α α, όπου α είαι η λύση της παραπάω εξίσωσης. Σε τρίγωο ΚΛΜ τα μήκη τω πλευρώ του είαι: ΚΜ = , ΛΜ = 24, ΚΛ= ( 1). a. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο είαι ισοσκελές με βάση τη ΛΜ. b. Υπολογίστε το ύψος ΚΡ. c. Να βρείτε το εμβαδό του τριγώου ΚΛΜ και α προσδιορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Μ.

59 171 a. Να γράψετε το ορισμό της δύαμης α με βάση ρητό α και εκθέτη φυσικό >1 b. Να μεταφέρετε στη κόλλα σας και α συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες τω δυάμεω : μ ( α ) μ =.., α α =.., 0 α =.., μ α : α =, ( ) α όπου α 0 και β 0. α β =.., α β =, Σε κύκλο με κέτρο Ο και ακτία ρ a. Τι οομάζουμε επίκετρη γωία b. Τι οομάζουμε εγγεγραμμέη γωία c. Ποια είαι η σχέση της επίκετρης και της εγγεγραμμέης που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο. Α είαι Α = ( 3) 2 5 ( 2) και Β = 6 ( 2) + ( 2) 3 ( 3) (+8) a. α υπολογίσετε τη τιμή της κάθε παράστασης b. α δείξετε ότι Α + Β = 24 Να λυθεί η εξίσωση 3x 1 x + 2 x 4 = Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Α=90 ο ) είαι Β = 15cm και Α = 9cm. Με κέτρο το μέσο Κ της ΑΒ γράφουμε ημικύκλιο. a. Να δείξετε ότι η ΑΒ =12 cm b. Να υπολογίσετε το εμβαδό του γραμ- Α Κ Β μοσκιασμέου ημικυκλικού τμήματος.

60 172 Να ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας ω ω A B a. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε κύκλο; b. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη; c. Ποια η σχέση επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = ( 1) 2 ( 100) 0 ( 3) Να λυθεί η εξίσωση, 2χ 3 7χ 3 3χ 5 = Α Στο διπλαό σχήμα, α υπολογίσετε σε μοίρες το τόξο Β καθώς 130 Ο 144 και τις γωίες του τριγώου ΑΒ Β

61 173 a. Να συμπληρώσετε τα επόμεα: α. μ δ. α α =... ε. α μ μ : α =... ζ. ( ) 0 α =... β. α =... η. 1 α =... γ. α β =... α =... θ. α : β =... b. Έστω α έας αρητικός αριθμός και έας μη μηδεικός ακέραιος. Πότε το α είαι θετικό και πότε αρητικό; Α. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα και πότε ατιστρόφως αάλογα; Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω: a. Η γραφική παράσταση της συάρτησης y = αx, με x πραγματικό αριθμό, είαι α b. Η γραφική παράσταση της συάρτησης y =, με x πραγματικό αριθμό, είαι x Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ( A = 90 ο ), είαι ΑΒ =3cm και Α = 4cm, nα υπολογίσετε: a. το μήκος της Β. 4cm b. το ημβ, το συβ και τη εφβ. A 3cm B a. Να λύσετε τη αίσωση 3x +15 < 8x x 1 x 2 3x 2 b. Να λύσετε τη αίσωση c. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω δύο παραπάω αισώσεω. Στο διπλαό κύκλο είαι: o AB = x + 50, 2( x 25 ) Δ = 170 ο Β =, x και ο ΑΔ = x 20. Να υπολογίσετε: a. πόσες μοίρες είαι τα παραπάω τόξα b. πόσες μοίρες είαι οι γωίες Α, Β, και Δ. Α Δ Ο Β

62 174 Α. Α α και β είαι ρητοί αριθμοί και μ, είαι φυσικοί αριθμοί με μ > 1 και > 1, α συμπληρώσετε τις ισότητες: i. α =... ii) α 0 =... iii) α α μ =... iv) ( α ) μ =... Β. Να συμπληρώσετε με τις λέξεις «θετικός» ή «αρητικός» τις προτάσεις: i. Δύαμη με βάση θετικό αριθμό είαι αριθμός. ii. Δύαμη με βάση αρητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είαι αριθμός. iii. Δύαμη με βάση αρητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είαι αριθμός. i. Τι οομάζεται επίκετρη γωία και τι ατίστοιχο τόξο της; Να κάετε το σχήμα. ii. Τι οομάζεται εγγεγραμμέη γωία και τι ατίστοιχο τόξο της; Να κάετε το σχήμα iii. Ποια η σχέση μεταξύ μιας επίκετρης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της ; Στο διπλαό σχήμα, το τρίγωο ΑΒ είαι ορθογώιο( Â = 90º ). Α είαι Α = 6cm και Β = 10cm,α υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τω γωιώ Β και. Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ 2 χ 3 = Α το μήκος εός κύκλου είαι 62,8cm α υπολογίσετε το εμβαδό του. Β 10cm A 6cm

63 175 a. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρημα b. Στο διπλαό σχήμα ποια από τις παρακάτω ισότητες δε ισχύει α εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα : Α. Β 2 = ΑΒ 2 + Α 2 Β. Α 2 = Β 2 ΑΒ 2. ΑΒ 2 = Β 2 Α 2 Δ. ΑΒ 2 = Α 2 + Β 2 Β Α a. Τι λέγεται εγγεγραμμέη γωία και τι επίκετρη b. Α μια εγγεγραμμέη γωία είαι 30 το ατίστοιχο τόξο της είαι: Α. 30 Β Δ. 15 a. Α μια επίκετρη γωία είαι 30 0 το ατίστοιχο τόξο της είαι: Α. 30 Β Δ. Να συγκρίετε τις τιμές τω παραστάσεω : Α = ( 4 2 : : 5) 3 ( ) και Β = (215 ) (215 ) (215 ) (215 ) Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Â = 90 ) με υποτείουσα Β = 20cm και κάθετη πλευρά τη ΑΒ = 16cm α συγκρίετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημ, συ, εφ, συβ Έα τόξο κύκλου έχει μήκος 12,56cm και η επίκετρη γωία του είαι 120. Να βρεθεί το μήκος του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου.

64 176 a. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με Α= ˆ 90 ο και α γράψετε τη σχέση που συδέει τις πλευρές του, σύμφωα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. a. Τι οομάζουμε ημίτοο, συημίτοο και εφαπτομέη μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου ; b. Πως μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου ότα η γωία αυξάεται ; Να λυθεί η εξίσωση : Να βρεθού τα: 2x 1 5x x = Α = 2, 3 3 Β= , = 2 2 και στη συέχεια α υπολογιστεί η τιμή της παράστασης 3( 2Β Α) 4. Α 100 Στο διπλαό κύκλο με κέτρο Ο είαι Α= ˆ 30 ο και ΑΒ = 100 ο, α υπολογίσετε τις γωίες φ, ω 30 κ ω Ο φ Β αιτιολογώτας τη απάτησή σας.

65 177 a. Πως προσθέτουμε δύο ετερόσημους αριθμούς; b. Πως πολλαπλασιάζουμε πολλούς μη μηδεικούς αριθμούς; c. Πότε δύο αριθμοί είαι ατίστροφοι; a. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη και μια επίκετρη γωία στο ίδιο κύκλο, που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; b. Τι σχέση έχει μια εγγεγραμμέη γωία με το ατίστοιχο τόξο της; c. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό; Να λυθεί η εξίσωση: 3 5χ χ 1 13χ = Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: χ χ χ + 6 χ, ότα χ = 2. Στο διπλαό σχήμα α αποδείξετε ότι το τόξο A B έχει μέτρο 180. Δίεται: ΑΒ = 6cm, Α = 8cm, Β = 10cm B

66 178 A. Σε έα γιόμεο πολλώ παραγότω, ότα το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι: a. άρτιος αριθμός, τότε το γιόμεό τους είαι. αριθμός. b. περιττός αριθμός, τότε το γιόμεό τους είαι. αριθμός. c. οποιοσδήποτε φυσικός, εώ υπάρχει στο γιόμεο έστω και έας παράγοτας μηδέ τότε το γιόμεο είαι B. Να συμπληρωθού οι ισότητες :, ( α ) μ α β = =, α =, α β =. Να δικαιολογήσετε γιατί το μηδέ δε έχει ατίστροφο. a. Τι οομάζεται ορθοκαοικό σύστημα αξόω (Σύστημα ορθογωίω αξόω) και τι συτεταγμέες (τετμημέη, τεταγμέη) σημείου; b. Τι γωρίζετε για τις συτεταγμέες τω σημείω τω αξόω χ χ και ψ ψ σ έα ορθοκαοικό σύστημα; c. Τι οομάζουμε τεταρτημόρια; Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = 5 ( 7+ 2) ( 9+ 4) 3 2 ( ) Να λυθεί η εξίσωση: x 1 2x+ 1 x+ 3 = Σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με Α = 90, ισχύει ημβ = 0,6 και Α = 9cm. Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΒ και Β.

67 179 a. Πως ορίζεται η διαφορά του ρητού αριθμού β από το ρητό α; b. Πως απαλείφουμε παρεθέσεις; c. Πως ορίζεται η διαίρεση του ρητού αριθμού α με το ρητό β; a. Τι οομάζεται καοικό πολύγωο; b. Να γράψετε το τύπο της κετρικής γωίας εός καοικού πολυγώου (ω) και τη σχέση της με τη γωία (φ) του καοικού πολυγώου. c. Ποια σχέση συδέει το μέτρο εός τόξου σε μοίρες (μ ο ) και το μέτρο του ίδιου τόξου σε ακτίια (a r ). Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 3)+11 ( 2) ) 18 ] 3 ( 3) 8 [ Α= Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω: 4χ 2>3χ 5 και x 2 x 3 <1 Η διάμετρος του τροχού εός αυτοκιήτου είαι 80cm. Να υπολογίσετε τη περίμετρο του τροχού και πόσες στροφές θα κάει ο τροχός για α διαύσει απόσταση 25Km.

68 180 a. Σε κύκλο (Ο, ρ), ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια επίκετρη; b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη; c. Σε κύκλο (Ο, ρ) α γράψετε τους τύπους που μας δίου: Το μήκος κύκλου Το εμβαδό κύκλου Το μήκος τόξου μ Το εμβαδό κυκλικού τομέα μ a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) α διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα και α γράψετε τη ατίστοιχη σχέση. b. Τι οομάζεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = ( 3) ( 4) 3 :8 + [ 1 ( 1) 3 ] Να λύσετε τη εξίσωση: χ 3(χ + 1) 4 = 2χ 1 3 Σε κύκλο διαμέτρου Β του σχήματος ΑΒ = 6cm, Α = 8cm. Να υπολογίσετε: a. Τη περίμετρο του τριγώου ΑΒ b. Το μήκος του κύκλου c. Το εμβαδό του κύκλου A 8cm 6cm B O

69 181 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα b. Να γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το διπλαό ορθογώιο τρίγωο a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη; α β A γ B b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη και το τόξο στο οποίο βαίει; c. Πόσω μοιρώ είαι η κετρική γωία εός καοικού δεκαπεταγώου; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 1 Α = ( 3). ( +2). ( 1) ( 8) : (+2) Να λύσετε τη εξίσωση : 2x 1 + 3x = 2 x 2 6 Δίεται το ορθογώιο παραλληλόγραμμο ΑΒΔ με Β = 6cm και Α = 10cm. Δ Να υπολογίσετε : 10cm 6cm a. το μήκος της πλευράς ΑΒ. b. το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΔ A Β

70 182 b. Συμπληρώστε τη πρόταση. a. Σε κάθε έοια της πρώτης στήλης α ατιστοιχίσετε το σωστό μαθηματικό Συμβολισμό της δεύτερης στήλης (το x είαι ρητός με x 0 και το θετικός ακέραιος. Τετραγωική ρίζα εός. αριθμού α λέγεται ο θετικός αριθμός που ότα υψωθεί δίει το αριθμό α. c. Συμπληρώστε τις σχέσεις ( ) 2 α =... 0 =... ΣΤΗΛΗ Α 1. Απόλυτη τιμή 2. Ατίθετος του χ 3. Ατίστροφος του χ 4. Νιοστή δύαμη του χ 5. τετραγωική ρίζα του χ ΣΤΗΛΗ Β a. x b. x c. x x >0 d. 1 x x 0 e. x a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A = 90 ) α συμπληρώσετε τις ισότητες. συβ =., ημβ =., εφβ =. (Να σχεδιάσετε το τρίγωο) b. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις. Σε ορθογώιο τρίγωο ότα αυξάεται μια οξεία γωία το ημίτοό της. Σε ορθογώιο τρίγωο ότα αυξάεται μια οξεία γωία..το συημίτοό της. c. ιατί το 0 < ημω < 1 και το 0 < συω <1 Να λύσετε τη εξίσωση. 2x + 1 x 3 x + 3 = Α Α = ( 2) 4 ( 7) ( 2), Β = ( ):2 8 Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές Τω Α και Β και α εξετάσετε α οι αριθμοί που προκύπτου είαι ατίστροφοί. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε BA = 90, ΒΔ = 90, Δ 30 ΒΔ = 30 και Α = 3 ΑΒ = 4. Δίεται συ30 = 0,87. Να υπολογίσετε τη πλευρά Β και τις Δ και ΒΔ. A B

71 183 Α. Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα για το τρίγωο του διπλαού σχήματος β α Β. Με βάση το διπλαό σχήμα α συμπληρώσετε τα κεά παρακάτω: Α γ Β i. γ 2 =.. ii. Β 2 =.+. iii..= α 2 ΑΒ 2 iv..= Β 2 β 2 Α. Να δοθού οι παρακάτω ορισμοί: i. Ημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου ii. Συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου iii. Εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου Β. Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος α χαρακτηρίσετε τις ισότητες ως Σωστό ή Λάθος i. ημ = β α ii. συ = Α Β iii. εφ = γ Α β Α γ α Β Να λυθεί η εξίσωση: 5(x 2) 2(3 x) = 3x 4 Δ 6 Στο διπλαό σχήμα το ΑΔΒ είαι ορθογώιο. Α Α = 10, Δ = 6,ΑΕ = 21 α υπολογίσετε: 10 i. το μήκος της πλευράς ΑΔ. ii. τη εφαπτομέη της γωίας του τριγώου ΒΕ. Α Β 21 Ε iii. τη πλευρά Ε. Στο διπλαό σχήμα η ακτία του κύκλου είαι: R= 6cm και Β = 30 ο. Να υπολογίσετε: i) τη γωία Α του τριγώου ΑΒ ii) τη γωία και το τόξο ΑΒ Β 30 Α iii) α είαι γωστό ότι ημ30º = 1 2 α υπολογίσετε το μήκος της χορδής Α iv) το μήκος S του κύκλου v) το μήκος της πλευράς ΑΒ iv) το γραμμοσκιασμέο εμβαδό Δίεται ότι 135 =11,6

72 184 a. Να γραφεί το πυθαγόρειο θεώρημα και στη συέχεια α εφαρμοστεί στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) A B b. Στο ίδιο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) ααφέροται οι σχέσεις: I. ΑΒ 2 = Β 2 +Α 2 II. ΑΒ 2 = Α 2 Β 2 III. Α 2 = Β 2 ΑΒ 2 IV. Β 2 = ΑΒ 2 Α 2 V. ΑΒ 2 = Α 2 + Β 2 VI. ΑΒ 2 + Α 2 = Β 2 Να τις χαρακτηρίσετε ως Σωστές ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) a. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ). Α η ω είαι μια οξεία γωία του τριγώου Να γράψετε τους τύπους του ημω, συω, εφω. A ω B b. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του ερωτήματος ( a ) ααφέροται οι σχέσεις: I. ημβ = Α Β IV. συβ = ΑΒ Β II. συ = ΑΒ Β Β V. ημ = ΑΒ III. εφβ = Α Β VI. εφ = ΑΒ Α Α χ = 2 α υπολογιστού οι τιμές τω παραστάσεω: Α = 3χ 40:χ + ( 7 + χ) ( 3) + χ Β = ( χ) 3 + ( χ + 4) 2 χ χ+1 χ + 3 5χ 1 χ 3χ 4 Να λυθεί ή εξίσωση: + 2 = Δίεται ο κύκλος (Κ, 10cm) και η διάμετρος του Β. Α το Α είαι σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε ΑΒ = 1 Α, α υπολογίσετε: 8 a. Τη γωία ΚΑΒ b. Το εμβαδό του κυκλικού τομέα (Κ. Α )

73 185 a. Τι οομάζουμε δύαμη με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό >1 ; b. Να ατιγράψετε στο τετράδιό σας και α συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες : α = ο α = α = μ α α = μ α :α = μ (α ) =... (α β) =... α =... β a. Να γράψετε τους ορισμούς τω τριγωομετρικώ αριθμώ οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. b. Πως μεταβάλλεται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ότα αυτή αυξάεται ; c. Αάμεσα σε ποιους αριθμούς βρίσκεται το ημίτοο και το συημίτοο μιας γωίας ; Να υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της παράστασης : Α = ( 3) [( 2) :16 + ( 1) ( 5)] [ 3 + ( 3) ]:2 a. Να λυθεί η εξίσωση : 3(2 x) 2(1 x) =1 4 3 b. ια τη τιμή του x που βρήκατε (x = 2) α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης : Α = x + 2 x + 3 x (2005) +(2005) 4 2 Δίεται τρίγωο ΑΒ και το ύψος του ΑΔ. Α είαι Α = 8cm, ΒΔ = 3cm και η γωία Α = 30 α βρείτε : 8cm a. Το ύψος ΑΔ και τη πλευρά Δ. b. Τη περίμετρο του τριγώου ΑΒ. c. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. Β 3cm Δ (Δίοται : ημ30 = 0,5, συ30 0,87, εφ30 0,58,

74 186 a. Α ω μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α γράψετε το τύπο που μας δίει τo συημίτοο της γωίας ω b. Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ΑΒ, α βρείτε με τι ισούται η εφαπτομέη της γωίας Β. A c. Είαι δυατό, α ω οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, το ημω = 11 (Δικαιολογήστε τη απάτηση σας) 10. B Δίεται κύκλος κέτρου Ο, ακτίας ρ και μια επίκετρη γωία με μέτρο μ. a. Να γράψετε έα τύπο για τη εύρεση του μήκους του κύκλου. b. Να γράψετε έα τύπο για τη εύρεση του εμβαδού του κυκλικού τομέα. c. Α στο παραπάω κύκλο Ο, η ακτία ρ = 6cm και η επίκετρη γωία είαι 10 πόσο είαι το εμβαδό του κυκλικού τομέα; Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= ( 2) 3 ( 8)+ 4 3 ( 3)2 ( 7) ( 11), Β = 6 [7 2 (6 8)] και α βάλετε αάμεσα στις παραστάσεις Α, Β το κατάλληλο σύμβολο (<,>,=) 4χ 1 χ 3χ 2 Να λυθεί η εξίσωση: = Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( ˆΑ = 90 ο ) με ΑΒ = 12cm και Β = 13cm. Με διάμετρο τη ΑΒ σχεδιάζουμε ημικύκλιο εξωτερικά του τριγώου. Να βρεθού : a. Η πλευρά Α και το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. b. Το εμβαδό του ημικυκλίου ή το εμβαδό του τριγώου είαι μεγαλύτερο και κατά πόσο;

75 187 Να γράψετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού τω ρητώ αριθμώ και α ααφέρετε από έα παράδειγμα για κάθε μια από αυτές. Να γράψετε τις ιδιότητες τω δυάμεω και α ααφέρετε από έα παράδειγμα για κάθε μια από αυτές. ια χ = 3, α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = (2χ + 3) (χ + 2) (χ +10) (2χ + 5) Να λυθεί και α επαληθευτεί η εξίσωση: Να βρεθεί το εμβαδό ισοσκελούς τριγώου ΑΒ(ΑΒ =Α) ότα είαι ΑΒ = Α = 1,7dm και Β = 30cm 4χ 3 3χ + 1 χ 1 = A 1,7dm B Δ 30cm

76 188 a. Πως διαιρούμε δυο ακεραίους αριθμούς : i. Α είαι ομόσημοι ii. Α είαι ετερόσημοι iii. Να γίει η διαίρεση ( 14) : ( 7) =... iv. Να γίει η διαίρεση ( 9) : ( + 3) =... b. Πως απαλείφουμε μια παρέθεση ότα μπροστά της είαι το (μείο); Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( ) =... c. Πως πολλαπλασιάζουμε δυο αρητικούς ακεραίους αριθμούς; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( 2) ( 3) =... d. Πότε έα γιόμεο πολλώ παραγότω διαφορετικώ του μηδεός είαι αρητικό, και πότε θετικό; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα : i. ( 2) ( 3) (+ 4) ( 5) (+ 6) ( 7) =... ii. ( 1) ( 2) ( 4) ( 6) (+ 5) ( 3) =... a. Πως πολλαπλασιάζουμε δυάμεις με τη ίδια βάση; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( 2) 3 ( 2) 4 ( 2) 5 =... b. Πως διαιρούμε δυάμεις με τη ίδια βάση; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: c. Πως υψώουμε έα γιόμεο σε έα εκθέτη; : 3 3 =.. Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( 2) ( 3) ( 5) d. Πως υψώουμε μια δύαμη σε έα εκθέτη; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: = =... 3 Δίοται οι αλγεβρικές παραστάσεις 3 3 Α = ( 5) 2 ( 2) 3 1 : 2 + ( 1) , Β = ( 5) ( 2) 1 : Α 25Β Να βρείτε τους αριθμούς Α, Β και α συγκρίετε τους αριθμούς, Β 23Α Να λυθού οι εξισώσεις αισώσεις: Α) 4 (χ + 1) =2χ 1 (χ + 3) Β) 3 χ 1 = χ + 4 ) 2χ 1+ χ χ Α σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Â = 90º) είαι ημ = 4 5 και ΑΒ = 20, α βρεθού: a. Οι άλλες δύο πλευρές του b. Το ημβ, το συβ και η εφβ

77 189 Θέμα 1 Να συμπληρωθού οι ισότητες που ααφέροται: a. στους ορισμούς τω δυάμεω, α =..., α 1 =..., α 0 =..., α =... b. στις ιδιότητες τω δυάμεω, α κ α λ =..., α κ λ α =..., (α β)κ =..., c. στις ιδιότητες τω τετραγωικώ ριζώ α β κ κ =..., ( α ) λ =..., α β -κ =... αβ =..., α β =..., 2 α =..., ( ) 2 α =... a. Να δώσετε τους ορισμούς τω τριγωομετρικώ αριθμώ(ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη) μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου b. Να συμπληρώστε τις επόμεες ισότητες με τις πλευρές του ορθογωίου τριγώου ΚΔΕ( Κ= 90 ): ημδ =..., συδ =..., εφδ =... c. Το ημίτοο της γωίας Δ είαι μικρότερο η μεγαλύτερο από τη μοάδα; ( Αιτιολογήστε τη απάτηση σας) Να λυθεί η εξίσωση: 3χ χ 13 = 13-6χ + χ A Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος το μήκος της πλευράς ΑΒ α είαι 13cm Β= 90, = 90, Β = 3cm, Δ = 4cm και ΑΔ = 13cm. Β 3cm 4cm Δ Να συμπληρώσετε τις ισότητες κάοτας όλες τις δυατές πράξεις: 3 2 =..., (1 3) ( 2 1) 2 =..., =..., =..., =...,

78 190 Θέμα 1 A. Πως ορίζεται το ημίτοο και πως το συημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου B. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτοο και το συημίτοο είαι αριθμοί μικρότεροι της μοάδας. A. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη και πότε εγγεγραμμέη; B. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη; C. Με τη ισούται η κετρική γωία καοικού - γώου; Να υπολογίσετε τα εξαγόμεα: Α = 3 ( 8 + 3) 4 2 [3 (4 2) 2 ] Β = ( 7 +5) 3 [ (6 2) ] Να λυθεί η εξίσωση: χ 6 4 = χ Να βρείτε τα μήκη τω ημικυκλίω του σχήματος α είαι: ΑΒ = 6cm και ΑΒ = Δ = ΔΒ. Να συγκρίετε το μήκος του μεγάλου ημικυκλίου με το άθροισμα Α Δ Β τω μηκώ τω τριώ μικρώ.

79 191 Θέμα 1 a. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ακέραιους αριθμούς διάφορους του μηδεός b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α κ α λ =..., α β =..., α α 0 α =..., (α κ ) λ =. c. Πότε η δύαμη εός ρητού αριθμού α 0 ισούται με έα; a. Ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια η σχέση της με το τόξο στο οποίο βαίει; b. Ποιο πολύγωο λέγεται καοικό; c. Να δώσετε τους τύπους του: μήκους κύκλου, μήκους τόξου, εμβαδού κυκλικού δίσκου, εμβαδού κυκλικού τομέα. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω: i. 7χ 2 (χ + 5) +1 8χ +2 (χ 2) ii. 2χ +1 χ 2 > χ Να γίου οι πράξεις: [ ] 2 5 (9 2) :( 2) + ( 5 ) :( 5) Το τρίγωο ΑΒ του διπλαού σχήματος είαι ισοσκελές με ΑΒ = Α = 10cm και ημβ = 0,8. Α Να υπολογίσετε: a. το ύψος του ΑΔ, 10cm 10cm b. τη περίμετρο του, c. το εμβαδό του Β Δ

80 192 Θέμα 1 a. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι; (Να γράψετε έα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: b. α μ :α μ =..., ( ) α =..., α 0 =..., α β =... c. Τρεις ρητοί αριθμοί έχου γιόμεο αρητικό. Τι συμπεραίετε για τα πρόσημα τους; a. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη και πότε εγγεγραμμέη; b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη; c. Δύο τόξα μ είαι πάτοτε ίσα; 1 4 Α Α = ( 2) [(3 2 4): 5 11] και Β = ( 5 8) ( 3) a. Να υπολογίσετε τις τιμές τω παραστάσεω Α και Β b. Να βρείτε τη διαφορά Α Β : a. Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) χ χ + 1 = χ b. Να λύσετε τη αίσωση: (3χ 1) (3 2χ) 7χ + ( χ+ 8) c. Να εξετάσετε α η λύση της εξίσωσης είαι και λύση της αίσωσης. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ), με ΑΒ = 8cm και Β = 10cm. a. Να βρείτε το μήκος της πλευράς Α b. Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. Α 10cm 8cm Β

81 193 Θέμα 1 a. Τι οομάζεται ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου; Πως μεταβάλλοται και ποια είαι τα όρια μεταβολής ημίτοου και συημίτοου; b. Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τω 45 0 σ έα ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο με ΑΒ = Α = 1cm. a. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό με τι ισούται η κετρική του γωία ω και τη σχέση έχει η γωία του φ με τη κετρική γωία ω; b. Να γράψετε τους τύπους που δίου το εμβαδό εός κύκλου και το μήκος τόξου. c. Να δώσετε το ορισμό του ακτιίου(1 rad) και α συμπληρώσετε τις ισότητες: π rad =, rad π 2 =, 30 = rad, 45 0 = rad. Α Α = ( 3) ( 4) 3 :8 + [ 4 0 ( )5 2 ] και Β = 2 χ+1 ( 2) χ 1 + χ χ+1 χ χ 1 όπου χ = 2, α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Να λύσετε και α επαληθεύσετε τη εξίσωση: 5χ 1 2χ + 1 3χ = χ Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ),είαι ΑΒ = 1cm, Β = 2cm, = 30. Να υπολογίσετε i. Τη πλευρά Α και τη γωία Β ii. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ iii. Το εμβαδό του κυκλικού τομέα Β. ΑΔ iv. Το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας.

82 Θέμα Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ): a. Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, του συημιτόου και της εφαπτομέης της οξείας γωίας Β. b. Ποιες τιμές μπορού α πάρου το ημίτοο και το συημίτοο της γωίας ; c. Πώς μεταβάλλεται το ημίτοο και πώς το συημίτοο της γωίας ότα αυτή αυξάεται; a. Πώς υπολογίζουμε το γιόμεο πολλώ ρητώ παραγότω; b. Α α και β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του μηδεός και μ, ακέραιοι, α συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες τω δυάμεω: α μ :α =..., α.μ. β μ =..., α =..., α 0 = Α Α = + + [ 9 ( 7 3) ] και Β = α δείξετε ότι Α = Β. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς που επαληθεύου τη αίσωση: χ 2 χ ( ) 3 χ Σε ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ), είαι ΑΒ = Α = 8cm Με διάμετρο τη υποτείουσα Β του τριγώου γράφουμε εξωτερικά του τριγώου 8 M ημικύκλιο. Να υπολογίσετε το εμβαδό ολόκληρου του σχήματος, Α 8 Β

83 195 Θέμα 1 Α α και β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του μηδεός και μ, φυσικοί με μ >1 και >1 α συμπληρώσετε τις ισότητες: α =... α =..., α 0 =... α 1 =... α μ α =..., α.μ. :β μ =..., ( ) μ α =... a. Τι οομάζεται επίκετρη γωία, και τι ατίστοιχο τόξο της b. Τι οομάζεται εγγεγραμμέη γωία, και τι ατίστοιχο τόξο της; c. Ποια η σχέση μεταξύ: μιας επίκετρης και μιας εγγεγραμμέης γωίας που βαίου στο ίδιο τόξο, μιας εγγεγραμμέης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της, μιας επίκετρης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της; Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) του σχήματος είαι Α = 6cm, και Β = 10cm Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμού της γωίας Β. 6cm Α 10cm Β Να λυθεί η εξίσωση: χ 3 χ 4 χ +8 = Α το μήκος εός κύκλου είαι 62,8, α υπολογίσετε το εμβαδό του.

84 196 Θέμα 1 a. Τι παριστάει η δύαμη α, φυσικός μεγαλύτερος του 1; b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α 0 =... α =..., α 1 =... ( ) μ α =... α β =..., α.μ. α =..., α μ : α =..., α β =... c. Οι αριθμοί 3 9 και 9 3 είαι ατίστροφοι; Να δικαιολογήσετε τη απάτηση σας a. Τι οομάζεται, εφαπτομέη, τι ημίτοο, και τι συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; b. ιατί για κάθε οξεία γωία ω ορθογωίου τριγώου ισχύει η σχέση 0 ημω 1. c. ιατί είαι συ60 συ50 Να λυθεί η εξίσωση: 2χ 4 3χ χ 5 = Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) είαι ΑΒ = 16cm, και Β = 20cm. Να υπολογίσετε: a. το ημίτοο, το συημίτοο και τη εφαπτομέη, της οξείας γωίας Β. b. Το μήκος του ύψους ΑΚ που φέρουμε από τη κορυφή Α προς τη πλευρά Β. Το τετράγωο ΑΒΔ του σχήματος έχει πλευρά 6cm. Να υπολογίσετε a. το μήκος του κύκλου. b. το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας.

85 197 Θέμα 1 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να κατασκευάσετε έα ορθογώιο τρίγωο και α γράψετε τη σχέση που παράγεται από τη εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωο αυτό. a. Πότε δύο ποσά οομάζοται αάλογα; b. Πότε δύο ποσά οομάζοται ατιστρόφως αάλογα; Να βρείτε που συαληθεύου οι αισώσεις: 2χ χ 3 19 και 2χ 3 (χ 2) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = ( ) + [( 7) ]: Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 2χ 1 2χ =

86 Θέμα a. Να γράψετε τις ιδιότητες δυάμεω ρητώ με εκθέτη ακέραιο. b. Πότε η δύαμη α με εκθέτη φυσικό αριθμό, είαι θετικός αριθμός και πότε αρητικός; a. Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, συημιτόου και εφαπτομέης μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) α βρείτε τα ημβ, συβ εφβ. b. Α η ω είαι οξεία γωία ορθογωίου τριγώου α συμπληρώσετε τις αισότητες:...< ημω <... και...< συω <... Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είαι σωστές; ημω = 0,04 συω = 5 συω = 0,3 ημω = 3 Να δικαιολογήσετε τις απατήσεις σας Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = ( 3) (+2) ( Ι)-( 8):(+2) Στο διπλαό σχήμα δίοται ΑΒ = 12 cm, ΕΔ = 5cm, ΒΔ = 8cm και Δ = 6cm. Να υπολογίσετε τα τμήματα Β και ΑΕ. Ε Α 5cm 6cm Δ 8cm 12cm Β Να υπολογίσετε τη περίμετρο και το εμβαδό του διπλαού γραμμοσκιασμέου σχήματος

87 199 Θέμα 1 a. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους ακέραιους; b. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο αρητικούς ακέραιους; c. Τι πρόσημο έχει το γιόμεο δύο ατίθετω μη μηδεικώ αριθμώ; Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας. a. Πως ορίζεται η εφαπτομέη, το ημίτοο και το συημίτοο μιας οξείας γωίας ω ορθογώιου τριγώου b. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου είαι αριθμός μικρότερος της μοάδας. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης αφού πρώτα απαλείψετε τις παρεθέσεις και τις αγκύλες. Π= (α + β) [3+(β α)] (10 α β) Δίοται : α = 3 2, β= 1 Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω 4χ +7 > 6χ 2 και χ + 5 χ > χ 4 Έα ισοσκελές τρίγωο ΑΒ (ΑΒ = Α) έχει βάση Β=24 cm και ύψος ΑΔ=16cm. Να υπολογίσετε τη πλευρά ΑΒ και τη περίμετρο του τριγώου.

88 200 Θέμα 1 a. Πώς πολλαπλασιάζουμε δυάμεις που έχου τη ίδια βάση. Παράδειγμα b. Πώς πολλαπλασιάζουμε δυάμεις που έχου τη ίδια βάση. Παράδειγμα c. Πώς υψώουμε δύαμη σε εκθέτη. Παράδειγμα Στο διπλαό σχήμα: a. Πως λέγοται οι γωίες, ΑΟΒ και ΑΚΒ b. Να γράψετε το ορισμό που περιγράφει τη σχέση τω δύο αυτώ γωιώ. O K c. Να γράψετε το ορισμό που περιγράφει τη σχέση της ΑΚΒ με το ατίστοιχο τόξο της. A B Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 5 [3 ( 2) ( 4)] + ( 2 + 8):( 7 10) [8 ( 2 ) 10] Να λυθεί η εξίσωση: 2χ 1 χ = 3 3(χ + 1) 4 Ε Στο διπλαό σχήμα είαι Δ = Κ = 90 και ΕΔ = 8cm, Δ = ΕΚ =6cm, ΑΚ = 3cm. Να υπολογίσετε το μήκος : 8cm 6cm K 3cm Α a. της Κ b. της Α Δ

89 201 Θέμα 1 a. Σχεδιάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με γωία A = 90 και α εκφράσετε με τη βοήθεια τω πλευρώ του τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημίτοο, συημίτοο και εφαπτομέη της γωίας Β. b. Να υπολογίσετε το ημίτοο τω 45 Να γράψετε τη σχέση που συδέει τη επίκετρη και τη εγγεγραμμέη γωία που βαίου στο ίδιο τόξο και στη συέχεια α τη αποδείξετε. Σε τρίγωο ΑΒ είαι η γωία του B = 30, η πλευρά του B = 10cm και το ύψος του ΑΔ= 4cm. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώου ΑΒ και Α. Δίοται: ημ30 = 0,5, συ30 = 0,87 και εφ30 = 0,58 Να υπολογίσετε τη αριθμητική παράσταση Α = ( 2) ( 1) :( 3) 3 +(+16) 2 4 Να λυθεί η εξίσωση: χ +1 χ 2 = χ

90 202 Θέμα 1 a. Σε κάθε έκφραση της στήλης Α α ατιστοιχίσετε έα σύμβολό της στήλης Β, έτσι ώστε α περιγράφου τη ίδια έοια. Στήλη Α Φυσική γλώσσα a. ατίθετος του χ b. ατίστροφος του χ c. τετράγωο του χ d. τετραγωική ρίζα του χ e. διπλάσιο του χ δίεται χ > 0 Στήλη Β Μαθηματική γλώσσα 1. 2χ 2. χ 3. χ 4. χ 2 5. χ χ b. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες τω δυάμεω: α 0 =... α =..., ( ) μ α =..., α +μ =..., Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ): a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και α γράψετε τη ατίστοιχη μαθηματική σχέση. α μ : α =... b. ια τη οξεία γωία ω του τριγώου α ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τα ημω, συω, και εφω a. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης a b c d e Α = 3 (4 6) b. Να λύσετε τη εξίσωση 13 χ = 7 χ Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) είαι ΑΒ = 1cm και Β = 2cm. a. Να αποδείξετε ότι Α = 3cm. b. Να βρείτε τα ημ, συ, εφ. c. Να βρείτε τη τιμή της Α = 4(συ) 2 3 3εφ +6ημ Δίεται κύκλος κέτρου Ο, διαμέτρου δ = 20cm και η χορδή του ΑΒ =10cm. a. Να δείξετε ότι η ακτία ρ = 10cm και η επίκετρη γωία ΑΟΒ = 60. b. Να υπολογίσετε τη περίμετρο και το εμβαδό του κύκλου. c. Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τομέα Ο. ΑΒ ( π = 3,14)

91 203 Θέμα 1 a. Α οι α, β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του 0 και οι μ, ακέραιοι α συμπληρώσετε τις ισότητες: ( ) μ α =..., α 0 =... α =..., α α μ =..., ( α β) =... α β =... a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη; b. Ποία σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη και το τόξο στο οποίο βαίει; c. Πόσω μοιρώ είαι γ κετρική γωία εός καοικού δεκαπεταγώου; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = : ( 27) 2 :( 3) 6 [( 4) 2 :( 2) ( 2) 5 :4] Να λύσετε τις αισώσεις και παραστήσετε τις κοιές τους λύσεις στο άξοα τω πραγματικώ αριθμώ: a. 2(2χ 1) 2χ 5 5(χ +3) b. 2χ 5 4χ Β Α είαι ΑΔΒ = 30 και ΔΒ = 60 α αποδείξετε ότι ΑΒ + Δ = Β + ΑΔ, Α 60 K 30 Δ

92 204 Θέμα 1 a. Πότε δύο πραγματικοί αριθμοί λέγοται ομόσημοι; b. Πότε δύο πραγματικοί αριθμοί λέγοται ετερόσημοι; c. Ποιο είαι το πρόσημο του γιομέου, i) δύο ομοσήμω ii) δυο ετεροσήμω αριθμώ a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα b. Να γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα για το διπλαό ορθογώιο τρίγωο Έχου κοιή λύση οι εξισώσεις; 3χ + 2 = 9 + χ ( 1 ) και χ 1 χ + 1 2χ = + ( 2 ) Δίεται το ορθογώιο παραλληλόγραμμο ΑΒΔ με Β = 6cm και Α = 10cm. Να υπολογίσετε a. το μήκος της πλευράς ΑΒ. b. Το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΔ a. Τι ποσά είαι το βάρος τω κερασιώ και η αξία τους και γιατί; b. Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα τιμώ: Πίακας τιμώ χ: Βάρος Κερασιώ σε Kg 1 2 ψ: Αξία Κερασιώ σε Ευρώ. 4 6 c. Ποια είαι η συάρτηση τω μεταβλητώ χ, ψ.

93 205 Θέμα 1 Πως ορίζεται η δύαμη α, φυσικός μεγαλύτερος του 1; Να συμπληρώσετε τις ιδιότητες: α.μ. α =..., α μ : α =..., α β μ =..., ( ) Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 )και στη συέχεια α διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και α γράψετε τη σχέση που το εκφράζει στο τρίγωο αυτό. α =... Να βρείτε, α υπάρχου τις κοιές λύσεις τω εξισώσεω. και 5(2χ +3) 12 = 5 2(10 3χ) ( 1 ) 2χ 3 3(3χ 5) 4χ 3 + = ( 2 ) Στο τρίγωο ΑΒ είαι: ΑΒ = 60m, Β = 100m και Α= 60. Α το ΒΔ είαι ύψος του τριγώου α υπολογίσετε τα μήκη τω τμημάτω ΒΔ, ΔΑ, Δ και τη γωία. Στο ορθογώιο παραλληλόγραμμο ΑΒΔ είαι ΑΒ = 5m και ΑΔ =2m. Α ο κύκλος που γράφουμε με κέτρο το σημείο Δ και ακτία ΑΔ τέμει τη Δ στο σημείο Ε, α υπολογίσετε τη περίμετρο και το εμβαδό του μικτόγραμμου τετραπλεύρου ΑΒΕ.

94 206 Θέμα 1 Πως ορίζεται η δύαμη με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη το φυσικός αριθμό > 1; Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α =..., α μ : α =..., α β μ =..., ( ) a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα b. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. α =... Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 = 2 (3 3χ) 3 (1 χ) Να βρείτε, τις κοιές λύσεις τω αισώσεω. 2 > 4 χ ( 1 ) και 4χ 1 > 2χ + 1 ( 2 ) Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ, ω του σχήματος. Δίοται: ΑΒ = 100 και Α = Α ψ O χ ω B 100

95 Θέμα 1 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 207 a. α.μ. α =..., α β =..., μ ( ) α =..., α =..., α 0 =... b. Σε ποιες περιπτώσεις μια δύαμη α είαι θετικός αριθμός; c. Σε ποιες περιπτώσεις μια δύαμη α είαι αρητικός αριθμός; a. Στο ορθογώιο τρίγωο ΕΗΖ( E = 90 ) α ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημζ, συζ, εφζ. b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες ημ30 =..., ημ60 =..., εφ45 =... c. Α η ω είαι οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α συμπληρώσετε τη σχέση,...< ημω <... Να αιτιολογήσετε τη απάτηση σας. Σ έα ορθοκαοικό σύστημα αξόω με αρχή το σημείο Ο(0, 0): a. α τοποθετήσετε τα σημεία, Α(1, 2), Β(3, 2) και (4, 0) b. Να υπολογίσετε το εμβαδό του τετραπλεύρου ΟΑΒ c. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς του Β. Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε: a. Τη περίμετρο της σκιασμέης επιφάειας; b. Το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας; Δίοται: ΑΒ = Δ = 2cm, Β = ΑΔ = 4cm, το σημείο Ο κέτρο του ημικυκλίου με διάμετρο τη ΑΔ και του κύκλου με διάμετρο EZ = 2cm. Να λύσετε τη αίσωση, 2χ 1 13χ + 7 χ και α παραστήσετε γραφικά τη λύση της.

96 208 Θέμα 1 a. Τι λέγεται ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; b. Πως μεταβάλλοται το ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη οξείας γωίας ότα αυτή αυξάεται; c. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του σχήμάτος η ισότητα ημβ = συ είαι σωστή ή λάθος; Να δικαιολογήσετε τη απάτηση σας. a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. b. Να κατασκευάσετε κατάλληλο σχήμα και γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. c. Τι λέγεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: Α = 15 2 ( 3) 3 :3 [ 6 2 ( 25:5)] ( 44)( 2) 5 0 a. Να λύσετε τη εξίσωση: 2(χ 1) 3(χ 2) 4 χ χ 4 = b. Τη λύση της εξίσωσης α θέσετε στη θέση του χ στη παράσταση Α = ( 1) χ ( 1) χ ( 1) χ+2005 και α υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της. Δίεται τετράγωο ΑΒΔ και τα Κ, Λ, Μ, Ν μέσα τω πλευρώ του ΑΒ, Β, Δ, ΑΔ, ατίστοιχα. Α η περίμετρος του τετραγώου είαι 80m α βρείτε το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας (καμπυλόγραμμο τετράπλευρο ΚΛΜΝ).

97 Θέμα 1 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 209 α.μ. α =..., α β =..., ( α β) =..., ( ) μ α =..., α μ α =..., α0 =... α =...,. a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; Ποια σχέση συδέει μια επίκετρη με τη ατίστοιχη της εγγεγραμμέη γωία; b. Σε κύκλο (Ο, ρ), α γράψετε τους τύπους που μας δίου: το μήκος του κύκλου το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. το μήκος τόξου μ το εμβαδό κυκλικού τομέα μ Να λύσετε τη εξίσωση: 2χ+1 χ 1 χ + = Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του σχήμάτος είαι Β = 5 και ΑΒ = 4. Να υπολογίσετε: a. Το μήκος της πλευράς Α. b. Τους τριγωομετρικούς αριθμούς, ημβ, ημ, συβ, εφ Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου, του κύκλου του σχήματος, α είαι ΑΒ = 6cm, και Α = 8cm.

98 Θέμα 1 a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 210 α.μ. α =..., α μ α =..., μ ( ) α =..., ( α β) =..., α β =..., b. Τι είαι εξίσωση; c. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. d. Να δώσετε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού α a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; Ποια σχέση συδέει τη επίκετρη με τη εγγεγραμμέη που έχει το ίδιο ατίστοιχο τόξο; b. Ποιο πολύγωο λέγεται καοικό c. Να γράψετε τους τύπους που δίου: i. Το μήκος κύκλου ακτίας ρ ii. Το εμβαδό κυκλικού δίσκου ακτίας ρ Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 + 7χ = 2 (5 + 3χ) ii) 5 χ = 9 3χ iii) χ χ = Στα παρακάτω ορθογώια τρίγωα α υπολογίσετε τη πλευρά χ. 3 4 χ Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ, ω στο διπλαό σχήμα:

99 211 Θέμα 1 a. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. Να κατασκευάσετε κατάλληλο σχήμα και γράψετε τη σχέση που εκφράζει το θεώρημα. αυτό. b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:: 1. Ατιμεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης... = Προσεταιριστική ιδιότητα του πολ/σμού ως προς τη πρόσθεση... = =..., =..., 2 : 2 =... a. Στο διπλαό σχήμα, α Ο είαι το κέτρο του κύκλου, τότε: i. χ =., ii. ψ =., iii. το τρίγωο ΑΒ είαι... χ A B 60 a. Να διατυπώστε το ορισμό της εφαπτομέης οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. b. Η γραφική παράσταση της ψ = αχ είαι... γραμμή που διέρχεται από τη... c. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις επόμεες προτάσεις i. Η γωία που έχει τη κορυφή της στο κέτρο του κύκλου λέγεται εγγεγραμμέη ii. Το συημίτοο μιας οξείας γωίας αυξάεται όσο αυξάεται η γωία. iii. 25=5 d. Να ατιστοιχίσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τις σχέσεις της δεύτερης: Στήλη Α 1. μήκος κύκλου 2. μήκος τόξου 3. εμβαδό κύκλου 4. εμβαδό κυκλικού τομέα Να υπολογίσετε τη τιμή τω παραστάσεω: Στήλη Β a. Ε = πρ 2 b. l = πρμ 180 c. =2πρ d. ε = Α = ( ):(2 2 +5:5) (2 3 4) 2 +(2 5) 2 και Β = a. Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ χ = πρ μ O ψ 2 4 ( 2004 ) ( 2004 ) ( ) ( ) b. Να βρείτε τη μικρότερη ακέραια λύση της αίσωσης: χ χ 3 Α στο κύκλο διαμέτρου Β του σχήματος είαι ΑΒ = 6cm και Α = 8cm α βρείτε: Α) Τη περίμετρο του τριγώου ΑΒ, B A 6cm O 8cm Β) το ημίτοο της γωίας και ) το μήκος του κύκλου.

100 Θέμα a. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Να γίει σχήμα και α εφαρμοσθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα. σ' αυτό. Να γραφεί ο τύπος του Πυθαγορείου Θεωρήματος για το σχήμα αυτό. b. Τι οομάζουμε τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; a. Τι οομάζουμε εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; ( Να δοθεί ορισμός και α γίει σχήμα). b. Ποια είαι η μεταβολή του ημιτόου και του συημιτόου μιας οξείας γωίας, ότα αυτή μεταβάλλεται; ( π.χ. ότα η γωία αυξάει). Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = 5 [ 3 7 ( 2 ) 3 ] + [7 ( 3 ) + 6 : ( 3 ) 2 3 ] Να λυθεί η εξίσωση: 5 χ +1 χ = Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού δακτυλίου που φαίεται στο σχήμα: Η ακτία του εξωτερικού κύκλου είαι R = 6,2cm και του εσωτερικού κύκλου ρ = 3,4cm. Οι κύκλοι είαι ομόκετροι.

101 Θέμα a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) b. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες τω δυάμεω: α.μ. α =..., α β =..., α =..., a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη και ποια επίκετρη; Να τις σχεδιάσετε και α τις οομάσετε σε έα τυχαίο κύκλο. Ποια είαι η σχέση μιας εγγεγραμμέης γωίας με τη ατίστοιχη της επίκετρη; b. Να δοθού οι ορισμοί του ημιτόου, συημιτόου και εφαπτομέης οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου. Να λυθεί η αίσωση: χ χ a. Δίεται τόξο 30 εός κύκλου με ακτία ρ =1m. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου καθώς και το εμβαδό του ατίστοιχου κυκλικού τομέα. b. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α= ( 5) ( 2) 1 2 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του σχήμάτος είαι ΑΒ = 5 και Α = 4. B a. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς Β. b. Να υπολογιστού οι γωίες Β και, 3 A 4 χ ότα δίεται ότι ημ53 = 0,8.

102 Θέμα a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δίοτας και έα παράδειγμα. b. Τι λέγεται ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; Να δώσετε παράδειγμα. a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; b. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α 0 =..., α μ α =..., 1 α =.., α =..., α.μ. α =..., α β =..., α β =..., ( ) μ α =... Στο διπλαό σχήμα, είαι, ΑΒ = 74, Β = 80, Δ = 100 και ΑΒ = 6cm και ΑΔ =8cm. 74 B 80 a. Να υπολογίσετε τις γωίες του τετραπλεύρου ΑΒΔ b. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο ΑΒΔ είαι ορθογώιο A O 100 c. Να βρείτε τη ακτία και το εμβαδό του κύκλου. Δ a. Να λύσετε τη εξίσωση: 3χ χ χ 4 = χ b. Να βρείτε, τις κοιές λύσεις τω αισώσεω. 3χ 5 > χ 7 και 2χ + 1 5χ 14 Στο τρίγωο του διπλαού σχήματος είαι: Β = 45, = 30 και ΒΔ = 4m. Να υπολογίσετε A a. Το μήκος του ύψους ΑΔ b. Τα μήκη τω Α και Δ c. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ B m Δ

103 215 Θέμα 1 a. Πως βγάζουμε μια παρέθεση;( απαλοιφή) b. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; a. Πυθαγόρειο θεώρημα b. Προτεραιότητα τω πράξεω Να υπολογίσετε τη τιμή τω παραστάσεω. Α = (α γ) ( β γ) (α β) B = 5 (1 α) + ( β γ) ( α + β γ) Να λύσετε τη εξίσωση: 1 χ + 2 = 4 χ Να υπολογίσετε τα ημίτοα και συημίτοα τω οξειώ γωιώ στα ορθο- 6cm 13cm γώια τρίγωα που δίοται στα σχήματα. Α 8cm Β Α 12cm Β

104 216 Να συμπληρώσετε τα κεά: α 0 =... α =... α μ α λ =... α κ : α λ =... λ α λ =... α μ β μ =... (α κ ) λ =... β a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) 4 5χ 3 χ 1 2χ + 6 = 12 2 Η περίμετρος εός ισοσκελούς τριγώου είαι 50 m και η μία από τις ίσες πλευρές του είαι 17 m. Να υπολογίσετε τη βάση του, το ύψος που ατιστοιχεί στη βάση και το εμβαδό του τριγώου. (σχήμα) Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε: 10 cm a. Τη περίμετρό του. 7 cm b. Το εμβαδό του.

105 217 a. Πότε δυο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι; b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 0 α =..., 1 α =..., α (β + γ) =..., α β α γ =... a. Τι οομάζεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; b. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Να λύσετε τη εξίσωση: 2χ + 3 χ 5 3 = 1 a. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = 4 (3 3 19) 8 (9 5) b. Να βρείτε το γιόμεο Η διάμετρος εός κύκλου είαι 10 cm. Να βρείτε τη περίμετρο και το εμβαδό του κύκλου και του κυκλικού δίσκου.

106 218 a. Σε έα κύκλο ποια η σχέση επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο τόξο; b. Α α, β ρητοί και, μ φυσικοί αριθμοί, ατιστοιχίστε σωστά τα παρακάτω: α μ α (α β) α μ : α α μ + α β α μ (α μ ) α μ c. Συμπληρώστε τις προτάσεις: Α και τα δύο μέλη μιας αισότητας τα πολλαπλασιάσουμε ή τα διαιρέσουμε με το ίδιο θετικό αριθμό, βρίσκουμε αισότητα με φορά. Α και τα δύο μέλη μιας αισότητας τα πολλαπλασιάσουμε ή τα διαιρέσουμε με το ίδιο αρητικό αριθμό, βρίσκουμε αισότητα με φορά a. ράψτε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας θετικού αριθμού α. b. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είαι σωστές και ποιες είαι λάθος; προσκείμεη κάθετη i. συω = υποτείουσα υποτείουσα ii. ημω = απέατι κάθετη iii. απέατι κάθετη εφω = προσκείμεη κάθετη c. Να γράψετε με πόσο ισούται το μήκος κύκλου ακτίας ρ, το μήκος τόξου μ κύκλου ακτίας ρ, το εμβαδό κυκλικού δίσκου ακτίας ρ, το εμβαδό κυκλικού τομέα γωίας μ κύκλου ακτίας ρ. Να λύσετε τη εξίσωση: 2χ 1 3χ 3 χ 2 + = Α Α = ( 3) + ( 2) 3, Β = ( 3) και = 3 (5 7), α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 2 ΑΒ + Στο διπλαό σχήμα έχουμε ΒÂ = 90º, ΒΔ = 90º, ΒΔ = 30º, Α = 3, AB = 4 και δίεται ότι συ30 = 0,86. Να υπολογίσετε τη πλευρά Β και τις ΒΔ, Δ.. 30 ο Δ 3 A 4 B

107 219 a. Να συμπληρωθού τα κεά: α 0 =... α 1 =... α =... (α β) =... (α μ ) =... α μ : α =... b. Πότε δυο αριθμοί είαι ατίστροφοι; c. Να βρεθού οι ατίστροφοι τω παρακάτω αριθμώ: 1 1, 2, 2 3, a. Τι είαι εγγεγραμμέη και τι επίκετρη γωία σε κύκλο (Ο, ρ). Με τι ισούται το μέτρο της κάθε μιας σε σχέση με το μέτρο του ατίστοιχου τόξου; b. Να χαρακτηριστού οι γωίες ΑÔΒ και ΑΒ του διπλαού σχήματος και α βρεθεί το μέτρο τους O A 60 B Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = ( 3) [( 2) 5 : 16 + ( 1) 5 ( 5)] [ 2 + ( 3) 2 ] : ( 7) Να λυθεί η εξίσωση: 3 (2 + χ) χ +1 2 = 3χ χ 4 c. Να υπολογιστεί η πλευρά ΑΒ. d. Να βρεθού τα ημ, συ, εφ.

108 220 ΑΡΡΧΙΙΜΗΔΗΣ Ο Αρχιμήδης, ο μεγαλύτερος ίσως μαθηματικός όλω τω εποχώ, γεήθηκε το 287 π.χ. στις Συρακούσες της Σικελίας και σπούδασε στη Αλεξάδρεια με τους διαδόχους του Ευκλείδη. A και έγιε γωστός για τις μηχαικές του κατασκευές παρά για τα μαθηματικά του επιτεύγματα δε προσέδιδε σ αυτές καμία ιδιαίτερη σημασία. Σύμφωα με το Πλούταρχο, «παρ ότι οι μηχαικές επιοήσεις του προσέδωσα στο Αρχιμήδη όομα και φήμη ατάξια όχι αθρώπιης αλλά θείας οημοσύης, αυτός δε θέλησε α αφήσει κάποιο γραπτό έργο σχετικό με τα θέματα αυτά, επειδή θεωρούσε ότι ήτα απλώς γεωμετρικά παιχίδια» Η άποψη του Αρχιμήδη ως προς τη σχετική σπουδαιότητα τω πολλώ αακαλύψεω του φαίεται καθαρά από τη απαίτηση του α τοποθετήσου πάω στο τάφο του μια ααπαράσταση εός κυλίδρου περιγεγραμμέου σε μια σφαίρα, με μια επιγραφή που έδιδε το λόγο τω όγκω του κυλίδρου προς τη σφαίρα. Από το γεγοός αυτό μπορούμε α συάγουμε ότι θεωρούσε ως το μεγαλύτερο επίτευγμα του τη αακάλυψη του λόγου αυτού. Η αγάπη του Αρχιμήδη για τη εωμετρία παρουσιάζεται στο σύολο της μέσα από έα πλήθος ιστοριώ. ωρίζουμε ότι ξεχούσε τα πάτα σχετικά με το φαγητό του και με άλλες τέτοιες καθημεριές αάγκες της ζωής και ότι σχεδίαζε γεωμετρικά σχήματα στις στάχτες ή, ότα αλειφότα με λάδι, πάω στο σώμα του. Είαι σχεδό βέβαιο ότι και αυτός ακόμη ο θάατος του οφείλεται στη αγάπη που είχε στη εωμετρία. Ο Αρχιμήδης σκοτώθηκε κατά τη διάρκεια της λεηλασίας τω Συρακουσώ από έα Ρωμαίο στρατιώτη. Η ιστορία παρουσιάζει το Αρχιμήδη α λέει στο στρατιώτη, ο οποίος το βρήκε α στοχάζεται πάω από κάποια σχήματα που είχε σχεδιάσει στο χώμα και το πλησίασε πολύ, «Μη μου τους κύκλους τάραττε ( Μη μου χαλάς το σχήμα)». Ο στρατιώτης εξαγριώθηκε με τα λόγια του και το σκότωσε. Μερικά από τα έργα του που έχου διασωθεί είαι τα εξής: Περί σφαίρας και κυλίδρου, δύο βιβλία. Κύκλου μέτρησις Περί κωοειδέω και σφαιροειδέω Τετραγωισμός παραβολής Η Μέθοδος ια το έργο του στη εωμετρία όπως ο Πλούταρχος ααφέρει «Δε ήτα δυατό α βρεθού στη εωμετρία δυσκολότερα και πιο βασαιστικά ερωτήματα διατυπωμέα σε μορφή απλούστερω και σαφέστερω προτάσεω» Οι πρωτότυπες μελέτες του σχετικά με το τετραγωισμό καμπυλόγραμμω επιπέδω σχημάτω, καθώς και με το τετραγωισμό και το κυβισμό καμπύλω επιφαειώ ουσιαστικά ( για α χρησιμοποιήσουμε τα λόγια του Chasles) «γέησα το Απειροστικό Λογισμό», το σηματικότερο ίσως τομέα της Μαθηματικής ε- πιστήμης.

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γήσιο ατίτυο φέρει τη υογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα εικοιωείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thanasisenos@ahoo.gr ISBN 978-960-456-09-9 Copright: Ξέος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 008, Θεσσαλοίκη

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα