ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων. Μια ακολουθία συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα α και η τιμή της στο ν συμβολίζεται με και διαβάζεται α με δείκτη ν. Οι τιμές της,, κ.τ.λ. λέγονται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της ακολουθίας Ο όρος λέγεται νιοστός όρος ή γενικός όρος της ακολουθίας. Μια ακολουθία είναι πλήρως ορισμένη όταν μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρο της. Αυτό συμβαίνει όταν γνωρίζουμε: α. Τον νιοστό όρο της ακολουθίας Για παράδειγμα αν ο νιοστός όρος είναι, τότε,, 5,... β. Έναν αναδρομικό τύπο της ακολουθίας Για παράδειγμα, έστω ότι, και Τότε θα έχουμε: Μειονέκτημα του αναδρομικού τύπου είναι ότι για να βρούμε π.χ. τον 00 πρέπει να γνωρίζουμε τους 99 προηγούμενους όρους. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Α.Π) Αριθμητική πρόοδος (Α.Π) ονομάζουμε μια ακολουθία αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου.

3 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, αν και μόνο αν ισχύει: ή Ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά ω είναι: ( ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: 4.. Προσθέτοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε ( ) Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει. Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α, γ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, τότε ισχύει: και, επομένως Αντίστροφα, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει, τότε έχουμε:, που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α, γ. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου με διαφορά ω το συμβολίζουμε με: S... και δίνεται από τους τύπους: S ή S ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Αν,,,..., είναι όροι μιας Α.Π με διαφορά ω τότε οι όροι,,...,, είναι Α.Π με διαφορά - ω Ακόμη, 5 και γενικά:, ν > κ. Μια Α.Π καθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τον πρώτο της όρο και την διαφορά της ω. 4. Οι δύο τύποι: ( ) πέντε αγνώστους τους: S ) περιέχουν και (,,,, S. Αν λοιπόν μας δοθούν οι τιμές των τριών εξ αυτών τότε οι δυο παραπάνω τύποι αποτελούν σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους. Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε τους δυο άλλους αγνώστους. 5. Πολύ συχνά στην πορεία λύσης μιας άσκησης στις προόδους χρειάζεται να υπολογίσουμε το πλήθος κάποιων όρων της. Πρέπει να γνωρίζουμε τα παρακάτω: Έστω,,...,,...,,..., οι όροι μιας προόδου όπου κ, λ φυσικοί με κ < λ. Τότε το πλήθος των όρων: Μεταξύ των,..., (χωρίς τους άκρους όρους) είναι λ κ Μεταξύ των,..., και ένας από τους άκρους όρους είναι λ κ Μεταξύ των,..., μαζί με τους άκρους όρους είναι λ κ +.

5 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Τεχνικές στην λύση ασκήσεων στις προόδους. Σε ορισμένες ασκήσεις δίνεται το άθροισμα και το γινόμενο τριών ή τεσσάρων ή πέντε, κ.λ.π. διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου και ζητείται να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Η λύση τέτοιου είδους ασκήσεων απαιτείται να ορισθούν οι διαδοχικοί όροι με έναν συγκεκριμένο τρόπο. α. Όταν δίνεται περιττό πλήθος διαδοχικών όρων (,5, ) υπάρχει πάντα ένας μεσαίος όρος και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,.,,... όπου ω είναι η διαφορά της Α.Π. β. Όταν μας δίνεται άρτιο πλήθος διαδοχικών όρων (4,6, ) υπάρχουν δυο μεσαίοι και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,,,... όπου (α + ω) (α ω) = ω είναι η διαφορά της προόδου.. Όταν δίνεται ο γενικός όρος μιας ακολουθίας και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι αριθμητική πρόοδος, πρέπει να δείξουμε ότι η διαφορά: είναι σταθερή. Για παράδειγμα, αν ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι 4, η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, διότι: 4( ) ( 4) Άρα (α ν ) είναι Α.Π. με διαφορά ω = -4 και πρώτο όρο Όταν δίνεται το άθροισμα S ν των πρώτων ν όρων (ν є Ν*) μιας ακολουθίας ( ) και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος εργαζόμαστε ως εξής: Είναι S... () και S... () Αφαιρούμε την () από την () και έχουμε: S S άρα έχουμε τον ν- οστό όρο της ακολουθίας ( ) Κατόπιν, εργαζόμαστε όπως στην περίπτωση () για να δείξουμε ότι είναι αριθμητική πρόοδος.

6 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Για παράδειγμα, αν για κάθε ν є Ν* το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας ( ) δίνεται από τον τύπο S, τότε: 4 5 S S ( ) ( ) Δηλαδή είναι ο ν οστός όρος της ακολουθίας και ( ), σταθερή. Άρα είναι αριθμητική πρόοδος. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν ο 4 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι - και ο ος είναι -58 να βρεθεί το άθροισμα των 50 πρώτων όρων της. Για να προσδιορίσουμε την Α.Π. πρέπει να βρούμε τους αριθμούς και ω. Επειδή έχουμε δύο αγνώστους θα πρέπει να έχουμε δυο εξισώσεις. Αυτές θα προκύψουν με εφαρμογή του τύπου: Είναι: 4 ( ) S ( ) θα βρούμε το άθροισμα των 50 όρων Από τον τύπο της Α.Π. 50 Είναι: S 8 (50 ) ( ) 5(6 47) 5( ) Σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο και διαφορά ω ισχύει: και Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του 0 ου και 7 ου όρου. Με χρήση του τύπου ( ) και των σχέσεων που δίνονται θα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7 βρούμε τους και ω. Έχουμε: Έστω S... 6 το ζητούμενο άθροισμα. Είναι S S0 S S S6 S0 6 0 S ( 7) 5 ( 7) 9 S ( 4 50) 5( 4 8) S Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του αθροίσματος βασίζεται στο ότι οποιοδήποτε πλήθος διαδοχικών όρων Α.Π είναι επίσης Α.Π με την ίδια διαφορά άλλο όμως πρώτο όρο. Εδώ έχουμε Α.Π. με διαφορά, πρώτο όρο α = = και πλήθος όρων 6 + = 6, οπότε: 6 S Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι οι αριθμοί x, y, είναι επίσης διαδοχικοί όροι Α.Π. Επειδή οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. ισχύει: β = α + γ () Για να είναι οι x, y, ω διαδοχικοί όροι Α.Π. αρκεί: y = x + ω Είναι: y x () 4 που ισχύει. ()

8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8 4. Να υπολογίσετε το άθροισμα: Ελέγχουμε αν οι όροι του αθροίσματος είναι όροι αριθμητικής προόδου. Έχουμε: (-0) (-7 ) = = - (-) (-0) = = - Επομένως είναι Α.Π με πρώτο όρο -7 και διαφορά -. Κατόπιν πρέπει να βρούμε το πλήθος των προσθετέων μέχρι και τον αριθμό -09. Δηλαδή το ν ώστε ( ) 09 Είναι: ( ) 09 ( ) 09 7 ( )( ) Άρα S ( 7) 4 ( ) ( 4 0) ( 6) 5 ( 58) Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου,,5. Που απαιτούνται, ώστε το άθροισμά τους να ξεπερνά τον αριθμό Η πρόοδος έχει και ω = (ακολουθία περιττών αριθμών) ) , Έχουμε: S ( ) 4000 ( ) ( Επειδή ο ν είναι θετικός ακέραιος θα είναι ν = Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς που να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν το άθροισμά τους είναι και το γινόμενό τους είναι 680.

9 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9 Σε ασκήσεις όπου ζητείται να βρούμε διαδοχικούς όρους Α.Π η χρήση ειδικού τρόπου συμβολισμού των όρων διευκολύνει πολύ. Στην περίπτωση (όπως εδώ) που έχουμε άρτιο πλήθος όρων τους γράφουμε ως εξής:,,, η διαφορά της προόδου είναι ω με ω ακέραιο. Έχουμε: 4 8 Ακόμη: ( )( )( )( ) 680 (8 )(8 )(8 )(8 ) 680 (64 9 )(64 ) Η παραπάνω εξίσωση είναι διτετράγωνη και για να την επιλύσουμε θέτουμε ω = κ >0 με κ θετικό ακέραιο. Έχουμε 9k 640k 46 0 από όπου παίρνουμε κ = 67, που απορρίπτεται και κ = 4. Άρα 4 ή Για ω = έχουμε την πρόοδο,6,0,4 Για ω = - έχουμε την πρόοδο 4,0,6,. 7. Μεταξύ των αριθμών και 80 να βρεθούν άλλο 0 φυσικοί που όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. (Το πρόβλημα της παρεμβολής) Θεωρούμε ότι ο μικρότερος από τους δοθέντες αριθμούς είναι ο πρώτος όρος της Α.Π. Για να βρούμε τους αριθμούς που μας ζητάνε αρκεί να βρούμε την διαφορά ω. Αν συμβολίσουμε με x, x,..., x 0 τους αριθμούς που μας ζητάνε έχουμε την Α.Π., x, x,..., x0, 80 με, ω η διαφορά και ο αριθμός 80 είναι ο ος όρος της προόδου. Άρα Έτσι: x 7 0, x 0 7 7,..., x

10 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 8. Ένας αγρότης για να κάνει μια γεώτρηση στο κτήμα του, συμφώνησε τα εξής με τον ιδιοκτήτη του γεωτρύπανο: Το ο μέτρο θα κοστίσει 6 ευρώ και αυξανομένου του βάθους, θα αυξάνεται και η τιμή κάθε μέτρου κατά,5 ευρώ. Ο αγρότης διαθέτει 40 ευρώ. Σε πόσο βάθος μπορεί να φθάσει η γεώτρηση στο κτήμα του. Βάσει της συμφωνίας: το ο μέτρο κοστίζει 6 το ο μέτρο κοστίζει 7,5 το ο μέτρο κοστίζει 9 Άρα το κόστος κάθε μέτρου είναι όροι Α.Π με 6 και ω =,5. Το συνολικό κόστος της γεώτρησης θα είναι το άθροισμα S Αφού ο αγρότης διαθέτει 40 ζητάμε το μεγαλύτερο φυσικό ν ώστε S ,5,5 40,5 0,5 80 Έχουμε: S ( ) 40 6 ( ), και επειδή ν φυσικός Άρα το μεγαλύτερο βάθος που μπορεί να φτάσει η γεώτρηση, με τα χρήματα που διαθέτει είναι 40m.

11 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο ος και ο 8 ος όρος διαφέρουν κατά 4, ενώ το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είναι 70. α. Να βρείτε την πρόοδο αν είναι γνωστό ότι η διαφορά της προόδου είναι θετική. β. Ποιο είναι το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του 8 ου και του 5 ου όρου της. (Απ. α. α =7, ω = 4 β. S =04). Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 9 5 και S 65 α. Να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου και β. Το άθροισμα των 8 πρώτων όρων. (Απ. α. α 5 = β. S 8 =497). Αν σε Α.Π. ισχύει και 6 να βρείτε το πλήθος των πρώτων όρων της που το άθροισμά τους δεν υπερβαίνει το 0. (Απ. ν = 0) 4. Μεταξύ των αριθμών 4 και 4 να παρεμβάλλετε άλλους αριθμούς, ώστε να δημιουργηθεί μια αριθμητική πρόοδος με όρους. 5. Να λύσετε την εξίσωση: ( x ) ( x 5) ( x 8)... ( x 9) 65 (Απ. x = ) 6. Ο ν- οστός όρος μιας ακολουθίας είναι 4 α. Να βρείτε τον επόμενο όρο της. β. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι Α.Π. γ. Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. δ. Να βρείτε την τάξη του όρου που είναι ίσος με 98. (Απ. β. ω = 4 γ. S 0 =00 δ. ν = 5) 7. Να δείξετε ότι για κάθε x є ο x είναι αριθμητικός μέσος των x και x. 8. Αν για κάθε ν є Ν*, το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας ( ) είναι: S ( 4 ), να δείξετε ότι η ( ) είναι Α.Π. και να βρείτε τους και ω. 9. Να βρεθούν τρεις αριθμοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι και το γινόμενο τους 87. (Απ. 9,,)

12 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Το άθροισμα των 9 πρώτων όρων Α.Π είναι μεγαλύτερο από 40 και μικρότερο από 60. Αν είναι 8, να βρεθεί η πρόοδος όταν όλοι οι όροι της είναι φυσικοί αριθμοί. (Απ. α. α = 5, ω = ). Σε μια οικοδομή ορόφων με κατάστημα στο ισόγειο οι τιμές καθορίστηκαν ως εξής: Το ισόγειο κατάστημα 500 /m, ο πρώτος όροφος 000 /m και για κάθε επόμενο όροφο επί πλέον 50 /m. α. Πόσο πωλείται ένα διαμέρισμα του 0 ου ορόφου; (ανά m ) β. Πόσο πωλείται ένα διαμέρισμα 00m στο 7 ο όροφο; γ. Αν κάθε όροφος (και το ισόγειο) είναι 80m πόσα χρήματα θα εισπράξει ο κατασκευαστής εργολάβος από την πώληση ολόκληρης της οικοδομής; (Απ. α. 450 /m β /m γ. 4,984,000 /m )

13 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Γ.Π) Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π) ονομάζουμε μια ακολουθία αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον ονομάζουμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο υποθέτουμε πάντα ότι 0 οπότε αφού είναι και λ 0 ισχύει ( ) 0, για κάθε ν є Ν*. Επομένως μια ακολουθία ( ) είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει: ή Ο νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ είναι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε: 4.. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε

14 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει. Ο θετικός αριθμός β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α, γ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου λόγο λ, τότε ισχύει: με και, επομένως Αντίστροφα, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει, τότε έχουμε:, που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός λέγεται γεωμετρικός μέσος των α, γ. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου ( ) με λόγο λ είναι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ S Είναι:... S () Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της () με λ έχουμε:... S () Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: S S S Επομένως αφού λ θα είναι S

15 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Σχόλιο: Στην περίπτωση που λ = τότε το άθροισμα των όρων της είναι S, αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Αν,,,..., είναι όροι μιας Γ.Π με λόγο λ τότε οι όροι,,...,, είναι Γ.Π με λόγο Ακόμη, και γενικά:, ν > κ.. Μια G.Π καθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τον πρώτο της όρο και τον λόγο λ.. 4. Οι δύο τύποι: και S περιέχουν πέντε αγνώστους τους:,,,, S. Αν λοιπόν μας δοθούν οι τιμές των τριών εξ αυτών τότε οι δυο παραπάνω τύποι αποτελούν σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους. Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε τους δυο άλλους αγνώστους. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Τεχνικές στην λύση ασκήσεων στις προόδους. Σε ορισμένες ασκήσεις δίνεται το άθροισμα και το γινόμενο τριών ή τεσσάρων ή πέντε, κ.λ.π. διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου και ζητείται να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Η λύση τέτοιου είδους ασκήσεων απαιτείται να ορισθούν οι διαδοχικοί όροι με έναν συγκεκριμένο τρόπο. α. Όταν δίνεται περιττό πλήθος διαδοχικών όρων (,5, ) υπάρχει πάντα ένας μεσαίος όρος και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,,,,... όπου λ είναι ο λόγος της Γ.Π.

16 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 β. Όταν μας δίνεται άρτιο πλήθος διαδοχικών όρων (4,6, ) υπάρχουν δυο μεσαίοι και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,,,... όπου είναι ο λόγος της προόδου.. Όταν δίνεται ο γενικός όρος μιας ακολουθίας και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι γεωμετρική πρόοδος, πρέπει να δείξουμε ότι ο λόγος είναι σταθερός. Για παράδειγμα, αν ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι, η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, διότι: Άρα (α ν ) είναι Γ.Π. με λόγο και πρώτο όρο 9.. Όταν δίνεται το άθροισμα S ν των πρώτων ν όρων (ν є Ν*) μιας ακολουθίας ( ) και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος εργαζόμαστε ως εξής: Είναι S... () και S... () Αφαιρούμε από την () την () και έχουμε: S S άρα έχουμε τον ν- οστό όρο της ακολουθίας ( ) Κατόπιν, εργαζόμαστε όπως στην περίπτωση () για να δείξουμε ότι είναι γεωμετρική πρόοδος. Για παράδειγμα, αν για κάθε ν є Ν* το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας ( ) δίνεται από τον τύπο S, να δείξετε ότι είναι γεωμετρική πρόοδος. Είναι: S S

17 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7 Δηλαδή ( ) είναι ο ν οστός όρος της ακολουθίας και 0 Άρα είναι γεωμετρική πρόοδος με λ = και. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί ο νιοστός όρος της Γ.Π.,,, Αφού μας δίνεται ότι είναι γεωμετρική πρόοδος βρίσκουμε τον και λ. Είναι: 4 και 8 4 άρα από τον τύπο έχουμε: Να βρεθεί ο 8 της γεωμετρικής προόδου,,,... 4 Έχουμε Γ.Π. με και Εφαρμόζοντας τον τύπο για ν = 8 έχουμε: Να βρεθεί ο λόγος και ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο ος 8 όρος είναι και ο 5 ος 64 είναι. 8

18 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Για να προσδιορίσπυμε τους αριθμούς και λ πρέπει να έχουμε δυο εξισώσεις ώστε να λύσουμε σύστημα. Αυτές θα προκύψουν από την εφαρμογή του τύπου Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: Οπότε 4. Με διαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: 4. Έστω η γεωμετρική πρόοδος,6,,. Να βρεθεί το πλήθος των όρων της μέχρι και τον όρο που ισούται με 768. Έχουμε Γ.Π. με και 6 Ζητάμε να βρούμε το πλήθος όρων δηλαδή το ν έτσι ώστε Άρα το πλήθος των όρων είναι Να βρεθεί ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου 8,64,, που είναι μικρότερος του 0,5. Είναι 8 και 64 8 Ζητάμε το μικρότερο ν έτσι ώστε 0, 5

19 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ , 5 0, Άρα είναι ο ος όρος. 6. Να βρεθεί ο x ώστε οι αριθμοί x 4, x, x 9 να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Για να είναι οι αριθμοί x 4, x, x 9 διαδοχικοί όροι Γ.Π. αρκεί: x x 4x 9 x x x 9x 4x 76 x x 76 5x 75 x. 7. Να υπολογισθεί το άθροισμα: + (-) Ελέγχουμε αν οι όροι του αθροίσματος είναι Γ.Π. 4 Έχουμε,. Επομένως είναι Γ.Π. με και λ = -. Κατόπιν πρέπει να βρούμε το πλήθος των προσθετέων μέχρι και τον αριθμό 56, δηλαδή το ν ώστε ( ) 5 5 Ζητάμε λοιπόν το S Αν το άθροισμα τριών διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι - και το γινόμενο τους είναι - 7 να βρεθούν οι όροι αυτοί.

20 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Αν λ είναι ο λόγος της προόδου και α ο μεσαίος όρος τότε οι όροι μπορούν να γραφούν:,,. Έχουμε ότι: Για οι όροι γράφονται:,, Έχουμε τώρα: και Δ = 00 6 = 64. Άρα , Για έχουμε τους όρους -9, -, -. Για έχουμε τους όρους -, -, Μια κοινωνία βακτηρίων διπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. Αν αρχικά υπάρχουν βακτήρια, πόσα βακτήρια θα υπάρχουν ύστερα από ώρες; Αρχικά έχουμε βακτήρια Στο τέλος της ης ώρας 6 βακτήρια Στο τέλος της ης ώρας 6 βακτήρια Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των βακτηρίων στο τέλος κάθε ώρας είναι όροι Γ.Π. με και λ =. Επίσης ο αριθμός που δείχνει την τάξη του όρου είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από την αντίστοιχη ώρα. Έτσι ο αριθμός των βακτηρίων στο τέλος της ης ώρας τον δείχνει ο όρος της Γ.Π και είναι: βακτήρια.

21 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε γεωμετρική πρόοδο έχουμε 5 48 και Να βρεθεί η τάξη του όρου που είναι ίσος με 07. ( Απ. ν = ). Ποιόν αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμούς, 6, 58 για να γίνουν τρείς διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. ( Απ. x = 5 ). Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος που έχει σαν πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x x 5x 50 0 και σαν λόγο την μεγαλύτερη ρίζα. Κατόπιν να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων όρων της, αν ως ν πάρουμε το τριπλάσιο της τρίτης ρίζας της παραπάνω εξίσωσης. ( Απ. -5,-5,-5,,S = -950 ) x 4. Να βρεθεί ο x є ώστε οι αριθμοί, x, x να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, με την σειρά που δίνονται. 5. Να υπολογίσετε το άθροισμα: 6. Δίνεται η ακολουθία με ( Απ. 5 x, x k ) 6 6 ( Απ. 984 S ) 79 S. γ. Να βρεθεί ο είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρεθεί ο λ α. Να βρεθεί το S β. Να βρεθεί ο δ. Να δειχτεί ότι η και ο. ε. Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε για να έχουμε άθροισμα 484; ( Απ α. S β. 4 γ. 4 δ. 4, ε. ν = 5) 7. Το άθροισμα τριών διαδοχικών όρων Γ.Π. είναι και το γινόμενό τους 6. Να βρεθούν οι όροι αυτοί. ( Απ. α.,6 β.,6, ) 8. Αν οι αριθμοί ημβ, ημα, συνα, συνβ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. να δειχθεί ότι: ημ(α + β) =. 9. Να βρεθεί το άθροισμα των 9 πρώτων όρων Γ.Π. στην οποία είναι: 56 και ( Απ. S = 9 -)

22 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Ένας παππούς αποταμιεύει τον ο χρόνο γέννησης του εγγονού του, τον ο, 9 τον ο, 7 τον 4 ο κ.ο.κ. Αν συνεχίσει με τον ίδιο ρυθμό να βρεθούν: α. Πόσα θα αποταμιεύσει τον 8 ο χρόνο. β. Πόσα συνολικά ια έχει αποταμιεύσει μέχρι και τον 8 ο χρόνο; ( Απ. α. 87 β. 80 ). Να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο μιας Γ.Π. αν είναι γνωστό ότι: το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι 40, ενώ το άθροισμα των 8 πρώτων όρων της είναι 80. ( Απ. λ =, α =, λ = -, α = - ). Αν ένα άτομο που γνωρίζει ένα μυστικό το πει σε φίλους του την πρώτη μέρα οι οποίοι στην συνέχεια το πουν σε φίλους τους ο καθένας την επόμενη μέρα κ.ο.κ., πόσοι θα μάθουν το μυστικό μετα από 0 ημέρες; ( Απ. 04 άτομα )

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,..

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 72 Θέματα για Λύση 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι: α 8 = 22 και α 14 = 40. Να προσδιορισθεί ο εικοστός όρος της προόδου. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο ευρώ με ανατοκισμό

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο ευρώ με ανατοκισμό 5. Ακολουθίες ΠΡΟΟΔΟΙ Κεφάλαιο 5ο Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 0000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο %. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii) Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών

Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α..8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α..9. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr.

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr. Πρόοδοι Κώστας Γλυκός Αριθμητική & Γεωμετρική 9 Ασκήσεις σε 5 σελίδες Ιδιαίτερα μαθήματα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 6 / / 0 7 εκδόσεις Καλόπήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Εξισώσεις και Προβλήματα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Εξίσωση με έναν άγνωστο λέγεται... 2. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέγεται...... 3. Επίλυση εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη. ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο

Διαβάστε περισσότερα