ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
|
|
- Τέρις Φραγκούδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β Part tme Χαράλαμπος Ευαγγελάρας
2 Έλεγχοι υποθέσεων
3 Εισαγωγή Έστω ότι ασχολούμαστε με ένα χαρακτηριστικό, το οποίο (υποθέτουμε ότι) ακολουθεί μια κατανομή F με (άγνωστη σε μας) παράμετρο θ. Εκτός από την εκτίμηση της παραμέτρου θ, η οποία γίνεται σύμφωνα με μεθόδους που αναλύσαμε στα προηγούμενα μαθήματα, αρκετές φορές μας ενδιαφέρει να «αποφασίσουμε» αν η παράμετρος αυτή λαμβάνει κάποια συγκεκριμένη τιμή στον πληθυσμό που ελέγχουμε. Για παράδειγμα, ο υπεύθυνος του εργοστασίου που παράγει ράβδους για περίφραξη ενδιαφέρεται να «αποφασίσει» αν το μέσο μήκος των παραγόμενων ράβδων είναι όντως ίσο με 00 εκατοστά (όπως υποτάσσουν οι προδιαγραφές) ή όχι.
4 Εισαγωγή Σε κάθε περίπτωση, δημιουργούνται δύο αντικρουόμενες «απόψεις» και θα πρέπει κάποιος να «αποφασίσει» υπέρ της μίας εκ των δύο, με βάση κατάλληλη στατιστική συμπερασματολογία. Στο παράδειγμα με τους ράβδους περίφραξης, οι δύο «απόψεις» που δημιουργούνται είναι η μέση τιμή του μήκους των ράβδων είναι 00 εκατοστά η μέση τιμή..., δεν είναι 00 εκατοστά. Υπάρχουν δηλαδή δύο «υποθέσεις» και θα πρέπει να αποφασίσουμε υπέρ κάποιας από αυτές. Ο τομέας της στατιστικής συμπερασματολογίας που ασχολείται με τέτοια προβλήματα λέγεται «Έλεγχος υποθέσεων»
5 Έλεγχος υποθέσεων (ορολογία) Η μία εκ των δύο αντικρουόμενων απόψεων καλείται "μηδενική υπόθεση" και συμβολίζεται με και η δεύτερη καλείται "εναλλακτική υπόθεση" και συμβολίζεται με H. H 0 Στη μηδενική υπόθεση συνήθως θεωρούμε ότι η παράμετρος που μας ενδιαφέρει λαμβάνει μια συγκεκριμένη τιμή και αυτό το συμβολίζουμε ως H 0 : 0, ενώ η εναλλακτική υπόθεση δηλώνει μια συνθήκη για την παράμετρο που μας ενδιαφέρει που "κοντράρει" τη μηδενική υπόθεση. Συνήθως εμφανίζεται σε μία από τις τρεις ακόλουθες μορφές: H : 0 ή H : 0 ή H : 0. Η πρώτη, H : 0 λέγεται και αμφίπλευρη ή δίπλευρη εναλλακτική υπόθεση, ενώ οι δύο άλλες καλούνται μονόπλευρες εναλλακτικές υποθέσεις. Ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης έναντι της εναλλακτικής γίνεται με τον υπολογισμό της τιμής μιας στατιστικής συνάρτησης, χρησιμοποιώντας τις παρατηρούμενες τιμές ενός τυχαίου δείγματος από τον πληθυσμό που μας ενδιαφέρει. Η στατιστική συνάρτηση που θα χρησιμοποιηθεί, θα πρέπει να έχει γνωστή και πλήρως ορισμένη σε εμάς κατανομή όταν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής, δηλαδή όταν η παράμετρος θ είναι όντως ίση με την τιμή θ 0 που υποθέτουμε. Σε αυτή την περίπτωση καλείται και στατιστική συνάρτηση του ελέγχου.
6 Έλεγχος υποθέσεων (κανόνας απόφασης) Ο κανόνας απόφασης βασίζεται στις τιμές που μπορεί να πάρει η στατιστική συνάρτηση του ελέγχου που χρησιμοποιούμε. Συγκεκριμένα, η περιοχή τιμών της στατιστικής συνάρτησης του ελέγχου "χωρίζεται" σε δύο συμπληρωματικές περιοχές. Αν πάρουμε τιμή που να ανήκει στη μία περιοχή, δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση, ενώ αν πάρουμε τιμή στη δεύτερη περιοχή, θα έχουμε ενδείξεις για απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, υπέρ της εναλλακτικής. Η δεύτερη περιοχή, δηλαδή αυτή που περιέχει τις τιμές της στατιστικής συνάρτησης με τις οποίες αποφασίζουμε εναντίον της μηδενικής υπόθεσης καλείται κρίσιμη περιοχή του ελέγχου. Όπως λοιπόν είναι προφανές, η απόφασή μας λαμβάνεται με βάση την τιμή μιας στατιστικής συνάρτησης, όπως αυτή προκύπτει από τις παρατηρήσεις κάποιου διαθέσιμου τυχαίου δείγματος. Η απόφασή μας μπορεί να είναι σωστή, μπορεί και όχι! Συγκεκριμένα, τρία πράγματα μπορεί να συμβούν Να αποφασίσουμε σωστά Να απορρίψουμε την H 0, ενώ αυτή είναι αληθινή Να μην απορρίψουμε την H 0, ενώ θα έπρεπε. όπως φαίνεται και στο επόμενο σχήμα.
7 Τι πραγματικά ισχύει (και ποτέ σχεδόν δεν το ξέρουμε) H 0 H Τι αποφασίζουμε (με βάση την τιμή της στατιστικής συνάρτησης) H 0 H Σωστή απόφαση Λανθασμένη απόρριψη της H 0 Λανθασμένη αποδοχή της H 0 Σωστή απόφαση Στην περίπτωση που λανθασμένα απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση, λέμε ότι έχουμε διαπράξει Σφάλμα Τύπου Ι, ενώ αν λανθασμένα δεν απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση, λέμε ότι έχουμε διαπράξει Σφάλμα Τύπου ΙΙ. Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι (όταν η μηδενική υπόθεση έχει την "απλή" μορφή H 0 : 0 ), καλείται και επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου και συμβολίζεται με α. Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου ΙI εξαρτάται από την πραγματική τιμή της παραμέτρου που εξετάζουμε (και εδώ, λόγω της μορφής που έχει η εναλλακτική υπόθεση, μπορεί να είναι περισσότερες από μία) και ουσιαστικά ορίζει μια συνάρτηση που συμβολίζεται με ( ).
8 Μια προσέγγιση (καλή ή κακή;) Ο υπεύθυνος του εργοστασίου που παράγει τους ράβδους για περίφραξη γνωρίζει ότι το μήκος τους κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή 00 εκατοστά και διακύμανση Μετά όμως από αρκετές διαμαρτυρίες για "μακρυές" ράβδους που δεν "κουμπώνουν" στα πλαίσια περίφραξης που κατεγράφησαν στο τμήμα παραπόνων της εταιρείας, θέλει να τσεκάρει ότι όντως το μέσο μήκος των ράβδων είναι 00 εκατοστά και όχι μεγαλύτερο, λαμβάνοντας ένα τυχαίο δείγμα 0 ράβδων. Αποφασίζει δε να διακόψει την παραγωγή αν η μέση τιμή των 0 ράβδων που θα μετρήσει βρεθεί μεγαλύτερη από 00.0 εκατοστά. α) Διατυπώστε τη μηδενική και την εναλλακτική υπόθεση του ελέγχου β) Εντοπίστε την στατιστική συνάρτηση του ελέγχου που θα χρησιμοποιηθεί από τον υπέυθυνο γ) Εντοπίστε την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου δ)υπολογίστε το σφάλμα τύπου Ι που θα διαπράξει ο υπεύθυνος του εργοστασίου στον έλεγχο που θα κάνει. α) H H 0 : 00 : 00 β) Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: X γ) X δ) Πιθανότητα Σφάλματος τύπου Ι: P. H H ) P( X ) ( 0 0 X P ( X 00.0) P( ) P( Z 0.4) (0.4)
9 Διαδικασία ελέγχου υποθέσεων (γενικά). Ορίζουμε, σύμφωνα με το πρόβλημα, τη μηδενική υπόθεση και την εναλλακτική της.. Ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου (πιθανότητα λανθασμένης απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης). 3. Ορίζουμε τη στατιστική συνάρτηση του ελέγχου που θα χρησιμοποιήσουμε (πρέπει η κατανομή της να είναι καθορισμένη όταν ισχύει η μηδενική υπόθεση) 4. Οριοθετούμε την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου (δηλαδή τις τιμές αυτές της στατιστικής συνάρτησης που όταν "εμφανιστούν" θα πρέπει να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. 5. Υπολογίζουμε την τιμή της στατιστικής συνάρτησης του ελέγχου με βάση το δείγμα μας και αποφασίζουμε σχετικά με την απόρριψη ή μη της μηδενικης υπόθεσης, σύμφωνα με την κρίσιμη περιοχή του (4). Σημείωση: Για να οριστεί η κρίσιμη περιοχή, λαμβάνουμε υπόψη το επίπεδο σημαντικότητας () και τη μορφή της εναλλακτικής υπόθεσης ().
10 Εφαρμογές Σε ό,τι ακολουθεί εννοείται ότι έχουμε λάβει ένα τυχαίο δείγμα X X,..., X από τον πληθυσμό μας, n
11 Έστω ότι ένα χαρακτηριστικό που μελετάμε ακολουθεί την N(, ) με γνωστή διακύμανση. Έλεγχος της H0 : 0 σε επίπεδο σημαντικότητας a
12 Εναλλακτική υπόθεση : H : 0 Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: T X 0 T ~ N(0,) / n H 0 Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση αν η Τ λάβει μεγάλες θετικές ή μεγάλες αρνητικές τιμές. Πόσο μεγάλες; Για επίπεδο σημαντικότητας α, t z a/ t z a/ ή Κρίσιμη περιοχή του ελέγχου: t za / όπου: t x 0 / n a a / a / z a/ z a /
13 Εναλλακτική υπόθεση : H : 0 Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: T X 0 T ~ N(0,) / n H 0 Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση αν η Τ λάβει μεγάλες θετικές τιμές. Πόσο μεγάλες; Για επίπεδο σημαντικότητας α, t z a Κρίσιμη περιοχή του ελέγχου: t z a όπου: t x 0 / n a a z a
14 Εναλλακτική υπόθεση : H : 0 Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: T X 0 T ~ N(0,) / n H 0 Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση αν η Τ λάβει μεγάλες αρνητικές τιμές. Πόσο μεγάλες; Για επίπεδο σημαντικότητας α, t z a Κρίσιμη περιοχή του ελέγχου: t z a όπου: t x 0 / n a a z a
15 Έλεγχοι υποθέσεων Χρήσιμο τυπολόγιο
16 Μηδενική υπόθεση 0 0 p 0 p 0 0 Πληθυσμιακές υποθέσεις N (, ), γνωστό N (, ), άγνωστο N (, ), άγνωστο μεγάλο δείγμα Bn (, p) μεγάλο δείγμα t Συνάρτηση του ελέγχου t t t x 0 / n x 0 s / n ( n ) s t 0 x 0 s / n Εναλλακτική υπόθεση Κρίσιμη περιοχή t za/ t z a t z a a 0 t t n, / 0 t t n, a t t n, a pˆ p 0 0 p0( p0) n n, ( a / ) t ή t t t n, a n, a a t z / t za t za p p t za/ p p 0 t za p t za p 0 n, a /
17 Εφαρμογή Μέρος ΙΙ, σελ 53 και Μέρος V σελ 4 συνέχεια...
18 Σχέδιο Ο υπέυθυνος του εργοστασίου καλεί, ξεχωριστά τον έναν από τον άλλο, τους 0 υπαλλήλους που γνωρίζουν στατιστική και τους ζητά να τσεκάρουν αν το μέσο μήκος των ράβδων είναι ίσο με 00 και όχι διάφορο από 00, με βάση τα δεδομένα που συνέλεξαν και με πιθανότητα λανθασμένης απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης ίση με 0.. Τους είπε δε ότι το μήκος των ράβδων κατανέμεται κανονικά Υπάλληλος
19 Τί θα χρειαστούν; Τη μηδενική και την εναλλακτική υπόθεση Το επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου α H H 0 : 00 : Την κατάλληλη συνάρτηση του έλεγχου T X S 0 / n X S 00 / 5 Την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου t t.76 4,0. 05 Να υπολογίσουν τα, από τα δεδομένα τους με χρήση των τύπων: x x n s n x n για να υπολογίσουν την τιμή της συνάρτησης του ελέγχου και να δούν αν είναι στην κρίσιμη περιοχή s n ( x x)
20 x s t t.76 Απόρριψη μηδενικής υπόθεσης; Υπάλληλος NAI NAI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI OXI Θυμηθείτε ότι ο υπεύθυνος γνωρίζει ότι η μέση τιμή του πληθυσμού είναι 00
21 Άσκηση. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως κατανέμεται κανονικά με διακύμανση 9 ώρες. α. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η μέση διάρκεια ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι μικρότερος από 000 ώρες. Για να "ελέγξει" την υπόθεσή του λαμβάνει το παρακάτω τυχαίο δείγμα 6 παρατηρήσεων: 000, 998, 995, 005, 999, 999, 990, 00, 006, 978, 99, 004, 000, 00, 00, 005 Να έλεγξετε την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.. β. Να ελέγξετε ξανά την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 γ. Ας θεωρήσουμε ότι ο υπεύθυνος έλαβε τυχαίο δείγμα 30 παρατηρήσεων το οποίο του έδωσε ίδια (δειγματική) μέση τιμή με το δείγμα που χρησιμοποιήθηκε στο Ερώτημα (α). Να ελέγξετε ξανά την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδα σημαντικότητας α = 0. και α = Άσκηση. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η μέση διάρκεια ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι διαφορετικός από τις 000 ώρες που αναγράφονται στις προδιαγραφές. Για να "ελέγξει" την υπόθεσή του λαμβάνει το παρακάτω τυχαίο δείγμα 6 παρατηρήσεων: 000, 998, 995, 005, 999, 999, 990, 00, 006, 978, 99, 004, 000, 00, 00, 005 Να ελέγξετε την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0. Άσκηση 3. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η διακύμανση της διάρκειας ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι 4 ώρες, ενώ κάποιος από το τμήμα ποιοτικού ελέγχου διατείνεται ότι είναι μεγαλύτερη και θα πρέπει να ελαττωθεί. Να ερευνήσετε για το ποιος μπορεί να έχει δίκιο, χρησιμοποιώντας το παρακάτω τυχαίο δείγμα 6 παρατηρήσεων από την τρέχουσα παραγωγή: 000, 998, 995, 005, 999, 999, 990, 00, 006, 978, 99, 004, 000, 00, 00, 005 Χρησιμοποιήστε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0.
22 Άσκηση 4. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως ακολουθεί κάποια κατανομή με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η μέση διάρκεια ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι διαφορετικός από τις 000 ώρες που αναγράφονται στις προδιαγραφές. Για να "ελέγξει" την υπόθεσή του λαμβάνει τυχαίο δείγμα 400 παρατηρήσεων. Από τις παρατηρήσεις του δείγματός υπολογίζει 400 ( x 00 και x 00) 359. Να ελέγξετε την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0. Άσκηση 5. Κάποιος υποστηρίζει ότι, εξαιτίας μιας ιδιαίτερα αποδοτικής αντικαπνιστικής εκστρατείας, το ποσόστο των ανθρώπων που καπνίζουν είναι πλέον μικρότερο από 30%. Για να ελέγξουμε την υπόθεσή του αυτή ρωτήσαμε τυχαία 6 άτομα, για τον αν καπνίζουν ή όχι. Οι παρατηρήσεις μας (: καπνιστής, 0: μη καπνιστής) είναι:, 0, 0, 0,,, 0, 0,,, 0, 0, 0, 0, 0, Να ελέγξετε την υπόθεση που διατυπώθηκε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0. Πόσο αξιόπιστα είναι τα συμπεράσματά μας; Άσκηση 6. Ο υποψήφιος Α. διατείνεται ότι θα λάβει ποσοστό μεγαλύτερο από 40% στις επόμενες δημοτικές εκλογές. Για να ελέγξουμε την υπόθεσή του αυτή ρωτήσαμε 00 ψηφοφόρους του δήμου του και οι 35 μας είπαν ότι θα τον υποστηρίξουν. Να ελέγξετε την "εκτίμηση" του υποψήφιου Α. σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0.
23 Ανάλυση Παλινδρόμησης Η έννοια της Παλινδρόμησης
24 Εξέταση της σχέσης μεταξύ μεταβλητών Σε διάφορα προβλήματα της Στατιστικής το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στην ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο τρόπο οι μεταβλητές αυτές σχετίζονται μεταξύ τους.
25 Εξέταση της σχέσης μεταξύ μεταβλητών: Παραδείγματα Η ηλικία και το βάρος ενός παιδιού έχουν κάποια θετική εξάρτηση/συσχέτιση μεταξύ τους (όσο μεγαλύτερη η ηλικία του παιδιού τόσο μεγαλύτερο βάρος θα έχει). Η διάρκεια ζωής των ζώντων οργανισμών σε μια περιοχή και το επίπεδο μόλυνσης της περιοχής έχουν αρνητική εξάρτηση μεταξύ τους (όσο πιο μεγάλη είναι η μόλυνση της περιοχής τόσο μικρότερη είναι η διάρκεια ζωής των οργανισμών που ζουν στην περιοχή).
26 Εξέταση της σχέσης μεταξύ μεταβλητών: Παραδείγματα Η συνολική παραγωγή ενός αγρού εξαρτάται από την ποσότητα λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε, από τη θερμοκρασία και την υγρασία της περιοχής κτλ. Το ύψος των αποδοχών των υπαλλήλων μιας εταιρείας εξαρτάται από τα χρόνια υπηρεσίας στην εταιρεία, από το επίπεδο μόρφωσής τους κτλ.
27 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Ο κλάδος της Στατιστικής που εξετάζει τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών με απώτερο στόχο την πρόβλεψη μιας απ αυτές μέσω των άλλων λέγεται α ν ά λ υ σ η π α λ ι ν δ ρ ό μ η σ η ς (regresson analyss).
28 Απλή παλινδρόμηση Στην απλή παλινδρόμηση, χρησιμοποιούμε μόνο μια μεταβλητή Χ, και μια δεύτερη μεταβλητή Υ η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μία συνάρτηση του X πχ. Υ να εκφράζεται μέσω της Χ ως Υ 3Χ+5 X: ανεξάρτητη μεταβλητή (ndependent or nput varable) Υ: εξαρτημένη μεταβλητή (dependent or response varable)
29 Απλή και πολλαπλή Ανάλυση παλινδρόμησης Η παλινδρόμηση στην οποία υπάρχει μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή καλείται απλή παλινδρόμηση ενώ αν υπάρχουν περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές λέγεται πολλαπλή παλινδρόμηση.
30 Απλή και πολλαπλή Ανάλυση παλινδρόμησης : παραδείγματα Η εύρεση της σχέσης μεταξύ της συνολικής παραγωγής ενός αγρού και της ποσότητας λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε (απλή παλινδρόμηση) Η εύρεση της σχέσης μεταξύ της συνολικής παραγωγής ενός αγρού και της ποσότητας λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε, της θερμοκρασίας της περιοχής και της υγρασίας της περιοχής (πολλαπλή παλινδρόμηση)
31 Απλή παλινδρόμηση Για την εύρεση του κατάλληλου μοντέλου για την περιγραφή της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών που μας ενδιαφέρουν, συνήθως ξεκινάμε κατασκευάζοντας το διάγραμμα διασποράς (scatter plot) στο επίπεδο των παρατηρήσεων που διαθέτουμε. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα οι τιμές της μεταβλητής Χ τοποθετούνται στον οριζόντιο άξονα και της μεταβλητής Υ στον κατακόρυφο άξονα.
32 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Η απλούστερη περίπτωση παλινδρόμησης είναι η απλή γραμμική παλινδρόμηση (smple lnear regresson), κατά την οποία χρησιμοποιούμε μόνο μια μεταβλητή Χ, και μια δεύτερη μεταβλητή Υ η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μία γραμμική συνάρτηση του X. X: ανεξάρτητη μεταβλητή (ndependent or nput varable) Υ: εξαρτημένη μεταβλητή (dependent or response varable)
33 Απλή γραμμική παλινδρόμηση: ένα παράδειγμα Ένας αγρότης ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τον τρόπο με τον οποίο η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιείται σε ένα αγροτεμάχιο επηρεάζει την παραγωγή Υ του αγροκτήματος. Για το σκοπό αυτό πειραματίζεται με ν=0 όμοια αγροτεμάχια (ίδιου εμβαδού, σε περιοχές που επικρατούν παρόμοιες κλιματολογικές συνθήκες κλπ) έτσι ώστε οι όποιες διαφοροποιήσεις παρατηρούνται στην παραγωγή των αγρών να οφείλονται κατά κύριο λόγο στις διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται η παραγωγή Υ (σε χιλιάδες κιλά) για ν=0 όμοια αγροτεμάχια καθώς και η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε στο καθένα (σε εκατοντάδες κιλά).
34 Απλή γραμμική παλινδρόμηση: ένα παράδειγμα Διάγραμμα διασποράς των δεδομένων
35 Απλή γραμμική παλινδρόμηση: ένα παράδειγμα Διάγραμμα διασποράς των δεδομένων και 3 ευθείες προσέγγισης Μ. Κούτρας - X. Ευαγγελάρας
36 Προσδιορίζοντας την ευθεία που ταιριάζει περισσότερο στα σημεία: Οι κατακόρυφες αποκλίσεις y (x ν,y ν ) y 0 x (x,y ) (x,y ) y x x ( 0 x ) y 0 x, x ν x,,...,
37 Προσδιορίζοντας την ευθεία που ταιριάζει περισσότερο στα σημεία Μιά μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση της εξίσωσης της καλύτερης ευθείας που προσαρμόζεται σε (δισδιάστατα) δεδομένα, είναι η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Η πρώτη αναφορά με ολοκληρωμένη ανάπτυξη της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων εμφανίζεται το 805 σε μια εργασία του Γάλλου μαθηματικού Legendre, (75-833) και αμέσως μετά από το Γερμανό μαθηματικό Gauss, ( ) στην αστρονομική του πραγματεία Theora Motus για τον προσδιορισμό της τροχιάς του μικρού πλανήτη Δήμητρα. Ο Gauss μάλιστα αναφέρει ότι χρησιμοποίησε την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων πριν από το 794 (σε ηλικία μόλις 7 ετών), και έτσι «φαίνεται» να προηγείται του Legendre ως προς την ανακάλυψη της μεθόδου.
38 H μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (Least squares method) Σύμφωνα με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, η ευθεία που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα (ν σημεία στο επίπεδο) είναι, αυτή που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των (κατάλοιπων) αποκλίσεων ε, δηλαδή το ( 0 x ) y.
39 H μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (Least squares method) Γιατί άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων ε και όχι απλό άθροισμα των αποκλίσεων ε ;
40 Οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων (Least squares estmators) y ( 0 x )
41 Οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων: εναλλακτικές εκφράσεις x y x x y y x x 0 ˆ ˆ, ) ( ) )( ( ˆ, x x y y
42 Οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων: εναλλακτικές εκφράσεις xx xy S S ˆ, x S S y xx xy 0 ˆ, x x y y ) )( ( y y x x S xy, ) ( xx x x S x y x x y y x x 0 ˆ ˆ, ) ( ) )( ( ˆ
43 Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Η ευθεία y ˆ ˆ x 0 καλείται ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ή ευθεία παλινδρόμησης της Υ (πάνω) στη Χ. Αντικαθιστώντας το παίρνει τη μορφή ˆ 0 ˆ x η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων y y y ( x x), ˆ η οποία φανερώνει ότι διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες ( x, y) και έχει συντελεστή διεύθυνσης το ˆ.
44 Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ. Ένας αγρότης ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τον τρόπο με τον οποίο η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιείται σε ένα αγροτεμάχιο επηρεάζει την παραγωγή Υ του αγροκτήματος. Για το σκοπό αυτό πειραματίζεται με ν=0 όμοια αγροτεμάχια (ίδιου εμβαδού, σε περιοχές που επικρατούν παρόμοιες κλιματολογικές συνθήκες κλπ) έτσι ώστε οι όποιες διαφοροποιήσεις παρατηρούνται στην παραγωγή των αγρών να οφείλονται κατά κύριο λόγο στις διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται η παραγωγή Υ (σε χιλιάδες κιλά) για ν=0 όμοια αγροτεμάχια καθώς και η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε στο καθένα (σε εκατοντάδες κιλά).
45 Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ.
46 Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ.
47 Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ.
48 Παράδειγμα: Ερμηνεία των ε.ε.τ.
49 Παράδειγμα: Ερμηνεία των ε.ε.τ.
50 Η ερμηνεία των εκτιμητριών ελαχίστων τετραγώνων Στην εξίσωση ελαχίστων τετραγώνων η τιμή της εκτιμήτριας ˆ 0 ˆ ˆ ˆ x y 0 της παραμέτρου 0 παριστάνει την τεταγμένη του σημείου στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα (τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν ). Όταν το x 0 ˆ0 0 τότε η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ο συντελεστής διεύθυνσης ˆ της ευθείας yˆ ˆ ˆ 0 x παριστάνει τη μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν το Χ μεταβληθεί κατά μια μονάδα. Έτσι, όταν το x αυξηθεί κατά μια μονάδα τότε το ŷ αυξάνεται κατά ˆ μονάδες όταν ˆ 0 ή ελαττώνεται κατά ˆ μονάδες όταν ˆ 0. yy
51 Παράδειγμα: Ερμηνεία των ε.ε.τ.
52 Ασκήσεις
53 Ένα υλικό συσκευάζεται από ένα εργοστάσιο σε μεγάλα κουτιά ο Αριθμός αριθμός των οποίων ποικίλει ανάλογα με την παραγγελία. Ο κουτιών Εργατοώρες διπλανός πίνακας δίνει τον αριθμό των κουτιών που συσκευάστηκαν (ώστε να καλυφθούν οι παραγγελίες που δέχτηκε το εργοστάσιο) και τις εργατοώρες που χρειάστηκαν για πρόσφατες παραγγελίες που εκτελέστηκαν α. Ποια από τις δύο μεταβλητές (αριθμός κουτιών, εργατοώρες) μπορεί να θεωρηθεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή Χ και ποια ως εξαρτημένη Υ; β. Να κατασκευασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα διασποράς των δεδομένων. γ. Να υπολογισθεί με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ. Στη συνέχεια. να δοθεί η ερμηνεία της κλίσης ˆ και του σταθερού όρου ˆ 0 της ευθείας παλινδρόμησης.. να γίνει πρόβλεψη για τον αριθμό των εργατοωρών που θα χρειασθούν για να ικανοποιηθεί μια παραγγελία που απαιτεί τη συσκευασία 85 κουτιών.
54 Β.
55 Γ. x y x x y Άθροισμα Ερμηνεία; ˆ x y ( x )( y ) x ( x ) y 35 3x 3 ˆ ˆ 0 y x
Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ
Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)
Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY
Διαβάστε περισσότερα7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων
7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Διαβάστε περισσότεραΜέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)
Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι
Διαβάστε περισσότερα9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΔιάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής
Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )
Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτική Στατιστική
Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)
Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης
Διαβάστε περισσότερα6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων
6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση II
. Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017
Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,
ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Διαβάστε περισσότεραΗ ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω
Διαβάστε περισσότερα2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός Βιομετρία
Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική
Διαβάστε περισσότερα5. Έλεγχοι Υποθέσεων
5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης
Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ
ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων
Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
.5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;
Διαβάστε περισσότεραY Y ... y nx1. nx1
6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 5ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 0) www.oleclassroom.gr Ένας οικονομικός αναλυτής θέλει να διερευνήσει τη σχέση μεταξύ της τιμής ενός αγαθού με τις σημειούμενες πωλήσεις του σε διαφορετικά καταστήματα μιας αστικής περιοχής.
Διαβάστε περισσότεραΛίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 1 Εισαγωγή 21 1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη στατιστική; 21 1.2 Τι είναι η στατιστική; 22 1.3 Περισσότερα για την επαγωγική στατιστική 23 1.4 Τρεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά Μοντέλα. Βιολέττα Ε. Πιπερίγκου. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών. h p://
Γραμμικά Μοντέλα Βιολέττα Ε. Πιπερίγκου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών vpiperig@math.upatras.gr h p://www.math.upatras.gr/ vpiperig Γραφείο 213, τηλ. 2610 997285 BEΠ (UPatras) Γραμμικά Μοντέλα 1η,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV
5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50
Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )
Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε
Διαβάστε περισσότερα----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------
----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα
Διαβάστε περισσότεραΓια το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραiii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες
Διαβάστε περισσότερα3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ
3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα
Διαβάστε περισσότεραΑ) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση I
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση I. Εισαγωγή Έστω ότι θέλουμε να ερευνήσουμε εμπειρικά τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις δαπάνες κατανάλωσης και στο διαθέσιμο εισόδημα, των οικογενειών. Σύμφωνα με την Κεϋνσιανή
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός - Βιομετρία
Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων
HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Υποθέσεων (Hypothesis Testing)
Έλεγχος Υποθέσεων (Hypothesis Testig) Ορισμοί Μορφές στατιστικού ελέγχου Πιθανότητες σφάλματος τύπου Ι και ΙΙ Ισχύς (Power) ενός ελέγχου Η P-τιμή (P-vlue) Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία
ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)
ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ
Διαβάστε περισσότεραΧ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,
Διαβάστε περισσότεραΣημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη
Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση
Διαβάστε περισσότεραΓραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται
Διαβάστε περισσότερα2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)
.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην
Διαβάστε περισσότερα