ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Παναγιώτης Βλάμος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ιόνιο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Β. ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση,,, 0,, α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο (). β) Να αποδείξετε ότι οι μερικές παραγώγους, υπάρχουν στο σημείο () και να βρείτε τις τιμές τους. (α) Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι m, m,0. Για,, 0 0 κατά μήκος της ευθείας =, έχουμε ότι m t, m t, t m. t0 t0 t t m, δεν υπάρχει, επομένως η συνάρτηση δεν είναι, Συνεπώς το όριο, συνεχής στο σημείο (). (β) Εχουμε ότι t,0 m 0, t0 t 0, t m 0. t0 t Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση,,, 0,, α) Να αποδείξετε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο (). β) Να υπολογίσετε τις μερικές παραγώγους, στο (). γ) Τι παρατηρείτε σε σχέση με τις μερικές παραγώγους της στο () και την παραγωγισιμότητά της στο σημείο αυτό ;

4 (α) Όταν (, ) ( 0, 0) κατά μήκος της ευθείας =m (ακτινική προσέγγιση) τότε οι τιμές της δοσμένης συνάρτησης θα δίνονται για (, ) () από m m τη σχέση : (, m) =. (m) m Επίσης όταν (, ) (0, 0) κατά μήκος της ευθείας = m θα έχουμε (β) Εχουμε ότι (, ) (, m) (0, 0), δηλαδή 0, οπότε lm (, ) = lm (, m) (,) (), m) () ( = lm 0 m m m m = που σημαίνει ότι η τιμή του ορίου εξαρτάται από τη διεύθυνση με την οποία πλησιάζουμε το (0, 0) και επομένως το όριο δεν υπάρχει. Επομένως η δεν b ġ είναι συνεχής, άρα δεν είναι ούτε παραγωγίσιμη στο 0, 0 lm t0 t,0 (γ) Παρατηρούμε ότι αν και ισχύει ότι είναι παραγωγίσιμη στο (). t 0 και όμοια 0., ωστόσο η, δεν Παράδειγμα Εστω, όπου παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι : α) β) Εστω, οπότε. Τότε έχουμε ότι : α) Επομένως έχουμε ότι δηλαδή., και,.

5 β) Επιπλέον έχουμε ότι και από την άλλη Συνεπώς ισχύει ότι. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση : sn,,, όπου s, s s,. Να υπολογισθούν οι μερικές παραγώγοι : α), β) s. (α) Εχουμε ότι : sn cos 6 cos sn cos cos 6. (β) Εχουμε ότι : 6s sn 6s cos cos s s s s 6ssn cos 6s cos. Παράδειγμα 5 Να εξετασθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση : (, ) () (, ) (, ) (0, 0) Οι μερικές της παράγωγοι ορίζονται στο ()?

6 (, ) () Η συνάρτηση: (, ) (, ) (0, 0) δεν είναι συνεχής στο () αφού το όριο της κατά μήκος της m εξαρτάται από το m: lm (,m) m (, ) () m Ωστόσο, οι μερικές παράγωγοι ορίζονται στο (): () (,0) () lm lm () (0,) () lm lm Παράδειγμα 6 Από την Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδας έχουμε τον ακόλουθο πίνακα, που παρουσιάζει τις ετήσιες εισαγωγές και εξαγωγές της χώρας μας σε εκατοντάδες χιλιάδες συναλλαγές (στρογγυλοποιημένες) : ΕΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΕΣ ΕΞΑΓΩΓΕΣ Αν θεωρήσουμε τα ετήσια ζεύγη εισαγωγών-εξαγωγών ως σημεία,,,,, 0, να βρεθεί το «βέλτιστο σημείο» με την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή το σημείο Σ(,) για το οποίο το άθροισμα των αποστάσεων : 0 γίνεται ελάχιστο.

7 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση, οπότε έχουμε ότι 0 0 Οι εξισώσεις 0 δίνουν :, 0, 0, 0, και, επομένως το σημείο (7,) είναι θέση πιθανού τοπικού ακροτάτου. Αφού 00 0, 0 και 0 στο σημείο (7,) παρουσιάζεται τοπικό ελάχιστο. 0 Παράδειγμα 7 Να υπολογίσετε το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης, τη συνθήκη : p, p 0., υπό Αρχικά επιλύουμε τον περιορισμό ως προς : p p Αντικαθιστούμε στη δοσμένη συνάρτηση (, ), οπότε προκύπτει μία συνάρτηση μιας μεταβλητής, η 5 F(), 8 p p p Η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της F () είναι: Έχουμε ότι F F F p p p p 5 8 F p p p 5 0 p,, 0 p 5 p 0, F 0, F 0 0 5

8 8p p Συνεπώς η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο, και τοπικά ελάχιστα στα 5 5 p σημεία,p και 0,0. Για να βρούμε το ολικό ελάχιστο παρατηρούμε αρχικά ότι : 5 m F m. p Άρα η F έχει ολικό ελάχιστο το οποίο είναι η μικρότερη τιμή των δύο τοπικών ελαχίστων : p F0 8 F p 8. Τελικά η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο (). Παράδειγμα 8 Οι εξισώσεις κυμάτων (για ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ηχητικά κύματα κ.λ.π.) είναι όλες της μορφής: Ψ(, t)- a t όπου a είναι μια σταθερά. Να αποδείξετε, αν Ψ(, t) Ψ(, t) aω 0 Acos(k - ωt) Bsn(k - ωt) ικανοποιεί (επαληθεύει) την παραπάνω εξίσωση ( όπου Έχουμε ότι: Άρα : Ακόμα: t Ψ(, t) Ψ(, t) Ψ(, t) Ψ(, t) Acos(k - ωt) Bsn(k - ωt) kasn(k - ωt) Bkcos(k - ωt) και k Acos(k - ωt) k Bsn(k - ωt) (ι) ωasn(k - ωt) ωb cos(k - ωt) και k,, ότι η συνάρτηση: ω, k είναι σταθερές). Ψ(, t) ω Acos(k - ωt) ω Bsn(k - ωt) (ιι) t Από τις (ι) και (ιι), έχουμε: Ψ(, t)- a Ψ(, t) k Acos(k - ωt) k Bsn(k - ωt) t aω Acos(k - ωt) aω Bsn(k - ωt) = = (aω k )Acos(k - ωt) (aω k )Bsn(k - ωt) 0 (αν aω k )

9 Παράδειγμα 9 Να εξετασθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση : (, ) () (, ) (, ) (0, 0) Οι μερικές της παράγωγοι ορίζονται στο ()? (, ) () Η συνάρτηση: (, ) (, ) (0, 0) δεν είναι συνεχής στο () αφού το όριο της κατά μήκος της m εξαρτάται από το m: lm (,m) m (, ) () m Ωστόσο, οι μερικές παράγωγοι ορίζονται στο (): Παράδειγμα 0 α) Να υπολογίσετε τα όρια 6 ) lm (, ) () () (,0) () lm lm () (0,) () lm lm ) lm ( ) ln ( ) (,) () β) Έστω (, ). Είναι δυνατόν να ορίσουμε το (), έτσι ώστε η να είναι συνεχής στο σημείο (); α) ) lm (,) () 6 lm (,) () ( ) ( ) lm (,) () ( )( ) lm (,) () ( ) 0

10 ) Κάνοντας την αντικατάσταση έχουμε γίνεται: lm (,) () (. Αν (, ) ( 0, 0) ) ln ( ) lm 0 cosθ, snθ (πολικές συντεταγμένες), τότε 0 και το όριο που μας δίνεται ln ( ) ln ( ) lm 0 lm L'H 0 lm β) (,) =. Όταν (, ) ( 0, 0) κατά μήκος της ευθείας =0 (-άξονας) τότε οι τιμές της για (, ) () είναι ίσες με: (, 0) = 0 Επίσης όταν (, ) (0, 0) κατά μήκος της ευθείας =, τότε οι τιμές της για (, ) () είναι ίσες με: (,) = Από τις (Ι) και (ΙΙ) βλέπουμε ότι, η τιμή του ορίου εξαρτάται από τη διεύθυνση με την οποία πλησιάζουμε το (0, 0) και επομένως το όριο δεν υπάρχει. Αφού δεν υπάρχει το όριο, η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι συνεχής στο σημείο (). (II). (Ι) 0 0