Lungo una curva di parametro λ, di vettore tangente. ;ν = U ν [ V µ. ,ν +Γ µ ναv α] =0 (2) dλ +Γµ να U ν V α =0 (3) = dxν dλ

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Παναγιώτα Λαιμός
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1 TRASPORTO PARALLELO Lungo una curva di parametro λ, di vettore tangente U µ = dxµ dλ, (1) il vettore è trasportato parallelamente se soddisfa le equazioni del trasporto parallelo dove si è usato il fatto che U ν ;ν = U ν [,ν +Γ µ ναv α] =0 () U ν x ν d dλ +Γµ να U ν V α =0 (3) = dxν dλ x ν = d dλ. (4) Quando il cammino è la linea coordinata α, quando tutte le coordinate tranne x α sono costanti lungo il percorso, possiamo scegliere la stessa x α come parametro della curva. In tal caso il vettore tangente è il vettore di base e (α) : U µ = xµ x α = δµ α. (5) In questo caso, l equazione del trasporto parallelo assume una forma particolarmente semplice: Sfera U ν V ;ν µ = δν α V ;α µ = V ;α µ =0 (6),α +Γµ αν V ν =0. (7) Si consideri la sfera S di raggio unitario, in coordinate polari: {x µ } =(θ, φ) (8) ds = dθ +sin θdφ = g µν dx µ dx ν (9) ( ) 1 0 g µν = 0 sin. (10) θ Calcoliamo i simboli di Christoffel. La sola derivata della metrica non nulla è g φφ,θ =sinθ cos θ. (11) I simboli di Christoffel con indici bassi Γ µνρ, definiti dalla Γ µνρ = 1 (g µρ,ν + g νρ,µ g µν,ρ ), (1) 1

2 non nulli, saranno: Γ θφφ =Γ φθφ = 1 (g θφ,φ + g φφ,θ g θφ,φ )= 1 g φφ,θ =sinθ cos θ (13) Γ φφθ = 1 (g φθ,φ + g φθ,φ g φφ,θ )= 1 g φφ,θ = sin θ cos θ. (14) I simboli di Christoffel Γ ρ µν non nulli, essendo Γ ρ µν = g ρσ Γ µνσ (15) ( ) 1 0 g µν = 1, (16) 0 sin θ saranno: Γ φ φθ =Γφ θφ = gφσ Γ φθσ = g φφ Γ φθφ = g φφ sin θ cos θ Γ θφφ = sin =cotθ θ (17) Γ θ φφ = gθσ Γ φφσ = g θθ Γ φφθ =Γ φφθ = sin θ cos θ. Trasporto parallelo sulla sfera Studiamo il trasporto parallelo sulla sfera lungo il cammino in figura (notare che tale cammino è definito in maniera tale da evitare il polo nord, dove la mappa polare non è definita). Come dimostreremo, trasportando lungo tale cammino il vettore V,daAin A, esso viene ruotato di 90 o. Dimostriamolo. I quattro punti in figura hanno coordinate x µ =(θ, φ): ( π ) A =, 0 (18) B =(, 0) (19) ( C =, π ) (0) ( π D =, π ) (1)

3 dove è un parametro che assumiamo piccolo, e che alla fine della dimostrazione faremo tendere a zero. Trasportiamo parallelamente lungo il cammino in figura il vettore inizialmente in A con componenti Le equazioni del trasporto parallelo sono =(V θ,v φ )=(1, 0). () dv α dλ +Γα γβv γ U β = 0 (3) con U µ dxµ (4) dλ vettore tangente alla curva λ x µ (λ); sostituendo i simboli di Christoffel dati in (17), dλ = U φ V φ sin θ cos θ dλ = ( U θ V φ + V θ U φ) cot θ. (5) Osserviamo che i cammini AB,BC,CD,DAsono linee coordinate; le equazioni del trasporto parallelo possono quindi essere espresse in forma più semplice: per le linee coordinate θ, per le linee coordinate φ, ;θ =,θ +Γµ θν V ν = 0 (6) V,θ θ = 0 V φ,θ = cot θv φ ; (7) ;φ =,φ +Γµ φν V ν = 0 (8) V θ,φ = sinθ cos θv φ V φ,φ = cot θv θ. (9) 1. Il tratto da A =(π/, 0) a B =(, 0) è una linea coordinata θ, quindi valgono le (7). La prima delle (7) ci dice che V θ e costante, quindi V θ (θ) =V θ (π/) = 1. 3

4 L equazione per V φ è della forma = cot θv φ ( dθ V φ π ) = 0. (30) Questo è un problema di Cauchy (una equazione differenziale del primo ordine e un dato iniziale), quindi ammette un unica soluzione. V φ (θ) 0 è soluzione, quindi è l unica soluzione. Questo risultato vale anche in casi piu generali: se la derivata di una grandezza (in questo caso V φ )è proporzionale alla grandezza stessa, e nel punto iniziale (in questo caso θ = π/) la grandezza vale 0, essa continua a valere 0 anche successivamente. Possiamo concludere che (θ) è costante nel tratto AB, einb si ha ancora: =(1, 0). (31). Il tratto da B =(, 0) a C =(, π/) è una linea coordinata φ con θ = ɛ, quindi valgono le (9), che per 1diventano dφ =sincos V φ = V φ + O ( 3) (3) dφ = cot V θ = 1 V θ + O (). (33) Come si vede, non si può prendere 0, arrivare al polo nord, perchè le equazioni vi divergono. Dalla (33) si trova che mentre derivando la (3) rispetto a φ si ha V φ = 1 V θ,φ + O (), (34) d V θ dφ = V θ + O ( ). (35) La soluzione generale di questa equazione è V θ = C 1 cos φ + C sin φ + O ( ) (36) e dalla (34) V φ = C 1 sin φ + C cos φ + O (). (37) con C 1,C costanti di integrazione determinate dalle condizioni iniziali in φ =0,dove V θ = C 1 + O ( ) =1 V φ = C 4 + O () = 0 (38)

5 per cui C 1 =1+O ( ), C = O () e V θ = cosφ + O ( ) V φ = 1 sin φ + O (). (39) Ponendo φ = π/ sitrova nel punto C: = (O ( ), 1 ) + O (). (40) 3. Il tratto da C =(, π/) a D =(π/,π/) è una linea coordinata θ, quindi valgono le (7). Quindi V θ ècostante, V θ (θ) O ( ) (41) mentre V φ soddisfa dθ = cot θv φ V φ (θ = ɛ) = 1 + O (). (4) La soluzione di questo sistema è V φ = 1 + O () (43) sin θ quindi in D, oveθ = π/, = ( O ( ), 1+O () ). (44) 4. Il tratto da D =(π/,π/) a A =(π/, 0) è una linea coordinata φ, quindi valgono le (9), dφ =sinθcos θv φ (45) dφ = cot θv θ. (46) In entrambe le equazioni il secondo membro si annulla, perchèsulpercorso da D ad A si ha sempre θ = π. Quindi in A il vettore è = ( O ( ), 1+O () ). (47) Nel limite 0 mentre in A alla partenza era: =(0, 1) (48) =(1, 0) : (49) il trasporto parallelo lungo questo cammino chiuso ha ruotato il vettore di 90 o in senso orario. 5

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