6.ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (SYSTEMATIC SAMPLING)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6.ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (SYSTEMATIC SAMPLING)"

Transcript

1 6.ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (SYSTEMATIC SAMPLIG) ΣΧΗΜΑ 6.1 Συστηµατική δειγµατοληψία στον Πατραϊκό κόλπο (17 σταθµοί). Η συστηµατική δειγµατοληψία είναι µια στρατηγική που µοιάζει απλή και λογική και επιλέγεται συχνά αυθόρµητα από µελετητές.. Η αυθόρµητη αυτή προτίµηση οφείλεται στο ότι διευκολύνει την επιλογή των δειγµατοληπτικών µονάδων λόγω του απλού της πρωτοκόλου. Για παράδειγµα αν επιθυµούµε να εκτιµήσουµε το µέσο βάρος των προβάτων µιας κτηνοτροφικής µονάδας ζυγίζοντας µόνο το ένα δέκατο (1/10) των ατόµων για πρακτικούς λόγους, τότε µπορούµε εύκολα κατά την είσοδο των ατόµων το απόγευµα να επιλέγουµε και να ζυγίζουµε ένα άτοµο κάθε δέκα που περνούν από την είσοδο. Θά έχουµε έτσι ένα δείγµα το µέγεθος του οποίου είναι το 1/10 του πληθυσµού (που σ αυτή την περίπτωση είναι το σύνολο των προβάτων της µονάδας). Συχνά επίσης εφαρµόζεται η συστηµατική δειγµατοληψία και σε µελέτες που καλύπτουν µεγάλες εκτάσεις τοσό στην ξηρά (ειδικά στις απ αέρος παρατηρήσεις) όσο και στη θάλασσα. Σ αυτή την περίπτωση η επιλογή της συστηµατικής δειγµατοληψίας γίνεται λόγω κυρίως της ευκολίας που παρέχει στα πληρώµατα για την κάλυψη της υπό µελέτη έκτασης. Σ αυτές τις περίπτωσεις ορίζεται εκ των προτέρων ένα σύνολο σηµείων δειγµατοληψίας (σταθµών) που απέχουν µεταξύ τους συγκεκριµένη απόσταση (π.χ. κάθε 0 km ή κάθε 10 ναυτικά µίλια στη θάλασσα). Οι σταθµοί αυτοί τοποθετούνται σε παράλληλες ευθύγραµµες διαδροµές που απέχουν µετάξύ τους δεδοµένη και σταθερή απόσταση και διατρέχονται διαδοχικά. Παράδειγµα µιάς τέτοιας συστηµατικής δειγµατοληψίας φαίνεται στο σχήµα Το µέγεθος του δείγµατος που επιθυµούµε να µελετήσουµε καθορίζει και τον τρόπο επιλογής των ατόµων. Έτσι άν θέλουµε να σχηµατίσουµε ένα δείγµα που να αντιπροσωπεύει το 1/p του

2 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΧΗΜΑ 6. Επιλογή συστηµατικού δείγµατος: 1) Ο πληθυσµός (ή η έκταση που καλύπτει χωρίζεται σε 1 πρωτογενείς µονάδες ιδίου σχήµατος και µεγέθους ) Οι πρωτογενείς µονάδες διαιρούνται σε δευτερογενείς ιδίου αριθµού, σχήµατος, µεγέθους και διάταξης 3) Από τις δευτερογενείς µονάδες µιας πρωτογενούς επιλέγεται τυχαία µια (στο παράδειγµα µας η µονάδα 3 4) Αυτή και η αντίστοιχες (µε τις ίδιες συντεταγµένες) δευτερογενείς µονάδες όλων των πρωτογενών αποτελούν το συστηµατικό δείγµα που αντιπροσωπεύει το 1/9 του πληθυσµού Συστηµατικό δείγµα ιδίου µεγέθους (1/9 του πληθυσµού) αλλά µε διαφορετικό µέγεθος των πρωτογενών µονάδων (σχόλια στο κείµενο). πληθυσµού, αρκεί από την λίστα των ατόµων του πληθυσµού ή από την σειρά προσέλευσης, ή εµφάνισης τους να επιλέγουµε ένα κάθε p άτοµα (p=ν/ είναι το βήµα της δειγµατοληψίας, Ν τα άτοµα του πληθυσµού και ν τα του δείγµατος). Για την επιλογή δειγµατων µε συστηµατικό τρόπο από πληθυσµούς που κατανέµονται στο χώρο και για τους οποίους δεν υπάρχει κατάλογος των ατόµων (σχεδόν όλοι οι φυσικοί πληθυσµοί) ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Χωρίζουµε τον πληθυσµό µας (ή την έκταση που καλύπτει αυτός σε ισοµεγέθεις και ιδίου σχήµατος πρωτογενείς µονάδες. Στη συνέχεια κάθε πρωτογενής µονάδα χωρίζεται µε το ίδιο τρόπο σε p δευτερογενείς. Από τίς p µονάδες µιάς πρωτογενούς µονάδος επιλέγεται τυχαία µια (χρήση υπολογιστή, πίνακας τυχαίων αριθµών κ.λ.π.) και στη συνέχεια σε κάθε πρωτογενή µονάδα επιλέγεται η δευρογενής µε τις ίδιες συντεταγµένες. Το σύνολο των δευτερογενών αυτών µονάδων αποτελεί ένα συστηµατικό δείγµα ίσο µε το 1/p του πληθυσµού στόχου. Είναι προφανές ότι το µέγεθος και κατά συνέπεια ο αριθµός των πρωτογενών µονάδων καθορίζει και τα χαρακτηριστικά του δείγµατος. Μικρές και πολυπληθείς πρωτογενείς µονάδες οδηγούν σε µια καλύτερη κάλυψη του πληθυσµού. Καλύτερη κάλυψη σηµαίνει ότι διατρέχουµε όλον τον πληθυσµό µε λεπτοµερή τρόπο και δεν αφήνουµε ακάλυπτες µεγάλες περιοχές. Σκεφτείτε στο σχήµα 6. να είχαµε µόνο δυο πρωτογενείς µονάδες. Το τελικό δείγµα πάλι θα ήταν ίσο µε το 1/9 του πληθυσµού όµως όπως φαίνεται και από το ίδιο σχήµα η πληροφορία θα προερχόταν µόνο από δυο περιοχές που θα αντιστοιχούσαν στις επιλεγµένες δευτερογενείς µονάδες. Σ αυτή την περίπτωση εάν ο πληθυσµός είχε µια έντονα συναθροιστική κατανοµή (εναλλαγή περιοχών µε υψηλές συγκεντρώσεις και κενών περιοχών) ο κίνδυνος ενός δείγµατος µε ακραία χαρακτηριστικά αυξάνει. Το να διατρέχεται καλά το δείγµα µειώνει τις πιθανότητες ακραίου δείγµατος αλλά δυστυχώς αυξάνει συχνά το κόστος της δειγµατοληψίας λόγω αυξηµένων µετακινήσεων µεταξύ των δειγµατοληπτικών µονάδων. Ένας συµβιβασµός των δυο αυτών κριτηρίων είναι στην πράξη απαραίτητος. Η συστηµατική δειγµατοληψία έχει λοιπόν το πλεονέκτηµα του απλού πρωτοκόλου και της ικανοποιητικής κάλυψης του πληθυσµού. υστυχώς όµως παρουσιάζει και σοβαρά µειονεκτήµατα που αναλύονται στην ακόλουθη παράγραφο ΒΑΣΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Η συστηµατική δειγµατοληψία είναι εξαιρετικά µεροληπτική στην περίπτωση που ο πληθυσµός έχει περιοδικά χαρακτηριστικά. Φυσικά η µεγάλη µεροληψία είναι ανεπιθύµητη. Το βασικό αυτό πρόβληµα µπορεί να γίνει κατανοητό στα ακόλουθα παραδείγµατα.

3 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 63 Στο σχήµα 6.3 παρουσιάζεται ένα µέρος από µια καλλιέργεια είδους φυτού. Η καλλιεργήσιµη περιοχή είναι χωρισµένη σε περιοχές που καθορίζονται από τα αρδευτικά αυλάκια που χωρίζουν την όλη περιοχή σε ισοµεγέθη τεµάχια. Το συγκεκριµένο είδος φυτού είναι ιδιαίτερα απαιτητικό σε νερο και έτσι τα άτοµα που βρίσκονται κοντα στα αυλάκια εµφανίζουν υψηλότερους ρυθµούς αύξησης και αυτο φαίνεται και στο σχήµα. Μια ΣΧΗΜΑ 6.3 Κατανοµή φυτών σε µια καλλιέργεια. Είναι προφανές ότι το µέγεθος του φυτού εξαρτάται από την θέση του. Τα φυτά που βρίσκονται κοντά στα αρδευτικά αυλάκια έχουν µεγαλύτερο µέγεθος µε τα άτοµα που βρίσκονται στη συµβολή των αυλακιών να υπερτερούν σηµαντικά. Ο περιοδικός αυτός χαρακτήρας εγκυµονεί κινδύνους µεγάλης µεροληψίας σε περίπτωση συστηµατικής δειγµατοληψίας. συστηµατική λοιπόν δειγµατοληψία µε πρωτογενείς µονάδες τα καλλιεργήσιµα τεµάχια και δευτερογενείς τα φυτά που έχουν την ίδια διάταξη σε κάθε τεµάχιο θα οδηγήσει σε υπερ-εκτίµηση ή υποεκτίµηση του µέσου µεγέθους των φυτών και φυσικά και της συνολικής ποσότητας. Ο κίνδυνος εφαρµογής της συστηµατικής δειγµατοληψίας σε πληθυσµούς που εµφανίζουν περιοδικότητα γίνεται πιο κατανοητός στο παράδειγµα του σχήµατος 6.4. Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να εκτιµήσουµε την µέση ηµερήσια θερµοκρασία σε ένα συγκεκριµένο σηµείο στο οποίο δεν µπορεί να τοποθετηθεί αυτόµατος καταγραφέας (µια φωλιά για παράδειγµα). Η παράµετρος αυτή δείχνει έντονες ηµερονύκτιες διακυµάνσεις µε τη µέγιστη τιµή της τις πρώτες µεταµεσηµβρινές ώρες και την ελάχιστη στο µέσο της νύχτας. Η πραγµατική διακύµανση της θερµοκρασίας φαίνεται στο σχήµα 6.4 που δείχνει καθαρά τον 4ωρο περιοδικό χαρακτήρα της παραµέτρου. Το κάτω διάγραµµα του ιδίου σχήµατος δείχνει τα αποτελέσµατα που θα καταγράψουµε εαν η δειγµατοληψία µας έχει περιοδικό χαρακτήρα µε περίοδο 18

4 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 64 και 8 ωρών αντίστοιχα (το πρώτο βήµα των 18 ωρών µπορεί να οφείλεται στην δυσκολία πρόσβασης και µέτρησης ενώ το δευτερο είναι συνήθης συχνότητα που βασίζεται στις αλλαγές βάρδιας κάθε 8ωρο). Θερµοκρασία( o C) Χρόνος (ώρες) Θερµοκρασία ( o C) ώρες 8 ώρες Χρόνος (ώρες) ΣΧΗΜΑ 6.4. Άνω: Χρονοσειρά θερµορασιών σε µια περιοχή που χαρακτηρίζεται από έντονες περιοδικές (ηµερονύκτιες) διακυµάνσεις. Κάτω: Αποτελέσµατα δειγµατοληπτικών µετρήσεων στην ίδια περιοχή. Συστηµατική δειγµατοληψία µε βήµα (χρόνο µεταξύ διαδοχικών µετρήσεων) 18 και 8 ώρες. Με πραγµατική µέση θερµοκρασία 14 o C οι εκτιµήσεις είναι 13,06 και 13,69 αντίστοιχα. Η συστηµατική αυτή δειγµατοληψία όχι µόνο δεν βοηθά στην κατανόηση του βασικού χαρακτήρα του φαινοµένου αλλά δίνει και λανθασµένες (µεροληπτικές εκτιµήσεις της µέσης τιµής (13,06 και 13,69 αντίστοιχα µε πραγµατική µέση τιµή 14 ο C). Ο κίνδυνος λάθους µεγαλώνει όσο η περίοδος της συστηµατικής δειγµατοληψίας πλησιάζει την περίοδο του φαινοµένου. Έτσι στο ανωτέρω παράδειγµα αν οι µετρήσεις άρχιζαν το µεσηµέρι της πρώτης µέρας και συνεχίζονταν κάθε 4 ώρες θα κατέγραφαν συνεχώς την ίδια τιµή που θα ήταν και η µέγιστη ( 18 ο C). Όλες οι τιµές του δείγµατος θα ήταν ίδιες και φυσικά δεν θα έδιναν πληροφορία. Θα ήταν σα να είχαµε µια µόνο παρατήρηση. Και φυσικά όταν οι περίοδοι του φαινοµένου και της δειγµατοληψίας

5 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 65 είναι ίδιες, η τιµή της εκτίµησης εξαρτάται από την επιλογή της πρώτης µέτρησης (στη περίπτωση του παραδείγµατος από την ώρα έναρξης των µετρήσεων. Αν άρχιζαν µετά τα µεσάνυχτα θα είχαµε την εντύπωση µιας σταθερής θερµοκρασίας 10 ο C. Στη φύση τα φαινόµενα µε περιοδικό χαρακτήρα είναι αρκετά συχνά (παλίρροια, ηµερονύκτιες και εποχιακές αλλαγές κ.λ.π.) γι αυτό και η επιλογή της συστηµατικής δειγµατοληψίας καθώς και του βήµατος της πρέπει να γίνονται µε µεγάλη προσοχή. Εάν τα αποτελέσµατα µιας συστηµατικής δειγµατοληψίας δείχνουν ασυνήθιστα υψηλή οµοιογένεια τότε µια προσεκτική ανάλυση των χαρακτηριστικών του πληθυσµού σε σχέση µε το βήµα της δειγµατοληψίας επιβάλεται. Το δεύτερο πρόβληµα προέρχεται από το γεγονός ότι το συστηµατικό δείγµα δεν είναι ένα τυχαίο δείγµα του πληθυσµού. Αυτό δυσχεραίνει την εκτίµηση βασικών παραµέτρων και κυρίως της διασποράς. Κατ αρχήν από τον τρόπο επιλογής των ατόµων του δείγµατος φαίνεται ότι πρόκειται για µια ειδική περίπτωση δισταδιακής δειγµατοληψίας (πρωτογενείς µονάδες που περιέχουν δευτερογενείς από τις οποίες επιλέγεται µία). ΠΙΝΑΚΑΣ 6.1. Συστηµατικά δείγµατα από πληθυσµό 18 ατόµων είγµα Άτοµα 1 y 1 y 5 y 9 y 13 y 17 y y 6 y 10 y 14 y 18 3 y 3 y 7 y 11 y 15 4 y 4 y 8 y 1 y 16 Από θεωρητικής πλευράς η συστηµατική δειγµατοληψία παραβιάζει βασικές συνθήκες της τυχαίας επιλογής. Αυτό γίνεται κατανοητό από το ακόλουθο παράδειγµα. Από έναν υποθετικό πληθυσµό 18 ατόµων y 1, y,..., y 18, θέλουµε να επιλέξουµε ένα συστηµατικό δείγµα ίσο µε το Ό του πληθυσµού. Σύµφωνα µε τη διαδικασία επιλογής που αναφέρθηκε στην προηγούµενη παράγραφο όλα τα δυνατά δείγµατα που µπορεί να δώσει ο πληθυσµός αυτός φαίνονται στον πίνακα 6.1. Η πρώτη παρατήρηση αφορά στο µέγεθος των δειγµάτων: άλλα περιέχουν 5 και άλλα 4 άτοµα. Αυτό οφείλεται στο ότι το Ν/ που είναι ίσο µε το p δεν είναι ακέραιος. Όµως στην πράξη οι συνέπειες αυτής της διαφοράς είναι µηδαµινές όταν το δείγµα είναι µεγάλο (>50). Το βασικό πρόβληµα είναι άλλο. Από τον πίνακα φαίνεται ότι ο πληθυσµός µπορεί να δώσει µόνο τα 4 συγκεκριµένα δείγµατα. Η πιθανότητα τα άτοµα y 1 και y 5 να βρεθούν στο ίδιο δείγµα είναι Ό ενώ η πιθανότητα να βρεθούν µαζί τα y 1 και y είναι 0. Αντίθετα σε ένα τυχαίο δείγµα η πιθανότητα εµφάνισης οποιουδήποτε ζεύγους ατόµων είναι η ίδια. Από τη στιγµή που τα άτοµα του δείγµατος δεν είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο δεν µπορούν και να µας πληροφορήσουν για την ετερογένεια του πληθυσµού. Κατά συνέπεια ένα µόνο συστηµατικό δείγµα ενώ µας δίνει µια εκτίµηση της µέσης τιµής του πληθυσµού δυστυχώς δεν µπορεί να µας δώσει εκτίµηση της διασποράς της µέσης αυτής τιµής. Είναι λοιπόν άχρηστο ένα συστηµατικό δείγµα παρά τα πρακτικά του πλεονεκτήµατα; Σε κάποιες περιπτώσεις που θα αναφερθούν στην επόµενη παράγραφο η συστηµατική δειγµατοληψία µπορεί να εφαρµοσθεί.

6 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Στην περίπτωση που τα άτοµα του πληθυσµού έχουν συγκεκριµένα χαρακτηριστικά το συστηµατικό δείγµα µπορει να µας δώσει εκτίµηση της διασποράς της µέσης τιµής. Θυµίζουµε ότι τα άτοµα είναι οι δειγµατοληπτικές µονάδες και ο πληθυσµός στον οποίο αναφερόµαστε είναι ο δειγµατοληπτικός πληθυσµός. Οι περίπτώσεις αυτές είναι όταν: τα άτοµα κατανέµονται τυχαία µέσα στον πληθυσµό ο πληθυσµός χαρακτηρίζεται από γραµµικές τάσεις αλλαγής Φυσικά στην εφαρµογή των αντίστοιχων εκτιµητών κάθε αποµάκρυνση από αυτές τις συνθήκες έχει και σοβαρές επιπτώσεις στην αµεροληψία και την ακρίβειά τους Πληθυσµός µε τυχαία κατανοµή Όταν υπάρχουν βάσιµα στοιχεία ώστε η κατανοµή των ατόµων στο χώρο ή η σειρά προσέλευσης των ατόµων να θεωρείται τυχαία τότε παρακάµπτονται οι παραπάνω σχολιασµένες δυσκολίες και το συστηµατικό δείγµα µπορεί να θεωρηθεί ένα απλό τυχαίο δείγµα και έτσι εφαρµόζονται οι εκτιµητές του κεφαλαίου 3. εδοµένα ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ υ 1, υ, υ 3,..., υ i,..., υ που στην πραγµατικότητα είναι οι τιµές υ i, υ i+p, υ i+p,..., υ i+(-1)p όπου p είναι το βήµα της δειγµατοληψίας και i το τυχαία επιλεγµένο άτοµο από τα πρώτα p του πληθυσµού p = Παράµετροι του δείγµατος f = y y i = = 1 Εκτίµηση της µέσης τιµής (Γ) του πληθυσµού $ Y y i = y = = 1 i i s y ( yi y) i= 1 = 1 s y v( Y $ ) = s = ( 1 f ) y P{y t s < Y < y + t s = α y α y} 1 α / /

7 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 67 Εκτίµηση του συνόλου (Δ) του πληθυσµού $Y = y v( Y $ ) = s y PY { $ t vy ( $ ) < Y < Y$ + t vy ( $ )} = 1 α α/ α/ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6.1 Είδος φυτού αναπτύσσεται στη διαχωριστική νησίδα αυτοκινητοδρόµου. Για την ετήσια καταπολέµησή του απαιτείται εκτίµηση της συνολικής αφθονίας του ώστε να προβλεφθεί το κόστος της επιχείρησης. Προηγούµενες µελέτες έδειξαν ότι η συγκέντρωση ατόµων είναι σηµαντική κοντά στις κολόνες φωτισµού. Οι κολόνες αυτές είναι τοποθετηµένες κάθε 50 m καθ όλο το µήκος της νησίδας που είναι 30 km. Το διάγραµµα του σχήµατος 6.5 επιβεβαιώνει αυτήν την παρατήρηση. Η περιοχή που διατρέχει ο αυτοκινητόδροµος είναι αρκετά οµοιογενής τόσο από κλιµατολογικής όσο και από τοπογραφικής πλευράς. Θεωρώντας τα στοιχεία αυτά και επίσης ότι το µέγεθος του δείγµατος (µήκος νησίδας που θα αναλυθεί σε όλο της το πλάτος) δεν µπορεί να υπερβαίνει τα 1500 m, σχεδιάστε ένα πρωτόκολλο δειγµατοληψίας. Από τη στιγµή που δεν υπάρχει κανένα στοιχείο που να επιτρέπει τον ορισµό στρώσεων στον πληθυσµό στόχο µπορούµε να θεωρήσουµε χωρίς µεγάλο κίνδυνο λάθους ότι ο πληθυσµός ε χει µια τυχαία κατανοµή. Προσοχή, τυχαία θα είναι η κατανοµή εαν το µέγεθος της δειγµατοληπτικής µονάδας είναι ίσο η ακέραιο πολαπλάσιο της απόσατσης που χωρίζει τις δυο διαδοχικές κολόνες (50m). Εάν η δειγµατοληπτική µονάδα έχει µέγεθος µικρότερο τότε η πυκνότητα του φυτού θα δείχνει έντονες διακυµάνσεις εξαρτόµενη από τη θέση (κοντά ή µακριά από κολόνα φωτισµού). Θα έχουµε δηλαδή τοιχαία ή συναθροιστική κατανοµή ανάλογα µε το µέγεθος της βασικής δειγµατοληπτικής µονάδας. Με βάση τα στοιχεία αυτά µια συστηµατική δειγµατοληψία µε βασική µονάδα ένα τµήµα νησίδας µήκους 50m και µε βήµα 0 θα επέτρεπε µια ικανοποιητική εκτίµηση σεβόµενη το ολικό κόστος της µελέτης. Στην πράξη λοιπόν επιλέγουµε έναν τυχαίο αριθµό από το 1 ως το 0 (έστω ότι είναι το 5), µετράµε τον αριθµό ατόµων από την κολόνα 5 ως την 6 (ή 5m πριν και µετά την κολόνα 5) και στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία στις κολόνες 5, 45, 65 κ.ο.κ.. Έτσι θα αναλύσουµε 1500m συνολικό µήκος νησίδας µε δειγµατοληπτικές µονάδες που θα κατανέµονται οµοιόµορφα στον πληθυσµό. Πράγµατι, 30km δρόµου µε κολόνες κάθε 50m δίνουν ένα σύνολο 600 κολόνων.

8 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 68 Εξετάζοντας µια κάθε 0 (βηµα=0) έχουµε ένα σύνολο 30 δειγµατοληπτικών µονάδων που αντιπροσωπεύουν 30x50m=1500m νησίδας. Εκτός από την οµοιόµορφη κατανοµή των δειγµάτων καθ όλο το µήκος της διαδροµής, η συστηµατική δειγµατοληψία είναι και πιο εύκολη στην εφαρµογή της: ένα δείγµα κάθε 1km ή κάθε 0 κολόνες. Φυσικά όλα αυτά µε την προϋπόθεση ότι οι αρχικές παραδοχές δεν απέχουν πολύ από την 8 φυτά m απόσταση (m) ΣΧΗΜΑ 6.5 Σχηµατική παράσταση κατανοµής είδους φυτού σε νησίδα αυτοκινητοδρόµου καθώς και αποτελέσµατα µελετών που δείχνουν την πυκνότητα του φυτού σε σχέση µε την απόσταση. Η επίδραση των κολονών φωτισµού που απέχουν µεταξύ τους 50 m είναι εµφανής αφού οι αποστάσεις µετρήθηκαν µε σηµείο αναφοράς µια τέτοια κολόνα. πραγµατικότητα. Τιµή της παραµέτρου (y i) Συστηµατική Τυχαία Στρωµατοποιηµένη α/α στοιχείου (i) ΣΧΗΜΑ 6.6 Σύγκριση τριών τύπων δειγµατοληψίας σε πληθυσµό που παρουσιάζει γραµµική τάση. Οι κάθετες γραµµές ορίζουν τις στρώσεις που έχουν το ίδιο µέγεθος µε το βήµα της συστηµατικής δειγµατοληψίας (p=4) Πληθυσµός µε γραµµικές τάσεις αλλαγής Όταν η τιµή µιας µεταβλητής (y i ) που χαρακτηρίζει τα άτοµα ενός πληθυσµού εξαρτάται από τη θέση τους (i) και µάλιστα στην συγκεκριµένη περίπτωση είναι ανάλογη της θέσης τους ή της σειράς τους µέσα στον πληθυσµό (y i =µ + βi), τότε ένα µόνο συστηµατικό δείγµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εκτίµηση παραµέτρων του πληθυσµού. Το δείγµα αυτό έχει το πλεονέκτηµα να καλύπτει (διατρέχει) καλύτερα τον πληθυσµό από τις άλλες συνηθισµένες τεχνικές (σχήµα 6.6). εδοµένα ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ υ 1, υ, υ 3,..., υ i,..., υ που στην πραγµατικότητα είναι οι τιµές υ i, υ i+p, υ i+p,..., υ i+(-1)p όπου p είναι το βήµα της δειγµατοληψίας και i το τυχαία επιλεγµένο άτοµο από τα πρώτα p του πληθυσµού p =

9 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 69 Στον πληθυσµό αυτόν ισχύει yi = µ + β i όπου β είναι η κλίση της γραµµικής σχέσης. Παράµετροι του δείγµατος f = y p + 1 = µ + β Εκτίµηση της µέσης τιµής (Γ) του πληθυσµού $ Y p + 1 = y = µ + β v( Y $ ) = s = y ( 1 f ) g u= 1 d u 75. g (εφαρµογή αυτής της σχέσης σε συστηµατικές δειγµατοληψίες φυσικών πληθυσµών έδωσε ικανοποιητικά αποτελέσµατα αν και υπερ-εκτιµά ελαφρά την πραγµατική διασπορά της µέσης τιµής) Τα g και d u υπολογίζονται ως ακολούθως g=/9 είναι ο αριθµός οµάδων των 9 ατόµων που µπορεί να δώσει το δείγµα d 1 =0.5y 1 -y +y 3 -y 4 +y 5 -y 6 +y 7 -y y 9 d =0.5y 9 -y 10 +y 11 -y 1 +y 13 -y 14 +y 15 -y y 17 d 3 =0.5y 17 -y y 5 d u =... d g =0.5y -8 -y -7 +y -6 -y -5 +y -4 -y -3 +y - -y y P{y t s < Y < y + t s = α y α y} 1 α / / Εκτίµηση του συνόλου (Δ) του πληθυσµού $Y = y v( Y $ ) = s y PY { $ t vy ( $ ) < Y < Y$ + t vy ( $ )} = 1 α α/ α/ Αν ο µελετητής γνωρίζει αρκετά για την δοµή του πληθυσµού τότε µπορεί να αναπτύξει ένα µαθηµατικό µοντέλο που να περιγράφει τις εσωτερικές διακυµάνσεις του (το γραµµικό που αναφέρθηκε είναι το απλούστερο δυνατό). Με αυτό λοιπόν µπορει να κατασκεύασει και µια συνάρτηση για την εκτίµηση της διασποράς της µέσης τιµής ή οποία θα είναι σχεδόν αµερόληπτη (ubiased) για το συγκεκριµένο µοντέλο διακύµανσης αλλά θα είναι πολύ µεροληπτική για πληθυσµούς µε άλλη δοµή. Όλα αυτά φυσικά ισχύουν εκτός από την περίπτωση των περιοδικών µεταβολλών µέσα στον πληθυσµό που κάνουν τη συστηµατική δειγµατοληψία στην απλή της µορφή εντελώς αναποτελεσµατική.

10 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 6. Από ένα πληθυσµό 100 ατόµων θέλουµε συστηµατικό δείγµα ίσο µε το 0% του πληθυσµού. Άρα =0.*=0 και p=/=5. Αντί για ένα θέλουµε να πάρουµε 5 συστηµατικά δείγµατα (m=5). Έχουµε λοιπόν r =/m=4 Από τα /r πρώτα άτοµα επιλέγονται τυχαία m (δεύτερη κολόνα του πίνακα). Στη συνέχεια σε κάθε ένα από αυτά προσθέτοντας mp βρίσκουµε τα υπόλοιπα άτοµα του δείγµατος δείγµα Για να αποφύγουµε τις συνέπειες από µια λανθασµένη απόφαση για τον τύπο της εσωτερικής δοµής του πληθυσµού, όπως αναφέρθηκε στην προηγούµενη παράγραφο, ή όταν η δοµή του πληθυσµού είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη µπορούµε να εφαρµόσουµε την επαναλαµβανόµενη συστηµατική δειγµατοληψία (repeated systematic samplig). Η αρχή είναι απλή. Αντί να πάρουµε ένα µόνο συστηµατικό δείγµα µεγέθους, επιλέγουµε m συστηµατικά δείγµατα µικροτέρου µεγέθους που το άθροισµα των ατόµων τους (των δειγµατοληπτικών µονάδων που περιέχουν δηλαδή) να είναι ίσο µε. Το µέγεθος των δειγµάτων αυτών είναι σταθερό και ίσο µε r =/m. Κάθε ένα από αυτά τα δείγµατα δίνει µια εκτίµηση της µέσης τιµής και η διασπορά των µέσων αυτών τιµών είναι µια εκτίµηση της διασποράς του εκτιµητή της συστηµατικής δειγµατοληψίας. Έχουµε λοιπόν: p = Από τα Ν/ r πρώτα άτοµα του πληθυσµού επιλέγω τυχαία m. Αυτά αποτελούν και τα αρχικά άτοµα των m συστηµατικών µου δειγµάτων. Τα υπόλοιπα άτοµα των δειγµάτων αυτών επιλέγονται µε βήµα ίσο µε mp. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στον πίνακα 6.. r = m Υπενθυµίζεται ότι οι αριθµοί αυτοί αντιπροσωπεύουν την θέση των ατόµων εδοµένα ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ υ 1, υ, υ 3,..., υ i,..., υ που στην πραγµατικότητα είναι οι τιµές υ i, υ i+mp, υ i+mp,..., υ i+(-1)mp του ενός από τα m συστηµατικά δείγµατα p = r = m Παράµετροι του δείγµατος f = y j r y i = = 1 r ji µέση τιµή καθενός από τα m δείγµατα Εκτίµηση της µέσης τιµής (Γ) του πληθυσµού

11 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 71 $ Y m y j = y = = 1 m j v( Y $ ) m ( y j y) = j s = = 1 f y mm ( ) ( 1 1 ) P{y t s < Y < y + t s = α y α y} 1 α / / µε m-1 βαθµούς ελευθερίας Εκτίµηση του συνόλου (Δ) του πληθυσµού $Y = y v( Y $ ) = s y PY { $ t vy ( $ ) < Y < Y$ + t vy ( $ )} = 1 α α/ α/ 6.4. ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Πλεονεκτήµατα Η συστηµατική δειγµατοληψία είναι πολύ πιο εύκολη στην προτιµασία και την πραγµατοποίησή της από τις άλλες στρατηγικές, ειδικά όταν πρόκειται για τη συλλογή πληροφορίας από πληθυσµούς που κατανέµονται σε µεγάλες εκτάσεις. Το πρωτόκολο συλλογής µειώνει στο ελάχιστο την πιθανότητα λάθους (π.χ. λάθος στίς συντεταγµένες σταθµού ή παράληψη παρατήρησης. Αποφεύγεται η µεροληπτική επιλογή ατόµων. Για παράδειγµα όταν ο ερευνητής προσπαθεί να εκτιµήσει το µέσο µέγεθος είδους ψαριού στην ιχθυόσκαλα έχει συχνά αυθόρµητα την τάση να επιλέγει για µέτρηση τα µεγαλύτερα άτοµα. Όταν τα άτοµα του πληθυσµού παρουσιάζονται µε τυχαία σειρά ή κατανέµονται τυχαία στο χώρο τότε η συστηµατική δειγµατοληψία διατηρεί όλα τα πλεονεκτήµατα της τυχαίας δειγµατοληψίας (κεφάλαιο 3) αλλά επιπλέον είναι πιο ακριβής διότι οι παρατηρήσεις κατανέµονται πιο οµοιόµορφα και διατρέχουν (καλύπτουν) Μειονεκτήµατα έν επιτρέπει µε σίγουρο τρόπο την εκτίµηση της διασποράς των εκτιµητών από τη συλλογή ενός µόνο συστηµατικού δείγµατος. Εάν ο πληθυσµός παρουσιάζει περιοδικές διακυµάνσεις τότε η στρατηγική αυτή εγκυµονεί µεγάλους κινδύνους και απαιτείται µεγάλη προσοχή στην επιλογή του βήµατος δειγµατοληψίας. εν επιτρέπει την επιλογή ατόµων µε πιθανότητες που να σχετίζονται µε την σχετική τους σπουδαιότητα και το ρόλο τους µέσα στον πληθυσµού. Το πλάνο αυτό δεν εκµεταλλεύεται εύκολα προϋπάρχουσες πληρφορίες για τη δοµή και την κατανοµή του πληθυσµού. Εκτός από την κατανοµή παρατηρήσεων στο χώρο και τον χρόνο (σταθµούς) το πρωτόκολο αυτό απαιτεί γνώση της διάταξης των ατόµων στον πληθυσµό, πράγµα δύσκολο στις περισσότερες περιπτώσεις.

12 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ 7 όλον τον πληθυσµό. Εάν ο πληθυσµός παρουσιάζει φαινόµενα αυτοσυσχέτησης (autocorrelatio) τότε η συστηµατική δειγµατοληψία είναι πιο ακριβής διότι αποφεύγεται η πιθανότητα συλλογής δειγµάτων από µια συγκεκριµένη περιοχή και που φυσικά θα είναι επηρεασµένα από τα τοπικά χαρακτηριστικά. Τα φαινόµενα αυτοσυσχέτισης είναι πολύ κοινά στη φύση όπου οι κλίµακες των φαινοµένων είναι µεγάλες. Για παράδειγµα δυο µετεωρολογικοί σταθµοί που βρίσκονται κοντά δίνουν πληροφορίες που µοιάζουν πολύ µεταξύ τους σε σχέση µε δυο σταθµούς που απέχουν πολύ µεταξύ τους. Επίσης και όταν υπάρχει γραµµική διακύµανση στον πληθυσµό η συστηµατική δειγµατοληψία είναι πιο ακριβής σε σχέση µε την απλή τυχαία για τον προαναφερθέντα λόγο (παρουσίαση στο σχήµα 6.6).

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ 7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 7.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια αναφέρθηκαν λεπτοµερώς τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των διαφόρων στρατηγικών

Διαβάστε περισσότερα

3.ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (SIMPLE RANDOM SAMPLING)

3.ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (SIMPLE RANDOM SAMPLING) 3.ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (SIMPLE RANDOM SAMPLING) Η πιο απλή τουλάχιστον στην φιλοσοφία της και στην ανάλυση των δεδοµένων της µέθοδος δειγµατοληψίας είναι αυτή κατά την οποία ένας αριθµός ν ατόµων (πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Επιλογή δείγματος Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

2. Η ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

2. Η ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 2. Η ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Μετά την παρουσίαση των βασικών εννοιών, της φιλοσοφίας, και των πρακτικών εφαρµογών της θεωρίας της δειγµατοληψίας, θα ασχοληθούµε σε αυτό το κεφάλαιο µε την πρακτική οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου Σχηματική παρουσίαση της ερευνητικής διαδικασίας ΣΚΟΠΟΣ-ΣΤΟΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ερευνητικά

Διαβάστε περισσότερα

ÄÅÉÃÌÁÔÏËÇØÉÁ ÂáóéêÝò Ýííïéåò êáé ÅöáñìïãÝò óôçí Ïéêïëïãßá

ÄÅÉÃÌÁÔÏËÇØÉÁ ÂáóéêÝò Ýííïéåò êáé ÅöáñìïãÝò óôçí Ïéêïëïãßá ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÁÔÑÙÍ ÔìÞìá Âéïëïãßáò ÄÅÉÃÌÁÔÏËÇØÉÁ ÂáóéêÝò Ýííïéåò êáé ÅöáñìïãÝò óôçí Ïéêïëïãßá $ Y N h L h h = = = = N h L = W h h Êùíóôáíôßíïò ÊÏÕÔÓÉÊÏÐÏÕËÏÓ ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÐÜôñá, 2002 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 6. Δειγματοληψία 6-1

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 6. Δειγματοληψία 6-1 Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα Earl Babbie Κεφάλαιο 6 Δειγματοληψία 6-1 Σύνοψη κεφαλαίου Σύντομη ιστορία της δειγματοληψίας Μη πιθανοτική δειγματοληψία Θεωρία και λογική της πιθανοτικής Δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΟΡΘΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Ε ΑΦΟΥΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΟΡΘΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Ε ΑΦΟΥΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ Επιιστηµονιική Υποστήριιξη Νέων Αγροτών Καιινοτόµες µέθοδοιι καλλιιέργειιας ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΟΡΘΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Ε ΑΦΟΥΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ σελ. 1 Τι σηµαίνει; Τι σηµαίνει και

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Δειγµατοληψια. Καθηγητής Α. Καρασαββόγλου Επίκουρος Καθηγητής Π. Δελιάς

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Δειγµατοληψια. Καθηγητής Α. Καρασαββόγλου Επίκουρος Καθηγητής Π. Δελιάς ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Δειγµατοληψια Καθηγητής Α. Καρασαββόγλου Επίκουρος Καθηγητής Π. Δελιάς ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Η διαδικασία επιλογής παρατηρήσεων Ποια δηµοσκόπηση πιστεύετε πως θα είναι πιο ακριβής: Αυτή που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Οικονοµετρίας Ι.. ικαίος Τσερκέζος

Σηµειώσεις Οικονοµετρίας Ι.. ικαίος Τσερκέζος Ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 33 Η ΣΣΥΜΜΕΕΤΤΑΒΛΗΤΤΟΤΤΗΤΤΑ ΤΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΕΓΓΕΕΘΩΝ.. (ΣΣΥΣΣΧΕΕΤΤΙ ( ΙΣΣΗ) ) Γραµµική και Μη Γραµµική Συσχέτιση. Συντελεστής Αυτοσυσχέτισης. Μνήµη Χρονοσειρών. 8 7 6 F F F3 F4 F5 F6 F7

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. 3 η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών. ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. 3 η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών. ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ 3 η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών. ΤΕΙ Πελοποννήσου Συλλογή δεδομένων Πρωτογενή δεδομένα Εργαστηριακές μετρήσεις Παρατήρηση Παρατήρηση με συμμετοχή,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή Δείγματος. Απόστολος Βανταράκης Αναπλ. Καθηγητής Ιατρικής

Επιλογή Δείγματος. Απόστολος Βανταράκης Αναπλ. Καθηγητής Ιατρικής Επιλογή Δείγματος Απόστολος Βανταράκης Αναπλ. Καθηγητής Ιατρικής Δειγματοληψία Να κατανοηθούν: Γιατί κάνουμε δειγματοληψία Ορισμοί δειγματοληψίας Αντιπροσωπευτικότητα Κύριοι μέθοδοι δειγματοληψίας Λάθη

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας

Γενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας Γενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας Σκοπός των ασκήσεων είναι η κατανόηση φυσικών φαινοµένων και µεγεθών και η µέτρησή τους. Η κατανόηση αρχίζει µε την µελέτη των σηµειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία

Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Περιεχόµενα ειγµατοληψία Κατανοµές ειγµατοληψίας Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Τι

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18 ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18 14 Νοεµβρίου, 2006 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων Μεταπτυχιακό Υπολογιστικής Φυσικής Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων ηµήτρης Κουγιουµτζής E-mail: dkugiu@auth.gr 30 Ιανουαρίου 2018 Οδηγίες : Σχετικά µε την παράδοση της εργασίας ϑα πρέπει : Το κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική

Μάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική Μάθηµα 4 Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Μέτρα θέσης. Εισαγωγή. Για πιο σύντοµη, αποδοτική και συγκρίσιµη θεώρηση της κατανοµής συχνοτήτων µιας µεταβλητής, έχουµε ορίσει και χρησιµοποιούµε κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Προσανατολισµός ονοµάζεται ο καθορισµός της θέσης των σηµείων του ορίζοντα. Το να γνωρίζουµε να προσανατολιζόµαστε σωστά, είναι χρήσιµο για όλους

Προσανατολισµός ονοµάζεται ο καθορισµός της θέσης των σηµείων του ορίζοντα. Το να γνωρίζουµε να προσανατολιζόµαστε σωστά, είναι χρήσιµο για όλους Προσανατολισµός ονοµάζεται ο καθορισµός της θέσης των σηµείων του ορίζοντα. Το να γνωρίζουµε να προσανατολιζόµαστε σωστά, είναι χρήσιµο για όλους µας. Ένας µεγάλος αριθµός ατυχηµάτων οφείλεται, άµεσα ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς

Κεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η παρεµβολή στο χώρο αποτελεί ένα σηµαντικό αντικείµενο µελέτης στη χαρτογραφία και σε όσους τοµείς της επιστήµης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Δασική Δειγματοληψία

Δασική Δειγματοληψία Δασική Δειγματοληψία Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Τμήμα Δασολογίας και Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων 5 ο εξάμηνο ΚΙΤΙΚΙΔΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ Εισαγωγή Δειγματοληψία Επιλογή ενός μέρους από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 12. Κεφάλαιο: Στατιστική

Μάθηµα 12. Κεφάλαιο: Στατιστική Μάθηµα 12 Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες: 1. Γραφικές Παραστάσεις Κατανοµής Συχνοτήτων Γραφικές παραστάσεις κατανοµής συχνοτήτων. Οι πίνακες κατανοµής συχνοτήτων παρουσιάζουν πλήρως και αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Η βασική διαφορά μεταξύ των πειραματικών σχεδίων είναι ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται ή κατατάσσονται οι πειραματικές μονάδες (πειραματικά τεμάχια) Σε όλα τα σχέδια

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δείγμα & Δειγματοληψία στην Έρευνα ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (#252) Θυμηθείτε. Γιατί δειγματοληψία; Δειγματοληψία

Δείγμα & Δειγματοληψία στην Έρευνα ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (#252) Θυμηθείτε. Γιατί δειγματοληψία; Δειγματοληψία Θυμηθείτε εισήγηση 7η Δείγμα & Δειγματοληψία στην Έρευνα ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (#252) Η Στατιστική είναι ένας μηχανισμός που από τα δεδομένα παράγει πληροφόρηση: Δεδομένα Στατιστική Πληροφορίες Αλλά από πού

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Παραμετρικές Εξισώσεις Παραμετρικές Εξισώσεις Άσκηση 1 Άσκηση 1 Λύση: (αριστερόστροφη) Άσκηση 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ Απρίλης 014 Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος 013-14 του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος ppapant@upatras.gr Πάτρα, 2017 Στόχοι Βασικές έννοιες στατιστικής Μέθοδοι συλλογής στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα διάρθρωσης γεωργικών και κτηνοτροφικών εκμεταλλεύσεων ΕΙΔΟΣ. Δειγματοληπτική έρευνα / Απογραφική έρευνα

Έρευνα διάρθρωσης γεωργικών και κτηνοτροφικών εκμεταλλεύσεων ΕΙΔΟΣ. Δειγματοληπτική έρευνα / Απογραφική έρευνα Έρευνα διάρθρωσης γεωργικών και κτηνοτροφικών εκμεταλλεύσεων ΕΙΔΟΣ Δειγματοληπτική έρευνα / Απογραφική έρευνα Ερευνώμενος Πληθυσμός και Δειγματοληπτικό Πλαίσιο Η έρευνα πραγματοποιήθηκε σε όλους τους Νομούς

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακοί στόχοι κεφαλαίου

Μαθησιακοί στόχοι κεφαλαίου Δειγματοληψία Μαθησιακοί στόχοι κεφαλαίου Να κατανοήσετε τις διάφορες τεχνικές δειγματοληψίας και την ανάγκη να τις συνδυάζετε στα πλαίσια ενός ερευνητικού έργου Να επιλέγετε τις κατάλληλες τεχνικές δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης.

µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης. 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ () ΜΕ ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης. Το φύλλο εργασίας στηρίζεται στο αντίστοιχο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου που

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα