+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4.

Transcript

1 993 ΘΕΜΑΤΑ. ίετι η συάρτηση f() = + + µε >. ) Ν εξετάσετε τη µοοτοί της συάρτησης f. β) Ν υπολογίσετε το lim f(t) dt. + + ) Έχουµε f () = () + ( + ) ( + ) + = + (+ ) ( + ) = = - 3 <, φού >. + + ( ) Άρ η f είι γησίως φθίουσ στο (, + ). β) Γωρίζουµε ότι: f, g, h συεχείς συρτήσεις στο [, β] µε < β, κι f() g() h() γι κάθε [, β] τότε β β f() d g() d h() d (). β Γι κάθε t [, + ] µε > έχουµε t + f f() f(t) f( + ) () + f() dt f(t) dt f( + ) + + dt + + f()[ t ] f(t) d f( + ) t [ t] + + f() ( + ) f(t) dt f( + ) ( + ) f() + + f(t) dt f( + ), οπότε έχουµε lim f() = lim ( + ) = + = lim f( + ) = lim ( + ) = + = + + (+ ) Άρ πό κριτήριο πρεµβολής lim f(t) dt =. + ος τρόπος Επειδή η συάρτηση f είι συεχής γι κάθε t [, + ] µε >, σύµφω µε το θεώρηµ µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού υπάρχει + ξ (, + ) τέτοιο ώστε + f(t) dt = f(ξ) ( + ) = f(ξ), οπότε

2 lim + + f(t) dt = lim f(ξ) = + lim + ξ + + =.. ίετι η ορθή γωί Oy κι το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ µήκους m του οποίου τ άκρ Α κι Β ολισθίου πάω στις πλευρές Οy κι O τιστοίχως. Το σηµείο Β κιείτι µε στθερή τχύτητ υ = m/sec κι η θέση του πάω στο άξο O δίετι πό τη συάρτηση s(t)=υt, t [, 5] όπου t ο χρόος (σε sec). ) Ν βρεθεί το εµβδό E(t) του τριγώου ΑΟΒ ως συάρτηση του χρόου. β) Ποιος είι ο ρυθµός µετβολής του εµβδού E(t) τη στιγµή κτά τη οποί το µήκος του τµήµτος ΟΑ είι 6m; ) Γι t [, 5] έχουµε ΟΒ = s(t) = υt = t, ΟΑ + ΟΒ = ΑΒ ΟΑ = ΟΑ = t E(t) = ΟΑ ΟΒ = t, οπότε t E(t) = t AB OB t t = 5 t, t [, 5]. y Α m υ= O s(t) Β β) Θ βρούµε πρώτ ποι χροική στιγµή το µήκος του τµήµτος ΟΑ είι 6m: OA = 6 Γι κάθε t (, 5) έχουµε E (t) = (t) (5 t ) 5 t t = 6 t = 36 t = 6 t = sec. 5 t + t( 5 t ) = 5 t + t. Άρ ο ζητούµεος ρυθµός µετβολής είι 5 t (- t) = E () = (5 ) 5 = - 3 m /sec. 3. Ν βρεθεί η συεχής συάρτηση f: γι τη οποί ισχύει: e t f(t) dt = e - e - e - f() µε,. Πολλπλσιάζουµε µε e τη δοθείσ ισότητ κι έχουµε e e t f(t) d t = e - f() f() = e - e t f(t) d t. () e

3 Η συάρτηση e e t f(t) d t είι πργωγίσιµη (γιόµεο πργωγίσιµω συρτήσεω), εποµέως η f() είι πργωγίσιµη (άθροισµ πργωγίσιµω συρτήσεω). Από τη δοθείσ ισότητ, πργωγίζοτς κι τ δύο µέλη ως προς, πίρουµε e - f() = - e - + e - f() e - f () e - f () = - e - f () = (- ) f()= - + c, όπου c. Όµως πό τη () έχουµε f() = e e =, κόµη f()= - + c = - + c c =. Εποµέως η ζητούµεη συάρτηση είι η f() = - +,. f () = -. ίετι η συάρτηση f() = µ,, όπου µ είι πργµτικός ριθµός. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() = δε µπορεί έχει δύο διφορετικές ρίζες στο οικτό διάστηµ (, ). Έχουµε f () = 7 + 3,, κι f () = = = ή = 3 κι f () < < (, 3), φού = >. Άρ η f είι γησίως φθίουσ στο (, 3), οπότε κι στο (, ) (, 3). Εποµέως η εξίσωση f() = έχει το πολύ µί ρίζ στο (, ), άρ δε µπορεί έχει δύο διφορετικές ρίζες στο οικτό διάστηµ (, ). 5. Α η συάρτηση g έχει συεχή πράγωγο στο κλειστό διάστηµ [, ] κι ικοποιεί τη σχέση g () d = 993 g() d, βρείτε τη τιµή της συάρτησης g γι =. Έχουµε g () d = 993 g() d g () d + g() d = 993 ( g () + g()) d = 993 ( g()) d = 993 [ g() ] = 993 g() g() = 993 g() = 993.

4 6. Μι βιοµηχί πράγει ποσότητ πό έ προϊό µε κόστος που δίετι πό τη συάρτηση K() = 3, όπου το διτρέχει το οικτό διάστηµ (, + ) κι η πράµετρος πίρει τιµές στο κλειστό διάστηµ [ 9, 9 ]. Τ έσοδ πό τη πώληση ποσότητς του προϊότος δίοτι πό τη συάρτηση E() =, (, + ) κι το κέρδος δίετι πό τη συάρτηση f() = E() K(), (, + ). ) Ν βρείτε τη ποσότητ o γι τη οποί έχουµε το µέγιστο κέρδος, το οποίο συµβολίζουµε µε Μ(). β) Ν βρείτε τη τιµή του [ 9, 9 ] γι τη οποί το Μ() γίετι µέγιστο, κθώς κι το µέγιστο υτό κέρδος. ) Έχουµε f() = E() K() = 3, (, + ), οπότε f () = 3, (, + ), f () = 3 = ( 3 ) = > 3 = = 8 3, f () < 3 < ( 3 ) < > 3 < > 8 3 κι f () > < < 8 3. Άρ η f προυσιάζει ολικό µέγιστο στη θέση = 8 3 f( 8 3 ) = ( 8 3 ) ( )3 = 7, δηλδή Μ() = 6 7, [ 9, 9 ]. 8 β) Έχουµε Μ () = <, γι κάθε [ 9, 9 ], άρ η Μ() είι γησίως φθίουσ στο [ 9, 9 ] κι επειδή είι κι συεχής σε υτό προυσιάζει το µέγιστο στη θέση = 9 το Μ( 9 ) = 8.

5 7. ίετι η συάρτηση f() = e -,, όπου µη µηδεικός φυσικός ριθµός. Α) Ν µελετήσετε τη µοοτοί της f κι βρείτε τ κρόττ κι τ σηµεί κµπής της. Β) Ν ποδείξετε ότι: e e d e. A) Γι κάθε έχουµε: f () = () e - + (e - ) = e - ( ) κι f () = e - ( ) = =, f () > e - ( ) > <, - + f + f ο.µ. Η f είι γησίως ύξουσ στο (-, ], Η f είι γησίως φθίουσ στο [, + ) οπότε η f προυσιάζει ολικό µέγιστο στη θέση το f( ) = f () = [ e - ( )] = (e - ) ( ) + e - ( ) = - e - ( ) e - = e - ( ), κι f () = f () > e - ( ) = =. e - ( ) > >. e = e. - f () + f () f() + Οπότε η C f έχει σηµείο κµπής το (, f( )) δηλδή το (, ). e Β) Επειδή [, ] έχουµε f f( ) f() f( ) e f() e. e f() e f() ( f()) d e e d f() d e ( ) f() d

6 e f() d. f() e f() e ) d (f() e f( ) d e d f() d e ( ) f() d e. Εποµέως e f() d e e e d e e e d e.