Ακρότατα και φράγµατα στα µέτρα µιγαδικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ακρότατα και φράγµατα στα µέτρα µιγαδικών"

Transcript

1 ΤΙΤΛΟΣ Ακρότατα και φράγµατα στα µέτρα µιγαδικών ΣΧΟΛΙΟ ΣΕ: Πάµπολλες είναι οι ασκήσεις όπου ζητείται το µέγιστο ή το ελάχιστο του µέτρου κάποιου µιγαδικού. Με το άρθρο του συναδέλφου µας Λεωνίδα Θαρραλίδη που ακολουθεί, αποσαφηνίζονται µε τον καλύτερο τρόπο τα διάφορα σχετικά ερωτήµατα. Όπως προκύπτει από το άρθρο, συνηθισµένες είναι οι ελλιπείς ή και λάθος λύσεις στα θέµατα αυτού του είδους.. Εισαγωγή Στο ο θέµα των µαθηµατικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις µιγαδικοί µε = = = και + + = 0 και, µεταξύ άλλων, ζητούνταν να αποδειχθούν οι ανισότητες: 4 και Re( ). Ωστόσο, µε τα δεδοµένα του προβλήµατος, µπορούσε να αποδειχθεί ότι = ενώ Re( ) = ( ες σχετικά και στο τέλος του άρθρου). Αυτό, φυσικά, δεν αναδεικνύει λανθασµένο το θέµα, αλλά εγείρει το ερώτη- µα κατά πόσο είναι νόµιµο από τη µεριά της «µαθηµατικής ηθικής» να ζητούµε από µαθητές να αποδείξουν την ύπαρξη φράγµατος σε µία σταθερή ποσότητα: τον αριθµό 4 ως άνω φράγµα του φράγµα του Re( ). και τον αριθµό ως κάτω Όταν είδα το θέµα, θυµήθηκα µία άσκηση (από τις «Γενικές» µάλιστα) του χαριτωµένου και αλησµόνητου βιβλίου µαθηµατικών τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Α Έκδοση 999). Στην άσκηση 5 της σελίδας 5 δίνονταν οι µιγαδικοί = i και = + i και ζητούνταν η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της παράστασης +, δηλαδή η µεγαλύτερη και µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει ο αριθµός: ( i) + (+ i) = 4+ i= 7!!!

2 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο Πόσο µεγάλο µπορεί άραγε να γίνει το 7 ; (Παρεπιµπτόντως, στο βιβλίο αυτό, σε µερικές ασκήσεις -σε µερικές άλλες, πάλι, όχι!- όταν λέγαµε «µιγαδικός» εννοούσαµε «µη πραγµατικός µιγαδικός»).. Φράγµα - Ακρότατο Έστω Α µία παράσταση που περιέχει µεταβλητές (τουλάχιστον µία) και η αριθµητική της τιµή µεταβάλλεται. Άνω φράγµα της Α λέγεται κάθε α- ριθµός α για τον οποίο ισχύει A α, για οποιαδήποτε τιµή των µεταβλητών της παράστασης A. Είναι φανερό ότι, τότε, και κάθε αριθµός β µε β> α, είναι επίσης ένα άνω φράγµα της A. Για παράδειγµα, αν A= ηµx+ 4συνx, τότε το 7 είναι ένα άνω φράγµα της A, αφού: ηµx+ 4συνx + 4 = 7. Αλλά φυσικά ισχύουν και A 0, A 500 κλπ. Ανάλογα: κάτω φράγµα της A, είναι κάθε αριθµός κ, µε A κ. Αλλά και οποιοσδήποτε αριθµός λ µε λ κ, είναι επίσης κάτω φράγµα της A. Ακρότατα της A είναι το µέγιστο και το ελάχιστο της A : Μέγιστη Τιµή της A είναι ο αριθµός Μ, όταν είναι ο µεγαλύτερος από τις δυνατές τιµές που παίρνει η παράσταση Α. Ελάχιστη Τιµή της A είναι ο αριθµός m, που είναι η ελάχιστη από τις τιµές που µπορεί να λάβει η παράσταση. Έτσι, για την A= ηµx+ 4συνx, η οποία µετασχηµατίζεται (Άλγεβρα Β Λυκείου, σελίδα 46) στη µορφή A= 5ηµ(x+ φ), όπου µέγιστη τιµή είναι M= 5 ενώ η ελάχιστη m= 5. 4 ηµφ =,συνφ=, η 5 5 Μπορούµε να δώσουµε και µία διαφορετική απόδειξη, µέσω διανυσµάτων: Αν θέσουµε α = (,4) και β = (ηµx,συνx) τότε είναι α= 5,β= και Α= α β. Όµως ισχύει α β α β α β ακραίες τιµές να είναι πραγµατοποιήσιµες όταν α // β. δηλαδή 5 Α 5, µε τις

3 ΤΙΤΛΟΣ εν υποχρεούται κάθε παράσταση να εµφανίζει φράγµατα ή ακρότατα. Για παράδειγµα η A= x +,x 0 δεν έχει ούτε φράγµατα ούτε ακρότατα. Η x B= x +,x> έχει κάτω φράγµα κάθε αριθµό κ µε κ αλλά δεν έχει x ακρότατο. Τέλος, η παράσταση Γ= x +,x έχει κάτω φράγµα κάθε α- x ριθµό κ µε κ και ελάχιστη τιµή το. (Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι x+, x R µε την ισότητα να ισχύει για x= ). Πάντως, όταν µία x παράσταση έχει ελάχιστη τιµή, αυτή είναι το µέγιστο κάτω φράγµα της. Οι διαφορές µεταξύ άνω φράγµατος και µέγιστης τιµής (όταν υπάρχουν) είναι:. Η µέγιστη τιµή είναι µοναδική ενώ τα άνω φράγµατα άπειρα σε πλήθος. εν θα ήταν παράλογο να ζητηθεί στο ο θέµα του 006 ότι π.χ. 006!!. Η µέγιστη τιµή είναι αριθµός που λαµβάνει η παράσταση για προσδιορίσιµες τιµές των µεταβλητών που περιέχει. Ανάλογης ποιότητας διαφορές µπορούµε να εντοπίσουµε και µεταξύ των ακόλουθων µαθηµατικών εννοιών:. Μεταξύ συνόλου αφίξεως B συνάρτησης f : A B και συνόλου τιµών f(a) : Το B είναι υπερσύνολο του f(a), περιέχει όλες τις τιµές f(x) των στοιχείων x του A, αλλά ενδεχοµένως και αριθµούς που δεν είναι τιµές της συνάρτησης. Για παράδειγµα, αν f : R [,0] µε f(x) = ηµx τότε B= [,0] ενώ προφανώς f(a) [,] =.. Μεταξύ της περιβάλλουσας γραµµής και του γεωµετρικού τόπου µεταβλητού σηµείου M. Η περιβάλλουσα είναι «η γραµµή στην οποία κινείται το M», άσχετα µε το αν τελικά το M δεν µπορεί να βρεθεί σε όλες τις θέσεις της. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε µεταβλητό σηµείο M(ηµθ,συνθ) µε π θ 0, τότε x M + ym =, άρα το M κινείται στο µοναδιαίο κύκλο (0,).

4 4 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο π Αφού όµως θ 0,, συµπεραίνουµε ότι x M,yM 0. Έτσι ο γεωµετρικός τόπος του M είναι το τεταρτοκύκλιο του παραπάνω κύκλου που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο. Ο προσδιορισµός Ακροτάτων Παράστασης, Συνόλου Τιµών, Γεωµετρικού Τόπου είναι σαφώς δυσχερέστερος από τον υπολογισµό φραγµάτων ή συνόλου αφίξεως ή περιβάλλουσας, εφόσον απαιτεί έλεγχο των αποτελεσµάτων ως προς τη δυνατότητα πραγµατοποίησής τους.. Ασκήσεις µε Ακρότατα Μέτρου Μιγαδικών Στη συνέχεια θα δούµε µερικές ασκήσεις, στις οποίες ο βιαστικός εντοπισµός «ακροτάτων» αποδεικνύεται παραπλανητικός. Σε κάθε περίπτωση ακολουθεί η αποκατάσταση της αλήθειας. Άσκηση Λύση ίνονται οι µιγαδικοί, w µε w= + + 4i και 7 + = i. Α. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας K(). Β. Να βρείτε το ελάχιστο δυνατό µέτρο του w. Α. Το K() βρίσκεται στη µεσοκάθετο του AB όπου A( 7,0) και B(,), η οποία είναι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος. Αν θέσουµε = x+ yi, βρίσκουµε την εξίσωση η οποία είναι της µεσοκαθέτου (ε) του AB. x+ 4y= Β. Με = x+ yi, είναι w = (x+ ) + (y+ 4)i. Έτσι: w = (x+ ) + (y+ 4) = x + y + 6x+ 8y+ 5 και αφού 6x+ 8y= (x+ 4y) = 4 : δηλαδή w 7. Έτσι w = 7. min w= x + y = 7 ΣΧΟΛΙΟ: Σύµφωνα µε τον τρόπο λύσης στο (Β), το ελάχιστο µέτρο του w επι-

5 5 ΤΙΤΛΟΣ Άσκηση Λύση τυγχάνεται όταν x + y = 0 x= y= 0. Όµως η εικόνα του αριθµού 0 δεν βρίσκεται στην x+ 4y=!! ιαφορετικά: Ο µιγαδικός = 0+ 0i δεν έχει την ιδιότητα 7 + = i. Κατά συνέπεια, το 7 δεν είναι η ελάχιστη τιµή του µέτρου του w, αλλά ένα κάτω φράγµα. Το λάθος διορθώνεται ως εξής: Είναι w = (KA), όπου K(), A(, 4). Έτσι, έχουµε: ( ) + 4( 4) 7 = d(a,ε) = = > 7. min Με το γεωµετρικό αυτό τρόπο, είναι δυνατό να προσδιορισθεί και ο µιγαδικός w µε το ελάχιστο δυνατό µέτρο. Α. Να λύσετε την εξίσωση: 6συνθ + 5συν θ+ 4= 0, όπου θ R. Β. Να βρείτε τη γραµµή στην οποία κινούνται οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης, για τις διάφορες τιµές του θ. Γ. Να βρείτε τη µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου για τις ρίζες αυτές. Α. Είναι = ( 6συνθ) 4( 5συνθ+ 4) = 6συν θ 6= ( 4ηµθ) άρα, = συνθ± ηµθ i. Β. Αν Μ, οι εικόνες των, τότε x, Έτσι: = συνθ ενώ y, =± ηµθ. x, y, = συνθ, =± ηµθ οπότε τα σηµεία Μ, βρίσκονται στην έλλει- ψη µε εξίσωση x y + =. 9 4 Γ. Είναι = (MM ) και η µέγιστη τιµή προκύπτει όταν το τµήµα MM γίνει ο µεγάλος άξονας της έλλειψης. Είναι α = 9 άρα α= και α= 6. Έτσι: = 6.

6 6 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο ΣΧΟΛΙΑ: Οι µιγαδικοί είναι συζυγείς εποµένως οι εικόνες τους είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα x x. Έτσι, η χορδή MM της έλλειψης είναι κάθετη στον x x άρα η µέγιστη τιµή της είναι ο µικρός άξονάς της, δηλαδή: = β= = 4. Στο ίδιο συµπέρασµα θα καταλήγαµε και ως εξής: Είναι = = Im( ) i= ηµθ= 4 ηµθ άρα = 4, όταν ηµθ= κλπ. Με το δεύτερο αυτόν τρόπο, µπορεί να απαντηθεί και η επόµενη π παραλλαγή της άσκησης: Να δοθεί ότι θ 0, αντί για θ R. 4 Σ αυτή την περίπτωση η µέγιστη τιµή του αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή του ηµθ µε Θα βρίσκαµε =. π θ 0, 4, δηλαδή στο π ηµ =. 4 Αν θέλει κανείς να περιπλέξει ακόµη περισσότερο την κατάσταση, µπορεί να δώσει διαφορετικό διάστηµα για το θ, π.χ. το [ 7π / 6,4π / ]. Άσκηση ίνεται η εξίσωση συνθ + (5 4ηµθ) = 0, όπου θ [0,π]. Α. Να βρείτε τις ρίζες της, και τη γραµµή στην οποία κινούνται οι εικόνες τους. Β. Να υπολογίσετε τη µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου. Λύση Α. Είναι = 4συν θ 0+ 6ηµθ= 4( ηµ θ) 0+ 6ηµθ= = 4(ηµθ 4ηµθ+ 4) = [(ηµθ )] άρα,= συνθ ± (ηµθ )i. Αν Μ (συνθ,ηµθ ) η εικόνα του = συνθ + (ηµθ )i,

7 7 ΤΙΤΛΟΣ τότε ισχύει M M x + (y + ) =, οπότε το M κινείται στον κύκλο µε κέντρο το K(0, ) και ακτίνα. Όµοια, η εικόνα M (συνθ, ηµθ) βρίσκεται στον κύκλο µε κέντρο Λ(0,) και ακτίνα. Β. Είναι = (MM ). Με ένα πρόχειρο σχήµα καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το µέγιστου µήκους τµήµα MM προκύπτει όταν το M βρεθεί στη θέση (0, ) ενώ το M στη θέση (0,). Έτσι: = 6. ΣΧΟΛΙΑ: Είναι = = Im( ) = ηµθ = 4 ηµθ. Στο [0,π], η ελάχιστη τιµή του ηµθ είναι η ηµ0= ηµπ= 0 άρα = 4. Προκύπτει όταν Μ (, ) και Μ (,) (για θ= 0 ) ή Μ (, ) και Μ (,) (για θ= π ) Αν στο ερώτηµα (Α) είχε ζητηθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων, τότε τα πράγµατα θα ήταν ευκολότερα στο (Β), αλλά δυσκολότερα στο (Α): ουδέν καλόν αµιγές κακού! Αφού θ [0,π], θα έχουµε συνθ [,] ενώ ηµθ [0,] άρα (ηµθ ) [, ] δηλαδή ηµθ και ηµθ. Έτσι, για το Μ (x, y) ισχύουν: x, y και για το Μ : x, y. Τελικά, ο γεωµετρικός τόπος του Μ είναι το πάνω ηµικύκλιο του πρώτου κύκλου ενώ του Μ το κάτω ηµικύκλιο του δεύτερου κύκλου. Άσκηση 4 y Έστω = x+ yi µε x, y πραγµατικούς και x + =, όπου ηµθ π θ 0,. Α. Αποδείξτε ότι: + συν θ = + ηµθ.

8 8 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο Β. Αν η εικόνα του αξόνων και το σηµείο A(,0) :. Να βρείτε την τιµή του βρίσκεται σε έλλειψη µε εστίες την αρχή των π θ 0,.. Υπολογίστε το µιγαδικό µε =.. Ποια είναι η µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου του ; Λύση Α. Η εικόνα M() βρίσκεται στην έλλειψη µε άρα γ = α β = συν θ. Έτσι γ= συνθ> 0 αφού Ε(συνθ,0). π θ 0, α =, β = ηµθ και οι εστίες είναι Ε ( συνθ,0), Θα ισχύει, λοιπόν: (ME ) + (ME) = α + συνθ+ συνθ=, οπότε ( + συνθ+ συνθ ) = 4 + συνθ + + συνθ συνθ+ συνθ = 4 και µετά τις πράξεις: + συν θ+ συν θ= 4 από όπου τελικά έχουµε το ζητούµενο. Β.. Αφού 0+ συν θ ηµθ = +, η εικόνα του κινείται, για κάθε τιµή του θ, σε έλλειψη µε εστίες Ο(0,0) και Συµπεραίνουµε ότι άρα. Αφού Ακόµη: συν θ= συνθ= και τελικά θ= π 4. ηµθ=, θα είναι: = x + y =. 4 (συν θ,0). y x + = x + y =. Από το σύστηµα, βρίσκουµε: οπότε =± ± i. x =±,y±

9 9 ΤΙΤΛΟΣ. Αντικαθιστώντας στη σχέση του (Α): άρα: =. Έτσι: + = 6 = = =. ΣΧΟΛΙΑ: Είναι x + y = και = x + y = x + y y = y άρα = = Αυτό συµβαίνει όταν y= 0. Τότε x = x=±, δηλαδή όταν =± + 0i =±. 6 Η λανθασµένη τιµή =, είναι απλώς ένα άνω φράγµα για το µέτρο του. Το λάθος στον υπολογισµό ήταν ότι θεωρήθηκε εφικτό να έχουµε = 0 =, που φυσικά αντιφάσκει µε το =! 4. Η Αφορµή Από τα παραπάνω θα έγινε αντιληπτό ότι, για να βεβαιωθούµε αν ένας αριθµός είναι ακρότατο κι όχι κάποιο φράγµα για την µεταβλητή παράσταση που µας απασχολεί, ο ασφαλής τρόπος είναι να ελέγχουµε για ποιες τιµές των-της µεταβλητής επιτυγχάνεται ο αριθµός αυτός. Αφορµή για το άρθρο αυτό, αποτέλεσε µία παραλλαγή άσκησης του σχολικού βιβλίου (που βρήκα σε φροντιστηριακό) όπου, επιπλέον, ζητούνταν η µέγιστη τιµή ενός µέτρου, χωρίς όµως να εξετάζεται αν αυτή µπορεί να πραγµατοποιηθεί. Στη συνέχεια, µεταφέρω την αρχική ά- σκηση (του σχολικού βιβλίου), το ερώτηµα για το µέγιστο µέτρο και ένα δικό µου, που αφορά τη δυνατότητα επίτευξής του : Άσκηση 5 ίνονται οι µιγαδικοί, w µε w i = i +.

10 0 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο Λύση Α. Αποδείξτε ότι: αν η εικόνα του ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ=, τότε το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του µιγαδικού w. Β. Να υπολογίσετε τη µέγιστη δυνατή τιµή του µέτρου w. Γ. Για ποια τιµή του προκύπτει η παραπάνω µέγιστη τιµή; Α. Θα δείξουµε ότι: αν = τότε w=. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι, για παράδειγµα: i i i i i w= = = = = =, i+ i+ i + i i + αφού =. Β. Αν Μ(), K(w) οι εικόνες των, w τότε w = (MK). Τα M, K βρίσκονται σε κύκλο ακτίνας ρ= οπότε η µέγιστη τιµή του (MK) προκύπτει όταν η χορδή MK γίνει διάµετρος. Συµπεραίνουµε ότι: w =. Γ. Τα σηµεία M, K είναι αντιδιαµετρικά όταν είναι συµµετρικά ως προς το κέντρο Ο του κύκλου. Τούτο συµβαίνει όταν οι, w είναι αντίθετοι, δηλαδή όταν: Έχουµε: άρα, i i+ + w= 0 + = i = 0 = ( 4i) 4( ) = < 0 4i± i = = (± )i.. ΣΧΟΛΙΑ: Στο (Γ) ερώτηµα χρησιµοποιήσαµε τύπο διακρίνουσας µε µη πραγµατικό αριθµό. Τα αποτελέσµατα είναι φυσικά έγκυρα, ωστόσο αυτή η περίπτωση δεν περιλαµβάνεται στο σχολικό βιβλίο. Τελικά, η παρτίδα σώθηκε! Με την έννοια ότι είχαµε όντως µέγιστη τιµή (και όχι φράγµα) το. Ωστόσο, το πρόβληµα είναι γενικότερο: όταν δύο µεταβλητοί µιγαδικοί, w αλληλεξαρτώνται και γνωρίζουµε τις γραµµές κίνησης των εικόνων τους, τότε δεν είναι σίγουρο ότι αυτό που «νοµίζουµε» ως ακρότατη τιµή του w µπορεί να επιτευχθεί. Κι αυτό γιατί, ενδέχεται οι «ιδανικές» θέσεις των εικόνων

11 ΤΙΤΛΟΣ τους να µην επιτυγχάνονται ταυτόχρονα, εφόσον η οποιαδήποτε θέση της µίας εικόνας καθορίζει αυτόµατα και τη θέση της άλλης, µέσω της σταθερής σχέσης που συνδέει τους δύο µιγαδικούς. Αν, για παράδειγµα i w= και =, εύκολα βρίσκουµε ότι i+ και w=. Θα περίµενε κανείς ότι η µέγιστη τιµή του µέτρου w είναι. Αλλά αυτό συµβαίνει όταν: i + w= 0 + = 0... i+ i = 0 ( i) = 0 = i, τιµή που όµως απορρίπτεται αφού µηδενίζει τον παρονοµαστή του w! Βέβαια, ο παρατηρητικός λύτης ίσως πρόσεχε ότι: i( i) i( i) = = δηλαδή ότι w= + i ( i) i!!! i( i) w= = i(i + ) Με άλλα λόγια, ο w είναι σταθερός µιγαδικός. Τώρα είναι: w= + i = (MA) όπου Α(0,) ενώ το Μ() βρίσκεται στον κύκλο (O,). Το µήκος (MA) δε µεγιστοποιείται, αφού το M δε µπορεί να βρεθεί στη θέση (0,), εξαιτίας του ότι i+ 0 i. 5. ιερεύνηση Θα εξετάσουµε τώρα τις συνθήκες κάτω από τις οποίες δύο συνδεόµενοι µιγαδικοί, w του ίδιου µέτρου δε δίνουν µέγιστη τιµή στο µέτρο w. Ταυτόχρονα, στην πορεία της διερεύνησης, θα προκύψει κι ένας µηχανισµός παραγωγής «σωστών» εκφωνήσεων, ο οποίος δίνει ανεξάντλητο πλήθος ασκήσεων, παρόµοιας -δυστυχώς- µορφής. Έστω, λοιπόν, οι µιγαδικοί, w µε + αi w=, όπου α,β,γ R και βi + γ = c> 0. Απαιτούµε και w= c, ώστε οι εικόνες των, w να βρίσκονται στον ίδιο κύκλο (O,c). Αυτό συµβαίνει όταν: + αi= c βi+ γ (+ αi)( αi) = c (βi+ γ)( βi+ γ) και, µετά τις πράξεις: 4 c + α α( )i= c β + c γ + c βγ( )i, για κά-

12 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο θε µε = c. Συµπεραίνουµε ότι: α= cβγ 4 και c + α = c β + c γ (). Λόγω της πρώτης σχέσης: ενώ w= βi+ γ 4 4 () c + c β γ = c β + c γ, c βγi σχέση που οδηγεί στην: ( cβ) = ή γ =. Με τις παραπάνω συνθήκες, η µέγιστη τιµή του µέτρου w είναι c, όσο η διάµετρος του κύκλου στον οποίο βρίσκονται οι δύο εικόνες. Αυτό είναι πραγµατοποιήσιµο µόνον όταν: + w= 0 + = 0, βi+ γ c βγi που οδηγεί στην εξίσωση: β (γ+ )i c βγ= 0 (). Είναι, εποµένως, δυνατό να µην προκύψει το αναµενόµενο µέγιστο µέτρο για το w ; Ναι! Μόνον όταν η () έχει διπλή ρίζα την τιµή του που γ γ απαγορεύει την ύπαρξη του w, δηλαδή την i βi = β. Έστω, λοιπόν, ότι: = 0 () γi γi και β (γ+ ) c βγ= 0 β β (4). Η () οδηγεί στην ( γ+ ) = 4β c γ. Η (4) στην ( ) γ cβ = 0 από όπου: γ= 0 ή cβ =. Συνοπτικά: Μία άσκηση που ζητά προσδιορισµό µέγιστης τιµής για το w είναι προβληµατική, όταν ικανοποιείται το σύστηµα συνθηκών: (Σ ): γ = ή cβ = (Σ ): ( γ+ ) = 4β c γ (Σ ): γ= 0 ή ( cβ) = ιερευνούµε µε βάση τις τελευταίες συνθήκες:

13 ΤΙΤΛΟΣ Αν γ= 0 η (Σ ) δίνει = 0. Έτσι, πρέπει ( cβ) = οπότε ικανοποιείται η (Σ ) ενώ η (Σ ) δίνει ( γ ) Τελικά: γ= και ( cβ) =, οπότε ο w γίνεται: + = 4γ, άρα γ=. β i i c βi β β β i w= = = = βi+ βi+ βi+ β(βi+ ). Συµπέρασµα: Αν = c και τότε w β i w= β(βi + όπου β 0, ) = c αλλά το µέτρο w δεν έχει µέγιστη τιµή το c. Ωστόσο ο w είναι τότε σταθερός µιγαδικός, αφού: i(β i) βi+ w= = = = i. iβ(βi+ ) iβ(βi+ ) βi β Ποιος είναι ο µηχανισµός παραγωγής «σωστών ασκήσεων», ο οποίος θα αναδεικνυόταν στην πορεία της διερεύνησης; Από τις αρχικές συνθήκες (Σ ) που εγγυώνται ότι w ( cβ) =, τότε ο w δε µεταβάλλεται. Πράγµατι, τότε είναι άρα: c β= β, γi β β γi β γi w= = = = i. βi+ γ β(βi+ γ) βi(β γi) β Η συνθήκη γ =, δίνει, µε γ= είτε γ=, µεταβλητούς w. Αν, π.χ. γ=, β= και c=, τότε παράγεται η παρακάτω = c, αν ισχύει η Άσκηση 6 ίνονται οι µιγαδικοί, w µε Α. Αποδείξτε ότι και w =. Β. Βρείτε τη µέγιστη τιµή του w. + 9i w= i και =. Γ. Για ποια τιµή του το παραπάνω µέτρο γίνεται µέγιστο; [Απάντηση: w = 6, όταν =± i ]

14 4 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο 6. Εφιαλτικός Επίλογος Γιατί περιοριστήκαµε σε µιγαδικούς και w = f() µε = w ; Ας δούµε και µία περίπτωση στην οποία οι, w να έχουν διαφορετικά µέτρα: Άσκηση 7 ίνονται οι µιγαδικοί, w µε + i w=. Η εικόνα του βρίσκεται i+ 6 στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. Α. Αποδείξτε ότι: η εικόνα του w βρίσκεται σε οµόκεντρο κύκλο α- κτίνας. Β. Υπολογίστε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του µέτρου w. Λύση όθηκε ότι = άρα οπότε Α. Είναι: 4 =. = = = 4 + i + i + i w= = = = = =. 4i 6+ 4i + i + 6 Β. Είναι w = (MK), όπου M(), K(w). Με ένα πρόχειρο σχήµα καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι: ενώ w =. w = min ΣΧΟΛΙΑ: Είναι + i i + 6 i + i w= = = = i+ 6 i+ 6 i+ 6 = w=! δηλαδή w =σταθερό οπότε w = w =!! min ιαφορετικά: Θέτοντας = x+ yi έχουµε x + y = 4

15 5 ΤΙΤΛΟΣ οπότε: (x+ yi) + i w = =... = i(x yi) + 6 x(y+ 0) y x + 0y+ i = + x + (y+ 6) x + (y+ 6) Όµως ισχύει και x + (y+ 6) = x + y + y+ 6= 40+ y= 4(y+ 0) αφού Ακόµη: x + y = 4. y x + 0y+ = y (4 y ) + 0y+ = = 6y + 0y= y(y+ 0) = y(y+ 0). Τελικά, η αλγεβρική µορφή του w γίνεται: x y x y w= + i w= + i 4 4 οπότε (ή και: x y x + y w= + i= = = σταθερό 4 4 = =, + i + i (+ i) x y άρα w= = = = = + i κ.λπ). i+ 6 4 (+ i) i + 6 Γεωµετρικά, είναι εντυπωσιακό: Η εικόνα K(x,y ) του w είναι το σηµείο όπου η ακτίνα OM [ M(x,y) είναι η εικόνα του ] τέµνει τον κύκλο (O,). Φανταστείτε µία περιστρεφόµενη ακτίνα OM: τα σηµεία O, K, M είναι πάντα συνευθειακά!. 7. Παράρτηµα: Το ο Θέµα του 006 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί µε = = = και + + = 0. α. Να αποδείξετε ότι: i) = = ιι) 4 και Re( ) β. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των στο µιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχη- µατίζουν.

16 6 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο η Λύση για το (α) Είναι + = = άρα + = από όπου παίρνουµε διαδοχικά: = Re( ) = Re( ) =. Έτσι: = ( )( ) = Re( ) + = άρα = 4. Τέλος = και όµοια = =, οπότε αποδείχτηκε και το ερώτηµα (i). η Λύση για το (α) Θέτοντας k= xk+ yki έχουµε k k x + y = µε k=,,. Η σχέση + + = 0 δίνει x+ x+ x= 0 και y+ y+ y= 0. Έτσι: x+ x= x και y+ y= y. Θα είναι, λοιπόν, και: (x + x ) + (y + y ) = ( x ) + ( y ) και µετά τις πράξεις: xx+ yy=. Τώρα: ( (x x ) ) (y y ) = + = = x + x + y + y (x x + y y ) =, άρα = και = 4. Τέλος = (x+ yi)(x yi) = (xx+ yy ) + (yx xy )i άρα Re( ) =. Και ένα σχόλιο για το (β) Αφού = = = είναι προφανές ότι οι εικόνες A( ), B( ) και Γ( ) βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο. Αυτό όµως καθόλου δε σηµαίνει ότι «ο γεωµετρικός τόπος των A, B, Γ είναι ο κύκλος (O,)». Κι αυτό επειδή οι είναι επιφορτισµένοι και µε την ιδιότητα + + = 0, η οποία σε συνδυασµό µε την = = =, συνεπάγεται την = =, η οποία εγγυάται ότι το ABΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

17 7 ΤΙΤΛΟΣ εδοµένης, λοιπόν, της συγκεκριµένης διατύπωσης περί γεωµετρικού τόπου, η σωστή απάντηση είναι: «Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων A, B, Γ είναι οι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραµµένου στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα». η Λύση για το (α) Θέτοντας k= xk+ yki έχουµε k k x + y = µε k=,,. Η σχέση + + = 0 δίνει x+ x+ x= 0 και y+ y+ y= 0. Έτσι: x+ x= x και y+ y= y. Θα είναι, λοιπόν, και: (x + x ) + (y + y ) = ( x ) + ( y ) και µετά τις πράξεις: xx+ yy=. Τώρα: ( (x x ) ) (y y ) = + = = x + x + y + y (x x + y y ) =, άρα = και = 4. Τέλος = (x+ yi)(x yi) = (xx+ yy ) + (yx xy )i άρα Re( ) =. Και ένα σχόλιο για το (β) Αφού = = = είναι προφανές ότι οι εικόνες A( ), B( ) και Γ( ) βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο. Αυτό όµως καθόλου δε σηµαίνει ότι «ο γεωµετρικός τόπος των A, B, Γ είναι ο κύκλος (O,)». Κι αυτό επειδή οι είναι επιφορτισµένοι και µε την ιδιότητα + + = 0, η οποία σε συνδυασµό µε την = = =, συνεπάγεται την = =, η οποία εγγυάται ότι το ABΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο. εδοµένης, λοιπόν, της συγκεκριµένης διατύπωσης περί γεωµετρικού τόπου, η σωστή απάντηση είναι: «Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων A, B, Γ είναι οι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραµµένου στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα».

18 8 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο 8. Παράρτηµα ΙΙ: Ασκήσεις µε Ακρότατα Ακολουθούν τρία θέµατα µε ακρότατα µέτρων µιγαδικών σε συνδυασµό µε µελέτη µονοτονίας συνάρτησης. ο Θέµα ίνονται οι µιγαδικοί, w µε w+ i= w (). Α. Αν, αποδείξτε ότι: i( ) w= Β. Αν =, αποδείξτε ότι: = και υπολογίστε τις τιµές των και w. Γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των α- ξόνων και ακτίνα, αποδείξτε ότι: w. Λύση Α. Από την () έχουµε w i= w (w+ i) i= w w+ i i= w άρα ( )w= i( ) (). Για, θα είναι w= Β. Όταν =, η () γίνεται βρίσκουµε οπότε = ή i( ). = 0 = και αφού = = ( )( + + ) = 0 ± i =. Για =, η () δίνει άρα Για w= x i, x R w w= i Im(w) = = i και w= x+ yi όπου x,y R =,

19 9 ΤΙΤΛΟΣ i x yi i i = x yi η () γράφεται ( ) και µετά τις πράξεις βρίσκουµε y= x +. Έτσι: w= x + (x + )i, x R. Όµοια, αν = + i, παίρνουµε w= x + ( x )i, x R. Γ. Θεωρώντας τις αλγεβρικές µορφές = α+ bi και w= x+ yi, είναι α + b = 4. Συµπεραίνουµε ότι άρα α [,]. Έτσι: b = 4 α 0 i( ) = i[α+ bi (α bi) ] =... = b(α+ ) + (α α + b )i και αφού b = 4 α, παίρνουµε τελικά: Η ισότητα και w= i( ) = b(α+ ) + (α α + 4)i. i( ) α α + 4 y=. δίνει τώρα: b x = (α+ ) Υψώνουµε στο τετράγωνο και προσθέτουµε: + = = = 9 x y [(4 α )(4α 4α ) (α α 4) ]... ( 8α 4α 0) = Έτσι: α [,]. w = x + y = f(α) όπου θέσαµε 9 f(α) = 8α + 4α+ 0 µε Εύκολα βρίσκουµε ότι η f παρουσιάζει µέγιστη τιµή f( ) = f() = 6 και ελάχιστη f( ) = f() = 4. Συµπεραίνουµε ότι Έτσι w =, w w = 6= 4 και 9 min 4 w min= 4=. 9 9 = και συνεπώς: w. ο Θέµα ίνεται η εξίσωση: λ(λ+ )+ λ (λ+ ) = 0, ()

20 0 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο όπου λ (,0). Α. Να βρείτε τη γραµµή στην οποία κινούνται οι εικόνες των ριζών της. Β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των αριθµών 0 σχηµατίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Γ. Έστω f(x) = x + x όπου x (,0). Βρείτε το σύνολο τιµών της f.. Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του όπου οι ρίζες της () και να αποδείξετε ότι το δεν έχει ελάχιστη τιµή. Λύση Α. Είναι =... = [λ(λ+ )] < 0 αφού λ(λ+ ) 0. Έτσι οι ρίζες της () είναι,= λ(λ+ ) ± λ(λ+ )i. Το σηµείο M ( λ(λ ),λ(λ ) ) = + + κινείται στην ευθεία y= x, ενώ το M ( λ(λ ), λ(λ ) ) = + + στην y= x. Β. Αφού =, τα σηµεία M και M είναι συµµετρικά ως προς τον x x άρα το τρίγωνο OMM είναι ισοσκελές. Το διάνυσµα OM σχηµατίζει γωνία 5 µε τον x x, ενώ το OM γωνία 5, αφού λ(λ+ ) < 0. Έτσι MOM= 5 5 = 90, άρα το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Γ. Είναι f (x) = x+, µε ρίζα το. Είναι f (, ] και f [,0) µε άρα f ((,0) ) = [,0).. Είναι: lim f(x) = lim f(x) = 0 και f( ) = x x 0 Im( ) λ λ f(λ) = = = + =. Όµως, λόγω του (Γ) ερωτήµατος, το σύνολο τιµών της συνάρτησης g(x) = f(x) είναι το διάστηµα (0,]. Έτσι: =. Επίσης το σύνολο (0,] είναι ανοικτό αριστερά, οπότε το µέτρο δεν παρουσιάζει ελάχιστη τιµή.

21 ΤΙΤΛΟΣ ο Θέµα Λύση Α. Η εξίσωση α+ β= 0, όπου α,β R δεν έχει πραγµατικές ρίζες. Αποδείξτε ότι: β> 0 και το µέτρο των ριζών της είναι β. 5 Β. ίνεται η εξίσωση (λ 5λ) + 4= 0 όπου λ (,) i) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f(x) = x 5 5x µε x (,). ii) Αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει δύο µη πραγµατικές ρίζες. iii) Αποδείξτε ότι οι εικόνες των βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. iv) Αποδείξτε ότι 4 v) Να βρείτε την τιµή του λ (,) για την οποία το µέτρο γίνεται µέγιστο, καθώς και τους σε αυτή την περίπτωση. Α. Προφανώς < 0 άρα α α 4β< 0 β> 0 οπότε β> 0. 4 Ακόµη για τις ρίζες της εξίσωσης από τους τύπους του Vieta θα έ- χουµε άρα Β. i) Είναι = β = β= β = β = β = β f (x) = 5(x + )(x ) < 0 αφού x (,). Έτσι f (,) και εύκολα βρίσκουµε ότι το σύνολο τιµών της είναι το ( 4,4). ii) Έχουµε 5 = (λ 5λ) 6= f (λ) 6 = (f(λ) 4)(f(λ) + 4) < 0 αφού 4< f(λ) < 4, σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα. iii) Από το (Α) ερώτηµα συµπεραίνουµε ότι = = 4=, εποµένως οι εικόνες M και M των µιγαδικών βρίσκονται στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. iv) Είναι = (MM ) και το µήκος της χορδής MM δεν υπερβαίνει τη διάµετρο του κύκλου. Έτσι 4. v) Το µέτρο µπορεί να γίνει µέγιστο και ίσο µε 4, όταν τα M και M είναι αντιδιαµετρικά σηµεία του κύκλου.

22 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο 5 Τούτο συµβαίνει µόνον όταν: + = 0 λ 5λ= 0, από τους τύπους του Vieta στην (). Συµπεραίνουµε ότι: Όµως 4 4 λ(λ 5) = 0 λ= 0,λ=± 5. ± 4 5 (,) εποµένως λ= 0. Η εξίσωση () δίνει τώρα: + 4= 0 = (i) =± i, που είναι οι ζητούµενες ρίζες.

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M(x, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς Θέμα ο α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: 6 4 β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: i (Ιούλιος 00) Θέμα ο i

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) ΛΥΚΕΙΟ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΝΝΟΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Σελίδα από Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς Η ανισότητα α β α ± β α + β με α, β C χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. και η Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός, Ιούνιος 008 Α. Εισαγωγή Το κείμενο αυτό ξεκίνησε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης 01

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης 01 0 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 Υλη: Μιγαδικοί Γ Λυκείου Ον/μο:.. 9-0-3 Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 0 Α. Να αποδείξετε ότι : «Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z). εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις. ν α,β,γ,δ και ο OA, w a βi γ δi OB, των a βi, γ δi. α λυθεί η ανίσωση 0 πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 3 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηµατικός teomail@sch.gr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (000-03) ΘΕΜΑ 000 α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν α= ( x,y ), β= ( x,y) γ= x,y α β+ γ =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. iz+α. (z 1)(z + 1) f ( ) = f (z). (1993-2ο- 1) (1994-2ο) (1999-2ο) ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. iz+α. (z 1)(z + 1) f ( ) = f (z). (1993-2ο- 1) (1994-2ο) (1999-2ο) ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ.. Αν +α w =, α R και α να αποδειχθεί ότι: +α α) Ο w είναι φανταστικός αριθµός, αν και µόνο αν, ο είναι φανταστικός αριθµός. β) Ισχύει: w =, αν και µόνο αν, ο είναι πραγµατικός αριθµός. (99-ο)..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α. Πράξεις Συζυγής - Μέτρο Α. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

= u u I, ως διαφορά συζυγών. z + 2. i) R. Λύση: α τρόπος. + z z = . Άρα. x 2 +y 2 +x-2=0. , ως. i) Re(z 2 )= -4, ii) Im(z 2 )=2, iii) Re(1+z 2 )=0.

= u u I, ως διαφορά συζυγών. z + 2. i) R. Λύση: α τρόπος. + z z = . Άρα. x 2 +y 2 +x-2=0. , ως. i) Re(z 2 )= -4, ii) Im(z 2 )=2, iii) Re(1+z 2 )=0. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ) Υπολογίστε τους µιγαδικούς, των οποίων το τετράγωνο ισούται µε: α) 6 β) - γ) -7 δ) - ε) α) 6 ± 6 β) - ± ± γ) -7() -7-7 7 0-7 ± ± ±± δ) -() - - - ± m ± m ±m 0 ε) () - ±± 0 0 ) Εάν, µιγαδικοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση z, z μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν z z = z z Έχουμε: z z = z z ( z z ) ( z z ) = z z z z = z z z z z z = z z z z. Το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3Μλ2Θ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 ίνονται τα διανύσµατα a= ( x1, y1)

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΡΙΤΗ, 30 ΜΑΪΟΥ 000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. (α) Πότε ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός ονοµάζεται γραµµικός; (,5 µονάδες) r (β) Αν Μ(x, y) σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (2), 2008 "Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ"

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (2), 2008 Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (), 008 "Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ" Του ηµητρίου Α Ντρίζου Σχολικού Συµβούλου Μαθηµατικών Τα παρακάτω θέµατα εντάσσονται στο ίδιο ακριβώς πλαίσιο διδακτικών στόχων µε άλλα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους

Διαβάστε περισσότερα