Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας"

Transcript

1 Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

2 Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές 6 Aρµονικές συναρτήσεις και προβλήµατα αρχικών συνθηκών Συµβολισµοί είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι το σύνολο των ακεραίων αριθµών είναι το σύνολο των ρητών αριθµών είναι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών = { ( xy, ): xy, } είναι ο συνήθης ευκλείδιος χώρος όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών είναι το σύνολο των µιγαδικών αριθµών Bιβλιογραφία Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές R Churchill-J Brow Mετάφραση: Καραγιαννάκης, ΠΕΚ (993) Βασική Μιγαδική Ανάλυση Jerrold Mardse, Michael Hofma Mετάφραση: Λ Παπαλουκάς Εκδόσεις Συµµετρία 3 Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές Ε Γ Γαλανής Εκδόσεις Συµεών (994) 4 Τheory ad problems of complex Variables M Spiegel, McGraw-Hill

3 Εισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Ορισµός Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών στο οποίο έχουν ορισθεί οι πράξεις ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ), k ( x, y ) = ( k x, k y ), k, ( x, y ) ( x, y ) = ( x x y y, x y + x y ), καλείται σύνολο των µιγαδικών αριθµών και συµβολίζεται µε Τα στοιχεία του καλούνται µιγαδικοί αριθµοί, συµβολικά = ( x, y) Ορισµός ύο µιγαδικοί αριθµοί = ( x, y) και = ( x, y) καλούνται ίσοι, συµβολικά = αν και µόνον αν x = x και y = y Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι το σύνολο διατηρεί τη δοµή του ως διανυσµατικού χώρου, παράλληλα όµως µέσω της νέας πράξης του γινοµένου µιγαδικών αριθµών γίνεται και σώµα Πράγµατι, η πράξη της πρόσθεσης στο ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: + = + ( + ) + = + ( + ) 3 3 Για κάθε υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο (,) έτσι ώστε + (,) = Για κάθε υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο αντίθετος του, συµβολικά = ( x, y), έτσι ώστε + ( ) = (,) Γεωµετρικά το άθροισµα δύο µιγαδικών αριθµών = ( x, y ) και = ( x, y ) αντιστοιχεί στο άθροισµα των αντιστοίχων διανυσµάτων µε καρτεσιανές, x, y συντεταγµένες ( x y ) και ( ) Η πράξη του πολλαπλασιασµού πραγµατικού αριθµού k µε µιγαδικό αριθµό = x, y ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: ( ) 3

4 ( k λ ) k ( λ ) = k + k + λ ( λ ) = k + = k + k ( ) Γεωµετρικά το γινόµενο k αντιστοιχεί στο γινόµενο πραγµατικού αριθµού k x, y µε διάνυσµα που έχει καρτεσιανές συντεταγµένες ( ) Τέλος η πράξη του πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: = ( ) ( ) = 3 3 Για κάθε υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο (,) έτσι ώστε (,) = Για κάθε {(,)} υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός ο αντίστροφος του, συµβολικά ή, έτσι ώστε = (,) Η απόδειξη των παραπάνω είναι απλή εφαρµογή του ορισµού της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών Ορισµός 3 Ορίζουµε ως αφαίρεση του µιγαδικού αριθµού από το µιγαδικό αριθµό να είναι η πρόσθεση του µε τον αντίθετο του, δηλαδή ( ) = + Aν = ( x, y ) (,) και ( x, y ) = τότε ορίζουµε τη διαίρεση γινόµενο του µε τον αντίστροφο του Με άλλα λόγια ως το = 4

5 Σηµείωση: Eίναι εύκολο να δείξουµε ότι xx + yy xy xy =, x + y x + y Θεώρηµα Για κάθε x, y ισχύουν οι σχέσεις: ( x, ) ( y, ) ( x y,) + = + ( x, ) ( y, ) ( x y,) = ( x, ) x =,, y ( y,) y Απόδειξη Η απόδειξη είναι άµεση (βλέπε ορισµό πρόσθεσης και πολ/σµού) Από το Θεώρηµα βλέπουµε ότι οι πράξεις όσον αφορά όλους τους µιγαδικούς αριθµούς της µορφής ( x, ), ( x ) είναι ακριβώς όπως στους πραγµατικούς αριθµούς Αν λοιπόν ορίσουµε το σύνολο {( ) } A= x, : x, τότε προφανώς ισχύει A, το A είναι κλειστό ώς προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού, το A περιέχει τους αριθµούς (,) και (,) και υπάρχει µία αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων του A και του µέσω της ισοδυναµίας x ( x,) Εφόσον οι πράξεις στο A είναι ακριβώς όπως στο στο εξής θα ταυτίζουµε το σύνολο A µε το Mε τον τρόπο αυτό επεκτείνουµε το σώµα των πραγµατικών αριθµών στο σώµα των µιγαδικών αριθµών Μέσω αυτής της επέκτασης ταυτίζουµε το µιγαδικό αριθµό ( x,) µε τον πραγµατικό αριθµό x και γράφουµε x = ( x,) Ετσι το µηδέν γράφεται ως = (,) και το ένα γράφεται ως = (,) Αναφέρουµε όµως ότι η έννοια της συνήθους διάταξης των πραγµατικών αριθµών δεν µπορεί να επεκταθεί στους µιγαδικούς αριθµούς Έτσι µια έκφραση της µορφής < έχει νόηµα µόνο όταν, Απ την άλλη µεριά εφόσον κάθε µιγαδικός αριθµός αναπαρίσταται από ένα διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριθµών ως = ( x, y) προφανώς υπάρχει µια απεικόνιση του επί του θεωρώντας ότι κάθε µιγαδικός αριθµός 5

6 έχει καρτεσιανές συντεταγµένες x και y αντιστοίχως Εφόσον κάθε µιγαδικός x παριστάνει έναν πραγµατικό αριθµό x, ο οριζόντιος άξονας x x στη γεωµετρική παράσταση του παριστάνει την πραγµατική ευθεία Tι µπορούµε να πούµε για τον άξονα yy που παράγεται από το της µορφής (,) µοναδιαίο διάνυσµα (, ); Kατ αρχήν παρατηρούµε ότι (,) (,) = (,) = Ορισµός 4 Ο µιγαδικός αριθµός ( ), συµβολίζεται µε i, καλείται φανταστική µονάδα και ο άξονας yy καλείται φανταστικός άξονας Κάθε µιγαδικός αριθµός της µορφής (, y) = y (,) = y i καλείται φανταστικός αριθµός Προφανώς ισχύει η σχέση i = Με βάση τα παραπάνω κάθε µιγαδικός αριθµός = ( x, y) µπορεί να γραφεί ως = ( x, y) = ( x,) + (, y) = x (,) + y (,) = x + y i= x+ iy Η = x+ iy καλείται κανονική ή αλγεβρική γραφή του, η τετµηµένη x καλείται πραγµατικό µέρος του και συµβολίζεται µε Re( ), η τεταγµένη y καλείται φανταστικό µέρος του και συµβολίζεται µε Im( ) και το επίπεδο της γεωµετρικής αναπαράστασης του καλείται µιγαδικό επίπεδο Ορισµός 5 Εστω = x+ iy είναι µιγαδικός αριθµός Τότε ο µιγαδικός αριθµός = x iy καλείται συζυγής του Eίναι εύκολο να αποδειχθούν οι ιδιότητες: (α) Re( ) = ( + ), (β) Im( ) ( ) =, i (γ) =, (δ) ± ± = ± ±, (ε) =, (στ) πραγµατικος =, (ζ) φανταστικος = 6

7 Ορισµός 6 Καλούµε µέτρο του µιγαδικού αριθµού = x+ iy τo µη αρνητικό αριθµό = x + y Γεωµετρικά ο αριθµός παριστάνει την απόσταση του = ( x, y) ως σηµείου του µιγαδικού επιπέδου από την αρχή των αξόνων και συµπίπτει µε τη συνήθη απόλυτη τιµή όταν y = Με ανάλογο τρόπο ο αριθµός ισούται µε την απόσταση µεταξύ των µιγαδικών = x+ iy και = x + iy θεωρούµενων ως σηµείων του µιγαδικού επιπέδου Θεώρηµα Ισχύουν οι σχέσεις: (α) = (β) = (γ) Re( ) Re( ) (δ) Im( ) Im ( ) (ε) ± + (τριγωνική ανισότητα) Απόδειξη Οι (α)-(δ) είναι εύκολες Θα δείξουµε την (ε) όσον αφορά το + Η απόδειξη είναι όµοια για το Θα αποδείξουµε πρώτα το δεύτερο σκέλος της τριγωνικής ανισότητας Εχουµε: ( )( ) ( )( ) + = + + = + + = = ( ) ( ) = + + Re + + Re ( ) + + = + Άρα + + Στη συνέχεια θα αποδείξουµε το πρώτο σκέλος της ανισότητας Εστω Τότε 7

8 οπότε: = ( + ) + ( ) + + ( ), + + Οµοίως αν, τότε οπότε: = ( + ) + ( ) + + ( ), + Αρα σε κάθε περίπτωση έχουµε: + Tο σύνολο των µιγαδικών αριθµών µπορεί να επεκταθεί εισάγοντας το σύµβολο στο µιγαδικό επίπεδο Τότε ορίζουµε το επεκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο = { } έτσι ώστε: + = ( ) και =, = για κάθε και = = για κάθε Ως γεωµετρικό µοντέλο για το χρησιµοποιούµε τη µοναδιαία σφαίρα (σφαίρα του Riema) Πράγµατι αν θεωρήσουµε την ευθεία που ενώνει το σηµείο N = (,,) µε οποιοδήποτε σηµείο P N της σφαίρας τότε η ευθεία αυτή τέµνει το επίπεδο Oxy σε µοναδικό σηµείο P ορίζοντας µία αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων της µοναδιαίας σφαίρας και των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου Aυτή η απεικόνιση καλείται στερεογραφική προβολή Αν συµπεριλάβουµε και το σηµείο N παρατηρούµε ότι όταν ένα σηµείο P της σφαίρας πλησιάζει το σηµείο N, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα δύο αυτά 8

9 σηµεία τείνει να γίνει παράλληλη προς το µιγαδικό επίπεδο και συνεπώς το σηµείο P τείνει να γίνει το κατ εκδοχήν ή επ άπειρο σηµείο του µιγαδικού επιπέδου Oxy Aν P = ( xyc,, ) είναι οι καρτεσιανές συντ/νες οποιουδήποτε σηµείου της µοναδιαίας σφαίρας (εκτός του N ) τότε οι συντ/νες του σηµείου P = ( x, y,) δίνονται από τις σχέσεις x y x =, y = c c x y (ή σε µιγαδική µορφή = + i) c c Aντιστρόφως, αν τότε αποδεικνύεται ότι οι συντ/νες σηµείου P της σφαίρας Riema µέσω της στερεογραφικής προβολής είναι + x=, y=, c= + i( + ) + Eίναι εύκολο να δει κανείς ότι µέσω της στερεογραφικής προβολής το άνω ηµισφαίριο της σφαίρας του Riema απεικονίζεται στο εξωτερικό του µοναδιαίου δίσκου { : >} ενώ το κάτω ηµισφαίριο απεικονίζεται στο εσωτερικό του µοναδιαίου δίσκου { : <} Πολική ή Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού ρ > και θ είναι οι πολικές συντεταγµένες σηµείου A ( xy, ) Έστω = του (µιγαδικού) επιπέδου που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό = x+ iy Επειδή x = ρσυνθ και y = ρηµθ, ο µιγαδικός µπορεί να γραφεί ως ( ) = x+ iy= ρ συνθ + iηµθ Είναι γνωστό ότι x y = ρ = + Τότε ( συνθ ηµθ ) = + i και έτσι παίρνουµε την πολική ή τριγωνοµετρική µορφή του Λαµβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα των συναρτήσεων ηµ x και συν x η παραπάνω ισότητα παίρνει τη µορφή ( συν θ π ηµ θ π ) = ( + k ) + i ( + k ), k 9

10 Για δοθέν θ τέτοιο ώστε = ( συνθ + i ηµθ ), τo σύνολο των γωνιών ( ) { θ + kπ k } arg = : arg Ορισµα δεν ορίζεται για το µιγαδικό αριθµό = Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων και A είναι εκείνο το σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό, γεωµετρικά το arg( ) είναι κάθε γωνία σε ακτίνια την οποία σχηµατίζει ο θετικός ηµιάξονας των πραγµατικών αριθµών µε το τµήµα OA καλείται όρισµα του, συµβολικά ( ) Σηµείωση: Στο εξής θα λέµε ότι η γωνία θ διαγράφεται µε τη θετική φορά αν η γωνία θ διαγράφεται από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA αντιωρολογιακά Αν η φορά διαγραφής από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA είναι η ωρολογιακή, γράφουµε θ Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι το arg( ) παίρνει άπειρες τιµές που όµως διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του π Μεταξύ των επιµέρους στοιχείων του συνόλου arg( ) υπάρχει ακριβώς ένα στοιχείο που ανήκει στο διάστηµα ( π, π ] (ή στο [,π ) ) Αυτό το στοιχείο καλείται πρωτεύουσα τιµή του ορίσµατος ή πρωτεύον όρισµα και συµβολίζεται µε Arg( ) Εστω = x+ iy είναι ένας µη µηδενικός αριθµός Ενας τρόπος υπολογισµού του πρωτεύοντος ορίσµατος είναι ο εξής: Eστω ότι Arg( ) [,π ) τότε: και = x+ iy Αν A θ y = τοξεφ, x, x θ αν τεταρτηµοριο o o π θ αν τεταρτηµοριο rg ( ) =, αν 3 o π + θ τεταρτηµοριο o π θ αν 4 τεταρτηµοριο Αν θεωρήσουµε ότι Arg ( ) ( π, π ] και θ είναι όπως παραπάνω, τότε

11 A θ αν τεταρτηµοριο o o π θ αν τεταρτηµοριο rg ( ) =, αν 3 o π + θ τεταρτηµοριο o θ αν 4 τεταρτηµοριο Θεώρηµα 3 Εστω j j ( συνφ j ηµφ j) = + i, j =, είναι δύο µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί Τότε: (α) = = και φ = φ kπ (β) ( συν ( φ ) i ηµ ( φ )) = + +, ( ) k Με άλλα λόγια ο συζυγής = x iy ενός µιγαδικού αριθµού = x+ iy παριστάνεται στο µιγαδικό επίπεδο ως το συµµετρικό του σηµείου = ( x, y) ως προς τον πραγµατικό άξονα (γ) ( συν( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) = Με άλλα λόγια το γινόµενο δύο µιγαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιγαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το γινόµενο των µέτρων των, και arg = arg + arg όρισµα ( ) ( ) ( ) = + (δ) ( συν ( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) Με άλλα λόγια το πηλίκο δύο µιγαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιγαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το πηλίκο των µέτρων των, και όρισµα arg / = arg arg ( ) ( ) ( ) Απόδειξη Oι (α) και (β) είναι προφανείς Ενδεκτικά θα δείξουµε τη (γ) Εστω =, όπου = ( συνϕ + i ηµϕ ), ϕ Από την πολική µορφή των µιγαδικών, έχουµε (( συνφ συνφ ηµφηµφ ) ( ηµφ συνφ ηµφ συνφ )) = = + i +

12 ( συν( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) = Από την (α) έχουµε = = και k ϕ φ φ π = + +, ( ) ( ) + ( ) = { φ + kπ k } + { φ + λπ λ } arg arg : : { φ φ ( k λ) π : k, λ } { φ φ π: } arg( ) = = + + = k Αρα Προσοχή: Iσχύει Πράγµατι arg + arg arg ( ) + ( ) = { ϕ + π } + { ϕ + λπ λ } arg arg : : αλλά { ϕ ϕ ( λ) π :, λ } { ϕ πk: k } = = +, ( ) = { ϕ + kπ k } = { ϕ + kπ k } arg : 4 : Είναι προφανές ότι { ϕ + 4 kπ : k } { ϕ + kπ : k } Κατ επέκταση ισχύει: ( ) arg = arg + + arg arg, Προσοχή: Οσον αφορά τις πρωτεύουσες τιµές των ορισµάτων ισχύει Arg = Arg + Arg + λ π για κάποιο ακέραιο λ ( ) ( ) ( ) Οµοίως: rg = rg rg + λπ A A ( ) A ( ) Σηµείωση: Συµβολίζουµε µε arg ( ) για κάποιο ακέραιο λ θ το συγκεκριµένο στοιχείο του συνόλου

13 arg( ) που ικανοποιεί την ( ) Ορισµός 7 Για κάθε (µε εκθέτη ακέραιο) ως εξής: θ arg < θ + π θ * και { } ορίζουµε τη δύναµη µιγαδικού (α) = (β) =, -φορές (γ) = ( ) Aν = ( συνφ i ηµφ ) + είναι ένας µη µηδενικός µιγαδικός αριθµός τότε από το Θεώρηµα 3 και τον ορισµό 7 προκύπτει άµεσα ο τύπος του Moivre: Ο τύπος του Euler ( συν ( φ ) ηµ ( φ )) = + i, () x x x x Είναι γνωστό ότι e = Αν δεχθούµε ότι η παραπάνω!!! ισχύει για x = iy, y, όπου i είναι η φανταστική µονάδα, τότε έχουµε: 3 4 iy iy ( iy) ( iy) e = =+ iy y i y + y +!!!! 3! 4! y y y y y y = + i y! 4! 6! ! 5! 7! = συν y+ i ηµ y, όπου τα δεξιά µέλη της προτελευταίας ισότητας είναι τα αναπτύγµατα McLauri των συναρτήσεων συνy και ηµy αντίστοιχα Οδηγούµαστε λοιπόν στον εξής ορισµό (τύπος Euler): ( ) iy e = συν y+ i ηµ y, y () 3

14 iy Προφανώς e = y Η γεωµετρική ερµηνεία του iy e είναι προφανής: Αν το y [,π ) τότε η iy e διαγράφει το µοναδιαίο κύκλο µε κέντρο το (,) στο µιγαδικό επίπεδο κατά τη θετική φορά Για µοναδιαίο κύκλο άπειρες φορές y επαναδιαγράφουµε το Από τον ορισµό () γίνεται σαφές ότι κάθε µιγαδικός αριθµός = ( συνφ + i ηµφ) µπορεί να γραφεί ως Επίσης ο τύπος De Moivre γίνεται: i Αν = e θ, θ, τότε: Νιοστές ρίζες i = e φ (3) iφ = e, (4) iθ ( ) ( συνθ ηµθ ) συν ( θ ) ηµ ( θ ), e = + i = + i Ορισµός 8 Εστω a { } και { } συµβολικά a (ή a / ) κάθε ρίζα της εξίσωσης Καλούµε νιοστή ρίζα του α, = a i Αν λοιπόν = e φ i είναι ένας τυχαίος µιγαδικός αριθµός και a= a e θ, τότε από την εξίσωση = a σε συνδυασµό µε τον τύπο του De Moivre παίρνουµε iφ iθ = a e = a e = a και φ = θ + kπ Kατά συνέπεια λύνοντας ως προς και φ παίρνουµε θ+ λπ i a = a e, λ και θέτοντας λ = l + k, l, k =,, παρατηρούµε λόγω περιοδικότητας των συνx και ηµx, ότι έχουµε ακριβώς διαφορετικές µεταξύ τους ρίζες της εξίσωσης = a, τις 4

15 θ+ kπ i a = a e, k =,, είξαµε λοιπόν το Θεώρηµα 4 Εστω a { } i : a a e θ, θ νιοστές ρίζες του a είναι οι µιγαδικοί αριθµοί = και { } Oι θ+ kπ i a = a e, k =,, (5) Σηµείωση: (α) Γεωµετρικά οι νιοστές ρίζες του a αναπαρίστανται στο µιγαδικό επίπεδο ως κορυφές ενός κανονικού -γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο κέντρου (,) και ακτίνας a (β) Αν θ =Α rg ( ), παίρνουµε τον ισοδύναµο τύπο της (5): ( ) + Arg a i kπ a = a e, k =,, Ορισµός 9 Εστω a { }, { } µ a µ a µ a και µ Tότε oρίζουµε ( ) = = Σηµείωση: Aπό τον παραπάνω ορισµό παίρνουµε άµεσα ότι µ ( ) µ Arg a + kπ i µ a = a e, k =,, Παρατήρηση: Eίναι χρήσιµο να παρατηρήσουµε ότι µ µ ( a ) ( a ) εκτός εάν οι µ και είναι πρώτοι µεταξύ τους (δηλ έχουν µέγιστο κοινό διαιρέτη τη µονάδα), δηλαδή (, )= µ 5

16 Λυµένες ασκήσεις είξτε ότι i i i i, = Λύση Από την ιδιότητα i = έχουµε i 3 = i i= i, άρα ( ) i i i i i i i i = ( ) είξτε ότι αν, Λύση Εχουµε = i + i i =, w, τότε w w = ( w ) w + w = ( + w)( + w) + ( w)( w) = ( + w)( + w) + ( w)( w) = + w+ w + ww+ w w + ww =( w ) + 3 Υπολογίστε τις παραστάσεις: ( i), ( i 3 ), ( i 3) ( i 3) Λύση (i) Γράφουµε το µιγαδικό αριθµό = + i σε πολικές συντεταγµένες π Εχουµε = + = και θ = τοξεφ = Εφ οσον ο αντιστοιχεί 4 σε σηµείο του µιγαδικού επιπέδου στο ο τεταρτηµόριο προκύπτει άµεσα ότι πi π 4 Arg ( ) = θ = και συνεπώς + i= e Χρησιµοποιώντας τον τύπο του 4 De Moivre (4) παίρνουµε πi πi πi ( ) ( ) + i = e = e = e = 64 6

17 (ii) Οµοια ο µιγαδικός αριθµός w=+ i 3 γράφεται σε πολικές συντεταγµένες πi 3 ως + i 3= e και από τον τύπο του De Moivre έχουµε ( ) πi 4 4πi 4πi π π + i 3 = e = e = 6e = 6 συν + iηµ = 6 i = i (iii) Παρατηρούµε ότι ο µιγαδικός 3 i είναι συζυγής του i= e (βλέπε (ii)) Τότε ( ) ( ) π i 8 i 8 8 i 8 i π π π i 3 + i 3 = e + e = e + e 8πi 8πi π 8 = e + e = συν = = 56 3 πi 4 Υπολογίστε τις κυβικές ρίζες της µονάδας Λύση Από την (5) έχουµε + λπ i = = e, λ =,,, άρα: πi 4πi + i 3 i =, = e =, 3 = e = 5 Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες του = + i και να γραφούν σε καρτεσιανή και πολική µορφή π Λύση Επειδή = 4+ 4 = 8, θ = τοξεφ = και ο = + i 4 π 3π βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο έχουµε Arg ( ) = π θ = π =, συνεπώς /4 = + i= 8 e πi Τότε από την (5) έχουµε 7

18 Αρα π /4+ λπ 3 + i = + i e i, λ =,, πi πi 9πi 4 =, =, = e e e και µετατρέποντας αυτές σε καρτεσιανές συντεταγµένες έχουµε = + i, = + i, = i +, 3 ( π π π + π π π 3 συν = συν =, ηµ = ηµ = ) Αν να επιλυθεί στο η εξίσωση + = ( ) ( ) Λύση Προφανώς η ισότητα δεν ικανοποείται για = Για κάθε έχουµε ( ) ( ) + + = =, άρα από την (5) παίρνουµε ως προς και έχουµε π+ λπ + i = = e λ =,,, Λύνουµε e = e (λ+ ) πi (λ+ ) πi (λ + ) π (λ + ) π συν i + ηµ = (λ + ) π (λ + ) π + συν + iηµ + = (λ + ) π (λ + ) π ηµ + iηµ 4 (λ + ) π (λ + ) π συν + iηµ 4 8

19 = (λ + ) π (λ + ) π (λ + ) π ηµ + iηµ συν (λ + ) π (λ + ) π (λ + ) π συν + iηµ συν (λ + ) π (λ + ) π ηµ iσυν (λ ) π = εφ 4 (λ + ) π (λ + ) π συν + iηµ 4 4 (λ + ) π = i εφ, λ =,, 4 7 Υπολογίστε την i πi π /+ kπ i 4 e, k = = = = 3πi 4 e, k = Λύση Από την (5) έχουµε i e ( k,) πi η 4 περίπτωση: i = e Tότε: η περίπτωση: πi πi π /4+ λπ i 8 e, λ 4 = i = e = e ( λ =,) = 7πi 8 e, λ = i = e 3π i 4 Tότε: Tελικά 3πi 3πi 3 π /4+ λπ i 8 e, λ 4 = i = e = e ( λ =,) = π i 8 e, λ = πi 7πi 3πi πi i = e, e, e, e Σηµείωση: Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε αν θεωρήσουµε / (( ) ) ( ) / /4 4 i = i = i = i 9

20 και υπολογίσουµε την 4 η ρίζα του i µέσω της (5) Αν και µπορούµε να / / m m δείξουµε ότι ισχύει ( a ) = a, m,, η ισότητα ( ) w w a = a δεν ισχύει εν γένει για δυνάµεις w, kπi k i/ 8 είξτε ότι = e : k =,, Επιπλέον αν wk = e π, k =,,, δείξτε ότι οι νιοστές ρίζες της µονάδας ικανοποιούν τη σχέση + w + + = w Λύση Από την (5) παίρνουµε + kπ i kπi ( ) = e = e, k =,, Tο άθροισµα + w+ + w είναι άθροισµα -όρων γεωµετρικής προόδου µε / λόγο, άρα από την ισότητα λ = e πi λ λ = + λ+ + λ =, ( w w πi / πi e e έχουµε + w+ + w = = = πi/ πi/ e e 9 Εστω, θ { kπ : k } είξτε ότι / λ = e πi ) ( + ) θ ηµ + συνθ + συν ( θ ) + + συν ( θ ) = + θ ηµ Λύση Εστω w = i e θ θ Τότε παρατηρούµε ότι ( θ θ θ ) συνθ συν ( θ ) συν ( θ ) Re + w + w + + w = (α) Απ την άλλη µεριά υπολογίζουµε:

21 ( + ) θ ( + ) θ ( + ) θ ( + ) θ ( + ) θ + i i / i / i / i / wθ e e e e e θ θ θ iθ iθ / iθ / iθ / iθ / wθ e e e e e + w + w + + w = = = ( ) ( + ) ( + ) ( + ) i θ / i θ / i θ / e e e = e e e ( ) iθ / iθ / iθ / = e ( ) θ / ( + ) i + θ iηµ iθ / θ e iηµ ( + ) θ ( + ) θ ( + ) iθ / θ θ θ e ηµ συν ηµ ηµ ηµ = = + i θ θ θ ηµ ηµ ηµ Άρα θ ( + ) θ συν ηµ Re( + wθ + wθ + + w θ ) =, οπότε συνδυάζοντας µε θ ηµ την (α) παίρνουµε ( + ) θ θ συν ηµ + συνθ + συν ( θ ) + + συν ( θ ) = θ ηµ Χρησιµοποιώντας την ισότητα ζητούµενο ( a+ b) + ( a b) ηµ ηµ ηµ aσυν b= προκύπτει το Ερµηνεύστε γεωµετρικά τά κάτωθι σύνολα του µιγαδικού επιπέδου: D : r, r θετική σταθερά (α) r ( ) = { < } { :, } E = = + t t (β) ( )

22 δοθέντες µιγαδικοί και (, ) E : a,, (γ) = { = } Λύση Εστω = x+ iy, = x + iy και = x + iy Τότε: (α) ( ) ( ) ( ) ( ) a + < r x x + y y < r x x + y y < r Αρα το σύνολο ( ) r D είναι το εσωτερικό κύκλου κέντρου και ακτίνας r (β) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = + t x+ iy= x + t x x + i y + t y y ( ) ( ) x= x + t x x y = y + t y y, t Οι παραπάνω είναι οι παραµετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από το σηµείο και είναι παράλληλη στο διάνυσµα που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό (γ) a ( x x ) ( y y ) a ( x x ) ( y y ) = + = + Υψώνοντας στο τετράγωνο (και µετά από στοιχειώδεις πράξεις) παίρνουµε: ( a ) x + ( a x ) ( ) ( ) ( ) ( x x+ a y + a y y y= a x + y x + y) ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: a Tότε διαιρώντας και τα δύο µέλη της παραπάνω ισότητας µε παίρνουµε (µε συµπλήρωση τετραγώνων): a y ax x x ay y = a a ( + ) ( + ) a x y x y ax x ay y = + +, a a a R

23 δηλαδή έχουµε κύκλο κέντρου ax x, ay y και ακτίνας R (R a a είναι όπως παραπάνω) υπό την προϋπόθεση ότι R > (αλλιώς έχουµε σηµείο ή αδύνατη) a = Τότε έχουµε ( x x) x ( y y) y ( x y ) ( x y) + = + +, δηλαδή έχουµε µια ευθεία (η οποία είναι η µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος µε άκρα τα, ) είξτε την ισότητα ( ) 5 3 συν 5θ = 6συν θ συν θ + 5συνθ Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο του Euler σε συνδυασµό µε το διωνυµικό ανάπτυγµα του Newto k k! a+ b = a b,, a, b, k= k k = k! ( k)! ( ) Λαµβάνοντας υπόψην ότι! = (εξ ορισµού) και k! = k έχουµε 5 + = k= k 5 k 5 5 k ( συνθ iηµθ ) συν θ ( iηµθ ) = συν θ ηµθ συν θ ηµθ συν θ ηµθ + + ( i ) ( i ) ( i ) συν θ ηµθ συνθ ηµθ συν θ ηµθ ( i ) ( i ) ( i ) = συν θ 5iσυν θηµθ συν θηµ θ iσυν θηµ θ + 5συνθηµ θ iηµ θ (α) Απ την άλλη µεριά από τον τύπο De Moivre έχουµε 3

24 5 ( συνθ iηµθ ) συν ( 5θ ) iηµ ( 5θ ) + = + (β) Εξισώνοντας τα πραγµατικά µέρη των (α) και (β) και χρησιµοποιώντας την ηµ θ= συνθ µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε το ζητούµενο είξτε ότι ηµ θ ηµθ ηµ ( 3θ) θ Λύση Εφόσον ηµθ Im( e ) 3 3 = 4 4 iθ iθ i e e = = έχουµε i 3 ηµ θ iθ iθ 3 3iθ iθ iθ iθ iθ 3iθ e e e 3e e + 3e e e = = 3 i 8i 3iθ iθ iθ 3iθ iθ iθ 3iθ 3iθ e 3e + 3e e 3 e e e e 3 = =+ = ηµθ ηµ θ 8i 4 i 4 i (α) είξτε ότι κάθε δευτεροβάθµια εξίσωση a + b + c =, a, b, c, b+ b 4ac a έχει δύο ακριβώς λύσεις τις, = (η ρίζα είναι µιγαδική) a (β) Επιλύστε την εξίσωση ( i) i ( i) = ( 3 ) Λύση (α) + + = b b b c = a a a a a b c b b 4ac + = a 4a ( ) a + b = b 4ac, b+ b 4ac = (η ρίζα θεωρείται µιγαδική) a (β) Μετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε 4

25 θ+ kπ i iθ 4 ( ) b 4ac = 6 i = 6 i e, k =, =± 37 e, όπου θ θ =± συν + ηµ 4 37 i, 6 συνθ =, ηµθ = (οι πολικές συντεταγµένες του 6 i ) θ θ + συνθ συν θ = συν συν =± και εφόσον από τις παραπάνω τιµές του ηµθ και συνθ προκύπτει ότι η γωνία θ ανήκει στο 3 ο τεταρτηµόριο αναγκαστικά η γωνία θ/ ανήκει στο ο τεταρτηµόριο εποµένως Αλλά ( ) 6 θ + συνθ συν = = = 37 Με την ίδια λογική βρίσκουµε Αρα θ ηµθ ηµ = = = 37 ( ) 4 37 θ θ =± + =± b c συν iηµ i οπότε οι λύσεις της δευτεροβάθµιας εξίσωσης είναι, ( i ) i± = ( + i) 5

26 Αλυτες ασκήσεις Υπολογίστε τις ποσότητες: i i + i (α) ( 3+ i)( i), (β) ( ) i 4 + Απάντ (α) 8 + i, (b) 9/+ i 33/ Aν = i, = + i, 3 = 3 i υπολογίστε τις ποσότητες i, +, Im 3, Re( 3 53) + Απάντ (α), (b) 6, (γ) 3 3, (δ) Εκφράστε τους κάτωθι µιγαδικούς αριθµούς σε πολική µορφή (α) i, (β) 3 i, (γ) 3 3 i Απάντ (α) e 3πi, (b) 4e 7πi 6, (γ) 3e 5πi 3 4 είξτε ότι: (α) = = ή = (β) = = (γ) Αν A = ( x, y ) και B ( x, y ) = είναι σηµεία του µιγαδικού επιπέδου που αντιστοιχούν στους µιγαδικούς αριθµούς και αντιστοίχως δείξτε ότι ( ) OA OB = Re όπου OA OB είναι το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων OA, OB 6

27 (δ) Εάν είναι µιγαδικός αριθµός δείξτε ότι Re( ) = +, Im( ) = i (ε) Εάν είναι ρίζα της πολυωνυµικής εξίσωσης a + a + + a =, ai δείξτε ότι και ο είναι επίσης ρίζα αυτής (στ) είξτε ότι arg( ) arg( ) w ισχύει w w ( )( w ) 5 είξτε ότι για κάθε, = w Στη συνέχεια δείξτε ότι αν, w < τότε < w 6 Εστω µιγαδικός έτσι ώστε Im( ) και ± i είξτε ότι + = 7 είξτε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα που ενώνουν τα σηµεία, και τα σηµεία 3, 4 είναι κάθετα αν και µόνον αν Re = Βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που ικανοποιούν την εξίσωση a c c b, ab,, c = ( { } γνωστοί) Απάντ Αν a = ευθεία Αν a και c > ab κύκλος 9 Βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που ικανοποιούν τις εξισώσεις: (α) ( i) + =, (β) + + 3i = 6, (γ) + =, (δ) Im( ) 3 =, (ε) ( ) Im 4 =, (στ) ( ) + = 3 7

28 Απάντ (α) κύκλος κέντρου + i και ακτίνας (β) έλλειψη µε εστίες τα σηµεία - και 3i (γ) υπερβολή µε εστίες τα σηµεία και - (δ) ευθεία παράλληλη µε τον πραγµατικό άξονα που διέρχεται από το 3i (ε) υπερβολή (στ) κύκλος Υπολογίστε την ποσότητα 3i + 3i Απάντ +i 3 είξτε ότι: (α) ( 4 ) ηµ θ ηµθ συν θ συνθηµ θ θ π ( k k ) 3 = 4 4,, ( ) ( ) 4 συν 4θ συν θ 3 (β) συν θ = Υπόδ (α) Oπως η λυµένη άσκ (β) Oπως η λυµένη άσκ Εστω, θ { kπ : k } είξτε ότι ( + ) θ θ συν συν + ηµθ + ηµ ( θ ) + + ηµ ( θ ) = θ ηµ Υπόδ (α) Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκ 9 π 4π ( ) π 3 είξτε ότι: (α) συν + συν + + συν = π 4π ( ) π (β) ηµ + ηµ + + ηµ = Υπόδ Υπολογίστε το άθροισµα των νιοστών ριζών της µονάδας 4 Υπολογίστε και σχεδιάστε στο µιγαδικό επίπεδο τις τέταρτες ρίζες του 6 Απάντ {, i,, i}, τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία αυτά 8

29 5 Αν a { } δείξτε ότι m a = m a 6 Να επιλυθούν οι εξισώσεις (α) ( ) (γ) + i = 3+ i, (β) 4 = 3 i, (δ) =, + = Απάντ (α) + i, i (β),,, ± i (σχήµα Horer) (γ) πi 5πi πi 7πi e, e, e, e (δ) ( i 3 ), ( i 3) ± ± 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( ) 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1)

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1) 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1) 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Εισαγωγή Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στην προσπάθεια επίλυσης των εξισώσεων 3ου βαθμού. Αν στην αx 3 +βx 2 +γx + δ = 0 θέσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii)

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii) Καρλόβασι 17/02/2011 Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. 1. Να υπολογίσετε κάθε ένα από τα παρακάτω όρια (για ). (i)! (ii) 4 + 4 2 (iii) 1 1+ 2 2+ 3 3+ + (i) Χρη- οπότε a+1

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα