Χειμερινό εξάμηνο

Transcript

1 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας: ιαγράμματα Hesle και Αναλυτικές Λύσεις ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Μεγάλους Επίπεδους Τοίχους Κυλίνδρους Μεγάλου Μεγέους και Σφαίρες Στο προηγούμενο μάημα εξετάσαμε σώματα τα οποία παραμένουν σχεδόν ισοερμικά κατά την διάρκεια μίας διεργασίας. Σε αυτή την κατηγορία εμπίπτουν σχετικά μικρά σώματα τα οποία αποτελούνται από πολύ αγώγιμα υλικά αμελητέα ερμική αντίσταση. Αυτά τα σώματα τα αναλύουμε με την μέοδο ανάλυσης εντοπισμένης χωρητικότητας. Αν δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση ολοκληρωτικού συστήματος τότε πρέπει να λάβουμε υπόψη αλλαγές της ερμοκρασίας ως συνάρτηση χώρου και χρόνου κατά την διάρκεια της μεταβατικής διαδικασίας. Σήμερα α ασχοληούμε με την μεταβολή ερμοκρασίας με το χρόνο και την έση σε μονοδιάστατα και πολυδιάστατα προβλήματα στα οποία έχουμε γεωμετρική και ερμική συμμετρία. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Χειμερινό εξάμηνο 7

2 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Μεγάλους Επίπεδους Τοίχους Κυλίνδρους Μεγάλου Μεγέους και Σφαίρες Θεωρείστε ότι έχουμε: Επίπεδο τοίχο με συγκεκριμένο ρμ πάχος Κύλινδρο μεγάλου μήκους με ακτίνα Σφαίρα με ακτίνα Τ h Αρχικ κά Τ h Τ h Αρχικά Τ h ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 3 Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Μεγάλους Επίπεδους Τοίχους Κυλίνδρους Μεγάλου Μεγέους και Σφαίρες Και οι τρεις γεωμετρίες είναι συμμετρικές και έχουν αρχικά ομοιόμορφή ερμοκρασία. Σε χρόνο τοποετούμαι το κάε σώμα σε περιβάλλον το οποίο βρίσκεται σε ερμοκρασία Τ για χρόνο >. Για αυτό το χρονικό διάστημα α έχουμε συναγωγική έχουμε ομοιόμορφο και σταερό συντελεστή h μεταφορά ερμότητας μεταξύ των σωμάτων και του περιβάλλοντος. Η ερμοκρασία στο κέντρο κάε γεωμετρίας είναι. Αγνοούμε την μεταφορά ερμότητας λόγω ακτινοβολίας. Θέλουμε να βρούμε την μεταβατική κατανομή ερμοκρασίας Τ ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 4 Χειμερινό εξάμηνο 7

3 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Λύση της Εξίσωσης Μεταφοράς Θερμότητας για Επίπεδο Τοίχο με Συμμετρικές Συναγωγικές Συνήκες Για ένα επίπεδο τοίχο με συμμετρικές συναγωγικές συνήκες και σταερές ιδιότητες η εξίσωση ερμοκρασίας καώς και οι αρχικές/οριακές συνήκες είναι: α k h [ ] Έχουμε την παρουσία επτά ανεξάρτητων μεταβλητών: k α h ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 5 Λύση της Εξίσωσης Μεταφοράς Θερμότητας για Επίπεδο Τοίχο με Συμμετρικές Συναγωγικές Συνήκες Αδιαστατοποίηση της εξίσωσης ερμότητας και των αρχικών/οριακών συνηκών. Αδιάστατη ερμοκρασιακή διαφορά dmesoless empeaue dffeece: Τ Αδιάστατη συντεταγμένη dmesoless coodae: α Αδιάστατος χρόνος dmesoless me: Fo o Fo είναι ο αριμός Foue Foue umbe ενώ ο αριμός Bo Bo umbe ή αδιάστατος συντελεστής μεταφοράς ερμότητας ορίζεται ως: Οπότε έχουμε: f Fo B h B k ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 6 k sold Ακριβής λύση: C ep ζ Fo cos ζ B ζ aζ C 4sζ ζ + s ζ Χειμερινό εξάμηνο 7 3

4 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Λύση της Εξίσωσης Μεταφοράς Θερμότητας για Επίπεδο Τοίχο με Συμμετρικές Συναγωγικές Συνήκες Προσεγγιστική λύση με την μέοδο ενός όρου oe em soluo Fo >. ώστε το σφάλμα < %: Αλλαγή της ερμοκρασίας ρ στο κέντρο του τοίχου με τον χρόνο Fo: ο C ep ζ Fo o Αλλαγή της ερμοκρασίας στον χώρο με τον χρόνο Fo: cos ο ζ Αλλαγή στην αποηκευμένη ερμική ενέργεια με τον χρόνο: Δ E s sζ o ο ζ ρcv o Μέγιστη ποσότητα εσωτερικής ενέργειας που μπορεί να μεταφερεί από τον τοίχο για. Αρχική εσωτερική ενέργεια του τοίχου σε σχέση με την ερμοκρασία του ρευστού. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 7 Λύση της Εξίσωσης Μεταφοράς Θερμότητας για Επίπεδο Τοίχο με Συμμετρικές Συναγωγικές Συνήκες ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 8 Χειμερινό εξάμηνο 7 4

5 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Γραφική Απεικόνιση της Προσεγγιστικής Λύσης ιαγράμματα Hesle Hesle chas Μπορούμε να πάρουμε παρόμοιες λύσεις και για τις άλλες δύο γεωμετρίες κύλινδροι και σφαίρες. Αντί όμως να λύσουμε τις πιο πάνω εξισώσεις με την μέοδο της παρεμβολής είναι πιο πρακτικό να χρησιμοποιήσουμε μία γραφική προσέγγιση γνωστή ως διαγράμματα μεταβατικής ερμοκρασίας ase empeaue chas. Σημειώστε ότι οι εξισώσεις είναι πιο ακριβείς από τα διαγράμματα. Τα διαγράμματα μεταβατικής ερμοκρασίας είναι γνωστά ως διαγράμματα Hesle ή Guey- ue. Αυτά συμπληρώηκαν αργότερα με τα διαγράμματα μεταβατικής ερμότητας του H. Göbe διαγράμματα Göbe Για κάε γεωμετρικό σχήμα υπάρχουν τρία διαγράμματα: Το πρώτο προσδιορίζει την ερμοκρασία Τ στο κέντρο του γεωμετρικού σχήματος σε χρόνο : / fb Fo. Το δεύτερο προσδιορίζει την ερμοκρασία σε άλλες έσεις στον ίδιο χρόνο ως προς την ερμοκρασία Τ : / fb /. Το τρίτο προσδιορίζει την ολική ποσότητα μεταφοράς ερμότητας ως συνάρτηση του χρόνου : / fbfo. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 9 Γραφική Απεικόνιση της Προσεγγιστικής Λύσης ιαγράμματα Hesle Hesle chas Θερμοκρασία στο κέντρο του γεωμετρικού σχήματος. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Χειμερινό εξάμηνο 7 5

6 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Γραφική Απεικόνιση της Προσεγγιστικής Λύσης ιαγράμματα Hesle Hesle chas Κατανομή ερμοκρασίας ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Γραφική Απεικόνιση της Προσεγγιστικής Λύσης ιαγράμματα Hesle Hesle chas Ολική ποσότητα μεταφορά ερμότητας R B R cod cov h k ατ Fo Και για την ερμοκρασία εκτός του κέντρου: ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Χειμερινό εξάμηνο 7 6

7 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Μεγάλους Επίπεδους Τοίχους Κυλίνδρους Μεγάλου Μεγέους και Σφαίρες Η μέγιστη ποσότητα ερμότητας που μπορεί να χάσει ή να κερδίσει ένα σώμα στο τέλος της μεταβατικής διαδικασίας είναι η μεταβολή του περιεχόμενου ενέργειας του σώματος o ma mc p Για να υπολογίσουμε την ποσότητα μεταφοράς ερμότητας σε πεπερασμένο χρόνο διαβάζουμε από τα διαγράμματα το κλάσμα / ο και ακολούως πολλαπλασιάζουμε με το ο Για να χρησιμοποιήσουμε τα διαγράμματα Hesle πρέπει να ισχύουν τα πιο κάτω: Το σώμα έχει αρχικά ομοιόμορφη ερμοκρασία Η ερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι σταερή και ομοιόμορφη Ο συντελεστής μεταφοράς ερμότητας με συναγωγή είναι σταερός και ομοιόμορφος εν υπάρχει παραγωγή ενέργειας στο σώμα Ο αριμός Foue πρέπει να είναι μεγαλύτερος από. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 3 Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Μεγάλους Επίπεδους Τοίχους Κυλίνδρους Μεγάλου Μεγέους και Σφαίρες Για να χρησιμοποιήσετε τα διαγράμματα Hesle Υπολογίστε τις αδιάστατες ποσότητες Υπολογίστε τον αριμό Foue ιαβάστε την αδιάστατη ερμοκρασία από τα διαγράμματα Υπολογίστε την ερμοκρασία ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 4 Χειμερινό εξάμηνο 7 7

8 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Πολυδιάστατα Συστήματα ase hea coduco muldmesoal sysems Τα διαγράμματα μεταβατικής ερμοκρασίας που μόλις είδαμε μπορούν να χρησιμοποιηούν για τον προσδιορισμό της κατανομής ερμοκρασίας καώς και της μεταφοράς ερμότητας και σε πολυδιάστατα συστήματα χρησιμοποιώντας μία αρχή υπέρεσης που ονομάζεται λύση γινομένου. Μονοδιάστατα συστήματα Μεγάλος επίπεδος τοίχος κύλινδρος μεγάλου μήκους σφαίρα ημί-άπειρο σώμα υσδιάστα συστήματα Ορογώνια ράβδος κύλινδρος μικρού μήκους ημί-άπειρος κύλινδρος Τρισδιάστατα συστήματα Ημί-άπειρη ορογώνια ράβδος ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 5 Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Πολυδιάστατα Συστήματα Για να χρησιμοποιήσουμε τα διαγράμματα Hesle για πολυδιάστατα συστήματα πρέπει να ισχύουν τρεις προϋποέσεις: Όλες οι επιφάνειες του στερεού να υπόκεινται σε συναγωγή στο ίδιο ρευστό με ερμοκρασία Τ Να υπόκεινται όλες οι επιφάνειες στον ίδιο συντελεστή μεταφοράς ερμότητας h Να μην έχουμε παραγωγή ερμότητας στο σώμα Η λύση για πολυδιάστατα συστήματα εκφράζεται ως το γινόμενο των λύσεων για τα μονοδιάστατα γεωμετρικά σχήματα των οποίων η τομή είναι το πολυδιάστατο σχήμα: C λύση για άπειρο κύλινδρο PX λύση για άπειρη επιφάνεια SX λύση για ημί-άπειρο στερεό Γενικά μιλώντας έχουμε πολυδι στερεό ά στατο διατομ ύ ή διατομ ύ ή διατομ στερεο στερεο στερεού ή 3 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 6 Χειμερινό εξάμηνο 7 8

9 ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Χειμερινό εξάμηνο 7 9 Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Πολυδιάστατα Συστήματα Θεωρήστε ότι έχουμε ένα κύλινδρο μικρού μήκους a και ακτίνα ο οποίος βρίσκεται αρχικά σε ομοιόμορφη ερμοκρασία Τ και δεν έχουμε παραγωγή ερμότητας. Σε χρόνο ο κύλινδρος υφίσταται συναγωγή Τ h q X P C από όλες τις επιφάνειες του από ένα μέσο με ερμοκρασία Τ με συντελεστή μεταφοράς ερμότητας h. Η ερμοκρασία εντός του κυλίνδρου α μεταβληεί ως ΤΤ οπότε είμαστε αντιμέτωποι με ένα δισδιάστατο πρόβλημα μεταβατικής αγωγής ερμότητας. Ο κύλινδρος αποτελεί την τομή ενός επίπεδου τοίχου και ενός άπειρου κυλίνδρου l d ll wall Τ q q q ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 5 7 cylde wall ή ύ ύ cylde κους μ μικρο λινδρος κ Σημειώστε ότι η συντεταγμένη μετριέται από την επιφάνεια σε ένα ημί-άπειρο στερεό και από το μέσο επίπεδο σε ένα ημί-άπειρο τοίχο. Η απόσταση μετριέται από την κεντρική γραμμή. Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας σε Πολυδιάστατα Συστήματα Εάν τώρα έλουμε να υπολογίσουμε την ολική μεταβατική μεταφορά ερμότητας σε ένα πολυδιάστατο γεωμετρικό σχήμα αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε μια παραλλαγή της λύσης γινομένου που μόλις είδαμε. Για ένα τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα η μεταβατική μεταφορά ερμότητας είναι: oal Ενώ η πιο απλή περίπτωση δυσδιάστατου σχήματος είναι: ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας 8 + oal