= L = L = L ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Transcript

1 ΟΜΑ ΕΣ Σηµείωση Χρήσιµο είναι ο αναγνώστης να έχει υπόψη του τα παρατιθέµενα στην ενότητα Σύνολα, 7 Βασικό παράδειγµα οµάδας µε πεπερασµένο πλήθος στοιχεία, αποτελεί το σύνολο των µεταθέσεων στοιχείων Ο ορισµός και οι ιδιότητες του συνόλου αυτού, έχουν ως εξής: Μία µετάθεση (ermutto) (ή ισοδύναµα, µετασχηµατισµός (trsformto)) είναι µία απεικόνιση ένα-ένα και επί : N Ν, Ν τυχόν πεπερασµένο σύνολο Μία διάταξη, είναι η εικόνα µιάς µεταθέσεως Θεωρούµε το σύνολο S των µεταθέσεων επί του Ν Ορίζουµε το γινόµενο δύο διατάξεων από την παρακάτω σχέση, S,, όπου η µετάθεση επί του Ν, που ορίζεται από την σχέση, x Ν, (x) ( (x)) Η πράξη γινόµενο που ορίσαµε, συµπίπτει, βέβαια, µε την σύνθεση των απεικονίσεων και Η δοµή ( S, ) αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγµα δοµής που καλείται Οµάδα Ουδέτερο στοιχείο της οµάδας αυτής, είναι η ταυτοτική µετάθεση S, για την οποία ισχύει ότι x Ν, (x) x Αν το σύνολο Ν έχει το πλήθος στοιχεία x,x, L x, όταν αυτό χρησιµοποιείται ως πεδίον ορισµού της, το θέτουµε πάντα στην µορφή Ν {,,, } Το σύνολο τιµών είναι τότε, το σύνολο (Ν) {(), (),, ()} όπου το () j, µε, j Ν Για να δηλώσουµε την µετάθεση, χρησιµοποιούµε και τον συµβολισµό L () () L () Το σύνολο (Ν) είναι µία διάταξη του Ν Φανερά, το σύνολο των διατάξεων, βρίσκεται σε αντιστοιχία ένα-ένα και επί, µε το σύνολο των µεταθέσεων Το σύνολο συνεπώς S έχει τόσα στοιχεία, όσες είναι οι διατάξεις των αντικειµένων,,, Το πλήθος αυτό, βρίσκεται ως εξής: Μία διάταξη προκύπτει, αν θεωρήσουµε ότι έχουµε θέσεις, οι οποίες γεµίζονται µία προς µία από τα στοιχεία,, κλπ, ένα στοιχείο σε κάθε θέση Η πρώτη θέση πληρούται κατά διαφορετικούς τρόπους, η δεύτερη κατά, κοκ, η -στη κατά ένα τρόπο Το πλήθος, λοιπόν, των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους γεµίζουν οι θέσεις είναι () και συµβολίζεται µε! Κάνοντας χρήση του παραπάνω συµβολισµού για την µετάθεση, µπορούµε πολύ εύκολα να βρούµε το γινόµενο δύο µεταθέσεων για παράδειγµα, αν έχουµε να βρούµε το, όπου,, γράφουµε, S

2 Στην γραφή αυτή S L L, (ταυτοτική απεικόνιση ουδέτερο ή µοναδιαίο στοιχείο) ενώ το αντίστροφο στοιχείο του s() s() s S L L είναι το s s() () s L L Μία µετάθεση της µορφής L L καλείται κυκλική µετάθεση Την κυκλική µετάθεση την συµβολίζουν ( ) K Μία κυκλική µετάθεση, που ορίζεται σε ένα σύνολο δύο αντικειµένων, καλείται αντιµετάθεσις (trsosto) Με () συµβολίζουµε την απεικόνιση του στον εαυτό του Παράγοντες αυτής της µορφής, παραλείπονται Παράδειγµα ( )( ) ( ) Στις προτάσεις που ακολουθούν, αντί γενικής αποδείξεως, θα δίδουµε ένα παράδειγµα, µέσα από το οποίο θα γίνεται φανερός ο γενικός αλγόριθµος, που αποδεικνύει την πρόταση Πρόταση Μία µετάθεση παρίσταται ως γινόµενο ανεξαρτήτων κυκλικών µεταθέσεων (Ανεξαρτήτων σηµαίνει ότι δεν έχουν κοινά στοιχεία) Παράδειγµα Είναι, ( )( ) Πρόταση ύο αντιµεταθέσεις, που δεν έχουν κοινό στοιχείο αντιµετατίθενται Παράδειγµα Είναι ( )( ) ( )( ), µιά και ( )( ) ( )( ) Πρόταση Κάθε κυκλική µετάθεση, παρίσταται ως γινόµενο ενός ελαχίστου αριθµού αντιµεταθέσεων

3 Παράδειγµα Είναι, ( ) ( )( )( ) Επίσης, ( ) ( )( )( ) Βλέπουµε ότι, η παράσταση µιάς µεταθέσεως ως γινόµενο αντιµεταθέσεων, δεν είναι µοναδική Το πλήθος όµως των παραγόντων στους οποίους αυτή αναλύεται, είναι το ολιγότερο Πράγµατι, το πλήθος αυτό µπορεί να αυξηθεί, αν πολλαπλασιάσουµε το γινόµενο των παραγόντων από το ζεύγος των κυκλικών µεταθέσεων ( µ )( ν µ ) ν Πορίσµατα ) Κάθε µετάθεση παρίσταται ως γινόµενο r αντιµεταθέσεων, κατ ελάχιστον, όπου r είναι το πλήθος των ταυτοτικών κύκλων που περιέχει, και το πλήθος των στοιχείων που µεταβάλλει Πχ στην µετάθεση της προτάσεως, έχουµε, 8, r και 6 6 6, αντιµεταθέσεις Είναι πράγµατι, ( )( ) ( )( )( )( ) σύµφωνα µε τον κανόνα r 6 ) Μία µετάθεσις αναλύεται σε γινόµενο είτε αρτίου είτε περιττού πλήθους αντιµεταθέσεων ) Το πλήθος των αντιµεταθέσεων εις το οποίον αναλύεται µία µετάθεσις κατά την παραγοντοποίησή της, είναι r+s, όπου s τυχόν φυσικός Ακριβώς το ίδιο πλήθος παραγόντων έχει και η αντίστροφος αυτής µετάθεσις Ορισµός Αρτία καλείται εκείνη η µετάθεσις (ή διάταξις), η οποία αναλύεται σε γινόµενο αρτίου πλήθους παραγόντων Περιττή, εκείνη η οποία αναλύεται σε γινόµενο περιττού πλήθους παραγόντων Εξ ορισµού, η ταυτοτική είναι πάντοτε αρτία!! ) Το σύνολο S περιέχει άρτιες και περιττές µεταθέσεις ) Μία κυκλική µετάθεση είναι αρτία ή περιττή ανάλογα µε το αν το πλήθος των στοιχείων στα οποία αυτή δρα είναι περιττό ή άρτιο Είναι πχ η ( ) ( )( ) είναι αρτία µετάθεση Αν µία µετάθεση είναι αρτία, τότε και η αντίστροφός της είναι αρτία Επίσης, η ταυτοτική µετάθεσις, η οποία δεν δρα επί ουδενός στοιχείου, είναι αρτία Παράδειγµα Να βρεθεί το είδος της διατάξεως ( 6 ) Λύση Στη διάταξη αυτή, αντιστοιχεί η µετάθεση γράφουµε ως γινόµενο παραγόντων κυκλικών µεταθέσεων: ( )( 6) ( )( )( 6) Άρα είναι περιττή µετάθεση 6 6 Την Το είδος µιάς µεταθέσεως, ευρίσκεται και από το πόσες φορές η µετάθεσή µας αλλάζει το πρόσηµο του πολυωνύµου x x ( x x )( x x ) L ( x x ) ( j) < j ( x x O ( + ) που έχει ++ + παράγοντες ) L (x - x ( x x ) )

4 Ετσι, πχ για την µετάθεση ( ) αρχικού πολυώνυµου x x )( x x )( x ) δίδει το ( x ( x x)( x x)( x x), όταν αυτή δράση πάνω στους δείκτες του Το πολυώνυµο που προκύπτει, ισούται µε το αρχικό, µιά και αλλάζει δύο φορές πρόσηµο Συνεπώς η σηµειούµενη µετάθεση, είναι αρτία Ορισµός οµάδος Οµάδα G, καλείται µία ηµιοµάδα µε µονάδα µέσα στην οποία, για δοσµένα α, β G οι εξισώσεις αx β και yα β, έχουν µοναδική λύση x, y G Πορίσµατα ) α β αβ β β και βα β α β β Τούτο έπεται από την µοναδικότητα των λύσεων x, y G ) Αν στις εξισώσεις α x β και y α β λάβουµε β e, συµπεραίνουµε ότι, κάθε α G έχει αριστερά και δεξιά αντίστροφο στοιχείο Πρόταση Η µονάδα µιάς οµάδας είναι µοναδική Απόδειξη Από τον ορισµό της οµάδας έχουµε ότι, η εξίσωση α e α α έχει την µοναδική λύση e α Θα δείξουµε κατ αρχήν, ότι το στοιχείο e α δεν εξαρτάται από το συγκεκριµένο α G Προς τούτο, αν β G και y το µοναδικό στοιχείο της G για το οποίο είναι yα β, τότε έχουµε και ότι, β e α (yα) e α y(α e α ) yα β Αν το e α είναι, λοιπόν, δεξιά µοναδιαίο στοιχείο για το α G, είναι τότε και δεξιά µοναδιαίο στοιχείο για το β G (Ίδια ισχύουν και για ένα αριστερά µοναδιαίο στοιχείο) Έστω, τώρα, τα µοναδικά e και e, για τα οποία ισχύει για όλα τα α G ότι, α e α και e α α Λαβαίνουµε ως α το γινόµενο e e Είναι, τότε, ( e e ) e e e και e ( e e ) e e Άρα και, ( e e ) e e ( e e ) Ή ( e e ) e e ( e e ) Ή e e e, e ή e e Πρόταση Κάθε στοιχείο α G έχει ένα και µόνον αντίστροφο στοιχείο Απόδειξη Θα δείξουµε ότι, α G,! α G: α α οµάδας, γνωρίζουµε ότι υπάρχουν µοναδικά α και α G τέτοια ώστε, αα e και α α e Είναι, όµως, α αα α (αα ) α e α και α αα (α α)α eα α Άρα α α Πόρισµα α) ( α ) α β) e e γ) αντιστοιχία α α είναι ένα-ένα και επί (α α α α e Από τον ορισµό της α α ) α L α L δ) Η Παράδειγµα Θεωρούµε το σύνολο των αυτοµορφισµών ενός συνόλου U Φανερά, η σύνθεση δύο αυτοµορφισµών του U είναι πάντοτε δυνατή Ορίζεται λοιπόν µέσα στο σύνολο αυτό, µία εσωτερική πράξη, ο πολλαπλασιασµός δύο στοιχείων του Μέσα στο σύνολο των αυτοµορφισµών του U, συγκαταλέγεται και η ταυτοτική απεικόνιση : U U, που ορίζεται από την σχέση, x U, U ( x) x Στην περίπτωση, που ο U αυτοµορφισµός είναι µετάθεση f, υπάρχει και η αντίστροφή της f Το σύνολο συνεπώς των µεταθέσεων του U, µε πράξη την σύνθεση, αποτελεί οµάδα Υποοµάδα Η της G, είναι ένα υποσύνολο της G, τέτοιο ώστε, α, β Η, αβ Η και α Η, α Η Αντιµεταθετική ή Αβελιανή λέγεται η οµάς G, αν και µόνον αν, οι µοναδικές λύσεις x, y G είναι και ίσες Στην περίπτωση αυτή, α, β G, ισχύει ότι, αβ βα

5 Σηµειώσεις επί του συµβολισµού Στην περίπτωση Αβελιανής οµάδας, σηµειώνουµε πάντα την πράξη µε το +, το ουδέτερο στοιχείο µε το 0 (µηδέν), και το αντίστροφο στοιχείο του α µε το α (αντίθετο) Γράφουµε αβ αντί του (σωστού) α+(β) Αυτό είναι η µοναδική λύση x R της εξίσωσης α+x β Φανερά, λόγω της αντιµεταθετικότητας της προσθέσεως, ισχύει ότι, α (β+ β ) α β β Αν η οµάς G είναι ισόµορφος (βλέπε ενότητα Σύνολα 6-7) της οµάδος H, θα γράφουµε G H Η σχέση " " είναι, φανερά, µία σχέση ισοδυναµίας (βλέπε ενότητα Σύνολα ) Θεώρηµα του Cyley Έστω τυχόν στοιχείο της οµάδας G Ορίζουµε την φ : G G από την σχέση x G, φ (x) x G Η φ είναι ένα ένα και επί Απόδειξη ) Η φ είναι ένα ένα Πράγµατι, αν για x x, φ ( x) φ (x ), τότε και x x, άτοπο ) g G, x G : φ (x) g Αρκεί να λάβουµε x g Στην πραγµατικότητα η φ αποτελεί µία µετάθεση του G Το γεγονός ότι το σύνολο των µεταθέσεων αποτελεί οµάδα µε ουδέτερο στοιχείο την ταυτοτική µετάθεση x G, φ e(x) ex x G το γνωρίζουµε από ότι είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο Αν την οµάδα αυτή την καλέσουµε δείξουµε ότι, Sφ G φ G Πράγµατι είναι, G (,b) φ S φ, τότε, θα Sφ Sφ ( φ, φb) x G, φ ( φb) bx φb(x) Έχουµε, λοιπόν, την σχέση φ φ b φ b η οποία και αποδεικνύει τον σηµειούµενο ισοµορφισµό Υποοµάδα Η µιάς οµάδας G, είναι ένα υποσύνολο H G, το οποίο αποτελεί οµάδα µε πράξη αυτήν, που καθιστά την G οµάδα Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι το Η υποοµάδα της G, είναι αυτό να είναι κλειστό ως προς την εσωτερική του πράξη που το καθιστά οµάδα ηλαδή x, x H, x x H Για την υποοµάδα Η της G, έχουµε, φανερά, τις προτάσεις: ) Οι οµάδες G και Η έχουν το ίδιο µοναδιαίο στοιχείο e ) Αν H G, τότε και H G Πράξεις µε υποοµάδες Επειδή οι υποοµάδες της οµάδας G είναι υποσύνολα της G, µπορούµε να θεωρούµε την τοµή και την ένωσή τους Σχετικά µε τα σύνολα αυτά, έχουµε ότι: α) Φανερά, η τοµή όλων των υποοµάδων της G, είναι υποοµάς της G β) Η ένωση δύο υποοµάδων της G δεν είναι πάντα υποοµάς της G Για παράδειγµα, έστω G η οµάς των ακεραίων Z, µε πράξη την + Τα σύνολα {κx x }, είναι υποοµάδες της Z Η τοµή b H κ H κ Η λ είναι το σύνολο των ακεραίων µ και είναι βέβαια και αυτό υποοµάδα της Z Η ένωση όµως υποοµάς της Z, µιά και το στοιχείο ( κ,λ) κx λ κ Z Η, όπου λ µ κλ, H Η δεν είναι πάντα + λy H κ Η, στην περίπτωση, που

6 6 Εκτός της ενώσεως και της τοµής δύο συνόλων, έχουµε και το καρτεσιανό τους γινόµενο Στην περίπτωση, που τα σύνολά µας είναι δύο οµάδες Α, Β, το εξωτερικό γινόµενό τους A B είναι η οµάδα, που έχει πράξη την (,b)(,b ) (,bb ), όπου, A και b,b B Ισχύουν οι προτάσεις: ) Το A B περιέχει µν το πλήθος στοιχεία, αν το Α έχει µ και το Β ν στοιχεία ) Οι οµάδες A B και B A είναι ισόµορφες ) Το σύνολο των στοιχείων της µορφής (,e) όπου A και e B αποτελούν υποοµάδα της A B Το σύνολο των στοιχείων της µορφής ( e,b) όπου b B και e A αποτελούν υποοµάδα της B A ) Αν A A και B B υποοµάδες των Α και Β, τότε και η A B υποοµάς της A B Το γινόµενο (ή άθροισµα, ανάλογα µε την πράξη της οµάδας), δύο υποοµάδων Η και Κ της οµάδας G, ορίζεται ως το σύνολο HK {h h H και K} (Ανάλογα ορίζουµε το H+ K ) Πρόταση Το γινόµενο δύο υποοµάδων Η και Κ της οµάδας G είναι οµάς, αν και µόνον αν HK KH Απόδειξη α) Έστω ότι ΗΚ οµάς Θα πρέπει να δείξουµε ότι h H και K, h h Πράγµατι, h HK, άρα και ( h ) HK, δηλαδή, h HK, απ όπου KH HK Ανάλογα έχουµε και την KH HK β) Έστω ότι, HK KH Θα δείξουµε, τότε, ότι το γινόµενο ΗΚ είναι οµάς Πράγµατι, το γινόµενο δύο στοιχείων h και h του ΗΚ είναι και πάλι εν ΗΚ, µιά και ( h )(h) (hh)() Εξ άλλου, αν h HK, τότε είναι και (h) Παρατήρηση Το h KH HK H+ K είναι πάντα υποοµάδα της G Με o (H) συµβολίζουν το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου Η Στην περίπτωση, που το σύνολο αυτό είναι οµάδα, ο φυσικός αυτός αριθµός, καλείται τάξις της οµάδος Θα ασχοληθούµε µε οµάδες πεπερασµένης τάξεως o(h)o(k) Πρόταση Για το σύνολο ΗΚ, ισχύει ότι, o(hk) o(h K) Απόδειξη Κατ αρχήν παρατηρούµε ότι, αν H K {e} τότε όλα τα στοιχεία του συνόλου ΗΚ είναι µεταξύ τους διαφορετικά Πράγµατι, αν h h, όπου τα στοιχεία h και δεν είναι το e, τότε, και, h h, πράγµα άτοπο Στην περίπτωση, λοιπόν, αυτή, η προς απόδειξη ισότητα ισχύει, υπό την µορφή o (HK) o(h)o(k) Έστω, τώρα, H K {e} Τότε, h h ανν h h z H K Κάθε, λοιπόν, z H K, συµβάλει στην καταµέτρηση του πλήθους o (H)o(K) µε στοιχεία της µορφής z, όλα ίδια, αν και µόνον αν, H K, δηλαδή, µε o(h K) το πλήθος Κάθε ένα συνεπώς z H K συµβάλει στον υπολογισµό του αριθµού

7 7 o (H)o(K) µε o(h K) ίδια στοιχεία Τα διαφορετικά, λοιπόν, στοιχεία του HK είναι, o(h)o(k) / o(h K) Εφαρµογή Έστω οι υποοµάδες Η και Κ της οµάδας G µε o (H) > o(g), o(k) > o(g) Εξ άλλου, επειδή HK G, o(hk) o(g) Είναι, τότε, o(h)o(k) o(g) o(g) o(g) o(g) o(hk) > o(h K) o(h K) o(h K) Άρα και o (H K) >, δηλαδή, H K {e} Οι συµµετρικές οµάδες S, Κατά τον Herm Weyl, συµµετρία είναι εκείνη η πράξις, η οποία ενεργουµένη επί ενός αντικειµένου, αφίνει αυτό, κατά κάποια έννοια, αναλλοίωτο Η S περιέχει όλες τις διατάξεις, που µπορούµε να επιτύχουµε διατάσοντας ένα αντικείµενο Από την διάταξη {}, ουδεµία άλλη προκείπτει Η S περιέχει συνεπώς, µόνον την ταυτοτική µετάθεση Η S περιέχει τις διατάξεις {, } και {, } Η πρώτη, προέρχεται από την ταυτοτική µετάθεση, και η δεύτερη, από την, που είναι η αντιµετάθεση ( ) Ισχύει ότι,, και συνεπώς, αντίστροφο στοιχείο του ( ) είναι το ( ) Η ( ) είναι περιττή µετάθεσις Η υποοµάδα A των αρτίων µεταθέσεων της S, περιέχει µόνον την ταυτοτική µετάθεση Αν τα αντικείµενα και ήταν τα άκρα ενός ευθυγράµµου τµήµατος, η δράση της S πάνω σ αυτό, συνίσταται σε µία συµµετρία του ευθυγράµµου αυτού τµήµατος, ως προς το µέσον του Τα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα σ(x,x ) είναι τα σ x+ x, σ xx Η S, όταν ενεργεί πάνω στους δείκτες των x, αφίνει αυτά αναλλοίωτα Η S περιέχει τις! διατάξεις τριών αντικειµένων Οι 6 αυτές διατάξεις, αποτελούνται από τις: α) Την ταυτοτική (δεν έχουµε δράση επί ουδενός αντικειµένου) β) Αυτές που δεν έχουµε δράση επί ενός αντικειµένου γ) Αυτές που δρούν επί όλων των αντικειµένων Αν τα αντικείµενά µου ήταν κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, η κατηγορία β), θα άφηνε µία κορυφή στην θέση της, και θα άλλαζε τις άλλες δύο Περιλαµβάνει συνεπώς, τις συµµετρίες ( κατοπτρισµοί) ως προς την µεσοκάθετο Η κατηγορία γ), περιλαµβάνει τις στροφές του τριγώνου κατά 0 ο και 0 ο Έχουµε, συνεπώς, τις µεταθέσεις: α), β),

8 8 και γ) Άρτιες είναι, η α) και οι γ) Αυτές και αποτελούν την υποοµάδα A της S Πράγµατι, παρατηρούµε ότι, Η υποοµάδα αυτή, είναι και Αβελιανή Αν καλέσουµε 0 την ταυτοτική και, τις άλλες δύο, όπου 0 και, που αντιστοιχούν στις στροφές του τριγώνου κατά 0 ο και 0 ο, µπορούµε να σχηµατίσουµε των πολλαπλασιαστικό πίνακα της υποοµάδας αυτής, που είναι ο παρακάτω Από τον πίνακα αυτόν, έχουµε και τις εξισώσεις 0 που ορίζουν την οµάδα αυτήν (και αντίστροφα): (, ) και 0, j (, j,, j) Ή 0 ακόµα, 0, όπου (+ j)(mod), µε 0, j j Ο πίνακας αυτός, αποτελεί µέρος του πολλαπλασιαστικού πίνακα της οµάδας S, που είναι: < j Εδώ, η διατειρεί την κορυφή, η την κορυφή, και η την κορυφή Από µία επισκόπιση του πίνακα αυτού, έχουµε τα συµπεράσµατα α) Η S δεν είναι Αβελιανή Πχ, β) Εκτός από τις υποοµάδες { 0 } και {,, }, που είναι και αντιµεταθετική (Αβελιανή) έχουµε και τις A 0 {, {, υποοµάδες 0 }, 0 }, { 0,} Αν διατάξουµε ως προς το σύνολο των υποοµάδων της S, θα έχουµε το παρακάτω διάγραµµα του Hsse (βλέπε 6): S Τα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα σ x, x, x ) είναι τα { 0, } { 0 { 0, } } { 0 A, } ( x + x + x xx+ xx xx σ, σ + και σ xx x Η δράση της S πάνω στους δείκτες των x, αφίνει αυτά αναλλοίωτα Αναλλοίωτο αφίνει επίσης το πολυώνυµο (x x j) (x x )(x x)(x x) η δράση της A, ενώ οι άλλες τρείς υποοµάδες, που προκαλούν κάποια δράση στους δείκτες, αλλάζουν το πρόσηµο του πολυωνύµου Αν θεωρήσουµε τις τρείς ρίζες της

9 9 µονάδος,, ω, ω, είναι ισοµορφισµός ω (βλέπε 0), παρατηρούµε ότι, η αντιστοιχία 0, Επίσης, σε κάθε στοιχείο της οµάδας S, είναι δυνατόν να αντιστοιχίσουµε έναν πίνακα, έτσι ώστε, το σύνολο των 6 αυτών πινάκων µε πράξη τον πολλαπλασιασµό τους, να αποτελεί οµάδα ισόµορφο της S Η αντιστοιχία αυτή, δίδεται παρακάτω: 0 0 0,,, ,, 0 0 ω, Ο ισοµορφισµός αυτός, δεν επάγεται από τον ισοµορφισµό που έχουµε ανάµεσα στους πίνακες και στους µιγαδικούς αριθµούς (βλέπε ) Παρατηρούµε εξ άλλου, ότι και οι 6 πίνακες ,,,,, αποτελούν και αυτοί πολλαπλασιαστική οµάδα G 6, πλην όµως, αυτοί δεν είναι ισόµορφος µε την προηγούµενη Είναι όµως ισόµορφη, µε την οµάδα των εξ ριζών της µονάδος Ερχόµαστε, τέλος στην S Η S περιέχει τις! διατάξεις τεσσάρων αντικειµένων Οι αυτές διατάξεις, προκύπτουν από τις 6 διατάξεις του S, αν σε από κάθε µία διάταξη του S, λάβουµε διατάξεις του S, κατά τον ακόλουθο τρόπο: Από την ταυτοτική πχ διάταξη ( ), λαβαίνουµε διατάξεις ( ), ( ), ( ), και ( ), και συνεπώς τις µεταθέσεις, που αντιστοιχούν σ αυτές, που είναι, αντίστοιχα, οι,,, Από όλες αυτές τις µεταθέσεις του S, ξεχορίζουµε αυτές, που συνδέονται µε τις συµµετρίες του τετραγώνου, και οι οποίες είναι οι εξής 8, και οι οποίες αποτελούν την οµάδα G: α) Την ταυτοτική (δεν έχουµε δράση επί ουδεµιάς κορυφής του τετραγώνου) Η κατηγορία β), που περιλαµβάνει τις συµµετρίες ως προς τις µεσοκαθέτους () και τις διαγώνιες () του τετραγώνου, και περιλαµβάνει, το πλήθος µεταθέσεις Τέλος, η κατηγορία γ) περιλαµβάνει τις στροφές του τετραγώνου κατά 90 ο,,, και συνεπώς, έχουµε ακόµα διατάξεις Αν συµβολίσουµε µε 0 την ταυτοτική, h, v, την συµµετρία ως προς την οριζόντιο, και την κατακόρυφο µεσοκάθετο αντίστοιχα, που είναι οι h και v και µε, b τους κατοπτρισµούς ως προς τις διαγώνιες, και,, αντίστοιχα, που αναλυτικά είναι οι

10 0 και b, h και, τέλος, αν συµβολίσουµε µε,, τις στροφές κατά 90 ο, 80 ο, και 70 ο, και, που αναλυτικά είναι οι, και v, και, τέλος, µε 0 την στροφή κατά 0 0, µπορούµε να κατασκευάσουµε τον πολλαπλασιαστικό πίνακα της οµάδος των συµµετριών του τετραγώνου: j h v b h v b b h v v h b h h v b Από µία επισκόπιση του δίπλα πίνακα, προκύπτει ότι έχουµε τις εξής υποοµάδες (εκτός της { 0 } ): α) Η οµάδα R {0,,,} των περιστροφών του τετραγώνου κατά γωνία π/ Η R είναι Αβελιανή, και ορίζεται από τις εξισώσεις, όπου (+ j)(mod), 0, j Η R περιέχει ως υποοµάδα την R {0,} που είναι η οµάδα των περιστροφών του τετραγώνου, κατά γωνία π Η R είναι Αβελιανή, και ορίζεται από τις εξισώσεις, όπου (+ j)(mod),, j 0, β) Οι υποοµάδες {,,, } (κατοπτρισµοί ως προς τις Κ 0 h v Κ {0,,b, µεσοκαθέτους, περιστροφή κατά γωνία π) και } (κατοπτρισµοί ως προς τις διαγώνιες, περιστροφή κατά γωνία π) Η Κ περιέχει τις υποοµάδες, } j { 0 h, { 0,v} και η Κ τις { 0,} και { 0,b} Αν διατάξουµε ως προς το σύνολο των υποοµάδων της G, λαβαίνουµε το σηµειούµενο παρακάτω διάγραµµα v G v b h v b h b 0 b v h b h v { 0,h} K K R { 0,v} R { 0,b} { 0, } { 0 }

11 Οι υπόλοιπες 6 µεταθέσεις της οµάδας S είναι οι σ σ σ 7 σ 9 τ τ τ τ τ τ 6 τ 7 τ 8 α α α α 6 Οι άρτιες µεταθέσεις που αποτελούν την οµάδα A, είναι οι 0, 8 Ο πολλαπλασιαστικός πίνακας της A είναι ο h,, v, τ, h h 0 v v τ τ 8 τ τ τ τ τ τ τ τ τ 6 τ 6 7 τ 7 τ 7 6 τ 8 τ 8 h h v 0 v τ τ τ τ τ τ 6 τ 7 τ 8 τ v τ τ τ τ τ τ 6 τ 7 8 v τ τ 7 τ 6 τ τ 8 τ τ τ h τ τ τ τ 8 τ τ 7 τ 6 τ h 0 τ 8 τ 6 τ 7 τ τ τ τ τ τ τ τ 0 h τ 6 τ 7 v τ τ τ τ 6 τ 7 0 τ τ 8 τ τ 7 τ 6 τ τ 0 τ τ τ 8 τ 7 τ τ 8 τ τ τ τ τ v τ 8 τ τ τ h τ τ τ τ τ τ 6 h 0 τ τ v τ τ τ h 8 v τ 7 τ 6 0 τ τ h v τ 6 h τ h 0 τ τ v v τ τ τ τ 8 0 h 0 τ 7 Μία επισκόπιση του παραπάνω πίνακα, µας αποκαλύπτει τις υποοµάδες της οµάδας A : ύο υποοµάδες τάξεως, οι { 0,h}, { 0,v}, δύο υποοµάδα τάξεως, που είναι οι { 0,h,}, { 0,v,}, και µιά οµάδα τάξεως, που είναι η { 0,v,,h} Η οµάδα του Kle Στην παράγραφο αυτή, θα δόσουµε ένα παράδειγµα οµάδος µε στοιχεία, και την οποία θα ορίσουµε µε 0 εξισώσεις Αν V { 0,,,}, ορίζουµε 0 0 τις σχέσεις: 0 0, 0, 0 0,, και, τέλος, 0 j j, όπου 0 j,, j, Η οµάδα του Kle v

12 είναι Αβελιανή, και έχει τον παραπλεύρως πολλαπλασιαστικό πίνακα Η οµάδα του Kle συνδέεται µε τις συµµετρίες του ρόµβου Είναι, 0, η ταυτοτική και κατοπτρισµοί ως προς την κατακόρυφο και την οριζόντιο διαγώνιο περιστροφή κατά γωνία π Παρατηρούµε ότι, οι περιστροφές του τετραγώνου, που δίδονται από την οµάδα R της προηγούµενης παραγράφου, δεν είναι ισόµορφος µε την οµάδα του Kle Τούτο φαίνεται αµέσως, από µιά σύγκριση των διαγραµµάτων του Hsse που αντιστοιχούν στις δύο αυτές οµάδες: ιάγραµµα υποοµάδων της οµάδος περιστροφής R του τετραγώνου ιάγραµµα υποοµάδων της οµάδος του Kle R V R { 0, } { 0,} { 0, } { 0 } { 0 } Σηµείωση Αναφερόµεθα πάντοτε σε οµάδες µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων 6 Κυκλικές οµάδες Θεωρούµε πάλι την οµάδα G {,,, }, και σχηµατίζουµε τις δυνάµεις Αν τύχει να συµβεί και του στοιχείου m j, τότε και G Φανερά, m ή m K j j G, µε 0 Το στοιχείο όµως αυτό, δρα ως µοναδιαίο στοιχείο e στο σύνολο Η των δυνάµεων του, και, επειδή, η m G έχει ένα και µόνο µοναδιαίο στοιχείο, αυτό είναι το για τον οποίο έχουµε µ 0 Ο εκθέτης εκείνος λ, λ e, ενώ µ < λ, e, καλείται τάξις του στοιχείου λ Το σύνολο () {,, K, }, e αποτελεί φανερά υποοµάδα της G τάξεως λ Η οµάδα αυτή, καλείται κυκλική υποοµάδα, που παράγεται από το στοιχείο G Στην περίπτωση, που o () o(g), η G είναι κυκλική οµάς, παραγόµενη από το στοιχείο G Συναντήσαµε τις κυκλικές οµάδες στις περιπτώσεις των ριζών της µονάδος, βλέπε 0, και στις οµάδες περιστροφών του τριγώνου και του τετραγώνου λ o()

13 Πρόταση Θεωρούµε την κυκλική οµάδα G, που παράγεται από το στοιχείο, και έχει τάξη o (G) Τότε m e αν και µόνον αν m µ όπου µ Z µ + υ µ υ Απόδειξη Έστω m µ + υ, όπου 0 υ Άρα και e, αν και µόνον αν υ 0 Πόρισµα Στην περίπτωση που ο, πρώτος, τότε, για τον τυχόντα ακέραιο m Z ισχύει ότι είτε m e, είτε o( m ) Πρόταση Μία κυκλική οµάς είναι πάντοτε Αβελιανή, µιά και για κάθε δύο στοιχεία µ ν µ ν µ + ν ν+ µ ν µ της και ισχύει ότι, Πρόταση Η υποοµάδα µιάς κυκλικής οµάδας είναι κυκλική Απόδειξη Έστω G {,, K, } η κυκλική µου οµάς, και Η µία υποοµάς της G Έστω το m H, µε m τον µικρότερο θετικό εκθέτη για τον οποίο δείξουµε ότι το τυχόν µορφή λοιπόν, b H έχει την µορφή s b Επειδή είναι και b H, s µm υ m H Θα µm Το b ως στοιχείο της G, έχει την m s Άρα, s µm+ υ, µε 0 υ< µ Είναι, H, άρα, και υ Η Αναγκαστικά είναι, λοιπόν, υ 0 Παρατήρηση Κυκλικές είναι και όλες οι προσθετικές ( Αβελιανές) οµάδες (βλέπε 6) µιά και, 0(mod ), Z {( ),(), K,(),(0) } Η Z είναι ισόµορφος προς την πολλαπλασιαστική οµάδα των πινάκων,,, L,, όπου ο πολλαπλασιασµός των πινάκων γίνεται mod 0 Z Πρόταση Αν ( m,), τότε η Z m Z κυκλική οµάς, ισόµορφος της Z m Απόδειξη Είναι, Zm Z {((µ) m,(ν) ) (µ) m Zm, (ν) Z} Το στοιχείο (( 0) m,(0) m ) είναι το µηδενικό στοιχείο της οµάδας Z m Z, η οποία παράγεται από το (( ) m,() ) Η αντιστοιχία (( ) m,() ) () m παρέχει τον ζητούµενο ισοµορφισµό 7 Θεώρηµα του Lgrge Αν Η υποοµάδα της οµάδας G, τότε, o (H) o(g) Απόδειξη Έστω η οµάδα G {e,x, K,x }, τάξεως, όπου x x j, για j H {e,h, K,hr} υποοµάδα της, τάξεως r Θεωρούµε τα γινόµενα h, όπου το στοιχείο G, H, e, που ee he he K hre εµφανίζεται στην γραµµή, δεν εµφανίζεται e h h K hr στην + γραµµή Ο πίνακας αυτός, περιέχει e r διαφορετικά στοιχεία Πράγµατι, αν h h K hr M M M M M h j h j, τότε και h j h j H Όµως, e h h K hr η Η υποοµάδα Άρα, H Τούτο όµως είναι, άτοπο, µιά και H Εξ άλλου, στον πίνακα αυτό, αναγράφονται όλα τα στοιχεία της οµάδας G Άρα r, ή r, όπως θέλαµε να δείξουµε

14 Παρατήρηση Ο παραπάνω πίνακας, αποτελεί έναν µερισµό του συνόλου G Ορίζεται συνεπώς επί του G µία σχέση ισοδυναµίας, τέτοια ώστε, οι τάξεις ισοδυναµίας αυτής, να είναι οι γραµµές του πίνακα Να είναι, δηλαδή, C {e, K,h }, G Η σχέση αυτή R, ορίζεται ως εξής: R {(,b) G G b r α) (,) R, µιά και e H h H}, Η µιά υποοµάδα της G Έχουµε, τότε, ότι, β) (,b) R hb b h, όπου h H ( b,) R Άρα και, b H, δηλαδή, γ) (,b) R και (b,c) R (,c) R, µιά και από τις σχέσεις b h bc h ή την b c h, έχουµε και την c h h, ή την c hh H Γράφουµε και, b(mod H) Στην συνέχεια, θεωρούµε το σύνολο G / H Ένα στοιχείο C G / H, είναι το, C {x G x (mod H)} H Παρατηρούµε ότι, όλες οι τάξεις C έχουν r το πλήθος στοιχεία Πράγµατι, η αντιστοιχία C x y, αν και µονον αν y hb µε h το στοιχείο εκείνο της Η, για το οποίο C b είναι x h, είναι µία αντιστοιχία ένα-ένα και επί ανάµεσα στις τυχούσες τάξεις και C b, ως επίσης και µία αντιστοιχία ένα-ένα και επί ανάµεσα στα στοιχεία µιάς τάξεως, και της Η Ορισµός Η τάξη H {h h H}, καλείται δεξιά τάξη (rght coset) του Η Με τον ίδιο τρόπο, ορίζουµε και την αριστερή τάξη του Η, την H {h h H} Ο ακέραιος που εκφράζει το πλήθος των δεηιά (ή αριστερά) τάξεων της Η εν G, καλείται δείκτης o(g) (dex) της Η εν G Είναι, G (H), όπου G (H) ο δείκτης της Η εν G o(h) Παράδειγµα Θεωρούµε την οµάδα S, και έστω η υποοµάδα της H {0,} 6 (βλέπε ) Είναι, G (H) Έχουµε, λοιπόν, τρείς αριστερά και τρείς δεξιά τάξεις της Η εν G Οι δεξιά τάξεις είναι οι: ) H0 H {0,} Λαβαίνουµε στην συνέχεια ένα στοιχείο G µε H Έστω το Σχηµατίζουµε τα γινόµενα H Είναι, ) H {,} Λαβαίνουµε, τέλος, ένα στοιχείο G µε H H Ένα τέτοιο στοιχείο είναι το Σχηµατίζουµε τα γινόµενα H Είναι, ) H {,} Οι αριστερά τάξεις είναι οι: ) H H {, } Λαβαίνουµε στην συνέχεια ένα 0 0 στοιχείο G µε H Έστω το Σχηµατίζουµε τα γινόµενα H Είναι, ) H {, } Λαβαίνουµε, τέλος, ένα στοιχείο G µε H και H Ένα τέτοιο στοιχείο είναι το Σχηµατίζουµε τα γινόµενα H Είναι, ) H {,} Παρατηρούµε ότι, οι δεξιά τάξεις του Η εν G, δεν συµπίπτουν µε τις αριστερά τάξεις του Η εν G, αν και όλες έχουν από δύο στοιχεία του G Αν, τώρα, αντί για H { 0, }, είχαµε λάβει H { 0,, }, τότε εργαζόµενοι ως και προηγουµένως, θα διαπιστώναµε ότι, οι δεξιά και οι αριστερά τάξεις συµπίπτουν Τούτο σηµβαίνει διότι έχουµε την, και C

15 Πρόταση Η δεξιά τάξη H του Η ταυτίζεται µε την αριστερή τάξη H του Η, αν και µόνον αν ισχύει ότι h H, h h, δηλαδή, αν και µόνον αν, το στοιχείο G, αντιµετατίθεται µε όλα τα στοιχεία του Η Παρατήρηση Λόγω του θεωρήµατος του Lgrge o () o(g) Πόρισµα o(g) o() G, ισχύει ότι, e, µιά και, ( ) e e o(g) o() Εφαρµογή Θεωρούµε την συνάρτηση φ () του mod 8 7 Euler (βλέπε 0) Οι ακέραιοι και θετικοί 7 αριθµοί, που είναι < και για τους οποίους 7 ισχύει ότι (,), αποτελούν πολλαπλασιαστική οµάδα Φ mod µε o(φ) φ() Για παράδειγµα, αν 8, φ ( ) και Φ {,,,7} Ο πολλαπλασιαστικός πίνακας της Φ είναι ο δίπλα Εφαρµόζουµε το προηγούµενο πόρισµα στην οµάδα Φ, και έχουµε ότι, φ() mod, που είναι το θεώρηµα του Euler Στην περίπτωση, που ο είναι αριθµός πρώτος, φ ( ), οπότε και mod, ή mod Εδείχθη συνεπώς το θεώρηµα του Fermt για την περίπτωση (,) (βλέπε 6) Στην περίπτωση που, ο και ο έχουν διαιρέτη δ, επειδή ο πρώτος, έπεται ότι,, και άρα, 0mod, ή και mod Το θεώρηµα του Fermt ισχύει συνεπώς, για κάθε ακέραιο Παρατηρούµε ότι, ο πίνακας αυτός, δεν διαφέρει ουσιαστικά από τον πίνακα της οµάδας του Kle Η Φ είναι λοιπόν ισόµορφη προς την οµάδα αυτή Αν o (G), αριθµός πρώτος, τότε κάθε στοιχείο της G έχει τάξη Συνεπώς, µία οµάδα τάξεως, αποτελείται από τις δυνάµεις ενός µόνον στοιχείου, και ουδεµία υποοµάδα πλην της {e} περιέχει Η G είναι, λοιπόν, κυκλική οµάδα 8 Οµοµορφισµοί Έστω οι οµάδες G και G Η f : G G είναι οµοµορφισµός, ανν,b G, f(b) f()f(b) G ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ G η οµάδα των περιστροφών του κύβου Η G αποτελείται από τις υποοµάδες: ) Ταυτοτική ) 9 περιστροφές γύρω από τους άξονες που διέρχονται απο τα κέντρα των εδρών του κατά 90º, 80º και 70º ) 6 περιστροφές κατά 80º γύρω από τους άξονες που ορίζονται από τα µέσα των απέναντι πλευρών ) 8 περιστροφές κατά 80º και 70º γύρω από τους άξονες που ορίζουν οι απέναντι κορυφές Αν συνδέσουµε τα κέντρα των εδρών, λαβαίνουµε ένα τετράεδρο Η οµάδα των περιστροφών του τετραέδρου, αποτελεί την οµάδα G Η απεικόνιση f ορίζεται από την τοποθέτηση αυτή του τετραέδρου εντός του κύβου Σε κάθε περιστροφή του κύβου αντιστοιχεί και µία περιστροφή του τετραέδρου ύο διαδοχικές περιστροφές

16 6 του κύβου αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές περιστροφές του τετραέδρου Η f είναι, λοιπόν, ένας οµοµορφισµός Ορισµός Πυρήνας (erel) ενός οµοµορφισµού f : G G, είναι το σύνολο των στοιχείων της G, που απεικονίζονται στο ουδέτερο στοιχείο της G Τον πυρήνα της f τον συµβολίζουν µε Κ erf Ισχύουν οι προτάσεις: ) Ο Κ erf είναι υποοµάδα της G ) x G και er f, ισχύει ότι xx K Είναι, f (xx ) f (x)f ()f (x ) f (x)f (x) Γράφουµε και xk Kx e Ορισµός Το σύνολο Z των στοιχείων z της G, τα οποία αντιµετατίθεντε µε όλα τα στοχεία x της G, καλείται και κέντρον της οµάδας G Είναι, λοιπόν, Z {z G x G, zx xz} Ο πυρήνας συνεπώς του οµοµορφισµού f, ταυτίζεται µε το κέντρο Z της οµάδας G 9 Αυτοµορφισµοί Με κάθε στοιχείο g G η απεικόνιση φ : G G που ορίζεται από την σχέση G h φ (h) ghg G αποτελεί έναν εσωτερικό αυτοµορφισµό της οµάδας G Η g g φ g είναι ένα ένα και επί, µιά και η gxg gx g συνεπάγεται την x x Εξ άλλου, το τυχόν στοιχείο είναι εικόνα του g xg G Η φ g είναι και ισοµορφισµός της G µιά και x G φ g ( xx ) gxx g gxg gx g φg (x) φg (x ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω S {,,,,, } (βλέπε σελ 8) Ως g G 0 λαβαίνουµε το στοιχείο (κατοπτρισµός ως προς το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου που άγεται από την κορυφή ) Η φ (S ) {, 0 } Χρησιµοποιούµε τον g πίνακα της S Παρατηρούµε ότι και, στην συνέχεια, υπολογίζουµε ότι,, 0 0,,, 0, Η φ g στην περίπτωση αυτή, συµπίπτει 0 µε την µετάθεση Παρατηρούµε ότι η φ (S) 0 g εξακολουθεί να διατειρεί την κορυφή, δεν συµβαίνει όµως το ίδιο και για τις άλλες συµµετρίες Υπάρχουν όµως και οµάδες, που παραµένουν αναλλοίωτες ως προς όλους τους εσωτερικούς αυτοµορφισµούς των Είναι δηλαδή, κατά κάποιο τρόπο υπερσυµ- µετρικές Παρατήρηση Τα στοιχεία, b G αντιµετατίθενται ανν b b Συνεπώς το µέτρο της µη αντιµεταθεσιµότητος των στοιχείων και b της G, δίδεται από το γινόµενο b b το οποίο ισούται µε e ανν b b Το στοιχείο b b καλείται και commuttor των στοιχείων και b

17 7 Εισάγουµε την εξής σχέση R επί την G: R {(,b) G G x G µε b x x} Η R είναι µιά σχέση ισοδυναµίας Πράγµατι, α) xbx οπότε αρκεί να λάβουµε e e β) Αν b x x, τότε και x x γ) Τέλος, αν έχουµε ότι b x x και y cy, τότε, είναι και b x y cyx (yx) c(yx) Τα στοιχεία και b της G, που είναι R ισοδύναµα, καλούνται συζυγή στοιχεία (cojugte elemets) της G Το σύνολο G / R περιέχει τις τάξεις C {b G x G µε b x x} Τα στοιχεία b C καλούνται συζυγή ως προς στοιχεία Οι τάξεις αυτές, αποτελούν έναν µερισµό της οµάδας G Αν συνεπώς, η G έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων και µε o(c ) παραστήσουµε το πλήθος των στοιχείων της C, τότε, o (G) o(c ) Ορισµός Το σύνολο των στοιχείων x της G, που αντιµετατίθενται µε το στοιχείο, καλείται Normlzer N() του στοιχείου Είναι, λοιπόν, N () {x G x x} Πρόταση Η N() είναι υποοµάδα της G Πράγµατι, µε κάθε, N(), N(), µιά και Εξ άλλου, N(), είναι, και N(), µιά και,, δηλαδή, N() G, και N() Άρα, o(g) Πρόταση Για πεπερασµένη οµάδα G, ισχύει ότι, o(c ) ηλαδή, το o(n()) πλήθος των στοιχείων της C είναι ακριβώς τόσο, όσες είναι οι (δεξιά) τάξεις της N() εν G Απόδειξη Θα δείξουµε ότι, α) δύο στοιχεία, που ανήκουν στην ίδια δεξιά τάξη ισοδυναµίας ως προς N() είναι συζυγή ως προς στοιχεία, ενώ β) δύο στοιχεία της G, που ανήκουν σε διαφορετικές δεξιά τάξεις ως προς Ν(), δεν είναι συζυγή ως προς Προς τούτο, αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει ένα-ένα απεικόνιση φ : C G / N() Έστω, λοιπόν, ότι, x,y N() z Τότε, x z και z, άρα, N(), µε x y y, όπου Άρα και x y Ή x x y x, οπότε και x x y y y y Συνεπώς, στα διαφορετικά στοιχεία x, y της ίδιας δεξιάς τάξεως N()z, αντιστοιχεί το αυτό στοιχείο x x y y C Για το β), έστω ότι τα x και y ανήκουν σε διαφορετικές δεξιές ως προς N() τάξεις Θα δείξουµε ότι και τα συζυγή τους ως προς στοιχεία είναι δυνατόν να ταυτίζονται Πράγµατι, αν x x y y θα είχαµε και yx yx, δηλαδή, το στοιχείο yx N() Πόρισµα o(g) o (G) Η εξίσωση αυτή, ονοµάζεται εξίσωση τάξεως (clss o(n()) equto) της οµάδας G Παρατήρηση Στην περίπτωση, που η G είναι Αβελιανή, τότε, για κάθε G, C {}, οπότε o(c ), µιά και, C {y G x G µε y x x }

18 8 Παράδειγµα Θεωρούµε την συµµετρική οµάδα S (βλέπε ), και ζητάµε να βρούµε την εξίσωση τάξεως αυτής της οµάδας Είναι, ) C 0 {0} C ) Για να βρούµε το { S x S µε x x}, Σχηµατίζουµε όλα τα x x 0, γινόµενα της µορφής, 0 και στην συνέχεια, υπολογίζουµε ότι,,, 0 0 Άρα, C {, } Από τον πολλαπλασιαστικό πίνακα της S έχουµε ότι,,,,,, ) Λαβαίνουµε κάποιο στοιχείο, το οποίο δεν ανήκει στην C, C 0 ή την, C Έστω το Για να βρούµε το { S x S µε x x}, σχηµατίζουµε όλα τα γινόµενα x x 0 Από τον πολλαπλασιαστικό πίνακα της S έχουµε ότι,,, 0,, 0 0 και στην συνέχεια, υπολογίζουµε ότι,,,,,,, Άρα, C {,,} εν έχουµε πλέον, στοιχείο, που να µη ανήκει σε κάποια τάξη Είναι, o(g) o(c ) + o(c ) o(c ), ή , Ας υπολογίσουµε, τώρα, τις υποοµάδες N(0 ), N(), N(), οι οποίες πρέπει να έχουν,, δεξιές τάξεις εν S αντίστοιχα ) N(0 ) { S 0 0} Όµως, το 0 αντιµετατίθεται µε όλα τα στοιχεία της οµάδας S Άρα N (0) S, και o(n(0 )0) o(s) / o(n(0)) ) N( ) { S } Από τον πολλαπλασιαστικό πίνακα της S βρίσκουµε ότι, ( ) {,, } Άρα και, (N( ) ) o(s ) / o(n( )) N 0 N( ) { S N( ) {0, o ) } Από τον πολλαπλασιαστικό πίνακα της S βρίσκουµε ότι, } Άρα και, o(n( )) o(s) / o(n()) Παρατήρηση Η εξίσωση τάξεως, µπορεί να γραφεί, όταν o (G) + o(g) o(n( e )), µιά και e, N (e) {x G ex xe} G Αν, τώρα, το πλήθος των στοιχείων z G, για τα οποία ισχύει η σχέση x G, µε z x zx, οπότε και γι αυτά έχουµε o(g) N (z) G, είναι ζ, τότε, η εξίσωση τάξεως γράφεται, o (G) ζ+ Το z o(n()) σύνολο όµως των στοιχείων z G για τα οποία είναι x G, xz zx, το έχουµε καλέσει κέντον Ζ της οµάδας G Η εξίσωση τάξεως γράφεται, λοιπόν, και o(g) o (G) o(z) + Z o(n()) m Εφαρµογή ) Αν o (G), αριθµός πρώτος, τότε και o (Z) µ, µ > 0 Το συµπέρασµα αυτό, έπεται από µιά απλή εφαρµογή της εξίσωσης τάξεως, µιά και κάθε

19 9 o(g) όρος του αθροίσµατος είναι θετικός ακέραιος (θεώρηµα Lgrge) της Z o(n()) m µορφής λ Άρα ισχύει ότι o (Z) λ µ ) Αν o (G) Z, τότε η G έχει υποοµάδα τάξεως Η υποοµάδα αυτή, δεν είναι άλλη από την Ζ Πράγµατι, είναι, o (Z) λ λ και επειδή Z Z o (Z) o(g), αναγκαστικά είναι, o (Z) Η έννοια του Normlzer γενικεύεται: N( ) {x x, x G, G, } Το σύνολο N( ), είναι και αυτό υποοµάδα της G Στην περίπτωση που η G είναι αβελιανή, N( ) {e} 0 Κανονικές (orml) υποοµάδες Στην 7 παρατηρήσαµε ότι, οι δεξιά τάξεις µιάς υποοµάδας Η εν G συµπίπτουν µε τις αριστερές της τάξεις, αν και µόνον αν για κάθε x G και h H, ισχύει ότι, xh hx Το γεγονός αυτό, µας οδηγεί στον Ορισµό: Ορισµός Μία υποοµάδα Η της οµάδας G λέγεται κανονική, (ή αναλλοίωτος, vret), αν και µόνον αν, x G και κάθε h H, ισχύει ότι, xhx H Γράφουµε, τότε, και Η< G Παρατήρηση Εφ όσον η Η υποοµάδα και xhx H, και το αντίστροφο στοιχείο του στοιχείου αυτού ανήκει στην Η Είναι, λοιπόν, και xh x H Εξ άλλου, αν αντί του x G είχαµε λάβει το x G, θα είχαµε και ότι x hx H, ως επίσης και x h x H Από τις σχέσεις αυτές έπεται ότι, η Η είναι κανονική υποοµάδα, αν και µόνον αν x G, xhx H Στην περίπτωση αυτή, πολύ εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι, οι δεξιά τάξεις της Η εν G συµπίπτουν µε τις αριστερά τάξεις της Η εν G Αν Η κανονική υποοµάδα της G, τότε, το γινόµενο δύο δεξιά (αντ αριστερά) τάξεων, είναι και πάλι µιά δεξιά (αντ αριστερά) τάξις Πράγµατι είναι, HHb HHb Hb Το σύνολο συνεπώς G / H των δεξιά (ή αριστερά) τάξεων, αποτελεί οµάδα, αν και µόνον αν Η κανονική υποοµάς της G Ουδέτερο στοιχείο της οµάδας αυτής, είναι το η τάξη He H Το πλήθος των στοιχείων της G / H είναι, βέβαια, ίσο προς G (H) o(g) Έχουµε, λοιπόν, o (G / H) o(h) Ερχόµαστε, τώρα, να δούµε τις επιπτώσεις που έχει το G G/H Θεώρηµα της ενότητα Σύνολα, για την περίπτωση που, g η σχέση ισοδυναµίας R ορίζεται µέσω της κανονικής f υποοµάδος Η Έχουµε, τότε, το δίπλα αντιµεταθετικό S διάγραµµα Στο διάγραµµα αυτό, η προβολή ορίζεται από την σχέση, G x Hx G / H Η είναι ένας οµοµορφισµός της οµάδας G επί την οµάδα G / H Πράγµατι, (x x ) Hxx H xx HxHx (x)(x ) Αν f οµοµορφισµός, που πληροί τις συνθήκες του θεωρήµατος της, τότε, η g : G / H S ισοµορφισµός Γράφουµε και G / H S Ακόµα, το διάγραµµα αυτό µας δείχνει ότι, g (H) f (e), και

20 0 το στοιχείο αυτό, είναι το ουδέτερο στοιχείο e της οµάδας S Εξ άλλου, στο e απεικονίζονται και όλα τα άλλα στοιχεία της υποοµάδας H της G Το H είναι, λοιπόν, υποσύνολο του πυρήνα Κ του οµοµορφισµού f Φανερά, ο f είναι ισοµορφισµός, αν και µόνον αν H {e} Ακόµα, µπορούµε να έχουµε το παραπάνω διάγραµµα και στην περίπτωση, που η f είναι ένας οµοµορφισµός f : G S, µε πυρήνα Κ, που συµπίπτει, όπως είδαµε, µε το κέντρο Z της G, (βλέπε ), και είναι φανερά, κανονική υποοµάς της G H H/K Έστω Η µία υποοµάς της S και H {x G f (x) H } Το g Η είναι, τότε, f υποοµάς της G, H G G/H g η οποία µάλιστα, g περιέχει τον πυρήνα Κ του οµοµορφισµού f S S/H f Πράγµατι, αν h,h H, τότε και (h h ) f (h )f (h ) H, και συνεπώς, f h h H Εξ άλλου και h H, και h H µιά και f (h ) f (h) H Αν επιπλέον H < S, τότε, και H< G Έχουµε, λοιπόν, και το δίπλα αντιµεταθετικό διάγραµµα όπου η g ισοµορφισµός Αν λάβουµε ως S την G / K και ως Η την H / K, λόγω των g ισοµορφισµών, έχουµε και τον ισοµορφισµό : G / H (G / K) /(H / K) Εφαρµογή Αν G (H), τότε H< G, µιά και, η G µερίζεται ήτε ως {Η, Ηx}, x H, ήτε {Η, xη} Άρα, Hx xh Εξ άλλου, αν x H, τότε, Hx H xh Πρόταση Αν H< G και Α οιαδήποτε υποοµάδα της G, τότε η H A< G, και έχουµε τον ισοµορφισµό A /(A H) HA / H Απόδειξη α) Το ότι η H A είναι οµάδα το γνωρίζουµε (βλέπε ) Το ότι η H A είναι κανονική υποοµάδα της Α, έπεται από το γεγονός ότι H A H< G Η A /(A H) είναι λοιπόν οµάδα, και έχουµε τον οµοµορφισµό : A A /(A H) β) Αρκεί να δείξουµε ότι, έχουµε και τον οµοµορφισµό f : A HA / H Παρατηρούµε ότι, τα στοιχεία της οµάδας πηλίκον HA / H έχουν την µορφή Ηg όπου g HA Ορίζουµε την f ως εξής: A Hh, ή την A H, που είναι ο γνωστός οµοµορφισµός : A A / H Παρατήρηση Αν H< G και Α οιαδήποτε υποοµάδα της G, τέτοια ώστε, H < A< G, τότε είναι και A / H< G / H Το θεώρηµα του Sylow Το θεώρηµα του Lgrge βεβαιώνει ότι, αν η οµάδα G έχει υποοµάδα Η, τότε είναι o (H) o(g) Ισχύει άραγε το αντίστροφο; Αν δηλαδή o(g), υπάρχει υποοµάδα Η της G, µε o (H) ; Η απάντηση είναι όχι Για παράδειγµα η εξ εναλλαγής οµάδα A µε o(a ), ουδεµία υποοµάδα έχει τάξεως 6 (βλέπε ) Έχουµε, όµως, το (πρώτο) θεώρηµα του Sylow: Έστω οµάς G, πρώτος, και G περιέχει, τότε, µία υποοµάδα Η µε -υποοµάς της οµάδας G m η µεγαλύτερη δύναµη του που διαιρεί την τάξη της G Η o (H) m Η οµάς αυτή Η, καλείται και Sylow

21 Για παράδειγµα, Η S έχει o(s ), και περιέχει την υποοµάδα των συµµετριών του τετραγώνου, που έχει 8 στοιχεία, ως επίσης την οµάδα { 0,τ,τ }, υποοµάδα της A, για την οποία έχουµε ότι, τ τ 0 ττ και τ, τ τ τ (βλέπε ) Θα αποδείξουµε, πρώτα, το θεώρηµα του Sylow, για την περίπτωση, που η G είναι Αβελιανή οµάδααρχίζουµε µε το Θεώρηµα του Cuchy (για Αβελιανές οµάδες 8) Έστω G πεπερασµένη Αβελιανή οµάς και o(g), πρώτος τότε G, µε e Απόδειξη, µε επαγωγή πάνω στην o (G) Για o (G) το θεώρηµα ισχύει τετριµµένα Επίσης αν o (G), τότε, όπως είδαµε στη, η G είναι κυκλική οµάς, και άρα, G, e, είναι e Έστω, λοιπόν, ότι o (G), και ότι το θεώρηµα ισχύει < Θα δείξουµε ότι ισχύει και για την τιµή Ας υποθέσουµε, λοιπόν, ότι η G έχει την υποοµάδα N {e} για την οποία ισχύει η επαγωγική µας υπόθεση, ότι δηλαδή, b N, µε b e και o(n) Θα πρέπει να δείξουµε ότι και o(g) Έστω, λοιπόν, ότι ο δεν διαιρεί την τάξη της οµάδας G Θεωρούµε την οµάδα G / N o(g) o(g) για την οποία έχουµε ότι, o (G / N) και επειδή o(n), < o(g) Εξ o(n) o(n) άλλου, η G / N είναι Αβελιανή, µιά και η G είναι και αυτή Αβελιανή Πληροί, λοιπόν, την επαγωγική µας υπόθεση και έστω Χ µία τάξη της G / N, X N, (που είναι το ουδέτερο στοιχείο της και c b, και συνεπώς, o(n) o(n) G / N ), για την οποία X N Είναι, X Nc, c N, οπότε N X (Nc) Nc Άρα c N, οπότε και o(n) e (c ) (c ) Όµως, και b (b ) e Άρα, c b, άτοπον o(n) o(n) c b, απ όπου Θεώρηµα του Cuchy Αν αριθµός πρώτος και o(g), τότε η G έχει κυκλική υποοµάδα τάξεως m+ Θεώρηµα Αν m o(g) αλλά o(g), πρώτος, τότε υπάρχει υποοµάδα της G τάξεως m Απόδειξη Θα βρούµε ένα στοιχείο G, τέτοιο ώστε, e Υποθέτουµε ότι, το θεώρηµα ισχύει για κάθε υποοµάδα G της G, τάξεως o (G ) < o(g) (Επαγωγική µας υπόθεση) Έστω ότι, ο δεν διαιρεί την τάξη καµιάς υποοµάδας της G Ιδιαίτερα, έστω το Z, και θεωρούµε την N() G Έχουµε ότι, (βλέπε ), o(g) o (G) o(z) +, απ όπου, όπως είδαµε, προκύπτει ότι, o(z), αντίθετα Z o(n()) µε την υπόθεσή µας Άρα, Z G, οπότε η G είναι Αβελιανή, και ερχόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση Απόδειξη Με επαγωγή Το θεώρηµα αληθεύει, όπως είδαµε, για o (G) Υποθέτουµε ότι το θεώρηµα αληθεύει για κάθε υποοµάδα της G (επαγωγική m υπόθεση) Έστω ότι o(g) q Θεωρούµε την οµάδα G / Z Αυτή, λόγω της υποθέσεως της επαγωγής µας, περιέχει µιά Sylow υποοµάδα τάξεως, την H / Z Έχουµε, όµως, ότι : G / H (G / Z) /(H / Z) (βλέπε 6) Άρα, και, m

22 m q q o (G / H) o(g / Z) / o(h / Z), ή, ή m h H m m h, όπου h η τάξη της οµάδας Εφαρµογή Αν ( m,), τότε η Z m Z είναι κυκλική και ισόµορφος της Z m Το συµπέρασµα αυτό εύκολα επεκτείνεται και στην περίπτωση, που έχουµε r παράγοντες ανά δύο πρώτους µεταξύ τους Μετά από όσα είδαµε µέχρις εδώ, ο αναγνώστης αντιλαµβάνεται, ότι η πρόταση αυτή, δεν είναι τίποτα άλλο, από µία µεταφορά του θεµελειώδους θεωρήµατος της αριθµητικής (βλέπε ) στις οµάδες Έτσι, αν m o (G), και µία ανάλυση του σε γινόµενο πρώτων παραγόντων, υπάρχουν, τότε, υποοµάδες τάξεως o (H m ), το γινόµενο των οποίων είναι m ισόµορφο της G Προσοχή όµως Ενώ η παράστασις είναι µοναδική, η G H δεν είναι Υποκανονικές και Κανονικές σειρές Επιλύσιµες οµάδες Υποκανονική σειρά της οµάδας G, ονοµάζουµε µιά πεπερασµένη ακολουθία H H K, όπου H H + <, H 0 {e} και 0 H H G Κανονική καλείται η προηγούµενη ακολουθία, αν και µόνον αν, H < G Παρατηρούµε ότι, µία κανονική σειρά είναι πάντα και υποκανονική, όχι όµως και το αντίθετο, εκτός και αν η G είναι Αβελιανή οµάδα Για παράδειγµα, εν S, έχουµε την υποκανονική σειρά { 0 }, { 0,h}, Κ, G (βλέπε ) Μία υποκανονική (αντ κανονική) σειρά { K j } είναι λεπτοτέρα της { H }, αν και µόνον αν, η { K j } έχει τους ίδιους άκρους όρους µε την { H }, και κάθε όρος της σειράς { H } είναι και όρος της σειράς { K j } Μία λεπτοτέρα σειρά Κ, έχει συνεπώς πλήθος όρων του πλήθους των όρων της σειράς Η Ορισµός Μία οµάδα G, η οποία δεν περιέχει υποοµάδα H G τέτοια ώστε H< G, καλείται απλή (smle) Η υποοµάδα Η καλείται µεγίστη εν G, αν και µόνον αν δεν υπάρχει άλλη υποοµάδα Η εν G, τέτοια ώστε, H H G Παρατήρηση Μία οµάδα G είναι δυνατόν να έχει περισσότερες από µία υποοµάδες, που να είναι µέγιστες µέσα σ αυτήν Για να τις προσδιορίσουµε, ανατρέχουµε στο διάγραµµα του Hsse των υποοµάδων της οµάδας G Έτσι, αν G S, οι υποοµάδες { 0,},,, και A είναι µέγιστες υποοµάδες Κριτήριο Η υποοµάδα Η είναι µεγίστη κανονική υποοµάδα της G, αν και µόνον αν, η G / H είναι απλή οµάδα Στην περίπτωση αυτή ο δείκτης (H) G είναι αριθµός πρώτος Ορισµός ύο υποκανονικές (κανονικές) σειρές { H } και { K j } της ιδίας οµάδος G είναι ισόµορφες, αν υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα ανάµεσα στις οµάδες πηλίκα { H+ / H } και { K j+ / K j} έτσι ώστε, οι αντίστοιχες οµάδες πηλίκα, να είναι ισόµορφες

23 Παρατηρήσεις Κάθε κυκλική οµάδα της οποίας η τάξις είναι αριθµός πρώτος, είναι απλή Μία συνθετική σειρά (comosto seres) της οµάδας G, είναι µία υποκανονική σειρά της G, της οποίας κάθε όρος είναι απλή οµάς, και της {e} Συνεπώς µία συνθετική σειρά δεν έχει άλλες εκλεπτύνσεις πλην του εαυτού της Κάθε πεπερασµένη οµάδα G, έχει µία τουλάχιστον συνθετική σειρά Η σειρά αυτή κατασκευάζεται αν λάβουµε την µεγίστη κανονική υποοµάδα N της G, στην συνέχεια την µεγίστη κανονική υποοµάδα N της N, κοκ µέχρις όυου φθάσουµε στην {e} Θεώρηµα των Jord - Hölder ύο συνθετικές σειρές µιάς πεπερασµένης οµάδας G, είναι ισόµορφες Απόδειξη Έστω οι συνθετικές σειρές G> N < K < N {e} () και G> M < K < M {e} () κ λ Θα πρέπει να δείξουµε ότι, κ λ και ότι, N / N + M / M + Αν κ, έχουµε την συνθετική σειρά G< {e}, η οποία είναι και η µοναδική, µιά και η οµάδα G είναι απλή Κάνουµε επαγωγή στο κ Υποθέτουµε ότι το θεώρηµα ισχύει για όλες τις < του κ τιµές Παρατήρηση Αν είναι N M, τότε δεν έχουµε τίποτα να αποδείξουµε, µιά και καλυπτώµεθα από την επαγωγική υπόθεση Ας είναι, λοιπόν, N M, σχηµατίζουµε την τοµή N M< G, και την συνθετική σειρά που αυτή παράγει Παρατηρούµε ότι, N M G, µιά και αν N M G, επειδή N M> N η N (όµοια και για την M ), δεν θα ήταν µεγίστη Ισχύει ότι, (βλέπε 6), G / N M / N M και G / M N / N M Θεωρούµε, τώρα, και τις συνθετικές σειρές: > N < N M < K < K < K {e} () G µ και > M < N M < K < K < K {e} () G µ Οι συνθετικές σειρές () και () ως επίσης και οι () και (), καλύπτονται από την προηγούµενη παρατήρηση Αποµένουν, συνεπώς δύο διαφορετικές συνθετικές σειρές: Οι () και () Το θεώρηµα θα έχει αποδειχθεί, αν και µόνον αν G / N G / M, ή ισοδύναµα, ότι M / N M N / N M, ισοµορφισµός, που καλύπτεται από την επαγωγική υπόθεση Πόρισµα (Schreer) ύο υποκανονικές (κανονικές) σειρές µιάς οµάδας G, έχουν ισόµορφες εκλεπτύνσεις Ορισµός Μία οµάδα G είναι επιλύσιµος, αν και µόνον αν έχουµε υποκανονική (κανονική) σειρά, τέτοια ώστε, (H + ) αριθµός πρώτος Παρατήρηση Μία οµάδα G που έχει συνθετική σειρά, για την οποία αριθµός πρώτος, είναι και επιλύσιµος, σύµφωνα µε το παραπάνω κριτήριο H (H + ) Παραδείγµατα Η εξ εναλλαγής οµάδα ( η υποοµάδα των αρτίων µεταθέσεων) A είναι µεγίστη κανονική υποοµάδα της S Πράγµατι, είναι (A ) Άρα, (βλέπε 6), η A < S, και, για τον ίδιο λόγο, η A / S απλή Σύµφωνα, λοιπόν, µε το παραπάνω κριτήριο η A είναι µεγίστη Ας βρούµε τις συνθετικές σειρές της S, για,,,, S H

24 α) Για, S { 0}, και, συνεπώς, πρόκειται για τετριµµένη περίπτωση επιλυσίµου οµάδος β) Για, S {0, ( )} Η υποκανονική σειρά S, { 0} δείχνει ότι, η S είναι επιλύσιµος γ) Για, o(s ) 6 και ανατρέχουµε στο διάγραµµα των υποοµάδων της S στην 6 Έχουµε τις σειρές S, A, {0} και S, {0,}, {e}, µε,, Οι τάξεις των οµάδων αυτών, είναι αντίστοιχα, 6,, και 6,, Σε κάθε σειρά µε κ στοιχεία, αντιστοιχούµε την µε κ στοιχεία σειρά των δεικτών (H+ ) H o(h ) / o(h ) + Για να είναι η σειρά των υποοµάδων συνθετική, θα πρέπει κάθε όρος της, να είναι απλή οµάδα Για τις παραπάνω συνθετικές σειρές, έχουµε σειρά δεικτών {, } και {, } Κάθε µία σειρά, λοιπόν, απ αυτές, είναι και συνθετική Άρα η S είναι επιλύσιµος οµάς δ) Για, o(s ), A, (A ) Μπορούµε, συνεπώς, να αρχίσουµε S την κατασκευή τις συνθετικής µας σειράς µε δύο πρώτους όρους τις οµάδες S και A Το A, όπως είδαµε, δεν έχει υποοµάδες µε τάξη 6 και δείκτη Έχει όµως, δύο (Sylow) υποοµάδες µε τάξη και δείκτη Κάθε µία απ αυτές, έχει τρείς υποοµάδες µε τάξη και δείκτη Τέλος, κλείνουµε τις συνθετικές σειρές µας, µε την { 0 } Η S είναι, λοιπόν, επιλύσιµος ε) Για θα δείξουµε ότι, η δηλαδή, ότι η A δεν περιέχει καµία κανονική υποοµάδα }, A είναι απλή Για τον σκοπό αυτό, αποδεικνύουµε πρώτα το Λήµµα Αν η H< A, >, περιέχει µία κυκλική υποοµάδα τάξεως, τότε, H A Απόδειξη Υποθέτουµε ότι η κυκλική µας υποοµάδα Η, παράγεται από την κυκλική µετάθεση ( ) Για, H A, και δεν έχουµε να αποδείξουµε τίποτα Για >, επειδή η Η είναι κανονική υποοµάδα της A, περιέχει κάθε µετάθεση της µορφής ( ), όπου αρτία µετάθεση της S Ιδιαίτερα αν ( ), >, ( ) ( ) H ( ) ( ) H, για,, K και { 0 συνεπώς, Όµως, ακριβώς αυτές είναι όλες οι άρτιες µεταθέςεις της S Άρα H A Είµαστε, τώρα, έτοιµοι να δείξουµε ότι, η Η είναι απλή υποοµάδα της A, για Απόδειξη Έστω H< A Κάθε στοιχείο της Η είναι µία µετάθεση, την οποία µπορούµε να την γράψουµε ως γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων (βλέπε 0) Το τυχόν h H γράφεται, λοιπόν, h h K h, όπου h ανεξάρτητοι κύκλοι της µορφής K Η µετάθεση ( ) H και αντιµετατίθεται µε κάθε στοιχείο h της Η Αν το ( ( ) h h H τότε και )h H Είναι, (h K h ) h K h H Θεωρούµε, τώρα, και ( )( K )( )( K ) ( K )( K ) ( ) H Η Η περιέχει, λοιπόν, κυκλική υποοµάδα, αυτήν που παράγεται από την ( ) τάξεως Σύµφωνα µε το λήµµα είναι, H A,

25 Για έχουµε την συνθετική σειρά > A { } µε αντίστοιχο σειρά δεικτών S > 0!!, Ο όµως δεν είναι πρώτος Άρα η S δεν είναι επιλύσιµος