Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Transcript

1 Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος είναι ο έος όρος των τιών όταν αφαιρέουε το p % ε τις ικρότερες και το p % ε τις εγαλύτερες τιές. Π.χ. έτω τα δεδοένα , 0 Ένας 0% ιοταθιένος έος το παραπάνω δείγα των 0 παρατηρήεων προκύπτει αν αφαιρέω από το δείγα τη ικρότερη και εγαλύτερη τιή, και ετά υπολογίω το έο όρο των τιών , 8 Όταν δεν υπάρχουν έκτροπες παρατηρήεις, το θηκόγραα παριτάνει τη έγιτη και ελάχιτη τιή τη διάεο το πρώτο και τρίτο τεταρτηόριο Συγκεκριένα, κατακευάζουε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραο που το ύψος του υνδέει το πρώτο ε το τρίτο τεταρτηόριο ε ία οριζόντια γραή έα το παραλληλόγραο παριτάνεται η διάεος ενώνουε ε κατακόρυφες γραές την πάνω πλευρά του ορθογωνίου ε τη έγιτη τιή και την κάτω πλευρά του ορθογωνίου ε την ελάχιτη τιή

2 Μέα το ορθογώνιο, όταν η διάεος βρίκεται πιο κοντά την κάτω πλευρά (πρώτο τεταρτηόριο), έχουε ένδειξη για θετική αυετρία ενώ όταν βρίκεται πιο κοντά την πάνω πλευρά (τρίτο τεταρτηόριο), έχουε ένδειξη για αρνητική αυετρία για υετρικά δεδοένα, η διάεος ιαπέχει από τα δύο τεταρτηόρια Στην περίπτωη που υπάρχουν ακραίες παρατηρήεις, τότε οι κατακόρυφες γραές πάνω και κάτω από το ορθογώνιο δε φτάνουν έχρι τη έγιτη και ελάχιτη τιή, αλλά έχρι τα ηεία Κατώτερο εωτερικό φράγα Q, IQR Ενδοτεταρτηοριακό εύρος Ανώτερο εωτερικό φράγα Q3 +, IQR

3 Οι τιές που είναι ικρότερες από το κατώτερο εωτερικό φράγα και οι τιές που είναι εγαλύτερες από το ανώτερο εωτερικό φράγα θεωρούνται ακραίες τιές. Στην περίπτωη που υπάρχουν πολύ ακραίες τιές, ηειώνουε επίης το διάγραα ε έναν κύκλο τα ηεία Κατώτερο εξωτερικό φράγα Ανώτερο εξωτερικό φράγα Q 3IQR Q3 + 3IQR Σηειώνουε επίης ότι η έννοια του τεταρτηορίου πορεί να γενικευτεί. Έτι έχουε Δεκατηόρια, που χωρίζουν τα διατεταγένα δεδοένα ε δέκα διατήατα ε ίο αριθό παρατηρήεων το καθένα Εκατοτηόρια, που χωρίζουν τα διατεταγένα δεδοένα ε εκατό διατήατα ε ίο αριθό παρατηρήεων το καθένα κοκ.

4 Μέτρα κύανης και διαποράς Έτω ότι παίρνουε δεδοένα από τη ηνιαία αύξηη % (θετική ή αρνητική) της τιής ιας ετοχής Α. Για ένα διάτηα ηνών οι τιές που πήραε είναι:, -3,, 4,. Οι αντίτοιχες τιές για ια άλλη ετοχή Β για το ίδιο διάτηα των ηνών είναι: -7, 3,, -9,. Ο αριθητικός έος για τα δεδοένα της ετοχής Α είναι 0 A, ενώ για τη ετοχή Β έχουε 0 B. Η διάεος για την πρώτη ετοχή είναι -3,,, 4, για τη δεύτερη ετοχή είναι και πάλι -9, -7,,, 3. Οι δύο ετοχές έχουν την ίδια έη τιή και διάεο, όως η δεύτερη ετοχή είναι η πιο ριψοκίνδυνη, αφού οι τιές της έχουν εγαλύτερη εταβλητότητα. Γιατί ελετάε τη εταβλητότητα των δεδοένων; Είναι ένα ηαντικό χαρακτηριτικό που ας βοηθάει να υγκρίνουε δεδοένα, λ.χ. για να πάρουε κάποια απόφαη (όπως το παράδειγα, ποια ετοχή να επιλέξουε). Η εταβλητότητα ενός δείγατος παίζει ηαντικό ρόλο την εκτιητική, π.χ. όταν θέλουε να εκτιήουε το έο ενός πληθυού.

5 Παράδειγα (Πίνακας 7.) Χρόνοι αναονής (ε λεπτά της ώρας) ε δύο ιατρεία Το πιο ηαντικό περιγραφικό έτρο για να ετράε τη εταβλητότητα είναι η διακύανη ή διαπορά. Γιατρός Α Γιατρός Β Και πάλι τα δύο δείγατα έχουν ίδια έη τιή, αλλά οι εκτιήεις ε βάη το δεύτερο δείγα είναι πιο αξιόπιτες. Επίης, η ελέτη της εταβλητότητας ας βοηθάει να εντοπίουε έκτροπες παρατηρήεις, αν υπάρχουν τα δεδοένα. Για έναν πληθυό ε έη τιή, ο οποίος περιλαβάνει Ν άτοα, η διακύανη ορίζεται από τη χέη ( ) Αντίτοιχα, για ένα δείγα τιών,,...,, ε n έη τιή, η δειγατική διακύανη είναι s n ( ) n

6 Ιδιότητες της διακύανης. Αν..., τότε 0.. Αν πολλαπλαιάουε όλες τις τιές ε ια ταθερά c, τότε η διακύανη πολλαπλαιάζεται ε c. Απόδειξη Έτω ο πληθυός,,..., ε διακύανη ( ) Τότε για ένα πληθυό ε τιές c,..., διακύανη θα είναι ( c ),, c c η όπου είναι η έη τιή για τα νέα δεδοένα. Αλλά από τις ιδιότητες της έης τιής ξέρουε ότι c, οπότε παίρνουε 3. Αν ε όλες τις τιές ιας εταβλητής προθέουε ία ταθερά c, τότε η διακύανη δεν αλλάζει. Πράγατι, η νέα διακύανη είναι [ ( + c) ( + c) ] ( ) 4. Έτω ότι έχουε πληθυό Π εγέθους Ν ε έη τιή, διακύανη, πληθυό Π εγέθους Ν ε έη τιή, διακύανη,... κοκ, πληθυό Π κ εγέθους Ν κ ε έη τιή κ, διακύανη κ. Τότε για το υνολικό πληθυό Π ε έγεθος Ν κ ιχύει ότι η διακύανη ιούται ε κ κ + ( ).. ( c c) ( ) c c.

7 Παράδειγα Έτω τα δεδοένα 9, 0,, 8, 6 Ο αριθητικός έος είναι A 7 και η διακύανη το δείγα είναι s n ( ) n (9 ) + (0 ) ( ) 4 + (8 ) + (6 ) Η τυπική απόκλιη ορίζεται ως η (θετική) τετραγωνική ρίζα της διακύανης. Έτι, για ένα πληθυό έχουε ( ) ενώ για το δείγα η δειγατική τυπική απόκλιη είναι s n ( ) n

8 Στην πράξη, πολύ υχνά αντί για τον τύπο ( ) χρηιοποιούε τον τύπο ο οποίος δεν απαιτεί υπολογιό των αποκλίεων. Οι τύποι είναι ιοδύναοι γιατί ( ) ( ) + + +