Leonard Dăuş ALGEBRĂ LINIARĂ

Transcript

1 Leod Dăuş LGEBRĂ ş GEOMETRIE LINIRĂ NLITICĂ

2 PefŃă lge lă ş geomet ltcă epetă de multă veme stumete fudmetle petu dscplele mtemtce stcte su plcte Cusule de lgeă lă ş geomete se egăsesc î pogm ltcă ocăe uvestăń cu pofl tehc Coceptele toduse ş eulttele ońute î cdul uu stfel de cus fd pelute ş utlte de umeose dscple tehce u codus l ecestte toduce lgee le ş geomete c mtee de studu petu tote speclăle d Uvestte Tehcă de CostucŃ Bucueşt cestă luce e l ă cusule pe ce le-m pedt l Fcultte de Hdotehcă ş espectă pogm ltcă pmulu semestu feetă speclă Ige Medulu Pcplele teme ttte sut: clcul vectol geomete ltcă î spńu spń vectole ş spń eucldee vlo pop ş vecto pop fome păttce ş fome le De semee sut peette ş câtev metode umece î lge lă: metode de eolve sstemelo de ecuń le su petu deteme vlolo pop ş vectolo pop Tote eulttele teoetce sut îsońte de demostń complete cee ce pemte pcugee depedetă ceste lucă de căte studeń ulu I Deş cte e u pouńt ccte teoetc pe pcusul e m clus umeose eecń vâd eolvă complete fece cptol se îchee cu o secńue de eecń popuse cu dfete gde de dfcultte stfel luce pote f folostă ş î cdul semulu Doesc să mulńumesc D-lu Pof D Ghocel Go petu teń cu ce ctt muscsul ş petu osevńle petete ş costuctve ce u mct potv cocepee ceste lucă Bucueşt septeme 9 Leod Dăuş

3 Cups Cptolul I: Vecto le Vecto le OpeŃ cu vecto le Epes ltcă uu vecto le Podusul scl 5 Podusul vectol 6 Podusul mt 7 EecŃ Cptolul II: Plul ş dept î spńu Plul Dept Fsccol de ple Ughu î spńu 5 DstŃe î spńu 6 EecŃ Cptolul III: SpŃ vectole NoŃue de spńu vectol Eemple DepedeŃă ş depedeńă lă Sstem de geeto Bă uu spńu vectol SuspŃ vectole 5 Schme e uu spńu vectol 6 EecŃ Cptolul IV: SpŃ eucldee Podus scl Nomă Otogoltte Be otoomte Polome otogole EecŃ Cptolul V: Tsfomă le DefŃe Eemple PopetăŃ Nucleul ş mge ue tsfomă le Mtce soctă ue tsfomă le EecŃ

4 Cptolul VI: Ssteme de ecuń le Metod lu Guss Fctoe LU Fctoe Choles Metode tetve de eolve le sstemelo de ecuń le 5 EecŃ Cptolul VII: Vlo pop ş vecto pop Vlo pop ş vecto pop Locle vlolo pop Dgole uu edomofsm (su ue mtce Metod pute 5 EecŃ Cptolul VIII: Clse specle de mtce Mtce otogole Mtce smetce RotŃ ş smet EecŃ Cptolul IX: Fome le Fome păttce Fome le Fome păttce Reducee l fom cocă Sgtu ue fome păttce Teoem eńe EecŃ Blogfe Idce

5 Cptolul I Vecto le Vecto le Fe E spńul tdmesol l geomete elemete spńu coceput c o mulńme de pucte ş î ce sut vlle omele lu Eucld DefŃ : Se umeşte vecto legt su segmet oett o peeche odotă de pucte (B E E B fg Puctul se umeşte oge B vâful su etemtte vectoulu legt (B Dcă B tuc dept detemtă de puctele ş B se umeşte decń vectoulu legt (B Dcă B tuc ońem vectoul legt ( umt vecto legt ul DecŃ ocău vecto legt ul este edetemtă Se umeşte lugme su omă su modul uu vecto legt (B umăul el potv ce epetă dstń dte puctele ş B (eltvă l o utte de măsuă ftă Evdet u vecto legt este ul dcă ş um dcă lugme lu este eo DefŃ: Fe (B ş (CD do vecto legń eul

6 Spuem că (B ş (CD u ceeş decńe dcă deptele lo supot sut plele Î cul ptcul î ce deptele supot cocd vom spue că vecto legń sut col Dcă BCD sut pucte ecole vecto legń (B ş (CD u ceeş decńe puctele B ş D se flă de ceeş pte depte C vom spue că (B ş (CD u celş ses (fg Dcă BCD sut pucte cole ş estă două pucte E F estute pe dept detemtă de cele ptu pucte Ńle stfel îcât vectoul legt (EF e celş ses ş cu (B ş cu (CD vom spue că (B ş (CD u celş ses Do vecto ce u ceeş decńe d u u celş ses se spue că u sesu opuse B D C fg DefŃ : Do vecto legń (B ş (CD se umesc echpoleń ş vom ot (B~(CD dcă u celş ses ş ceeş lugme su echvlet dcă segmetele [D] ş [BC] u celş mloc B D C fg OsevŃe: Se pote vefc făă dfcultte că elń de echpoleńă pe mulńme vectolo legń e popetăńle: este eflevă: (B~(B; este smetcă: dcă (B~(CD tuc ş (CD~(B; este ttvă: dcă (B~(CD ş (CD~(EF tuc (B~(EF stfel putem fm că echpoleń vectolo legń este o elńe de echvleńă RelŃ de echpoleńă pote f etsă ş l vecto legń ul: oce do vecto legń ul sut echpoleń îte e

7 Fd dt vectoul legt (B estă o ftte de vecto legń echpoleń cu (B (pctc cu oge î oce puct l spńulu E putem costu u vecto echpolet cu (B ş um uul DefŃ : Clsele de echvleńă le vectolo legń eltv l elń de echpoleńă se umesc vecto le Cu lte cuvte u vecto le epetă mulńme tutuo vectolo legń echpoleń cu u vecto legt dt Dcă (B este u vecto legt tuc vom ot cu B vectoul le coespuăto dcă B {( C D E E / ( C D ~ ( B} Vom ot cu V mulńme tutuo vectolo le d spńul E U vecto legt (B detemă u vecto le (o clsă de echvleńă B ş vom spue că este u epeett l vectoulu le detemt Vom ot ( B B Ueo vecto le se oteă ş cu ltee mc cu săgetă desup: u v DefŃ 5: P decńe ses ş lugme uu vecto le vom îńelege decń sesul ş espectv lugme uu epeett l vectoulu le Dcă B este u vecto le vom ot cu B lugme vectoulu le OsevŃe: U vecto legt este cctet p: oge decńe ses ş lugme Î cul uu vecto le cctestce sut um decń sesul ş lugme şd putem cosde u vecto le dt v c vâd oge î oce puct d spńu DefŃ 6: Vectoul le de lugme eo se umeşte vecto ul ş se oteă C epeett l vectoulu ul putem lu vectoul legt ( cu E t DecŃ ş sesul vectoulu le ul sut edetemte DefŃ 7: U vecto le de lugme uu se umeşte veso DefŃ 8: Do vecto le ş se umesc egl ş scem cul î ce epeetń lo sut echpoleń î DefŃ 9: Do vecto le eul ş ce u ceeş decńe se umesc vecto col Te vecto le eul ce dmt epeetń stuń ît-u celş pl se umesc copl DefŃ : Do vecto col ce u ceeş lugme d sesu opuse se umesc vecto opuş; opusul vectoulu le v f ott cu

8 OpeŃ cu vecto le DefŃ : Fe ş do vecto le O puct ft î spńul E ş cosdeăm vecto O ş OB stfel îcât O ş OB tuc sum vectolo ş ottă este vectoul c OC ude OC este dgol plelogmulu OCB OsevŃ: DefŃ pecedetă este cuoscută su umele de egul plelogmulu cestă egulă de due vectolo e l ă fpte epemetle ş fost ońută m îtâ l compuee (due fońelo î meccă Vectoul sumă c este depedet de legee puctulu O î spńu dcă de legee epeetńlo O ş OB vectolo ş espectv B C O fg Se pote vede că dcă se cosdeă puctele ş B î E stfel îcât O ş B tuc vectoul OB v epeet sum cestă metodă de due do vecto le este cuoscută su umele de egul tughulu B O fg 5 OsevŃe: Regul tughulu se geeleă l egul le polgole p temedul căe pot f duń u umă de vecto le stfel:

9 pod d puctul O se costueşte l polgolă O cu O ; tuc sum este s O s O fg 6 PopoŃ : OpeŃ de due vectolo le e umătoele popetăń: este comuttvă: petu oce V ; este soctvă: ( c ( c petu oce c V ; e elemet eutu vectoul ul: petu oce V ; oce elemet este smetl: petu oce vecto le estă u vecto ott stfel îcât ( ( ( este ch opusul vectoulu deft î pgful teo DemostŃe: Popette de comuttvtte duă vectolo le este medtă dcă se Ńe cot de egul plelogmulu Fe c V t Popette de soctvtte este evdetă dcă se foloseşte egul tughulu: c c c ( c fg 7 ( c ş Cl OsevŃ: D PopoŃ pecedetă eultă că ( V este u gup el 5

10 Cu utoul vectoulu opus se pote efectu scădee do vecto stfel: ( D puct de vedee gfc dfeeń este ce de- dou dgolă plelogmulu costut pe vecto ş cu sesul căte vectoul d ce se scde fg 8 DefŃ : Fe u vecto le ş λ R Se umeşte îmulńe vectoulu cu sclul (umăul el λ ş se oteă λ vectoul deft stfel: - dcă ş λ tuc λ e lugme λ ceeş decńe cu sesul cocde cu l lu su este opus sesulu lu după cum λ > su λ < - dcă su λ tuc λ PopoŃ : ÎmulŃe vectolo le cu scl e popetăńle: ( λ µ λ µ λ µ R V; λ ( λ λ λ R V ; ( λµ λ( µ λ µ R V; V DemostŃe: Să osevăm m îtâ că tât scl cât ş vecto ce p î elńle d popońe pot f pesupuş eul (î c cot elńle sut evdete d defń îmulń uu vecto le cu u scl Vom cosde umătoele cu: λ µ > Reultă că λ µ > Vecto ( λ µ ş λ µ vo ve ceeş decńe ş celş ses cu Cu pve l lugmle lo ońem: ( λ µ λ µ ( λ µ λ µ λ µ λ µ stfel putem cochde că î cest c ( λ µ λ µ λ µ < se tteă sml culu teo λ > ş µ < Făă estâge geeltte putem pesupue λ µ > tuc: λ µ ( λ µ µ µ ( λ µ ( µ µ ( λ µ (l peultm egltte s- folost puctul scl λ µ ş µ fd m potv v λ < ş µ > se tteă sml culu teo 6

11 Cosdeăm vecto O ş B tuc OB Pesupuem λ > (cul λ < fd sml Fe puctele B E stfel îcât O λ ş OB λ ( B B fg 9 OB ~ O B dec segmetele [ ] B vo f B λ B stfel ońem că B λ B λ plcâd egul tughulu găsm că OB O B dcă λ ( λ λ ş Cl d defń îmulń uu vecto le cu u scl dcă se Ńe cot de oetăle ş lugmle vectolo ce p î m mem egltăńlo de demostt tuc vem semăe B ş [ ] plele îte lugmle lo estă elń: [ ] [ ] PopoŃ 5: Fe V \{} do vecto le tuc ş sut col dcă ş um dcă estă u uc scl λ stfel îcât λ DemostŃe: Pesupuem că vecto ş sut col Cosdeăm veso lo u ş v Deoece ş sut col tuc u ş v vo f col łâd cot ş că u v eultă că u ş v vo f su egl su opuş dec su stfel λ cu λ R Uctte lu λ este clă deoece λ dcă ş u celş ses espectv λ dcă ş u sesu opuse O Teoem 6: Fe ş do vecto le ecol Dcă c este u vecto le copl cu vecto ş tuc estă ş sut uc scl α ş β stfel îcât c α β 7

12 DemostŃe: Dcă su f vecto ul tuc ş f col cee ce cotce pote Dec V \{} Dcă c tuc putem cosde α β ş coclu teoeme este clă şd î cele ce umeă vom luc cu c vecto le eul Fe O puct t î spńul E ş vecto O OB OC c Copltte vectolo c este echvletă cu copltte puctelo O B ş C P puctul C vom duce plele l vecto O ş OB s otăm cu tesecńle cesto plele cu decńle vectolo OB ş espectv O OŃem stfel plelogmul O CB : B B C B O fg Evdet OC O OB Vom demost că O ş OB sut uc vecto vâd ceeş decńe cu vecto O ş espectv OB cu popette că OC O OB Pesupuem p sud că estă " puct pe dept O ş B" B puct pe dept OB stfel îcât OC O OB O" OB" Reultă că O O" OB" OB Evdet O O" este u vecto eul col cu OB" OB este u vecto eul col cu stfel d PopoŃ 5 egltte O O" OB" OB coduce l coltte vectolo ş - cotdcńe Dec scee OC O OB este ucă Pe de ltă pte deoece vecto O ş O sut col d PopoŃ 5 eultă că estă ş este uc u scl α stfel îcât O α Sml folosd coltte vectolo OB ş OB ońem că estă ş este uc u scl β stfel îcât OB β Dec c α β cu α β scl uc detemń Teoem 7: Fe ş c te vecto le ecopl Dcă v este u vecto le tuc estă ş sut uc scl α β γ stfel îcât v α β γ c DemostŃe: Vecto ecopltte d poteă ş c sut eul (ltfel s- cotce codń de 8

13 Dcă v tuc putem lu α β γ ş coclu teoeme este clă De semee dcă v este copl cu do dte vecto c tuc e educem l cul teoeme pecedete stfel î cele ce umeă vom cosde că vecto cş v sut eul ş oce te sut ecopl Fe O u puct t î spńul E ş vecto O OB OC c ş OM v P puctul M costum plel l vectoul OC ş otăm cu N puctul de tesecńe l ceste plele cu plul detemt de vecto O ş OB Pe deptele supot le vectolo O OB ş OC se cosdeă puctele B ş espectv C stfel îcât ptulteele O NB ş ONMC sut plelogme (ve fg : C C M v O N B B fg Este cl că OM ON OC O OB OC ( Se demosteă făă dfcultte p educee l sud că O OB ş uc vecto vâd ceeş decńe cu vecto O OB ş espectv OC cu OC sut popette că OM O OB OC Folosd PopoŃ 5 ońem că estă ş sut uc scl α β γ stfel îcât O α OB β ş OC γ c ( Îlocud elńle ( î ( găsm că v α β γ c Î flul cestu pgf peetăm o popońe deoset de utlă î umte poleme de geomete vectolă ş cum vom vede PopoŃ 8: Fe M B te pucte cole cu M stut îte ş B Dcă O este u puct t î spńu ş M MB tuc 9

14 OM O OB (* M B O fg DemostŃe: Evdet este u scl potv (fd potul două lugm de vecto Deoece M ş MB sut vecto col de sesu opuse ş M MB eultă că M MB ( D d tughule OM ş OBM găsm că ş espectv M O OM ( MB OB OM (5 Îlocud elńle ( ş (5 î ( ońem că: de ude eultă că OM O OM ( OB OM O OB C ptcul mpott: Dcă M este mlocul segmetulu [B] tuc dec elń (* deve: O OB OM (** EecŃul : Să se te cu utoul clcululu vectol că medele ît-u tugh sut cocuete SoluŃe:Fe B C mlocele ltulo BC C ş espectv B Notăm B c BC ş { G} I BB (ve fg D egul tughulu eultă B C c C c plcâd elń (** vom găs: ş B BC c BB Vecto G ş fd col estă u scl α stfel

15 îcât G α Sml putem găs sclul β stfel îcât BG β BB D B BG G B G B fg C Îlocud î fucńe de vecto ş c v egltte pecedetă coduce l c c elń: c β α P gupe covelă temelo se ońe că: α β β α c Petu est tughul BC este cl că vecto ş c v teue să fe ecol α β β stfel d egltte pecedetă eultă că α de ude se ońe că α β Dec puctul G este stut pe medele ş BB l două tem de vâf ş o teme de ă Dcă vom cosde cum { G} I CC pt-u Ńomet sml celu teo vom ońe că G este stut pe medele ş CC l două tem de vâf ş o teme de ă ş stfel G G cee ce îsemă cocueń medelo tughulu BC OsevŃe: Pe pcusul eolvă EecŃulu s- demostt că cetul de geutte l uu tugh se flă stut l două tem de vâf ş o teme de ă pe fece dte mede EecŃul : Fe BC u tugh oece ş G cetul său de geutte Dcă O este u puct t î spńu să se te că O OB OC OG

16 O G B fg C SoluŃe: Fe mlocul ltu BC După cum m văut cetul de geutte ît-u tugh se flă stut l o teme de ă ş două tem de vâf pe fece dte mede stfel G G plcâd elń (* puctelo cole G O O v eult că OG ( O O OB OC fd mlocul segmetulu [BC] d (** ońem că O D ultmele două elń se ońe egltte ceută Lăsăm cttoulu c temă umătoul: EecŃul : Fe BCD u tetedu oece ş G cetul său de geutte Dcă O este u puct t î spńu să se te că O OB OC OD OG (Cetul de geutte l uu tetedu se fl l tesecń medelo tetedulu segmetele ce uesc vâfule tetedulu cu cetele de geutte le feńelo opuse Cetul de geutte se flă pońot l u sfet de fńă ş te sfetu de vâf pe fece dte medele tetedulu Epes ltcă uu vecto le Estă m multe posltăń de desce ş stud oectele geometce î spńul tdmesol Ce m veche metodă utltă petu pm dtă de

17 mtemtce Gece tce ş fomltă de Eucld costă î studul omtc l cesto oecte: se defesc puctele lle plele ş lte oecte geometce p temedul omelo pe ce le stsfc O ltă metodă dtotă lu Desctes popue petu eolve polemelo de geomete o ode lgecă după cum umeă: se feă m îtâ u puct O c oge ş po se tseă te e pepedcule două câte două î puctul O (p ă îńelegem o deptă pe ce s-u ft o oge u ses ş o utte de măsuă Vom cove c cele te e să fe dspuse c î fg 5 O se umeşte scselo O odotelo O cotelo Pe cele te e de coodote se vo cosde veso vâd ceeş oete cu O O espectv O ş oge î puctul O Vom ot cest sstem otogol de coodote p O Cum veso sut ecopl cofom Teoeme 7 oce vecto le v V se sce î mod uc su fom: v v v v ( M O Scl fg 5 v v v se umesc compoetele vectoulu v elń ( este cuoscută su umele de epes ltcă vectoulu v Cosdeăm M u puct oece d spńu Î pot cu sstemul de coodote cosdet puctul M e coodote ( M M M Vom desem cest lucu p otń M ( M M M D pocedeul descompue uu vecto după te decń ecople dct î demostń Teoeme 7 pecum ş d epeete puctelo î sstemul de otogol de coodote O se ońe că: OM ( M M PopoŃ : Fe M ş N două pucte î spńu ( M M M M ( N N N tuc vectoul MN e epes ltcă: MN ( ( ( N M N M N M

18 M O N fg 6 DemostŃe: Cofom elńe ( vem: OM M M M ş ON N N N Deoece MN ON OM folosd egltăńle pecedete ońem elń dotă Podusul scl DefŃ : Fe V \{} Numm ugh detemt de vecto ş otăm cu ( ughul d tevlul [ π ] fomt de decńle celo do vecto stfel îcât vâfule celo do vecto să se fle pe cele două ltu le ughulu (ve fg 7 fg 7 DefŃ : Fe V \{} Se umeşte podus scl l vectolo ş ş se oteă cu umăul el dt de fomul cos ( Dcă su tuc p defńe

19 OsevŃe: D defń pecedetă se ońe medt o pmă fomulă de clcul ughulu dte do vecto eul: cos ( stfel c o cosecńă ońem că do vecto eul ş sut otogol dcă ş um dcă Itepete meccă podusulu scl: Dcă ş sut do vecto O este u puct mtel sup cău se eectă o fońă F ş ce efectueă o deplse deftă de vectoul tuc podusul scl este ch lucul mecc L l fońe F petu deplse F O fg 8 DefŃ : Dcă V \{} θ ( tuc umăul el cosθ se umeşte măme poecńe otogole vectoulu pe vectoul ş se oteă p Dcă tuc p defńe p Dcă tuc u estă p OsevŃe: D defńle podusulu scl ş espectv măm poecńe otogole uu vecto pe u lt vecto ońem că p p PopoŃ : Măme poecńe otogole e popetăńle: pc p c ( p c petu oce c V \ {} ; p p ( λ λ petu oce V \ {} ş λ R DemostŃe: Fe O puct t î spńul E ş puctele BC stfel îcât O OB OC c tuc O p c OB p c ş OD p c ( (ve fg 9 Deoece OD OB B D OB O eultă că p ( p p c c c 5

20 D B O c B D C fg 9 Pesupuem m îtâ că λ > Cosdeăm puctele B stfel îcât O O λ ş OB Dcă ş sut poecńle otogole le puctelo ş espectv pe dept OB (ve fg d semăe tughulo O ş O O O eultă că λ de ude ońem O O O λ O cee ce îsemă că p ( λ λ p Dcă λ tuc d DefŃ egltte de demostt deve Dcă λ < se pocedeă sml culu λ > λ O fg PopoŃ 5: Podusul scl l vectolo le e popetăńle: petu oce V ; ( λ λ( ( λ petu oce V ş λ R ; ( c c petu oce c V DemostŃe: Este evdet d defń podusulu scl vâd î vedee că ughul dte vecto ş cocde cu ughul dte ş Este sufcet să demostăm pm egltte Dcă λ tuc ( λ λ( Dcă λ > tuc vecto λ ş u celş ses dec ( λ ( Î cest c ońem: 6

21 7 cos ( λ λ cos ( λ λ ( ( λ Dcă λ < tuc vecto λ ş u sesu opuse stfel ( λ π ( dec cos cos ( λ ( Î cest c ońem: cos ( λ λ cos ( ( λ λ ( ( λ łâd cot pe de-o pte de elń dte podusul scl ş măme poecńe otogole pe de ltă pte de PopoŃ succesv ońem: c c p p c p c ( ( Teoem 6 (Epes ltcă podusulu scl: Fe ş do vecto le dń su fomă ltcă tuc podusul lo scl se clculeă cu fomul: DemostŃe: Detemăm m îtâ vlole podusulu scl pe mulńme vesolo } { De eemplu d defń podusulu scl ońem: cos ş cos9 eulttele podusulu scl pe mulńme vesolo elo de coodote putâd f dte su fom telulu: łâd cot de popetăńle podusulu scl ş de telul pecedet ońem succesv: ( ( Coolul 7: Dcă este u vecto le tuc DemostŃe: Dcă tuc evdet Dcă tuc d DefŃ ońem d Teoem 6 vem de ude găsm

22 EecŃul : Să se deteme sclul λ stfel îcât vecto ( λ λ ş 7λ să fe pepedcul SoluŃe: ş cum s- văut teo pepedcultte vectolo ş este echvletă cu egltte Utlâd epes ltcă podusulu scl ońem că 7 λ ( λ λ de ude λ EecŃul : Dcă V stfel îcât ughul dte ce π do vecto este să se deteme ughul dte dgolele plelogmulu costut pe ce do vecto fg SoluŃe: Deoece l cest momet vem o fomulă de clcul um petu ughul dte do vecto este tul să dăm semfcńe de vecto celo două dgole: espectv (ve fg Petu deteme ughulu fomt de ceşt do vecto folosm: ( ( cos ( D ( ( 5 De semee ( ( 9 9 de ude 9 Sml găsm 7 Î fl ońem: 5 cos ( EecŃul : Se cosdeă vecto O ş OB Să se deteme vesoul sectoe ughulu ( O OB SoluŃe: Detemăm m îtâ veso coespuăto celo do vecto dń: O ş OB dec ( ş 8

23 ( sut veso vectolo O esp OB Plelogmul detemt de 5 veso ş este de fpt u om dec sectoe ughulu detemt de ce do vecto cocde cu dgol ce tece p puctul O Dcă otăm d tuc vesoul sectoe ughulu căutt v f : 5 5 d v ( d EecŃul : DemostŃ că ît-u tugh îălńmle sut cocuete B C H B C fg SoluŃe: Fe BB ş CC îălńmle coespuătoe ltulo C ş espectv B Notăm { H} BB I CC Vom demost că H BC Itoducem vecto H HB ş c HC Reultă că B v v v BC c ş C c Deoece BH C ş CH B ońem că v v v ( c ş c( P due ultmelo două elń găsm c v v dcă ( c cee ce mplcă H BC 5 Podusul vectol DefŃ 5 : Fe V \{} do vecto ecol Se umeşte podus vectol l vectolo ş ş se oteă cu vectoul vâd: - decńe pepedculă pe vecto ş ; - ses dt de egul ughulu dcă sesul de vse l ughulu câd se deplseă vectoul peste vectoul ; 9

24 - măme dtă de fomul s ( (ve fg Dcă su su vecto ş sut col tuc p defńe OsevŃe: Fomul de clcul măm podusulu vectol fueă o ltă modltte de deteme ughulu dte do vecto eul: s ( Î cosecńă do vecto le eul sut col dcă ş um dcă podusul lo vectol este eo fg Itepete geometcă podusulu vectol: Măme podusulu vectol do vecto eul s ecol este eglă cu plelogmulu costut pe ce do vecto (petu demoste cestu eultt dcăm utle B C s ˆ fomule e uu tugh BC c PopoŃ 5: Podusul vectol e popetăńle: petu oce V ; ( λ λ( ( λ petu oce V ( c c petu oce c V ş λ R ; DemostŃe: Schmâd ode fctolo î podusul vectol decń ş măme cestu u se modfcă Se v schm do sesul stfel vem că dec podusul vectol este tcomuttv Vom demost pm egltte petu ce de- dou pocedâdu-se log Dcă λ tuc fece teme l egltăń ce teue potă deve vectoul ul

25 Dcă λ > putem cosde că vecto sut eul (î c cot dul egltte d euń este evdetă tuc ( λ ( ş vecto (λ ş λ ( vo ve celş ses Pe de ltă pte ( λ λ s ( λ λ s ( λ ( dec putem cochde că ( λ λ( Dcă λ < tuc ( λ π ( ş î plus (λ λ( sut col M mult ( λ λ s ( λ λ s ( λ ( λ ( Dec ş î cest c ( λ λ( Osevăm că dcă cel puń uul dte vecto c este ul tuc egltte pe ce vem să o demostăm este evdetă stfel putem pesupue că vecto c sut toń eul Vom demost elń m îtâ î cul ptcul î ce este veso: Făm O E ş cosdeăm B C E stfel îcât O OB OC c Costum plul (P ce tece p puctul O ş este pepedcul pe vectoul O Fe OD OB OC ş otăm cu B C D poecńle otogole le puctelo B C ş espectv D pe plul (P Evdet OB D C este u plelogm D B B C O C " (P D C B " D " fg D defń măm podusulu vectol vem : O OB O OB s ( OB OB cos (BOB łâd cot ş de fptul că vecto eltvă vectolo OB ş OB O OB s( π O OB O OB OB sut copl pecum ş de poń OB fńă de vectoul O ońem că O OB O OB (

26 semăăto se ońe că O OC O OC ş O OD O OD ( Fe B" E stfel îcât OB " O OB Deoece OB" O B" se flă stut î plul (P Cum OB" OB ş OB " OB OB " se ońe otd vectoul OB cu ugh π î plul (P (stfel c sesul lu OB " să especte egul ughulu plctă vectolo O ş OB Sml se oń î plul (P puctele C " ş D " d elńle OC " O OC ş espectv OD " O OD Î plus OB " D" C" este plelogmul ońut p ote plelogmulu OB D C cu ugh π î plul (P D egul plelogmulu eultă că OD " OB" OC" dcă O OD O OB O OC D elńle ( ş ( ultm egltte este echvletă cu O OD O OB O OC dcă O ( OB OC O OB O OC stfel ( c c ( Pesupuem cum că V \{} t ş otăm v tuc evdet v este veso ş d elń ( v ( c v v c mplfcâd cestă egltte cu ş Ńâd cot de popette d cestă popońe vom ońe fmń dotă Teoem 5 (Epes ltcă podusulu vectol: Fe ş do vecto le dń su fomă ltcă tuc podusul lo vectol se clculeă cu fomul: DemostŃe: Detemăm m îtâ vlole podusulu vectol pe mulńme vesolo { } De eemplu d DefŃ 5 ş d oete vesolo (ve fg 5 ońem: ş RŃoâd stfel eulttele podusulu vectol pe mulńme vesolo elo de coodote pot f dte su fom telulu

27 D popetăńle podusulu vectol ş d eulttele telulu pecedet ońem: ( ( Pe de ltă pte: Compâd ceste două elń ońem fomul dotă EecŃul : StudŃ coltte puctelo: (- B( ş C(6- SoluŃe:Puctele (- B( ş C(6- sut cole dcă ş um dcă vecto B ş C sut col dcă C B D C B dec cele te pucte sut cole EecŃul : Se cosdeă puctele ( B(- ş C(- Să se deteme tughulu BC pecum ş lugme îălńm d B SoluŃe:Vecto B ş C u epesle ltce B ş C Folosd epes ltcă podusulu vectol ońem: C B de ude găsm tughulu C B S BC Pe de ltă pte lugme îălńm d B este C S h BC

28 6 Podusul mt DefŃ 6: Fe V c Se umeşte podus mt l vectolo c ş se oteă cu ( c sclul dt de elń: ( ( c c Teoem 6 (Epes ltcă podusulu mt: Fe ş c c c c te vecto le dń su fomă ltcă tuc podusul mt l celo te vecto se pote clcul p fomul: c c c c ( DemostŃe: D epes ltcă podusulu vectol ońem că: c c c c c c c c c c Folosd cum defń podusulu mt ş epes ltcă podusulu scl eultă că: c c c c c c c c c c c ( ( (ultm egltte pvtă de l dept l stâg epetă devolte după pm le detemtulu de odul te PopoŃ 6: Podusul mt e popetăńle: ( ( ( c c c petu oce V c ; ( ( ( ( c c c c petu oce V c ; ( ( ( c c c petu oce V c ; ( ( c c λ λ petu oce V c ş R λ DemostŃe: ceste popetăń se vefcă medt dcă se Ńe cot de epes ltcă podusulu mt pecum ş de popetăńle detemńlo OsevŃe: PopetăŃle ş pot f stette stfel: l plce ue pemută de od temelo uu podus mt se schmă semul dcă ş um dcă pemute este mpă

29 Itepete geometcă podusulu mt: Modulul podusulu mt ( c este egl cu volumul plelppedulu costut pe ce te vecto Ît-devă volumul plelppedulu este dt de podusul dte e ş îălńme plelppedulu h D e este c (ve tepete geometcă podusulu vectol ughul ϕ dte vecto ş c cocde cu ughul dte vectoul ş îălńme h dec cosϕ h OŃem stfel: ( c c cosϕ h dec coclu dotă Cool 6: Te vecto le podusul lo mt este eo fg 6 c sut copl dcă ş um dcă DemostŃe: Putem pesupue făă educe geeltte că c sut vecto eul ş oce do sut ecol (î cul cot echvleń d euń fd clă Dcă c sut vecto copl î pote de lucu fomultă teo d Teoem 6 eultă că estă scl α β stfel îcât c α β stfel ultm le detemtulu ce epetă epes ltcă podusulu mt ( c v f o comńe lă pmelo două l ş î cosecńă cest detemt v f eo Dec ( c Recpoc dcă podusul mt este eo tuc volumul plelppedulu costut pe ce te vecto este eo (ve fg 6 Vecto ş c fd ecol e este eulă ş stfel eultă că îălńme h plelppedulu teue să fe eo cest lucu se îtâmplă dcă ş um dcă puctul este î plul e dcă c sut vecto copl plcńe mpottă: Clculul volumulu uu tetedu 5

30 Volumul tetedulu OBC este: V OBC c h h ( c OBC 6 EecŃul : Se cosdeă puctele ( B( C(7 Să se deteme u puct D pe O stfel îcât volumul tetedulu BCD s fe 7 flń po lugme îălńm cooâte d vâful D pe fń (BC tetedulu SoluŃe: Vâful căutt D fd pe O v ve coodote de fom D (α cu α R tuc vecto B C D u epesle ltce: B C 5 ş espectv D ( α Reultă că ( B C D 5 α de ude ońem că volumul α α α tetedulu BCD este V BCD Puâd codń c cest volum 6 să fe 7 găsm α 5 ş α Dec estă două pucte D ( 5 ş D ( ce stsfc ceńele eecńulu Dcă otăm cu h lugme îălńm cooâte d vâful D pe fń (BC V BCD tetedulu tuc h ude BC epetă tughulu BC BC Deoece B C 9 BC B C ońem 5 h 7 EecŃ Fe BC u tugh oece G cetul său de geutte ş B C mlocele ltulo BC C ş espectv B Să se te că: BB CC ; G este ucul puct d spńu ce stsfce elń G GB GC ; cetul de geutte l tughulu B C cocde cu cetul de geutte G l tughulu BC Pe u cec cu cetul î puctul O se cosdeă te pucte B C Să se te că tughul BC este echltel dcă ş um dcă O OB OC 6

31 Fe BC u tugh ş O cetul ceculu ccumscs tughulu Să se te că tughul BC este echltel dcă ş um dcă B C O Ît-u cec de cetu O se cosdeă două code pepedcule B ş CD ce se tesecteă î puctul P Să se demostee că: P PB PC PD PO 5 Să se te cu utoul clcululu vectol că dgolele uu om sut pepedcule 6 Fe BCD u ptulte ş O puctul de tesecńe l dgolelo Să se te că BCD este tpe dcă ş um dcă puctul O pńe uu dte segmetele ce ueşte mlocele două ltu opuse le ptulteulu; Să se te că BCD este plelogm dcă ş um dcă puctul O pńe fecău dte segmetele ce ueşte mlocele ltulo opuse le ptulteulu 7 Fe BCD u ptulte ş O puctul de tesecńe l dgolelo Să se te că BCD este plelogm dcă ş um dcă oce f puctul M d spńu M MB MC MD MO 8 Fe B C M E pucte te Să se demostee că e loc elń: M BC BM C CM B Să se demostee că dcă ît-u tetedu două peech de much opuse sut otogole tuc ş ce de- te peeche e ceeş popette 9 Fe BC u tugh ş O u puct t î spńu Să se demostee elń: BC O C OB B OC ( O OB OB OC OC O Fe α β γ ughule pe ce le fomeă u vecto le eul cu ele de coodote Să se te că cos α cos β cos γ (Remcă: cos αcos β cosγ se umesc cosuş decto vectoulu Dcă c V stfel îcât c să se te că c c Recpoc este devăt? Să se demostee cu utoul clcululu vectol că î oce tugh c BC e loc elń (teoem susulu (IdcŃe: Se pote s s B s C utl eecńul Se cosdeă puctele ( B( C( c Să se te că tughulu BC este cel mult eglă cu c Î ce c e loc 7

32 egltte? Să se te că vecto u v ş u v sut col dcă ş um dcă vecto u ş v sut col 5 Fe ş Să se deteme: ughul dte vecto ş ; plelogmulu costut pe vecto ş 6 Să se deteme λ R stfel îcât vecto λ ( λ ş λ să fe pepedcul 7 Să se deteme clculee epes E c c cuoscâd că c ş c 8 Se cosdeă vecto le c cu popetăńle: c π ( π ( c 6 π ( c Să se clculee c ş 9 Să se te că vecto c 5 sut copl Să se deteme λ R stfel îcât vecto ( λ λ c să fe copl ş să se descompuă po vectoul după decńle vectolo ş c Să se demostee că c c oce f c V ( c Fe puctele ( B( C(55 D(7 Să se deteme: Volumul tetedulu BCD; Lugme îălńm cooâte d vâful pe fń (BCD Se cosdeă vecto u v w ecopl cu utoul căo se defesc u v w λ u v w c u v w Să se deteme sclul λ stfel îcât volumul tetedulu detemt de vecto c să fe de cc o volumul tetedulu detemt de vecto u v w 8

33 Cptolul II Plul ş dept î spńu Pe pcusul cestu cptol e vom pot l sstemul otogol de coodote O todus î secńue cptolulu pecedet De semee ońule toduse ş eulttele ońute î cptolul Vecto le vo f stumete deoset de utle petu studul plelo ş deptelo d spńu Plul Teoem (EcuŃ plulu ce tece pt-u puct dt ş este pepedcul pe o decńe dtă: Dcă M ( este u puct f î spńu B C u vecto eul dt tuc ecuń plulu ce tece p M ş este pepedcul pe vectoul e fom: B( C( ( ( M (P M fg 7 DemostŃe: Fe (P plul căutt ş cosdeăm M ( u puct t î plul (P dfet de puctul M pteeń puctulu M l plul (P 9

34 este echvletă cu pepedcultte vectolo ş M M dec cu elń M M Deoece M M ( ( ( Ńâd cot de epes ltcă podusulu scl ońem că ( B( C( şd u puct M ( pńe plulu (P dcă ş um dcă B( C( ( DefŃ : Oce vecto pepedcul pe u pl dt se umeşte vecto oml l plul espectv OsevŃe: D demostń Teoeme eese că dt fd u pl de ecuńe B C D tuc B C este u vecto oml l plul cosdet Teoem (EcuŃ geelă plulu: Oce pl d spńu este deft de o ecuńe de fom: B C D ( cu B C D umte costte ele stfel c B C DemostŃe: Fe (P u pl t legâd M ( u puct î plul (P ş B C u vecto oml l plul (P cofom Teoeme ońem că ecuń plulu (P este B( C( dcă ( B C D ude s- ott D B C Dtotă fptulu că u vecto oml l u pl este eul ońem codń dńolă B C Teoem : Oce ecuńe de gdul îtâ î defeşte u pl d spńu DemostŃe: O ecuńe de gdul îtâ î este de fom B C D ( cu B C D costte ele dte ş B C (petu c ecuń să fe de gdul îtâ O stfel de ecuńe e o ftte de soluń ele (se du vlo te l două dte ecuoscute ş se detemă ce de- te ecuoscută Fe o soluńe ceste ecuń Evdet tpletul de umee ele ( coespude puctulu M d spńu ş ( ( B C D ( Scăâd elń ( d elń ( ońem că ( B( C( D (5 EcuŃle ( ş (5 sut echvlete (se pote ońe ecuń (5 d ( - ş cum m văut m sus ş ves putem uge l ecuń ( pod de l (5 tot cu utoul elńe ( Pe de ltă pte după cum eultă d Teoem ecuń (5 defeşte u pl (plul ce tece p puctul M ( ş este pepedcul pe vectoul B C Dec ş ecuń ( v epeet u pl d spńu

35 Teoem 5 (EcuŃ plulu plel cu două decń eplele: Dcă M ( este u puct f î spńu v l m ş v l m sut do vecto eplel tuc ecuń plulu ce tece p M ş este plel cu vecto v ş v e fom: l l m m (6 v (P M M fg 8 DemostŃe: Fe (P plul ce tece p M ş este plel cu vecto v ş v Cosdeăm M ( u puct t î plul (P Vecto le v ş v fd plel cu plul (P pot f cosdeń c cluş î (P de ude ońem copltte vectolo M M v ş v dcă ( M M v v Cum M M ( ( ( Ńâd cot de epes ltcă podusulu scl ońem ecuń dotă Teoem 6 (EcuŃ plulu ce tece p te pucte ecole: Dcă M ( sut te pucte ecole tuc ecuń plulu detemt de cele te pucte este: v M (7 (P M M fg 9

36 DemostŃe: ş cum se şte d omele de cdeńă le spńulu ş cosecńele lo te pucte ecole detemă u pl ş um uul Fe (P plul ce tece p puctele M ( Dcă otăm v M M ş v M M este cl că vecto v ş v sut cluş î plul (P dec plel cu plul (P puctul M pńe plulu (P Putem stfel plc Teoem 5 vâd î vedee că M M ( ( ( M M ( ( ( elń (6 coduce l ecuń dotă Cool 7 (EcuŃ plulu p tăetu: Plul ce tesecteă ele sstemulu cte otogol î puctele ( B( ş espectv C ( c (dfete de oge O sstemulu cte e ecuń (8 c C O B fg DemostŃe: Evdet puctele BC sut ecole Cofom Teoeme 6 ecuń plulu detemt de puctele BC este: Devoltâd cest detemt după pm le ońem c ( c Dcă se împte elń pecedetă p c ońem ecuń (8 OsevŃe: Teoemele 5 6 pecum ş Coolul 7 petă stuń fvole detemă ecuńe uu pl î spńu Ît-o polemă de geomete ltcă vâd dept coclue deteme ecuńe uu umt pl se v educe c

37 stuń peettă î polemă l uul d eulttele teoetce meńote teo ş se foloseşte ecuń coespuătoe EecŃul : Să se deteme ecuń plulu de coodote (O SoluŃ : Plul de coodote (O tece p oge O ( ş este pepedcul pe vesoul stfel d Teoem ecuń plulu de coodote (O este ( ( ( dcă SoluŃ : Plul de coodote (O tece p oge O ( ş este plel cu veso ş (de fpt ce do veso sut cluş c ptcul de plelsm î plul (O D Teoem 5 ecuń plulu de coodote (O este dec SoluŃ : Vom folos că plul de coodote (O tece p oge O ( ş p puctele ( ş B ( stfel d Teoem 6 ecuń plulu căutt este dcă EecŃul : Să se deteme ecuń plulu ştd că puctul M ( este pcoul pepedcule cooâte d oge pe pl SoluŃe: D poteă OM este vecto oml petu plul căutt puctul M ( pńe cestu pl Putem plc Teoem ş vom ońe ecuń ( ( ( dcă Dept DefŃ : Fe (d o deptă dtă d spńu Se umeşte vecto decto l depte (d oce vecto vâd decń plelă cu dept (d Dcă v l m este u vecto decto l depte (d tuc l m se umesc pmet decto depte