υναµική Γεωµετρία: Η περίπτωση της διδασκαλίας εµβαδού και απόδειξης µέσω µετασχηµατισµού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "υναµική Γεωµετρία: Η περίπτωση της διδασκαλίας εµβαδού και απόδειξης µέσω µετασχηµατισµού"

Transcript

1 υναµική Γεωµετρία: Η περίπτωση της διδασκαλίας εµβαδού και απόδειξης µέσω µετασχηµατισµού Λούκας Τσούκκας, Ξένια Ξυστούρη, Κωνσταντίνος Χρίστου, ήµητρα Πίττα- Πανταζή Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, Κύπρος ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το άρθρο αυτό περιγράφει µια σειρά δραστηριοτήτων σε περιβάλλον δυναµικής γεωµετρίας, οι οποίες αναπτύχθηκαν µε στόχο τη διδασκαλία του εµβαδού στο δηµοτικό σχολείο. Μέσα από τις δραστηριότητες διαφαίνεται ο ρόλος που µπορεί να διαδραµατίσει η δυναµική γεωµετρία στον τρόπο προσέγγισης και διδασκαλίας των γεωµετρικών εννοιών, στον τρόπο ανάπτυξης των δεξιοτήτων των µαθητών στην κατασκευή προβλήµατος και στην εισαγωγή τους στην επαγωγική απόδειξη. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: δυναµική γεωµετρία, εµβαδόν, µετασχηµατισµός, κατασκευή προβλήµατος ABSTRACT The present article describes a set of exploratory activities in α dynamic geometry environment that were developed for the teaching of area, in primary school students. Through these activities, emerges the role that dynamic geometry can play in the way of teaching of geometrical concepts by improving students skills of problem-posing and inductive proof. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πολλοί ερευνητές στο χώρο της διδακτικής των µαθηµατικών θεωρούν ότι η τεχνολογία παρέχει τη δυνατότητα διεύρυνσης του γνωστικού ρεπερτορίου, ενώ ταυτόχρονα αποτελεί για τους µαθητές µέσο πρόσβασης σε δυναµικές έννοιες και τοµείς των µαθηµατικών (NCTM, 2000). Η τεχνολογία έχει άµεση εφαρµογή στη διδασκαλία της γεωµετρίας, η οποία από τις αρχές της δεκαετίας του 1980 άρχισε να παραγκωνίζεται, τόσο εξαιτίας των δυσκολιών των εκπαιδευτικών στην κατασκευή γεωµετρικών σχηµάτων µε ακρίβεια και ταχύτητα, όσο και των δυσκολιών των µαθητών να κατανοήσουν τις γεωµετρικές έννοιες και να αντιληφθούν τις έννοιες της αιτιολόγησης και της απόδειξης (Χρίστου & Πίττα-Πανταζή, 2004). Τα εργαλεία που παρέχει η τεχνολογία στον τοµέα της γεωµετρίας, και τα οποία περιορίζουν τα πιο πάνω προβλήµατα, είναι τα λογισµικά της δυναµικής γεωµετρίας (Euclidraw, Sketchpad, Cabri, Euklid, Geolog, Thales κτλ.), τα οποία υποστηρίζουν περιβάλλοντα στα οποία οι µαθητές µπορούν να αλληλεπιδράσουν µε τα αντικείµενα και τα θεωρήµατα της γεωµετρίας (Healy & Hoyles, 2001). Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουµε δραστηριότητες για τη διδασκαλία της έννοιας του εµβαδού στη Στ τάξη του δηµοτικού σχολείου µέσα σε περιβάλλον δυναµικής γεωµετρίας ( Γ), οι οποίες θα στηρίζονται στην έννοια της διατήρησης του εµβαδού σχηµάτων µε ανακατασκευή και ανασύνθεσή τους. Σύµφωνα µε τους Carpenter et al. (αναφορά στην Kordaki, 2003), οι µαθητές αντιµετωπίζουν δυσκολίες στην κατανόηση της ισότητας εµβαδών, όταν αυτά αναπαριστώνται µε διαφορετικά σχήµατα, γεγονός το οποίο αποτελεί προϋπόθεση στη διερεύνηση και κατανόηση της έννοιας του εµβαδού. Αρχικά θα παρουσιάσουµε το θεωρητικό υπόβαθρο της έρευνας, µε ιδιαίτερη αναφορά

2 224 4 ο Συνέδριο ΕΤΠΕ, 29/09 03/10/2004, Παν/µιο Αθηνών στα χαρακτηριστικά της Γ που καθιστούν σηµαντική και επιτακτική τη χρήση της κατά τη διδασκαλία της έννοιας του εµβαδού µέσω ανακατασκευής και ανασύνθεσης σχηµάτων. Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουµε µια σειρά από δραστηριότητες για τη διδασκαλία του εµβαδού σε ψηφιακό περιβάλλον Γ, στις οποίες είναι εµφανής ο διαφορετικός τρόπος προσέγγισης της έννοιας και οι δυνατότητες που προσφέρει η Γ για κατασκευή προβλήµατος και επαγωγική απόδειξη. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας Με την εισαγωγή των λογισµικών Γ στην εκπαίδευση έχει αλλάξει ο τρόπος προσέγγισης και διδασκαλίας της Ευκλείδειας γεωµετρίας. Στα πλαίσια της Γ, τα αντικείµενα και θεωρήµατα των µαθηµατικών µετατρέπονται από απλές προτάσεις που πρέπει να αποδειχθούν σε αντικείµενα διερεύνησης. Τα δυναµικά ψηφιακά περιβάλλοντα αποτελούν εικονικά εργαστήρια στα οποία οι µαθητές µπορούν να παίξουν, να διερευνήσουν και να µάθουν µαθηµατικά (Arcavi & Hadas, 2000). Ενεργώντας σε αυτά τα δυναµικά ψηφιακά περιβάλλοντα, µέσα σε ελάχιστο χρόνο, οι µαθητές έχουν τη δυνατότητα να κατασκευάσουν άπειρα σχήµατα µε µεγάλη ακρίβεια. Παρέχεται, επίσης, η δυνατότητα άµεσης τροποποίησης, µετακίνησης και µετασχηµατισµού των σχηµάτων στο χώρο, µε τη βοήθεια του ποντικιού, χωρίς να µεταβάλλονται οι κρίσιµες γεωµετρικές τους ιδιότητες. Οι µαθητές µπορούν να πειραµατιστούν, όχι µόνο κοιτάζοντας την εικόνα, αλλά και µετρώντας, συγκρίνοντας, αλλάζοντας τα σχήµατα (Arcavi & Hadas, 2000). Επιπλέον, η χρήση λογισµικών Γ στη διδασκαλία των µαθηµατικών καλλιεργεί στους µαθητές τόσο τον παραγωγικό, όσο και τον επαγωγικό τρόπο σκέψης (Χρίστου & Πίττα - Πανταζή, 2004). Μέσα στο περιβάλλον Γ οι µαθητές αποκτούν κίνητρο και αυτοπεποίθηση, γιατί τους επιτρέπει να κάνουν δικές τους υποθέσεις και να τις εξετάζουν. Ο έλεγχος των υποθέσεων συχνά οδηγεί τους µαθητές σε εκπλήξεις, γεγονός που πυροδοτεί την ανάπτυξη της ανάγκης τους για επανεξέταση των γνώσεων και υποθέσεών τους (Arcavi & Hadas, 2000). Οι µαθητές έχουν την ευκαιρία να επανορθώνουν αµέσως τα λάθη τους µε το πάτηµα ενός πλήκτρου, µε αποτέλεσµα το λάθος να αξιοποιείται και να οδηγεί συχνά στην ανάπτυξη εννοιών ή στην τροποποίηση υφιστάµενων, πιθανώς λανθασµένων γνώσεων. Επιπλέον, υπάρχει η δυνατότητα της κίνησης των σχηµάτων µε το «σύρσιµο» (drag) που επιτρέπει στους µαθητές να χειριστούν τα σχήµατα και να παρατηρήσουν τα αποτελέσµατα των χειρισµών τους σχεδόν στιγµιαία, καθιστώντας την κατασκευή και την εξέταση υποθέσεων µια ευχάριστη και δηµιουργική δραστηριότητα. Απόδειξη στη υναµική Γεωµετρία Τα χαρακτηριστικά των λογισµικών Γ παρέχουν στο µαθητή τη δυνατότητα να κάνει υποθέσεις και να τις ελέγξει εύκολα και γρήγορα. Η διατύπωση υποθέσεων και ο έλεγχος αποτελούν βασικά στοιχεία της διερευνητικής µάθησης. Ο άτυπος αυτός τρόπος απόδειξης, σύµφωνα µε τους Bruckheimer και Arcavi (2001), αποκαλείται «εµπειρική απόδειξη». Πολλοί ερευνητές έχουν εκφράσει ανησυχίες σχετικά µε το σηµείο αυτό, καθώς η απόδειξη αποτελεί ουσιαστικό στοιχείο για τα µαθηµατικά και η διδασκαλία της αποτελεί θεµελιώδη έννοια (Laborde, 2000). Συγκεκριµένα, έχει εκφραστεί η ανησυχία ότι οι ευκαιρίες που παρέχουν τα ψηφιακά περιβάλλοντα Γ στους µαθητές να «δουν» τις µαθηµατικές ιδιότητες µε τόση ευκολία, µπορεί να προκαλέσουν τη µείωση ή και την εξαφάνιση οποιασδήποτε ανάγκης για απόδειξη και κατ επέκταση της εκµάθησης της διαδικασίας της παραγωγικής απόδειξης (Laborde, 2000; Hadas, Herskowitz & Schwarz, 2000; Bruckheimer & Arcavi, 2001). Πρόσφατες έρευνες τεκµηριώνουν ότι η Γ όχι µόνο δεν υποβαθµίζει την απόδειξη, αλλά την καθιστά αναγκαία και προσιτή, προωθώντας συνδέσµους µεταξύ εµπειρικής και παραγωγικής απόδειξης (Buckheimer & Arcavi, 2001). Ο De Villiers (στο Hadas et al., 2000) περιγράφει πώς µέσα από περιβάλλοντα Γ µπορεί να καλλιεργηθεί η διερεύνηση µε ερωτήσεις του τύπου «τι θα γίνει αν», ώστε οι µαθητές να οδηγηθούν σε γενικεύσεις και ανακαλύψεις. Υποστηρίζει ότι η

3 Οι ΤΠΕ στην Εκπαίδευση 225 αναζήτηση απόδειξης γίνεται τότε νοητική πρόκληση, που γεννάται από την ανάγκη αιτιολόγησης ενός συµπεράσµατος. Συνεπώς, σε ένα περιβάλλον Γ, οι µαθητές έχουν την ευκαιρία µέσα από κατάλληλα δοµηµένες δραστηριότητες, να αντιληφθούν όλες τις λειτουργίες της απόδειξης και να τη χρησιµοποιήσουν για αιτιολόγηση, επεξήγηση, διερεύνηση, ανακάλυψη και συστηµατοποίηση προτάσεων σε ένα αξιωµατικό σύστηµα. Ιδιαίτερα στο δηµοτικό σχολείο, η διερεύνηση γεωµετρικών εννοιών µέσα σε περιβάλλον Γ αποτελεί το πρώτο στάδιο στη διαδικασία της τυπικής απόδειξης, που θα αποτελέσει αντικείµενο διδασκαλίας στο γυµνάσιο και το λύκειο. Θεωρητικό Υπόβαθρο της υναµικής Γεωµετρίας Προτού παρουσιαστούν οι προτεινόµενες δραστηριότητες για τη διδασκαλία του εµβαδού µέσω ανακατασκευής σχηµάτων σε περιβάλλον Γ, θα παρουσιάσουµε ένα γενικό µοντέλο δόµησης της γεωµετρικής σκέψης. Το µοντέλο αυτό αναπτύχθηκε από το Vinner (1983, 1991) και προτείνεται από τον Contreras (2003) ως κατάλληλο για την κατανόηση της οικοδόµησης των γεωµετρικών εννοιών από τους µαθητές. Επίσης, αποτελεί τη θεωρητική βάση της εισαγωγής της Γ στο σχολείο (Χρίστου & Πίττα-Πανταζή, 2004) και θα αποτελέσει το θεωρητικό µας πλαίσιο. Η διαγραµµατική απεικόνιση αποτελεί τον πιο συνηθισµένο οπτικό τρόπο αναπαράστασης γεωµετρικών αντικειµένων. Αυτές οι οπτικές αναπαραστάσεις φαίνεται να ασκούν ισχυρή επίδραση στην ανάπτυξη των γεωµετρικών εννοιών από τους µαθητές (Contreras, 2003). Το µοντέλο του Vinner περιγράφει την ύπαρξη τριών κύριων ειδών νοητικών αναπαραστάσεων που συνδέονται µε µια µαθηµατική έννοια: το µαθηµατικό ορισµό της έννοιας, την αντίληψη του µαθητή για το µαθηµατικό ορισµό και τη νοερή αναπαράσταση της έννοιας στη σκέψη των µαθητών. Στόχος της διδασκαλίας, είναι η γνωστική ενότητα, δηλαδή η ταύτιση του µαθηµατικού ορισµού, της αντίληψης των µαθητών για το µαθηµατικό ορισµό και της νοερής αναπαράστασης της έννοιας στη σκέψη των µαθητών. Ο µαθηµατικός ορισµός µιας έννοιας αναφέρεται στο ελάχιστο σύνολο αναγκαίων ή κρίσιµων ιδιοτήτων που χαρακτηρίζουν την έννοια. Η περίπτωση µιας έννοιας πρέπει να έχει αυτές τις κρίσιµες ιδιότητες, για να αποτελεί παράδειγµα της έννοιας (Contreras, 2003). Για παράδειγµα, το ύψος ενός παραλληλογράµµου ορίζεται ως το ευθύγραµµο τµήµα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών του και είναι κάθετο σε αυτές. ηλαδή, οι κρίσιµες ιδιότητες στην περίπτωση του µαθηµατικού ορισµού του ύψους παραλληλογράµµου είναι δύο: (α) η γραµµή πρέπει να είναι ευθύγραµµο τµήµα και (β) το ευθύγραµµο τµήµα πρέπει να είναι κάθετο στις απέναντι πλευρές. Η θέση του ύψους σε σχέση µε το παραλληλόγραµµο και η διεύθυνση του στο χώρο δεν αποτελούν κρίσιµες ιδιότητες του ύψους. Ως αποτέλεσµα των τυπικών και των άτυπων εµπειριών που έχουν οι µαθητές, αναπτύσσουν δικές τους αντιλήψεις σχετικά µε τον ορισµό των σχηµάτων. Η αντίληψη που έχουν οι µαθητές για το µαθηµατικό ορισµό είναι αυτός που εκφράζουν, όταν τους ζητείται να ορίσουν µια µαθηµατική έννοια. Η αντίληψη των µαθητών µπορεί να ταυτίζεται µε το µαθηµατικό ορισµό ή όχι. Συνήθως οι µαθητές δυσκολεύονται να διακρίνουν τις κρίσιµες από τις µη κρίσιµες ιδιότητες, όταν προσπαθούν να ορίσουν µια έννοια (Contreras, 2003). Για παράδειγµα, συχνά οι µαθητές θεωρούν ότι το ύψος του παραλληλογράµµου πρέπει να βρίσκεται πάντα στο εσωτερικό του. Επιπλέον, οι µαθητές µπορεί να ενεργοποιήσουν ένα υποσύνολο των νοερών εικόνων ή χαρακτηριστικών που σχετίζονται µε την έννοια. Αυτό το σύνολο στοιχείων που ενεργοποιούνται συνιστά την απεικόνιση ή νοερή αναπαράσταση των µαθητών για τη µαθηµατική έννοια. Είναι δυνατόν οι µαθητές να ενεργοποιήσουν διαφορετικά σύνολα νοερών χαρακτηριστικών κάτω από διαφορετικές συνθήκες. Και πάλι, οι ενεργοποιηµένες νοερές αναπαραστάσεις των µαθητών για µια µαθηµατική έννοια µπορεί να µην συµπίπτουν µε την αντίληψη τους για το µαθηµατικό ορισµό ή µε το µαθηµατικό ορισµό της έννοιας (Contreras, 2003). Μια από τις προκλήσεις της διδασκαλίας είναι να επιτευχθεί ταύτιση του µαθηµατικού ορισµού, της αντίληψης του µαθητή για το µαθηµατικό ορισµό και της νοερής αναπαράστασης του µαθητή

4 226 4 ο Συνέδριο ΕΤΠΕ, 29/09 03/10/2004, Παν/µιο Αθηνών για την έννοια, ώστε να αποτελέσουν µια ενιαία γνωστική οντότητα. Oι Herskowitz, Ben-Chaim, Hoyles, Lappan, Mitchelmore, και Vinner (1990), µε έρευνες τους αναφορικά µε τις γνωστικές πτυχές της οικοδόµησης εννοιών, υποστηρίζουν ότι ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας της γεωµετρίας ασκεί περιορισµένη επίδραση στη σωστή οικοδόµηση της γνωστικής ενότητας. Ως εκ τούτου, ορισµένες παρανοήσεις στη σκέψη των µαθητών παραµένουν ή και εντείνονται. Στις παρανοήσεις αυτές συµβάλλουν σε πολύ µεγάλο βαθµό και οι πρωτοτυπικές έννοιες των µαθητών, που αναπτύσσονται κατά τη διδασκαλία της στατικής γεωµετρίας (Herskowitz et al., 1990). Οι πρωτοτυπικές εικόνες που οικοδοµούν οι µαθητές συχνά περιλαµβάνουν µόνο τα πολύ ισχυρά οπτικά γνωρίσµατα της έννοιας και εποµένως περιέχουν µόνο ένα υποσύνολο των κρίσιµων ιδιοτήτων, συµπεριλαµβανοµένου και αρκετών µη-κρίσιµων. Για παράδειγµα, η κατακόρυφη τοποθέτηση ενός τετραγώνου και η τοποθέτηση της µεγάλης βάσης του τραπεζίου χαµηλά και της µικρής ψηλά είναι ορισµένα πρωτοτυπικά παραδείγµατα µαθηµατικών εννοιών που συχνά αναπτύσσουν οι µαθητές. Είναι γεγονός ότι σε πολλές περιπτώσεις τα πρωτοτυπικά παραδείγµατα παραµένουν, εξ ολοκλήρου ή εν µέρει, και εκδηλώνονται σε κάποιο βαθµό ακόµη και µετά τη διδασκαλία (Contreras, 2003). Η δυνατότητα που έχει η Γ να παρέχει πολλαπλές αναπαραστάσεις των διαφόρων µαθηµατικών εννοιών µπορεί να συµβάλει στο να ξεπεραστούν οι παρανοήσεις που προκύπτουν από την περιορισµένη οπτική απεικόνισή τους κατά τη διδασκαλία της γεωµετρίας µε στατικό τρόπο. Στα µαθηµατικά, ο όρος «δυναµικός/ή» σχετίζεται µε την κίνηση και την αλλαγή. Τα σχήµατα στη Γ, όπως προαναφέρθηκε, µπορούν να µετακινηθούν και να µετασχηµατιστούν µε µεγάλη ευκολία, διατηρώντας πάντοτε τις κρίσιµες ιδιότητες τους, δίνοντας στους µαθητές τη δυνατότητα να τις δουν και να τις αντιληφθούν σε άπειρες εφαρµογές και να τις διακρίνουν από τις µηκρίσιµες ιδιότητες. Με τα λογισµικά Γ δίνεται η δυνατότητα για επίτευξη της γνωστικής ενότητας της έννοιας, µε αποτέλεσµα να µην δηµιουργούνται γνωστικά εµπόδια από τη σύγκρουση µεταξύ του µαθηµατικού ορισµού, της αντίληψης για το µαθηµατικό ορισµό και των νοερών αναπαραστάσεων των µαθητών για την έννοια. Με τον τρόπο αυτό ελαχιστοποιείται η πιθανότητα δηµιουργίας παρανοήσεων των µαθητών. Κατασκευή Προβλήµατος στη υναµική Γεωµετρία Η κατασκευή προβλήµατος, καθώς και η κατασκευή και διερεύνηση υποθέσεων, αποτελούν σηµαντικές µαθηµατικές δραστηριότητες (English, 1997). Τα λογισµικά Γ παρέχουν ευκαιρίες για την κατασκευή προβληµάτων που οδηγούν τους µαθητές στην αναζήτηση εξηγήσεων (Hadas et al., 2000). Η κατασκευή προβλήµατος µπορεί να γίνει αφού χρησιµοποιηθούν η διαδικασία εξειδίκευσης και η διαδικασία ανάλογων περιπτώσεων. Ο Silver (1994) αναφέρεται στις έννοιες αυτές ως «αναπροσαρµογή του προβλήµατος κατά την επίλυση» και στην «παραγωγή νέων προβληµάτων και ερωτηµάτων για εξερεύνηση µιας δεδοµένης κατάστασης (English, 1997). Ενώ δίνεται µεγάλη σηµασία στις διαδικασίες επίλυσης προβλήµατος, όπως είναι ο προσδιορισµός των βασικών στοιχείων του προβλήµατος και η µεταξύ τους σχέση, η κατασκευή προβλήµατος οδηγεί τους µαθητές πέρα από τις παραµέτρους της διαδικασίας της λύσης. Για παράδειγµα, οι µαθητές µπορούν να εµπλακούν στην αναζήτηση των πρωταρχικών ιδεών στη λύση του προβλήµατος ή στην εξέταση προβληµάτων που προκύπτουν από την τροποποίηση ή την επέκταση των στοιχείων του προβλήµατος (English, 1997). Εµβαδόν και Ανακατασκευή Σχηµάτων Ο κατατεµαχισµός και η ανακατασκευή ενός σχήµατος χρησιµοποιούνται συχνά για να λύσουν και να δικαιολογήσουν χειριστικά ένα πρόβληµα στη γεωµετρία, ιδιαίτερα κατά τη διδασκαλία της γεωµετρίας στη δηµοτική εκπαίδευση. Αυτοί οι µετασχηµατισµοί είναι καθαρά οπτικοί και µπορούν να γίνουν εύκολα µε αλλαγή της θέσης από την οποία παρατηρούνται ή µε τη µεταφορά τµηµάτων του σχήµατος, όπως γίνεται στα παζλ. Στην περίπτωση της έννοιας του εµβαδού, η

5 Οι ΤΠΕ στην Εκπαίδευση 227 ανακατασκευή σχηµάτων συµβάλλει στην κατανόηση της έννοιας της διατήρησης του εµβαδού, η οποία αποτελεί απαραίτητη προϋπάρχουσα γνώση για τη µέτρηση εµβαδού (Kordaki, 2003). Γι αυτό και προτείνεται από πολλούς η χρήση χαρτιού και ψαλιδιού, ώστε οι µαθητές βασιζόµενοι στις αισθήσεις τους, να κόψουν ένα σχήµα και να το ενώσουν διαφορετικά δηµιουργώντας ένα νέο και ταυτόχρονα ισεµβαδικό σχήµα (Kordaki, 2003). Για να θεµελιώσουν αυτή την έννοια οι µαθητές, χρειάζονται πληθώρα διαφορετικών αναπαραστάσεων των σχηµάτων, πράγµα που είναι ανέφικτο να γίνει µε τα εργαλεία που χρησιµοποιούνται συνήθως στα σχολεία. Επιπλέον, οι δυσκολίες των µαθητών στη µέτρηση του εµβαδού αποδίδονται, εν µέρει, στην ανικανότητα να καλυφθεί το κενό µεταξύ της συµβατικής προσέγγισης του εµβαδού (χρήση µαθηµατικών τύπων) και της ποιοτικής προσέγγισης χειρισµού των εµβαδών χωρίς τη χρήση αριθµών (Kordaki, 2003). Οι πιο πάνω δυσκολίες µπορούν να ξεπεραστούν στα πλαίσια ενός περιβάλλοντος Γ, το οποίο θα δίνει στους µαθητές τη δυνατότητα να σύρουν, να κόψουν και να κολλήσουν σχήµατα, δηµιουργώντας σε ελάχιστο χρόνο άπειρες αναπαραστάσεις του ίδιου σχήµατος, διατηρώντας σταθερό το εµβαδόν. Το NCTM (2000), αναγνωρίζοντας την ανάγκη για οπτική απεικόνιση και χρήση γεωµετρικών µοντέλων στην επίλυση προβληµάτων ειδικά στη γεωµετρία, προτείνει τη χρήση δυναµικών λογισµικών για την κατασκευή αναπαραστάσεων. Το Euclidraw είναι το µοναδικό λογισµικό Γ που προσφέρει τη δυνατότητα για τεµαχισµό και ανασύνθεση των σχηµάτων και για αυτό το λόγο χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα πρόταση διδασκαλίας. ΠΡΟΤΑΣΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ Όπως έχει αναφερθεί, σκοπός µας είναι να παρουσιάσουµε πώς µπορεί να διδαχθεί αποτελεσµατικά η έννοια του εµβαδού µε ανακατασκευή σε περιβάλλον Γ. Η εργασία αυτή αποτελεί ένα ακόµη παράδειγµα των δυνατοτήτων που προσφέρουν τα λογισµικά Γ στην αποτελεσµατικότερη διδασκαλία της γεωµετρίας. Για την υλοποίηση του σκοπού επιλέγηκαν τέσσερις ενότητες από τη διδασκαλία του εµβαδού στη Στ τάξη του ηµοτικού Σχολείου - του τριγώνου, του παραλληλογράµµου, του τραπεζίου και του κύκλου. Οι ενότητες και οι δραστηριότητες παρουσιάζονται µε τη σειρά διδασκαλίας η οποία κρίνεται ως η πιο κατάλληλη να ακολουθηθεί για τη σωστή οικοδόµηση των εννοιών. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού στο προτεινόµενο σχέδιο διδασκαλίας είναι αυτός του συνεργάτη και καθοδηγητή, εφόσον δίνεται έµφαση στις ευκαιρίες αυτόνοµης µάθησης και ανακάλυψης που παρέχει το Euclidraw. ραστηριότητες ιδασκαλίας Εµβαδού Τριγώνου ραστηριότητα 1: ίνεται στους µαθητές ένα προκατασκευασµένο σχήµα (Σχ. 1) σε αρχείο του EucliDraw. Με το εργαλείο διαχωρισµού πολύγωνου του λογισµικού, αποκόπτουν τα κίτρινα τρίγωνα από το ορθογώνιο στο οποίο ανήκουν. Έπειτα, καλούνται να φτιάξουν το κόκκινο τρίγωνο µε τα δύο κίτρινα τρίγωνα. Αναµένεται να περιστρέψουν, σύρουν και τοποθετήσουν τα κίτρινα τρίγωνα πάνω στο κόκκινο. Στόχος της δραστηριότητας είναι οι µαθητές να παρατηρήσουν ότι το εµβαδόν του κόκκινου τριγώνου ισούται µε το µισό αυτού του ορθογωνίου. Σχήµα 1: Σχέση εµβαδού ορθογωνίου παραλληλογράµµου και τριγώνου

6 228 4 ο Συνέδριο ΕΤΠΕ, 29/09 03/10/2004, Παν/µιο Αθηνών ραστηριότητα 2: ίνονται στους µαθητές ορθογώνια, µέσα στα οποία υπάρχουν εγγεγραµµένα τρίγωνα (Σχ. 2). Σ όλες τις περιπτώσεις - παρόλο που τα τρίγωνα, τα ορθογώνια και η θέση τους στο χώρο είναι διαφορετικά - η µια πλευρά του τριγώνου ταυτίζεται µε µια πλευρά του ορθογωνίου και η απέναντι κορυφή της βρίσκεται στην απέναντι πλευρά του ορθογωνίου. Οι µαθητές, αφού κάνουν τις υποθέσεις τους, ελέγχουν αν η παρατήρηση της προηγούµενης εργασίας ισχύει και σ αυτές τις περιπτώσεις, µετρώντας το εµβαδόν των ορθογωνίων και των τριγώνων µε την εντολή «Μέτρηση εµβαδού» του λογισµικού. Με τη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καταλήγουν στη µαθηµατική σχέση του εµβαδού τριγώνου µε τη βάση και το ύψος του. Σχήµα 2: Εµβαδόν τριγώνου ορθογωνίου: ιάφορες περιπτώσεις ραστηριότητα 3: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να αντιληφθούν οι µαθητές τις κρίσιµες ιδιότητες του εµβαδού τριγώνου. Σε προκατασκευασµένο σχήµα (Σχ. 3), το σηµείο Ε (µε τη βοήθεια κινητήρα) κινείται κατά µήκος της πλευράς Α. Έτσι, οι µαθητές αντιλαµβάνονται ότι το εµβαδόν παραµένει σταθερό, εφόσον οι κρίσιµες ιδιότητες του παραµένουν αναλλοίωτες. Σύµφωνα µε την Kordaki (2003), πολλές δυσκολίες των µαθητών στη µέτρηση εµβαδού οφείλονται στον «τεµαχισµένο» τρόπο που διδάσκεται το εµβαδόν, αποµονώνοντας το από τη δυναµική του σχέση µε την περίµετρο. Μέσα από τη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές µπορούν να αντιληφθούν ότι η περίµετρος του τριγώνου ΒΕΓ δεν µεταβάλλει το εµβαδόν του, εφόσον δεν αποτελεί κρίσιµη ιδιότητα του. Σχήµα 3: Εµβαδόν τριγώνου ορθογωνίου: Γενίκευση ραστηριότητα 4: Γίνεται διερεύνηση σχετικά µε τα ακόλουθα ερωτήµατα: α) Πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο; β) Περνούν όλα από το ίδιο σηµείο; γ) Ποιες θέσεις µπορεί να πάρει το ύψος σε σχέση µε το τρίγωνο; δ) Σε ποια περίπτωση το ύψος ενός τριγώνου µπορεί να συµπέσει µε µια πλευρά του; Με την πιο πάνω δραστηριότητά οι µαθητές κάνουν υποθέσεις σχετικές µε τα ερωτήµατα και ελέγχουν τις υποθέσεις τους µε δυναµικό τρόπο, σύροντας τις κορυφές των τριγώνων σε διάφορες θέσεις και παρατηρώντας τον τρόπο που διαφοροποιείται το ύψος ή τα ύψη του. ραστηριότητα 5: Οι µαθητές διερευνούν τον τρόπο µε τον οποίο µεταβάλλεται το εµβαδόν του τριγώνου όταν µεταβάλλεται το ύψος ή/και η βάση του. Προσπαθούν µε κατασκευή προβλήµατος (κατασκευάζουν δικές τους υποθέσεις και τις επαληθεύουν) να επιλύσουν προβλήµατα της µορφής : «Βρες τρία διαφορετικά τρίγωνα που να έχουν διαφορετική βάση και ύψος, αλλά να έχουν εµβαδόν δώδεκα τετραγωνικές µονάδες». Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούν προκατασκευασµένο αρχείο (Σχήµα 4) στο οποίο µπορούν να µεταβάλλουν το ύψος ή/ και τη βάση του τριγώνου µε τη βοήθεια µετρητή ή και κινητήρα.

7 Οι ΤΠΕ στην Εκπαίδευση 229 Σχήµα 4: Σχέση εµβαδού τριγώνου µε τη βάση και το ύψος του ραστηριότητα 6: Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές έχουν την ευκαιρία να εφαρµόσουν τις γνώσεις που έχουν αποκτήσει σε ένα εξειδικευµένο πρόβληµα. ίνεται το ερώτηµα προς διερεύνηση: Στο πιο κάτω σχήµα (Σχ. 5) το σηµείο Μ είναι το µέσο της ΒΓ. Ποιο τρίγωνο έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν, το ΑΒΜ ή το ΑΜΓ; Αναµένεται να υποθέσουν ότι τα δύο τρίγωνα είναι ισεµβαδικά, γιατί έχουν κοινό ύψος και ίσες βάσεις. Ελέγχουν τις υποθέσεις τους από το µενού µετρήσεων του προγράµµατος. Ακολούθως, σύρουν σε διάφορες θέσεις το σηµείο Α και ελέγχουν κατά πόσον το συµπέρασµα στο οποίο κατέληξαν ισχύει για όλες τις περιπτώσεις τριγώνων. Σχήµα 5: Ισεµβαδικά τρίγωνα ραστηριότητες ιδασκαλίας Εµβαδού Παραλληλογράµµου ραστηριότητα 1: Ζητείται από τους µαθητές να βρουν τρόπο να ανακατασκευάσουν το παραλληλόγραµµο σε ένα σχήµα που να µπορούν να υπολογίσουν το εµβαδόν του. Αναµένεται να χρησιµοποιήσουν το εργαλείο αποκοπής πολυγώνου του προγράµµατος, για να κόψουν το παραλληλόγραµµο σε δύο κοµµάτια και αφού χρησιµοποιήσουν τα κοµµάτια αυτά, να κατασκευάσουν ορθογώνιο (Σχήµα 6). Μετρούν το εµβαδόν του αρχικού παραλληλογράµµου (στο πρόγραµµα παραµένει και το αρχικό σχήµα) και του ορθογωνίου που κατασκεύασαν και επιβεβαιώνουν ότι είναι ισεµβαδικά. Στη συνέχεια, αλλάζουν τις διαστάσεις του αρχικού τους παραλληλογράµµου σύροντας το από µια κορυφή. Αναµένεται να παρατηρήσουν ότι τα δύο σχήµατα παραµένουν ισεµβαδικά. Αφού φέρουν και µετρήσουν το ύψος του παραλληλογράµµου µε τα κατάλληλα εργαλεία του προγράµµατος, συγκρίνουν το ύψος και τη βάση του παραλληλογράµµου µε τις πλευρές του ορθογωνίου. Αναµένεται να παρατηρήσουν, τόσο οπτικά όσο και αριθµητικά, ότι το ύψος του παραλληλογράµµου ισούται µε τη µια πλευρά του ορθογωνίου και η βάση του µε την άλλη πλευρά του ορθογωνίου και να καταλήξουν στη µαθηµατική σχέση υπολογισµού εµβαδού παραλληλογράµµου. Παρόµοιες δραστηριότητες προτείνεται να γίνονται µε χαρτί και ψαλίδι, µε τα οποία οι µαθητές κόβουν το αρχικό χάρτινο παραλληλόγραµµο και το µετασχηµατίζουν σε ορθογώνιο (Duval, 2002). Το πλεονέκτηµα της εκτέλεσης της δραστηριότητας σε περιβάλλον Γ, είναι η δυνατότητα που έχουν οι µαθητές να παρατηρούν ταυτόχρονα και την αρχική και την τελική µορφή του σχήµατος. Ένα ακόµη πλεονέκτηµα είναι το ότι παρέχεται στους µαθητές η δυνατότητα να παρατηρούν τη σχέση της ποιοτικής και της ποσοτικής προσέγγισης της έννοιας (µέσω των µετρήσεων που είναι εµφανής ακόµη και όταν αλλάζει το µέγεθος ή η θέση ενός σχήµατος), που είναι ανέφικτο στη στατική γεωµετρία και κατά την Kordaki (2003) προκαλεί δυσκολίες στους µαθητές.

8 230 4 ο Συνέδριο ΕΤΠΕ, 29/09 03/10/2004, Παν/µιο Αθηνών Σχήµα 6: Σχέση εµβαδού ορθογωνίου παραλληλογράµµου και παραλληλογράµµου ραστηριότητα 2: Οι µαθητές χρησιµοποιούν προκατασκευασµένο αρχείο (Σχ. 7). Στο σηµείο Ζ υπάρχει κινητήρας ώστε η πλευρά ΖΕ να κινείται κατά µήκος της πλευράς Α. Οι µαθητές βλέπουν ότι το εµβαδόν του παραλληλογράµµου και του ορθογωνίου παραµένουν πάντα ίσα άσχετα από τη µορφή του παραλληλογράµµου, εφόσον έχουν την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Σχήµα 7: Σχέση εµβαδού ορθογωνίου και παραλληλογράµµου: Γενίκευση ραστηριότητα 3: Οι µαθητές χρησιµοποιούν προκατασκευασµένα σχήµατα (Σχ. 8) µε µετρητή και µεταβάλλουν µόνο το ύψος ή µόνο τη βάση του παραλληλογράµµου, παρατηρώντας το σχήµα. Αναµένεται να παρατηρήσουν ότι µεταβάλλεται και το εµβαδόν. Σχήµα 8: Σχέση εµβαδού παραλληλογράµµου µε τη βάση και το ύψος του ραστηριότητες ιδασκαλίας Εµβαδού Τραπεζίου ραστηριότητα 1: ίνεται το ακόλουθο πρόβληµα για διερεύνηση: «Μπορείτε να σκεφτείτε ένα τρόπο να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου µετασχηµατίζοντας το σε ένα ή περισσότερα γνωστά σχήµατα;» Μια από τις λύσεις που µπορούν να δώσουν οι µαθητές φαίνεται στο Σχήµα 9. Στην περίπτωση αυτή τοποθετούν σηµείο στο µέσο των δύο µη παράλληλων πλευρών του τραπεζίου µε το «Εργαλείο σηµείων/μέσον». Στη συνέχεια, περιστρέφουν το ένα από τα δύο µικρά τραπέζια κατά και ενώνουν τα δύο σχήµατα ώστε να προκύψει παραλληλόγραµµο (εργαλείο «Ένωση πολυγώνων»). Μετρούν το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που κατασκεύασαν και το συγκρίνουν µε αυτό του αρχικού τραπεζίου. Αλλάζουν τις διαστάσεις του αρχικού τραπεζίου σύροντάς το από µια κορυφή και παρατηρούν ότι ταυτόχρονα µεταβάλλεται

9 Οι ΤΠΕ στην Εκπαίδευση 231 και το παραλληλόγραµµο, ώστε τα δύο σχήµατα να παραµένουν ισεµβαδικά. Οι µαθητές καθοδηγούνται να καταλήξουν στη µαθηµατική σχέση υπολογισµού εµβαδού τραπεζίου. βάση µικρή ύψος: 1 ύψος: 2 βάση µεγάλη Σχήµα 9: Ανακατασκευή τραπεζίου σε παραλληλόγραµµο ραστηριότητα 2: Οι µαθητές µελετούν τις περιπτώσεις του ισοσκελούς και του ορθογώνιου τραπεζίου. Κατασκευάζεται έτσι πρόβληµα µέσω εξειδίκευσης του προηγούµενου προβλήµατος. Βρίσκουν τρόπους να µετασχηµατίσουν τα τραπέζια σε άλλα γνωστά σχήµατα που µπορούν να υπολογίσουν το εµβαδόν τους (Σχήµα 10). Για να καταστεί δυνατή η κατασκευή ορθογωνίου πρέπει να γίνει ανάκλαση του ενός από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα, (µε σχετικό εργαλείο του προγράµµατος) µε άξονα ανάκλασης την υποτείνουσα του. Σχήµα 10: Ανακατασκευή ισοσκελούς τραπεζίου σε ορθογώνιο Στην περίπτωση του ορθογώνιου τραπεζίου αναµένεται να το διαχωρίσουν σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο και ένα ορθογώνιο τρίγωνο και να παρατηρήσουν ότι η βάση του ορθογωνίου τριγώνου ισούται µε τη διαφορά των δύο βάσεων του τραπεζίου. Έτσι, υπολογίζουν το εµβαδόν του τριγώνου και κατ επέκταση το εµβαδόν του αρχικού τραπεζίου. ραστηριότητες ιδασκαλίας Εµβαδού Κύκλου ραστηριότητα 1: Οι µαθητές κατασκευάζουν ένα κύκλο και τον διαιρούν σε κυκλικούς τοµείς. Αυτό µπορεί να γίνει µε το εργαλείο «διαίρεση σε τοµείς» που βρίσκεται στο εικονίδιο του κύκλου (Σχ. 11). Στη συνέχεια χρησιµοποιούν τους τοµείς για να κατασκευάσουν ένα παραλληλόγραµµο (Σχ. 11). Ακτίνα Μισή περιφέρεια Σχήµα 11: Εµβαδόν κύκλου ιαίρεση σε τοµείς ραστηριότητα 2: Επανάληψη της ίδιας δραστηριότητας µε διαίρεση σε περισσότερους τοµείς (π.χ. 20). Οι µαθητές συγκρίνουν τα αποτελέσµατα τους µε την προηγούµενη δραστηριότητα και καταλήγουν στο συµπέρασµα ότι στη δεύτερη περίπτωση υπολογίζεται µε µεγαλύτερη ακρίβεια το εµβαδόν του κύκλου. Οι µαθητές οδηγούνται στο συµπέρασµα ότι η διαίρεση του κύκλου σε όσο το δυνατόν µεγαλύτερο αριθµό κυκλικών τοµέων δίνει καλύτερο υπολογισµό του εµβαδού του.

10 232 4 ο Συνέδριο ΕΤΠΕ, 29/09 03/10/2004, Παν/µιο Αθηνών ραστηριότητα 3: Οι µαθητές διερευνούν την περίπτωση διπλασιασµού της ακτίνας και της µεταβολής του εµβαδού. Κατασκευάζουν πρώτα για ακρίβεια την ακτίνα του κύκλου µε µετρητή και µε βάση αυτή και µε την εντολή «Κέντρο + ακτίνα», φτιάχνουν τον κύκλο. Μεταβάλλοντας την ακτίνα από το µετρητή, παρατηρούν ότι µεταβάλλεται και το εµβαδόν του κύκλου (Σχ. 12). Οι µαθητές αναµένεται µε τη χρήση πολλαπλών παραδειγµάτων να καταλήξουν στο συµπέρασµα ότι όταν η ακτίνα διπλασιάζεται, το εµβαδόν τετραπλασιάζεται κ.ο.κ. Σχήµα 12: Εµβαδόν κύκλου Σχέση ακτίνας και εµβαδού ΑΝΑΦΟΡΕΣ Arcavi, A., & Hadas, N. (2000), Computer mediated learning: an example of an approach. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 5, Bruckheimer, M., & Arcavi, A. (2001), A herrick among mathematicians or dynamic geometry as an aid to proof. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, Contreras, J. N. (2003), Some potential realities and some improbably dreams about learning geometric concepts. Retrieved in April 2004 from Duval, R. (2002), The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1 (2), English, L. D. (1997), The development of fifth-grade children s problem-posing abilities. Educational Studies in Mathematics, 34, Hadas, N., Hershkowitz, R., & Schwarz, B. B. (2000), The role of contradiction and uncertainty in promoting the need to prove in dynamic geometry environments. Educational Studies in Mathematics, 44, Healy, L., & Hoyles, C. (2001), Software tools for geometrical problem solving: potentials and pitfalls. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, Hershkowitz, R., Ben-Chaim, D., Hoyles, C., Lappan, G., Mitchelmore, M., & Vinner, S. (1990), Psychological aspects of learning geometry. In P. Nesher & J. Kilpatrick, Mathematics and cognition: A research synthesis by the International group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Cambridge: England. Kordaki, M. (2003), The effect of tools of a computer microworld on students strategies regarding the concept of conservation of area. Educational Studies in Mathematics, 52, Laborde, C. (2000), Dynamic geometry environments as a source of rich learning contexts for the complex activity of proving. Educational Studies in Mathematics, 44, National Council for Teachers of Mathematics. (2000), Principles and standards for school mathematics. Reston: Va, NCTM. Χρίστου, Κ., & Πίττα-Πανταζή,. (2004), Έννοια και διδασκαλία της δυναµικής γεωµετρίας. Στο Α. Γαγάτσης (Eκδ.), Σύγχρονες Τάσεις της ιδακτικής των Μαθηµατικών (σελ ). Λευκωσία: Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισµού Πανεπιστήµιο Κύπρου. Οικοσελίδα του Euclidraw, Πληροφορίες που ανεβρέθηκαν τον Απρίλιο του 2004 από το

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια Κάθε οµάδα παρουσιάζει στην τάξη: (1) Τις logo διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασε τα κανονικά πολύγωνα. (2) Τις διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασαν τα κανονικά πολύγωνα γύρω από µια περιοχή. (3) Τα τεχνουργήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Σύντοµη περιγραφή του σεναρίου Η βασική ιδέα του σεναρίου Το συγκεκριµένο εκπαιδευτικό σενάριο αναφέρεται στην εύρεση των τύπων µε τους

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Νέες προοπτικές στη διδασκαλία της γεωµετρίας: Η περίπτωση του εµβαδού πολυγώνων

Νέες προοπτικές στη διδασκαλία της γεωµετρίας: Η περίπτωση του εµβαδού πολυγώνων Νέες προοπτικές στη διδασκαλία της γεωµετρίας: Η περίπτωση του εµβαδού πολυγώνων Πιττάλης Μ., Μουσουλίδης Ν., & Χρίστου Κ. Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου m.pittalis@ucy.ac.cy, n.mousoulides@ucy.ac.cy,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ DRAG MODE ΣΤΙΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ DRAG MODE ΣΤΙΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση 507 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ DRAG MODE ΣΤΙΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Αθανασία Μπαλωµένου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο πολλές φορές και σε διαφορετικές τάξεις ή ανταλλάξει ιδέες µε άλλους συναδέλφους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ (2007 2013) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Πρακτική Άσκηση Εκπαιδευομένων στα Πανεπιστημιακά Κέντρα Επιμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σεπτέμβριος 2013 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης: Σύνδεσμος Επιθεωρητής: Eνδοτμηματική Επιτροπή Μαθηματικών: Σύμβουλοι Μαθηματικών:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Όνοµα: Τάσος Αναστάσιος Επώνυµο: Μικρόπουλος Τίτλος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Εργαστήριο Εφαρµογών Εικονικής Πραγµατικότητας στην Εκπαίδευση, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Τίτλος Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ισοδύναµα κλάσµατα» 2. Εµπλεκόµενες γνωστικές περιοχές Το σενάριο µπορεί να αξιοποιηθεί από τους µαθητές της Γ δηµοτικού και εντάσσεται στις γνωστικές περιοχές

Διαβάστε περισσότερα

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Τίτλος Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Φτιάχνω γεωµετρικά σχήµατα», (Μαθηµατικά Β ηµοτικού) 2. Εµπλεκόµενες γνωστικές περιοχές Κατά την υλοποίηση του διδακτικού σεναρίου θα αξιοποιηθούν κατά κύριο

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ Γραφική παράσταση τριωνύµου Εξισώσεις κίνησης. Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά την µελέτη της µεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ Μάθημα 1 ο 14/3/2011 Περίγραμμα και περιεχόμενο του μαθήματος Μάθηση με την αξιοποίηση του Η/Υ ή τις ΤΠΕ Θεωρίες μάθησης Εφαρμογή των θεωριών μάθησης στον σχεδιασμό εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικές Έννοιες και Τεχνολογία στις Μικρές Ηλικίες: Σχεδιασµός έργων και αξιολόγηση στην πράξη ενός περιβάλλοντος δυναµικής γεωµετρίας

Γεωµετρικές Έννοιες και Τεχνολογία στις Μικρές Ηλικίες: Σχεδιασµός έργων και αξιολόγηση στην πράξη ενός περιβάλλοντος δυναµικής γεωµετρίας Γεωµετρικές Έννοιες και Τεχνολογία στις Μικρές Ηλικίες: Σχεδιασµός έργων και αξιολόγηση στην πράξη ενός περιβάλλοντος δυναµικής γεωµετρίας Άννα Χρονάκη ΠΤΠΕ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας H παρούσα εργασία συζητάει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου

ΣΧΕ ΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου ΜΑΘΗΜΑ ΤΑΞΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου : Υπερβολή : Λυµπερόπουλος Ιωάννης. Σκοπός : Οι µαθητές να γνωρίζουν : α) Τον ορισµό της υπερβολής. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή των εννοιών μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας σε περιβάλλον όπου αξιοποιούνται οι

Εισαγωγή των εννοιών μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας σε περιβάλλον όπου αξιοποιούνται οι 3ο ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ 1. Τίτλος διδακτικού σεναρίου: Η ΜΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 2. Γνωστικό αντικείμενο: ΦΥΣΙΚΗ 3. Τάξη: Β 4. Μάθημα: 2.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ 5. Γενική ενότητα: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

9.2.4 Σενάριο 7. Η έννοια του εμβαδού επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων με λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας και συλλογική διαπραγμάτευση

9.2.4 Σενάριο 7. Η έννοια του εμβαδού επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων με λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας και συλλογική διαπραγμάτευση 9.2.4 Σενάριο 7. Η έννοια του εμβαδού επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων με λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας και συλλογική διαπραγμάτευση Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Η έννοια του εμβαδού επίπεδων

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ

Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ Μορφές Εικονικής Αναπαράστασης της Έννοιας του Τριγώνου στα Μαθηµατικά του ηµοτικού Σχολείου Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Περίληψη Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να µελετήσει το ρόλο των παραστάσεων του τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ)

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) Σπύρος Φερεντίνος, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές διερευνούν τη χωρητικότητα κουτιών σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που προκύπτουν από ένα χαρτόνι συγκεκριμένων διαστάσεων. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Κωνσταντίνος Χρίστου Ρίτα Παναούρα Δήμητρα Πίττα-Πανταζή Μάριος Πιττάλης Οκτώβριος 2014 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης)

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Μιχάλης Σκουµιός Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Παρατήρηση ιδασκαλίας και Μοντέλο Συγγραφής Έκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗ

ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗ ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗ Τι είναι ο χρονομετρητής ; Ο χρονομετρητής : αξιοποιείται στους

Διαβάστε περισσότερα

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS Effandi Zakaria and Norulpaziana Musiran The Social Sciences, 2010, Vol. 5, Issue 4: 346-351 Στόχος της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ Εκτίμηση και μέτρηση Μ1.1 Συγκρίνουν και σειροθετούν αντικείμενα με βάση το ύψος, το μήκος,

Διαβάστε περισσότερα

H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 495 H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ Τσιπουριάρη Βάσω Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής

Διαβάστε περισσότερα

Η κληρονοµιά του Μακάριου

Η κληρονοµιά του Μακάριου Η κληρονοµιά του Μακάριου Συγγραφέας: Ευαγγελία Μαγαλιού Γνωστική Περιοχή: Γεωµετρία Τάξη: Στ ηµοτικού ή Β Γυµνασίου Θέµατα: Εµβαδόν ορθογωνίου, Εµβαδόν παραλληλογράµµου, Εµβαδόν τριγώνου. Τεχνολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα. (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος)

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα. (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος) Σενάριο 1 Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος) Βασική ιδέα του σεναρίου Οι µαθητές σκιτσάρουν παραλληλόγραµµα και τα «ζωντανεύουν» κινώντας τα δυναµικά µε χρήση της Logo. Με

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 216 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ Κασιµάτη Κατερίνα - Στυλιανός

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΙΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στο κείμενο που ακολουθεί έχει γίνει προσπάθεια να φανεί ότι ο σχεδιασμός της διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Ζαφειρόπουλος Χρήστος Μαθηματικός Γυμνασίου & Λυκείου Καράτουλα zafeiropouloschristos@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ξεκινώντας την ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη ΘΕΜΑ : Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθηµάτων των Β και Γ τάξεων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2011 12. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας

Διαβάστε περισσότερα