Matematinis modeliavimas

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematinis modeliavimas"

Transcript

1 ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006

2 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas Variacinio skai iavimo elementai Variaciniu principu taikymas Keli papras iausi netiesiniu procesu modeliai Stygos svyravimu lygtis Membranos svyravimas ir pusiausvyra ilumos laidumas ir duju difuzija Ekologiniai modeliai 51 2 SKYRIUS PIRMOS EIL ES DIFERENCIALIN ES LYGTYS Pirmosios eiles paprastosios diferencialines lygtys i²reik²tos i²vestines atºvilgiu Sprendiniu egzistavimas, vienatis, prat simas Lygtys su atskiriamais kintamaisiais Tiesines pirmos eiles lygtys Pirmos eiles diferencialiniu lyg iu simetrine forma Pirmos eiles diferencialines lygtys nei²reik²tos i²vestines atºvilgiu 87 3 SKYRIUS AUK TESN ES EIL ES PAPRASTOSIOS DIFERENCIALIN ES LYGTYS Papras iausios auk²tesnes eiles diferencialines lygtys, kuriu eil galima sumaºinti Tiesines homogenines antros eiles lygtys Konstantu varijavimo metodas Tiesnes antros eiles lygtys su pastoviais realiais koecientais SKYRIUS DIFERENCIALINIU LYGƒIU SISTEMOS Bendros s vokos Tiesines homogeniniu diferencialiniu lyg iu sistemos Nehomogenines tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistemos Tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistemos su pastoviais realiais koecientais Kanoniniu sistemu plok²tumoje faziniai portretai 126

3 3 5 SKYRIUS AUTONOMIN ES SISTEMOS Autonomines lygtys tieseje Autonomines sistemos plok²tumoje Autonominiu sistemu trajektorijos Autonominiu sistemu plok²tumoje pusiausvyros ta²kai SKYRIUS DALINIU I VESTINIU LYGTYS Tiesiniu antros eiles lyg iu su dviem nepriklausomais kintamaisiais suvedimas i kanonini pavidal Pagrindiniai uºdaviniai Charakteristiku metodas Furje arba kintamuju atskyrimo metodas Integraliniu Furje transformaciju metodas SKYRIUS SKAITINIAI DIFERENCIALINIU LYGƒIU SPRENDIMO METODAI Runge Kuto metodas pirmos eiles paprastajai diferencialinei lyg iai Runge Kuto metodas pirmos eiles diferencialiniu lyg iu sistemai Runge Kuto metodas auk²tesnes eiles paprastajai diferencialinei lyg iai Baigtiniu skirtimu metodas elipsines lygties atveju Baigtiniu skirtimu metodas parabolines lygties atveju Baigtiniu skirtimu metodas hiperbolines lygties atveju 201 Literat ura 204

4 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 11 PAGRINDIN ES S VOKOS Sprendºiant gamtos ir technikos mokslu uºdavinius naudojami iviair us matematiniai modeliai Konstruojant kokio nors uºdavinio matematini modeli visu pirma stebimi ji apra²antys dydºiai Tokie dydºiai gali b uti temperat ura, greitis, slegis ir tt Po to atliekami ivair us bandymai Remiantis atliktais bandymais yra atmetami neesminiai faktoriai, kurie maºai itakoja nagrinejamos sistemos b usen Apibendrinant esminius faktorius, veikian ius sistem, formuluojama viena arba kelios hipotezes (fundamental us gamtos desniai) Ju pagalba parodoma, kad apra²antys nagrinejam proces dydºiai turi tenkinti vien ar kelias lygtis ios lygtys daºniausiai yra diferencialines (ty sieja nepriklausomus kintamuosius, ie²kom j funkcij ir jos i²vestines) Surad ²iu lyg iu sprendinius, i²skiriame i² ju tuos, kurie tenkina tam tikras papildomas s lygas Paprastai ²itos s lygos yra apibreºiamos srities, kurioje ie²komas sprendinys, kra²tiniuose ta²kuose Todel jos yra vadinamos kra²tinemis s lygomis, o nagrinejami uºdaviniai kra²tinais uºdaviniais Tuo atveju, kai kuris nors vienas i² kintamuju, pavyzdºiui, laikas, yra i²skiriamas i² kitu ir ²i kintam ji atitinkan ios papildomos s lygos apibreºia ie²komos funkcijos bei jos i²vestiniu reik²mes pradiniu laiko momentu, ji atitinkan ios s lygos yra vadinamos pradinemis arba Ko²i s lygomis Uºdavinys tik su pradinemis s lygomis yra vadinamas pradiniu arba Ko²i uºdaviniu Jeigu uºdavinyje, be pradiniu s lygu, yra ir kitos kra²tines s lygos, tai toks uºdavinys vadinamas mi²riuoju uºdaviniu Jeigu diferencialineje lygtyje yra tik vienas nepriklausomas kintamasis, tai toki lygti vadiname paprast ja diferencialine lygtimi Prie²ingu atveju diferencialine lygtis vadinama daliniu i²vestiniu lygtimi Lygtis vadinama k-osios eiles lygtimi, jeigu i j ieina ie²komos funkcijos k-osios eiles i²vestine ir neieina auk²tesniu eiliu i²vestines Pavyzdºiui lygtis y = y 2, ie²komos funkcijos y = y(x), x (a, b) R atºvilgiu, yra pirmoios eiles paprastoji diferencialine lygtis Lygtis y + 3y + y = 0, ie²komos funkcijos y = y(x), x (a, b) R atºvilgiu, yra antrosios eiles paprastoji diferencialine lygtis, o lygtis xux + yu y + zu z = 0,

5 11 PAGRINDIN ES S VOKOS 5 ie²komos funkcijos u = u(x, y, z), (x, y, z) G R 3 atºvilgiu, yra pirmosios eiles daliniu i²vestiniu lygtis Bendruoju atveju k-osios eiles paprast j diferencialin lygti galima uºra²yti taip: F ( x, y, y,, y (k)) = 0; (11) ia F ºinoma funcija, apibreºta kokioje nors srityje D R k+2, y = y(x) ie²koma funkcija Tokia lygtis dar gali priklausyti nuo papildomu kintamuju λ, µ, iuo atveju sakoma, kad ie²komoji funkcija y priklauso nuo kintamuju λ, µ, kaip nuo parametru Kartais (11) lygti galima i²spr sti auk² iausios i²vestines atºvilgiu ir uºra²yti pavidalu y (k) = f ( x, y, y,, y (k 1)) (12) Tada tokia lygtis vadinama normali ja lygtimi Tarkime, f yra tolydi funkcija, apibreºta kokioje nors srityje G R k+1 A p i b r e º i m a s Sakysime, funkcija ϕ : a, b R 1, apibreºta kokiame nors intervale a, b, yra (12) lygties sprendinys, jeigu: 1 ϕ yra k kartu diferencijuojama intervale a, b 2 Ta²kas ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (k 1) (x) ) G, x a, b 3 ϕ (k) (x) = f ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (k 1) (x) ), x a, b Sprendinio apibreºimas bendresnei (11) lyg iai yra analogi²kas P a s t a b a I² funkcijos f tolydumo bei sprendinio ϕ apibreºimo i²plaukia, kad i²vestine ϕ (k) yra tolydi intervale a, b funkcija Be to, sprendinio apibre- ºimo sritis yra jungioji aibe, ty intervalas a, b Tegu (11) lygtyje funkcija F yra tiesine ie²komos funkcijos ir visu jos i²vestiniu atºvilgiu Tada tokia lygtis vadinama tiesine k-osios eiles lygtimi J galima uºra²yti taip: y (k) + a 1 (x)y (k 1) + a 2 (x)y (k 2) + + a k 1 (x)y + a k (x)y = f(x) (13) Nagrinejant tiesin k-osios eiles lygti patogu lygiagre iai nagrineti tiesin homogenin k-osios eiles lygti y (k) + a 1 (x)y (k 1) + a 2 (x)y (k 2) + + a k 1 (x)y + a k (x)y = 0 (14) Kai (13) arba (14) lygtyje koecientai a i, i = 1, 2,, n yra pastov us, tai tokios lygtys yra vadinamos tiesinemis k-osios eiles lygtimis su pastoviais koecientais Tarkime, (11), (12), (13) ir (14) lygtyse k = 1 Tada pastarosios lygtys yra pirmosios eiles paprastosios diferencialines lygtys ir jas galima uºra²yti taip: F (x, y, y ) = 0, y = f(x, y), y + p(x)y = f(x), y + p(x)y = 0

6 6 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Paprastuju diferencialiniu lyg iu teorijoje nagrinejama ne tik viena lygtis, bet ir lyg iu sistemos Pavyzdºiui, pirmosios eiles n lyg iu sistem, i²reik²t i²vestiniu atºvilgiu, galima uºra²yti taip: y 1 = f 1 (x, y 1,, y n ), y n = f n (x, y 1,, y n ) (15) Tokia sistema vadinama normaline Atkreipsime demesi i tai, kad tokioje sistemoje ie²komu funkciju y 1,, y n skai ius lygus lyg iu skai iui n Paºymej y = colon(y 1,, y n ), f = colon(f 1,, f n ) pastar j sistem galima uºra²yti vektorineje formoje y = f(x, y) (16) P a s t a b a Daugeliu atveju ivairias auk²tesnes eiles sistemas ir lygtis galima suvesti i pirmos eiles normali j lyg iu sistem Pavyzdºiui, antros eiles n lyg iu sistem y = f(x, y, y ), y = colon(y 1,, y n ) keitiniu y = w, w = colon(w 1,, w n ) galima suvesti i pirmos eiles normali j 2n lyg iu sistem { w = f(x, y, w), y = w Tre ios eiles lygti y = f(x, y, y, y ) keitiniu y = u, u = v galima suvesti i pirmos eiles normali j 3 lyg iu sistem v = f(x, y, u, v), y = u, u = v Jeigu (15) sistemoje funkcijos f 1,, f n yra tiesines kintamuju y 1,, y n at- ºvilgiu, tai tokia sistema vadinama pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistema Bendruoju atveju pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg iu sistem galima uºra²yti taip: y 1 + a 11 (x)y a 1n (x)y n = f 1 (x), y n + a n1 (x)y a nn (x)y n = f n (x) arba matriciniu pavidalu y + A(x)y = f(x);

7 11 PAGRINDIN ES S VOKOS 7 ia y = colon(y 1,, y n ), f = colon(f 1,, f n ) vektoriai stulpeliai, o A = {a ij } n n eiles matrica Tarkime, f yra tolydi funkcija, apibreºta kokioje nors srityje G R n+1 A p i b r e º i m a s Sakysime, funkcija ϕ : a, b R n yra (16) sistemos sprendinys, jeigu: 1 Ji yra diferencijuojama intervale a, b 2 Ta²kas (x, ϕ(x)) G, x a, b 3 Teisinga tapatybe ϕ (x) = f(x, ϕ(x)), x a, b Tegu Ω R n apreºta sritis, u = u(x) ie²koma funkcija, apibreºta srityje Ω, u x1,, u xn funkcijos u pirmos eiles dalines i²vestines, u xix j, i, j = 1, 2, n funkcijos u antros eiles dalines i²vestines Lygtis, kuri sieja nepriklausomus kintamuosius x, ie²kom j funkcij u ir jos pirmos bei nors vien antros eiles dalines i²vestines vadinama antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtimi Bedruoju atveju antosios eiles daliniu i²vestiniu lygti galima uºra²yti taip: F (x, u, u x1,, u xn, u x1x 1,, u xix j,, u xnx n ) = 0; (17) ia F - ºinoma savo argumentu funkcija, tenkinanti s lyg n 2 ( F (x, t, p, q) ) 2 0, x Ω, t R, p R n, q R n 2 \ 0 q i i=1 Jeigu funkcija F yra tiesine ie²komos funkcijos u ir visu jos daliniu i²vestiniu atºvilgiu, tai (17) lygtis vadinama tiesine lygtimi Tiksliau, lygtis n a ij (x)u xix j + i,j=1 n a i (x)u xi + a(x)u = f(x), (18) i=1 kurioje bent vienas i² koecientu a ij 0, vadinama tiesine antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtimi Jeigu koecientai a ij, a i ir a nepriklauso nuo kintamojo x, tai (18) lygtis vadinama tiesine antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtimi su pastoviais koecientais Tarkime, (18) lygtyje funkcijos u antros eiles i²vestines yra tolydºios Tada j galima suvesti i lygti, kurios koecientai prie antros eiles i²vestiniu tenkina s lyg a ij (x) = a ji (x), i, j = 1,, n Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad (18) lygtyje koecientus a ij galima pakeisti koecientais ã ij (x) = 1 2 (a ij(x) + a ji (x)) Todel toliau nagrinedami tiesines antros eiles lygtis, matric, sudaryt i² koecientu prie antros eiles i²vestiniu, laikysime simetrine Jeigu (18) lygtyje funkcija f 0, tai tokia lygtis vadinama homogenine lygtimi

8 8 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI P a s t a b a Nagrinejant antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtis kartais patogu i²skirti koki nors nepriklausom kintam ji (pavyzdºiui, laik arba temperat ur ) Toki kintam ji ºymesime raide t, o ie²komos funkcijos u = u(x, t) i²vestines kintamojo t atºvilgiu u t ir u tt Daugelis zikos ir mechanikos uºdaviniu apra²omi daliniu i²vestiniu lygtimis Daºnai tai tiesines antros eiles daliniu i²vestiniu lygtys Papras iausios i² ju yra Puasono (Laplaso) u = f(x), ( u = 0), ²ilumos laidumo ir bangavimo lygtys ƒia u t a 2 u = f(x, t) u tt a 2 u = f(x, t) u = n i=1 u xix i yra n-matis Laplaso operatorius Norint i²skirti konkretu diferencialines lygties sprendini reikalaujame, kad jis tenkintu tam tikras papildomas s lygas Pavyzdºiui, uºdavinys, kai reikia rasti funkcij y, kuri tenkintu lygti ir papildom s lyg y + p(x)y = q(x), x (0, 1) y x=0 = y 0 yra pradinis arba Ko²i uºdavinys Uºdavinys, kai reikia rasti funkcij y, kuri tenkintu lygti y + p(x)y = q(x), x (0, 1) ir papildomas s lygas y x=0 = y 0, y x=1 = y 1 yra kra²tinis uºdavinys Keliu nepriklausomu kintamuju atveju uºdavinys, kai reikia rasti funkcij u, kuri srityje Ω R 2 tenkintu lygti u xx + u yy = 0, o kont uro l = Ω ta²kuose kra²tin s lyg u l = ϕ(x, y), yra kra²tinis uºdavinys Uºdavinys, kai ie²koma fuunkcija u, kuri pusplok²tumeje {(t, x) : t > 0} tenkintu lygti u tt a 2 u xx = 0, a = const

9 11 PAGRINDIN ES S VOKOS 9 o tieseje t = 0 pradines s lygas u t=0 = ϕ(x), u t t=0 = ψ(x), x R 1 yra pradinis (Ko²i) uºdavinys Uºdavinys, kai ie²koma funkcija u, kuri juostoje {(t, x) : t > 0, x (0, l)} tenkintu lygti u t a 2 u xx = 0, a = const, intervalo (0, l) kra²tiniuose ta²kuose s lygas o segmente x [0, l] pradin s lyg u x=0 = 0, u x=l = 0, u t=0 = ϕ(x) yra mi²rusis uºdavinys Norint isitikinti ar sukonstruotas matematinis modelis yra geras reikia rastus sprendinius palyginti su eksperimentu rezultatais Jeigu skirtumas yra didelis, tai matematinis modelis yra blogas ir ji reikia arba atmesti, arba modikuoti

10 10 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS Vienas i² daºniausiai naudojamu matematiniu modeliu konstravimo metodu yra fundamentaliu gamtos desniu taikymas konkre iu atveju Pateiksime kelis pavyzdºius 1 E n e r g i j o s t v e r m e s d e s n i s Rasime kulkos, i²²autos i² revolverio, greiti Tuo atveju, kai eksperimentatorius neturi ²iuolaikines laboratorijos, galima pasinaudoti s lyginai paprastu prietaisu ²vytuokle Tegu k unas, mases M, yra pakabintas ant standaus lengvo strypo, kuris gali laisvai suktis (ºr 11 pav) ir pradiniu laiko momentu nejuda α m v M 11 pav Kulka mases m, istrigusi k une, perduoda jam savo kinetin energij Pagal energijos tvermes desni mv 2 = 2 (M + m) V 2 (α) + (M + m)gl(1 cos α); 2 ia v kulkos greitis, V (α) sistemos "k unas+kulka" greitis, g laisvojo kritimo pagreitis, l strypo ilgis, α strypo nuokrypio kampas Tegu α yra maksimalus strypo nuokrypio kampas nuo pradines padeties Tada greitis V (α ) = 0 ir ²iuo momentu sistemos "k uno + kulkos" kinetine energija pereina i potencin Taigi mv 2 2 I² ia randame kulkos greiti = (M + m)gl(1 cos α ) (19) 2(M + m)gl(1 cos α ) v = m i formule yra pakankamai tiksli, jeigu energijos nuostolis del ²ilumos i²siskyrimo bei energijos nuostolis del oro pasiprie²inimo yra maºas Prie²ingu atveju (19) formules taikyti negalima Energijos tvermes desnis teigia, kad nekinta pilna sistemos energija, o ne mechanine energija 2 M a s e s t v e r m e s d e s n i s Nagrinesime radioaktyvios medºiagos skilimo proces Tarkime "maºas" radioaktyvios medºiagos (pavyzdºiui, urano) kiekis yra patalpintas "dideliame" kiekyje kitos medºiagos (pavyzdºiui, ²vino) Sakydami ºodi "maºas", turime omenyje tai, kad visi skilimo produktai, nesusidurdami su kitais atomais, laisvai palieka uºimam sriti, o sakydami ºodi

11 12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 11 "didelis" turime omenyje tai, kad visi skilimo produktai absorbuojasi radioaktyvi medºiag supan ioje srityje Tegu m(t) ir M(t) yra atitinkamai radioaktyvios, ir j supan ios medºiagos mase laiko momentu t Tada pagal mases tvermes desni m(0) + M(0) = m(t) + M(t) Radioaktyvios medºiagos skilimo greiti charakterizuoja suskilusiu atomu skai- ius per laiko vienet Eksperimentai rodo, kad ²is skai ius yra tiesiog proporcingas bendram radioaktyvios medºiagos atomu skai iui tuo laiko momentu Kadangi radioaktyvios medºiagos mase yra tiesiog proporcinga jos atomu skai- iui, tai radioaktyvios medºiagos mases kitimo greitis yra tiesiog proporcingas jos masei tuo laiko momentu, ty m (t) = km(t), k > 0 Proporcingumo koecientas k kiekvienai konkre iai radioaktyviai medºiagai nustatomas eksperimento pagalba I² pastarosios formules matome, kad radioaktyvios medºiagos mase tenkina pirmos eiles tiesin homogenin lygti Tiesiogiai galima patikrinti, kad funkcija m(t) = m(0)e kt yra ²ios lygties sprendinys Be to, kai t +, radioaktyvios medºiagos mase nyksta eksponenti²kai ir arteja prie nulio Kadangi bendra medºiagos mase nekinta, tai M(t) = M(0) + m(0) ( 1 e kt) Be to, kai t +, M(t) M(0) + m(0) ir visa radioaktyvioji medºiaga pereina i j supan i medºiag 3 I m p u l s o t v e r m e s d e s n i s is desnis teigia, kad pilnas sistemos impulsas nekinta, jeigu sistemos neveikia i²orines jegos Gyvenime su ²iuo principu susiduriama gana daºnai Pavyzdºiui, jeigu stovin ioje valtyje ºmogus ºengia ºingsni i kuri nors pus, tai valtis pasislenka i prie²ing pus io principo pagrindu veikia ivair us technikos prietaisai I²nagrinesime tiesiaeigio raketos judejimo matematini modeli, kai jos neveikia oro pasiprie²inimo bei gravitacijos jegos Tegu u yra i²metamo sudegusio raketos kuro greitis (²iuolaikiniam kurui ²is greitis kinta nuo 3 iki 5 km/s) raketos korpuso atºvilgiu, o v(t) raketos greitis laiko momentu t šemes atºvilgiu Laikotarpiu t dalis kuro sudega ir raketos mase m(t) sumaºeja dydºiu m = m(t + t) m(t) Kadangi pilnas sistemos impulsas nekinta, tai m(t)v(t) = m(t + t)v(t + t) v 1 (t + t) m; ia v 1 (t + t) degimo produktu i²metimo greitis šemes atºvilgiu, o m < 0 Pastar j lygyb patogu perra²yti taip: m(t + t)v(t + t) m(t)v(t) t = m(t + t) m(t) v 1 (t + t) t

12 12 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Artindami ia t 0, gausime diferencialin lygti ( m(t)v(t) ) = m (t)v 1 (t) m(t)v (t) = m (t) ( v 1 (t) v(t) ) Ta iau v 1 (t) v(t) = u, ty degimo produktu greitis atºvilgiu raketos korpuso Todel pastar j lygti galime perra²yti taip: m(t) dv(t) dt = u dm(t) dt dv(t) dt Integruodami abi pastarosios lygties puses randame = u d ln m(t) dt ( m(0) ) v(t) = v(0) + u ln (110) m(t) Jeigu v(0) = 0, tai maksimalus raketos greitis pasiekiamas, kai kuras pilnai sudega ir lygus ( m(0) ) v max = u ln ; m + m s ia m mase objekto, kuri reikia i²kelti i orbit (pavyzdºiui, palydovo mase), o m s strukt urine raketos konstrukcijos mase Imdami m = 0, m(0)/m s = 10, u = 3km/s gauname, kad maksimalus raketos greitis v max = u ln 10 69km/s < 7km/s I² ²ios formules matome, kad netgi idealiu atveju, kai gravitacijos jegos lygios nuliui, nera oro pasiprie²inimo bei raketos naudinga mase (pavyzdºiui, palydovo) lygi nuliui, maksimalus raketos greitis yra maºesnis uº pirm ji kosmini greiti v 791km/s Del ²ios prieºasties kosmonautikoje buvo pradetos naudoti daugiapakopes raketos Konkretumo delei nagrinekime raket su trimis pakopomis Jos pradine mase m(0) := m 0 = m + m 1 + m 2 + m 3 ; ia m k, k = 1, 2, 3 yra k-osios pakopos bendra mase Be to, tegu m k, k = 1, 2, 3 yra k-osios pakopos kuro mase ir skai ius λ = (m k m k )/m k bei i²metamo sudegusio kuro greitis u yra vienodas visoms trims pakopoms Tarkime, momentu t 1 yra sudegintas visas pirmosios pakopos kuras Tada raketos mase lygi m(t 1 ) = m + (m 1 m 1) + m 2 + m 3 Remiantis (110) formule laiko momentu t 1 raketa pasiekia greiti ( m0 ) v 1 = u ln m(t 1 ) iuo momentu strukt urine pirmosios pakopos mase m 1 m 1 atmetama ir isijungia antroji pakopa Raketos mase ²iuo momentu lygi m + m 2 + m 3 Tarkime,

13 12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 13 laiko momentu t 2 yra sudeginamas visas antrosios pakopos kuras Remiantis (110) formule raketos greitis momentu t 2 lygus ( m + m 2 + m ) 3 v 2 = v 1 + u ln m + (m 2 m 2 ) + m 3 Analogi²kai samprotaudami gauname, kad sudegus tre iosios pakopos kurui raketa pasiekia greiti ( m + m ) 3 v 3 = v 2 + u ln m + (m 3 m 3 ) Paºymekime Tada α 1 = m 0 m + m 2 + m 3, α 2 = m + m 2 + m 3 m + m 3, α 3 = m + m 3 m ( α 1 v 3 = u ln 1 + λ(α 1 1) )( α λ(α 2 1) )( α ) λ(α 3 1) Rei²kinys de²ineje gautos lygybes puseje yra simetrinis dydºiu α 1, α 2, α 3 atºvilgiu Galima irodyti, kad didºiausi reik²m jis igyja, kai α 1 = α 2 = α 3 = α iuo atveju Be to, sandauga ( α ) v 3 = 3u ln 1 + λ(α 1) α = α 1 α 2 α 3 = m 0 = α 3 m0, α = m 3 m 1 λ e v3/3u λ P a s t a b a Pastar sias formules galima apibendrinti bet kokiam baigtiniam raketos pakopu skai iui Tiksliau galima irodyti, kad k pakopu raketa gali pasiekti greiti ( α ) 1 λ v k = ku ln α = 1 + λ(α 1) e v k/ku λ, o santykis m(0) m = α 1 α 2 α k = α k Tegu λ = 01 Pareikalav, kad dvieju pakopu raketa pasiektu greiti v 2 = 105km/s gausime, kad m(0)/m = 149 Taigi norint dvieju pakopu raketai pakelti i orbit vienos tonos krovini reikia apytiksliai 149 tonu kuro 1 Triju pakopu raketa pasieks greiti v 3 = 105km/s, kai m(0)/m = 77 Taigi triju pakopu raketai i²kelti i orbit vien ton krovinio reikia beveik du kartus maºiau kuro negu dvieju pakopu raketai Galima parodyti, kad keturiu pakopu raketos atveju, lyginant su triju pakopu raketos atveju, kuro sanaudos sumaºeja neºymiai 1 Laikome, kad didºi j dali raketos mases sudaro k uro mase

14 14 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 A r c h i m e d o d e s n i s Tarkime, povandeninis laivas plaukia pastoviu grei iu v gylyje h Laiko momentu t = 0 gautas isakymas i²kilti i pavir²iu Reikia rasti povandeninio laivo i²kilimo i vandenino pavir²iu trajektorij Pagal Archimedo desni laivo keliamoji jega (laivo i²stumto vandens svoris) F = ρv g; ia ρ vidutinis laivo tankis, V laivo t uris, g laisvojo kritimo pagreitis Tarkime, laikas, per kuri i² laivo talpu yra i²stumiamas vanduo yra maºas lyginant su laivo i²kilimo i pavir²iu laiku I²stumus i² laivo talpu vandeni jo svoris P 0 = ρ 0 V g; ia ρ 0 vidutinis laivo tankis be vandens Iveskime ortogonali koordina iu sistem Oxy taip, kaip pavaizduota 12 paveikslelyje ir tarkime, povandeninio laivo i²kilimo i vandenyno pavir²iu trajektorij galima apibreºti lygtimi y = y(x), x [0, l] y h F 0 P l x 12 pav Veikianti laiv vertikali sumine jega F P suteikia laivui pagreiti a Pagal antr ji Niutono desni (nepaisome vandens pasiprie²inimo jegos) ρ 0 V a = F P ρ 0 V d2 y dt 2 = gv (ρ ρ 0) Be to, x a²ies kryptimi laivas plaukia pastoviu grei iu Suintegrav ²ias lygtis randame v = dx dt y(t) = g ρ ρ 0 2ρ 0 t 2, x(t) = vt Eliminav i² ²iu lyg iu parametr t gauname, kad laivo i vandenyno pavir²iu i²kilimo trajektorija yra parabole y = g ρ ρ 0 2ρ 0 v 2 x2

15 12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 15 Laikas T, per kuri laivas pasiekia vandenyno pavir²iu, randamas i² lygties g ρ ρ 0 2ρ 0 T 2 = h, o atstumas, kuri jis nuplaukia x a²ies kryptimi, lygus ( 2ρ0 h ) 1/2 l = vt = v g(ρ ρ 0 ) A n t r a s i s N i u t o n o d e s n i s Nagrinesime rutuliuk mases m, kuris yra pritvirtintas prie spyruokles (ºr 13 pav) 0 x 13 pav I²ved rutuliuk i² pusiausvyros padeties, kuri yra ta²ke x = 0, suteikiame jam pradini nuokrypi x 0 ir pradini greiti v 0 Tegu x = x(t) yra rutuliuko nuokrypis nuo pusiausvyros padeties laiko momentu t Tada laiko momentu t = 0 yra ºinomas rutuliuko pradinis nuokrypis x(0) = x 0 ir pradinis greitis x (0) = v 0 Be to, tegu a = a(t) yra rutuliuko pagreitis laiko momentu t Nagrinedami ²i proces laikysime, kad tiese, kuria svyruoja rutuliukas, yra ideali (ty rutuliuko svyravimas vyksta be trinties), oro pasiprie²inimo jega lygi nuliui ir sunkio jega yra statmena judejimo kryp iai Tada vienintele jega, veikianti rutuliuk, yra spyruokles stangrumo jega F Pagal antr ji Niutono desni F = ma = m d2 x dt 2 Ta iau spyruokl veikianti jega (Huko desnis) yra proporcinga spyruokles ilgio poky iui, ty F = kx Taigi funkcija x, apibreºianti spyruokles svyravim, turi tenkinti antros eiles diferencialin lygti m d2 x = kx, dt2 t > 0 (111) Lengvai galima isitikinti, kad funkcija x = c 1 sin ωt + c 2 cos ωt, k ω = m yra ²ios lygties sprendinys Laisvas konstantas c 1 ir c 2 randame i² s lygu x(0) = x 0, x (0) = v 0

16 16 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI P a s t a b a Matematinis modelis i²vestas remiantis vienais gamtos desniais neturi prie²tarauti kitiems gamtos desniams Be to, vien ir t pati modeli galima sudaryti remiantis skirtingais gamtos desniais Pavyzdºiui, ka tik i²vest rutuliuko svyravimo matematini modeli galima apibreºti naudojant ne antr ji Niutono desni, o energijos tvermes desni I² tikruju, kadangi spyruokle yra pritvirtinta prie rutuliuko ir sieneles, be to rutuliuko svyravimas vyksta be trinties, oro pasiprie²inimo jega lygi nuliui ir sunkio jega yra statmena judejimo kryp iai, tai sistemos "spyruokle-rutuliukas" mechanine energija yra pastovi, ty E = T + P = const; ia kinetine energija o potencine energija Taigi sumine energija Jos i²vestine P = T = mv2 2 x 0 F ds = = 1 ( dx ) 2 2 m dt x 0 ks ds = 1 2 kx2 E = T + P = 1 ( dx ) 2 2 m 1 + dt 2 kx2 = const d dt E = mdx d 2 x dt dt 2 + kxdx dt = dx ( m d2 x ) dt dt 2 + kx = 0 I² ²ios formules matome, kad funkcija x turi tenkinti t pa i lygti m d2 x + kx = 0, t > 0 dt2 Jeigu spyruokl veikia i²orine jega ˆF, kuri priklauso nuo laiko, rutuliuko padeties ir grei io ty ˆF = ˆF (t, x, x ), tai vietoje (111) lygties gauname lygti Tuo atveju, kai jega ˆF yra pastovi, ty keitini x = x ˆF 0 /k gausime lygti m d2 x dt 2 = kx + ˆF (t, x, x ), t > 0 (112) m d2 x + k x = 0, t > 0 dt2 ˆF (t, x, x ) = ˆF 0 = const, tai padar iuo atveju matome, kad pastovi jega rutuliuko svyravimo i² esmes nekei ia Tik jos koordinate pasislenka dydºiu ˆF 0 /k Sudetingesnis atvejis gaunamas, kai

17 12 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 17 spyruokl veikianti jega ˆF priklauso nuo laiko t Pavyzdºiui, tegu ˆF (t, x, x ) = ˆF 0 sin ωt Tada pastarosios lygties sprendinys x = c 1 sin ωt + c 2 cos ωt + ˆF 0 m(ω 2 ω 2 sin ωt, ) kai ω ω I² ²ios formules matome, kad sprendinyje ne tik atsiranda papildomas narys su amplitude ω, bet ir rezonansas, ty sprendinio svyravimo amplitude neapreºtai auga, kai ω ω Dar sudetingesni modeli gausime, jeigu rutuliuk veikia trinties jega, atsirandanti del aplinkos, kurioje juda rutuliukas, pasiprie²inimo iuo atveju jega ˆF priklauso nuo rutuliuko judejimo grei io i priklausomybe apibreºiama formule ˆF (t, x, x ) = µx ƒia koecientas µ > 0 priklauso nuo rutuliuko skerspi uvio statmeno grei iui ploto, aplinkos tankio bei jos klampumo Rutuliuko svyravimas tokioje aplinkoje apibreºiamas lygtimi m d2 x dt 2 = kx µdx dt, t > 0 Padar keitini x(t) = x(t)e αt, α = µ/2m gausime lygti m d2 x dt 2 = k 1 x, k 1 = k µ2 4m i lygtis i² esmes skiriasi nuo (111) lygties tuo, kad koeciento k 1 prie ie²komos funkcijos ºenklas priklauso nuo parametru k, µ ir m reik²miu Jeigu aplinkos klampumas nera didelis, ty kai k 1 = k µ 2 /(4m) > 0, rutuliuko svyravim galima (ºr 32 skyreli) apibreºti formule x(t) = x(t)e αt = (c 1 sin ωt + c 2 cos ωt)e tµ/2m, ω = k1 m iuo atveju svyravimo daºnis yra ω ir didejant laikui svyravimai g sta Jeigu k 1 = 0, tai rutuliuko judejim galima apibreºti formule x(t) = (c 1 t + c 2 )e tµ/2m iuo atveju del didelies trinties svyravimu nera Tegu k 1 < 0 iuo atveju trinties jegos yra tiek dideles, kad rutuliukas tiesiog istringa ji supan ioje aplinkoje Galima irodyti, kad rutuliukas nepereina per ta²k x = 0 ir tik arteja prie jo, kai t +

18 18 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI Vienas i² pirmuju variacinio skai iavimo uºdaviniu yra 1696 m J Bernulio suformuluotas uºdavinys apie brachistochron : 1 u º d a v i n y s Vertikalioje plok²tumoje Oxy yra du ta²kai, nesantys vienoje vertikalioje tieseje Tegu x 1, y 1 ir x 2, y 2 yra ²iu ta²ku koordinates I² ta²ko (x 1, y 1 ) i ta²k (x 2, y 2 ) kreive l be trinties juda materialus ta²kas Pradiniu laiko momentu jo greitis v lygus nuliui Aibeje tokiu kreiviu reikia rasti t, kuria judedamas materialus ta²kas pasiektu ta²k (x 2, y 2 ) per trumpiausi laik Ie²komoji kreive l yra vadinama brachistochrone Tarkime, koordina iu a²ys x, y parinktos taip, kaip nurodyta 14 paveikslelyje, o kreive l apibreºta lygtimi y 1 y 2 l y x 1 x 2 14 pav x Tada Pagal energijos tvermes desni y = y(x), x [x 1, x 2 ] (113) y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2 (114) mv 2 = mg(y y 1 ); 2 ia: m judan io ta²ko mase, g laisvojo kritimo pagreitis Kadangi v = dl dt = 1 + y 2 dx dt, tai dt = 1 + y 2 2g(y y1 ) dx Suintegrav ²i lygyb nuo x 1 iki x 2, gausime T I (y) = x 2 x y 2 dx; (115) 2g(y y1 ) ia T laikas, kuri sugai²ta materialus ta²kas, judedamas kreive l i² ta²ko (x 1, y 1 ) i ta²k (x 2, y 2 ) Taigi nagrinejamas uºdavinys susiveda i toki variacini

19 13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 19 uºdavini Tegu y : (a, b) R 1 yra diferencijuojama argumento x funkcija, tenkinanti (114) s lyg Aibeje tokiu funkciju reikia rasti t, kuriai (115) integralas igyja maºiausi reik²m 2 u º d a v i n y s Tegu v = v(x, y, z) yra ²viesos sklidimo nehomogenineje medºiagoje greitis Rasti ²viesos sklidimo trajektorij l, jungian i ta²kus (x 1, y 1, z 1 ) ir (x 2, y 2, z 2 ) Tarkime, ²viesos sklidimo trajektorija yra apibreºiama lygtimis: y = y(x), z = z(x), x [x 1, x 2 ] (116) Tada y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2, z(x 1 ) = z 1, z(x 2 ) = z 2 (117) Kadangi v = dl dt = 1 + y 2 + z 2 dx dt, tai ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko (x 1, y 1, z 1 ), pasieks ta²k (x 2, y 2, z 2 ) per laik T I (y, z) = x 2 x y 2 + z 2 dx (118) v(x, y, z) Pagal Ferma desni ²viesa sklinda ta trajektorija, kuria judant laikas T yra minimalus Todel nagrinejamas uºdavinys susiveda i toki variacini uºdavini Tegu y, z : (x 1, x 2 ) R 1 yra diferencijuojamos argumento x funkcijos, tenkinan ios (117) s lygas Tokiu funkciju aibeje reikia rasti tas, kurioms (118) integralas igyja maºiausi reik²m 3 u º d a v i n y s Tegu l yra uºdaras kont uras erdveje R 3, o S pavir²ius, uºtemptas ant kont uro l Tokiu pavir²iu aibeje reikia rasti t, kurio plotas yra maºiausias Tarkime, ortogonalioje koordina iu sistemoje Oxyz pavir²ius S apibreºiamas lygtimi z = u(x, y), x, y Ω, Ω kont uro l projekcija i plok²tum Oxy (ºr 15 pav) z l x Ω S Ω y 15 pav

20 20 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Tada pavir²iaus S plotas S I(z) = Ω 1 + u 2 x + u 2 y dxdy (119) Jeigu ta²kas (x, y) Ω, tai ta²kas (x, y, u(x, y)) l Tai rei²kia, kad funkcija u(x, y) ta²kuose (x, y) Ω igyja ºinom reik²m i s lyg galima uºra²yti taip: u Ω = ϕ(x, y); (120) ia ϕ ºinoma funkcija Taigi gavome toki variacini uºdavini Tegu z = u(x, y) yra diferencijuojama srityje Ω funkcija, tenkinanti (120) s lyg Tokiu funkciju aibeje reikia rasti t, kuriai (119) integralas igyja maºiausi reik²m 4 u º d a v i n y s Plok²tumoje Oxy yra du ta²kai, sujungti atkarpa ir kreive l, kurios ilgis a Tokiu kreiviu aibeje reikia rasti t, kuri kartu su atkarpa apriboja didºiausio ploto g ur Tarkime, kad tie ta²kai yra x a²yje ir turi koordinates (x 1, 0), (x 2, 0), o kreiv l galima apibreºti lygtimi y = y(x), x [x 1, x 2 ] Tada y(x 1 ) = 0, y(x 2 ) = 0 (121) Fig uros, apribotos kreive l ir atkarpa [x 1, x 2 ], plotas lygus S = I(y) = x 2 x 1 y dx (122) Kreives l ilgis l = G(y) = x y 2 dx (123) x 1 Taigi gavome toki variacini uºdavini Tegu y : (x 1, x 2 ) R 1, yra diferencijuojama argumento x funkcija, tenkinanti (121) s lyg Tokiu funkciju aibeje reikia rasti t, kuriai (122) integralas igyja maºiausi reik²m, o (123) integralas igyja reik²m a Visuose ²iuose uºdaviniuose ie²kome funkcijos (arba keliu funkciju), kuri tenkina tam tikras papildomas s lygas ir suteikia nagrinejamam integralui ekstremali, ty minimali arba maksimali, reik²m Tiesa, 4 uºdavinyje ie²komoji funkcija kartu su (121) turi tenkinti dar ir (123) s lyg, kuri yra visai kitokio pob udºio Apibendrindami ²iuos uºdavinius sakysime, kad pagrindinis variacinio skai iavimo uºdavinys yra rasti toki funkcij, kuriai nagrinejamas funkcionalas igyja ekstremali reik²m is uºdavinys yra analogi²kas elementariems analizes uºdaviniams, kai yra ie²komi vienos arba keliu kintamuju funkcijos ekstremumo ta²kai Vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijos f atveju

21 13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 21 s lyga f (x) = 0 yra b utina lokalaus ekstremumo egzistavimo s lyga Nagrinejamu atveju taip pat yra i²vedama b utina ekstremumo egzistavimo s - lyga Daºniausiai tai yra paprastoji arba daliniu i²vestiniu lygtis J turi tenkinti ie²komoji funkcija, jeigu tik ji egzistuoja I²vedant b utin ekstremumo egzistavimo s lyg, naudojami keli teiginiai Jie yra vadinami pagrindinemis variacinio skai iavimo lemomis 11 lema Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir 1 b Tada f(x) 0, x [a, b] a f(x)η(x) dx = 0, η C 0 (a, b) Tarkime prie²ingai, kad lemos s lygos yra patenkintos, ta iau funkcija f(x) 0 Tada egzistuoja ta²kas x 0 [a, b] : f(x 0 ) 0 Tegu f(x 0 ) > 0 Kadangi funkcija f yra tolydi, tai egzistuoja ta²ko x 0 aplinka (x 0 ε, x 0 + ε) tokia, kad f(x) > 0, x (x 0 ε, x 0 + ε) Jeigu ta²kas x 0 yra segmento [a, b] kra²tinis ta²kas, pavyzdºiui, x 0 = b, tai reikia imti vienpus ²io ta²ko aplink Aibeje C 0 (a, b) imkime koki nors funkcij η, kuri yra teigiama x (x 0 ε, x 0 + ε) ir lygi nuliui, kai x [a, b] \ [x 0 ε, x 0 + ε] Tada 0 = b a f(x)η(x) dx = x+ε x ε f(x)η(x) dx > 0 Gauta prie²tara irodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga Taigi f(x) = 0, x [a, b] Atvejis, kai f(x 0 ) < 0, nagrinejamas analogi²kai Toks pats teiginys yra teisingas dvilypiu, trilypiu ir apskritai n-lypiu integralu atveju 12 lema Tegu Ω yra apreºta erdveje R n sritis, f C(Ω) ir Ω Tada f(x) 0, x Ω f(x)η(x) dx = 0, η C 0 (Ω) P a s t a b a ios lemos irodymas yra analogi²kas 11 lemos irodymui Be to, 12 lema i²lieka teisinga ir tuo atveju, jeigu joje sriti Ω pakeisime glodºiu n-ma iu pavir²iumi S 1 Tolydºiu funkciju intervale (a, b) aib ºymesime C(a, b) Aib funkciju, kurios intervale (a, b) turi tolydºias i²vestines iki k-tos eiles imtinai, ºymesime C k (a, b) Jeigu, be to jos intervale (a, b) yra ni ios, tai toki aib ºymesime C k 0 (a, b) Kai k = aibe C 0 (a, b) yra be galo diferencijuojamu ni iu intervale (a, b) funkciju aibe

22 22 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 13 lema Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir b a Tada funkcija f yra konstanta Tada Tegu Paºymekime f(x)η (x) dx = 0, η C 1 (a, b), η(a) = η(b) = 0 1 b f(x) dx = C b a a b a η(x) = (f(x) C) dx = 0 (124) x a (f(t) C) dt Akivaizdu, kad taip apibreºta funkcija η tenkina lemos s lygas, o jos i²vestine η (x) = f(x) C Todel b a (f(x) C)f(x) dx = 0 (125) Padaugin (124) lygyb i² C ir pridej prie (125), rezultat uºra²ysime taip: b a (f(x) C) 2 dx = 0 Ta iau ²i lygybe yra galima tik tuo atveju, kai f(x) = C, x [a, b] 14 lema Tegu f ir g yra tolydºios segmente [a, b] funkcijos ir b a (g(x)η(x) + f(x)η (x)) dx = 0, η C 1 (a, b), η(a) = η(b) = 0 (126) Tada f C 1 (a, b) ir f (x) = g(x), x [a, b] Tegu x w(x) = g(t) dt a

23 13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 23 Tada b a b w(x)η (x) dx = ir (126) tapatyb galime perra²yti taip: b a a g(x)η(x) dx (f(x) w(x))η (x) dx = 0, η C 1 (a, b), η(a) = η(b) = 0 Funkcija f w tenkina 13 lemos s lygas Todel ji yra konstanta, ty f(x) = x a g(t) dt + C Akivaizdu, kad taip apibreºta funkcija yra tolydi ir turi tolydºi i²vestin f = g Tegu Ω R 2, F C(Ω R); l glodi kreive, gulinti srityje Ω ir jungianti du ta²kus Tarkime, kreiv l galima apibreºti lygtimi y = y(x), x [a, b] ir y(a) = α, y(b) = β Tada x [a, b] ta²kas (x, y(x)) Ω Aib diferencijuojamu funkciju, tenkinan iu ²ias s lygas, paºymekime raide M Apibreºkime integral I(y) = b a F (x, y, y ) dx, y M (127) Tada pagrindinis variacinio skai iavimo uºdavinys formuluojamas taip: rasti funkcij y M toki, kad integralas I igytu ekstremali, ty minimali arba maksimali, reik²m ƒia yra kalbama apie absoliutuji ekstremum, ty ie²koma funkcija turi b uti tokia, kad I(y) I(ỹ), ỹ M arba I(y) I(ỹ), ỹ M Norint apibreºti lokalaus ekstremumo s vok, reikia apibreºti funkcijos (kreives) aplinkos s vok Tegu ε > 0 yra ksuotas skai ius ir y M Funkcijos y nulines eiles (arba stipri ja) ε aplinka vadinsime aib M 0 = {ỹ M : max ỹ(x) y(x) ε} x [a,b] Funkcijos y pirmosios eiles (arba silpn ja) ε aplinka vadinsime aib M 1 = {ỹ M : max ỹ(x) y(x) + max ỹ (x) y (x) ε} x [a,b] x [a,b]

24 24 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI A p i b r e º i m a s Sakysime, funkcija y M suteikia funkcionalui I stipruji (silpn ji) lokalu ekstremum, jeigu kokioje nors stipriojoje ε aplinkoje M 0 (silpnojoje ε aplinkoje M 1 ) arba I(y) I(ỹ), ỹ M 0 ( ỹ M 1 ) I(y) I(ỹ ), ỹ M 0 ( ỹ M 1 ) Jeigu kokia nors funkcija y suteikia funkcionalui I absoliutuji ekstremum, tai ji suteikia ir stipruji lokalu ekstremum, tuo labiau ir silpn ji lokalu ekstremum Todel, jeigu kokia nors s lyga yra b utina tam, kad funkcija y suteiktu funkcionalui I silpn ji lokalu ekstremum, tai ²i s lyga yra b utina ir tam, kad funkcija y suteiktu funkcionalui I stipruji lokalu ekstremum, tuo labiau ir absoliutuji ekstremum Taigi i²vedant b utin ekstremumo s lyg reikia i²nagrineti silpnojo lokalaus ekstremumo atveji Toliau vietoje nat uralios tolydumo s lygos reikalausime, kad funkcija F turetu tolydºias dalines i²vestines iki antrosios eiles imtinai pagal visus savo argumentus Atkreipsime demesi i tai, kad, irodant kai kuriuos teiginius, pakanka reikalauti tik pirmuju i²vestiniu tolydumo Tarkime, funkcija y M suteikia (127) funkcionalui silpn ji lokalu ekstremum, o funkcija η C 1 0(a, b) Funkcija y + εη priklauso kokiai nors silpnai funkcijos y aplinkai, jeigu skai iaus ε modulis yra pakankamai maºas Todel tokioms ε reik²mems yra teisinga viena i² nelygybiu I(y) I(y + εη) arba I(y) I(y + εη) Tegu Φ(ε) = I(y + εη) Pagal apibreºim Φ I(y + εη) I(y) (0) = lim = ε 0 ε b a [ ] F y (x, y, y )η(x) + F y (x, y, y )η (x) dx Ta²kas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremumo ta²kas Todel Φ (0) = 0 i s lyg galima perra²yti taip: b a [ ] F y (x, y, y )η(x) + F y (x, y, y )η (x) dx = 0, η C 1 0(a, b) (128) Taigi funkcija y turi tenkinti (128) integralin tapatyb Atvirk²tinis teiginys yra neteisingas Jeigu funkcija y M tenkina (128) integralin tapatyb, tai neb utinai ji suteikia integralui I silpn ji lokalu ekstremum iuo atveju sakysime, kad integralas I igyja stacionari j reik²m, o funkcija y yra stacionarusis integralo I ta²kas Panaudoj integravimo dalimis formul, perra²ysime (128) integralin tapatyb taip: b a [ F y (x, y, y ) x a ] F y (t, y(t), y (t)) dt η (x) dx = 0, η C 1 0(a, b)

25 13 VARIACINIO SKAIƒIAVIMO ELEMENTAI 25 Pagal 13 lem funkcija y turi tenkinti lygti F y (x, y, y ) x a F y (t, y(t), y (t)) dt = C (129) i lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi uºra²yta integraline forma Irodyt teigini galima suformuluoti taip: jeigu funkcija y M suteikia integralui I silpn ji lokalu ekstremum, tai egzistuoja konstanta C tokia, kad funkcija y yra (129) integrodiferencialines lygties sprendinys P a s t a b a I²vesdami (129) lygti, nesinaudojome tuo, kad funkcija F turi tolydºi i²vestin F x Galima irodyti (ºr [2]), kad funkcija y tenkina taip pat integralin lygti F (x, y, y ) y F y (x, y, y ) x a F x (t, y(t), y (t)) dt = C, x [a, b] (130) Griºkime dabar prie (128) integralines tapatybes Pagal 14 lem koecientas prie η turi tolydºi kintamojo x atºvilgiu i²vestin Todel (128) integralin tapatyb galima perra²yti taip: F y (x, y, y )η x=b x=a η C 1 0(a, b) Kadangi η(a) = η(b) = 0, tai b a + b a [ F y (x, y, y ) d ( Fy (x, y, y ) )] η(x) dx = 0, dx [ F y (x, y, y ) d ( Fy (x, y, y ) )] η(x) dx = 0, η C 1 dx 0(a, b) ioje integralineje tapatybeje rei²kinys, esantis lauºtiniuose skliaustuose, tenkina 11 lemos s lygas Todel funkcija y yra diferencialines lygties F y (x, y, y ) d ( Fy (x, y, y ) ) = 0 (131) dx sprendinys i lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi uºra²yta diferencialine forma Padaugin Oilerio lygti i² y, j perra²ome taip: d ( F (x, y, y ) y F y (x, y, y ) ) F x (x, y, y ) = 0 (132) dx Suformuluosime irodyt teigini Jeigu funkcija y M suteikia integralui I silpn ji lokalu ekstremum, tai ji turi tenkinti (131) ir (132) lygtis P a s t a b a Jeigu (127) integrale skaliarin funkcij y pakeisime i vektorin funkcij y =: (y 1, y 2,, y n ), tai vietoje vienos Oilerio lygties gausime n Oilerio lyg iu sistem Pavyzdºiui, vietoje (131) lygties gausime n lyg iu sistem F yi (x, y, y ) d ( Fy i dx (x, y, y ) ) = 0, i = 1, 2, n (133)

26 26 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS Kitas daºnai naudojamas matematiniu modeliu konstravimo metodas yra "variaciniu principu" taikymo metodas Vieno i² tokiu principu esme yra ta, kad tam tikras dydis, apra²antis nagrinejamos sistemos perejim i² vienos padeties i kit, perejimo metu igyj ekstremali reik²m Pavyzdºiui, pagal Ferma desni ²viesos spindulys, paleistas i² ta²ko A i ta²k B, juda ta trajektorija, kuriai ²viesos sklidimo laikas yra minimalus Remiantis ²iuo principu galima i²vesti visus pagrindinius geometrines optikos desnius I²nagrinesime papras iausi pavyzdi 1 v i e s o s l u º i m a s Tarkime, dvi skitingu savybiu homogenines terpes skiria tiese Paºymekime j raide x Tegu ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko A, kerta ties x kampu α ir β(α) yra kampas tarp x a²ies ir spindulio kitoje terpeje (ºr 16 pav) Be to, tegu pirmoje terpeje ²viesos sklidimo greitis lygus v a, o antroje v b Rasime β(α) A b B β(α) l b c 16 pav l a α a x Tada ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko A, pasieks ta²k B per laik t(α) = l a v a + l b v b = a v a sin α + is laikas bus trumpiausias, kai t (α) = 0, ty kai Kadangi tai b v b sin β(α) a cos α v a sin 2 α b cos β v b sin 2 β(α) β (α) = 0 a tg α + b tg β(α) = c, a sin 2 α b sin 2 β(α) β (α) = 0 Eliminav i² pastaruju dvieju lyg iu β (α), gausime ºinom ²viesos l uºimo formul cos α cos β(α) = v a v b

27 14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 27 Sudarant zikos ir mechanikos rei²kiniu matematinius modelius daºnai nauduojamas Hamiltono principas Jo esme yra tokia Tarkime, laiko momentu t 1 nagrinejamas k unas yra I padetyje, o laiko momentu t 2 II padetyje Ai²ku, kad perejimas i² I padeties i II galimas skirtingais keliais (ºr 17 pav) II t 2 t 1 I 17 pav Paºymesime raidemis T ir P k uno kinetin ir potencin energijas Tada Hamiltono principas tvirtina, kad realiame procese, veikiant potencinems jegoms k unas juda ta trajektorija, kurioje integralas I = t 2 t 1 (T P ) dt igyja stacionari reik²m Kartais stacionari reik²me yra maºiausia integralo reik²me Todel Hamiltono principas dar yra vadinamas maºiausio veiksmo principu I²nagrinesime kelis pavyzdºius 1 M a t e r i a l a u s t a ² k o t r a j e k t o r i j a I² pradºiu i²nagrinesime papras iausi atveji, kai materialus ta²kas mestas vertikaliai auk²tyn juda vakume veikiamas pastovios sunkio jegos Tegul yra ºinoma ta²ko koordinate ir greitis pradiniu laiko momentu Tarkime, ta²ko trajektorij galima apibreºti lygtimi y = y(t) Be to, tegu pradiniu laiko momentu t = 0 auk²tis y(0) = 0, o greitis v = c Ta²ko kinetine energija Ta²ko potencine energija T = mv2 2 = mẏ2 2, ẏ = dy dt P = mgy Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome integral I(y) = i integral atitinka Oilerio lygtis Jos sprendinys t 2 t 1 ( mẏ 2 2 ) mgy dt d (mẏ) + mg = 0 dt y = 1 2 gt2 + C 1 t + C 2

28 28 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Pagal prielaid y(0) = 0, ẏ(0) = c Todel C 2 = 0, o C 1 = c Vadinasi, vertikaliai auk²tyn mesto materialaus ta²ko judejimas yra apra²oma lygtimi y = 1 2 gt2 + ct Tarkime dabar, kad materialus ta²kas metamas i² koordina iu pradºios kampu α (ºr 18 pav) pradiniu grei iu c Rasime ²io ta²ko trajektorij y c α o 18 pav x Bendru atveju j galima apibreºti lygtimis y = y(t), x = x(t) Tada ta²ko kinetine energija o potencine energija T = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ), P = mgy ẋ = dx dt, ẏ = dy dt, Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome integral I(x, y) = t 2 t 1 ( m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) mgy) dt i integral atitinka Oilerio lygtys: Perra²ysime jas taip: iu lyg iu sprendiniai: d d (mẋ) = 0, dt ẍ = 0, (mẏ) + mg = 0 dt ÿ = g x = C 1 t + C 2, y = g 2 t2 + C 3 t + C 4 Pagal prielaid x(0) = 0, y(0) = 0 Todel C 2 = C 4 = 0 Be to, ẋ(0) = c cos α, ẏ(0) = c sin α, c = c

29 14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 29 Todel C 1 = c cos α, C 2 = c sin α Taigi nagrinejamojo ta²ko trajektorij galima apra²yti parametrinemis lygtimis: x = ct cos α, y = g 2 t2 + ct sin α, i² kuriu gauname y = gx2 2c 2 cos 2 + x tan α α 3 P l a n e t u j u d e j i m o d e s n i a i Tarkime M yra Saules mase, o m planetos mase Pagal visuotini traukos desni (ºr 19 pav) m r r 0 r 0 M 19 pav abi mases veikia viena kit jega Veikiant ²iai jegai, potencine energija P = r F = γ Mm r 2 r 0, r 0 = 1 1 Mm F d r = γmm dr = γ r2 r Paºymekime γm = k Tada P = km Tarkime planetos judejim galima r apibreºti parametrinemis lygtimis 1 x = x(t), y = y(t) Tada Planetos kinetine energija T = m 2 v2 = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) Nagrinejant ²i uºdavini, patogu ivesti polines koordinates: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ r Polinese koordinatese T = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) 1 Pagal antr ji Niutono desni m r = F Todel r m r = r F = 0 Pastar j lygyb galima perra²yti taip ( r m r ) = 0 Integruodami j randame r m r = c, c vektorine konstanta Padaugin skaliari²kai abi ²ios lygybes puses i² r turime c r = 0 Tai yra vektorine plok²tumos lygtis Todel galime tvirtinti, kad planetos skriejimo apie saul trajektorija yra plok² ia

30 30 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome integral I(r, ϕ) = t 2 [ m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) + km r ] dt t 1 i integral atitinka Oilerio lygtys: d km (mṙ) + dt r 2 mr ϕ2 = 0, Antrosios Oilerio lygties sprendinys d dt (mr2 ϕ) = 0 r 2 ϕ = C, C = const > 0 (134) Padaugin pirm j lygti i² ṙ, o antr j i² ϕ, perra²ysime jas taip: r r rṙ ϕ 2 + k r 2 ṙ = 0 Sudej ²ias lygtis gausime 2rṙ ϕ 2 + r 2 ϕ ϕ = 0 ṙ r + rṙ ϕ 2 + r 2 ϕ ϕ + k r 2 ṙ = 0 Pastebesime, kad kairioji pastarosios lygties puse yra pilnasis diferencialas Todel j galima perra²yti taip: d 1 dt[ 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) k ] = 0 1 r 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) k r = C 1 (135) Suintegrav (134)lygti nuo t 1 iki t 2, gausime t 2 t 2 1 r 2 1 ϕ dt = r 2 1 dϕ = C(t 2 t 1 ) t 1 t 1 Tai yra antrasis Keplerio desnis 1 Jis teigia, kad planetos skrieja aplink Saul taip, kad planetos spindulys vektorius per vienod laiko tarp apibreºi vienod plot I²rei²k i² (134) i²vestin ϕ ir istat i (135), gausime 1 ) (ṙ 2 + C2 2 r 2 k r = C dr 1 ± 2C 1 + 2k r r 2 = dt = C dϕ C2 r 2 1 iuolaikineje literat uroje Keplerio desniu numeracija skiriasi nuo originalios, suformuluotos Keplerio Keplerio formuluoteje tai yra pirmasis Keplerio desnis

31 14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 31 Integruodami ²i lygti randame { C 2 kr } arccos r = ϕ C k 2 + 2C 1 C 2 2 arba r = C 2 k + k 2 + 2C 1 C 2 cos(ϕ C 2 ) Tai yra elipses lygtis polinese koordinatese Kai C 2 = 0, gausime, kad elipses a²is yra tieseje ϕ = 0 Paºymekime p = C2 k, Tada elipses lygti galima uºra²yti taip: r = ε = C1C2 k 2 p 1 + ε cos ϕ Tai yra pirmasis Keplerio desnis 1 Jis teigia, kad planeta skrieja aplink Saul elipse, kurios viename i² ºidiniu yra Saule Elipses pusa²es a = p 1 ε 2 = k, C 1 < 0, b = C pa = 2C 1 2C1 Tegu T yra laikas, per kuri planeta apskrieja aplink Saul Tada elipses ribojamos g uros plotas πab = 1 2 CT I² ²iu formuliu lengvai galima i²vesti, kad T 2 = 4π 2 a 3 1 k Tai yra tre iasis Keplerio desnis Jis teigia, kad laiko kvadratas, per kuri planeta apskrieja aplink Saul, yra proporcingas didºiosios pusa²es kubui 4 R u t u l i u k o s v y r a v i m u l y g t i s Rutuliuko, pritvirtinto prie spyruokles, svyravimu matematini modeli dviem skirtingais metodais sudareme 12 skyrelyje Parodysime, kad taikant Hamiltono princip yra gaunama ta pati rutuliuko svyravim apra²anti lygtis Priminsime, kad mases m rutuliuko kinetine ir potencine energija lygi T = 1 2 mv2 = 1 2 m ( dx dt Remiantis Hamiltono principu sudarome integral I(x) = t 2 t 1 (T P ) dt = t 2 t 1 ) 2, P = 1 2 kx2 ( 1 2 m ( dx dt 1 Keplerio formuluoteje tai yra antrasis Keplerio desnis ) kx2) dt (136)

32 32 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI Ji atitinka Oilerio lygtis m d2 x + kx = 0 dt2 5 L e k t u v o t r a j e k t o r i j a Kokia uºdara plok² ia kreive l turi skristi lektuvas, kad per laik T apskrietu didºiausio ploto g ur, jeigu lektuvo greitis, kai nera vejo, lygus v 0, o vejo greitis a yra pastovus ir turi pastovi krypti Tarkime, vejo kryptis yra nukreipta x a²ies kryptimi ir lektuvo mases centro padeti laiko momentu t galima apibreºti lygtimis: x = x(t), y = y(t) Be to, tegu α = α(t) yra kampas tarp x a²ies ir lektuvo krypties Lektuvo grei io vektorius Antra vertus, ²is grei io vektorius Sulygin ²ias reik²mes gausime v(t) = (x (t), y (t)) v(t) = (v 0 cos α + a, v 0 sin α) x = v 0 cos α + a, y = v 0 sin α (137) Plotas g uros, kurios kont uru skrenda lektuvas, i²rei²kiamas integralu I(l) = 1 2 T 0 (xy yx ) dt Taigi reikia rasti kamp α ir kreiv l : x = x(t), y = y(t), kurie tenkintu (137) s lygas ir suteiktu funkcionalui I(l) didºiausi reik²m Tai yra s lyginio ekstremumo uºdavinys Funkciju trejetas α, x ir y yra ²io uºdavinio sprendinys, jeigu prie tam tikru Lagranºo daugikliu λ 1 = λ 1 (t), λ 2 = λ 2 (t) jos yra funkcionalo I (l) = T 0 [xy yx λ 1 (x v 0 cos α a) λ 2 (y a sin α)] dt ekstremales i funkcional atitinka trys Oilerio lygtys: d dt (F x ) F x = 0 d dt ( y λ 1) y = 0, d dt (F y ) F y = 0 d dt (x λ 2) + x = 0, d dt (F α ) F α = 0 λ 1 sin α + λ 2 cos α = 0

33 14 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 33 I² pirmuju dvieju lyg iu randame Apibreºkime polines koordinates Tada 2x + c 2 = λ 2, 2y + c 1 = λ 1 x + c 2 /2 = r cos ϕ, y + c 1 /2 = r sin ϕ tg ϕ = 2y + c 1 2x + c 2 = λ 1 λ 2 I² tre iosios Oilerio lygties gauname, kad λ 1 λ 2 = ctg α Todel yra teisiga formule I² jos randame tg ϕ = ctg α α = ϕ + π/2 Kartu galime tvirtinti, kad kiekvienu laiko momentu t kampas tarp lektuvo krypties ir padeties vektoriu yra status Istat rast α reik²m i (137) formules, gausime sistem x = v 0 sin ϕ + a, y = v 0 cos ϕ Padaugin pirm j lygti i² x, antr j i² y, ir abi gautas lygtis sudej, gausime Pastar j lygti galima perra²yti taip: Kadangi sin α = y /v 0, tai Suintegrav pastar j lygti, gausime xx + yy = ax = ar cos ϕ = ar sin α r dr dt = ar sin α, r = x 2 + y 2 dr dt = a v 0 dy dt r = a v 0 y + C Pagal uºdavinio prasm skai ius e := a/v 0 < 1 Todel pastaroji lygtis apibreºia elips, kurios ekscentricitetas yra e ir vienas i² ºidiniu yra koordina iu pradºios

34 34 1 PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI ta²ke, o elipses didºioji a²is nukreipta y a²ies kryptimi a r 110 pav Taigi didºiausio ploto g ura, kuri apibreºia skrisdamas lektuvas grei iu didesniu uº vejo greiti, yra elipse ios elipses didºioji a²is yra nukreipta statmenai vejo kryp iai Be to, lektuvo a²ies kryptis kiekvienu laiko momentu yra ortogonali lektuvo masiu centro radiuso vektoriui (ºr 110 pav)

35 15 KELI PAPRASƒIAUSI NETIESINIU PROCESU MODELIAI KELI PAPRASƒIAUSI NETIESINIU PROCESU MODELIAI Tiesiniai procesai pasiºymi viena svarbia savybe Bet kokiu juos apra²an iu sprendiniu tiesinis darinys taip pat yra sprendinys Netiesiniai procesai ²ia savybe nepasiºymi šinant kelis netiesini proces apra²an ius sprendinius ju tiesinis darinys neb utinai bus sprendinys Be to, jeigu koki nors netiesini proces apra²anti parametr pakeisime neºymiai, tai t proces apra²antys dydºiai gali pasikeisti i² esmes Daugumas netiesiniu procesu ir juos apra²an iu matematiniu modeliu yra netiesiniai Tiesiniai modeliai daºniausiai yra netiesiniu modeliu pirmieji artiniai Pateiksime kelis papras iausius netiesiniu modeliu atvejus 1 v y t u o k l e s s v y r a v i m a s Tarkime, vienas strypo galas yra pritvirtintas prie sijos, o prie kito strypo galo pritvirtintas k unas mases m Be to, tegu strypo mase yra pakankamai maºa lyginant su k uno mase, o strypas itvirtinimo vietoje gali laisvai, be trinties, suktis (ºr 111 pav) l α h v g 111 pav Nagrinesime plok² i ²vytuokles svyravim ir laikysime, kad oro pasiprie²inimo galime nepaisyti Kokiu nors b udu ²vytuokl i²veskime i² pusiausvyros padeties Paºymekime raide α ²vytuokles nuokrypio kamp nuo pusiausvyros padeties Tada nagrinejamos sistemos kinetine energija T = 1 2 mv2 = 1 ( 2 m l dα ) 2, dt o potencine energija P = mgh = mg(l l cos α); ia l strypo ilgis, g laisvo kritimo pagreitis, h 0 ²vytuokles nuokrypis nuo ºemiausios padeties Remiantis Hamiltono principu sudarome integral I(α) = t 2 t 1 (T P ) dt = t 2 t 1 [ 1 2 m ( l dα dt ) 2 mg(l l cos α) ] dt Tegu funkcija α = α(t) apra²o realu ²vytuokles svyravim Tada ji turi tenkinti Oilerio lygti l d2 α + g sin α = 0 dt2 Pastaroji lygtis yra netiesine antros eiles lygtis Ta iau jeigu svyravimai maºi, tai sin α α ²vytuokles maºu svyravimu matematinis modelis yra tiesinis l d2 α + gα = 0 dt2

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas... MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA

MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA III KURSO III TURO METODINIAI NURODYMAI IR UŢDUOTYS

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra Juozas Navickas FIZIKA I dalis MOKOMOJI KNYGA KAUNAS, ARDIVA 8 UDK 53(75.8) Na95 Juozas Navickas FIZIKA, I dalis

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

III.Termodinamikos pagrindai

III.Termodinamikos pagrindai III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 58 kab. Darbo tel.: 861033946 Vytautas.Stankus@ktu.lt Bendrosios fizikos

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai)

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai) 0 m. ietuvos 6-ojo fizikos čempionato UŽDUOČŲ SPRENDMA 0 m. gruodžio 6 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas 0 taškų, visa galimų taškų suma 00). Pervyniojant transformatoriaus ritę buvo pastebėta, kad ritėje

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof. Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais?

6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais? Matematikos istorijos egzamino klausimai 2014 Klausimo verte 2/3 balo. Pavyzdºiui, jei per semestr sukaupete 3 balus, tai j usu egzamino uºduotyje bus 7 3/2 10 klausimu. 1. Skai iai ir skai iavimai 1.

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic

Διαβάστε περισσότερα

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 04 m. birželio 6 d. Nr. (.)-V-69birželio 4 04 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA I dalis Kiekvieno I dalies klausimo

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

PNEUMATIKA - vožtuvai

PNEUMATIKA - vožtuvai Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

DISKREČIOJI MATEMATIKA

DISKREČIOJI MATEMATIKA VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos

Διαβάστε περισσότερα

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Arenijaus (Arrhenius) teorija

Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl

Διαβάστε περισσότερα

Skysčiai ir kietos medžiagos

Skysčiai ir kietos medžiagos Skysčiai ir kietos medžiagos Dujos Dujos, skysčiai ir kietos medžiagos Užima visą indo tūrį Yra lengvai suspaudžiamos Lengvai teka iš vieno indo į kitą Greitai difunduoja Kondensuotos fazės (būsenos):

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA Marijonas Bogdevičius RANSPORO PRIEMONIŲ DINAMIKA Projekto kodas VP-.-ŠMM 7-K--3 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

Mesh Parameterization: Theory and Practice

Mesh Parameterization: Theory and Practice Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos 1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα