ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ"

Φοίβη Αβραμίδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: z 2z 15 z N 3 z Το πρόγραμμα σε Fortran για την ολοκλήρωση με τη μέθοδο του Τραπεζίου είναι το ακόλουθο: Program trapeziou implicit none end real a,b,x,s,h,i,f,z integer k,n F(z)=(100*Exp((2*z)/15.)*z)/(3 + z) n=5 a=0 b=40 h=(b-a)/n s=0 do k=1,n-1 x=a+k*h s=s+f(x) i=(f(a)+2*s+f(b))*h/2 print*,'i= ',i Το οποίο δίνει τα παρακάτω αποτελέσματα για διάφορες τιμές του Ν Ν I

none end real a,b,x,s,h,i,f,z integer k,n F(z)=(100*Exp((2*z)/15.

2 Το πρόγραμμα σε Fortran για την ολοκλήρωση με τον πρώτο κανόνα του Simpson είναι το ακόλουθο: Program simpson_rule1 implicit none end real a,b,x,s_odd,s_even,h,i,f,z integer k,n F(z)=(100*Exp((2*z)/15.)*z)/(3 + z) n=100 a=0 b=40 h=(b-a)/n s_odd=0 do k=1,n-1,2 x=a+k*h s_odd=s_odd+f(x) s_even=0 do k=2,n-2,2 x=a+k*h s_even=s_even+f(x) i=(f(a)+4*s_odd+2*s_even+f(b))*h/3 print*,'i= ',i Το οποίο δίνει τα παρακάτω αποτελέσματα για διάφορες τιμές του Ν Ν I Οπότε χρειαστήκαμε το 1/10 των επαναλήψεων για να πετύχουμε την ίδια προσέγγιση Για να βρούμε το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη θα εφαρμόσουμε τον τύπο: z M z 15 z, όπου F το δοσμένο ολοκλήρωμα και M zf ( z) dz z100( ) e dz F 3 z Άρα αρκεί να υπολογίσουμε το Μ

)*z)/(3 + z) n=100 a=0 b=40 h=(b-a)/n s_odd=0 do k=1,n-1,2 x=a+k*h s_odd=s_odd+f(x) s_even=0 do k=2,n-2,2 x=a+k*h s_even=s_even+f(x) i=(f(a)+4*s_odd+2*s_even+f(b))*h/3 print*,'i= ',i Το οποίο δίνει

3 Με τη χρήση της Mathematica παίρνουμε: 40 z 2z z z N 0 3 z Επίσης με το προηγούμενο πρόγραμμα σε Fortran για τον πρώτο κανόνα Simpson παίρνουμε για n=100 το ακόλουθο αποτέλεσμα: I= Άρα z Άσκηση 2 a) Επειδή το ολοκλήρωμα είναι της μορφής x f ( xe ) dxμε 0 f ( x) χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο ολοκλήρωσης Gauss Laguerre 20 σημείων. Θα πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα: 19 i0 n 1 x επιλέγουμε να wf( x) όπου xi είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Laguerre 20 ης τάξης και w i τα αντίστοιχα βάρη. Χρησιμοποιώντας τη Mathematica για τους υπολογισμούς παίρνουμε το ακόλουθο πρόγραμμα: i i Οι ρίζες του πολυωνύμου Laguerre 20 ης x={ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }; τάξης 3

Θα πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα: 19 i0 n 1 x επιλέγουμε να wf( x) όπου xi είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Laguerre 20 ης τάξης και w i τα αντίστοιχα βάρη.

4 Τα αντίστοιχα βάρη w , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; Δημιουργία της συνάρτησης g(n) = Γ(n) g[n_]:=scientificform[apply[plus,x^(n-1) w]] Υπολογισμός της g(n) για n από 1 μέχρι 57 Table[g[i],{i,1,57}] 1., 1., 2., 6., 2.4μ10 1,1.2μ10 2,7.2μ10 2,5.04μ10 3, 4.032μ10 4, μ10 5, μ10 6, μ10 7, μ10 8, μ10 9, μ10 10, μ10 12, μ10 13, μ10 14, μ10 15, μ10 17, μ10 18, μ10 19, μ10 21,2.5852μ10 22, μ10 23, μ10 25, μ10 26, μ10 28, μ10 29, μ10 30, μ10 32, μ10 33, μ10 35, μ10 36, μ10 38, μ10 40, μ10 41, μ10 43, μ10 44, μ10 46, μ10 47, μ10 49, μ10 51, μ10 52, μ10 54, μ10 56, μ10 57, μ10 59, μ10 61, μ10 62, μ10 64, μ10 66, μ10 67, μ10 69, μ10 71, μ10 73, μ

$1656456612 10 27 ; Δημιουργία της συνάρτησης g(n) = Γ(n) g[n_]:=scientificform[apply[plus,x^(n-1) w]] Υπολογισμός της g(n) για n από 1 μέχρι 57 Table[g[i],{i,1,57}] 1., 1., 2., 6., 2.4μ10 1,1.$

5 Υπολογισμός της Gamma(n) για n από 1 μέχρι 57 Table[ScientificForm[Gamma[i]/1.],{i,1,57}] 1., 1., 2., 6., 2.4μ10 1,1.2μ10 2,7.2μ10 2,5.04μ10 3, 4.032μ10 4, μ10 5, μ10 6, μ10 7, μ10 8, μ10 9, μ10 10, μ10 12, μ10 13, μ10 14, μ10 15, μ10 17, μ10 18, μ10 19, μ10 21,2.5852μ10 22, μ10 23, μ10 25, μ10 26, μ10 28, μ10 29, μ10 30, μ10 32, μ10 33, μ10 35, μ10 36, μ10 38, μ10 40, μ10 41, μ10 43, μ10 44, μ10 46, μ10 47, μ10 49, μ10 51, μ10 52, μ10 54, μ10 56, μ10 57, μ10 59, μ10 61, μ10 62, μ10 64, μ10 66, μ10 67, μ10 69, μ10 71, μ10 73, μ10 74 Συγκρίνοντας τους δύο παραπάνω πίνακες παρατηρούμε ότι η επιθυμητή ακρίβεια τριών σημαντικών ψηφίων διατηρείται μέχρι n=56 ενώ χάνεται για n>56. b) Για να αποδείξουμε αριθμητικά ότι Γ(n+1) = nγ(n) ή ισοδύναμα ότι Γ(n) = (n-1)γ(n-1) θα κάνουμε μερικές δοκιμές για διάφορα n. Από τον πρώτο πίνακα (του g(n)) παίρνουμε: n Γ(n) n-1 Γ(n-1) (n-1)γ(n-1) Ισχύει Ισχύει x x x 10 9 Ισχύει κ.τ.λ. Άσκηση 3 Ι= ln( x 2 y) dydx Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: Logx 2yyx To πρόγραμμα σε Fortran το οποίο υπολογίζει το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα με τη μέθοδο του τραπεζίου είναι το ακόλουθο: Program trapeziou_double implicit none real ax,bx,x,y,ay,by,iy,ixy,f,dx,dy,sx,sy,s1,s2,a,b integer k,nx,ny,l F(x,y)=Log(x+2*y) 5

55112μ10 25, 4.03291μ10 26, 1.08889 μ10 28, 3.04888μ10 29, 8.84176μ10 30, 2.65253μ10 32, 8.22284 μ10 33, 2.63131 μ10 35, 8.68332μ10 36, 2.95233μ10 38, 1.03331μ10 40, 3.71993μ10 41, 1.37638 μ10 43, 5.

6 ay=1.0 by=1.5 dy=0.25 ny=(by-ay)/dy ax=1.4 bx=2.0 dx=0.15 nx=(bx-ax)/dx sx=0 do k=1,nx-1 x=ax+k*dx end sy=0 do l=1,ny-1 sy=sy+f(x,y) iy=(f(x,ay)+2*sy+f(x,by)) sx=sx+iy s1=0 do l=1,ny-1 s1=s1+f(ax,y) a=(f(ax,ay)+2*s1+f(ax,by)) s2=0 do l=1,ny-1 s2=s2+f(bx,y) b=(f(bx,ay)+2*s1+f(bx,by)) ixy=(a+2*sx+b)*dx*dy/4 print*,'i= ',ixy Το οποίο δίνει αποτέλεσμα: I= (Ακρίβεια σε 2 σημαντικά ψηφία!) 6

iy=(f(x,ay)+2*sy+f(x,by)) sx=sx+iy s1=0 do l=1,ny-1 s1=s1+f(ax,y) a=(f(ax,ay)+2*s1+f(ax,by)) s2=0

7 To πρόγραμμα σε Fortran το οποίο υπολογίζει το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα με τη μέθοδο του πρώτου κανόνα του Simpson είναι το ακόλουθο: Program simpson_rule1_double implicit none real ax,bx,x,y,ay,by,iy,ixy,f,dx,dy,sx_odd,sx_even,sy_odd,sy_even,s1_odd,s1_e ven,s2_odd,s2_even,a,b integer k,nx,ny,l F(x,y)=Log(x+2*y) ay=1.0 by=1.5 dy=0.25 ny=(by-ay)/dy ax=1.4 bx=2.0 dx=0.15 nx=(bx-ax)/dx sx_odd=0 do k=1,nx-1,2 x=ax+k*dx sy_odd=0 do l=1,ny-1,2 sy_odd=sy_odd+f(x,y) sy_even=0 do l=2,ny-2,2 sy_even=sy_even+f(x,y) iy=(f(x,ay)+4*sy_odd+2*sy_even+f(x,by)) sx_odd=sx_odd+iy sx_even=0 do k=2,nx-1,2 x=ax+k*dx sy_odd=0 do l=1,ny-1,2 sy_odd=sy_odd+f(x,y) sy_even=0 do l=2,ny-2,2 7

5 dy=0.25 ny=(by-ay)/dy ax=1.4 bx=2.0 dx=0.

8 end sy_even=sy_even+f(x,y) iy=(f(x,ay)+4*sy_odd+2*sy_even+f(x,by)) sx_even=sx_even+iy s1_odd=0 do l=1,ny-1,2 s1_odd=s1_odd+f(ax,y) s1_even=0 do l=2,ny-2,2 s1_even=s1_even+f(ax,y) a=(f(ax,ay)+4*s1_odd+2*s1_even+f(ax,by)) s2_odd=0 do l=1,ny-1,2 s2_odd=s2_odd+f(bx,y) s2_even=0 do l=2,ny-2,2 s2_even=s2_even+f(bx,y) b=(f(bx,ay)+4*s2_odd+2*s2_even+f(bx,by)) ixy=(a+4*sx_odd+2*sx_even+b)*dx*dy/9 print*,'i= ',ixy Το οποίο δίνει αποτέλεσμα: I= (Ακρίβεια σε 5 σημαντικά ψηφία!) 8

do l=1,ny-1,2 s2_odd=s2_odd+f(bx,y) s2_even=0 do l=2,ny-2,2 s2_even=s2_even+f(bx,y)

9 Άσκηση 4 Θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα: 2 y z 1 x, οπότε έχουμε x z (1 x ) 1x dz dx 11 Θέτουμε I x 2 2 I x y dy dx x 2. dy 1x dz και το ολοκλήρωμα γίνεται: Χρησιμοποιώντας τη Mathematica βρίσκουμε την τιμή του ολοκληρώματος: 1 1 x 2 z 2 1 x 2 1 x 2 zx N Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα σε Fortran της προηγούμενης άσκησης για τον 1o κανόνα του Simpson και αλλάζοντας την αρχή του σε: F(x,y)=Sqrt(1 - x**2)*sqrt(x**2 + (1 - x**2)*y**2) ay=-1.0 by=1.0 ny=1000 dy=(by-ay)/ny ax=-1.0 bx=1.0 nx=1000 dx=(bx-ax)/nx παίρνουμε για διάφορες τιμές των nx, ny (επιλέγουμε nx=ny): nx,ny I

0944 Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα σε Fortran της προηγούμενης άσκησης για τον 1o κανόνα του Simpson και αλλάζοντας την αρχή του σε: F(x,y)=Sqrt(1 - x**2)*sqrt(x**2 + (1 - x**2)*y**2)

10 Άσκηση 5 To ολοκλήρωμα γράφεται ισοδύναμα: x y z I x y z e dx dy dz x 4 y 2 z 6 x 4 y 2 z I ( x e )( y e )( z e ) dx dy dz x e dx y e dy z e dz Άρα με ολοκλήρωση Gauss-Hermite θα έχουμε: n1 n1 n i i i i i i i0 i0 i0 I ( wx ) ( wx ) ( wx ) όπου x i οι ρίζες του πολυωνύμου Hermite n-oστού βαθμού και w i τα αντίστοιχα βάρη Η τιμή του πολυωνύμου στη Mathematica είναι: x 6 y 4 z 2 x 2 y 2 z 2 xyz N Για n=2 x={ , }; w={ , }; a ApplyPlus, x 6 w b ApplyPlus, x 4 w c ApplyPlus, x 2 w a b c Για n=4 x={ , , , }; w={ , , , }; a ApplyPlus, x 6 w b ApplyPlus, x 4 w c ApplyPlus, x 2 w a b c Για n=8 x={ , , , , , , , }; w={ , , , , , , , }; a ApplyPlus, x 6 w 10

Mathematica είναι: x 6 y 4 z 2 x 2 y 2 z 2 xyz N 3.91523 Για n=2 x={-0.70711,0.70711}; w={0.88623,0.88623}; a ApplyPlus, x 6 w 0.221564 b ApplyPlus, x 4 w 0.443123 c ApplyPlus, x 2 w 0.886238 a b c 0.

11 b ApplyPlus, x 4 w c ApplyPlus, x 2 w a b c Άρα συνοψίζοντας τα αποτελέσματα έχουμε: N I Άσκηση 6 Έστω ότι διαιρούμε το διάστημα [a,b] σε n υποδιαστήματα με n πολλαπλάσιο b a b a του 3 δηλ n=3κ. Τότε θα έχουμε h. n 3 Αν εφαρμόσουμε το δεύτερο κανόνα Simpson σε κάθε υποδιάστημα το οποίο αποτελείται από 4 σημεία δηλ: [x 3i, x 3i+3 ], i=0,1, παίρνουμε: 3( b a) ( f0 3 f1 3 f2 2 f3 3 f4 3 f5 2 f fn 1fn ) 83 ( b a) ( f0 3 f1 3 f2 2 f3 3 f4 3 f5 2 f fn 1 fn ) 8 ο οποίος είναι και ο τύπος που πρέπει να αποδείξουμε. b a Για παράδειγμα αν κ=2 δηλ. n=6 και h 6 τότε ο δεύτερος κανόνας Simpson στα υποδιαστήματα [x 0,x 3 ] και [x 3,x 6 ] δίνει: 3( ba) 3( ba) ( f0 3f13 f2 f3) ( f33f4 3 f5 f6) ( b a) ( f0 3 f1 3 f2 f3 f3 3 f4 3 f5 f6 ) 16 ( b a) ( f0 3 f1 3 f2 2 f3 3 f4 3 f5 f6 ) 16 11

n 3 Αν εφαρμόσουμε το δεύτερο κανόνα Simpson σε κάθε υποδιάστημα το οποίο αποτελείται από 4 σημεία δηλ: [x 3i, x 3i+3 ], i=0,1, παίρνουμε: 3( b a) ( f0 3 f1 3 f2 2 f3 3 f4 3 f5 2 f6.

Σχετικά έγγραφα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Διατυπώστε τον 1 ο κανόνα ολοκλήρωσης Smpson b f ( xdx ) ( 1 3 f f f ) a, αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f