ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ."

Transcript

1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598

2 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα Παραδείγματα. Επιμέλεια: Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Α.Π.Θ. Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) τηλ Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

3 . Αόριστο Ολοκλήρωμα. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Αόριστο Ολοκλήρωμα Παραδείγματα Μεθοδολογία Μέθοδοι Ολοκλήρωσης... 9 Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες...9 Ολοκλήρωση με αντικατάσταση...9 Πίνακας Αόριστων Ολοκληρωμάτων Σύνθετων Συναρτήσεων...9 Παραδείγματα Μεθοδολογία... ν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής d... e ( ) d... d... ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4: Ολοκληρώματα της μορφής ηµ d, συν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5: Ολοκληρώματα της μορφής, d, συν d... d... 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6: Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες e d και e + συν ( κ + λ ) d... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7: Ολοκληρώματα της μορφής + ηµ ( κ + λ ) d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: Ολοκληρώματα της μορφής ηµ α + συν κ + λ, ηµ ( α + ) ηµ ( κ + λ ) d συν α + συν κ + λ d... ηµ και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9: Ολοκληρώματα της μορφής ηµ v ( α + ) d και συν v ( α + ) d... ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκληρώματα της μορφής ( + ) k ηµ α d και d... ( + ) k συν α P ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκλήρωση ρητών Συναρτήσεων Q... [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα.

4 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ολοκλήρωση άρητων Συναρτήσεων της μορφής d, g d... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Αναγωγικοί Τύποι Ορισμένο Ολοκλήρωμα... 8 Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος... 8 Παραδείγματα Μεθοδολογία... 9 Μεθοδολογία. Ιδιότητες Ορισμένου Ολοκληρώματος... 9 Μεθοδολογία. Υπολογισμός Ορισμένου Ολοκληρώματος... 9 Μεθοδολογία. Ορισμένο Ολοκλήρωμα και Κατά Παράγοντες Ολοκλήρωση... Μεθοδολογία 4. Χρήση του Τύπου Αλλαγής Μεταλητής... Μεθοδολογία 5. Ορισμένο Ολοκλήρωμα και Κλαδική Συνάρτηση... 7 Μεθοδολογία 6. Άλλες Μορφές Ορισμένου Ολοκληρώματος... 9 Μεθοδολογία 7. Ξεχωριστές Μορφές «Θέτω» Στο Ορισμένο Ολοκλήρωμα Η Συνάρτηση F = t dt Παραδείγματα Μεθοδολογία Μεθοδολογία. Το Πεδίο Ορισμού της F Μεθοδολογία. Παράγωγος των = t dt g g t dt, t dt, t dt h Μεθοδολογία. Εύρεση Συνάρτησης Σταθερή Συνάρτηση... 5 Μεθοδολογία 4. Μονοτονία Κυρτότητα... 6 Μεθοδολογία 5. Ανισοτικές Σχέσεις... 7 Μεθοδολογία 6. Υπαρξιακά Εμαδο Επίπεδου χωρίου... 9 Παραδείγματα Μεθοδολογία... 9 Μεθοδολογία. Υπολογισμός Εμαδού χωρίου μεταξύ C και... 9 Μεθοδολογία. Εμαδό Χωρίου που περικλείεται από C και C g Μεθοδολογία. Εμαδό χωρίου που περικλείεται από τρεισ συναρτήσεις Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

5 . Αόριστο Ολοκλήρωμα. 4 Μεθοδολογία 4. Εμαδό και Αντρίστροφη Μεθοδολογία 5. Διάφορα Θέματα... [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 4

6 5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ () ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F =, για κάθε Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G ) = F( ) + c (, c, είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G ) = F( ) + c (, c Αόριστο ολοκλήρωμα Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της στο Δ, συμολίζεται d και διαάζεται ολοκλήρωμα εφ του ντε. Δηλαδή, ) d = F( ) + c (, c Για κάθε συνάρτηση, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει ) d = + c (, c () Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό. 5. Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

7 . Αόριστο Ολοκλήρωμα. 6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ. d = c 8. ημd = συν + c. d = + c 9. d συν = εφ + c. d = ln + c. ημ d = σφ + c 4. α d + α = + c α +, α. e d = e + c 5. συνd = ημ + c. α d α = + c ln α 6. συν ( α + ) ηµ ( + ) d = + c. συν ( α ) ( + ) ηµ α + d = + c e e d = + c 4. ln + d = + c + Συνέπεια του ορισμού του αόριστου ολοκληρώματος και των κανόνων παραγώγισης είναι οι εξής δύο ιδιότητες: Αν οι συναρτήσεις και g έχουν παράγουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε λ d = λ d, * λ ( g( )) d = d + + g( ) d [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 6

8 7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) γ) + + d ) d π συν + ηµ συν, π + ηµ d α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Η είναι συνεχής στο + + = είναι το σύνολο * * ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο *. Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα αρκεί να «σπάσουμε» τα κλάσματα. Έτσι έχουμε: + + = + + = + + Άρα το ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε ως εξής: + + d = d d d d d d d + + = + + = + + = = + + ln = + + ln π π = συν + ηµ είναι για, συν ) Το πεδίο ορισμού της π π Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, π, π. ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο Για να υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα αρκεί να «σπάσουμε» το ολοκλήρωμα σε στοιχειώδη ολοκληρώματα.. Άρα έχουμε: συν ηµ + d d d d = συν συν + ηµ = συν ηµ συν εφ 7. Αόριστο Ολοκλήρωμα. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

9 . Αόριστο Ολοκλήρωμα. 8 γ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = + ηµ είναι το σύνολο *. Η είναι συνεχής στο * ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο *. Άρα έχουμε: ηµ + ηµ d = d + ηµ d = ln [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Αόριστο Ολοκλήρωμα. 8

10 9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός. ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο: g d = g( ) g( ) d που είναι συνέπεια του κανόνα παραγώγισης του γινομένου δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε ένα διάστημα Δ., g ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ( g( )) g d. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο: ( g( )) g d = ( u) du, όπου u = g() και du = g( ) d Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα ( u) du του δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( ) v+ ( ), v d = + c v v +. = + e d e c. d = + c ln 4. d = ln + c, 5. ηµ d= συν + c 6. συν ηµ d= + c 7. συν d = εφ + c 8. ηµ d = σφ + c 9. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

11 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ( ) d Παράδειγμα. 4 d ) α) 4 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: συν ηµ d γ) + ( + + 7) 5 d α) Η συνάρτηση 4 = 4 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Η είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική. Παρατηρούμε ότι ( ) 4 = άρα το ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε ως: ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( ) 5 d = d = d = + c ) Η συνάρτηση = συν ηµ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο. Έχουμε ότι: 4 συν συν ηµ d = ηµ συν d = ( συν ) συν d = + c 4 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

12 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός γ) Η συνάρτηση = + ( + + 7) 5 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο = + Παρατηρούμε ότι Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε ως: ( ) 5 5 ( + + 7) ( + + 7) ( 7 ) ( 7) 4 ( + + 7) = + c 4 d = d = d = 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ e d Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) + 5 e d ) ηµ e συν d 5 α) Η συνάρτηση = e + έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο. Παρατηρούμε ότι: + 5 = άρα το ζητούμε ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε: e + d = e + d = e + d = + e + d = e c. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

13 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης = ηµ e συν έχει πεδίο ορισμού το σύνολο. ) Η συνάρτηση Η είναι συνεχής στο ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο. Παρατηρούμε ότι συν = ηµ Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα μπορούμε να το γράψουμε: ηµ ηµ συν e συν d = e συν d = e συν d = e συν + c ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ d Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: ηµ π π α) d ) d +ηµ,, ηµ συν ln εφ 4 γ) + d α) Παρατηρούμε ότι : + ηµ = ηµ συν = ηµ Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: ηµ ( + ηµ ) d = d = ln ( + ηµ ) + c + ηµ + ηµ ) Παρατηρούμε ότι: = = = = εφ εφ συν ηµ συν ηµ συν συν ( ln ( εφ) ) ( εφ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

14 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ln ( εφ) ) d = d = d = ln ( ln ( εφ) ) + c ηµ συν ln εφ ηµ συν ln εφ ln εφ γ) Παρατηρούμε ότι: = + Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: + + ( + + 7) d = d = d = ln ( ) + c ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ηµ d, συν d Παράδειγμα 4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: e e d γ) α) ( ) ηµ + ( + + 9) d ) ( ηµ ) ηµ ( + συν ) συν ( ln ( + )) d + α) Παρατηρούμε ότι: = + Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) ηµ ( 9) ( 9 ) ηµ ( 9) συν ( 9) d= d= c ) Παρατηρούμε ότι: + συν = + ηµ e e Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται:. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

15 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4 ( ηµ ) ηµ ( συν ) ( συν ) ηµ ( συν ) συν ( συν ) e e + d= e + e + d= e + + c γ) Παρατηρούμε ότι: ( ln ( ) ) ( + ) + = = + + Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) συν ln + d = ln + συν ln + d = ηµ ln + + c + ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ, d, συν ηµ d Παράδειγμα 5. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) + 5 d ) συν ( ) ηµ ( ln ) d α) Παρατηρούμε ότι: = + 5 Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: συν ( ) + 5 d = d = εφ ( ) + c συν ) Παρατηρούμε ότι: ( ln ) = Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4

16 5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός d = d = d = σφ ( ln ) + c ηµ ln ηµ ln ηµ ln ( ln ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. = g d g g d Την ολοκλήρωση κατά παράγοντες την χρησιμοποιούμε για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα ενός γινόμενου συναρτήσεων. Έχοντας ένα ολοκλήρωμα λοιπόν της μορφής φ ώστε = φ. g d αναζητούμε μια συνάρτηση τέτοια Η σειρά με την οποία αναζητούμε τις συναρτήσεις που θα άλουμε κάτω από τόνο είναι: Εκθετικές ( e h) Τριγωνομετρικές ηµ h, συν h v v Πολυωνυμικές ( v + v ) Λογαριθμικές ( ln h( )) Παράδειγμα 6. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) e ( + + 9) d + 7 ) ( + 5 ) e d α) Εδώ έχουμε να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα που περιέχει ένα γινόμενο μια λογαριθμικής και μιας πολυωνυμικής συνάρτησης. Η συνάρτηση της οποία θα προσπαθήσουμε να ρούμε την αρχική (δηλαδή θα προσπαθήσουμε να άλουμε κάτω από τόνο) είναι η λογαριθμική. Παρατηρούμε ότι: 5. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

17 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6 ( e ) = e Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( 9) ( 9) ( 9) ( 9) = e ( + + 9) e ( + ) d e + + d= e + + d= e + + e + + d= Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ( + ) e d θα ακολουθήσουμε την ιδία διαδικασία: = e + + e + d = e + + e + d = ( 9) ( ) ( 9) ( ) = e ( + + 9) e ( + ) e ( + ) d = = e ( + + 9) e ( + ) + e d = = e ( + + 8) + c = e e + + e d= e e + + e + c= )Παρατηρούμε ότι: e = e + 7 = e = e Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: e ( + 5) d = e ( + 5) d = e ( + 5) d = ( 5) e + d = = ( e ) ( 5) d e ( 5) e ( 5 ) + = + d + = = e ( + 5) e d = e ( + 5) ( e ) d = = e ( + 5) e + c Παράδειγμα 7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: d ) ηµ ( + ) ( + ) d α) συν ( + 7) ( + 7) α) Παρατηρούμε ότι: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6

18 7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ηµ ( 7) ) ( 7) συν ( 7) συν ( 7) συν + = + + = + ( 7) + = ( ηµ ( + 7) ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ηµ ( )) + 7 συν ( + 7) ( + 7) d = ( + 7) d = ( ηµ ( + 7) ) ( + 7) d = = ηµ ( + 7) ( + 7) ηµ ( 7) ( 7) + + d= = ηµ ( + 7) ( + 7) ηµ ( 7) ( 7) + + d= = ηµ ( + 7) ( + 7) ηµ ( 7) d + = συν ( + 7) = ηµ ( + 7) ( + 7) + + c 9 ) Παρατηρούμε ότι: ( συν ( ) ) ηµ ( ) ( ) ηµ ( ) ηµ ( ) + = + + = + + = ( συν ( + ) ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ηµ ( ) ( ) d ( συν ( ) + + = ) ( ) + + d = = συν ( ) ( ) συν ( ) ( ) d = = συν ( + ) ( + ) + συν ( ) d + = = συν ( + ) ( + ) + ( ηµ ( + ) ) d = = συν ( + ) ( + ) + ηµ ( + ) ( ) ηµ + d = = συν ( + ) ( + ) + ηµ ( + ) ( ) d ηµ + = συν ( + ) = συν ( + ) ( + ) + ηµ ( + ) + + c 4 7. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

19 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8 Παράδειγμα 8. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) ln d ) ln d α) Το ολοκλήρωμα αυτό δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε άμεσα. Ένα από συνήθη τεχνάσματα που χρησιμοποιούμε στην κατά παράγοντες ολοκλήρωση είναι να εκμεταλλευόμαστε το ( ) = Επομένως το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ln d ln d ln ( ln ) = = d = ln d = = ln d= ln + c= ln + c ) Παρατηρούμε ότι: = = ( ) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) ln ln ln ln ( ln ) d = d == d = d = ln ln ln ln ln ln = ln ln + ( ln ) d ln ln d = + = = ln ln + d ln ln = + + c 4 = d = d = d = e d ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ + ηµ ( κ + λ ) e + συν ( κ + λ ) d Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής θα χρησιμοποιήσουμε την κατά παράγοντες ολοκλήρωση. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8

20 9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός e d και μετά από πράξεις και με τη μέθοδο που αναλύσαμε προηγουμένως θα καταλήξουμε σε μια σχέση της μορφής: Θέτουμε Ι= + ηµ ( κ + λ ) I = H + µ I οπού µ Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς Ι και έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα Παράδειγμα 9. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: + α) = ηµ ( 7) A e d α)παρατηρούμε ότι: e = + e = e Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: + + e ηµ ( 7) d ( e = ) ( 7) ηµ d = + + = e ηµ ( 7) e ( ηµ ( 7) ) d = + + = e ηµ ( 7) e ( 7) d συν = + + = e ηµ ( 7) ( e ) συν ( 7) d = = e ηµ ( 7) e συν ( 7) + e ( συν ( 7) ) 4 4 d = = e ηµ ( 7) e συν ( 7) + ( ) ( 7) 4 4 e ηµ d = = e ηµ ( 7) e συν ( 7) e ηµ ( 7) d 4 4 = + 9 = e ηµ ( 7) e + συν ( 7) 4 4 Α Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: 9. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

21 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) Α Α+ Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) Α= e ηµ ( 7) e συν ( 7) d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ηµ α + συν κ + λ, ηµ α + ηµ κ + λ d συν α + συν κ + λ d ΚΑΙ Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής θα χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους: ηµα συν = ηµ α + ηµ α + συνα συν = συν α + συν α + ηµα ηµ = συν α συν α + Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: d ) e συν συν d α) ηµ ( + 5) συν ( 5 ) α)έχουμε ότι: ηµ συν ηµ ηµ ( + 5) ( 5) = ( + 5) + ( 8+ 5) Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ηµ ( + 5) συν ( 5) d = ( 5) ( 8 5) ηµ + + ηµ + d = = ηµ ( 5) d ηµ ( 8 5) d = = συν ( + 5) συν ( 8+ 5) 4 8 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

22 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ) Έχουμε ότι συν συν = συν + συν 4 Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: e συν συν d = e συν + συν 4 d = e συν d + e συν 4d = = I + I Ας υπολογίσουμε τώρα τα ολοκληρώματα Ι και Ι. συν συν συν ( συν ) συν ηµ συν ηµ I = e d = e d = e e d = = e + e d = e + e d = = e συν + e ηµ e ηµ d = e συν + e ηµ 4 e συν d = = e συν + e ηµ 4I I = e συν + e ηµ 4I 5I I = e συν + e ηµ 5 5 Όμοια για το Ι έχουμε: 4 I = e συν 4+ e ηµ Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι το: = e συν + e ηµ 4 e συν συν d= e συν 4+ e ηµ 4+ e συν + e ηµ + c ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ηµ v ( α + ) d ΚΑΙ συν v ( α + ) Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής θα χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους: Αν ν περιττός ν=κ+ τότε εφαρμόζουμε τους τύπους: ν v = = ( + ) ν+ ηµ ηµ ηµ συν συν ν v = = ( + ) ν+ συν συν συν ηµ ηµ Αν ν άρτιος δηλαδή ν=κ τότε εφαρμόζουμε τους τύπους: d. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

23 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης συν + συν ηµ = συν = Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α) ηµ d ) συν 4 d γ) ηµ συν d α) Έχουμε ότι: ηµ ηµ ηµ ( συν ) ( συν ) ( συν ) συν ( συν ) d = d = + d = d + d = ηµ = ηµ + + c ) Έχουμε ότι: 4 + συν + συν + συν συν συν d = d = d = d + d + συν d = ηµ + συν 4 ηµ ηµ ηµ 4 = + + d d συν 4d c = = γ)έχουμε ότι; συν + συν συν ηµ συν d = d = d d d = 4 4 4συν = + συν 4 ηµ 4 = d d συν 4d c 4 4 = = ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ( + ) k συν α d ( + ) k ηµ α d ΚΑΙ Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων αυτής της μορφής κάνουμε χρήση των σχέσεων: συν = + εϕ και εϕ ηµ = + εϕ Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d 4 συν [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

24 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Έχουμε ότι συν = + εϕ. Άρα το δομένο ολοκλήρωμα γράφεται: d = d d ( εϕ ) d 4 συν = = + ( συν ) + εϕ Θέτουμε εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) = t d = dt + d = dt Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: t εϕ I = ( + t ) dt = t + = εϕ + P ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Q. Εάν ο αθμός του P() είναι μικρότερος από τον αθμό του Q() τότε διαιρούμε «σπάζουμε» το κλάσμα σε απλά κλάσματα. Με τον όρο απλά κλάσματα εννοούμε κλάσματα της μορφής ( ρ ) κ Α +Β και ( + + γ ) κ με Δ< + Έτσι π.χ. το κλάσμα που μένει είναι να υπολογίσουμε τα α και. + + = = θα γραφτεί ως και το μόνο Το κλάσμα ( ) ( + ) = + + θα γραφτεί ως εξής: ( ) ( + ) + ( ) γ Εάν ο αθμός του P() είναι μεγαλύτερος από τον αθμό του Q() τότε κάνουμε την διαίρεση P():Q() και το κλάσμα μας γράφεται: P Q υ υ = π + και εφαρμόζουμε την προηγούμενη μεθοδολογία για το κλάσμα Q Q Παράδειγμα. Να υπολογίστε τα παρακάτω ολοκληρώματα: + α) d ) d + γ) 4+ ( ) ( + ) d. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

25 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4 α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Παρατηρούμε ότι + = ( )( ) = + είναι το σύνολο {, } Άρα το ζητούμενο κλάσμα γράφεται: = + + Αρκεί να υπολογίσουμε τα α και. = + = + + ( ) ( ) ( ) {, } Για να μπορέσουμε να ρούμε τα α και αρκεί να επιλέξουμε τιμές που να μηδενίζουν διαδοχικά κάποιους από τους συντελεστές. Στην συγκριμένη περίπτωση επιλέγουμε = και =. Για = έχουμε: = + = = Για = έχουμε: = + = Επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: d = d = ln ln + c + {, } ) Παρατηρούμε ότι 4+ = ( )( ) Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = + 4+ είναι το σύνολο {, } Επίσης παρατηρούμε ότι ο αθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον αθμό του παρονομαστή άρα πρέπει αρχικά να κάνουμε την διαίρεση. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 4

26 5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός π() υ() Άρα το κλάσμα γράφεται: Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) = = = ( + 4) + + d = ( + 4) + d = ln + c 4 + γ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης = ( ) ( + ) είναι το σύνολο { }. Το κλάσμα μπορεί να γραφεί: + ( ) ( + ) Για = γ = + + = ( γ) = = = Για = και α= - ( γ) = γ = γ γ = Για =-, α=- και γ= = = + = Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: d = + d = ln ln ( + ) + c ( ) ( ) 5. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

27 . Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g d Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ολοκληρώματα της μορφής Τότε θέτουμε t = d, d ή g d Στην μεν πρώτη περίπτωση το διαφορικό d υπολογίζετε απευθείας από την δοσμένη σχέση δηλαδή ( ) dt = d dt = d Στη δε δεύτερη περίπτωση υπολογίζεται λύνοντας πρώτα την εξίσωση t = ως προς και στην συνέχεια υπολογίζοντας το διαφορικό t = = t = g t d = g t dt Παράδειγμα 4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα α) ηµ d ) +συν + + d + συν = + συν = συν συν = συν ηµ = ηµ α) Παρατηρούμε ότι Άρα θέτουμε + συν = t ( συν ) ( συν ) ηµ + d = dt + d = dt d = dt + συν + συν ηµ d = dt + συν Το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: ηµ d = dt = t + c = + συν + c + συν ) Θέτουμε + = t + = t = t d = t dt d = tdt [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 6

28 7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται + + = + = + + = 4 d t t tdt t t t dt t t t t 4t + t dt = c = c ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ Έστω Ι ν ένα ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης, στην οποία εμφανίζεται ο φυσικός αριθμός ν. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες ο υπολογισμός του Ι ν δεν επιτυγχάνεται άμεσα, αλλά μετά από τις πρώτες προσπάθειες λέπουμε ότι για την εύρεσή του απαιτείται η γνώση του Ι ν- ή Ι ν- κλπ. Μία σχέση η οποία συνδέει τα Ι ν, Ι ν-,ι ν- κλπ λέγεται αναγωγικός τύπος. Εκτός από λίγες περιπτώσεις η εύρεση ή η απόδειξη αναγωγικών τύπων επιτυγχάνεται με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Παράδειγμα 5. Αν Iv v = συν να αποδειχθεί ότι: d ν v ν v Iv = συν ηµ + Iv Είναι : I = συν d = συν συν d = συν ηµ d = συν ηµ + συν ηµ d = v v v v ν ν ν ν ν ν ν ν ( v ) ( ) d ν ν ν ( v ) d ( v ) συν d = = συν ηµ v συν ηµ ηµ d = συν ηµ + v συν ηµ d = = συν ηµ + συν συν = = συν ηµ + συν ν = συν ηµ + v I v I v v ν I = συν ηµ + v I v I I + v I = συν ηµ + v I ν v v v v v v v vi = συν ηµ ( v ) I I = συν ηµ I v v ν ν v v v v 7. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

29 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ α d = d α α d = α (, τότε ) d Αν ) α (. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Με τη οήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα. ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω, g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [ α, ] και λ, μ. Τότε ισχύουν και γενικά d = λ α λ d [ + g( )] d = d + α α α g( ) d [ + μg( )] d = λ d + μ ΘΕΩΡΗΜΑ ο α λ g( ) d α α α Αν η είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ και α,, γ Δ, τότε ισχύει d = d + α γ d α γ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α, ]. Αν για κάθε [ α, ] και η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε d >. α [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8

30 9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Παράδειγμα. Αν d = 9, d = και ολοκληρώματα: d = να ρείτε τα α) 4 d ) 8 4 d γ) d δ) 8 d. Για να μπορέσουμε να λύσουμε αυτή την άσκηση αρκεί να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος που δόθηκαν στην θεωρία. α) Έχουμε: 4 d = d = ) d = d d = 9 = γ) d = d + d = 9 = δ) d d d = = = 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Για τον υπολογισμό στοιχειωδών ορισμένων ολοκληρωμάτων εργαζόμαστε χρησιμοποιώντας τις μεθόδους ολοκλήρωσης που αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο με την διαφορά ότι εδώ προσθέτουμε και τα όρια ολοκλήρωσης. Για τον προσδιορισμό ενός ολοκληρώματος της μορφής (αρχική) συνάρτηση F της στο [α, ] και να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: 9. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου] d, αρκεί να ρούμε μία παράγουσα

31 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα = = ( ) ( α) d F F F Σε ποιο σύνθετες μορφές ορισμένων ολοκληρωμάτων θα γίνει αναφορά στην επόμενη παράγραφο. Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα α) ηµ ( π ) e d ) d α) Έχουμε ότι: συν π συνπ συν ( e ηµ ( π) ) d = e d d e e ηµ π = + = + = π π π = e π ) Έχουμε ότι: d = + d = 4 = = = 6 Παράδειγμα. Αν η παράγωγος της συνάρτησης είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει = και = να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) d ) + e d α) Έχουμε ότι: d ( e e ) d e ( e ) = d e = + = = ( e ) d= e = e e = e ) έχουμε ότι: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

32 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ) ( ) + d = + d = + d = ( ( )) d = = = = Παράδειγμα 4. Έστω μία συνάρτηση με και + = για κάθε [, ] Αν ( ) και ( ) ρίζες της εξίσωσης 5. =, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d. Στην συγκεκριμένη άσκηση δεν θα ασχοληθούμε με την λύση της διαφορικής εξίσωσης καθώς είναι δύσκολος ο υπολογισμός του δοσμένου ολοκληρώματος μίας και δεν δίνονται τα όρια ολοκλήρωσης. Φέρνουμε λοιπόν την σχέση σε τέτοια μορφή ώστε η συνάρτηση να είναι αρχική μίας άλλης συνάρτησης. + = = = = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: d = d = = ( ) ( ) () Έχουμε ότι τα ( ) και ( ) ρίζες της εξίσωσης Viet για το άθροισμα και το γινόμενο ριζών. 5 =. Με την χρήση των τύπων του S 5 γ = = = α = ( ) = και P ( ( ) ) ( ) Άρα η () γράφεται: 5 d = = 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Η κατά παράγοντες ολοκλήρωση εφαρμόζεται και ορισμένα ολοκληρώματα με την μορφή = α g d g g d. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

33 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα Η κατά παράγοντες ολοκλήρωση στα ορισμένα ολοκληρώματα διέπεται από τους ίδιους κανόνες που διέπεται και στα αόριστα ολοκληρώματα. Παράδειγμα 5. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) π συν d ) ln d α) Θα υπολογίσουμε το δοσμένο ολοκλήρωμα με τη μέθοδο της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης. d = d = d = d = π π π π π συν ( ηµ ) ηµ ηµ ( π ηµπ ηµ ) ( συν ) π π π = συν d = συν συν d = πσυνπ συν συν d = [ π ] ( ) π π [ ηµ ] π = = ) ln d ln d ln ( ln = ) d ( ln ln ) ln d = = = = d = d = + d = [ ] ln ln ln ln ln ln ln = ln ln ln + = ln 4ln + = ln 4ln + = ln 4ln + d d [ ] = ln Παράδειγμα 6. Δίνεται η συνάρτηση = I = λ λ d, λ> α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I λ + ) Να ρείτε το όριο lim α) Έχουμε: ln Iλ = d d ln d ln d ln ( ln ) = = d = = = = + = + = + λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ln λ d ln λ ln λ [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

34 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ) ln λ lim I λ = lim + = + + λ λ αφού De _ l ' Hospitl ln λ ( ln λ ) lim = = lim = lim = + λ + + ( λ ) λ ηµ Παράδειγμα 7. Έστω μία συνάρτηση με π υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = d. =, για κάθε και Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε την άρα για τον υπολογισμό του ζητούμενου ολοκληρώματος θα χρησιμοποιήσουμε την κατά παράγοντες ολοκλήρωση. π =. Να ( π π ) ηµ π π π π π I = d d = d d = = π Για του υπολογισμό του ολοκληρώματος ηµ d θέτουμε = t d = dt d = dt Για = t = Για = π t = π Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: [ ] π ηµ d π ηµ tdt συνt π συνπ συν = = = = Επομένως : Ι= π ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Από τη θεωρεία γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση: Όπου οι, g συνεχείς συναρτήσεις και u α u ( ) = = g, du = g d και u = g, u = g( ) g g d u du u. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

35 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4 Παράδειγμα 8. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) e d ) π d π ηµ γ) d 4 δ) d 4 +ηµ συν α) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος e d = t d = dt d = dt d = dt Θέτουμε Υπολογίζουμε τα καινούργια όρια ολοκλήρωσης. Για = t = Για = t = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) t = e e = e ( e e ) = t t t t t e d = e d = te dt = t e dt = te t e dt = e e e dt = = t d = dt d = dt d = dt ) Θέτουμε Για = t = = Για = t = = 4 Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ln d = dt = dt = t = = [ ln ] ( ln 4 ln) t t + ηµ = t + ηµ d = dt ηµ συν d = dt ηµ d = dt γ) Θέτουμε Για Για = t = + ηµ = = π t = + = ηµ π Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: π ηµ d = dt = + ηµ t Αφού είναι γνωστό ότι: d = [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4

36 5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός δ) Αρχικά θα κάνουμε χρήση της σχέσης συν = + εϕ Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται ως εξής: π π π π I = d = d = d = ( + εϕ ) d 4 συν ( συν ) + εϕ Θέτουμε εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) = t d = dt + d = dt Για = t = εϕ= π π Για = t = εϕ = 4 4 Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: t 4 I = ( + t ) dt = t + = + = Παράδειγμα 9. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) π 4 εϕ d ) π 6 εϕ d α) Προσπαθούμε μέσα στο ολοκλήρωμα να εμφανίσουμε την παράσταση + εϕ καθώς + εϕ = εϕ π π π π π π εϕ εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) d = + d = + d d = d d = π π π = [ εϕ] 4 [ ] 4 = 4 = t d = dt + d = dt + t d = dt d = dt + t ) Θέτουμε ( t= εϕ εϕ εϕ εϕ ) ( ) Για = t = εϕ= Για π π = t = εϕ = 6 6 Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: 5. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

37 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6 π 6 t I = εϕ d = t dt = dt + t + t Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος κάνουμε την διαίρεση : t = t + t t Άρα: t t + και έχουμε ( + t ) I = dt = t dt = tdt dt = dt = dt = t t t t t + t t t t + t ln ( t ) ln 6 6 = + = + Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: π α) 4 d ) π ηµ συν 6 e ln d + ln α) Αρχικά θα κάνουμε χρήση των τύπων συν = + εϕ και εϕ ηµ =. Άρα το ζητούμενο + εϕ ολοκλήρωμα γράφεται ( εϕ + ) π π π I = π d = π d = d π 6 ηµ συν 6 εϕ 6 εϕ + εϕ + εϕ Θέτουμε εϕ ( εϕ ) ( εϕ ) = t d = dt + d = dt Για π π = t = εϕ = 6 6 π π Για = t = εϕ = 4 4 Επομένως: + t I = dt = dt t t + = = t t [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6

38 7 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ) Παρατηρούμε ότι ( ln ) + = + ln Θέτουμε + ln = t + ln = t ln = t ( ln ) ( ln ) + d = dt + d = dt d = dt + ln + ln d = dt d = dt d = dt + ln + ln + ln Για = t = + ln t = Για = e t = + ln e t = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά e ln t d = t dt = t dt = t = ln = = + = ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΚΛΑΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα g, : της μορφής: = h, > Τότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται: με < < = + = + d d d g d h d d μιας συνάρτησης Όμοια αν έχω μία συνάρτηση που περιέχει απόλυτη τιμή τότε γάζουμε την απόλυτη τιμή και μετατρέπουμε την συνάρτηση σε κλαδική. Το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα προκύψει με την χρήση της προηγούμενης μεθόδου. Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) I = d όπου ) ( + ) d e, < = ln ( + ), 7. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

39 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8 Παρατηρούμε ότι στο σημείο = αλλάζει ο τύπος της δοθείσας συνάρτησης. Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: I = d = d + d = e d + ln + d Θα υπολογίσουμε καθένα από τα ολοκληρώματα ξεχωριστά, με την χρήση της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης: ( e ) ( e ) e e e e d = e d = e e d = e + e d = = + = = ln ( ) d ln ( ) d ln ( ) ln ( ) + = + = + + d = + = ( ln ln) d = ln d = ln d = = ln d = ln ln ( + ) = ln ( ln + ln) = ln + Επομένως: I = + ln = ln )Αρχικά πρέπει να «γάλουμε» την απόλυτη τιμή. = αν > Για να λύσουμε την ανίσωση λύνουμε πρώτα την αντίστοιχη εξίσωση: = = =± Κάνουμε στην συνέχεια τον πίνακα προσήμων της εξίσωσης: + + Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) ( ) ( ) + d = + + d + + d = = = [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 8

40 9 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΆΛΛΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Δύο πολύ σημαντικές ασκήσεις στα ορισμένα ολοκληρώματα είναι οι ακόλουθες καθώς οηθούν στην εξαγωγή πολύτιμων συμπερασμάτων τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη επίλυση διαφόρων ποιο σύνθετων ασκήσεων. Παράδειγμα. Έστω μία συνεχής συνάρτηση : [, ] α) ( ) = d d ) Αν η είναι άρτια, τότε = d d γ) Αν η είναι περιττή, τότε ( ) d = = t = t d = t dt d = dt α) Θέτουμε Για = t = Για = t = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) = ( ) = = = d t dt t dt t dt d. Να δείξετε ότι: ) Η είναι άρτια στο [, ] άρα για κάθε [, ] ισχύει ότι ( ) = Θα παρεμάλουμε το στο δοσμένο ολοκλήρωμα: = + d d d () Εκείνο το κομμάτι στην σχέση που μας «ενοχλεί» είναι το ( ) d = t = t d = t dt d = dt Θέτουμε Για = t = Για = t = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: άρτια = ( )( ) = = = d t dt t dt t dt d 9. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

41 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4 Επομένως η () γράφεται: = + = + = d d d d d d γ) Η είναι περιττή στο [, ] άρα για κάθε [, ] ισχύει ότι ( ) = Θα παρεμάλουμε το στο δοσμένο ολοκλήρωμα: = + d d d () Εκείνο το κομμάτι στην σχέση που μας «ενοχλεί» είναι το ( ) d = t = t d = t dt d = dt Θέτουμε Για = t = Για = t = Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: περιττή = ( )( ) = ( ) = ( ) = = d t dt t dt t dt t dt d Επομένως η () γράφεται: d = d + d = d + d = Παράδειγμα. Αν είναι μία συνεχής συνάρτηση στο, να δείξετε ότι: ( + ) = d d Θέτουμε + = t + d = dt d = dt d = dt Για = t = + t = Για = t = + t = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται: ( + ) = ( ) = = = d t dt t dt t dt d [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4

42 4 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Παράδειγμα 4. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει: να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: ( ) d Η μόνη σχέση που μας δίνεται από την εκφώνηση της άσκησης είναι η + = για κάθε + =. Επειδή μας ζητά τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος προφανώς θα ολοκληρώσουμε την δοσμένη σχέση. ( ( ) ) d d d ( ) d [ ] ( ) + = + = d + d = Για τον υπολογισμό του δοσμένου ολοκληρώματος θα πρέπει να κάνουμε τον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος ( ) d. Θέτουμε ( ) = t d = dt d = dt Για = t = t = Για = t = t = Επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται: ( ) = ( ) = = = d t dt t dt t dt d Άρα η () γράφεται: d + d = d + d = d = d = π π Παράδειγμα 5. Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο, + y = + y + ηµ y+ yηµ ισχύει: και για κάθε y, + = ηµ, α) Να δείξετε ότι d. ) Να υπολογίσετε τα ολοκλήρωμα π π α) Όπως έχουμε αναφέρει και σε παλαιότερες ασκήσεις που αφορούν σε συναρτησιακές σχέσεις, αρχικά θα υπολογίσουμε το 4. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

43 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4 Θέτουμε για το σκοπό αυτό = y = στην δοσμένη σχέση. = y= + y = + y + ηµ y+ yηµ + = + + ηµ + ηµ = = Στην συνέχεια θέτουμε y = = y= + y = + y + ηµ y+ yηµ = + + ηµ ηµ = + ηµ + = ηµ ) Για τον υπολογισμό του ζητούμενου ολοκληρώματος θα εργαστούμε ως εξής. Αρχικά παρατηρούμε ότι η σχέση που καταλήξαμε στο προηγούμενο ερώτημα περιέχει το και το. Επειδή εγώ δεν γνωρίζω τον ακριή τύπο της αλλά μόνο μία συναρτησιακή σχέση, θα πρέπει με κατάλληλους μετασχηματισμούς να εμφανίσω μέσα στο ολοκλήρωμα την δοσμένη σχέση. π π I = π d = d π d + Στο ολοκλήρωμα π Για = t = d θέτουμε = t d = dt d = dt Για π π = t = = ( )( ) = = d t dt t dt d π π π Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται π π π π ( ) I = d + d = + d = ηµ d Για τον υπολογισμό του θα κάνουμε χρήση της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης. π π π π I = d = d = d = [ ] ηµ συν συν ( ) ( συν ) [ συν ] συν d [ συν ] συν d [ συν ] [ ηµ ] π π π π π π π = + = + = + = π π π = συν + συν + ηµ ηµ = 4 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 4

44 4 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Παράδειγμα 6. Αν οι συναρτήσεις, : είναι συνεχείς και θεωρηθεί γνωστό ότι και η είναι συνεχής στο ( ) =, να δείξετε ότι: d = d Τα συμπεράσματα αυτής της άσκησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν και ως θεωρεία σε περιπτώσεις ασκήσεων όπου ο τύπος της συνάρτησης δεν είναι γνωστός, ενώ αντίθετα είναι γνωστός ο τύπος της. Στην συγκεκριμένη περίπτωση θέτουμε = t = ( t) και Για = t = Για = t = ( ) Άρα το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους γράφεται διαδοχικά: ( ) ( ) = = d t dt d d = dt ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΞΕΧΩΡΙΣΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ «ΘΕΤΩ» ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος = (, ) = (, ) = (, + ) I d, θέτουμε = ηµ t I d, θέτουμε = ηµt I d, θέτουμε = εϕt Παράδειγμα 7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) d ) + d α) Παρατηρούμε ότι μέσα στο ζητούμενο ολοκλήρωμα έχει κάνει την εμφάνιση της η παράσταση +, Άρα θέτουμε = εϕ = ( εϕ ) = ( + εϕ ) t d t dt d t dt 4. Ορισμένο Ολοκλήρωμα [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

45 . Ορισμένο Ολοκλήρωμα 44 π Για = εϕt = t = 4 Για = εϕt = t = Το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: εϕt ηµ t ( συνt) = + = = = = + + εϕ t συνt συνt π π π π d t dt tdt dt dt ( εϕ ) εϕ π π = ln 4 συνt = ln συν + ln συν = ln + ln = ln 4 ) d Παρατηρούμε ότι μέσα στο ζητούμενο ολοκλήρωμα έχει κάνει την εμφάνιση της, η παράσταση, = ηµ t d = ηµ t dt d = συν tdt Άρα θέτουμε Για Για π = ηµ t = ηµ t = ηµ t = t = 4 π = ηµ t = ηµ t = ηµ t = t = 4 Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται διαδοχικά: συνt συνt d = tdt = dt = dt = ηµ t ηµ t συν t π π π π συν π π συνt π π π π = dt = dt = t = = = π π π π π [ ] π 4συνt 4 4 [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 44

46 45 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F ΘΕΩΡΗΜΑ = t dt Αν είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F ( t) dt, Δ, = είναι μια παράγουσα της στο Δ. Δηλαδή ισχύει: α ( t) dt =, για κάθε Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [ α, ]. Αν G είναι μια παράγουσα της στο [ α, ], τότε α ( t) dt = G( ) G( α) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση = F ( t) dt είναι μια παράγουσα της στο [ α, ]. Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο [ α, ], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G = F( ) + c. () α Από την (), για = α, έχουμε G ( α) = F( α) + c = ( t) dt + c = c, οπότε c = G(α). α α Επομένως, G = F( ) + G( α), οπότε, για =, έχουμε G ( ) = F( ) + G( α) = ( t) dt + G( α) α και άρα α ( t) dt = G( ) G( α) Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

47 .4 Η Συνάρτηση 46 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α. Η συνάρτηση F οποίο η είναι συνεχής και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ F = t dt = t dt ορίζεται σε οποιοδήποτε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, στο φ Για τον λόγο αυτό, για να ρούμε το πεδίο ορισμού της F Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της φ Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού D της = t dt εργαζόμαστε ως εξής: Απαιτούμε τα α και φ() να ανήκουν συγχρόνως σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. ω Β. Αν F = t dt, τότε το πεδίο ορισμού της F ρίσκεται ως εξής: ϕ Βρίσκουμε τα Dω, Dϕ, D Απαιτούμε τα, ϕ ω να ανήκουν συγχρόνως σε καθένα από τα διαστήματα του D Παράδειγμα. Να ρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων. ln t t α) = + ln ( + e ) dt ) = ln ( ) e dt α) Αρχικά θα προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που ρίσκετε μέσα στο ολοκλήρωμα. t t Θέλουμε : e + > e > που ισχύει για κάθε t Επειδή ο τύπος της περιέχει ακόμη τον όρο απαιτούμε Άρα ο μόνος περιορισμός που προέκυψε είναι Συνεπώς D = * ) Αρχικά και εδώ θα προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που ρίσκεται μέσα στο ολοκλήρωμα. > > > άρα = (, + ) Θέλουμε t t e e t Τώρα για να μπορέσουμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα απαιτούμε η συνάρτηση που ρίσκεται στο επάνω άκρο να ανήκει στο προηγούμενο διάστημα Δ. [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 46

48 47 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Δηλαδή απαιτούμε ln > ln > ln > Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = (, + ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΩΝ Α. Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ και τότε: ( ( t ) dt ) = ( ) για κάθε. g g t dt, t dt, t dt h Β. Αν η είναι συνεχής στο Δ, η g είναι παραγωγίσιμη στο Α και ορίζεται η g για κάθε Α, τότε: g ( ) t dt = g g, Α Γ. Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ, οι g, h είναι παραγωγίσιμες στο Α και ορίζονται οι g και h στο Α, τότε: Παρατηρήσεις ( ) = ( g ) g ( h ) h ( ) g g g h t dt = h t dt + t dt t dt t dt = = h, Α. Στην περίπτωση Γ για τον υπολογισμό της παραγώγου μπορούμε να κάνουμε χρήση και του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού.. Όταν παραγωγίζουμε σχέσεις που περιέχουν ολοκλήρωμα με μεταλητό άκρο, για παράδειγμα g t dt, τότε πρέπει να έχουμε υπόψη τα εξής: έναν όρο της μορφής Η μεταλητή ολοκλήρωσης είναι το t Η μεταλητή παραγώγισης είναι το Αν το ολοκλήρωμα περιέχει και t και, τότε το θεωρείται σταθερός αριθμός. Για την παραγώγιση, όμως, πρέπει από το ολοκλήρωμα είτε με αντικατάσταση - είτε με διάσπαση σε άθροισμα ολοκληρωμάτων να «πάρουμε» το. Παράδειγμα. Να ρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. α) ln ) 5 = t dt = t dt + α) Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού όλων των συναρτήσεων που απαρτίζουν την συνάρτηση Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

49 .4 Η Συνάρτηση 48 Για την t απαιτούμε t t = [, + ) Για την ln απαιτούμε > Α = (, + ) Για την 5 το πεδίο ορισμού της είναι το Τώρα θέλουμε ln και 5 δηλαδή ln ln ln e e και Από την συναλήθευση των δύο προκύπτει το ζητούμενο πεδίο ορισμού της που είναι το σύνολο D = e,4 [ ] Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση εργαζόμαστε ως εξής( με την χρήση των μεθόδων που προαναφέραμε) : = t dt = t dt + t dt ln ln ( ) 5 ( 5 ) = t dt t dt = ln 5 ( ) ln ( ln ) ( 5 ) ( 5 ) ln = + 4 ) Θέλουμε t t και Πρέπει ακόμη για την συνάρτηση να ισχύει: Θέλουμε ακόμη + Μετά την συναλήθευση των τριών περιορισμών που έχουμε για το προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της θα είναι το σύνολο D =, Για την εύρεση της παραγώγου της έχουμε ότι: ( ) t 4 dt ( ) t dt t dt ( ) t dt + t dt = = + + = = ( ) ( ) + + = + = [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 48

50 49 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός t Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και g = + t dt δείξετε ότι Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο. g u du dt = να Πριν παραγωγίσουμε την συνάρτηση g, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι «μέσα» στο ολοκλήρωμα υπάρχει ένα, που για εμάς είναι η μεταλητή παραγώγισης. Αυτό λοιπόν το, που δεν παίζει κανένα ρόλο μέσα στο ολοκλήρωμα, αλλάζει τον τρόπο με τον οποίο παραγωγίζουμε την g. Πρέπει λοιπόν να το «γάλουμε» έξω, διαδικασία απλή, καθώς για το ολοκλήρωμα λογίζεται ως αριθμός και «γαίνει» όπως ένας αριθμός. ( ) t t g = u du dt g = u du dt Άρα t t t ( ) ( ( ) ) ( ) t ( ) g = u du dt g = u du dt + u du dt g = u du + u du dt Για τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου έχουμε: t t ( ) ( ) ( ( ) ) g = u du + u du dt g = u du + u du dt g = u du + u du + u du g = u du + + u du g = + u du g = + t dt Παράδειγμα 4. Να ρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α) = + tηµ ( t) dt,, ) ln ( ) = + t dt, > α) Κάτι αντίστοιχο συμαίνει και εδώ με την συνάρτηση καθώς το ολοκλήρωμα περιέχει τόσο την μεταλητή παραγώγισης όσο και την μεταλητή ολοκλήρωσης. Εδώ όμως τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά όσο στην προηγούμενη περίπτωση. Για να μπορέσουμε να «γάλουμε» το από το ολοκλήρωμα πρέπει να θέσουμε. t = u t dt = du dt = du dt = du και t = u Θέτουμε 49.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

51 .4 Η Συνάρτηση 5 Θυμίζουμε ότι η μεταλητή ως προς την οποία παραγωγίζουμε στο διαφορικό είναι το t άρα το λογίζεται ως αριθμός. Για t = u = Για t = u = u = Άρα η συνάρτηση γράφεται διαδοχικά: = + tηµ t dt = + u ηµ u du = u ηµ udu ηµ ( ηµ ηµ ) = + u udu = + u u u du = + ηµ udu uηµ udu = + ηµ udu uηµ udu Η συνάρτηση μετετράπη σε μία μορφή παραγωγίσιμη. Η είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού της. = + udu u udu = + udu u udu ( ηµ ηµ ) ( ηµ ) ( ηµ ) = + udu + udu ηµ ( ηµ ) ( ) ηµ ( ) ( ) ηµ ηµ ( ) ( ) ( ) ηµ ( ) ηµ ηµ ( ) ( ) ηµ ( ) = + udu + + = + udu + = + ηµ udu + ηµ ) Παρατηρούμε ότι μέσα στο ολοκλήρωμα που έχουμε κληθεί να παραγωγίσουμε υπάρχει ο παράγων. Θα χρειαστεί λοιπόν να θέσουμε: du t = u t dt = du dt = du dt = Θέτουμε: Για t = u = Για t = u = Άρα η δοσμένη συνάρτηση μετασχηματίζεται σε: du = + ln ( t ) dt = + ln ln ln u = + u du udu = + = ln udu [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 5

52 5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Η είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού της. Παραγωγίζοντας την έχουμε ότι: = ln udu ln ln ln ln = = ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α. Αν μας δίνεται μία ισότητα στην οποία εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά σχέση της μορφής t dt και ζητείται εύρεση (του τύπου) της, τότε: Εξασφαλίζουμε ότι και στα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις του Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη Προσοχή!!! Εάν μπροστά από το ολοκλήρωμα υπάρχει και μία άλλη παράσταση τότε διαιρούμε με αυτή την παράσταση έτσι ώστε να μας μείνει μόνο το ολοκλήρωμα το οποίο και θα φύγει μετά την παραγώγιση. Β. Εάν μέσα στο ολοκλήρωμα έχουμε και την μεταλητή παραγώγισης εκτός από την μεταλητή ολοκλήρωσης τότε πριν παραγωγίσουμε προσπαθούμε να γάλουμε την μεταλητή παραγώγισης έξω από το ολοκλήρωμα. Αυτό το επιτυγχάνουμε είτε απευθείας, είτε με την χρήση κατάλληλου «θέτω». Γ. Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο Δ και ότι η παράγωγός της είναι ίση με στο εσωτερικό του Δ. Σημείωση!!! Τα ορισμένα ολοκληρώματα όπου αυτά εμφανίζονται λογίζονται ως αριθμοί, ανεξάρτητα από την μεταλητή ολοκλήρωσης που μπορεί να έχουν. Είτε λοιπόν το υπολογίζουμε κατευθείαν, όπου αυτό είναι εφικτό, είτε το θέτουμε ίσο με μία σταθερά c. Παράδειγμα 5. Να δείξετε ότι η συνάρτηση (, + ) και να ρείτε τον τύπο της. t+ ln t = dt ln είναι σταθερή στο t + Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ). Για να δείξουμε ότι η είναι σταθερή αρκεί να δείξουμε ότι η πρώτη παράγωγος είναι μηδέν. 5.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

53 .4 Η Συνάρτηση 5 t+ ln t t+ ln t = dt ln dt ( ln ) = t + t + + ln ln + ln + ln = = ln ln + ln + ln = + = ln ( ln ) + ln ln = + = ln ln + + ln + ln = + = = Άρα = c, c Δοκιμάζουμε να δώσουμε μία τιμή στην που να μηδενίζει το ολοκλήρωμα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η τιμή αυτή είναι για = t+ ln t = c dt ln = c c = t + Άρα ( ) = για κάθε (, + ) π Παράδειγμα 6. Να δείξετε ότι η συνάρτηση :, σταθερή. εϕ dt είναι σϕ + t με = Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο π συναρτήσεων στο, π, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων εϕ = dt σϕ = + t + + ( εϕ ) ( σϕ ) εϕ σϕ [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 5

54 5 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός = ( εϕ) ( σϕ) = ( + εϕ ) ( σϕ ) + εϕ + σϕ + εϕ + σϕ = + = Άρα η είναι σταθερή στο πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα 7. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και = ( ) u G = t dt du, να δείξετε ότι οι συναρτήσεις FG, είναι ίσες. Θέλουμε να δείξουμε ότι F G F G = για κάθε. Θεωρούμε συνάρτηση H = F G με F u u du, και = για κάθε δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι Η H είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. u ( ( ) ) u ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) H = F G H = u u du t dt du H = u u u du t dt du H = u du u u du t dt H = u du u u du t dt H = u du + u du u u du t dt H = + ( u) du t dt H Άρα H = c για κάθε. Για = έχουμε ότι: u = H = c u u du t dt du = c c = Επομένως H F G F G F G = = = για κάθε. Παράδειγμα 8. Αν η συνάρτηση :[, ) 4 ( ) g = t t dt είναι συνεχής στο = + είναι συνεχής, να δείξετε ότι η 5.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

55 .4 Η Συνάρτηση 54 Για έχουμε ότι: Θέτουμε t = u t = u Για t = u = u = Για t = u = u = u dt = du dt = du Άρα η g γράφεται διαδοχικά. u = = = = u u du g 4 t ( t ) dt g 4 ( u) du g 4 u ( u) du g 4 Για = έχουμε ότι: t g = 4 t ( t) dt = 4 t dt 4 tdt 4 = = = Για να δείξουμε ότι η είναι συνεχής στο = αρκεί να δείξουμε ότι lim g = g ( u u du ) ( ) u ( u) du = lim g = lim lim = lim = lim = = g De l' Hospitl Άρα η g είναι συνεχής στο = Παράδειγμα 9. Έστω μία συνάρτηση : [, + ) η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει = +, t dt. Αν = να ρείτε τον τύπο της. : Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης έχουμε ότι: [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 54

56 55 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ( ( )) + ( ) = + = + t dt t dt ( ) = + = = = + = + = + c Για = έχουμε ότι: + = + c + = + c 4= + c c= Άρα: = + + = + = = Επειδή η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [, ) + = ή + = Από υπόθεση ισχύει ότι: = άρα + έχουμε ότι: + = για κάθε [, + ) Παράδειγμα. Να ρείτε τον τύπο των παρακάτω συνεχών συναρτήσεων : (, ) όταν: ( t) α) = + dt ) t dt = t + α) Παρατηρούμε ότι μέσα στο δοσμένο ολοκλήρωμα υπάρχει τόσο η μεταλητή ολοκλήρωσης όσο και η μεταλητή παραγώγισης. Για να μπορέσουμε να παραγωγίσουμε τη δοσμένη σχέση πρέπει πρώτα να γάλουμε την μεταλητή παραγώγισης από το ολοκλήρωμα. t = + dt = + ( t) dt Παρατηρούμε τώρα πως μπροστά από το ολοκλήρωμα υπάρχει ο παράγοντας κάτι που δηλώνει πως εάν παραγωγίσουμε δεν θα μπορέσουμε να διώξουμε το ολοκλήρωμα. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν και τους δύο όρους της προηγούμενης σχέσης με Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

57 .4 Η Συνάρτηση 56 = + ( t) dt = + ( t) dt = + ( t) dt () Παραγωγίζοντας τώρα και τα δύο μέλη της () παίρνουμε διαδοχικά: ( ) = + t dt + = + t dt ( ) > + = + = = = ( ln ) = ln + c = η αρχική σχέση δίνει Για t = + dt = Άρα = ln+ c= c= δηλαδή = ln + για κάθε (, + ) ) Με όμοιο τρόπο θα εργαστούμε και σε αύτη την περίπτωση. t t t dt = t dt = dt t = t ( t) = dt t Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης έχουμε ότι: ( t) ( t) dt = dt = t t = = = = = = + c Για = η αρχική σχέση δίνει: t dt t = = Άρα = + c= c=. Επομένως = + = για κάθε (, + ) + Παράδειγμα. Να ρείτε τη συνεχή συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( t) ( t) ln dt = + dt, = (, + ) t t [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 56

58 57 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Η είναι παραγωγίσιμη στο Δ ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) Έχουμε ότι: ( t) ( t) ( t) ln dt = + dt ( t)( ln ln t) dt dt t t = + t ( t) ( ln ( t) ln t ( t) ) dt = + dt t ( t) ln ( t) dt ln t ( t) dt dt = + t ( t) ln ( t) dt ln t ( t) dt = + dt t Διαιρούμε και τα δύο μέλη με. ( t) ln ln dt t dt t t dt = + t ( t) ln ( t) dt ln t ( t) dt dt = + t Και στην συνέχεια παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη. ( ln ln ) ( ln ) ln ( ) ln ln t dt + ln t dt ln = + ln + t dt = + ( t) t dt t t dt dt = + t ( t) t dt t t dt dt = + t ( t) dt = t dt = Η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ). Άρα ( ) t dt = t dt = = + = + ( ) ( ) + = + = = + e e e e e e e e c 57.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

59 .4 Η Συνάρτηση 58 Για = η αρχική σχέση δίνει: t ( t) ln dt = + dt = t t Και η () ( t) dt = = Άρα η σχέση () δίνει για = : Δηλαδή = για κάθε (, + ) e e c c = + = = = e e = ( ) e = e = c = ce = Για = ce = c e c = Επομένως = e = για κάθε (, + ) Παράδειγμα. Να ρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης : e t t ln d dt = όταν ισχύει: Προσοχή!!! Εδώ το που ρίσκεται μέσα στο ολοκλήρωμα επειδή υπάρχει και στο διαφορικό λογίζεται ως μεταλητή ολοκλήρωσης και όχι ως μεταλητή παραγώγισης. Ο τρόπος που θα εργαστούμε στο συγκεκριμένο ολοκλήρωμα είναι ο εξής: Αρχικά «γάζουμε» από το δεύτερο ολοκλήρωμα ότι περιέχει t καθώς αυτοί οι παράγοντες λογίζονται ως αριθμοί. e e = t t ln d dt = t t ln d dt () Παρατηρούμε πως μέσα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα εμφανίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα το οποίο μπορούμε και να υπολογίσουμε χωριστά. e ln d d = d = d = d = e e ln ln [ ln ] ( ln ) [ ln ] e e e e e e e e [ ] [ ] [ ] = ln d= ln = e ln e ln e = e e+ = Άρα η () γράφεται διαδοχικά: = e ln = = () t t d dt t t dt t t dt [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 58

60 59 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης () έχουμε ότι: ( ) = t t dt = t t dt = = e e = e = e = c = c e Για = η σχέση () γράφεται διαδοχικά: = t t dt = Άρα = ce = c Δηλαδή e = = για κάθε. Παράδειγμα. Να ρείτε τη συνεχή συνάρτηση : ( ) t = + dt e e Αρχικά θα «γάλουμε» το ( ) e από το ολοκλήρωμα. για την οποία ισχύει t = + dt ( ) ( t) dt e e e ( t) dt e = + e e e = + e e = + e t dt Θέτουμε t = u t dt = du dt = du dt = du Για t = u = u = Για t = u = u = Άρα η σχέση () γράφεται διαδοχικά: e = + t dt e = + u du () e = u du e = + u du Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () έχουμε ότι: 59.4 Η Συνάρτηση [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου]

61 .4 Η Συνάρτηση 6 ( ) ( ) ( ) = + + = + e u du e e u du e + e = e + e = ( e ) e + e = + = e + e + e + e = e + e e = + e + e ( e ) e c ( ) = = Για = η σχέση () δίνει: e u du = + = + e Άρα η () γράφεται: Επομένως έχουμε ότι: e = c c= e + e + e e e e = c e = e = e e = e για κάθε Παράδειγμα 4. Έστω μία συνεχείς συνάρτηση : (, ) t = + dt t + για την οποία ισχύει Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) t = u t = u dt = u du dt = du Θέτουμε Για t = u = u = Για t = u = u = Άρα η δοσμένη σχέση γράφεται διαδοχικά: t = + dt ( u) du ( u) du = + = + t u u () Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης [Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου].4 Η Συνάρτηση 6

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Ορισμοί α) Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Β, όπου Β ένα υποσύνολο του Α, θα λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β Αν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Β. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων Εκφράζεται με τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= f()g() - f ()g()d

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

β β g( x) και du=g (x)dx g( x)

β β g( x) και du=g (x)dx g( x) www.fr-nodos.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΤΑ Αν f συνεχής [α,] τότε. το ορισµένο ολοκλήρωµα f ( ) d,ισούται f ( ) d= F( ) F( ),όπου F µια αρχική της f 2. το ορισµένο ολοκλήρωµα είναι πάντα αριθµός ετσι f ( ) d= c και (

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ o A. Ρητή της μορφής (0/0), με παραγοντοποίηση εμφανίζουμε το (χ-χ ο ) σε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε και στη συνέχεια κάνουμε αντικατάσταση σε ό,τι έμεινε!

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1 ΘΕΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g με () και g() ln( + ) +. Να αποδείξετε ότι οι C, C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Στη συνέχεια να δείξετε ότι στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη, την οποία και να βρείτε.

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε Σελίδα από 49 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Μπάμπης Στεργίου - 07 Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε διεξοδικά τις έννοιες και τις προτάσεις που αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα