ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Transcript

1 Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά υποδείγµατα ονοµάζονται στοχαστικά. ίνοντας ένα απλό παράδειγµα ντετερµινιστικού και στοχαστικού υποδείγµατος, εξηγήστε τις βασικές διαφορές των δυο αυτών υποδειγµάτων. [] (β) Αναλύστε τους παράγοντες που καθιστούν αναγκαία την παρουσία της στοχαστικής µεταβλητής στα οικονοµετρικά υποδείγµατα. [,5] Θέµα Εκτιµήστε τις παραµέτρους β και β του υποδείγµατος της γραµµικής παλινδροµήσεως Y =β +β X +u µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Αναφέρετε τη βασική ιδέα της µεθόδου και αποδείξτε πως καταλήγουµε στις ονοµαζόµενες κανονικές εξισώσεις. Τέλος λύνοντας τις κανονικές εξισώσεις δώστε τις σχέσεις που µας προσδιορίζουν τους εκτιµητές βˆ, των παραµέτρων β, β. [,5] βˆ Θέµα 3 Έστω Ŷ = βˆ + βˆ X η γραµµή παλινδροµήσεως της Υ στην Χ. Υπό ποιες προϋποθέσεις η γραµµή παλινδροµήσεως της Χ στην Υ (η Υ θεωρείται ανεξάρτητη µεταβλητή και η Χ εξαρτηµένη µεταβλητή) δίνεται από την έκφραση: βˆ Xˆ = Y - βˆ βˆ Σηµειώνεται ότι βˆ = Y - βˆ X, βˆ =, όπου Y, X οι µέσες τιµές των Υ και Χ και (X - X) = (Y - Y)(X - X), = προσδιορισµού. [,5] R = ο συντελεστής Θέµα 4 Θεωρείστε το υπόδειγµα της γραµµικής πολυµεταβλητής παλινδροµήσεως: Y =β +β X +β X + +β K X K +u Αναφέρετε και αναλύστε τις βασικές υποθέσεις του υποδείγµατος που αφορούν τη συµπεριφορά της στοχαστικής µεταβλητής u, τις ερµηνευτικές µεταβλητές X, X,, X Κ και τα στατιστικά στοιχεία που θα χρησιµοποιηθούν για την εκτίµηση του. [,5] yy

2 Β εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµα (α) Έστω το υπόδειγµα Y=F(X, X,, X k, u), όπου Υ η εξαρτηµένη µεταβλητή, X, X,, X k οι ερµηνευτικές µεταβλητές και u ο διαταρακτικός όρος. Πότε το υπόδειγµα ονοµάζεται γραµµικό ως προς τις µεταβλητές και πότε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις µεταβλητές; [] (β) Να εξετάσετε αν το υπόδειγµα Y=3X X -8+u είναι γραµµικό ως προς τις µεταβλητές X, X. Είναι το υπόδειγµα προσθετικό ως προς τις µεταβλητές X, X ; [] Θέµα (α) Σε ένα οικονοµετρικό υπόδειγµα µιας εξίσωσης ποια ονοµάζεται εξαρτηµένη µεταβλητή και ποια η ανεξάρτητη ή ερµηνευτική µεταβλητή; ώστε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα στο οποίο θα αναφέρετε ποια είναι η εξαρτηµένη και η ανεξάρτητη µεταβλητή. [] (β) Είναι δυνατόν σε ένα οικονοµετρικό υπόδειγµα να αλλάξουν ρόλους η εξαρτηµένη και η ανεξάρτητη µεταβλητή; ικαιολογείστε την απάντηση σας.[] Θέµα 3 (α) Έστω Y =β +β X +u η οικονοµετρική µορφή της γραµµικής σχέσης που υποθέτουµε ότι συνδέει τις µεταβλητές Y και Χ. Θεωρώντας ότι ισχύουν οι υποθέσεις του υποδείγµατος της κλασικής γραµµικής παλινδροµήσεως να δείξετε ότι ο µέσος E(Y ) και η διακύµανση Var(Y ) της Y δίνονται από τις σχέσεις E(Y )= β +β X, Var(Y )=σ όπου σ η διακύµανση της τυχαίας µεταβλητής u.[] (β) Τι ονοµάζουµε γραµµή παλινδροµήσεως στον πληθυσµό και τι γραµµή παλινδροµήσεως στο δείγµα; Τι ονοµάζεται κατάλοιπο ή απόκλιση û ;[] Θέµα 4 Έστω ότι η καθαρή επένδυση (Υ) και η µεταβολή στις πωλήσεις (Χ) συνδέονται µε τη σχέση Υ=β +β X+u. Ένα τυχαίο δείγµα από 5 επιχειρήσεις έδωσε τα παρακάτω αποτελέσµατα (οι τιµές είναι σε χιλιάδες ευρώ) Υ Χ α) Να αποδειχθεί ότι (Y-Y) = Y -Y. [,5] β) Να εκτιµηθούν οι παράµετροι β, β µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. [] γ) Εκτιµήστε το επίπεδο των επενδύσεων αν οι πωλήσεις αυξηθούν κατά δέκα χιλιάδες ευρώ. [,5] δ) Αν υποθέσουµε ότι η τυχαία µεταβλητή u ακολουθεί την κανονική κατανοµή να ελεγχθεί η υπόθεση β =, έναντι της εναλλακτικής β > σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Τι συµπέρασµα βγάζετε για τη σχέση ανάµεσα στις επενδύσεις και στη µεταβολή των πωλήσεων; [,5]

3 ε) Να υπολογίσετε το συντελεστή προσδιορισµού. Η τιµή του συµφωνεί µε το αποτέλεσµα της ερώτησης δ; [,5] Σηµειώνεται ότι Var(β ˆ σ )= και ότι ένας αµερόληπτος εκτιµητής της διακύµανσης σ yy -βˆ δίνεται από τη σχέση =. - ίνεται επίσης ο πίνακας τιµών της κατανοµής t (ν = βαθµοί ελευθερίας): ν α=, α=,5 α=,5 3,638,353 3,8 4,533,3,776 5,476,5,57 6,44,943,447 7,45,895,365

4 Α εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 3 λεπτά Θέµα [,5 µονάδες] (α) Έστω το υπόδειγµα Y=F(X, X,, X k, u), όπου Υ η εξαρτηµένη µεταβλητή, X, X,, X k οι ερµηνευτικές µεταβλητές και u ο διαταρακτικός όρος. Πότε το υπόδειγµα ονοµάζεται γραµµικό και προσθετικό ως προς τις µεταβλητές; [,5] (β) Να εξετάσετε αν τα ακόλουθα υποδείγµατα Y= 5,4-7X - 3X X + u Y= -6X ,3X + u είναι γραµµικά και προσθετικά ως προς τις µεταβλητές. [] Θέµα [4,5 µονάδες] Έστω Y = β + β X + u η οικονοµετρική µορφή της γραµµικής σχέσης που υποθέτουµε ότι συνδέει τις µεταβλητές Y και Χ. (α) Να δείξετε ότι οι σχέσεις: u ˆ =, X u ˆ =, όπου û τα κατάλοιπα, αποτελούν µια άλλη µορφή των κανονικών εξισώσεων. [] (β) Τι ονοµάζουµε µεταβλητικότητα της ερµηνευόµενης µεταβλητής Y; Τι ονοµάζεται συντελεστής προσδιορισµού R και τι τιµές µπορεί να πάρει; [,5] (γ) Να αποδείξετε ότι: R = (Σηµείωση: Γράψτε τον ορισµό του R, δείξτε ότι ζητούµενο). [] yy (Yˆ -Y) = β ˆ και στη συνέχεια αποδείξτε το Θέµα 3 [4 µονάδες] Έστω ότι η ζήτηση (Y) ενός αγαθού Α είναι γραµµική συνάρτηση της τιµής του (X ) και της τιµής (X ) ενός υποκατάστατου αγαθού Β. ηλαδή, η συνάρτηση ζήτησης είναι: Y = β + β X + β X + u. Στον πίνακα που ακολουθεί αναγράφονται οι παρατηρήσεις για τη ζήτηση του αγαθού Α και οι αντίστοιχες τιµές των αγαθών Α και Β, σε κατάλληλες µονάδες: Υ Χ 3 5 3,5 4 4,5 Χ 8 6,5 7,5 6 7 (α) Να γραφούν οι κανονικές εξισώσεις για το συγκεκριµένο υπόδειγµα, που προκύπτουν από τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. [] (β) Να εκτιµηθούν οι παράµετροι β, β, β µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. [,5] (γ) Σχολιάστε τη σηµασία των προσήµων των εκτιµητών β ˆ ˆ, βπου βρήκατε στο ερώτηµα (β). [,5]

5 Β εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες Θέµα [,5 µονάδες] Να δικαιολογήσετε αν τα ακόλουθα υποδείγµατα Y= 7X + X - 3X X + u 3 3 Y= -X + 8 X 3 + 5,3X + u Y= 7X + 5X - X + u είναι γραµµικά και προσθετικά ως προς τις µεταβλητές τους. Θέµα [3 µονάδες] Έστω Y =β +β X +u η οικονοµετρική µορφή της γραµµικής σχέσης που υποθέτουµε ότι συνδέει τις µεταβλητές Y και Χ, και Ŷ = βˆ + βˆ X η γραµµή παλινδροµήσεως της Υ στην Χ που προκύπτει από τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. (α) Να γραφούν οι κανονικές εξισώσεις για το συγκεκριµένο υπόδειγµα. [] (β) Να δείξετε ότι η γραµµή παλινδρόµησης του δείγµατος περνάει από το σηµείο που ορίζεται από την µέση τιµή των Υ και Χ. [] (γ) Να δείξετε ότι το άθροισµα των τιµών της Υ από το δείγµα είναι ίσο µε το άθροισµα των τιµών που υπολογίζουµε από την παλινδρόµηση ( ΣΥ =Σ Ŷ ). [] Θέµα 3 [,5 µονάδες] Για τον προσδιορισµό της σχέσης του παραγόµενου έργου Υ ως συνάρτηση των εργατοωρών Χ εξετάστηκε η συµπεριφορά 5 εργατών. Από την επεξεργασία των δεδοµένων έχουµε ΣΧ =, ΣΥ=44, ΣΧ =, ΣΥ =48, ΣΧΥ=83,5. Να προσδιορίσετε την ευθεία παλινδρόµησης µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Θέµα 4 [3 µονάδες] Έστω ότι η καθαρή επένδυση (Υ) και η µεταβολή στις πωλήσεις (Χ) συνδέονται µε τη σχέση Υ=β +β X+u. Η µελέτη ενός δείγµατος από επιχειρήσεις έδωσε τις ακόλουθες εκτιµήσεις για τον συντελεστή β και τη διακύµανση του: β ˆ =.55, ˆ β =.. Να ελεγχθούν σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% (α) η υπόθεση β =, έναντι της εναλλακτικής β, και [,5] (β) η υπόθεση β =.5, έναντι της εναλλακτικής β >.5 [,5] ίνεται επίσης ο πίνακας τιµών της κατανοµής t (ν = βαθµοί ελευθερίας): ν α=, α=,5 α=,5,37,8,8,363,796,,356,78,79 3,35,77,6 4,345,76,45