Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική Τμήμα Χημικών Μηχανικών 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Διαδικασία Ελέγχου Στατιστικής Υπόθεσης Έλεγχος Παραμέτρων Πληθυσμού Χαρακτηριστικά Ελέγχου Έλεγχος Υποθέσεων 4

5 Statistik upìjesh Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc Apìfash elègqou 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh H 0 : θ = θ 0 enallaktik upìjesh H 1 : 1 H 1 : θ θ 0, dðpleuroc èlegqoc 2 H 1 : θ < θ 0, monìpleuroc èlegqoc SÔnolo dunat n tim n thc θ: θ 0 kai < θ 0 Swstìtera H 0 : θ θ 0 kai H 1 : θ < θ 0 3 H 1 : θ > θ 0, ìpwc (2)

6 Statistik upìjesh Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc Apìfash elègqou Statistik elègqou, perioq apìrriyhc Dunatèc timèc thc θ qwrðzontai: Perioq apodoq c thc H 0 Perioq apìrriyhc R thc H 0 EpÐpedo empistosônhc (1 α) gia thn apìfash elègqou α: epðpedo shmantikìthtac H perioq apodoq c kai apìrriyhc allˆzei me to α Katanom gia thn ektim tria ˆθ thc θ? parametrikìc èlegqoc: upojètoume katanom gia ˆθ m parametrikìc èlegqoc: den upojètoume katanom gia ˆθ

7 Statistik upìjesh Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc Apìfash elègqou Parametrikìc èlegqoc ˆθ q statistik elègqou q èqei gnwst katanom (eðnai z, t χ 2 ) α krðsimh(ec) tim (èc) thc q R

8 Statistik upìjesh Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc Apìfash elègqou Apìfash elègqou UpologÐzoume apì to deðgma ˆθ q q R apìrriyh thc H 0 q / R mh apìrriyh thc H 0 p-tim tou elègqou Gia q (γνωστή κατανομή της q όταν ισχύει η Η 0 ) 1 p = P(q < q q > q ) 2 p = P(q < q) 3 p = P(q > q) H p-tim dhl nei to mikrìtero epðpedo shmantikìthtac gia to opoðo mporoôme na aporrðyoume thn H 0 me bˆsh to deðgma.

9 Statistik upìjesh Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc Apìfash elègqou DiadikasÐa statistikoô elègqou 1 Epilog epipèdou shmantikìthtac α 2 Kajorismìc statistik c elègqou q 3 Upologismìc krðsimhc (-wn) tim c (- n) thc q apì ton antðstoiqo statistikì pðnaka kai kajorismìc thc perioq c apìrriyhc R 4 Upologismìc thc statistik c elègqou q apì to deðgma 5 Apìrriyh thc H 0 an q an kei sthn R. Mh apìrriyh thc H 0 an q den an kei sthn R.

10 Statistik upìjesh Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc Apìfash elègqou DiadikasÐa statistikoô elègqou Genikˆ ìtan θ eðnai µ, p, µ 1 µ 2, p 1 p 2 : H 0 : θ = θ 0 Statistik elègqou: q = ˆθ θ 0 σ ˆθ { Tupik kanonik N(0, 1) Katanom thc q: student me ν bajmoôc eleujerðac t ν Perioq apìrriyhc (epðpedo shmantikìthtac α): 1 H 1 : θ θ 0 : R = {q q < q α/2 q > q 1 α/2 } 2 H 1 : θ < θ 0 : R = {q q < q α } 3 H 1 : θ > θ 0 : R = {q q > q 1 α }

11 Statistik upìjesh Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc Apìfash elègqou DiadikasÐa statistikoô elègqou (sunèqeia) Deigmatik statistik elègqou: q = ˆθ θ 0 σ ˆθ q R apìrriyh thc H 0 q / R mh apìrriyh thc H 0 p-tim : 1 p = P(q < q q > q) 2 p = P(q < q) 3 p = P(q > q)

12 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, gnwstì σ 2 Θέλουμε να ελέγξουμε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 αν το μέσο ποσοστό του πορώδους ηλίου µ στο γαιάνθρακα από το κοίτασμα Α είναι 6. Η διασπορά είναι γνωστή, σ 2 = 0.4. H 0 : µ = 6 kai H 1 : µ 6 σ 2 gnwst, X N(µ, σ 2 ) q = z = x µ 0 σ/ n [δίπλευρος έλεγχος] N(0, 1) KrÐsimh tim : z = 1.96 R = {z z > 1.96}

13 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, gnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x = 5.67, n = 25) z = /25 = 2.61 z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim gia z = 2.61 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(2.61)) = 2( ) = 0.009

14 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, ˆgnwsto σ 2 Άγνωστη διασπορά του πορώδους ηλίου του γαιάνθρακα. H 0 : µ = 6 kai H 1 : µ 6 [δίπλευρος έλεγχος] σ 2 ˆgnwsto, n = 25 < 30, X N(µ, σ 2 ) KrÐsimh tim : t 24,0.975 = 2.06 q = t = x µ 0 s/ n t n 1 Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {t t > 2.06}

15 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, ˆgnwsto σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x = 5.67, n = 25, s 2 = 0.375) t = /25 = 2.69 t R apìrriyh thc H 0 gia α = Diˆsthma empistosônhc [5.42, 5.92] p-tim gia t = 2.69 p = 2(1 P(t t )) = 2(1 P(t 2.69)) = 2( ) = 0.012

16 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 'Elegqoc upìjeshc H 0 : µ = µ 0 stic diˆforec peript seic diasporˆ katanom thc X n katanom statistik c q gnwst kanonik z = x µ 0 σ/ N(0, 1) n gnwst mh kanonik megˆlo z = x µ 0 σ/ N(0, 1) n gnwst mh kanonik mikrì ˆgnwsth megˆlo z = x µ 0 s/ n N(0, 1) ˆgnwsth kanonik mikrì t = x µ 0 s/ n t n 1 ˆgnwsth mh kanonik mikrì

17 Parˆdeigma: 'Elegqoc diasporˆc 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Θέλουμε να ελέγξουμε αν θα μπορούσαμε να πούμε με μεγάλη σιγουριά (επίπεδο εμπιστοσύνης 99%) πως η τυπική απόκλιση σ του πορώδες ηλίου στο γαιάνθρακα του κοιτάσματος μπορεί να ξεπεράσει το επίπεδο του 0.5. 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 : H 0 : σ , H 1 : σ 2 > 0.25, [monìpleuroc èlegqoc] q = χ 2 (n 1)s2 σ 2 0 X 2 n 1, KrÐsimh tim : χ 2 24,0.99 = Perioq apìrriyhc thc H 0 : R = {χ 2 χ 2 > 42.98}

18 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diasporˆc (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma (n = 25, s 2 = 0.375) χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 = = 36.0 χ 2 / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.01 p-tim gia χ 2 = 36.0 p = 1 P(χ 2 < χ 2 ) = 1 P(χ ) = = 0.055!!!

19 Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Μια εταιρεία ενδιαφέρεται να ελέγξει σε σημαντικότητα 0.05 αν η αναλογία των σκουριασμένων ραβδών χάλυβα στην αποθήκη της είναι Δείγμα: 12 σκουριασμένες σε σύνολο 100 ραβδών. H 0 : p = 0.19 H 1 : p 0.19 [δίπλευρος έλεγχος] n megˆlo KrÐsimh tim z = 1.96 q = z = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n Perioq apìrriyhc R = {z z > 1.96} N(0, 1)

20 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma (ˆp = 0.12) z = = z / R mh apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [0.056, 0.184]? ˆp(1 ˆp) UpologÐsthke apì ˆp ± z α/2 n

21 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac (sunèqeia) Η εταιρεία γνωρίζει ότι είναι απίθανο το ποσοστό να κυμαίνεται σε επίπεδα μεγαλύτερα του 19% H 0 : p 0.19, H 1 : p < 0.19 [μονόπλευρος έλεγχος] KrÐsimh tim z 0.95 = 1.65 Perioq apìrriyhc R = {z z < 1.65} z = (ìpwc prin) z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim p = P(z < z) = P(z < 1.784) = Φ( 1.784) = 1 Φ(1.784) = = An tato epðpedo empistosônhc pou mporoôme na aporrðyoume thn H 0 : p 0.19 eðnai perðpou 96%.

22 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, gnwstì σ 2 Θέλουμε να ελέγξουμε αν οι γαιάνθρακες από δύο κοίτασματα Α και Β έχουν το ίδιο μέσο πορώδες ηλίου. Θεωρούμε γνωστή και κοινή διασπορά σ 2 = 0.4. H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 [δίπλευρος έλεγχος] γνωστή και κοινή διασπορά, κανονικές κατανομές KrÐsimh tim : z = 1.96 q = z = x 1 x 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 N(0, 1) Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {z z > 1.96}

23 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, gnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x 1 = 5.67, x 2 = 5.38, n 1 = 25, n 2 = 20) z = = 1.53 z / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim gia z = 1.53 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(1.53)) = 2( ) = 0.126

24 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, ˆgnwsto σ 2 Διασπορά του πορώδους ηλίου κοινή αλλά άγνωστη H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 [δίπλευρος έλεγχος] άγνωστη και κοινή διασπορά, κανονικές κατανομές q = t = x 1 x 2 s n1 n2 KrÐsimh tim : t 43,0.975 = 2.02 t n1 +n 2 2 Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {t t > 2.02}

25 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, ˆgnwsto σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x 1 = 5.67, x 2 = 5.38, n 1 = 25, n 2 = 20 s 2 1 = 0.375, s2 2 = s2 = 0.353, s = 0.594) t = = 1.63 t / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [ 0.07, 0.65] p-tim gia t = 1.63 p = 2(1 P(t < t )) = 2(1 P(t 1.63)) = 2( ) = 0.11

26 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n Θέλουμε να ελέγξουμε αν οι αναλογίες σκουριασμένων ραβδών χάλυβα είναι ίδιες σε δύο αποθήκες. Δεδομένα: πρώτη αποθήκη, 12 στις 100 ράβδους σκουριασμένες, δεύτερη αποθήκη, 26 στις 120 ράβδους σκουριασμένες. H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 [δίπλευρος έλεγχος] n megˆlo ˆp 1 ˆp 2 q = z = N(0, 1) p1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 SÔmfwna me th mhdenik upìjesh eðnai p 1 = p 2 = p H statistik elègqou gðnetai ˆp 1 ˆp 2 q = z = ( ) N(0, 1) p(1 p) n1 n2

27 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) KrÐsimh tim z = 1.96 Perioq apìrriyhc R = {z z > 1.96} ˆp 1 = 0.12, ˆp 2 = koin analogða ˆp = n 1ˆp 1 + n 2ˆp = = n 1 + n Statistik elègqou apì to deðgma ˆp 1 ˆp 2 z = ( ) = 1 ˆp(1 ˆp) n n ( ) ( ) = 1.89

28 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) z / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [ 0.198, 0.004] p-tim gia z = 1.89 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(1.89)) = 2(1 0.97) = 0.06

29 'Elegqoc gia th mèsh tim µ 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 'Elegqoc gia thn analogða p 'Elegqoc gia th diaforˆ mèswn tim n µ 1 µ 2 'Elegqoc gia th diaforˆ dôo analogi n p 1 p 2 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) Εστω ότι γνωρίζουμε πως η δεύτερη αποθήκη έχει κατά κανόνα πιο παλιές ράβδους από την πρώτη H 0 : p 1 p 2, H 1 : p 1 < p 2 [μονόπλευρος έλεγχος] KrÐsimh tim z 0.95 = 1.65 Perioq apìrriyhc R = {z z < 1.65} z = 1.89 (ìpwc prin) z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim p = P(z < z) = P(z < 1.89) = Φ( 1.89) = 1 Φ(1.89) = = 0.03 An tato epðpedo empistosônhc pou mporoôme na aporrðyoume thn H 0 : p 1 p 2 eðnai perðpou 97%.

30 1 Swst apìfash (swst H 0 ) me pijanìthta P(apodoq thc H 0 H 0 swst ) = 1 α 2 Sfˆlma tôpou I me pijanìthta P(apìrriyh thc H 0 H 0 swst ) = α. 3 Sfˆlma tôpou II me pijanìthta P(apodoq thc H 0 H 0 lanjasmènh) = β. 4 Swst apìfash (swst H 1 ) me pijanìthta P(apìrriyh thc H 0 H 0 lanjasmènh) = 1 β [dônamh elègqou]

31 (sunèqeia)

32 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Κουγιουμτζής Δημήτρης. «Στατιστική. Έλεγχος Υποθέσεων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική Τμήμα Χημικών Μηχανικών

33 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική Τμήμα Χημικών Μηχανικών

34 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ. Μπατζιάκα Βασιλική Θεσσαλονίκη, Μάιος 2015

35 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

36 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική Τμήμα Χημικών Μηχανικών

37 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική Τμήμα Χημικών Μηχανικών