Μοριακά Μοντέλα: Ένα Ανεκτίμητο Εργαλείο στον Ορθολογιστικό Σχεδιασμό Φαρμάκων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μοριακά Μοντέλα: Ένα Ανεκτίμητο Εργαλείο στον Ορθολογιστικό Σχεδιασμό Φαρμάκων"

Transcript

1 ΑΡΘΡΑ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ! REVIEW ARTICLES ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ 14, III, , 2001 PHARMAKEFTTKI14, III, , 2001 Μοριακά Μοντέλα: Ένα Ανεκτίμητο Εργαλείο στον Ορθολογιστικό Σχεδιασμό Φαρμάκων Ι. Κυρίκου 12 *, Α. Κάπου 13, Θ. Μαυρομούστακος 1, Κ. Ποΰλος Ινστιτούτο Οργανικής και Φαρμακευτικής Χημείας, Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών, Βασ. Κων/νον 48, Αθήνα Τμήμα Χημείας, Τομέας Οργανικής Χημείας & Βιοχημείας, Πανεπιστήμιο Πατρών 3. Τμήμα Φαρμακευτικής, Τομέας Φαρμακευτικής Χημείας, Πανεπιστήμιο Πατρών Περίληψη Στο άρθρο αυτό αναπτύσσονται οι αρχές της Μοριακής Μοντελοποίησης, τα συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιεί για να εκφράσει τα αποτελέσματα της καθώς και τα είδη γραφικής απεικόνισης των μορίων. Αναπτύσσονται επίσης οι μέθοδοι υπολογισμού που χρησιμοποιεί και δίνεται έμφαση στη Μοριακή Μηχανική. Η μελέτη διαμόρφωσης των μορίων έχει ως πρώτο στάδιο την ελαχιστοποίηση της ενέργειας της πρωταρχικής των διαμόρφωσης όπως λαμβάνεται από ένα κατάλληλο πρόγραμμα κατασκευής δομής ή τα κρυσταλλογραφικά δεδομένα ακτίνων-χ. Συγκρίνονται οι αλγόριθμοι ε λαχιστοποίησης της ενέργειας και παρέχεται ένα παράδειγμα χρήσης τους με ένα βιοδραστικό διπεπτίδιο το β - Ala - Tyr ( παραλυσίνη). 1. Αρχές Μοριακής Μοντελοποίησης 123 Οι περισσότερες μελέτες μοριακής μοντελοποίησης συμπεριλαμβάνουν τρία στάδια μοριακών μοντέλων. Πρώτο στάδιο: Γίνεται επιλογή μιας μεθόδου η οποία περιγράφει τη δομή και τις ιδιότητες του συστήματος. Οι δύο περισσότερο χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι η Μοριακή Μηχανική και η Κβαντική Μηχανική. Οι μέθοδοι αυτές συμπεριλαμβάνουν μία συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια του συστήματος καθώς μεταβάλλονται οι συντεταγμένες των πυρήνων των ατόμων που έχουμε ορίσει ως τις μικρότερες μονάδες που απαρτίζουν το σύστημα μας. Δεύτερο στάδιο: Πραγματοποιούνται οι υπολογισμοί, όπως είναι η ελαχιστοποίηση της ενέργειας, η μοριακή δυναμική (Molecular Dynamics), η προσομοίωση Monte Carlo και η συστηματική ανάλυση (Grid Scan). Τρίτο στάδιο: Αναλύονται οι δομές για να υπολογιστούν κάποιες υπό μελέτη ιδιότητες (π.χ. ηλεκτρονιακή πυκνότητα, όγκος υπέρθεσης σε μία οδηγό φαρμακευτική ένωση κ.λπ.) οι οποίες συνεισφέρουν για να εξεταστεί η ορθότητα των υπολογισμών. Η ποικιλία των συστημάτων που μπορούν να αναλυθούν με τα μοριακά μοντέλα είναι εξαιρετικά μεγάλη: α πό απομονωμένα μόρια μέσω απλών ατομικών και μοριακών υγρών μέχρι πολυμερή, βιολογικά μακρομόρια όπως πρωτεΐνες και μόρια DNA καθώς και συστήματα σε στερεή κατάσταση. 1.1 Συστήματα Συντεταγμένων 1 Το πρώτο σιάδιο μελέτης της διαμόρφωσης μορίων είναι ο καθορισμός των συντεταγμένων των ατόμων. Αυτό μπορεί αν γίνει με δύο βασικούς τρόπους. Η περισσότερο άμεση διαδικασία είναι ο καθορισμός του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων* (x, y, z) για όλα τα άτομα του συστήματος που είναι παρόντα. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν οι εσωτερικές συντεταγμένες, στις οποίες η θέση του κάθε ατόμου περιγράφεται σε σχέση με τα υπόλοιπα άτομα του συστήματος. Οι εσωτερικές συντεταγμένες περιγράφουν τη θέση του ατόμου με τη μορφή αποστάσεων, γωνιών και διέδρων γωνιών, σε σχέση με το αρχικό άτομο. Καθώς οι όροι αυτοί συμπίπτουν με τις χημικές αρχές των μηκών των δεσμών, των γωνιών των δεσμών και των δίεδρων γωνιών (γωνιών ροπής στρέψης), οι εσωτερικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν μοριακές δομές. Ένα πλήρες σύνολο εσω- * Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται το σύστημα που αποτελείται από ένα ζεύγος ευθείες σε ένα επίπεδο, οι ο ποίες τέμνονται σε μία ορθή γωνία. Οι ευθείες αυτές καλούνται άξονες. Για τρεις διαστάσεις προστίθεται και ο ζ άξονας έτσι ώ στε οι κάθε άξονες να είναι κατακόρυφοι μεταξύ τους. 109

2 τερικών συντεταγμένων καλείται πίνακας Ζ. Ο πίνακας Ζ περιέχει μία ευθεία για κάθε άτομο του συστήματος. Στον πίνακα Ζ το πρώτο άτομο θεωρείται ως αρχικό και το δεύ τερο άτομο καθορίζεται από την απόσταση από το αρχικό άτομο 1, το τρίτο από την απόσταση του στα άτομα 1,2 κα θώς και την γωνία την οποία σχηματίζουν τα τρία άτομα (Σχήμα 1). Σχήμα 1: Καθορισμός των εσωτερικών συντεταγμένων από τις α ποστάσεις μεταξύ των ατόμων και τη γωνία που σχηματίζεται με ταξύ τους Τέσσερα άτομα σχηματίζουν δίεδρη γωνία*. Μετά το τέταρτο άτομο όλα τα υπόλοιπα περιγράφονται με την α πόσταση την γωνία και την δίεδρη γωνία σε σχέση με τα υπόλοιπα άτομα (Σχήματα 2,3). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α ενός π ί ν α κ α Ζ γ ι α την διαβαθμισμένη διαμόρφωση του τμήματος CTL - CH2 (Σχήμα 3) του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr (Σχήμα 4) φαίνεται παρακάτω στον Σχήμα 4: Διαβαθμισμένη διαμόρφωση τμήματος CH2 - CH2 του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr πίνακα 1. Στην πρώτη γραμμή καθορίζεται το πρώτο άτο μο, το οποίο είναι άτομο C. Το δεύτερο άτομο είναι επί σης άτομο C σε απόσταση 1.54 Α από το πρώτο (στήλες 3, 4 από αριστερά). Το τρίτο είναι άτομο Η το οποίο συνδέ εται με δεσμό μήκους 1 Α με το πρώτο άτομο C και η γω νία που σχηματίζουν τα άτομα είναι 109.5". Οι πλη ροφορίες αυτές παρέχονται στις στήλες 5, 6 (από αριστε ρά). Το τέταρτο άτομο είναι Η, έχει μία απόσταση 1.0 Α από το άτομο 2 και η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των ατόμων είναι 109.5". Η δίεδρη γωνία η οποία σχη ματίζεται μεταξύ των ατόμων είναι 180" (Σχήμα 4). ΠΙΝΑΚΑΣ 1: Ζ- ΠΙΝΑΚΑΣ Τ Η Σ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝ Η Σ Δ Ι Α Μ Ο Ρ Φ Ω Σ Η Σ Τ Ο Υ Τ Μ Η Μ Α Τ Ο Σ CH2 - CH2 Τ Ο Υ Δ Ι Π Ε Π Τ Ι Δ Ι Ο Υ Β - ALA - TYR. Σχήμα 2: Η όίεδρη γωνία Α - Β - Γ - Δ, καθορίζεται ως η γωνία μεταξύ των επιπέδων Α, Β, Γ, και Β, Γ, Δ C C Η Η Η Η Οι καρτεσιανές συντεταγμένες μπορούν να μετατρα πούν σε εσωτερικές και αντιστρόφως. Οι εσωτερικές συ ντεταγμένες χρησιμοποιούνται γ ι α την π ε ρ ι γ ρ α φ ή της σχέσης των ατόμων στο μόριο, ενώ οι καρτεσιανές χρησι μοποιούνται για να περιγράψουν μια σειρά από διακριτά Σχήμα 3: Καθορισμός των εσωτερικών συντεταγμένων από τις α ποστάσεις μεταξύ των ατόμων και τη γωνία που σχηματίζεται με ταξύ τους, καθώς και τη δίεδρη γωνία που σχηματίζουν τα τέσ σερα άτομα 110 * Η δίεδρη γωνία (γωνία ροπής στρέψης) μεταξύ τεσσάρων α τόμων, Α-Β-Γ-Δ, καθορίζεται ως η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων, εκ των οποίων το ένα περιέχει τα άτομα Α, Β και Γ και το άλλο τα άτομα Β, Γ και Δ, όπως φαίνονται στο σχήμα 2.4. Μία γωνία ροπής στρέψης μπορεί να πάρει τιμές από 0"-360", παρόλο που συνήθως χρησιμοποιείται η διαβάθμιση -180"-180.

3 μόρια. Οι εσωτερικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται σε κβαντομηχανικές προσεγγίσεις, ενώ οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν τη μοριακή μηχανική γίνονται με χρή ση των καρτεσιανών συντεταγμένων (Σχήμα 5). Σχήμα 5: Δ ιπεπτίόιο β - Ala - Tyr. Με γκρι αναπαρίσταται ο άν θρακας (C), με κόκκινο το οξυγόνο (Ο), με μπλε το άζωτο (Ν) Σχήμα 6: Αιοόιάστατη επιφάνεια δυναμικής ενέργειας με και με άσπρο το υδρογόνο (Η) (Βλ. έγχρωμο σελ. 122) δύο τοπικά ελάχιστα και ένα μέγιστο Pauling - Koltun (CPK). Επιπρόσθετα είδη μοντέλων α ναπαρίστανται στο σχήμα 7. Στα μοντέλα αυτά δίνεται η δυνατότητα να χρωματισθούν τα μόρια ανάλογα με τον α τομικό αριθμό τους ή να προστεθεί σκίαση ή φωτισμός ώ στε να προσομοιωθεί η πραγματική τους φύση. Υπάρχει επίσης και η δυνατότητα να περιστραφούν ή να μετακινη θούν τα μόρια (Σχήμα 7). 1.2 Επιφάνειες δυναμικής ε ν έ ρ γ ε ι α ς 1 2 Μ Η ενέργεια ενός μορίου στη βασική του ηλεκτρονιακή κατάσταση, μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνάρτηση πυρη νικών συντεταγμένων. Εάν αυτές μεταβληθούν η ενεργει ακή κατάσταση του μορίου θα μεταβληθεί. Οι νέες θέσεις των πυρήνων μπορεί να είναι αποτέλεσμα μιας απλής διεργασίας, όπως περιστροφή ενός απλοΰ δεσμού ή μπο ρεί να οφείλεται στην συντονισμένη κίνηση μεγάλου α ριθμού ατόμων. Η αύξηση ή η μείωση της ενέργειας ε ξαρτάται από το είδος των εμπλεκόμενων μεταβολών. Για μικρά και απομονωμένα μόρια, η περιστροφή γύρω από τον απλό δεσμό συνεπάγεται κατά κανόνα μικρές μετα βολές στην ενέργεια. Οι αλλαγές στην ενέργεια ενός συστήματος μπορεί να θεωρηθούν ως κινήσεις σε μία πολυδιάστατη επιφάνεια, η οποία καλείται επιφάνεια ενέργειας. (Potential Surface). Η επιφάνεια της δυναμικής ενέργειας ενός μορίου, χα ρακτηρίζεται από ένα σύνολο τοπικών ελαχίστων (=βα σικές καταστάσεις) και μέγιστων ( = μεταβατικές κατα στάσεις). Στο σχήμα 2.6 αναπαρίσταται μια δυσδιάστατη επιφάνεια με δύο τοπικά ελάχιστα, και ένα μέγιστο. (Σχήμα 6). 1.3 Μοριακά Γ ρ α φ ι κ ά Η απεικόνιση των θεωρητικών αποτελεσμάτων είναι α ναγκαία στην άμεση αντίληψη των προκυπτόντων ευνοϊκά ενεργειακά διαμορφώσεων. Τα άτομα αναπαρίστανται συνήθως υπό μορφή σφαιρών (balls) τα οποία προσδένο νται μέσω δεσμών (sticks). Στα μοντέλα αυτά είναι εμφα νή τα άτομα και οι δεσμοί. Σε κάποια άλλα μοντέλα όπου τα άτομα παρομοιάζονται επίσης με σφαίρες οι δεσμοί δεν είναι εμφανείς (space filling). Τα ανάλογα αυτά ομοι άζουν με τα μηχανικά μοντέλα των Dreiding και Corey - Σχήμα 7: Αναπαράσταση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr με την χρήση: Α - μοντέλων σύρματος (wire), Β - σφαιρών που προσδέ νονται μέσω δεσμών (balls and sticks), Γ - μοντέλων CPK, Δ μοντέλων πολύεδροι, Ε - μοντέλων που αναπαριστούν μόνο τους δεσμούς (sticks) (Βλ. έγχρωμο σελ. 122) 111

4 Πολύπλοκα συστήματα, όπως πρωτεΐνες μπορούν να α ναπαρασταθούν με τη χρήση "κορδελών-ribbons" ή "κυ λίνδρων-cylinders" (Σχήμα 8). Επίσης μπορούν να αναπα ρασταθούν και οι μοριακές επιφάνειες van der Waals και να γίνει υπέρθεση των μορίων (Σχήμα 9). der Waals του μορίου. Τέλος η προσπελάσιμη επιφάνεια προσδιορίζεται από το περίγραμμα που σχηματίζεται από το κέντρο της σφαίρας που θεωρήσαμε προηγουμένως καθώς αυτή κυλίεται γύρω από το μόριο van der Waals. Σχήμα 8: Αναπαράσταση τον επιτόπου ΜΒΡ87-99 της βασικής πρωτεΐνης της ανθρώπινης μυελίνης με τη χρήση "κορδελώνribbons" (α) και "κυλίνδρων-cylinders" (β) (Βλ. έγχρωμο σελ. 122) 1.4 Επιφάνειες Πολλά προβλήματα που συναντώνται κατά την μελέτη με τη χρήση της μοριακής μοντελοποίησης αφορούν την μη ομοιοπολική αλληλεπίδραση των μορίων. Η μελέτη τέ τοιων αλληλεπιδράσεων συχνά διευκολύνεται με την εξέ ταση των van der Waals των μοριακών ή και των προσεγγίσιμων επιφανειών του μορίου. Η επιφάνεια van der Waals σχεδιάζεται από τις υπερτιθέμενες σφαίρες των α- Στο σχήμα 10 φαίνεται η επιφάνεια van der Waals του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr και οι επιφάνεια που είναι προ σπελάσιμη από τους διαλύτες καθώς και η επιφάνεια ε παφής ανάλογα με τον χρωματισμό του ατόμου (ισχύουν τα ίδια χρώματα που φαίνονται και στο σχήμα 2.5). 2. Μέθοδοι υπολογισμού 12 6 " Σχήμα 9: Η επιφάνεια van der Waals ενός μορίου τόμων (Σχήμα 9). Η επιφάνεια van der Waals ενός μορίου αντιστοιχεί στις εξωτερικές επιφάνειες των σφαιρών van der Waals των ατόμων. Η μοριακή επιφάνεια προκύπτει αν θεωρή σουμε ότι μία σφαίρα (συνήθως ακτίνας 1.4 Α ώστε να α ναπαριστά ένα μόριο νερού) κυλίεται στην επιφάνεια van Η1519) Υπάρχουν δύο βασικοί τύποι μεθόδων για ενεργεια κούς υπολογισμούς: Α) Η Μοριακή Μηχανική και, Β) η Κβαντομηχανική. Οι κβαντομηχανικοί υπολογισμοί περιλαμβάνουν την abinitio κβαντομηχανική μέθοδο και τις ημί - εμπειρικές κβαντομηχανικές μεθόδους. Στην πρώτη επιχειρείται επί λυση της εξίσωσης Schrödinger χωρίς να γίνονται απλο ποιήσεις στη διαφορική εξίσωση, ενώ στις ημί-εμπειρικές κβαντομηχανικές μεθόδους γίνονται απλοποιήσεις στην επίλυση της εξίσωσης. Γι' αυτό οι ημί-εμπειρικές μέθοδοι είναι ταχύτερες και προσπελάσιμες σε μεγαλύτερα*μόρια συγκριτικά με την abinitio κβαντομηχανική μέθοδο. Παρ' όλες δε τις προσεγγίσεις τις οποίες χρησιμοποιούν οι ημίεμπειρικές μέθοδοι παρέχουν αποτελέσματα τα οποία πλησιάζουν πολύ τα πειραματικά. Η ακρίβεια των υπολογισμών της μοριακής μηχανικής ή των ημί-εμπειρικών μεθόδων εξαρτάται από τη βάση δε δομένων η οποία χρησιμοποιείται για να καθοριστούν οι παράμετροι των μεθόδων. Αυτό είναι μεγάλο μειονέκτη μα γιατί σημαίνει ότι πρέπει να έχουν καθοριστεί οι πα ράμετροι αυτοί πριν από την έναρξη των υπολογισμών. Οι abinitio μέθοδοι μπορούν να υπερνικήσουν αυτό το πρό βλημα. Οι ab initio υπολογισμοί ξεκίνησαν με το μόριο του Η2 το 1927 από τους Heitier - London και δεν επεκτάθηκαν 112

5 σε μεγαλύτερα μόρια παρά μόνο με την ανάπτυξη του η λεκτρονικού ψηφιακού υπολογιστή, το Η μεγάλη παραγωγή υπολογισμών ab initio άρχισε στα τέλη του 1960, με την εκτεταμένη διαθεσιμότητα προγραμμάτων για υπολογισμούς του αυτοσυνεπούς πεδίου (Self Consistent Field) σε πολυατομικά μόρια. Η μέθοδος του αυτοσυνεπούς πεδίου βασίζεται σε δύο προσεγγίσεις, που οδηγούν σε πολύ σημαντικές απλοποι ήσεις των μαθηματικών και επιτρέπουν τον ορισμό των τροχιακών σε ένα σύστημα πολλών ηλεκτρονίων. Η πρώ τη προσέγγιση είναι να ληφθεί ο μέσος όρος της ηλεκτρονιακής άπωσης ως προς τις θέσεις όλων των ηλεκτρονίων και έτσι το δυναμικό γίνεται συνάρτηση της θέσης ενός μόνο ηλεκτρονίου. Το δυναμικό αυτό γενικά δεν έχει σφαιρική συμμετρία γιατί τα ηλεκτρόνια δεν είναι απαραιτήτως σφαιρικά κα τανεμημένα γύρω από τον πυρήνα. Έτσι λαμβάνεται ένας δεύτερος μέσος όρος ως προς τις γωνίες, ο οποίος δίνει έ να συμμετρικά σφαιρικό δυναμικό. Λόγω του ότι η εξίσω ση του δυναμικού είναι σφαιρικά συμμετρική, οι κυματοσυναρτήσεις ενός ηλεκτρονίου που κινείται σε αυτό το δυ ναμικό μπορούν να διαχωριστούν σε γινόμενα ακτινικών και σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων. Με αυτόν τον τρόπο έχει απλοποιηθεί -και επομένως προσεγγισθεί- το πρόβλημα, έτσι ώστε να λυθεί η εξίσωση Schrodinger. Ακόμη και με την απλοποίηση αυτή, η εξίσωση δεν επιδέ χεται αναλυτική λύση. Όμως μπορούν να ληφθούν προ σεγγιστικές λύσεις ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια. Τα τροχιακά SCF πολλών ατόμων υπολογίστηκαν κατά την περίοδο του , κυρίως σύμφωνα με διαδικα σίες που αναπτύχθηκαν από τους Hartree και Fock. Ακρι βείς λύσεις των εξισώσεων για πολυατομικά συστήματα είναι συνήθως γνωστές σαν τροχιακά Hartree - Fock. Από το 1950 και μετά, η υπολογιστική τεχνολογία βελτιώθηκε, σε σημείο που τα τροχιακά SCF μπορούσαν να υπολογι στούν και για μόρια - που είναι ένα πολύ δύσκολο πρό βλημα, επειδή δεν υπάρχει ολική συμμετρία παρουσία πολλών πυρήνων. Ένας υπολογισμός ab initio αρχίζει με συναρτήσεις βά σης, οι οποίες ορίζονται σαφώς με αλγεβρικές συναρτή σεις και με μία Χαμιλτονιανή και οι οποίες ορίζονται από τους τελεστές της κινητικής και δυναμικής ενέργειας για τα ηλεκτρόνια. Τα ολοκληρώματα που απαιτούνται για την κατάστρωση των χαρακτηριστικών εξισώσεων, υπο λογίζονται ακριβώς και μετά από μία διαδικασία SCF προκύπτουν τα μοριακά τροχιακά. Στους υπολογισμούς αυτούς ποτέ δεν χρησιμοποιούνται κάποια πειραματικά δεδομένα που να αφορούν τα άτομα ή το μόριο για να υ πολογιστούν οι τιμές των ολοκληρωμάτων των ηλεκτρο νίων (Η και S'). Στην περίπτωση που γίνουν κάποιες προ σεγγίσεις στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων αυτών, ο υπολογισμός αναφέρεται ως προσεγγιστικός ab initio. Όταν οι ενέργειες των συναρτήσεων της βάσης εξάγο νται από πειραματικά ενεργειακά επίπεδα των ατόμων, και χρησιμοποιούνται τα παρατηρούμενα δυναμικά ιονι σμού του μορίου, ο υπολογισμός αναφέρεται ως εμπειρι κός με την έννοια ότι βασίζεται στο πείραμα. Η κύρια υπολογιστική δουλειά σε έναν υπολογισμό ab initio είναι η εύρεση των ηλεκτρονιακών απωστικών ολο κληρωμάτων. Πριν από την ανάπτυξη των σύγχρονων ψη φιακών ηλεκτρονικών υπολογιστών, τέτοιοι υπολογισμοί ήταν αδύνατον να εκτελεστούν, εκτός για πολύ μικρές βά σεις. Γι' αυτό αναπτύχθηκαν πολλές προσεγγιστικές θεω ρίες για να χειριστούν το πρόβλημα αυτό. Μερικές από αυτές χρησιμοποιούν αριθμητικές προσεγγίσεις στα ηλε κτρονικά απωστικά ολοκληρώματα, τα οποία σε πολλές από τις προσεγγίσεις θεωρούνται μηδέν. Άλλες θεωρίες (που ονομάζονται ημί - εμπειρικές) συνδύασαν τις προ σεγγίσεις αυτές με εμπειρικές τιμές των ολοκληρωμάτων, έτσι ώστε να βελτιώσουν την ικανότητα τους. 2.1 Μ ο ρ ι α κ ή Μηχανική 1 ' 2 " 2 " 2 7 ' 2 8 Στην μέθοδο της Μοριακής Μηχανικής η ενέργεια υπο λογίζεται μόνον σαν συνάρτηση των θέσεων των πυρήνων των ατόμων, ενώ δεν λαμβάνονται υπόψη οι κινήσεις των ηλεκτρονίων. Έτσι μειώνεται σημαντικά ο αριθμός των σωματιδίων για τα οποία πρέπει να γίνονται υπολογισμοί συγκριτικά με τις κβαντομηχανικές μεθόδους. Για τον λό γο αυτό η μοριακή μηχανική χρησιμοποιείται κατά κανό να για την περιγραφή συστημάτων που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό ατόμων. Τα διάφορα πεδία δυνάμεων (force fields) της μορια κής μηχανικής χρησιμοποιούν τις εξισώσεις της κλασικής μηχανικής για να περιγράψουν τις επιφάνειες της δυναμι κής ενεργειακά ι ορισμένες ιδιότητες των μορίων. Οι μέ θοδοι αυτές συσχετίζουν την ενέργεια του συστήματος με ένδο- και διαμοριακές αλληλεπιδράσεις μέσα στο σύστη μα οι οποίες καθορίζονται από τις μεταβολές μήκους δε σμών και μεγέθους γωνιών, περιστροφή δεσμών και μη δεσμικές αλληλεπιδράσεις ατόμων του συστήματος (ηλε κτροστατικές και Van der Waals αλληλεπιδράσεις). Ένα συστατικό του πεδίου αυτού είναι η ενέργεια που προέρχεται από τη συσπείρωση και την επιμήκυνση των δεσμών. Το συστατικό αυτό συχνά θεωρείται ότι έχει την μορφή αρμονικού ταλαντωτή και έτσι μπορεί να υπολογι στεί από τον νόμο του Hooke (εξίσωση 1 ) V, t a K»«=l/2K,(r-r,) 2 (1) όπου Γ=απόσταση ατόμων στη θέση ισορροπίας και Γο=μέγιστη απόσταση ατόμων Ο δεσμός μεταξύ δύο ατόμων είναι ανάλογος με ένα ε λατήριο που ενώνει τις δύο μάζες. Χρησιμοποιώντας αυ- * S είναι το ολοκλήρωμα αλληλοεπικάλυψης των τροχιακών των ηλεκτρονίων και αναπαρίσταται με μορφή πίνακα. 113 * Ένα μόριο περιγράφεται ως μία συλλογή ατόμων που αλληλε πιδρούν μεταξιί τους με απλε'ς αναλυτικε'ς εξισώσεις. Η περι γραφή αυτή καλείται πεδίο δυνάμεων.

6 τη την αναλογία, η εξίσωση (1) δίνει τη δυναμική ενέρ γεια του συστήματος των μαζών νελατηρίου και την στα θερά του ελατηρίου Kr. Η απόσταση των ατόμων στη θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης (μέγιστη από σταση ελατηρίου) είναι r και ro αντίστοιχα. Τα Kr και r εί ναι σταθερά για συγκεκριμένο σύστημα ατόμων που συν δέονται με ένα συγκεκριμένο ελατήριο και αποτελούν τις παραμέτρους του πεδίου δυνάμεων. Η δυναμική ενέργεια ενός μοριακού συστήματος είναι συνάρτηση: (α) του είδους των ατόμων που απαρτίζουν το μόριο (β) του είδους των δεσμών που το συγκροτούν, και (γ) των σχηματιζόμενων διέδρων γωνιών Ο υπολογισμός της απόλυτης ενέργειας ενός μορίου Σχήμα 11: Γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας της στην μοριακή μηχανική δεν έχει φυσική σημασία. Χρησι καρβοννλικής ομάδας, έναντι τον μήκους δεσμού μοποιείται όμως για τη σύγκριση των ενεργειακών κατα 1 στάσεων των μορίων. Ενέργειες με χρήση υπολογισμών ε ρούμε να κάνουμε προβλέψεις. Ο ατομικός τύπος (atom type) είναι ένας όρος που α νός σημείου (single point calculations) σχετίζονται με την παντάται στις περισσότερες εμπορικές εφαρμογές ενερ ενθαλπία του μορίου. Στην πραγματικότητα όμως δεν α γειακών πεδίων. Στην κβαντομηχανική μέθοδο απαιτείται ποτελούν ενθαλπίες γιατί η θερμική κίνηση και η θερμο ο καθορισμός των ατομικών αριθμών των πυρήνων, της κρασία δεν υπολογίζονται στο άθροισμα των ενεργεια γεωμετρίας του συστήματος και της συνολικής πολυπλο κών όρων. κότητας φορτίων και ιδιοπεριστροφών. Σ' ένα πεδίο δυ Αντίθετα με την κβαντομηχανική, η μοριακή μηχανική νάμεων ο καθορισμός της πολυπλοκότητας φορτίων και δεν επεξεργάζεται τα ηλεκτρόνια ξεχωριστά. Οι υπολογι spin δεν είναι απαραίτητος, απαιτείται όμως συνήθως κά σμοί της μοριακής μηχανικής δεν μπορούν να περιγρά θε άτομο του συστήματος να αντιστοιχισθεί μ' ένα ατομι ψουν τον σχηματισμό των δεσμών, τη σχάση τους σε συ κό τύπο1. στήματα στα οποία ο μη εντοπισμός των ηλεκτρονίων και Ο ατομικός τύπος παρέχει πληροφορίες (πέρα από τον οι αλληλεπιδράσεις των μοριακών τροχιακών παίζουν ατομικό αριθμό) για την κατάσταση υβριδισμού και σε ο σημαντικό ρόλο στη δημιουργία της γεωμετρικής διαμόρ ρισμένες περιπτώσεις για το τοπικό περιβάλλον. Για πα φωσης των μορίων. ράδειγμα, στα περισσότερα πεδία είναι απαραίτητη η Δεσμοί και Γωνίες ' 2 0 διάκριση μεταξύ sp3 (τετραεδρική γεωμετρία), sp2 (τριγω νική γεωμετρία) και sp-ατόμων άνθρακα (γραμμική). Κά Για να υπολογιστούν τα δυναμικά των δεσμών και των θε παράμετρος του πεδίου εκφράζεται σε όρους ατομι γωνιών που σχηματίζουν τρία δεσμικά άτομα χρησιμοποι κών τύπων. Η ατομικοί τύποι σε ορισμένα πεδία αναφέ ούνται οι αρμονικές συναρτήσεις: ρονται στο γειτονικό περιβάλλον. Για παράδειγμα, τα ΜΜ2/ΜΜ3 πεδία (Allinger et al.) 2 ν,ο,άν,,,,, = Σ K(r - r,,) (2) διακρίνουν τους ακόλουθους ατομικούς τύπους άνθρακα δεσμού : sp3, sp2, sp, καρβονυλίου, κυκλοπροπανίου, ρίζας, κυκλοπροπενίου και καρβωνιόντος. Στο πεδίο AMBER V συμπίεσης = -Ζ- Κ ( ί ( θ - θ ο ) ~ (3) (Weiner et al., Cornell et al.) το άτομο άνθρακα στο ση γωνίας μείο συνένωσης μεταξύ ενός εξαμελούς και ενός πεντα μελούς δακτυλίου (π.χ. στο αμινοξύ τρυπτοφάνη) (σχ. 12) όπου θ, η γωνία που σχηματίζουν τρία άτομα όταν τα αντιστοιχεί σ' ένα ατομικό τύπο ο οποίος είναι διαφορετι λαντώνονται σε ισορροπία και θ" η γωνία που σχηματί κός από ένα άτομο άνθρακα σε έναν απομονωμένο πε ζουν τρία άτομα όταν ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. νταμελή δακτύλιο όπως στην ιστιδίνη (σχ. 12), το οποίο με Στο σχήμα 11 φαίνεται γραφική παράσταση της δυνα τη σειρά του είναι διαφορετικό από το άτομο άνθρακα μικής ενέργειας ως συνάρτησης του μήκους του δεσμού. του βενζολίου. Έ ν α ιδιαίτερα σημαντικό χαρακτηριστικό που πρέπει Επιπλέον, το AMBER πεδίο χρησιμοποιεί διαφορετι να διαθέτει ένα πεδίο δυνάμεων είναι η δυνατότητα χρη κά ατομικά είδη για την ιστιδίνη ανάλογα με την θέση και σιμοποίησης της συνάρτησης που το περιγράφει και των την έκταση της πρωτονίωσης (σχ. 12). Συνήθως, τα πεδία παραμέτρων που υπεισέρχονται σε αυτήν, για την ανάλυ που σχεδιάζονται για συγκεκριμένες τάξεις μορίων (όπως ση μιας σειράς σχετικών μεταξύ τους μορίων (π.χ. για όλη οι πρωτεΐνες και τα νουκλεϊκά οξέα, στην περίπτωση του τη σειρά των n-αλκανίων), δίχως να απαιτείται καθορι AMBER) χρησιμοποιούν πιο συγκεκριμένα και αναλυτι σμός των παραμέτρων για καθένα από αυτά ξεχωριστά. Η κότερα ατομικά είδη σε σχέση με τα πεδία που σχεδιάζο ιδιότητα αυτή είναι προφανώς απαραίτητη για να μπο- νται για γενική χρήση. 114

7 γόντων στους οποίους περιλαμβάνονται: η φύση και οι ι διότητες του υπό ανάλυση συστήματος, το είδος της πλη ροφορίας που επιθυμούμε να εξάγουμε από το συγκεκρι μένο μοντέλο, την ύπαρξη πειραματικώς καθορισμένων παραμέτρων και τις δυνατότητες του υπολογιστή που δια θέτουμε (μνήμη, ταχύτητα). Τα τρία βασικά κριτήρια εί ναι: α. Το μέγεθος του υπό μελέτη συστήματος. Το μέγε θος του συστήματος συνήθως αποτελεί ένα σοβαρό πε ριοριστικό παράγοντα. Γενικά, ο περιοριστικός αριθμός ατόμων αυξάνει κατά μία τάξη μεγέθους από την ab initio κβαντομηχανική μέθοδο ως τις μεθόδους μοριακής μηχα νικής. Ο γενικός κανόνας είναι ότι η ab initio μέθοδος περιο ρίζεται σε αναλύσεις συστημάτων τα οποία περιλαμβά νουν μερικές δεκάδες άτομα, οι ημί-εμπειρικές σε συστή ματα που περιλαμβάνουν μερικές εκατοντάδες άτομα (π.χ. ολιγονουκλεοτίδια, ολιγοπεπτίδια, ολιγοσακχαρίσχήμα 12: AMBER ατομικά τύπων για τα αμινοξέα ιστιοίνη τες, ενώ οι μέθοδοι της Μοριακής Μηχανικής μπορούν να (τρεις καταστάσεις πρωτονίωσης), τρνπτοφάνη και φαιννλαλα- αναλύσουν συστήματα αποτελούμενα από χιλιάδες άτομα νίνη (π.χ. νουκλεϊνικά οξέα, πρωτεΐνες). β. Πειραματικές παράμετροι. Ορισμένες μέθοδοι χρη 2.2 Κβαντομηχανική " S σιμοποιούν για τους υπολογισμούς παραμέτρους που έ Οι ab initio τεχνικές της κβαντομηχανικής έχουν εξελι χουν βρεθεί πειραματικά. Εάν το υπό μελέτη σύστημα πε χθεί σημαντικά τα τελευταία χρόνια. Συγκεκριμένα η τα ριέχει άτομα για τα οποία δεν έχουν μετρηθεί οι παράμε χύτητα και η ακρίβεια των ab initio υπολογισμών έχουν ροι που απαιτεί η συγκεκριμένη μέθοδος, τότε υπάρχει βελτιωθεί λόγω της ανάπτυξης των νέων αλγορίθμων και περίπτωση οι προβλέψεις της μεθόδου να είναι εσφαλμέ νες. Στην Μοριακή Μηχανική για παράδειγμα ο ορισμός της εισαγωγής καλύτερων βασικών συναρτήσεων. Οι ημί-εμπειρικές μέθοδοι της κβαντομηχανικής έχουν κάθε πεδίου δυνάμεων γίνεται με τη χρησιμοποίηση συγ επίσης εξελιχθεί τις τελευταίες τρεις δεκαετίες. Με τη κεκριμένων παραμέτρων που αφορούν το υπό μελέτη σύ χρήση των σημερινών μικροϋπολογιστών, μπορούν να πα στημα. Για τον λόγο αυτό κάθε πεδίο δυνάμεων αφορά ράγουν σημαντικά και συχνά ποσοτικά αποτελέσματα για μόνο μία περιορισμένη ομάδα μορίων παρόμοιων με αυ μεγάλα μοριακά συστήματα. Η μεθοδολογία των ημί-ε- τό για το οποίο έχει γίνει η παραμετροποίηση. γ. Υπολογιστικές απαιτήσεις. Γενικά, οι μέθοδοι μο μπειρικών μεθόδων αρχικά βασίστηκε στη θεωρία των π ηλεκτρονίων. Αργότερα η θεωρία αυτή αντικαταστάθηκε ριακής μηχανικής έχουν πολύ μικρότερες υπολογιστικές απαιτήσεις από τις κβαντομηχανικές μεθόδους, οι οποίες από τις θεωρίες σθένους ηλεκτρονίων. Τα μόρια αποτελούνται από ηλεκτρόνια και πυρήνες. μπορεί να γίνουν ιδιαίτερα χρονοβόρες, σε σημείο που να Οι περισσότερες εφαρμογές της κβαντικής χημείας δια απαιτείται διάστημα 1-2 μηνών για την εκτέλεση των υπο χωρίζουν την κίνηση των πυρήνων από την κίνηση των η λογισμών και μόνο. Στην συνέχεια παρατίθεται μία επιγραμματική σύγκρι λεκτρονίων (παραδοχή Born-Oppenheimer). Τα αποτε ση των υπολογιστικών μεθόδων σε μορφή πίνακα.20 λέσματα της παραδοχής αυτής είναι ένα μοντέλο με κι Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας, μεταβάλλει τη γεωμε νούμενους πυρήνες πάνω σε μία ενεργειακή επιφάνεια τρία του μορίου ώστε να χαμηλώσει την ενέργεια του συ και με ηλεκτρόνια να προσαρμόζονται στιγμιαία στις με στήματος και αποδίδει μία περισσότερο σταθερή διαμόρ ταβολές των θέσεων των πυρήνων. Σε κάθε σταθερή θέση φωση. Όσο προχωρεί η ελαχιστοποίηση, το μόριο λαμβά του πυρήνα, η δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα των νει διαμόρφωση στην οποία η ενέργεια δε μεταβάλλεται απώσεων μεταξύ των θετικά φορτισμένων πυρήνων και με απειροελάχιστες μεταβολές στη γεωμετρία. Αυτό ση των έλξεων τους με τα ηλεκτρόνια. Με τον τρόπο αυτό τα μαίνει ότι η παράγωγος της ενέργειας, η οποία καλείται ηλεκτρόνια βοηθούν στην συγκράτηση των πυρήνων. βαθμωτό άνυσμα (gradient) τείνει στο μηδέν. Αυτό το ση μείο είναι γνωστό ως σταθερό σημείο της επιφάνειας δυ 2.3 Επιλογή υπολογιστικής μεθόδου 20 ναμικής ενέργειας. Κάθε υπολογιστική μέθοδος (ab initio, ημι-εμπειρική, Εάν μικρές αλλαγές στις γεωμετρικές παραμέτρους αυ μοριακή μηχανική) παρουσιάζει πλεονεκτήματα και μειο ξήσουν την ενέργεια του μορίου, η προηγούμενη διαμόρ νεκτήματα ανάλογα με το σύστημα που επιθυμούμε να α φωση θεωρείται σχετικά σταθερή και αναφέρεται ως ε ναλύσουμε. Η επιλογή εξαρτάται από έναν αριθμό παρα λάχιστο. Εάν η ενέργεια μειώνεται με μικρές αλλαγές σε %, 1! I 115

8 ΠΙΝΑΚΑΣ 2: ΕΠΙΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΑΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ «Χρησιμοποιεί αρχές της κλασικής μηχανικής. Βασίζεται σε πεδία δυνάμεων με καθορισμένες πειραματικά παραμέτρους. Μικρές υπολογιστικές απαιτήσεις. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την ανάλυση μεγαλομοριακών συστημάτων. Μοριακή Μηχανική Ημί-εμπειρική Μέθοδος Το κάθε ενεργειακό πεδίο έχει ισχύ για μια περιορισμένη ομάδα παρεμφερών μορίων. Δεν υπολογίζει ηλεκτρονικές ιδιότητες. Απαραίτητη η ύπαρξη πειραματικών δεδομένων (ή δεδομένων από ab initio υπολογισμούς) για τον καθορισμό των παραμέτρων. Μεγάλα συστήματα (της τάξης των χιλίων ατόμων). Συστήματα και διαδικασίες που δεν περιλαμβάνουν διάσπαση ή δημιουργία δεσμών. Χρησιμοποιεί τις αρχές της κβαντομηχανικής. Χρησιμοποιεί παραμέτρους που έχουν εξαχθεί πειραματικά. Βασίζεται σε μία σειρά προσεγγίσεων Λιγότερες υπολογιστικές απαιτήσεις σε σχέση με την ab initio, αλλά, μεγαλύτερες σε σχέση με τη μοριακή μηχανική Δυνατότητα υπολογισμού μεταβατικών και διεγερμένων καταστάσεων. Απαιτεί πειραματικά δεδομένα (ή δεδομένα από ab initio) για τον καθορισμό των παραμέτρων. Λιγότερο ακριβής σε σχέση με την ab initio. Ενδιάμεσου μεγέθους συστήματα (της τάξης των εκατό ατόμων). Συστήματα που περιλαμβάνουν μετακινήσεις ηλεκτρονίων (electronic transitions). Ab initio Μέθοδος Χρησιμοποιεί αρχές κβαντομηχανικής. Μαθηματικώς ακριβείς υπολογισμοί. Δεν απαιτεί εμπειρικές παραμέτρους. Δεν εξαρτάται από πειραματικά δεδομένα. Δυνατότητα υπολογισμού μεταβατικών και διεγερμένων καταστάσεων. Δυνατότητα υπολογισμού ηλεκτρονιακών ιδιοτήτων Μεγάλες υπολογιστικές απαιτήσεις. Μικρά συστήματα (μερικές δεκάδες ατόμων). Συστήματα που περιλαμβάνουν μετακινήσεις ηλεκτρονίων (electronic transitions). Μόρια ή συστήματα για τα οποία δεν διατίθενται πειραματικά δεδομένα. 3. Ελαχιστοποίηση της Ενέργειας 1 ' 2 ' 3 ' 17 ' 24 ' ' Η ενε'ργεια ενός μορίου δίνεται από την εξίσωση 4: HiVÊOyeiCZ ϋίδεσμοΰ Τ ϋίγωνκόν Τ JC/ÔitoQwv γωνιών "Ρ υ* ήλεκτρου τ. Τ XLvDW Τ 1ί<Οεο-μ.υδρογ. Τ ϋπεριορ. (4) οπού, Εδεσμού, η ενέργεια του μήκους δεσμού 1 Εγωνών, η ενέργεια της γωνίας δεσμού > Εδ,έδρων, η ενέργεια των δίεδρων γωνιών J Εσωτερική ενέργεια Εηλεχτροστ, ηλεκτροστατικό δυναμικό EVDW, ενέργεια των Van der Waals αλληλεπιδράσεων Εδεσμ.νοροΥ, ενέργεια των αλληλεπιδράσεων των δεσμών υδρογόνου Εξωτερική ενέργεια Επερ,ορ, ενέργεια λόγω των περιοριστικών αποστάσεων \ Επιπλέον ενέργεια συστήματρς 116

9 κής ενέργειας, ενώ οι δευτέρας τάξης λαμβάνουν υπόψη τους επίσης και τις πληροφορίες της καμπύλωσης της επι φάνειας. Κατά την εκλογή του καταλληλότερου αλγορίθμου (ή του συνδυασμού αυτών) λαμβάνονται υπόψη πολλοί πα ράγοντες. Ο ιδανικότερος αλγόριθμος είναι αυτός που υ πολογίζει το "τοπικό ελάχιστο" της ενεργείας ενός μορί ου του μοριακού συστήματος στον ελάχιστο δυνατό χρό νο, με τη χρήση της μικρότερης δυνατής μνήμης του υπο λογιστή. Δεν υπάρχει κάποιος αλγόριθμος με αυτά τα χα ρακτηριστικά, που να βρίσκει εφαρμογή σε όλες τις περι πτώσεις γι' αυτό τα περισσότερα λογισμικά πακέτα δί νουν την δυνατότητα χρήσης περισσότερων αλγορίθμων. Οι αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης συνήθως συνδυάζονται για ευνοϊκότερη ελαχιστοποίηση της ενέργειας. 4.1 Αλγόριθμοι μηδενικής τάξης Σχήμα 13 Σχηματική αναπαράσταση των αδρών επιφανειών που χαρακτηρίζουν τις ενεργειακές επιφάνειες μακρομορίων μία ή περισσότερες διαστάσεις, αλλά όχι σε όλες τις δια στάσεις τότε βρίσκεται σε μία κοιλάδα. Στα μοριακά συ στήματα τα ελάχιστα προσδιορίζονται με τη χρήση κυρίως αριθμητικών μεθόδων. Οι μέθοδοι αυτές μεταβάλλουν βαθμιαία τις συντεταγμένες και δίνουν διαμορφώσεις με συνεχώς μειούμενη ενέργεια, μέχρις ότου βρεθεί το ελά χιστο. Οι μεταβολές αυτές γίνονται με την χρήση αλγο ρίθμων (σχήμα 13). 4. Αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης ενέργειας1 8 9'10 11'17 18 Όλοι οι αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης θεωρούν ότι ο ποιαδήποτε συνάρτηση F(X), με μεταβλητή Χ, μπορεί να αναλυθεί σε μία σειρά Taylor γύρω από το ελάχιστο Χο, (εξίσωση 5) F(X) =F(Xo) + (X-Xo)F'(Xo) + l/2(x-xo)2f"(xo) +... (5) όπου, F', η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης και F", η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης. Οι αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης κατατάσσονται ανάλο γα με την τάξη τους, δηλαδή ανάλογα με τη μεγαλύτερη παράγωγο της συνάρτησης που χρησιμοποιεί ο αλγόριθ μος. Οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούν μόνο την τιμή της συνάρτησης, ονομάζονται αλγόριθμοι μηδενικής τάξης. Αυτοί που χρησιμοποιούν την πρώτη παράγωγο ονομά ζονται αλγόριθμοι πρώτης τάξης, τη δεύτερη παράγωγο δεύτερης τάξης κ.ο.κ. Δηλαδή οι αλγόριθμοι πρώτης τά ξης χρησιμοποιούν μόνο τις πληροφορίες της εφαπτομέ νης γωνίας κλίσης της καμπύλης της επιφάνειας δυναμι Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούν αλγορίθμους μηδενικής τάξης δεν χρησιμοποιούν απευθείας πληροφορίες για την εφαπτομένη γωνίας κλίσης της καμπύλης της επιφάνειας δυναμικής ενέργειας και την καμπύλωση της επιφάνειας κατά την ελαχιστοποίηση. Σαν αποτέλεσμα οι μέθοδοι αυ τές δίνουν πολλά μη αξιοποιήσιμα αποτελέσματα και έ χουν εφαρμογή μόνο σε πολλές επιφάνειες, χωρίς πολλά τοπικά ελάχιστα και με γραμμικότητα. Οι μέθοδοι αυτές σπάνια χρησιμοποιούνται για μακρομοριακά συστήματα. Η μέθοδος της συστηματικής αναζήτησης είναι ένα παράδειγμα μεθόδου που χρησιμοποιεί αλγόριθμο μηδε νικής τάξης. Κατά τη μέθοδο αυτή ένα πλέγμα τοποθετεί ται πάνω από την επιφάνεια και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης σε κάθε κομβικό σημείο. Το σημείο του πλέγ ματος με την }ρμηλότερη ενέργεια επιλέγεται σαν το ελά χιστο. Η ποιότητα της μεθόδου της αναζήτησης αυτής ε ξαρτάται από την πυκνότητα του πλέγματος. 4.2 Αλγόριθμοι πρώτης τάξης24 Οι αλγόριθμοι πρώτης τάξης χρησιμοποιούν την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης (το βαθμωτό άνυσμα της πο λυδιάστατης επιφάνειας της ενέργειας) για να καθοδηγή σουν την αναζήτηση προς το τοπικό ελάχιστο. Αυτό ση μαίνει ότι χρησιμοποιούν τις πληροφορίες της κλίσης της καμπύλης της επιφάνειας δυναμικής ενέργειας αλλά όχι την καμπύλωση της επιφάνειας (η οποία δίνεται από την δεύτερη παράγωγο). Οι αλγόριθμοι αυτοί προσπαθούν να αντισταθμίσουν την έλλειψη αυτών της πληροφορίας που περιέχει η χρήση της δεύτερης παραγώγου με διάφορους τρόπους, δηλαδή χρησιμοποιούν μεταβλητό μέγεθος βη μάτων και χρησιμοποιούν και τις πληροφορίες από τα προηγούμενα βήματα. Η βασική εξίσωση των πρώτης τάξης αλγορίθμων ελα χιστοποίησης της ενέργειας είναι (εξίσωση 6): Rk = Rk-,+ LS k (6)

10 όπου, Rk, είναι η νέα θέση (στην καμπύλη της επιφάνειας δυ ναμικής ενέργειας) στο βήμα k Rk ι, είναι η θέση στο προηγούμενο βήμα k-1 Ik, είναι το μέγεθος του βήματος k Sk, είναι η κατεύθυνση του βήματος. S =-g Για τα επόμενα όμως βήματα (k > 1) η κατεύθυνση του βήματος είναι ο μέσος όρος του ισχύοντος βήματος και της κατεύθυνσης του προηγουμένου και δίνεται από την ε ξίσωση: Sk = -gk + bksk-! Οι μέθοδοι διαφέρουν στον τρόπο που επιλέγουν το μέ γεθος του βήματος και την κατεύθυνση αυτού. Δεδομένου ότι όλες οι μέθοδοι είναι επαναληπτικές, χρειάζονται πολλά βήματα για να συγκλίνουν στο ελάχιστο (εάν τελι κά συγκλίνουν). Οι κυρίως χρησιμοποιούμενοι αλγόριθμοι πρώτης τά ξης είναι ο αλγόριθμος Βαθιάς Κατάδυσης (SteepestDescent ή SD)xai ο αλγόριθμος Βαθμιδωτής Σύζευξης (Conjugated Gradients ή CONJ) Αλγόριθμος Βαθιάς Κατάδυσης (8) (9) όπου, bk, είναι ο συντελεστής βαρύτητας. Στο σχήμα αναπαρίσταται η πορεία των αλγορίθ μων βαθιάς κατάδυσης και βαθμιδωτού πεδίου. Ξεκινώ ντας από το σημείο Α, ο αλγόριθμος βαθιάς κατάδυσης θα ακολουθήσει την πορεία Α - Β - C (ή εναλλακτικά την πο ρεία Α - D - F. Ο αλγόριθμος βαθμιδωτού ανύσματος από την άλλη θα ακολουθήσει την πορεία Α - Β - Ο, γιατί θα λάβει υπόψη του και το προηγούμενο βαθμωτό άνυσμα Α - Β και το επόμενο Β - C. (Σχήμα 14). Ο πιο απλός αλγόριθμος ελαχιστοποίησης είναι ο αλ γόριθμος βαθιάς κατάδυσης. Ο αλγόριθμος αυτός, αφοΰ υπολογίσει σε κάθε βήμα τη βάθμωση του δυναμικού gk προσθέτει ένα εκτόπισμα σε όλες τις συντεταγμένες με κατεύθυνση αντίθετη του βαθμωτοΰ ανύσματος (κατεύ θυνση του πεδίου). Η βασική του εξίσωση είναι η : & = -gk (7) Σε κάθε επανάληψη, ρυθμίζεται το μέγεθος του βήμα τος, για να αντισταθμισθεί η έλλειψη των πληροφοριών της καμπυλότητας της επιφάνειας. Το μέγεθος του βήμα τος αυξάνεται εάν η νέα διαμόρφωση έχει μικρότερη ε νέργεια η μειώνεται όταν έχει μεγαλύτερη ενέργεια αντί στοιχα. Εξαιτίας του πεπερασμένου των μεγεθών των βημάτων η μέθοδος δεν ακολουθεί το βαθμωτό άνυσμα ομαλά αλ λά κινείται γΰρω από αυτό. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να κάνει κύκλους γύρω από το ελάχιστο αλλά να μη συγκλί νει ποτέ σε αυτό. Όμως παρά τη μικρή σύγκλιση και α κρίβεια της, είναι μία πολύ χρήσιμη μέθοδος για μικρές αλλαγές καθώς απομακρύνει τις ενεργειακά ασύμφορες αλληλεπιδράσεις (non bouded interaction) και τις τεταμέ νες δίεδρες γωνίες. Κατά κανόνα από τελεί τον πρώτο αλ γόριθμο εισαγωγής σε μία σύνθετη διαδικασία ελαχιστο ποίησης ενέργειας. Σχήμα 14: Σχηματική αναπαράσταση συγκριτικής πορείας προς το ελάχιστο σημείου Α με χρήση του αλγορίθμου βαθιάς κατάδυ σης και του αλγορίθμου βαθμιδωτής σύζευξης (οι κύκλοι αναπα ριστούν τις ιαοδυναμικές καμπύλες της ενέργειας και αποτελούν εγκάρσια τομή των καμπυλών δυναμικής ενέργειας του σχήμα τος 6) Αλγόριθμος Βαθμιδωτής Σύζευξης Ο αλγόριθμος βαθμιδωτής σύζευξης αντίθετα με τον αλγόριθμο βαθιάς κατάδυσης, σε κάθε βήμα, δεν χρησι μοποιεί μόνο το ισχύον βαθμωτό άνυσμα, αλλά και πλη ροφορίες από τα προηγούμενα βήματα. Με τον υπολογι σμό του βάρους των προηγούμενων βαθμωτών ανυσμά των, η μέθοδος αυτή αντισταθμίζει την έλλειψη των πλη ροφοριών της καμπυλότητας της επιφάνειας. Για το πρώ το βήμα, όπως και ο αλγόριθμος βαθιάς κατάδυσης ισχύ ει η εξίσωση: 118 Ο αλγόριθμος αυτός είναι κατάλληλος για μοριακά συ στήματα τα οποία ξεκινούν από λογικές διαμορφώσεις (π.χ. διαμορφώσεις οι οποίες προέρχονται από κρυσταλλογραφικά δεδομένα ακτίνων-χ). Διαμορφώσεις οι οποί ες προήλθαν από κάποιο λογισμικό κατασκευής δομών (builder) είναι πολύ πιθανό να δημιουργήσουν αριθμητι κή υπερχείλιση στοιχείων, αν χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθ μος βαθμιδωτού ανύσματος και όχι της βαθιάς κατάδυ σης.

11 4.2.3 Αλγόριθμος Συζυγούς Βαθμωτού Πεδίου Powell Conjugate Gradient (Powell) ' Ο αλγόριθμος αυτός εφαρμόζει μια περισσότερο αποδοτική υλοποίηση της μεθόδου του βαθμιδωτού ανύσματος. Η μέθοδος αυτή όμως δεν παρέχει αυτόματα την ευκολία για εκσυγχρονισμό των αλληλεπιδράσεων των δεσμών υδρογόνου, γι' αυτό και προτείνεται η χρήση της μόνο σε λίγες περιπτώσεις. Ο αλγόριθμος βαθμιδωτής σύζευξης (CONJ), απαιτεί τον υπολογισμό του τελεστή της συνάρτησης της ενέργειας σε κάθε επαναληπτικό βήμα, και αυτός ο υπολογισμός δεν είναι πάντοτε εφικτός. Γι' αυτόν τον λόγο ο Powell α νέπτυξε μία μέθοδο για να δημιουργεί βαθμωτές κατευθύνσεις χρησιμοποιώντας μόνο την έρευνα σε μία διάσταση σε κάθε επαναληπτική πορεία. Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία "μέθοδος ενός συνόλου κατευθύνσεων". Δηλαδή καθορίζεται αρχικά σύνολο διευθύνσεων στην καμπύλη των επιφανειών της δυναμικής ενέργειας οι οποίες σε μία κατεύθυνση μέχρι το υπό μελέτη μόριο να φτάσει ο' ένα ελάχιστο. Από εκεί κινείται σε μία άλλη κατεύθυνση μέχρι να φτάσει σ' ένα άλλο ελάχιστο κ.ο.κ. και κινείται σε όλες τις κατευθύνσεις μέχρι να ληφθεί η ελάχιστη ενέργεια με στατιστικό τρόπο. Γι' αυτό και η μέθοδος δεν υπολογίζει το ολικό ελάχιστο, αλλά το ελάχιστο που βρίσκεται δίπλα στο σημείο εκκίνησης. Χρησιμοποιείται λοιπόν συνήθως μετά από κάποια άλλη τεχνική ελαχιστοποίησης η οποία έχει εντοπίσει το περίπου σωστό ελάχιστο. Εάν η εκκίνηση γίνει από ένα σημείο Ρ σε ένα Ν-διαστάσεων χώρο σε μία ανυσματική διεύθυνση η, τότε κάθε συνάρτηση Ν μεταβλητών της συνάρτησης f(p) μπορεί να ελαχιστοποιηθεί κατά μήκος της γραμμής Ν με την χρήση των μεθόδων μιας διάστασης. Οι διάφορες μέθοδοι διαφέρουν στον τρόπο που επιλέγουν την επόμενη κατεύθυνση, η. Εάν θεωρήσουμε ένα σύνολο ανυσμάτων ει, ti ΕΝ σαν ένα σύνολο διευθύνσεων, μπορούμε να κάνουμε κύκλους σε αυτές τις διευθύνσεις χρησιμοποιώντας τις μεθόδους ελαχιστοποίησης μιας διάστασης για μία κατεύθυνση σε κάθε γύρο. Στη περίπτωση όμως των επιμηκών, στενών κοιλάδων στο διάγραμμα της ενέργειας, οι οποίες δεν ευθυγραμμίζονται με τους άξονες που έχουν επιλεχθεί (Χ, Υ), η μέθοδος αυτή ακολουθεί τους βασικούς ά ξονες, γι' αυτό και πρέπει να κάνει μικρά βήματα, ώστε να συγκλίνει τελικά στο ελάχιστο αλλά και να αναπροσαρμόζει την κατεύθυνση του ανύσματος μετά από κάθε βήμα, ώστε να μην κάνει συνεχώς κύκλους προς όλες τις κατευθύνσεις. Δηλαδή η μέθοδος αυτή είναι πολύ απλή παρουσιάζει όμως αυτό το πρόβλημα, όπως φαίνεται στο σχήμα Αλγόριθμοι δευτέρας τάξης Οι αλγόριθμοι δευτέρας τάξης χρησιμοποιούν και την πρώτη και την δεύτερη παράγωγο κατά τη διάρκεια της ε λαχιστοποίησης. Ο βασικότερος αλγόριθμος δευτέρας τάξης είναι ο αλγόριθμος Newton - Raphson Αλγόριθμος Newton-Raphson (NR) 1824 Ο αλγόριθμος Newton-Raphson, εφαρμόζει τις εξισώσεις ελαχιστοποίησης NR. Η βασική εξίσωση της μεθόδου είναι η: X k+1 = Χκ - F'(X k )/F"(Xk) (10) όπου, Xk+i, είναι η θέση στο επόμενο βήμα Xk, είναι η ισχύουσα θέση. Παρόλο που αυτή η διαδικασία ελαχιστοποίησης της ε νέργειας είναι πολύ ακριβής και συγκλίνει πολύ καλά δεν είναι εύκολο να εφαρμοσθεί σε μεγάλα συστήματα, γιατί σε κάθε βήμα υπολογίζεται τόσο η πρώτη όσο και η δεύτερη παράγωγος. Για τον λόγο αυτό ο αλγόριθμος περιορίζεται σε συστήματα 200 ατόμων ή λιγότερων Προσαρμοσμένος Αλγόριθμος κατά Newton- Raphson-Adopted Basis Newton - Raphson (ABNR) 18 ' 24 Ο προσαρμοσμένος αλγόριθμος κατά Newton Raphson είναι κυρίως χρήσιμος σαν μέθοδος που χρησιμοποιεί την δεύτερη παράγωγο για μεγάλα συστήματα, όπως οι πρωτεΐνες. Δεν χρησιμοποιεί όλα τα ανύσματα, όπως η μέθοδος NR, αλλά μια μικρότερη βάση η οποία περιορίζεται σ' έ να υποδιάστημα στο οποίο το σύστημα έχει κάνει μεγάλη πρόοδο στα προηγούμενα βήματα. Με αυτόν τον τρόπο το σύστημα κινείται στην ευνοϊκότερη κατεύθυνση σ' ένα περιορισμένο υποδιάστημα. Έτσι η μέθοδος συνδυάζει τα καλύτερα αποτελέσματα της πρώτης παραγώγου τα οποία στη συνέχεια χρησιμοποιεί η δεύτερη παράγωγος. Ο αλγόριθμος αυτός δεν έχει περιορισμό ατόμων, όπως αυτού του NR. 4.4 Παραδείγματα Στη συνέχεια παρέχεται ένα παράδειγμα χρήσης των αλγορίθμων ελαχιστοποίησης της ενέργειας μ' ένα βιοδραστικό διπεπτίδιο (παραλυσίνη). Αρχικά το διπεπτίδιο β - Ala - Tyr έχει την δομή του σχήματος 15 και ενέργεια: ΕΙ = 508, 6199 kcal /mol Μετά από 9999 βήματα ελαχιστοποίησης με τον αλγόριθμο βαθιάς κατάδυσης (SD) η ενέργεια του μορίου μειωθεί σημαντικά και είναι: Ε2 = -175, 4928 kcal / mol 119

12 Σχήμα 15: Σχηματική πορεία του αλγορίθμου Powell Σχήμα 18: Διαμόρφωση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) Σχήμα 16: Αρχική διαμόρφωση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) Σχήμα 19: Διαμόρφωση του διπεπτιδίου β -Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο NR (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) Σχήμα 17: Διαμόρφωση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο SD (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) ενώ η διαμόρφωση που εκλαμβάνει φαίνεται στο Σχήμα 16. Στη συνέχεια ακολουθούν 70 βήματα ελαχιστοποίησης με τον αλγόριθμο βαθμιδωτής σύζευξης (CONJ) και προ κύπτει η διαμόρφωση του Σχήματος 17 με ενέργεια: Ε3 = -175, 5078 kcal / m o l Σχήμα 20: Σύγκριση των διαμορφώσεων που προκύπτουν μετά την ελαχιστοποίηση από κάθε αλγόριθμο. Με πράσινο χρώμα φαίνεται η αρχική διαμόρφωση τον διπεπτιδίου, με κόκκινο η διαμόρφωση που προκύπτει μετά την ελαχιστοποίηση με SD αλ γόριθμο και με μπλε η διαμόρφωση που προκύπτει μετά την ε λαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ και η τελική διαμόρφω ση. Όπως φαίνεται και από τον πίνακα 2, οι διαφορές στην ε νέργεια των διαμορφώσεων μετά την ελαχιστοποίηση είναι πάρα πολύ μικρές και ουσιαστικά οι διαμορφώσεις συμπίπτουν (Βλ. έγχρωμο σελ. 123)

13 Η χρήση του αλγόριθμου Powell δεν ελαχιστοποιεί περαιτέρω την ενέργεια, ενο3 ο αλγόριθμος Newton - Raphson (NR) δίνει την διαμόρφωση του σχήματος 18 με ενέργεια: Ε4 = -175, 5079 kcal /mol η οποία είναι και η τελική ελάχιστη ενέργεια διότι η ε φαρμογή στη συνέχεια του αλγορίθμου Adopted Basis - Newton Raphson (ABRN) δεν προσφέρει περαιτέρω μεί- ωση της ενέργειας του διπεπτιδίου, αλλά συγκλίνει με λιγότερα βήματα στη ίδια ενέργεια. (Σχήμα 19). Αναλυτικά η ενέργεια του μορίου φαίνεται στον πίνακα 2 (σΰμφιυνα με την εξίσωση 4). Οι υπολογισμοί έγιναν με το πρόγραμμα QUANTA, στο πεδίο CHARMm σε Silicon Graphics 02 Workstation. Στο Σχήμα 20 φαίνονται όλες οι διαμορφώσεις σε παράθεση. ΠΙΝΑΚΑΣ 2: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ TOY ΔΙΠΕΠΤΙΔΙΟΥ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. ΟΙ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΟΛΕΣ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΣΕ Kcal / mol Αλγόριθμ. Βήμα E,,,,,, Εδεαμοί' Ε,,,,ν,,όν Γί,διέδρων Ewii.nX,r'v,] J_/ηλεκτρ. ElVcllU'i») E ri»,», Αρχικό Μόριο SD CONJ NR ABNR , * E,«(,, v,, είναι η ενέργεια που οφείλεται στο σφάλμα κατά την μετατροπή των δισδιάστατων ατόμων σε τρισδιάστατα και υπολογίζεται από το πρόγραμμα CHARMm. Molecular Modeling: A Valuable Tool in the Development of Rational Drug Design I. Kyrikou 12, A. Kapou 13, T. Mavromoustakos 1, K. Poulos 1 1. Institute of Organic and Pharmaceutical Chemistry, Vas. Constantinou 48, Athens University of Patras, Chemistry and Biochemistry Department, Rio University of Patras, Pharmaceutical Chemistry Department, Rio Summary Π In this article the principles of Molecular Modeling are discussed and the coordinate systems it is using to express the obtained results. In addition, the graphic presentations of the molecules and the computational methods are analyzed with emphasis in the Molecular Mechanics. The conformational analysis of bioactive molecules involves in the first stage the energy minimization of their initial structure derived either using a builder or crystallographic x-ray data. The algorithms used are compared through an example of a bioactive dipeptide beta - Ala - Tyr (paralysin). Βιβλιογραφία 1. Leach A.R. (1998), Molecular Modeling (Addison Wesley Longman Ltd, London), pp. 1-6, , , Foye W. Ο., Lemke T. L., Williams D. Α. (1995), Principles of Medicinal Chemistiy, (Williams & Wilkins Rose Tree Corpotate Center, USA), pp Codding P.W.(1998), Structure - Based Drug Design - Experimental and Computational Approach, NATO ASI Series, pp Gerstein, M., Richards, F., Chapman, M. S. & Connolly. M. (1999). Protein Geometry: Volumes, Areas and Distance. In International Tables for Crystallography (Rossmann, M. G. & Arnold, E., eds.), Vol. F,. Chapter 22. International Union of Crystallography, Chester, UK. 5. Chapman M.S., 1993 Mapping the surface properties of macromolecules, Protein Sci Mar;2(3): pp Chapman, M. S., Blanc, E., Johnson, J. E., McKenna, R., Munshi, S., Rossmann, M. G., and Tsao, J., (1998), Use of non-crystallographic symmetry for ab initio phasing of virus structures, in Direct Methods for Solving Macromolecular Structures, Fortier, S., Ed.,, Kluwer, Dortrecht, Netherlands, pp Tronrud D.E., Conjugate Direction minimization, an improved Method for the Refinement of Macromolecules, Acta Cryst., A48, pp (1992) 8. Hecht, Harry G, (1990), "Mathematics in Chemistry: an Introduction to Modern Methods", Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, pp Biosym: Discover 2.9 Documentation, Theory and Methodology, January Tamar Schlick, (1992), "Optimization Methods in Computational Chemistry", in Reviews in Computational Chemstry, voloume 3, Eds: K. B. Lipkowitz and D.B. Boyd, VCH Publishers, Inc., New York, pp Wasserman Zelda R., (2000), Computational Chemistry, Access Science, The McGraw - Hill Companies

14 12. Strimpel Oliver B.R., (2000), Computer Graphics, Access Science, The McGraw - Hill Companies 13. Periole X., Allouche D., Daudey J - P, Sanejouand Y - H, Simple two - Boby Cation - Water Interaction Potentials Derived from ab initio Calculations. Comparison to Results Obtained with an Emprical Approach, /. Phys. Chem. B', 101, (1997). 14. Szabo, Attila, (1982) Modern Quantum Chemistry, Macmillan Publishing Co., Ine, New York, pp Murell J.N., Kettle S.F.A., Tedder J.N., (1985), The Chemical bond, 2nd edition, John Wiley & Sons Ltd, pp , Κουρουνάκης Π. Ν, Ρέκκα Ε. Α., (1992), Σχεδιασμός Φαρμάκων, Γραφικές Τέχνες, Θεσσαλονίκη, σελ Quanta - User's Guid, (1991), Volume 2, Polygen Corporation, Waltham, pp , Quanta 97, (1997), Generating and Displaying Molecules, MSI (molecular simulations inc.), San Diego, pp HyperChem(r), Computational Chemistry, Practical Guide - Theory and Methods, Hypercube Ine, October 1996, pp CS Chem3D(r) Version 4.0 Manual, (c) ( ) CambridgeSoft Corporation 21. Hocquet A. and Langgard M., An Evaluation of the MM+ Force Field, J. Mol. Model. (1998), 4, pp Bohne Α., PDB2MultiGIF: A Web Tool To Create Animated Images of Molecules, J. Mol. Model, 4, (1998) Ηλεκτρονική Βιβλιογραφία: 23. Shepra optimization Methods - Powell Algorithm, http: Iläse, harvard, eduludocs/docs/swdocslsherpa/html/refmethods.html 24. Vegatation Science 4 - Inversion, Direction Set (Powell's) Method, ucl. ac. ukl ~plewis/invert/mat- stuff, html 25. Becker, Potential Energy Minimization, tac, ac. ill ~ beckeri course/mini, html 26. Becker, Conformation Space and Energy Function, tac, ac. ill ~ becker I course I energy, html 27. Steinbach Peter, Classical and Quantum Mechanics - in a Nutshell, info, nih.gov/intro-simulation/nodel. html 28. Steinbach Peter, Statistical Mechanics - Calculating Equilibrium Averages, 29. Steinbach Peter, Classical vs. Quantum Mechanics - The Harmonic Oscillator in one Dimension, info, nih.gov/intro-simulation/node3. html 30. Steinbach Peter, An empirical Energy Function: Free energy vs. Potential Energy, 31. Steinbach Peter, The empirical Potential Energy Function, info, nih.gov/intro-simulation/nodel5. html Σχήμα 5: Διπεπτίοιο β - Ala - Tyr. Με γκρι αναπαρίσταται ο άνθρακας (C), με κόκκινο το οξυγόνο (Ο), με μπλε το άζωτο (Ν) και με άσπρο το υδρογόνο (Η) Σχήμα 8: Αναπαράσταση του επιτόπου ΜΒΡ87-99 της βασικής πρωτεΐνης της ανθρώπινης μυελίνης με τη χρήση "κορδελώνribbons" (α) και "κυλίνδρων-cylinders" (β) Σχήμα 7: Αναπαράσταση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr με την χρήση: Α - μοντέλων σύρματος (wire), Β - σφαιρών που προσδένονται μέσω δεσμών (balls and sticks), Γ - μοντέλων CPK, Δ - μοντέλων πολύεδρων, Ε - μοντέλων που αναπαριστούν μόνο τους δεσμούς (sticks) 122

15 Σχήμα 10: Επιφάνειες τον διπεπτιδίου β - Ala - Tyr Α -Επιφάνεια προσπελάσιμη από διαλύτες. Η σύνθεση των χρωμάτων αντανακλά αυτή των ατόμων, Β - Μοριακή Επιφάνεια, Γ- επιφάνεια van der Waals Σχήμα 17: Διαμόρφωση τον διπεπτιδίον β -Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο SD Σχήμα 16: Αρχική διαμόρφωση του διπεπτιδίον β -Ala - Tyr Σχήμα 18: Δ ιαμόρφωση τον διπεπτιδίον β -Ala- Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ Σχήμα 20: Σύγκριση των διαμορφώσεων που προκύπτουν μετά την ελαχιστοποίηση από κάθε αλγόριθμο. Με πράσινο χρώμα φαίνεται η αρχική διαμόρφωση του διπεπτιδίον, με κόκκινο η διαμόρφωση πον προκύπτει μετά την ελαχιστοποίηση με SD αλγόριθμο και με μπλε η διαμόρφωση πον προκύπτει μετά την ε λαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ και η τελική διαμόρφωση. Όπως φαίνεται και από τον πίνακα 2, οι διαφορές στην ε νέργεια των διαμορφώσεων μετά την ελαχιστοποίηση είναι πάρα πολύ μικρές και ονσιαστικά οι διαμορφώσεις συμπίπτουν Σχήμα 19: Διαμόρφωση του διπεπτιδίον ι ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο NR -Ala - Tyr μετά την 123

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΕΘΝΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΟΡΓΑΝΙΚΗΣ & ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1 ο εργαστήριο (Α µέρος) Βασικές αρχές Μοριακής Μοντελοποίησης Μοριακά µοντέλα Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση 6.1. Μοριακή Μηχανική 6.1.1. Εισαγωγή στη µεθοδολογία του «απ αρχής» διπλώµατος της πρωτείνης. Η ενέργεια κάθε µορίου µπορεί θεωρητικά να υπολογιστεί µε την

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί 1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί Ο Lewis πρότεινε το μοντέλο του κοινού ηλεκτρονιακού ζεύγους των δεσμών το 1916, σχεδόνμιαδεκαετίαπριναπότηθεωρίατουde Broglie τηςδυαδικότηταςκύματος-σωματιδίου.

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΡΟΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Γεωργίου Π. Νίνη «Η Θεωρία Ομάδων και

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1: Τυπική μορφή μοριακού δυναμικού.

Σχ. 1: Τυπική μορφή μοριακού δυναμικού. ΤΕΤΥ - Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 6-1 Κεφάλαιο 6. Μόρια Εδάφια: 6.a. Μόρια και μοριακοί δεσμοί 6.b. Κβαντομηχανική περιγραφή του χημικού δεσμού 6.c. Περιστροφή και ταλάντωση μορίων 6.d. Μοριακά φάσματα 6.a.

Διαβάστε περισσότερα

1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού

1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού 1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού Η δομή του Μεθανίου τετραεδρική γωνίες δεσμού = 109.5 Μήκη δεσμού = 110 pm αλλά η δομή εμφανίζεται ασυνεπής με την ηλεκτρονική διάταξη του άνθρακα Η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου Οργανική Χημεία Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου 1. Γενικά Δυνατότητα προσδιορισμού δομών με σαφήνεια χρησιμοποιώντας τεχνικές φασματοσκοπίας Φασματοσκοπία μαζών Μέγεθος, μοριακός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή γή στη Φυσική των Επιταχυντών II Γ. Παπαφιλίππου Τμήμα Επιταχυντών -CERN

Εισαγωγή γή στη Φυσική των Επιταχυντών II Γ. Παπαφιλίππου Τμήμα Επιταχυντών -CERN γή στη Φυσική των στη Φυσική τω ων Επιταχυντώ ών Επιταχυντών II Γ. Παπαφιλίππου Τμήμα Επιταχυντών -CERN Επιμορφωτικό πρόγραμμα Ελλήνων καθηγητών CERN, Ιούλιος 2008 1 Βασικές αρχές δυναμικής των επιταχυντών

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Παρα γοντες που επηρεα ζουν τη θε ση χημικη ς ισορροπι ας - Αρχη Le Chatelier

4.2 Παρα γοντες που επηρεα ζουν τη θε ση χημικη ς ισορροπι ας - Αρχη Le Chatelier Χημικός Διδάκτωρ Παν. Πατρών 4.2 Παρα γοντες που επηρεα ζουν τη θε ση χημικη ς ισορροπι ας - Αρχη Le Chatelier Τι ονομάζεται θέση χημικής ισορροπίας; Από ποιους παράγοντες επηρεάζεται η θέση της χημικής

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ Γραφείο 211 Επίκουρος Καθηγητής: Δ. Τσιπλακίδης Τηλ.: 2310 997766 e mail: dtsiplak@chem.auth.gr url:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

6. ιαμοριακές δυνάμεις

6. ιαμοριακές δυνάμεις 6. ιαμοριακές δυνάμεις ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να γνωρίσουμε τα είδη των ελκτικών δυνάμεων που αναπτύσσονται μεταξύ των μορίων των ομοιοπολικών ενώσεων και την επίδραση που ασκούν οι δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία 24 4

Οργανική Χημεία 24 4 Οργανική Χημεία 24 4 5. ΟΡΓΑΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ 5.1 Δομή οργανικών ενώσεων - διπλός και τριπλός δεσμός - επαγωγικό φαινόμενο Θεωρία δεσμού σθένους (Valence bond theory) Οι κυριότερες από τις διαφορετικές κβαντομηχανικές

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Ο «ΚΥΚΛΟΣ» ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Ο «ΚΥΚΛΟΣ» ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Ο «ΚΥΚΛΟΣ» ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 Τι πρέπει να γνωρίζεις Θεωρία 6.1 Να αναφέρεις τις τρεις φυσικές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί ένα υλικό σώμα. Όπως και

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Δομικά σωματίδια της ύλης - Δομή ατόμου - Ατομικός αριθμός - Μαζικός αριθμός - Ισότοπα

1.3 Δομικά σωματίδια της ύλης - Δομή ατόμου - Ατομικός αριθμός - Μαζικός αριθμός - Ισότοπα 1.3 Δομικά σωματίδια της ύλης - Δομή ατόμου - Ατομικός αριθμός - Μαζικός αριθμός - Ισότοπα Θεωρία 3.1. Ποια είναι τα δομικά σωματίδια της ύλης; Τα άτομα, τα μόρια και τα ιόντα. 3.2. SOS Τι ονομάζεται άτομο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Φώτης Νταής Καθηγητής Πανεπιστηµίου Κρήτης, Τµήµα Χηµείας Φασµατοσκοπία NMR Ο Πυρηνικός µαγνητικός Συντονισµός (NMR) είναι ένα φαινόµενο που συµβαίνει όταν πυρήνες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες:

Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες: Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες:. Η εξέταση διαρκεί 5 h (πέντε ώρες). Υπάρχουν τρεις ερωτήσεις και κάθε μια από αυτές βαθμολογείται με 0 βαθμούς.. Χρησιμοποιήστε μόνο το στυλό που υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΑΘΙΣHΣ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΦΑΡΜΑΚΟΥ ΣΤΗΝ ΡΙΝΙΚΗ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΑΘΙΣHΣ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΦΑΡΜΑΚΟΥ ΣΤΗΝ ΡΙΝΙΚΗ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΑΘΙΣHΣ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΦΑΡΜΑΚΟΥ ΣΤΗΝ ΡΙΝΙΚΗ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ Αλεξόπουλος, A., Καρακώστα Π., και Κυπαρισσίδης Κ. * Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 54006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου, 2013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί απλή αρμονική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Αντικείμενο της εργασίας είναι η σχεδίαση και κατασκευή του ηλεκτρονικού τμήματος της διάταξης μέτρησης των θερμοκρασιών σε διάφορα σημεία ενός κινητήρα Ο στόχος είναι η ανάκτηση του

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

panagiotisathanasopoulos.gr

panagiotisathanasopoulos.gr Χημική Ισορροπία 61 Παναγιώτης Αθανασόπουλος Χημικός, Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Πατρών Χημικός Διδάκτωρ Παν. Πατρών 62 Τι ονομάζεται κλειστό χημικό σύστημα; Παναγιώτης Αθανασόπουλος Κλειστό ονομάζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0 Σύζευξη σπιν-σπιν Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο πυρήνες Α και Χ, οι οποίοι είτε συνδέονται απ ευθείας µε έναν δεσµό είτε η σύνδεσή γίνεται µε περισσότερους δεσµούς. A X J = 0 J 0 Α Χ Α Χ Το σπάσιµο των

Διαβάστε περισσότερα

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων 5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o προβλέπετε με βάση τη συμμετρία αν ένα μόριο έχει μόνιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ε.Ε.) 5

ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ε.Ε.) 5 ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ε.Ε.) 5 Μοντελοποίηση της ροής σε ένα πόρο μεταβλητής γεωμετρίας και σε τρισδιάστατα δίκτυα παρουσία νερού ή οργανικής φάσης Ε.Ε. 5.1. : Μοντελοποίηση της ροής σε ένα πόρο απλής και μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβολή ορισμένων περιοδικών ιδιοτήτων

Μεταβολή ορισμένων περιοδικών ιδιοτήτων Μεταβολή ορισμένων περιοδικών ιδιοτήτων 1. Ερώτηση: Ποια θεωρούνται θεμελιώδη χαρακτηριστικά του ατόμου και γιατί; Θεμελιώδη χαρακτηριστικά του ατόμου είναι: η ατομική ακτίνα, η ενέργεια ιοντισμού και

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις)

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ΘΕΜΑ 1 ο Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 επιλέξτε τη σωστή πρόταση 1. Ένα σώμα μάζας

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Χημεία καρβονυλικών ενώσεων & Κεφάλαιο 19: Αλδεϋδες και κετόνες

Οργανική Χημεία. Χημεία καρβονυλικών ενώσεων & Κεφάλαιο 19: Αλδεϋδες και κετόνες Οργανική Χημεία Χημεία καρβονυλικών ενώσεων & Κεφάλαιο 19: Αλδεϋδες και κετόνες 1. Καρβονυλικές ενώσεις Καρβονυλική ομάδα C=O σημαντικότερη λειτουργική ομάδα οργανικής χημείας Καρβονυλικές ομάδες βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Σκοπός: Ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους: 1. Από την κλίση μιας πειραματικής καμπύλης 2. Από τον τύπο της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Αφού επαναληφθεί το τυπολόγιο, να γίνει επανάληψη στα εξής: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ερωτήσεις: (Από σελ. 7 και μετά)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Χηµεία-Βιοχηµεία Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2001

Χηµεία-Βιοχηµεία Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2001 Χηµεία-Βιοχηµεία Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο 1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Η σταθερά Κ w στους 25 ο C έχει τιµή 10-14 : α.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου 1. Ερώτηση: Τι είναι η κβαντομηχανική; H κβαντομηχανική, είναι η σύγχρονη αντίληψη μιας νέας μηχανικής που μπορεί να εφαρμοστεί στο μικρόκοσμο του ατόμου. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 5 : ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ Ορισμός : Με τον όρο «ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Σταθερά προστασίας. , αυτά προστατεύουν (αντίθετη κατεύθυνση ως προς το Β 0

Σταθερά προστασίας. , αυτά προστατεύουν (αντίθετη κατεύθυνση ως προς το Β 0 Σταθερά προστασίας Όπως αναφέραµε προηγουµένως, η χηµική µετατόπιση διαφόρων πυρήνων σ ένα µόριο οφείλεται στο χηµικό περιβάλλον των πυρήνων, το οποίο δηµιουργεί τοπικά µαγνητικά πεδία. Ανάλογα µε τον

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Κεφάλαιο 1: Δομή και δεσμοί

Οργανική Χημεία. Κεφάλαιο 1: Δομή και δεσμοί Οργανική Χημεία Κεφάλαιο 1: Δομή και δεσμοί 1. Οργανική χημεία Οργανικές ενώσεις μέχριτομισότου1800 αναφέρονταν σε ενώσεις από ζωντανούς οργανισμούς Wöhler το 1828 έδειξε ότι η ουρία, μία οργανική ένωση,

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Κεφάλαιο 5: Επισκόπηση οργανικών αντιδράσεων

Οργανική Χημεία. Κεφάλαιο 5: Επισκόπηση οργανικών αντιδράσεων Οργανική Χημεία Κεφάλαιο 5: Επισκόπηση οργανικών αντιδράσεων 1. Κατηγορίες οργανικών αντιδράσεων Γενικά, εξετάζουμε το είδος της αντίδρασης και τον τρόπο που αυτές συντελούνται Γενικοί τύποι αντιδράσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Ημιαγωγοί Θεωρία ζωνών Ενδογενής αγωγιμότητα Ζώνη σθένους Ζώνη αγωγιμότητας Προτεινόμενη βιβλιογραφία 1) Π.Βαρώτσος Κ.Αλεξόπουλος «Φυσική Στερεάς Κατάστασης» 2) C.Kittl, «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

αγωγοί ηµιαγωγοί µονωτές Σχήµα 1

αγωγοί ηµιαγωγοί µονωτές Σχήµα 1 Η2 Μελέτη ηµιαγωγών 1. Σκοπός Στην περιοχή της επαφής δυο ηµιαγωγών τύπου p και n δηµιουργούνται ορισµένα φαινόµενα τα οποία είναι υπεύθυνα για τη συµπεριφορά της επαφής pn ή κρυσταλλοδιόδου, όπως ονοµάζεται,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα