Μοριακά Μοντέλα: Ένα Ανεκτίμητο Εργαλείο στον Ορθολογιστικό Σχεδιασμό Φαρμάκων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μοριακά Μοντέλα: Ένα Ανεκτίμητο Εργαλείο στον Ορθολογιστικό Σχεδιασμό Φαρμάκων"

Transcript

1 ΑΡΘΡΑ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ! REVIEW ARTICLES ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ 14, III, , 2001 PHARMAKEFTTKI14, III, , 2001 Μοριακά Μοντέλα: Ένα Ανεκτίμητο Εργαλείο στον Ορθολογιστικό Σχεδιασμό Φαρμάκων Ι. Κυρίκου 12 *, Α. Κάπου 13, Θ. Μαυρομούστακος 1, Κ. Ποΰλος Ινστιτούτο Οργανικής και Φαρμακευτικής Χημείας, Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών, Βασ. Κων/νον 48, Αθήνα Τμήμα Χημείας, Τομέας Οργανικής Χημείας & Βιοχημείας, Πανεπιστήμιο Πατρών 3. Τμήμα Φαρμακευτικής, Τομέας Φαρμακευτικής Χημείας, Πανεπιστήμιο Πατρών Περίληψη Στο άρθρο αυτό αναπτύσσονται οι αρχές της Μοριακής Μοντελοποίησης, τα συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιεί για να εκφράσει τα αποτελέσματα της καθώς και τα είδη γραφικής απεικόνισης των μορίων. Αναπτύσσονται επίσης οι μέθοδοι υπολογισμού που χρησιμοποιεί και δίνεται έμφαση στη Μοριακή Μηχανική. Η μελέτη διαμόρφωσης των μορίων έχει ως πρώτο στάδιο την ελαχιστοποίηση της ενέργειας της πρωταρχικής των διαμόρφωσης όπως λαμβάνεται από ένα κατάλληλο πρόγραμμα κατασκευής δομής ή τα κρυσταλλογραφικά δεδομένα ακτίνων-χ. Συγκρίνονται οι αλγόριθμοι ε λαχιστοποίησης της ενέργειας και παρέχεται ένα παράδειγμα χρήσης τους με ένα βιοδραστικό διπεπτίδιο το β - Ala - Tyr ( παραλυσίνη). 1. Αρχές Μοριακής Μοντελοποίησης 123 Οι περισσότερες μελέτες μοριακής μοντελοποίησης συμπεριλαμβάνουν τρία στάδια μοριακών μοντέλων. Πρώτο στάδιο: Γίνεται επιλογή μιας μεθόδου η οποία περιγράφει τη δομή και τις ιδιότητες του συστήματος. Οι δύο περισσότερο χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι η Μοριακή Μηχανική και η Κβαντική Μηχανική. Οι μέθοδοι αυτές συμπεριλαμβάνουν μία συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια του συστήματος καθώς μεταβάλλονται οι συντεταγμένες των πυρήνων των ατόμων που έχουμε ορίσει ως τις μικρότερες μονάδες που απαρτίζουν το σύστημα μας. Δεύτερο στάδιο: Πραγματοποιούνται οι υπολογισμοί, όπως είναι η ελαχιστοποίηση της ενέργειας, η μοριακή δυναμική (Molecular Dynamics), η προσομοίωση Monte Carlo και η συστηματική ανάλυση (Grid Scan). Τρίτο στάδιο: Αναλύονται οι δομές για να υπολογιστούν κάποιες υπό μελέτη ιδιότητες (π.χ. ηλεκτρονιακή πυκνότητα, όγκος υπέρθεσης σε μία οδηγό φαρμακευτική ένωση κ.λπ.) οι οποίες συνεισφέρουν για να εξεταστεί η ορθότητα των υπολογισμών. Η ποικιλία των συστημάτων που μπορούν να αναλυθούν με τα μοριακά μοντέλα είναι εξαιρετικά μεγάλη: α πό απομονωμένα μόρια μέσω απλών ατομικών και μοριακών υγρών μέχρι πολυμερή, βιολογικά μακρομόρια όπως πρωτεΐνες και μόρια DNA καθώς και συστήματα σε στερεή κατάσταση. 1.1 Συστήματα Συντεταγμένων 1 Το πρώτο σιάδιο μελέτης της διαμόρφωσης μορίων είναι ο καθορισμός των συντεταγμένων των ατόμων. Αυτό μπορεί αν γίνει με δύο βασικούς τρόπους. Η περισσότερο άμεση διαδικασία είναι ο καθορισμός του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων* (x, y, z) για όλα τα άτομα του συστήματος που είναι παρόντα. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν οι εσωτερικές συντεταγμένες, στις οποίες η θέση του κάθε ατόμου περιγράφεται σε σχέση με τα υπόλοιπα άτομα του συστήματος. Οι εσωτερικές συντεταγμένες περιγράφουν τη θέση του ατόμου με τη μορφή αποστάσεων, γωνιών και διέδρων γωνιών, σε σχέση με το αρχικό άτομο. Καθώς οι όροι αυτοί συμπίπτουν με τις χημικές αρχές των μηκών των δεσμών, των γωνιών των δεσμών και των δίεδρων γωνιών (γωνιών ροπής στρέψης), οι εσωτερικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν μοριακές δομές. Ένα πλήρες σύνολο εσω- * Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται το σύστημα που αποτελείται από ένα ζεύγος ευθείες σε ένα επίπεδο, οι ο ποίες τέμνονται σε μία ορθή γωνία. Οι ευθείες αυτές καλούνται άξονες. Για τρεις διαστάσεις προστίθεται και ο ζ άξονας έτσι ώ στε οι κάθε άξονες να είναι κατακόρυφοι μεταξύ τους. 109

2 τερικών συντεταγμένων καλείται πίνακας Ζ. Ο πίνακας Ζ περιέχει μία ευθεία για κάθε άτομο του συστήματος. Στον πίνακα Ζ το πρώτο άτομο θεωρείται ως αρχικό και το δεύ τερο άτομο καθορίζεται από την απόσταση από το αρχικό άτομο 1, το τρίτο από την απόσταση του στα άτομα 1,2 κα θώς και την γωνία την οποία σχηματίζουν τα τρία άτομα (Σχήμα 1). Σχήμα 1: Καθορισμός των εσωτερικών συντεταγμένων από τις α ποστάσεις μεταξύ των ατόμων και τη γωνία που σχηματίζεται με ταξύ τους Τέσσερα άτομα σχηματίζουν δίεδρη γωνία*. Μετά το τέταρτο άτομο όλα τα υπόλοιπα περιγράφονται με την α πόσταση την γωνία και την δίεδρη γωνία σε σχέση με τα υπόλοιπα άτομα (Σχήματα 2,3). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α ενός π ί ν α κ α Ζ γ ι α την διαβαθμισμένη διαμόρφωση του τμήματος CTL - CH2 (Σχήμα 3) του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr (Σχήμα 4) φαίνεται παρακάτω στον Σχήμα 4: Διαβαθμισμένη διαμόρφωση τμήματος CH2 - CH2 του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr πίνακα 1. Στην πρώτη γραμμή καθορίζεται το πρώτο άτο μο, το οποίο είναι άτομο C. Το δεύτερο άτομο είναι επί σης άτομο C σε απόσταση 1.54 Α από το πρώτο (στήλες 3, 4 από αριστερά). Το τρίτο είναι άτομο Η το οποίο συνδέ εται με δεσμό μήκους 1 Α με το πρώτο άτομο C και η γω νία που σχηματίζουν τα άτομα είναι 109.5". Οι πλη ροφορίες αυτές παρέχονται στις στήλες 5, 6 (από αριστε ρά). Το τέταρτο άτομο είναι Η, έχει μία απόσταση 1.0 Α από το άτομο 2 και η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των ατόμων είναι 109.5". Η δίεδρη γωνία η οποία σχη ματίζεται μεταξύ των ατόμων είναι 180" (Σχήμα 4). ΠΙΝΑΚΑΣ 1: Ζ- ΠΙΝΑΚΑΣ Τ Η Σ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝ Η Σ Δ Ι Α Μ Ο Ρ Φ Ω Σ Η Σ Τ Ο Υ Τ Μ Η Μ Α Τ Ο Σ CH2 - CH2 Τ Ο Υ Δ Ι Π Ε Π Τ Ι Δ Ι Ο Υ Β - ALA - TYR. Σχήμα 2: Η όίεδρη γωνία Α - Β - Γ - Δ, καθορίζεται ως η γωνία μεταξύ των επιπέδων Α, Β, Γ, και Β, Γ, Δ C C Η Η Η Η Οι καρτεσιανές συντεταγμένες μπορούν να μετατρα πούν σε εσωτερικές και αντιστρόφως. Οι εσωτερικές συ ντεταγμένες χρησιμοποιούνται γ ι α την π ε ρ ι γ ρ α φ ή της σχέσης των ατόμων στο μόριο, ενώ οι καρτεσιανές χρησι μοποιούνται για να περιγράψουν μια σειρά από διακριτά Σχήμα 3: Καθορισμός των εσωτερικών συντεταγμένων από τις α ποστάσεις μεταξύ των ατόμων και τη γωνία που σχηματίζεται με ταξύ τους, καθώς και τη δίεδρη γωνία που σχηματίζουν τα τέσ σερα άτομα 110 * Η δίεδρη γωνία (γωνία ροπής στρέψης) μεταξύ τεσσάρων α τόμων, Α-Β-Γ-Δ, καθορίζεται ως η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων, εκ των οποίων το ένα περιέχει τα άτομα Α, Β και Γ και το άλλο τα άτομα Β, Γ και Δ, όπως φαίνονται στο σχήμα 2.4. Μία γωνία ροπής στρέψης μπορεί να πάρει τιμές από 0"-360", παρόλο που συνήθως χρησιμοποιείται η διαβάθμιση -180"-180.

3 μόρια. Οι εσωτερικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται σε κβαντομηχανικές προσεγγίσεις, ενώ οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν τη μοριακή μηχανική γίνονται με χρή ση των καρτεσιανών συντεταγμένων (Σχήμα 5). Σχήμα 5: Δ ιπεπτίόιο β - Ala - Tyr. Με γκρι αναπαρίσταται ο άν θρακας (C), με κόκκινο το οξυγόνο (Ο), με μπλε το άζωτο (Ν) Σχήμα 6: Αιοόιάστατη επιφάνεια δυναμικής ενέργειας με και με άσπρο το υδρογόνο (Η) (Βλ. έγχρωμο σελ. 122) δύο τοπικά ελάχιστα και ένα μέγιστο Pauling - Koltun (CPK). Επιπρόσθετα είδη μοντέλων α ναπαρίστανται στο σχήμα 7. Στα μοντέλα αυτά δίνεται η δυνατότητα να χρωματισθούν τα μόρια ανάλογα με τον α τομικό αριθμό τους ή να προστεθεί σκίαση ή φωτισμός ώ στε να προσομοιωθεί η πραγματική τους φύση. Υπάρχει επίσης και η δυνατότητα να περιστραφούν ή να μετακινη θούν τα μόρια (Σχήμα 7). 1.2 Επιφάνειες δυναμικής ε ν έ ρ γ ε ι α ς 1 2 Μ Η ενέργεια ενός μορίου στη βασική του ηλεκτρονιακή κατάσταση, μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνάρτηση πυρη νικών συντεταγμένων. Εάν αυτές μεταβληθούν η ενεργει ακή κατάσταση του μορίου θα μεταβληθεί. Οι νέες θέσεις των πυρήνων μπορεί να είναι αποτέλεσμα μιας απλής διεργασίας, όπως περιστροφή ενός απλοΰ δεσμού ή μπο ρεί να οφείλεται στην συντονισμένη κίνηση μεγάλου α ριθμού ατόμων. Η αύξηση ή η μείωση της ενέργειας ε ξαρτάται από το είδος των εμπλεκόμενων μεταβολών. Για μικρά και απομονωμένα μόρια, η περιστροφή γύρω από τον απλό δεσμό συνεπάγεται κατά κανόνα μικρές μετα βολές στην ενέργεια. Οι αλλαγές στην ενέργεια ενός συστήματος μπορεί να θεωρηθούν ως κινήσεις σε μία πολυδιάστατη επιφάνεια, η οποία καλείται επιφάνεια ενέργειας. (Potential Surface). Η επιφάνεια της δυναμικής ενέργειας ενός μορίου, χα ρακτηρίζεται από ένα σύνολο τοπικών ελαχίστων (=βα σικές καταστάσεις) και μέγιστων ( = μεταβατικές κατα στάσεις). Στο σχήμα 2.6 αναπαρίσταται μια δυσδιάστατη επιφάνεια με δύο τοπικά ελάχιστα, και ένα μέγιστο. (Σχήμα 6). 1.3 Μοριακά Γ ρ α φ ι κ ά Η απεικόνιση των θεωρητικών αποτελεσμάτων είναι α ναγκαία στην άμεση αντίληψη των προκυπτόντων ευνοϊκά ενεργειακά διαμορφώσεων. Τα άτομα αναπαρίστανται συνήθως υπό μορφή σφαιρών (balls) τα οποία προσδένο νται μέσω δεσμών (sticks). Στα μοντέλα αυτά είναι εμφα νή τα άτομα και οι δεσμοί. Σε κάποια άλλα μοντέλα όπου τα άτομα παρομοιάζονται επίσης με σφαίρες οι δεσμοί δεν είναι εμφανείς (space filling). Τα ανάλογα αυτά ομοι άζουν με τα μηχανικά μοντέλα των Dreiding και Corey - Σχήμα 7: Αναπαράσταση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr με την χρήση: Α - μοντέλων σύρματος (wire), Β - σφαιρών που προσδέ νονται μέσω δεσμών (balls and sticks), Γ - μοντέλων CPK, Δ μοντέλων πολύεδροι, Ε - μοντέλων που αναπαριστούν μόνο τους δεσμούς (sticks) (Βλ. έγχρωμο σελ. 122) 111

4 Πολύπλοκα συστήματα, όπως πρωτεΐνες μπορούν να α ναπαρασταθούν με τη χρήση "κορδελών-ribbons" ή "κυ λίνδρων-cylinders" (Σχήμα 8). Επίσης μπορούν να αναπα ρασταθούν και οι μοριακές επιφάνειες van der Waals και να γίνει υπέρθεση των μορίων (Σχήμα 9). der Waals του μορίου. Τέλος η προσπελάσιμη επιφάνεια προσδιορίζεται από το περίγραμμα που σχηματίζεται από το κέντρο της σφαίρας που θεωρήσαμε προηγουμένως καθώς αυτή κυλίεται γύρω από το μόριο van der Waals. Σχήμα 8: Αναπαράσταση τον επιτόπου ΜΒΡ87-99 της βασικής πρωτεΐνης της ανθρώπινης μυελίνης με τη χρήση "κορδελώνribbons" (α) και "κυλίνδρων-cylinders" (β) (Βλ. έγχρωμο σελ. 122) 1.4 Επιφάνειες Πολλά προβλήματα που συναντώνται κατά την μελέτη με τη χρήση της μοριακής μοντελοποίησης αφορούν την μη ομοιοπολική αλληλεπίδραση των μορίων. Η μελέτη τέ τοιων αλληλεπιδράσεων συχνά διευκολύνεται με την εξέ ταση των van der Waals των μοριακών ή και των προσεγγίσιμων επιφανειών του μορίου. Η επιφάνεια van der Waals σχεδιάζεται από τις υπερτιθέμενες σφαίρες των α- Στο σχήμα 10 φαίνεται η επιφάνεια van der Waals του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr και οι επιφάνεια που είναι προ σπελάσιμη από τους διαλύτες καθώς και η επιφάνεια ε παφής ανάλογα με τον χρωματισμό του ατόμου (ισχύουν τα ίδια χρώματα που φαίνονται και στο σχήμα 2.5). 2. Μέθοδοι υπολογισμού 12 6 " Σχήμα 9: Η επιφάνεια van der Waals ενός μορίου τόμων (Σχήμα 9). Η επιφάνεια van der Waals ενός μορίου αντιστοιχεί στις εξωτερικές επιφάνειες των σφαιρών van der Waals των ατόμων. Η μοριακή επιφάνεια προκύπτει αν θεωρή σουμε ότι μία σφαίρα (συνήθως ακτίνας 1.4 Α ώστε να α ναπαριστά ένα μόριο νερού) κυλίεται στην επιφάνεια van Η1519) Υπάρχουν δύο βασικοί τύποι μεθόδων για ενεργεια κούς υπολογισμούς: Α) Η Μοριακή Μηχανική και, Β) η Κβαντομηχανική. Οι κβαντομηχανικοί υπολογισμοί περιλαμβάνουν την abinitio κβαντομηχανική μέθοδο και τις ημί - εμπειρικές κβαντομηχανικές μεθόδους. Στην πρώτη επιχειρείται επί λυση της εξίσωσης Schrödinger χωρίς να γίνονται απλο ποιήσεις στη διαφορική εξίσωση, ενώ στις ημί-εμπειρικές κβαντομηχανικές μεθόδους γίνονται απλοποιήσεις στην επίλυση της εξίσωσης. Γι' αυτό οι ημί-εμπειρικές μέθοδοι είναι ταχύτερες και προσπελάσιμες σε μεγαλύτερα*μόρια συγκριτικά με την abinitio κβαντομηχανική μέθοδο. Παρ' όλες δε τις προσεγγίσεις τις οποίες χρησιμοποιούν οι ημίεμπειρικές μέθοδοι παρέχουν αποτελέσματα τα οποία πλησιάζουν πολύ τα πειραματικά. Η ακρίβεια των υπολογισμών της μοριακής μηχανικής ή των ημί-εμπειρικών μεθόδων εξαρτάται από τη βάση δε δομένων η οποία χρησιμοποιείται για να καθοριστούν οι παράμετροι των μεθόδων. Αυτό είναι μεγάλο μειονέκτη μα γιατί σημαίνει ότι πρέπει να έχουν καθοριστεί οι πα ράμετροι αυτοί πριν από την έναρξη των υπολογισμών. Οι abinitio μέθοδοι μπορούν να υπερνικήσουν αυτό το πρό βλημα. Οι ab initio υπολογισμοί ξεκίνησαν με το μόριο του Η2 το 1927 από τους Heitier - London και δεν επεκτάθηκαν 112

5 σε μεγαλύτερα μόρια παρά μόνο με την ανάπτυξη του η λεκτρονικού ψηφιακού υπολογιστή, το Η μεγάλη παραγωγή υπολογισμών ab initio άρχισε στα τέλη του 1960, με την εκτεταμένη διαθεσιμότητα προγραμμάτων για υπολογισμούς του αυτοσυνεπούς πεδίου (Self Consistent Field) σε πολυατομικά μόρια. Η μέθοδος του αυτοσυνεπούς πεδίου βασίζεται σε δύο προσεγγίσεις, που οδηγούν σε πολύ σημαντικές απλοποι ήσεις των μαθηματικών και επιτρέπουν τον ορισμό των τροχιακών σε ένα σύστημα πολλών ηλεκτρονίων. Η πρώ τη προσέγγιση είναι να ληφθεί ο μέσος όρος της ηλεκτρονιακής άπωσης ως προς τις θέσεις όλων των ηλεκτρονίων και έτσι το δυναμικό γίνεται συνάρτηση της θέσης ενός μόνο ηλεκτρονίου. Το δυναμικό αυτό γενικά δεν έχει σφαιρική συμμετρία γιατί τα ηλεκτρόνια δεν είναι απαραιτήτως σφαιρικά κα τανεμημένα γύρω από τον πυρήνα. Έτσι λαμβάνεται ένας δεύτερος μέσος όρος ως προς τις γωνίες, ο οποίος δίνει έ να συμμετρικά σφαιρικό δυναμικό. Λόγω του ότι η εξίσω ση του δυναμικού είναι σφαιρικά συμμετρική, οι κυματοσυναρτήσεις ενός ηλεκτρονίου που κινείται σε αυτό το δυ ναμικό μπορούν να διαχωριστούν σε γινόμενα ακτινικών και σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων. Με αυτόν τον τρόπο έχει απλοποιηθεί -και επομένως προσεγγισθεί- το πρόβλημα, έτσι ώστε να λυθεί η εξίσωση Schrodinger. Ακόμη και με την απλοποίηση αυτή, η εξίσωση δεν επιδέ χεται αναλυτική λύση. Όμως μπορούν να ληφθούν προ σεγγιστικές λύσεις ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια. Τα τροχιακά SCF πολλών ατόμων υπολογίστηκαν κατά την περίοδο του , κυρίως σύμφωνα με διαδικα σίες που αναπτύχθηκαν από τους Hartree και Fock. Ακρι βείς λύσεις των εξισώσεων για πολυατομικά συστήματα είναι συνήθως γνωστές σαν τροχιακά Hartree - Fock. Από το 1950 και μετά, η υπολογιστική τεχνολογία βελτιώθηκε, σε σημείο που τα τροχιακά SCF μπορούσαν να υπολογι στούν και για μόρια - που είναι ένα πολύ δύσκολο πρό βλημα, επειδή δεν υπάρχει ολική συμμετρία παρουσία πολλών πυρήνων. Ένας υπολογισμός ab initio αρχίζει με συναρτήσεις βά σης, οι οποίες ορίζονται σαφώς με αλγεβρικές συναρτή σεις και με μία Χαμιλτονιανή και οι οποίες ορίζονται από τους τελεστές της κινητικής και δυναμικής ενέργειας για τα ηλεκτρόνια. Τα ολοκληρώματα που απαιτούνται για την κατάστρωση των χαρακτηριστικών εξισώσεων, υπο λογίζονται ακριβώς και μετά από μία διαδικασία SCF προκύπτουν τα μοριακά τροχιακά. Στους υπολογισμούς αυτούς ποτέ δεν χρησιμοποιούνται κάποια πειραματικά δεδομένα που να αφορούν τα άτομα ή το μόριο για να υ πολογιστούν οι τιμές των ολοκληρωμάτων των ηλεκτρο νίων (Η και S'). Στην περίπτωση που γίνουν κάποιες προ σεγγίσεις στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων αυτών, ο υπολογισμός αναφέρεται ως προσεγγιστικός ab initio. Όταν οι ενέργειες των συναρτήσεων της βάσης εξάγο νται από πειραματικά ενεργειακά επίπεδα των ατόμων, και χρησιμοποιούνται τα παρατηρούμενα δυναμικά ιονι σμού του μορίου, ο υπολογισμός αναφέρεται ως εμπειρι κός με την έννοια ότι βασίζεται στο πείραμα. Η κύρια υπολογιστική δουλειά σε έναν υπολογισμό ab initio είναι η εύρεση των ηλεκτρονιακών απωστικών ολο κληρωμάτων. Πριν από την ανάπτυξη των σύγχρονων ψη φιακών ηλεκτρονικών υπολογιστών, τέτοιοι υπολογισμοί ήταν αδύνατον να εκτελεστούν, εκτός για πολύ μικρές βά σεις. Γι' αυτό αναπτύχθηκαν πολλές προσεγγιστικές θεω ρίες για να χειριστούν το πρόβλημα αυτό. Μερικές από αυτές χρησιμοποιούν αριθμητικές προσεγγίσεις στα ηλε κτρονικά απωστικά ολοκληρώματα, τα οποία σε πολλές από τις προσεγγίσεις θεωρούνται μηδέν. Άλλες θεωρίες (που ονομάζονται ημί - εμπειρικές) συνδύασαν τις προ σεγγίσεις αυτές με εμπειρικές τιμές των ολοκληρωμάτων, έτσι ώστε να βελτιώσουν την ικανότητα τους. 2.1 Μ ο ρ ι α κ ή Μηχανική 1 ' 2 " 2 " 2 7 ' 2 8 Στην μέθοδο της Μοριακής Μηχανικής η ενέργεια υπο λογίζεται μόνον σαν συνάρτηση των θέσεων των πυρήνων των ατόμων, ενώ δεν λαμβάνονται υπόψη οι κινήσεις των ηλεκτρονίων. Έτσι μειώνεται σημαντικά ο αριθμός των σωματιδίων για τα οποία πρέπει να γίνονται υπολογισμοί συγκριτικά με τις κβαντομηχανικές μεθόδους. Για τον λό γο αυτό η μοριακή μηχανική χρησιμοποιείται κατά κανό να για την περιγραφή συστημάτων που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό ατόμων. Τα διάφορα πεδία δυνάμεων (force fields) της μορια κής μηχανικής χρησιμοποιούν τις εξισώσεις της κλασικής μηχανικής για να περιγράψουν τις επιφάνειες της δυναμι κής ενεργειακά ι ορισμένες ιδιότητες των μορίων. Οι μέ θοδοι αυτές συσχετίζουν την ενέργεια του συστήματος με ένδο- και διαμοριακές αλληλεπιδράσεις μέσα στο σύστη μα οι οποίες καθορίζονται από τις μεταβολές μήκους δε σμών και μεγέθους γωνιών, περιστροφή δεσμών και μη δεσμικές αλληλεπιδράσεις ατόμων του συστήματος (ηλε κτροστατικές και Van der Waals αλληλεπιδράσεις). Ένα συστατικό του πεδίου αυτού είναι η ενέργεια που προέρχεται από τη συσπείρωση και την επιμήκυνση των δεσμών. Το συστατικό αυτό συχνά θεωρείται ότι έχει την μορφή αρμονικού ταλαντωτή και έτσι μπορεί να υπολογι στεί από τον νόμο του Hooke (εξίσωση 1 ) V, t a K»«=l/2K,(r-r,) 2 (1) όπου Γ=απόσταση ατόμων στη θέση ισορροπίας και Γο=μέγιστη απόσταση ατόμων Ο δεσμός μεταξύ δύο ατόμων είναι ανάλογος με ένα ε λατήριο που ενώνει τις δύο μάζες. Χρησιμοποιώντας αυ- * S είναι το ολοκλήρωμα αλληλοεπικάλυψης των τροχιακών των ηλεκτρονίων και αναπαρίσταται με μορφή πίνακα. 113 * Ένα μόριο περιγράφεται ως μία συλλογή ατόμων που αλληλε πιδρούν μεταξιί τους με απλε'ς αναλυτικε'ς εξισώσεις. Η περι γραφή αυτή καλείται πεδίο δυνάμεων.

6 τη την αναλογία, η εξίσωση (1) δίνει τη δυναμική ενέρ γεια του συστήματος των μαζών νελατηρίου και την στα θερά του ελατηρίου Kr. Η απόσταση των ατόμων στη θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης (μέγιστη από σταση ελατηρίου) είναι r και ro αντίστοιχα. Τα Kr και r εί ναι σταθερά για συγκεκριμένο σύστημα ατόμων που συν δέονται με ένα συγκεκριμένο ελατήριο και αποτελούν τις παραμέτρους του πεδίου δυνάμεων. Η δυναμική ενέργεια ενός μοριακού συστήματος είναι συνάρτηση: (α) του είδους των ατόμων που απαρτίζουν το μόριο (β) του είδους των δεσμών που το συγκροτούν, και (γ) των σχηματιζόμενων διέδρων γωνιών Ο υπολογισμός της απόλυτης ενέργειας ενός μορίου Σχήμα 11: Γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας της στην μοριακή μηχανική δεν έχει φυσική σημασία. Χρησι καρβοννλικής ομάδας, έναντι τον μήκους δεσμού μοποιείται όμως για τη σύγκριση των ενεργειακών κατα 1 στάσεων των μορίων. Ενέργειες με χρήση υπολογισμών ε ρούμε να κάνουμε προβλέψεις. Ο ατομικός τύπος (atom type) είναι ένας όρος που α νός σημείου (single point calculations) σχετίζονται με την παντάται στις περισσότερες εμπορικές εφαρμογές ενερ ενθαλπία του μορίου. Στην πραγματικότητα όμως δεν α γειακών πεδίων. Στην κβαντομηχανική μέθοδο απαιτείται ποτελούν ενθαλπίες γιατί η θερμική κίνηση και η θερμο ο καθορισμός των ατομικών αριθμών των πυρήνων, της κρασία δεν υπολογίζονται στο άθροισμα των ενεργεια γεωμετρίας του συστήματος και της συνολικής πολυπλο κών όρων. κότητας φορτίων και ιδιοπεριστροφών. Σ' ένα πεδίο δυ Αντίθετα με την κβαντομηχανική, η μοριακή μηχανική νάμεων ο καθορισμός της πολυπλοκότητας φορτίων και δεν επεξεργάζεται τα ηλεκτρόνια ξεχωριστά. Οι υπολογι spin δεν είναι απαραίτητος, απαιτείται όμως συνήθως κά σμοί της μοριακής μηχανικής δεν μπορούν να περιγρά θε άτομο του συστήματος να αντιστοιχισθεί μ' ένα ατομι ψουν τον σχηματισμό των δεσμών, τη σχάση τους σε συ κό τύπο1. στήματα στα οποία ο μη εντοπισμός των ηλεκτρονίων και Ο ατομικός τύπος παρέχει πληροφορίες (πέρα από τον οι αλληλεπιδράσεις των μοριακών τροχιακών παίζουν ατομικό αριθμό) για την κατάσταση υβριδισμού και σε ο σημαντικό ρόλο στη δημιουργία της γεωμετρικής διαμόρ ρισμένες περιπτώσεις για το τοπικό περιβάλλον. Για πα φωσης των μορίων. ράδειγμα, στα περισσότερα πεδία είναι απαραίτητη η Δεσμοί και Γωνίες ' 2 0 διάκριση μεταξύ sp3 (τετραεδρική γεωμετρία), sp2 (τριγω νική γεωμετρία) και sp-ατόμων άνθρακα (γραμμική). Κά Για να υπολογιστούν τα δυναμικά των δεσμών και των θε παράμετρος του πεδίου εκφράζεται σε όρους ατομι γωνιών που σχηματίζουν τρία δεσμικά άτομα χρησιμοποι κών τύπων. Η ατομικοί τύποι σε ορισμένα πεδία αναφέ ούνται οι αρμονικές συναρτήσεις: ρονται στο γειτονικό περιβάλλον. Για παράδειγμα, τα ΜΜ2/ΜΜ3 πεδία (Allinger et al.) 2 ν,ο,άν,,,,, = Σ K(r - r,,) (2) διακρίνουν τους ακόλουθους ατομικούς τύπους άνθρακα δεσμού : sp3, sp2, sp, καρβονυλίου, κυκλοπροπανίου, ρίζας, κυκλοπροπενίου και καρβωνιόντος. Στο πεδίο AMBER V συμπίεσης = -Ζ- Κ ( ί ( θ - θ ο ) ~ (3) (Weiner et al., Cornell et al.) το άτομο άνθρακα στο ση γωνίας μείο συνένωσης μεταξύ ενός εξαμελούς και ενός πεντα μελούς δακτυλίου (π.χ. στο αμινοξύ τρυπτοφάνη) (σχ. 12) όπου θ, η γωνία που σχηματίζουν τρία άτομα όταν τα αντιστοιχεί σ' ένα ατομικό τύπο ο οποίος είναι διαφορετι λαντώνονται σε ισορροπία και θ" η γωνία που σχηματί κός από ένα άτομο άνθρακα σε έναν απομονωμένο πε ζουν τρία άτομα όταν ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. νταμελή δακτύλιο όπως στην ιστιδίνη (σχ. 12), το οποίο με Στο σχήμα 11 φαίνεται γραφική παράσταση της δυνα τη σειρά του είναι διαφορετικό από το άτομο άνθρακα μικής ενέργειας ως συνάρτησης του μήκους του δεσμού. του βενζολίου. Έ ν α ιδιαίτερα σημαντικό χαρακτηριστικό που πρέπει Επιπλέον, το AMBER πεδίο χρησιμοποιεί διαφορετι να διαθέτει ένα πεδίο δυνάμεων είναι η δυνατότητα χρη κά ατομικά είδη για την ιστιδίνη ανάλογα με την θέση και σιμοποίησης της συνάρτησης που το περιγράφει και των την έκταση της πρωτονίωσης (σχ. 12). Συνήθως, τα πεδία παραμέτρων που υπεισέρχονται σε αυτήν, για την ανάλυ που σχεδιάζονται για συγκεκριμένες τάξεις μορίων (όπως ση μιας σειράς σχετικών μεταξύ τους μορίων (π.χ. για όλη οι πρωτεΐνες και τα νουκλεϊκά οξέα, στην περίπτωση του τη σειρά των n-αλκανίων), δίχως να απαιτείται καθορι AMBER) χρησιμοποιούν πιο συγκεκριμένα και αναλυτι σμός των παραμέτρων για καθένα από αυτά ξεχωριστά. Η κότερα ατομικά είδη σε σχέση με τα πεδία που σχεδιάζο ιδιότητα αυτή είναι προφανώς απαραίτητη για να μπο- νται για γενική χρήση. 114

7 γόντων στους οποίους περιλαμβάνονται: η φύση και οι ι διότητες του υπό ανάλυση συστήματος, το είδος της πλη ροφορίας που επιθυμούμε να εξάγουμε από το συγκεκρι μένο μοντέλο, την ύπαρξη πειραματικώς καθορισμένων παραμέτρων και τις δυνατότητες του υπολογιστή που δια θέτουμε (μνήμη, ταχύτητα). Τα τρία βασικά κριτήρια εί ναι: α. Το μέγεθος του υπό μελέτη συστήματος. Το μέγε θος του συστήματος συνήθως αποτελεί ένα σοβαρό πε ριοριστικό παράγοντα. Γενικά, ο περιοριστικός αριθμός ατόμων αυξάνει κατά μία τάξη μεγέθους από την ab initio κβαντομηχανική μέθοδο ως τις μεθόδους μοριακής μηχα νικής. Ο γενικός κανόνας είναι ότι η ab initio μέθοδος περιο ρίζεται σε αναλύσεις συστημάτων τα οποία περιλαμβά νουν μερικές δεκάδες άτομα, οι ημί-εμπειρικές σε συστή ματα που περιλαμβάνουν μερικές εκατοντάδες άτομα (π.χ. ολιγονουκλεοτίδια, ολιγοπεπτίδια, ολιγοσακχαρίσχήμα 12: AMBER ατομικά τύπων για τα αμινοξέα ιστιοίνη τες, ενώ οι μέθοδοι της Μοριακής Μηχανικής μπορούν να (τρεις καταστάσεις πρωτονίωσης), τρνπτοφάνη και φαιννλαλα- αναλύσουν συστήματα αποτελούμενα από χιλιάδες άτομα νίνη (π.χ. νουκλεϊνικά οξέα, πρωτεΐνες). β. Πειραματικές παράμετροι. Ορισμένες μέθοδοι χρη 2.2 Κβαντομηχανική " S σιμοποιούν για τους υπολογισμούς παραμέτρους που έ Οι ab initio τεχνικές της κβαντομηχανικής έχουν εξελι χουν βρεθεί πειραματικά. Εάν το υπό μελέτη σύστημα πε χθεί σημαντικά τα τελευταία χρόνια. Συγκεκριμένα η τα ριέχει άτομα για τα οποία δεν έχουν μετρηθεί οι παράμε χύτητα και η ακρίβεια των ab initio υπολογισμών έχουν ροι που απαιτεί η συγκεκριμένη μέθοδος, τότε υπάρχει βελτιωθεί λόγω της ανάπτυξης των νέων αλγορίθμων και περίπτωση οι προβλέψεις της μεθόδου να είναι εσφαλμέ νες. Στην Μοριακή Μηχανική για παράδειγμα ο ορισμός της εισαγωγής καλύτερων βασικών συναρτήσεων. Οι ημί-εμπειρικές μέθοδοι της κβαντομηχανικής έχουν κάθε πεδίου δυνάμεων γίνεται με τη χρησιμοποίηση συγ επίσης εξελιχθεί τις τελευταίες τρεις δεκαετίες. Με τη κεκριμένων παραμέτρων που αφορούν το υπό μελέτη σύ χρήση των σημερινών μικροϋπολογιστών, μπορούν να πα στημα. Για τον λόγο αυτό κάθε πεδίο δυνάμεων αφορά ράγουν σημαντικά και συχνά ποσοτικά αποτελέσματα για μόνο μία περιορισμένη ομάδα μορίων παρόμοιων με αυ μεγάλα μοριακά συστήματα. Η μεθοδολογία των ημί-ε- τό για το οποίο έχει γίνει η παραμετροποίηση. γ. Υπολογιστικές απαιτήσεις. Γενικά, οι μέθοδοι μο μπειρικών μεθόδων αρχικά βασίστηκε στη θεωρία των π ηλεκτρονίων. Αργότερα η θεωρία αυτή αντικαταστάθηκε ριακής μηχανικής έχουν πολύ μικρότερες υπολογιστικές απαιτήσεις από τις κβαντομηχανικές μεθόδους, οι οποίες από τις θεωρίες σθένους ηλεκτρονίων. Τα μόρια αποτελούνται από ηλεκτρόνια και πυρήνες. μπορεί να γίνουν ιδιαίτερα χρονοβόρες, σε σημείο που να Οι περισσότερες εφαρμογές της κβαντικής χημείας δια απαιτείται διάστημα 1-2 μηνών για την εκτέλεση των υπο χωρίζουν την κίνηση των πυρήνων από την κίνηση των η λογισμών και μόνο. Στην συνέχεια παρατίθεται μία επιγραμματική σύγκρι λεκτρονίων (παραδοχή Born-Oppenheimer). Τα αποτε ση των υπολογιστικών μεθόδων σε μορφή πίνακα.20 λέσματα της παραδοχής αυτής είναι ένα μοντέλο με κι Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας, μεταβάλλει τη γεωμε νούμενους πυρήνες πάνω σε μία ενεργειακή επιφάνεια τρία του μορίου ώστε να χαμηλώσει την ενέργεια του συ και με ηλεκτρόνια να προσαρμόζονται στιγμιαία στις με στήματος και αποδίδει μία περισσότερο σταθερή διαμόρ ταβολές των θέσεων των πυρήνων. Σε κάθε σταθερή θέση φωση. Όσο προχωρεί η ελαχιστοποίηση, το μόριο λαμβά του πυρήνα, η δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα των νει διαμόρφωση στην οποία η ενέργεια δε μεταβάλλεται απώσεων μεταξύ των θετικά φορτισμένων πυρήνων και με απειροελάχιστες μεταβολές στη γεωμετρία. Αυτό ση των έλξεων τους με τα ηλεκτρόνια. Με τον τρόπο αυτό τα μαίνει ότι η παράγωγος της ενέργειας, η οποία καλείται ηλεκτρόνια βοηθούν στην συγκράτηση των πυρήνων. βαθμωτό άνυσμα (gradient) τείνει στο μηδέν. Αυτό το ση μείο είναι γνωστό ως σταθερό σημείο της επιφάνειας δυ 2.3 Επιλογή υπολογιστικής μεθόδου 20 ναμικής ενέργειας. Κάθε υπολογιστική μέθοδος (ab initio, ημι-εμπειρική, Εάν μικρές αλλαγές στις γεωμετρικές παραμέτρους αυ μοριακή μηχανική) παρουσιάζει πλεονεκτήματα και μειο ξήσουν την ενέργεια του μορίου, η προηγούμενη διαμόρ νεκτήματα ανάλογα με το σύστημα που επιθυμούμε να α φωση θεωρείται σχετικά σταθερή και αναφέρεται ως ε ναλύσουμε. Η επιλογή εξαρτάται από έναν αριθμό παρα λάχιστο. Εάν η ενέργεια μειώνεται με μικρές αλλαγές σε %, 1! I 115

8 ΠΙΝΑΚΑΣ 2: ΕΠΙΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΑΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ «Χρησιμοποιεί αρχές της κλασικής μηχανικής. Βασίζεται σε πεδία δυνάμεων με καθορισμένες πειραματικά παραμέτρους. Μικρές υπολογιστικές απαιτήσεις. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την ανάλυση μεγαλομοριακών συστημάτων. Μοριακή Μηχανική Ημί-εμπειρική Μέθοδος Το κάθε ενεργειακό πεδίο έχει ισχύ για μια περιορισμένη ομάδα παρεμφερών μορίων. Δεν υπολογίζει ηλεκτρονικές ιδιότητες. Απαραίτητη η ύπαρξη πειραματικών δεδομένων (ή δεδομένων από ab initio υπολογισμούς) για τον καθορισμό των παραμέτρων. Μεγάλα συστήματα (της τάξης των χιλίων ατόμων). Συστήματα και διαδικασίες που δεν περιλαμβάνουν διάσπαση ή δημιουργία δεσμών. Χρησιμοποιεί τις αρχές της κβαντομηχανικής. Χρησιμοποιεί παραμέτρους που έχουν εξαχθεί πειραματικά. Βασίζεται σε μία σειρά προσεγγίσεων Λιγότερες υπολογιστικές απαιτήσεις σε σχέση με την ab initio, αλλά, μεγαλύτερες σε σχέση με τη μοριακή μηχανική Δυνατότητα υπολογισμού μεταβατικών και διεγερμένων καταστάσεων. Απαιτεί πειραματικά δεδομένα (ή δεδομένα από ab initio) για τον καθορισμό των παραμέτρων. Λιγότερο ακριβής σε σχέση με την ab initio. Ενδιάμεσου μεγέθους συστήματα (της τάξης των εκατό ατόμων). Συστήματα που περιλαμβάνουν μετακινήσεις ηλεκτρονίων (electronic transitions). Ab initio Μέθοδος Χρησιμοποιεί αρχές κβαντομηχανικής. Μαθηματικώς ακριβείς υπολογισμοί. Δεν απαιτεί εμπειρικές παραμέτρους. Δεν εξαρτάται από πειραματικά δεδομένα. Δυνατότητα υπολογισμού μεταβατικών και διεγερμένων καταστάσεων. Δυνατότητα υπολογισμού ηλεκτρονιακών ιδιοτήτων Μεγάλες υπολογιστικές απαιτήσεις. Μικρά συστήματα (μερικές δεκάδες ατόμων). Συστήματα που περιλαμβάνουν μετακινήσεις ηλεκτρονίων (electronic transitions). Μόρια ή συστήματα για τα οποία δεν διατίθενται πειραματικά δεδομένα. 3. Ελαχιστοποίηση της Ενέργειας 1 ' 2 ' 3 ' 17 ' 24 ' ' Η ενε'ργεια ενός μορίου δίνεται από την εξίσωση 4: HiVÊOyeiCZ ϋίδεσμοΰ Τ ϋίγωνκόν Τ JC/ÔitoQwv γωνιών "Ρ υ* ήλεκτρου τ. Τ XLvDW Τ 1ί<Οεο-μ.υδρογ. Τ ϋπεριορ. (4) οπού, Εδεσμού, η ενέργεια του μήκους δεσμού 1 Εγωνών, η ενέργεια της γωνίας δεσμού > Εδ,έδρων, η ενέργεια των δίεδρων γωνιών J Εσωτερική ενέργεια Εηλεχτροστ, ηλεκτροστατικό δυναμικό EVDW, ενέργεια των Van der Waals αλληλεπιδράσεων Εδεσμ.νοροΥ, ενέργεια των αλληλεπιδράσεων των δεσμών υδρογόνου Εξωτερική ενέργεια Επερ,ορ, ενέργεια λόγω των περιοριστικών αποστάσεων \ Επιπλέον ενέργεια συστήματρς 116

9 κής ενέργειας, ενώ οι δευτέρας τάξης λαμβάνουν υπόψη τους επίσης και τις πληροφορίες της καμπύλωσης της επι φάνειας. Κατά την εκλογή του καταλληλότερου αλγορίθμου (ή του συνδυασμού αυτών) λαμβάνονται υπόψη πολλοί πα ράγοντες. Ο ιδανικότερος αλγόριθμος είναι αυτός που υ πολογίζει το "τοπικό ελάχιστο" της ενεργείας ενός μορί ου του μοριακού συστήματος στον ελάχιστο δυνατό χρό νο, με τη χρήση της μικρότερης δυνατής μνήμης του υπο λογιστή. Δεν υπάρχει κάποιος αλγόριθμος με αυτά τα χα ρακτηριστικά, που να βρίσκει εφαρμογή σε όλες τις περι πτώσεις γι' αυτό τα περισσότερα λογισμικά πακέτα δί νουν την δυνατότητα χρήσης περισσότερων αλγορίθμων. Οι αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης συνήθως συνδυάζονται για ευνοϊκότερη ελαχιστοποίηση της ενέργειας. 4.1 Αλγόριθμοι μηδενικής τάξης Σχήμα 13 Σχηματική αναπαράσταση των αδρών επιφανειών που χαρακτηρίζουν τις ενεργειακές επιφάνειες μακρομορίων μία ή περισσότερες διαστάσεις, αλλά όχι σε όλες τις δια στάσεις τότε βρίσκεται σε μία κοιλάδα. Στα μοριακά συ στήματα τα ελάχιστα προσδιορίζονται με τη χρήση κυρίως αριθμητικών μεθόδων. Οι μέθοδοι αυτές μεταβάλλουν βαθμιαία τις συντεταγμένες και δίνουν διαμορφώσεις με συνεχώς μειούμενη ενέργεια, μέχρις ότου βρεθεί το ελά χιστο. Οι μεταβολές αυτές γίνονται με την χρήση αλγο ρίθμων (σχήμα 13). 4. Αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης ενέργειας1 8 9'10 11'17 18 Όλοι οι αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης θεωρούν ότι ο ποιαδήποτε συνάρτηση F(X), με μεταβλητή Χ, μπορεί να αναλυθεί σε μία σειρά Taylor γύρω από το ελάχιστο Χο, (εξίσωση 5) F(X) =F(Xo) + (X-Xo)F'(Xo) + l/2(x-xo)2f"(xo) +... (5) όπου, F', η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης και F", η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης. Οι αλγόριθμοι ελαχιστοποίησης κατατάσσονται ανάλο γα με την τάξη τους, δηλαδή ανάλογα με τη μεγαλύτερη παράγωγο της συνάρτησης που χρησιμοποιεί ο αλγόριθ μος. Οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούν μόνο την τιμή της συνάρτησης, ονομάζονται αλγόριθμοι μηδενικής τάξης. Αυτοί που χρησιμοποιούν την πρώτη παράγωγο ονομά ζονται αλγόριθμοι πρώτης τάξης, τη δεύτερη παράγωγο δεύτερης τάξης κ.ο.κ. Δηλαδή οι αλγόριθμοι πρώτης τά ξης χρησιμοποιούν μόνο τις πληροφορίες της εφαπτομέ νης γωνίας κλίσης της καμπύλης της επιφάνειας δυναμι Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούν αλγορίθμους μηδενικής τάξης δεν χρησιμοποιούν απευθείας πληροφορίες για την εφαπτομένη γωνίας κλίσης της καμπύλης της επιφάνειας δυναμικής ενέργειας και την καμπύλωση της επιφάνειας κατά την ελαχιστοποίηση. Σαν αποτέλεσμα οι μέθοδοι αυ τές δίνουν πολλά μη αξιοποιήσιμα αποτελέσματα και έ χουν εφαρμογή μόνο σε πολλές επιφάνειες, χωρίς πολλά τοπικά ελάχιστα και με γραμμικότητα. Οι μέθοδοι αυτές σπάνια χρησιμοποιούνται για μακρομοριακά συστήματα. Η μέθοδος της συστηματικής αναζήτησης είναι ένα παράδειγμα μεθόδου που χρησιμοποιεί αλγόριθμο μηδε νικής τάξης. Κατά τη μέθοδο αυτή ένα πλέγμα τοποθετεί ται πάνω από την επιφάνεια και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης σε κάθε κομβικό σημείο. Το σημείο του πλέγ ματος με την }ρμηλότερη ενέργεια επιλέγεται σαν το ελά χιστο. Η ποιότητα της μεθόδου της αναζήτησης αυτής ε ξαρτάται από την πυκνότητα του πλέγματος. 4.2 Αλγόριθμοι πρώτης τάξης24 Οι αλγόριθμοι πρώτης τάξης χρησιμοποιούν την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης (το βαθμωτό άνυσμα της πο λυδιάστατης επιφάνειας της ενέργειας) για να καθοδηγή σουν την αναζήτηση προς το τοπικό ελάχιστο. Αυτό ση μαίνει ότι χρησιμοποιούν τις πληροφορίες της κλίσης της καμπύλης της επιφάνειας δυναμικής ενέργειας αλλά όχι την καμπύλωση της επιφάνειας (η οποία δίνεται από την δεύτερη παράγωγο). Οι αλγόριθμοι αυτοί προσπαθούν να αντισταθμίσουν την έλλειψη αυτών της πληροφορίας που περιέχει η χρήση της δεύτερης παραγώγου με διάφορους τρόπους, δηλαδή χρησιμοποιούν μεταβλητό μέγεθος βη μάτων και χρησιμοποιούν και τις πληροφορίες από τα προηγούμενα βήματα. Η βασική εξίσωση των πρώτης τάξης αλγορίθμων ελα χιστοποίησης της ενέργειας είναι (εξίσωση 6): Rk = Rk-,+ LS k (6)

10 όπου, Rk, είναι η νέα θέση (στην καμπύλη της επιφάνειας δυ ναμικής ενέργειας) στο βήμα k Rk ι, είναι η θέση στο προηγούμενο βήμα k-1 Ik, είναι το μέγεθος του βήματος k Sk, είναι η κατεύθυνση του βήματος. S =-g Για τα επόμενα όμως βήματα (k > 1) η κατεύθυνση του βήματος είναι ο μέσος όρος του ισχύοντος βήματος και της κατεύθυνσης του προηγουμένου και δίνεται από την ε ξίσωση: Sk = -gk + bksk-! Οι μέθοδοι διαφέρουν στον τρόπο που επιλέγουν το μέ γεθος του βήματος και την κατεύθυνση αυτού. Δεδομένου ότι όλες οι μέθοδοι είναι επαναληπτικές, χρειάζονται πολλά βήματα για να συγκλίνουν στο ελάχιστο (εάν τελι κά συγκλίνουν). Οι κυρίως χρησιμοποιούμενοι αλγόριθμοι πρώτης τά ξης είναι ο αλγόριθμος Βαθιάς Κατάδυσης (SteepestDescent ή SD)xai ο αλγόριθμος Βαθμιδωτής Σύζευξης (Conjugated Gradients ή CONJ) Αλγόριθμος Βαθιάς Κατάδυσης (8) (9) όπου, bk, είναι ο συντελεστής βαρύτητας. Στο σχήμα αναπαρίσταται η πορεία των αλγορίθ μων βαθιάς κατάδυσης και βαθμιδωτού πεδίου. Ξεκινώ ντας από το σημείο Α, ο αλγόριθμος βαθιάς κατάδυσης θα ακολουθήσει την πορεία Α - Β - C (ή εναλλακτικά την πο ρεία Α - D - F. Ο αλγόριθμος βαθμιδωτού ανύσματος από την άλλη θα ακολουθήσει την πορεία Α - Β - Ο, γιατί θα λάβει υπόψη του και το προηγούμενο βαθμωτό άνυσμα Α - Β και το επόμενο Β - C. (Σχήμα 14). Ο πιο απλός αλγόριθμος ελαχιστοποίησης είναι ο αλ γόριθμος βαθιάς κατάδυσης. Ο αλγόριθμος αυτός, αφοΰ υπολογίσει σε κάθε βήμα τη βάθμωση του δυναμικού gk προσθέτει ένα εκτόπισμα σε όλες τις συντεταγμένες με κατεύθυνση αντίθετη του βαθμωτοΰ ανύσματος (κατεύ θυνση του πεδίου). Η βασική του εξίσωση είναι η : & = -gk (7) Σε κάθε επανάληψη, ρυθμίζεται το μέγεθος του βήμα τος, για να αντισταθμισθεί η έλλειψη των πληροφοριών της καμπυλότητας της επιφάνειας. Το μέγεθος του βήμα τος αυξάνεται εάν η νέα διαμόρφωση έχει μικρότερη ε νέργεια η μειώνεται όταν έχει μεγαλύτερη ενέργεια αντί στοιχα. Εξαιτίας του πεπερασμένου των μεγεθών των βημάτων η μέθοδος δεν ακολουθεί το βαθμωτό άνυσμα ομαλά αλ λά κινείται γΰρω από αυτό. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να κάνει κύκλους γύρω από το ελάχιστο αλλά να μη συγκλί νει ποτέ σε αυτό. Όμως παρά τη μικρή σύγκλιση και α κρίβεια της, είναι μία πολύ χρήσιμη μέθοδος για μικρές αλλαγές καθώς απομακρύνει τις ενεργειακά ασύμφορες αλληλεπιδράσεις (non bouded interaction) και τις τεταμέ νες δίεδρες γωνίες. Κατά κανόνα από τελεί τον πρώτο αλ γόριθμο εισαγωγής σε μία σύνθετη διαδικασία ελαχιστο ποίησης ενέργειας. Σχήμα 14: Σχηματική αναπαράσταση συγκριτικής πορείας προς το ελάχιστο σημείου Α με χρήση του αλγορίθμου βαθιάς κατάδυ σης και του αλγορίθμου βαθμιδωτής σύζευξης (οι κύκλοι αναπα ριστούν τις ιαοδυναμικές καμπύλες της ενέργειας και αποτελούν εγκάρσια τομή των καμπυλών δυναμικής ενέργειας του σχήμα τος 6) Αλγόριθμος Βαθμιδωτής Σύζευξης Ο αλγόριθμος βαθμιδωτής σύζευξης αντίθετα με τον αλγόριθμο βαθιάς κατάδυσης, σε κάθε βήμα, δεν χρησι μοποιεί μόνο το ισχύον βαθμωτό άνυσμα, αλλά και πλη ροφορίες από τα προηγούμενα βήματα. Με τον υπολογι σμό του βάρους των προηγούμενων βαθμωτών ανυσμά των, η μέθοδος αυτή αντισταθμίζει την έλλειψη των πλη ροφοριών της καμπυλότητας της επιφάνειας. Για το πρώ το βήμα, όπως και ο αλγόριθμος βαθιάς κατάδυσης ισχύ ει η εξίσωση: 118 Ο αλγόριθμος αυτός είναι κατάλληλος για μοριακά συ στήματα τα οποία ξεκινούν από λογικές διαμορφώσεις (π.χ. διαμορφώσεις οι οποίες προέρχονται από κρυσταλλογραφικά δεδομένα ακτίνων-χ). Διαμορφώσεις οι οποί ες προήλθαν από κάποιο λογισμικό κατασκευής δομών (builder) είναι πολύ πιθανό να δημιουργήσουν αριθμητι κή υπερχείλιση στοιχείων, αν χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθ μος βαθμιδωτού ανύσματος και όχι της βαθιάς κατάδυ σης.

11 4.2.3 Αλγόριθμος Συζυγούς Βαθμωτού Πεδίου Powell Conjugate Gradient (Powell) ' Ο αλγόριθμος αυτός εφαρμόζει μια περισσότερο αποδοτική υλοποίηση της μεθόδου του βαθμιδωτού ανύσματος. Η μέθοδος αυτή όμως δεν παρέχει αυτόματα την ευκολία για εκσυγχρονισμό των αλληλεπιδράσεων των δεσμών υδρογόνου, γι' αυτό και προτείνεται η χρήση της μόνο σε λίγες περιπτώσεις. Ο αλγόριθμος βαθμιδωτής σύζευξης (CONJ), απαιτεί τον υπολογισμό του τελεστή της συνάρτησης της ενέργειας σε κάθε επαναληπτικό βήμα, και αυτός ο υπολογισμός δεν είναι πάντοτε εφικτός. Γι' αυτόν τον λόγο ο Powell α νέπτυξε μία μέθοδο για να δημιουργεί βαθμωτές κατευθύνσεις χρησιμοποιώντας μόνο την έρευνα σε μία διάσταση σε κάθε επαναληπτική πορεία. Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία "μέθοδος ενός συνόλου κατευθύνσεων". Δηλαδή καθορίζεται αρχικά σύνολο διευθύνσεων στην καμπύλη των επιφανειών της δυναμικής ενέργειας οι οποίες σε μία κατεύθυνση μέχρι το υπό μελέτη μόριο να φτάσει ο' ένα ελάχιστο. Από εκεί κινείται σε μία άλλη κατεύθυνση μέχρι να φτάσει σ' ένα άλλο ελάχιστο κ.ο.κ. και κινείται σε όλες τις κατευθύνσεις μέχρι να ληφθεί η ελάχιστη ενέργεια με στατιστικό τρόπο. Γι' αυτό και η μέθοδος δεν υπολογίζει το ολικό ελάχιστο, αλλά το ελάχιστο που βρίσκεται δίπλα στο σημείο εκκίνησης. Χρησιμοποιείται λοιπόν συνήθως μετά από κάποια άλλη τεχνική ελαχιστοποίησης η οποία έχει εντοπίσει το περίπου σωστό ελάχιστο. Εάν η εκκίνηση γίνει από ένα σημείο Ρ σε ένα Ν-διαστάσεων χώρο σε μία ανυσματική διεύθυνση η, τότε κάθε συνάρτηση Ν μεταβλητών της συνάρτησης f(p) μπορεί να ελαχιστοποιηθεί κατά μήκος της γραμμής Ν με την χρήση των μεθόδων μιας διάστασης. Οι διάφορες μέθοδοι διαφέρουν στον τρόπο που επιλέγουν την επόμενη κατεύθυνση, η. Εάν θεωρήσουμε ένα σύνολο ανυσμάτων ει, ti ΕΝ σαν ένα σύνολο διευθύνσεων, μπορούμε να κάνουμε κύκλους σε αυτές τις διευθύνσεις χρησιμοποιώντας τις μεθόδους ελαχιστοποίησης μιας διάστασης για μία κατεύθυνση σε κάθε γύρο. Στη περίπτωση όμως των επιμηκών, στενών κοιλάδων στο διάγραμμα της ενέργειας, οι οποίες δεν ευθυγραμμίζονται με τους άξονες που έχουν επιλεχθεί (Χ, Υ), η μέθοδος αυτή ακολουθεί τους βασικούς ά ξονες, γι' αυτό και πρέπει να κάνει μικρά βήματα, ώστε να συγκλίνει τελικά στο ελάχιστο αλλά και να αναπροσαρμόζει την κατεύθυνση του ανύσματος μετά από κάθε βήμα, ώστε να μην κάνει συνεχώς κύκλους προς όλες τις κατευθύνσεις. Δηλαδή η μέθοδος αυτή είναι πολύ απλή παρουσιάζει όμως αυτό το πρόβλημα, όπως φαίνεται στο σχήμα Αλγόριθμοι δευτέρας τάξης Οι αλγόριθμοι δευτέρας τάξης χρησιμοποιούν και την πρώτη και την δεύτερη παράγωγο κατά τη διάρκεια της ε λαχιστοποίησης. Ο βασικότερος αλγόριθμος δευτέρας τάξης είναι ο αλγόριθμος Newton - Raphson Αλγόριθμος Newton-Raphson (NR) 1824 Ο αλγόριθμος Newton-Raphson, εφαρμόζει τις εξισώσεις ελαχιστοποίησης NR. Η βασική εξίσωση της μεθόδου είναι η: X k+1 = Χκ - F'(X k )/F"(Xk) (10) όπου, Xk+i, είναι η θέση στο επόμενο βήμα Xk, είναι η ισχύουσα θέση. Παρόλο που αυτή η διαδικασία ελαχιστοποίησης της ε νέργειας είναι πολύ ακριβής και συγκλίνει πολύ καλά δεν είναι εύκολο να εφαρμοσθεί σε μεγάλα συστήματα, γιατί σε κάθε βήμα υπολογίζεται τόσο η πρώτη όσο και η δεύτερη παράγωγος. Για τον λόγο αυτό ο αλγόριθμος περιορίζεται σε συστήματα 200 ατόμων ή λιγότερων Προσαρμοσμένος Αλγόριθμος κατά Newton- Raphson-Adopted Basis Newton - Raphson (ABNR) 18 ' 24 Ο προσαρμοσμένος αλγόριθμος κατά Newton Raphson είναι κυρίως χρήσιμος σαν μέθοδος που χρησιμοποιεί την δεύτερη παράγωγο για μεγάλα συστήματα, όπως οι πρωτεΐνες. Δεν χρησιμοποιεί όλα τα ανύσματα, όπως η μέθοδος NR, αλλά μια μικρότερη βάση η οποία περιορίζεται σ' έ να υποδιάστημα στο οποίο το σύστημα έχει κάνει μεγάλη πρόοδο στα προηγούμενα βήματα. Με αυτόν τον τρόπο το σύστημα κινείται στην ευνοϊκότερη κατεύθυνση σ' ένα περιορισμένο υποδιάστημα. Έτσι η μέθοδος συνδυάζει τα καλύτερα αποτελέσματα της πρώτης παραγώγου τα οποία στη συνέχεια χρησιμοποιεί η δεύτερη παράγωγος. Ο αλγόριθμος αυτός δεν έχει περιορισμό ατόμων, όπως αυτού του NR. 4.4 Παραδείγματα Στη συνέχεια παρέχεται ένα παράδειγμα χρήσης των αλγορίθμων ελαχιστοποίησης της ενέργειας μ' ένα βιοδραστικό διπεπτίδιο (παραλυσίνη). Αρχικά το διπεπτίδιο β - Ala - Tyr έχει την δομή του σχήματος 15 και ενέργεια: ΕΙ = 508, 6199 kcal /mol Μετά από 9999 βήματα ελαχιστοποίησης με τον αλγόριθμο βαθιάς κατάδυσης (SD) η ενέργεια του μορίου μειωθεί σημαντικά και είναι: Ε2 = -175, 4928 kcal / mol 119

12 Σχήμα 15: Σχηματική πορεία του αλγορίθμου Powell Σχήμα 18: Διαμόρφωση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) Σχήμα 16: Αρχική διαμόρφωση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) Σχήμα 19: Διαμόρφωση του διπεπτιδίου β -Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο NR (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) Σχήμα 17: Διαμόρφωση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο SD (Βλ. έγχρωμο σελ. 123) ενώ η διαμόρφωση που εκλαμβάνει φαίνεται στο Σχήμα 16. Στη συνέχεια ακολουθούν 70 βήματα ελαχιστοποίησης με τον αλγόριθμο βαθμιδωτής σύζευξης (CONJ) και προ κύπτει η διαμόρφωση του Σχήματος 17 με ενέργεια: Ε3 = -175, 5078 kcal / m o l Σχήμα 20: Σύγκριση των διαμορφώσεων που προκύπτουν μετά την ελαχιστοποίηση από κάθε αλγόριθμο. Με πράσινο χρώμα φαίνεται η αρχική διαμόρφωση τον διπεπτιδίου, με κόκκινο η διαμόρφωση που προκύπτει μετά την ελαχιστοποίηση με SD αλ γόριθμο και με μπλε η διαμόρφωση που προκύπτει μετά την ε λαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ και η τελική διαμόρφω ση. Όπως φαίνεται και από τον πίνακα 2, οι διαφορές στην ε νέργεια των διαμορφώσεων μετά την ελαχιστοποίηση είναι πάρα πολύ μικρές και ουσιαστικά οι διαμορφώσεις συμπίπτουν (Βλ. έγχρωμο σελ. 123)

13 Η χρήση του αλγόριθμου Powell δεν ελαχιστοποιεί περαιτέρω την ενέργεια, ενο3 ο αλγόριθμος Newton - Raphson (NR) δίνει την διαμόρφωση του σχήματος 18 με ενέργεια: Ε4 = -175, 5079 kcal /mol η οποία είναι και η τελική ελάχιστη ενέργεια διότι η ε φαρμογή στη συνέχεια του αλγορίθμου Adopted Basis - Newton Raphson (ABRN) δεν προσφέρει περαιτέρω μεί- ωση της ενέργειας του διπεπτιδίου, αλλά συγκλίνει με λιγότερα βήματα στη ίδια ενέργεια. (Σχήμα 19). Αναλυτικά η ενέργεια του μορίου φαίνεται στον πίνακα 2 (σΰμφιυνα με την εξίσωση 4). Οι υπολογισμοί έγιναν με το πρόγραμμα QUANTA, στο πεδίο CHARMm σε Silicon Graphics 02 Workstation. Στο Σχήμα 20 φαίνονται όλες οι διαμορφώσεις σε παράθεση. ΠΙΝΑΚΑΣ 2: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ TOY ΔΙΠΕΠΤΙΔΙΟΥ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. ΟΙ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΟΛΕΣ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΣΕ Kcal / mol Αλγόριθμ. Βήμα E,,,,,, Εδεαμοί' Ε,,,,ν,,όν Γί,διέδρων Ewii.nX,r'v,] J_/ηλεκτρ. ElVcllU'i») E ri»,», Αρχικό Μόριο SD CONJ NR ABNR , * E,«(,, v,, είναι η ενέργεια που οφείλεται στο σφάλμα κατά την μετατροπή των δισδιάστατων ατόμων σε τρισδιάστατα και υπολογίζεται από το πρόγραμμα CHARMm. Molecular Modeling: A Valuable Tool in the Development of Rational Drug Design I. Kyrikou 12, A. Kapou 13, T. Mavromoustakos 1, K. Poulos 1 1. Institute of Organic and Pharmaceutical Chemistry, Vas. Constantinou 48, Athens University of Patras, Chemistry and Biochemistry Department, Rio University of Patras, Pharmaceutical Chemistry Department, Rio Summary Π In this article the principles of Molecular Modeling are discussed and the coordinate systems it is using to express the obtained results. In addition, the graphic presentations of the molecules and the computational methods are analyzed with emphasis in the Molecular Mechanics. The conformational analysis of bioactive molecules involves in the first stage the energy minimization of their initial structure derived either using a builder or crystallographic x-ray data. The algorithms used are compared through an example of a bioactive dipeptide beta - Ala - Tyr (paralysin). Βιβλιογραφία 1. Leach A.R. (1998), Molecular Modeling (Addison Wesley Longman Ltd, London), pp. 1-6, , , Foye W. Ο., Lemke T. L., Williams D. Α. (1995), Principles of Medicinal Chemistiy, (Williams & Wilkins Rose Tree Corpotate Center, USA), pp Codding P.W.(1998), Structure - Based Drug Design - Experimental and Computational Approach, NATO ASI Series, pp Gerstein, M., Richards, F., Chapman, M. S. & Connolly. M. (1999). Protein Geometry: Volumes, Areas and Distance. In International Tables for Crystallography (Rossmann, M. G. & Arnold, E., eds.), Vol. F,. Chapter 22. International Union of Crystallography, Chester, UK. 5. Chapman M.S., 1993 Mapping the surface properties of macromolecules, Protein Sci Mar;2(3): pp Chapman, M. S., Blanc, E., Johnson, J. E., McKenna, R., Munshi, S., Rossmann, M. G., and Tsao, J., (1998), Use of non-crystallographic symmetry for ab initio phasing of virus structures, in Direct Methods for Solving Macromolecular Structures, Fortier, S., Ed.,, Kluwer, Dortrecht, Netherlands, pp Tronrud D.E., Conjugate Direction minimization, an improved Method for the Refinement of Macromolecules, Acta Cryst., A48, pp (1992) 8. Hecht, Harry G, (1990), "Mathematics in Chemistry: an Introduction to Modern Methods", Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, pp Biosym: Discover 2.9 Documentation, Theory and Methodology, January Tamar Schlick, (1992), "Optimization Methods in Computational Chemistry", in Reviews in Computational Chemstry, voloume 3, Eds: K. B. Lipkowitz and D.B. Boyd, VCH Publishers, Inc., New York, pp Wasserman Zelda R., (2000), Computational Chemistry, Access Science, The McGraw - Hill Companies

14 12. Strimpel Oliver B.R., (2000), Computer Graphics, Access Science, The McGraw - Hill Companies 13. Periole X., Allouche D., Daudey J - P, Sanejouand Y - H, Simple two - Boby Cation - Water Interaction Potentials Derived from ab initio Calculations. Comparison to Results Obtained with an Emprical Approach, /. Phys. Chem. B', 101, (1997). 14. Szabo, Attila, (1982) Modern Quantum Chemistry, Macmillan Publishing Co., Ine, New York, pp Murell J.N., Kettle S.F.A., Tedder J.N., (1985), The Chemical bond, 2nd edition, John Wiley & Sons Ltd, pp , Κουρουνάκης Π. Ν, Ρέκκα Ε. Α., (1992), Σχεδιασμός Φαρμάκων, Γραφικές Τέχνες, Θεσσαλονίκη, σελ Quanta - User's Guid, (1991), Volume 2, Polygen Corporation, Waltham, pp , Quanta 97, (1997), Generating and Displaying Molecules, MSI (molecular simulations inc.), San Diego, pp HyperChem(r), Computational Chemistry, Practical Guide - Theory and Methods, Hypercube Ine, October 1996, pp CS Chem3D(r) Version 4.0 Manual, (c) ( ) CambridgeSoft Corporation 21. Hocquet A. and Langgard M., An Evaluation of the MM+ Force Field, J. Mol. Model. (1998), 4, pp Bohne Α., PDB2MultiGIF: A Web Tool To Create Animated Images of Molecules, J. Mol. Model, 4, (1998) Ηλεκτρονική Βιβλιογραφία: 23. Shepra optimization Methods - Powell Algorithm, http: Iläse, harvard, eduludocs/docs/swdocslsherpa/html/refmethods.html 24. Vegatation Science 4 - Inversion, Direction Set (Powell's) Method, ucl. ac. ukl ~plewis/invert/mat- stuff, html 25. Becker, Potential Energy Minimization, tac, ac. ill ~ beckeri course/mini, html 26. Becker, Conformation Space and Energy Function, tac, ac. ill ~ becker I course I energy, html 27. Steinbach Peter, Classical and Quantum Mechanics - in a Nutshell, info, nih.gov/intro-simulation/nodel. html 28. Steinbach Peter, Statistical Mechanics - Calculating Equilibrium Averages, 29. Steinbach Peter, Classical vs. Quantum Mechanics - The Harmonic Oscillator in one Dimension, info, nih.gov/intro-simulation/node3. html 30. Steinbach Peter, An empirical Energy Function: Free energy vs. Potential Energy, 31. Steinbach Peter, The empirical Potential Energy Function, info, nih.gov/intro-simulation/nodel5. html Σχήμα 5: Διπεπτίοιο β - Ala - Tyr. Με γκρι αναπαρίσταται ο άνθρακας (C), με κόκκινο το οξυγόνο (Ο), με μπλε το άζωτο (Ν) και με άσπρο το υδρογόνο (Η) Σχήμα 8: Αναπαράσταση του επιτόπου ΜΒΡ87-99 της βασικής πρωτεΐνης της ανθρώπινης μυελίνης με τη χρήση "κορδελώνribbons" (α) και "κυλίνδρων-cylinders" (β) Σχήμα 7: Αναπαράσταση του διπεπτιδίου β - Ala - Tyr με την χρήση: Α - μοντέλων σύρματος (wire), Β - σφαιρών που προσδένονται μέσω δεσμών (balls and sticks), Γ - μοντέλων CPK, Δ - μοντέλων πολύεδρων, Ε - μοντέλων που αναπαριστούν μόνο τους δεσμούς (sticks) 122

15 Σχήμα 10: Επιφάνειες τον διπεπτιδίου β - Ala - Tyr Α -Επιφάνεια προσπελάσιμη από διαλύτες. Η σύνθεση των χρωμάτων αντανακλά αυτή των ατόμων, Β - Μοριακή Επιφάνεια, Γ- επιφάνεια van der Waals Σχήμα 17: Διαμόρφωση τον διπεπτιδίον β -Ala - Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο SD Σχήμα 16: Αρχική διαμόρφωση του διπεπτιδίον β -Ala - Tyr Σχήμα 18: Δ ιαμόρφωση τον διπεπτιδίον β -Ala- Tyr μετά την ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ Σχήμα 20: Σύγκριση των διαμορφώσεων που προκύπτουν μετά την ελαχιστοποίηση από κάθε αλγόριθμο. Με πράσινο χρώμα φαίνεται η αρχική διαμόρφωση του διπεπτιδίον, με κόκκινο η διαμόρφωση πον προκύπτει μετά την ελαχιστοποίηση με SD αλγόριθμο και με μπλε η διαμόρφωση πον προκύπτει μετά την ε λαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο CONJ και η τελική διαμόρφωση. Όπως φαίνεται και από τον πίνακα 2, οι διαφορές στην ε νέργεια των διαμορφώσεων μετά την ελαχιστοποίηση είναι πάρα πολύ μικρές και ονσιαστικά οι διαμορφώσεις συμπίπτουν Σχήμα 19: Διαμόρφωση του διπεπτιδίον ι ελαχιστοποίηση με τον αλγόριθμο NR -Ala - Tyr μετά την 123

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΕΘΝΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΟΡΓΑΝΙΚΗΣ & ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1 ο εργαστήριο (Α µέρος) Βασικές αρχές Μοριακής Μοντελοποίησης Μοριακά µοντέλα Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακή ανάλυση βιομορίων

Ενεργειακή ανάλυση βιομορίων Ενεργειακή ανάλυση βιομορίων Τα βιομόρια ως φυσικά συστήματα πρωτεΐνες, DNA, πεπτίδια, μικρά μόρια (ligands, φάρμακα) Αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ατόμων + επίδραση του περιβάλλοντος νερού σταθεροποίηση

Διαβάστε περισσότερα

7 ο Κεφάλαιο Οργανική Χημεία. Δ. Παπαδόπουλος, χημικός

7 ο Κεφάλαιο Οργανική Χημεία. Δ. Παπαδόπουλος, χημικός 7 ο Κεφάλαιο Οργανική Χημεία Δ. Παπαδόπουλος, χημικός Βύρωνας, 2015 Θεωρίες ερμηνείας του ομοιοπολικού δεσμού με βάση την κβαντική θεωρία. Θεωρία δεσμού σθένους. Θεωρία των μοριακών τροχιακών. Κάθε θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση 6.1. Μοριακή Μηχανική 6.1.1. Εισαγωγή στη µεθοδολογία του «απ αρχής» διπλώµατος της πρωτείνης. Η ενέργεια κάθε µορίου µπορεί θεωρητικά να υπολογιστεί µε την

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις

Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις 2 η σειρά διαφανειών Δημήτριος Λαμπάκης ΜΟΡΙΑΚΗ ΔΟΜΗ Μεμονωμένα άτομα: Μόνο τα ευγενή αέρια Μόρια: Τα υπόλοιπα άτομα σχηματίζουν μόρια, γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7: Μοριακή Δομή

Διάλεξη 7: Μοριακή Δομή Μεμονωμένα άτομα: Μόνο τα ευγενή αέρια Μόρια: Τα υπόλοιπα άτομα σχηματίζουν μόρια Γιατί; Διότι η ολική ενέργεια ενός ευσταθούς μορίου είναι μικρότερη από την ολική ενέργεια των μεμονωμένων ατόμων που αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 10 Μοριακή Δομή Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 10 Μοριακή Δομή Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 10 Μοριακή Δομή Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ & ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ & ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνσης Συντήρησης Πολιτισμικής Κληρονομιάς ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ & ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 3 η Ενότητα ΔΕΣΜΟΙ Δημήτριος Λαμπάκης ΜΟΡΙΑΚΗ ΔΟΜΗ Μεμονωμένα άτομα: Μόνο τα ευγενή αέρια

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR

Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Γεωμετρία Μορίων Θεωρία VSEPR Μεθοδολογία για την πρόβλεψη της μοριακής γεωμετρία: Γράφουμε τον ηλεκτρονιακό τύπο κατά Lewis. Μετρούμε το συνολικό

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Όρια καταστατικής εξίσωσης ιδανικού αερίου 2. Αποκλίσεις των Ιδιοτήτων των πραγματικών αερίων από τους Νόμους

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί 1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί Ο Lewis πρότεινε το μοντέλο του κοινού ηλεκτρονιακού ζεύγους των δεσμών το 1916, σχεδόνμιαδεκαετίαπριναπότηθεωρίατουde Broglie τηςδυαδικότηταςκύματος-σωματιδίου.

Διαβάστε περισσότερα

πρωτεϊνες νουκλεϊκά οξέα Βιολογικά Μακρομόρια υδατάνθρακες λιπίδια

πρωτεϊνες νουκλεϊκά οξέα Βιολογικά Μακρομόρια υδατάνθρακες λιπίδια πρωτεϊνες νουκλεϊκά οξέα Βιολογικά Μακρομόρια υδατάνθρακες λιπίδια Περιγραφή μαθήματος Επανάληψη σημαντικών εννοιών από την Οργανική Χημεία Χημική σύσταση των κυττάρων Μονοσακχαρίτες Αμινοξέα Νουκλεοτίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 11 Διατομικά Μόρια Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 11 Διατομικά Μόρια Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 11 Διατομικά Μόρια Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη 1 ου Κεφαλαίου

Περίληψη 1 ου Κεφαλαίου Περίληψη 1 ου Κεφαλαίου Άτοµο: θετικά φορτισµένος πυρήνας περικυκλωµένος από αρνητικά φορτισµένα ηλεκτρόνια Ηλεκτρονική δοµή ατόµου περιγράφεται από κυµατοσυνάρτηση Ηλεκτρόνια καταλαµβάνουν τροχιακά γύρω

Διαβάστε περισσότερα

Οι δομές, οι οποίες δεν περιέχουν τυπικά φορτία υψηλά (δηλαδή είναι 2) είναι:

Οι δομές, οι οποίες δεν περιέχουν τυπικά φορτία υψηλά (δηλαδή είναι 2) είναι: Answers to Homework Set 3 12162016 1. Πριν από μερικά χρόνια δημοσιεύθηκε η σύνθεση του ιόντος 5 +. Ποια είναι η πλέον πιθανή α) γεωμετρία ηλεκτρονικών ζευγών, και β) μοριακή γεωμετρική δομή του ιόντος

Διαβάστε περισσότερα

2 ο εργαστήριο ιαµορφωτική Ανάλυση Συστηµατική αναζήτηση Τυχαία δειγµατοληψία Μοριακή υναµική 2

2 ο εργαστήριο ιαµορφωτική Ανάλυση Συστηµατική αναζήτηση Τυχαία δειγµατοληψία Μοριακή υναµική 2 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΕΘΝΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΟΡΓΑΝΙΚΗΣ & ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 2 ο εργαστήριο ιαµορφωτική Ανάλυση Συστηµατική αναζήτηση Τυχαία δειγµατοληψία Μοριακή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία δεσµού σθένους - Υβριδισµός. Αντιδράσεις προσθήκης Αντιδράσεις απόσπασης. Αντιδράσεις υποκατάστασης Πολυµερισµός

Θεωρία δεσµού σθένους - Υβριδισµός. Αντιδράσεις προσθήκης Αντιδράσεις απόσπασης. Αντιδράσεις υποκατάστασης Πολυµερισµός 11 ο Μάθηµα: Θεωρία δεσµού σθένους - Υβριδισµός 12 ο Μάθηµα: Αντιδράσεις προσθήκης Αντιδράσεις απόσπασης 13 ο Μάθηµα: Αντιδράσεις υποκατάστασης Πολυµερισµός 14 ο Μάθηµα: Αντιδράσεις οξείδωσης - αναγωγής

Διαβάστε περισσότερα

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί 1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί Ο Lewis πρότεινε το μοντέλο του κοινού ηλεκτρονιακού ζεύγους των δεσμών το 1916, σχεδόνμιαδεκαετίαπριναπότηθεωρίατουde Broglie τηςδυαδικότηταςκύματος-σωματιδίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΙΚΟΣ ΕΣΜΟΣ ΙΙ : ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΕΣΜΟΥ

ΧΗΜΙΚΟΣ ΕΣΜΟΣ ΙΙ : ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΕΣΜΟΥ ΧΗΜΙΚΟΣ ΕΣΜΟΣ ΙΙ : ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΜΟΙΟΠΟΛΙΚΟΥ Ή ΟΜΟΣΘΕΝΟΥΣ ΕΣΜΟΥ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής Το μόριο του Η 2 Σύμφωνα με τη θεωρία του Lewis στο μόριο του Η 2 τα άτομα συγκρατούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

14 ο VIDEO 21/11/2013 Από 1ω,5λ έως το τέλος

14 ο VIDEO 21/11/2013 Από 1ω,5λ έως το τέλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0: ΜΟΡΙΑ Η ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΥΟ ΑΤΟΜΩΝ, Σελ. 4-46 του βιβλίου ΚΣ 4 ο VIDEO //0 Από ω,5λ έως το τέλος Η η ενότητα αναφέρεται στο γράφημα που παριστά την αλληλεπίδραση δύο ουδέτερων ατόμων καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΡΟΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Γεωργίου Π. Νίνη «Η Θεωρία Ομάδων και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Χημικός δεσμός

Κεφάλαιο 1 Χημικός δεσμός Κεφάλαιο 1 Χημικός δεσμός 1.1 Άτομα, Ηλεκτρόνια, και Τροχιακά Τα άτομα αποτελούνται από + Πρωτόνια φορτισμένα θετικά μάζα = 1.6726 X 10-27 kg Νετρόνια ουδέτερα μάζα = 1.6750 X 10-27 kg Ηλεκτρόνια φορτισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί ο σχηματισμός του CΗ 4 δεν μπορεί να ερμηνευθεί βάσει της διεγερμένης κατάστασης του ατόμου C;

Γιατί ο σχηματισμός του CΗ 4 δεν μπορεί να ερμηνευθεί βάσει της διεγερμένης κατάστασης του ατόμου C; Γιατί ο σχηματισμός του CΗ 4 δεν μπορεί να ερμηνευθεί βάσει της διεγερμένης κατάστασης του ατόμου C; 1. Οι 4 ομοιοπολικοί δεσμοί στο μεθάνιο θα ήταν δύο τύπων: ένας δεσμός από την επικάλυψη του τροχιακού

Διαβάστε περισσότερα

1 IΔΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ

1 IΔΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ 1 1 IΔΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ Θα αρχίσουμε τη σειρά των μαθημάτων της Φυσικοχημείας με τη μελέτη της αέριας κατάστασης της ύλης. Η μελέτη της φύσης των αερίων αποτελεί ένα ιδανικό μέσο για την εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών.

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών. Γ Λυκείου 26 Απριλίου 2014 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί Κβαντικοί αριθμοί Στην κβαντομηχανική εισάγονται τρεις κβαντικοί αριθμοί για τον καθορισμό της κατανομής του ηλεκτρονιακού νέφους (ατομικού τροχιακού). Οι κβαντικοί αυτοί αριθμοί προκύπτουν από την επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 1 Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων 1 Εισαγωγή Δομή του ατόμου Δημόκριτος Αριστοτέλης Dalton Thomson 400 π.χ. 350π.χ. 1808 1897 Απειροελάχιστα τεμάχια ύλης (τα

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ Thomson (σταφιδόψωμο) Rutherford (πλανητικό μοντέλο) Bohr (επιτρεπόμενες τροχιές ενεργειακές στάθμες) Κβαντομηχανική β ή (τροχιακό) ρχ 24/9/2008 1 ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Bohr 1η Συνθήκη (Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Χημικοί Δεσμοί

Κεφάλαιο 2 Χημικοί Δεσμοί Κεφάλαιο 2 Χημικοί Δεσμοί Σύνοψη Παρουσιάζονται οι χημικοί δεσμοί, ιοντικός, μοριακός, ατομικός, μεταλλικός. Οι ιδιότητες των υλικών τόσο οι φυσικές όσο και οι χημικές εξαρτώνται από το είδος ή τα είδη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Clayden, J.; Greeves, N.; Warren, S. Organic Chemistry; Oxford University Press, Oxford, UK, 2012.

Clayden, J.; Greeves, N.; Warren, S. Organic Chemistry; Oxford University Press, Oxford, UK, 2012. Παρακάτω παρατίθενται διάφορα τμήματα από αγγλόφωνα συγγράμματα προχωρημένης οργανικής χημείας και μία ελληνόφωνη διδακτορική διατριβή. Τα εν λόγω τμήματα αναφέρονται σε όσα συζητούνται στις παραδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1: Τυπική μορφή μοριακού δυναμικού.

Σχ. 1: Τυπική μορφή μοριακού δυναμικού. ΤΕΤΥ - Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 6-1 Κεφάλαιο 6. Μόρια Εδάφια: 6.a. Μόρια και μοριακοί δεσμοί 6.b. Κβαντομηχανική περιγραφή του χημικού δεσμού 6.c. Περιστροφή και ταλάντωση μορίων 6.d. Μοριακά φάσματα 6.a.

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Διατομικά μόρια- Περιστροφική ενέργεια δονητικά - περιστροφικά φάσματα

Διατομικά μόρια- Περιστροφική ενέργεια δονητικά - περιστροφικά φάσματα Διατομικά μόρια- Περιστροφική ενέργεια δονητικά - περιστροφικά φάσματα Πολυατομικά μόρια περιστροφική ενέργεια περιστροφικά φάσματα Σκέδαση φασματοσκοπία n συνεισφορά του πυρηνικού σπιν Δονητικά περιστροφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ Ι 4 Δεσμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ μεταξύ ατόμων γίνονται με τα ηλεκτρόνια σθένους κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ελαττώνεται η συνολική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επαµεινώνδας. Φριτζίλας Μ Ε Βιοπληροφορικής Τµήµα Βιολογίας ΕΚΠΑ 17 Φεβρουαρίου 2005 Τί σηµαίνει ο τίτλος ; γεωµετρικός περιορισµός:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 - ΖΩΓΡΑΦΟΥ, 157 73 ΑΘΗΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού

1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού 1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού Η δομή του Μεθανίου τετραεδρική γωνίες δεσμού = 109.5 Μήκη δεσμού = 110 pm αλλά η δομή εμφανίζεται ασυνεπής με την ηλεκτρονική διάταξη του άνθρακα Η

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το φυσικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την ταλάντωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ :

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : 10.64.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ. Εισαγωγή. 3.1 Γενικά για τη χημική κινητική και τη χημική αντίδραση - Ταχύτητα αντίδρασης

ΧΗΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ. Εισαγωγή. 3.1 Γενικά για τη χημική κινητική και τη χημική αντίδραση - Ταχύτητα αντίδρασης 3 ΧΗΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ 3 ΧΗΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ Εισαγωγή Στην μέχρι τώρα γνωριμία μας με τη χημεία υπάρχει μια «σημαντική απουσία»: ο χρόνος... Είναι λοιπόν «καιρός» να μπει και ο χρόνος ως παράμετρος στη μελέτη ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 20 ο. Το σχήμα των μορίων

Μάθημα 20 ο. Το σχήμα των μορίων Μάθημα 20 ο Το σχήμα των μορίων Tα μόρια Μπορεί να είναι μη πολικά έστω και άν οι δεσμοί μεταξύ των ατόμων τους είναι πολωμένοι Δεν είναι επίπεδα (έχουν τρισδιάστατη διάταξη στο χώρο) Γενική και Ανόργανη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 21 ο. Το σχήμα των μορίων. Θεωρία VSEPR. Θεωρία Δεσμού Σθένους- Υβριδισμός

Μάθημα 21 ο. Το σχήμα των μορίων. Θεωρία VSEPR. Θεωρία Δεσμού Σθένους- Υβριδισμός Μάθημα 21 ο Το σχήμα των μορίων Θεωρία VSEPR Θεωρία Δεσμού Σθένους- Υβριδισμός Συμβολισμός A = Κεντρικό άτομο X = Συναρμοτής E = Μονήρες ζεύγος SN: Στερεοχημικός αριθμός Γενική και Ανόργανη Χημεία 2016-17

Διαβάστε περισσότερα

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ) Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ A A N A B P Y T A ΡΑΛΛΟΥ ΦΑΣΟΥΡΑΚΗ (Β4) ΜΑΡΤΙΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9 5 ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Γενίκευση της άσκησης (σελ 4) του σχολικού βιβλίου Φυσικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά.

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά. ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Αλληλεπίδραση μαθήματος: εδάφουςκατασκευών

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

2

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Η μικρότερη σταθερότητα της βινυλικής ρίζας (για παράδειγμα σε σχέση με τη μεθυλική) θα μπορούσε να εξηγηθεί στη βάση του πόσο ισχυρά έλκονται τα ηλεκτρόνια από το κάθε άτομο άνθρακα.

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19)

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19) Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Η φασµατική περιοχή στην οποία βρίσκεται µια φωτεινή ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από την συχνότητα ν (Hz) µε την οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο του φωτός.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Παππάς Χρήστος. Επίκουρος καθηγητής

Παππάς Χρήστος. Επίκουρος καθηγητής Παππάς Χρήστος Επίκουρος καθηγητής 1 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Η χημική θερμοδυναμική ασχολείται με τις ενεργειακές μεταβολές που συνοδεύουν μια χημική αντίδραση. Προβλέπει: ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου Οργανική Χημεία Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου 1. Γενικά Δυνατότητα προσδιορισμού δομών με σαφήνεια χρησιμοποιώντας τεχνικές φασματοσκοπίας Φασματοσκοπία μαζών Μέγεθος, μοριακός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα φακών (Σφαιρικό - Χρωματικό).

Σφάλματα φακών (Σφαιρικό - Χρωματικό). O12 Σφάλματα φακών (Σφαιρικό - Χρωματικό). 1. Σκοπός Στην άσκηση αυτή υπολογίζονται πειραματικά δυο από τα πιο σημαντικά οπτικά σφάλματα (η αποκλίσεις) που παρουσιάζονται όταν φωτεινές ακτίνες διέλθουν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Χτίζοντας τους κρυστάλλους από άτομα Είδη δεσμών Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

F el = z k e 0 (3) F f = f k v k (4) F tot = z k e 0 x f kv k (5)

F el = z k e 0 (3) F f = f k v k (4) F tot = z k e 0 x f kv k (5) Κίνηση των ιόντων υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου Αντώνης Καραντώνης 15 Μαρτίου 2011 1 Σκοπός της άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι ο προσδιορισμός της οριακής ταχύτητας των ιόντων υπό την επίδραση ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή γή στη Φυσική των Επιταχυντών II Γ. Παπαφιλίππου Τμήμα Επιταχυντών -CERN

Εισαγωγή γή στη Φυσική των Επιταχυντών II Γ. Παπαφιλίππου Τμήμα Επιταχυντών -CERN γή στη Φυσική των στη Φυσική τω ων Επιταχυντώ ών Επιταχυντών II Γ. Παπαφιλίππου Τμήμα Επιταχυντών -CERN Επιμορφωτικό πρόγραμμα Ελλήνων καθηγητών CERN, Ιούλιος 2008 1 Βασικές αρχές δυναμικής των επιταχυντών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Απρίλιος 2015

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Απρίλιος 2015 ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Απρίλιος 2015 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις, Α1-Α3, και δίπλα της το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Ιστορική Εξέλιξη των Αντιλήψεων για τα Άτομα Η Φύση του Φωτός. Τα Φάσματα των Στοιχείων Το ατομικό πρότυπο του Bohr...

1.1. Ιστορική Εξέλιξη των Αντιλήψεων για τα Άτομα Η Φύση του Φωτός. Τα Φάσματα των Στοιχείων Το ατομικό πρότυπο του Bohr... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 15 1.1. Ιστορική Εξέλιξη των Αντιλήψεων για τα Άτομα... 19 1.2. Η Φύση του Φωτός. Τα Φάσματα των Στοιχείων... 20 1.2.1. Το ατομικό πρότυπο του Bohr... 23 1.3. Κυματομηχανική Θεώρηση...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Ο άργυρος εμφανίζεται στη φύση υπό τη μορφή δύο ισοτόπων τα οποία έχουν ατομικές μάζες 106,905 amu και 108,905 amu. (α) Γράψτε το σύμβολο για καθένα ισότοπο του αργύρου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α' (Διάρκεια εξέτασης: 15 min)

ΜΕΡΟΣ Α' (Διάρκεια εξέτασης: 15 min) ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Γενική Χημεία Διαγώνισμα 11/02/20 1 ΜΕΡΟΣ Α' (Διάρκεια εξέτασης: 15 min) 1.Σημειώστε τη σωστή ηλεκτρονική διαμόρφωση του 28 Ni +2, [ 18 Ar]=1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 a. [Ar] 4s 2 3d 6 b. [Ar]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1)

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) 3.1. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) Αν ϑελήσουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αυτής μεταξύ δύο

Διαβάστε περισσότερα

δ. έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση.

δ. έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση. Διαγώνισμα ΦΥΣΙΚΗ Κ.Τ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ 1 ον 1.. Σφαίρα, μάζας m 1, κινούμενη με ταχύτητα υ1, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m. Οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση α. έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

A4. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί

A4. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 29 ΜΑΪOY 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 29 ΜΑΪOY 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪOY 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Μαθηματικό εκκρεμές ονομάζεται μια σημειακή μάζα, η οποία είναι αναρτημένη σε νήμα. Το ίδιο το νήμα δεν έχει δική του μάζα και το οποίο εξάλλου δεν μπορεί να επιμηκυνθεί.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ Γραφείο 211 Επίκουρος Καθηγητής: Δ. Τσιπλακίδης Τηλ.: 2310 997766 e mail: dtsiplak@chem.auth.gr url:

Διαβάστε περισσότερα

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις . Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις Εξετάζοντας την αιώρα παρατηρούμε ότι στα ανώτατα σημεία η ενέργεια μοιάζει να έχει αποθηκευτεί υπό κάποια άλλη μορφή, που συνδέεται με το ύψος της πάνω από

Διαβάστε περισσότερα