Παράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n"

Transcript

1 Παράγωγα Τιμολόγηση Αναφέρουμε μερικά εισαγωγικά τα οποία θα χρησιμοποιηθούν μέσω των μαθηματικών εργαλείων σαν υπάρχουσα γνώση για την τιμολόγηση των παραγώγων. Flered pace (Φιλτραρισμένοι Χώροι) Ένας τέτοιος χώρος είναι ο (Ω,F,{ F },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F, } είναι η ιστορία (Flrao) δηλαδή μια αύξουσα οικογένεια υπο-σ-άλγεβρων του F: F F.... F Ορίζουμε F : F F. Διαισθητική ιδέα. Η πληροφορία για το ω του Ω διαθέσιμη σε εμάς σε χρόνο αποτελείται ακριβώς από τις τιμές του Ζ(ω) για όλες τις F μετρήσιμες συναρτήσεις Ζ. Συνήθως, { F } είναι το aural Flrao F W, W,..., W κάποιων (στοχαστικών) διαδικασιών W W : και τότε η πληροφορία για το ω την οποία έχουμε σε χρόνο αποτελείται από τις τιμές W ( ),..., W ( ). Adaped procee (Προσαρμοσμένες διαδικασίες) Μια διαδικασία : καλείται adaped (ως προς το flrao { F }) αν για κάθε είναι F μετρήσιμη. Διαισθητική ιδέα. Αν Χ είναι προσαρμοσμένη τότε η τιμή ( ) είναι γνωστή σε εμάς σε χρόνο. Συνήθως F W, W,..., W και f W, W,..., W για κάποια B -μετρήσιμη συνάρτηση f στο R. Margale Μια διαδικασία Χ καλείται Margale (σχετικά με ({ F },P)). Αν () Χ είναι adaped () ( ) (3) [ / ] F a.. > Prevble proce (Προβλεπόμενη διαδικασία) Καλούμε μια διαδικασία C ( C : N) προβλεπόμενη αν C είναι F μετρήσιμη, >. Έστω... όπου ανεξάρτητες ισόνομες με P P C ποσό που στοιχηματίζουμε τη χρονική στιγμή

2 . C ) καθαρό κέρδος τη -οστή φορά. ( ( C είναι το συνολικό καθαρό κέρδος μέχρι το Y C ) χρόνο. Παράγωγα Προιόντα :Fuure ad Opo Fuure: Είναι μια συμφωνία να αγοράσεις ή να πουλήσεις μια συγκεκριμένη ποσότητα ενός αγαθού σε μια συγκεκριμένη μελλοντική ημερομηνία σε τιμή που έχει συμφωνηθεί σήμερα. Υπάρχουν τριών ειδών ανθρώπων που χρησιμοποιούν τα fuure. Hedger: αναζητά τη μείωση του ρίσκου. peculaor: αναζητά το μέγιστο κέρδος. Arbrageur: αναζητά κέρδη χωρίς ρίσκο εκμεταλλευόμενος αναποτελεσματικότητες της αγοράς. Παράδειγμα. peculaor αγοράζοντας ένα fuure. Πιστεύει ότι οι τιμές θα ανέβουν και έχει στη διάθεσή του ευρώ. Για ένα July ol Fuure έχουμε τα εξής Απρίλη Απρίλη Cah 9 ευρώ 35 Fuure,5 3 Στην αγορά των fuure δεν κατατίθενται όλα τα λεφτά αλλά ένα marg % Σενάριο αγορά /9=5 βαρελιών Σενάριο αγορά 5/,5=43 βαρελιών συμβολαίου Fuure (marg) Όπως γίνεται κατανοητό ισχύουν τα εξής R: lmed bu large Reward: ulmed Opo: Είναι ένα συμβόλαιο το οποίο προσφέρει το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσεις ή να πουλήσεις ένα αγαθό σε δοθέν τιμή σε ή πριν μια καθορισμένη ημερομηνία. Το δικαίωμα να αγοράσεις λέγεται call opo ενώ το δικαίωμα να πουλήσεις λέγεται pu opo. Premum ονομάζεται το κόστος του opo. Παράδειγμα. Τρέχουσα τιμή πετρελαίου 6ε ο τόνος. Ο peculaor αναμένει ότι οι τιμές θα ανέβουν. Πράξη αγοράζει ένα τόνο με 6ε Πράξη αγοράζει το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσει ένα τόνο πετρελαίου σε 3 μήνες. Το δικαίωμα κοστίζει 5 ε. 3 μήνες αργότερα ο τόνος κοστίζει 7ε

3 Κέρδος από την πράξη ε (6,6%) Κέρδος από την πράξη 95 ε (9%) Δίκαιη Τιμή (Far Value) Μια πρώτη άποψη της χρονικής αξίας του χρήματος. Το παράδειγμα του zero-coupo Bod το οποίο εκφράζει το ποσό που πρέπει να δώσουμε σήμερα για να λάβουμε νομισματική μονάδα μετά από χρόνο Τ. Τ Β(,Τ),956,97 3,8685 4,85 () είναι η σημερινή τιμή, F(,) είναι η τιμή του fuure και ισχύει ()=F(,)B(,). Παρατηρούμε ότι F(,)>() γιατί με τα fuure συνεχίζω να έχω λεφτά που τοκίζονται. Συνθήκη Για το Ευρωπαικό call opo το οποίο εξασκείται μόνο κατά την τελική ημερομηνία πρέπει να ισχύει το εξής c max{, B, } όπου c(): me-zero value of a uropea call opo, κ τιμή εξάσκησης. Υποθέτοντας τη μη ύπαρξη μερισμάτων αν δεν ισχύει η παραπάνω συνθήκη θα μπορούσαμε να αγοράσουμε το opo και έπειτα θα αγοράζαμε ένα hor fuure το οποίο θα λήγει την ίδια ημερομηνία με το opo. Έτσι θα είχαμε κέρδος χωρίς ρίσκο. Παράδειγμα Έστω B(,)=,9 ()=98 K=7. Η συνθήκη λέει ότι c()>98-,9*7=35. Αν c()=3 μπορούν να συμβούν τα ακόλουθα. Αγοράζουμε το opo (-3) στη συνέχεια αγοράζουμε ένα hor fuure το οποίο λήγει την ίδια ημερομηνία με το opo. Η τιμή του θα είναι () 98 F (, ) 8,88 Διαφορετικά μπορούμε να πούμε ότι B(, ),9 αγοράζουμε την υποχρέωση να πουλήσουμε την ίδια ημερομηνία στην τιμή των 8,88. Έτσι την ημερομηνία λήξης θα αγοράσουμε στα 7 και θα πουλήσουμε στα 8,88 οπότε το κέρδος είναι (8,88-7)- 3/Β(,Τ)=5,55 ΧΩΡΙΣ ΡΙΣΚΟ. Τιμολόγηση Παραγώγων σε Συνεχή Χρόνο Συνεχείς Διαδικασίες Έχουν τρία χαρακτηριστικά. Πρώτον η τιμή μπορεί να αλλάξει σε οποιοδήποτε χρόνο και από στιγμή σε στιγμή, Δεύτερον κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να ληφθεί σαν τιμή και Τρίτον η διαδικασία αλλάζει συνεχώς και η τιμή δεν μπορεί να κάνει στιγμιαία άλματα. Με άλλα λόγια αν η τιμή αλλάζει από σε,4 πρέπει να έχει περάσει από όλες τις ενδιάμεσες έστω και γρήγορα. Θα 3

4 αποδείξουμε ότι η κίνηση Brow αποτελεί μια αξιοσημείωτη αποτελεσματική συνιστώσα για τη δημιουργία συνεχών διαδικασιών. Τυχαίος Περίπατος W Για θετικό ακέραιο αριθμό ορίζουμε τη διωνυμική διαδικασίαw να έχει W, τοποθέτηση κατά διαστήματα / (layer pacg), άνω και κάτω άλματα μεγέθους και μέτρο P τέτοιο ώστε οι πιθανότητες άνω και κάτω άλματος να ισοδυναμούν με ½. Με άλλα λόγια αν,,... είναι μια ακολουθία από ανεξάρτητες δυωνυμικές τυχαίες μεταβλητές οι οποίες παίρνουν τιμές + ή με ίση πιθανότητα τότε η τιμή του W για το ι βήμα ορίζεται από W W. παίρνει + πιθανές τιμές από Θεωρούμε το παράδειγμα του W που ως. Σύμφωνα με την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι W το οποίο έχει μέση τιμή και διακύμανση λόγω της κατανομής των Χ. Όταν το γίνεται W τείνει σε Ν(,). Παρόμοια μεγάλο το W ( ) N,. Κάθε τυχαίος περίπατος της παραπάνω μορφής έχει την ιδιότητα ότι οι μελλοντικές του κινήσεις από μια συγκεκριμένη θέση είναι ανεξάρτητες από τη θέση αυτή και επιπλέον κάθε μελλοντική μετατόπιση W W κατανέμεται διωνυμικά με μέσο και διακύμανση. Σύμφωνα με την περιθώρια σύγκλιση και την υπό συνθήκη σύγκλιση η κατανομή του W συγκλίνει προς μία κίνηση Brow. Κίνηση Brow Μια διαδικασία W W : είναι Ρ- κίνηση Brow αν και μόνο αν. W είναι συνεχής και W. η τιμή του W κατανέμεται κάτω από το μέτρο Ρ σαν κανονική τυχαία μεταβλητή Ν(,). 3. Το διάστημα W W Ν(,) κάτω από το μέτρο Ρ και είναι ανεξάρτητο του F Επιπλέον η κίνηση Brow έχει τις εξής ιδιότητες Α. είναι συνεχής παντού αλλά διαφορίσιμη πουθενά. Β. Θα χτυπήσει κάθε αριθμό με πιθανότητα και θα τον ξαναχτυπήσει πάλι. Γ. Θα γυρίσει πίσω στο μηδέν με πιθανότητα 4

5 Δ. Η κίνηση Brow είναι fracal δηλαδή όποιο υποκομμάτι και να πάρουμε έχει την ίδια μορφή. Η κίνηση Brow είναι πολύ σημαντική διότι με αυτή μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε ένα oc(π.χ. μετοχές). Για παράδειγμα W καλείται κίνηση Brow με drf μ και σταθερό παράγοντα θορύβου σ (volaly). Επιπλέον μπορούμε να έχουμε εκθετική κίνηση Brow της μορφής exp( W ). Παίρνοντας συνεχώς ένα μικρό κομμάτι από διαφορίσιμη συνάρτηση στο τέλος καταλήγουμε σε μια ευθεία γραμμή. Γενικά οι διαφορίσιμες συναρτήσεις αποτελούνται από ευθείες γραμμές και για την επίλυσή τους χρησιμοποιούμε Newoa Calculu. Έτσι μπορούμε να γράψουμε την αλλαγή της τιμής μια Newoa συνάρτησης f για ένα απειροελάχιστο διάστημα d ως df d όπου είναι το drf μεγενθυμένης ευθείας γραμμής στο. Μοναδικότητα των Newoa διαφορικών.. Αν f και f είναι δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις που συμφωνούν στο ( f f ) και έχουν ισοδύναμα drf ( df df ) τότε οι διαδικασίες είναι ίσες. Δηλαδή η f είναι μοναδική δοθέν ενός drf και f.. Δοθέντος μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f υπάρχει μόνο μία συνάρτηση drf η οποία ικανοποιεί την f f d. Έτσι το μ είναι μοναδικό δοθέντος του f. Ωστόσο μπορεί το drf να εξαρτάται από την τρέχουσα τιμή της συνάρτησης και θα έχουμε df ( f, ) d η οποία καλείται ordary dffereal equao(od). Μια διαφορίσιμη συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση είναι η λύση της. Όπως προαναφέρθηκε κάθε υποκομμάτι της κίνησης Brow εξακολουθεί να είναι κίνηση Brow. Έτσι μια στοχαστική διαδικασία Χ αποτελείται και από Newoa όρο βασιζόμενο στο d και από Browa όρο βασιζόμενο στο dw. Ο Browa όρος του Χ μπορεί να έχει ένα παράγοντα θορύβου και έτσι η απειροελάχιστη μεταβολή του γράφεται d dw d. Τέτοιες διαδικασίες όπως η Χ και σ των οποίων η τιμή σε χρόνο μπορεί να εξαρτάται από το hory F καλούνται adaped διαδικασίες. Στοχαστικές διαδικασίες Μια στοχαστική διαδικασία Χ είναι μια συνεχής διαδικασία ( : ) τέτοια ώστε το μπορεί να γραφεί ως dw d όπου σ 5

6 και μ είναι τυχαίες F-prevble διαδικασίες τέτοιες ώστε είναι πεπερασμένο για όλα τα (με πιθανότητα ). Ο διαφορικός τύπος αυτής της ισότητας γράφεται d dw d Μοναδικότητα των volaly και drf. Αν δύο διαδικασίες και συμφωνούν σε χρόνο μηδέν ( ) και έχουν ισοδύναμα volaly drf τότε οι διαδικασίες είναι ίσες. Δηλαδή η Χ είναι μοναδική για δοθέν, και.. Δοθέντος μιας διαδικασίας Χ υπάρχει μοναδικό ζεύγος από volaly,drf που ικανοποιεί την d dw d. Η μοναδικότητα των, προέρχεται από την Doob-Meyer decompoo των emmargale. Στην ειδική περίπτωση όπου τα σ και μ εξαρτώνται από το W μόνο μέσω του όπως λόγου χάρη, όπου σ(χ,) είναι κάποια ντετερμινιστική συνάρτηση, η ισότητα d, dw, d καλείται στοχαστική διαφορική εξίσωση για το Χ. Iô Calculu Αποτελεί το ανάλογο για να μπορέσουμε να λύσουμε διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν όρο Brow. Έστω έχουμε τη συνάρτηση f W W χρησιμοποιώντας τη σειρά aylor προκύπτει το εξής ' '' df W f ( W ) dw f ( W )( dw )... Αν χρησιμοποιούσαμε Newoa calculu τότε θα έπρεπε ( dw ) όμως δεν συμβαίνει αυτό. Χωρίζοντας το διάστημα [,] σε υποδιαστήματα {,/,/,,} θα έχουμε προσεγγιστικά ( dw ) W W. Θεωρούμε W W, τότε για κάθε η ακολουθία,,,,... είναι ένα σύνολο από ισόνομες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Ν(,) επειδή W W N, λόγω της συνθήκης 3 της κίνησης Brow., Επομένως dw αλλά, οπότε σύμφωνα με τον 6

7 , ασθενή νόμο των μεγάλων αριθμών και έτσι dw και ( dw ) d. Άρα η σειρά aylor γίνεται ' '' df W f ( W ) dw f ( W ) d και ονομάζεται o formula. Αλλαγή μέτρου Εκτός από τα εργαλεία που έχουμε στη διάθεσή μας για τον χειρισμό των στοχαστικών διαδικασιών χρειαζόμαστε και κάτι ανάλογο για το χειρισμό του μέτρου. Εξάλλου η κίνηση Brow έχει νόημα κάτω από κάποιο μέτρο Ρ. Εδώ θα ασχοληθούμε με ισοδύναμα μέτρα. Δύο μέτρα P,Q είναι ισοδύναμα αν λειτουργούν στον ίδιο δειγματικό χώρο και συμφωνούν στο τι είναι δυνατό. Αν Α είναι ένα γεγονός του δειγματικού χώρου και P ( A) Q( A). Με άλλα λόγια αν Α είναι πιθανό κάτω από το Ρ τότε είναι πιθανό και κάτω από το Q και αν είναι απίθανο κάτω από το Ρ είναι απίθανο και κάτω από το Q. Γενικά δύο μέτρα πρέπει να είναι ισοδύναμα πριν χρησιμοποιηθούν τα Rado- Nodym παράγωγα. Εκείνο που θέλουμε αρχικά είναι η από κοινού συνάρτηση πιθανοφάνειας f P ( x,..., x ) για τη διαδικασία που παίρνει τιμές { x,..., x } σε χρόνους {,..., }. Από κοινού συνάρτηση πιθανοφάνειας για κίνηση Brow Αν λάβουμε, x να είναι μηδέν και γράψουμε x, x x τότε δοθέντος της συνθήκης 3 της κίνησης Brow που λέει ότι W W W είναι αμοιβαία ανεξάρτητα μπορούμε να γράψουμε x f P ( x,..., x ) exp Rado-Nodym dervave περίπτωση συνεχής. Υποθέτουμε δύο ισοδύναμα μέτρα P,Q. Δοθέντος ενός μονοπατιού ω για κάθε ταξινομημένο χρονικό πλέγμα {,..., } με ορίζουμε x να dq είναι W ( ), και τότε το παράγωγο για χρόνο και πριν ορίζεται να dp dq f Q ( x,... x ) είναι το όριο του λόγου πιθανοφανειών ( ) lm και το dp f P ( x,..., x ) πλέγμα γίνεται πυκνό στο διάστημα [,Τ]. Επίσης ισχύουν dq Q ( ) P ( ) και Q F ( / ) P ( / F ), όπου dp dq είναι η διαδικασία P ( / F ) και οποιαδήποτε διαδικασία dp προσαρμοσμένη στο hory F. 7

8 8

9 C-M-G Αντίστροφο Αν W είναι μία Ρ-κίνηση Brow και Q είναι ένα μέτρο ισοδύναμο του Ρ τότε υπάρχει μια F-prevble διαδικασία τέτοια ώστε W W d είναι Q-Browa Moo. Επιπροσθέτως το Rado-Nodym παράγωγο του Q σε αντιστοιχία του Ρ είναι exp dw d σε χρόνο Τ. o Γενικά το C-M-G θεώρημα είναι ένα ισχυρό εργαλείο για τον έλεγχο του drf οποιασδήποτε διαδικασίας. Παράδειγμα. Έστω η στοχαστική διαδικασία Χ τέτοια ώστε d dw d όπου W είναι Ρ κίνηση Brow. Θέλουμε να βρούμε ένα μέτρο Q τέτοιο ώστε το drf της διαδικασίας Χ να μεταβληθεί σε d. Ξαναγράφουμε ως εξής v d dw d v vd και θέτουμε τότε το γ ικανοποιεί το 3 του C-M-G θεωρήματος και πράγματι υπάρχει ένα νέο v μέτρο Q τέτοιο ώστε W W d είναι Q Browa Moo. Το διαφορικό γίνεται d dw vd. Όπως παρατηρούμε η αλλαγή γίνεται μόνο στο drf και η volaly παραμένει η ίδια. Margale Repreeao heorem Υποθέτουμε ότι M είναι μια Q-Margale διαδικασία της οποίας η volaly ικανοποιεί τον όρο ότι είναι πάντα μη μηδενική. Αν N είναι μια άλλη Q-Margale τότε υπάρχει F-prevble διαδικασία φ τέτοια ώστε N d με πιθανότητα και η Ν μπορεί να γραφεί ως N d. Επιπλέον η φ είναι μοναδική. Κατασκευή Στρατηγικής Έχοντας στη διάθεσή μας τα προηγούμενα μαθηματικά εργαλεία θα κατασκευάσουμε το απλούστερο οικονομικό μοντέλο για τιμολόγηση παραγώγων αυτό των Blac- chole. Χαρτοφυλάκιο Ένα χαρτοφυλάκιο είναι ένα ζευγάρι από διαδικασίες περιγράφουν αντίστοιχα τις μονάδες ecury ( είναι κάτι τυχαίο π.χ. μετοχές) και Bod (δεν περιέχει τυχαιότητα π.χ. μετρητά) τις οποίες v, οι οποίες 9

10 διαθέτουμε σε χρόνο. Οι διαδικασίες μπορούν να πάρουν είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές. Επίσης η φ πρέπει να είναι F-prevble. Ένα χαρτοφυλάκιο είναι elf-facg όταν η αλλαγή της αξίας του εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή της τιμής του προιόντος (ae). Γενικά αν, είναι ένα χαρτοφυλάκιο με τιμή oc και τιμή Bod B τότε, είναι elf-facg dv d db. Replcag raegy Υποθέτουμε ότι είμαστε σε μια αγορά με Β χωρίς ρίσκο και με ρίσκο και θεωρούμε ένα παράγωγο που λήγει σε χρόνο Τ. Μια replcag raegy για το Χ είναι ένα elf facg χαρτοφυλάκιο (φ,ψ) τέτοιο ώστε d και V B. Blac-chole Μοντέλο Θεωρούμε ένα Bod της μορφής B expr και ένα oc της μορφής exp W όπου r το επιτόκιο. Προεξοφλούμε τα πάντα μέσω της προεξοφλητικής διαδικασίας B επειδή είμαστε σε χρόνο και έχουμε dcoued oc B dcoued clam B. Επομένως η στοχαστική διαφοροεξίσωση θα είναι d ( dw r d) Βήμα Ψάχνουμε μέτρο Q τέτοιο ώστε η Ζ να είναι Margale. Επικαλούμαστε r το C-M-G θεώρημα και εισάγουμε ένα drf στην υπάρχουσα κίνηση Brow. Έτσι υπάρχει ένα ισοδύναμο μέτρο Q τέτοιο ώστε W Q-Browa Moo και συνεπώς Margale. Ομοίως και Ζ Margale αφού d dw. Βήμα Χρειαζόμαστε μια διαδικασία που να τυχαιοποιεί το προεξοφλημένο παράγωγο και να είναι επίσης Q-Margale. Έτσι σχηματίζουμε τη B / F. διαδικασία Q Βήμα 3 Βρίσκουμε μια διαδικασία φ τέτοια ώστε d d. Αυτή προκύπτει από το Margale Repreeao heorem αφού, είναι Q- Margale.

11 Βήμα 4 Κατασκευάζουμε το χαρτοφυλάκιο B V έχοντας μονάδες oc σε χρόνο και μονάδες Bod. Οπότε προκύπτει ότι B V. Βήμα 5 Από το παραπάνω αποδεικνύεται ότι V είναι elf-facg Βήμα 6 Αποδεικνύεται επίσης ότι είναι και replcag. Βήμα 7 Κατασκευάζουμε το V Q Επίσης έχουμε ότι Q r Q F e F B B V / / Τιμολόγηση ενός call opo. Θεωρούμε, max. Το call opo εξασκείται μόνο όταν αυτό είναι θετικό. Επομένως σύμφωνα με την προηγούμενη formula ισχύει e V Q r. Όμως χρησιμοποιώντας την Q-Browa Moo προκύπτει ότι, exp r W. Γνωρίζουμε ότι N W N W,, κάτω από το μέτρο Q, επομένως N W, οπότε γράφουμε e e V r r το οποίο είναι ίσο με dx x e e r r x log exp. Το κάτω όριο του ολοκληρώματος οφείλεται στο ότι πρέπει e r. Γνωρίζουμε επίσης από την κανονική κατανομή ότι x dy y x exp συνεπώς η τελική μορφή του Blac-chole είναι η εξής r e r V r log log,. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε =,r=.6,= και σ=.8 προκύπτει. V (Premum).

12 Τιμολόγηση Παραγώγων σε Διακριτό Χρόνο Θα δούμε τώρα τι συμβαίνει στη διακριτή περίπτωση. Έστω ένα σύνολο δύο σημείων {-,} και Σ το σύνολο των υποσυνόλων του. μ είναι το μέτρο πιθανότητας στο (,Σ) με μ({})=ρ=-μ({-}). Έστω N, ορίζουμε, F, P,, N έτσι ώστε ένα τυπικό στοιχείο του Ω είναι,..., N {, }. Ορίζουμε R : με ( ) έτσι ώστε,..., N είναι ισόνομες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μέτρο μ. Για F N ορίζουμε p και,...,,..., ενώ p ( )( p) p οπότε προκύπτει ότι το Ζ είναι Margale. Λήμμα Αν Μ είναι Margale στο { F : N}, P τότε υπάρχει μοναδική prevble διαδικασία Η τέτοια ώστε M M H M M H Τιμολόγηση Opo Blac-chole Είμαστε σε μια οικονομία και υποθέτουμε ότι οι αξίες των μονάδων oc και Bod μεταβάλλονται απότομα σε χρόνους,,,ν. Για =,,,Ν γράφουμε B r B, για την αξία μιας μονάδας Bod και μιας μονάδας oc αντίστοιχα καθ όλη τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος (,+). Σε χρόνο ξεκινάμε με μια περιουσία χ που αποτελείται από A μονάδες oc και V μονάδες Bod έτσι ώστε x A V B. Μεταξύ των χρόνων και επενδύουμε τις μονάδες (π.χ. στοίχημα) και έτσι ελάχιστα πριν το χρόνο αυτές έχουν μετατραπεί σε A,V ενώ η περιουσία παραμένει η ίδια x A VB. Παρόμοια ελάχιστα πριν το χρόνο η περιουσία είναι A V B ενώ ακριβώς μετά το χρόνο γίνεται A V B. Η μεταβολή της είναι A V B B () αλλά B B rb και R όπου R είναι το τυχαίο επίπεδο επιτοκίου για το oc σε χρόνο. Οπότε ξαναγράφουμε την () ως εξής A R rv B αλλά rv B r ra συνεπώς η () γίνεται r A R r Θέτουμε Y r () και Y Y r A R r (3) το

13 Y είναι η προεξοφλημένη αξία της περιουσίας σε χρόνο έτσι ώστε η εξέλιξη (3) γίνεται κεντρικού ενδιαφέροντος. Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε και το μέτρο πιθανότητας όπως ορίστηκε προηγουμένως. Κατασκευάζουμε ένα μοντέλο στο οποίο κάθε R παίρνει a b b a μόνο τιμές a,b στο,, όπου a<r<b θέτοντας R το οποίο είναι τυχαία μεταβλητή εφόσον τυχαία μεταβλητή. Άρα αφού το R παίρνει δύο τιμές a, b μπορεί να θεωρηθεί σαν μια τυχαία μεταβλητή Beroull και εφόσον r σταθερό η πιο λογική τιμή που μπορεί να πάρει a b b a είναι R p συνεπώς R r b a p b a (4) r a Μπορούμε τώρα να επιλέξουμε p PR R της ομοιόμορφης b a γιατί p συνεχής στο (,). Από (3) και (4) παρουσιάζεται το Υ σαν στοχαστικό ολοκλήρωμα σε σχέση με το Ζ. 3

14 Περιεχόμενα Παράγωγα- Τιμολόγηση Παράγωγα Προιόντα :Fuure ad Opo.. Τιμολόγηση Παραγώγων σε Συνεχή Χρόνο.3 Τιμολόγηση Παραγώγων σε Διακριτό Χρόνο.. Περιεχόμενα.4 Βιβλιογραφία 5 4

15 Βιβλιογραφία Hull J. (993). Opo fuure ad oher dervave. Prece-Hall. Baxer M ad Ree A. (996) Facal Calculu. Cambrdge Uvery Pre. Davd Wllam (99) Probably wh Margale Cambrdge Uvery Pre. 5

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: 1. Το βήτα (beta) της μετοχής Α είναι 1,62 ενώ το βήτα (beta) της μετοχής Β είναι -1,62. Αν το ακίνδυνο επιτόκιο είναι 0,6%, η απόδοση της

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Χρηματοοικονομικά πρότυπα. Στις χρονικές στιγμές και 2 θα πληρωθεί από αντίστοιχα. Ποιο επιτόκιο εξασφαλίζει ότι η διασπορά της μέσης διάρκειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα: 1. (α) (3 βαθμοί) Οι τιμές δύο παράγωγων προϊόντων Χ και Υ σε κάθε χρονική στιγμή είναι X και Y με X = e s2 dw s και Y = X 2 e 2s2 ds, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Για κάθε μία από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις πείτε αν είναι γραμμική ή όχι και προσδιορίστε την τάξη της. α. y + y +

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n) ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση Αφορμή γι αυτή τη σύντομη εργασία έδωσε μια ημερίδα διδασκαλίας των Μαθηματικών, η οποία οργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets. Μιχάλης Ανθρωπέλος

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets. Μιχάλης Ανθρωπέλος ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos Μιχάλης

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

[1] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) dx

[1] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) dx .4. Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση (method of substitution) βασίζεται στον κανόνα της αλυσίδας. Ουσιαστικά με τη μέθοδο της αντικατάστασης το αόριστο ολοκλήρωμα υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4 - Σημειώσεις

Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Απροσδιόριστες μορφές και ο κανόνας l'hôpital Έστω ότι ζητούμε το όριο () της συνάρτησης () = () () η οποία δίνεται ως το πηλίκο δύο συναρτήσεων (), (). Τότε, () () () = () = ()

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Εστω μη ϰενά διαστήματα J, I R, με 0 Ī. Ονομάζουμε μεταβλητή το x J ϰαι ασυμπτωτιϰή (ή διαταραϰτιϰή) παράμετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα:χρηματοοικονομικά πρότυπα, ΚΩΔ Αε Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! 1/6 1. Η μετοχή Sέχει σημερινή τιμή S 0 και οι μελλοντικές της

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2 Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. Υπολογίστε το x αν x < 0 4 fx) dx όταν fx) = αν 0 x 3/x αν < x 4 Λύση: Η f ταυτίζεται στο [, 0] με την συνεχή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 13/7/2016 Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Χρηματοοικονομικά Πρότυπα, Κωδ. Αε 1. Στις χρονικές στιγμές 1 και 2 θα πληρωθεί από 1 αντίστοιχα. Ποιο επιτόκιο εξασφαλίζει ότι

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 1 4. ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΕΡΟΣ Α 2 Άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο στο Μέλλον Η ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου. Ακαδημαϊκό έτος:

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου. Ακαδημαϊκό έτος: Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδημαϊκό έτος: 2017 2018 Ασκήσεις 3 ης ΟΣΣ Άσκηση 1 η. Έστω οι προσδοκώμενες αποδόσεις και ο

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα