Συνεργατικός Έλεγχος Διωκτών-Ρομπότ για την Ανίχνευση και Σύλληψη Εισβολέων-Ρομπότ σε Περιορισμένη Περιοχή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνεργατικός Έλεγχος Διωκτών-Ρομπότ για την Ανίχνευση και Σύλληψη Εισβολέων-Ρομπότ σε Περιορισμένη Περιοχή"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Πληροφορικής Συνεργατικός Έλεγχος Διωκτών-Ρομπότ για την Ανίχνευση και Σύλληψη Εισβολέων-Ρομπότ σε Περιορισμένη Περιοχή Διπλωματική εργασία του φοιτητή: Νικόλαου- Δημήτριου Φακωτάκη Α.Μ Επιβλέποντες Καθηγητές: Αντώνιος Τζες, καθηγητής Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης, καθηγητής Πάτρα, Ιούνιος 2015

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα: Συνεργατικός Έλεγχος Διωκτών-Ρομπότ για την Ανίχνευση και Σύλληψη Εισβολέων-Ρομπότ σε Περιορισμένη Περιοχή του φοιτητή του Τμήματος Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Πληροφορικής Νικόλαου- Δημήτριου Φακωτάκη (Α.Μ. 4083) Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών στις / / Ο Επιβλέπων Καθηγητής Αντώνιος Τζες, καθηγητής Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης, καθηγητής i

4 ii

5 Περιεχόμενα Σκοπός... 7 Περίληψη... 9 Ευχαριστίες Επισκόπηση της Παρούσας Εργασίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Εισαγωγή Εισαγωγή Τεχνητή Νοημοσύνη Θεωρία Παιγνίων (Παίγνια) Χαρακτηρισμός ενός παιγνίου Συνεργατικά Παίγνια Δίωξη- Αποφυγή (Pursuit- Evasion) Χαρακτηριστικά παράδειγμα PEG Συνάρτηση Κόστους Μεταβιβάσιμη ωφέλεια Αντίληψη τυχαίας κίνησης Εισβολέα Ρομπότ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Ορισμός Προβλήματος Εισαγωγή Ορισμός Προβλήματος Διώκτες Εισβολείς Περιβάλλον Ταχύτητα Μετακίνησης Συνεργασία εντός των Ομάδων Εύρος Ευαισθησίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Εντοπισμός Εισβολέα Εισαγωγή Εντοπισμός με Σάρωση iii

6 3.2.1 Σάρωση με Μία Στήλη Εποπτείας Πολλαπλές Στήλες Εποπτείας Ο Παρατηρητής Τμηματοποίηση της Επιφάνειας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Σύλληψη Εισβολέα Εισαγωγή Παραμετροποίηση θέσεως Εισβολέα Από τον Δυναμικό Εντοπισμό στη Σύλληψη Ενεργοποίηση Επιδρομέων Επιδρομείς από μία Στήλη Εποπτείας Επιδρομείς από Δύο Στήλες Εποπτείας Συνάρτηση reachthelinearparts() Συνάρτηση reachtheevader() Ολοκλήρωση του Αλγορίθμου Από τον Στατικό Εντοπισμό στη Σύλληψη Στρατηγικές Αποφυγής Διώκτη Περισσότεροι Εισβολείς Πολυωνυμικός χρόνος σύλληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο Συμπεράσματα-Προτάσεις για Βελτίωση Γενικά Βιβλιογραφία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π.1 Εισαγωγή Π.2 Δημιουργία του περιβάλλοντος Π.3 Τοποθέτηση των Ρομπότ στην Επιφάνεια Π.4 Επανάληψη κύριας συνάρτησης Π.5 Τυχαιότητα Κίνησης των Ρομπότ Π.6 Έλεγχος Κίνησης Ρομπότ Εντός Ορίων Π.7 Αρχή Σάρωσης Επιπέδου Π.8 Αριστερή Οριζόντια Σάρωση Π.9 Πρώτη Μέθοδος Καταδίωξης Εισβολέα Π.10 Εύρεση Απόστασης Μεταξύ Ρομπότ

7 Π.11 Ευφυΐα Εισβολέα Ρομπότ Π.12 Κατάκτηση Ευθύγραμμου Τμήματος Π.13 Δίωξη με Τακτική Μείωσης Απόστασης Π.14 Εντοπισμός Αντιπάλου Π.15 Σάρωσης με 2 Στήλες Εποπτείας Π.16 Σάρωση με Μεταβλητό Πλήθος Στηλών

8 6

9 Σκοπός Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των παιγνίων Δίωξης-Αποφυγής (Pursuit-Evasion Game PEG), και η σχεδίαση και ανάπτυξη μιας προσέγγισης, σε ελεγχόμενο περιβάλλον. Η εφαρμογή αφορά παίκτες-ρομπότ που ανήκουν σε δύο αντίπαλες ομάδες: στην ομάδα των Διωκτών Ρομπότ και στην ομάδα των Εισβολέων Ρομπότ. Τα Ρομπότ της πρώτης ομάδας συνεργάζονται και ελέγχουν το περιβάλλον ώστε να ανιχνεύσουν και κατόπιν να συλλάβουν κάθε ένα από τα Ρομπότ της αντίπαλης ομάδας. Το περιβάλλον στο οποίο θα αναπτυχτεί η εφαρμογή είναι απολύτως ελεγχόμενο, δισδιάστατο, τετραγωνικό, χωρίς εμπόδια και με περιορισμένη έκταση. Οι Διώκτες Ρομπότ συνεργάζονται μεταξύ τους και ακολουθούν τακτικές παρατήρησης και δίωξης, προκειμένου να επιτύχουν τη σύλληψη των Εισβολέων σε βέλτιστο χρόνο. Οι Εισβολείς Ρομπότ κινούνται είτε με τυχαίο τρόπο και επομένως δεν επιδιώκουν την αποφυγή της σύλληψής τους, δεδομένου ότι δεν έχουν καμία πληροφόρηση για την θέση των Διωκτών, είτε με τακτικές αποφυγής εντοπισμού και σύλληψης. Χρησιμοποιούμε δύο πιθανές τερματικές καταστάσεις. Η πρώτη είναι η ολοκλήρωση του παιγνίου με τη σύλληψη όλων των Εισβολέων Ρομπότ, με νίκη των Διωκτών Ρομπότ. Η δεύτερη είναι η ολοκλήρωση του παιγνίου μετά από προκαθορισμένο χρονικό διάστημα, είτε με νίκη των Διωκτών Ρομπότ, εάν έχουν συλληφθεί όλα τα Ρομπότ της άλλης ομάδας, είτε με νίκη των Εισβολέων Ρομπότ, σε κάθε άλλη περίπτωση. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Ρομποτικής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών. 7

10 8

11 Περίληψη Στην εργασία αυτή αντιμετωπίζεται το πρόβλημα του συνεργατικού ελέγχου ρομπότ στην εξουδετέρωση Εισβολέων Ρομπότ, σε ελεγχόμενη περιοχή. Γίνεται μια ανασκόπηση των παιγνίων Δίωξης-Αποφυγής και πως αυτά εντάσσονται στον ευρύτερο χώρο της Τεχνητής Νοημοσύνης και της Θεωρίας Παιγνίων και αναπτύσσεται εφαρμογή στην οποία προτείνονται διαδικασίες, αλγόριθμοι και συναρτήσεις πληρωμής που αφορούν τον εντοπισμό, την περικύκλωση και την αιχμαλωσία των Εισβολέων-Ρομπότ από Διώκτες-Ρομπότ. Η εφαρμογή αφορά παίγνιο μεταξύ δύο αντίπαλων ομάδων ρομπότ. Την ομάδα των Διωκτών Ρομπότ και την ομάδα των Εισβολέων Ρομπότ. Η ομάδα των Διωκτών προσπαθεί να συλλάβει τους Εισβολείς ενώ η ομάδα των Εισβολέων να αποφύγει ή έστω να επιβραδύνει το γεγονός. Τα Ρομπότ της πρώτης ομάδας συνεργάζονται ώστε να ανιχνεύσουν και κατόπιν να συλλάβουν κάθε ένα από τα Ρομπότ της αντίπαλης ομάδας, ενώ οι Εισβολείς Ρομπότ κινούνται με τυχαίο τρόπο ή επιδιώκουν την αποφυγή της σύλληψής τους. Το περιβάλλον στο οποίο αναπτύχθηκε η εφαρμογή είναι απολύτως ελεγχόμενο, δισδιάστατο, χωρίς εμπόδια. Οι Διώκτες ρομπότ συνεργάζονται μεταξύ τους και ακολουθούν συγκεκριμένες τακτικές δίωξης, προκειμένου να επιτύχουν τη σύλληψη των Εισβολέων, σε βέλτιστο χρόνο. Το παίγνιο ξεκινά με τυχαία θέση των Ρομπότ στο επίπεδο. Έπειτα οι Διώκτες Ρομπότ τοποθετούνται σε προκαθορισμένες θέσεις και κινούνται με τρόπο ώστε να μπορούν με βεβαιότητα και ταχύτητα να εντοπίσουν πιθανούς Εισβολείς. Τον εντοπισμό των Εισβολέων ακολουθεί η σύλληψη. Κατάλληλοι αλγόριθμοι, επιτρέπουν την αιχμαλωσία κάθε εντοπισμένου Εισβολέα με, κατ' ελάχιστον, δύο διώκτες, σε πολυωνυμικό χρόνο. 9

12 10

13 Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στο εργαστήριο Ρομποτικής του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Θέλω θερμά να ευχαριστήσω τους επιβλέποντες καθηγητές μου, κ. Αντώνη Τζε και κ. Κωνσταντίνο Μπερμπερίδη, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξαν, αναθέτοντάς μου την τόσο ενδιαφέρουσα διπλωματική εργασία. Ιδιαίτερα θέλω να αναφερθώ στην αμέριστη προσφορά του καθηγητή κ. Τζε, ο οποίος με την ηθική συμπαράσταση του, τη διαρκή τεχνολογική και επιστημονική καθοδήγησή του, καθώς και την ανοχή του, με βοήθησε να ολοκληρώσω την εργασία αυτή, σε πείσμα της δικής μου φιλότιμης προσπάθειας να παρατείνω τα φοιτητικά μου χρόνια στο μέγιστο. 11

14 12

15 Επισκόπηση της Παρούσας Εργασίας Η παρούσα διπλωματική εργασία συνίσταται από την ακόλουθη δομή. Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή στο πρόβλημα του συνεργατικού ελέγχου ρομπότ και στην εξουδετέρωση εισβολέων ρομπότ, σε ελεγχόμενη περιοχή. Γίνεται μια σύντομη παρουσίαση της επιστήμης της Τεχνητής Νοημοσύνης και της Θεωρίας Παιγνίων, στην τομή των οποίων τοποθετείται το πρόβλημα της Δίωξης-Αποφυγής που εντάσσεται η παρούσα διπλωματική. Στο κεφάλαιο 2, ορίζεται το πρόβλημα, όπου καλείται η παρούσα εργασία να προσεγγίσει. Παρουσιάζεται το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο καθώς και η υπάρχουσα γνώση πάνω στο αντικείμενο. Στο κεφάλαιο 3, αναλύονται μέθοδοι για τον εντοπισμό των εισβολέων. Παρουσιάζονται στρατηγικές ανίχνευσης μέσα από ευρετικούς ή εξαντλητικούς αλγορίθμους. Στο κεφάλαιο 4, παρουσιάζονται οι αλγόριθμοι για την σύλληψη και εξουδετέρωση των εισβολέων από τους Διώκτες. Στο κεφάλαιο 5, παρουσιάζεται συμπερασματικά το σύνολο της εργασίας και προτάσεις για μελλοντική συνέχιση. Τέλος, παρατίθεται παράρτημα στο οποίο παρουσιάζεται και αναλύεται ο κώδικας, γραμμένος σε γλώσσα Python. Σε συνοδευτικό CD υπάρχουν όλα τα αρχεία που αφορούν την Διπλωματική, και αυτά περιλαμβάνουν: Τα αρχεία συγγραφής σε World, παρουσίασης σε PowerPoint, και ο κώδικας σε python. 13

16 14

17 1.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Εισαγωγή 1.1 Εισαγωγή Στην εργασία αυτή μελετάται το πρόβλημα του συνεργατικού ελέγχου ρομπότ στην εξουδετέρωση Εισβολέων ρομπότ, σε ελεγχόμενη περιοχή. Συγκεκριμένα, η διπλωματική αυτή αναφέρεται στην σχεδίαση και ανάπτυξη ενός παιγνίου στο οποίο ομάδα Ρομπότ (Διώκτες), προσπαθεί να εντοπίσει και να εξουδετερώσει τα μέλη μιας άλλης ομάδας (Εισβολείς ή Διωκόμενοι), σε ένα προκαθορισμένο περιβάλλον. Το πρόβλημα της δίωξης εισβολέων ανήκει στην κατηγορία των παιγνίων Δίωξη-Αποφυγή (Pursuit-Evasion Game). Είναι μια μεγάλη οικογένεια προβλημάτων, που απασχόλησε μια ευρεία γκάμα επιστημονικών περιοχών, όπως: κοινωνικές επιστήμες, οικονομικές, πολεμικές, πολιτικές, φιλοσοφικές, επιστήμες υπολογιστών κ.α. Η δική μας προσέγγιση είναι αυστηρά από την πλευρά των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών, δηλαδή θα προσεγγίσουμε το πρόβλημα της Δίωξης-Αποφυγής, σαν αντικείμενο της Θεωρίας Παιγνίων, και της Τεχνητής Νοημοσύνης. 15

18 1.2 Τεχνητή Νοημοσύνη 1.2 Τεχνητή Νοημοσύνη Η Τεχνητή Νοημοσύνη (ΤΝ) αναφέρεται στον κλάδο της πληροφορικής ο οποίος ασχολείται με τη σχεδίαση και την υλοποίηση υπολογιστικών συστημάτων που μιμούνται στοιχεία της ανθρώπινης συμπεριφοράς τα οποία υπονοούν έστω και στοιχειώδη ευφυΐα: μάθηση, προσαρμοστικότητα, εξαγωγή συμπερασμάτων, κατανόηση από συμφραζόμενα, επίλυση προβλημάτων, παίγνια κλπ. Αποτελεί σημείο τομής μεταξύ πολλαπλών επιστημών όπως της πληροφορικής, της ψυχολογίας, της φιλοσοφίας, της νευρολογίας, της γλωσσολογίας και της επιστήμης μηχανικών. Έχει ως στόχο τη σύνθεση ευφυούς συμπεριφοράς, με στοιχεία συλλογιστικής μάθησης και προσαρμογής στο περιβάλλον, ενώ συνήθως εφαρμόζεται σε μηχανές (υπολογιστές). Η λογοτεχνία και ο κινηματογράφος από τις αρχές του 20ου αιώνα μέχρι σήμερα έχουν δώσει στο ευρύ κοινό την αίσθηση ότι η ΤΝ αφορά την προσπάθεια κατασκευής μηχανικών ανθρωποειδών ή αυτοσυνείδητων προγραμμάτων υπολογιστή [1], που επηρέασαν μάλιστα ακόμα και τους πρώτους ερευνητές του τομέα. Στην πραγματικότητα οι περισσότεροι επιστήμονες της τεχνητής νοημοσύνης προσπαθούν να κατασκευάσουν λογισμικό ή πλήρεις μηχανές οι οποίες να επιλύουν με αποδεκτά αποτελέσματα ρεαλιστικά υπολογιστικά προβλήματα διαφόρων τύπων. Πολλοί βέβαια πιστεύουν ότι η εξομοίωση ή η προσομοίωση της πραγματικής ευφυΐας, πρέπει να είναι ο τελικός στόχος της έρευνας της Τεχνητής Νοημοσύνης και ακόμα υποστηρίζουν ότι απλά είναι θέμα χρόνου το πότε θα κατασκευάσουμε πρότυπα που ίσως θα αποτελέσουν και απειλή για το ανθρώπινο είδος. Τρεις διεθνείς προσωπικότητες, ο επιφανής φυσικός και κοσμολόγος Stephen Hawking [2], ο Elon Musk, ιδρυτής των εταιρειών εφαρμοσμένης επιστήμης «SpaceX» και «Tesla Motors» και ο Bill Gates, ιδρυτής και πρόεδρος της Microsoft, έδωσαν πρόσφατα συνεντεύξεις που προειδοποιούν για τους μεγάλους κινδύνους που εγκυμονεί η συνδυασμένη τεχνολογική προσπάθεια αναπαραγωγής ανθρώπινου νου (Τεχνητή Νοημοσύνη) και του ανθρώπινου σώματος (Ρομποτική). "Η τεχνητή νοημοσύνη ίσως να είναι η πιο σημαντική κατάκτηση του ανθρώπου. Κρίμα που μπορεί να αποδειχτεί και η τελευταία!" δήλωσε ο Stephen Hawking σε συνέντευξη που έδωσε πρόσφατα στο BBC. Η Τεχνητή Νοημοσύνη [3], [4], συγκροτήθηκε ως αυτόνομος επιστημονικός κλάδος μετά τον Β Παγκόσμιο Πόλεμο με διακηρυγμένο στόχο να αναπαραγάγει 16

19 1.2 Τεχνητή Νοημοσύνη όσο καλύτερα γίνεται την ανθρώπινη συμπεριφορά με υπολογιστικές μηχανές. Η σχετική έρευνα και η τεχνολογία που προέκυψε από αυτήν την έρευνα γνώρισε πολύ μεγάλη ανάπτυξη και ακόμη πιο εντυπωσιακές εφαρμογές. Μπορεί να διαιρεθεί σε συμβολική τεχνητή νοημοσύνη και σε υποσυμβολική τεχνητή νοημοσύνη. Η πρώτη επιχειρεί να εξομοιώσει την ανθρώπινη νοημοσύνη αλγοριθμικά χρησιμοποιώντας σύμβολα και λογικούς κανόνες υψηλού επιπέδου. Η υποσυμβολική τεχνητή νοημοσύνη προσπαθεί να αναπαράγει την ανθρώπινη ευφυΐα χρησιμοποιώντας στοιχειώδη αριθμητικά μοντέλα που συνθέτουν επαγωγικά νοήμονες συμπεριφορές με τη διαδοχική αυτοοργάνωση απλούστερων δομικών συστατικών που προσομοιώνουν πραγματικές βιολογικές διαδικασίες όπως η εξέλιξη των ειδών και η λειτουργία του εγκεφάλου. Η σύγχρονη τεχνητή νοημοσύνη αποτελεί ένα από τα πλέον ταχέως εξελισσόμενα πεδία της πληροφορικής. Σήμερα, ο τομέας αξιοποιεί περισσότερο υποσυμβολικές μεθόδους και εργαλεία καταγόμενα από τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τις επιστήμες των μηχανικών, παρά από τη θεωρητική πληροφορική και τη μαθηματική λογική όπως συνέβαινε πριν μερικές δεκαετίες. Με βάση τον επιθυμητό επιστημονικό στόχο η ΤΝ κατηγοριοποιείται σε άλλου τύπου ευρείς τομείς, όπως: επίλυση προβλημάτων, μηχανική μάθηση, Αναπαράσταση Γνώσης, Παίγνια (Θεωρία Παιγνίων) κλπ. Επίσης, υπάρχει επικάλυψη με συναφή επιστημονικά πεδία όπως η μηχανική όραση, η επεξεργασία φυσικής γλώσσας ή η ρομποτική, τα οποία μπορούν να τοποθετηθούν μέσα στο ευρύτερο πλαίσιο της σύγχρονης τεχνητής νοημοσύνης ως ανεξάρτητα πεδία της. Μία ειδική κατηγορία προβλημάτων ΤΝ είναι τα παίγνια δύο αντιπάλων. Εδώ υπάρχουν δύο σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται εναλλάξ από δύο ανταγωνιστικά ενεργά συστήματα (τους παίκτες). Οι τελικές καταστάσεις δεν είναι πλήρως γνωστές, έχουν όμως συγκεκριμένα γνωστά χαρακτηριστικά και αντιστοιχούν σε ισοπαλία ή σε νίκη ενός εκ των δύο αντιπάλων και ήττα του άλλου. Τα παιχνίδια απασχολούν τις διανοητικές λειτουργίες των ανθρώπων από τότε που υπάρχει πολιτισμός. Για τους ερευνητές της ΤΝ, η αφηρημένη φύση των παιχνιδιών τα κάνει ενδιαφέρον θέμα μελέτης. Η κατάσταση ενός παιχνιδιού είναι εύκολο να αναπαρασταθεί και οι παίκτες περιορίζονται, συνήθως σε ένα μικρό αριθμό ενεργειών που οι εκτελέσεις των οποίων ορίζονται από ακριβείς κανόνες. Για 17

20 1.3 Θεωρία Παιγνίων (Παίγνια) το λόγο αυτό, τα παιχνίδια ήταν ένα από τα πρώτα εγχειρήματα με τα οποία ασχολήθηκε η ΤΝ, από το 1950 [5], σχεδόν αμέσως μόλις οι υπολογιστές έγιναν προγραμματίσιμοι. Το σκάκι, για παράδειγμα, απασχόλησε όλους τους πρωτοπόρους ερευνητές της ΤΝ. Σήμερα η βιομηχανία παιγνίων ανθεί, με προϊόντα εντυπωσιακά που κατακλύζουν τις αγορές. Τα ανταγωνιστικά παίγνια έχουν εξελιχθεί σε μεγάλο βαθμό και ανταγωνίζονται με αξιώσεις τις ανθρώπινες ικανότητες. Για παράδειγμα, Ο Deep Blue της ΙΒΜ [6], το 1997, είχε νικήσει στο σκάκι τον Γκάρι Κασπάροφ, παγκόσμιο πρωταθλητή επί σειρά ετών, ενώ το DeepMind της Google, παίζει 49 διαφορετικά παιχνίδια, ξεπερνώντας τις ικανότητες των ανθρώπων παικτών σε 23 εξ αυτών. 1.3 Θεωρία Παιγνίων (Παίγνια) Τα παίγνια ή η θεωρία παιγνίων (game theory), που εντάσσεται στον ευρύτερο χώρο της Τεχνητής Νοημοσύνης και των μαθηματικών, είναι μια σχετικά νέα επιστήμη (το πρώτο σύγγραμμα που αφορούσε την Θεωρία Παιγνίων εκδόθηκε μόλις πριν από 60 χρόνια) αλλά ραγδαία αναπτυσσόμενη. Ξεκίνησε σαν κλάδος των οικονομικών (John von Neumann και Oskar Morgenster, Theory of Games and Economic Behaviour [7]) με κύριο αντικείμενό της την ανάλυση των αποφάσεων σε καταστάσεις στρατηγικής αλληλεξάρτησης. Από τότε μέχρι και σήμερα όμως ο συγκεκριμένος κλάδος έχει κάνει άλματα προόδου, με σπουδαίους μαθηματικούς και οικονομολόγους, να τον μεταμορφώνουν σε ένα ξεχωριστό ακαδημαϊκό αντικείμενο. Χαρακτηριστικοί ερευνητές και θεμελιωτές του χώρου είναι: ο (πρόσφατα αποθανών) John Forbes Nash, ο οποίος γενίκευσε το πρόβλημα σε παιχνίδια μη μηδενικού αθροίσματος και προσέφερε σαν λύση την ισορροπία Νας (Nash Equilibrium [8]), ο Reinhard Selten, που άνοιξε το δρόμο για ικανοποιητική λύση του προβλήματος σε δυναμικά παιχνίδια με την έννοια της ισορροπίας στα υποπαιχνίδια (Subgame Perfect Nash Equilibrium [9]) και της ισορροπίας τρεμάμενου χεριού (trembling hand perfect equilibrium [10]). Ο John Harsanyi, που ασχολήθηκε με παιχνίδια μερικής πληροφόρησης (Incomplete Information [11]), αλλά και ο Thomas Schelling, με τη στρατηγική του ανταγωνισμού [12], και άλλοι [13]. Αν θέλαμε να δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό στη Θεωρία Παιγνίων, θα λέγαμε πως έχει ως στόχο να αναλύσει τις αποφάσεις σε καταστάσεις στρατηγικής αλληλεξάρτησης και να προσεγγίσει τη βέλτιστη δυνατή λύση. Σε ένα παίγνιο 18

21 1.3 Θεωρία Παιγνίων (Παίγνια) συμμετέχουν δύο ή και περισσότεροι παίκτες που παίρνουν αποφάσεις, οι οποίες οδηγούν σε ορισμένα αποτελέσματα. Κάθε παίκτης έχει στόχο μέσα από τις κινήσεις του να επωφεληθεί όσο περισσότερο μπορεί, γνωρίζοντας όμως πως οι ενέργειές του επηρεάζουν και τους υπόλοιπους δρώντες. Οι μελέτες αυτής της θεωρίας, αποτελούν στην ουσία την προσομοίωση μιας κατάστασης απλού ανταγωνισμού ή και σύγκρουσης. Τα τελευταία 30 χρόνια, η θεωρία παιγνίων έχει βρει ευρύτατη εφαρμογή στα οικονομικά, όπου ολόκληροι κλάδοι στηρίζονται στις μεθόδους της. Επίσης, χρησιμοποιείται στην πολιτική οικονομία και ειδικά στη θεωρία της συλλογικής δράσης, όπου εξηγεί ενδεχόμενα συνεργασίας μεταξύ των παικτών. Αυτή η εκδοχή της θεωρίας παιγνίων, γνωστή και ως παίγνια συνεργασίας (Cooperative Game Theory [14]), βρίσκει άμεση συσχέτιση με το ρόλο του κράτους και των θεσμών σε θέματα συνεργασίας. Ακόμα, σημαντική είναι η συνεισφορά της θεωρίας παιγνίων σε κοινωνικά θέματα. Γνωστό παράδειγμα στη θεωρία των παιγνίων είναι το "δίλημμα του φυλακισμένου". Το παιχνίδι αυτό έχει χρησιμοποιηθεί ευρέως για την ανάλυση καταστάσεων κοινωνικών διλημμάτων (Social Dilemmas [15]). Το «δίλημμα του φυλακισμένου» εξετάζει τις στρατηγικές επιλογές λογικά σκεπτόμενων παικτών που εμπλέκονται σε ανταγωνιστικές καταστάσεις. Στο παράδειγμα καταδεικνύει ότι το «κοινό συμφέρον» δεν είναι πάντα η επιλογή απολύτως λογικά σκεπτόμενων ατόμων και πολλές φορές απόλυτα λογικά επιλογές μπορούν να οδηγήσουν σε ζημία για όλους τους εμπλεκόμενους. Μεταφέροντας το παράδειγμα στην καθημερινή ζωή μπορούμε να βγάλουμε πολύ χρήσιμα συμπεράσματα για πράγματα που φαίνονται λογικό να γίνουν αλλά τελικά η επιλογή τους, οδηγεί σε χειρότερα αποτελέσματα. Η μαθηματική θεωρία παιγνίων, ως κλάδος των οικονομικών, βλέπει ένα πολυπρακτορικό περιβάλλον ως παιχνίδι, με την προϋπόθεση ότι η επίδραση του κάθε πράκτορα στους άλλους είναι «σημαντική», ανεξάρτητα αν οι πράκτορες είναι συνεργατικοί ή ανταγωνιστικοί. Στην Τεχνητή Νοημοσύνη, τα παιγνίδια είναι συνήθως του τύπου, που οι θεωρητικοί των παιγνιδιών ονομάζουν αιτιοκρατικά, δύο παικτών, παιγνίδια μηδενικού αθροίσματος, με τέλεια πληροφόρηση. Αυτό σημαίνει πλήρως παρατηρήσιμα περιβάλλοντα, στα οποία υπάρχουν δύο παίχτες που οι ενέργειες τους πρέπει να εναλλάσσονται και οι τιμές στο τέλος του παιχνιδιού να είναι ίσες και αντίθετες. Για παράδειγμα σε μια παρτίδα σκάκι, αν ο ένας παίχτης θα κερδίσει, ο άλλος αναγκαστικά θα χάσει. 19

22 1.3.1 Χαρακτηρισμός ενός παιγνίου Η λέξη παίγνιο μπορεί να κάνει το θέμα να φαίνεται απλοϊκό. Στην πραγματικότητα η θεωρία παιγνίων χρησιμοποιείται σε πολύ σοβαρές περιπτώσεις λήψης αποφάσεων, έχουν επενδυθεί σημαντικά ποσά χρημάτων και διακυβεύονται ακόμα μεγαλύτερα. Η Θεωρία Παιγνίων λοιπόν είναι ένας κλάδος που δεν έχει δημιουργηθεί για να εξελίξει την μαθηματική επιστήμη. Στόχος της θεωρίας, είναι να χρησιμοποιήσει τα Μαθηματικά και την Τεχνητή Νοημοσύνη, ως μέσο επίλυσης μη μαθηματικών προβλημάτων. Αναφέρεται στην ανάλυση προβλημάτων που αφορούν τον τρόπο λήψης αποφάσεων σε καταστάσεις σύγκρουσης και συνεργασίας. Ένας παίκτης μπορεί να είναι ένα πρόσωπο, ένα ρομπότ, μία οργάνωση, ένα κράτος ή ένας συνασπισμός, και όπως προείπαμε, διάφορα προβλήματα της πολιτικής επιστήμης, της ψυχολογίας, των κοινωνικών και οικονομικών επιστημών μπορούν να μοντελοποιηθούν ως παίγνια Χαρακτηρισμός ενός παιγνίου Βασική υπόθεση της Θεωρίας Παιγνίων είναι αυτή της "ευφυούς" και "λογικής" συμπεριφοράς των παικτών. Ένας παίκτης χαρακτηρίζεται ως "ευφυής", εννοώντας πως έχει τέλεια γνώση του πως να παίξει το παίγνιο, και ως "λογικός", εννοώντας πως παίζει με αντικειμενικό στόχο τη μεγιστοποίηση του προσωπικού του οφέλους. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι το όφελος του κάθε παίκτη ενός παιγνίου δεν εξαρτάται μόνο απ' την επιλογή του, αλλά και από τις επιλογές των υπολοίπων παικτών (οι οποίοι δεν αντιμετωπίζονται, υποχρεωτικά, ως αντίπαλοί του). Υποθέτουμε αρχικά ότι υπάρχει μία κατάσταση, όπου ορισμένοι παίκτες παίρνουν αποφάσεις (ενέργειες), οι οποίες οδηγούν σε ορισμένα αποτελέσματα. Οι παίκτες αυτοί μπορεί να είναι δύο ή και περισσότεροι. Στην πρώτη περίπτωση εμφανίζονται τα "παίγνια δύο παικτών" (two- player- games), και στη δεύτερη περίπτωση τα "παίγνια ν-παικτών" (n- player- games). Ακόμα οι παίχτες μπορούν να λειτουργούν ανεξάρτητα ή συνεργατικά, δηλαδή να έχουμε ομάδες παικτών που συνεργάζονται μεταξύ τους. Φυσικά ένα παίγνιο διαφέρει από μία πραγματική κατάσταση απλού ανταγωνισμού ή σύγκρουσης στο ότι η πραγμάτωσή του γίνεται ακριβώς κάτω από ορισμένες συνθήκες και σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Όλα τα παίγνια περιέχουν 20

23 1.3.2 Συνεργατικά Παίγνια το χαρακτηριστικό του ανταγωνισμού μεταξύ των παικτών τους (ή ομάδων παιχτών) και τα αποτελέσματά τους οδηγούν σε "κέρδη" ή "απώλειες". Για να ορίσουμε τυπικά ένα παίγνιο, χρειαζόμαστε: Ένα πεπερασμένο σύνολο παικτών ή ομάδες παικτών. Να υπάρχουν τουλάχιστον δύο παίκτες, ( 2 ). Για τον κάθε παίκτη, ένα σύνολο ενεργειών, γνωστές ως Στρατηγικές. Στρατηγικές: το αποτέλεσμα ενός συνόλου κανόνων που ορίζουν τις εφικτές επιλογές τις οποίες δύναται να ακολουθεί σε κάθε κίνησή του ο παίκτης μέχρι το τέλος του παιγνίου. Αναζητούμε τις στρατηγικές που βελτιστοποιούν το στόχο του κάθε παίκτη. Για τον κάθε παίκτη, μια συνάρτηση ωφέλειας που απεικονίζει όλες τις δυνατές ενέργειες των παικτών σε μετρήσιμα μεγέθη (πραγματικούς αριθμούς). Πίνακας αποτελεσμάτων (πληρωμών, ανταμοιβών): Να δείχνει τα αποτελέσματα του παιγνίου για κάθε συνδυασμό στρατηγικών. Λύση του παιγνίου: Η βέλτιστη τακτική όλων των παικτών που οδηγεί σε μετρήσιμο τελικό αποτέλεσμα Συνεργατικά Παίγνια Μια σημαντική διάκριση των παιγνίων είναι αυτή ανάμεσα στα μη-συνεργατικά και στα συνεργατικά. Στα πρώτα, δεν είναι δυνατές δεσμευτικές συμφωνίες ανάμεσα στους παίκτες πριν από την έναρξη του παιγνίου. Στα μη-συνεργατικά παίγνια το πρόβλημα του κάθε παίκτη είναι η άριστη επιλογή της στρατηγικής του, όταν γνωρίζει ότι οι υπόλοιποι παίκτες θα επιλέξουν την άριστη απάντηση στη στρατηγική αυτή (στρατηγική αλληλεπίδρασης). Στα συνεργατικά παίγνια η έμφαση δίνεται στα πιθανά οφέλη από τη συνεργασία. Στα παίγνια αυτά, το πρόβλημα του ορθολογικού παίκτη είναι ο προσδιορισμός της στρατηγικής που οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό όφελος για όλους τους παίκτες. Τα συνεργατικά παίγνια βρίσκουν εφαρμογές σε προβλήματα διαπραγματεύσεων όπου η συνεργασία οδηγεί σε κοινό όφελος και προϋπόθεση να δρέψουν το όφελος αυτό οι παίκτες και να έλθουν σε συμφωνία σχετικά με το ρόλο τους. Υπόθεση της συνεργατικής θεωρίας παιγνίων είναι ότι η μέτρηση των 21

24 1.4 Δίωξη- Αποφυγή (Pursuit- Evasion) αποδόσεων όλων των παικτών γίνεται στην ίδια μονάδα και ότι αυτές είναι δυνατόν να μεταφερθούν χωρίς απώλειες από τον έναν παίκτη στον άλλο. 1.4 Δίωξη- Αποφυγή (Pursuit- Evasion) Τα παίγνια Δίωξης-Αποφυγής (Pursuit- Evasion Game PEG), παραλλαγές των οποίων αναφέρονται ως κλέφτες και αστυνόμοι, είναι μια οικογένεια προβλημάτων, που εντάσσονται στη θεωρία παιγνίων, δηλαδή στα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών, όπου η μία ομάδα προσπαθεί να εντοπίσει τα μέλη μιας άλλης ομάδας σε ένα προκαθορισμένο περιβάλλον. Διώκτες-Ρομπότ (πρώτη ομάδα) δημιουργούν και ακολουθούν στρατηγικές με στόχο τον εντοπισμό και τη σύλληψη Διωκόμενων- Ρομπότ (δεύτερη ομάδα). Συστηματική έρευνα ξεκίνησε την δεκαετία του 80, όπου εισήχθη η αναζήτηση των αντιπάλων με βάση τη θεωρία των γράφων [16], [17]. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί είτε σε συνεκτικό γράφο, είτε σε επιφάνεια με κελιά. Σε ένα τυπικό παράδειγμα με αναπαράσταση σε γράφο οι διώκτες και οι διωκόμενοι καταλαμβάνουν θέσεις (κόμβους στη θεωρία γραφημάτων) ενός γραφήματος. Εάν ένας διώκτης καταλάβει τον ίδιο κόμβο με τον διωκόμενο, ο διωκόμενος συλλαμβάνεται και απομακρύνεται από το γράφημα. Το ερώτημα που συνήθως τίθεται είναι: πόσο μεγάλο πλήθος διωκτών είναι αναγκαίο για να εξασφαλιστεί η ενδεχόμενη σύλληψη όλων ή ενός διωκόμενου. Ένα παιχνίδι Δίωξης-Αποφυγής λοιπόν, αποτελείται από δύο κατ' ελάχιστον παίκτες: έναν διώκτη και ένα διωκόμενο. Ο διώκτης προσπαθεί να συλλάβει τον διωκόμενο, με μια έννοια, ενώ ο διωκόμενος προσπαθεί να αποτρέψει αυτή τη σύλληψη. Υπάρχουν αναρίθμητες πιθανές παραλλαγές του προβλήματος Δίωξης- Αποφυγής, [18], [19], [20], [21], αν και τείνουν να έχουν πολλά κοινά στοιχεία μεταξύ τους. Στην βιβλιογραφία τα άρθρα θα μπορούσαν να ταξινομηθούν με βάση μια σειρά από διαφορετικά κριτήρια, δηλαδή τα διαφορετικά παραμετρικά στοιχεία του προβλήματος. Για παράδειγμα: το χώρο στον οποίο εκτυλίσσεται το παίγνιο (δηλαδή αν βρισκόμαστε σε γράφημα ή σε συνεχή χώρο όπως ο γεωμετρικός χώρος), τη σχέση μεταξύ του πλήθους των δύο αντίπαλων ομάδων ρομπότ, την ορατότητα 22

25 1.4.1 Χαρακτηριστικά παράδειγμα PEG των διωκτών-ρομπότ, τα εμπόδια στο επίπεδο, το σχήμα του επιπέδου, την ταχύτητα των ρομπότ κ.α Χαρακτηριστικά παράδειγμα PEG Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός παραδειγμάτων PEG που θα μπορούσαμε να τα ονομάσουμε χαρακτηριστικά. Ένα τέτοιο είναι το γνωστό παιχνίδι "η ανθρωποκτόνος Σοφέρ" (Homicidal Chauffeur game [22]). Σε αυτό το παιχνίδι, ο οδηγός ενός αυτοκινήτου επιχειρεί να εξοντώσει πεζούς, οι οποίοι, βεβαίως, δεν επιθυμούν την εξόντωσή τους. Το αυτοκίνητο μπορεί να κινηθεί γρηγορότερα από τους πεζούς, αλλά οι πεζοί μπορούν να ελιχτούν καλύτερα από ότι το αυτοκίνητο. Το ερώτημα που συνήθως τίθεται είναι, ποια είναι η καλύτερη στρατηγική για τον διώκτη (αυτοκίνητο) και τον διωκόμενο (πεζό) που πρέπει να ακολουθήσουν προκειμένου καθένας να επιτύχει τους αντικρουόμενους στόχους. Υπάρχουν φυσικά πολλές άλλες παραλλαγές στο ίδιο παράδειγμα όπως: το "Λιοντάρι και ο άνθρωπος" (Lion and Man problem), [23], όπου το λιοντάρι θέλει να φάει τον άνθρωπο και ο άνθρωπος θέλει να σώσει τον εαυτό του. Άλλο παιγνίδι είναι το "Obstacle tag game" [24], [25], όπου ο παίκτης προσπαθεί να εντοπίσει και να επισημάνει τον αντίπαλο παίκτη, κ.α. Ένα παιγνίδι Δίωξης-Αποφυγής παρουσιάζει μια μαθηματική προσέγγιση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Ένα από αυτά είναι και το παιγνίδι που θα μας απασχολήσει στην παρούσα εργασία (διπλωματική). Αφορά την επιτήρηση μιας προκαθορισμένης περιοχής με τη χρήση κινητών ρομπότ. Εδώ ένα σμήνος Ρομπότ ενεργεί ως Διώκτης (Pursuit) και προσπαθεί να συλλάβει ανεπιθύμητους επισκέπτες (Εισβολείς) που εισβάλουν στον χώρο Συνάρτηση Κόστους Κάθε παίκτης της ομάδας μπορεί να είναι εφοδιασμένος με μία Συνάρτηση Ωφέλειας και συμπεριφέρεται κατά τρόπο τέτοιον ώστε να μεγιστοποιεί τη μέση τιμή της, ή μια Συνάρτηση Κόστους (cost function), την οποία θα πρέπει να την ελαχιστοποιεί [26]. Ανάλογα με την απόσταση από το βέλτιστο θα αυξάνεται ή θα μειώνεται η συνάρτηση κόστους την οποία μπορούμε να αναπαραστήσουμε με 23

26 1.4.2 Συνάρτηση Κόστους σχεδιάγραμμα ή πίνακα. Η συνάρτηση ωφέλειας μεταβάλλεται ανάλογα με την απόσταση του Διώκτη από τον Εισβολέα. Το αποτέλεσμα κάθε κίνησης δίνει κέρδη ή ζημίες στις συναρτήσεις ωφέλειας (ή κόστους) των παικτών, τα οποία ονομάζουμε Πληρωμή. Η πληρωμή κάθε παίκτη δίνεται από διαφορετική συνάρτηση (μια για κάθε παίκτη) η οποία όμως εξαρτάται από πολλές μεταβλητές ελέγχου. Η πληρωμή κάθε παίκτη εξαρτάται όχι μόνον από τις δικές του αποφάσεις αλλά και από τις αποφάσεις όλων των υπολοίπων. Να σημειώσουμε ότι πολλές φορές αποφάσεις (κινήσεις) που μοιάζουν λογικές μπορεί να οδηγήσουν σε καταστροφή μίας ομάδας, ενώ αποφάσεις φαινομενικά καταστροφικές να οδηγούν σε επιτυχία (βλέπε «θυσία» κομματιών στο σκάκι). Η έννοια λοιπόν της λύσης του προβλήματος ποικίλει. Μπορεί οι διάφορες λύσεις να είναι αντιφατικές μεταξύ τους και ανάλογα με την πραγματικότητα που απεικονίζει το μοντέλο, άλλη να γίνεται δεκτή και άλλη να απορρίπτεται. Βασική προϋπόθεση της κάθε παρτίδας, οι παίκτες, ανεξάρτητα από το σχέδιο δράσης τους, πρέπει να γνωρίζουν τις εναλλακτικές λύσεις και το πώς εκτιμούν οι συνεργάτες και οι αντίπαλοι τα κέρδη ή τις ζημίες από το παιχνίδι. Ακόμα, να υπάρχει απόλυτη δυνατότητα επικοινωνίας και συντονισμός κινήσεων σε κάθε ομάδα ρομπότ. Δηλαδή να υπάρχει η δυνατότητα να έρθουν σε συμφωνία και να πραγματοποιήσουν συμμαχίες με σκοπό την επίτευξη των στόχων. Η προσέγγιση όλων των θεωριών ωφέλειας είναι παρόμοιες. Ξεκινάνε από κάποια αξιώματα στα οποία οφείλουν να πειθαρχούν οι προτιμήσεις των παικτών για να αποδείξει ότι τότε κάθε παίκτης διαθέτει συνάρτηση ωφέλειας και συμπεριφέρεται έτσι ώστε να μεγιστοποιεί τη μέση τιμή της. Επομένως το πραγματικό αίτημα της θεωρητικής βάσης είναι ότι οι προτιμήσεις των παικτών πειθαρχούν στα αξιώματα αυτά. Αυτό μπορούμε να το κωδικοποιήσουμε με μία φράση «θεωρούμε ότι παίκτες είναι λογικοί». Αυτή η θεώρηση σημαίνει ότι η συμπεριφορά των παικτών διέπεται από παραπλήσιους τρόπους σκέψης και επομένως ότι ο κάθε παίκτης δέχεται ότι όσα εκείνος μπορεί να σκεφτεί και να υπολογίσει, τα ίδια μπορεί να σκεφτεί και η αντίπαλη ομάδα παικτών. Άρα οι παίκτες δε στηρίζουν τις ελπίδες τους στα 24

27 1.4.3 Μεταβιβάσιμη ωφέλεια ενδεχόμενα λάθη των αντίπαλων αλλά στις στρατηγικές που οι ίδιοι ακολουθούν στηριγμένοι στους πραγματικούς κανόνες του παιχνιδιού Μεταβιβάσιμη ωφέλεια Στα συνεργατικά παίγνια η έμφαση δίνεται στα πιθανά οφέλη από τη συνεργασία. Στα παίγνια αυτά, το πρόβλημα του ορθολογικού παίκτη είναι ο προσδιορισμός της τακτικής που οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό όφελος για όλους τους παίκτες. Η Μεταβιβάσιμη Ωφέλεια (transferable utility) [27] είναι μια άλλη πολύ σημαντική δυναμική που μπορεί να χρησιμοποιηθεί στα συνεργατικά παίγνια. Εδώ υπάρχει κοινή μονάδα ωφέλειας με την οποία οι παίκτες να αξιολογούν τις διάφορες εκβάσεις του παιχνιδιού, έτσι ώστε να είναι δυνατές παράπλευρες πληρωμές του ενός προς τον άλλον προκειμένου να κατανεμηθεί το όφελος οποιασδήποτε συμμαχίας Αντίληψη τυχαίας κίνησης Εισβολέα Ρομπότ Ο Εισβολέας μπορεί να γνωρίζει μόνο τη θέση του Διώκτη αλλά όχι και την τακτική που ακολουθεί. Αν είχε γνώση και της τακτικής κινήσεων θα αποκαλούσαμε τον ρόλο του Εισβολέα ως ρόλο της φύσης, ότι δηλαδή έχει πλήρη γνώση της κατάστασης του Διώκτη και αυτό του δίνει την δυνατότητα με κατάλληλες στρατηγικές να καταφέρει να αποφύγει ή έστω να καθυστερήσει την σύλληψή του. Να διευκρινίσουμε με τον όρο στρατηγική δεν εννοούμε την τακτική που ακολουθούν οι διώκτες πραγματοποιώντας μια ακολουθία κινήσεων, αλλά την κάθε ξεχωριστή κίνηση ενός Ρομπότ, που είναι αποτέλεσμα συγκεκριμένης «σκέψης». Η κάθε στρατηγική είναι μια κίνηση με στόχο ένα συγκριμένο αποτέλεσμα. Το ερώτημα που γεννάται είναι εάν μπορεί κάποια ομάδα ρομπότ να αντιληφθεί εκτός της θέσης και το είδος της τακτικής κινήσεων της αντίπαλης ομάδας. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα την άμεση εφαρμογή ετερογενούς τακτικής, με στόχο τη νίκη της ομάδας που αντιλήφθηκε τις στρατηγικές κινήσεων των αντιπάλων. Το αν είναι εφικτό αυτό, συνήθως κρίνεται από το χρονικό διάστημα παρακολούθησης του αντιπάλου, που απαιτείται για την κατανόηση της όποιας τακτικής. Για παράδειγμα, πόσες κινήσεις απαιτούνται για να ανακαλυφθεί η τυχαία 25

28 1.4.4 Αντίληψη τυχαίας κίνησης Εισβολέα Ρομπότ κίνηση των Εισβολέων; Αυτό θα βρεθεί μέσω κατανομών πιθανότητας. Η τυχαία κίνηση ακολουθεί κανονική κατανομή και θα το αντιληφθεί αυτό ο αντίπαλος με τον χρόνο παραμονής στα «κατάλληλα» κελιά μέσω της μέσης τιμής και της διασποράς. 26

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Ορισμός Προβλήματος 2.1 Εισαγωγή Το πρώτο στάδιο στη σχεδίαση ενός συστήματος αναφέρεται πάντα στη λεπτομερή περιγραφή του. Το σύστημα πρέπει να οριστεί με κάθε σαφήνεια ώστε να μην επιδέχεται καμία παρερμηνεία. Ακόμα, ορίζονται όλοι οι συντελεστές του συστήματος (παράμετροι, μεταβλητές κλπ.) που θα αναφερθούν στα επόμενα στάδια της σχεδίασης των επιμέρους βαθμίδων που αποτελούν το σύστημα. Το τρέχον κεφάλαιο αναφέρεται στο πρώτο στάδιο της σχεδίασης του συστήματος. Δίνεται μια λεπτομερή περιγραφή του προβλήματος, και προσδιορίζονται με κάθε σαφήνεια τα διάφορα παραμετρικά χαρακτηριστικά του. Ορίζονται οι συντελεστές του παιγνίου (οι παίκτες), ο ρόλος που καλούνται να διαδραματίσουν, η ευαισθησία τους να αντιλαμβάνονται τον χώρο γύρω τους, η δυνατότητα συνεργασίας μεταξύ τους και όλα τα ιδιαίτερα παραμετρικά χαρακτηριστικά τους. Ορίζεται το περιβάλλον πάνω στο οποίο θα διεξαχθεί το παίγνιο και ο τρόπος κίνησης των παικτών σε αυτό. 27

30 2.2 Ορισμός Προβλήματος 2.2 Ορισμός Προβλήματος Το παιχνίδι το οποίο θα σχεδιάσουμε και θα αναπτύξουμε, στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας, ανήκει στην κατηγορία των παιγνίων Δίωξης- Αποφυγής (PEG). Εδώ, μία ομάδα παικτών προσπαθεί να εντοπίσει τα μέλη μιας άλλης ομάδας, σε ένα προκαθορισμένο περιβάλλον, με στόχο τη σύλληψή των, ενώ τα μέλη της δεύτερης ομάδας προσπαθεί να αποφύγει ή να καθυστερήσει τη σύλληψη. Οι δύο ομάδες παικτών είναι σμήνη κινητών ρομπότ. Στην πρώτη ομάδα περιλαμβάνονται οι Διώκτες (Pursuers), που επιτηρούν μια προκαθορισμένη περιοχή και προσπαθούν να εντοπίσουν και να συλλάβουν τα μέλη της δεύτερης ομάδας που είναι οι Διωκόμενοι (Evaders), τους οποίους θα αποκαλούμε Εισβολείς λόγω της φύσης του παιγνιδιού. Οι Διώκτες-Ρομπότ (πρώτη ομάδα) δημιουργούν και ακολουθούν στρατηγικές με στόχο τον εντοπισμό και τη σύλληψη των Εισβολέων-Ρομπότ (δεύτερη ομάδα). Οι Εισβολείς-Ρομπότ (δεύτερη ομάδα), όταν αντιληφθούν την παρουσία Διωκτών προσπαθούν να τους αποφύγουν. Οι κινήσεις όλων των ρομπότ είναι ίδιες σε ταχύτητα (ίδιο βήμα) και έχουν κατεύθυνση οριζόντια ή κάθετη. και όχι διαγώνια Διώκτες Η πρώτη ομάδα παικτών είναι η ομάδα των Διωκτών, που προσπαθεί να εντοπίσει και να αιχμαλωτίσει τα μέλη της αντίπαλης ομάδας. Το πλήθος των Διωκτών-Ρομπότ, που στο εξής θα τα αναφέρουμε ως Διώκτες, είναι μεταβλητό (P=2,...n), και εξαρτάται από την στρατηγική που ακολουθείται για τον εντοπισμό και τη σύλληψη των παικτών της αντίπαλης ομάδος. Είναι όμως πάντα περισσότεροι από ένας ( P 2 ). Ο μέγιστος αριθμός των διωκτών εξαρτάται από τρεις παραμέτρους: το πλήθος των μελών της αντίπαλης ομάδας, τον βαθμό βεβαιότητας στον εντοπισμό των και την ταχύτητα σύλληψής των. Οι Διώκτες κινούνται σε περιττές χρονικές στιγμές, με βήμα ένα κελί ανά χρονική στιγμή, οριζόντια ή κάθετα. 28

31 2.2.2 Εισβολείς Εισβολείς Η δεύτερη ομάδα παικτών είναι οι Διωκόμενοι (Evader) ή Εισβολείς Ρομπότ, που στο εξής θα τους αναφέρουμε ως Εισβολείς. Το πλήθος της ομάδος των Εισβολέων είναι μεταβλητό αλλά δεν εξαρτάται από καμία παράμετρο. Έχει απλά να κάνει με την πολυπλοκότητα που θέλουμε να δώσουμε στο παιχνίδι. Είναι μεταβλητό Ε=1,2, m, και καθορίζεται συνήθως στην αρχή του προγράμματος. Οι Εισβολείς κινούνται σε άρτιες χρονικές στιγμές, οριζόντια ή κάθετα με μεταβλητό βήμα Περιβάλλον Το Περιβάλλον, πάνω στο οποίο θα εξελιχθεί το παιχνίδι, είναι εξαιρετικά κρίσιμο στην πολυπλοκότητα του παιγνιδιού. Μπορεί να είναι από απλό, γεωμετρικά καθορισμένο και καθαρό από εμπόδια, μέχρι αρκετά πολύπλοκο, όπως να μπορεί να πάρει οποιοδήποτε σχήμα, να προστεθούν εμπόδια τα οποία δυναμικά θα μεταβάλλονται, να υπάρχουν λόφοι και κτίσματα (τρισδιάστατη επιφάνεια), κ.α.. Στην δική μας εφαρμογή επιλέξαμε ένα περιβάλλον, αυστηρά καθορισμένο, γεωμετρικά ορισμένο, καθαρό και χωρίς εμπόδια. Είναι μία δυσδιάστατη παραλληλόγραμμη επιφάνεια, με ορατά όρια και δεν περιέχει εμπόδια. Το μέγεθος της επιφάνειας ορίζεται παραμετρικά ως M N. Συγκεκριμένα, αποτελείται από M κελιά στην οριζόντια διάσταση, επί Ν κελία στην κατακόρυφη. Σε κάθε σημείο (κελί) της επιφάνειας μπορεί να βρίσκεται το πολύ ένα ρομπότ κάθε χρονική στιγμή και το σημείο αυτό καθορίζεται βάσει τετμημένης και τεταγμένης, δηλαδή, η θέση ενός ρομπότ, έστω i, είναι η (x, y ) i i σε συγκεκριμένο χρόνο. Στην συνέχεια της εργασίας το περιβάλλον θα αναφέρεται και ως Επιφάνεια Παιγνίου ή ως Επιφάνεια Δράσης ή ως Επιφάνεια. Στο σχήμα 2.2, φαίνεται τμήμα της δυσδιάστατης Επιφάνειας, διαστάσεων M N, ( ), κελιών. Η επιφάνεια που χρησιμοποιήθηκε είχε διαστάσεις 1000x600 pixels. Το κάθε ρομπότ, για καλύτερη ευκρίνεια, το απεικονίσαμε με 5x5 pixels. Αυτό δημιούργησε κελιά διαστάσεων 5x5 pixels, με συνέπεια η διαστάσεις της επιφάνειας να οριστεί σε: M N= , κελιά. 29

32 2.2.4 Ταχύτητα Μετακίνησης Στο σχήμα 2.1, φαίνεται η Επιφάνεια του παιγνίου των 1000x600 pixels, με διαστάσεις M N, ( ), κελιά. Οι κουκίδες αντιστοιχούν σε ρομπότ που καταλαμβάνουν ένα κελί έκαστο στο κέντρο ρόμβου (εύρος ευαισθησίας), με απόσταση ευαισθησίας S=10. Σχήμα 2.1. Επιφάνεια παιγνίου (των 1000x600 pixels), με διαστάσεις M κελιών. N= Ταχύτητα Μετακίνησης Η Ταχύτητα Μετακίνησης των ρομπότ, ορίζεται ως ο μέγιστος αριθμός των κελιών που ένα ρομπότ μπορεί να κινηθεί κατά μήκος ή πλάτος ή μιας ενιαίας σειράς, ανά χρονική στιγμή. Η χρονική στιγμή θα αναφέρεται ως Βήμα (Β). Στο ένα άκρο έχουμε την ταχύτητα μετακίνησης βήματος του ενός κελιού και στο άλλο άκρο την άπειρη ταχύτητα, η οποία επιτρέπει σε ένα Ρομπότ (εισβολέα ή διώκτη) να κινηθεί προς οποιονδήποτε κόμβο στο γράφημα εφ 'όσον υπάρχει ένας διάδρομος μεταξύ της αρχικής και τελικής θέσης που δεν περιέχει κόμβους που καταλαμβάνονται από άλλα ρομπότ. Προς χάριν απλούστευσης στην εργασία μας επιλέξαμε τα ρομπότ να κινούνται οριζόντια ή κάθετα. Ως ταχύτητα μετακίνησης (βήμα) επιλέγεται το ένα κελί (5x5 pixels) ανά χρονική στιγμή, (V=0,1). Επίσης για λόγους απλούστευσης οι διώκτες και οι εισβολείς δεν θα κινούνται ταυτόχρονα. Σε άρτιες χρονικές στιγμές θα κινούνται οι Εισβολείς ενώ σε περιττές χρονικές στιγμές οι Διώκτες. 30

33 2.2.5 Συνεργασία εντός των Ομάδων Συνεργασία εντός των Ομάδων Στα συνεργατικά παίγνια η έμφαση δίνεται στα πιθανά οφέλη από τη συνεργασία. Στα παίγνια αυτά, το πρόβλημα του ορθολογικού παίκτη είναι ο προσδιορισμός της στρατηγικής που οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό όφελος για όλους τους παίκτες. Η εργασία αυτή εντάσσεται στα συνεργατικά παιχνίδια. Το κάθε Ρομπότ γνωρίζει τη θέση των υπολοίπων μελών της δικής του ομάδας, και με βάση αυτήν την πληροφορία οργανώνονται οι στρατηγικές εντοπισμού και σύλληψης που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια. Τα μέλη της ομάδος των Διωκτών, όταν ενημερώνονται για την παρουσία Εισβολέα, ξεκινάνε την διαδικασία της καταδίωξης. Στα πλαίσια της συνέργειας, τα ρομπότ κινούνται συμπληρωματικά, δηλαδή κάθε ένα αναλαμβάνει διαφορετικό ρόλο με στόχο την βέλτιστη στρατηγική καταδίωξης με τους λιγότερους δυνατούς πόρους (διώκτες). Τα μέλη της ομάδος των Εισβολέων ενημερώνονται μεταξύ τους για τις θέσεις εντοπισμένων Διωκτών και κινούνται με γνώμονα την μεγιστοποίηση τις μεταξύ τους απόστασης Εύρος Ευαισθησίας Ως απόσταση μεταξύ δύο κελιών ορίζεται το άθροισμα των απόλυτων τιμών των διαφορών των τετμημένων και των τεταγμένων των δύο σημείων. Δηλαδή: d xi x j yi y j Απόσταση Ευαισθησίας S ορίζουμε την μέγιστη απόσταση, σε κελιά, που δύναται να αντιληφτεί ένα ρομπότ την παρουσία ενός αντίπαλου ρομπότ. Με βάση την απόσταση ευαισθησίας, γύρω από κάθε ρομπότ, δημιουργείται μια ρομβοειδής περιοχή πάνω στην οποία η παρουσία αντίπαλου ρομπότ γίνεται αντιληπτή. Την περιοχή αυτή την ορίζουμε ως Εύρος Ευαισθησίας (Sensing Range- SR) ή Ορατότητα των ρομπότ, και αναφέρεται ως η μέγιστη επιφάνεια, σε κελιά, που μπορεί να εντοπιστεί η παρουσία αντίπαλου ρομπότ. Ορίζεται δηλαδή ως η 31

34 2.2.6 Εύρος Ευαισθησίας επιφάνεια της οποίας τα κελιά έχουν απόσταση ίση ή μικρότερη της απόστασης ευαισθησίας S και είναι: SR {x K : d(x, x ) p } i i i Αυτό σχηματίζει έναν ρόμβο δεδομένης της αυστηρά ορισμένης κίνησης των ρομπότ, να κινούνται, κάθετα (πάνω - κάτω) ή οριζόντια (δεξιά - αριστερά) και όχι διαγώνια. Αν είχαμε και διαγώνια κίνηση τότε το εύρος ευαισθησίας θα κάλυπτε μια τετραγωνική επιφάνεια με κέντρο το ρομπότ. Σχήμα 2.2. Ρομπότ, σε τμήμα τετραγωνικής επιφάνειας, διαστάσεων M N, (= 20 20), με Απόσταση Ευαισθησίας S=4 και Εύρος Ευαισθησίας (SR) την σκιασμένη ρομβοειδή περιοχή. Το εύρος ευαισθησίας των ρομπότ, δεδομένης της ρομβοειδούς του μορφής, μπορεί να υπολογιστεί ως SR S S , κελιά. Στο Σχήμα 2.2, δίνεται το Εύρος Ευαισθησίας (σκιασμένη περιοχή - καφέ) ενός διώκτη (στο κέντρο της σκιασμένης περιοχής- μπλε), με απόσταση ευαισθησίας S 4 σε τετραγωνική επιφάνεια M=20. 32

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Εντοπισμός Εισβολέα 3.1 Εισαγωγή Το παίγνιο το οποίο καλούμαστε να σχεδιάσουμε αφορά δύο αντίπαλες ομάδες ρομπότ, τους Διώκτες και τους Εισβολείς, που έχουν ως στόχο τον εντοπισμό και την εξουδετέρωση της δεύτερης από την πρώτη ομάδα. Ως πρώτο βήμα, στην διαδικασία της σχεδίασης της εφαρμογής, έχουμε την ανάπτυξη στρατηγικών που με βεβαιότητα και ταχύτητα η ομάδα των Διωκτών ρομπότ θα εντοπίζει τους Εισβολείς ρομπότ. Η ταχύτητα και η βεβαιότητα εντοπισμού των εισβολέων συναρτάται με το πλήθος της ομάδος των Διωκτών, το εύρος ευαισθησίας τους και, βεβαίως, με τις στρατηγικές που ακολουθούνται. Πολλές προτάσεις με τεχνικές εντοπισμού διωκόμενου από διώκτες, έχουν δημοσιευτεί τα τελευταία χρόνια. Από τις πιο γνωστές είναι αυτές που βασίζονται στην Διαμερισματοποίηση κατά Voronoi [28]. 33

36 3.1 Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία προτείνονται δύο τεχνικές εντοπισμού Εισβολέων με ακραίες μεταξύ τους "συμπεριφορές", που βασίζονται στην τοποθέτηση των Διωκτών σε προκαθορισμένες περιοχές στην επιφάνεια Δράσης και σε αλγόριθμους περιπόλησης αυτών. Η πρώτη μέθοδος, Εντοπισμός με Σάρωση, βασίζεται τόσο στην σωστή τοποθέτηση των διωκτών στην Επιφάνεια δράσης όσο και σε στρατηγικές σάρωσης αυτής με στόχο την εποπτεία του συνόλου της επιφάνειας. Είναι μια Δυναμική προσέγγιση όπου ο εντοπισμός των εισβολέων γίνεται με βαθμό βεβαιότητας 1, σε πολυωνυμικό χρόνο, με χρήση τον ελάχιστο δυνατό αριθμό διωκτών. Η δεύτερη μέθοδος, Εντοπισμός με Τμηματοποίηση, βασίζεται στην βέλτιστη τοποθέτηση των Διωκτών στην επιφάνεια δράσης. Είναι μια Στατική μέθοδος. η οποία εξασφαλίζει την απόλυτη εποπτεία της επιφάνειας μέσα από την σωστή τμηματοποίηση της. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τον άμεσο εντοπισμό κάθε εισβολέα σε μηδέν βήματα, με τίμημα τον μεγάλο αριθμό διωκτών που απαιτεί. Οι Εισβολείς, και για τις δύο μεθόδους, «εισέρχονται» στην επιφάνεια του παιγνίου με τυχαίο τρόπο και κινούνται με στρατηγική αποφυγής, όταν αντιληφθούν την παρουσία Διώκτη, (Κεφάλαιο 4.5). Το πλήθος τους είναι παραμετρικό, ορίζεται στην αρχή του παιχνιδιού, και από αυτό εξαρτάται η έκβαση του παιγνιδιού. Οι Διώκτες τοποθετούνται αρχικά σε προκαθορισμένες θέσεις στην επιφάνεια δράσης. Για την δυναμική προσέγγιση, επιδίδονται σε στρατηγικές κινήσεις, που εξασφαλίζουν την πλήρη εποπτεία, ενώ για την στατική προσέγγιση, δεν κινούνται έχοντας εξασφαλίσει την πλήρη εποπτεία του χώρου. Η διαδικασία του εντοπισμού ολοκληρώνεται όταν ο εισβολέας βρεθεί εντός του εύρους ευαισθησίας ενός διώκτη. Ο διώκτης που εντόπισε εισβολέα, ενημερώνει όλα τα μέλη της ομάδος του για τον εντοπισμό με τις συντεταγμένες του Εισβολέα Ρομπότ και εδώ ολοκληρώνεται η πρώτη φάση για να αρχίσει η δεύτερη που αναφέρεται στην δίωξη και σύλληψη του εισβολέα (Κεφάλαιο 4). 34

37 3.2 Εντοπισμός με Σάρωση 3.2 Εντοπισμός με Σάρωση Η μέθοδος Εντοπισμού με Σάρωση, είναι μια δυναμική προσέγγιση που βασίζεται στην σάρωση όλης της επιφάνειας από ένα σύμπλεγμα διωκτών με τρόπο που να εξασφαλίζει τον βέβαιο εντοπισμό αντιπάλου σε πεπερασμένο χρόνο. Αρχικά, οι Διώκτες τοποθετούνται σε προκαθορισμένες θέσεις που υπολογίζονται, με βάση την απόσταση ευαισθησίας τους (S) και την ταχύτητα εντοπισμού που θέλουμε να πετύχουμε. Τοποθετούνται σε διατάξεις στήλης, με τρόπο που να έχουν την πλήρη εποπτεία μιας (τουλάχιστον) κάθετης γραμμής. Αυτό επιτυγχάνεται τοποθετώντας τους σε απόσταση d 2S 1 κάθετα μεταξύ τους. Έτσι, σε μια επιφάνεια M N, για την δημιουργία μιας συμπαγούς στήλης, δηλαδή μιας απόλυτα ελεγχόμενης στήλης (χωρίς αφύλακτα κελιά- "τρύπες"), ο αριθμός Διωκτών που απαιτείται είναι: M P 2S 1 Τη στήλη αυτή θα την ονομάσουμε Στήλη Εποπτείας. Στο σχήμα 3.1 δείχνεται η στήλη εποπτείας, σε τέσσερα στιγμιότυπα από την διαδικασία σάρωσης μιας επιφάνεια και απόσταση ευαισθησίας S=2, όπου υπολογίζονται P 40 / (2 2 1) 8 Διώκτες. Σχήμα 3.1. Στήλη εποπτείας τεσσάρων Διωκτών (P=4), σε επιφάνεια M και απόσταση Ευαισθησίας S=2. N= 35

38 3.2.1 Σάρωση με Μία Στήλη Εποπτείας Σάρωση με Μία Στήλη Εποπτείας Σχήμα 3.2. Σάρωση με Μία Στήλη 10 Διωκτών, σε επιφάνεια M N= , σε 3 στιγμιότυπα κατά τη διαδικασία της σάρωσης, από Αριστερά- προς- Δεξιά. 36

39 3.2.2 Πολλαπλές Στήλες Εποπτείας Με την Σάρωση με Μία Στήλη Εποπτείας οι Διώκτες σε διάταξη στήλης αρχίζουν, προγραμματισμένες κινήσεις. Κινούνται από αριστερά προς τα δεξιά, καθ' όλο το μήκος της επιφάνειας, και από δεξιά προς αριστερά, επαναλαμβανόμενα, σαρώνοντας έτσι όλο τον χώρο προκειμένου να εντοπίσουν Εισβολείς. Με τη διαδικασία αυτή ο εντοπισμός εισβολέα γίνεται με πιθανότητα 1. Στο Σχήμα 3.2. δείχνονται 3 στιγμιότυπα κατά τη διαδικασία της σάρωσης με μία στήλη εποπτείας σε επιφάνεια M S=10, όπου υπολογίζονται P 200 / (2 10 1) 10 Διώκτες. N= και με απόσταση ευαισθησίας Η ταχύτητα εντοπισμού ενός εισβολέα, με την διαδικασία της στήλης εποπτείας, συναρτάται με τις διαστάσεις της επιφάνειας. Ο μέγιστος αριθμός βημάτων που απαιτείται, για τον βέβαιο εντοπισμό εισβολέα, είναι ίσος με το μήκος της επιφάνειας (Β=Ν=120) Πολλαπλές Στήλες Εποπτείας Για τον εντοπισμό εισβολέων σε λιγότερα βήματα (μείωση χρόνου εντοπισμού), προσθέτουμε στήλες εποπτείας, πολλαπλασιάζοντας έτσι τον αριθμό των διωκτών. Με δυο στήλες εποπτείας, διπλασιάζεται ο αριθμός των διωκτών ενώ ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη σάρωση υποδιπλασιάζεται (Β=Ν/2). Κάθε στήλη εποπτείας ελέγχει πλέον την μισή επιφάνεια. Οι κινήσεις των δύο στηλών έχουν αντίθετη κατεύθυνση, ξεκινούν από τα δύο άκρα του χώρου και κινούνται αντίθετα μέχρι να συναντηθούν στην μέση του χώρου, για να αρχίσουν την κίνηση της επιστροφής. Η περιπόληση αυτή συνεχίζεται μέχρι τον εντοπισμό εισβολέα όπου ξεκινά η διαδικασία της σύλληψης. Για περεταίρω βελτίωση του χρόνου σάρωσης, προσθέτουμε διώκτες, οργανωμένους σε στήλες εποπτείας, ακολουθώντας την ίδια λογική. Χωρίζουμε την επιφάνεια δράσης σε τμήματα, ανάλογα με τον αριθμό των στηλών εποπτείας που θα σχηματίσουν οι διώκτες. Για το κάθε τμήμα την πλήρη εποπτεία εξασφαλίζει μία στήλη, η οποία σαρώνει την περιοχή ευθύνης της με την διαδικασία που περιγράψαμε πριν. Έτσι, χρειάζονται P n M / (2S 1) διώκτες, για να δημιουργήσουν n στήλες εποπτείας, που θα χωρίζουν την επιφάνεια σε ισάριθμα τμήματα, n=1,2,3,4, 37

40 3.2.2 Πολλαπλές Στήλες Εποπτείας Η ταχύτητα εντοπισμού είναι αντιστρόφως ανάλογη με το πλήθος των στηλών εποπτείας. Τα βήματα που απαιτούνται για μια πλήρη σάρωση όλης της επιφάνειας θα είναι ίσα με Β=Ν/n. Στο Σχήμα 3.3, δείχνονται τέσσερα στιγμιότυπα σε επιφάνειες M ( 40 40) κελιών, με σάρωση από διαφορετικό πλήθος Στηλών εποπτείας: (α) για n=1, (β) για n=2, (γ) για n=3, και (δ) για n=4. Κάθε στήλη εποπτείας, πλαισιώνεται από P=10 διώκτες, με ευαισθησία S=3. N (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 3.3. Τέσσερις επιφάνειες M N 40 40, με σάρωση από διαφορετικό πλήθος Στηλών εποπτείας 8 διωκτών με ευαισθησία S=2: (α) για n=1, (β) για n=2, (γ) για n=3, και (δ) για n=4. 38

41 3.2.2 Πολλαπλές Στήλες Εποπτείας Με βάση την πιο πάνω περιγραφή, δίνουμε στην συνέχεια τέσσερα παραδείγματα, με τις θέσεις των στηλών εποπτείας και την φορά κινήσεών τους για ισάριθμη διαμερισματοποίηση της επιφάνειας Δράσης: Μια στήλη, o Στήλη1: 0 N 0, Κίνηση: Αριστερά(Α)-Δεξιά(Δ)-Αριστερά(Α). Δύο στήλες, o Στήλη1: 0 N / 2 0, Κίνηση: ( ), o Στήλη2: N N / 2 1 N, Κίνηση: ( ). Τρεις στήλες, o Στήλη1: 0 N / 3 1 0, Κίνηση: ( ), o Στήλη2: 2 N / 3 N / 3 2 N / 3, Κίνηση: ( ), o Στήλη3: 2 N / 3 1 N 2 N / 3 1, Κίνηση: ( ). Τέσσερις στήλες, o Στήλη1: 0 N / 4 1 0, Κίνηση: ( ), o Στήλη2: N/ 2 N/ 4 N/ 2, Κίνηση: ( ), o Στήλη3: N / N / 4 N / 2 1, Κίνηση: ( ), o Στήλη4: N 3 N / 4 1 N, Κίνηση: ( ). Το πλήθος των αναγκαίων διωκτών εξαρτάται από τις στήλες εποπτείας, τις διαστάσεις της επιφάνειας και την ευαισθησία των διωκτών, δηλαδή: Για τα τέσσερα P n M / (2 S 1) προηγούμενα παραδείγματα, σε μία ορθογώνια επιφάνεια M N , με απόσταση ευαισθησία των διωκτών S=10, θα απαιτηθούν: με n=1, P=10 διώκτες, με n=2, P=20 διώκτες, με n=3, P=30 διώκτες, με n=4, P=40 διώκτες. Στο Σχήμα 3.4, δείχνονται τέσσερα στιγμιότυπα σε επιφάνεια M N κελιών με σάρωση 2 Στηλών εποπτείας 10 διωκτών έκαστη, με ευαισθησία S=10. Και στο Σχήμα 3.5, τέσσερα στιγμιότυπα με σάρωση 4 Στηλών εποπτείας. 39

42 3.2.2 Πολλαπλές Στήλες Εποπτείας Σχήμα 3.4. Τέσσερα στιγμιότυπα κατά τη διαδικασία της σάρωσης με δύο Στήλες Εποπτείας των 10 Διωκτών έκαστη, σε επιφάνεια M N και S=10. 40

43 3.2.2 Πολλαπλές Στήλες Εποπτείας Σχήμα 3.5. Τέσσερα στιγμιότυπα κατά τη διαδικασία της σάρωσης με 4 Στήλες Εποπτείας των 10 Διωκτών έκαστη, σε επιφάνεια M N και S=10. 41

44 3.2.3 Ο Παρατηρητής Η διαδικασία της περιπόλησης συνεχίζεται με τις επαναλαμβανόμενες κινήσεις των στηλών εποπτείας, μέχρι τον εντοπισμό εισβολέα. Ορίζουμε εντοπισμό, όταν Εισβολέας βρεθεί εντός του εύρους ευαισθησίας ενός Διώκτη, όπου και ενεργοποιείται η διαδικασία καταδίωξης που περιγράφεται στο κεφάλαιο που ακολουθεί. Ο Διώκτης που εντόπισε τον Εισβολέα γνωρίζει πλέον τις συντεταγμένες του και τις κοινοποιεί σε όλα τα μέλη της ομάδος του. Ταυτόχρονα εγκαταλείπει τη θέση του στην στήλη εποπτείας και αναλαμβάνει την "στενή" παρακολούθηση του εντοπισμένου Εισβολέα, ενώ συνεχίζει να ενημερώνει την ομάδα με τις όποιες αλλαγές στις συντεταγμένες του. Ο Διώκτης αυτός, που θα τον ονομάζουμε Παρατηρητή, οφείλει καταρχήν να μην χάσει την επαφή του με τον εισβολέα και ταυτόχρονα να επιδιώξει μεγαλύτερη προσέγγιση. Ο ρόλος του Διώκτη-Παρατηρητή ολοκληρώνεται με την σύλληψη του εισβολέα και επιστρέφει στα προηγούμενα καθήκοντά του. Δηλαδή ξαναπαίρνει τη θέση του στην στήλη εποπτείας και αρχίζει την περιπόληση με τη διαδικασία που περιγράψαμε. 3.3 Τμηματοποίηση της Επιφάνειας Η μέθοδος της Τμηματοποίησης, βασίζεται στην βέλτιστη τοποθέτηση των Διωκτών στην επιφάνεια δράσης, και επιτυγχάνεται με τη διαμερισματοποίηση της Επιφάνειας δράσης. Η μέθοδος αυτή, επιτρέπει την απόλυτη (ή σχεδόν απόλυτη) εποπτεία του χώρου, με αποτέλεσμα τον εντοπισμό κάθε εισβολέα, σε μηδέν βήματα, και για το λόγο αυτόν θα την αναφέρουμε και ως Στατική μέθοδο. Το τίμημα βέβαια του ελέγχου της επιφάνειας χωρίς την κίνηση των διωκτών είναι ο πολύ μεγάλος αριθμός διωκτών που απαιτεί. Για τον περιορισμό των διωκτών επιδιώκεται η βέλτιστη διαμερισματοποίηση του χώρου που ελαχιστοποιεί (ει δυνατόν μηδενίζει) τις επικαλύψεις των εύρων ευαισθησίας των διωκτών. 42

45 3.3 Τμηματοποίηση της Επιφάνειας Το ερώτημα λοιπόν που τίθεται είναι το πώς θα τοποθετήσουμε κατάλληλα τους διώκτες στην επιφάνεια δράσης ώστε να έχουμε πλήρη εποπτεία του χώρου αλλά και τον μικρότερο δυνατό αριθμό διωκτών. Δηλαδή, περιορισμός των διωκτών μέσα από την ελαχιστοποίηση των επικαλύψεων των εύρων ευαισθησίας, χωρίς βέβαια να δημιουργούνται "τρύπες" που θα έθεταν σε αμφιβολία τη βεβαιότητα εντοπισμού του εισβολέα. Στόχος της μεθόδου είναι ο διαμελισμός της επιφάνεια δράσης σε στοιχειώδη διαμερίσματα τα οποία θα βρίσκονται κάτω από τον απόλυτο έλεγχο (εποπτεία) των διωκτών του κέντρου τους. Τα στοιχειώδη διαμερίσματα έχουν τις διαστάσεις και το σχήμα των εύρων ευαισθησίας, είναι δηλαδή ρομβοειδή σχήματα με κέντρο τα κελιά των διωκτών (Σχήματα 2.1, 2.2). Η διαδικασία της τμηματοποίησης της επιφάνειας σε διαμερίσματα είναι η ακόλουθη. Αρχικά τοποθετούμε στο κέντρο της επιφάνειας τον πρώτο Διώκτη και με το ρομβοειδές εύρος ευαισθησίας του δημιουργούμε το διαμέρισμα του κέντρου. Στην συνέχεια χτίζουμε τον χώρο τοποθετώντας στα γειτονικά σε αυτόν κελιά, ρομβοειδή διαμερίσματα, με συντεταγμένες των κέντρων των ρόμβων (θέση Διώκτη) να υπολογίζονται πιο κάτω. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες κάθε κελιού,(x, y ) i i, τις διαστάσεις της ορθογώνιας επιφάνειας δράσης M N και την απόσταση ευαισθησίας κάθε διώκτη (S). Από αυτά τα δεδομένα, υπολογίζουμε τις θέσεις των κέντρων των ρομβοειδών διαμερισμάτων που αντιστοιχούν στις θέσεις των διωκτών, να είναι: M N ( xi, y ) i 2 ks, 2mS 2 2, όπου k, m Z με M M k 4S 4S, N N m 4S 4S και M N ( xi, y ) i (2k 1) S, (2m 1) S 2 2, όπου k, m Z με M 1 M 1 k 4S 2 2S 2, και N 1 N 1 m 4S 2 2S 2. 43

46 3.3 Τμηματοποίηση της Επιφάνειας Σχήμα 3.6. Ρομπότ, σε τμήμα της ορθογώνια επιφάνεια δράσης, διαστάσεων 20 20, με απόσταση ευαισθησίας S=4 και ρομβοειδές εύρος ευαισθησίας. Οι Διώκτες τοποθετούνται κατά αυτόν τον τρόπο και δημιουργούν ένα πυκνό πλέγμα ελεγχόμενων περιοχών. Στο Σχήμα 3.6 δείχνονται τμήματα της επιφάνειας με μερική κάλυψη. Για τον απόλυτο έλεγχο στον εντοπισμό εισβολέα, πρέπει να συνεχιστεί το κτίσιμο των «κομματιών» (διαμερίσματα) μέχρι την κάλυψη όλης της επιφάνειας. Ωστόσο, για τον πλήρη έλεγχο δεν μπορούμε να αποφύγουμε μικρές επικαλύψεις. Στο Σχήμα 3.7, δείχνεται ένα παράδειγμα ενός τμήματος επιφάνειας 30 30, με διώκτες σε διάταξη πλήρους ελέγχου. Διαπιστώνουμε ότι στα εύρη ευαισθησίας κάθε διώκτη υπάρχει επικάλυψη στα δύο ακραία κελιά, στις κάθετες κορυφές (μπλε κελιά), με τα αντίστοιχα κελιά των ευρών ευαισθησίας των δύο γειτονικών διωκτών. Η προσπάθεια περεταίρω μείωσης της επικάλυψης έχει ως τίμημα την παρουσία ακάλυπτων περιοχών. Με την κάλυψη όλης της επιφάνειας, η παρουσία εισβολέα γίνεται αμέσως αντιληπτή από έναν τουλάχιστον διώκτη αντίστοιχου διαμερίσματος. Ο Διώκτης αυτός ενημερώνει τα μέλη της ομάδος των Διωκτών και ξεκινά η φάση της καταδίωξης. 44

47 3.3 Τμηματοποίηση της Επιφάνειας Σχήμα 3.7. Τμήμα επιφάνειας 30 30, σε διάταξη πλήρους ελέγχου. Οι διώκτες με απόσταση ευαισθησίας S=4, τοποθετούνται στα κέντρα ρομβοειδών διαμερισμάτων (εύρη ευαισθησίας). Μπλε κελιά δείχνουν τις επικαλύψεις στα εύρη ευαισθησίας των διωκτών. Το πλήθος των αναγκαίων διωκτών για πλήρη εποπτεία στην διάταξη των στατικών Διωκτών, μπορούμε να την προσεγγίσουμε με τη σχέση: P M / (2S 1) 2 N / (2S 1) Όπως προαναφέραμε, το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου βρίσκεται στον απόλυτο έλεγχο της Επιφάνειας Δράσης, με τίμημα το μεγάλο μειονέκτημα της ανάγκης "επιστράτευσης" πολύ μεγάλου αριθμού διωκτών. Για να έχουμε μια αίσθηση του τιμήματος του μεγάλου αριθμού διωκτών να αναφερθούμε στο παράδειγμα της προηγούμενης προσέγγισης και να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Για την τετραγωνική επιφάνεια M N , και με απόσταση ευαισθησίας S=10, θα χρειαστούν P 200 / (2 10 1) / (2 10 1) 120 διώκτες. Συγκρίνοντας με το σενάριο της μιας στήλης (n=1), θα απαιτηθούν 12πλάσιος (=120/10) αριθμός διωκτών, ενώ το σενάριο των τριών στηλών (n=3), θα απαιτηθούν 4πλάσιος (=120/30) αριθμός διωκτών. 45

48 3.3 Τμηματοποίηση της Επιφάνειας 46

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Σύλληψη Εισβολέα 4.1 Εισαγωγή Η διαδικασία του εντοπισμού ολοκληρώνεται όταν Εισβολέας βρεθεί εντός του εύρους ευαισθησίας του Διώκτη, οπότε και αρχίζει η φάση της δίωξης για τη σύλληψη. Η διαδικασία της σύλληψης ολοκληρώνεται όταν Διώκτης Ρομπότ βρεθεί σε γειτονικό κελί ενός Εισβολέα και είναι η σειρά του να κινηθεί. Θεωρητικά όλα τα μέλη των ομάδων επικοινωνούν μεταξύ τους με αποτέλεσμα να γνωρίζουν τις μεταξύ τους θέσεις. Δηλαδή κάθε Διώκτης γνωρίζει τις συντεταγμένες της θέσης κάθε μέλους της ομάδας του. Ακόμα, από την διαδικασία του εντοπισμού, που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, έχουμε την πληροφορία, από τον διώκτη-παρατηρητή, σε συντεταγμένες σχετικά με την 47

50 4.2 Παραμετροποίηση θέσεως Εισβολέα παρουσία εισβολέα, την οποία κοινοποιούν οι Διώκτες μεταξύ τους. Να θυμίσουμε ότι ο διώκτης-παρατηρητής παραμένει στην καταδίωξη του εντοπισμένου Εισβολέα, επιδιώκοντας, καταρχήν να μην χάσει επαφή μαζί του και ταυτόχρονα να τον πλησιάσει, μέχρι να έρθει "βοήθεια" από τουλάχιστον ένα Διώκτη. Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναφερθήκαμε σε δύο μεθόδους εντοπισμού Εισβολέων: Τη μέθοδο Εντοπισμού με Σάρωση, που βασίζεται σε στρατηγικές σάρωσης με στόχο την εποπτεία του συνόλου της επιφανείας, (Δυναμική προσέγγιση) και τη δεύτερη μέθοδο, Εντοπισμός με Τμηματοποίηση, που βασίζεται στην βέλτιστη τοποθέτηση των Διωκτών στην επιφάνεια δράσης (Στατική μέθοδος). Ο εντοπισμός Εισβολέα από τους Διώκτες ολοκληρώνεται με την καταγραφή των συντεταγμένων του. Σε αυτό το κεφάλαιο, αφού ορίσουμε κάποια παραμετρικά χαρακτηριστικά της θέσης του εντοπισμένου εισβολέα, θα περιγράψουμε δύο προσεγγίσεις για τη σύλληψη εισβολέα που αντιστοιχούν στις δύο διαδικασίες εντοπισμού. Η πρώτη αναφέρεται στον Δυναμικό Εντοπισμό και η δεύτερη στον Στατικό. 4.2 Παραμετροποίηση θέσεως Εισβολέα Ένας Εισβολέας σε κάθε θέση του, προσδιορίζεται από οκτώ παραμετρικά χαρακτηριστικά. Τα χαρακτηριστικά αυτά, που αντιστοιχούν σε οκτώ νοητά ευθύγραμμα τμήματα, περιγράφονται ως ακολούθως: 1ο ευθύγραμμο τμήμα, είναι κάθετο, με αρχή το κελί του Εισβολέα και τέλος σε κελί του πάνω οριζόντιου ορίου της τετραγωνικής επιφάνειας. 2ο ευθύγραμμο τμήμα, είναι κάθετο, με αρχή το κελί του Εισβολέα και τέλος σε κελί του κάτω οριζόντιου ορίου της τετραγωνικής επιφάνειας. 3ο ευθύγραμμο τμήμα, είναι οριζόντιο, με αρχή το κελί του Εισβολέα και τέλος σε κελί του δεξιού κάθετου ορίου της επιφάνειας. 4ο ευθύγραμμο τμήμα, είναι οριζόντιο, με αρχή το κελί του Εισβολέα και τέλος σε κελί του αριστερού κάθετου ορίου της επιφάνειας. 5ο ευθύγραμμο τμήμα, είναι διαγώνιο, με αρχή το κελί του Εισβολέα και προεκτείνεται στο πρώτο τεταρτημόριο, αν θεωρήσουμε αρχή νοητών αξόνων το κελί στο οποίο βρίσκεται ο εισβολέας, έως το όριο. 48

51 6ο ευθύγραμμο τμήμα, είναι διαγώνιο, με αρχή το κελί του Εισβολέα και προεκτείνεται στο τρίτο τεταρτημόριο, έως το όριο. 7ο ευθύγραμμο τμήμα, διαγώνιο, με αρχή το κελί στο οποίο βρίσκεται ο Εισβολέας και προεκτείνεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, έως το όριο. 8ο ευθύγραμμο τμήμα, είναι διαγώνιο, έχει αρχή το κελί του Εισβολέα και προεκτείνεται στο τέταρτο τεταρτημόριο, έως το όριο. Στο Σχήμα 4.1, δείχνονται τα οκτώ ευθύγραμμα τμήματα (καφέ) ενός εισβολέα. Ξεκινούν από το κελί του Εισβολέα (κίτρινο) και επεκτείνονται μέχρι το τέλος της επιφάνειας. Στο σχήμα φαίνονται ακόμα και δύο διώκτες (μπλε). Με την κάθε κίνηση του Εισβολέα-ρομπότ η θέση των έξι από τα οκτώ ευθύγραμμα τμήματα αλλάζει, αφού κάθε χρονική στιγμή τα ευθύγραμμα τμήματα έχουν ως αρχή το κελί που βρίσκεται ο Εισβολέας. Σχήμα 4.1. Εισβολέας Ρομπότ (κίτρινο), τα 8 ευθύγραμμα τμήματα (καφέ) και δύο διώκτες (μπλε), σε τετραγωνικό τμήμα ( M N ) της επιφάνειας. 4.3 Από τον Δυναμικό Εντοπισμό στη Σύλληψη Όπως περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η διαδικασία της περιπόλησης (οριζόντια σάρωση ή δυναμική προσέγγιση) συνεχίζεται, μέχρι τον εντοπισμό εισβολέα. Όταν Εισβολέας βρεθεί εντός του εύρους ευαισθησίας ενός Διώκτη, γίνεται γνωστή η παρουσία του και οι συντεταγμένες του κοινοποιούνται σε όλα τα μέλη της 49

52 4.3.1 Ενεργοποίηση Επιδρομέων ομάδος του, από τον διώκτη που τον εντόπισε (Παρατηρητής). Και εδώ αρχίζει η διαδικασία της Σύλληψης. Να σημειωθεί ότι ο Παρατηρητής θα συνεχίσει να ενημερώνει τους διώκτες για κάθε νέα θέση του εισβολέα μέχρι την σύλληψη του εισβολέα, όπου και θα ξαναπάρει την θέση του στην στήλη εποπτείας. Ταυτόχρονα με το Διώκτη, και ο Εισβολέας αντιλαμβάνεται την παρουσία των διωκτών, αφού είναι και αυτός εφοδιασμένος με εύρος ευαισθησίας. Ο Εισβολέας που αντιλήφθηκε την παρουσία Διώκτη, ενημερώνει τα μέλη της ομάδος του με τις συντεταγμένες του ανεπιθύμητου επισκέπτη και προσπαθεί να απομακρυνθεί από αυτόν, δηλαδή να μεγιστοποιήσει την μεταξύ τους απόσταση. Η διαδικασία της σύλληψης περιλαμβάνει τρία βήματα: 1. ενεργοποίηση Επιδρομέων: συγκεκριμένοι διώκτες (επιδρομείς) παίρνουν εντολή για την δίωξη του εισβολέα. 2. ενεργοποίηση της συνάρτηση reachthelinearparts: οι επιδρομείς ενεργοποιούν το πρώτο μέρος του αλγορίθμου σύλληψης, που τους καθοδήγει να καταλάβουν στρατηγικές θέσεις (ευθύγραμμα τμήματα), 3. ενεργοποίηση της συνάρτηση reachtheevader: οι επιδρομείς που έχουν καταλάβει στρατηγικές θέσεις (ευθύγραμμα τμήματα), ενεργοποιούν το δεύτερο μέρος του αλγορίθμου σύλληψης, που τους οδηγεί στην τελική σύλληψη του Εισβολέα Ενεργοποίηση Επιδρομέων Αν ο εντοπισμός του εισβολέα έγινε κατά την κίνηση της στήλης εποπτείας, από αριστερά προς τα δεξιά, ονομάζεται Δεξιός Εντοπισμός. Αν έγινε κατά την αντίθετη κίνηση, από δεξιά προς αριστερά, Αριστερός Εντοπισμός. Σε κάθε εντοπισμό Εισβολέα, ενεργοποιείται ένας αριθμός διωκτών που αναλαμβάνουν τη δίωξη του εισβολέα, με πρώτο στόχο την κατάκτηση ισάριθμων ευθύγραμμων τμημάτων. Οι διώκτες αυτοί που αποσπώνται από την στήλη εποπτείας για την καταδίωξη του εισβολέα θα αποκαλούνται Επιδρομείς. 50

53 Επιδρομείς από μία Στήλη Εποπτείας Επιδρομείς από μία Στήλη Εποπτείας Στην περίπτωση μιας Στήλης Εποπτείας, για παιγνίδι με έναν Εισβολέα, μπορούν να ενεργοποιηθούν μέχρι και 5 Επιδρομείς, για να καταλάβουν ισάριθμα ευθύγραμμα τμήματα, με την διαδικασία που θα περιγράψουμε στην συνέχεια. Ως Επιδρομείς, ορίζονται διώκτες εκατέρωθεν του Παρατηρητή (πάνω και κάτω του παρατηρητή στη στήλη εποπτείας), εκτός και αν ο παρατηρητής είναι ο πρώτος ή ο τελευταίος διώκτης της στήλης εποπτείας. Σε αυτές τις περιπτώσεις θα ενεργοποιηθούν μόνο από κάτω η από πάνω του παρατηρητή, αντίστοιχα. Στην περίπτωση πολλών εισβολέων επιβάλλεται η ενεργοποίηση του ελάχιστου αριθμού των διωκτών, δηλαδή 2 Επιδρομείς, για τους λόγους που θα εξηγήσουμε αργότερα. Οι επιδρομείς θα κατευθυνθούν προς τα κοντινότερα, σε αυτούς, ευθύγραμμα τμήματα, που θα πρέπει να είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Συγκεκριμένα: στον Δεξιό εντοπισμό, οι επιδρομείς θα κατευθυνθούν προς τα ευθύγραμμα τμήματα 1ο, 2ο,4ο, 6ο και 7ο, εάν έχουμε παιγνίδι με έναν εισβολέα ή σε δύο (2) από αυτά, σε παιγνίδι με πολλούς Εισβολείς. στο Αριστερό εντοπισμό, οι επιδρομείς θα κατευθυνθούν προς τα ευθύγραμμα τμήματα 1ο, 2ο,3ο, 5ο και 8ο, εάν έχουμε παιγνίδι με έναν εισβολέα ή σε δύο από αυτά, σε παιγνίδι με πολλούς Εισβολείς. Οι επιδρομείς θα οδηγηθούν προς τα ευθύγραμμα τμήματα με τη βοήθεια της συνάρτησης reachthelinearparts, που θα παρουσιάσουμε στην συνέχεια Επιδρομείς από Δύο Στήλες Εποπτείας Στον εντοπισμό εισβολέων από περισσότερες της μίας στήλες εποπτείας, ο εισβολέας θα βρεθεί μεταξύ δύο αντικριστών στηλών ή μίας και του ορίου της επιφάνειας (δεξιό ή αριστερό). Στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή όταν ο εισβολέας θα εντοπιστεί μεταξύ δύο στηλών, θα ενεργοποιηθούν 5 Επιδρομείς, από την στήλη του παρατηρητή και 3 από την απέναντι στήλη, για να καταλάβουν ισάριθμα ευθύγραμμα τμήματα, διαφορετικά μεταξύ τους. Στην περίπτωση πολλών εισβολέων θα ενεργοποιηθούν 2 Επιδρομείς, από την στήλη του παρατηρητή και 2 από την άλλη στήλη, για τους λόγους που θα 51

54 4.3.2 Συνάρτηση reachthelinearparts() εξηγήσουμε αργότερα. Στην δεύτερη περίπτωση, δηλαδή όταν ο εισβολέας θα εντοπιστεί μεταξύ μίας στήλης και του ορίου της επιφάνειας, θα ισχύσει ότι και με τον εντοπισμό από μία στήλη Συνάρτηση reachthelinearparts() Το πρώτο μέρος του αλγορίθμου σύλληψης, που θα αναφέρεται ως συνάρτηση reachthelinearparts(), σκοπό έχει να ενεργοποιήσει τους Επιδρομείς διώκτες, με συγκεκριμένες στρατηγικές κινήσεις να κατευθυνθούν και να κατακτήσουν τα νοητά ευθύγραμμα τμήματα του εισβολέα που αναφέραμε παραπάνω. Η ολοκλήρωση του αλγορίθμου, δηλαδή η κατάκτηση των ευθυγράμμων τμημάτων, γίνεται σε πολυωνυμικό χρόνο. Η συνάρτηση reachthelinearparts(), που παρουσιάζεται σε Ψευδοκώδικα στον Πίνακα 1, προτείνει τις κατάλληλες κινήσεις, στον επιδρομέα που την ενεργοποιεί, που οδηγούν στην μείωση της μέσης απόστασης του διώκτη από τα διαθέσιμα ευθύγραμμα τμήματα του εισβολέα. Αναλυτικότερα: Αν, d d d d n n old, και d d ' d '... d ' n 1 2 n new, Τότε, μεγιστοποίηση της συνάρτησης k dold dnew (κίνηση που θα μεγιστοποιεί τη διαφορά τους). Όπου διαθέσιμο ευθύγραμμο τμήμα. d i, η απόσταση του διώκτη από το i Αν οριστούν 2 x 5 επιδρομείς θα κατευθυνθούν στα κοντινότερα σε αυτούς, ευθύγραμμα τμήματα, που θα πρέπει να είναι διαφορετικά μεταξύ τους. 52

55 4.3.2 Συνάρτηση reachthelinearparts() Πίνακας 1. Πρώτο μέρος του αλγορίθμου σε Ψευδοκώδικα: συνάρτηση reachthelinearparts(). Στα Σχήματα 4.2 (α,β) βλέπουμε το αποτέλεσμα της ενεργοποίησης της συνάρτησης reachthelinearparts(), από δύο επιδρομείς σε αριστερό εντοπισμό, με σκοπό να κατακτήσουν τα νοητά ευθύγραμμα τμήματα του εισβολέα. 53

56 (α) (β) Σχήμα 4.2. (α) ενεργοποίηση της συνάρτησης reachthelinearparts(), από δύο επιδρομείς (μπλε), σε αριστερό εντοπισμό, για την κατάκτηση ευθύγραμμων τμημάτων, (β) κατάκτηση των ισάριθμων ευθύγραμμων τμημάτων. Το πρώτο μέρος του αλγορίθμου ολοκληρώνεται, για κάθε επιδρομέα ανεξάρτητα, με την κατάκτηση ευθύγραμμου τμήματος. Από τη στιγμή που ο επιδρομέας θα έχει επιτύχει τον πρώτο στόχο του, δηλαδή θα έχει κατακτήσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, είτε βρίσκεται σε αυτό, είτε βρίσκεται σε απόσταση ένα κελί από αυτό και είναι η σειρά κίνησής του, περνά στη δεύτερη φάση, στο δεύτερο μέρος του αλγορίθμου. Ο διώκτης αυτός στάματα να κινείται βάσει της συνάρτησης reachthelinearparts() και ενεργοποιεί τη συνάρτηση reachtheevader() που θα αναλύσουμε στην συνέχεια Συνάρτηση reachtheevader() Από τη στιγμή που έχει ολοκληρωθεί, για κάποιο Επιδρομέα, ο πρώτος στόχος, δηλαδή έχει κατακτήσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, ενεργοποιεί το δεύτερο μέρος του αλγορίθμου που είναι η Συνάρτηση reachtheevader(). Να επαναλάβουμε ότι αυτό αφόρα τους Επιδρομείς που έχουν κατακτήσει ευθύγραμμο τμήμα, όλοι οι υπόλοιποι συνεχίζουν με τη συνάρτηση του πρώτου μέρους. 54

57 4.3.3 Συνάρτηση reachtheevader() Πίνακας 2. Συνάρτηση reachtheevader().δεύτερο μέρος του αλγορίθμου σε Ψευδοκώδικα. Η συνάρτηση reachtheevader(), στόχο έχει να κινεί τους διώκτες-επιδρομείς με τρόπο ώστε να παραμείνουν στην περιοχή των ευθυγράμμων τμημάτων και να περιορίσουν την απόστασή τους από τον εισβολέα. Αναλυτικότερα, ο αλγόριθμος, που περιγράφεται και σε ψευδοκώδικα στον πίνακα 4.2, ακόλουθα τέσσερα βήματα: μπορεί απλουστευμένα να αναπαρασταθεί από τα εάν βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο ή κάθετο ευθύγραμμο τμήμα να κινούνται προς το κελί που μειώνει την απόσταση από τον εισβολέα κατά ένα βήμα, εάν βρίσκονται σε διαγώνιο σε απόσταση ένα (1) να μένουν ακίνητοι, εάν βρίσκονται σε απόσταση ένα (1) από οριζόντιο ή κάθετο να μετακινούνται πάνω σε αυτό, ενώ 55

58 4.3.3 Συνάρτηση reachtheevader() εάν βρίσκονται σε απόσταση ένα (1) από διαγώνιο ευθύγραμμο τμήμα, να κινούνται σε κελί που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα και μειώνεται η απόσταση από τον εισβολέα κατά ένα (1). Η διαδικασία της δίωξης με βάση τον δεύτερο αλγόριθμο, για κάθε διώκτη- Επιδρομέα που κατακτά ένα ευθύγραμμο τμήμα, θεωρείται περαιωμένη και σταματά όταν ένας από τους διώκτες βρεθεί σε απόσταση ενός κελιού από τον εισβολέα και είναι η σειρά κίνησής του. Ο στόχος των ενεργοποιημένων διωκτών (Επιδρομείς και Παρατηρητής) θεωρείται ολοκληρωμένος. Τότε οι επιδρομείς και ο Παρατηρητής επιστρέφουν στον αρχικό τους ρόλο που είναι η σάρωση της περιοχής για τον εντοπισμό εισβολέα. Δηλαδή ξαναπαίρνουν τις θέσεις τους στην στήλη εποπτείας και αρχίζει την περιπόληση με την διαδικασία που περιγράψαμε. Στα Σχήματα 4.3 βλέπουμε: (α) το αποτέλεσμα της ενεργοποίησης της συνάρτησης reachthelinearparts(), σε 8 επιδρομείς να έχουν κατακτήσει ισάριθμα ευθύγραμμα τμήματα του εισβολέα, και (β) την ενεργοποίηση της συνάρτησης reachtheevader() που έχει ως στόχο την παραμονή των διωκτών στην περιοχή των ευθυγράμμων τμημάτων και τον περιορισμό της μεταξύ τους απόστασης από τον εισβολέα. (α) (β) Σχήμα 4.3. (α) 8 επιδρομείς (μπλε) να έχουν κατακτήσει ισάριθμα ευθύγραμμα τμήματα (καφέ) εισβολέα (κίτρινο), και (β) την ενεργοποίηση της συνάρτησης reachtheevader() με στόχο την παραμονή των διωκτών πάνω στα ευθύγραμμα τμήματα και τον περιορισμό της απόστασής τους από τον εισβολέα. 56

59 4.3.4 Ολοκλήρωση του Αλγορίθμου Ολοκλήρωση του Αλγορίθμου Ο συνδυασμός των δύο μερών του αλγορίθμου εξασφαλίζει με επιτυχία την εξουδετέρωση των Εισβολέων-ρομπότ, ενεργοποιώντας κάθε φορά τον ελάχιστο αριθμό Διωκτών-ρομπότ. Ο ελάχιστος αριθμός Διωκτών-ρομπότ που χρειάζονται, για τη βέβαιη σύλληψη των Εισβολέων, σε πολυωνυμικό χρόνο χειρότερης περίπτωσης, είναι δύο (P=2). Στην οριακή περίπτωση των δύο διωκτών, θα πρέπει να έχουν κατακτήσει ένα ευθύγραμμο τμήμα το κάθε ένα και με βασική προϋπόθεση ότι τα συγκεκριμένα τμήματα δε θα έχουν κοινό άξονα. Στην περίπτωση όπου υπάρχει μόνον ένας Διώκτης (P=1) ο εισβολέας έχει τη δυνατότητα να βρίσκεται συνεχώς και επ' άπειρον σε απόσταση από τον μοναδικό διώκτη, με ελάχιστη τιμή απόστασης d=2, οποιαδήποτε τακτική και αν ακολουθήσει ο διώκτης, δηλαδή να παραμένει ασύλληπτος. Ο μοναδικός Διώκτης σε ευθύγραμμο τμήμα απλά θα προσπαθεί να βελτίωση την θέση του, πλησιάζοντας τον εισβολέα, αλλά μόνο από τυχαιότητα θα μπορούσε να τον συλλάβει. Εάν τώρα οι εισβολείς είναι εφοδιασμένοι με στρατηγική αποφυγής Διωκτών, η σύλληψη καθίσταται αδύνατη. Με την σύλληψη του διωκόμενου εισβολέα, ο στόχος των ενεργοποιημένων διωκτών (Επιδρομείς και Παρατηρητής) θεωρείται ολοκληρωμένος. Τότε οι επιδρομείς και ο Παρατηρητής επιστρέφουν στον αρχικό τους ρόλο. Δηλαδή ξαναπαίρνουν τις θέσεις τους στην στήλη εποπτείας ή στα διαμερίσματα που ελέγχουν και ξαναρχίζουν τη ρουτίνα της επόπτευσης της περιοχής για τον εντοπισμό νέο εισβολέα. Να σημειώσουμε εδώ ότι κατά την διάρκεια μιας δίωξης εισβολέα, από τον Παρατηρητή και τους επιδρομείς, τα υπόλοιπα μέλη της στήλης ή των στηλών εποπτείας διατηρούν τις θέσεις τους και συνεχίζουν την ρουτίνα της περιπόλησης. Προφανές είναι, ότι η απομάκρυνση του παρατηρητή και των επιδρομέων, από την θέση τους, θα έχει δημιουργηθεί ρωγμή στην στήλη/ες εποπτείας με αποτέλεσμα να μπορεί ένας εισβολέας να διαπεράσει την στήλη χωρίς να εντοπιστεί. Αυτός είναι και ο λόγος για τον περιορισμό του πλήθους των επιδρομέων στο ελάχιστο, για παιγνίδια με περισσότερους εισβολείς. Στα Σχήματα 4.4 βλέπουμε τέσσερα στιγμιότυπα κατά τη διαδικασία της σύλληψη εισβολέα. Δύο επιδρομείς, μετά από αριστερό εντοπισμό, συλλαμβάνουν εισβολέα σε διαδοχικά στάδια. 57

60 4.3.4 Ολοκλήρωση του Αλγορίθμου Σχήμα 4.4. Τέσσερα στιγμιότυπα κατά τη διαδικασία της σύλληψη εισβολέα. Δύο επιδρομείς (μπλε), μετά από αριστερό εντοπισμό, καταδιώκουν εισβολέα (κόκκινο) και τον συλλαμβάνουν. 58

61 4.3.4 Ολοκλήρωση του Αλγορίθμου 59

62 Σχήμα 4.5. Δώδεκα στιγμιότυπα κατά τη διαδικασία της σύλληψη εισβολέα. Δύο επιδρομείς (μπλε), μετά από δεξιό και αριστερό εντοπισμό, καταδιώκουν εισβολέα (κόκκινο) και τον συλλαμβάνουν. 4.4 Από τον Στατικό Εντοπισμό στη Σύλληψη Με τον εντοπισμό εισβολέα με τη μέθοδο της Τμηματοποίησης της Επιφάνειας, που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, αρχίζει η διαδικασία της σύλληψης. Αυτή η διαδικασία έχει μικρές διαφοροποιήσεις από τον εντοπισμό με την διαδικασία της περιπόλησης και αυτές θα περιγράψουμε στην συνέχεια. Στην Στατική μέθοδο εντοπισμού Εισβολέα, έχουμε την Τμηματοποίηση της επιφάνειας σε ρομβοειδή διαμερίσματα με κέντρο το κελί του διώκτη που εποπτεύει το διαμέρισμα. Κάθε ένα διαμέρισμα βρίσκεται στο κέντρο μιας τετράδας διαμερισμάτων με τους αντίστοιχους διώκτες στο κέντρο (όπως φαίνεται και στο Σχήμα 4.6). Έτσι ένας διώκτης-παρατηρητής, ο οποίος θα έχει εντοπίσει εισβολέα, θα βρίσκεται στη μέση τεσσάρων γειτονικών διαμερισμάτων, δηλαδή στη μέση τεσσάρων γειτόνων Διωκτών. 60

63 4.4 Από τον Στατικό Εντοπισμό στη Σύλληψη Σχήμα 4.6. Ρομπότ, σε τμήμα ορθογώνιας επιφάνειας δράσης ( ), με S=4 και ρομβοειδές εύρος ευαισθησίας (σκιασμένη περιοχή). Κάθε διαμέρισμα βρίσκεται στο κέντρο μιας τετράδας διαμερισμάτων με τους αντίστοιχους διώκτες στο κέντρο. Ο Παρατηρητής ενημερώνει την ομάδα των Διωκτών για τον εντοπισμό του Εισβολέα, κοινοποιώντας τις συντεταγμένες του. Ωστόσο, μόνο οι τέσσερις γείτονες Διώκτες ορίζονται ως Επιδρομείς και αποσπώνται από τις θέσεις εποπτείας, στο κέντρο των διαμερισμάτων τους, και αναλαμβάνουν τον ρόλο της δίωξης, με στόχο την σύλληψη εισβολέα. Η διαδικασία της σύλληψης έχει δύο φάσεις: 1. συνάρτησης reachthelinearparts: οι επιδρομείς θα κατευθυνθούν προς τα κοντινότερα σε αυτούς, ευθύγραμμα τμήματα (διαφορετικά μεταξύ τους), όπως παρουσιάσαμε προηγουμένως. Από τη στιγμή που κάποιος Επιδρομέας έχει ολοκληρώσει τον πρώτο στόχο, δηλαδή έχει κατακτήσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, περνάει στην δεύτερη φάση, ενεργοποιώντας τον δεύτερο αλγόριθμο. Οι υπόλοιποι Επιδρομείς συνεχίζουν με τη πρώτη συνάρτηση μέχρι να φτάσουν σε ευθύγραμμο τμήμα. 2. συνάρτηση reachtheevader(): το δεύτερο μέρος του αλγόριθμού, που έχει διπλό στόχο: να εξασφαλίσει στους διώκτες-επιδρομείς την παραμονή τους στην περιοχή των ευθυγράμμων τμημάτων και να περιορίσουν την απόστασή τους από τον Εισβολέα, μέχρι την συνάντησή τους με τον Εισβολέα (σύλληψη). 61

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΙ. Elaine Rich «ΤΝ είναι η μελέτη του πως να κάνουμε τους Η/Υ να κάνουν πράγματα για τα οποία, προς το παρόν, οι άνθρωποι είναι καλύτεροι.

ΟΡΙΣΜΟΙ. Elaine Rich «ΤΝ είναι η μελέτη του πως να κάνουμε τους Η/Υ να κάνουν πράγματα για τα οποία, προς το παρόν, οι άνθρωποι είναι καλύτεροι. Τι ειναι τελικά; ΟΡΙΣΜΟΙ Elaine Rich «ΤΝ είναι η μελέτη του πως να κάνουμε τους Η/Υ να κάνουν πράγματα για τα οποία, προς το παρόν, οι άνθρωποι είναι καλύτεροι.» Marvin Minsky «ΤΝ είναι η επιστήμη που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 8: Αναζήτηση με Αντιπαλότητα Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Κεφάλαιο 2 ο

ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Κεφάλαιο 2 ο ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Κεφάλαιο 2 ο Η Επιστήμη της Διοίκησης των Επιχειρήσεων 2.1. Εισαγωγικές έννοιες Ο επιστημονικός κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Λύσεις παιγνίων 2 Επιλέγοντας στρατηγική... Δεδομένου ενός παιγνίου, τι στρατηγική πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) 1 Προέλευση και ιστορία της Επιχειρησιακής Έρευνας Αλλαγές στις επιχειρήσεις Τέλος του 19ου αιώνα: βιομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα αποτελούνται από πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής.

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Ιστορική αναδρομή 1713 Ο Francis Waldegrave, σε ένα γράμμα του, παρουσίασε την πρώτη μικτή στρατηγική μεγίστου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2 Θεωρία παιγνίων: Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 3 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία παιγνίων: 3 Δεκεμβρίου 2012 1 / 21 -best responses Κυνήγι ελαφιού: Δυο κυνηγοί ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους

Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους Ο θεμελιωτής της θεωρίας χωροθέτησης της βιομηχανίας ήταν ο Alfred Weber, την οποία αρχικά παρουσίασε ο μαθηματικός Laundhart (1885). Ο A. Weber (1868-1958)

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

22/2/2014 ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Επιστήμη Διοίκησης Επιχειρήσεων. Πότε εμφανίστηκε η ανάγκη της διοίκησης;

22/2/2014 ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Επιστήμη Διοίκησης Επιχειρήσεων. Πότε εμφανίστηκε η ανάγκη της διοίκησης; ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Πότε εμφανίστηκε η ανάγκη της διοίκησης; Κεφάλαιο 2 ο Η επιστήμη της Διοίκησης των Επιχειρήσεων Όταν το άτομο δημιούργησε ομάδες. Για ποιο λόγο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας;

Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας; Για τους γονείς και όχι μόνο από το Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας; Ακουστικός, οπτικός ή μήπως σφαιρικός; Ανακαλύψτε ποιος είναι ο μαθησιακός τύπος του παιδιού σας, δηλαδή με ποιο τρόπο μαθαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Γνωστικό Αντικείμενο: Πληροφορική Διδακτική Ενότητα: Ελέγχω-Προγραμματίζω τον Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Αναζήτηση µε Αντι αλότητα Adversarial Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΙΟΡΔΑΝΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΗΣ jordan@uom.gr Κτήριο Η- Θ γραφείο 402 Τηλ. 2310-891-591 DAN BORGE «Η διαχείριση του κινδύνου είναι δυνατό να μας βοηθήσει να αρπάξουμε μια ευκαιρία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Τι είναι η Θεωρία Παιγνίων? Quote από το βιβλίο του Osborne: Game Theory aims to help us understand situawons in which decision makers interact

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων

Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr Ορισμοί Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά: Υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ. ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning. Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ

ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ. ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning. Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ. 2011030017 Η παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος Αυτόνομοι Πράκτορες και σχετίζεται με λήψη αποφάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n Υπολογιστική Γεωμετρία (σημειώσεις διαλέξεων ) Διδάσκων: Ι.Εμίρης Πέμπτη, 7 Απριλίου 2016 1 Ζητήματα πολυπλοκότητας 1. ΚΠ2 Τομή ημιεπιπέδων 2. ΚΠ3, ΚΠd n [d/2+1] (worst case) - Αλλά!! Αν έχουμε σημεία

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Κ Υ Κ Λ Ο Υ Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Κ Α Ι Υ Π Η Ρ Ε Σ Ι Ω Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Παιγνιακά Μοντέλα Σύγκρουσης και Συνεργασίας

Παιγνιακά Μοντέλα Σύγκρουσης και Συνεργασίας Επίκουρος Καθηγητής Ιωάννης Παραβάντης Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Μάρτιος 2010 Παιγνιακά Μοντέλα Σύγκρουσης και Συνεργασίας 1. Εισαγωγή Στο παρόν φυλλάδιο παριστάνουµε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη

H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη Κοτίνη Ι., Τζελέπη Σ. Σχ. Σύμβουλοι Κ. Μακεδονίας στην οικονομία, στη τέχνη, στην επιστήμη, στις ανθρωπιστικές και κοινωνικές επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων Περιεχόμενα (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων 1. Ανάλυση ευαισθησίας Λυμένο παράδειγμα 7 από το βιβλίο, σελ.85, λύση σελ.328

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση 0/3/7 HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 8 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

RobotArmy Περίληψη έργου

RobotArmy Περίληψη έργου RobotArmy Περίληψη έργου Στην σημερινή εποχή η ανάγκη για αυτοματοποίηση πολλών διαδικασιών γίνεται όλο και πιο έντονη. Συνέχεια ακούγονται λέξεις όπως : βελτιστοποίηση ποιότητας ζωής, αυτοματοποίηση στον

Διαβάστε περισσότερα

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

Σηματοδοτικά Παίγνια και Τέλεια Μπεϊζιανή Ισορροπία

Σηματοδοτικά Παίγνια και Τέλεια Μπεϊζιανή Ισορροπία Σηματοδοτικά Παίγνια και Τέλεια Μπεϊζιανή Ισορροπία - Ορισμός. Ένα παίγνιο ονομάζεται παίγνιο πλήρους πληροφόρησης (game of complete information) όταν κάθε παίκτης διαθέτει πλήρη πληροφόρηση για τις συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους 08-09 Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης! Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Γενικά " Ντετερµινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000)

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Πρόκειται για την έρευνα που διεξάγουν οι επιστήμονες. Είναι μια πολύπλοκη δραστηριότητα που απαιτεί ειδικό ακριβό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων ιδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΓΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΓΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΓΩΝ 1. Διαχείριση έργων Τις τελευταίες δεκαετίες παρατηρείται σημαντική αξιοποίηση της διαχείρισης έργων σαν ένα εργαλείο με το οποίο οι διάφορες επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα