ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1"

Transcript

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

2 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να ικανοποιηθεί µερικές φορές άµεσα από τη δυναµικότητα του συστήµατος που παρέχει την εξυπηρέτηση, λόγω των τυχαίων διακυµάνσεων που παρατηρούνται τόσο στον ρυθµό προσέλευσης όσο και στον χρόνο εξυπηρέτησης κάθε πελάτη από το σύστηµα. Η γνώση των λειτουργικών χαρακτηριστικών των συστηµάτων εξυπηρέτησης και των ουρών αναµονής µπορεί να οδηγήσει σε θεαµατικές βελτιώσεις της απόδοσής τους. 2

3 Το πρόβληµα της αναµονής Ζήτηση: πιθανολογικό µέγεθος που χαρακτηρίζει το χρόνο, κατά τον οποίο ζητούνται οι υπηρεσίες του συστήµατος κατά την καθηµερινή του λειτουργία, καθώς και τη διάρκεια της εξυπηρέτησης της ζήτησης. Ο πελάτης που φθάνει για να εξυπηρετηθεί χρειάζεται να παραµείνει στο σύστηµα για χρόνο, που είναι κατά κανόνα µεγαλύτερος από το µέσο χρόνο που απαιτείται για να εκτελεστούν οι υπηρεσίες που παρέχει το σύστηµα. Αυτό οφείλεται στον τυχαίο τρόπο µε τον οποίο εκδηλώνεται η ζήτηση ή/ και στην τυχαία διάρκεια εξυπηρέτησης της. Παραδείγµατα συστήµατος αναµονής: τράπεζες, κυκλοφοριακά συστήµατα, νοσοκοµεία, υπεραγορές, πυροσβεστικοί σταθµοί, συνεργεία επισκευών κλπ. 3

4 Αξιολόγηση συστήµατος αναµονής Η απόδοση του συστήµατος αξιολογείται µε βάση τις τιµές ορισµένων βασικών δεικτών (δείκτες απόδοσης - µέτρα λειτουργικότητας), όπως για παράδειγµα ο µέσος χρόνος αναµονής ενός πελάτη στην ουρά, ο συνολικός µέσος χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα, το µέσο πλήθος πελατών στην ουρά, το µέσο πλήθος πελατών στο σύστηµα, το ποσοστό απασχόλησης της θέσης εξυπηρέτησης ή των θέσεων εξυπηρέτησης, κλπ. Η δυναµικότητα ενός συστήµατος αναµονής συνήθως µετριέται είτε µε το πλήθος των παράλληλων σταθµών εξυπηρέτησης της ζήτησης είτε µε το µέσο ρυθµό εξυπηρέτησης (εξυπηρετούµενοι πελάτες ανά µονάδα χρόνου), που αντιστοιχεί σε ένα µέσο χρόνο εξυπηρέτησης. Στόχος της µελέτης ενός συστήµατος εξυπηρέτησης είναι ο προσδιορισµός της δυναµικότητας του ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος λειτουργίας του υπό τον όρο ότι οι τιµές των δεικτών απόδοσης του συστήµατος ικανοποιούν κάποιες ελάχιστες προδιαγραφές. 4

5 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 5

6 Κατανοµές Πιθανότητας Tυχαίας Μεταβλητής Ορισµός: Έστω Ω δειγµατικός χώρος. Μια συνάρτηση Χ: Ω R καλείται τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) (σε κάθε δειγµατικό σηµείο ω Ω αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό). Ορισµός : Έστω Χ µια τ.µ. ορισµένη στον δειγµατικό χώρο Ω. Η συνάρτηση F η οποία ορίζεται από τη σχέση λέγεται συνάρτηση κατανοµής (σ.κ.) ή αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) της τ.µ. Χ. Έστω F η σ.κ. µιας τ.µ. Χ. Τότε : P(α<Χ β)=f(β)-f(α), για κάθε πραγµατικούς αριθµούς α, β, α β. 6

7 Διακριτή τ.µ. Μια τ.µ. Χ καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει µε πιθανότητα 1 πεπερασµένο ή αριθµήσιµο σύνολο τιµών { x 0, x 1,x 2, }. Τότε η συνάρτηση f: f(x k )=P(X=x k ), k=0,1,2, καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή απλώς συνάρτηση πιθανότητας της τ.µ. Χ. Είναι φανερό ότι f(x k )>0, k=0,1,2, και Συνήθως οι τιµές που παίρνουν οι διακριτές τ.µ. είναι φυσικοί αριθµοί (0,1,2,...). Πως θα υπολογίσουµε την σ.κ. µίας διακριτής τ.µ.; 7

8 Συνεχής τ.µ. Μια τ.µ. Χ καλείται συνεχής αν υπάρχει µη αρνητική συνάρτηση f, δηλαδή f(x) µε τέτοια ώστε, µε + f(x)dx =1 Η f καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή απλώς συνάρτηση πυκνότητας της τ.µ. Χ. Είναι εµφανές ότι για συνεχή τ.µ. Χ µε συνάρτηση πυκνότητας f, η συνάρτηση κατανοµής F δίνεται από τον τύπο : 8

9 Συνεχής τ.µ. Παρατήρηση : Αν Χ συνεχής τ.µ. η έκφραση P(X=x) δεν έχει νόηµα. Τύπος : Αν η f παίρνει τιµές µόνο σ ένα διάστηµα [α,β] R, θέτω f(x)=0 για, και έχουµε : 9

10 Χρήσιµες κατανοµές πιθανοτήτων στα συστήµατα αναµονής Κατανοµή Poisson : Χ~P(λ) Όταν σε ένα πείραµα τύχης δίνεται ο µέσος όρος λ των συµβάντων σ ένα χρονικό ή χωρικό διάστηµα π.χ. ο αριθµός των κλήσεων σ ένα τηλεφωνικό κέντρο στο χρονικό διάστηµα 10 µε 11 το πρωί. Τότε αν η τ.µ. Χ συµβολίζει τον αριθµό των συµβάντων, η πιθανότητα να συµβούν κ γεγονότα δίνεται από την κατανοµή Poisson : Μέση τιµή : Ε(Χ)=λ Διασπορά : V(Χ)=λ 10

11 Κατανοµή Poisson Η κατανοµή αφορά τυχαία διακριτά γεγονότα ή στοιχεία που συµβαίνουν σπάνια ή εµφανίζονται µε πολύ µικρή συχνότητα σε ένα πληθυσµό, όπως το γεγονός: να περάσει ένα όχηµα από ένα σηµείο µιας οδού τη στιγµή t. να βρεθεί ένα σκάρτο δοκίµιο σε ένα δείγµα Ν προϊόντων. να γίνει κλήση σε τηλεφωνικό κέντρο τη στιγµή t - να συµβεί βλάβη σε µια µηχανή τη στιγµή t. να πουληθεί ένα προϊόν τη στιγµή t. να «χτυπηθεί» λάθος στοιχείο κατά τη δακτυλογράφηση ενός κειµένου από µια έµπειρη δακτυλογράφο. να συµβεί ατύχηµα σε ένα σηµείο µιας οδού. 11

12 Κατανοµή Poisson Η κατανοµή Poisson χαρακτηρίζεται από το ότι κάθε γεγονός συµβαίνει εντελώς τυχαία και ανεξάρτητα από τα άλλα γεγονότα. από το ότι η πιθανότητα να συµβούν δύο ή περισσότερα γεγονότα ταυτόχρονα ή σχεδόν ταυτόχρονα είναι αµελητέα. 12

13 Κατανοµή Poisson π.χ. Ο µέσος όρος των ατυχηµάτων σ ένα σταυροδρόµι είναι 3.5 ατυχήµατα το χρόνο. Οι πιθανότητες για κανένα, ένα, δυο, κοκ ατυχήµατα δίνονται από την κατανοµή Poisson και είναι: Ποια είναι η πιθανότητα να συµβούν: α) Το πολύ 2 ατυχήµατα σε ένα έτος; β) Περισσότερα από 5 ατυχήµατα σε δύο έτη; Συµβουλή : Ο µέσος όρος λ στο χρόνο ή στο χώρο µας οδηγεί στην κατανοµή Poisson. Προσέχουµε µήπως έχουµε πολλαπλάσιο ή υποπολλαπλάσιο χρόνο ή χώρο, οπότε και η σταθερή λ για το αντίστοιχο διάστηµα γίνεται αντίστοιχα πολλαπλάσιο ή 13 υποπολλαπλάσιο.

14 Κατανοµή Poisson ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1) Όταν για την τ.µ. Χ της οποίας ζητάµε την πιθανότητα έχουµε αναφορά σε µέσο όρο ή µέση τιµή λ, τότε οδηγούµαστε στην κατανοµή Poisson. 2) Ελέγχουµε αν ο δοσµένος µέσος όρος λ έχει την ίδια βάση αναφοράς µε το ζητούµενο (ίσο χρόνο ή χώρο). Αν όχι τότε κάνουµε αναγωγή του δοσµένου στον ζητούµενο. π.χ. Αν κατά µέσο όρο 3 ατυχήµατα συµβαίνουν στη διάρκεια 2 µηνών τότε ο µ.ο. των ατυχηµάτων λ για διάρκεια 30 ηµερών είναι: λ=1.5 (2 µήνες = 60 ηµέρες). 14

15 Εκθετική κατανοµή Εκθετική Κατανοµή: Χ~ε(λ) Όταν οι αφίξεις ακολουθούν την κατανοµή Poisson µε µέσο ρυθµό αφίξεων λ, τότε ο χρόνος µεταξύ διαδοχικών αφίξεων ακολουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 1/λ. Η συνεχής τ.µ. X ακολουθεί την εκθετική κατανοµή όταν η σ.π.π. για λ>0 είναι: Mέση τιµή : Διασπορά: Η συνάρτηση κατανοµής είναι : 15

16 Μορφή συστηµάτων αναµονής 16

17 Χαρακτηριστικά Συστηµάτων Ουρών Αναµονής Πηγή Πελατών: Ο πληθυσµός από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις των πελατών θεωρείται είτε άπειρος (πρακτικά πολύ µεγάλου µεγέθους) όπως π.χ. πελάτες τραπεζών, αυτοκίνητα σε σταθµούς διοδίων κλπ, ή πεπερασµένος όπως για παράδειγµα στην περίπτωση των µηχανών ενός εργοστασίου που αναµένουν επισκευή. 17

18 Αφίξεις στο Σύστηµα Σε κάθε σύστηµα ουράς αναµονής υπάρχουν "πελάτες" οι οποίοι προσέρχονται για εξυπηρέτηση. Με τον γενικό όρο "πελάτης" εννοούµε τα πρόσωπα, αντικείµενα ή συµβάντα που εισέρχονται στο σύστηµα για εξυπηρέτηση. 18

19 Κατανοµή Αφίξεων Οι "πελάτες" καταφθάνουν στο σύστηµα είτε σύµφωνα µε κάποιο γνωστό και σταθερό ρυθµό (π.χ. ένα προϊόν σε ένα σταθµό εργασίας ακριβώς κάθε 15 λεπτά) ή αλλιώς, όπως στις περισσότερες περιπτώσεις, σε «τυχαίες» χρονικές στιγµές (π.χ. ασθενείς σε εφηµερίες). Οι αφίξεις θεωρούνται τυχαίες όταν είναι ανεξάρτητες η µία από την άλλη (δεν επηρεάζεται µία άφιξη από κάποια προηγούµενη) και η χρονική στιγµή πραγµατοποίησης τους δεν µπορεί να προβλεφθεί ακριβώς. Στην περίπτωση αυτή ο µέσος ρυθµός των αφίξεων χαρακτηρίζεται από το µέσο αριθµό αφίξεων ανά µονάδα του χρόνου (π.χ. "πελάτες" ανά ώρα). Η τυχαία µεταβλητή «αριθµός των αφίξεων ανά µονάδα χρόνου», µπορεί πολλές φορές να προσεγγισθεί από την κατανοµή Ρoisson. Αν γίνει αυτό, τότε η µέση τιµή της Poisson αντιστοιχεί στη µέση τιµή των αφίξεων ανά µονάδα χρόνου, συµβολίζεται µε λ και αποτελεί το µέσο ρυθµό αφίξεων στην µονάδα του χρόνου. 19

20 Κατανοµή Αφίξεων Σηµειώνεται ότι όταν στη διαδικασία εισόδου παρατηρείται ότι ισχύει η κατανοµή Poisson µε µέσο ρυθµό αφίξεων ίσο µε λ, τότε ο χρόνος που µεσολαβεί ανάµεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή ίση µε 1/λ. Οι αφίξεις µπορεί να γίνονται είτε µία-µία είτε κατά οµάδες. 20

21 Χρόνος εξυπηρέτησης O χρόνος που απαιτείται για την εξυπηρέτηση του πελάτη µπορεί να είναι σταθερός ή όπως συµβαίνει και στα περισσότερα συστήµατα ουρών αναµονής, να παρουσιάζει µεταβλητότητα που οφείλεται σε διάφορους παράγοντες. Για πολλές περιπτώσεις συστηµάτων ουράς αναµονής, µπορεί να θεωρηθεί ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανοµή, µε µέση τιµή 1/µ. Οµοίως, όταν ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 1/µ, τότε το πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται σε ένα χρονικό διάστηµα ακολουθεί κατανοµή Poisson µε µέση τιµή ίση µε µ. Η εξυπηρέτηση των πελατών µπορεί να γίνεται είτε συνεχώς είτε κατά ορισµένα χρονικά διαστήµατα. 21

22 Θέσεις εξυπηρέτησης Για τον πελάτη που αναµένει στην ουρά µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης (π.χ. ταµεία στην τράπεζα, διάδροµοι διοδίων, ταµεία σε υπεραγορές κλπ.). Στην περίπτωση αυτή ο πελάτης εξυπηρετείται από την πρώτη διαθέσιµη θέση εξυπηρέτησης. Επίσης, άλλες φορές για την πλήρη εξυπηρέτηση του πελάτη απαιτείται η διαδοχική προσέλευσή του σε περισσότερες από µία θέσεις εξυπηρέτησης, δηλαδή εξυπηρετείται σε διαδοχικές φάσεις (π.χ. η διεκπεραίωση κάποιας εργασίας που απαιτεί εγκρίσεις σε πολλά στάδια). 22

23 Λειτουργία της Ουράς Αναµονής Η ουρά σχηµατίζεται από «πελάτες» που αναµένουν τη σειρά τους να εξυπηρετηθούν. Ο τρόπος µε τον οποίο επιλέγεται ένας πελάτης που αναµένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί είναι ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά των συστηµάτων ουρών αναµονής και ονοµάζεται πειθαρχία. Οι µέθοδοι που εφαρµόζονται είναι κυρίως οι εξής: FIFO ή FCFS (First Ιn First Out, First Come First Served): Οι πελάτες εξυπηρετούνται µε βάση τη σειρά προσέλευσης. LIFO ή LCFS (Last Ιn First Out, Last Come First Served): Οι πελάτες εξυπηρετούνται αντίστροφα µε την σειρά προσέλευσης. Κανόνες προτεραιότητας Ένα ακόµη ενδιαφέρον στοιχείο που αφορά την ουρά αναµονής είναι η χωρητικότητά της. Η χωρητικότητα της ουράς µπορεί να είναι άπειρη (πρακτικά, όποιος προσέρχεται µπορεί να µείνει) ή πεπερασµένη (όταν κάποιος προσέρχεται αφού έχουν καταληφθεί όλες οι θέσεις αναµονής, δεν µπορεί να εισέλθει στο σύστηµα ή υπάρχουν αποθαρρυνόµενοι πελάτες). 23

24 Συµβολισµός µοντέλων Ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά λειτουργίας ενός συστήµατος ουράς αναµονής χρησιµοποιείται και ένα διαφορετικό µοντέλο για την ανάλυσή του. Για τη διάκριση των µοντέλων ο D. G. Kendall πρότεινε έναν εύχρηστο συµβολισµό µε πέντε σύµβολα που έχει τη γενική µορφή «A/B/s/k/N», όπου τα σύµβολα παριστάνουν τα εξής: Α: θέση για το σύµβολο της κατανοµής εισόδου πελατών. Πιθανό σύµβολο για τη θέση Α είναι το Μ, που παριστάνει τη διαδικασία Poisson. Άλλα σύµβολα είναι το G που σηµαίνει γενική ή οποιαδήποτε κατανοµή, και το D που σηµαίνει προσδιοριστική διαδικασία εισόδου, δηλαδή µε γνωστό και σταθερό ρυθµό. 24

25 Συµβολισµός µοντέλων Β: θέση για το σύµβολο της κατανοµής του χρόνου εξυπηρέτησης. Χρησιµοποιούνται τα ίδια σύµβολα µε την περίπτωση Α. s: θέση για το πλήθος των παράλληλων θέσεων εξυπηρέτησης. k: θέση για τη χωρητικότητα του συστήµατος εξυπηρέτησης, όταν οι θέσεις στην ουρά αναµονής είναι περιορισµένες. Το k είναι το πλήθος των θέσεων αναµονής µαζί µε τις θέσεις εξυπηρέτησης. Ν: θέση για το πλήθος των πελατών στην πηγή, όταν είναι πεπερασµένο. Σχόλιο: Σε ορισµένες περιπτώσεις µετά το s δίνεται και το είδος της πειθαρχίας της ουράς. 25

26 Κατάσταση ισορροπίας Επίσης, είναι σηµαντικό να αναφερθούµε στην έννοια της κατάστασης ισορροπίας. Ένα σύστηµα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, όταν η συµπεριφορά του δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που υπάρχουν κατά την έναρξη της λειτουργίας του. Δηλαδή, ένα σύστηµα εξυπηρέτησης φτάνει σε κατάσταση ισορροπίας, όταν παρέλθει ένα εύλογο χρονικό διάστηµα από την αρχική του κατάσταση, στη διάρκειά του οποίου εξαλείφεται η επίδραση των συνθηκών εκκίνησης. Η περίοδος που απαιτείται, ώστε το σύστηµα να µην εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εκκίνησης και να συγκλίνει σε κατάσταση ισορροπίας, ονοµάζεται παροδική περίοδος. Τα µοντέλα που αναφέρονται παρακάτω και οι τύποι που χρησιµοποιούνται θεωρούν ότι το σύστηµα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. 26

27 Μοντέλο Μ/Μ/1 Χρησιµοποιείται για την µελέτη ενός συστήµατος αναµονής όπου ισχύουν τα εξής: Η διαδικασία αφίξεων των πελατών ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε µέσο ρυθµό αφίξεων ίσο µε λ ανά χρονική µονάδα. Η διαδικασία εξυπηρέτησης ακολουθεί κατανοµή Poisson µε µέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται ανά χρονική µονάδα ίσο µε µ. (ισοδύναµα ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 1/µ). Υπάρχει µία θέση εξυπηρέτησης. Το πλήθος των πελατών στην πηγή είναι άπειρο, οι πελάτες εξυπηρετούνται µε πειθαρχία FIFO, σχηµατίζουν µια ουρά η οποία έχει άπειρη χωρητικότητα και δεν αποχωρούν όσο µεγάλη και αν είναι η ουρά. Η θεµελιώδης σχέση που πρέπει να ισχύει για να µπορεί να υπάρξει κατάσταση ισορροπίας είναι λ<µ. 27

28 Μοντέλο M/M/s Χρησιµοποιείται για την µελέτη ενός συστήµατος αναµονής όπου ισχύουν τα εξής: Η διαδικασία αφίξεων των πελατών ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε µέσο όρο αφίξεων λ ανά χρονική µονάδα. Υπάρχουν περισσότερες από µία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης (s>1). Ο χρόνος εξυπηρέτησης σε κάθε θέση ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε µέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται σε κάθε θέση να είναι µ ανά χρονική µονάδα. Το πλήθος των πελατών στην πηγή είναι πρακτικά άπειρο, οι πελάτες εξυπηρετούνται µε βάση τη σειρά προσέλευσης (FIFO), σχηµατίζουν µια ουρά η οποία έχει άπειρη χωρητικότητα και δεν αποχωρούν όσο µεγάλη και αν είναι η ουρά και εξυπηρετούνται από την πρώτη διαθέσιµη µονάδα εξυπηρέτησης. Η θεµελιώδης σχέση που πρέπει να ισχύει για να µπορεί να υπάρξει κατάσταση ισορροπίας, είναι λ<sµ. 28

29 Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 : µέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται σε κατάσταση εξυπηρέτησης ρ: Βαθµός απασχόλησης του συστήµατος εξυπηρέτησης (ποσοστό χρόνου απασχόλησης του συστήµατος) : µέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναµονής 29

30 Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 L: µέσο πλήθος πελατών στο σύστηµα συνολικά : µέσος χρόνος αναµονής ενός πελάτη στην ουρά W: µέσος χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα 30

31 Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 : πιθανότητα να µην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστηµα ή ισοδύναµα το ποσοστό του χρόνου που όλες οι θέσεις είναι αδρανείς : πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστηµα να χρειαστεί να περιµένει 31

32 Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 : πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστηµα : πιθανότητα να υπάρχουν περισσότεροι από κ πελάτες στο σύστηµα 32

33 Προσδιορισµός δυναµικότητας συστηµάτων εξυπηρέτησης Ο αντικειµενικός σκοπός της ανάλυσης των συστηµάτων αναµονής είναι συνήθως ο προσδιορισµός εκείνης της δυναµικότητας του συστήµατος, δηλαδή του πλήθους των θέσεων εξυπηρέτησης, για την οποία ελαχιστοποιείται το συνολικό προσδοκώµενο (=µέσο) µεταβλητό κόστος λειτουργίας του συστήµατος. Το κόστος αυτό για µία επιχείρηση αποτελείται από δύο επιµέρους στοιχεία κόστους, το κόστος από την αναµονή των πελατών και το κόστος δυναµικότητας από την παροχή της εξυπηρέτησης. Όταν αυξάνεται η δυναµικότητα του συστήµατος µε επιπρόσθετες θέσεις εξυπηρέτησης, ο µέσος χρόνος παραµονής των πελατών στο σύστηµα µειώνεται, µε αποτέλεσµα να µειώνεται και το κόστος από την αναµονή των πελατών. 33

34 Προσδιορισµός δυναµικότητας συστηµάτων εξυπηρέτησης Στην περίπτωση όµως αυτή, το κόστος παροχής της εξυπηρέτησης του συστήµατος αυξάνεται λόγω της προσθήκης θέσεων εξυπηρέτησης. Αντίθετα, όταν µειώνεται η δυναµικότητα του συστήµατος, το κόστος παραµονής των πελατών στο σύστηµα αυξάνεται λόγω αύξησης του χρόνου παραµονής τους, αλλά συγχρόνως µειώνεται το κόστος εξυπηρέτησης λόγω µικρότερου αριθµού θέσεων εξυπηρέτησης. Έτσι, το ερώτηµα είναι πώς µπορεί να βρεθεί ισορροπία ανάµεσα στο κόστος αναµονής των πελατών και στο κόστος εξυπηρέτησης από την πλευρά της επιχείρησης, σχεδιάζοντας µε τον πλέον κατάλληλο τρόπο το σύστηµα εξυπηρέτησης. 34

35 Προσδιορισµός δυναµικότητας συστηµάτων εξυπηρέτησης 35

36 Διαµόρφωση σχέσης κόστους λειτουργίας Το συνολικό µεταβλητό κόστος λειτουργίας του συστήµατος, που συµβολίζεται µε Κ, προκύπτει ως το άθροισµα δύο επιµέρους στοιχείων κόστους, του κόστους αναµονής των πελατών, που συµβολίζεται µε Κ α και του κόστους εξυπηρέτησης του συστήµατος, που συµβολίζεται µε Κ ε. Με k α παριστάνεται το κόστος αναµονής ενός πελάτη στη µονάδα χρόνου. Σηµειώστε, ότι όταν γίνεται αναφορά στο κόστος αναµονής, ουσιαστικά εννοούµε και το συνολικό χρόνο παραµονής του πελάτη στο σύστηµα. Κατά συνέπεια, αφού µε W έχει συµβολιστεί ο µέσος συνολικός χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα, το (µέσο) κόστος από την αναµονή του πελάτη στη µονάδα του χρόνου είναι ίσο µε k α W. 36

37 Διαµόρφωση σχέσης κόστους λειτουργίας Όµως, η ποσότητα αυτή αναφέρεται σ' ένα µόνο πελάτη και δεν αντικατοπτρίζει το συνολικό κόστος αναµονής των πελατών. Για να υπολογιστεί το συνολικό προσδοκώµενο κόστος αναµονής των πελατών, πολλαπλασιάζεται η ποσότητα αυτή, µε το µέσο ρυθµό αφίξεων των πελατών στη µονάδα του χρόνου, δηλαδή µε το λ: (1) Κ α =k α λw= k α L 37

38 Διαµόρφωση σχέσης κόστους λειτουργίας Αναφορικά µε το κόστος εξυπηρέτησης τα πράγµατα είναι πιο απλά. Είδαµε ότι ο βασικός παράγοντας που καθορίζει το κόστος εξυπηρέτησης είναι το πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης, δηλαδή το s. Αν k ε παριστάνει το κόστος εξυπηρέτησης της µίας θέσης στη µονάδα του χρόνου, τότε το κόστος εξυπηρέτησης Κ ε για προσφερόµενη δυναµικότητα s είναι: Κ ε = k ε s (2) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η σχέση (3) που δίνει το συνολικό προσδοκώµενο (=µέσο) µεταβλητό κόστος λειτουργίας του συστήµατος στη µονάδα του χρόνου: Κ= k ε s+k α L (3) 38

39 Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Η διανοµή προϊόντων µιας επιχείρησης χονδρεµπορίου στους πελάτες της γίνεται από µια αποθήκη που διαθέτει µια ράµπα, στην οποία προσεγγίζουν φορτηγά αυτοκίνητα για να παραλάβουν τα εµπορεύµατα. Τα φορτηγά φθάνουν µε ρυθµό 8 ανά ώρα και οι αφί-ξεις τους ακολουθούν κατανοµή Poisson. Η φόρτωση ενός φορτηγού διαρκεί κατά µέσο όρο 5 λεπτά, αλλά υπάρχει σηµαντική τυπική απόκλιση ίση µε 6 λεπτά. Οι οδηγοί των φορτηγών παραπονούνται ότι περισσότερο χρόνο περιµένουν παρά φορτώνουν. 39

40 Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Πράγµατι, για λ = 8/ώρα, µ = 60/5 = 12/ώρα και σ = 6/60 = 1/10 της ώρας προκύπτει: δηλαδή ο µέσος όρος φορτηγών στην ουρά είναι 1.63 φορτηγά, L = L q + λ/µ = /12 = 2.3, δηλαδή ο µέσος όρος φορτηγών στο σύστηµα είναι 2.3 φορτηγά, W q = L q /λ = 1.63/8 = της ώρας = λεπτά, δηλαδή ο µέσος χρόνος αναµονής στην ουρά είναι λεπτά, W = L/λ = 2.3/8 = της ώρας = λεπτά, δηλαδή ο µέσος χρόνος παραµονής στο χώρο της αποθήκης κάθε φορτηγού είναι λεπτά, όταν ο µέσος χρόνος φόρτωσης είναι µόνο 5 λεπτά. 40

41 Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Έστω ότι λόγω καλύτερης οργάνωσης της αποθήκης µειώνεται στο µισό η τυπική απόκλιση του χρόνου φόρτωσης. Αν υποτεθεί ότι ο µέσος χρόνος φόρτωσης παραµένει ίσος µε 5 λεπτά, προκύπτει ότι για σ = 3 λεπτά είναι: L q = 0.91 L = 1.57 W q = 6.8 W = 11.8 άρα ο µέσος χρόνος αναµονής ενός φορτηγού στην ουρά σχεδόν µειώνεται στο µισό ύστερα από τη µείωση της τυπικής απόκλισης στο µισό της τιµής της. 41

42 Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Έστω ότι αποφασίζεται η προσθήκη µιας δεύτερης ράµπας. Αν δε-χθούµε ότι ο χρόνος φόρτωσης ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέσο ρυθµό φόρτωσης µ = 12/ώρα (άρα και τυπική απόκλιση σ = µ), τότε για s = 2 µπορούν να υπολογιστούν τα επόµενα: L q = W q = της ώρας = 0.64 λεπτά. Εποµένως, η προσθήκη δεύτερης ράµπας βελτιώνει δραστικά την κατάσταση, σε σηµείο που να µην υπάρχει πλέον σοβαρό πρό-βληµα αναµονής. Ο βαθµός απασχόλησης του συστήµατος είναι ρ = λ/sµ =

43 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Στο σύστηµα αναµονής που περιγράφεται από το µοντέλο (Μ/Μ/1):(FCFS/ / ) οι πελάτες φτάνουν µε ρυθµό ένας κάθε 0.2 λεπτά κατά µέσο όρο, ενώ η µέση ικανότητα εξυπηρέτησης είναι 500 πελάτες/ώρα. Μελετάται το ενδεχόµενο προσθήκης ενός ακόµα σταθµού εξυπηρέτησης. Ως κριτήριο αποφασίζεται να χρησιµοποιηθεί το κριτήριο του επιπέδου εξυπηρέτησης και συγκεκριµένα ο µέσος χρόνος αναµονής στην ουρά W q : αν ο χρόνος αυτός µε το υπάρχον σύστηµα είναι µεγαλύτερος από 5 λεπτά, τότε πρέπει να προστεθεί ένας δεύτερος σταθµός. Πρέπει να προστεθεί δεύτερος σταθµός στο σύστηµα; Άσκηση 2 Σε µια επιχείρηση παραγωγής υπηρεσιών που παρέχονται από όµοιους παράλληλους σταθµούς εξυπηρέτησης είναι γνωστό ότι το κόστος λειτουργίας ενός σταθµού εξυπηρέτησης k ε ισούται µε 10,000 ευρώ/µήνα, το κόστος αναµονής ενός πελάτη k α ισούται µε 30 ευρώ/ ώρα, το µέσο πλήθος πελατών στο σύστηµα δίνεται από τη σχέση L = 30x0.7 s-1, οι υπηρεσίες παρέχονται 8 ώρες/ηµέρα, 12 µήνες (250 ηµέρες) το χρόνο. Η επιχείρηση διαθέτει ήδη s=6 σταθµούς εξυπηρέτησης. Μπορεί να µειώσει το µέσο πλήθος των πελατών στο σύστηµα µεταβάλλοντας τον αριθµό των σταθµών, χωρίς όµως να αυξήσει το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήµατος; Να ληφθεί υπόψη η προσέγγιση, σύµφωνα µε την οποία, το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήµατος που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι K = k ε s + k α L. 43

Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών

Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών 4. Σχεδιασµός υναµικότητας Το πρόβληµα της δυναµικότητας ιαδικασία Σχεδιασµού Συστήµατα αναµονής Εισηγητής: Θοδωρής Βουτσινάς ρ Μηχ/γος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

3.ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

3.ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ www.olieclaroom.gr.ουρεσ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ως ουρά αναμονής ή ισοδύναμα ένα σύστημα εξυπηρέτησης, ορίζεται το σύστημα το οποίο παρέχει εξυπηρέτηση σε πελάτες που προσέρχονται σε αυτό. Πρόκειται για τη μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Αφίξεων. Ουρά Αναμονής. Μηχανισμός Εξυπηρέτησης. Πηγή Πελατών. Έξοδος. Πειθαρχία

Διαδικασία Αφίξεων. Ουρά Αναμονής. Μηχανισμός Εξυπηρέτησης. Πηγή Πελατών. Έξοδος. Πειθαρχία Θεωρία Γραμμών Αναμονής (ουρές αναμονής) Πηγή Πελατών Διαδικασία Αφίξεων Ουρά Αναμονής Πειθαρχία Μηχανισμός Εξυπηρέτησης Έξοδος Εισαγωγικά Στοιχεία Πληθυσμός (πηγή) πελατών Διαδικασία Αφίξεων Ουρά αναμονής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή βασικών μοντέλων τηλεπικοινωνιακής

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C. Κατανομή εξυπηρετήσεων

Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C. Κατανομή εξυπηρετήσεων Συμβολισμός Kedel Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C Κατανομή αφίξεων Κατανομή εξυπηρετήσεων Αριθμός των εξυπηρετητών Όπου Α,Β μπορεί να είναι: M κατανομή Posso G κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Διάλεξη 6: Εισαγωγή στην Ουρά M/G/1 Δρ Αθανάσιος Ν Νικολακόπουλος ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 18 Νοεμβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Α Α Π Σ Δ 11: Ε Σ Α M/G/1 Καθ Γιάννης Γαροφαλάκης ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Το σύστημα αναμονής M/G/1 I Θεωρούμε ένα σύστημα στο οποίο οι πελάτες φθάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Τέλεια δέσµη: όλες οι γραµµές της είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο. Ατελής δέσµη: όλες οι γραµµές της δεν είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 3 Νοεµβρίου 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας ϑεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή X ορισµένη στον Ω µε πεδίο τιµών το διάστηµα [α, ϐ], όπου α < ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΣΤΑΘΜΟ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ»

«ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΣΤΑΘΜΟ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ» Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩN «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΣΤΑΘΜΟ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ» Της σπουδάστριας ΒΑΤΣΕΡΗ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2005 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο 1 ΓΕΝΙΚΑ Ο αριθμός των κλήσεων σε εξέλιξη μεταβάλλεται με έναν τυχαίο τρόπο καθώς κάθε κλήση ξεχωριστά αρχίζει και τελειώνει με τυχαίο τρόπο. Κατά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός: ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι αν A B τότε P A P B. (7 Μονάδες )

Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι αν A B τότε P A P B. (7 Μονάδες ) Τάξη Μάθημα : Γ Λυκείου : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Εξεταστέα Ύλη : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Καθηγητής : Καμπάς Νικόλαος Ημερομηνία : 3/02/2013 ΘΕΜΑ 1: Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 1 2 (Εισαγωγή Θεμελιώδεις σχέσεις) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Διαστασιοποίηση Ασύρματου Δικτύου Άγγελος Ρούσκας Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τηλεπικοινωνιακή κίνηση στα κυψελωτά συστήματα Βασικός στόχος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1 Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Πειραματικά Μοντέλα Μοντέλα:» Καθοριστικά» (π.χ. ο νόμος του Ohm)» Στοχαστικά ή πιθανοτικά» (π.χ. ένταση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (16/06/2010, 18:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (16/06/2010, 18:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 2009-2010 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (16/06/2010, 18:00) Να απαντηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων . Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΠΙΣΜΠΙΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα