5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα"

Transcript

1 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Να εισαχθούν στον υπολογισμό του εμβαδού ενός μη ευθυγράμμου επιπέδου χωρίου. Να κατανοήσουν διαισθητικά τη διαδικασία προσέγγισης του ζητουμένου εμβαδού με τα αθροίσματα Riemann. Να χειριστούν την αριθμητικά, συμβολικά και γεωμετρικά την διαδικασία προσέγγισης. Λογική της Δραστηριότητας Ερευνητικά αποτελέσματα δείχνουν ότι πολλοί μαθητές, ενώ είναι ικανοί να υπολογίζουν ορισμένα ολοκληρώματα, δεν έχουν κατανοήσει την έννοια αυτή. Με αυτή τη δραστηριότητα, που αφορά στον υπολογισμό του εμβαδού ενός επιπέδου χωρίου το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί με τις γνωστές στους μαθητές μεθόδους υπολογισμού εμβαδού, γίνεται προσπάθεια οι μαθητές να προσεγγίσουν διαισθητικά την έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος συνεχούς συνάρτησης. Τα αθροίσματα Riemann εισάγονται και χρησιμοποιούνται για την επίτευξη αυτού του στόχου. Η δραστηριότητα αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος η αντιμετώπιση του προβλήματος υπολογισμού του εμβαδού υποστηρίζεται από το δυναμικό περιβάλλον. Η χρήση δυναμικών εργαλείων, όπως η μεταβολή της παραμέτρου για το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης και η μεγέθυνση, βοηθούν τους μαθητές να κατανοήσουν και να απαντήσουν στις ερωτήσεις καθώς και να κατανοήσουν διαισθητικά την όλη διαδικασία. Στο δεύτερο μέρος ζητείται ο υπολογισμός ενός εμβαδού ο οποίος μπορεί να γίνει από τους μαθητές. Δηλαδή οι μαθητές μπορούν να υπολογίσουν τα αθροίσματα Riemman και να βρουν το όριο τους. Με τον τρόπο αυτό υλοποιούν οι ίδιοι τη διαδικασία που έκαναν στην προηγούμενη φάση με τη βοήθεια του λογισμικού. 1

2 Συμπερασματικά, ο γενικότερος στόχος της δραστηριότητας συνίσταται στη διαμόρφωση ενός διδακτικού περιβάλλοντος, το οποίο στο σύνολό του συντελεί στην ανάπτυξη του μαθηματικού νοήματος του ορισμένου ολοκληρώματος μέσα από τη διαμόρφωση και τον έλεγχο εικασιών. Δραστηριότητα και Αναλυτικό Πρόγραμμα Η δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή της έννοιας του εμβαδού μη ευθυγράμμου επιπέδου χωρίου και του ολοκληρώματος Riemann. Ο σχεδιασμός λαμβάνει υπόψη τις πρότερες γνώσεις των μαθητών σχετικά με τον υπολογισμό εμβαδών ευθυγράμμων γεωμετρικών σχημάτων και την εύρεση ορίου ρητής συνάρτησης. Η εκτέλεσή της εκτιμάται ότι απαιτεί 1-2 διδακτικές ώρες. 2

3 5.1.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου Ι Η εύρεση του εμβαδού που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τον άξονα x ' x και δυο ευθείες της μορφής x = α και x = β είναι ζητούμενο για μεγάλο πλήθος εφαρμογών. Ενδεικτικά, είναι γνωστό από τη φυσική ότι σε μια κίνηση το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ταχύτητας/χρόνου, τον άξονα x ' x και τις ευθείες x=t 1, x=t 2 ισούται με την απόσταση που διανύει το κινητό στο χρονικό διάστημα [t 1, t 2 ]. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δ Αναζητούμε ένα τρόπο υπολογισμού του εμβαδού για το ημιπαραβολικό χωρίο ΑΒΓΔ, το οποίο περικλείεται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΑΔ και το παραβολικό τμήμα ΓΔ. Α Γ B Ε1 : Πώς μπορούμε να σκεφτούμε για παρόμοια απλούστερα προβλήματα; Εάν για παράδειγμα αντί για μια παραβολική συνάρτηση είχαμε μια απλή εξίσωση ευθείας, πώς θα μπορούσατε να υπολογίσετε τα παρακάτω εμβαδά; i. y = c ή ii. y = α x+ β 3

4 Ε2: i. Για ποια ευθύγραμμα γεωμετρικά σχήματα του επιπέδου γνωρίζετε τύπους υπολογισμού του εμβαδού τους; ii. Να γράψετε αυτούς τους τύπους για τα εμβαδά των σχημάτων, στα οποία αναφερθήκατε προηγουμένως. Ε3: Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε αυτά τα σχήματα και τους αντίστοιχους τύπους για να υπολογίσετε το ζητούμενο εμβαδόν; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. Ε4: Θα μπορούσατε να βρείτε ένα προφανές ορθογώνιο που να έχει εμβαδόν μικρότερο από το παραβολικό χωρίο και ένα άλλο ορθογώνιο με την ίδια βάση και εμβαδόν μεγαλύτερο από το ίδιο χωρίο; Στόχος της ερώτησης είναι οι μαθητές να θεωρήσουν τα ορθογώνια με βάση το διάστημα στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση. Μια διαφορετική διατύπωση για την ερώτηση Ε4, η οποία προτρέπει τους μαθητές να αναζητήσουν το κατάλληλο γεωμετρικό σχήμα, θα μπορούσε να είναι : «Πως θα μπορούσατε να συνδέσετε το εμβαδόν της ζητούμενης περιοχής, με τα εμβαδά απλών γεωμετρικών σχημάτων που να μπορούν εύκολα να υπολογιστούν;» Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Αλλάξτε (εάν αυτό απαιτείται) την παράμετρο ν, η οποία ελέγχει το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης, θέτοντας την τιμή 1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους μετρητές εμβαδών πάνω στην οθόνη, για να πάρετε μια πρώτη προσέγγιση (να γράψετε μια διπλή ανισότητα) για το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Ε5: Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στα εμβαδά του άνω και του κάτω ορθογωνίου είναι: Δ = S s =

5 Ε6: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Μια διαφορετική διατύπωση θα μπορούσε να είναι: «Με ποιο τρόπο μπορείτε να προχωρήσετε ώστε να μειώσετε τη διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω φράγμα για το ζητούμενο εμβαδόν Ε;» Η παράμετρος ν ελέγχει το πλήθος των άνω και κάτω ορθογωνίων κάλυψης, τα οποία κατασκευάζονται από το λογισμικό. Δώστε σε αυτή την παράμετρο την τιμή ν = 2 για να κατασκευάσετε δύο αντίστοιχα τέτοια ορθογώνια. Οι μετρητές εμβαδών S ν και s ν στην οθόνη, παρέχουν το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τόσο πάνω από τη καμπύλη, όσο και κάτω αντίστοιχα. Αυτά ονομάζονται Αθροίσματα Riemann. Ε7: Θα μπορούσατε να εξηγήσετε με ποιο τρόπο ακριβώς υπολογίζονται από το πρόγραμμα οι τιμές των S και s ; 2 2 Ε8: Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε9: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Μια διαφορετική διατύπωση θα μπορούσε να είναι: «Με ποιο τρόπο μπορείτε να προχωρήσετε με την ίδια διαδικασία, ώστε να μειώσετε ακόμη περισσότερο τη διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω φράγμα για το ζητούμενο εμβαδόν Ε;» 5

6 Με τη βοήθεια της ίδιας παραμέτρουν που χρησιμοποιήσατε προηγουμένως, αλλάξτε το πλήθος των ορθογωνίων με ίσες βάσεις που καλύπτουν ακριβώς το διάστημα [0,10] σε ν = 3. Ε10: Θα μπορούσατε να βρείτε μια τρίτη (ακόμη καλύτερη) προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν; Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε11: Για ποιο πλήθος ν ορθογωνίων θα μπορούσατε να βρείτε τον αριθμό Ε με προσέγγιση ακεραίας μονάδας; Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Πατώντας το κόκκινο πλήκτρο μπορείτε να εμφανίσετε το εργαλείο μεγέθυνσης. Χρησιμοποιείστε αυτό το εργαλείο για να πάρετε μια αίσθηση για την ακρίβεια της κάλυψης του ζητούμενου παραβολικού χωρίου από ορθογώνια. Αλλάξτε κατά βούληση τον συντελεστή μεγέθυνσης. 6

7 Ε12: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις διαφορές ανάμεσα στα αντίστοιχα εμβαδά των άνω και κάτω ορθογωνίων, όπως αυτά εμφανίζονται στο παράθυρο μεγέθυνσης, καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των ορθογωνίων; Ε13: Θα μπορούσατε να βρείτε το ζητούμενο εμβαδόν Ε με προσέγγιση δεκάτου; Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε14: Συμπληρώστε τα κενά στον παρακάτω πίνακα με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως. ν S ν s ν Διαφορά : Δ ν = S ν s ν 1 120, , , Καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των ορθογωνίων κάλυψης: Ε15: Πώς μεταβάλλονται οι τιμές που περιέχονται στον προηγούμενο πίνακα για το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann; 7

8 Ε16: Πώς μεταβάλλεται η διαφορά Δ ν = S ν s ν ; Ε17: Νομίζετε ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να οδηγήσει στον υπολογισμό του ζητούμενου εμβαδού με απόλυτη ακρίβεια; Ο καθηγητής θα μπορούσε εναλλακτικά να θέσει την ερώτηση ως εξής: «Νομίζετε ότι υπάρχει κάποια τιμή της παραμέτρου ν, έτσι ώστε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann να γίνουν ακριβώς ίσα;» Ε18: Νομίζετε ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να τελειώσει; Ε19: Ποιον αριθμό νομίζετε ότι προσεγγίζει η διαφορά των αθροισμάτων Δ ν = S ν - s ν ; Ε20: Πόσο κοντά στο 0 νομίζετε ότι μπορεί να φτάσει η διαφορά Δ ν ; Αναμένεται από τους μαθητές να απαντήσουν ότι η διαφορά μπορεί να πλησιάσει το 0 όσο θέλουμε αυξάνοντας το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης. Ε21: Πόσο κοντά στο ζητούμενο εμβαδόν νομίζετε ότι μπορούμε να φτάσουμε μέσω αυτής της διαδικασίας; Αναμένεται απάντηση αντίστοιχη με την προηγούμενη ερώτηση. Ε22: Νομίζετε ότι η παραπάνω διαδικασία μπορεί πράγματι να αποτελέσει ένα τρόπο μέτρησης για το άγνωστο εμβαδόν Ε; Αναμένεται από τους μαθητές να κατανοήσουν ότι η παραπάνω διαδικασία αποτελεί ένα τρόπο μέτρησης σε περιπτώσεις όπου η απευθείας απόλυτη μέτρηση ενός μεγέθους δεν είναι δυνατή. 8

9 5.1.2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου ΙΙ Αυτή η δραστηριότητα στοχεύει στην εξοικείωση των μαθητών με την έννοια προσέγγισης εμβαδού χρησιμοποιώντας την μέθοδο των φραγμάτων. Η ακολουθία των αριθμητικών διαστημάτων που παράγονται και υπολογίζονται, πραγματοποιείται μέσω γεωμετρικής κατασκευής αριθμητικών υπολογισμών αλγεβρικής επεξεργασίας. Σε αυτό το στάδιο είναι σημαντικό για το μαθητή να κατανοήσει δύο ειδικά σημεία: Την κατασκευή η οποία οδηγεί στο άνω και κάτω άθροισμα Riemman μεταξύ των οποίων βρίσκεται το ζητούμενο εμβαδόν. Αυτό εμπεριέχει και κατανόηση του τρόπου, με τον οποίο παράγονται το άνω και το κάτω άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων, τα οποία χρησιμοποιήθηκαν στην προηγούμενη δραστηριότητα. Την διαδικασία εύρεσης μιας ποσότητας μέσα από την προσέγγιση της οσοδήποτε κοντά από γνωστές ποσότητες. Θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 2 γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x, την ευθεία x = 1 και τον άξονα x ' x. 1. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε δύο ίσα μέρη. Το μήκος καθενός από τα διαστήματα [0,1/2] και [1/2,1] είναι. 9

10 Η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [0,1/2] είναι και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι... και η ελάχιστη Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [0,1/2] και ύψος τη μέγιστη τιμή στο διάστημα [0,1/2] είναι Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [0,1/2] και ύψος την ελάχιστη τιμή στο διάστημα [0,1/2] είναι Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [1/2,1] και ύψος την μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι. Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [1/2,1] και ύψος την ελάχιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων που προέκυψαν από τη μέγιστη τιμή σε κάθε διάστημα είναι S 2 =.. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων που προέκυψαν από την ελάχιστη τιμή σε κάθε διάστημα είναι s 2 =.. Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S 2 - s 2 =.. 2. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε τρία ίσα μέρη. Τα διαστήματα στα οποία χωρίσαμε το [0,1] είναι τα [, ] [, ] [, ] Κάθε ένα από αυτά έχει μήκος. 10

11 Η μέγιστη τιμή της f στο 1 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 2 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 3 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 1 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 2 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 3 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το άθροισμα των τριών μεγάλων ορθογωνίων παρ/μων είναι S 3 =... Και το άθροισμα των τριών μικρών ορθογωνίων παρ/μων είναι s 3 =... Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S 3 - s 3 =.. 3. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε ν ίσα μέρη. Τα διαστήματα που θα δημιουργηθούν θα είναι τα [, ] [, ] [, ] [, ] Κάθε ένα από αυτά έχει μήκος Η μέγιστη τιμή της f στο 1 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 2 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη... 11

12 Η μέγιστη τιμή της f στο ν-στο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 1 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 2 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο ν-στο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το άθροισμα των ν μεγάλων ορθογωνίων παρ/μων είναι S ν = και το άθροισμα των ν μικρών ορθογωνίων παρ/μων είναι s ν =... Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S ν - s ν =.. Ποιον αριθμό πλησιάζει η διαφορά S ν - s ν καθώς το ν μεγαλώνει;.. Ποιον αριθμό πλησιάζει το S ν καθώς το ν μεγαλώνει; Ποιον αριθμό πλησιάζει το s ν καθώς το ν μεγαλώνει; Μπορούμε με την παραπάνω διαδικασία να βρούμε το εμβαδόν που 2 περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= x τον άξονα x' x και τις ευθείες x=0 και x=1; 12

13 5.1.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου Ι Η εύρεση του εμβαδού που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τον άξονα x ' x και δυο ευθείες της μορφής x = α και x = β είναι ζητούμενο για μεγάλο πλήθος εφαρμογών. Ενδεικτικά, είναι γνωστό από τη φυσική ότι σε μια κίνηση το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ταχύτητας/χρόνου, τον άξονα x ' x και τις ευθείες x=t 1, x=t 2 ισούται με την απόσταση που διανύει το κινητό στο χρονικό διάστημα [t 1, t 2 ]. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αναζητούμε ένα τρόπο υπολογισμού του εμβαδού για το ημιπαραβολικό χωρίο ΑΒΓΔ, το οποίο περικλείεται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΑΔ και το παραβολικό τμήμα ΓΔ. Δ Α Γ B Ε1 : Πώς μπορούμε να σκεφτούμε για παρόμοια απλούστερα προβλήματα; Εάν για παράδειγμα αντί για μια παραβολική συνάρτηση είχαμε μια απλή εξίσωση ευθείας, πώς θα μπορούσατε να υπολογίσετε τα παρακάτω εμβαδά; i. y = c ή ii. y = α x+ β 13

14 Ε2: i. Για ποια ευθύγραμμα γεωμετρικά σχήματα του επιπέδου γνωρίζετε τύπους υπολογισμού του εμβαδού τους; ii. Να γράψετε αυτούς τους τύπους για τα εμβαδά των σχημάτων, στα οποία αναφερθήκατε προηγουμένως. Ε3: Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε αυτά τα σχήματα και τους αντίστοιχους τύπους για να υπολογίσετε το ζητούμενο εμβαδόν; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. Ε4: Θα μπορούσατε να βρείτε ένα προφανές ορθογώνιο που να έχει εμβαδόν μικρότερο από το παραβολικό χωρίο και ένα άλλο ορθογώνιο με την ίδια βάση και εμβαδόν μεγαλύτερο από το ίδιο χωρίο; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Αλλάξτε (εάν αυτό απαιτείται) την παράμετρο ν, η οποία ελέγχει το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης, θέτοντας την τιμή 1. 14

15 Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους μετρητές εμβαδών πάνω στην οθόνη, για να πάρετε μια πρώτη προσέγγιση (να γράψετε μια διπλή ανισότητα) για το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Ε5: Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στα εμβαδά του άνω και του κάτω ορθογωνίου είναι: Δ = S s = Ε6: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Η παράμετρος ν ελέγχει το πλήθος των άνω και κάτω ορθογωνίων κάλυψης, τα οποία κατασκευάζονται από το λογισμικό. Δώστε σε αυτή την παράμετρο την τιμή ν = 2 για να κατασκευάσετε δύο αντίστοιχα τέτοια ορθογώνια. Οι μετρητές εμβαδών S ν και s ν στην οθόνη, παρέχουν το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τόσο πάνω από τη καμπύλη, όσο και κάτω αντίστοιχα. Αυτά ονομάζονται Αθροίσματα Riemann. 15

16 Ε7: Θα μπορούσατε να εξηγήσετε με ποιο τρόπο ακριβώς υπολογίζονται από το πρόγραμμα οι τιμές των S και s ; 2 2 Ε8: Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε9: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Με τη βοήθεια της ίδιας παραμέτρουν που χρησιμοποιήσατε προηγουμένως, αλλάξτε το πλήθος των ορθογωνίων με ίσες βάσεις που καλύπτουν ακριβώς το διάστημα [0,10] σε ν = 3. 16

17 Ε10: Θα μπορούσατε να βρείτε μια τρίτη (ακόμη καλύτερη) προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν; Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε11: Για ποιο πλήθος ν ορθογωνίων θα μπορούσατε να βρείτε τον αριθμό Ε με προσέγγιση ακεραίας μονάδας; Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Πατώντας το κόκκινο πλήκτρο μπορείτε να εμφανίσετε το εργαλείο μεγέθυνσης. Χρησιμοποιείστε αυτό το εργαλείο για να πάρετε μια αίσθηση για την ακρίβεια της κάλυψης του ζητούμενου παραβολικού χωρίου από ορθογώνια. Αλλάξτε κατά βούληση τον συντελεστή μεγέθυνσης. Ε12: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις διαφορές ανάμεσα στα αντίστοιχα εμβαδά των άνω και κάτω ορθογωνίων, όπως αυτά εμφανίζονται στο παράθυρο μεγέθυνσης, καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των ορθογωνίων; 17

18 Ε13: Θα μπορούσατε να βρείτε το ζητούμενο εμβαδόν Ε με προσέγγιση δεκάτου; Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε14: Συμπληρώστε τα κενά στον παρακάτω πίνακα με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως. ν S ν s ν Διαφορά : Δ ν = S ν s ν 1 120, , , Καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των ορθογωνίων κάλυψης: Ε15: Πώς μεταβάλλονται οι τιμές που περιέχονται στον προηγούμενο πίνακα για το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann; 18

19 Ε16: Πώς μεταβάλλεται η διαφορά Δ ν = S ν s ν ; Ε17: Νομίζετε ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να οδηγήσει στον υπολογισμό του ζητούμενου εμβαδού με απόλυτη ακρίβεια; Ε18: Νομίζετε ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να τελειώσει; Ε19: Ποιον αριθμό νομίζετε ότι προσεγγίζει η διαφορά των αθροισμάτων Δ ν = S ν - s ν ; 19

20 Ε20: Πόσο κοντά στο 0 νομίζετε ότι μπορεί να φτάσει η διαφορά Δ ν ; Ε21: Πόσο κοντά στο ζητούμενο εμβαδόν νομίζετε ότι μπορούμε να φτάσουμε μέσω αυτής της διαδικασίας; Ε22: Νομίζετε ότι η παραπάνω διαδικασία μπορεί πράγματι να αποτελέσει ένα τρόπο μέτρησης για το άγνωστο εμβαδόν Ε; 20

21 5.1.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου ΙΙ Θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 2 γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x, την ευθεία x = 1 και τον άξονα x ' x. 1. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε δύο ίσα μέρη. Το μήκος καθενός από τα διαστήματα [0,1/2] και [1/2,1] είναι. Η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [0,1/2] είναι και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι... και η ελάχιστη Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [0,1/2] και ύψος τη μέγιστη τιμή στο διάστημα [0,1/2] είναι Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [0,1/2] και ύψος την ελάχιστη τιμή στο διάστημα [0,1/2] είναι Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [1/2,1] και ύψος την μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι. 21

22 Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [1/2,1] και ύψος την ελάχιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων που προέκυψαν από τη μέγιστη τιμή σε κάθε διάστημα είναι S 2 =.. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων που προέκυψαν από την ελάχιστη τιμή σε κάθε διάστημα είναι s 2 =.. Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S 2 - s 2 =.. 2. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε τρία ίσα μέρη. Τα διαστήματα στα οποία χωρίσαμε το [0,1] είναι τα [, ] [, ] [, ] Κάθε ένα από αυτά έχει μήκος. Η μέγιστη τιμή της f στο 1 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 2 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 3 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 1 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 2 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 3 ο διάστημα 22

23 έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το άθροισμα των τριών μεγάλων ορθογωνίων παρ/μων είναι S 3 =... Και το άθροισμα των τριών μικρών ορθογωνίων παρ/μων είναι s 3 =... Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S 3 - s 3 =.. 3. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε ν ίσα μέρη. Τα διαστήματα που θα δημιουργηθούν θα είναι τα [, ] [, ] [, ] [, ] Κάθε ένα από αυτά έχει μήκος Η μέγιστη τιμή της f στο 1 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 2 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη... Η μέγιστη τιμή της f στο ν-στο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 1 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 2 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο ν-στο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το άθροισμα των ν μεγάλων ορθογωνίων παρ/μων είναι S ν = και το άθροισμα των ν μικρών ορθογωνίων παρ/μων είναι s ν =... 23

24 Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S ν - s ν =.. Ποιον αριθμό πλησιάζει η διαφοράs ν - s ν καθώς το ν μεγαλώνει;.. Ποιον αριθμό πλησιάζει το S ν καθώς το ν μεγαλώνει; Ποιον αριθμό πλησιάζει το s ν καθώς το ν μεγαλώνει; Μπορούμε με την παραπάνω διαδικασία να βρούμε το εμβαδόν που 2 περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= x τον άξονα x' x και τις ευθείες x=0 και x=1; 24

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο 2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή, με αφορμή τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας, εισάγει στο όριο συνάρτησης σε σημείο. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ

ΔΥΟ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΔΥΟ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ Η διαγνωστική δοκιμασία θα είναι επώνυμη όχι ανώνυμη. Ο μαθητής αναλαμβάνει την ευθύνη του τι γράφει. Επίσης είναι χωρίς προειδοποίηση, ωστόσο οι μαθητές είναι ενήμεροι του

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης

4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης 4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή πραγματεύεται την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και ακολούθως εισάγει το θεώρημα της μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1. 3 3cm 2. E( ) 24 3cm 3. E( ) 12 3cm ) 1. 8cm 2. 18cm 3. E 56 3 cm 4. E 20 3 cm. 6cm, cm, 3 6 cm, E cm )

1. 3 3cm 2. E( ) 24 3cm 3. E( ) 12 3cm ) 1. 8cm 2. 18cm 3. E 56 3 cm 4. E 20 3 cm. 6cm, cm, 3 6 cm, E cm ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( 1) 3( ) 5( 3). 4 ( 3) 6 3. 3(4 ) 5( 1) 1 3(1 ) 3( ) 4 3 4. 1 5. 4 6 3 1 1 4( ) 1 1 3 6. 1 7. 1 3 6 3 4 3 3 1

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή

Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Πωσ μπορεί κανείσ να λύςει προβλήματα με τη βοήθεια τησ Mahemaica Πρόβλημα 9 α : Κλίςη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ)

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) Σπύρος Φερεντίνος, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 :

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 : Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 Tel. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 B τάξη Γυμνασίου Να βρείτε τους αριθμούς 0 4 1 1 77 16 60 19 7 : 000 : και 4 : 4 9

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΓΙΟΥΔΗΣ ΙΩΑΚΕΙΜ Μsc Φυσικός Σελίδα 1

ΣΤΕΡΓΙΟΥΔΗΣ ΙΩΑΚΕΙΜ Μsc Φυσικός Σελίδα 1 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ u-t ΣΤΕΡΓΙΟΥΔΗΣ ΙΩΑΚΕΙΜ Μsc ΦΥΣΙΚΟΣ Διάγραμμα ο Με δεδομένο ότι χ βρείτε : Ποια η επιτάχυνσή του. Κάντε τα διαγράμματα α-t και χ-t Με δεδομένο ότι χ βρείτε : Ποια η επιτάχυνσή του. Κάντε τα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ 3 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ 3 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 η θεματική ενότητα: Εφαρμογές του εκπαιδευτικού λογισμικού IP 2005 ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ 3 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θέμα Οριζόντια βολή δραστηριότητας: Μάθημα και Τάξη Φυσική Α Λυκείου στην οποία απευθύνεται: Εκπαιδευτικοί:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Α. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΧΕΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΜΑ: ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΑΞΟΝΑ 1. Ανοίξτε το πρόγραμμα Revelation Natural Art-νεανικό. Εμφανίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6/6/2014 Αριθμητικά.. ΤΑΞΗ: Β ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες Ολογράφως: ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:......

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 4

ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 4 7.0 ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και x αντίστοιχα, με - < x < 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου 1 Εμβαδά 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α=, να υπολογιστεί η παράσταση: 9 9 f ( x) dx f ( x) dx 1 6 ) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική Α ΤΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική ΜΕΡΟΣ 1 : Ευθύγραμμες Κινήσεις 1. Να επαναληφθεί το τυπολόγιο όλων των κινήσεων - σελίδα 2 (ευθύγραμμων και ομαλών, ομαλά μεταβαλλόμενων) 2. Να επαναληφθούν όλες οι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης Στη C++ υπάρχουν 3 διαφορετικές εντολές επανάληψης: while for do-while 1 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολή while Παράδειγμα #1 Κατασκευάστε πρόγραμμα που για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα