papost/

Transcript

1 ΑΓΩΓΟΙ, ΠΥΚΝΩΤΕΣ, ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ (ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ), ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Δρ Παντελής Σ Αποστολόπουλος papost/ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

2 Αγωγοί και Επαγόμενα φορτία Ορισμός Σε έναν μονωτή, όπως το γυαλί ή το καουτσούκ, κάθε ηλεκτρόνιο είναι δεσμευμένο σε κάποιο άτομο Συνεπώς δεν υπάρχουν μη δέσμια φορτία στο εσωτερικό και στην επιφάνεια του υλικού Αντιθέτως σε ένα μεταλλικό υλικό ένα ή περισσότερα ηλεκτρόνια ανά άτομο (ή ιόντα σε υγρούς αγωγούς) είναι ελεύθερα να περιπλανώνται μέσα στο υλικό Ορίζουμε ως τον ιδανικό αγωγό εκείνο το υλικό το οποίο εμπεριέχει απεριόριστο απόθεμα ελεύθερων ηλεκτρονίων Παρόλο που πραγματικά ιδανικοί αγωγοί δεν υπάρχουν, πολλά από τα (μη ιδανικά) αγώγιμα υλικά προσεγγίζουν σε μεγάλο βαθμό τις ιδιότητες των τέλειων αγωγών Αν δεν υπάρχει ΗΠ τότε τα φορτία κινούνται ευθύγραμμα ομαλά μεταξύ των συγκρούσεων, χωρίς την επίδραση κάποιας δύναμης και οι διευθύνσεις των ταχυτήτων τους είναι τυχαίες Με την επίδραση ΗΠ οι διαδρομές τους καμπυλώνονται λόγω της επιτάχυνσης που προκαλεί η δύναμη Coulomb

3 Αγωγοί και Επαγόμενα φορτία Βασικές ιδιότητες των Αγωγών 1 E = 0 στο εσωτερικό του αγωγού Πράγματι έστω ότι ένας αγωγός τοποθετείται μέσα σε ένα ΗΠ έντασης E 0 με διεύθυνση προς τα δεξιά Το ΗΠ αναγκάζει τα αρνητικά φορτία να μετακινηθούν προς τα αριστερά και η δεξιά πλευρά του αγωγού φορτίζεται θετικά (λόγω περίσσεια φορτίου) Τα επαγόμενα φορτία δημιουργούν δικό τους ΗΠ E 1 το οποίο, προφανώς, είναι αντίθετης φοράς από το E 0 Άρα τείνει να εξουδετερώσει το εξωτερικό πεδίο και η συσσώρευση φορτίων στις δύο πλευρές του αγωγού συνεχίζεται μέχρι να επιτευχθεί αυτό Συνεπώς το πεδίο στο εσωτερικό του αγωγού είναι μηδεν 2 Στο εσωτερικό του αγωγού Q Ολικό = 0 Αποδεκνύεται εύκολα από τον νόμο του Gauss Φ = Q Ολικό ɛ 0, Φ = 0 Q Ολικό = 0 Το Q Ολικό = 0 υπονοεί ίσα ποσά θετικού και αρνητικού φορτίου

4 Αγωγοί και Επαγόμενα φορτία Βασικές ιδιότητες των Αγωγών 3 Οποιαδήποτε συσσώρευση φορτίου βρίσκεται στην επιφάνειά του Η ιδιότητα αυτή προκύπτει άμεσα από τις προηγούμενες 4 Το Δυναμικό είναι σταθερό σε όλη την επιφάνεια του αγωγού Πράγματι από τον ορισμό της ΔΔ λαμβάνουμε V a V b = V ab = W r b a b q = r a Fdr q = r b r a Edr = 0 V a = V b Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η επιφάνεια του αγωγού είναι μία ισοδυναμική επιφάνεια 5 Η ένταση του ΗΠ σε σημεία πολύ κοντά στον αγωγό έχει κάθετη διεύθυνση στην επιφάνειά του Αν σχημάτιζε γωνία με την επιφάνεια, τότε τα επιφανειακά φορτία θα κινούνταν μέχρι τη στιγμή που η θέση τους θα ήταν τέτοια ώστε να αναιρέσουν την εφαπτομενική συνιστώσα και το ΗΠ κοντά στον αγωγό θα γινόταν και πάλι κάθετο

5 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Ορισμός Οποιουδήποτε σχήματος σύστημα δύο αγωγών κάθε ένας από τους οποίους φέρει ίσο αλλά διαφορετικού προσήμου φορτίο καλείται Πυκνωτής Ουσιαστικά κάθε πυκνωτής είναι ένα αποθηκευτικό μέσο φορτίων! Για κάθε πυκνωτή ισχύει (θα το αποδείξουμε για την απλή περίπτωση επίπεδου πυκνωτή) E = σ ɛ 0 όπου E είναι η ένταση του ΗΠ στο εσωτερικό του πυκνωτή και σ η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου του κάθε αγωγού (θυμηθείτε ότι σε κάθε αγωγό όλο το φορτίο εντοπίζεται στην επιφάνειά του) Συνεπώς αυξάνοντας/μειώνοντας την πυκνότητα σ αυξάνεται/μειώνεται και η ένταση E Από τη σχέση βαθμίδας δυναμικού E = dv dr παρατηρούμε ότι αυξάνεται/μειώνεται και το δυναμικό V Συνεπώς το φορτίο και το δυναμικό είναι μεγέθη ανάλογα

6 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Η σταθερά αναλογίας καλείται Χωρητικότητα του Πυκνωτή συμβολίζεται με C και έχει μονάδες 1Farad=1Coulomb/1Volt E C = Q V Σχήμα 14 και ισχύει για πυκνωτή οποιουδήποτε σχήματος Στην περίπτωση πυκνωτή που δημιουργείται από δύο παράλληλες πλάκες επιφανειακής πυκνότητας φορτίου σ, το ΗΠ υφίσταται μόνο στο εσωτερικό του συστήματος Σε κάθε σημείο εκτός (ή και πάνω στις επίπεδες πλάκες) τα διανύσματα της έντασης έχουν αντίθετη φορά άρα αλληλοεξουδετερώνονται Στον ενδιάμεσο χώρο οι εντάσεις του ΗΠ που προέρχονται από τις δύο πλάκες είναι ομόρροπες Στην Άσκηση 5 είδαμε ότι E = σ 2ɛ 0 για επίπεδη επιφάνεια Συνεπώς στο εσωτερικό E = σ/ɛ 0

7 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Παράδειγμα 8 Η χωρητικότητα ενός πυκνωτή εξαρτάται άμεσα από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των αγωγών (οπλισμοί) οι οποίοι τον αποτελούν Ας το δείξουμε αυτό στην περίπτωση επίπεδου πυκνωτή Εχουμε δει (Παράδειγμα 7) ότι E = V d V = Ed όπου d είναι η απόσταση των οπλισμών μεταξύ τους Επιπλέον αν S είναι το εμβαδόν της επιφάνειάς τους το συνολικό φορτίο θα είναι σ = Q S Q = σs Χρησιμοποιώντας και τη σχέση E = σ ɛ 0 σ = Eɛ 0 λαμβάνουμε τελικά ότι C = Q V = σs V C = ɛ 0 S d = Eɛ 0S Ed

8 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Εν Σειρά Σύνδεση Πυκνωτών Η εν σειρά συνδεσμολογία πυκνωτών φαίνεται στο Σχήμα 15 Εφαρμόζοντας ΔΔ V στα άκρα AB ο πρώτος πυκνωτής αποκτά συνολικό φορτίο Q Λόγω του μηχανισμού φόρτισης αγωγών που περιγράφηκε, ο δεύτερος πυκνωτής θα αποκτήσει και αυτός συνολικό φορτίο Q Άρα στην εν σειρά σύνδεση έχουμε ΙΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ Για τις τάσεις ισχύει V = V AB = V AΓ + V ΓB = V 1 + V 2 A C Ολικό C 1 C 2 Γ V 1 V 2 V Σχήμα 15 Θεωρώντας έναν ισοδύναμο πυκνωτή C με ΔΔ V, από τον τύπο της χωρητικότητας λαμβάνουμε V = Q C Ολικό V 1 + V 2 = 1 Q C Ολικό Q C 1 + Q C 2 = Q C Ολικό B C Ολικό = 1 C C 2

9 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Εν Παραλλήλω Σύνδεση Πυκνωτών Η εν παραλλήλω συνδεσμολογία πυκνωτών φαίνεται στο Σχήμα 16 Εφαρμόζοντας ΔΔ V στα άκρα AB και οι δύο πυκνωτές αποκτούν Q 1 κοινή ΔΔ (δεν παρεμβάλεται κάποιο στοιχείο C το οποίο να αυξομειώσει το δυναμικό) Άρα 2 στην εν παραλλήλω σύνδεση έχουμε ΙΔΙΑ ΔΔ Τα φορτία όμως είναι εν γένει διαφορετικά, έστω Q 2 Q 1, Q 2 Θεωρώντας έναν ισοδύναμο πυκνωτή C με ίδια ΔΔ V το συνολικό του φορτίο θα προκύπτει από την άθροιση των επιμέρους Q 1, Q 2 A V δηλαδή Q ολικό = Q 1 + Q 2 Επομένως Σχήμα 16 Q Ολικό = Q 1 + Q 2 C Ολικό V = C 1 V + C 2 V C 1 C Ολικό B C Ολικό = C 1 + C 2

10 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Δυναμική Ενέργεια Πυκνωτή Προκειμένου να φορτίσουμε έναν πυκνωτή με φορτίο Q αρκεί η μεταφορά έστω ποσότητας dq > 0 από τον έναν οπλισμό στον άλλο Αυτομάτως ο πρώτος οπλισμός αποκτά περίσσεια αρνητικού φορτίου, άρα φορτίζεται αυτόματα αρνητικά Η συνεχής μεταφορά θετικού φορτίου στον δεύτερο οπλισμό απαιτεί κατανάλωση έργου (από το μηχανισμό μεταφοράς) Αυτό το έργο ουσιαστικά είναι η αποθηκευμένη Δυναμική Ενέργεια του πυκνωτή Προφανώς το δυναμικό του πυκνωτή θα είναι κάθε φορά ανάλογο με το φορτίο που έχουμε συσσωρεύσει δηλαδή V = q C Τελικά dw = Vdq W = U Πυκνωτή = Q 0 Vdq = Q 0 q C dq U Πυκνωτή = 1 2 Q 2 C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV

11 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Πυκνότητα Δυναμικής Ενέργειας Πυκνωτή Η ΔΕ του πυκνωτή είναι ισοδύναμη με την ενέργεια που βρίσκεται αποθηκευμένη στο χώρο ανάμεσα στους οπλισμούς του (εκτός οπλισμών το ΗΠ είναι μηδέν) Συνεπώς είναι χρήσιμο να υπολογίσουμε την πυκνότητα ενέργειας δηλαδή το ποσό της ΔΕ ανά μονάδα όγκου Εχουμε διαδοχικά { V = Ed C = ɛ 0 S d } ϱ E = U Πυκνωτή V Ογκος = ϱ E = 1 2 ɛ 0E 2 1 CV 2 2 = Sd 1 ɛ 2 0 S d E 2 d 2 Sd Η σχέση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική και όπως θα δούμε στα Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα (Η/ΜΚ) σχετίζεται με το ποσό ηλεκτρικής ενέργειας που μεταφέρει ένα φωτόνιο (ισοδύναμα ένα Η/ΜΚ) κατά τη διάδοσή του

12 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Άσκηση 15 Εστω η συνδεσμολογία πυκνωτών που φαίνεται στο Σχήμα 17 Να υπολογίσετε την ισοδύναμη χωρητικότητα, το φορτίο και τη ΔΔ κάθε πυκνωτή Δίνεται C 1 = C 5 = 3µF, C 2 = C 3 = C 4 = 2µF και V A B = 600V Λύση Οι πυκνωτές C 3, C 4 είναι συνδεδεμένοι εν σειρά (μεταξύ των οπλισμών τους πχ το σημείο Γ, δεν παρεμβάλλεται μη μηδενικό δυναμικό) Συνεπώς η ισοδύναμη χωρητικότητα είναι A B C 1 C 3 C 2 C 5 C 4 Σχήμα 17 Γ 1 C 3,4 = 1 C C 4 C 3,4 = C 3C 4 C 3 + C 4 = 1µF Ο προκύπτων C 3,4 πυκνωτής είναι συνδεδεμένος εν παραλλήλω με τον πυκνωτή C 2 (έχουν κοινή ΔΔ) επομένως C 2,3,4 = C 2 + C 3,4 = 3µF

13 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Τέλος οι πυκνωτές C 1, C 5, C 2,3,4 είναι συνδεδεμένοι εν σειρά και η ολική (ισοδύναμη) χωρητικότητα είναι ( ) 1 C = = C 1 C 5 C ,3, µf C = 1µF Εχοντας υπολογίσει την ολική χωρητικότητα προσδιορίζουμε το ολικό φορτίο στο σύστημα Q = CV = 10 6 F 600Volt = 600µC Για τον υπολογισμό της τάσης και των φορτίων σε κάθε πυκνωτή ξεκινάμε από το τέλος Πράγματι οι πυκνωτές C 1, C 5, C 2,3,4 είναι συνδεδεμένοι εν σειρά άρα έχουν κοινό φορτίο ίσο με αυτό της ισοδύναμης χωρητικότητας C Άρα Q 1 = Q 5 = Q 2,3,4 = 600µC Υπολογίζουμε V 1 = Q 1 C 1 = 600µC 3µF = 200Volt, V 5 = 200Volt, V 2,3,4 = 200Volt

14 Πυκνωτές και Χωρητικότητα Οι πυκνωτές C 2, C 3,4 είναι συνδεδεμένοι εν παραλλήλω άρα έχουν κοινή ΔΔ ίση με αυτήν της ισοδύναμης χωρητικότητας C 2,3,4 Άρα V 2 = 200Volt, V 3,4 = 200Volt Το φορτίο υπολογίζεται εύκολα Q 2 = C 2 V 2 = 400µC και Q 3,4 = C 3,4 V 3,4 = 200µC Τέλος οι πυκνωτές C 3, C 4 είναι συνδεδεμένοι εν σειρά άρα έχουν κοινό φορτίο ίσο με αυτό της ισοδύναμης χωρητικότητας C 3,4 το οποίο είναι Q 3,4 = 200µC Επομένως V 3 = Q 3 = 100Volt, V 4 = Q 4 = 100Volt C 3 C 4

15 Διηλεκτρικά Ορισμός Τα υλικά στα οποία όλα τα ηλεκτρόνια είναι προσκολλημένα (δεσμευμένα) σε συγκεκριμένα άτομα ή μόρια, πραγματοποιώντας μόνο μικροσκοπικές μετατοπίσεις στο εσωτερικό του ατόμου καλούνται διηλεκτρικά (μονωτές) Τα ΗΠ επιδρούν στην κατανομή φορτίου σε ένα άτομο ή μόριο διηλεκτρικού με δύο συνακόλουθα αποτελέσματα : α) Την Επιμήκυνση και β) την Περιστροφή της κατανομής φορτίου του διηλεκτρικού Τα διηλεκτρικά συνίστανται από, τυχαία προσανατολισμένες, συγκεντρώσεις διπολικών ατόμων ή μορίων στα οποία οι σφαιρικές κατανομές των θετικών και αρνητικών φορτίων είναι ετερόκεντρες (διαφορετικό κέντρο) Μη Πολικό Άτομο Πολωμένο Άτομο

16 Διηλεκτρικά Η εισαγωγή ενός διηλεκτρικού μέσα σε ένα ΗΠ επάγει μία αναδιάταξη των διπόλων, λόγω της δύναμης Coulomb που ασκείται στους δύο πόλους και τείνει να ευθυγραμμίσει τα δίπολα Ενα ιδιαίτερα σημαντικό φυσικό μέγεθος είναι η Διπολική Ροπή η οποία ορίζεται ως p qr όπου r είναι το διάνυσμα που ορίζεται από την απόσταση των φορτίων q που συνιστούν το δίπολο Η δύναμη Coulomb επάγει μία ροπή στρέψης της οποίας το μέτρο είναι E F r F N = p E sin θ όπου θ είναι η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα της δύναμης Coulomb και της απόστασης Η διεύθυνση του N είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από την F και το r

17 Διηλεκτρικά Άσκηση 16 Να υπολογιστεί η ΔΕ ενός διπόλου το οποίο βρίσκεται μέσα σε ομογενές ΗΠ Λύση Οπως είδαμε ένα δίπολο δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση αλλά περιστροφική λόγω της ροπής στρέψης N Το έργο που παράγεται κατά την περιστροφή είναι ουσιαστικά η ΔΕ που είναι αποθηκευμένη στο δίπολο Το έργο στην περιστροφική κίνηση μεταξύ γωνιών θ 0 και θ δίνεται από τη σχέση W = θ θ 0 N dθ Χρησιμοποιώντας τη σχέση για την ροπή λαμβάνουμε U Διπόλου = W = θ θ p E sin θdθ = p E sin θdθ θ 0 θ 0

18 Διηλεκτρικά U Διπόλου = p E (cos θ cos θ 0 ) Επιλέγοντας κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων (ουσιαστικά θεωρώντας ότι το δίπολο στην αρχή ήταν κάθετο στο πεδίο) θέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ως αρχική γωνία θ = π/2 Τελικά λαμβάνουμε U Διπόλου = p E cos θ = p E δηλαδή η ΔΕ του διπόλου δίνεται από το εσωτερικό γινόμενο της διπολικής ροπής και της έντασης του ΗΠ Η κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας του συστήματος (θυμηθείτε όταν έχουμε ελάχιστη ΔΕ) προκύπτει αν θ = 0 δηλαδή όταν η διπολική ροπή και η ένταση είναι ομόρροπα διανύσματα ή αλλιώς τα δίπολα στο διηλεκτρικό τείνουν να γίνουν ομοπαράλληλα με το ΗΠ

19 Διηλεκτρικά Το ΗΠ ενός Πολωμένου διηλεκτρικού Οπως είδαμε στα προηγούμενα εδάφια, η επίδραση που έχει ένα εξωτερικό ΗΠ σε ένα διηλεκτρικό είναι να ευθυγραμμίσει τα δίπολα προς την κατεύθυνση του πεδίου αυτού Λέμε τότε ότι το διηλεκτρικό έχει πολωθεί Το φυσικό μέγεθος που περιγράφει την κατάσταση αυτή καλείται Πόλωση, συμβολίζεται ως P και ορίζεται ως το πηλίκο της διπολικής ροπής προς τον όγκο του διηλεκτρικού P p V Εχοντας πολωμένο το υλικό, όλα τα δίπολα βρίσκονται στην ίδια κατεύθυνση Συνεπώς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα ενδιάμεσα αντίθετα φορτία αλληλοεξουδετερώνονται και μένουν μόνο τα ακραία φορτία δημιουργώντας μία επιφανειακή κατανομή φορτίων

20 Διηλεκτρικά Τα φορτία αυτά προφανώς δεν μπορούν να κινηθούν και προς τούτο καλούνται Δέσμια Φορτία Στην περίπτωση ομογενούς πόλωσης (πχ από ομογενές εξωτερικό πεδίο), το οποίο σημαίνει ότι το διάνυσμα P είναι σταθερό κατά μέτρο και κατεύθυνση, ισχύει σ Δέσμια Φορτία = P e S όπου e S είναι το μοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια Μέσα όμως σε διηλεκτρικά μπορούν να υπάρχουν και ελεύθερα φορτία τα οποία δεν προκύπτουν από την πόλωση των διπόλων αλλά προέρχονται από την εμβάπτυνση μικρών αγώγιμων τμημάτων στο διηλεκτρικό, ιόντων κτλ Η συνολική ένταση του ΗΠ ενός διηλεκτρικού είναι D = ɛ 0 E Ολικό + P όπου D καλείται Ηλεκτρική Μετατόπιση Για γραμμικά μέσα D = ɛe Ολικό όπου ɛ καλείται ηλεκτρική διαπερατότητα

21 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Ηλεκτρεγερτική Δύναμη (ΗΕΔ) Οπως είδαμε σε ένα αγωγό το ΗΠ στο εσωτερικό του είναι μηδέν και τα φορτία (κατά κύριο λόγο ηλεκτρόνια) βρίσκονται στην επιφάνειά του Η ακινησία των φορτίων ορίζει και την έννοια του Ηλεκτροστατικού Πεδίου! Παρόλα αυτά κάνουμε ένα βήμα πιο πέρα και επιτρέπουμε στα ηλεκτρόνια ενός αγωγού να μπορούν να κινούνται ελεύθερα στο εσωτερικό του Η κίνηση αυτή δημιουργεί πλέον καινούρια φαινόμενα (Μαγνητοστατικό Πεδίο και πλέον Ηλεκτρικό Πεδίο) τα οποία θα μελετήσουμε στο επόμενο Κεφάλαιο Λόγω του ότι τα φορτία του αγωγού έχουν την τάση να δημιουργούν ένα αντίρροπο ΗΠ ώστε να επέλθει ισορροπία και μηδενισμός του πεδίου στο εσωτερικό, πρέπει να υπάρχει ένας μηχανισμός ώστε να διατηρεί την έντασή του στο εσωτερικό σταθερή Ο μηχανισμός αυτός καλείται Ηλεκτρεγερτική Δύναμη (ΗΕΔ) Ουσιαστικά η ΗΕΔ τροφοδοτεί συνεχώς με ενέργεια το σύστημα αγωγού-φορτίων ώστε να μπορούν τα τελευταία να μετακινούνται από σημεία χαμηλής ΔΕ σε σημεία υψηλής ΔΕ

22 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Ο συμβολισμός της ΗΕΔ φαίνεται στο διπλανό Σχήμα Η δράση της στο κύκλωμα είναι να αναγκάζει τα φορτία (είτε θετικά είτε αρνητικά) να μετακινούνται από σημεία χαμηλής ΔΕ (αρνητικός πόλος) σε σημεία υψηλής ΔΕ (πχ για q > 0 από τον αρνητικό πόλο στον θετικό!) Η μετακίνηση φορτίων είναι δυνατόν να περιγραφεί ποσοτικά Ορίζουμε ως Ηλεκτρικό Ρεύμα τη βαθμωτή ποσότητα I = dq dt + E Φορά Ρεύματος Φορτίων Αγωγού + I δηλαδή ως το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής του φορτίου που μετακινείται σε μία περιοχή Μονάδα 1 Ampère=1C/1sec Η πραγματική φορά ρεύματος σε έναν αγωγό είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό Σχήμα + + dx E - I + +

23 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Πυκνότητα Ρεύματος Θεωρούμε έναν κυλινδρικό αγωγό μήκους l και εμβαδού διατομής S Κόβουμε τον αγωγό σε απειροστά τμήματα dx έτσι ώστε l = dx Αν τα φορτία έχουν ταχύτητα u e τότε ο χρόνος που χρειάζεται για να διανυθεί το στοιχειώδες τμήμα είναι dx = u e dt dt = dx u e Αν ο συνολικός αριθμός φορτίων q στον αγωγό ανά μονάδα όγκου είναι n e dn τότε στον στοιχειώδη dv Ογκος όγκο Sdx = Su e dt υπάρχει φορτίο qn e Su e dt = dq άρα I = dq dt = qn eu e Sdt dt = qn e u e S J I S = qn eu e Φορά Ρεύματος Φορτίων Αγωγού + Η ποσότητα J καλείται πυκνότητα ρεύματος Ουσιαστικά η J = qn e u e είναι διανυσματικό μέγεθος και έχουμε I = J S I dx + E - I + +

24 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Η κίνηση φορτίων μέσα σε έναν αγωγό δεν R γίνεται ελεύθερα και υπάρχει απώλεια ενέργειας λόγω των συγκρούσεών τους με τα ακίνητα ιόντα (ή και μεταξύ τους) του αγωγού Οι συγκρούσεις αυτές δημιουργούν θερμικά ρεύματα τα οποία απάγονται στο περιβάλλον με αποτέλεσμα μείωση της ενέργειας Παρατηρήθηκε ένας μακροσκοπικός νόμος ο οποίος σχετίζεται με τη δυσκολία μετακίνησης των φορτίων μέσα σε έναν αγωγό στον οποίο έχουμε ΔΔ (τάση) V, διαρρέεται από ρεύμα I και είναι της μορφής R = V I όπου R καλείται αντίσταση (μονάδα 1Ohm = 1V /1A) του αγωγού και καθορίζει το μέτρο της δυσκολίας στην κίνηση των φορτίων

25 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Ισοδύναμες Μορφές του Νόμου του Ohm R = V I Η γραφική παράσταση I = I (R) (αντίσταση συναρτήσει του ρεύματος με σταθερή ΔΔ) είναι μία υπερβολή Παρατηρούμε ότι αυξάνοντας τις τιμές της τάσης (ως παράμετρος) η υπερβολή μετακινείται ακτινικά προς τα πάνω

26 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Ισοδύναμες Μορφές του Νόμου του Ohm V = IR Η γραφική παράσταση V = V (I ) (τάση συναρτήσει του ρεύματος με σταθερή αντίσταση) είναι μία ευθεία η οποία περνά από την αρχή των αξόνων Η αντίσταση αντιπροσωπεύει την κλίση της ευθείας και ισχύει R = tan φ όπου φ η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα xx

27 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Ισοδύναμες Μορφές του Νόμου του Ohm I = V R Η γραφική παράσταση I = I (V ) (ρεύμα συναρτήσει της τάσης με σταθερή αντίσταση) είναι και πάλι ευθεία Στην περίπτωση αυτή έχουμε R 1 = tan φ Ισχύς του Νόμου του Ohm Ο μακροσκοπικός νόμος που περιγράφηκε παύει να ισχύει στην περίπτωση πολύ υψηλών τάσεων ή πολύ χαμηλών τάσεων Πχ για υψηλές τάσεις, η ενέργεια που αποκτούν τα φορτία (ηλεκτρόνια) σε συνδυασμό με την αύξηση της θερμοκρασίας λόγω των συγκρούσεων βοηθά στην απόσπαση e άρα αύξηση του υποκείμενου ρεύματος μη γραμμικά με την τάση I V

28 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Εν Σειρά Σύνδεση Αντιστατών Η εν σειρά συνδεσμολογία αντιστατών φαίνεται στο Σχήμα 17 Εφαρμόζοντας τάση V στα άκρα AB και οι δύο αντιστάτες διαρρέονται από το ΙΔΙΟ ΡΕΥΜΑ I (δεν υπάρχει διακλάδωση ώστε να έχουμε διαφυγή φορτίων) Ομως οι τάσεις στα άκρα των αντιστατών είναι διαφορετικές, έστω V 1, V 2 Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι V AB = V AΓ + V ΓB V = V 1 + V 2 και χρησιμοποιώντας τον νόμο του Ohm λαμβάνουμε IR Ολικό = IR 1 + IR 2 R Ολικό = R 1 + R 2 R Ολικό I R 1 R 2 A Γ B - + V 1 V 2 V Σχήμα 17 Για την περίπτωση περισσοτέρων, από δύο, αντιστατών αποδεικνύεται εύκολα R Ολικό = R 1 + R R i = R i i

29 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Εν Παραλλήλω Αντιστατών Η εν παραλλήλω συνδεσμολογία αντιστατών φαίνεται στο Σχήμα 18 Εφαρμόζοντας τάση V στα άκρα AB και οι δύο αντιστάτες αποκτούν την ΙΔΙΑ ΤΑΣΗ V (δεν υπάρχει αντίσταση μεταξύ των σημείων CE, DZ άρα δεν υπάρχει απώλεια ενέργειας άρα και δυναμικού) Ομως τα ρεύματα που διαρρέουν τους αντιστάτες είναι διαφορετικά, έστω I 1, I 2 Λόγω της αρχής διατήρησης του φορτίου ισχύει I = I 1 + I 2 I 1 E C A I 1 I 2 R 1 R 2 V Σχήμα 18 V R ολικο = V R 1 + V R 2 1 R ολικο = 1 R R 2 1 Παρόμοια ισχύει R Ολικό = 1 R R R i = i περισσότερους, από δύο, αντιστάτες 1 R i για R Ολικό D B Z

30 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Άσκηση 17 Εστω η συνδεσμολογία αντιστατών του Σχήματος 19 Να υπολογίσετε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος Λύση Οι ομάδες αντιστατών R 1, R 2, R 3 και R 6, R 7 έχουν παράλληλη σύνδεση (έχουν κοινή τάση) Συνεπώς 1 R 1,2,3 = ( ) Ω 1 R 1,2,3 = 4Ω ( ) 1 1 = R + 1 Ω 1 R 6,7 = 6Ω 6, R 1=8Ω R 2=16Ω R 3=16Ω R 6=9Ω R 7=18Ω Σχήμα 19 R 4=20Ω R 5=6Ω

31 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Το σύστημα το οποίο προκύπτει πλέον, μετά την απλοποίηση με τους ισοδύναμους (παράλληλα συνδεδεμένους) αντιστάτες R 1,2,3, R 6,7, παρουσιάζεται στο Σχήμα 20 Είναι περισσότερο από προφανές ότι οι αντιστάτες του ισοδύναμου κυκλώματος είναι συνδεδεμένοι όλοι εν σειρά Συνεπώς η ολική (ισοδύναμη) αντίσταση του συστήματος θα είναι R Ολικό = R 1,2,3 +R 4 +R 5 +R 6,7 = ( )Ω = 36Ω R 1,2,3 =4 Ω R =20 R 6,7=6Ω Σχήμα 20 4 Ω R =6 5 Ω

32 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Θερμική Ενέργεια αντιστατών Εχει γίνει κατανοητό ότι η παρουσία αντιστατών σε ένα σύστημα αγωγών και ΗΕΔ έχει ως αποτέλεσμα την παραγωγή θερμικής ενέργειας λόγω των συγκρούσεων των κινούμενων φορτίων μεταξύ τους και με τα ακίνητα ιόντα των αγωγών Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε το ποσό της Θερμικής Ενέργειας ή Ενέργειας Joule που καταναλώνεται σε μία αντίσταση Το φορτίο dq που περνά από έναν αντιστάτη R σε χρόνο dt είναι ίσο με dq = Idt Το έργο που παράγεται δίνεται κατά τα γνωστά dw = V R dq = V R Idt = I 2 Rdt Η ισχύς P Ισχύς ορίζεται ως ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ενέργειας συνεπώς P Θερμική Ισχύς = dw = I 2 R = VI = V 2 dt R Στην περίπτωση των συστημάτων σταθερού ρεύματος I =σταθερό E Joule = I 2 Rt = VIt = V 2 R t

33 Ηλεκτρικό Ρεύμα, Αντιστάτες και ο Νόμος του Ohm Αγωγιμότητα Η έννοια της Αγωγιμότητας G σχετίζεται με την ευχέρεια των φορτίων να κινούνται σε έναν αγωγό Είναι προφανές ότι περιγράφει ακριβώς την αντίθετη ιδιότητα από αυτή των αντιστατών επομένως ορίζεται ως G 1 > Μονάδα 1Ω 1 R Παρόμοια οι τύποι που μας δίνουν την ισοδύναμη G σε εν σειρά και εν παραλλήλω συνδεσμολογίες αγωγιμοτήτων είναι Εν σειρά σύνδεση Αγωγιμοτήτων 1 G Ολικό = 1 G G G i = i 1 G i Εν Παραλλήλω σύνδεση Αγωγιμοτήτων G Ολικό = G 1 + G G i = i G i

34 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Κόμβοι και Βρόχοι Ενα Ηλεκτρικό Κύκλωμα είναι ένα σύνολο από ΗΕΔ (προσφορά ΔΕ στο κύκλωμα), Αντιστάτες (κατανάλωση ΔΕ), Πυκνωτές (αποθήκευση ηλεκτρικής ΔΕ), Πηνία (αποθήκευση μαγνητικής ΔΕ) καθώς και άλλα πολυπλοκότερα ηλεκτρονικά στοιχεία Κάθε κύκλωμα είναι δυνατόν να έχει Κόμβους οι οποίοι είναι τα καταληκτικά σημεία 3 (τριών) ή περισσότερων ευθύγραμμων αγωγών (πχ το σημείο Α) Προφανώς οι αγωγοί μπορούν να φέρουν οποιοδήποτε άλλο ηλεκτρικό στοιχείο Βρόχους οι οποίοι είναι κλειστοί αγώγιμοι διάδρομοι (ΑΒΓΔΑ) Και σε αυτήν την περίπτωση οι βρόχοι μπορούν να έχουν οποιαδήποτε ηλεκτρικά στοιχεία A Δ I 1 I I 2 I 3 I 4 V 1 V 2 + E - V 3 A B Γ

35 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Κανόνες Kirchho Κανόνας των Κόμβων: Το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων σε έναν κόμβο είναι μηδέν I i = 0 I 1 + I I i = 0 i Είναι συνέπεια της Αρχής Διατήρησης του Φορτίου Πράγματι στο προηγούμενο σχήμα, παρατηρούμε ότι στον κόμβο Α και σε χρόνο dt καταλήγουν στοιχειώδη φορτία dq 1, dq 3 ενώ απομακρύνονται από αυτόν φορτία dq 2, dq 4 Επομένως dq 1 +dq 3 = dq 2 +dq 4 dq 1 dt + dq 3 = dq 2 dt dt + dq 4 I 1 +I 3 I 2 I 4 = 0 dt Σύμβαση των Κόμβων: Τα ρεύματα που καταλήγουν στον κόμβο έχουν θετικό πρόσημο ενώ αυτά που απομακρύνονται έχουν αρνητικό πρόσημο

36 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Κανόνες Kirchho Κανόνας των Βρόχων: Το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων σε ένα βρόχο είναι μηδέν V i = 0 V 1 + V V i = 0 i Είναι συνέπεια της Αρχής Διατήρησης της ενέργειας Πράγματι στο βρόχο ΑΒΓΔΑ κυκλοφορεί φορτίο dq Στους αντιστάτες έχουμε κατανάλωση ενέργειας dqv 1, dqv 2, dqv 3 ενώ στην ΗΕΔ έχουμε προσφορά ενέργειας EdQ Συνεπώς dqv 1 + dqv 2 + dqv 3 = EdQ E (V 1 + V 2 + V 3 ) = 0 Σύμβαση των Βρόχων: Επιλέγουμε μία αυθαίρετη φορά διαγραφής του βρόχου Τάσεις Αντιστατών: Αν το ρεύμα I είναι ομόρροπο με τη φορά διαγραφής, η τάση στον αντιστάτη είναι αρνητική διαφορετικά είναι θετική ΗΕΔ, Πυκνωτές: Αν η φορά διαγραφής συναντά πρώτα τον αρνητικό πόλο και μετά τον θετικό η E είναι θετική διαφορετικά είναι αρνητική

37 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Άσκηση 18 Εστω το κύκλωμα του Σχήματος 21 Να υπολογίσετε α) το ρεύμα κάθε κλάδου και β) τη ΔΔ V AB = V A V B Λύση α) Αρχικά πρέπει να σημειώσουμε ότι η κατεύθυνση κάθε ρεύματος είναι αυθαίρετη, διότι ακόμα δεν γνωρίζουμε τον τρόπο με τον οποίο διαρρέεται από ρεύμα κάθε κλάδος του κυκλώματος Επίσης θυμίζουμε ότι οι φορές διαγραφής των βρόχων είναι και αυτές αυθαίρετες R 1=2Ω E 1 = 10V R = 3Ω 2 I 1 + R 4 = 1Ω - + E 2 = 5V - R 5 = 10Ω Σχήμα 21 Η μεθοδολογία λύσης για αυτού του τύπου ασκήσεις είναι η ακόλουθη: Δ I 3 Ε Γ I 2 A B R 3 = 4Ω Ζ Η Θ

38 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton 1 Από τη στιγμή που μας ζητούνται τα ρεύματα όλων των κλάδων πρέπει να καταλήξουμε σε τόσες εξισώσεις όσες και οι άγνωστες τιμές των ρευμάτων Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε I 1, I 2, I 3 συνεπώς αναζητούμε 3 εξισώσεις 2 Εφαρμόζουμε τους Κανόνες Kirchho προκειμένου να καταλήξουμε στις ζητούμενες εξισώσεις R 1=2Ω E 1 = 10V R = 3Ω 2 I E 2 = 5V Σχήμα 21 3 Χρήση λογισμού πινάκων για την επίλυση του αλγεβρικού συστήματος εξισώσεων Αν έχουμε n εξισώσεις A με n άγνωστες μεταβλητές X τότε το αλγεβρικό σύστημα είναι της μορφής A X = B όπου A, X, B είναι πίνακες n n, n 1 και n 1 αντίστοιχα Το σύστημα έχει μοναδική λύση X = A 1 B Δ I 3 Ε Γ R 4 = 1Ω - R 5 = 10Ω I 2 A B R 3 = 4Ω Ζ Η Θ

39 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Δ I 1 + I 2 I 3 = 0 ΔΕΖΗΔ I 1 (R 1 + R 2 ) I 2 (R 3 + R 4 ) + E 2 E 1 = 0 ΓΔΗΘΓ I 2 (R 4 + R 3 ) + I 3 R 5 E 2 = 0 Αντικαθιστώντας τις τιμές έχουμε τις τρεις εξισώσεις I 1 + I 2 I 3 = 0 5I 1 5I I 3 = 5 I 1 I I 3 = 1 0 I 1 + 5I I 3 = 5 0 I 1 + I 2 + 2I 3 = 1 ή σε μορφή πινάκων I 1 I 2 I 3 = Δ I Ε Γ R 1=2Ω E 1 = 10V R = 3Ω 2 I 1 + R 4 = 1Ω - + E 2 = 5V - R 5 = 10Ω I 2 A B Σχήμα 21 R 3 = 4Ω Ζ Η Θ

40 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton I 1 I 2 I 3 = I 1 I 2 I 3 = /5 3/5 1/5 2/5 2/5 1/5 1/5 1/5 2/ I 1 I 2 I 3 = 4/5 1/5 Συνεπώς I 1 = 4/5A, I 2 = 1/5A και I 3 = 3/5A Από τα πρόσημα των ρευμάτων I 1, I 2, I 3 διαπιστώνουμε ότι οι φορές των I 1, I 3 είναι οι πραγματικές και του I 2 είναι αντίθετη από αυτή που υποθέσαμε β) Προκειμένου να υπολογίσουμε τη ΔΔ V AB αρχικά παρατηρούμε ότι V Z = V H (δεν παρεμβάλλεται αντιστάτης μεταξύ των σημείων αυτών άρα το αγώγιμο τμήμα ΖΗ έχει ίδιο δυναμικό θυμηθείτε τις ιδιότητες των αγωγών!!!) Επίσης V Z V B = I 1 R 2 = 2A 3Ω = 6V (πτώση τάσης) και V H V A = I 2 R 3 = 1A 4Ω = 4V Επομένως 3/5 (V Z V B ) (V H V A ) = 6V 4V = 2V V AB = V A V B = 2V

41 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Άσκηση 19 Δίνεται το κύκλωμα του Σχήματος 22 Να υπολογίσετε α) το ρεύμα I 6 β) Τις τιμές των ΗΕΔ E 1, E 2 γ) Την τιμή της αντίστασης R Λύση Οι άγνωστες ζητούμενες μεταβλητές είναι R, E 1, E 2, I 6 Συνεπώς χρειαζόμαστε 4 εξισώσεις Εργαζόμαστε σύμφωνα με τη μεθοδολογία που περιγράφηκε στην προηγούμενη άσκηση H Ι 1=2Α R Θ Ι 2=3Α Z E 1 + E Ι 3 Ι 6 E Ι 5 - Ι =2Α 1 Δ R 3 = 4Ω R 2 = 3Ω Ι 4=5Α R 1 = 6Ω A Β Γ Σχήμα 22

42 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Ζ I 1 I 2 + I 3 = 0, Ε I 3 + I 5 I 6 = 0 Δ I 1 I 4 I 5 = 0, ΑΒΕΖΑ I 2 R 3 I 6 R 2 E 1 = 0 ΒΓΔΕΒ I 4 R 1 + I 6 R 2 + E 2 = 0, ΖΔΘΗΖ I 1 R E 2 + E 1 = 0 H Ι 1=2Α R Θ Ι 2=3Α Z E 1 + E Ι 3 Ι 6 E Ι 5 - Ι =2Α 1 Δ R 3 = 4Ω R 2 = 3Ω Ι 4=5Α R 1 = 6Ω A Β Γ Σχήμα 22 2A 3A + I 3 = 0 I 3 = 1A, 1A + I 5 I 6 = 0 I 5 I 6 = 1A 2A 5A I 5 = 0 I 5 = 7A, 3 4 3I 6 E 1 = 0 3I 6 + E 1 = I 6 + E 2 = 0 3I 6 + E 2 = 30, 2R E 2 + E 1 = 0

43 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton I 6 = 8A, E 2 = 54V, E 1 = 36V R = 9Ω Παρατηρούμε ότι δεν χρειάστηκε να χρησιμοποιήσουμε λογισμό πινάκων προκειμένου να φτάσουμε στο τελικό αποτέλεσμα Πράγματι αυτό αποτελεί μία γενικότερη παρατήρηση: οι πίνακες είναι μία κομψή και γρήγορη μέθοδος για την επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων παρόλα αυτά δεν είναι μοναδική και μπορούμε να επιλέγουμε όποια μέθοδο θεωρούμε πρόσφορη για την εύρεση του ζητούμενων τιμών των φυσικών μεγεθών Σημειώνουμε επίσης ότι τα αρνητικά πρόσημα στις τιμές των ρευμάτων I 5, I 6 σημαίνουν ότι οι φορές που επιλέξαμε είναι αντίθετες από τις πραγματικές στο κύκλωμα

44 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Θεώρημα Thevenin Ορισμός Γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα καλείται το κύκλωμα το οποίο αποτελείται από γραμμικά ηλεκτρικά στοιχεία και ανεξάρτητες πηγές Σε ένα γραμμικό ηλεκτρικό στοιχείο η σχέση μεταξύ διέγερσης και αντίδρασης (αίτιο και αποτέλεσμα) είναι αναλογική (διπλασιασμός της διέγερσης οδηγεί σε διπλασιασμό της αντίδρασης) Πχ ένας αντιστάτης ο οποίος υπακούει τον νόμο του Ohm είναι γραμμικό ηλεκτρικό στοιχείο Θεώρημα Thevenin Το ρεύμα το οποίο διαρρέει έναν οποιονδήποτε κλάδο ενός γραμμικού δικτύου είναι το ίδιο με αυτό το οποίο θα προέκυπτε αν εφαρμοζόταν ΗΕΔ ίση με την ΔΔ στα άκρα του κλάδου, όταν αυτός ήταν ανοικτός, και όλες οι πηγές ηλεκτρικής ενέργειας αντικαθίστανται από την ισοδύναμη ολική εσωτερική αντίσταση

45 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Θεώρημα Thevenin Θεωρούμε για παράδειγμα το κύκλωμα (a) του Σχήματος 23 Αναζητούμε την ένταση του ρεύματος το οποίο διαρρέει τον κλάδο του αντιστάτη των 10Ω Η μεθοδολογία εφαρμογής του θεωρήματος Thevenin είναι η ακόλουθη: Σχήμα 23 Α Ανοίγοντας το κύκλωμα στα σημεία Α και Β (Σχήμα 23b) ο αντιστάτης των 10Ω δεν διαρρέεται από ρεύμα και η V AB προκύπτει από τον 2ο Κανόνα του Kirchho ήτοι V AB = 8Volt Β Αφαιρούμε την αρχική ΗΕΔ και προκύπτει το ισοδύναμο κύκλωμα του Σχήματος 23c

46 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Θεώρημα Thevenin Γ Υπολογίζουμε την ισοδύναμη ολική εσωτερική αντίσταση του κυκλώματος 23c η οποία βρίσκεται να είναι r = 1, 6Ω Δ Το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin αποτελείται από μία ΗΕΔ με τάση ίση με την V AB, εσωτερική αντίσταση r σε σειρά συνδεδεμένη με τους αντιστάτες του κλάδου προς διερεύνηση Σχήμα 23 Ε Η ζητούμενη ένταση προκύπτει άμεσα από το κύκλωμα του Σχήματος 23d και βρίσκεται εύκολα να είναι I = 40 = 0482A 83 Η τάση V AB στα άκρα του ανοικτού κλάδου καλείται τάση Thevenin V Th και η r αντίσταση Thevenin R Th

47 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Θεώρημα Norton Θεώρημα Norton Το ρεύμα το οποίο διαρρέει έναν οποιονδήποτε κλάδο ενός γραμμικού δικτύου είναι το ίδιο με αυτό το οποίο θα προέκυπτε αν συνδεόταν παράλληλα α) με μία πηγή σταθερού ρεύματος η ένταση της οποίας είναι ίση με το ρεύμα βραχυκύκλωσης του κλάδου και β) με μία αντίσταση r η οποία είναι ίση με αυτήν που προκύπτει από το κύκλωμα αν ο κλάδος προς διερεύνηση είναι ανοικτός και απομακρυνθούν όλες οι ΗΕΔ Ουσιαστικά το Θεώρημα Norton είναι ισοδύναμο με το Θεώρημα Thevenin όπου οι σταθερές πηγές τάσης (Thevenin) αντικαθίστανται από σταθερές πηγές έντασης (Norton)

48 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Θεώρημα Norton Θεωρείστε για παράδειγμα το κύκλωμα (a) του Σχήματος 24 Αναζητούμε την ένταση του ρεύματος το οποίο διαρρέει τον κλάδο του αντιστάτη των 10Ω Η μεθοδολογία εφαρμογής του θεωρήματος Norton είναι η ακόλουθη: Α Βραχυκυκλώνουμε τον κλάδο προς διερεύνηση (Σχήμα 24b) και ο αντιστάτης των 8Ω δεν διαρρέεται από ρεύμα συνεπώς η ένταση του ρεύματος βραχυκύκλωσης I SC προκύπτει μέσω του 2ου Κανόνα του Kirchho I SC = 5A Σχήμα 24

49 Κυκλώματα με ΗΕΔ, αντιστάτες και χωρητικότητες Θεωρήματα Thevenin-Norton Θεώρημα Norton Β Η «εσωτερική» αντίσταση r του ισοδύναμου κυκλώματος του Σχήματος 24b, θεωρώντας ότι ο κλάδος ΑΒ είναι ανοικτός, βρίσκεται να είναι r = 1, 6Ω Γ Απομακρύνουμε την ΗΕΔ και συνδέουμε παράλληλα πηγή σταθερού ρεύματος I SC και αντίσταση r και προκύπτει το ισοδύναμο κύκλωμα Norton του Σχήματος 23d Δ Το ισοδύναμο κύκλωμα Norton αποτελείται από την I SC, αντίσταση r συνεπώς αποτελεί ένα διαιρέτη ρεύματος και η ένταση του ρεύματος το οποίο διαρρέει τον κλάδο προς διερεύνηση είναι I = = 0482A Σχήμα 24

50 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή Φόρτιση Πυκνωτή Ενα από τα πιο χρήσιμα ηλεκτρικά κυκλώματα V C E είναι το Κύκλωμα Αντίστασης Πυκνωτή ή + - RC Κύκλωμα και το οποίο χρησιμοποιείται + - I ευρέως στην πράξη Αποτελείται από έναν δ αφόρτιστο πυκνωτή C, μία αντίσταση R και εφαρμόζεται τάση E Αρχικά ο διακόπτης δ είναι E - ανοικτός, ο πυκνωτής αφόρτιστος και το ρεύμα A + που διαρρέει το κύκλωμα είναι μηδέν Σχήμα 25 Κλείνουμε το διακόπτη και αυτόματα αρχίζει η διαρροή του κυκλώματος με ρεύμα το οποίο, στην αρχή, είναι μέγιστο έστω I 0 Μετά από χρόνο t ρεύμα έχει τιμή, έστω I (t) Ο πυκνωτής αποκτά τάση V C η πολικότητα της οποίας είναι τέτοια ώστε να αντιτίθεται στο αίτιο που την προκάλεσε Αυτό είναι άμεση συνέπεια της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας V R B Γ

51 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή Φόρτιση Πυκνωτή Χρησιμοποιώντας τον Κανόνα των Βρόχων βρίσκουμε εύκολα E I (t)r V C = 0 E dq(t) R Q(t) dt Q 0 δ E V C I C = 0 A + B - Σχήμα 25 dq dt R = E Q C dq dt = E R Q RC dq = dt (EC Q) dq RC (EC Q) = dt RC dq t (EC Q) = 0 dt Q RC 0 d (EC Q) (EC Q) t = 0 E dt RC V R Γ

52 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή ln EC Q EC [ln (EC Q)] Q 0 = t RC = t RC EC Q = e t/rc EC Q = EC (1 ) e t/rc Η τελευταία σχέση δίνει το φορτίο που αποθηκεύεται στον πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου Προφανώς για t = 0, Q = 0 και για t, Q = Q 0 = EC επομένως λαμβάνουμε ( ) Q = Q 0 1 e t/rc Η ποσότητα τ = RC καλείται σταθερά χρόνου του κυκλώματος και πρακτικά μετά από χρονικό διάστημα 5τ ο πυκνωτής έχει φορτιστεί με το μέγιστο φορτίο Q 0

53 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή

54 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή Συνεπώς το φίλτρο RC μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως πηγή τάσης σε επιμέρους κυκλώματα στα οποία επιθυμούμε βαθμιαία αύξηση της παρεχόμενης τάσης ή, ισοδύναμα, να αποτρέψουμε απότομες αλλαγές σε αυτήν Επίσης το κύκλωμα RC ουσιαστικά λειτουργεί και ως ολοκληρωτής (integrator) της παρεχόμενης, από την τροφοδοσία, τάσης Σχήμα 26

55 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο την εξίσωση για το φορτίο και θυμίζοντας ότι I = dq dt υπολογίζουμε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα I = dq dt = d ( ) dt EC 1 e t/rc I = EC 1 RC e t/rc = E R e t/rc = I 0 e t/rc Παρατηρούμε ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα (πρακτικά περίπου ίσο με t = 5τ) το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα μηδενίζεται Συνεπώς ένα κύκλωμα RC λειτουργεί ως διακόπτης Τέλος δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η τάση στους οπλισμούς του πυκνωτή (στην αντίσταση V R = 0) είναι (ΑΠΟΔΕΙΞΤΕ ΤΟ!) V C = E (1 ) e t/rc

56 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή

57 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή Με βάση τα ανωτέρω, ένα φίλτρο RC λειτουργεί ως διακόπτης παρεχόμενου ρεύματος σε στοιχεία υποκυκλωμάτων Επιπλέον, λόγω του ότι η τάση στα άκρα του αντιστάτη είναι V R = I (t)r = dq dt R, η έξοδός της λειτουργεί ως διαφοριστής (dierentiator) της παρεχόμενης τάσης εισόδου Στον παλμογράφο η εικόνα την οποία θα λάβουμε για την τάση στα άκρα του αντιστάτη θα είναι αυτή που φαίνεται στο Σχήμα 25 διαφοριστές (dierentiators) Σχήμα 27

58 Το φίλτρο RC Φόρτιση και εκφόρτιση Πυκνωτή Εκφόρτιση Πυκνωτή Εστω ότι απομακρύνουμε την ΗΕΔ ενώ ο V πυκνωτής είναι φορτισμένος στο μέγιστο φορτίο C V R E + - Γ του Q 0 και ο διακόπτης είναι ανοικτός + - Κλείνουμε το κύκλωμα, επομένως τα φορτία του I πυκνωτή αρχίζουν να ρέουν στο κύκλωμα (ο δ πυκνωτής λειτουργεί ως πηγή φορτίων) Από τον I Κανόνα των βρόχων έχουμε A B IR V C = 0 dq dt + Q Q RC = 0 Q 0 dq t Q = 0 dt RC Q ln = t Q 0 RC Q = Q 0 e t/rc, I = I 0 e t/rc, V C = V C,0 e t/rc Συνεπώς μετά από χρονικό διάστημα (πρακτικά ίσο με t = 5RC) το φορτίο του πυκνωτή μηδενίζεται (εκφόρτιση πυκνωτή)