Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις"

Transcript

1 Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε να φτιάξουμε ένα αυτόματο το οποίο να αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * και στη συνέχεια να ελέγξουμε κατά πόσο αυτό το αυτόματο είναι ισοδύναμο με το αυτόματο D. Επομένως: Μ = Για είσοδο D όπου το D είναι ένα DFA: 1. Δημιουργούμε το αυτόματο Ε = ({q}, Σ, δ, q, {q}) όπου δ(q,a)=q για κάθε a Σ. 2. Εκτελούμε τη μηχανή F από τη διαφάνεια 8 12 για να αποφασίσουμε αν τα αυτόματα D και Ε αποδέχονται την ίδια γλώσσα. 3. Αν η μηχανή F αποδεχτεί τότε αποδεχόμαστε, αλλιώς απορρίπτουμε. (β) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία θα εκτελέσει τουλάχιστον 5 κινήσεις σε τουλάχιστον μια λέξη w } H διάγνωση του προβλήματος βασίζεται στην εξής ιδέα: Για να αποφασίσουμε κατά πόσο η μηχανή Μ μπορεί να εκτελέσει τουλάχιστον 5 κινήσεις σε τουλάχιστον μια λέξη τότε θα μπορούσαμε να τρέξουμε την Μ σε όλες τις λέξεις και μόλις βρούμε την πρώτη λέξη για την οποία η μηχανή εκτελεί 5 κινήσεις να τερματίσουμε και να αποδεχτούμε. Το πρόβλημα με αυτή την προσέγγιση είναι ότι το σύνολο των δυνατών λέξεων δυνατόν να είναι μη πεπερασμένο. Από τη στιγμή όμως που μας ενδιαφέρουν μόνο οι 5 πρώτες κινήσεις είναι αρκετό να δοκιμάσουμε τις λέξεις που έχουν 5 το πολύ σύμβολα. Το πλήθος αυτών των λέξεων είναι x 5 όπου x το μέγεθος του αλφάβητου της μηχανής μας. Η ζητούμενη μηχανή έχει ως εξής: G = Για είσοδο M όπου το M είναι μια ΤΜ με αλφάβητο Σ: 1. Δημιουργούμε το σύνολο Α όλων των λέξεων του αλφάβητου Σ που έχουν μήκος το πολύ Για κάθε λέξη w Α 3. Εκτέλεσε την w στην Μ μετρώντας τα βήματα που εκτελούνται. 4. Αν ο αριθμός των βημάτων φτάσει το 5 τότε αποδέξου. 5. Αν η μηχανή τερματίσει και ο αριθμός των βημάτων είναι μικρότερος του 5 τότε επανέλαβε από το Αν εξαντλήσουμε τις λέξεις του συνόλου Α τότε απορρίπτουμε. Άσκηση 2 Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες δεν είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ,k η Μ είναι μια ΤΜ η οποία αποδέχεται όλες τις λέξεις με μήκος <= k } Θέλουμε να δείξουμε ότι η γλώσσα Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 5 Εαρινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 1

2 ΟλεςΚ = { Μ,k η Μ είναι μια ΤΜ η οποία αποδέχεται όλες τις λέξεις με μήκος <= k } είναι μη διαγνώσιμη. Για να το δείξουμε θα αναγάγουμε μια γνωστή μη διαγνώσιμη γλώσσα, την Α ΤΜ, στην υπό μελέτη γλώσσα ΟλεςΚ. Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι η γλώσσα ΟλεςΚ είναι διαγνώσιμη και η ΤΜ R είναι σε θέση να τη διαγνώσει. Με βάση τον διαγνώστη R θα κατασκευάσουμε ένα διαγνώστη S για το πρόβλημα Α ΤΜ. Αυτό μας οδηγεί σε αντίφαση και επομένως η ΟλεςΚ είναι μια μη διαγνώσιμη γλώσσα. O διαγνώστης S έχει ως εξής: S = Με είσοδο Μ,w 1. Φτιάξε τη ΤΜ M η οποία με είσοδο x: (α) Αν η x έχει μήκος <=k τότε τρέχει την Μ με είσοδο w. (β) Διαφορετικά, τρέχει την Μ με είσοδο x. 2. Τρέξε την R με είσοδο M. 3. Αν η R αποδεχτεί ΑΠΟΔΕΞΟΥ. 4. Αν η R απορρίψει ΑΠΟΡΡΙΨΕ. Εξετάζοντας την πιο πάνω μηχανή παρατηρούμε ότι η μηχανή Μ αποδέχεται όλες τις λέξεις μήκους k αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται τη λέξη w. Ως εκ τούτου, με είσοδο τη μηχανή Μ, o διαγνώστης R θα αποδεχτεί αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται όλες τις λέξεις μήκους k ή, ισοδύναμα, αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται τη λέξη w. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. (β) { Μ,k η Μ είναι μια ΤΜ η οποία αποδέχεται ακριβώς όσες λέξεις έχουν μήκος k } Θέλουμε να δείξουμε ότι η γλώσσα ΑκρΚ = { Μ,k η Μ είναι μια ΤΜ η οποία αποδέχεται ακριβώς όσες λέξεις έχουν μήκος k} είναι μη διαγνώσιμη. Για να το δείξουμε θα αναγάγουμε μια γνωστή μη διαγνώσιμη γλώσσα, την Α ΤΜ, στην υπό μελέτη γλώσσα ΑκρΚ Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι η γλώσσα ΑκρΚ είναι διαγνώσιμη και η ΤΜ R είναι σε θέση να τη διαγνώσει. Με βάση τον διαγνώστη R θα κατασκευάσουμε ένα διαγνώστη S για το πρόβλημα Α ΤΜ. Αυτό μας οδηγεί σε αντίφαση και επομένως η ΑκρΚ είναι μια μη διαγνώσιμη γλώσσα. O διαγνώστης S έχει ως εξής: S = Με είσοδο Μ,w 1. Φτιάξε τη ΤΜ M η οποία με είσοδο x: (α) Αν η x έχει μήκος >=k τότε τρέχει την Μ με είσοδο w. (β) Διαφορετικά, απορρίπτει. 2. Τρέξε την R με είσοδο M. 3. Αν η R αποδεχτεί ΑΠΟΔΕΞΟΥ. 4. Αν η R απορρίψει ΑΠΟΡΡΙΨΕ. Εξετάζοντας την πιο πάνω μηχανή παρατηρούμε ότι η μηχανή Μ αποδέχεται ακριβώς όsες τις λέξεις έχουν μήκος >= k αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται τη λέξη w. Ως εκ Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 5 Εαρινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 2

3 τούτου, με είσοδο τη μηχανή Μ, o διαγνώστης R θα αποδεχτεί αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται ακριβώς όλες τις λέξεις μήκους k ή, ισοδύναμα, αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται τη λέξη w. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. (γ) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία αποδέχεται μια κανονική γλώσσα } Θέλουμε να δείξουμε ότι η γλώσσα Καν = { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία αποδέχεται μια κανονική γλώσσα} είναι μη διαγνώσιμη. Για να το δείξουμε θα αναγάγουμε μια γνωστή μη διαγνώσιμη γλώσσα, την Α ΤΜ, στην υπό μελέτη γλώσσα Καν. Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι η γλώσσα Καν είναι διαγνώσιμη και η ΤΜ R είναι σε θέση να τη διαγνώσει. Με βάση τον διαγνώστη R θα κατασκευάσουμε ένα διαγνώστη S για το πρόβλημα Α ΤΜ. Αυτό μας οδηγεί σε αντίφαση και επομένως η Καν είναι μια μη διαγνώσιμη γλώσσα. O διαγνώστης S έχει ως εξής: S = Με είσοδο Μ,w 1. Φτιάξε τη ΤΜ M η οποία με είσοδο x: (α) Αν η x = 0 k 1 k, k 0, τότε αποδέχεται. (β) Διαφορετικά, τρέχει την Μ με είσοδο w. 2. Τρέξε την R με είσοδο M. 3. Αν η R αποδεχτεί ΑΠΟΔΕΞΟΥ. 4. Αν η R απορρίψει ΑΠΟΡΡΙΨΕ. Εξετάζοντας την πιο πάνω μηχανή παρατηρούμε ότι η μηχανή Μ αποδέχεται όλες τις λέξεις (που αποτελούν κανονική γλώσσα) αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται τη λέξη w και αποδέχεται την γλώσσα { 0 k 1 k, k 0 }, η οποία δεν είναι κανονική αλλά ασυμφραστική, αν η μηχανή Μ δεν αποδέχεται τη λέξη w. Ως εκ τούτου, με είσοδο τη μηχανή Μ, o διαγνώστης R θα αποδεχτεί αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται την κανονική γλώσσα Σ * ή, ισοδύναμα, αν και μόνο αν η μηχανή Μ αποδέχεται τη λέξη w. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Σχολιάστε κατά πόσο οι πιο πάνω γλώσσες είναι αναγνωρίσιμες. Αναγνωρισιμότητα: (α) Τρέχουμε «παράλληλα» (όπως Διαφάνεια 8 54) στη μηχανή Μ όλες τις λέξεις μήκους k. Μόλις έχουμε απόρριψη για μια από αυτές απορρίπτουμε. Εάν όμως η Μ αποδέχεται όλες τις λέξεις μήκους k μετά από κάποιο αριθμό βημάτων θα το εντοπίσουμε και θα τερματίσουμε με αποδοχή του ζεύγος (Μ,k). (β) H γλώσσα αυτή αναμένουμε να μην είναι αναγνωρίσιμη. Για να αποφασίσουμε κατά πόσο ένα ζεύγος (M,k) ανήκει στη γλώσσα θα πρέπει να τρέξουμε την Μ σε όλες τις λέξεις μήκους k. Ακόμα και εάν η μηχανή Μ αποδέχεται όλες αυτές τις λέξεις το γεγονός ότι το Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 5 Εαρινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 3

4 πλήθος τους είναι μη πεπερασμένο δεν μας επιτρέπει να ελέγξουμε και να επιβεβαιώσουμε ότι η ΤΜ Μ αποδέχεται κάθε μια από αυτές. Άσκηση 3 Έστω γλώσσα Λ η οποία είναι αναγνωρίσιμη αλλά όχι συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη. Να αποφασίσετε κατά πόσο η πιο κάτω γλώσσα Λ είναι διαγνώσιμη, αναγνωρίσιμη, ή συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη. Λ = {w είτε w = x0 για x Λ είτε w = y1 για y Λ} Κατ αρχή παρατηρούμε ότι αφού η Λ είναι αναγνωρίσιμη αλλά όχι συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη δεν είναι ούτε και διαγνώσιμη. Θα δείξουμε ότι η γλώσσα Λ δεν είναι ούτε διαγνώσιμη ούτε αναγνωρίσιμη ούτε και συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη. Μη Διαγνωσιμότητα: Ας υποθέσουμε, για να φτάσουμε σε αντίφαση, ότι η Λ είναι διαγνώσιμη. Τότε μπορούμε να φτιάξουμε μια μηχανή Turing Μ η οποία διαγιγνώσκει κατά πόσο μια λέξη w ανήκει στην Λ. Τότε μπορούμε να φτιάξουμε μια μηχανή Turing M η οποία να διαγιγνώσκει τη Λ ως εξής: Δοθείσας μιας λέξης w τρέχουμε την Μ στη λέξη w0. Αν η Μ αποδεχθεί σημαίνει ότι w Λ και αποδεχόμαστε, διαφορετικά απορρίπτουμε. Η πιο πάνω γλώσσα διαγιγνώσκει την Λ. Αφού όμως η Λ είναι μη διαγνώσιμη καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ούτε η Λ είναι διαγνώσιμη. Μη Αναγνωρισιμότητα: Ας υποθέσουμε, για να φτάσουμε σε αντίφαση, ότι η Λ είναι αναγνωρίσιμη. Τότε μπορούμε να φτιάξουμε μια μηχανή Turing Μ η οποία αναγνωρίζει κατά πόσο μια λέξη w ανήκει στην Λ. Τότε μπορούμε να φτιάξουμε μια μηχανή Turing M η οποία να αναγνωρίζει το συμπλήρωμα της Λ,, ως εξής: Δοθείσας μιας λέξης w τρέχουμε την Μ στη λέξη w1. Αν η Μ αποδεχθεί σημαίνει ότι w Λ και αποδεχόμαστε, διαφορετικά απορρίπτουμε. Η πιο πάνω γλώσσα αναγνωρίζει τη. Αφού όμως η Λ είναι μη συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ούτε η Λ είναι αναγνωρίσιμη. Μη Συμπληρωματική Αναγνωρισιμότητα: Ας υποθέσουμε, για να φτάσουμε σε αντίφαση, ότι η Λ είναι συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη. Τότε μπορούμε να φτιάξουμε μια μηχανή Turing Μ η οποία αναγνωρίζει κατά πόσο μια λέξη w δεν ανήκει στην Λ. Αν ισχύει όμως αυτό μπορούμε να φτιάξουμε μια μηχανή Turing M η οποία να αναγνωρίζει το συμπλήρωμα της Λ,, ως εξής: Δοθείσας μιας λέξης w τρέχουμε την Μ στη λέξη w0. Αν η Μ αποδεχθεί σημαίνει ότι w Λ και αποδεχόμαστε, διαφορετικά απορρίπτουμε. Η πιο πάνω γλώσσα αναγνωρίζει τη. Αφού όμως η Λ είναι μη συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ούτε η Λ είναι συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 5 Εαρινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 4

5 Άσκηση 4 Έστω γλώσσες Λ 1 και Λ 2 τέτοιες ώστε Λ 1 Λ 2. (α) Αν Λ 1 Ρ και Λ 2 Ρ ισχύει απαραίτητα ότι Λ 2 Λ 1 Ρ; Έστω Λ 1 και Λ 2 γλώσσες της Ρ. Από τον ορισμό της κλάσης Ρ, υπάρχουν ΤΜ, έστω Μ 1 και Μ 2 οι οποίες διαγιγνώσκουν τις Λ 1 και Λ 2, αντίστοιχα, σε πολυωνυμικό χρόνο. Για να δείξουμε ότι και η Λ 2 Λ 1 ανήκει στην Ρ θα πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει τη γλώσσα Λ 2 Λ 1 σε πολυωνυμικό χρόνο. Η ζητούμενη μηχανή είναι η εξής: Μ := Για είσοδο w 1. Τρέξε την Μ 2 στην w. Αν η Μ 2 απορρίψει, τότε απορρίπτουμε. 2. Διαφορετικά, τρέξε την Μ 1 στην w. Αν η Μ 1 αποδεχτεί, τότε απορρίπτουμε. 3. Διαφορετικά, αποδεχόμαστε. Ορθότητα: Η Μ αποδέχεται αν και μόνο αν η w είναι αποδεκτή από την Μ 2 και όχι από την Μ 1. Επομένως, από τον ορισμό των Μ 1 και Μ 2, η Μ αποδέχεται αν και μόνο αν η w Λ 2 Λ 1. Χρόνος εκτέλεσης: Αφού οι Μ 1 και Μ 2 έχουν πολυωνυμικό χρόνο εκτέλεσης, τόσο το Βήμα 1 όσο και το Βήμα 2 εκτελούνται σε πολυωνυμικό χρόνο. Συνεπώς, η Μ διαγιγνώσκει τη γλώσσα Λ 1 Λ 2 σε πολυωνυμικό χρόνο. (β) Αν Λ 1 ΝΡ και Λ 2 ΝΡ ισχύει απαραίτητα ότι Λ 2 Λ 1 ΝΡ; Έστω Λ 1 και Λ 2 γλώσσες της Ρ. Από τον ορισμό της κλάσης ΝΡ, υπάρχουν ΤΜ, έστω Μ 1 και Μ 2 οι οποίες διαγιγνώσκουν τις Λ 1 και Λ 2, αντίστοιχα, σε μη ντετερμινιστικά πολυωνυμικό χρόνο. Ας υποθέσουμε ότι η γλώσσα Λ 2 Λ 1 ΝΡ. Τότε υπάρχει ΤΜ, έστω Μ, η οποία διαγιγνώσκει τη γλώσσα Λ 2 Λ 1 σε μη ντετερμινιστικά πολυωνυμικό χρόνο. Ως εκ τούτου (θέτοντας ως Λ 2 = Σ * ), η μηχανή Μ μπορεί να διαγιγνώσει το συμπλήρωμα της Λ 1, σε μηντετερμινιστικά πολυωνυμικό χρόνο. Αυτό όμως είναι ένα ερώτημα στο οποίο δεν γνωρίζουμε τη λύση και σχετίζεται με το πρόβλημα Ρ =? ΝΡ. Γνωρίζουμε ότι αν η κλάση ΝΡ δεν είναι κλειστή ως προς το συμπλήρωμα τότε Ρ ΝΡ. Άσκηση 5 Μια πρόταση του Προτασιακού Λογισμού αποτελεί ταυτολογία αν για κάθε απόδοση λογικών τιμών στις μεταβλητές της παίρνει την τιμή True. Για παράδειγμα, η πρόταση p p αποτελεί ταυτολογία. Το πρόβλημα το οποίο καλείστε να λύσετε είναι το εξής: Με δεδομένο εισόδου μια πρόταση φ να αποφασίσετε κατά πόσο η πρόταση φ αποτελεί ταυτολογία. (α) Να δείξετε ότι το πρόβλημα αυτό ανήκει στην κλάση ΝΡ. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 5 Εαρινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 5

6 Ακολουθεί αλγόριθμος V που αποτελεί επαληθευτή πολυωνυμικού χρόνου για το πρόβλημα. V := Για είσοδο φ, σ όπου φ είναι μια πρόταση του Προτασιακού Λογισμού και σ μια απονομή λογικών τιμών στις μεταβλητές του: 1. Υπολογίζουμε την τιμή της πρότασης για την απονομή σ. 2. Αν η τιμή αυτή είναι False αποδεχόμαστε, διαφορετικά απορρίπτουμε. Ο χρόνος εκτέλεσης του επαληθευτή V πολυωνυμικός ως προς το πλήθος των μεταβλητών της πρότασης, επομένως ο V αποτελεί επαληθευτή πολυωνυμικού χρόνου για το πρόβλημα. (β) Να δείξετε ότι το πρόβλημα είναι ΝΡ πλήρες. Για να δείξουμε ότι το πρόβλημα είναι ΝΡ πλήρες αρκεί να δείξουμε ότι ένα γνωστό ΝΡπλήρες πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε αυτό. Η αναγωγή θα γίνει από το πρόβλημα SAT. Συγκεκριμένα, θα δείξουμε ότι αν υπάρχει πολυωνυμική λύση για το πρόβλημα της άσκησης τότε υπάρχει πολυωνυμική λύση και για το πρόβλημα SAT. Έστω μια πρόταση φ η οποία θέλουμε να ελέγξουμε αν είναι ικανοποιήσιμη. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει πολυωνυμική, έστω ΤΜ Μ, για το πρόβλημα της άσκησης. Τρέχουμε την Μ στην πρόταση φ. Αν η Μ απαντήσει θετικά, τότε αποδεχόμαστε, διαφορετικά απορρίπτουμε. Ορθότητα: Παρατηρούμε τα πιο κάτω. η πρόταση φ είναι ταυτολογία αν και μόνο αν η φ παίρνει την τιμή True σε κάθε απονομή λογικών τιμών στις μεταβλητές της αν και μόνο αν η φ παίρνει την τιμή False σε κάθε απονομή λογικών τιμών στις μεταβλητές της αν και μόνο αν η φ δεν είναι ικανοποιήσιμη Επομένως η πρόταση φ είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν η πρόταση φ δεν αποτελεί ταυτολογία. Συμπέρασμα: Αν το πρόβλημα της άσκησης επιλύεται σε πολυωνυμικό χρόνο τότε και το πρόβλημα SAT επιλύεται σε πολυωνυμικό χρόνο. Επομένως το πρόβλημα της άσκησης είναι ΝΡ πλήρες. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 5 Εαρινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 6

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με τις Κανονικές Γλώσσες (4.1.1) Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ, Λ 2, Λ επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μέτρηση της Πολυπλοκότητας (7.1) Η κλάση Ρ (7.2) Η κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4)

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μηχανές Turing (3.1) Τυπικό Ορισμός Παραδείγματα Παραλλαγές Μηχανών Turing (3.2) Πολυταινιακές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 26 Ιουνίου 2013 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 10+10 2

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 6 Λύσεις

Φροντιστήριο 6 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 6 Λύσεις Θεωρήστε την πιο κάτω ασυμφραστική γραμματική: E E + (E) Να κατασκευάσετε μία παραγωγή και το αντίστοιχο συντακτικό δέντρο για τις πιο κάτω λέξεις: (α) (γ) + ( ) (β) ( +

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση

Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Έλεγχος Μοντέλου Αλγόριθμοι γράφων Αλγόριθμοι αυτομάτων Αυτόματα ως προδιαγραφές ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 4-1

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 ) Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 4: Μη-ντετερμινιστικά πεπερασμένα αυτόματα με ε-μεταβάσεις Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Το Λήμμα της Άντλησης για κανονικές γλώσσες Παραδείγματα 1 Πότε μια γλώσσα δεν είναι κανονική;

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25 Κεφάλαιο 2 Κανονικές Γλώσσες & Πεπερασμένα Αυτόματα Σύνοψη Τα Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) είναι το απλούστερο και το πιο ευρέως διαδεδομένο μοντέλο υπολογισμού από αυτά που θα εξετάσουμε. Είναι επίσης γνωστά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Τελικές εξετάσεις 3 Ιανουαρίου 27 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (2:-5:) ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1

Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεματική Ενότητα: Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταγλωττιστές Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 2 Ιουλίου 2014 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 8+8+4 2

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ας ξεκινήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Περι-γράφοντας... βρόχους

Περι-γράφοντας... βρόχους Όνομα(τα): Όνομα Η/Υ: Σ Τμήμα: Ημερομηνία: Περι-γράφοντας... βρόχους Ξεκινήστε το Χώρο Δραστηριοτήτων, επιλέξτε τη θεματική ενότητα: ΘΕ05: Επανάληψη και επιλέξτε την πρώτη δραστηριότητα (Περι-γράφοντας...

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 10 Ιουνίου 015 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 10 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 7+6+7 8+7+5

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τo πιο κάτω NFA στην κανονική έκφραση που το πριγράφι χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις 2

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (2.3) Το Λήμμα της Άντλησης για ασυμφραστικές γλώσσες (2.3.1) Παραδείγματα 1 Πότε μια

Διαβάστε περισσότερα