x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά."

Transcript

1 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε πει ότι θεωρεί τον εαυτό του ως κατ ευθείαν μαθητή του Ηράκλειτου. Αυτή η τιμητική, για την αρχαία ελληνική προσωκρατική φιλοσοφία, δήλωση δείχνει το σημαντικό γεγονός ότι η αναζήτηση απλών («υλικών») αιτίων πίσω από τη φαινομενική πολυπλοκότητα (και γιατί όχι ύπαρξη) του κόσμου κυριαρχεί στη σκέψη αυτών που ασχολούνται με η θεωρία του χάους. Πρόθεσή μας εδώ δεν είναι να αναλύσουμε τη θεωρία του χάους, αλλά να το αναζητήσουμε στην ακολουθία αριθμών [ x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ]. Κατ αρχή, επιγραμματικά και μόνο, θα αναφέρουμε ότι, ένα από τα σημαντικότερα πορίσματα της θεωρίας του χάους προβλέπει ότι η ύλη γύρω μας, όταν βρεθεί σε συνθήκες μακριά από την ισορροπία, έχει την ιδιότητα, όταν οι συνθήκες πάρουν συγκεκριμένες όμως τιμές, να αυτοοργανώνεται. Σε συνθήκες δλδ που ο καθένας θα περίμενε την παντελή απουσία οιονδήποτε δομών, αυτή, «αυτοοργανώνεται» προς πολύπλοκες δομές. Αυτό είναι κάτι που έχει επαληθευτεί σε πλήθος φαινομένων. Από την εξέλιξη του καιρού μέχρι την ανακάλυψη αμινοξέων σε νεφελώματα. Και μάλιστα σε νεφελώματα τα οποία βρίσκονται κοντά σε εξαιρετικά δραστήριους αστέρες και όπου, «κανονικά», οι τεράστιες ποσότητες ακτινοβολίας δε θα έπρεπε να επιτρέπουν την παραμικρή υποψία για την ύπαρξη και των πιο απλών μοριακών ενώσεων. Ας έρθουμε τώρα στην x ν+1 =ax ν (1-x ν ) την οποία πρώτος μελέτησε ο Robert May στα μέσα της δεκαετίας του Η εν λόγω ακολουθία, η οποία θα μπορούσε να εκφράζει την εξέλιξη ενός πληθυσμού ψαριών σε μια λίμνη και όχι μόνο, έχει μελετηθεί και μπορεί κάποιος, σε βιβλία ανώτερων μαθηματικών, να βρει μια πλήρη ανάλυσή της. Ο στόχος εδώ δεν είναι να κάνουμε μια τέτοια ανάλυση για την οποία εξάλλου απαιτούνται προχωρημένα μαθηματικά, αλλά να δώσουμε μια σύντομη περιγραφή σχημάτων, όπως τα παρακάτω, που συναντάμε και σε εκλαϊκευμένα βιβλία. Για το σκοπό αυτό το πρόγραμμα excel είναι υπεραρκετό τη στιγμή που στη δεκαετία του 1960, όταν μελετήθηκαν οι πρώτες χαοτικές εξισώσεις, τα προγράμματα που χρησιμοποιήθηκαν ήταν πολύ απλούστερα. Ας θεωρήσουμε μια τιμή για την «παράμετρο» a (που είναι θετικός αριθμός), έστω a= 2,0000, και ας θεωρήσουμε επίσης έναν αριθμό ανάμεσα στο μηδέν και το ένα, έστω x 0 = 0,4000. Τότε ο επόμενος αριθμός της ακολουθίας θα είναι ο x 1 =ax 0 (1-x 0 ) δλδ x 1 =2,0 Χ 0,4 Χ (1-0,4) = 0,4800. Ο μεθεπόμενος, δλδ ο x 2, θα προκύψει αντίστοιχα: x 2 =ax 1 (1-x 1 )= 2,0 X 0,48 X (1-0,48) = 0,4992 και συνεχίζοντας έτσι βρίσκουμε: x 3 = 0,5000, x 4 = 0,5000, x 5 = 0,5000 κλπ. Χωρίς να αλλάξουμε την τιμή της παραμέτρου a, ξεκινώντας όμως από διαφορετικό x 0, έστω x 0 = 0,9000, αντίστοιχα βρίσκουμε ότι: x 1 = 0,1800, x 2 = 0,2952, x 3 = 0,4161, x 4 = 0,4859, x 5 = 0,4996, x 6 = 0,5000, x 7 = 0,5000 κλπ. Αν δοκιμάσετε για οποιαδήποτε αρχική τιμή, για τον πρώτο όρο της ακολουθίας δλδ το x 0 (πάντα όμως ανάμεσα στο μηδέν και το ένα), θα διαπιστώσετε ότι «τελικά» η ακολουθία μας [ x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ] θα «καταλήγει» πάντα στην τιμή 0,5000! (Εννοείται ότι τα προηγούμενα ισχύουν για a=2,0000). Ας επαναλάβουμε τα ίδια αλλά για διαφορετική τιμή της παραμέτρου a, έστω a=2,5000. Διαπιστώνουμε και πάλι ότι ανεξάρτητα της όποιας αρχικής τιμής του x 0 (ανάμεσα στο μηδέν και στο ένα), θα «καταλήγουμε» πάντα στην τιμή 0,6000!

2 2 Με μια μικρή διερεύνηση διαπιστώνουμε ότι, Αν για την παράμετρο a θεωρήσουμε μια τιμή μικρότερη του ένα, a<1,000, τότε η ακολουθία μας [x ν+1 =ax ν (1-x ν )] θα «καταλήγει» στην τιμή μηδέν. Από a=1,0000 περίπου και πάνω η ακολουθία μας θα «καταλήγει» σ έναν αριθμό ο οποίος, όμως, εξαρτάται μόνον από την τιμή της παραμέτρου a. Αυτά μέχρι η παράμετρος a να πάρει την τιμή a=3,0000 γιατί, από την τιμή αυτή και πάνω, η ακολουθία μας δεν «καταλήγει» σε μια συγκεκριμένη τιμή, αλλά «τελικά» φαίνεται να παίρνει διαδοχικά δυο διαφορετικές τιμές. Θα μπορούσε να πει κάποιος ότι «φαίνεται» να «καταλήγει» στις δυο αυτές τιμές τις οποίες και παίρνει εναλλάξ! Για παράδειγμα για a=3,3000 οι «τελικές» τιμές, στις οποίες φαίνεται να «καταλήγει» η ακολουθία μας, είναι (εναλλάξ) 0,4794 και 0,8236. Αυξάνοντας διαρκώς την τιμή της παραμέτρου a αυτό συνεχίζεται για λίγο ακόμα μέχρι που, ξαφνικά, όταν το a πάρει την τιμή a=3,4500 περίπου, η ακολουθία μας θα φαίνεται να «καταλήγει» πλέον σε τέσσερις τιμές (ανά δύο από κάθε κλάδο). Εξακολουθώντας να αυξάνουμε την τιμή της παραμέτρου a, σύντομα θα γίνουν οκτώ μέχρι που το a να πάρει την τιμή a=3,5700 περίπου, οπότε και δε θα «καταλήγει» πλέον σε συγκεκριμένες τιμές αλλά θα κινείται χαοτικά ανάμεσα, όμως, σε ορισμένα όρια. Πριν συνεχίσουμε ας δούμε πως απεικονίζονται τα προηγούμενα στα κατωτέρω σχήματα. Τα σχήματα αυτά εκφράζουν την «τελική» τιμή στην οποία φαίνεται να «καταλήγει» η ακολουθία που μελετάμε [x ν+1 =ax ν (1-x ν )] (κατακόρυφος άξονας) σε συνάρτηση με την τιμή της παραμέτρου a (οριζόντιος άξονας). Κοιτώντας το πρώτο σχήμα βλέπουμε πως μέχρι το a να πάρει την τιμή a=3,0000 η τιμή που η ακολουθία «καταλήγει» είναι μία (αυτή που προκύπτει από το σχήμα). Επίσης βλέπουμε το πώς, όταν η παράμετρος a πάρει τιμή μεγαλύτερη το 3, οι τιμές που η ακολουθία μας «καταλήγει» γίνονται δυο κλπ. Κοιτώντας τα δύο πρώτα σχήματα, και κυρίως το δεύτερο σχήμα, βλέπουμε τη χαοτική (μαυρισμένη περιοχή), αλλά περιορισμένη εντός ορίων, συμπεριφορά της ακολουθίας μας για a μεγαλύτερα του 3,5700 (περίπου). Με έκπληξη μας βλέπουμε, στο δεύτερο σχήμα, ότι αυτός ο χαοτικός χαρακτήρας ξαφνικά διακόπτεται μόλις το a πάρει την τιμή a=3,6300 (περίπου) οπότε και η ακολουθία μας «καταλήγει» και πάλι, αλλά σε τρεις τιμές ανά κλάδο! Αυτό ονομάζεται περιττή περίοδος και είναι χαρακτηριστικό όλων σχεδόν των χαοτικών συστημάτων! Ανεβάζοντας την τιμή της παραμέτρου a η ακολουθία μας και πάλι ξαφνικά ανεβάζει τον αριθμό των τιμών στις οποίες φαίνεται να «καταλήγει» από τρεις, ανά κλάδο, σε έξι κλπ μέχρι που, για a=3,6400 περίπου, επανέρχεται και πάλι ο χαοτικός, αλλά περιορισμένος εντός ορίων, χαρακτήρας. Χαοτικός χαρακτήρας που και πάλι θα διακοπεί, για λίγο, όταν το a θα πλησιάσει την τιμή a=3,7400 (βλέπε σχήματα 2 και3) όπως και όταν το a θα πλησιάσει την τιμή a=3,8250 (βλέπε σχήματα 2 και 4). Για την τελευταία αυτή περιοχή φαίνεται (σχήμα 5) ότι εμπεριέχει πολλές ενδιαφέρουσες υποπεριοχές. Επίσης αναλύοντας όλο και περισσότερο (ήδη στα υπάρχοντα σχήματα μπορεί κάποιος να διακρίνει μερικές ακόμα τέτοιες περιοχές) όλο και θα αναφαίνονται περιοχές όπου ο χαοτικός χαρακτήρας θα διακόπτεται και για λίγο θα επανέρχεται η «τάξη». Αυτά μέχρι την τιμή a=3,9999 διότι από την τιμή a=4,0000 και πάνω η ακολουθία μας όχι μόνο δεν «καταλήγει» αλλά επιπλέον οι τιμές της (του x δλδ) γίνονται από απεριόριστα μεγάλες μέχρι απεριόριστα μικρές (αρνητικές)!

3 3 σχήμα 1 σχήμα 2

4 4 σχήμα 3 σχήμα 4

5 5 σχήμα 5 Δε θα ήθελα να βγάλω κάποιο γενικό συμπέρασμα, αλλά είναι πλέον δεδομένο ότι ο καιρός - και κατ επέκταση το κλίμα - είναι χαοτικά φαινόμενα και για τα χαοτικά συστήματα φαίνεται ότι, ενώ μπορεί να τους μεταβάλεις τις παραμέτρους τους, αυτά παραμένουν σχετικά σταθερά μέχρι κάποιου σημείου όπου, από εκεί και μετά, ακόμα και μια ανεπαίσθητη μεταβολή, μπορεί να τα οδηγήσει σε τελείως διαφορετικές καταστάσεις. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι, για το κλίμα της γης, ούτε όλες του τις παραμέτρους γνωρίζουμε ούτε πόσο μάλλον μέχρι που μπορούμε να του επηρεάζουμε κάποιες από αυτές (σύσταση ατμόσφαιρας κλπ) χωρίς να κινδυνεύουμε να το οδηγήσουμε σε μια τελείως διαφορετική, και απρόβλεπτη, κατάσταση. Γιώργος Πρίμπας ( ).