Παπαδρακάκθσ Μανόλθσ Θζμα ΙI Στατικι ΙΙΙ Καρακίτςιοσ Παναγιϊτθσ. Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό ζτοσ χολή Πολιτικϊν Μηχανικϊν

Transcript

1

2

3

4 Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό ζτοσ χολή Πολιτικϊν Μηχανικϊν 6 ο εξάμηνο Σομζασ Δομοςτατικήσ Μάθημα: τατική ΙΙΙ (Ανάλυςη Ραβδωτϊν Φορζων φγχρονεσ Μζθοδοι) Παπαδρακάκησ Μανόλησ Καθηγητήσ ΕΜΠ Καρακίτςιοσ Παναγιϊτησ Τποψήφιοσ Διδάκτωρ ΕΜΠ Οδηγίεσ - Θζμα IΙ Δεδομζνα: Μζτρο ελαςτικότθτασ: Ειδικό βάροσ: Κινθτό φορτίο: q b Eb 3 25kN / m 60kN / m 3 Δείκτθσ εδάφουσ: k kN / m Μικοσ: l i m 80 i 1 2 Μικοσ: h j m 40 j j Πζδιλο: 0,15mx0,15m kN / m 2 χήμα 1. α) Μηκοτομή οδογζφυρασ. β) τατικό προςομοίωμα. Προςομοιϊνουμε τθν οδογζφυρα (Σχιμα α) με τον φορζα του Σχιματοσ β, ο οποίοσ εμφανίηει ςυμμετρία τόςο γεωμετρίασ όςο και φόρτιςθσ ωσ προσ τον κατακόρυφο άξονα που διζρχεται από το μζςον του ηυγϊματοσ. Θα μελετιςουμε τον μιςό φορζα. 1

5 Ερϊτημα α. Τπολογιςμόσ μητρϊου μεταςχηματιςμοφ ςτοιχείων Σε πρϊτθ φάςθ κα αναλφςουμε ςυνολικά 5 ςτοιχεία. Πρόκειται για ςτοιχεία δοκοφ (P 2 ). Το αντίςτοιχο μθτρϊο μεταςχθματιςμοφ (6x6) ιςοφται με: PPF 6x6 cos cos cos cos cos cos cos cos φ ij : θ γωνία με τθν οποία πρζπει να περιςτραφεί (δεν μασ ενδιαφζρει θ φορά, είτε ΑΔΩ είτε ΣΔΩ) ο τοπικόσ άξονασ x i για να ςυμπζςει με τον κακολικό άξονα x. j Ερϊτημα β. Τπολογιςμόσ τοπικοφ μητρϊου ςτιβαρότητασ ςτοιχείων Υπολογίηουμε για κάκε ςτοιχείο: το εμβαδόν διατομισ Α (m 2 ) τθ ροπι αδράνειασ διατομισ Ι (m 4 ) ωσ προσ τον οριηόντιο κεντροβαρικό άξονα. Τα ςτοιχεία 1, 2, 3, 4 ζχουν μεταβλθτι διατομι. Ωςτόςο, ςτουσ υπολογιςμοφσ μασ κα κεωριςουμε προςεγγιςτικά ότι ζχουν ςτακερι διατομι ίςθ με τθ μεςαία διατομι τουσ. Για το ςτοιχείο 1 ζχουμε ότι: Φψοσ ακραίασ αριςτερισ διατομισ: hleft 2,5m Φψοσ ακραίασ δεξιάσ διατομισ: hright 2, , 75m hleft hright Φψοσ μεςαίασ διατομισ: hmiddle 3,125m 2 Όμοια, εργαηόμαςτε και για τα υπόλοιπα ςτοιχεία. Ακολουκεί υπόδειγμα, ςτο οποίο φαίνεται αναλυτικά πωσ υπολογίηεται θ ροπι αδράνειασ μίασ κιβωτιοειδοφσ διατομισ. Παρατήρηςη Προκειμζνου να υπολογίςουμε τθ ροπι αδράνειασ τθσ διατομισ του ςτοιχείου 5 (ςτφλου) υψϊνουμε ςτον κφβο τθ μικρι και όχι τθ μεγάλθ πλευρά. 2

6

7

8 Στθ ςυνζχεια, μορφϊνουμε το τοπικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ για τα 5 ςτοιχεία. Πρόκειται για ςτοιχεία δοκοφ (P 2 ), άρα το αντίςτοιχο μθτρϊο ιςοφται με: ˆk 6x6 E A E A 0 0 L L E I 6 E I 12 E I 6 E I L L L L 6 E I 4 E I 6 E I 2 E I L L L L E A E A 0 0 L L E I 6 E I 12 E I 6 E I L L L L 0 6 E I 2 E I 6 E I 4 E I 0 2 L 2 L L L Τροποποιοφμε το τοπικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ του ςτοιχείου 5 λόγω τθσ φπαρξθσ ςτερεοφ κόμβου. Μορφϊνουμε το μθτρϊο εκκεντρότθτασ: e jk (6x6) j e 0 (3x3) (3x3) 0 e k (3x3) (3x3) όπου j (3x3) 1 0 x e 0 1 x J 1 J 2 και k (3x3) 1 0 x e 0 1 x K 2 K J j 6 J 6' x x x J j 6 J 6' x x x K k 3 K 3 x x x K k 3 K 3 x x x Οι κόμβοι j, k είναι οι κόμβοι αρχισ και τζλουσ του ςτοιχείου, ενϊ οι κόμβοι J, K αναφζρονται ςτον ςτερεό κόμβο ςτθν αρχι και ςτο τζλοσ του ςτοιχείου. Υπολογίηουμε το τροποποιθμζνο (λόγω ςτερεοφ κόμβου) τοπικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ του ςτοιχείου 5 ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: T 5 jk ˆ5 jk m kˆ e k e (6x6) (6x6) (6x6) (6x6) 5

9 Ερϊτθμα γ. Υπολογιςμόσ κακολικοφ μθτρϊου ςτιβαρότθτασ ςτοιχείων Το κακολικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ κάκε ςτοιχείου ιςοφται με: i i T i i k PPF k ˆ PPF (6x6) (6x6) (6x6) (6x6) Κατόπιν, υπολογίηουμε το κακολικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ των υπερςτοιχείων 1 και 2. Το κακολικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ του υπερςτοιχείου 1 προκφπτει από κατάλλθλθ ςτατικι ςυμπφκνωςθ των ςτοιχείων 1 και 2, ενϊ του υπερςτοιχείου 2 από ςυμπφκνωςθ των ςτοιχείων 3 και 4. Ειδικότερα, για το υπερςτοιχείο 1, ακολουκοφμε τα εξισ βιματα: Μορφϊνουμε αρχικά το κακολικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ (9x9) του υπερςτοιχείου 1 από τα κακολικά μθτρϊα ςτιβαρότθτασ των ςτοιχείων 1 και 2. Αναδιατάςςουμε το μθτρϊο αυτό. Πάνω αριςτερά τοποκετοφνται οι βακμοί ελευκερίασ που κζλουμε να ςυμπυκνϊςουμε ςτατικά και οι οποίοι είναι οι τρεισ βακμοί ελευκερίασ του κόμβου 2. Στατικι ςυμπφκνωςθ ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: Kc Kcc Kce Kee 1 K ec (6x6) (6x6) (6x3) (3x3) (3x6) Σχιμα 2. Μόρφωςθ ολικοφ μθτρϊου (9x9) ςτιβαρότθτασ υπερςτοιχείου 1 από τα κακολικά μθτρϊα (6x6) ςτιβαρότθτασ των ςτοιχείων 1 και 2. (Excel) 6

10 Σχιμα 3. Αναδιάταξθ ολικοφ μθτρϊου (9x9) ςτιβαρότθτασ υπερςτοιχείου 1. (Excel) Όμοια εργαηόμαςτε και για το υπερςτοιχείο 2. 7

11 Ερϊτθμα δ. Αναλυτικόσ υπολογιςμόσ του μθτρϊου ςτιβαρότθτασ του υπερςτοιχείου 1 με κεϊρθςθ γραμμικά μεταβαλλόμενου φψουσ και ςχολιαςμόσ του ςφάλματοσ Η απάντθςθ ςτο ερϊτθμα αυτό κα πραγματοποιθκεί ςφμφωνα με τισ ακόλουκεσ 3 ςελίδεσ από τισ παραδόςεισ του μακιματοσ. Σχιμα 4. Αναλυτικόσ υπολογιςμόσ μθτρϊου (6x6) ςτιβαρότθτασ υπερςτοιχείου 1. (Παραδόςεισ Μακιματοσ) 8

12 Ερϊτθμα ε. Μόρφωςθ μθτρϊου ςτιβαρότθτασ φορζα (Αρχικό) Ζχοντασ υπολογίςει τα κακολικά μθτρϊα (6x6) ςτιβαρότθτασ των υπερςτοιχείων 1, 2 και το τροποποιθμζνο (λόγω ςτερεοφ κόμβου) κακολικό μθτρϊο (6x6) ςτιβαρότθτασ του ςτοιχείου 5, μορφϊνουμε το αρχικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ του φορζα. Σχιμα 5. Μόρφωςθ ολικοφ μθτρϊου (12x12) ςτιβαρότθτασ φορζα από τα κακολικά μθτρϊα (6x6) των υπερςτοιχείων 1, 2 και του ςτοιχείου 5. (Excel) Ερϊτθμα ςτ. Μόρφωςθ μθτρϊου ςτιβαρότθτασ φορζα (Τροποποιθμζνο) 1) Τροποποίθςθ λόγω ελατθρίου Υπολογίηουμε τθ ςτακερά του ςτροφικοφ ελατθρίου: k k I kN / m 15 m k kNm 12 όπου k ο δείκτθσ του εδάφουσ και Ι πεδ : θ ροπι αδράνειασ του πεδίλου (τετραγωνικισ διατομισ). Προςκζτουμε τθ ςτακερά του ελατθρίου ςτον αντίςτοιχο διαγϊνιο όρο του αρχικοφ ολικοφ μθτρϊου ςτιβαρότθτασ του φορζα. 2) Αναδιάταξθ Αναδιατάςςουμε το τροποποιθμζνο ολικό μθτρϊο ςτιβαρότθτασ του φορζα. Πάνω και αριςτερά τοποκετοφνται οι άγνωςτοι (f) βακμοί ελευκερίασ, ενϊ κάτω και δεξιά οι γνωςτοί (s). Τζλοσ, μορφϊνουμε το αντίςτροφο του μθτρϊου [K ff ], το οποίο αντιςτοιχεί ςτισ άγνωςτεσ μετακινιςεισ (οι οποίεσ υπολογίηονται ςτο επόμενο βιμα). 9

13 Ερϊτθμα η. Υπολογιςμόσ μετακινιςεων κόμβων (ίδιο βάροσ + κινθτό φορτίο) 1) Τοπικό διάνυςμα (6x1) δράςεων παγιϊςεωσ ςτοιχείων 1, 2, 3, 4, 5 Μορφϊνουμε το τοπικό διάνυςμα (6x1) δράςεων παγιϊςεωσ για κακζνα από τα 5 ςτοιχεία. Οι τοπικζσ δράςεισ παγιϊςεωσ οφείλονται τόςο ςτο ίδιο βάροσ όςο και ςτο ομοιόμορφο κινθτό φορτίο q=60kn/m. Στοιχείο 1, 4: Στοιχείο 2, 3: Στοιχείο 5: 3 qtot kn / m g kn / m q kn / m 25kN / m A 1( A 2) 60kN / m 3 qtot kn / m g kn / m q kn / m 25kN / m A 3( A 4) 60kN / m 3 qtot kn / m g kn / m 25kN / m A 5 2) Κακολικό διάνυςμα (6x1) δράςεων παγιϊςεωσ ςτοιχείων 1, 2, 3, 4, 5 Διατυπϊνουμε το κακολικό διάνυςμα (6x1) δράςεων παγιϊςεωσ για κακζνα από τα 5 ςτοιχεία ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: i A T i PPF i A (6x1) (6x6) (6x1) ˆ 3) Στατικι ςυμπφκνωςθ, Τροποποίθςθ για ςτερεό κόμβο Μορφϊνουμε το κακολικό διάνυςμα (9x1) δράςεων παγιϊςεωσ του υπερςτοιχείου 1, το αναδιατάςςουμε και ςτθ ςυνζχεια το ςυμπυκνϊνουμε ςτατικά ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: Pc Pcc Kce Kee 1 P e (6x1) (6x1) (6x3) (3x3) (3x1) Προκφπτει το κακολικό διάνυςμα (6x1) δράςεων παγιϊςεωσ του υπερςτοιχείου 1. Με όμοιο τρόπο εργαηόμαςτε και για το υπερςτοιχείο 2. Τροποποιοφμε το κακολικό διάνυςμα δράςεων παγιϊςεωσ του ςτοιχείου 5 λόγω τθσ φπαρξθσ ςτερεοφ κόμβου ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: T 5 jk 5 m A e A (6x1) (6x6) (6x1) 10

14 4) Κακολικό διάνυςμα δράςεων παγιϊςεωσ κόμβων Μορφϊνουμε το κακολικό διάνυςμα (3x1) των δράςεων παγιϊςεωσ κάκε κόμβου. Ενδεικτικά, για να υπολογίςουμε το αντίςτοιχο διάνυςμα του κόμβου 3, εντοπίηουμε ςε πρϊτθ φάςθ ποια ςτοιχεία ςυντρζχουν ςτον κόμβο αυτό (τα οποία είναι το υπερςτοιχείο 1, το υπερςτοιχείο 2 και το ςτοιχείο 5) και ςε δεφτερθ φάςθ ελζγχουμε αν για τα ςτοιχεία αυτά ο κόμβοσ είναι αρχικόσ (j) ι τελικόσ (k) βάςει του προςανατολιςμοφ του ςτοιχείου (για το υπερςτοιχείο 1 είναι κόμβοσ k, για το υπερςτοιχείο 2 είναι κόμβοσ j, για το ςτοιχείο 5 είναι κόμβοσ k). Όμοια, εργαηόμαςτε και για τουσ υπόλοιπουσ 3 κόμβουσ. Στο ςθμείο αυτό κα πρζπει να δοκεί ιδιαίτερθ προςοχι ςτο γεγονόσ ότι ο άνω δείκτθσ του 3 S αναφζρεται ςτον αρικμό του κόμβου (κόμβοσ 3 ςτθ ςυγκεκριμζνθ περίπτωςθ), ενϊ ο άνω δείκτθσ του 1k A r αναφζρεται ςτον αρικμό του ςτοιχείου (ςτοιχείο 1 ςτθ ςυγκεκριμζνθ περίπτωςθ). 3 1k 2 j 5k S Ar Ar Ar (3x1) (3x1) (3x1) (3x1) Αφοφ μορφϊςουμε το ολικό διάνυςμα (12x1) των δράςεων παγιϊςεωσ όλων των κόμβων του φορζα, το αναδιατάςςουμε. 5) Διάνυςμα εξωτερικϊν δράςεων (Αρχικόσ φορζασ) Μορφϊνουμε το διάνυςμα (12x1) εξωτερικϊν δράςεων και ςτθ ςυνζχεια το αναδιατάςςουμε. 6) Διάνυςμα ιςοδφναμων δράςεων (Ιςοδφναμοσ φορζασ) Μορφϊνουμε το αναδιαταγμζνο διάνυςμα (12x1) ιςοδφναμων δράςεων. 7) Διάνυςμα άγνωςτων μετακινιςεων {Δ f } Υπολογίηουμε το διάνυςμα (6x1) άγνωςτων μετακινιςεων ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: 1 f Kff P ύ,f (6x1) (6x6) (6x1) 11

15 Ερϊτθμα κ. Υπολογιςμόσ αντιδράςεων φορζα Υπολογίηουμε ςε πρϊτθ φάςθ το διάνυςμα των ιςοδφναμων δράςεων {P ιςοδφναμο,s } ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: P K ύ,s sf f (6x1) (6x6) (6x1) Οι αντιδράςεισ ςτιριξθσ προκφπτουν ωσ εξισ: R P S (6x1) ύ,s s (6x1) (6x1) Η αντίδραςθ (ροπι) λόγω ελατθρίου ιςοφται με: R12 k ί * 12 Ερϊτθμα θ. Υπολογιςμόσ εντατικϊν μεγεκϊν ςτοιχείων 1) Γράφουμε ξεχωριςτά για το υπερςτοιχείο 1, το υπερςτοιχείο 2 και το ςτοιχείο 5 (κόμβοσ αρχισ ο 6, κόμβοσ τζλουσ ο 3) τισ μετακινιςεισ των άκρων του, όπωσ τισ ζχουμε υπολογίςει ςτο ερϊτθμα η. Να ςθμειϊςουμε ότι αυτζσ αναφζρονται ςτο κακολικό ςφςτθμα αξόνων. 2) Μεταβαίνουμε για το ςτοιχείο 5 από τον κόμβο 6 ςτον κόμβο j 11 e ' 11 3x3 12 ' 12 ' 3) Κατόπιν, υπολογίηουμε τισ μετακινιςεισ ςτο τοπικό ςφςτθμα αξόνων των δφο υπερςτοιχείων και του ςτοιχείου 5. 6x1 6x x x PPF 6x1 6x6 6x1 ό ό 12

16 4) Τζλοσ, προκφπτουν τα ηθτοφμενα εντατικά μεγζκθ (και ςυγκεκριμζνα θ αξονικι δφναμθ, θ τζμνουςα δφναμθ και θ ροπι κάμψθσ) ςτα άκρα κάκε ςτοιχείου. N Q i j i j i i M j ˆ i i ˆ i r (6x1) i N (6x6) (6x1) k (6x1) i Qk i Mk {N } [k ] { } Καλι επιτυχία!!! Για οποιαδιποτε απορία μπορείτε να απευκφνεςτε ςτο pkarak@hotmail.com και κα λάβετε ςφντομα απάντθςθ. Σχετικά με τισ εντολζσ: TRANSPOSE (βρίςκουμε τον ανάςτροφο ενόσ πίνακα) MMULT (πολλαπλαςιάηουμε δφο πίνακεσ) MINVERSE (βρίςκουμε τον αντίςτροφο ενόσ πίνακα) δίνουμε τθν εντολι ςτο πρϊτο cell και ςτθ ςυνζχεια επιλζγουμε όλθ τθν περιοχι των cells (ςτθν οποία κα εμφανιςτεί το αποτζλεςμα, δθλαδι ο ανάςτροφοσ, το γινόμενο, ο αντίςτροφοσ) ςτθ ςυνζχεια πατοφμε F2 και ζπειτα πατοφμε Ctrl (το αφινουμε «πατθμζνο»), μετά Shift (το αφινουμε και αυτό «πατθμζνο») και τζλοσ το Enter. 13