Περιεχόμενα. 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα. 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21"

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών Παραδείγματα διμεταβλητών σχέσεων Διμεταβλητές κατανομές συχνοτήτων Ο συντελεστής συσχέτισης Ο συντελεστής συσχέτισης για διμεταβλητή κατανομή συχνοτήτων Τα όρια του r Πλασματικές συσχετίσεις και άλλα ζητήματα Μια πραγματική περίπτωση Υποδείγματα πιθανοτήτων για δύο μεταβλητές Διακριτή διμεταβλητή κατανομή πιθανότητας Η διμεταβλητή κανονική κατανομή Το υπόδειγμα διμεταβλητής γραμμικής παλινδρόμησης Ένα υπό συνθήκη υπόδειγμα Εκτιμήσεις και εκτιμητές Εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων Διαχωρισμός του αθροίσματος των τετραγώνων Ένα αριθμητικό παράδειγμα Επαγωγή από το υπόδειγμα των ελαχίστων τετραγώνων δύο μεταβλητών Ιδιότητες εκτιμητών ελαχίστων τετραγώνων Θεώρημα Gauss Markov Επαγωγικές μέθοδοι Αριθμητικό παράδειγμα (συνέχεια από την ενότητα 1.4.5) Ανάλυση διακύμανσης στο υπόδειγμα παλινδρόμησης δύο μεταβλητών Προβλέψεις με το υπόδειγμα παλινδρόμησης δύο μεταβλητών Κατανάλωση βενζίνης: μια προκαταρκτική ανάλυση

4 8 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Απόδειξη της σχέσης var( b) = σ 2 / x Υπολογισμός μέσου όρου και διακύμανσης της κατανομής δειγματοληψίας του α Απόδειξη της σχέσης cov( a, b) Θεώρημα Gauss Markov Υπολογισμός της var( e 0 ) Προβλήματα Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων Ο χρόνος ως μεταβλητή παλινδρόμησης Καμπύλες σταθερού ρυθμού αύξησης Αριθμητικό παράδειγμα Μετασχηματισμοί των μεταβλητών Μετασχηματισμοί λογάριθμος λογάριθμος Ημιλογαριθμικοί μετασχηματισμοί Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Ένα εμπειρικό παράδειγμα μη γραμμικής σχέσης: πληθωρισμός και ανεργία στις ΗΠΑ Εξαρτημένη μεταβλητή σε υστέρηση ως μεταβλητή παλινδρόμησης Εισαγωγή στην ασυμπτωτική θεωρία Σύγκλιση κατά πιθανότητα Σύγκλιση ως προς την κατανομή Η εξίσωση αυτοπαλινδρόμησης Στάσιμες και μη στάσιμες σειρές Μοναδιαία ρίζα Αριθμητικό παράδειγμα Εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας της εξίσωσης αυτοπαλινδρόμησης Εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας Ιδιότητες των εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2.1 Αλλαγή μεταβλητών σε συναρτήσεις πυκνότητας Εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας για το υπόδειγμα AR(1) Προβλήματα Η γραμμική εξίσωση k μεταβλητών Σχηματισμός μητρών στο υπόδειγμα των k μεταβλητών Η άλγεβρα των ελαχίστων τετραγώνων Διαχωρισμός του αθροίσματος των τετραγώνων Εξίσωση με τη μορφή αποκλίσεων Συντελεστές μερικής συσχέτισης

5 Περιεχόμενα Ακολουθιακή δημιουργία του ερμηνευμένου αθροίσματος τετραγώνων Συντελεστές μερικής συσχέτισης και συντελεστές πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικός χειρισμός των συντελεστών μερικής συσχέτισης και πολλαπλής παλινδρόμησης Η γεωμετρία των ελαχίστων τετραγώνων Επαγωγικές διαδικασίες για την εξίσωση με k μεταβλητές Υποθέσεις Μέσος όρος και διακύμανση του b Εκτίμηση της σ Θεώρημα Gauss Markov Έλεγχος γραμμικών υποθέσεων σχετικά με το β Παλινδρομήσεις με περιορισμό και χωρίς περιορισμό Προσαρμογή της περιορισμένης παλινδρόμησης Πρόβλεψη ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Να αποδειχθεί ότι r12.3 = ( r12. r13r23)/ 1 r13 1 r Επίλυση ως προς ένα συντελεστή παλινδρόμησης σε μια πολλαπλή παλινδρόμηση Να αποδειχθεί ότι η ελαχιστοποίηση του α α με τη συνθήκη X a = c συνεπάγεται ότι a = X(X X) 1 c Πώς προκύπτει ο υπό περιορισμό εκτιμητής b * Προβλήματα Μερικοί έλεγχοι σφάλματος εξειδίκευσης της γραμμικής εξίσωσης k μεταβλητών Σφάλμα εξειδίκευσης Πιθανά προβλήματα με το u Πιθανά προβλήματα με τη X Πιθανά προβλήματα με το β Αξιολόγηση υποδειγμάτων και διαγνωστικοί έλεγχοι Έλεγχοι σταθερότητας των παραμέτρων Ο έλεγχος πρόβλεψης του Chow Έλεγχος Hansen Έλεγχοι βασιζόμενοι σε αναδρομική εκτίμηση Σφάλματα πρόβλεψης για την αμέσως επόμενη περίοδο Έλεγχοι CUSUM και CUSUMSQ Ένας γενικότερος έλεγχος του σφάλματος περιγραφής: ο έλεγχος RESET του Ramsey Ένα αριθμητικό παράδειγμα Έλεγχοι διαρθρωτικής μεταβολής

6 10 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Έλεγχος για μία διαρθρωτική μεταβολή Έλεγχοι των συντελεστών κλίσης Έλεγχοι των σταθερών όρων Περίληψη Αριθμητικό παράδειγμα Επεκτάσεις Ψευδομεταβλητές Εισαγωγή Ψευδομεταβλητές εποχικότητας Ποιοτικές μεταβλητές Δύο ή περισσότερα σύνολα ψευδομεταβλητών Αριθμητικό παράδειγμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Να αποδειχθεί ότι var( d) = σ [ I n2 + X 2( X 1 X 1) X 2 ] Προβλήματα Εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας (ML), γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (GLS), και βοηθητικών μεταβλητών (IV) Εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας Ιδιότητες των εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας Eκτίμηση ML του γραμμικού υποδείγματος Έλεγχοι λόγου πιθανοφάνειας, Wald, και πολλαπλασιαστή Lagrange Έλεγχοι λόγου πιθανοφάνειας (LR) Έλεγχος Wald (W) Έλεγχος πολλαπλασιαστή Lagrange (LM) Εκτίμηση ML του γραμμικού υποδείγματος με μη σφαιρικούς διαταρακτικούς όρους Γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα (GLS) Εκτιμητές βοηθητικών μεταβλητών (IV) Ειδική περίπτωση Ελάχιστα τετράγωνα σε δύο στάδια (2SLS) Επιλογή των βοηθητικών μεταβλητών Έλεγχοι γραμμικών περιορισμών ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5.1 Αλλαγή μεταβλητών στις συναρτήσεις πυκνότητας Κεντρικός και μη κεντρικός R Να αποδειχθεί ότι e * X(X X) 1 X e * = e * e * e e Προβλήματα Ετεροσκεδαστικότητα και αυτοσυσχέτιση Ιδιότητες εκτιμητών των κανονικών ελαχίστων τετραγώνων (OLS) Έλεγχοι ετεροσκεδαστικότητας

7 Περιεχόμενα Έλεγχος White Έλεγχος Breusch Pagan/Godfrey Έλεγχος Goldfeld Quandt Επεκτάσεις του ελέγχου Goldfeld Quandt Εκτίμηση σε συνθήκες ετεροσκεδαστικότητας Εκτίμηση με ομαδοποιημένα δεδομένα Εκτίμηση της σχέσης ετεροσκεδαστικότητας Αυτοσυσχετιζόμενοι διαταρακτικοί όροι Μορφές αυτοσυσχέτισης: αυτοπαλίνδρομα σχήματα και σχήματα κινητού μέσου Αιτίες για την ύπαρξη αυτοσυσχετιζόμενων διαταρακτικών όρων Μέθοδος των κανονικών ελαχίστων τετραγώνων (OLS) και αυτοσυσχετιζόμενοι διαταρακτικοί όροι Έλεγχος για αυτοσυσχετιζόμενους διαταρακτικούς όρους Έλεγχος Durbin Watson Ο έλεγχος Wallis για αυτοσυσχέτιση τέταρτης τάξης Έλεγχοι Durbin για παλινδρομήσεις που περιέχουν τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής με υστέρηση Ο έλεγχος Breusch Godfrey Η στατιστική Box Pierce Ljung Εκτίμηση σχέσεων με αυτοσυσχετιζόμενους διαταρακτικούς όρους Προβλέψεις με αυτοσυσχετιζόμενους διαταρακτικούς όρους Αυτοπαλίνδρομη υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητα (ARCH) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 6.1 LM έλεγχος για πολλαπλασιαστική ετεροσκεδαστικότητα Έλεγχος LR για ομοσκεδαστικότητα κατά ομάδες Ιδιότητες της διαδικασίας ARCH(1) Προβλήματα Υποδειγματοποίηση μονομεταβλητών χρονοσειρών Σκεπτικό της μονομεταβλητής ανάλυσης Ο τελεστής υστέρησης Υποδείγματα ARMA Ιδιότητες των διαδικασιών AR, MA, και ARMA Διαδικασία AR(1) Διαδικασία AR(2) Διαδικασίες MA Διαδικασίες ARMA Έλεγχος στασιμότητας Εξέταση του γραφήματος Ολοκληρωμένες σειρές

8 12 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Σειρές στάσιμες ως προς την τάση (TS) και στάσιμες ως προς τις διαφορές (DS) Έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας Αριθμητικό παράδειγμα Ταυτοποίηση, εκτίμηση, και έλεγχος των υποδειγμάτων ARIMA Ταυτοποίηση Εκτίμηση Διαγνωστικός έλεγχος Προβλέψεις Διαδικασία MA(1) Διαδικασία ARMA(1,1) Διαδικασία ARIMA(1,1,0) Εποχικότητα Αριθμητικό παράδειγμα: έναρξη κατασκευής νέων οικοδομών στις ΗΠΑ ανά μήνα Προβλήματα Σχέσεις αυτοπαλίνδρομης κατανεμημένης υστέρησης Σχέσεις αυτοπαλίνδρομης κατανεμημένης υστέρησης Σχέση σταθερής ελαστικότητας Αναπαραμετροποίηση Δυναμική ισορροπία Μοναδιαία ελαστικότητα Γενικεύσεις Εξειδίκευση και έλεγχος Από το γενικό στο ειδικό και αντίστροφα Εκτίμηση και έλεγχος Εξωγένεια Έλεγχοι εξωγένειας Έλεγχος Wu Hausman Μη στάσιμες μεταβλητές παλινδρόμησης Ένα αριθμητικό παράδειγμα Στασιμότητα Συνολοκλήρωση Μια επαναπροσδιορισμένη σχέση Η γενική σχέση ADL Αναπαραμετροποίηση Μη ένθετα υποδείγματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8.1 Αντιστρέψιμοι γραμμικοί μετασχηματισμοί των μεταβλητών μιας εξίσωσης Καθιέρωση της ισότητας στις στατιστικές ελέγχου στις Εξ. (8.37) και (8.41) Προβλήματα

9 Περιεχόμενα Υποδείγματα πολλαπλών εξισώσεων Διανυσματική αυτοπαλινδρόμηση (VAR) Ένα απλό VAR VAR τριών μεταβλητών Συστήματα ανώτερης τάξης Εκτίμηση των VAR Έλεγχος της τάξης του VAR Έλεγχος αιτιότητας Granger Προβλέψεις, συναρτήσεις απόκρισης σε αιφνίδιες διαταραχές, και διαχωρισμός της διακύμανσης Συναρτήσεις απόκρισης σε αιφνίδιες διαταραχές Ορθογώνιες καινοτομίες Διαχωρισμός διακύμανσης Διανυσματικά υποδείγματα διόρθωσης σφάλματος Έλεγχοι για το βαθμό συνολοκλήρωσης Εκτίμηση διανυσμάτων συνολοκλήρωσης Εκτίμηση διανυσματικού υποδείγματος διόρθωσης σφάλματος Υποδείγματα ταυτόχρονων διαρθρωτικών εξισώσεων Συνθήκες ταυτοποίησης Εκτίμηση διαρθρωτικών εξισώσεων Μη στάσιμες μεταβλητές Μέθοδοι εκτίμησης συστημάτων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 9.1 Φαινομενικά μη συνδεόμενες παλινδρομήσεις (SUR) VAR ανώτερου βαθμού Η διαδικασία VAR(1) Η διαδικασία VAR(2) Προβλήματα Η γενικευμένη μέθοδος των ροπών Η μέθοδος των ροπών Η μέθοδος των κανονικών ελαχίστων τετραγώνων (OLS) ως πρόβλημα ροπών Οι βοηθητικές μεταβλητές ως πρόβλημα ροπών GMM και συνθήκη ορθογωνιότητας Κατανομή του εκτιμητή GMM Εφαρμογές Ελάχιστα τετράγωνα σε δύο στάδια και έλεγχοι περιορισμών υπερταυτοποίησης

10 14 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Επανεξέταση των ελέγχων Wu Hausman Μέγιστη πιθανοφάνεια Εξισώσεις Euler Κείμενα προς μελέτη Προβλήματα Μια πλούσια ποικιλία εντατικών υπολογιστικών μεθόδων Εισαγωγή στις μεθόδους Monte Carlo Μερικές γενικές οδηγίες για τα πειράματα Monte Carlo Ένα παράδειγμα Δημιουργία ψευδοτυχαίων αριθμών Παρουσίαση των αποτελεσμάτων Μέθοδοι Monte Carlo και έλεγχοι μεταθέσεων Αυτοδύναμη μέθοδος Bootstrap Το τυπικό σφάλμα της διαμέσου Ένα παράδειγμα Παραμετρικός έλεγχος bootstrap Αναδειγματοληψία καταλοίπων: χρονοσειρές και προβλέψεις Αναδειγματοληψία δεδομένων: διαστρωματικά δεδομένα Ορισμένες παρατηρήσεις για τις οικονομετρικές εφαρμογές του ελέγχου bootstrap Μη παραμετρική εκτίμηση πυκνότητας Μερικές γενικές παρατηρήσεις για τη μη παραμετρική εκτίμηση πυκνότητας Μια εφαρμογή: οι επιδράσεις των συνδικαλιστικών οργανώσεων στο ωρομίσθιο Μη παραμετρική παλινδρόμηση Επέκταση: μερικώς γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης Βιβλιογραφία Προβλήματα Δεδομένα panel Πηγές και κατηγορίες δεδομένων panel Η απλούστερη περίπτωση Ο κοινός εκτιμητής Δύο επεκτάσεις του απλού υποδείγματος Το υπόδειγμα τυχαίων επιδράσεων Οι τυχαίες επιδράσεις ως συνδυασμός των εκτιμητών εντός και μεταξύ Το υπόδειγμα σταθερών επιδράσεων στην περίπτωση δύο περιόδων Το υπόδειγμα σταθερών επιδράσεων με περισσότερες από δύο χρονικές περιόδους

11 Περιεχόμενα Οι κίνδυνοι της εκτίμησης των σταθερών επιδράσεων Παράδειγμα 1: σφάλμα μέτρησης της X Παράδειγμα 2: ενδογενής X Σταθερές ή τυχαίες επιδράσεις; Έλεγχος Wu Hausman Άλλοι έλεγχοι εξειδίκευσης και μια εισαγωγή στην προσέγγιση Chamberlain Μαθηματική διατύπωση των περιορισμών Σταθερές επιδράσεις στο γενικό υπόδειγμα Έλεγχος των περιορισμών Κείμενα προς μελέτη Προβλήματα Υποδείγματα διακριτών και περιορισμένων εξαρτημένων μεταβλητών Κατηγορίες υποδειγμάτων διακριτής επιλογής Το γραμμικό υπόδειγμα πιθανότητας Παράδειγμα: ένα απλό περιγραφικό υπόδειγμα συμμετοχής σε συνδικαλιστικό σωματείο Σχηματισμός υποδείγματος πιθανότητας Το υπόδειγμα PROBIT Το υπόδειγμα LOGIT Σφάλμα εξειδίκευσης στα υποδείγματα δυαδικών εξαρτημένων μεταβλητών Ετεροσκεδαστικότητα Εσφαλμένη εξειδίκευση στα υποδείγματα probit και logit Μορφή συνάρτησης: Ποιο είναι το σωστό υπόδειγμα; Επεκτάσεις του βασικού υποδείγματος: ομαδοποιημένα δεδομένα Μέθοδοι μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδοι ελάχιστου χ Διατεταγμένο PROBIT Υποδείγματα TOBIT Το Tobit ως επέκταση του probit Γιατί να μην αγνοήσουμε «το πρόβλημα»; Ετεροσκεδαστικότητα και Tobit Δύο πιθανες λύσεις Συμμετρικά περικομμένα ελάχιστα τετράγωνα Εκτιμητής λογοκριμένων ελαχίστων απολύτων αποκλίσεων (CLAD) Επιδράσεις θεραπειας και μέθοδοι δύο βημάτων Η απλή διόρθωση Heckman Μερικές προειδοποιήσεις σχετικά με τη μεροληψία επιλογής Το Tobit ως ειδική περίπτωση Κείμενα προς μελέτη Προβλήματα

12 16 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Παράρτημα A: Άλγεβρα μητρών A.1 Διανύσματα Α.1.1 Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό Α.1.2 Πρόσθεση και αφαίρεση Α.1.3 Γραμμικοί συνδυασμοί Α.1.4 Λίγη γεωμετρία Α.1.5 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων Α.1.6 Ισότητα διανυσμάτων Α.2 Μήτρες A.2.1 Πολλαπλασιασμός μητρών A.2.2 Ανάστροφη γινομένου A.2.3 Ορισμένες σημαντικές τετραγωνικές μήτρες A.2.4 Διαμερισμένες μήτρες A.2.5 Παραγώγιση μητρών A.2.6 Επίλυση εξισώσεων A.2.7 Η αντίστροφη μήτρα A.2.8 Βαθμός μήτρας A.2.9 Ορισμένες ιδιότητες των οριζουσών A.2.10 Ιδιότητες των αντίστροφων μητρών A.2.11 Περισσότερα για το βαθμό και την επίλυση των εξισώσεων A.2.12 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα A.2.13 Ιδιότητες των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων A.2.14 Τετραγωνικές μορφές και θετικά ορισμένες μήτρες Παράρτημα B: Στατιστική Β.1 Τυχαίες μεταβλητές και κατανομές πιθανότητας Β.2 Η μονομεταβλητή κανονική κατανομή πιθανότητας Β.3 Διμεταβλητές κατανομές Β.4 Σχέσεις μεταξύ κατανομών x 2, t, και F της κανονικής κατανομής Β.5 Προσδοκίες στις διμεταβλητές κατανομές Β.6 Πολυμεταβλητές πυκνότητες Β.7 Πολυμεταβλητή κανονική pdf Β.8 Κατανομές τετραγωνικών μορφών Β.9 Ανεξαρτησία τετραγωνικών μορφών Β.10 Ανεξαρτησία της τετραγωνικής μορφής και γραμμική συνάρτηση Παράρτημα Γ: Συνοδευτικό CD-ROM Παράρτημα Δ: Στατιστικοί πίνακες Ευρετήριο

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάσαμε ένα σύνολο επαγωγικών διαδικασιών που σχετίζονται με τους εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων (LS) στο πλαίσιο των διμεταβλητών σχέσεων. Η προέλευση αυτών των διαδικασιών βασίστηκε σε δύο κρίσιμες υποθέσεις, η μία από τις οποίες αφορούσε τη μορφή της υπό συνθήκη προσδοκίας E(YxX) και η άλλη τις στοχαστικές ιδιότητες του διαταρακτικού όρου u. Οι συγκεκριμένες υποθέσεις ήταν E( Y X ) = α + βx (2.1) και E(u i ) = 0 για κάθε i E(u 2 i ) = σ2 για κάθε i E(u i u j ) = 0 για i j (2.2) Από την Εξ. (2.2) και την υπόθεση της σταθερής ερμηνευτικής μεταβλητής προκύπτει επίσης ότι E(X i u j ) = X i E(u j ) = 0 για κάθε i, j (2.3) Αν προσθέσουμε την υπόθεση της κανονικότητας στην Εξ. (2.2) λαμβάνουμε Οι u i είναι iid N(0, σ 2 ) (2.4) που διαβάζεται ως «Οι u i είναι ανεξάρτητα και πανομοιότυπα κατανεμημένες κανονικές μεταβλητές με μέσο όρο μηδέν και διακύμανση σ 2». Η εγκυρότητα των επαγωγικών μεθόδων εξαρτάται προφανώς από την ορθότητα των υποθέσεων στις οποίες βασίζονται. Το μεγαλύτερο μέρος του κεφαλαίου αυτού πραγματεύεται διάφορους εφικτούς επαναπροσδιορισμούς της υπόθεσης της υπό συνθήκη προσδοκίας στην Εξ. (2.1). Πρώτα θα εξετάσουμε ορισμένα από τα ζητήματα που προκύπτουν όταν ο η μεταβλητή παλινδρόμησης (ερμηνευτική μεταβλητή) είναι ο χρόνος. Αυτό μας οδηγεί φυσιολογικά στο να εξετάσουμε τις καμπύλες στα- 67

14 68 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ θερού ρυθμού αύξησης, όπου ο λογάριθμος της εξαρτημένης μεταβλητής εκφράζεται ως γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Στη συνέχεια εξετάζουμε περιπτώσεις όπου οι μετασχηματισμοί της εξαρτημένης και της ερμηνευτικής μεταβλητής μπορεί να είναι χρήσιμοι. Αρκετές σχέσεις που είναι μη γραμμικές στις αρχικές μεταβλητές μπορούν να γίνουν γραμμικές με τους κατάλληλους μετασχηματισμούς. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι απλές τεχνικές για το γραμμικό υπόδειγμα που αναπτύχθηκαν στο Κεφάλαιο 1 μπορούν να εφαρμοστούν στις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Στη συνέχεια εξετάζουμε το διμεταβλητό υπόδειγμα όπου η ερμηνευτική μεταβλητή είναι απλώς η υστέρηση της εξαρτημένης μεταβλητής. Πρόκειται για το πρώτης τάξης αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα (ή σχήμα) AR(1). Η αλλαγή φαίνεται αρκετά ακίνδυνη αλλά μας μεταφέρει σε ριζικά νέο έδαφος. Οι εκτιμητές των ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι πλέον αμερόληπτοι και τα ακριβή, πεπερασμένα αποτελέσματα των μικρών δειγμάτων του Κεφαλαίου 1 δεν είναι πλέον απολύτως έγκυρα. Οι διαδικασίες των ελαχίστων τετραγώνων του Κεφαλαίου 1 μπορούν και πάλι να εφαρμοστούν στην αυτοπαλίνδρομη εξίσωση, αλλά τώρα έχουν ισχύ μόνο σε μεγάλα δείγματα ή ασυμπτωτικά. Για να αξιολογηθούν αυτά τα αποτελέσματα, απαιτείται να εισαγάγουμε ορισμένες βασικές και πολύ σημαντικές ιδέες που σχετίζονται με τη θεωρία των μεγάλων δειγμάτων, και συγκεκριμένα, τις ασυμπτωτικές κατανομές, την ασυμπτωτική αποτελεσματικότητα, και τη συνέπεια. Η απλή αυτοπαλίνδρομη εξίσωση εγείρει επίσης το ζήτημα της στασιμότητας μιας χρονοσειράς. Τα θέματα αυτά θα αναπτυχθούν εκτενέστερα σε μεταγενέστερα κεφάλαια, ιδιαίτερα στα Κεφάλαια 5, 7, και 8. Ελπίζουμε ότι η εισαγωγή τους στο πλαίσιο των διμεταβλητών σχέσεων θα διατηρήσει την αρχική παρουσίαση όσο το δυνατόν απλούστερη και θα χρησιμεύσει ως γέφυρα για περαιτέρω επεξεργασία. 2.1 Ο ΧΡΟΝΟΣ ΩΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Σε ένα διάγραμμα χρονοσειράς όπως παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 1, η μεταβλητή Y t τοποθετείται στον κατακόρυφο άξονα και ο χρόνος στον οριζόντιο. Το διάγραμμα αυτό μπορεί, επίσης, να θεωρηθεί ως διάγραμμα διασποράς, οπότε η μόνη διαφορά σε σχέση με το συμβατικό διάγραμμα διασποράς είναι ότι η μεταβλητή X (ο χρόνος) αυξάνεται μονοτονικά κατά μία μονάδα με κάθε παρατήρηση. Πολλές οικονομικές μεταβλητές αυξάνονται ή μειώνονται με το χρόνο. Μια σχέση γραμμικής τάσης θα μπορούσε να γραφεί σύμφωνα με το υπόδειγμα Y = α + βt + u (2.5) όπου Τ είναι ο χρόνος. Η μεταβλητή Τ μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους, αλλά κάθε περιγραφή απαιτεί να ορίσουμε την αρχή ως προς την οποία μετράται ο χρόνος και τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται. Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε ετήσιες παρατηρήσεις κάποιας μεταβλητής για τα (n = 13) έτη από το 1980 έως το 1992, πιθανές εξειδικεύσεις της μεταβλητής Τ θα ήταν οι T = 1980, 1981, 1982,..., 1992 T = 1, 2, 3,..., 13 T = 6, 5, 4,..., 6

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων 69 Και στις τρεις περιπτώσεις, η μονάδα μέτρησης είναι το έτος. Οι αρχές είναι, αντίστοιχα, η έναρξη του Γρηγοριανού Ημερολογίου, το 1979 και το Το τρίτο υπόδειγμα ενδείκνυται σε υπολογισμούς μικρής κλίμακας, επειδή στην περίπτωση αυτή η T έχει μέσο όρο μηδέν, οπότε οι κανονικές εξισώσεις για να προσαρμόσουμε την Εξ. (2.5) απλοποιούνται στις a = Y και b = TY / T 2 Πολλές εφαρμογές λογισμικού θα δημιουργήσουν μια μεταβλητή τάσης (TREND) για χρήση στην ανάλυση παλινδρόμησης. Αυτή είναι η δεύτερη περιγραφή για την T των παραπάνω σχέσεων Καμπύλες σταθερού ρυθμού αύξησης Αν πάρουμε τις διαφορές πρώτου βαθμού στην Εξ. (2.5), έχουμε ΔY t = β + (u t u t 1 ) Αν αγνοήσουμε τους διαταρακτικούς όρους, η σημασία της Εξ. (2.5) είναι ότι η σειρά αυξάνεται (μειώνεται) κατά μία σταθερή ποσότητα σε κάθε περίοδο. Για αύξουσα σειρά (β > 0), αυτό σημαίνει φθίνοντα ρυθμό και για φθίνουσα σειρά (β < 0), η περιγραφή δίνει αυξανόμενο ρυθμό μείωσης. Για σειρές στις οποίες υπάρχει σταθερός ρυθμός αύξησης, είτε θετικός είτε αρνητικός, η Εξ. (2.5) αποτελεί ακατάλληλη περιγραφή. Η κατάλληλη περιγραφή εκφράζει το λογάριθμο της σειράς ως γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως εξής. Χωρίς διαταρακτικούς όρους, μια σειρά σταθερού ρυθμού αύξησης δίνεται από την εξίσωση Y t = Y 0 (1 + g) t (2.6) όπου g = (Y t Y t 1 ) / Y t 1 είναι ο σταθερός αναλογικός ρυθμός αύξησης ανά περίοδο. Παίρνοντας τους λογαρίθμους και των δύο μερών της Εξ. (2.6) έχουμε 1. lny t = α + βt (2.7) όπου α = lny 0 και β = ln(1 + g) (2.8) Αν υποψιαζόμαστε ότι μια σειρά έχει σταθερό ρυθμό αύξησης, μπορούμε να το ελέγξουμε γρήγορα σχεδιάζοντας το διάγραμμα διασποράς των λογαρίθμων της σειράς ως προς το χρόνο. Αν το 1 Χρησιμοποιούμε τον όρο ln για να εκφράσουμε το φυσικό λογάριθμο με βάση το e

16 70 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ διάγραμμα είναι σχεδόν γραμμικό, τότε στην Εξ. (2.7) μπορεί να προσαρμοστεί καμπύλη με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, με τη χρήση παλινδρόμησης των λογαρίθμων της Y ως προς το χρόνο. Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής κλίσης δίνει την τιμή ĝ ως εκτίμηση για το ρυθμό αύξησης, και συγκεκριμένα b = ln(1 + ĝ ) που δίνει ĝ = e b 1 Ο συντελεστής β της Εξ. (2.7) αποτελεί το συνεχή ρυθμό της μεταβολής lny t / t, ενώ η g αποτελεί το διακριτό ρυθμό. Ο σχηματισμός μιας χρονοσειράς σταθερού ρυθμού αύξησης σε συνεχή χρόνο δίνει Y t = Y 0 e βt ή lny t = α + βt Τέλος, σημειώστε ότι, αν πάρουμε τις διαφορές πρώτου βαθμού στην Εξ. (2.7), έχουμε Δ lny = β = ln(1 + g) g (2.9) t Συνεπώς, αν πάρουμε τις διαφορές πρώτου βαθμού των λογαρίθμων έχουμε το συνεχή ρυθμό αύξησης, που με τη σειρά του είναι μια προσέγγιση του διακριτού ρυθμού αύξησης. Η προσέγγιση αυτή είναι αρκετά ακριβής μόνο για μικρές τιμές της g Αριθμητικό παράδειγμα Ο Πίνακας 2.1 παρέχει στοιχεία για την παραγωγή ασφαλτούχου λιθάνθρακα στις Ηνωμένες Πολιτείες ανά δεκαετίες, από το 1841 έως το Αν απεικονίσουμε σε διάγραμμα το λογάριθμο της παραγωγής ως προς το χρόνο, προκύπτει μια γραμμική σχέση. ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1 Παραγωγή ασφαλτούχου λιθάνθρακα στις Ηνωμένες Πολιτείες, Μέση ετήσια παραγωγή (σε 1000 καθαρούς τόνους) Δεκαετία Y ln Y t t(ln Y) , , , , , , , Άθροισμα Έτσι, προσαρμόζουμε μια καμπύλη σταθερού ρυθμού αύξησης και υπολογίζουμε τον ετήσιο ρυθμό αύξησης. Αφού θέσουμε ως αρχή του χρόνου το μέσον της δεκαετίας 1870 και δεχθούμε ως μονάδα χρόνου τα 10 έτη, προκύπτουν οι χρονοσειρές t που φαίνονται στον πίνακα. Από τα στοιχεία του πίνακα

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων 71 a = lny n = = b = tlny t 2 = = Ο συντελεστής r 2 αυτής της παλινδρόμησης είναι , επαληθεύοντας τη γραμμικότητα του διαγράμματος διασποράς. Ο εκτιμημένος ρυθμός αύξησης ανά δεκαετία υπολογίζεται από τη σχέση ĝ = e b 1 = Συνεπώς, ο σταθερός ρυθμός αύξησης είναι σχεδόν 140 τοις εκατό ανά δεκαετία. Ο ετήσιος ρυθμός αύξησης (annual growth rate, agr) υπολογίζεται στη συνέχεια από τη σχέση (1 + agr) 10 = που δίνει agr = , ή μόλις περισσότερο από 9 τοις εκατό ετησίως. Ο ισοδύναμος συνεχής ρυθμός είναι Η μεταβλητή του χρόνου μπορεί να αντιμετωπιστεί ως σταθερή ανεξάρτητη μεταβλητή και, επομένως, οι επαγωγικές διαδικασίες του Κεφαλαίου 1 εφαρμόζονται σε εξισώσεις όπως οι (2.5) και (2.7) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ο λογαριθμικός μετασχηματισμός της εξαρτημένης μεταβλητής στις μελέτες αύξησης οδηγεί φυσιολογικά στην εξέταση και άλλων μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί αυτοί μπορεί να αναφέρονται στην εξαρτημένη μεταβλητή, στην ανεξάρτητη μεταβλητή, ή και στις δύο. Ο κύριος σκοπός τους είναι να επιτευχθεί ένας μετασχηματισμός γραμμικοποίησης ώστε να μπορούν να εφαρμόζονται οι απλές τεχνικές του Κεφαλαίου 1 στις κατάλληλα μετασχηματισμένες μεταβλητές και να παρακάμπτεται έτσι η ανάγκη περαιτέρω προσαρμογής σύνθετων σχέσεων Μετασχηματισμοί λογάριθμος-λογάριθμος Η εξίσωση της αύξησης χρησιμοποίησε ένα μετασχηματισμό της εξαρτημένης μεταβλητής. Πολλές σημαντικές οικονομετρικές εφαρμογές χρησιμοποιούν τους λογαρίθμους και των δύο μεταβλητών. Η σχετική συναρτησιακή περιγραφή είναι Y = AX β ή lny = α + β lnx (2.10) 2 Για μια πολύ χρήσιμη ανάλυση της χρήσης του χρόνου ως ανεξάρτητης μεταβλητής, δείτε Russell Davidson και James G. MacKinnon, Estimation and Inference in Econometrics, Oxford University Press, 1993, σελ

18 72 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ όπου α = lna. Η ελαστικότητα της Y ως προς τη X ορίζεται ως Ελαστικότητα = dy X dx Y Η παραπάνω εξίσωση μετράει την ποσοστιαία μεταβολή της Y για 1 τοις εκατό μεταβολή της X. Αν εφαρμόσουμε την εξίσωση της ελαστικότητας στην πρώτη έκφραση της Εξ. (2.10), βλέπουμε ότι η ελαστικότητα αυτής της συνάρτησης είναι απλώς β, και η δεύτερη έκφραση της Εξ. (2.10) δείχνει ότι η κλίση της περιγραφής λογάριθμος-λογάριθμος είναι η ελαστικότητα. Συνεπώς, η Εξ. (2.10) ορίζει μια συνάρτηση σταθερής ελαστικότητας (constant elasticity function). Παρόμοιες εξειδικεύσεις εμφανίζονται συχνά σε εφαρμοσμένες εργασίες, πιθανόν λόγω της απλότητάς τους και της εύκολης ερμηνείας τους, καθώς οι κλίσεις στις παλινδρομήσεις λογάριθμος-λογάριθμος αποτελούν άμεσες εκτιμήσεις των (σταθερών) ελαστικοτήτων. Στο Σχήμα 2.1 απεικονίζονται ορισμένα τυπικά σχέδια στο επίπεδο Y, X για διάφορα β. ΣΧΗΜΑ 2.1 Y = AX β Ημιλογαριθμικοί μετασχηματισμοί Ένα τέτοιο παράδειγμα έχει παρουσιαστεί ήδη στην εξίσωση της σταθερής αύξησης. Η γενική μορφή είναι 3 3 Ο οξυδερκής αναγνώστης θα έχει παρατηρήσει ότι, εξετάζοντας διάφορους μετασχηματισμούς, δεν είμαστε συνεπείς ως προς το διαταρακτικό όρο, που τον περιλαμβάνουμε σε ορισμένες εξισώσεις και τον παραλείπουμε από άλλες με σκοπό να απλοποιήσουμε τους μετασχηματισμούς. Η μόνη δικαιολογία γι' αυτή την (κοινή) πρακτική είναι η άγνοια και η ευκολία. Ο αείμνηστος Sir Julian Huxley (διακεκριμένος βιολόγος και αδελφός του συγγραφέα Aldous Huxley) περιέγραψε κάποτε το Θεό ως «προσωποποιημένο σύμβολο της αθεράπευτης άγνοιας του ανθρώπου». Ο διαταρακτικός όρος παίζει παρόμοιο ρόλο στην οικονομετρία, καθώς είναι ένα στοχαστικό

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων 73 lny = α + βx + u (2.11) Η περιγραφή αυτή χρησιμοποιείται ευρέως στα υποδείγματα ανθρώπινου κεφαλαίου, όπου η Y δηλώνει τα εισοδήματα και η X τα έτη της εκπαίδευσης ή της πείρας. 4 Από την Εξ. (2.11) έπεται ότι 1 dy Y dx = β Επομένως, η κλίση της ημιλογαριθμικής παλινδρόμησης αποτελεί εκτίμηση της ποσοστιαίας μεταβολής της Y ανά μονάδα μεταβολής της X. Μια εικόνα θετικού β παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.2a. Αν αντιστρέψουμε τους άξονες, έχουμε Y = α + β lnx (2.12) ΣΧΗΜΑ 2.2 Ημιλογαριθμικό υπόδειγμα. Ένα παράδειγμα θετικού β παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.2β. Σε μια διαστρωματική μελέτη προϋπολογισμών των νοικοκυριών, μια τέτοια καμπύλη θα μπορούσε να εκφράζει τη σχέση μεταξύ μιας κατηγορίας δαπανών Y και του εισοδήματος X. Απαιτείται ένα ορισμένο κατώφλιο εισοδήματος (e α/β ) για να γίνει οποιαδήποτε δαπάνη γι αυτό το αγαθό. Οι δαπάνες αυξάνουν τότε 4 σύμβολο της κατάλοιπης άγνοιας του οικονομέτρη. Και όπως κάνουμε συχνά και με το Θεό, αποδίδουμε στο α- νεξιχνίαστο και άγνωστο τις ιδιότητες που είναι καταλληλότερες για το σκοπό μας. Ο προσδιορισμός αυτός προέρχεται από θεωρητικούς προβληματισμούς στο J. Mincer, School, Experience, and Earnings, Columbia University Press, New York, 1974.

20 74 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ μονοτονικά ως προς το εισόδημα, αλλά με φθίνοντα ρυθμό. Η οριακή ροπή για κατανάλωση (β / X) για το αγαθό αυτό μειώνεται καθώς αυξάνεται το εισόδημα, και το ίδιο και η ελαστικότητα (β / Y) Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι χρήσιμοι όταν προσομοιώνουμε καταστάσεις όπου υπάρχουν ασύμπτωτες για τη μία ή και τις δύο μεταβλητές. Ας θεωρήσουμε τη σχέση (Y α 1 )(X α 2 ) = α 3 (2.13) Η σχέση αυτή περιγράφει μια ορθογώνια υπερβολική καμπύλη με ασύμπτωτες στα Y = α 1 και X = α 2. Στο Σχήμα 2.3 παρουσιάζονται ορισμένα τυπικά διαγράμματα θετικών και αρνητικών α 3. Η Εξ. (2.13) μπορεί να γραφεί ως Y = α 1 + α 3 X α 2 (2.14) ΣΧΗΜΑ 2.3 Ορθογώνια υπερβολική καμπύλη. Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης ενός όρου σφάλματος στην Εξ. (2.14) και της προσπάθειας να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων δίνει εξισώσεις που είναι μη γραμμικές ως προς τα α. Στην περίπτωση αυτή, είναι αδύνατος ο γραμμικός μετασχηματισμός που θα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων 75 μας επαναφέρει στις απλές διαδικασίες του Κεφαλαίου 1. 5 Εντούτοις, υπάρχουν δύο ειδικές περιπτώσεις της Εξ. (2.14) όπου μπορούν να εφαρμοστούν γραμμικοί μετασχηματισμοί. Αν θέσουμε το α 2 ίσο με το μηδέν, έχουμε Y = α + β 1 X (2.15) όπου α = α 1 και β = α 3. Εναλλακτικά, αν θέσουμε α 1 ίσο με το μηδέν, έχουμε 1 Y = α + βx (2.16) όπου α = α 2 /α 3 και β = 1/α 3. Σχηματικές παραστάσεις απεικονίζονται στα Σχήματα 2.4 και 2.5. Στη μελέτη των καμπυλών Phillips, προσαρμόζονται συχνά καμπύλες του τύπου του Σχήματος 2.4a, όπου η Y απεικονίζει το ποσοστό του μισθού ή τη μεταβολή της τιμής και η X το ποσοστό της ανεργίας. Η περιγραφή αυτή εμπεριέχει τη μη ρεαλιστική υπόθεση ότι η ασύμπτωτη για το ποσοστό ανεργίας είναι μηδέν. Η εναλλακτική απλοποίηση της Εξ. (2.16) επιτρέπει ένα θετικό ελάχιστο ποσοστό ανεργίας, αλλά με κόστος την επιβολή μιας ελάχιστης μηδενικής μεταβολής μισθών. ΣΧΗΜΑ Χ Υ = α + β 5 Όπως θα δούμε παρακάτω, η εξίσωση μπορεί να προσαρμοστεί απευθείας με μη γραμμικά ελάχιστα τετράγωνα.

22 76 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΗΜΑ Υ = α + βχ Η γενικότερη περιγραφή που απεικονίζεται στο Σχήμα 2.3a καταργεί και τους δύο περιορισμούς και επιτρέπει τη δυνατότητα ενός θετικού ελάχιστου ποσοστού ανεργίας και μιας αρνητικής μεταβολής μισθών. Το Σχήμα 2.4β μπορεί να απεικονίζει μια διαστρωματική συνάρτηση δαπανών. Απαιτείται ένα ορισμένο κατώφλιο εισοδήματος για να υπάρξει οποιαδήποτε δαπάνη για γεύματα, λόγου χάρη, σε εστιατόριο, όμως αυτή η δαπάνη τείνει προς κάποιο ανώτατο όριο όπου ο δισεκατομμυριούχος δαπανά απειροελάχιστα περισσότερα από τον εκατομμυριούχο. 2.3 ΕΝΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ: ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ ΣΤΙΣ ΗΠΑ Η δημοσίευση του άρθρου «Phillips Curve» το 1958 ξεκίνησε μια νέα βιομηχανία οικονομικής ανάπτυξης, οι επαγγελματίες της οποίας αναζήτησαν (και ανακάλυψαν) καμπύλες Phillips σε διάφορες χώρες. 6 Στο αρχικό άρθρο, ο Phillips απεικόνισε την ετήσια ποσοστιαία μεταβολή μισθού σε σχέση με το ποσοστό ανεργίας στο Ηνωμένο Βασίλειο, για την περίοδο 1861 έως Το διάγραμμα διασποράς αποκάλυψε μια αρνητική μη γραμμική σχέση, την οποία ο Phillips συνόψισε στη μορφή μιας καμπύλης γραμμής. Αξιοσημείωτο είναι ότι τα δεδομένα δύο συνεχόμε- 6 A. W. Phillips, «The Relation between Unemployment and the Rate of Change of Money Wages in the United Kingdom, », Economica, New Series 25, 1958,

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων 77 νων περιόδων, και , βρίσκονται κοντά στην καμπύλη που προέκυψε από τα δεδομένα των ετών Αυτή η απλή καμπύλη του Phillips δεν άντεξε στο χρόνο και δέχθηκε τόσο θεωρητικές όσο και στατιστικές επιθέσεις και αναδιατυπώσεις. Έτσι, η απλή διμεταβλητή ανάλυση του πληθωρισμού των μισθών (ή των τιμών) και της ανεργίας δεν μπορεί πλέον να θεωρείται σοβαρή οικονομετρία. Εντούτοις, στο κεφάλαιο αυτό εξακολουθούμε να περιοριζόμαστε στις διμεταβλητές σχέσεις, και το επόμενο παράδειγμα θα πρέπει να αντιμετωπιστεί μόνον ως επεξήγηση των στατιστικών βημάτων που ακολουθούνται στη διαδικασία προσαρμογής μη γραμμικών σχέσεων σε δύο μεταβλητές. Τα δεδομένα που χρησιμοποιούνται είναι ετήσια στοιχεία για τις Ηνωμένες Πολιτείες από το 1957 έως το Η μεταβλητή για τον πληθωρισμό (INF) είναι η ετήσια ποσοστιαία μεταβολή του Δείκτη Τιμών Καταναλωτή (CPI). Η μεταβλητή για την ανεργία (UNR) είναι το ποσοστό ανεργίας των πολιτών εργατών ηλικίας 16 ετών και άνω. Ο πληθωρισμός κυμαίνεται μεταξύ μιας χαμηλής τιμής 0.69 τοις εκατό το 1959 και μιας υψηλής τιμής 5.72 τοις εκατό το 1970, με μέση τιμή 2.58 τοις εκατό. Το ποσοστό ανεργίας, που ήταν 4.3 τοις εκατό το 1957, ανήλθε σε ένα μέγιστο 6.7 τοις εκατό το 1961 και μειωνόταν σταθερά στη συνέχεια της δεκαετίας του Το Σχήμα 2.6a απεικονίζει το διάγραμμα διασποράς του πληθωρισμού ως προς το τρέχον ποσοστό ανεργίας. Η κλίση είναι αρνητική, αλλά το διάγραμμα έχει διασκορπισμένες τιμές. Στο Σχήμα 2.6β, ο πληθωρισμός σχεδιάζεται σε σχέση με το ποσοστό ανεργίας του προηγούμενου έτους. Δεν είναι παράλογο να υπάρξει υστέρηση στην απόκριση, καθώς απαιτείται χρόνος ώσπου η α- νεργία να επηρεάσει τους μισθούς, και ακόμη περισσότερος χρόνος ώσπου οι μεταβολές των μισθών να επιδράσουν σταδιακά στις τιμές των τελικών προϊόντων. Στην περίπτωση αυτή, το διάγραμμα είναι περισσότερο συνεκτικό και υπάρχει κάποια ένδειξη μη γραμμικότητας. Το ίδιο σχήμα δείχνει την προσαρμογή μιας γραμμικής παλινδρόμησης του πληθωρισμού επί της ανεργίας με υστέρηση. Η γραμμική περιγραφή προφανώς εκφράζει ανεπαρκώς το φαινόμενο. Από τα 14 κατάλοιπα της παλινδρόμησης, 5 είναι θετικά και 9 αρνητικά. Τα 5 θετικά κατάλοιπα συμβαίνουν στις χαμηλότερες και υψηλότερες τιμές της ερμηνευτικής μεταβλητής. Κατά συνέπεια, η εξέταση των καταλοίπων μπορεί να υποδηλώνει εσφαλμένη περιγραφή. Σειρές ή ακολουθίες θετικών ή αρνητικών καταλοίπων υποδηλώνουν εσφαλμένη περιγραφή. ΠΙΝΑΚΑΣ 2.2 Διάφορες παλινδρομήσεις πληθωρισμός/ανεργία, * Ερμηνευτική μεταβλητή Σταθερά Κλίση r 2 SER UNR (3.82) ( 2.45) UNR( 1) (9.80) ( 7.19) 1/UNR( 1) ( 6.51) (10.50) * Οι στατιστικές t είναι οι αριθμοί μέσα στις παρενθέσεις. SER είναι το τυπικό σφάλμα της παλινδρόμησης.

24 78 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΗΜΑ 2.6 Πληθωρισμός και ανεργία στις ΗΠΑ, Το Σχήμα 2.6γ δείχνει το αποτέλεσμα της προσαρμογής της αντίστροφης σχέσης INF = α + γ 1 UNR( 1) + u (2.17) Τα κατάλοιπα είναι κάπως μικρότερα σε σύγκριση με το Σχήμα 2.6β και το διάγραμμα είναι κάπως περισσότερο γραμμικό, όχι όμως απόλυτα. Στον Πίνακα 2.2 συνοψίζονται τα κύρια αποτελέσματα των παλινδρομήσεων που σχετίζονται με το Σχήμα 2.6. Επισημαίνουμε το σημαντικό άλμα του r 2 όταν αλλάζουμε την ερμηνευτική μεταβλητή από την τρέχουσα ανεργία στην ανερ-

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλλες πλευρές των διμεταβλητών σχέσεων 79 γία με υστέρηση, και μια περαιτέρω αύξηση από 0.81 σε 0.90 όταν χρησιμοποιούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Τέλος, σημειώνουμε το αποτέλεσμα της προσαρμογής της μη γραμμικής σχέσης INF = α 1 + α 3 UNR( 1) α 2 + u (2.18) Η προσαρμογή επιτυγχάνεται με μη γραμμικά ελάχιστα τετράγωνα, που είναι μια επαναληπτική διαδικασία εκτίμησης η οποία αρχίζει με κάποιες αυθαίρετες τιμές για τις άγνωστες παραμέτρους, υπολογίζει το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων, κατόπιν αναζητά αλλαγές στις παραμέτρους για να μειώσει το RSS και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρις ότου οι διαδοχικές μεταβολές στις εκτιμώμενες παραμέτρους και στα σχετιζόμενα RSS να είναι αμελητέες. Στο τελικό στάδιο ενδέχεται να προκύψουν τυπικά σφάλματα και άλλοι στατιστικοί έλεγχοι όπως ακριβώς στη γραμμική μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων όπως όμως θα εξηγήσουμε στη συνέχεια, τα σφάλματα αυτά έχουν τώρα μια ασυμπτωτική αιτιολόγηση και όχι τις ακριβείς ιδιότητες των μικρών δειγμάτων. Όπως επισημάναμε πιο πάνω, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί που επιτεύχθηκαν όταν οι α 1 και α 2 θεωρήθηκαν ίσοι με μηδέν θέτουν θεωρητικά ακατάλληλους περιορισμούς στο σχήμα της σχέσης. Αν τεθεί α 2 ίσο με μηδέν, όπως στην τρίτη παλινδρόμηση του Πίνακα 2.2, έχουμε μια χαμηλότερη ασύμπτωτη του μηδενός για το ποσοστό ανεργίας, που είναι αβάσιμα μικρή. Από την άλλη, αν θέσουμε α 1 ίσο με μηδέν, έχουμε μια χαμηλότερη ασύμπτωτη του μηδενός για το ποσοστό ανεργίας, το οποίο υποδηλώνει ότι το επίπεδο των τιμών δεν μπορεί να υποχωρήσει όσο υψηλό και αν είναι το επίπεδο της ανεργίας, που είναι επίσης αβάσιμος περιορισμός. Αν χρησιμοποιήσουμε μη γραμμική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων για να εκτιμήσουμε τη σχέση χωρίς αυτούς τους περιορισμούς, έχουμε INF = UNR( 1) με r 2 = 0.95 και Τυπικό σφάλμα παλινδρόμησης= Η έκφραση αυτή παρέχει τη βέλτιστη προσαρμογή και το χαμηλότερο τυπικό σφάλμα από όλες τις παλινδρομήσεις. Ο σταθερός όρος, που είναι η εκτιμώμενη ασύμπτωτη για το ποσοστό του πληθωρισμού, είναι ελαφρά αρνητικός όχι όμως σημαντικά διαφορετικός από το μηδέν. Η εκτιμώμενη ασύμπτωτη για το ποσοστό ανεργίας είναι 2.69 τοις εκατό. Η αντίθεση μεταξύ των ασυμπτώτων της ανεργίας κατά τη διαδικασία προσαρμογής των Εξισώσεων (2.17) και (2.18) μας υπενθυμίζει με εντυπωσιακό τρόπο το γεγονός ότι κάθε περιγραφή επιβάλλει ένα συγκεκριμένο σχήμα στην εκτιμώμενη σχέση. Η Εξ. (2.18) σημαίνει δραματικά αυξανόμενα ποσοστά πληθωρισμού για ποσοστά ανεργίας μόλις κατώτερα από το 3 τοις εκατό, ενώ η Εξ. (2.17) απαιτεί ποσοστά ανεργίας κατώτερα από το 1 τοις εκατό προκειμένου να δώσει παρόμοια μεγέθη πληθωρισμού. Οι προσαρμογές στα δεδομένα του δείγματος δε διαφέρουν πάρα πολύ, αλλά οι επεκτάσεις των ερμηνειών πέρα από το εύρος των στοιχείων του δείγματος μας δίνουν εντυπωσιακά διαφορετικές εικόνες.

26

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 5.1 Αυτοσυσχέτιση: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 6.1 Ετεροσκεδαστικότητα: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της σταθερής διακύμανσης των όρων σφάλματος,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Εικόνων Πίνακας Πινάκων Πρόλογος Ευχαριστίες ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Στατιστικό υπόβαθρο και βασικός χειρισµός δεδοµένων

Πίνακας Εικόνων Πίνακας Πινάκων Πρόλογος Ευχαριστίες ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Στατιστικό υπόβαθρο και βασικός χειρισµός δεδοµένων Περιεχόμενα Πίνακας Εικόνων... 21 Πίνακας Πινάκων... 23 Πρόλογος... 27 Ευχαριστίες... 30 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Στατιστικό υπόβαθρο και βασικός χειρισµός δεδοµένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Βασικές έννοιες... 33 Εισαγωγή... 34

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7ο μάθημα: Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 12: Σφάλματα μέτρησης στις μεταβλητές Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model)

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) ΜΑΘΗΜΑ 4 ο 1 Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) Αυτοσυσχέτιση (Serial Correlation) Lagrange multiplier test of residual

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. σε μη γραμμικές μορφές. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. σε μη γραμμικές μορφές. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 7: Επεκτάσεις του γραμμικού υποδείγματος σε μη γραμμικές μορφές Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Σταματίου Παύλος Διδάκτωρ Οικονομετρικών Εφαρμογών & Μακροοικονομικών Πολιτικών

Οικονομετρία. Σταματίου Παύλος Διδάκτωρ Οικονομετρικών Εφαρμογών & Μακροοικονομικών Πολιτικών Οικονομετρία Σταματίου Παύλος Διδάκτωρ Οικονομετρικών Εφαρμογών & Μακροοικονομικών Πολιτικών E-mail: stamatiou@uom.edu.gr Info: https://sites.google.com/site/pavlossta2/home Αυτοσυσχέτιση (Durbin - Watson)

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 11: Αυτοσυσχέτιση Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Περιεχόμενο ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 5: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: ageliki.papaa@gmail.com, agpapaa@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapaa

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 1 Τύποι Οικονομικών Δεδομένων Τα οικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εξέταση οικονομικών φαινομένων μπορεί να έχουν τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ Ερώτηση : Εξηγείστε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προσδιορισµού και του προσαρµοσµένου συντελεστή προσδιορισµού. Πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ MA(q) ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARMA (p,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Αλγεβρικές συναρτήσεις... 3 1.1 Η έννοια της συνάρτησης... 3 1.2 Ασαφείς και σαφείς συναρτήσεις... 3 1.3 Γραφικές απεικονίσεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF)

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) ΜΑΘΗΜΑ 5ο Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) Στον έλεγχο των Dickey Fuller (DF) και στα τρία υποδείγματα που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως κάνουμε την υπόθεση ότι ο διαταρακτικός όρος e είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση I

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση I Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση I. Εισαγωγή Έστω ότι θέλουμε να ερευνήσουμε εμπειρικά τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις δαπάνες κατανάλωσης και στο διαθέσιμο εισόδημα, των οικογενειών. Σύμφωνα με την Κεϋνσιανή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η τελεία χρησιμοποιείται ως υποδιαστολή (π.χ 3 14 τρία κόμμα δεκατέσσερα) Παρακαλώ παραδώστε τα θέματα μαζί με το γραπτό σας ΟΝΟΜΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜ:

Η τελεία χρησιμοποιείται ως υποδιαστολή (π.χ 3 14 τρία κόμμα δεκατέσσερα) Παρακαλώ παραδώστε τα θέματα μαζί με το γραπτό σας ΟΝΟΜΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜ: Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξεταστική περίοδος Ιανουαρίου 2014 (18-Φεβ-2014) 9:00-11:00 Μάθημα: «ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ» ΟΙΚΟΝ 320 Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Ιωάννης Α. Βενέτης Διάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος.

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. :\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ-ΕΚΤΙΜΗΣΗ-ΑΝΑΛΥΣΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ- ΣΕΝΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 9.1 Εισαγωγή Στην ανάλυση παλινδρόμησης που περιλαμβάνει στοιχεία χρονοσειρών, αν το υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Οι παραβιάσεις των σημαντικότερων υποθέσεων των γραμμικών υποδειγμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΕΒΔΟΜΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Διαγνωστικοί Έλεγχοι Διαπίστωσης της Αυτοσυσχέτισης Οι περισσότεροι από τους διαγνωστικούς ελέγχους της αυτοσυσχέτισης αναφέρονται σε αυτοσυσχέτιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

, 1. Παράδειγμα: 1) Όχι σύγχρονη εξωγένεια: Cov y, u Cov y, u 0. 2) Έλλειψη Δυναμικής Πληρότητας: ~ AR(2)

, 1. Παράδειγμα: 1) Όχι σύγχρονη εξωγένεια: Cov y, u Cov y, u 0. 2) Έλλειψη Δυναμικής Πληρότητας: ~ AR(2) αυτοσυσχέτιση Παράδειγμα: e ) Όχι σύγχρονη εξωγένεια: Cov Cov 2) Έλλειψη Δυναμικής Πληρότητας: 2 e 2 (προφανώς αφού έχουμε δείξει ότι Δ.Π. Υ5 ) ~ AR(2) 2 Έλεγχος για αυτοσυσχέτιση με τη στατιστική (Ασυμπτωτικός)...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέχρι τώρα η μελέτη μας επικεντρώθηκε σε οικονομικά υποδείγματα μιας εξισώσεως, όπου έχουμε πάντα μια εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Αυτοσυσχέτιση Αν τα σφάλµατα δεν συσχετίζονται µεταξύ τους, Corr(u t, u s ) = 0 για κάθε t s, t, s

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA);

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Ερωτήσεις: 1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα η τρέχουσα τιμή της y είναι συνάρτηση p υστερήσεων της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προϋποθέσεις που θέσαμε ώστε να εξασφαλίσουμε BLUE εκτιμητές με τη μέθοδο των συνήθων ελαχίστων τετραγώνων στο κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 15

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 15 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Κεφάλαιο 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΟΝΤΟΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΚΟΣΜΟΥ... 17 Το θεμελιώδες πρόβλημα των κοινωνικών επιστημών...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ SARIMA (sp,sd,qs) ARIMA (p,d,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος των Phillips Perron

Έλεγχος των Phillips Perron ΜΑΘΗΜΑ 8ο Έλεγχος των Phillip Perron Είδαμε στον έλεγχο των Dickey Fuller ότι για το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων προτείνουν την επαύξηση της εξίσωσης με επιπλέον όρους τωνδιαφορώντηςεξαρτημένηςμεταβλητής.

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 7.1 Πολυσυγγραμμικότητα: Εισαγωγή Παραβίαση υπόθεσης Οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Στατιστική

Αναλυτική Στατιστική Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία I.1 Τι Είναι η Οικονομετρία; Η κυριολεκτική ερμηνεία της λέξης, οικονομετρία είναι «οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 8ο Επιλογή του αριθμού των χρονικών υστερήσεων Στις περισσότερες οικονομικές χρονικές σειρές υπάρχει υψηλή συσχέτιση μεταξύ της τρέχουσας

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Περίγραμμα διάλεξης 5 Βιβλίο Chiang και Wainwright (κεφ 74,75,76) 1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Έστω η συνάρτηση (x) όπου x R ή εναλλακτικά γράφουμε ( 1 2 ) Το διάνυσμα x περιέχει τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης

Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Η Κεϋνσιανή Προσέγγιση Η πιο διαδεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι τώρα τα προβλήματα που δημιουργούνται από την παραβίαση των υποθέσεων που πρέπει να ισχύουν ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις)

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) 1. Έχοντας στη διάθεσή μας ένα δείγμα, προκύπτει ότι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα