ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α' ΒΑΘΜΟΥ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Περίληψη

Transcript

1 Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών το Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης (1996). Εμπειρική έρευνα στην ικανότητα επίλυσης εξισώσεων Α βαθμού από μαθητές Γυμνασίου. Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών, Τεύχος 1. Περιοδική έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, σσ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α' ΒΑΘΜΟΥ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Περίληψη Χαράλαμπος Λεμονίδης Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας 1 Από τα διάφορα ερευνητικά δεδομένα της διδακτικής των μαθηματικών, γνωρίζουμε ότι το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα είναι μια κρίσιμη φάση και ότι οι μαθητές κατά την εισαγωγή τους στην άλγεβρα αντιμετωπίζουν πολλά προβλήματα. Στην εργασία αυτή με βάση τα ερευνητικά αποτελέσματα, για τα λάθη και τις μεθόδους που χρησιμοποιούν οι μαθητές κατά την επίλυση απλών εξισώσεων, προσπαθούμε να εξετάσουμε τις επιδόσεις των ελλήνων μαθητών (grade 8 and 9) στην επίλυση απλών εξισώσεων Α βαθμού. Στα αποτελέσματά μας καταγράφουμε τις επιδόσεις των μαθητών του grade 8 and grade 9 ως προς την επίλυση εξισώσεων και τα συγκρίνουμε μεταξύ τους. Επισημαίνουμε τα λάθη και τα δύσκολα σημεία για τους μαθητές καθώς επίσης και τις μεθόδους που χρησιμοποιούν. Με βάση τα αποτελέσματα από την εργασία αυτή μπορούμε να κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις για τη βελτίωση της διδασκαλίας των εξισώσεων. 1 Ευχαριστώ το Μαθηματικό Φώτη Μαργαρίτη για την ουσιαστική βοήθεια και συμμετοχή του στην επεξεργασία των δεδομένων της έρευνας αυτής.

2 Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πολλές έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί για να εξετάσουν τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές όταν εισάγονται στην άλγεβρα. Το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα είναι μια κρίσιμη φάση για τους μαθητές και έχει χαρακτηριστεί ως μια περίοδος επιστημολογικής ρήξης. Αυτό σημαίνει ότι ο μαθητής πρέπει να περάσει σύντομα από μια κατάσταση μαθηματικών γνώσεων και τρόπου σκέψης σε μια άλλη κατάσταση νέων γνώσεων και διαδικασιών (εξίσωση, άγνωστος, μεταβλητή, συνάρτηση κλπ) όπου απαιτείται ένας άλλος τρόπος σκέψης. Για να περάσει λοιπόν από τη στοιχειώδη αριθμητική στην άλγεβρα ο μαθητής θα πρέπει να αντικαταστήσει την άμεση επίλυση και χειρισμό των προβλημάτων που δίνονται στη φυσική γλώσσα, με τη χρησιμοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων που βασίζονται σε συγκεκριμένους κανόνες. Όπως είναι για παράδειγμα η γραφή των εξισώσεων και η εφαρμογή μετασχηματισμών που οδηγούν σε μια σειρά από ισοδύναμες εξισώσεις. Σκοπός της έρευνας αυτής είναι να διερευνηθούν οι γνώσεις των μαθητών μετά από μια πρώτη επαφή τους με την άλγεβρα, για να δούμε σε πιο βαθμό γνωρίζουν τις αλγεβρικές διαδικασίες, τι λάθη κάνουν και κατά πόσο είναι επηρεασμένοι από την αριθμητική. Η ανάλυση των λαθών και των μεθόδων που χρησιμοποιούν οι μαθητές στην επίλυση των εξισώσεων βασίζεται σε αποτελέσματα σύγχρονων ερευνών από τη διεθνή βιβλιογραφία που τα αναφέρουμε παρακάτω (παράγ. ΙΙ). Ο εννοιολογικός χώρος της άλγεβρας που διαλέξαμε να εξετάσουμε είναι η επίλυση απλών εξισώσεων Α βαθμού. Οι έννοιες αυτές, της επίλυσης εξισώσεων, αφενός είναι από τις πρώτες αλγεβρικές έννοιες που οι μαθητές έρχονται σε επαφή μετά την αριθμητική και αφετέρου είναι από τις πιο σημαντικές γιατί θα τις χρησιμοποιούν πολύ στη συνέχεια (επίλυση συστημάτων και εξισώσεων μεγαλυτέρου βαθμού, συναρτήσεις, κλπ.) Για να εξετάσουμε τις γνώσεις των μαθητών, σχετικά με την επίλυση των εξισώσεων, καταρχήν τους ζητήθηκε να επιλύσουν μια αντιπροσωπευτική συλλογή από οκτώ απλές εξισώσεις (παράγραφος

3 ΙΙΙ). Στη συλλογή των εξισώσεων αυτών εμπεριέχονται και τα επτά βήματα (βλέπε, σελ...) που είναι απαραίτητα για την επίλυση εξισώσεων Α βαθμού. Επίσης για να αξιολογηθεί η ικανότητα των μαθητών στην επίλυση ταξινομήσαμε τους μαθητές σε τέσσερα επίπεδα συμπεριφοράς, σύμφωνα με την απόδοσή τους συνολικά στις έξι εξισώσεις (εκτός την αδύνατη και αόριστη μορφή) όπου απαιτούταν η χρήση των επτά βημάτων. Θέσαμε επίσης στους μαθητές πέντε ταυτοτικές σχέσεις με κενά (παράγ. ΙV) για να εξετάσουμε την ικανότητα χειρισμού των προσήμων και των σχέσεων των αριθμών μέσα σε πλαίσια που είναι συμβολικά διαφορετικά από τις εξισώσεις. Εδώ δηλαδή ο άγνωστος δε συμβολίζεται με το x, αλλά με ένα κενό. Ζητήθηκε επίσης από τους μαθητές να κατασκευάσουν μια εξίσωση που να έχει λύση τον αριθμό πέντε και να λύσουν ένα πρόβλημα, το οποίο ήταν δυνατόν να λυθεί είτε με εξίσωση είτε με απλή αριθμητική (παράγ. V). Η έρευνα αυτή πραγματοποιήθηκε το Μάιο του 1993 σε έξι γυμνάσια της Κεντρικής Μακεδονίας σε ένα σύνολο 285 μαθητών. Όλοι οι μαθητές έπρεπε να απαντήσουν σε ένα κοινό ερωτηματολόγιο. Εξετάστηκαν έξι τμήματα (146 μαθητές) της Β τάξης και έξι τμήματα (139 μαθητές) της Γ τάξης των αντίστοιχων γυμνασίων. Επιλέξαμε τη Β τάξη του γυμνασίου γιατί σε αυτήν την τάξη οι μαθητές διδάσκονται για πρώτη φορά συστηματικά την επίλυση εξισώσεων και γενικά στην τάξη αυτή εισάγονται στην άλγεβρα. Εξετάσαμε επίσης και μαθητές της Γ τάξης των αντίστοιχων γυμνασίων για να δούμε την εξέλιξη των γνώσεων των μαθητών και τη διαφορά επίδοσης με αυτούς της Β τάξης μετά την πάροδο ενός χρόνου από την διδασκαλία και μετά από ένα χρόνο χρήσης των εννοιών αυτών σε άλλους χώρους της άλγεβρας όπως, επίλυση συστημάτων, εξισώσεων Β βαθμού κλπ. Ο κύριος σκοπός της έρευνάς μας ήταν η μέτρηση του κατά πόσον ξέρουν οι μαθητές να επιλύουν απλές εξισώσεις στη Β και Γ τάξη, η σύγκριση της επίδοσης στις δύο αυτές τάξεις, ο εντοπισμός των λαθών και των δύσκολων σημείων καθώς επίσης και των μεθόδων που χρησιμοποιούν οι μαθητές για την επίλυση των εξισώσεων και τη λύση των προβλημάτων.

4 Θέλαμε επίσης με βάση τις επιδόσεις και τα λάθη των μαθητών να κάνουμε κάποιες επισημάνσεις και παρατηρήσεις σχετικά με τη διδασκαλία των εξισώσεων (παράγ. VI). ΙΙ. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ Σε αρκετές έρευνες (Kieran, 1990) που αναφέρονται στη μάθηση και τη διδασκαλία της άλγεβρας έχουν προσδιοριστεί τρεις τρόποι με τους οποίους οι μαθητές προσεγγίζουν την επίλυση των εξισώσεων: ο διαισθητικός, η δοκιμαστική αντικατάσταση και ο τυπικός τρόπος. Με το διαισθητικό τρόπο οι μαθητές προσπαθούν να προσδιορίσουν την τιμή του αγνώστου αναλύοντας τις αριθμητικές σχέσεις που υπάρχουν στην εξίσωση χωρίς να χρησιμοποιούν τα βήματα του τυπικού αλγόριθμου επίλυσης (μεταφορά όρων στο άλλο μέλος, ισοδύναμες εξισώσεις κλπ). Για παράδειγμα η εξίσωση = 15 με το διαισθητικό τρόπο μπορεί 5-χ να λυθεί ως εξής: - από ποιον αριθμό αν αφαιρέσουμε το 10 θα πάρουμε το 15 (απάντηση: το 25) - με ποιον αριθμό πρέπει να διαιρέσουμε το 75 για να πάρουμε το 25 (απάντ.: με το 3) - ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε από το 5 για να πάρουμε το 3 (απάντ.: το 2). Άρα χ = 2. Θα πρέπει βέβαια να σημειώσουμε ότι η διαισθητική μέθοδος δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε όλες τις μορφές των εξισώσεων Α' βαθμού. Με τη δοκιμαστική αντικατάσταση για να λυθεί η εξίσωση 3χ+8=23 θα πρέπει να δοκιμαστούν διάφορες τιμές για το χ όπως το 2, 3, 4, 5 μέχρι να βρεθεί το 5. Η μέθοδος αυτή επίλυσης προφανώς είναι πολύ χρονοβόρα. Ο τυπικός τρόπος επίλυσης είναι ο αλγόριθμος που διδάσκεται για την επίλυση των εξισώσεων: κατάλληλοι αλγεβρικοί μετασχηματισμοί στα δύο μέλη της εξίσωσης που οδηγούν σε ισοδύναμες εξισώσεις μέχρι να απομονωθεί και να βρεθεί η τιμή του αγνώστου. Οι δύο πρώτοι τρόποι επίλυσης των εξισώσεων που χρησιμοποιούν οι μαθητές συνήθως δε διδάσκονται ειδικά για την επίλυση των εξισώσεων αλλά μεταφέρονται από τους μαθητές σαν συνήθειες από προηγούμενες

5 γνώσεις τους όπως για παράδειγμα οι ισότητες με κενά (5 + = 8) που διδάσκονται στο δημοτικό για την εκμάθηση των πράξεων. Ο A. Cortes (1994, σελ ) σε μια προσπάθεια να ταξινομήσει τα λάθη των μαθητών κατά την επίλυση εξισώσεων α' βαθμού σύμφωνα με τις μαθηματικές ιδιότητες που παραβιάζονται ξεχωρίζει τις παρακάτω πέντε ομάδες λαθών: 1) Λάθη που αφορούν στην έννοια του αγνώστου Π.χ. οι μαθητές σταματούν την επίλυση στο -χ=35 όπου το -χ θεωρείται ως άγνωστος. 2) Λάθη στην ισοδυναμία των αλγεβρικών μετασχηματισμών στα δύο μέλη της εξίσωσης α - Μετασχηματίζεται μόνο το ένα μέλος της εξίσωσης. 9χ+23=5χ+17 9χ+23=5χ-5χ+17. β - Εκτελούνται διαφορετικοί μετασχηματισμοί στα δύο μέλη 4χ+32=13 4χ+32-32= ) Λάθη επιλογής των αριθμητικών πράξεων που προηγούνται α - Λάθη που αφορούν στο μη σεβασμό της προτεραιότητας του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης επί της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Για παράδειγμα: Το γινόμενο στον άγνωστο παράγοντα χρησιμοποιείται σαν να είχε τις ίδιες ιδιότητες με το άθροισμα των όρων (π.χ. το αχ χρησιμοποιείται σαν α+χ) - ο συντελεστής του αγνώστου προστίθεται μ ένα αριθμητικό όρο: 3χ- 40=95-37χ=95. - όρος που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας παρένθεσης αντιμετωπίζεται ως ανεξάρτητος όρος: 5(3χ+13)+29=48 5(3χ+13-13)+29= σ' ένα κατάλληλο προσθετικό μετασχηματισμό δεν πραγματοποιείται ο μηδενισμός των αγνώστων όρων: 5χ-5χ+14=7χ-5χ χ+14=2χ. β - Λάθη που αφορούν στο μη σεβασμό της προτεραιότητας της πρόσθεσης και της αφαίρεσης επί του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Για παράδειγμα: 5(3χ+13)+29=48 5x3χ+13+29=48. 4) Λάθη στη γραφή μιας νέας εξίσωσης: κακή μεταφορά α - Παράληψη ή λάθος ξαναγράψιμο ενός όρου ή ενός αριθμητικού αποτελέσματος: χ χ= χ=-34 ή χ χ=-40+6 χ-3χ=-40. β - Παράληψη του αρνητικού προσήμου στην νέα εξίσωση: 7-7-2χ= χ=27 ή 3χ/3=-18/3 χ=6

6 γ - Ένα αρνητικό πρόσημο προστίθεται στη νέα εξίσωση: -3χ=15 χ=-15/-3. 5) Λάθη στους αριθμητικούς υπολογισμούς α - Λάθη στους αριθμητικούς υπολογισμούς με προσημασμένους αριθμούς: - Στην πρόσθεση προσημασμένων αριθμών το -Α-Β γίνεται - Α-Β ή Α+Β και το Α-Β γίνεται Α+Β: -5χ-3χ=-2χ, =-32, 68-17=85. - Στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των προσημασμένων αριθμών υπάρχουν λάθη στους κανόνες των προσήμων: -3χ/-3=-χ ή -2(-5χ+3)= 10χ+6. β - Λάθη στο νοερό υπολογισμό της απόλυτης τιμής ενός αριθμητικού αποτελέσματος: -77/-7=-10. ΙΙΙ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ένας τύπος ερωτήσεων στο ερωτηματολόγιο που δόθηκε στους μαθητές ήταν η επίλυση των παρακάτω εξισώσεων που δόθηκαν με την εξής σειρά: Β 1 : 2χ-1=0, Β 2 : 5χ=8, Β 3 : 2χ-25=5χ+10, Β 4 : 3+5χ=5χ, Β 5 : 5+3(χ+6)=7χ-17, Β 6 : 3χ=3χ, Β 7 : 4 3 χ=1 και Β 8 : χ+1 3 =4. Οι εξισώσεις Β 4 και Β 6 ήταν οι περιπτώσεις της αδύνατης και αόριστης μορφής αντίστοιχα. Οι έξι εξισώσεις, εκτός από την αδύνατη και αόριστη μορφή, όπως είπαμε και στην εισαγωγή, διαλέχτηκαν σαν ένα αντιπροσωπευτικό σύνολο από απλές εξισώσεις. Στο σύνολο αυτό συμπεριλαμβάνονται από απλές μορφές εξισώσεων, όπως η Β 2 όπου απαιτείται μόνο το βήμα 1 για την επίλυσή της, μέχρι πιο σύνθετες, όπως η Β 5 όπου απαιτούνται περισσότερα βήματα. Για την επίλυση των έξι εξισώσεων ο μαθητής θα πρέπει να εκτελεί με ευχέρεια και τα επτά βήματα που περιγράφουμε στη συνέχεια. Για την επίλυση των εξισώσεων αυτών αλλά και γενικά των εξισώσεων Α' βαθμού με ένα άγνωστο που δίνονται μέσα στα σχολικά πλαίσια του γυμνασίου απαιτούνται συνήθως οι παρακάτω ενέργειες ή βήματα: 1. Απαλοιφή του συντελεστή του αγνώστου π.χ. στη Β 2 : 5χ=8 5χ 5 = 8 5 χ=8 5

7 2. Αναγωγή γνωστών όρων: μεταφορά των γνωστών όρων από το ένα μέλος της εξίσωσης στο άλλο με ταυτόχρονη αλλαγή προσήμου π.χ. στη Β 1 : 2χ-1=0 2χ = 1 προφανώς η ενέργεια αυτή εκτελείται επίσης ως ταυτόχρονη πρόσθεση στα δύο μέλη της εξίσωσης ενός αριθμού τέτοιου ώστε να μηδενίζεται ο γνωστός όρος στο ένα μέλος της εξίσωσης, π.χ. στη Β 1 : 2χ-1=0 2χ- 1+1 = Αναγωγή αγνώστων όρων: μεταφορά των αγνώστων όρων από το ένα μέλος της εξίσωσης στο άλλο με ταυτόχρονη αλλαγή προσήμου, π.χ. στη Β 3 : 2χ-25=5χ+10 2χ-5χ-25 = 10 Ή ταυτόχρονη πρόσθεση στα δύο μέλη της εξίσωσης ενός αγνώστου όρου τέτοιου ώστε να μηδενίζεται ένας άγνωστος όρος στο ένα μέλος της εξίσωσης, π.χ. στη Β 3 : 2χ-25=5χ+10 2χ-5χ-25 = 5χ-5χ Άθροιση των γνωστών όρων π.χ. στη Β 5 : 3χ-7χ = χ-7χ = Άθροιση των αγνώστων όρων π.χ. στη Β 5 : 3χ-7χ = -40-4χ = Εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση π.χ. στη Β 5 : 5+3(χ+6)=7χ χ+18=7χ Απαλοιφή του παρονομαστή στην εξίσωση με κλασματική μορφή π.χ. στη Β 8 : χ+1 =4 χ+1 =3.4 3 Σύμφωνα με τα παραπάνω βήματα οι εξισώσεις που προτείναμε στους μαθητές αναλύονται ως εξής: Στην εξίσωση Β 1 έπρεπε να εκτελεστούν τα βήματα 2 και 1, στη Β 2 μόνο το 1, στη Β 3 : 1, 2, 3, 4 και 5, στη Β 4 : 3 και 5, στη Β 5 : 1, 2, 3, 4, 5 και 6, στη Β 7 : 7 και 1 ή μόνο το 1 και στη Β 8 : 2, 4 και 7. Τα ποσοστά της επιτυχίας των μαθητών σε κάθε μια από τις οκτώ ερωτήσεις των εξισώσεων στη Β' και Γ' τάξη παρουσιάζονται στο παρακάτω ιστόγραμμα.

8 , , , ,50 29, Β' τάξη Γ' τάξη 0 Β1 Β2 Β3 Β4 Β5 Β6 Β7 Β8 Μια πρώτη γενική παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε με βάση τον παραπάνω πίνακα συγκρίνοντας σε κάθε εξίσωση τα ποσοστά επιτυχίας στη Β' και Γ' τάξη είναι ότι οι μαθητές της Γ τάξης πετυχαίνουν με πολύ μεγαλύτερα ποσοστά σε σχέση με τους μαθητές της Β' τάξης. Παρουσιάζεται δηλαδή μια σαφέστατη βελτίωση στην επίλυση των εξισώσεων από την Β' προς τη Γ' τάξη του Γυμνασίου. Για να σχηματίσουμε μια πληρέστερη εικόνα σε σχέση με την ικανότητα των μαθητών στην επίλυση εξισώσεων εξετάσαμε τη συμπεριφορά των μαθητών σε όλες τις εξισώσεις εκτός από τις ειδικές μορφές της αδύνατης και αόριστης εξίσωσης (Β 4 και Β 6 ). Εξετάσαμε δηλαδή τη συμπεριφορά κάθε μαθητή ταυτόχρονα στις εξισώσεις: Β 1, Β 2, Β 3, Β 5, Β 7 και Β 8 σύμφωνα μ'αυτή την εξέταση προσδιορίσαμε τα παρακάτω τέσσερα επίπεδα συμπεριφοράς: 1 ο Επίπεδο. Οι μαθητές χρησιμοποιούν σωστά και με σταθερότητα σε όλες τις ασκήσεις τον αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων. Έτσι οι μαθητές του επιπέδου αυτού λύνουν σωστά και τις έξι εξισώσεις. Στο επίπεδο αυτό βρίσκονται 5 μαθητές (3,5) της Β' τάξης και 35 μαθητές (25) της Γ' τάξης.

9 2 ο Επίπεδο. Οι μαθητές γενικά χρησιμοποιούν σωστά τον αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων αλλά παρουσιάζουν μια μικρή αστάθεια στην εφαρμογή του με αποτέλεσμα να λύνουν λάθος ή να μην απαντούν σε μία ή δύο εξισώσεις. Λύνουν σωστά δηλαδή τις 4 ή 5 από τις 6 εξισώσεις που τους δίνονται. Αρκετοί μαθητές εδώ αποτυχαίνουν στις εξισώσεις Β 7 και Β 8 όπου υπάρχει ρητός συντελεστής (Β 7 ) ή κλασματική μορφή (Β 8 ). Σ'αυτό το επίπεδο βρίσκονται 20 μαθητές (13,5) της Β' τάξης και 39 μαθητές (28) της Γ' τάξης. 3 ο Επίπεδο. Εδώ οι μαθητές εφαρμόζουν αποσπασματικά και με μεγάλη αστάθεια τον αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων. Αποτέλεσμα αυτού είναι να λύνουν λάθος ή να μην απαντούν στις περισσότερες εξισώσεις. Οι μαθητές του επιπέδου αυτού καταφέρνουν να λύσουν σωστά μία, δύο ή το πολύ τρεις από τις έξι εξισώσεις που προτείνονται. Βρίσκουμε στο επίπεδο αυτό 38 μαθητές (26) της Β' τάξης και 38 μαθητές (27) της Γ' τάξης. 4 ο Επίπεδο. Οι μαθητές του επιπέδου αυτού δεν ξέρουν να επιλύουν εξισώσεις. Έτσι βρίσκουμε πολλούς μαθητές που δεν απαντούν σε καμία από τις έξι ερωτήσεις. Αρκετοί μαθητές δίνουν απαντήσεις που δεν έχουν καμία σχέση με την επίλυση των εξισώσεων π.χ. πολλοί μαθητές στην εξίσωση Β 2 : 5χ = 8 δίνουν την απάντηση χ= 8-5 =3 ή χ=5x8 =40. Άλλοι πάλι, στην καλύτερη περίπτωση, από τις απαντήσεις που δίνουν φαίνεται ότι χρησιμοποιούν κάποια από τα βήματα του αλγορίθμου επίλυσης των εξισώσεων αλλά αποσπασματικά και με μεγάλη αστάθεια ώστε να μην καταφέρνουν να επιλύσουν σωστά καμία από τις έξι εξισώσεις. Στο επίπεδο αυτό βρίσκονται 83 μαθητές (57) της Β' τάξης και 27 μαθητές (19,5) της Γ' τάξης. Σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα είναι εντυπωσιακό και θα πρέπει να μας προβληματίσει το μεγάλο ποσοστό (57, 4 ο επίπεδο) των μαθητών της Β' τάξης του Γυμνασίου που δεν ξέρουν καθόλου να επιλύουν εξισώσεις πρώτου βαθμού. Αν σ'αυτούς τους μαθητές προσθέσουμε και το 26 των μαθητών του 3ου επιπέδου που παρουσιάζουν μεγάλες αδυναμίες στην επίλυση των εξισώσεων, τότε φαίνεται ότι η πλειοψηφία των μαθητών της Β τάξης του Γυμνασίου ξέρουν ελάχιστα πράγματα για την επίλυση εξισώσεων έτσι όπως

10 προβλέπεται από το επίσημο πρόγραμμα διδασκαλίας. Επίσης και στην τρίτη τάξη τα ποσοστά ( 19,5, 4 ο επίπεδο και 27, 3 ο επίπεδο) των μαθητών που έχουν αδυναμία στο να επιλύουν εξισώσεις μετά από δύο χρόνια διδασκαλίας των εξισώσεων δεν είναι καθόλου εφησυχαστικά. Στη συνέχεια θα δούμε λεπτομερώς τις συμπεριφορές και επιδόσεις των μαθητών στα επιμέρους σημεία των εξισώσεων που παρουσίαζαν δυσκολία γι'αυτούς. Επιμεριστική ιδιότητα (παρένθεση) Για την επίλυση της εξίσωσης Β 5 : 5+3(χ+6)=7χ-17 είναι απαραίτητο να εκτελεστεί το βήμα 6 δηλαδή η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Στη Γ' τάξη εκτός από τους 74 μαθητές που έλυσαν σωστά την εξίσωση Β 5 βρίσκουμε άλλους 28 που εκτελούν σωστά το βήμα 6 και κάνουν λάθος στα επόμενα βήματα. Βρίσκουμε δηλαδή στη Γ' τάξη συνολικά 102 μαθητές (73,5) που είναι ικανοί να εκτελέσουν αυτό το βήμα στην εξίσωση Β 5. Στη Β' τάξη αντίστοιχα εκτός από τους 26 μαθητές που επιλύουν σωστά τη Β 5 βρίσκουμε άλλους 29 που εκτελούν σωστά την επιμεριστική ιδιότητα αλλά αποτυχαίνουν στη συνέχεια. Υπάρχουν δηλαδή στη Β' τάξη συνολικά 55 μαθητές (37,5) που είναι ικανοί να εκτελέσουν την επιμεριστική ιδιότητα σε μία εξίσωση. Παρατηρούμε λοιπόν ότι ένα σχετικό μικρό ποσοστό (37,5) μαθητών στη Β' τάξη ξέρει να εφαρμόζει την επιμεριστική ιδιότητα σε μια εξίσωση. Το ποσοστό αυτό στη Γ' τάξη σχεδόν διπλασιάζεται που σημαίνει ότι υπάρχει μια αλματώδης εξέλιξη στη χρήση αυτής της ιδιότητας στις εξισώσεις. Ένα από τα πιο συχνά λάθη των μαθητών ήταν το εξής: 5+3(x + 6)=8(x+6) =8x+48. (Λάθος της 3ης ομάδας: μη σεβασμός της προτεραιότητας του πολλαπλασιασμού επί της πρόσθεσης). Αλλαγή προσήμου - αρνητικοί αριθμοί

11 Το σημαντικότερο σημείο το οποίο αποτελούσε εμπόδιο και έκαναν τα περισσότερα λάθη οι μαθητές ήταν η αλλαγή του προσήμου και γενικά η χρήση των αρνητικών αριθμών και μονωνύμων. Θα εξετάσουμε τις εξισώσεις Β 3 και Β 5 οι οποίες απαιτούσαν τα περισσότερα βήματα και τη μεγαλύτερη χρήση αρνητικών προσήμων. Στις εξισώσεις αυτές τα αρνητικά πρόσημα μπορούσαν να εμφανιστούν στα βήματα 1, 2, 3, 4 και 5. Παρατηρήσαμε ότι εξαιτίας των αρνητικών προσήμων που εμφανίζονται στα παραπάνω βήματα αποτυχαίνουν συνολικά στην εξίσωση Β 3 το 29,5 των μαθητών της Γ' τάξης και το 23,5 των μαθητών της Β' τάξης. Για την εξίσωση Β 5 επειδή προηγούνταν το εμπόδιο της παρένθεσης τα ποσοστά αποτυχίας ήταν μικρότερα, έτσι βρίσκουμε να αποτυχαίνουν εξαιτίας των αρνητικών προσήμων το 11,5 των μαθητών της Γ' τάξης και το 15 των μαθητών της Β' τάξης. Οι μαθητές αυτοί ως προς την ικανότητα επίλυσης των εξισώσεων κατατάσσονται κυρίως στο 2 ο και 3 ο επίπεδο που ορίσαμε παραπάνω στη σελίδα... Ένα από τα μαζικότερα λάθη των προσήμων στην εξίσωση Β 3 ήταν στο βήμα 1. Έφταναν δηλαδή οι μαθητές την επίλυση της εξίσωσης μέχρι την ισότητα -3χ=35 και μετά συνέχιζαν ως εξής: -3χ -3 = 35 ή -3χ =35 3 3χ 3 = Βρίσκουμε 15 μαθητές (11) της Γ' τάξης και 12 μαθητές (8) της Β' τάξης που κάνουν αυτό το λάθος στα πρόσημα. Ένα άλλο συχνό λάθος στην εξίσωση Β 3 ήταν στο βήμα 5, όπου το άθροισμα δύο μονωνύμων του χ, ήταν ένα αρνητικό μονώνυμο (2χ-5χ=-3χ). Εδώ οι μαθητές έδιναν την απάντηση 3χ ή 7χ. Το λάθος αυτό το έκαναν 8 μαθητές (6) της Γ' τάξης και 13 μαθητές (9) της Β' τάξης. Ρητός συντελεστής και κλασματική μορφή Η εξίσωση Β 7 : 4 χ = 1 είναι μια εξίσωση με ρητό συντελεστή του χ και 3 απαιτείται για τη λύση της η εκτέλεση του βήματος 1 (απαλοιφή του συντελεστή του αγνώστου). Στην εξίσωση αυτή βέβαια είναι δυνατόν να βρεθεί αμέσως η τιμή του χ χωρίς να εκτελεστεί το βήμα 1 γιατί

12 πολλαπλασιάζεται το χ με το 4 και δίνει το 1, δηλαδή η τιμή του χ είναι 3 ο αντίστροφος του 4 3. Έχουμε λοιπόν στην εξίσωση αυτή δύο δυνατούς τρόπους που πετυχαίνουν οι μαθητές: εκτελούν το βήμα 1 ή δίνουν αυτόματα την απάντηση αφού ερμηνεύσουν τη σχέση των αριθμών στην εξίσωση (διαισθητική λύση). Από τις απαντήσεις των μαθητών στην Β' τάξη βρίσκουμε 21 μαθητές που πετυχαίνουν εκτελώντας το βήμα 1 και 13 μαθητές που πετυχαίνουν δίνοντας αμέσως την απάντηση δηλαδή συνολικά στην εξίσωση αυτή πετυχαίνουν 34 μαθητές (23). Στην Γ' τάξη 51 μαθητές πετυχαίνουν με το βήμα 1 και 15 με την αυτόματη απάντηση συνολικά δηλαδή πετυχαίνουν 66 μαθητές (47,5). Παρατηρούμε ότι το ποσοστό επιτυχίας στην Γ' τάξη είναι σχεδόν το διπλάσιο απ'ότι στη Β' τάξη. Οι μαθητές της Β' τάξης που πετυχαίνουν να λύσουν την εξίσωση αναλογικά μ'αυτούς της Γ' τάξης χρησιμοποιούν περισσότερο τη διαισθητική μέθοδο ερμηνεύοντας τη σχέση των αριθμών στην εξίσωση. Το φαινόμενο αυτό παρατηρείται πιθανώς εξαιτίας της έλλειψης ευχέρειας των μαθητών της Β' τάξης στην αλγοριθμική επίλυση των εξισώσεων πράγμα που τους οδηγεί στη διαισθητική μέθοδο. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι η ύπαρξη ενός ρητού συντελεστή του χ με μορφή κλάσματος δημιουργεί μια επιπρόσθετη δυσκολία στους μαθητές. Αυτό μπορούμε να το επιβεβαιώσουμε συγκρίνοντας τα ποσοστά επιτυχίας (βλέπε το ιστόγραμμα 1 στη σελίδα...) στην εξίσωση Β 7 με την αντίστοιχη εξίσωση Β 2 : 5χ=8 όπου υπάρχει ακέραιος συντελεστής του χ. Παρατηρούμε, από τα ποσοστά επιτυχίας των μαθητών, ότι η ύπαρξη του ρητού συντελεστή δημιουργεί μια θεαματική πτώση της επιτυχίας σε σχέση με την εξίσωση Β 2 και κάνει να εμφανίζεται η εξίσωση Β 7 σχεδόν το ίδιο δύσκολη με τις εξισώσεις Β 3 και Β 5 όπου έπρεπε να εφαρμοστούν περισσότερα βήματα του αλγορίθμου της επίλυσης και μάλιστα με αρκετές αλλαγές προσήμων. Στην εξίσωση Β 8 : χ + 1 = 4 που δόθηκε με κλασματική μορφή οι 3 μαθητές βρίσκουν τη σωστή απάντηση είτε απαλείφοντας τον παρονομαστή (βήμα 7) και εκτελώντας στη συνέχεια τα βήματα 2 και 4 του αλγορίθμου επίλυσης είτε με τη διαισθητική μέθοδο. Δηλαδή στη

13 δεύτερη περίπτωση οι μαθητές βρίσκουν ένα αριθμό (το 11) που αν τον προσθέσουμε 1 και το διαιρέσουμε με το 3 θα μας δώσει το 4. Στη Β τάξη βρίσκουμε 43 μαθητές (29,5) που δίνουν τη σωστή απάντηση από τους οποίους μόνο οι 19 εφαρμόζουν τον αλγόριθμο επίλυσης και οι 24 (16,5) βρίσκουν την τιμή του χ με τη διαισθητική μέθοδο. Στην τρίτη τάξη πετυχαίνουν 71 μαθητές (51) από τους οποίους μόνο οι 6 (4,5) χρησιμοποιούν τη διαισθητική μέθοδο. Στη Β' τάξη λοιπόν σε αντίθεση με την Γ' τάξη η πλειοψηφία των μαθητών που βρίσκουν τη σωστή τιμή του χ χρησιμοποιούν τη διαισθητική μέθοδο επίλυσης. Αδύνατη και αόριστη μορφή εξίσωσης Η αδύνατη και αόριστη εξίσωση που προτάθηκε στους μαθητές ήταν αντίστοιχα η Β 4 : 3+5χ=5χ και η Β 6 : 3χ=3χ. Οι απαντήσεις των μαθητών στις εξισώσεις αυτές περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα: εξίσω ση Β 4 εξίσω ση Β 4 εξίσω ση Β 6 εξίσω ση Β 6 Τάξεις/ Απαντή σεις Β' τάξη 11 7,5 Γ' τάξη Β' τάξη 4 3 Γ' τάξη 45 32,5 Ε 1 Ε 2 Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 Διάφορε ς απαντήσ εις 2 1, , , , , ,5 Άσχετες απαντήσ εις ,5 Όχι απάντη ση , Οι μαθητές που έδωσαν σωστή απάντηση στις εξισώσεις αυτές απάντησαν με τους δύο παρακάτω τρόπους:

14 Ε 1 : Σωστή εφαρμογή του αλγορίθμου επίλυσης και σωστός χαρακτηρισμός. Π.χ. για τη Β 4 : 3+5χ=5χ 3=5χ-5χ 3=0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Ε 2 : Σωστός χαρακτηρισμός της εξίσωσης χωρίς επίλυση. Οι κυριότερες μη σωστές απαντήσεις των μαθητών ήταν οι εξής: Α 1 : Σωστή εφαρμογή του αλγορίθμου επίλυσης αλλά κανένας χαρακτηρισμός για τη μορφή της εξίσωσης. Α 2 : Σωστή εφαρμογή του αλγορίθμου επίλυσης μέχρι την ισότητα 3=0χ ή -3=0χ για τη Β 4 και 0χ=0 για τη Β 6. Στη συνέχεια οι μαθητές εδώ έκαναν λανθασμένα την απαλοιφή του συντελεστή του αγνώστου (βήμα 1), π.χ. 3 0 = 0χ χ=3 και έβρισκαν ως απάντηση μια τιμή του χ που για 0 τη Β 4 ήταν συνήθως χ=3 ή -3 και για τη Β 6, χ=0. Α 3 : Εδώ οι μαθητές εκτελούν σωστά το βήμα 3 δηλαδή μεταφέρουν στο άλλο μέλος της ισότητας το μονώνυμο του χ αλλάζοντας σωστά το πρόσημο π.χ. 3+5χ=5χ 3=5χ-5χ. Αλλά εκτελούν λάθος το βήμα 5 δηλαδή θεωρούν ότι 5χ-5χ=χ ή 3χ-3χ=χ και έτσι καταλήγουν στο να απαντούν βρίσκοντας μια τιμή για το χ (στη Β 4 : χ=3 ή -3 και για τη Β 6 : χ=0). Α 4 : Το λάθος αυτό που παρουσιάζεται κυρίως στην εξίσωση Β 6 συνίσταται στο ότι οι μαθητές δίνουν ως απάντηση μόνο μια ισότητα του τύπου χ=α που στις περισσότερες περιπτώσεις είναι χ=0 ή χ=1. Από τα ποσοστά επιτυχίας του παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι ένα πολύ μικρό ποσοστό μαθητών της Β' τάξης είναι ικανοί να αναγνωρίζουν την αδύνατη και αόριστη μορφή σε μια πρωτοβάθμια εξίσωση μ'ένα άγνωστο (9 και 8 αντίστοιχα). Αυτό σ'ένα βαθμό μπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι δε δίνεται στις μορφές αυτές η πρέπουσα προσοχή από το επίσημο πρόγραμμα. Στο σχολικό βιβλίο της Β' Γυμνασίου οι δύο αυτές μορφές αναφέρονται παρεπιπτόντως ως δύο παραδείγματα εφαρμογών στη λύση εξισώσεων. Αλλά και τα ποσοστά επιτυχίας στην αναγνώριση της αδύνατης και αόριστης μορφής στη Γ' τάξη (48 και 35,5 αντίστοιχα) δεν είναι ικανοποιητικά. Με το μη παραμετρικό τεστ Mac Namar συγκρίναμε τη σχετική δυσκολία για τους μαθητές της Γ' τάξης στο να προσδιορίζουν την αδύνατη και αόριστη μορφή. Βρήκαμε στον πληθυσμό των μαθητών που εξετάσαμε ότι ο προσδιορισμός της αόριστης μορφής (Β 6 ) είναι

15 στατιστικά πιο δύσκολος από την αδύνατη μορφή (Β 4 ) (Χ 2 MacNamar = 8,5). ΙV. ΤΑΥΤΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΚΕΝΑ Μια άλλη κατηγορία ερωτήσεων που προτάθηκε στους μαθητές ήταν οι ταυτοτικές σχέσεις με κενά που ήταν οι εξής: Α 1 : 17+ =35, Α 2 : +14=- 5, Α 3 : 12 / =3/4, Α 4 : 16- =30 και Α 5 : 10. =5. Αυτού του είδους οι ερωτήσεις μπορεί να θεωρηθούν ως απλές μορφές εξισώσεων Α' βαθμού μ'ένα άγνωστο όπου ο άγνωστος χ παριστάνεται με το κενό τετραγωνάκι. Οι ερωτήσεις αυτές μπορεί να οδηγήσουν το μαθητή να αναζητήσει την τιμή του αγνώστου συνδυάζοντας τις σχέσεις των αριθμών έξω από τα πλαίσια του αλγορίθμου επίλυσης των εξισώσεων. Οι απαντήσεις των μαθητών της Β' και Γ' τάξης στις ερωτήσεις αυτές περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα: Τάξεις / Ερωτή σ. Β' τάξη Ν=146 Γ' τάξη Ν=139 Επιτ υ- χία , ,5 Α 1 Α 2 Α 3 Απο - τυχί α 5 3,5 4 3 Όχι Απά - ντησ η Επιτυχί α ,5 1 0, Απάντησ η ,5 3 2 Απ Απ Δια φ. Λάθ η 10 7,5 5 4,5 Όχι Απά - ντηση 8 5,5 3 2 Επιτυχία Απά - ντηση ,5 Δια φ Λάθη Όχι Απά ντη ση ,5 Τάξεις / Ερωτή σ. Α 4 Α 5

16 Β' τάξη Ν=14 6 Γ' τάξη Ν=13 9 Επιτυ - χία 27 18, Απάν τ , ,5 Απ Απ ,5 Διαφ. Λάθη 22 13,5 6 4,5 Όχι Απά ν Επιτ υχία ,5 Απ Απ Απ ,5 Απ ,5 2 1,5 Διαφ. Λάθ η 18 9,5 7 3 Όχι Απά ν ,5 Με βάση τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα μπορούμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Παρατηρούμε ότι στην ερώτηση Α 1 πετυχαίνουν σχεδόν το σύνολο των μαθητών (96,5) και στις δύο τάξεις. Η ερώτηση αυτή ήταν πολύ εύκολη για τους μαθητές των τάξεων αυτών αλλά τέθηκε πρώτη στο ερωτηματολόγιο με σκοπό να ενθαρρύνει τους μαθητές στις απαντήσεις τους και να τους εισάγει στο ερωτηματολόγιο. Σε όλες τις ερωτήσεις (εκτός την Α 1 ) αυτού του τύπου οι μαθητές της Γ' τάξης παρουσιάζουν μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας από αυτούς της Β' τάξης. Η διαφορά αυτή στην επιτυχία μεταξύ των δύο τάξεων για τους δεδομένους πληθυσμούς επιβεβαιώνεται και στατιστικά (Μη παραμετρικό τεστ Χ 2 ομοιογένειας για την επιτυχία στις ερωτήσεις αυτές μεταξύ των δύο τάξεων). Οι ερωτήσεις Α 2 : +14 =-5 και Α 3 : 12 / =3/4 παρουσιάζουν το ίδιο επίπεδο δυσκολίας σε κάθε μια από τις δύο τάξεις. Στη Γ' τάξη πετυχαίνουν σχεδόν το σύνολο (88) των μαθητών ενώ στη Β' τάξη πετυχαίνουν σχεδόν τα 2/3 των μαθητών. Η ερώτηση Α 5 : 10. =5 αποδεικνύεται στατιστικά πιο δύσκολη από τις Α 1, Α 2 και Α 3 σε κάθε τάξη. Σε αυτήν την ερώτηση πετυχαίνουν σχεδόν τα 2/3 των μαθητών (70,5) της Γ' τάξης και λιγότεροι από τους μισούς μαθητές (45) της Β' τάξης. Παρόλο που οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στην ερώτηση αυτή είναι απλοί η δυσκολία της πιθανώς οφείλεται στο γεγονός ότι πολλαπλασιάζουμε ένα αριθμό με κάποιον άλλο και βρίσκουμε ως αποτέλεσμα ένα μικρότερο αριθμό δηλαδή ο πολλαπλασιασμός μικραίνει. Είναι ενδεικτικό ότι το

17 συχνότερο λάθος ήταν οι απαντήσεις 5 ή -5 δηλαδή οι μαθητές ακολουθούσαν μια διαδικασία προσθετική και όχι πολλαπλασιαστική. Η ερώτηση Α 4 : 16- =30 ήταν στατιστικά η δυσκολότερη από τις ερωτήσεις αυτού του τύπου και στις δύο τάξεις και είχε τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας (18,5 στη Β' τάξη και 56 στη Γ' τάξη). Εδώ το λάθος με τη μεγαλύτερη συχνότητα ήταν η απάντηση 46 (36,5 στη Β' και 19,5 στη Γ' τάξη). Πολλοί λίγοι μαθητές καταφεύγουν στο να χρησιμοποιήσουν εξίσωση για να απαντήσουν στις ερωτήσεις αυτού του τύπου. Χρησιμοποιούν εξίσωση σχεδόν το 6 από τους μαθητές της Β' τάξης και λιγότεροι από το 1 των μαθητών της Γ' τάξης. V. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Κατασκευή εξίσωσης με δεδομένη λύση Μια άλλη ερώτηση που τέθηκε στους μαθητές ήταν η εξής: "Μπορείς να γράψεις μια εξίσωση που να έχει λύση τον αριθμό 5;". Η ερώτηση αυτή ήταν κάπως ασυνήθιστη για τους μαθητές γιατί δεν εμφανίζεται μέσα στα σχολικά πλαίσια. Στην ερώτηση αυτή βρήκαν μια σωστή εξίσωση το 38,5 των μαθητών της Β' τάξης και το 53 των μαθητών της Γ' τάξης. Υπήρχαν πολλοί μαθητές που δεν απάντησαν καθόλου (το 26,5 των μαθητών της Β' και το 20,5 των μαθητών της Γ' τάξης). Το συχνότερο λάθος που παρουσιάστηκε στην ερώτηση αυτή ήταν ότι οι μαθητές έγραφαν ως απάντηση μια εξίσωση όπου στο ένα μέλος της υπήρχε μόνο ο αριθμός 5 και η εξίσωση αυτή δεν είχε λύση το 5 π.χ. 3χ+2=5, 20-χ =5. Φαίνεται ότι οι μαθητές αυτοί εφάρμοζαν εδώ λανθασμένα τη γνώση που είχαν σχετικά με τη λύση μιας εξίσωσης δηλαδή ότι για να λύσουν μια εξίσωση έπρεπε να φτάσουν στη μορφή χ=α όπου α είναι η λύση της εξίσωσης. Αυτό το λάθος βρίσκουμε να το κάνουν το 23,5 των μαθητών της Β' τάξης και το 13 των μαθητών της Γ' τάξης. Κατάστρωση εξίσωσης από πρόβλημα

18 Η τελευταία ερώτηση του ερωτηματολογίου ήταν το εξής πρόβλημα: "Ο Πέτρος παίζει μπίλιες με τους φίλους του. Το πρωί κέρδισε 14 και το βράδυ έχασε 31 μπίλιες, οπότε του έμειναν 23. Πόσες μπίλιες είχε από την αρχή;" Οι απαντήσεις των μαθητών κατά τάξη παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Τάξεις / Απαντήσεις Β' τάξη Ν=146 Γ' τάξη Ν=139 Επιτυχία με εξίσωση Επιτυχία με αριθμητική ,5 Σωστή κατάστρωση Λάθος επίλυση 4 2,5 5 3,5 Λάθος κατάστρωση εξίσωσης Αποτυχία με αριθμητική 34 23, ,5 Όχι απάντηση ,5 Οι μαθητές στο πρόβλημα αυτό απαντούν σωστά με δύο τρόπους: Είτε καταστρώνουν εξίσωση από τα δεδομένα του προβλήματος και την επιλύουν για να βρουν την απάντηση: χ+14-31=23. Είτε βρίσκουν την απάντηση εκτελώντας αριθμητικές πράξεις: 31-14=17, 23+17=40 ή 31+23=54, 54-14=40. Όσον αφορά στα λάθη των μαθητών βρίσκουμε τα εξής είδη λαθών: - Σωστή κατάστρωση της εξίσωσης αλλά λάθος επίλυση ή καθόλου επίλυση. Τέτοια λάθη βρίσκουμε πολύ λίγα. - Λάθος κατάστρωση εξίσωσης. - Εκτέλεση λανθασμένων αριθμητικών πράξεων π.χ. μια συχνή απάντηση είναι: 23+14=37, 37-31=6. Από τις απαντήσεις των μαθητών παρατηρούμε ότι οι μαθητές της Β' τάξης για να απαντήσουν στο δεδομένο πρόβλημα χρησιμοποιούν περισσότερο την αριθμητική μέθοδο απ'ότι την εξίσωση: 68 μαθητές (46,5) δοκιμάζουν να απαντήσουν με την αριθμητική μέθοδο και 37 μαθητές (25,5) με την εξίσωση. Αντίθετα οι μαθητές της Γ' τάξης χρησιμοποιούν περισσότερο την εξίσωση απ'ότι την αριθμητική μέθοδο: 69 μαθητές (49,5) δοκιμάζουν να απαντήσουν με εξίσωση και 46 μαθητές (33) με την αριθμητική μέθοδο. Διαπιστώνουμε ότι η διαφορά επιτυχίας στο πρόβλημα αυτό μεταξύ της Β' και Γ' τάξης (39 και 50,5 αντίστοιχα) είναι μικρότερη σχετικά με

19 τις προηγούμενες ερωτήσεις του ερωτηματολογίου. Στατιστικά η διαφορά αυτή δεν είναι σημαντική (Χ 2 = 3,24 <3,84). Το γεγονός ότι δεν υπάρχει σημαντική διαφορά επιτυχίας μεταξύ των δύο τάξεων οφείλεται προφανώς στο ότι οι μαθητές για να λύσουν το πρόβλημα μπορούν να χρησιμοποιήσουν και την αριθμητική μέθοδο και έτσι η επιτυχία τους δεν εξαρτάται μόνο από την ικανότητα κατάστρωσης και επίλυσης της εξίσωσης. VI. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΣΥΖΗΤΗΣΗ Στην έρευνα αυτή που είχε στόχο να εξετάσει τις ικανότητες των μαθητών της Β' και Γ' τάξης του γυμνασίου στην επίλυση απλών εξισώσεων Α' βαθμού είδαμε ότι τα κυριότερα σημεία δυσκολίας για τους μαθητές ήταν τα παρακάτω: - Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες των μαθητών ήταν οι υπολογισμοί με αρνητικούς αριθμούς και μονώνυμα. Ειδικότερα οι μαθητές είχαν δυσκολία στο να κάνουν απαλοιφή του συντελεστή του αγνώστου σε ετερόσημες σχέσεις όπως -3χ=35 ή στο να προσθέτουν ετερόσημα μονώνυμα όπως 2χ-5χ για την αναγωγή των αγνώστων όρων. Αρκετοί μαθητές, ειδικά αυτοί που είχαν δυσκολίες στο να επιλύουν εξισώσεις (3 ο και 4 ο επίπεδο), δεν άλλαζαν πρόσημο στους γνωστούς ή άγνωστους όρους όταν τους μετέφεραν από το ένα μέλος της εξίσωσης στο άλλο. Θα πρέπει να απασχολήσει τη διδασκαλία αν θα πρέπει ή όχι για την εισαγωγή των μαθητών στις εξισώσεις να διδάσκεται η αυτόματη αλλαγή του προσήμου με την αλλαγή μέλους ή η ταυτόχρονη πρόσθεση του ίδιου όρου στα δύο μέλη της εξίσωσης. Η δεύτερη διαδικασία είναι πιο φυσιολογική και μπορεί να εξηγηθεί στους μαθητές με τις ιδιότητες των ισοτήτων σε αντίθεση με την πρώτη που γίνεται μηχανικά χωρίς καμιά εξήγηση. Επίσης η ταυτόχρονη πρόσθεση του ίδιου όρου στα δύο μέλη ενισχύει στους μαθητές την αντίληψη της ισοδυναμίας στη ισότητα της εξίσωσης που οι μαθητές έχουν πρόβλημα όπως θα δούμε παρακάτω. - Ένα άλλο σημείο στο οποίο έκαναν οι μαθητές πολλά λάθη ήταν η προτεραιότητα στην εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων. Έτσι είδαμε ότι στην Β' τάξη του γυμνασίου μόνο το 1/3 των μαθητών ήταν ικανοί

20 να απαλείψουν την παρένθεση στην εξίσωση Β 5 : 5+3(χ+6) = 7χ-17 και το πιο συχνό λάθος ήταν: 5+3(χ+6) = 8χ+48. Επίσης είδαμε ότι πολλοί μαθητές, αδύνατοι στην επίλυση εξισώσεων (4 ο επίπεδο), αντιμετώπιζαν το γινόμενο αχ ως άθροισμα α+χ. Έτσι στην εξίσωση Β 2 : 5χ=8 έδιναν την απάντηση χ=8-5=3. - Παρατηρήσαμε επίσης ότι η ύπαρξη ρητού συντελεστή του χ (Β 7 : 4 3 χ=1) δημιουργεί μεγάλη πτώση της επιτυχίας των μαθητών, ειδικά στην Β' τάξη, σε σχέση με τον ακέραιο συντελεστή (Β 2 : 5χ =8). - Ένα άλλο σημαντικό σημείο δυσκολίας που φαινόταν στις απαντήσεις των μαθητών ήταν η σημασία που απέδιδαν αυτοί στο σύμβολο "=" της εξίσωσης. Σύμφωνα με την έρευνα των A. Cortes, G. Vergnaud και N. Kavafian (1990) το σύμβολο "=" μπορεί να έχει διάφορες σημασίες όπως: α) δίνει ένα αποτέλεσμα: 7+3=10 έτσι πολλοί μαθητές στην αρχή της μάθησης της άλγεβρας έχουν δυσκολία να κατανοήσουν συμβολισμούς όπως 7+3=6+4 ή 4χ+3=χ+18, β) εκφράζει μια ισοδυναμία: 13χ+5=3χ+10 ότι βρίσκεται στο αριστερό μέλος του συμβόλου "=" είναι ισοδύναμο με αυτό που βρίσκεται στο δεξί μέλος για κάποια κατάλληλη τιμή του αγνώστου (ή των αγνώστων). Βρήκαμε λοιπόν πολλούς μαθητές στο χώρο των εξισώσεων να αποδίδουν στο σύμβολο "=" τη σημασία του "δίνει ένα αποτέλεσμα" και όχι τη σημασία της "ισοδυναμίας". Αυτό φαίνεται καθαρά στις απαντήσεις των μαθητών όταν τους ζητείται να γράψουν μια εξίσωση που να έχει λύση τον αριθμό 5. Πολλοί μαθητές (23,5 στη Β' τάξη και 13 στη Γ' τάξη) έδιναν ως απάντηση μια εξίσωση όπου στο δεξί μέλος υπήρχε μόνο ο αριθμός 5 και η εξίσωση αυτή δεν είχε λύση το 5, π.χ. 20-χ=5. Επίσης το ότι το σύμβολο "=" δεν είχε τη σημασία της ισοδυναμίας για πολλούς μαθητές φαίνεται στις απαντήσεις όπου η επίλυση της εξίσωσης γινόταν με μια συνεχή διαδοχή των "=" π.χ. 2χ-25=5χ+10=2χ- 5χ=10+25=-3χ/3=35/3=12,6. Όσον αφορά στις επιδόσεις των μαθητών της Β' και Γ' τάξης του γυμνασίου στην επίλυση απλών εξισώσεων Α' βαθμού έχουμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις:

21 Γενικά οι μαθητές της Γ' τάξης έχουν καλύτερες επιδόσεις στην επίλυση των εξισώσεων από τους μαθητές της Β' τάξης. Αυτό φαίνεται φυσιολογικό από το γεγονός ότι οι μαθητές της Γ' τάξης εξασκούνται για ένα χρόνο επιπλέον στην πρακτική της επίλυσης εξισώσεων στα πλαίσια της επίλυσης συστημάτων και εξισώσεων Β' βαθμού. Οι μαθητές της Β' τάξης βέβαια βρίσκονται σε μια πρώτη φάση επαφής με την άλγεβρα και είναι επηρεασμένοι από τις αντιλήψεις της αριθμητικής αλλά παρόλα αυτά η επίδοσή τους στην επίλυση των εξισώσεων δεν είναι καθόλου ικανοποιητική. Βρίσκουμε το 57 των μαθητών (4 ο επίπεδο) που δεν ξέρουν σχεδόν καθόλου να επιλύουν απλές εξισώσεις και το 26 των μαθητών (3 ο επίπεδο) που εφαρμόζουν αποσπασματικά και με μεγάλη αστάθεια τον αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων. Στην αόριστη και αδύνατη μορφή οι μαθητές της Β' τάξης συμπεριφέρθηκαν σαν να μην τις είχαν διδαχθεί πέτυχαν το 9 και 8,5 των μαθητών αντίστοιχα. Οι μαθητές της Γ' τάξης αν και παρουσιάζουν καλύτερες επιδόσεις από αυτούς της Β' τάξης δεν μπορούμε να πούμε ότι ξέρουν να επιλύουν εξισώσεις σε ικανοποιητικό βαθμό αφού και εδώ βρίσκουμε το 19,5 των μαθητών (4 ο επίπεδο) να μην ξέρουν σχεδόν καθόλου να λύνουν απλές εξισώσεις και το 27 (3 ο επίπεδο) να εφαρμόζουν με μεγάλη αστάθεια και αποσπασματικά τον αλγόριθμο επίλυσης. Προφανώς συντελούν πολλοί παράγοντες και αιτίες από τη γενικότερη κατάσταση του εκπαιδευτικού μας συστήματος (επίπεδο σχολικών προγραμμάτων και διδασκόντων, έλλειψη εθνικού συστήματος αξιολόγησης της παρεχόμενης γνώσης, κ.ά.) που οι μαθητές μας παρουσιάζουν αυτήν την κακή εικόνα όσον αφορά την επίδοσή τους στην επίλυση των εξισώσεων. Εμείς θα περιοριστούμε στο να κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις και υποθέσεις ως προς τη διδασκαλία των εξισώσεων η οποία θα πρέπει να αποτελέσει αντικείμενο για περαιτέρω έρευνα. Όπως ήδη αναφέραμε η αρχική φάση της μάθησης της άλγεβρας είναι μια κρίσιμη φάση για τους μαθητές όπου θα πρέπει να προσαρμόσουν και να εμπλουτίσουν τις γνώσεις και μεθόδους που χρησιμοποιούσαν στην αριθμητική. Οι μαθητές προτού ακόμη διδαχθούν τις εξισώσεις και τον τρόπο επίλυσης τους ξέρουν να εφαρμόζουν κάποιες μεθόδους επίλυσης των απλών εξισώσεων σύμφωνα με καταστάσεις που είχαν αντιμετωπίσει στο δημοτικό (ταυτοτικές σχέσεις με κενά, αντίστροφες πράξεις κ.ά.). Σε

22 μια έρευνα (Kieran, 1988) βρέθηκε ότι οι μαθητές προτού διδαχθούν τις εξισώσεις στο γυμνάσιο αντιμετώπιζαν την επίλυσή τους με δύο διαφορετικούς τρόπους: Υπήρχαν μαθητές που επικέντρωναν την προσοχή τους στη σχέση που δινόταν (5+α=12) και προσπαθούσαν να βρουν με αντικατάσταση την τιμή του αγνώστου. Αυτή την ομάδα των μαθητών την ονόμασαν "αριθμητική ομάδα". Υπήρχε μια άλλη ομάδα μαθητών που την ονόμασαν "αλγεβρική ομάδα" που προσπαθούσε να επιλύσει τις εξισώσεις μεταφέροντας τους όρους στο άλλο μέλος (α=12-5). Οι μαθητές αυτοί ενεργούσαν με τη μέθοδο της αντίστροφης πράξης που έμαθαν από το δημοτικό. Σε μια άλλη έρευνα (Whitman, 1976) εξετάστηκε η σχέση μεταξύ της διαισθητικής και τυπικής μεθόδου επίλυσης των εξισώσεων. Οι μαθητές διδάχθηκαν την επίλυση εξισώσεων με τρεις διαφορετικούς τρόπους: α) με τη διαισθητική μέθοδο, β) με την τυπική μέθοδο και γ) με τη διαισθητική και στη συνέχεια την τυπική μέθοδο. Βρέθηκε ότι οι μαθητές που εισήχθησαν στην επίλυση εξισώσεων μόνο με τη διαισθητική μέθοδο απέδιδαν καλύτερα από αυτούς που διδάχθηκαν με τη διαισθητική και τυπική μέθοδο ταυτόχρονα. Οι μαθητές που διδάχθηκαν μόνο με την τυπική μέθοδο είχαν χειρότερη επίδοση από αυτούς που διδάχθηκαν με τη διαισθητική και τυπική μέθοδο ταυτόχρονα. Η έρευνα αυτή κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η τυπική μέθοδος διδασκαλίας των εξισώσεων σταματάει τη διαισθητική ικανότητα των μαθητών να λύνουν εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν η διδασκαλία για την εισαγωγή της επίλυσης των εξισώσεων να πάρει υπόψη της ότι ήδη οι μαθητές διαθέτουν αρκετές γνώσεις και δείχνουν προτίμηση σε κάποιες μεθόδους επίλυσης. Μπορούμε να εκμεταλλευτούμε αυτές τις γνώσεις για να εισαχθούν οι μαθητές ομαλά στην επίλυση των εξισώσεων. Η διαισθητική μέθοδος είναι μάλλον ένας καλός τρόπος για να εισαχθούν οι μαθητές στην επίλυση των εξισώσεων, επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί το μοντέλο της ζυγαριάς (Filloy and Rojano, 1984) για να δοθεί φυσικό νόημα στην έννοια της εξίσωσης. Όλα αυτά βέβαια είναι υποθέσεις που θα πρέπει να ερευνηθούν και να δοκιμαστούν πειραματικά με στόχο να βρεθεί μια καλύτερη διδασκαλία των εξισώσεων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ

23 Cortes A., Vergnaud G., Kavafian N. (1990). From arithmetic to algebra: negotiating a jump in the learning process. Proceedings of the 14th P.M.E. Conference. (Vol. II, pp ), Oaxtepec, Mexico. Cortes A. (1994). Modelisation cognitiviste: invariants operatoires dans la resolution des equations. In (Eds.) M. Artigue, R. Gras, C. Laborde, P. Tavignot. Vingt ans de didactique des Mathematiques en France. Editions, la Pensee Sauvage. Filloy, E., & Rojano, T. (1984). From an arithmetical to an algebraic thought. In J. M. Moser (Ed.), Proceedings of the Sixth Annual Meeting of the North American Branch of the Internatinal Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Madison: University of Wisconsin. Kieran C. (1988). Two different approaches among algebra learners. In A. F. Coxford (Ed.), The ideas of algebra, K-12 (1988 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics), Reston, VA: NCTM. Kieran C. (1990). Cognitive processes involved in learning scool algebra. In Nescher & Kilpatrick (Eds). Mathematics and cognition , Combridge University Press. Whitman, B. (1976). Intuitive equation solving skills and the effects on them of formal techniques of equation solving (Doctoral dissertation, Florida State University, 1975).

24 ABSTRACT From several researching facts of the mathematics education, we know that the pass from the arithmetic to algebra is a crucial phase and that the students during their introduction to algebra face many problems. In this work, based on the researching results concerning the mistakes and the methods the students use in order to solve simple equations, we try to examine the proficiency of Greek students (grade 8 and 9) in the solution of simple equations of the first degree. In these results we write down the progress of the students of grade 8 and 9 regarding the solution of the equations and we compare them to each other. We stamp the mistakes and the difficult points for the students and the methods they use as well. Having as a base the results from that work we can make some remarks concerning the improvement of the teaching of the equations.

25 1) Λάθη που αφορούν στην έννοια του αγνώστου Π.χ. οι μαθητές σταματούν την επίλυση στο -χ=35 όπου το -χ θεωρείται ως άγνωστος. 2) Λάθη στην ισοδυναμία των αλγεβρικών μετασχηματισμών στα δύο μέλη της εξίσωσης α - Μετασχηματίζεται μόνο το ένα μέλος της εξίσωσης. 9χ+23=5χ+17 9χ+23=5χ-5χ+17. β - Εκτελούνται διαφορετικοί μετασχηματισμοί στα δύο μέλη 4χ+32=13 4χ+32-32= ) Λάθη επιλογής των αριθμητικών πράξεων που προηγούνται α - Λάθη που αφορούν στο μη σεβασμό της προτεραιότητας του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης επί της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Για παράδειγμα: Το γινόμενο στον άγνωστο παράγοντα χρησιμοποιείται σαν να είχε τις ίδιες ιδιότητες με το άθροισμα των όρων (π.χ. το αχ χρησιμοποιείται σαν α+χ) - ο συντελεστής του αγνώστου προστίθεται μ'ένα αριθμητικό όρο: 3χ- 40=95-37χ=95. - όρος που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας παρένθεσης αντιμετωπίζεται ως ανεξάρτητος όρος: 5(3χ+13)+29=48 5(3χ+13-13)+29= σ'ένα κατάλληλο προσθετικό μετασχηματισμό δεν πραγματοποιείται ο μηδενισμός των αγνώστων όρων: 5χ-5χ+14=7χ-5χ χ+14=2χ. β - Λάθη που αφορούν στο μη σεβασμό της προτεραιότητας της πρόσθεσης και της αφαίρεσης επί του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Για παράδειγμα: - 5(3χ+13)+29=48 5x3χ+13+29=48. 4) Λάθη στη γραφή μιας νέας εξίσωσης: κακή μεταφορά α - Παράληψη ή λάθος ξαναγράψιμο ενός όρου ή ενός αριθμητικού αποτελέσματος: χ χ= χ=-34 ή χ χ=-40+6 χ-3χ=-40. β - Παράληψη του αρνητικού προσήμου στην νέα εξίσωση: 7-7-2χ= χ=27 ή 3χ/3=-18/3 χ=6 γ - Ένα αρνητικό πρόσημο προστίθεται στη νέα εξίσωση: -3χ=15 χ=-15/-3. 5) Λάθη στους αριθμητικούς υπολογισμούς

26 α - Λάθη στους αριθμητικούς υπολογισμούς με προσημασμένους αριθμούς: - Στην πρόσθεση προσημασμένων αριθμών το -Α-Β γίνεται - Α-Β ή Α+Β και το Α-Β γίνεται Α+Β: -5χ-3χ=-2χ, =-32, 68-17=85. - Στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των προσημασμένων αριθμών υπάρχουν λάθη στους κανόνες των προσήμων: -3χ/-3=-χ ή -2(-5χ+3)= 10χ+6. β - Λάθη στο νοερό υπολογισμό της απόλυτης τιμής ενός αριθμητικού αποτελέσματος: -77/-7= ο Επίπεδο. Οι μαθητές χρησιμοποιούν σωστά και με σταθερότητα σε όλες τις ασκήσεις το αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων. Έτσι οι μαθητές του επιπέδου αυτού λύνουν σωστά και τις έξι εξισώσεις. Στο επίπεδο αυτό βρίσκονται 5 μαθητές (3,5) της Β' τάξης και 35 μαθητές (25) της Γ' τάξης. 2 ο Επίπεδο. Οι μαθητές γενικά χρησιμοποιούν σωστά τον αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων αλλά παρουσιάζουν μια μικρή αστάθεια στην εφαρμογή του με αποτέλεσμα να λύνουν λάθος ή να μην απαντούν σε μία ή δύο εξισώσεις. Λύνουν σωστά δηλαδή τις 4 ή 5 από τις 6 εξισώσεις που τους δίνονται. Αρκετοί μαθητές εδώ αποτυχαίνουν στις εξισώσεις Β 7 και Β 8 όπου υπάρχει ρητός συντελεστής (Β 7 ) ή κλασματική μορφή (Β 8 ). Σ'αυτό το επίπεδο βρίσκονται 20 μαθητές (13,5) της Β' τάξης και 39 μαθητές (28) της Γ' τάξης. 3 ο Επίπεδο. Εδώ οι μαθητές εφαρμόζουν αποσπασματικά και με μεγάλη αστάθεια τον αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων. Αποτέλεσμα αυτού είναι να λύνουν λάθος ή να μην απαντούν στις περισσότερες εξισώσεις. Οι μαθητές του επιπέδου αυτού καταφέρνουν να λύσουν σωστά μία, δύο ή το πολύ τρεις από τις έξι εξισώσεις που προτείνονται. Βρίσκουμε στο επίπεδο αυτό 38 μαθητές (26) της Β' τάξης και 38 μαθητές (27) της Γ' τάξης. 4 ο Επίπεδο. Οι μαθητές του επιπέδου αυτού δεν ξέρουν να επιλύουν εξισώσεις. Έτσι βρίσκουμε πολλούς μαθητές που δεν απαντούν σε καμία από τις έξι ερωτήσεις. Αρκετοί μαθητές δίνουν απαντήσεις που δεν έχουν καμία σχέση με την επίλυση των εξισώσεων π.χ. πολλοί μαθητές στην εξίσωση Β 2 : 5χ = 8 δίνουν την απάντηση χ= 8-5 =3 ή χ=5x8 =40. 'Αλλοι πάλι, στην καλύτερη περίπτωση, από τις απαντήσεις που δίνουν φαίνεται ότι χρησιμοποιούν κάποια από τα βήματα του αλγορίθμου επίλυσης των εξισώσεων αλλά αποσπασματικά και με μεγάλη αστάθεια

27 ώστε να μην καταφέρνουν να επιλύσουν σωστά καμία από τις έξι εξισώσεις. Στο επίπεδο αυτό βρίσκονται 83 μαθητές (57) της Β' τάξης και 27 μαθητές (19,5) της Γ' τάξης. Β' τάξη Β 1 : 2χ-1=0 (39) (69) Γ' τάξη Β 2 : 5χ=8 (55,5) (70,5) Β 3 : 2χ-25=5χ+10 (21) (52) Β 4 : 3+5χ=5χ (9) (48) Β 5 : 5+3(χ+6)=7χ-17 (18) (53) Β 6 : 3χ=3χ (8) (35,5) Β 7 : 4 χ=1 (14+9=23) (36,5+11=47,5) 3 Β 8 : χ+1 3 =4 (13+16,5=29,5) (46,5+4,5=51)