Μαυρογένης Κωνσταντίνος Καθηγητής Μαθηματικός. Πράπα Ελένη Καθηγήτρια Μαθηματικών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαυρογένης Κωνσταντίνος Καθηγητής Μαθηματικός. Πράπα Ελένη Καθηγήτρια Μαθηματικών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης lenap56@pathfinder.gr."

Transcript

1 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 315 ΓΡΑΦΙΚΗ ΚΑΙ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: «ΤΟ ΜΥΣΤΙΚΟ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΤΗ ΜΠΑΡΜΠΑΝΕΓΚΡΑ» Πράπα Ελένη Καθηγήτρια Μαθηματικών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Σκούρα Ιωάννα Καθηγήτρια Μαθηματικών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Μαυρογένης Κωνσταντίνος Καθηγητής Μαθηματικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Ιωάννου Στυλιανός Δρ., Μαθηματικός Επιμορφωτής ΤΠΕ & Εκπαιδευτικού Λογισμικού ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός αυτής της δραστηριότητας είναι η αναζήτηση εναλλακτικών προσεγγίσεων στη γραφική αλλά/και αλγεβρική επίλυση ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους με την αξιοποίηση των δυνατοτήτων ενός ανοιχτού λογισμικού. Στην παρούσα περίπτωση επιλέχθηκαν τρία διαφορετικά ως προς τη λειτουργία τους λογισμικά: Microworlds Pro, The Geometer s Sketchpad, Function Probe. Η αξιοποίηση αυτών των περιβαλλόντων μπορεί να είναι συμπληρωματική ή/και ανεξάρτητη αλλά σε καμιά περίπτωση ταυτόχρονη στη διάρκεια μιας διδακτικής ώρας. Κάθε ένα από αυτά αξιοποιείται από μια διαφορετική οπτική γωνία και μέθοδο αλλά με κοινό στόχο να προσφέρει στο μαθητή βοήθεια τόσο στην κατανόηση του σχηματισμού ενός συστήματος εξισώσεων που η λύση του θα είναι η απάντηση στο πρόβλημα που τίθεται. Οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν το ειδικό φύλλο εργασίας που περιγράφει τα βήματα σε αυτή τη δραστηριότητα. Το ενδιαφέρον εστιάζεται τόσο στην κατανόηση της ανάγκης του σχηματισμού του συστήματος εξισώσεων για την επίλυση του προβλήματος όσο και στην προσέγγιση της λύσης με γραφική μέθοδο ως το σημείο τομής των δύο γραφικών παραστάσεων αυτών των εξισώσεων. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: Μαθηματικά Γυμνασίου, Ανοιχτό λογισμικό, οπτικοποίηση, αποτύπωση σημείων, συντεταγμένες σημείου, εξίσωση ευθείας, σύστημα εξισώσεων, εικασία και επαλήθευση. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές εμπλέκονται σε διαδικασίες που αποβλέπουν στην επίλυση ενός φανταστικού προβλήματος η λύση του οποίου διαπραγματεύεται μαθηματικές έννοιες που συναντούν στον πραγματικό κόσμο του

2 316 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ σχολείου. Σκοπός των διαφορετικών προσεγγίσεων με τη βοήθεια των τριών λογισμικών είναι μεταξύ άλλων και: (1) η καλύτερη οπτικοποίηση ενός προβλήματος (2)η αξιοποίηση της δυναμικής διαχείρισης αντικειμένων στην οθόνη του υπολογιστή για την ενεργοποίηση διαδικασιών ενεργητικής μάθησης (3)αξιοποίηση της στρατηγικής «προβλέπω και στη συνέχεια επαληθεύω» με τη βοήθεια των εργαλείων των λογισμικών (4)η ανάκληση και εφαρμογή γεωμετρικών γνώσεων (5)η σύνδεση της λύσης ενός προβλήματος με το σημείο που τέμνονται δύο γραφικές αφηρημένες έννοιες παραστάσεις (6)η υπερνίκηση των δυσκολιών που παρουσιάζονται στη προσπάθεια των μαθητών να επιλύσουν γραφικά ένα σύστημα με τον παραδοσιακό τρόπο. Αναλύεται καταρχάς στους μαθητές το πρόβλημα το οποίο αναφέρεται στον τρόπο που μπορεί κάποιος να ανακαλύψει το σημείο που είναι κρυμμένος ο θησαυρός ενός πειρατή. Στη φάση αυτή οι μαθητές εργάζονται για να αποτυπώσουν τα σημεία που περιγράφονται στο πρόβλημα. Χαράζοντας τις κατάλληλες γραμμές αναμένεται μια πρώτη προσέγγιση του τρόπου επίλυσης του προβλήματος με τη δημιουργία ενός συστήματος εξισώσεων καθώς και τη δημιουργία μερικών εικασιών για τη λύση. Τα συγκεκριμένα λογισμικά συνεισφέρουν το καθένα με το δικό του τρόπο στην επίτευξη των στόχων που έχουν τεθεί. Το λογισμικό MicroWorlds Pro, με τη δυνατότητα μιας πλούσιας πολυμεσικής "οπτικοποίησης" του προβλήματος και την άμεση διαχείριση αντικειμένων μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση του προβλήματος, στην δημιουργία εικασιών ενώ κάνει την εργασία ελκυστικότερη. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, η χρήση του λογισμικού βοηθάει στην προσεγγιστική εύρεση των συντεταγμένων του σημείου του θησαυρού. Το λογισμικό Sketchpad, με τη σειρά του, βοηθά να αποτυπωθούν τα δεδομένα του προβλήματος με αφαιρετικό τρόπο, με αποτέλεσμα ο μαθητής να μπορέσει, μέσω αυτών των αφαιρέσεων, να συλλάβει τη μαθηματική δομή του συγκεκριμένου προβλήματος. Επιπλέον, με τα εργαλεία που διαθέτει το λογισμικό ο μαθητής μπορεί να προσδιορίσει με ακρίβεια εκατοστού το σημείο του θησαυρού δηλαδή να επαληθεύσει ακόμα μια φορά αλλά με διαφορικό τρόπο την λύση που ήδη έχει προσεγγίσει. Μπορεί ακόμα να βοηθήσει τους μαθητές να προσδιορίσουν ένα σύστημα δύο εξισώσεων που η λύση του είναι η λύση του προβλήματος. Εναλλακτικά και συμπληρωματικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί το λογισμικό Function Probe στο οποίο μπορεί να εισαχθεί ο χάρτης του θησαυρού και ένα ειδικά διαμορφωμένο σύστημα συντεταγμένων Οι μαθητές μπορούν να αξιοποιήσουν το περιβάλλον είτε με ευρετικό τρόπο όπου ύστερα από την αποτύπωση των σημείων προσδιορίζουν τις εξισώσεις των ευθειών που το σημείο τομή τους είναι η λύση του προβλήματος είτε για τη γραφική επίλυση του συστήματος με την κατασκευή των γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων που ήδη έχουν προσδιορίσει και να επαληθεύσουν αν διέρχονται από τα σημεία που περιγράφει το πρόβλημα και συνεπώς το σημείο τομής τους που αποτελεί και τη λύση του προβλήματος. Το λογισμικό Function Probe έρχεται να ενδυναμώσει την ερευνητική διάθεση του μαθητή, με τη δυνατότητα αναζήτησης, καταγραφής και αξιολόγησης πληροφοριών που προσφέρει. Η μαθηματική μοντελοποίηση, που επιτυγχάνεται με το λογισμικό αυτό, βοηθά το μαθητή να συνειδητοποιήσει ότι τα μαθηματικά δεν κατοικούν στον "κόσμο των ιδεών", αλλά είναι συνυφασμένα με όλες τις πτυχές του αισθητού κόσμου. Η λύση επομένως του προβλήματος, το σημείο που ο πειρατής έχει κρύψει το θησαυρό, αναμένεται να δοθεί ως συντεταγμένες ενός σημείου. Αυτές οι συντεταγμένες μπορεί να προσεγγιστούν με

3 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 317 γραφικό τρόπο και να επαληθευθούν με αλγεβρική μέθοδο μέσα από τη λύση ενός συστήματος που οι μαθητές πρέπει να σχηματίσουν με τη βοήθεια των δεδομένων και των οδηγιών. Στο περιβάλλον του Microworlds δίνεται στους μαθητές η δυνατότητα να μεταφράσουν και αποτυπώσουν τα δεδομένα του προβλήματος στην οθόνη του υπολογιστή με άμεσο χειρισμό αντικειμένων σε ένα μικρό εξειδικευμένο πρόγραμμα που πρέπει να έχει ετοιμάσει ο διδάσκοντας. Είναι μια προσπάθεια οπτικοποίησης των πρωταγωνιστών του μύθου. Οι μαθητές τοποθετούν τις χελώνες πειρατές στα σημεία που περιγράφονται. Οι ευθείες που ενώνουν τα κατάλληλα σημεία αναπαριστούν τα σχοινιά που κρατούν οι πειρατές. Οι εξισώσεις των ευθειών, που ενώνουν τα σημεία αυτά, πρέπει να προσδιοριστούν από τους μαθητές και να επαληθευθούν με τη βοήθεια του λογισμικού. Στο περιβάλλον του Sketchpad οι μαθητές χειρίζονται αντικείμενα με τη μορφή γεωμετρικών σχημάτων που παριστάνουν τα σημεία που περιγράφει το πρόβλημα. Οδηγούνται έτσι στο σχηματισμό του συστήματος εξισώσεων τη λύση του οποίου μπορούν να την επαληθεύσουν με γραφικό τρόπο ως σημείο τομής δύο ευθειών. Η διαφορά των δύο προγραμμάτων βρίσκεται στο τρόπο της οπτικοποίησης του προβλήματος, του χειρισμού των αντικειμένων αλλά και στη μέθοδο δημιουργίας του μικρού εξειδικευμένου προγράμματος για τις ανάγκες της επίλυσης αυτού του προβλήματος. Το περιβάλλον του Function Probe μπορεί να αξιοποιηθεί για τη δημιουργία των γραφικών παραστάσεων και την επαλήθευση της λύσης αλλά και για τη δημιουργία αλγορίθμου που θα βοηθήσει στο σχηματισμό του συστήματος όπως επίσης και να δώσει τη λύση του συστήματος. Ο αλγόριθμός αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στο Microworlds ως κρυμμένο μαθηματικό μοντέλο σε απλές διαδικασίες. Οι έννοιες που εμπλέκονται είναι: συντεταγμένες σημείου, γραφική παράσταση συνάρτησης, εξίσωση ευθείας, σύστημα εξισώσεων. Ο κύριος διδακτικός στόχος είναι η δημιουργία συστήματος εξισώσεων που η επίλυσή του να αποτελεί τη λύση ενός προβλήματος. Ως δευτερεύοντες στόχοι είναι η εμπέδωση γνώσεων όπως οι συντεταγμένες σημείου, η εύρεση της εξίσωσης μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία και η μέθοδος λύσης ενός συστήματος καθώς και η γραφική επαλήθευση αυτής. Οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν το ειδικό φύλλο εργασίας που περιγράφει τα βήματα σε αυτή τη δραστηριότητα. Το ενδιαφέρον εστιάζεται τόσο στην κατανόηση του σχηματισμού του συστήματος εξισώσεων για την επίλυση του προβλήματος όσο και στην γραφική λύση του. Στην περίπτωση της παραδοσιακής διδασκαλίας ο μαθητής θα αποτυπώσει τα δεδομένα του προβλήματος στο ειδικό τετραγωνισμένο χαρτί, θα σχεδιάσει τις ευθείες και θα προσεγγίσει τη λύση από τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Το λογισμικό θα προσθέσει την οπτικοποίηση του προβλήματος ή τη βοήθεια στον προσδιορισμό των εξισώσεων ενώ ο μαθητής θα επαληθεύσει καλύτερα τη λύση. Η δυσκολία των μαθητών εντοπίζεται στην κατανόηση των δεδομένων ενός προβλήματος, στο σχηματισμό του συστήματος καθώς και στη γραφική επίλυση του και μάλιστα στη περίπτωση δεκαδικών προσεγγίσεων. Στο Γυμνάσιο η γραφική επίλυση συστημάτων περιλαμβάνεται στο 8 ο Κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου ενώ οι γενικοί στόχοι είναι(οδηγίες ):

4 318 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Οι μαθητές να μπορούν να λύνουν γραφικά ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Η γραφική επίλυση ενός συστήματος γίνεται με σκοπό αφενός να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της λύσης ενός συστήματος και αφετετέρου τις έννοιες του αδύνατου ή του αόριστου. Επισημαίνεται ότι: Οι προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών πάνω στο γνωστικό αντικείμενο που έχει επιλεγεί εντοπίζονται στην έννοια συντεταγμένες σημείου, εξίσωση ευθείας και λύση συστήματος. οι προαπαιτούμενες τεχνικές γνώσεις για τη χρησιμοποίηση του τεχνολογικού μέσου με τη βοήθεια του οποίου θα υλοποιηθεί η δραστηριότητα εντοπίζονται στην απλή εξοικείωση με τη χρήση του ποντικιού αλλά και στο χειρισμό αντικείμενων που περιλαμβάνει κάθε μικρό εξειδικευμένο πρόγραμμα. Η προτεινόμενη δραστηριότητα μπορεί να ενταχθεί στο σχολείο σύμφωνα με το αναλυτικό και ωρολόγιο πρόγραμμα, στη διδασκαλία της ενότητας 8.1 της Γ Γυμνασίου. Για την εφαρμογή της δραστηριότητας απαιτείται ένα φύλο εργασίας για τους μαθητές, η καλή λειτουργία του εργαστηρίου υπολογιστών με τα λογισμικά εγκατεστημένα και η συγκρότηση ομάδων εργασίας. Οι μαθητές εργάζονται σε μικρές ομάδες και προσπαθούν να υλοποιήσουν το φύλλο εργασίας. Ο διδάσκοντας παρακολουθεί, συντονίζει και παροτρύνει αυτούς που δυσκολεύονται. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Το νησί των θησαυρών Είναι πιθανόν να έχετε ακούσει για τον διάσημο Άγγλο πειρατή Μαυρογένη, αλλά ξέρετε τον Ισπανό ξάδερφό του «Μπαρμπανέγκρα»; Μάλλον όχι. Ήταν ένας μαθηματικός των ανοιχτών θαλασσών. Όταν έθαψε τον θησαυρό του, το έκανε μ έναν πολύ αλγεβρικό τρόπο. Σας φαίνεται απίστευτο; Κι όμως το έκανε! Κι έβαλε σε μεγάλους μπελάδες τον απόγονό του! (Ο οποίος εν προκειμένω δεν ήταν και κανένα αστέρι στα μαθηματικά...). Βλέπετε ο Μπαρμπανέγκρα πέθανε σε μια επιδρομή και δεν μπόρεσε να πάρει τον θησαυρό του. Άφησε όμως έναν χάρτη μαζί με μερικές οδηγίες σ ένα ημερολόγιό, του τα οποία βρήκε μετά από πολλά χρόνια ο απόγονος του σ ένα παλιό μπαούλο.... Εγώ, ο Γάντζος, ο Χαντζάρας κι ο Ξυλοπόδαρος πήγαμε στο νησί με τη βάρκα. Είχα πάρει μαζί μου δυο σχοινιά. Στάθηκα σ ένα συγκεκριμένο φοινικόδεντρο -κάτω από τη σκιά του, γιατί είχε μια διαολεμένη ζέστη- το οποίο βρισκόταν 3 μέτρα ανατολικά και 4 μέτρα βόρεια από τον μεγάλο βράχο στα αριστερά του μικρού λιμανιού. Κράτησα το ένα σχοινί στο χέρι μου. Έδωσα την άλλη στον Χαντζάρα και του είπα να βαδίσει 6 μέτρα νότια και κατόπιν 8 μέτρα ανατολικά. Έδωσα μετά τις άκρες του άλλου σχοινιού στους άλλους δυο άντρες μου, κατευθύνοντας τον Γάντζο να βαδίσει σ ένα σημείο 6 μέτρα ανατολικά και 2 μέτρα βόρεια από το δέντρο. Είπα τέλος στον Ξυλοπόδαρο να πάει σ ένα σημείο 6 μέτρα νότια και 2 μέτρα δυτικά από μένα. Από τη στιγμή που ήμασταν όλοι στη θέση μας, τεντώσαμε τα σχοινιά ώστε να σχηματιστούν δυο ευθείες γραμμές. Το σημείο όπου

5 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 319 αυτές οι ευθείες διασταυρώνονταν, ήταν το μέρος όπου εγώ ο Μπαρμπανέγκρα έβαλα τους άντρες μου να σκάψουν για να θάψουν τον θησαυρό. Μήπως μπορείτε να βοηθήσετε τον απόγονο του Μπαρμπανέγκρα να βρει τις συντεταγμένες του σημείου Χ που είναι θαμμένος ο θησαυρός; 1Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ - ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ MICROWORLDS PRO Οι μαθητές καλούνται να ανοίξουν ένα έτοιμο εξειδικευμένο αρχείο που έχει δημιουργηθεί με το λογισμικό Microworlds Pro. Αυτό περιλαμβάνει το χάρτη του νησιού που αναφέρεται στο πρόβλημα εφοδιασμένο με ένα πλέγμα καθέτων και οριζοντίων γραμμών για το προσδιορισμό των συντεταγμένων ως προς σύστημα Οxy. Υπάρχουν επίσης χελώνες με τις φιγούρες των πειρατών καθώς και εργαλεία για την ακριβή μετακίνησή τους σύμφωνα με τα στοιχεία του προβλήματος. Προτείνονται οι ακόλουθες εργασίες: 1α) Οι μαθητές τοποθετούν μία μία τις χελώνες πειρατές στο κατάλληλο σημείο. Ο Μπαρμπανέγκρα θα τοποθετηθεί στο Ο(0,0) και οι υπόλοιπες στη θέση που θα πάει ύστερα από τα βήματα που περιγράφονται. (Η αρχική τοποθέτηση των χελωνών γίνεται με ένα κλικ με το ποντίκι πάνω στη φιγούρα του πειρατή.). Στη συνέχεια με τη βοήθεια των εργαλείων του λογισμικού τις μετακινούν σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος. Ο προσανατολισμός των κινήσεων δίνεται στον ακόλουθο πίνακα: Δυτικά σημαίνει μετακίνηση κατά τη διεύθυνση Οx. Ανατολικά >> Ox Βόρεια >> Oy Νότια >> Oy Οι μαθητές συμπληρώνουν τον ακόλουθο πίνακα με τις κινήσεις των πειρατών όπως περιγράφονται στο πρόβλημα. Αναμενόμενη απάντηση των μαθητών Πειρατής Ανατολικά Δυτικά Νότια Βόρεια Μπαρμπανέγκρας 3 4 Βήματα από (0,0) Χαντζάρας 8 6 Βήματα από τον Γάντζος 6 2 Μπαρμπανέγκρα Ξυλοπόδαρος 2 6 Για να κινηθούν οι χελώνες-πειρατές προς το σημείο που υποδεικνύει το πρόβλημα ακολουθείται η διαδικασία: Ρυθμίζονται οι μεταβολείς σύμφωνα με τα

6 320 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ βήματα του προβλήματος βάζοντας 0 στις κινήσεις που δεν θα γίνουν. Για παράδειγμα για τον Μαρμπανέγκρα θα γίνουν οι ρυθμίσεις: Ανατολικά: 3, Δυτικά: 0, Νότια: 0, Βόρεια: 4. Στη συνέχεια θα γραφτεί η εντολή «Μαρμπανέγκρα, Α Δ Ν Β» και κλικ στο κουμπί «Εκτέλεση Εντολής». 1β) Οι μαθητές πρέπει να προσδιορίσουν τις συντεταγμένες των σημείων που βρίσκονται οι χελώνες - πειρατές σχετικά με το προκαθορισμένο σύστημα Oxy και όχι με το σύστημα συντεταγμένων του λογισμικού και να συμπληρώσουν τον ακόλουθο πίνακα: Πειρατής Ονομασία σημείου Αναμενόμενη απάντηση των μαθητών X Y Μαρμπανέγκρας Μ 3 4 Χαντζάρας Χ 11-2 Γάντζος Γ 9 6 Ξυλοπόδαρος Ξ 1-2 1γ) Οι μαθητές πρέπει να ενώσουν με τα εργαλεία του λογισμικού (με τα σχοινιά) τα σημεία που αναφέρει το πρόβλημα και να προσεγγίσουν τις συντεταγμένες του σημείου του θησαυρού. Αναμενόμενη απάντηση των Σημείο του θησαυρού (με προσέγγιση μονάδων) μαθητών X Y Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ : ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ SKETCHPAD Οι μαθητές οδηγούνται να υπολογίσουν το σημείο του θησαυρού με αλγεβρικό τρόπο και να επαληθεύσουν τη γραφική λύση που έχει ήδη δοθεί στο πρόβλημα. Στο περιβάλλον του Sketchpad οι πειρατές παίρνουν τη μορφή σημείων τα οποία οι μαθητές πρέπει να αποτυπώσουν στο σύστημα αξόνων του λογισμικού. Στη συνέχεια πρέπει να ενώσουν τα σημεία αυτά με ευθείες και να ορίσουν το σημείο τομής τους. Οι ευθείες αναπαριστούν τα σχοινιά που κρατούν οι πειρατές. Οι μαθητές προσδιορίζουν τις συντεταγμένες του σημείου τομής (που είναι το σημείο του θησαυρού) και επαληθεύουν με τη βοήθεια του λογισμικού. Η αλγεβρική επίλυση του προβλήματος διευκολύνεται από τη βοήθεια που προσφέρει το λογισμικό στην εύρεση των εξισώσεων των ευθειών που ενώνουν τα σημεία των πειρατών. Έτσι οι μαθητές ασχολούνται μόνο με την επίλυση ενός συστήματος και συγκρίνουν τη λύση με τις συντεταγμένες που προσδιόρισαν με τη γραφική μέθοδο. Προτείνονται οι ακόλουθες εργασίες 2α) Οι μαθητές καλούνται να αποτυπώσουν στο σύστημα αξόνων του λογισμικού τα σημεία, που πρέπει να τοποθετηθούν οι πειρατές, των οποίων οι συντεταγμένες έχουν ήδη προσδιοριστεί παραπάνω. (Η αποτύπωση γίνεται με τη διαδικασία Μενού Γράφημα>Αποτύπωση σημείων>.πληκτρολόγηση τιμών.>enter)

7 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 321 2β) Με τη βοήθεια των εργαλείων του λογισμικού ενώνουν τα σημεία με ευθείες και προσδιορίζουν το σημείο τομής τους.(η κατασκευή ακολουθεί τα βήματα: Επιλογή δύο σημείων με τη χρήση του Shift > Κατασκευή > Ευθεία) 2γ) Μετρούν τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών (επιλογή σημείου > Μέτρηση > Συντεταγμένες). Με τον τρόπο αυτό επαληθεύουν τη γραφική λύση που έδωσαν ήδη στο πρόβλημα. Το σημείο του θησαυρού έχει συντεταγμένες (x,y) = (, ) 2δ) Οι μαθητές περιγράφουν τον αλγεβρικό τρόπο με τον οποίο θα λύσουν το πρόβλημα. Οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν στο ερώτημα «ποια είναι η γενική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας;». Αναμένεται να προσδιορίσουν τις εξισώσεις των ευθειών του σχεδίου και να λύσουν αλγεβρικά το σύστημα. (Η εύρεση των εξισώσεων γίνεται: Επιλογή ευθείας > Μέτρηση > Εξίσωση) Ευθεία ΜΧ ΓΞ Αναμενόμενη απάντηση των μαθητών Εξίσωση ευθείας Λύση του συστήματος y=-0,75x+6,25 x= y=x-3 y= 3 Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ : ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FUNCTION PROBE Το περιβάλλον του λογισμικού μπορεί να βοηθήσει στη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος είτε στη αποτύπωση των ευθειών που ορίζουν τα σχοινιά και να οδηγηθούν οι μαθητές στη γραφική λύση είτε στην επαλήθευση της αλγεβρικής λύσης του συστήματος με την αυτόματη διαδικασία λύσης που προτείνει. Στην γραφική προσέγγιση αυτή οι μαθητές πρέπει: Να προσδιορίσουν τις συντεταγμένες των σημείων που θα σταθούν οι πειρατές σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος. Να αποτυπώσουν τα σημεία αυτά στο γραφικό περιβάλλον του λογισμικού Να ενώσουν τα σημεία που περιγράφει το πρόβλημα Να εικάσουν για τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Στην αλγεβρική προσέγγιση οι μαθητές πρέπει: Να προσδιορίσουν τις εξισώσεις των ευθειών και να σχηματίσουν το σύστημα που πρέπει να λύσουν. Να δώσουν τα κατάλληλα στοιχεία στο λογισμικό και να πάρουν ως απάντηση τη λύση του συστήματος. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Η προσέγγιση με το λογισμικό Microworlds Pro προσφέρει μια πλούσια οπτικοποίηση των δεδομένων του προβλήματος και προσθέτει ένα παιγνιώδη τρόπο στη γραφική προσέγγιση της λύσης. Η προσέγγιση με το Sketchpad μπορεί να λειτουργήσει είτε ως ανεξάρτητη μέθοδο επίλυσης του προβλήματος με τη βοήθεια του λογισμικού είτε ως συμπληρωματική στη γραφική προσέγγιση με το Microworlds.Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ένα μετασχηματισμό των ηρώων του μύθου σε γεωμετρικά σχήματα. Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε μια συμπληρωματική διαδικασία όπως το Microworlds αναλαμβάνει ρόλο στη γραφική προσέγγιση και το

8 322 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Sketchpad το ρόλο του εργαλείου επαλήθευσης αλλά και της εύρεσης των εξισώσεων των ευθειών. Η εργασία με το Sketchpad φαίνεται να απλουστεύει την προεργασία για την επίλυση του προβλήματος με τη βοήθεια του υπολογιστή μια και δεν απαιτείται προετοιμασία ενός εξειδικευμένου προγράμματος. Η προσέγγιση με το Function probe προτείνεται να λειτουργήσει ανεξάρτητα από το Microworlds Pro σχετικά με τη γραφική επίλυση αλλά συμπληρωματικά με την εργασία στο Sketchpad στην αλγεβρική επίλυση του συστήματος ως εργαλείο επαλήθευσης. Οι διαφορές με τον παραδοσιακό τρόπο εργασίας για τη λύση του ίδιου προβλήματος εντοπίζονται: Συμμετοχή των μαθητών στα δρώμενα του προβλήματος με την πλούσια οπτικοποίηση Θετική παρακίνηση των μαθητών με την παιγνιώδη μορφή της γραφικής επίλυσης Ανάκληση και χρήση γεωμετρικών γνώσεων για την κατασκευή ευθειών. Εικασία ή εύρεση και επαλήθευση με τη βοήθεια του λογισμικού όπου το λάθος μπορεί να αξιοποιηθεί για την κατανόηση των εννοιών που εμπλέκονται με το πρόβλημα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ X Marks the Spot, 3. Αλιμπινίσης Α., Γρηγοριάδης Σ. κ.αλ., Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, ΟΕΔΒ, Ιωάννου Σ., Εισαγωγή των ΤΠΕ στην εκπαίδευση: Η περίπτωση αξιοποίησης Εκπαιδευτικού Λογισμικού στη Μαθηματική Εκπαίδευση, Διδακτορική Διατριβή, Αθήνα 2002.

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου

Διαβάστε περισσότερα

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Function Probe.

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Function Probe. Σενάριο 2: Ο ερευνητής και οι χελώνες ΚΑΡΕΤΑ_ΚΑΡΕΤΑ Συγγραφέας: Καλλιόπη Αρδαβάνη, Επιμορφώτρια Μαθηματικών (Β επιπέδου). Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή. Πεδίο ορισμού και

Διαβάστε περισσότερα

Geogebra. Μακρή Βαρβάρα. Λογισµικό Geogebra

Geogebra. Μακρή Βαρβάρα. Λογισµικό Geogebra Λογισµικό Geogebra 1 Τι είναι το πρόγραµµα Geogebra; Το πρόγραµµα GeoGebra, είναι ένα δυναµικό µαθηµατικό λογισµικό που συνδυάζει Γεωµετρία, Άλγεβρα και λογισµό. Αναπτύσσεται από τον Markus Hohenwarter

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Σύντοµη περιγραφή του σεναρίου Η βασική ιδέα του σεναρίου Το συγκεκριµένο εκπαιδευτικό σενάριο αναφέρεται στην εύρεση των τύπων µε τους

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Τοποθέτησε μια χελώνα στην επιφάνεια εργασίας. 2. Με ποια εντολή γράφει η χελώνα μας;.. 3. Γράψε την εντολή για να πάει

Διαβάστε περισσότερα

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή»

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» «Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» Αρδαβάνη Καλλιόπη 1, Μαργιόρα Φιλίππα 2, Μαυρουδής Σπύρος 3 1 Καθηγήτρια Μαθηματικών 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας, επιμορφώτρια Β επιπέδου popiardv@hotmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Γνωστική Περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέμα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι γνωστό στους μαθητές από το Γυμνάσιο. Το προτεινόμενα θέμα αφορά την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφήματα οικογένειας παραβολών

Γραφήματα οικογένειας παραβολών Γραφήματα οικογένειας παραβολών Η βολή ενός αντικειμένου στον αέρα έχει ως αποτέλεσμα μια καμπυλωμένη τροχιά, η οποία είναι πάντοτε μια παραβολή. Η παραβολή είναι το γράφημα μιας δευτεροβάθμιας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ Εξισώσεις α βαθμού. Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση Το παρόν έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 2. Εκπαιδευτικό Λογισμικό για τα Μαθηματικά 2.1 Κύρια χαρακτηριστικά του εκπαιδευτικού λογισμικού για την Διδακτική των Μαθηματικών 2.2 Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλογα ποσά Γραφική παράσταση αναλογίας» ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

«Ανάλογα ποσά Γραφική παράσταση αναλογίας» ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 1. Ανάλογα ποσά Ιδιότητες αναλόγων ποσών 2. Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Άγγελος Γιαννούλας Κωνσταντίνος Ρεκούμης

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Β ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΚΣΕ 4 ου ΣΕΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Κατακόρυφη - Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ 386 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Λαμπρινίδης Κωνσταντίνος Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. mail@14gm-perist.att.sch.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Α) Αναλυτική χάραξη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ

Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 171 Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ Νίκος Καμπράνης Μαθηματικός, Επιμορφωτής νέων τεχνολογιών http://www.geocities.com/kampranis ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΑΞΗ:.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : Μια βιωματική διδακτική πρόταση στην Πληροφορική Γ Γυμνασίου με θέμα: «Από τον Αλγόριθμο στον Προγραμματισμό σε περιβάλλον MicroWorlds Pro»

ΘΕΜΑ : Μια βιωματική διδακτική πρόταση στην Πληροφορική Γ Γυμνασίου με θέμα: «Από τον Αλγόριθμο στον Προγραμματισμό σε περιβάλλον MicroWorlds Pro» ΘΕΜΑ : Μια βιωματική διδακτική πρόταση στην Πληροφορική Γ Γυμνασίου με θέμα: «Από τον Αλγόριθμο στον Προγραμματισμό σε περιβάλλον MicroWorlds Pro» Μαζέρας Αχιλλέας ΠΕ19 MsC Αυτοματισμού 1 ο Γυμνάσιο Καισαριανής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο 2

Εκπαιδευτικό Σενάριο 2 Εκπαιδευτικό Σενάριο 2 Τίτλος: Τα συνεργατικά περιβάλλοντα δημιουργίας και επεξεργασίας υπολογιστικών φύλλων Εκτιμώμενη διάρκεια εκπαιδευτικού σεναρίου: Προβλέπεται να διαρκέσει συνολικά 3 διδακτικές ώρες.

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ»

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 217 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» Λουκία Μαρνέλη Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Διεύθυνση: Μονής Κύκκου 1, 15669 Παπάγου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές εντολές σχεδίασης στη γλώσσα προγραμματισμού Logo Εντολή επανάληψης

Βασικές εντολές σχεδίασης στη γλώσσα προγραμματισμού Logo Εντολή επανάληψης Βασικές εντολές σχεδίασης στη γλώσσα προγραμματισμού Logo Εντολή επανάληψης Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Πληροφορική Δημιουργός: Αθηνά Κοκκόρη ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Το ανοργάνωτο Parking

Το ανοργάνωτο Parking Δημοτικό Υπαίθριο Parking Περίληψη: Σε κάθε πόλη είναι σημαντικό η δημιουργία όσο το δυνατόν περισσότερων θέσεων parking, ειδικά στο κέντρο της, ώστε να διευκολύνονται οι πολίτες και η εμπορική αγορά.

Διαβάστε περισσότερα

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4 Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro

Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro Το «Φύλλο Εργασίας» για τους µαθητές Το παρακάτω φύλλο εργασίας µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως εισαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η

εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η μετακίνηση, περιστροφή, αυξομείωση, ανάκλαση και απόκρυψη του

Διαβάστε περισσότερα

Κινήστε τη χελώνα με τα πλήκτρα

Κινήστε τη χελώνα με τα πλήκτρα Κινήστε τη χελώνα με τα πλήκτρα ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ: Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές καλούνται, αφού τρέξουν το πρόγραμμα turtle.lgo 1, να οδηγήσουν τη χελώνα με τη βοήθεια των πλήκτρων του

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000)

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Πρόκειται για την έρευνα που διεξάγουν οι επιστήμονες. Είναι μια πολύπλοκη δραστηριότητα που απαιτεί ειδικό ακριβό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Η Πληροφορική στην Ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση - Γυμνάσιο Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση 1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» Ψηφιακό σχολείο: Το γνωστικό πεδίο των Μαθηματικών «Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» ΕΛΕΝΗ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ Πληροφορικός ΠΕ19 (1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Λάμπρος Στεφάνου. (Σύμβουλος Μαθηματικών) Συνέδριο ΚΕΣΕΑ-ΤΠΕ 8 Φεβρουαρίου 2014

Λάμπρος Στεφάνου. (Σύμβουλος Μαθηματικών) Συνέδριο ΚΕΣΕΑ-ΤΠΕ 8 Φεβρουαρίου 2014 Λάμπρος Στεφάνου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Συνέδριο ΚΕΣΕΑ-ΤΠΕ 8 Φεβρουαρίου 2014 Καίριο ερώτημα: Γιατί να μη χρησιμοποιούμε μόνο τα χειριστικά υλικά; Η τεχνολογία μεγεθύνει το εύρος του περιεχομένου που

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

των σχολικών μαθηματικών

των σχολικών μαθηματικών Μια σύγχρονη διδακτική θεώρηση των σχολικών μαθηματικών «Οι περισσότερες σημαντικές έννοιες και διαδικασίες των μαθηματικών διδάσκονται καλύτερα μέσω της επίλυσης προβλημάτων (ΕΠ)» Παραδοσιακή προσέγγιση:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: Ε Η ομάδα χορού 1. Σε μια ομάδα παραδοσιακών χορών συμμετέχουν 39 αγόρια και 23 κορίτσια. Κάθε εβδομάδα προστίθενται στην ομάδα 6 νέα αγόρια και 8 νέα κορίτσια.

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΕΑΣ HΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ. Επαγγελματικό λογισμικό στην ΤΕΕ: Επιμόρφωση και Εφαρμογή ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ 2

ΤΟΜΕΑΣ HΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ. Επαγγελματικό λογισμικό στην ΤΕΕ: Επιμόρφωση και Εφαρμογή ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ 2 ΤΟΜΕΑΣ HΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Επαγγελματικό λογισμικό στην ΤΕΕ: Επιμόρφωση και Εφαρμογή ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ 2 Εκπαίδευση στα Λογισμικά Adobe Premiere Pro CS3 και Visual Basic ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗ Το παρόν εκπονήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης του «Μαθη.Συ.»

Εγχειρίδιο Χρήσης του «Μαθη.Συ.» Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φ.Π.Ψ., Τομέας Παιδαγωγικής Διευθυντής: Καθ. Χ. Κυνηγός Εγχειρίδιο Χρήσης του «Μαθη.Συ.» Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Διδακτική Μαθηματικών Ι: Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα (εργασία) (To

Διαβάστε περισσότερα

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας 1. Εισαγωγή Σχολιασµός των εργασιών της 16 ης παράλληλης συνεδρίας µε θέµα «Σχεδίαση Περιβαλλόντων για ιδασκαλία Προγραµµατισµού» που πραγµατοποιήθηκε στο πλαίσιο του 4 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου «ιδακτική

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης kliapis@sch.gr 1 Ο Ρόλος του εκπαιδευτικού Αξιολογεί την αρχική μαθηματική κατάσταση κάθε παιδιού, ομαδοποιεί τα παιδιά σύμφωνα με

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ MODELUS ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ

ΤΟ MODELUS ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ 268 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ MODELUS ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Σ. Τσοβόλας Φυσικός, Επιμορφωτής ΤΠΕ Θ. Μαστρογιάννης Επιμορφωτής ΤΠΕ Στον πυρήνα του προγράμματος υπάρχει μια περιοχή εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ)

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ) Η διδασκαλία του Θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου με τη βοήθεια του συνδυασμού της θεωρίας van Hiele και της Γνωστικής Μαθητείας στα πλαίσια των ΤΠΕ Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μπολοτάκης Γιώργος. Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, συγγραφέας του βιβλίου «GeoGebra εύκολα και απλά»

Μπολοτάκης Γιώργος. Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, συγγραφέας του βιβλίου «GeoGebra εύκολα και απλά» «Αξιοποίηση των Τ.Π.Ε. στη Διδακτική Πράξη» «Διδασκαλία μαθήματος μαθηματικών Άλγεβρας Α Λυκείου, με εφαρμογή του λογισμικού GeoGebra και χρήση φύλλων εργασίας, «Εξίσωση-Ανίσωση 2ου βαθμού, Μορφές - Πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΩΝ ΣΕΛΙΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ DESCARTES

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΩΝ ΣΕΛΙΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ DESCARTES 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 167 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΩΝ ΣΕΛΙΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ DESCARTES Καστανιώτης Δημήτρης Μαθηματικός-επιμορφωτής

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές πολυμέσων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

Εφαρμογές πολυμέσων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Εφαρμογές πολυμέσων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών «Γραφικές Τέχνες Πολυμέσα» Θεματική Ενότητα «Πληροφορική Πολυμέσα» ΓΤΠ61 Δούκα Δέσποινα 26/4/2015 Τι είναι τα πολυμέσα

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Προσομοίωσης

Εφαρμογές Προσομοίωσης Εφαρμογές Προσομοίωσης H προσομοίωση (simulation) ως τεχνική μίμησης της συμπεριφοράς ενός συστήματος από ένα άλλο σύστημα, καταλαμβάνει περίοπτη θέση στα πλαίσια των εκπαιδευτικών εφαρμογών των ΤΠΕ. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Το νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΣΚΩΝ: ΣΦΑΕΛΟΣ Ι. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ - ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΒΟΛΗ Βασική ιδέα: Οι µαθητές παρακολουθώντας τις προσοµοιώσεις για την ελεύθερη πτώση, την πτώση σώµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Διδασκαλία γραμμάτων-συλλαβών

Διδασκαλία γραμμάτων-συλλαβών Διδασκαλία γραμμάτων-συλλαβών Ο μαθητής αξιοποιεί τον Η/Υ και ακούει κάθε φορά την εκφώνηση της άσκησης αλλά και την εργασία που έχει να κάνει. Μπορεί να διακρίνει ακουστικά και οπτικά την πρώτη συλλαβή-γράμμα,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Τι είναι η Δυναμική Γεωμετρία Το βασικό της χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εργασία 2η Ανάπτυξη σεναρίου σχεδίου μαθήματος με χρήση εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ «ΚΛΙΜΑΚΟΥΠΟΛΗ» - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ SKETCHPAD

Η ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ «ΚΛΙΜΑΚΟΥΠΟΛΗ» - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ SKETCHPAD 422 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Η ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ «ΚΛΙΜΑΚΟΥΠΟΛΗ» - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ SKETCHPAD Λυκοσκούφη Ειρήνη Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 8. Συμμετρία - Πολλαπλασιασμός και επιμεριστική ιδιότητα ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 8. Συμμετρία - Πολλαπλασιασμός και επιμεριστική ιδιότητα ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ Συμμετρία - Πολλαπλασιασμός και επιμεριστική ιδιότητα ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης,

Διαβάστε περισσότερα