ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Θ. ΚΑΤΣΙΚΑΔΕΛΗΣ. E κδόσεις Σ υμμετρια

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Θ. ΚΑΤΣΙΚΑΔΕΛΗΣ. E κδόσεις Σ υμμετρια"

Transcript

1 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Θ. ΚΑΤΣΙΚΑΔΕΛΗΣ E κδόσεις Σ υμμετρια

2 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Θεωρία και Εφαρμογές

3 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Θεωρία και Εφαρμογές Ιωάννης Θ. Κατσικαδέλης, MSc, Δρ. Μηχ., PhD, Dr. h.c. Καθηγητής Στατικής και Δυναμικής των Κατασκευών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εκδόσεις Συμμετρία Αθήνα 2012

4 Copyright 2012 Ι.Θ. Κατσικαδέλης Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο ολική ή μερική ανατύπωση, έντυπη ή ηλεκτρονική, ή αποθήκευση και μεταβίβαση υπό οποιανδήποτε μορφή ή μετάφραση του βιβλίου αυτού, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα, ο οποίος διατηρεί όλα τα δικαιώματα. No part of this book may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without prior written permission of the author, who reserves all the rights. ISBN:

5 Στη σύζυγό μου Έφη Για την αμέριστη συμπαράσταση, υπομονή και αγάπη

6 Πίνακας περιεχομένων Πρόλογος... XV ΜΕΡΟΣ Ι ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Εισαγωγή... 1 Ι.1 ΣΚΟΠΌΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΊΟΥ. 1 Ι.2 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΚΑΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΈΝΑ ΣΤΟΙΧΕΊΑ 2 Ι.3 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΈΛΙΞΗ ΤΗΣ BΕΜ 6 Ι.4 Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ. 8 Ι.5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΟΥ CD-ROM. 11 Ι.6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προκαταρκτικές Μαθηματικές Γνώσεις ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ GAUSS-GREEN ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΣ ΤΟΥ GAUSS Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ GREEN Ο ΣΥΖΥΓΗΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΕΛΤΑ (Δ) Ή DIRAC ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. 28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. 29

7 VIII ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΒΕΜ για Προβλήματα Δυναμικού σε δύο Διαστάσεις ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΛΥΣΗ Η ΑΜΕΣΗ ΒΕΜ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE Η ΑΜΕΣΗ ΒΕΜ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ POISSON ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ GREEN ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ POISSON ΣΕ LAPLACE ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΕΔΙΑΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ H BEM ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΑ ΣΩΜΑΤΑ Η ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΕΩΣ Η ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΛΥΣΗ Η ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΒΕΜ ως Αριθμητική Μέθοδος ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΒΕΜ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΑΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΔΥΪΚΗΣ ΑΜΟΙΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ POISSON ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LABECON ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ LAPLACE ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΩΡΙΑ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΣΥΝΟΡΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LABECONMU ΓΙΑ ΧΩΡΙΑ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΣΎΝΟΡΑ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΥΠΟΠΕΡΙΟΧΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τεχνολογία του Συνοριακού Στοιχείου. 121

8 Πίνακας Περιεχομένων IX 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Η BEM ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΑΝΩΜΑΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΝΩΜΑΛΙΑ ΤΥΠΟΥ CAUCHY ΕΜΜΕΣΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ ΣΧΕΔΟΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εφαρμογές ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΡΕΨΗ ΜΗ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΡΑΒΔΩΝ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΡΕΒΛΩΣΕΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ TORSCON ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΣΤΕΨΕΩΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΡΕΨΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΡΑΒΔΩΝ ΚΑΜΨΗΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΜΕΜΒΡΑΝΩΝ ΑΠΛΑ ΕΔΡΑΖΌΜΕΝΕΣ ΠΛΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΓΩΓΉΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 226 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 227 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΒΕΜ για Ελαστοστατικά Προβλήματα σε δύο Διαστάσεις ΕΙΣΑΓΩΓΗ 231

9 X ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 6.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΝΤΑΣΗ Η ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ BETTI H ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΛΥΣΗ ΤΑΣΕΙΣ ΟΦΕΙΛΟΜΕΝΕΣ ΣΕ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΜΕΝΟ ΦΟΡΤΙΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΟΛΙΚΗΣ ΤΑΣΕΩΣ ΣΤΟ ΣΎΝΟΡΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΉ ΠΑΡΆΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΕΩΣ ΟΙ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΥΝΟΡΟ ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΑΜΕΣΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΩΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΕΔΙΑΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ELBECON ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΕΛΑΣΤΟ- ΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙI ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΑΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ανάλυση Πλακών με τη ΒΕΜ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΣΗ ΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΛΕΠΤΕΣ ΠΛΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

10 Πίνακας Περιεχομένων XI ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΕΠΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΟΙ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Η ΑΜΕΣΗ BEM ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ Η ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ RAYLEIGH-GREEN Η ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΛΥΣΗ Η ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΕΩΣ ΟΙ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Η ΒΕΜ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΕΔΙΑΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΣΤΗΡΙΞΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΓΩΝΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ PLBECON ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άλλα Προβλήματα Πλακών με τη ΒΕΜ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ ΚΑΜΨΗ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΣΥΝΕΠΙΠΕΔΗ ΦΟΡΤΙΣΗ. ΛΥΓΙΣΜΟΣ Η ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ Η ΑΕΜ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΕΔΙΑΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Η ΑΕΜ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΠΛΑΚΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΛΑΚΕΣ ΕΠΊ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΕΔΑΦΟΥΣ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΣ

11 XII ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΕΠΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Η ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΛΑΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ Η ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΠΛΑΚΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΜΕ ΣΥΝΕΠΙΠΕΔΗ ΦΟΡΤΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΛΑΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΟΝΤΡΕΣ ΠΛΑΚΕΣ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΠΛΑΚΩΝ Η ΘΕΩΡΙΑ MINDLIN Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Δυναμική Ανάλυση Πλακών με τη ΒΕΜ ΕΙΣΑΓΩΓΉ Η ΑΕΜ ΓΙΑ ΤΟ ΔΥΝΑΜΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΓΙΑ ΤΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΓΙΑ ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΠΤΕΡΥΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΤΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

12 Πίνακας Περιεχομένων XIII ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ανάλυση Μεμβρανών με τη ΒΕΜ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΜΕΜΒΡΑΝΗΣ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΓΙΑ ΤΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΜΒΡΑΝΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΜΒΡΑΝΩΝ Η ΛΥΣΗ ΑΕΜ ΓΙΑ ΤΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΜΒΡΑΝΗΣ ΠΑΡΑΔΕΊΓΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΊΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Παράγωγοι του r ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Ολοκλήρωση Gauss 581 Β.1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΟΜΑΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ Β.2 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΑΝΩΜΑΛΙΑ 591 Β.3 ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΟΜΑΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ Β.3.1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ GAUSS ΠΑΝΩ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ. 591 Β.3.2 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ GAUSS ΠΑΝΩ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ. 593 Β.4 ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. 599 Β.4.1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΛΥΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ LAPLACE. 599 Β.4.2 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΛΥΣΕΩΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER B.5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 601 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ C Παράγωγοι των Πυρήνων, Μερικές λύσεις και Εφαπτομενική Παράγωγος στο Σύνορο 603 C.1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ C.2 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ (8.56) C.3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΤΟ ΣΥΝΟΡΟ. 606 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ D Αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κινήσεως 609 D.1 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ 609 D.1.1. ΤΟ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 609

13 XIV ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ D ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ 612 D ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ D.1.2. ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ D.2. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΈΣ ΕΞΙΣΏΣΕΙΣ ΚΙΝΉΣΕΩΣ. 618 D.2.1. ΤΟ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 618 D.2.2. ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 620 D.3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΊΑ. 624 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ E Απαντήσεις σε Επιλεγμένες Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

14 Πρόλογος Πρόλογος στη 1 η έκδοση Οι τελευταίες τρεις δεκαετίες χαρακτηρίζονται από τη μεγάλη αύξηση της υπολογιστικής δυνάμεως των ηλεκτρονικών υπολογιστών και της ευρείας διαδόσεώς τους. Το γεγονός αυτό έχει δώσει μεγάλη ώθηση στη ανάπτυξη και χρήση αριθμητικών μεθόδων στην επιστήμη του μηχανικού για την ανάλυση και σχεδιασμό κατασκευών, που περιλαμβάνει από γέφυρες και αεροσκάφη μέχρι στοιχεία μηχανών και σήραγγες. Αυτό οδήγησε στη δημιουργία νέων υποπεριοχών, σ όλες τις γνωστικές περιοχές του μηχανικού, που χαρακτηρίζονται με τον όρο Υπολογιστικές, π.χ. Υπολογιστική Μηχανική, Υπολογιστική Υδραυλική, Υπολογιστική Ανάλυση των Κατασκευών κλπ. Οι πλέον διαδεδομένες μέθοδοι που καθιστούν δυνατή την αριθμητική υλοποίηση των υπολογιστικών μεθόδων είναι η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (Finite Element Method FEM) και η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (Boundary Element Method BEM). Ενώ η πρώτη είναι καθιερωμένη εδώ και χρόνια, η δεύτερη έχει αναπτυχθεί πιο πρόσφατα προσφέροντας νέες υπολογιστικές δυνατότητες από απόψεως αποτελεσματικότητας, ακρίβειας και οικονομίας. Παρ όλον ότι η BEM έχει εισαχθεί εδώ και μερικά χρόνια ως μάθημα σε αρκετά πανεπιστήμια του εξωτερικού, είναι αισθητή η έλλειψη κατάλληλου διδακτικού συγγράμματος, το οποίο θα βοηθήσει τους σπουδαστές αλλά και τους μηχανικούς να κατανοήσουν τη μέθοδο και να μπορέσουν να την χρησιμοποιήσουν για την επίλυση των προβλημάτων τους. Ένας βασικός λόγος της ελλείψεως αυτής είναι ότι το μάθημα διδάσκεται κυρίως ως προχωρημένο μεταπτυχιακό και ως εκ τούτου θεωρούνται γνωστές προαπαιτούμενες γνώσεις μαθηματικών και μηχανικής, οι οποίες δεν διδάσκονται σε προπτυχιακό επίπεδο. Έτσι η ύλη των υπαρχόντων συγγραμμάτων δεν είναι προσιτή στους σπουδαστές αλλά και στους μηχανικούς, που επιθυμούν να εξοικειωθούν με τη BEM. Η διαπίστωση αυτή ώθησε το συγγραφέα να ασχοληθεί με τη συγγραφή του παρόντος βιβλίου. Η ερευνητική του ενασχόληση με την ανάπτυξη της BEM τα τελευταία 25 χρόνια, αλλά και η εμπειρία του από τη διδασκαλία του μαθήματος των Συνοριακών Στοιχείων στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του ΕΜΠ την τελευταία τριετία δικαιολογούν την προσπάθεια αυτή. Φιλοδοξία του

15 XVI ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ συγγραφέα είναι να κάνει τη BEM προσιτή στους σπουδαστές αλλά και τους μηχανικούς παρουσιάζοντας τη μέθοδο απλά και συστηματικά με γνώσεις μαθηματικών και μηχανικής που αποκτούν από τα βασικά τους προπτυχιακά μαθήματα. Η προσπάθεια αυτή είχε ως αποτέλεσμα την εξαγωγή των θεμελιωδών λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, των ολοκληρωτικών παραστάσεων των λύσεων και των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων με νέο απλό τρόπο περιορίζοντας στο ελάχιστο τις νέες γνώσεις μαθηματικών. Όλες οι απαραίτητες γνώσεις όμως περιλήφθηκαν στο βιβλίο ώστε τούτο να παρουσιάζει πληρότητα και αυτοτέλεια. Η όλη παρουσίαση της BEM αποτελεί καινοτομία, η οποία περιλαμβάνει ακόμη και την επαναδιατύπωση των εξισώσεων Navier του επίπεδου προβλήματος της θεωρίας της ελαστικότητας με την εισαγωγή νέων ισοδύναμων ελαστικών σταθερών για τη μετάβαση από την επίπεδη παραμόρφωση στην επίπεδη ένταση, με επιδίωξη πάντοτε την απλούστευση των εκφράσεων της θεμελιώδους λύσεως και των παραγώγων της. Η βαθειά και πλήρης κατανόηση της ΒΕΜ απαιτεί τη λεπτομερή εξέταση των παρακάτω θεμάτων, στα οποία έχει δοθεί έμφαση κατά τη συγγραφή του βιβλίου. (i) Τη διατύπωση του φυσικού προβλήματος. (ii) Τη μόρφωση του μαθηματικού προσομοιώματος που εκφράζεται με τις διαφορικές εξισώσεις και τις συνοριακές συνθήκες. (iii) Το μετασχηματισμό των διαφορικών εξισώσεων σε ολοκληρωτικές εξισώσεις πάνω στο σύνορο. Το στάδιο αυτό απαιτεί εξοικείωση με τη χρήση ειδικών συναρτήσεων, των θεμελιωδών λύσεων και την κατανόηση της ιδιάζουσας συμπεριφοράς τους. (iv) Το μετασχηματισμό των πεδιακών ολοκληρωμάτων σε επικαμπύλια πάνω στο σύνορο ή την απάλειψή τους για την επίτευξη αμιγώς συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων. (v) Την αριθμητική επίλυση των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Το στάδιο αυτό αφορά την αριθμητική υλοποίηση της ΒΕΜ, καλύπτει σημαντικό μέρος του βιβλίου και την καθιστά υπολογιστικό εργαλείο για τη λύση πραγματικών προβλημάτων του μηχανικού. Αφορά στη διακριτοποίηση του συνόρου σε συνοριακά στοιχεία, την προσομοίωση τόσο της γεωμετρίας του όσο και της κατανομής των αγνώστων συνοριακών μεγεθών μέσω των συνοριακών στοιχείων, τις τεχνικές υπολογισμού ομαλών και ιδιόμορφων επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων και γενικώς τη διαδικασία προσεγγίσεως της λύσεως του πραγματικού προβλήματος με γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων.

16 Πρόλογος XVII (vi) Λεπτομερή περιγραφή του προγραμματισμού της αριθμητικής διαδικασίας σε γλώσσα FORTRAN για κάθε πρόβλημα ξεχωριστά, με λογική τέτοια ώστε ο αναγνώστης να μπορεί να συντάσσει μόνος του προγράμματα βασισμένα στη ΒΕΜ για άλλα προβλήματα. (vii) Χρήση των προγραμμάτων για την επίλυση χαρακτηριστικών παραδειγμάτων και ανάλυση της συμπεριφοράς του φυσικού συστήματος. Το βιβλίο εμπλουτίζεται σ όλα τα κεφάλαια με αντιπροσωπευτικές ασκήσεις για την ενίσχυση και ολοκλήρωση της μελέτης της ΒΕΜ. Το CD-ROM που συνοδεύει το βιβλίο περιέχει τους πηγαίους κώδικες όλων των προγραμμάτων που αναπτύσσονται στο σύγγραμμα, ώστε ο σπουδαστής αλλά και ο μηχανικός να μπορεί να τα χρησιμοποιήσει για την επίλυση μίας μεγάλης κατηγορίας προβλημάτων. Μερικά από αυτά είναι της στρέψης, θερμότητας, κάμψεως μεμβρανών και πλακών, ροής ασυμπίεστων ρευστών, ροής ρευστών σε πορώδη μέσα, ηλεκτροστατικών πεδίων σε ισότροπα και ανισότροπα σώματα, καθώς και προβλήματα δίσκων και γενικότερα διδιάστατης ελαστικότητας. Το βιβλίο είναι χρήσιμο για τους μηχανικούς όλων των ειδικοτήτων, όπως εύκολα διαπιστώνει κανείς από τις εφαρμογές. Με το παρόν σύγγραμμα ο συγγραφέας ευελπιστεί ότι θα κάνει ευχάριστη την επαφή του αναγνώστη με τη ΒΕΜ και θα συμβάλει στη διάδοσή της ως σύγχρονου υπολογιστικού εργαλείου επιλύσεως προβλημάτων του μηχανικού. Ο συγγραφέας επιθυμεί να εκφράσει και από της θέσεως αυτής τις ευχαριστίες του προς τους πρώην σπουδαστές του Δρ. Ε. Σαπουντζάκη και Δρ. Μ. Νεραντζάκη, λέκτορες ΕΜΠ, για την ανάγνωση του χειρογράφου και τις εύστοχες παρατηρήσεις τους. Ιδιαίτερες ευχαριστίες εκφράζει στον πρώην σπουδαστή του Δρ. Φ. Κόκκινο, Επίκουρο καθηγητή στο Texas A&M University, για την υπομονετική ανάγνωση του χειρογράφου και τις εποικοδομητικές παρατηρήσεις του τόσο από απόψεως περιεχομένου όσο και από απόψεως εμφανίσεως του βιβλίου. Η αυστηρή κριτική του και η αντίδρασή του λήφθηκαν υπόψη και συνέβαλαν στη επίτευξη των στόχων του βιβλίου. Τέλος ευχαριστίες ανήκουν στο υποψήφιο διδάκτορα κ. Γ. Τσιάτα, πολιτικό μηχανικό ΕΜΠ, για την προσεκτική μελέτη του χειρογράφου, τις εύστοχες παρατηρήσεις, τον έλεγχο πολλών αριθμητικών αποτελεσμάτων και γενικώς για τη συμβολή του στη ελαχιστοποίηση των αβλεψιών του κειμένου. Το βιβλίο γράφτηκε τη τελευταία τριετία στο Εργαστήριο Στατικής και Αντισεισμικών Ερευνών του ΕΜΠ και θα ήταν παράλειψη αν ο συγγραφέας δεν εκφράσει και από τη θέση αυτή τις ευχαριστίες του στη Κα Ντία Τρουλλινού-Υφαντή, ΕΔΤΠ, γραμματέα του Εργαστηρίου, για την έμπειρη δακτυλογράφηση του χειρογράφου. Αθήνα, Μάιος 1999 Ι.Θ. ΚΑΤΣΙΚΑΔΕΛΗΣ

17 XVIII ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Πρόλογος στη 2 η έκδοση Η παρούσα δεύτερη έκδοση του βιβλίου με το νέο τίτλο Συνοριακά Στοιχεία. Θεωρία και Εφαρμογές συμπληρώνεται με το Δεύτερο Μέρος που περιλαμβάνει τέσσερα νέα κεφάλαια, τα Κεφάλαια 7 έως 10, στα οποία παρουσιάζεται η ΒΕΜ για τη στατική και δυναμική ανάλυση των πλακών και των μεμβρανών, καθώς και τα Παραρτήματα C, D και E. Το βιβλίο του συγγραφέα Η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων στην Επιστήμη του Μηχανικού. Θεωρία και Εφαρμογές, εκδόθηκε για πρώτη φορά στην Ελληνική το 1999 (έκδοση Συμεών, Αθήνα) και ακολούθησε η Αγγλική έκδοση το 2002 με τον τίτλο Boundary Elements. Theory and Applications από το διεθνή εκδοτικό οίκο Elsevier, London, UK. Η Αγγλική έκδοση έτυχε μεγάλης αποδοχής διεθνώς ως διδακτικό σύγγραμμα για τη διδασκαλία της ΒΕΜ. Τούτο επιβεβαιώνει η μετάφρασή του στην Ιαπωνική από τον Καθ. Masa Tanaka του Shinshu University, Nagano, (έκδοση Asakura, Tokyo, 2004), η μετάφραση του στη Ρωσική από τον Καθ. Sergey Aleynikov του Voronezh State Architecture and Civil Engineering University (έκδοση Издателъство АВС, Publishing House of the Russian Civil Engineering Universities, Moscow, 2007) καθώς και η πρόσφατη μετάφραση του στη Σερβική από τον Καθ. Dragan Spasic του Πανεπιστημίου του Novi Sad (έκδοση Gradjevinska Knjiga, Belgrade, 2011). Και οι τρεις καθηγητές, οι οποίοι είναι γνωστοί για την ερευνητική και συγγραφική ενασχόλησή τους με τα Συνοριακά Στοιχεία και γενικότερα με τη μηχανική, επέλεξαν για μετάφραση το βιβλίο ως διδακτικό σύγγραμμα (text book) μεταξύ αρκετών άλλων που κυκλοφορούν διεθνώς, ύστερα από την ευμενή υποδοχή της Αγγλικής εκδόσεως και αφού προηγουμένως έλεγξαν την καταλληλότητά του ως διδακτικού συγγράμματος για τη χρήση του από τους φοιτητές των Ιαπωνικών, Ρωσικών και Σερβικών πανεπιστημίων. Η επιτυχία αυτή της πρώτης εκδόσεως ενεθάρρυνε το συγγραφέα να ετοιμάσει και το Δεύτερο Μέρος που αναφέρεται στις πλάκες και τις μεμβράνες. Η άμεση ΒΕΜ αναπτύχθηκε για την ανάλυση των πλακών στη δεκαετία του 1980 και χρησιμοποιήθηκε έκτοτε ευρέως ως εργαλείο για την έρευνα της συμπεριφοράς των πλακών. Στη διεθνή βιβλιογραφία απαντάται πλήθος δημοσιεύσεων σχετικά με τη ΒΕΜ για πλάκες. Επίσης η μέθοδος παρουσιάζεται και σε μερικά συγγράμματα για την ΒΕΜ ως ανεξάρτητο Κεφάλαιο, στα οποία όμως η ανάπτυξή της είναι συνοπτική και απευθύνεται κυρίως σε ερευνητές. Ως εκ τούτου δεν προσφέρεται για την κατανόησή της από το σπουδαστή και γενικά για τον ενδιαφερόμενο να ασχοληθεί με το αντικείμενο αυτό. Κατά μεγάλο μέρος η ΒΕΜ για πλάκες, όπως παρουσιάζεται εδώ, είναι προϊόν της μακράς ερευνητικής ενασχολήσεως του συγγραφέα με το αντικείμενο και

18 Πρόλογος XIX της συμβολής του σ αυτό. Παρόλο που η ύλη του Δεύτερου Μέρους κυκλοφορούσε ως σημειώσεις προς χρήση των μεταπτυχιακών σπουδαστών πριν από αρκετά χρόνια, η εμφάνισή της σε σύγγραμμα γίνεται κάπως καθυστερημένα. Η καθυστέρηση οφείλεται εν μέρει και στο γεγονός, ότι πολλά από τα προβλήματα της ΒΕΜ για τις πλάκες δεν είχαν επαρκώς αντιμετωπιστεί. Η πρώτη εμφάνιση της ΒΕΜ για πλάκες, όπως παρουσιάζεται εδώ, έγινε σε δύο πρόσφατες αυτοτελείς εκδόσεις του ΕΜΠ (2009 και 2010) για αποκλειστική χρήση των φοιτητών που παρακολουθούν το μάθημα των Συνοριακών Στοιχείων στη Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Το περιεχόμενο του Πρώτου Μέρος αναφέρεται στη ΒΕΜ για τα προβλήματα δυναμικού και της ελαστικότητας, και περιγράφεται στον Πρόλογο της 1 ης εκδόσεως. Το Δεύτερο Μέρος αναφέρεται στη ΒΕΜ για τις πλάκες και τις μεμβράνες. Η παρουσίαση της ΒΕΜ για πλάκες γίνεται συστηματικά και ολοκληρωμένα. Η ύλη οργανώνεται κατά τρόπο ώστε να είναι εύκολα κατανοητή λαμβάνοντας υπόψη τις γνώσεις μαθηματικών και μηχανικής που ο σπουδαστής απέκτησε κατά τις προπτυχιακές του σπουδές. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζεται πρώτα η μαθηματική θεωρία του προβλήματος των λεπτών πλακών καταλήγοντας στη διατύπωση της εξισώσεως της πλάκας με ιδιαίτερη έμφαση στη διευκρίνιση των συνοριακών συνθηκών. Ακολουθεί η ανάπτυξη της άμεσης ΒΕΜ για τη διαρμονική εξίσωση, διατυπώνοντας την ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως και τις ολοκληρωτικές εξισώσεις. Τέλος παρουσιάζεται η αριθμητική επίλυση των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων και ο υπολογισμός των εντατικών μεγεθών. Παρατίθεται το πρόγραμμα υπολογιστή εξηγώντας βήμα προς βήμα τη λογική του. Ο κώδικας σε γλώσσα FORTRAN διατίθεται σε ηλεκτρονική μορφή. Τα αριθμητικά παραδείγματα δεικνύουν την αποτελεσματικότητα και την ακρίβεια της μεθόδου και εξοικειώνουν τον αναγνώστη στη χρήση του προγράμματος. Στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζεται η ΒΕΜ για την ανάλυση πιο σύνθετων προβλημάτων πλακών, όπως της κάμψεως πλακών με σύγχρονη δράση μεμβρανικών (συνεπίπεδων) δυνάμεων, λυγισμού πλακών, πλακών επί ελαστικού εδάφους, μεγάλων παραμορφώσεων πλακών, μεταλυγισμικής συμπεριφοράς πλακών, πλακών μεταβλητού πάχους και χοντρών πλακών. Στο Κεφάλαιο 9 αναπτύσσεται η ΒΕΜ για τα δυναμικά προβλήματα πλακών, γραμμικά και μη γραμμικά, όπως οι ελεύθερες και εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με ή χωρίς συνεπίπεδες δυνάμεις, ο λυγισμός πλακών με το δυναμικό κριτήριο λυγισμού καθώς και το πρόβλημα πτερυγισμού (flutter) των πλακών, γραμμικό και μη γραμμικό, το οποίο έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις πλάκες που υποβάλλονται σε αεροδυναμικά φόρτια, όπως οι πτέρυγες των αεροσκαφών. Τέλος στο Κεφάλαιο 10 αναπτύσσεται η ΒΕΜ για τη μη γραμμική στατική και δυναμική ανάλυση των μεμβρανών, οι οποίες ουσιαστικά συμπεριφέρονται ως πλάκες με αμελητέα καμπτική αντίσταση. Το Παράρτημα C περιέχει τις παραγώγου των πυρήνων και μέθοδο υπολογισμού της

19 XX ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ εφαπτομενικής παραγώγου, ενώ το Παράρτημα D περιλαμβάνει μία νέα αποτελεσματική μέθοδο αριθμητικής ολοκληρώσεως των εξισώσεων κινήσεως, γραμμικών και μη γραμμικών, η οποία χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Όλα τα προβλήματα πλακών και μεμβρανών, στατικά και δυναμικά, των οποίων η θεμελιώδης λύση δεν υπάρχει ή απαιτεί πολύπλοκους μαθηματικούς χειρισμούς, επιλύονται με τη μέθοδο της Αναλογικής Εξισώσεως, ΑΕΜ, χρησιμοποιώντας τη θεμελιώδη λύση της διαρμονικής εξισώσεως. Επομένως η μελέτη και η πλήρης κατανόηση του Κεφαλαίου 7 αποτελεί βασική προϋπόθεση για τη μελέτη των επομένων κεφαλαίων. Κλείνοντας ο συγγραφέας επιθυμεί να εκφράσει και από τη θέση αυτή τις ευχαριστίες του προς το Δρ. Πολ. Μηχ. Α. Γιώτη, πρώην διδακτορικό σπουδαστή του, για την ανάγνωση του χειρογράφου των κεφαλαίων του Δεύτερου Μέρους, τις εύστοχες παρατηρήσεις του και την εν γένει συμβολή του στην ελαχιστοποίηση των αβλεψιών του κειμένου. Τέλος θερμές ευχαριστίες ανήκουν στο επίσης πρώην διδακτορικό σπουδαστή του, Δρ. Πολ. Μηχ. Ν. Μπαμπούσκο, όχι μόνο για την προσεκτική μελέτη του χειρογράφου και τις εύστοχες παρατηρήσεις, αλλά και για τη συνδρομή του στην παραγωγή των αριθμητικών αποτελεσμάτων των παραδειγμάτων, τα περισσότερα των οποίων περιέχονται σε κοινές δημοσιεύσεις. Αθήνα, Ιανουάριος 2012 Ι.Θ. ΚΑΤΣΙΚΑΔΕΛΗΣ

20 Πρόλογος XXI Σχήμα Ι Εξώφυλλο της Αγγλικής, Ιαπωνικής, Ρωσικής και Σερβικής Εκδόσεως.

21 XXII ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

22 ΜΕΡΟΣ Ι ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

23

24 Κεφάλαιο I Εισαγωγή Ι.1 Σκοπός του βιβλίου Αφότου η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων, BEM (Boundary Εlement Μethod), εδώ και 35 χρόνια, έγινε προσφιλές αντικείμενο έρευνας, έχουν εκδοθεί αρκετά βιβλία για τη μέθοδο αυτή [1-15]. Τα βιβλία αυτά παρουσιάζουν το θεωρητικό υπόβαθρο και την αριθμητική διαδικασία εφαρμογής του σύγχρονου αυτού εργαλείου αναλύσεως. Κατόπιν τούτου τίθεται το ερώτημα τί εξυπηρετεί η συγγραφή ενός ακόμη βιβλίου για το γνωστικό αυτό αντικείμενο. Η απάντηση είναι απλή. Όλα τα μέχρι σήμερα βιβλία, ενώ δίδουν μία πλήρη περιγραφή της μεθόδου, είναι ως επί το πλείστον συνοπτικά γραμμένα και θα έλεγε κανείς ότι έχουν ακαδημαϊκό χαρακτήρα απευθυνόμενα κυρίως στον επιστήμονα που ήδη έχει εκτεθεί στη μέθοδο και όχι στο σπουδαστή που έρχεται σε επαφή με την BΕΜ για πρώτη φορά. Επιπλέον, επειδή η BΕΜ ως σύγχρονο εργαλείο επιλύσεως προβλημάτων μηχανικού απευθύνεται σε μηχανικούς, πρέπει να παρουσιασθεί κατά τρόπο κατανοητό από αυτούς δεδομένου ότι η ανάγκη χρησιμοποιήσεως προχωρημένων μαθηματικών παρασύρει κυρίως τους συγγραφείς στην παρουσίαση της μεθόδου ως θέμα των εφαρμοσμένων μαθηματικών μάλλον, παρά ως εργαλείο του μηχανικού για την επίλυση των προβλημάτων του. Π.χ. η χρήση τανυστών, ενώ επιτρέπει κομψή διατύπωση των σχέσεων, απωθεί το σπουδαστή μηχανικό. Για το σκοπό αυτό στο παρόν σύγγραμμα η διατύπωση της μεθόδου και η εξαγωγή των σχέσεων γίνεται με μόνο εργαλείο τις γνώσεις του σπουδαστή από το διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό και την αριθμητική ολοκλήρωση. Επειδή στόχος του παρόντος συγγράμματος είναι η κατανόηση της BΕΜ, και όχι μία πλήρης παρουσίαση όλων των δυνατοτήτων της μεθόδου, η εφαρμογή της περιορίζεται σε απλά σχετικώς προβλήματα, δηλαδή σε προβλήματα συνοριακών τιμών που διέπονται από την εξίσωση Laplace ή Poisson σε δύο διαστάσεις, στο πρόβλημα της επίπεδης

25 2 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ελαστικότητας και σε στατικά και δυναμικά προβλήματα πλακών και μεμβρανών. Ένα μεγάλο μέρος του βιβλίου αναφέρεται στην αριθμητική υλοποίηση της μεθόδου και σε εφαρμογές της σε προβλήματα του μηχανικού. Σ όλες τις περιπτώσεις συντάσσονται προγράμματα Η/Υ σε γλώσσα FORTRAN. Τα προγράμματα αυτά, αν και επιλύουν σημαντικά προβλήματα του μηχανικού, δεν είναι επαγγελματικά. Στοχεύουν κυρίως στην παρουσίαση της λογικής της δομής τους και στην εξοικείωση του σπουδαστή στη σύνταξη λογισμικού για BΕΜ. Ελπίζω ότι το βιβλίο αυτό θα βοηθήσει τόσο το σπουδαστή όσο και το μηχανικό της παραγωγής, στην κατανόηση της BΕΜ και στη χρήση του υπάρχοντος λογισμικού της για την επίλυση των προβλημάτων τους. Πλέον δε τούτου πιστεύω ότι θα συμβάλει στην ευρύτερη αποδοχή της BΕΜ ως της πλέον σύγχρονης υπολογιστικής μεθόδου. Ι.2 Συνοριακά Στοιχεία και Πεπερασμένα Στοιχεία Η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων αποτελεί τεχνική αναλύσεως της συμπεριφοράς των μηχανικών συστημάτων και ειδικότερα των κατασκευών του μηχανικού, που υποβάλλονται σε εξωτερική φόρτιση. Ο όρος φόρτιση χρησιμοποιείται εδώ με τη γενικευμένη του σημασία, δηλαδή δηλώνει το εξωτερικό αίτιο που προκαλεί μη μηδενική συνάρτηση πεδίου εντός του συστήματος (θερμοκρασιακό πεδίο, πεδίο μετατοπίσεων, πεδίο τάσεων κλπ.), μπορεί δε να είναι θερμότητα, επιφανειακές ή μαζικές δυνάμεις ή ακόμη και μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες, π.χ. υποχωρήσεις στηρίξεως. Η μελέτη της συμπεριφοράς των κατασκευών επιτυγχάνεται σήμερα με τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο λόγος είναι προφανής. Το μικρό κόστος της αριθμητικής έναντι της δαπανηρής πειραματικής προσομοιώσεως. Με την αριθμητική προσομοίωση μπορεί να μελετηθεί μεγάλη ποικιλία φορτίσεων και γεωμετριών μιας κατασκευής και να προσδιορισθεί η βέλτιστη λύση σχεδιασμού, πριν προβούμε στη σύνθεση της. Η μέθοδος με την οποία γίνεται η αριθμητική ανάλυση των κατασκευών τα τελευταία 50 χρόνια είναι κυρίως η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, FEM (Finite Element Method). Είναι η μέθοδος με την οποία επιλύονται ρεαλιστικά προβλήματα του μηχανικού, δηλαδή ανάλυση κατασκευαστικών στοιχείων με τυχούσα γεωμετρία, τυχούσα φόρτιση, ποικιλία καταστατικών σχέσεων, με γραμμική και μη γραμμική συμπεριφορά, σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Δικαιολογημένα λοιπόν η FEM χαίρει της εκτιμήσεως των μηχανικών τα τελευταία 50 χρόνια ως σύγχρονου υπολογιστικού εργαλείου. Ευλόγως λοιπόν προκύπτει το ερώτημα, τι χρειάζεται η BΕΜ αφού υπάρχει η FEM που μπορεί να λύσει τα προβλήματα του μηχανικού. Η απάντηση είναι ότι η προσομοίωση με πεπερασμένα στοιχεία είναι αναποτελεσματική και

26 Κεφάλαιο Ι Ειασαγωγή 3 επίπονη για πολλές κατηγορίες προβλημάτων. Έτσι η FEM παρά τη γενικότητα εφαρμογής της στα προβλήματα του μηχανικού, δεν είναι απαλλαγμένη μειονεκτημάτων. Τα σπουδαιότερα των οποίων είναι: (a) FEM (b) BEM Σχήμα Ι.1 (α) Πεδιακή (FEM) και (b) συνοριακή (BEM) διακριτοποίηση. (i) Η διακριτοποίηση γίνεται σ ολόκληρο το χωρίο που καταλαμβάνει το σώμα. Έτσι η μόρφωση του προσομοιώματος με πεπερασμένα στοιχεία και ο έλεγχος του παρουσιάζουν δυσκολία και απαιτούν μεγάλο χρόνο, όταν η γεωμετρία του σώματος δεν είναι απλή, π.χ. όταν υπάρχουν οπές

27 4 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ή εγκοπές απαιτείται πύκνωση των στοιχείων στις περιοχές εντόνων μεταβολών (Σχ. Ι.1a). (ii) Η αλλαγή του προσομοιώματος για αναζήτηση καλύτερης λύσεως είναι δύσκολη και απαιτεί πολύ χρόνο. (iii) Για χωρία άπειρων διαστάσεων, π.χ. ημίχωρος ή το συμπληρωματικό πεπερασμένου χωρίου, απαιτείται η επινόηση τεχνητών κλειστών συνόρων. Τούτο μειώνει την ακρίβεια και σε ορισμένες περιπτώσεις δίδει ψευδείς λύσεις. (iv) Για προβλήματα που περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις τάξεως³ 4, όπως π.χ. για εξισώσεις πλακών ή κελυφών τάξεως έκτης, όγδοης ή μεγαλύτερης, οι απαιτήσεις συμβιβαστού απαιτούν τόσο επίπονη εργασία ώστε η FEM να είναι πρακτικά ανεφάρμοστη. Με τη FEM η συνάρτηση πεδίου, η οποία αποτελεί την άγνωστο του προβλήματος, υπολογίζεται με ακρίβεια. Για τον υπολογισμό όμως των παραγώγων, η FEM παρουσιάζεται ως αναποτελεσματική. Η ακρίβεια μειώνεται σημαντικά στις περιπτώσεις συγκεντρώσεως τάσεων. Τα μειονεκτήματα (i) και (ii) αντιμετωπίζονται σήμερα από τις εξελιγμένες εκδόσεις προηγμένων επαγγελματικών κωδίκων για πεπερασμένα στοιχεία, π.χ. NASTRAN, που διαθέτουν αυτόματους και προσαρμοζόμενους γεννήτορες δικτύων πεπερασμένων στοιχείων. Ουσιαστικά η δημιουργία δικτύων πεπερασμένων στοιχείων αποτελεί δύσκολο γεωμετρικό πρόβλημα, ίσως δυσκολότερο, όπως αποδείχθηκε, από το φυσικό πρόβλημα που καλείται να επιλύσει η FEM. Το νέο μειονέκτημα όμως που προκύπτει είναι ότι οι κώδικες αυτοί δεν είναι ανοικτοί. Η δε προσπάθεια κατασκευής τους απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις που αποτελούν αντικείμενο άλλης επιστημονικής περιοχής [16]. Προσπάθεια δε του μηχανικού να τις αποκτήσει θα τον εξέτρεπε από τον αντικειμενικό του στόχο, που είναι η λύση του φυσικού προβλήματος. Αντιθέτως, η BΕΜ παρουσιάζει πλεονεκτήματα, τα σπουδαιότερα των οποίων είναι: (i) Επειδή η διακριτοποίηση περιορίζεται στο σύνορο, η BΕΜ καθιστά την αριθμητική προσομοίωση εύκολη (βλ. Σχ. Ι.1b) και περιορίζει το πλήθος των αγνώστων κατά μία τάξη. (ii) Για απείρως εκτεινόμενα χωρία, το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξωτερικό χωρίς να παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία. Φυσικά η θεμελιώδης λύση πρέπει να ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες στο άπειρο π.χ. συνθήκη ακτινοβολίας του Sommerfeld για δυναμικά προβλήματα. Έτσι προγράμματα υπολογιστή που είναι γραμμένα για πεπερασμένα χωρία, με μικρή προσαρμογή, λύνουν προβλήματα σε απείρως εκτεινόμενα χωρία. Τούτο δεν συμβαίνει με τη FEM.

28 Κεφάλαιο Ι Ειασαγωγή 5 (iii) Είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική για τον υπολογισμό των παραγώγων της συναρτήσεως πεδίου (π.χ. τάσεων, ροπών). Μπορεί να χειρισθεί εύκολα συγκεντρωμένες δυνάμεις και ροπές στο εσωτερικό και στο σύνορο. (iv) Επιτρέπει τον υπολογισμό της λύσεως και των παραγώγων της σ όποια σημεία μας ενδιαφέρουν και όποτε θέλουμε χρησιμοποιώντας την ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως ως μαθηματικό τύπο. Τούτο δεν είναι δυνατό με την FEM, όπου η λύση λαμβάνεται μόνο στα κομβικά σημεία. (v) Προσφέρεται για την επίλυση προβλημάτων σε χωρία με γεωμετρικές ανωμαλίες, όπως ρωγμές. FEM BEM Σχήμα Ι.2 Μητρώα συντελεστών αγνώστων για FEM και BEM Τα κύρια μειονεκτήματα της BΕΜ είναι: (i) Η εφαρμογή της BΕΜ βασίζεται στη γνώση της θεμελιώδους λύσεως. Έτσι για προβλήματα των οποίων η θεμελιώδης λύση δεν είναι γνωστή ή δεν μπορεί να προσδιορισθεί, π.χ. για διαφορικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές, η μέθοδος δεν μπορεί να εφαρμοσθεί. Η αδυναμία εφαρμογής της BΕΜ είναι προφανής για μη γραμμικά προβλήματα, όπου δεν ισχύει η επαλληλία. Τα ανωτέρω αποτελούν βασικά μειονεκτήματα της μεθόδου. Η εφαρμογή της BΕΜ στα προβλήματα αυτά οδηγεί σε πεδιακά ολοκληρώματα των οποίων ο υπολογισμός απαιτεί πεδιακή διακριτοποίηση, γεγονός το οποίο προφανώς αλλοιώνει τον αμιγώς συνοριακό χαρακτήρα της BΕΜ. Τα ανωτέρω μειονεκτήματα αντιμετωπίζει μερικώς η Μέθοδος της Δυϊκής Αμοιβαιότητας (DRM - Dual Reciprocity Method) και πλήρως η Μέθοδος της Αναλογικής Εξισώσεως (AEM - Analog Εquation Method).

29 6 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (ii) Η αριθμητική υλοποίηση της BΕΜ οδηγεί σε συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, των οποίων τα μητρώα συντελεστών των αγνώστων είναι πλήρη και μη συμμετρικά, εν αντιθέσει με την FEM, όπου τα αντίστοιχα μητρώα είναι μη πλήρη και συμμετρικά. Το μειονέκτημα αυτό αντισταθμίζεται με τις πολύ μικρότερες διαστάσεις των μητρώων της BΕΜ. Παραστατικά τούτο φαίνεται στο Σχ. Ι.2. Το μειονέκτημα αυτό είναι ήσσονος σημασίας σήμερα, διότι οι σύγχρονοι υπολογιστές, ακόμη και οι φορητοί, επιλύουν ταχύτατα συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων μεγάλων διαστάσεων. Ι.3 Ιστορική εξέλιξη της BΕΜ Η BΕΜ ήταν γνωστή μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 80 ως Μέθοδος Συνοριακών Ολοκληρωτικών Εξισώσεων, BΙΕΜ (Boundary Integral Equation Method). Ως μέθοδος επιλύσεως προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής έχει τις ρίζες της στο έργο του G. Green [17], ο οποίος το 1828 διατύπωσε την ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως των προβλημάτων Dirichlet και Neumann που διέπονται από την εξίσωση Laplace, εισάγοντας την έννοια της συναρτήσεως Green για τα εν λόγω προβλήματα. Ο Betti [18] το 1872 διετύπωσε γενική μέθοδο ολοκληρώσεως των εξισώσεων ελαστικότητας, όπου η λύση λαμβάνεται υπό μορφή ολοκληρωτικής παραστάσεως. Ουσιαστικά πρόκειται για την εφαρμογή της μεθόδου του Green στις εξισώσεις Navier. Ο Somigliana [19] το 1885, με βάση το θεώρημα αμοιβαιότητας του Betti, διετύπωσε ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως του προβλήματος ελαστικότητας, στην οποία εμφανίζονται οι μαζικές δυνάμεις και οι συνοριακές μετατοπίσεις και τάσεις. Εκείνος όμως, στον οποίο θα μπορούσε να αποδοθεί η πατρότητα της μεθόδου, είναι ο Fredholm. Είναι ο πρώτος που στην αρχή του προηγούμενου αιώνα χρησιμοποίησε ιδιόμορφες συνοριακές ολοκληρωτικές εξισώσεις για να προσδιορίσει τα άγνωστα συνοριακά μεγέθη σε προβλήματα της θεωρίας του δυναμικού [20]. Στην πραγματικότητα η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε ως μαθηματικό εργαλείο ευρέσεως των απαραίτητων συνοριακών συνθηκών σε ένα καλά διατυπωμένο πρόβλημα της μαθηματικής φυσικής και όχι ως μέθοδος ευρέσεως της λύσεως προβλήματος. Αυτό είναι εύλογο, αφού οι ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις που προέκυψαν δεν ήταν δυνατό να λυθούν. Εκτός από τις ανωτέρω μεθόδους που χαρακτηρίζονται ως άμεσες (direct) BEM, στις οποίες τα άγνωστα συνοριακά μεγέθη έχουν φυσική ή γεωμετρική σημασία, ανεπτύχθησαν και οι έμμεσες (indirect) BEM, στις οποίες τα άγνωστα συνοριακά μεγέθη δεν έχουν φυσικό νόημα [21-23]. Λεπτομέρειες για τις μεθόδους αυτές μπορεί να βρει ο ενδιαφερόμενος στην εργασία [24]. Μέθοδοι συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων για την επίλυση προβλημάτων επίπεδης ελαστικότητας χρησιμοποιώντας μιγαδικές συναρτήσεις έχουν διατυπωθεί από τους Sherman [25, 26], Mikhlin [27] και Muskhelishvili [28].

30 Κεφάλαιο Ι Ειασαγωγή 7 Κλειστές λύσεις των ολοκληρωτικών εξισώσεων έχουν επιτευχθεί, στις περιπτώσεις χωρίων με απλή γεωμετρία συνόρου. Έτσι, η μέθοδος των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων παρέμεινε ξεχασμένη μέχρι το τέλος της δεκαετίας του 50, οπότε με την εμφάνιση των υπολογιστών επανήλθε στο προσκήνιο ως αποτελεσματική αριθμητική μέθοδος επιλύσεως προβλημάτων του μηχανικού. Αναπτύχθηκαν μέθοδοι αριθμητικής επιλύσεως των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων και επιλύθηκαν δύσκολα προβλήματα, στα οποία το σύνορο ήταν πολύπλοκο και τα οποία δεν μπορούσαν να επιλυθούν με άλλες μεθόδους. Οι πρώτες εργασίες που έθεσαν τη βάση της BΕΜ ως υπολογιστικής μεθόδου εμφανίσθηκαν στις αρχές της δεκαετίας του 60. Οι Jaswon [29] και Symm [30] χρησιμοποίησαν τις εξισώσεις του Fredholm και έλυσαν μερικά προβλήματα διδιάστατης ροής δυναμικού [31, 32]. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου, που αναφέραμε στην Παράγραφο Ι.2, προσέλκυσαν τους ερευνητές ν αναπτύξουν τη μέθοδο. Ο Rizzo [33] εφάρμοσε την μέθοδο σε προβλήματα ελαστικότητας σε δύο διαστάσεις και ο Cruse [34] σε τρεις διαστάσεις. Οι Rizzo και Shippy [35] επέκτειναν τη μέθοδο στην ανισότροπη ελαστικότητα και οι Cruse και Rizzo [36] έδωσαν τη λύση του ελαστοδυναμικού προβλήματος. Οι Ignaczak και Nowacki [37] διατύπωσαν τις ολοκληρωτικές εξισώσεις στη θερμοελαστικότητα και ο Mendelson [38] έλυσε προβλήματα ελαστοπλαστικής στρέψεως. Όλα τα ανωτέρω προβλήματα διέπονται από μερικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως. Μία άλλη ομάδα προβλημάτων είναι αυτά που περιγράφονται με τη διαρμονική εξίσωση. Η ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως στην περίπτωση αυτή προκύπτει από την ταυτότητα Rayleigh-Green [39]. Επιλύθηκαν προβλήματα κάμψεως πλακών και επίπεδης ελαστικότητας διατυπωμένα με την τασική συνάρτηση Airy. Στην προκειμένη περίπτωση οι συνοριακές ολοκληρωτικές εξισώσεις είναι δύο, ισάριθμες δηλαδή προς τα άγνωστα συνοριακά μεγέθη. Η πρώτη προκύπτει από τη συνοριακή μορφή της ολοκληρωτικής παραστάσεως της τασικής συναρτήσεως, ενώ η δεύτερη λαμβάνεται από την ολοκληρωτική παράσταση είτε της Λαπλασιανής της τασικής συναρτήσεως είτε της κατά την κάθετο προς το σύνορο παράγωγό της. Η δεύτερη παραλλαγή, που διατυπώθηκε από τους Katsikadelis et al. [40], είναι η επικρατέστερη και υιοθετήθηκε από τους Bezine [41] και Stern [42] για την επίλυση του προβλήματος κάμψεως πλακών. Εκτεταμένη και λεπτομερής παρουσίαση προβλημάτων κάμψεως που επιλύονται με την BΕΜ περιέχονται στο [43] και στο Κεφάλαιο 7. Στο τέλος της δεκαετίας του 1980 η διεθνής βιβλιογραφία έχει κατακλυστεί από δημοσιεύσεις, όπου η μέθοδος συνοριακών εξισώσεων εφαρμόζεται για την επίλυση πλήθους προβλημάτων του μηχανικού. Μεταξύ αυτών είναι προβλήματα ελαστικά και ανελαστικά, γραμμικά και μη γραμμικά της στατικής και δυναμικής δίσκων, πλακών και κελυφών, προβλήματα ελαστοδυναμικής και αντισεισμικής μηχανικής, γεωμηχανικής και θεμελιώσεων, αλληλεπιδράσεως εδάφους κατασκευής, αλληλεπιδράσεως ρευστών και κατασκευής, δυναμικής των ρευστών, μονόπλευρης επαφής,

31 8 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ θραυστομηχανικής, ηλεκτρισμού και ηλεκτρομαγνητισμού, αγωγής θερμότητας, ακουστικής, αεροδυναμικής, διαβρώσεως, βελτιστοποιήσεως, αναλύσεως ευαισθησίας, αντίστροφα προβλήματα και προβλήματα αναγνωρίσεως συστημάτων, κλπ.. Μπορούμε να πούμε ότι η BΕΜ σήμερα αποτελεί ώριμη μέθοδο αναλύσεως προβλημάτων του μηχανικού. Έχει αναπτυχθεί λογισμικό για υπολογιστές απλής και παράλληλης αρχιτεκτονικής, καθώς και επαγγελματικά προγράμματα Η/Υ μεγάλων δυνατοτήτων όπως π.χ. το BΕΑSY [44]. Το 1978 ο C. Brebbia διοργάνωσε το πρώτο διεθνές συνέδριο για την BEM. Η μέθοδος έχει ήδη καθιερωθεί με το όνομα BΕΜ (Boundary Element Method) από τον τρόπο επιλύσεως των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων. Τα συνέδρια για την BΕΜ διοργανώνεται έκτοτε κάθε χρόνο από την ISBE (International Society for Boundary Elements). Τα ειδικά αυτά συνέδρια μαζί με αυτά της σειράς BeTeq και αυτά που διοργανώνει η ΙΑBΕΜ (International Association for Boundary Elements) αποτελούν διεθνές fοrum όπου κάθε χρόνο οι ερευνητές της BΕΜ παρουσιάζουν το νέο έργο τους. Λεπτομερής αναφορά στο πολυάριθμο αυτό έργο θα απαιτούσε πολύ χώρο. Ο ενδιαφερόμενος παραπέμπεται σε άρθρα ανασκοπήσεως, π.χ. [45-48], στα πρακτικά των ανωτέρω συνεδρίων (BΕΜ, ΙΑBΕΜ, BeTeq) και σε πλήθος συγγραμμάτων του εκδοτικού οίκου Computational Mechanics Publications, Southampton. Οι νέες εξελίξεις στην BΕΜ προσπαθούν να αντιμετωπίσουν τα μειονεκτήματα της μεθόδου. Ειδικώς προσπαθούν να αντιμετωπίσουν προβλήματα γραμμικά στα οποία η θεμελιώδης λύση δεν είναι γνωστή, μη γραμμικά προβλήματα, δυναμικά προβλήματα, και γενικώς προβλήματα που περιγράφονται από εξελικτικού τύπου διαφορικές εξισώσεις. Στα προβλήματα αυτά εμφανίζονται πεδιακά ολοκληρώματα και ως εκ τούτου δυσχεραίνουν τη χρήση της μεθόδου. Οι πλέον υποσχόμενες μέθοδοι που επιτρέπουν την αντιμετώπιση των προβλημάτων της ΒΕΜ και την καθιστούν αμιγώς συνοριακή, είναι η Μέθοδος της Δυαδικής Αμοιβαιότητας, DRM (Dual Reciprocity Method) [49], η οποία όμως υπόκειται σ ορισμένους περιορισμούς, και η Μέθοδος της Αναλογικής Εξισώσεως, ΑΕΜ (Analog Equation Method) [50-53]. Η δεύτερη είναι γενική και απαλλαγμένη από περιορισμούς της πρώτης. Ι.4 Η δομή του βιβλίου Όπως αναφέραμε στη Παράγραφο Ι.1 ο σκοπός του βιβλίου είναι η παρουσίαση της BΕΜ κατά τρόπο ώστε η μέθοδος να γίνει κατανοητή στο σπουδαστή μηχανικό. Έτσι περιορίζεται η εφαρμογή της στα πλέον αντιπροσωπευτικά προβλήματα. Με βάση την ανωτέρω αρχή το βιβλίο περιέχει, πλέον της εισαγωγής, 10 κεφάλαια και 5 παραρτήματα. Κάθε κεφάλαιο περιλαμβάνει σχετική βιβλιογραφία και προτείνονται συγγράμματα για περαιτέρω μελέτη. Επίσης περιέχονται ασκήσεις προς λύση που στοχεύουν στην κατανόηση της ύλης.

32 Κεφάλαιο Ι Ειασαγωγή 9 Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζονται ορισμένες προκαταρτικές γνώσεις από τα μαθηματικά απαραίτητες για την ανάπτυξη της BΕΜ. Περιλαμβάνουν το θεώρημα αποκλίσεως του Gauss, την ταυτότητα αμοιβαιότητας του Green (δεύτερο θεώρημα Green) και τον ορισμό της συναρτήσεως δέλτα μαζί με τις ιδιότητές της. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται η άμεση BΕΜ, όπως εφαρμόζεται για την επίλυση προβλημάτων δυναμικού, δηλαδή προβλημάτων συνοριακών τιμών για τις εξισώσεις Laplace και Poisson στις δύο διαστάσεις. Επεκτείνεται δε και στη γενική μερική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως με σταθερούς συντελεστές που διέπουν τα ομογενή ορθότροπα και γενικώς ανισότροπα σώματα. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται η διαδικασία αριθμητικής επιλύσεως των ιδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων. Για εκπαιδευτικούς λόγους η επίλυση γίνεται με σταθερά συνοριακά στοιχεία και συντάσσεται πρόγραμμα Η/Υ σε γλώσσα FORTRAN, η δομή του οποίου περιγράφεται συστηματικά, ώστε ο σπουδαστής να εξοικειωθεί με τη λογική συντάξεως λογισμικού για την BΕΜ. Η μέθοδος επεκτείνεται και σε χωρία με οπές, όπου παρατίθεται το σχετικό πρόγραμμα Η/Υ. Τέλος παρουσιάζεται η μέθοδος υποπεριοχών (διαχωρισμού του πεδίου σε υποπεριοχές) για την BΕΜ. Το Κεφάλαιο 4 αφιερώνεται στην τεχνολογία του συνοριακού στοιχείου. Παρουσιάζεται η αριθμητική ολοκλήρωση ιδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων με συνοριακά στοιχεία, υποπαραμετρικά, ισοπαραμετρικά και υπερπαραμετρικά με ιδιαίτερη έμφαση στα γραμμικά και παραβολικά. Μεγάλο μέρος του κεφαλαίου αυτού ασχολείται με τον υπολογισμό των ιδιόμορφων και υπεριδιόμορφων ολοκληρωμάτων. Το Κεφάλαιο 5 περιλαμβάνει εφαρμογές της BΕΜ σε προβλήματα του μηχανικού που η λύση τους ανάγεται στην επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση Laplace ή Poisson. Συγκεκριμένα η BΕΜ εφαρμόζεται στο πρόβλημα της στρέψεως Saint-Venant για ισότροπα και ανισότροπα υλικά, κάμψεως μεμβρανών και απλά εδραζομένων πλακών, αγωγής θερμότητας και αστρόβιλης ροής ασυμπιέστων ρευστών. Συντάσσονται προγράμματα Η/Υ για κάθε περίπτωση και επιλύονται παραδείγματα. Στο Κεφάλαιο 6 εφαρμόζεται η BΕΜ στην επίλυση του προβλήματος της επίπεδης ελαστικότητας. Λόγω της ιδιαίτερης δυσκολίας του αντικειμένου, η εξαγωγή της θεμελιώδους λύσεως και η διατύπωση των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων παρουσιάζονται κατά τρόπο απλό ώστε ο σπουδαστής να μπορέσει να ακολουθήσει όλα τα βήματα και να κατανοήσει το θέμα. Συντάσσεται πρόγραμμα Η/Υ και παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα με σκοπό να εξοικειώσουν τον σπουδαστή στη χρήση του προγράμματος αφενός και να καταδείξουν την αποτελεσματικότητα της μεθόδου αφετέρου.

33 10 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζεται η ΒΕΜ για τη στατική επίλυση λεπτών πλακών υπό κάμψη. Αναπτύσσεται συνοπτικά η θεωρία Kirchhoff για τις λεπτές πλάκες, των οποίων η συμπεριφορά περιγράφεται από μερική διαφορική εξίσωση τετάρτης τάξεως ως προς την εγκάρσια μετατόπιση (βέλος κάμψεως). Η εξαγωγή της διαφορικής εξισώσεως γίνεται με την ενεργειακή μέθοδο, διότι ο τρόπος αυτός παράγει συνεπείς συνοριακές συνθήκες για σύνορο τυχούσας γεωμετρίας. Η ανάπτυξη της ΒΕΜ ακολουθεί την πορεία που εφαρμόσαμε για την εξίσωση Laplace. Eξάγεται η ταυτότητα Rayleigh- Green, η οποία αποτελεί την σχέση αμοιβαιότητας για τον διαρμονικό τελεστή ανάλογη με αυτή για τον τελεστή Lalace, προσδιορίζεται η θεμελιώδης λύση και εξάγεται η ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως. Ακολουθεί η παραγωγή των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων, οι οποίες στην προκειμένη περίπτωση είναι δύο, και η συστηματική αριθμητική επίλυσή τους με σταθερά συνοριακά στοιχεία. Συντάσσεται πρόγραμμα Η/Υ και αναλύονται πλάκες διαφόρων σχημάτων με σκοπό να καταδείξουν την αποτελεσματικότητα της μεθόδου. Στο Κεφάλαιο 8 εφαρμόζεται η ΒΕΜ για την επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων πλακών, όπως της κάμψεως πλακών με σύγχρονη δράση μεμβρανικών (συνεπίπεδων) δυνάμεων, λυγισμού πλακών, πλακών επί ελαστικού εδάφους, μεγάλων παραμορφώσεων πλακών, μεταλυγισμικής συμπεριφορά πλακών, πλακών μεταβλητού πάχους, ανισότροπων πλακών κ.λπ.. Όλα αυτά τα προβλήματα διέπονται από μερικές διαφορικές εξισώσεις τετάρτης τάξεως ελλειπτικού τύπου που, εκτός από τις παραγώγους τετάρτης τάξεως, περιέχουν και άλλες παραγώγους κατώτερης τάξεως, οι δε συντελεστές μπορεί να είναι μεταβλητοί. Τα προβλήματα επιλύονται με την ΑΕΜ (Μέθοδο της Αναλογικής Εξισώσεως). Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην αρχή της αναλογικής εξισώσεως και ανάγει όλα τα γνωστά προβλήματα λεπτών πλακών στο κλασσικό πρόβλημα κάμψεως πλακών που περιγράψαμε στο Κεφάλαιο 7. Παρουσιάζεται η αριθμητική υλοποίηση της μεθόδου και επιλύεται πλήθος προβλημάτων πλακών, γραμμικών και μη γραμμικών, που καταδεικνύουν την αποτελεσματικότητα της ΒΕΜ ως σύγχρονης μεθόδου επιλύσεως δύσκολων προβλημάτων πλακών. Στο Κεφάλαιο 9 αναπτύσσεται η ΒΕΜ για τα δυναμικά προβλήματα πλακών, γραμμικά και μη γραμμικά, όπως οι ελεύθερες και εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με ή χωρίς συνεπίπεδες δυνάμεις, ο λυγισμός πλακών με το δυναμικό κριτήριο λυγισμού καθώς και το γραμμικό και μη γραμμικό πρόβλημα πτερυγισμού (flutter) των πλακών, το οποίο έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις πλάκες που υποβάλλονται σε αεροδυναμικά φόρτια, όπως οι πτέρυγες των αεροσκαφών. Τέλος, στο Κεφάλαιο 10 αναπτύσσεται η ΒΕΜ για μη τη γραμμική στατική και δυναμική ανάλυση των μεμβρανών, οι οποίες ουσιαστικά συμπεριφέρονται ως πλάκες με αμελητέα καμπτική αντίσταση. Και εδώ τα προβλήματα επιλύονται με την ΑΕΜ (Μέθοδο της Αναλογικής Εξισώσεως).

34 Κεφάλαιο Ι Ειασαγωγή 11 Στο Παράρτημα Α παράγονται ορισμένες σχέσεις, οι οποίες διευκολύνουν τις παραγωγίσεις των πυρήνων των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Στο Παράρτημα Β παρουσιάζεται η αριθμητική ολοκλήρωση Gauss για ομαλά και ιδιόμορφα ολοκληρώματα σε μία και δύο διαστάσεις. Το Παράρημα C περιέχει τις παραγώγους των πυρήνων των ολοκληρωτικών εξισώσεων της πλάκας και μία νέα μέθοδο υπολογισμού της εφαπτομενικής παραγώγου, ενώ στο Παράρτημα D παρουσιάζεται μία νέα μέθοδος αριθμητικής επιλύσεως των εξισώσεων κινήσεως, γραμμικών και μη γραμμικών, η οποία χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση των δυναμικών προβλημάτων. Τέλος, στο Παράρτημα E δίδονται απαντήσεις ή υποδείξεις για τη λύση επιλεγμένων προβλημάτων που βρίσκονται στο τέλος των κεφαλαίων. Ι.5 Περιεχόμενο του CD-ROM Το βιβλίο συνοδεύεται από CD-ROM που περιέχει τα προγράμματα, των οποίων ο πηγαίος κώδικας υπάρχει στο βιβλίο. Συγκεκριμένα περιλαμβάνει τα κατωτέρω προγράμματα. 1. LABECON.FOR, RECT-1.FOR και ELLIPSE-1.FOR. Το πρώτο επιλύει τη εξίσωση Laplace με σταθερά στοιχεία, ενώ τα υπόλοιπα δύο ετοιμάζουν τα αρχεία δεδομένων για ορθογωνικό και ελλειπτικό χωρίο. 2. LABECONMU.FOR και RECT-2.FOR. Το πρώτο επιλύει την εξίσωση Laplace για χωρία με οπές και το δεύτερο ετοιμάζει το αρχείο δεδομένων του παραδείγματος TORSCON.FOR, RECT-3.FOR και ELLIPSE-3.FOR. Το πρώτο επιλύει το πρόβλημα στρέψεως ενώ τα υπόλοιπα δύο ετοιμάζουν τα αρχεία δεδομένων για ορθογωνικές και ελλειπτικές διατομές. 4. FLUIDCON.FOR. Τούτο επιλύει το πρόβλημα αστρόβιλης ροής σε ασυμπίεστα υγρά. 5. ELBECON.FOR, RECT-4.FOR και RECTEL-MU.FOR. Το πρώτο επιλύει το πρόβλημα της επίπεδης ελαστικότητας (επίπεδης παραμορφώσεως και επίπεδης εντάσεως). Το δεύτερο ετοιμάζει το αρχείο δεδομένων για ορθογωνικά χωρία, ενώ το τρίτο μορφώνει τα δεδομένα για χωρίο με πολλαπλά σύνορα. 6. PLBECON.FOR και TRIANGLE.FOR. Το πρώτο επιλύει το πρόβλημα της πλάκας χρησιμοποιώντας σταθερά στοιχεία και το δεύτερο ετοιμάζει το αρχείο δεδομένων για την τριγωνική πλάκα του Παραδείγματος 7.2.

35 12 ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ι.6 Βιβλιογραφία [1] Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London. [2] Banerjee, P.K. and Butterfield, R., Boundary Element Methods in Engineering Science, McGraw-Hill, New York. [3] Brebbia, A.A., Telles, J.C.F. and Wrobel, L.C., Boundary Element Techniques, Computational Mechanics Publications, Southampton. [4] Hartmann, F., Introduction to Boundary Elements, Springer-Verlag, Berlin. [5] Becker, A.A., The Boundary Element Method in Engineering: A Complete Course, McGraw-Hill, New York. [6] Beer, G. and Watson, J.O., Introduction to Finite and Boundary Element Methods for Engineers, John Wiley and Sons, New York. [7] Chen, G. and Ζhou, J., Boundary Element Methods, Academic Press, London. [8] El-Zafrany, Α, Techniques of the Boundary Element Method, Prentice Hall PTR. [9] Banerjee, P.K., The Boundary Element Methods in Engineering, McGraw-Hill, London. [10] Hall, W.S., The Boundary Element Method, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [11] Kane, J.H., Boundary Element Analysis in Engineering Continuum Mechanics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. [12] Τrevelyan, J., Boundary Elements for Engineers: Theory and Applications, Computational Mechanics Publications, Southampton. [13] Gaul, L. and Fiedler, C., Methode der Randelemente in Statik und Dynamik, Vieveg-Verlag, Baunschweig/Wiesbaden. [14] Paris, F. and Canas, J., Boundary Element Method: Fundamentals and Applications, Oxford University Press. [15] Brebbia, C.A. and Dominguez, J., Boundary Elements: An Introductory Course, 2nd edition, Computational Mechanics Publications, Southampton. [16] Frey, P.J. and George, P.L., Mesh Generation- Application to Finite Elements, 2nd edition, Wiley, London.

Συνοριακά Στοιχεία. στην επιστήμη του μηχανικού. Θεωρία & Εφαρμογές. Ιωάννης Θ. Κατσικαδέλης

Συνοριακά Στοιχεία. στην επιστήμη του μηχανικού. Θεωρία & Εφαρμογές. Ιωάννης Θ. Κατσικαδέλης Συνοριακά Στοιχεία Συνοριακά Στοιχεία στην επιστήμη του μηχανικού Θεωρία & Εφαρμογές Ιωάννης Θ. Κατσικαδέλης Καθηγητής Στατικής και Δυναμικής των Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Α. Θεοδουλίδης Η Μεθοδος των Πεπερασμένων στοιχείων Η Μέθοδος των ΠΣ είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ)

10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) 10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) Χειμερινό εξάμηνο 2018 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή Διατύπωση εξισώσεων ΜΠΣ βάσει μετακινήσεων

Διαβάστε περισσότερα

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Πρόλογος Σ το βιβλίο αυτό περιλαμβάνεται η ύλη του μαθήματος «Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας» που διδάσκεται στους φοιτητές του Γ έτους σπουδών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

«Αριθμητική και πειραματική μελέτη της διεπιφάνειας χάλυβασκυροδέματος στις σύμμικτες πλάκες με χαλυβδόφυλλο μορφής»

«Αριθμητική και πειραματική μελέτη της διεπιφάνειας χάλυβασκυροδέματος στις σύμμικτες πλάκες με χαλυβδόφυλλο μορφής» ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ «Αριθμητική και πειραματική μελέτη της διεπιφάνειας χάλυβασκυροδέματος στις σύμμικτες πλάκες με χαλυβδόφυλλο μορφής» του Θεμιστοκλή Τσαλκατίδη, Δρ. Πολιτικού Μηχανικού

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ xx ΤΟΜΟΣ ΙI 11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ 741 11.1 Διαφορική και ολοκληρωτική μορφή των εξισώσεων Maxwell Ρεύμα μετατόπισης...................................... 741 11.2 Οι εξισώσεις Maxwell σε μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ή/και με απόσβεση), και να υπολογίσουν αναλυτικά την απόκριση τους σε ελεύθερη ταλάντωση.

ή/και με απόσβεση), και να υπολογίσουν αναλυτικά την απόκριση τους σε ελεύθερη ταλάντωση. Τίτλος μαθήματος: Δυναμική Κατασκευών Ι Κωδικός μαθήματος: CE08_S02 Πιστωτικές μονάδες: 5 Φόρτος εργασίας (ώρες): 153 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής Κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Θερμοδυναμική και Μετάδοση Θερμότητας 1 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Κεφάλαιο 5 Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται οι περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών οι οποίες συναντώνται σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής.

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Τομέας Β Δομοστατικού Σχεδιασμού ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΦΗΝΑΡΟΛΑΚΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα 1. Εισαγωγή Βασικές έννοιες Αγωγή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα 1. Εισαγωγή Βασικές έννοιες Αγωγή ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή Βασικές έννοιες 11 1.1 Εισαγωγή... 11 1.2 Μηχανισμοί μετάδοσης θερμότητας... 12 1.2.1 Αγωγή... 12 1.2.2 Συναγωγή... 13 1.2.3 Ακτινοβολία... 14 2. Αγωγή 19 2.1 Ο φυσικός μηχανισμός...

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά.

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά. ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Αλληλεπίδραση μαθήματος: εδάφουςκατασκευών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΥ Γ. ΜΠΑΜΠΟΥΣΚΟΥ Διπλωματούχου Πολιτικού Μηχανικού Ε.Μ.Π.

ΝΙΚΟΛΑΟΥ Γ. ΜΠΑΜΠΟΥΣΚΟΥ Διπλωματούχου Πολιτικού Μηχανικού Ε.Μ.Π. ΝΙΚΟΛΑΟΥ Γ. ΜΠΑΜΠΟΥΣΚΟΥ Διπλωματούχου Πολιτικού Μηχανικού Ε.Μ.Π. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΣΚΟΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Διδακτορική Διατριβή για τον Επιστημονικό

Διαβάστε περισσότερα

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ:

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ: & i iii & :, 2016 Πρόλογος vii Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγική προσέγγιση στη θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και των Μιγαδικών Συναρτήσεων. Στις μέρες μας οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017

Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική ια- ϕορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Μ Ε). Η ιστοσελίδα του

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό... - v - Πρόλογος...- vii - Μετατροπές Μονάδων.. - x - Συμβολισμοί... - xii - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό... - v - Πρόλογος...- vii - Μετατροπές Μονάδων.. - x - Συμβολισμοί... - xii - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό.... - v - Πρόλογος.....- vii - Μετατροπές Μονάδων.. - x - Συμβολισμοί..... - xii - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙ Α ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙ Α ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ E ΕΦΗΜΕΡΙ Α ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ 9387 13 Δεκεμβρίου 2017 ΤΕΥΧΟΣ ΤΡΙΤΟ Αρ. Φύλλου 1305 ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΙ - ΛΟΙΠΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Αριθμ. 27467 Προκήρυξη θέσης

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 Περιεχόµενα Εισαγωγή Σύµβολα Ε1-Ε9 Σ1-Σ10 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 2. Σύµβαση πρόσηµων 2.1 Συστήµατα αναφοράς 2.2 υνάµεις και ροπές 2.3 Tάσεις 2.4 Τέµνουσες δυνάµεις και καµπτικές

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ»

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ» ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ» «Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων στο ΤΕΙ Πάτρας» MIS 383592 Υποέργο 09 Ανάπτυξη λογισμικού συνοριακών στοιχείων για την Τίτλος Επιστημονικός Υπέυθυνος αριθμητική επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας

215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας 215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας Το Τμήμα ασχολείται με τη διδασκαλία και την έρευνα στην επιστήμη και τεχνολογία των υπολογιστών και τη μελέτη των εφαρμογών τους. Το Τμήμα ιδρύθηκε το 1980 (ως

Διαβάστε περισσότερα

τρόπος για να εμπεδωθεί η θεωρία. Για την επίλυση των παραδειγμάτων χρησιμοποιούνται στατιστικά πακέτα, ώστε να είναι δυνατή η ανάλυση μεγάλου όγκου

τρόπος για να εμπεδωθεί η θεωρία. Για την επίλυση των παραδειγμάτων χρησιμοποιούνται στατιστικά πακέτα, ώστε να είναι δυνατή η ανάλυση μεγάλου όγκου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιείται για την μελέτη των σχέσεων μεταξύ μετρήσιμων μεταβλητών. Γενικότερα, η γραμμική στατιστική συμπερασματολογία αποτελεί ένα ευρύ πεδίο της στατιστικής ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ. (κατ. Φυσικού. Εφαρμογών) Μαθηματικού Εφαρμογών) και Σχεδιασμοί Αμφ. 1, Εμβιομηχανική του μυοσκελετικού αμφ.

ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ. (κατ. Φυσικού. Εφαρμογών) Μαθηματικού Εφαρμογών) και Σχεδιασμοί Αμφ. 1, Εμβιομηχανική του μυοσκελετικού αμφ. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ΤΕΛΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2010-2011 ΗΜ/ΝΙΑ ΩΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7 Στατική των γραμμικών φορέων ix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. 1 1.1 Εισαγωγή.. 3 1.2 Συστήματα συντεταγμένων. 7 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ 13 2.1 Η κίνηση και η στήριξη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων

11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων 11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 2 Θέματα Εισαγωγή Διατύπωση ΜΠΣ Βάσει Μετακινήσεων Γενική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30/8/2019 ΠΕΜΠΤΗ 29/8/2019 ΤΕΤΑΡΤΗ 28/8/2019 ΤΡΙΤΗ 27/8/2019 ΔΕΥΤΕΡΑ 26/8/2019 1ο-2ο 3ο-4ο ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ 5ο-6ο 7ο-8ο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Λ Η Ψ Η. Ερευνητικό πρόγραμμα - μελέτη :

Π Ε Ρ Ι Λ Η Ψ Η. Ερευνητικό πρόγραμμα - μελέτη : Π Ε Ρ Ι Λ Η Ψ Η Ερευνητικό πρόγραμμα - μελέτη : Ανάπτυξη προτύπων αριθμητικών παραδειγμάτων για την υποστήριξη της ορθής εφαρμογής του EAK 2000 και τον έλεγχο προγραμμάτων Η/Υ και Νέου κανονιστικού πλαισίου

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Κατασκευών ΙΙ

Δυναμική Κατασκευών ΙΙ Τίτλος μαθήματος: Δυναμική Κατασκευών ΙΙ Κωδικός μαθήματος: CE09_S05 Πιστωτικές μονάδες: 5 Φόρτος εργασίας (ώρες): 157 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜ/ΝΙΑ ΩΡΑ 1ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 3ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 5ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 7ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 9ο ΕΞΑΜΗΝΟ Δευτέρα 23/1/ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ - ΕΙΔΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΗΜ/ΝΙΑ ΩΡΑ 1ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 3ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 5ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 7ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΩΡΑ 9ο ΕΞΑΜΗΝΟ Δευτέρα 23/1/ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ - ΕΙΔΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 23/1/2017 12.00 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 15.00 ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ 18.00 ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ - ΕΙΔΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 24/1/2017 12.00 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 8.30 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ 18.00 ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ 25/1/2017 26/1/2017 27/1/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦ ΑΡΜ ΟΣΜ ΕΝΩΝ Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ Φ ΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜ ΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο 3ο-4ο 5ο-6ο 5ο-6ο Μαθηματικού 7ο-8ο Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Εαρινό Εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Δρ. Βλαχομήτρου Μαρία ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΑΘΛΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΟ SPSS 6 η Έκδοση Γιώργος Βαγενάς Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ Αποκλειστικότητα για την ελληνική γλώσσα: ΕΚ

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ύλη του βιβλίου περιλαμβάνει δέκα κεφάλαια.

Η ύλη του βιβλίου περιλαμβάνει δέκα κεφάλαια. vii Πρόλογος Σκοπός του παρόντος βιβλίου είναι να διερευνήσει τη λειτουργία των Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΣΗΕ) υπό την επίδραση διαταραχών. Καλύπτει την ύλη των μαθημάτων «Ανάλυση ΣΗΕ ΙΙ» και «Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2102201 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μαθηματικά ΙΙ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως:

Φόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως: Γενικές π ληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Υπ ολογιστική μαθήματος: Υδραυλική με Εφαρμογές σε Υδραυλικά Έργα Πιστωτικές μονάδες: 5 Κωδικός μαθήματος: CE07_H05 Φόρτος εργασίας ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Προπτυχιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Ενημερωτικό Φυλλάδιο Αθήνα, Οκτώβριος 2018 Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Κυλινδρικά Κελύφη Καµπτική Θεωρία Οι µεµβρανικές δυνάµεις που προσδιορίζει η µεµβρανική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων 2 1. Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 3 1.1 Εισαγωγή Για να γίνει ο υπολογισμός μιας κατασκευής, θα πρέπει ο μελετητής μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Ενημερωτικό Φυλλάδιο Αθήνα, Οκτώβριος 2016 Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων. Πανεπιστήµιο Κύπρου Το µάθηµα περιλαµβάνει Αριθµητικές και Υπολογιστικές Μεθόδους για Μηχανικούς, µε έµφαση στις µεθόδους: αριθµητικής ολοκλήρωσης/παραγώγισης, αριθµητικών πράξεων µητρώων, λύσεων µητρώων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΑΡΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΑΡΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ 23/1/2017 ΤΡΙΤΗ 24/1/2017 1η 1ο ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ, 4 3ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, 4 Γαλλικά (9.00 11.00)

Διαβάστε περισσότερα

Οι Τομείς (κατευθύνσεις ειδικότητας) του Τμήματος Πληροφορικής & Επικοινωνιών είναι:

Οι Τομείς (κατευθύνσεις ειδικότητας) του Τμήματος Πληροφορικής & Επικοινωνιών είναι: Ακαδημαϊκή οργάνωση του Τμήματος Το Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών είναι οργανωμένο ακαδημαϊκά σε τρεις Τομείς (κατευθύνσεις) με στόχο την εξειδίκευση των σπουδαστών σε ειδικότητες ανάλογες με τις

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Κατασκευών Ενότητα 2: Βασικές Έννοιες Τεχνικών Συστημάτων & Οργάνωση Ανάπτυξης ενός Προϊόντος

Σχεδιασμός Κατασκευών Ενότητα 2: Βασικές Έννοιες Τεχνικών Συστημάτων & Οργάνωση Ανάπτυξης ενός Προϊόντος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδιασμός Κατασκευών Ενότητα 2: Βασικές Έννοιες Τεχνικών Συστημάτων & Οργάνωση Ανάπτυξης ενός Προϊόντος Δρ Κ. Στεργίου Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ υναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Μετακινήσεις στη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Διαμορφώσεις συμπαγούς υλικού (bulk deformation processes)

Διαμορφώσεις συμπαγούς υλικού (bulk deformation processes) Διαμορφώσεις συμπαγούς υλικού (bulk deformation processes) 1. Στις κατεργασίες διαμορφώσεων αναπτύσσονται σύνθετες τασικές καταστάσεις που συνοψίζονται στους δύο πίνακες που ακολουθούν. 1 2. Τα χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΑΡΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

ΤΕΛΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΑΡΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/1/20 ΠΕΜΠΤΗ 18/1/2 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/1/2018 ΤΡΙΤΗ 16/1/2018 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/1/2 ΣΗΜΕΙΩΣΗ 1: Ο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ, ΣΗΜΕΙΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΚΟΚΚΙΝΟ ΚΑΙ ΜΠΛΕ ΧΡΩΜΑ.

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στην προσπάθεια της η επιστήμη να περιγράψει την φύση, χρησιμοποιεί μαθηματικά

Στην προσπάθεια της η επιστήμη να περιγράψει την φύση, χρησιμοποιεί μαθηματικά Στην προσπάθεια της η επιστήμη να περιγράψει την φύση, χρησιμοποιεί μαθηματικά προσομοιώματα, τα οποία μέσω συγκεκριμένων παραδοχών πλησιάζουν την πραγματικότητα. Έτσι και στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα