Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E."

Transcript

1 Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα x y= x y δεν ορίζει πράξη επί του. 3. Η ισότητα x y = x+y/x y δεν ορίζει πράξη επί του. Ορισµός 2 Έστω * µια πράξη επί του E Η πράξη * είναι µεταθετική ανν a*b=b*a για κάθε a,b E. Η πράξη * είναι προσεταιριστική ανν (a*b) *c=a* (b*c) για κάθε a,b,c E. Η πράξη * έχει ουδέτερο στοιχείο ανν υπάρχει e E τέτοιο ώστε για κάθε a E να είναι a*e=e*a=a Το στοιχείο e είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης. Το στοιχείο b E είναι συµµετρικό του a E ως προς την πράξη * ανν b*a=a* b=e (e είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης). Σελίδα από 32

2 Παραδείγµατα: o * o Να ελεγχθεί η αντιµεταθετικότητα των κάτωθι πράξεων επί του. x y=(x+y)² 2. x y=x y Να εξετασθούν η προσεταιριστικότητα, η µεταθετικότητα, η ύπαρξη ουδετέρου και αντιστρόφου στοιχείου για τις κάτωθι πράξεις επί του.. x y=x+y+ 2. x y=x+2y+4 3. xi y=x+2y-xy x y 4. x y = x + y 5. x y = x + y 3 6. xi y = x y B. ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός 3 Έστω E και Ω δυο µη κενά σύνολα. Κάθε απεικόνιση f: Ω x E E λέγεται εξωτερική πράξη επί του E µε σύνολο τελεστών το Ω προς τα αριστερά. Τα στοιχεία του Ω λέγονται τελεστές. Ορισµός 4 Ένα µη κενό σύνολο E επί του οποίου έχουν ορισθεί εσωτερικές ή και εξωτερικές πράξεις ονοµάζεται αλγεβρική δοµή ή απλά δοµή. Σελίδα 2 από 32

3 Παραδείγµατα:. Επί του 3 ορίζεται η εξωτερική πράξη µε σύνολο τελεστών το, προς τα αριστερά, ως εξής: λ, ( x, x, x ), λ ( x, x, x ) = ( λx, λx, λx ) Έστω * {}. Επί του ορίζονται : a) Η εξωτερική πράξη µε σύνολο τελεστών το προς τα αριστερά ως εξής: λ, ( x, x,..., x ), λ ( x, x,..., x ) = ( λx, λx,..., λx ) b) Και η εσωτερική πράξη + ως εξής: ( x, x,..., x ), ( y, y,..., y ) 2 2 ( x, x,..., x ) + ( y, y,..., y ) = ( x + y, x + y,..., x + y ) Θεώρηµα Θεώρηµα 2 Ορισµός 5 Ορισµός 6 Σελίδα 3 από 32

4 ΟΜΑ ΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 5. Εστω ένα µη κενό σύνολο G και η εσωτερική πράξη επί του G. Η δοµή (G, ) λέγεται οµάδα αν και µόνο αν. η πράξη είναι προσεταιριστική, 2. υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, 3. για κάθε a G υπάρχει το συµµετρικό του a G. Μια οµάδα (G, ) λέγεται Αβελιανή ή αντιµεταθετική αν και µόνο αν a b = b a για κάθε a, b G. Μια οµάδα λέγεται πεπερασµένη αν και µόνο αν το σύνολο G είναι πεπερασµένο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Το σύνολο των ακεραίων µέτρου είναι οµάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης µέτρου. Είναι Z = {0,, 2,..., } και Z 6 = {0,, 2, 3, 4, 5} Για κάθε j > 0, j Z, το συµµετρικό του j είναι το j. Η οµάδα (Z, +) συνήθως καλείται οµάδα των ακεραίων µέτρου. Ο όρος Αβελιανή Οµάδα εισήχθη το 870 από τον Camille Jorda προς τιµήν του Νορ- ϐηγού µαθηµατικού NIELS HENRIK ABEL, ενός από τους σηµαντικότερους µαθηµατικούς του 9 ου αιώνα, που πέθανε το 829 σε ηλικία 26 ετών από ϕυµατίωση, ϕτωχός και µόνος. Ο ϑάνατός του συνέβη δύο µόλις µέρες πριν ϕθάσουν τα νέα για το διορισµό του ως Καθηγητού των Μαθηµατικών στο Πανεπιστήµιο του Βερολίνου.

5 ΘΕΩΡΗΜΑ. ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ α. Κάθε οµάδα έχει ακριβώς ένα ουδέτερο στοιχείο. ϐ. Σε κάθε οµάδα, κάθε στοιχείο έχει ακριβώς ένα συµµετρικό. Απόδειξη. α. Εστω e και e 2 τα ουδέτερα στοιχεία της (G, ). Τότε e = e e 2 = e 2. ϐ. Εστω a G και a, a 2 G τα συµµετρικά του. Τότε a = a e = a (a a 2 ) = (a a) a 2 = e a 2 = a 2. Σηµείωση Σκοπός της αφηρηµένης άλγεβρας είναι η µελέτη των ιδιοτήτων των αλγεβρικών δοµών που είναι ανεξάρτητες της ϕύσης των πράξεων. Το µόνο που χρειάζεται κάποιος να γνωρίζει για αυτές τις πράξεις, οποιεσδήποτε κι αν είναι, είναι οι συγκεκρι- µένες ιδιότητες που αυτές έχουν. Εδώ πρέπει να επισηµάνουµε πως όταν µελετάµε τις ιδιότητες µιας συγκεκριµένης οµάδας τότε πρέπει να είναι συγκεκριµένη και η σχετική πράξη. Στις εφαρµογές οι πράξεις των οµάδων συµβολίζονται συνή- ϑως µε την πρόσθεση (προσθετική οµάδα) και τον πολλαπλασιασµό (πολλαπλασιαστική οµάδα).

6 Για την πολλαπλασιαστική οµάδα (G, ) µε ουδέτερο στοιχείο το e, το συµµετρικό στοιχείο του a G συµβολίζεται µε a και το γινόµενο a } a {{ a a} µε a ενώ a 0 = e. ϕορές Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα επόµενα : Για κάθε a G, (a ) = a. Για κάθε a, a 2,..., a G, (a a 2 a ) = a Για κάθε Z, e = e. a 2 a. Για κάθε Z και για κάθε a G, (a ) = (a ) = a. Για κάθε m, Z και για κάθε a G, a m a = a m+, (a m ) = a m. Για την προσθετική οµάδα (G, +) µε ουδέτερο στοιχείο το 0, το συµµετρικό στοιχείο του a G συµβολίζεται µε a και το άθροισµα a } + a + {{ + a } µε a ενώ a 0 = 0. ϕορές Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα επόµενα : Για κάθε a G, ( a) = a. Για κάθε a, a 2,..., a G, (a + a a ) = a + ( a 2 ) + + ( a ). Για κάθε Z, 0 = 0 = 0. Για κάθε Z και για κάθε a G, a = ( a) = ( )a. Για κάθε m, Z και για κάθε a G, ma + a = (m + )a και (ma) = (m)a.

7 ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Εστω η οµάδα (G, ) και a, b, c G, τότε α. ab = ac b = c. ϐ. ba = ca b = c. γ. ab = e a = b και b = a. δ. (ab) = b a. ε. (a ) = a. στ. (a a 2 a ) = a a 2 a, a i G, i =, 2,...,. ΟΡΙΣΜΟΣ 6. Αν η οµάδα (G, ) είναι πεπερασµένη, τότε το πλήθος των στοιχείων του G λέγεται τάξη της οµάδας και συµ- ϐολίζεται συνήθως µε G.

8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Να δείξετε ότι η δοµή (R, ) µε x y = x + y xy + οµάδα. είναι αβελιανή Λύση x (y z) = x y + z yz + = x + x y+z y+z yz+ yz+ + = xyz+x+y+z yz+ xy+xz+yz+ yz+ = xyz + x + y + z xy + xz + yz +. (x y) z = x + y xy + z = Άρα x (y z) = (x y) z. x+y xy+ + z x+y xy+ z + = x+y+z+xyz xy+ xz+yz+xy+ xy+ = xyz + x + y + z xy + xz + yz +. x e = x x + e xe + = x x + e = x2 e + x e(x 2 ) = 0 e = 0. 0 x = 0 + x 0x + = x = x. Άρα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e = 0. x x = 0 x + x xx + = 0 x = x. x ( x) = x + ( x) x( x) + = 0. ( x) x = Άρα υπάρχει συµµετρικό το x. Τέλος, για κάθε x, y R, x y = x+y οµάδα (R, ) είναι αβελιανή. x + x ( x)x + = 0. xy+ = y+x yx+ = y x, δηλαδή η

9 2. Για κάθε >, ορίζουµε µε U () το σύνολο όλων των ϑετικών ακεραίων που είναι µικρότεροι του και είναι πρώτοι προς αλλήλους µε το. Να εξετάσετε αν το U (0) = {, 3, 7, 9} µε πίνακα Caley τον πίνακα είναι ϕορέας οµάδας. mod(0) Πίνακας. 3. Το σύνολο {0,, 2, 3} δεν είναι ϕορέας οµάδας ως προς τον πολλαπλασιασµό mod(4). mod(4) Εστω η οµάδα (G, ) µε ουδέτερο στοιχείο το e και για κάθε a G, a 2 = e. Να αποδειχθεί ότι η (G, ) είναι αβελιανή. Απόδειξη. Για κάθε a, b G είναι ab G και (ab) 2 = e. ab = abe = ab(ba) 2 = abbaba = ab 2 aba = aeaba = = aaba = a 2 ba = eba = ba.

10 5. Ο απλούστερος τρόπος µετάδοσης πληροφοριών είναι αυτός της κωδικοποίησής τους σε µια σειρά (strig) µε 0 ή, π.χ. 000, 000 κτλ. Οι σειρές αυτές λέγονται δυαδικές λέξεις και το πλήθος των στοιχείων κάθε λέξης µήκος της λέξης. Μια πολύ ενδιαφέρουσα εφαρµογή είναι η ανακάλυψη και η διόρθωση λαθών που µπορεί να προκύψουν κατά τη διάρκεια µιας µετάδοσης. Αν a = a a 2 a είναι η λέξη που µεταβιβάζεται και b = b b 2 b είναι η λέξη που λαµβάνεται τότε ο τύπος του λάθους είναι η λέξη { 0, ai = b e = e e 2 e, e i = i, a i b i Η πράξη πρόσθεσης των λέξεων ορίζεται ως εξής : = 0, 0 + =, + 0 =, + = 0. Αν a = a a 2 a (a, a 2,..., a ) και b = b b 2 b (b, b 2,..., b ) τότε a + b = (a + b, a 2 + b 2,..., a + b ). () ηλαδή το άθροισµα a + b είναι το λάθος e. Για παράδειγµα, αν a = 0000 και b = 0000, τότε e = Αν B είναι το σύνολο των δυαδικών λέξεων µήκους, τότε για κάθε a, b, c B ισχύουν : (a + b) B. a + b = b + a. (a + b) + c = a + (b + c). Υπάρχει 0 B τέτοιο ώστε 0 + a = a + 0 = a. Υπάρχει συµµετρικό για κάθε a B. ηλαδή το σύνολο B είναι οµάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης όπως αυτή ορίστηκε στην ().

11 ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ Ορισµός 7 Έστω η ομάδα ( G, ) και S G. Αν ορίζεται η δομή ( S, ) και είναι ομάδα τότε λέμε ότι η ( S, ) είναι μια υποομάδα της ( G, ). Παραδείγματα: Το σύνολο των ακεραίων είναι ομάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Η ομάδα αυτή είναι υποομάδα της ομάδας (,+). Το σύνολο {,} είναι ομάδα ως προς τον πολ/σμό. Η ομάδα αυτή είναι υποομάδα της ( *, ). Σηµείωση: Κάθε ομάδα είναι υποομάδα του εαυτού της. Αν e είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας ( G, ) τότε το ζεύγος ({ e}, ) είναι υποομάδα της (, ) (, ) Οι υποομάδες ( G, ) και { e} G. γνήσιες υποομάδες της οµάδας ( G, ). λέγονται τετριμμένες ή μη Σελίδα 4 από 33

12 Θεώρηµα 3 Αν ( S, ) είναι υποομάδα της (, ) G τότε: ) Αν f είναι το ουδέτερο στοιχείο της ( S, ) και e το ουδέτερο της ( G, ), τότε f = e. 2) Αν a S, τότε το συμμετρικό του a στο S είναι το ίδιο με το συμμετρικό του a στο G. Απόδειξη: ) Είναι f f = f και f e= f αφού f S G και e το ουδέτερο στοιχείο της ( G, ). Άρα f f = f e. (Ι) Αφού όμως κάθε στοιχείο ομάδας είναι απλοποιήσιμο από την (Ι) προκύπτει ότι: f = e. Σελίδα 5 από 33

13 2) Έστω ότι a είναι το συμμετρικό του a S στο S και a το συμμετρικό του a στο G. Τότε: a a = e και 2 a a = e. 2 Δηλαδή a a = a a2. (ΙΙ) Από την (ΙΙ) και το θεώρημα 2 προκύπτει ότι: a = a2. Θεώρηµα 4 Έστω η ομάδα ( G, ) και S G υποομάδα της ( G, ) αν και μόνον αν :. Το ζεύγος (, ) S είναι ) Το S είναι κλειστό ως προς την πράξη. 2) Για κάθε α S, α' S. (α' το συμμετρικό του α). Απόδειξη: Αν το ζεύγος ( S, ) είναι υποομάδα της (, ) και (2) ικανοποιούνται. G, τότε τα () Αντιστρόφως. Έστω ότι ικανοποιούνται τα () και (2) τότε: Η προσεταιριστικότητα της πράξεως στο S ικανοποιείται γιατί αν ( ) = ( ) a b c a b c για κάθε Σελίδα 6 από 33

14 abc,, S. Τούτο θα ισχύει και για τα στοιχεία του S αφού S G. Έστω e το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας ( G, ), τότε για κάθε a S υπάρχει (λόγω 2), a S τέτοιο ώστε, λόγω της, a a S (Ι) Αλλά a a = e το ουδέτερο στοιχείο της (, ) G. Άρα λόγω της (Ι) e S, δηλαδή υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Θεώρηµα 5 Οι συνθήκες () και (2) του θεωρήματος 2 μπορούν να αντικατασταθούν με την συνθήκη : για κάθε ab, Απόδειξη: Έστω ότι a = b, τότε: a b = a a = e S. S, a b S. Άρα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Τώρα εξ υποθέσεως για κάθε b S, δηλαδή: e b S δηλαδή b S. Άρα υπάρχει συμμετρικό. Επίσης για κάθε a, b υπόθεση ( ) a b = a b S. S, έχουμε ότι και a, b S και από Σελίδα 7 από 33

15 Άρα το S είναι κλειστό προς την πράξη. Τέλος λόγω του ότι η προσεταιριστικότητα ισχύει αφού S G και ( G, ) ομάδα. Άρα το ζεύγος ( S, ) είναι υποομάδα της (, ) G. Θεώρηµα 6 Σελίδα 8 από 33

16 ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Εστω η οµάδα (G, ) και H ένα πεπερασµένο µη κενό υποσύνολο του G. Το H είναι ϕορέας υποοµάδας της (G, ) αν το H είναι κλειστό ως προς την πράξη. Απόδειξη Από το Θ.4 αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε a H ισχύει a H. Αν a = e, τότε προφανώς ισχύει αφού e = e. Αν a e, ϑεω- ϱούµε την ακολουθία a, a 2, a 3, a 4,... Από την υπόθεση για κάθε a H ισχύει a H για κάθε Z. Το H είναι πεπερασµένο άρα ϑα υπάρχουν i j µε a i = a j δηλαδή a i j = e. Αλλά επειδή a e, ϑα ισχύει i j > και εποµένως a i j = aa i j = e. Άρα a = a i j. Αλλά i j συνεπάγεται ότι a = a i j H.

17 Θεώρηµα 7 Αν ( H, ) και ( K, ) είναι υποομάδες της ομάδας (, ) το ζεύγος ( H K, ) είναι υποομάδα της (, ) G. G τότε και Απόδειξη: H K αφού e H και e K. Έστω x, y H K. Τότε x, y ( K, ) ομάδα του, H και x, y K και αφού ( H, ) και x y H και x, y K. Άρα x, y H K. Επίσης x H K συνεπάγεται x H και x K, επομένως x H και x K. Δηλαδή x H K. Άρα για κάθε x H K, x H K. Εποµένως το σύνολο H K της ( G, ). είναι φορέας υποοµάδας Παρατήρηση abc είναι στοιχεία μιας ομάδας (, ) Αν,, G και S το σύνολο όλων των στοιχείων του G που μπορούν να γραφτούν σαν γινόμενα δυνάμεων των a, b, c, a, b, c (π.χ. 2 3 ab ab cc, a bcb κ.τ.λ) τότε το (, ) της ( G, ). S είναι υποομάδα Σελίδα 9 από 3

18 Πράγματι αν x, y S τότε και x y S και αν x S τότε και x S. Λέμε ότι η (, ) S είναι η υποομάδα της (, ) G που γεννάται από τα στοιχεία abc.,, Θεώρηµα 8 Έστω ομάδα ( G, ) και A G. Αν < A> είναι το σύνολο εκείνων των στοιχείων του G που μπορούν να γραφούν σαν γινόμενα δυνάμεων στοιχείων του A με ακέραιους εκθέτες τότε το ( < A >, ) είναι υποομάδα της (, ) Αν ( H, ) είναι υποομάδα της (, ) ( A, ) G που γεννάται από το A. H με τότε( H, ), δηλαδή η < > είναι η μικρότερη ομάδα της οποίας ο φορέας περιέχει το A. Απόδειξη: A < A >, γιατί αν a A τότε: 0 a = a e= a a < A>. Θα δείξουμε ότι η ( < A >, ) είναι υποομάδα της (, ) G. Πράγματι αν x, y < A > τότε και x y < A > αφού το στοιχείο x y είναι και αυτό γινόμενο δυνάμεων στοιχείων του Σελίδα 0 από 3

19 A με ακέραιους εκθέτες. Άρα το < A > είναι φορέας υποομάδας της οµάδας ( G, ). Έστω τώρα ότι ( S, ) είναι μια υποομάδα της (, ) θα δείξουμε ότι S < A>. G με S A, Πράγματι αν x < A > τότε a κ, 2 a κ 2,, a κ, άρα a A, κ, i =, 2,..., άρα ai i i S και επειδή ( S, ) ομάδα θα είναι ai S. Άρα και a, a,..., a = x S κ κ2 κ 2 Πόρισμα: Αν ( G, ) ομάδα και A = a τότε A { a : a G, } < >=. Το ( < A>, ) είναι η μικρότερη υποομάδα της (, ) φορέας της περιέχει το { } a και συμβολίζεται ( a, ) G που ο < >. Το a λέγεται γεννήτορας της ( < a >, ) και λέμε ότι η ομάδα ( < a >, ) γεννάται από το στοιχείο a. Δηλαδή κάθε στοιχείο u της ομάδας ( G, ) γεννά μια υποομάδα της (, ) { :, } < u >= u u G. G την ( u, ) < > με Σελίδα από 3

20 Ορισµός 8 G. Η ομάδα ( < u >, ) λέγεται κυκλική υποομάδα της (, ) Από όσα έχουν αναφερθεί μέχρι τώρα γίνεται φανερό ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα ( G, ) γεννάται από ένα ή περισσότερα στοιχεία της. Τα στοιχεία αυτά λέγονται γεννήτορες της ομάδας. Ορισµός 9 Σελίδα 2 από 3

21 Παρατήρηση Χρησιµοποιούµε το συµβολισµό H G για να πούµε ότι η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). Οταν η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ) αλλά H G γράφουµε H < G και σε αυτή την περίπτωση η (H, ) είναι µια γνήσια υποοµάδα της (G, ). Η υποοµάδα ({e}, ) είναι η τετριµµένη υποοµάδα της (G, ). Κάθε άλλη υποοµάδα της (G, ) λέγεται µη τετριµµένη υποοµάδα της (G, ). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5. Εστω η αβελιανή οµάδα (G, ) και e το ουδέτερο στοιχείο της. Αν H = {x G, x 2 = e}, να αποδειχθεί ότι η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). Απόδειξη Είναι e G και e 2 = e άρα e H, δηλαδή H. Εστω a, b H, τότε a 2 = b 2 = e. Είναι (ab ) 2 = ab ab = a 2 (b ) 2 = a 2 (b 2 ) = ee = e. Άρα ab H, δηλαδή η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). 6. Εστω η αβελιανή οµάδα (G, ) µε ουδέτερο στοιχείο το e και H = {x 2, x G}. Να αποδειχθεί ότι η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). Απόδειξη Είναι e 2 = e, άρα e H, δηλαδή H. Εστω a, b H, τότε a = x 2, b = y 2, µε x, y G. Είναι ab = x 2 (y 2 ) = (xy ) 2 H. Άρα η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ).

22 Παρατήρηση Αν H είναι υποσύνολο του G και η (G, ) είναι οµάδα, τότε προκειµένου να αποδείξουµε ότι το H δεν είναι ϕορέας υποοµάδας, είναι αρκετό να διαπιστώσουµε ένα από τα επόµενα : το ουδέτερο στοιχείο δεν ανήκει στο H, ένα στοιχείο του H δεν έχει συµµετρικό στο H, το H δεν είναι κλειστό ως προς την πράξη. Παράδειγµα Εστω η οµάδα (R, ), H = {x R, x = ή x άρρητος} και K = {x R, x }. Είναι 2 H αλλά 2 2 = 2 / H. Άρα το H δεν είναι ϕορέας υποοµάδας της (R, ). Επίσης το ίδιο ισχύει και για το σύνολο K, αφού 2 K αλλά 2 / K, αφού 2 <. ΟΡΙΣΜΟΣ 9 (ΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΟΜΑ ΑΣ) Εστω η οµάδα (G, ), e το ουδέτερο στοιχείο της και g G. Ονοµάζεται τάξη του g ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος τέτοιος ώστε g = e. (Αν η οµάδα είναι προσθετική g = 0, όπου 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της (G, +).) Παραδείγµατα. Για την οµάδα (U (5), ) είναι U (5) = {, 2, 4, 7, 8,, 3, 4} και 7 = 4, = 2, =, 2 = 4, 4 = 2, 8 = 4, 3 = 4, 4 = Για την οµάδα (Z 0, +) είναι 2 = 2, 2 2 = 4, 3 2 = 6, 4 2 = 8, 5 2 = 0. Άρα 2 = 5. Επίσης 0 =, 7 = 0, 5 = 2, 6 = 5. Για την οµάδα (Z, +) κάθε µη µηδενικό στοιχείο έχει άπει- ϱη τάξη, αφού για κάθε a 0, a 0, N.

23 Παραδείγµατα και Ασκήσεις. Αν ( G, ) ομάδα τότε: Για κάθε ab, Gκαι για κάθε Z, ( a ba) = a b a. Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουμε ότι η αποδεικτέα ισχύει για κάθε. N. Πράγματι για = 0 είναι: ( ) 0 0 a ba a b a a a a a = = = = =. Αληθής Έστω ότι η () ισχύει για = κ δηλαδή ότι: ( a b a) = a b κ a. Τότε: κ+ κ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) κ κ κ+ a b a = a b a a b a = a b a a b a = a b a a b a= a b a Άρα η () ισχύει για κάθε N. Έστω τώρα ότι Z τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a a b a a b a a b a a b a a b a = = = = = Σελίδα 3 από 3

24 2. Το σύνολο Z των ακεραίων είναι ομάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Πράγματι το ζεύγος (Z,+) είναι ομάδα αφού: Το Z είναι κλειστό ως προς την πράξη + γιατί για κάθε α, b Z, (α+b) Z Η πράξη + είναι προσεταιριστική στο Z. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο το 0 Z. Για κάθε a Z είναι -a Z με a ( a) 0 + =. Επιπλέον είναι a+ b= b+ a για κάθε α, b Z. Δηλαδή η ομάδα είναι Αβελιανή. 3. Το ζεύγος (Q,+) όπου Q το σύνολο των ρητών είναι Αβελιανή ομάδα. 4. Το ζεύγος (R,+) όπου R το σύνολο των πραγματικών είναι Αβελιανή ομάδα. 5. Το ζεύγος (C,+) όπου C το σύνολο των μιγαδικών είναι Αβελιανή ομάδα. Σελίδα 4 από 3

25 6. Το ζεύγος (R, +) με R = {(x, x2,,x), xi R και( x, x,..., x ) ( y, y,..., y ) ( x y, x y,..., x y ) + = Είναι ομάδα ως προς αυτήν την πράξη. 7. Αν [α], [b] Z ορίζουμε [ a] + [ b] = [ a+ b]. Η ανωτέρω πράξη είναι καλώς ορισμένη στο Z. Πράγματι αν, [ a ] = [ a ] και [ b ] [ b ] 2 =, τότε υπάρχουν ακέραιοι u 2 και y τέτοιοι ώστε a = a 2 + u και b = b2 + y. Οπότε: ( ) Δηλαδή : a + b = a + b u+ y. 2 2 ( ) a + b = a + b. 2 2 mod Άρα [ a b ] [ a b ] + = Αποδεικνύουμε τώρα ότι το ζεύγος (Z,+) είναι Αβελιανή ομάδα. Πράγματι για κάθε[α], [b], [c] Ζ είναι: [ a] + ([ b] + [ c] ) = [ a] + [ b+ c] = a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c = [ a+ b] + [ c] = ([ a] + [ b] ) + [ c] Δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική. Το στοιχείο [ο] [ο] Z είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης αφού: [ 0] + [ a] = [ 0+ a] = [ a] και [ a] [ 0] [ a 0] [ a] + = + =. Σελίδα 5 από 3

26 Αν [α] Z τότε και. [η-α] Z. Είναι [ a] + [ a] = [ a+ a] = [ ] και [ a] + [ a] = [ a+ a] = [ ] Όμως [ ] είναι το σύνολο των ισοϋπολοίπων προς το ακεραίων. Το υπόλοιπο αυτό είναι 0. Άρα [ ] = [ 0]. Άρα για κάθε [α] Z υπάρχει το συμμετρικό του[ η-α] Z. Τέλος είναι [ a] + [ b] = [ a+ b] = [ b+ a]. Για κάθε [α], [b] Z. Άρα το ζεύγος (Z,+) είναι Αβελιανή. Παρατήρηση: Από το παράδειγμα 7 προκύπτει ότι για κάθε: Z+ υπάρχει μια ομάδα με στοιχεία. Η ομάδα αυτή είναι η (Z,+) 8. Το ζεύγος (Z2,+) είναι ομάδα. 9. Το ζεύγος (Z6,+) είναι ομάδα 0. Το ζεύγος (R, ) όπου R το σύνολο των πραγματικών και η πράξη του συνήθους πολ/μου δεν είναι ομάδα. Σελίδα 6 από 3

27 . Το ζεύγος (R*, ) είναι ομάδα. 2. Το ζεύγος (C*, ) είναι ομάδα. 3. Το ζεύγος (, ) Μ, όπου Μ είναι το σύνολο των πραγματικών μητρών με ορίζουσα διάφορη από το μηδέν και η πράξη του πολλαπλασιασμού μητρών είναι ομάδα. 4. Είναι το ζεύγος (R*, ) με a a b= ομάδα; b Το σύνολο R* είναι κλειστό ως προς την πράξη αφού για κάθε α, b R* είναι α b R. b a a c a b c = a = = c b b c ( ) a a c a a b c= c= =. b b b c ( ) Δηλαδή εν γένει ( ) ( ) a b c a b c. Άρα η δεν είναι προσεταιριστική. Επομένως η δομή (R*, ) δεν είναι ομάδα. Σελίδα 7 από 3

28 5. Έστω Z2 {( a, a2,..., a )} =, ai Z2. Δηλαδή το σύνολο Z 2 έχει στοιχεία -άδες με 0 και. Επί του Ζ2 ορίζουμε την πράξη + ως εξής: ( a, a2,..., a) ( b, b2,..., b) {( a b, a2 b2,..., a b) } + = π.χ. ( 00) + ( 00) = ( 000) Το ζεύγος ( Z, 2 ) 5 Z 2. + είναι Αβελιανή ομάδα. Υπόδειξη: Κάθε στοιχείο του Z 2 είναι συμμετρικό του εαυτού του. 6. Να εξετασθεί αν η δομή (Q+*, ) με x y x y = είναι 2 ομάδα. Λύση: Η πράξη είναι αντιμεταθετική αφού για κάθε x,y Q+* x y y x x y = = = y x. 2 2 για κάθε x,y,z Q+*, ( ) Και ( ) x y x y z x y z = z =. 2 4 y z x y z x y z = x =. 2 4 Δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική. Σελίδα 8 από 3

29 Έστω ότι η πράξη δέχεται ουδέτερο στοιχείο e, τότε για xe e κάθε x Q+*, x e= x = x = e= x x Έστω ότι για κάθε x + τέτοιο ώστε x x = 2 = 2 x = 4x. 2 Άρα η δομή (Q+*, ) είναι Αβελιανή ομάδα. ) Εδώ αντί του [0] και [] γράφουμε αντίστοιχα 0 και 2) Τα κόμματα συνήθως παραλείπονται 7. Αν ( G, ) είναι ομάδα με G = 2 να δειχθεί ότι η ( G, ) είναι Αβελιανή Αν ( G, ) είναι ομάδα και g δειχθεί ότι η ομάδα είναι Αβελιανή. = e για κάθε g G να Λύση: Για κάθε b 2 G, a 2 = e, b 2 Άρα ( ) 2 = e και ( ab) = c. a b= e e= e= a b aa bb= ab ab ab= ba. Σελίδα 9 από 3

30 9. Το ζεύγος (, ) με = { p/ q, p, q } της ομάδας (, ). Πράγματι, και είναι υποομάδα Το είναι κλειστό ως προς την πράξη, αφού για κάθε a b α c, c d, b d α c =. b d Το ουδέτερο στοιχείο ανήκει στο αφού =. Για κάθε p q είναι q p q p και q p = q p p q =. Άρα κάθε στοιχείο του πράξη στο 20. Το ζεύγος (, ) οµάδας (, ). έχει το συμμετρικό του ως προς την S, S { 3, κ κ }. = είναι υποοµάδα της 2. Το ζεύγος ( E ), +, E, το σύνολο των άρτιων ακεραίων είναι υποοµάδα της (, + ). 22. Το ζεύγος ( S, + ), S = { x, x< } της (, + ) δεν είναι υποομάδα. Πράγματι το σύνολο S δεν είναι κλειστό ως Σελίδα 20 από 3

31 3. dfdf 4. hg 5. hgpo 6. fg 7. fg 8. gf 9. gf 0. f. fg 2. gf 3. gf 4. fg 5. fg 6. fg 7. fg 8. fg 9. fg 20. fg 2. fg 22. trg 23. dfgrdg Παν. Πειραιώς, Τµήµα Πληροφορικής προς την πράξη + γιατί π.χ, S αλλά = = 5 4 S Έστω {[ 2,6,0 ] [ ] [ ]} T = ένα υποσύνολο του Z 8. Να εξετασθεί αν το ζεύγος ( T, + ) είναι υποομάδα της ( Z ) 8, +. Η απάντηση είναι όχι γιατί το σύνολο T δεν είναι κλειστό ως προς την πράξη αφού [ 2] + [ 2] = [ 2+ 2] = [ 4] T. 24. Το κέντρο της ομάδας ( G, ) είναι το σύνολο { C = c G: c x c= x, για κάθε x G}. Το ζεύγος ( C, ) είναι υποομάδα της ( G, ). Λύση: Το σύνολο C είναι διάφορο του κενού αφού e x e= x για κάθε x G, e το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας (, ) άρα e C. G, Σελίδα 2 από 3

32 Έστω τώρα ότι, κάθε x Είναι: G. ab C, τότε a x a x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = και b x b= x για ab x ab = b a x ab = b a x a b = b x b = x για κάθε x G. Άρα ab C. Δηλαδή το C είναι κλειστό ως προς την πράξη. Επίσης για κάθε a C, a C αφού: ( ) ( ) ( ) ( ) a x a = a x a = a a x a a = aa x aa = x. Άρα το ζεύγος ( C, ) είναι υποομάδα της ομάδας (, ) G. 25. Έστω η ομάδα ( G, ) και a G. Το σύνολο a { : } { : } C = g G ga = ag = g G gag = λέγεται κεντροποιητής του στοιχείου a G. Δηλαδή ο κεντροποιητής του στοιχείου a G είναι το σύνολο των στοιχείων g G που μετατίθενται με το στοιχείο g G Το ζεύγος ( C, a ) είναι υποομάδα της (, ) Λύση: G.. Αν e είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας ( G, ) και a G, τότε ea ae a = =. Άρα e Ca, δηλαδή Ca. Σελίδα 22 από 3

33 Έστω τώρα ότι, xy C a, τότε: ( x y) a = x ( y a) = x ( a y) = ( x a) y = ( a x) y = a ( x y). Δηλαδή το σύνολο C a είναι κλειστό ως προς την πράξη της ομάδας. Επίσης για κάθε x Ca είναι και x C a αφού: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x = x a x= x x a x x= x x a x x = e a e= a Άρα το ζεύγος ( C, a ) είναι υποομάδα της (, ) G. 26. Έστω η ομάδα ( G, ) και a G. Να δειχθεί ότι το κέντρο (βλέπε εφαρµογή 24) ( C, ) της ομάδας ( G, ) είναι υποομάδα του κεντροποιητή ( C, a ) για κάθε a G. Λύση: Είναι C = { c G: c x c= x για κάθε x G} και a { : } C = g G g ag = a. Έστω ότι c C, εξ ορισμού είναι c x c= x για κάθε x G. Άρα και για x = a, θα έχουμε ότι c a c = a. Δηλαδή C C και αφού ( C, ) και ( C, ) a a είναι ομάδες, η ( C, ) θα είναι υποομάδα της ( ) C. a, Σελίδα 23 από 3

34 27. Έστω η ομάδα ( S ). Να βρεθεί το κέντρο της και ο 3, κεντροποιητής (cetralizer) του στοιχείου a = (32). Λύση: ( S ) () (23) (32) (23) (3) (2) 3, () () (32) (32) (23) (3) (2) (23) (23) () () (3) (2) (23) (32) (32) (2) (23) (2) (23) (3) (23) (23) (2) (3) () (32) (23) (3) (3) (23) (2) (23) () (32) (2) (2) (3) (23) (32) (23) () Με την βοήθεια του πίνακα βλέπουμε ότι το μόνο στοιχείο του S 3 που μετατίθεται με κάθε στοιχείο του S 3 είναι το ουδέτερο στοιχείο (). Άρα C = {( a) }. Επίσης τα μόνα στοιχεία που μετατίθενται με το a = ( 32) είναι τα στοιχεία (), ( 23 ) και ( 32 ), δηλαδή a {( )(, 23 )(, 32) } C =. Σελίδα 24 από 3

35 28. Αν G = {,, i, i} να δειχθεί ότι το ζεύγος ( G, ) είναι ομάδα και να εξετάσετε αν τα ζεύγη ({, }, ) και ({, i}, ) και ({, i}, ) είναι υποομάδες της (, ) G. 29. Να εξετάσετε αν το σύνολο H = { z : z 4 = } = {, i,, i} είναι φορέας της υποομάδας της (, ). Λύση: H αφού H. για κάθε ab, H είναι a = b = και a b ( ab) = =, άρα ab H. για κάθε a H: ( a ) ( a ) = = =, άρα a H. Επομένως το H είναι φορέας υποομάδας της (, ). 30. Έστω E = {()(, 23 )(, 32 ),( 23 ),( 3) }. Να εξετασθεί αν το ζεύγος ( E, ) είναι υποομάδα της (, ) Λύση: Όχι γιατί: ( 23) ( 3) = ( 2) E. G. Σελίδα 25 από 3

36 3. Mπορεί να υπάρχει υποομάδα ( H, ) της ( S ) τέτοια ώστε: ( 32) H και ( ) Λύση: 23 H ; Όχι, γιατί αν υπήρχε τέτοια υποομάδα θα έπρεπε: ( 23) 2 2 H, αλλά ( 23) = ( 32)( 32) = ( 23) που δεν ανήκει στο H. 3, 32. Έστω ότι ( H, ) υποομάδα της ( G, ). Αν η ( G, ) είναι Αβελιανή ισχύει το αυτό για την ( H, ); Αν η ( H, ) είναι Αβελιανή ισχύει το ίδιο για την ( G, ) ; Να δικαιολογηθούν οι απαντήσεις. 33. Να δειχθεί ότι αν ( K, ) υποομάδα της ( H, ) και ( H, ) υποομάδα της ( G, ) τότε ( K, ) υποομάδα της (, ) G. 34. Να βρεθούν οι κεντροποιητές των στοιχείων: ()(, 2 )& ( 23 ) της ομάδας ( ) S. 3, 35. Έστω η ομάδα ( G, ), H G, H = { G: = }. Σελίδα 26 από 3

37 i. Αν η ομάδα ( G, ) είναι Αβελιανή τότε ( H, ) υποομάδα της ( G, ). ii. Αν G = S3 να εξετασθεί αν το ζεύγος ( H, ) είναι υποομάδα της ( G, ). Λύση: i. Έστω, ab, τότε a= a και b= b. Άρα ab a = b H και ab b = a. Αλλά ( G, ) Αβελιανή ομάδα, επομένως ab = b a = ( ab), δηλαδή, ab H. Επομένως το σύνολο H είναι κλειστό ως προς την πράξη. Για κάθε a H, a H και a a = H. Άρα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Για κάθε a H εξ ορισμού a H. Δηλαδή υπάρχει συμμετρικό. ii. Το ζεύγος ( H, ) δεν είναι υποομάδα της ( S ) αφού: ( 2) ( 3) = ( 23) H. Το αποτέλεσμα δεν είναι 3, Σελίδα 27 από 3

38 ασυμβίβαστο με το (i) αφού η ομάδα ( S ) δεν είναι Αβελιανή. 3, 36. Έστω η ομάδα (, ) G, a G και H { a, } ότι το ζεύγος ( H, ) είναι υποομάδα της (, ) =. Να δειχθεί G. 37. Έστω η ομάδα (, ) G και H { h G, h 3 e} = =. Αν η ομάδα ( G, ) είναι Αβελιανή το ζεύγος ( H, ) είναι υποομάδα της ( G, ). 38. Ένα γινόµενο αρτίου αρτίου πλήθους αντιμεταθέσεων λέγεται άρτια μετάθεση. Ένα γινόμενο περιττού πλήθους αντιµεταθέσεων λέγεται περιττή μετάθεση. Αν A είναι το σύνολο όλων των αρτίων μεταθέσεων των στοιχείων τότε το ζεύγος (, ) υποομάδα της ( S, ). Η ομάδα ( ) εναλλασσόμενη ομάδα των στοιχείων. Λύση:, A είναι A είναι η Σελίδα 28 από 3

39 Έστω ab, A. Τότε η μετάθεση a μπορεί να γραφτεί σαν γινόμενο 2r αντιμεταθέσεων και η b σαν γινόμενο 2r+ 2s = 2( r+ s) αντιμεταθέσεων, άρα ab, A Α είναι κλειστό ως προς την πράξη. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο το ( ) ( ) ( ) = 2 2 A.. Δηλαδή το Για κάθε a A, a A. Πράγματι το συμμετρικό της αντιμετάθεσης ( ab ) είναι η ίδια αντιμετάθεση ( ab ). Τώρα αν a A και a είναι το γινόμενο των αντιμεταθέσεων a, a2,..., a κ κ άρτιος έχουμε ότι: ( ) a, a,..., a = a, a,..., a. Δηλαδή το συμμετρικό μιάς 2 κ 2 κ άρτιας μετάθεσης είναι άρτια μετάθεση. Δηλαδή ( A, ) είναι υποομάδα της ( S, ). 39. Έστω η ομάδα ( G, ) και η συνάρτηση f : G G. Μια περίοδος της συναρτήσεως f είναι κάθε στοιχείο a G για το οποίο f ( ax) f ( x) = για κάθε x G. Να δειχθεί οτι το σύνολο P όλων των περιόδων της f είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). Σελίδα 29 από 3

40 Για τις επόμενες ασκήσεις η ομάδα ( G, ) είναι Αβελιανή 40. Αν H { x G: x x } ( G, ). = = το H είναι φορέας υποομάδας της 4. Αν ένας σταθερός ακέραιος και H { x G: x e} = =, να δειχθεί ότι το H είναι φορέας υποομάδας της ( G, ) Αν H = { x G: x= y για κάποιο y G} να δειχθεί ότι το H είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). 43. Αν ( H, ) είναι υποομάδα της (, ) G και K = { x G: x 2 H} να δειχθεί ότι το K είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). 44. Αν ( H, ) υποομάδα της ( G, ) και { :, } K = x G x H, να δειχθεί ότι το K είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). Σελίδα 30 από 3

41 45. Αν ( H, ) και ( K, ) είναι υποομάδες της ( G, ) και HK = { xy : x H και y K} να δειχθεί ότι το ΗΚ είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). Λύση: e H και e K άρα ee = e HK, δηλ. HK. Έστω wz HK τότε w= x y, z = x2 y2 και x, x2 και H, y y, y 2 K. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) wz = x y x y = x y x y = x x y y = x x y y HK Δηλαδή το σύνολο HK είναι κλειστό ως προς την πράξη. Έστω x y HK τότε ( ) x y = y x HK Άρα η δομή ( HK, ) είναι υποομάδα της ομάδας (, ) G. Σελίδα 3 από 3

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-2016 Άλγεβρα Boole (Boolean Algebra) Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Βασικοί Ορισµοί Δυαδικός Τελεστής (Binary Operator): σε κάθε ζεύγος από το Σ αντιστοιχίζει ένα στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Ενσύρµατης Τηλεπικοινωνίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ιδάσκων: Καθηγητής Ν. Φακωτάκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Ενσύρµατης Τηλεπικοινωνίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point

Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Με n bits μπορούμε να παραστήσουμε 2 n διαφορετικούς αριθμούς π.χ. με n=32 μπορούμε να παραστήσουμε τους αριθμούς από έως 2 32 -= 4,294,967,295 4

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων

Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Πληροφορικής Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Σταμούλης Γεώργιος georges@uth.gr Δαδαλιάρης Αντώνιος dadaliaris@uth.gr Δυαδική Λογική Η δυαδική λογική ασχολείται με μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων. Ψηφιακή Σχεδίαση. Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων. Ψηφιακή Σχεδίαση. Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων Ψηφιακή Σχεδίαση Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Γ. Κορνάρος Περίγραμμα Μέρος 1 Κυκλώματα Πυλών και

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα