Πράξεις. Αλγεβρικά Συστήµατα. Ιδιότητες Πράξεων. Προσεταιριστική. Αντιµεταθετική. Ουδέτερος. Αντίστροφος

Transcript

1 Πράξις Αλρικά Συστήµτ Μί συνάρτηση f πό το ΑxA Αονοµάτι πράξη (ιµλής) πί του A. Ο ορισµός µπορί ν πκτθί σ µι συνάρτηση πό ρο (ΑxA)xA A (τριµλής πράξη), κτλ Έν σύνολο φοισµένο µ ένν ριθµό πράξων πί του συνόλου κλίτι λρικό σύστηµ Ιιότητς Πράξων Προστιριστική a) ( b c = a b ) ( c Αντιµτθτική a b = b a Ουέτρος a e = e a = a Αντίστροφος a = b b a = e Ηµιοµά Ηµιοµά: Έν λρικό σύστηµ (, Α ) κλίτ ηµιοµά ν: 1. Η ίνι µι κλιστή πράξη Αν a,bєa τότ a bєa 2. Η ίνι µι προστιριστική πράξη Πράιµ: Αν Α={2,4,6,...} το σύνολο των θτικών ρτίων κρίων κι + η πρόσθση πί του Α, τότ το Α ίνι ηµιοµά φού η + ίνι κλιστή κι ισχύι η προστιριστική ιιότητ

2 Ουέτρο Στοιχίο Έστω (, Α ) έν λρικό σύστηµ. Έν στοιχίο eєa λέτι ριστρό ουέτρο ν: e x=x, xєa Όµοι, έν στοιχίο eєa λέτι ξί ουέτρο ν: x e=x, xєa Ουέτρο ν ίνι ξί κι ριστρό ουέτρο Αν e ίνι έν ριστρό ουέτρο, τότ ίτ το e ίνι κι ξιό ουέτρο, ίτ το ξιό ουέτρο ν υπάρχι Μονοιές (, Α ) Έν λρικό σύστηµ ονοµάτι µονοιές ν: Η ίνι µι κλιστή πράξη Η ίνι µι προστιριστική πράξη Υπάρχι το ουέτρο στοιχίο Πράιµ: Ν: Το σύνολο των θτικών κρίων. Το (Ν,x) ίνι µονοιές, ισχύι η προστιριστική κι υπάρχι το ουέτρο 1. Το (Ν,+) ν ίνι µονοιές φού το ουέτρο 0, ν πριέχτι στο Ν Οµά Οµάς Έν λρικό σύστηµ (, Α ) ονοµάτι οµά ν: Η ίνι µι κλιστή πράξη Η ίνι µι προστιριστική πράξη Υπάρχι το ουέτρο στοιχίο Κάθ στοιχίο του Α έχι έν ριστρό ντίστροφο Αν πιπλέον ισχύι η ντιµτθτική ιιότητ, η οµά ονοµάτι λινή Πράιµ: Το σύνολο Ζ των κρίων ίνι λινή οµά υπό την πρόσθση. Το ουέτρο στοιχίο ίνι το µηέν (0), νώ ο ντίστροφος κάθ ριθµού ίνι o Σ µι οµά έν ριστρό ντίστροφο ίνι κι ξί ντίστροφο: Αν b ριστρό ντίστροφο του a & c ριστρό ντίστροφο του b: (b a) b=e b=b Άρ, c ((b a) b=e b)=c (1) Όµως φού τ a,b,c στοιχί της οµάς Α έχουµ: c ((b a) b)= ((c b) a) b= (e a) b = a b (2) Από τις (1) κι (2) συµπρίνουµ ότι : a b = e Άρ το b ίνι κι ξί ουέτρο του a

3 Οµάς ΟΑντίστροφος κάθ στοιχίου a µις οµάς ίνι µονικός Έστω b κι c ύο ντίστροφοι του, Τότ b a=e κι c a=e Επίσης e b=e b ή (1) (b a) = b (c a) b ή b =( b a ) c (a ( b ή b = e c e Άρ b=c Υποοµάς (, Β ) µι οµά κι Β Α. Τότ το (, Α ) Αν λέτι υποοµά του Α, ν το (, Β ) ίνι το ίιο οµά. Αφού το Β Α ρκί ν ίξουµ: Η ίνι µι κλιστή πράξη πί του Β Το ουέτρο στοιχίο eєb Αφού το ντίστροφο ίνι µονικό πρέπι: aєb ν ίνι a -1 єb Οµοιοµορφισµός Έστω οι ηµιοµάς (, S ) κι (S, ). Η συνάρτηση f: S S ονοµάτι οµοιοµορφισµός ηµιοµάς ή οµοιοµορφισµός ν f(a b)=f(a) f(b) Αν η f ίνι έν προς έν κι πί, τότ η f ονοµάτι ισοµορφισµός µτξύ των S κι S. Οι S κι S λέοντι ισόµορφς ηµιοµάς Γννήτορς Α={0 0,60 0,120 0,180 0,240 0, } Οµά των πριστροφών των ωµτρικών σχηµάτων στο πίπο ιοχικές πριστροφές κτά 60 0 πράουν όλς τις πριστροφές της οµάς Α Στο πράιµ µς η οµά Α ννήθηκ πό ιοχικές πριστροφές του {60 0 }

4 Γννήτορς Έστω (Α, ( λρικό σύστηµ Η πράξη ίνι κλιστή στο Α Κι Β={ 1, 2,...} Α Έστω Β 1 =Β { i j i,j єb} Θ λέµ ότι το Β 1 ννάτι υθέως πότοβ Όµοι Β 2 το σύνολο που ννάτι υθέως πότοβ 1... Β 3 το σύνολο που ννάτι υθέως πότοβ το Β i+1 σύνολο που ννάτι υθέως πότοβ i Γννήτορς Έστω B * =UB i, το (Β *, ( υποσύστηµ που ννάτι πό το Β Αν Β * =Ακλίτισύνολο ννητόρων του Α Στο προηούµνο πράιµ τοσύνολο{60 0 } ποτλί σύνολο ννητόρων της οµάς Α Γννήτορς Αν το σύνολο ννητόρων µις οµάς ποτλίτι πό έν µόνο στοιχίο η οµά λέτι κυκλική Οποιήποτ κυκλική οµά ίνι κι ντιµτθτική Απόιξη: Έστω (Α,*) µι κυκλική οµά κι {} έν σύνολο ννητόρων της Όλ τ στοιχί της Α µπορούν ν ηµιουρηθούν πό το {}:, 2, 3, 4... Αν x,yєa, τότ x y= i j= j i (λόω προστιριστικής) Άρά x y= y x Γννήτορς (πρίµτ) Ηοµά των πριστροφών των σχηµάτων του προηούµνου πρίµτος ίνι κυκλική οµά ({60 0 }: οµά ννητόρων) Γι την οµά του ιπλνού σχήµτος: Το Σύνολο {} ποτλί σύνολο ννητόρων, άρ η οµά ίνι κυκλική {} =, {,} =, {,,} *=. {,,,} Το {} ίνι κι υτό έν σύνολο ννητόρων *

5 Σύµπλοκ Έστω (, Α ) λρικό σύστηµ κι aєa Η έν υποσύνολο του Α Το σύνολο {a x xєh} ονοµάτι ριστρό σύµπλοκο του Η κι συµολίτι µ a H Το σύνολο {x a xєh} ονοµάτι ξί σύµπλοκο του Η κι συµολίτι µ H a Σύµπλοκ Θώρηµ: Aν a H κι b H ύο σύµπλοκ του Η, τότ ίτ τυτίοντι, ίτ ν έχουν κνέν κοινό στοιχίο Απόιξη: Έστω ότι τ a H κι b H έχουν το f κοινό στοιχίο, τότ 1 h 1,h 2 : f=a h 1 =b h 2, άρ a=b h 2 h1 1 Έστω xєa H, τότ h 3 τέτοιο ώστ h x=a 3 ή x=b h 2 h1 h 3, το οποίο ίνι στοιχίο του b H Όµοιο ποικνύτι κι ότι κάθ στοιχίο του b H ίνι κι στοιχίο του a H Κνονικές Υποοµάς Αν Η υποοµά της G. H H ονοµάτι κνονική υποοµά της G, ν ι κάθ aєg, το a G ίνι ίσο µ τοg a Σηµίωση: Κτά συνέπι κάθ ντιµτθτική υποοµά ίνι κνονική Πράιµ: Αν Η={,,} υποοµά της οµάς του ιπλνού σχήµτος, τότ η Η ίνι κνονική π.χ. Η={,, }={,,} κι Η ={,, }={,,} * Κνονικές Υποοµάς Έστω η οµά G κι Η κνονική υποοµά της G Αν a H κι b H ύο ριστρά σύµπλοκ, τότ: a 1 є a H κι b 1 є b H, τ στοιχί a 1 b 1 νήκουν στο ίιο σύµπλοκο του Η Απόιξη: Έστω a 1 =a h 1 b 1 =b h 2, µ h 1, h 2 єh Έχουµ: a 1 b 1 =(a h 1 ) (b h 2 ) Όµως η Η ίνι κνονική υποοµά, άρ h 3 єh: b h 2 =h 3 b Οπότ: a 1 b 1 =(a h 1 ) (h 3 b) = a h 5 b=a b h 6 Εποµένως το a 1 b 1 νήκι στο σύµπλοκο (a b) H

6 Θώρηµ του Lagrange Ητάξη οποισήποτ υποοµάς µις ππρσµένης οµάς ιιρί την τάξη της οµάς Τάξη οµάς: Το πλήθος των στοιχίων ππρσµένης υποοµάς Συµπράσµτ: Μι οµά µ τάξη πρώτο ριθµό έχι µόνο ττριµµένς υποοµάς (κίνη που πριέχι όλ τ στοιχί της οµάς κι κίνη που πριέχι µόνο το ουέτρο στοιχίο) κτύλιοι Έστω τ λρικά συστήµτ (Α,*) κι (Α, ). Μπορούµ ν ορίσουµ έν λρικό σύστηµ φοισµένο µ ύο ιµλίς πράξις (Α,*, ) Επιµριστική ιιότητ (ο τρόπος λληλπίρσης των ύο πράξων) a*(b c)=(a*b) (a*c) κι (b c)*a=(b*a) (c*a) κτύλιοι κτύλιοι Το λρικό σύστηµ (Α,+, ) ονοµάτι κτύλιος ν: 1. Το (Α,+) ίνι λινή οµά 2. Το (Α, ) ίνι ηµιοµά 3. Ηπράξη ίνι πιµριστική ως προς την πρόσθση Ονοµάουµ τις ύο πράξις πρόσθση κι πολλπλσισµό Ονοµάουµ τοa+b άθροισµ κιτοa b ινόµνο Το ουέτρο στοιχίο της (Α,+) ονοµάτι προσθτικό ουέτρο (0) Το ντίστροφο του στοιχίου στην (Α,+) ονοµάτι προσθτικό ντίστροφο κι συµολίτι µ - Ν ιχθί ότι ι κάθ στοιχίο νός κτυλίου (Α,+, ) ισχύι 0 a=0 Απόιξη: 0 a=(0+0) a=0 a+0 a Προσθέτοντς το ντίστροφο του 0 a κι στ ύο µέλη έχουµ: 0 a=0

7 Ακέρι Πριοχή Το λρικό σύστηµ (Α,+, ) λέτι κέρι πριοχή ν: 1. Το (Α,+) ίνι λινή οµά 2. Η πράξη ίνι ντιµτθτική. Επιπλέον, ν c 0 κι c a=c b συνπάτι a=b 3. Η πράξη ίνι πιµριστική ως προς την πρόσθση Σώµ Το λρικό σύστηµ (Α,+, ) λέτι σώµ ν: 1. Το (Α,+) ίνι λινή οµά 2. Το (Α-{0}, ) ίνι λινή οµά 3. Η πράξη ίνι πιµριστική ως προς την πρόσθση