ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

Transcript

1 Pierre-Simn Laplace ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ /4

2 Τι περιλαμβάνει Ορισμοί Μετασχ. Laplace απλών σημάτων Ιδιότητες Εφαρμογή στη λύση ΔΕ Μετασχηματισμένο κύκλωμα Συνάρτηση κυκλώματος Αντίστροφος μετασχ. Laplace /4

3 H σπουδαιότητα της μεθόδου περιγραφή κυκλώματος με διαφορικές εξισώσεις Laplace περιγραφή κυκλώματος αλγεβρικές εξισώσεις έκφραση της λύσης στο πεδίο του χρόνου L - έπίλυση στο πεδίο των συχνοτήτων (Laplace η ανάλυση γίνεται με επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων αντί των αντίστοιχων διαφορικών 3/4

4 ορισμοί X(= L {x(t} Μονόπλευρος και δίπλευρος μετασχ. Laplace L X( = 0 - x(te t dt =σ+jω μιγαδική συχνότητα x(t L j +j t X( X(d -j e 4/4

5 Μιγαδική συχνότητα - Είδαμε για τους φάσορες: j( t (t = V m ( t + = Re[V me ] V= V e = V e e = e m j( t j jt jt m Vm Γενικεύουμε: = + j j ( +j t j ( +j t t (t Re[V m me ] = V m ( t V e e e e παράδειγμα 3 (t V e m 0 (t V m m 3t 00j (t V (00t t j (t Vme (t 5/4

6 Μιγαδική συχνότητα - επίπεδο- Σήματα για διάφορες τιμές της μιγαδικής συχνότητας 6/4

7 Mετασχηματισμός Laplace απλών σημάτων -t X( = x(te dt 0 - L {δ(t} 0 e t δ(tdt L t { δ(t - t } e δ(t t dt 0 e t L{u(t}= 0 - e -t t -t u(tdt = e dt = - [e ] 0 0 = L{u(t - t }= e -t L{ e -at u(t}= 0 - e -at u(te t dt = dt = a -(a+t e 0-7/4

8 Mετασχηματισμός Laplace ημιτόνου in( t -t X( = x(te dt 0 - μετατρέπουμε Γνωρίζουμε j in ωt u(t (e j L a { e -at u(t}= ωt e jωt u(t ( j ( j L[in t] j j j j( j ( j L 8/4

9 x(t δ(t η u(t ημωt u(t συνωt u(t t e e e n at u(t at at u(t συνωt u(t ημωt u(t X(= L{x(t} + a ω + ω + ω n! n+ ( + a ω ( + a + a + ω + ω 9/4

10 Ιδιότητες γραμμικότητα L{k x (t+k x (t} = k L{x (t}+k L{x (t} διαφόριση L dx(t = X( - x(0 dt L χειρίζεται αρχικές συνθήκες (n ( - (n- - d x(t n n - n- d x( 0 d x( 0 = X( - x( n 0 n- dt dt dt ολοκλήρωση L t x(tdt = - 0 X( συνέλιξη Lx(t at μετατόπιση L y(t = X(Y( x(te = X( a 0/4

11 γραμμικότητα - παράδειγμα Να βρεθεί ο μετασχ. laplace της /4

12 Μετατόπιση - παράδειγμα Να βρεθεί ο μετασχ. Laplace του f(t = e -t in 3t Γνωρίζουμε: L {in 3t} F( 3 3 Μετατόπιση : L t {e in 3t} F( 3 ( 3 /4

13 Εφαρμογή στη λύση των διαφορικών εξισώσεων Παράδειγμα i(0 - =5A i(t=? 3u(t Η i(t 4Ω Δ.Ε. di 3u(t = dt + 4i Laplace 3 = [I( - i(0 ]+ 4I( I( = Αντιστροφος Laplace i(t = L - L i(t = 0.75u(t + 4.5e t u(t 3/4

14 T μετασχηματισμένο κύκλωμα T μετασχηματισμένο Μετασχηματισμός αντιστάτη: υ(t=r i(t κύκλωμα V( =RI( + υ _ i R + V _ I R 4/4

15 Μετασχηματισμός επαγωγού: di υ(t = L dt i(t = L t 0 - υ(tdt + i(0 V( = LI( - Li(0 I( = V( L + i(0 I( I( L Li(0 - V( L i( 0 V( 5/4

16 Μετασχηματισμός χωρητικότητας t - υ (t = C 0 - i(tdt + υ(0 η dυ(t i(t = C dt V( = I( C + - υ(0 η I( = CV( - Cυ(0 I( I( C ( 0 V( C C υ( 0 - V( 6/4

17 Παράδειγμα Ο διακόπτης μετακινείται από τη θέση στη θέση. Να βρεθεί το ρεύμα i(t για t>0 i (0 - = Α και υ C (0 - =V 3Ω H i υ 5V 0.5 F μετασχηματίζουμε 3Ω V = (3+ + I( 5/ I / / Ι( = +3 ( +( + = t t : i(t = + e u(t (e 7/4

18 Παράδειγμα 0 Ω Η Η Ο διακόπτης κλείνει την χρονική στιγμή t=0. Να βρεθεί το i (t 00V i (t 0 Ω i (t 0 Ω 0Ω I I 00/ 0Ω 0Ω Η λύση ( + 0I -0I 00 I = -0I = + ( + 0I 00 = 0 0 ( +0( I = t 30t i(t = e e t 0 8/4

19 Αντίστροφος μετασχ. Laplace Αντίστροφος Ανάλυση σε μερικά κλάσματα μετασχηματισμός Y( = N( D( Laplace Τι γίνεται εάν : βαθμός αριθμητού > βαθμός παρονομαστού 9/4

20 . Απλές πραγματικές ρίζες Y(= N( (- (- (-... Y(= k - + k - + k k i=y((- i =i 0/4

21 παράδειγμα Y( 96( 5( ( 8( ( 5( Y ( Πολλαπλασιάζουμε 3 ( 8( 6 με 8τον παράγοντα 6 Για =0 βρισκουμε: 96( 5( Y(( 6 ( 8 96( 5( 96(5( Y(( ( 8( 6 8(6 96( 5( 96( 3(4 Y(( Επαναλαμβάνουμε 8 για τους υπόλοιπους 7 ( 6 ( 8( πόλους ( (6 ( Y( 96( 5( ( 8( ( 5( ( 8( 6 y(t=l - =L - =L - +L - +L = ( 0+48e -6t -7e -8t u(t /4

22 παράδειγμα Πώς βρέθηκε το 3 και το?? F (( 3 F (( 4 4 τελικά /4

23 . Μιγαδικές (συζυγείς ρίζες N( Y( = D ((- a - jb(- a + jb N ( + k = + k D ( - a - jb - a + jb και k = k N( jbd ( = =a+jb N( - jbd ( =a-jb = οπου k =k 3/4

24 00( 3 Y( ( 6( 6 5 παράδειγμα +6+5=(+3-j4(+3+j4 3 Y( 6 3 j4 3 j4 k k k 00( 3 ( ( ( 3 ( 6( 3 4j j j8 0e 00( 3 ( 6( 3 4j 3 j4 00(j4 (3 j4(j8 j j 0e 34j 00( 4j (3 4j( 8j Aρα Y( j j4 y(t= L - 00( 3 ( 6( 6 5 =[ -e -6t +0e -j53.3 e -(3-j4t +0e j53.3 e -(3+j4t ] u(t = = [-e -6t +0e -3t συν(4t-53.3 ]u(t 4/4

25 B λύση Y( j4 3 j4 Y( 00( 3 ( 6( A B 6 5 A B 6 ( 3 4 e e at at συνωt u(t ημωt u(t + a ( + a ω ( + a + ω + ω... βρισκουμε τήν y(t 5/4

26 παράδειγμα Να βρεθεί η g(t 6/4

27 3. Ρίζες με πολλαπλότητα Y(= (- N( n D ( Y(= k (- n + k (- n- + k (- n k - n- + N( D ( Y (=Y((- n =k +k (- +k ( k n- (- n- N ( + (- D ( n k = Y(( - n = dy ( k = = d... k i = i! d i Y( i d = 7/4

28 παράδειγμα Y( 80( ( 5( 3 5 ( 3 3 =0 και Κ =-5 Για το Κ 3 80( 30( 3 ( 5( 3 80( 7 ( 3( Για το Κ 4 d d 80( 30 ( d d 4( ( 5 ( 30( 5 80 ( 5 3 ( 3( (7( 80 9( ( ( 3 Y 05 3 y(t= L - 80( 30 ( 5( 3 (0-5e -5t -80te -3t +05e -3t u(t 8/4

29 παράδειγμα ( F ( 6 5 ( ( ( ( 6 5 ( d d d d ( d d d d ( ( d d ( ( d d Για τον υπολογισμό του Κ 9/4

30 ( B ( B A A ( F( παράδειγμα 0 0 F( ( B, ( F( A d d F( ( d d B, ( d d F( d d A u(t te u(t e tu(t u(t f(t ( ( F( t t /4

31 Συνάρτηση κυκλώματος Σε προηγούμενα κυκλώματα είδαμε. 0Ω I I I = 00 0 (+0( / 0Ω 0Ω 3Ω 5 = (3 + + I( H( 5/ I / I 5 3 αρχικές συνθήκες=0 3/4

32 Συνάρτηση κυκλώματος Y(=H(X( H( Y( X( H( h(t Είναι λόγος τάσεων,ρευματων κλπ Και «παίρνει» ονόματα: συνάρτηση μεταφοράς συνάρτηση εμπέδησης.. 3/4

33 παράδειγμα Βρίσκουμε την συνάρτηση κυκλώματος υ(t=? V(=H(V ( H( V( V ( C R C RC Εάν υ (t = e -00t u(t ( V 00 V( H(V ( RC V ( ( 00 υ(t 00te 00t u(t 33/4

34 Βάσει της H( V( V ( C R C RC υ(t=? Εάν υ (t =δ(t ( Για την έξοδο έχουμε: V V( H(V ( V ( RC υ(t e -00t u(t 00 Προφανώς υ(t=κρουστική απόκριση 34/4

35 παράδειγμα Να βρεθεί η κρουστική απόκριση h(t δ(t.4ω 0.4H 0.F + h(t _ 0/ + H( _ H( h(t L {H(} in( 4t e 3t u(t Μπορούμε να βρούμε την ενέργεια που δίνεται στο κύκλωμα??? 35/4

36 Συνέλιξη και μετασχ. Laplace Y( = H(X( L Y( = L H(X( Συνέλιξη y(t t 0 h(τx(t τdτ h(t x(t h(t = κρουστική απόκριση 36/4

37 Τελικά τι είναι η h(t??? Y( = H(X( Για x(t=δ(t δηλ. Χ(= Y( = H( 37/4

38 Συνάρτηση μεταφοράς και Ημιτονική ανάλυση 38/4

39 Πώς βρίσκουμε τον φάσορα x(t= Aσυν(ωt X(= A Aναλύουμε σε μερικά κλάσματα Υπολογίζουμε: H( k A Y(= Η(X(= H( ω A H(A jω jω * k k Y( [οροι της H(] jω jω H(jωAjω jω AH(jω A H(jωe jφ y(t A H(jω L - jφ e jω jφ e jω A H(jω e jφ e jωt e jφ e jωt y(t=a Η(jω συν(ωt+ 39/4

40 Συμπέρασμα Εάν γνωρίζουμε την απόκριση Η( Υπολογίζουμε την Η(jω= Η(jω φ Το πλάτος Η(jω διαμορφώνει το πλάτος του σήματος και η γωνία φ την φάση του y(t=a Η(jω συν(ωt+ 40/4

41 παράδειγμα Όταν η τάση εισόδου σε ένα κύκλωμα είναι υ i = 30u(t η απόκριση είναι : υ ο =(50e -8000t -0e -5000t u(t. Πόση θα είναι η απόκριση σε ημιτονική διέγερση υ i =0συν6000t Αρχικά υπολογίζουμε την συνάρτηση μεταφοράς Η( V ( H(V ( i H( H( ( 3000 ( 8000( /4

42 Για τήν απόκριση σε ημιτονική διέγερση υ i =0συν6000t Υπολογίζουμε: H( j j( 6000j 3000 ( 6000j 8000( 6000j (j 4 78j Η απόκριση είναι υ ο =0 x 0.5συν(ωt τελικά : υ ο (t=6.84 συν(6000t /4

43 Χρήση του μετασχ. Laplace για κλειστή μορφή σημάτων Απλός παλμός υ(t=vu(t +Vu(t-T V V V T T V p( e e 43/4

44 Χρήσιμα ite /4