Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε."

Transcript

1 ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΤΑΜΕΙΟ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΥΚΑΛΙΩΝ Εκτίµηση πληµµυρικών ροών στην Ελλάδα σε συνθήκες υδροκλιµατικής µεταβλητότητας: Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένου εννοιολογικού-πιθανοτικού πλαισίου και υπολογιστικών εργαλείων Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Ινστιτούτο Ερευνών Περιβάλλοντος και Βιώσιµης Ανάπτυξης Ενότητα Εργασίας 3 Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένων εργαλείων υδρολογίας πληµµυρών Παραδοτέο Π3.4 Τεχνική έκθεση θεωρητικής τεκµηρίωσης µοντέλου γέννησης συνθετικών υετογραφηµάτων

2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η προσοµοίωση των πληµµυρικών γεγονότων απαιτεί τη µελέτη και προσοµοίωση του φαινοµένου της βροχής σε µικρές χρονικές κλίµακες (π.χ. µικρότερες της µηνιαίας). Ωστόσο, στις κλίµακες αυτές η µοντελοποίηση παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες αφενός λόγω της διαλείπουσας φύσης του φαινοµένου και αφετέρου λόγω της έντονης εξάρτησης και µεταβλητότητας των µεγεθών του. Σε αυτά τα πλαίσια, αναπτύχθηκε ένα ευέλικτο πολυµεταβλητό σχήµα στοχαστικής προσοµοίωσης της βροχόπτωσης που µπορεί να εφαρµοστεί σε µεγάλος εύρος χρονικής κλίµακας. Η προτεινόµενη µεθοδολογία έχει ως βάση το κυκλοστάσιµο πολυµεταβλητό µοντέλο αυτοπαλινδρόµησης τάξης 1 (PAR1), ενώ για την αναπαραγωγή της διαλείπουσας φύσης των χρονοσειρών εφαρµόζεται ένα πρωτότυπο σχήµα µετασχηµατισµών. Η µεθοδολογία επαληθεύτηκε στη λεκάνη του Βοιωτικού Κηφισού και όπως αποδεικνύεται το µοντέλο καταφέρνει να διατηρήσει τόσο τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της ηµερήσιας βροχόπτωσης, συµπεριλαµβανοµένης της πιθανότητας ξηρασίας, όσο και τις δοµές αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης. Ως µια εναλλακτική λύση για την παραγωγή συνθετικών υετογραφηµάτων παρουσιάζεται το στοχαστικό µοντέλο συστάδων ορθογωνικών παλµών Bartlett-Lewis. Το συγκεκριµένο µοντέλο τυγχάνει ευρείας αποδοχής για την µονοµεταβλητή προσοµοίωση της βροχής σε λεπτές χρονικές κλίµακες και σε συνεχή χρόνο. Η υλοποίησή του έγινε σε προγραµµατιστικό περιβάλλον R και είναι διαθέσιµο µέσα από το υπολογιστικό πακέτο HyetosR. ABSTRACT The simulation of flood events necessitates the simulation of the rainfall over small times scales (e.g., smaller than the monthly scale). Nevertheless, rainfall modelling at small time scales is not simple as rainfall at these scales is an intermittent process and exhibits large variability in its statistical-stochastic characteristics. In this context, a flexible multivariate framework of stochastic simulation of rainfall was developed that can be applied to a large range of times scales. The proposed methodology is based on the cyclostationary multivariate autoregressive model of order 1 (PAR1), while the intermittency characteristics were reproduced using a novel transformation structure. The methodology was verified in the basin of Boeotikos Kephisos and it was verified that the model preserves satisfactorily the basic statistical characteristics of daily rainfall, including the probability dry, as well as the autocorrelation and the cross correlation structures. As an alternative for the generation of synthetic hyetographs the stochastic model known as the rectangular pulse Bartlett-Lewis model is presented. This model is widely accepted for the single-variate simulation of rainfall at fine time scales and in continuous time. The implementation was done in R programming environment and is available through the computer package HyetosR.

4 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1 Εισαγωγή Αντικείµενο του τεύχους - Ιστορικό ιάρθρωση τεύχους Στοχαστική µοντελοποίηση βροχόπτωσης Επιλογή στοχαστικού µοντέλου Παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών Κανονικοποίηση ιστορικών χρονοσειρών Εκτίµηση µητρώων συσχετίσεων και παραµέτρων µοντέλου Περιοχή µελέτης και διαθέσιµα δεδοµένα Στατιστική-στοχαστική ανάλυση ιστορικών βροχοπτώσεων Βασικά περιγραφικά µέτρα Ηµερήσιες χρονοσειρές Ηµερήσιες χρονοσειρές σε µηνιαία βάση Προσαρµογή κατανοµών Ανάλυση αυτοσυσχετίσεων και ετεροσυσχετίσεων Στατιστική-στοχαστική ανάλυση συνθετικών βροχοπτώσεων Ηµερήσιες χρονοσειρές συνθετικής βροχής Ηµερήσιες χρονοσειρές συνθετικής βροχής σε µηνιαία βάση Ανάλυση αυτοσυσχετίσεων και ετεροσυσχετίσεων συνθετικής βροχής Στοχαστική προσοµοίωση της βροχής µε µοντέλα συστάδων ορθογωνικών παλµών Εισαγωγή Η βροχή στις µικρές χρονικές κλίµακες Τα µοντέλα συστάδων ορθογωνικών παλµών Το µοντέλο ορθογωνικών παλµών Neyman-Scott (NSRPM) Το µοντέλο ορθογωνικών παλµών Bartlett-Lewis (BLRPM) Το τυχαίο µοντέλο Bartlett-Lewis (RBLRPM) Το τυχαίο µοντέλο Γάµα Bartlett-Lewis (RBLRPM) Βιβλιογραφικά συµπεράσµατα από την εφαρµογή του µοντέλου Εκτίµηση παραµέτρων µοντέλων Bartlett-Lewis Τοποθέτηση προβλήµατος στα πλαίσια της βελτιστοποίησης Κριτήρια επιλογής στατιστικών µεγεθών Ευαισθησία παραµέτρων στην κλίµακα µελέτης Το υπολογιστικό πακέτο HyetosR 46 5 Αναφορές 51 4

5 6 Παράρτηµα Α 57 7 Παράρτηµα B 75

6 1 Εισαγωγή 1.1 Αντικείµενο του τεύχους - Ιστορικό Στα πλαίσια της ράσης «Συνεργασία» του ΕΣΠΑ , η Γενική Γραµµατεία Έρευνας και Τεχνολογίας ανέθεσε στη σύµπραξη τεσσάρων φορέων (ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες, Γραφείο Μαχαίρα, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, και Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών) το ερευνητικό έργο ΕΥΚΑΛΙΩΝ Εκτίµηση πληµµυρικών ροών στην Ελλάδα σε συνθήκες υδροκλιµατικής µεταβλητότητας: Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένου εννοιολογικού-πιθανοτικού πλαισίου και υπολογιστικών εργαλείων. Το έργο αποσκοπεί στην ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένων µεθοδολογιών µοντελοποίησης και πρόγνωσης των ισχυρών καταιγίδων και των επαγόµενων πληµµυρικών φαινοµένων, προσαρµοσµένων στις ιδιαιτερότητες των ελληνικών υδροκλιµατικών και γεωµορφολογικών συνθηκών. Στα πλαίσια του έργου προβλέπεται η ανάπτυξη ενός δικτύου ερευνητικών λεκανών, υφιστάµενων και νέων, στην Ελλάδα και την Κύπρο. Από την ανάλυση των δεδοµένων πεδίου (υδρολογικών, µετεωρολογικών, γεωγραφικών) των εν λόγω λεκανών θα εξαχθούν φυσικά τεκµηριωµένες περιοχικές σχέσεις για την εκτίµηση χαρακτηριστικών υδρολογικών µεγεθών σχεδιασµού. Ακόµη, θα αναπτυχθούν υδρολογικά-υδραυλικά µοντέλα που θα ολοκληρωθούν σε ένα επιχειρησιακό σύστηµα υδροµετεωρολογικής πρόγνωσης. Τέλος, προβλέπεται ακόµη η προετοιµασία (υπό µορφή προσχεδίου για επιστηµονική συζήτηση) ενός πλαισίου κριτηρίων σχεδιασµού και µεθοδολογιών εκπόνησης µελετών αντιπληµµυρικών έργων. Σκοπός της Ενότητας Εργασίας 3 µε τίτλο Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένων εργαλείων υδρολογίας πληµµυρών είναι η αξιοποίηση των ιστορικών πληροφοριών και των δεδοµένων πεδίου που θα συλλεχθούν από το νέο µετρητικό δίκτυο, για την διατύπωση ενός φυσικά εδραιωµένου µεθοδολογικού πλαισίου, το οποίο αφορά στη µοντελοποίηση των πληµµυρών, προσαρµοσµένου στις ελληνικές συνθήκες. Το πλαίσιο αυτό περιλαµβάνει ένα φάσµα µεθοδολογικών προσεγγίσεων, από στοιχειώδεις εµπειρικές σχέσεις έως προχωρηµένα µοντέλα προσοµοίωσης, τα οποία θα ελεγχθούν στις πιλοτικές περιοχές του έργου και θα συγκριθούν µε κοινές πρακτικές των µελετητών και καταξιωµένα υπολογιστικά εργαλεία της βιβλιογραφίας. Η παρούσα τεχνική έκθεση αναφέρεται στην ανάπτυξη µοντέλων στοχαστικής προσοµοίωσης για την παραγωγή συνθετικών καταιγίδων, που χρησιµοποιούνται στη συνέχεια ως στοιχεία εισόδου σε υδρολογικά µοντέλα πληµµυρών. Τα συνθετικά επεισόδια (ή χρονοσειρές) που γεννώνται µέσω προσοµοίωσης αναπαράγουν πλήρως τη στοχαστική δοµή των ιστορικών δειγµάτων βροχής, διατηρώντας τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της βροχής σε όλες τις κλίµακες, καθώς και τις χρονικές και χωρικές συσχετίσεις στις χρονικές κλίµακες ενδιαφέροντος. Τα µοντέλα που αναπτύχθηκα και οι αντίστοιχες εφαρµογές τους σε κατάλληλο υπολογιστικό περιβάλλον, υλοποιούν µονοµεταβλητά (βασισµένα στην ανέλιξη Bartlett-Lewis) και πολυµεταβλητά σχήµατα, όπως περιγράφεται αναλυτικά στην παρούσα έκθεση καθώς και πρωτότυπα εναλλακτικά σχήµατα προσοµοίωσης. Η οµάδα εκπόνησης του παρόντος τεύχους είναι: Σίµων-Μιχαήλ Παπαλεξίου, Περιβαλλοντολόγος, MSc, ρ. Μηχανικός ΕΜΠ Παναγιώτης Κοσσιέρης, Πολιτικός Μηχανικός, MSc, Υποψ. ρ. ΕΜΠ 6

7 1.2 ιάρθρωση τεύχους Η παρούσα έκθεση αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια και δύο παραρτήµατα. Tο πρώτο κεφάλαιο αποτελεί την εισαγωγή της έκθεσης και εµπεριέχει το αντικείµενο του έργου, την οµάδα µελέτης και τη διάρθρωση του τεύχους. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται ένα ευέλικτο πολυµεταβλητό σχήµα στοχαστικής προσοµοίωσης της βροχόπτωσης που µπορεί να εφαρµοστεί σε µεγάλος εύρος χρονικής κλίµακας. Επίσης παρουσιάζεται και µια αναλυτική εφαρµογή αυτού του σχήµατος στη λεκάνη του Βοιωτικού Κηφισού όπου πραγµατοποιείται προσοµοίωση της ηµερήσιας βροχόπτωσης τους 13 σταθµούς της Λεκάνης. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα στοχαστικά µοντέλα προσοµοίωσης της βροχής σε συνεχή χρόνο, µε ιδιαίτερη έµφαση στο µοντέλο συστάδων ορθογωνικών παλµών Bartlett-Lewis. Επίσης παρουσιάζεται µια εκτενής βιβλιογραφική επισκόπηση από την εφαρµογή του συγκεκριµένου µοντέλου για την προσοµοίωση βροχών διαφορετικών τύπων, καθώς και το πρόβληµα εύρεσης των παραµέτρων του µοντέλου στα πλαίσια ολικής βελτιστοποίησης. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το υπολογιστικό πακέτο HyetosR που υλοποιεί τα σχήµατα Bartlett-Lewis για την προσοµοίωση της βροχής σε µικρές χρονικές κλίµακες, είτε σειριακά είτε µέσω επιµερισµού. Στα Παραρτήµατα Α και Β παρουσιάζονται πίνακες και διαγράµµατα των στατιστικών και στοχαστικών αναλύσεων των ιστορικών και των συνθετικών χρονοσειρών.

8 2 Στοχαστική µοντελοποίηση βροχόπτωσης 2.1 Επιλογή στοχαστικού µοντέλου Η στοχαστική µοντελοποίηση της βροχόπτωσης παρουσιάζει πολλές ιδιαιτερότητες και δυσκολίες που οφείλονται κυρίως στον διαλείποντα χαρακτήρα της. Συγκεκριµένα, η ηµερήσια βροχόπτωση δεν µπορεί να θεωρηθεί ούτε ανέλιξη συνεχών τυχαίων µεταβλητών αλλά ούτε ανέλιξη διακριτών τυχαίων µεταβλητών και αυτό διότι η περιθώρια κατανοµή της ηµερήσιας βροχόπτωσης ανήκει στην κατηγορία των µικτών τυχαίων µεταβλητών, που είναι εν µέρει διακριτή και εν µέρει συνεχής. Επιπλέον, η παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών από θετικά ασύµµετρες κατανοµές, όπως αυτή της ηµερήσιας βροχόπτωσης, που να διατηρούν ζητούµενη δοµή αυτοσυσχέτισης, είναι πολύ πιο δύσκολη από ότι η παραγωγή χρονοσειρών από συµµετρικές κατανοµές όπως η κανονική. Γενικά, οι προσεγγίσεις µοντελοποίησης της βροχόπτωσης στη βιβλιογραφία [Waymire and Gupta, 1981] διαχωρίζουν τη µοντελοποίηση σε δύο στάδια, στο πρώτο, µοντελοποιούνται οι περίοδοι ξηρασίας και βροχόπτωσης και στο δεύτερο, µοντελοποιούνται οι τιµές τις βροχόπτωσης όταν βρέχει. Μια άλλη τεχνική που εφαρµόζεται κυρίως σε συνεχείς µεταβλητές και όχι σε µεταβλητές µε διαλείποντα χαρακτήρα, είναι πρώτον, η κανονικοποίηση τους, δεύτερον, η παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών µε τα χαρακτηριστικά της κανονικοποιηµένης χρονοσειράς και τρίτον, η αποκανονικοποίηση της κανονικοποιηµένης χρονοσειράς ώστε να µοιάζει µε την αρχική. Η µεθοδολογία που παρουσιάζεται εδώ αποτελεί µια τροποποίηση αυτής της παραπάνω τεχνικής ώστε να είναι εφαρµόσιµη και σε χρονοσειρές διαλείποντος χαρακτήρα όπως επίσης και σε πολλαπλές χρονικές κλίµακες. Η επιλογή του στοχαστικού µοντέλου βασίζεται τόσο στα χαρακτηριστικά του συστήµατος που καλείται να προσοµοιώσει όσο και στα χαρακτηριστικά που είναι επιθυµητό αυτό να αναπαράγει. Έστω πως υπάρχει ένας µετασχηµατισµός που κανονικοποιεί της ιστορικές χρονοσειρές βροχόπτωσης, καθώς και ο αντίστροφός του ώστε να είναι εφικτή η αποκανονικοποίηση τους, τότε στοχαστικό µοντέλο πρέπει να έχει τα εξής χαρακτηριστικά: (α) να είναι πολυµεταβλητό, (β) να αναπαράγει την µηνιαία κυκλική µεταβλητότητα και (γ) να διατηρεί τη δοµή της αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης. Ένα µοντέλο που διατηρεί αυτά τα χαρακτηριστικά, είναι το κυκλοστάσιµο πολυµεταβλητό αυτοπαλινδρόµησης τάξης 1 (PAR1). Το µοντέλο αυτό έχει χρησιµοποιηθεί ευρέως στην υδρολογία [Bras and Rodriguez-Iturbe, 1993; Ledolter, 1978; Raman and Sunilkumar, 1995; Salas and Delleur, 1980] και διατηρεί ή αναπαράγει την ετεροσυσχέτιση µεταξύ των σταθµών για υστέρηση βήµατος 0 και 1, καθώς και την αυτοσυσχέτιση για βήµα 1. Συµβολίζοντας µε Ζ i,j (t) την κανονικοποιηµένη µεταβλητή την ηµέρα t, στον i-oστό σταθµό για το µήνα j, µε i = 1,,n και j = 1,,12 το µοντέλο PAR1 ορίζεται από τη σχέση: () t = ( t 1) + ( t) Z A Z B ε (2.1) j j j j T T όπου Z () t Z () t... Z () t µε Ζ i,j (t) ~ N(0,1), ( t) ε ( t) ε ( t) j = 1, j n, j ε = 1... n το διάνυσµα των τυχαίων διαταραχών µε ε i (t) ~ N(0,1), A j και B j τα n x n µητρώα παραµέτρων µε το j να εξαρτάται από το µήνα που η µέρα t ανήκει. Συνεπώς, πρέπει να εκτιµηθούν 12 διαφορετικά µητρώα 8

9 παραµέτρων A j και B j, δηλαδή ένα για κάθε µήνα. Σχετικά µε την υλοποίηση του µοντέλου διευκρινίζεται πως σε κάθε βήµα t πρέπει να επιλέγονται τα κατάλληλα µητρώα παραµέτρων, για παράδειγµα, για τις πρώτες 31 τιµές τα µητρώα A 1 και B 1, για τις επόµενες 28 τιµές τα A 2 και B 2 κτλ. εδοµένου ότι το µοντέλο είναι κυκλοστάσιµο η επιλογή των µητρώων A j και B j είναι περιοδική, επαναλαµβάνεται κάθε 365 ή 366 τιµές. Τα µητρώα των παραµέτρων A j και B j µπορούν να εκτιµηθούν, αντίστοιχα, από τις εξισώσεις j T j 1 j = Z ( 1) ( 0) j Z j 1 T ( 0) ( 1) ( 0) ( 1) A K K (2.2) BB = K K K K (2.3) Zj Zj Zj Zj όπου K Z j ( τ ) είναι το µητρώο συσχετίσεων για υστέρηση τ, του µήνα j, που ορίζεται από τη σχέση K Z j ( ) µε p = 1,,n και q = 1,,n. ( ) K ( ) ρ1,1 τ ρ1, n τ τ = M O M ρpq, ( τ) = E Zp, j( t) Zq, j( t τ) ρn,1 ( τ) K ρn, n( τ) (2.4) 2.2 Παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών Κανονικοποίηση ιστορικών χρονοσειρών Γενικά, για έναν αυθαίρετο ένα-προς-ένα µετασχηµατισµό h µιας και συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Υ που ορίζεται σε ένα αυθαίρετο σύνολο k και µετασχηµατίζει την Υ στην τυποποιηµένη κανονική µεταβλητή Ζ, µε δεδοµένο ότι το πεδίο ορισµού της Ζ είναι το R, πρέπει να ισχύει h : k R. Αν + συµβολίσουµε µε Υ την βροχόπτωση που ορίζεται στο R και συνεπώς είναι µια µεταβλητή µικτού τύπου µε συγκεκριµένη πιθανότητα p = Pr(Υ = 0) και µε Χ τη θετική βροχόπτωση, που ορίζεται δηλαδή στο ( 0, ), είναι φανερό πως οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός της Υ θα οδηγήσει και πάλι σε µια µεταβλητή µικτού τύπου, ενώ αντιθέτως ένας συνεχής µετασχηµατισµός που δρα στη Χ θα τη µετασχηµατίσει σε συνεχή µεταβλητή. Με βάση την προηγούµενη παρατήρηση είναι φανερό πως µόνο η θετική βροχόπτωση Χ µπορεί να µετασχηµατιστεί στην τυποποιηµένη κανονική µεταβλητή Ζ µε την εφαρµογή ενός καταλλήλου µετασχηµατισµού Ζ = g(x). Παρόλα αυτά, σε ένα δείγµα n τιµών βροχόπτωσης µε n 0 µηδενικές τιµές, η µικρότερη θετική τιµή του δείγµατος x (1) έχει εµπειρική πιθανότητα µη υπέρβασης κατά Weibull ίση µε (n 0 +1)/(n+1) = p + 1/(n+1) > 0 και συνεπώς η τιµή της µεταβλητής Ζ που αντιστοιχεί σε αυτή την πιθανότητα είναι z(1) > zp >, όπου z p η τιµή της µεταβλητής Ζ που αντιστοιχεί στην πιθανότητα p = Pr(Υ = 0). Έτσι, αρκεί για το µετασχηµατισµό g να ισχύει g: ( 0, ) ( z p, ). Επίσης, σχετικά µε τα χαρακτηριστικά του µετασχηµατισµού g, δεδοµένου ότι από την ανάλυση των θετικών ηµερήσιων βροχοπτώσεων ανά µήνα έχει προκύψει ότι η κατανοµή τους είναι θετικά ασύµµετρη και τύπου δύναµης, θα πρέπει ο µετασχηµατισµός Ζ = g(x) να οδηγεί σε µια κατανοµή µε παρόµοια χαρακτηριστικά. Λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω ο µετασχηµατισµός που προτείνεται είναι:

10 c b x + z = g( x) = d + ln g: R ( d + ln 2, ) (2.5) a όπου a, b, c, d οι παράµετροι του µετασχηµατισµού και d + ln 2 = zp. Εφαρµόζοντας την αλλαγή µεταβλητής z = g(x) στην τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, τότε η πυκνότητα πιθανότητας της µεταβλητής X είναι f X ( x) 2 b 1 b c 1 b c x x 1 x 1 exp ln 1 1 d a a 2 a 1 bc = 1 p 2a 2π b c b c x x ln a a η οποία όπως µπορεί να διαπιστωθεί, έχει παρόµοια συµπεριφορά µε µια ευέλικτη τρι-παραµετρική κατανοµή τύπου δύναµης που είναι γνωστή ως Burr τύπου XII. Συγκεκριµένα, για b < 0 η πυκνότητα πιθανότητας απειρίζεται στο 0, ενώ για έχει b > 0 η πυκνότητα πιθανότητας µηδενίζεται στο 0. Επιπλέον, το πιο σηµαντικό είναι πως η κατανοµή είναι τύπου δύναµης και ειδικά για d = 0 έχει δείκτη ασυµπτωτικής συµπεριφοράς ίσο µε b c / Είναι προφανές πως ο µετασχηµατισµός (2.6) πρέπει να εφαρµοστεί σε κάθε µεταβλητή X i,j που αναφέρεται στην βροχόπτωση του i-oστού σταθµού για το µήνα j Εκτίµηση µητρώων συσχετίσεων και παραµέτρων µοντέλου Για να εφαρµοστεί το µοντέλο PAR1 πρέπει να εκτιµηθούν τα µητρώα των παραµέτρων A j και B j που σύµφωνα µε τις σχέσεις (2.2) και (2.3) απαιτείται γνώση των µητρώων συσχετίσεων K Z j ( τ ), όπως αυτά ορίζονται στην σχέση (2.4). Είναι φανερό πως η εφαρµογή του µετασχηµατισµού K δεν είναι µετασχηµατίζει µόνο τις θετικές τιµές της βροχόπτωσης και συνεπώς τα µητρώα ( ) Z j τ δυνατόν να εκτιµηθούν µε ακρίβεια από τις µετασχηµατισµένες χρονοσειρές εξαιτίας της ύπαρξης των µηδενικών. Για να λυθεί αυτό το πρόβληµα, πραγµατοποιήθηκε µια πληθώρα προσοµοιώσεων κανονικών χρονοσειρών µε δεδοµένες τιµές συσχέτισης, και µελετήθηκε η επίδραση του αντίστροφου µετασχηµατισµού της σχέσης (2.6) στις αποκανονικοποιηµένες χρονοσειρές. Από τη ανάλυση, προέκυψε ότι ο µετασχηµατισµός προκαλεί διαφοροποίηση της συσχέτισης που εξαρτάται τόσο από την πιθανότητα στεγνής ηµέρας p όσο και από τις τιµές των παραµέτρων του. Συνεπώς, τα K τ που ορίζονται από την εξίσωση µητρώα ( ) Z j τ K εκτιµώνται από τα αντίστοιχα µητρώα ( ) K X j ( ) ( ) K ( ) ρ1,1 τ ρ1,13 τ Cov X p, j() t, Xq, j( t τ ) τ = ρp, q( τ M O M ) = σ X () t σ ( ) p, j X t τ q, j ρ13,1 ( τ) K ρnn, ( τ) οι τιµές των οποίων προσαυξήθηκαν κατά ένα ποσοστό που προέκυψε από τα αποτελέσµατα της προαναφερθείσας ανάλυσης. Ο Πίνακας 2.1 παρουσιάζει το ποσοστό προσαύξησης που κατά µέσο X j (2.6) (2.7) 10

11 όρο πρέπει να πραγµατοποιηθεί στις τιµές των συντελεστών συσχέτισης των µητρώων K X ( τ ) j ώστε να προκύψουν τα µητρώα K ( τ ). Μετά την εκτίµηση των µητρώων K ( τ ) Z j Z j, η εκτίµηση των µητρώων των παραµέτρων A j και B j πραγµατοποιήθηκε εφαρµόζοντας τις σχέσεις (2.2) και (2.3). Αναφέρεται, πως τα µητρώα των παραµέτρων B j εκτιµήθηκαν βάσει της µεθόδου Cholesky. Τέλος, η παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών της βροχόπτωσης, πραγµατοποιείται βάσει του µοντέλου PAR1 µε χρήση των εκτιµηµένων παραµέτρων και τη χρήση του αντίστροφου µετασχηµατισµού της (2.1), ήτοι 1 όπου g ( z) 0, z zp i, j x= g z = g d + R (2.8) Z i, j ( ) b :( ln2, ) ( z d) c Z i, j a e 1 1, z > zp i, j είναι ο µετασχηµατισµός που αναφέρεται στον i-οστό σταθµό του µήνα j, και p i, j η αντίστοιχη πιθανότητα στεγνής ηµέρας. 2.3 Περιοχή µελέτης και διαθέσιµα δεδοµένα Η περιοχή που εφαρµόστηκε η µεθοδολογία είναι η λεκάνη απορροής του Βοιωτικού Κηφισού (Σχήµα 2.1). Η λεκάνη έχει έκταση km 2, το µέσο υψόµετρό της ανέρχεται σε m, ενώ το µέγιστο υψόµετρό της είναι στην κορυφή Λιάκουρα του Παρνασσού, η οποία φτάνει τα m. Ο υδροκρίτης της ορίζεται βόρεια και βορειοανατολικά από τα όρη Οίτη, Καλλίδροµο, Σφίγγιο και Χλωµό, και νότια και νοτιοδυτικά από τα όρη Γκιώνα, Παρνασσός και Ελικώνας. Τα ηµερήσια βροχοµετρικά δείγµατα προέρχονται από 13 υδροµετεωρολογικούς σταθµούς της ευρύτερης περιοχής, οι θέσεις των οποίων απεικονίζονται στον χάρτη του Σχήµατος 2.2. Επισηµαίνεται ότι οι σταθµοί Πυράς και Συκέας, αν και ανήκουν στην υδρολογική λεκάνη του Μόρνου, επιλέχθηκαν ως αντιπροσωπευτικοί ορεινοί σταθµοί, αφού στην περιοχή µελέτης υπάρχει ανεπάρκεια µετρήσεων βροχόπτωσης σε µεγάλα υψόµετρα. Ακόµη, εκτός των ορίων της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού βρίσκεται και ο σταθµός της Αταλάντης. Κάποια βασικά χαρακτηριστικά των σταθµών παρουσιάζονται στον Πίνακα 2.1, ενώ τα δεδοµένα τους ελήφθησαν από ερευνητικό έργο του ΕΜΠ (Ευστρατιάδης και Μαµάσης, 2004). Πίνακας 2.1: Ποσοστό προσαύξησης συντελεστών συσχέτισης των µητρώων ( τ ) K X. j Υστέρηση Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαϊ Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ τ = τ =

12 Σχήµα 2.1: Ψηφιακό µοντέλο εδάφους λεκάνης Βοιωτικού Κηφισού. Σχήµα 2.2: Θέσεις βροχοµετρικών σταθµών. 12

13 Πίνακας 2.1: Χαρακτηριστικά βροχοµετρικών σταθµών. Ονοµασία Υπηρεσία Υψόµετρο (m) Μέσο ετήσιο ύψος βροχής (mm) Αγία Τριάδα ΥΠΕΧΩ Ε Αλίαρτος ΕΜΥ Άνω Μπράλος ΥΠΕΧΩ Ε Αταλάντη ΥΠΕΧΩ Ε Γραβιά ΥΠΕΧΩ Ε αύλεια ΥΠΕΧΩ Ε ρυµαία ΥΠΕΧΩ Ε Επτάλοφος ΥΠΕΧΩ Ε Κάτω Τιθορέα ΥΠΕΧΩ Ε Λειβαδιά ΥΠΕΧΩ Ε Παύλος ΥΠΕΧΩ Ε Πυρά ΥΠΕΧΩ Ε Συκέα ΥΠΕΧΩ Ε Τα δεδοµένα αυτών των σταθµών διατίθενται σε ψηφιακή µορφή από την ΕΤΥΜΠ και επικαιροποιήθηκαν µετά από αποδελτίωση (µέχρι τις 31/12/2006) στα πλαίσια ενός ερευνητικού προγράµµατος του ΕΜΠ (Παπαλεξίου και Ευστρατιάδης, 2009). Ο Πίνακας 2.1 παρουσιάζει αναλυτικά το χρονικό διάστηµα των διαθέσιµων χρονοσειρών. Ειδικά για το σταθµό της Αλίαρτου της ΕΜΥ, υπάρχουν δεδοµένα µόνο για το χρονικό διάστηµα 01/03/1965 έως 30/09/1990, καθώς στη συνέχεια ο σταθµός έπαψε να λειτουργεί. Σταθµός Πίνακας 2.2: ιαθέσιµες χρονοσειρές δεδοµένων ηµερήσιας βροχόπτωσης ιαθέσιµα από ΕΤΥΜΠ Έναρξη Λήξη Επικαιροποίηση µε αποδελτίωση έως Συκέα 01/08/ /09/ /12/2006 Πυρά 01/08/ /09/ /12/2006 Γραβιά 08/12/ /12/ /12/2006 Άνω Μπράλος 01/11/ /09/ /12/2006 Επτάλοφος 01/12/ /12/ /12/2006 ριµέα 01/11/ /12/ /12/2006 Τιθορέα 01/11/ /09/ /12/2006 αυλειά 01/12/ /09/ /12/2006 Αταλάντη 08/12/ /12/ /12/2006 Λειβαδιά 06/09/ /09/ /12/2006 Παύλος 01/11/ /01/ /12/2006 Αγία Τριάδα 01/12/ /12/ /12/2006 Αλίαρτος 01/03/ /09/1990 ιαθέσιµα από ΕΜΥ

14 Επισηµαίνεται πως τα πρωτογενή αυτά δεδοµένα ελεγχτήκαν για σφάλµατα εγγραφής, π.χ., για την ορθή ηµερολογιακή διάταξη, τις διπλές εγγραφές, κ.α. Επίσης πραγµατοποιήθηκε συγχρονισµός των χρονοσειρών (διαπιστώθηκε πως τα δεδοµένα της Τιθορέας είναι συστηµατικά µετατοπισµένα κατά µία ηµέρα προς τα πίσω), η χιονόπτωση µετατράπηκε σε βροχή καθώς πραγµατοποιήθηκε και συµπλήρωση των κενών µε τη µέθοδο της πολλαπλής γραµµικής παλινδρόµησης (Παπαλεξίου και Ευστρατιάδης, 2009). 2.4 Στατιστική-στοχαστική ανάλυση ιστορικών βροχοπτώσεων Βασικά περιγραφικά µέτρα Στα υποκεφάλαια που ακολουθούν παρουσιάζεται η περιγραφική στατιστική ανάλυση των ιστορικών χρονοσειρών της βροχόπτωσης των σταθµών της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Συγκεκριµένα αναλύονται οι χρονοσειρές της ηµερήσιας και της ηµερήσιας σε µηνιαία βάση βροχόπτωσης. Σκοπός της ανάλυσης αυτής είναι να σχηµατιστεί µια αναλυτική στατιστική εικόνα της συµπεριφοράς της βροχόπτωσης, η οποία θα συµβάλει στην ορθή στατιστική-στοχαστική µοντελοποίηση της. Γενικά, τα περιγραφικά µέτρα µπορούν να χωριστούν σε τρεις βασικές κατηγορίες: (α) µέτρα θέσης, (β) µέτρα µεταβλητότητας και (γ) µέτρα σχήµατος. Τα περιγραφικά µέτρα που έχουν εκτιµηθεί και παρουσιάζονται σε πίνακες (βλ. Παράρτηµα Α) στην παρούσα εργασία είναι από την κατηγορία (α) η µέση τιµή µ, από την κατηγορία (β) η τυπική απόκλιση σ, τα τεταρτηµόρια Q 1, Q 2, και Q 3, η µέγιστη και ελάχιστη τιµή, ο συντελεστής µεταβλητότητας C v = σ/µ και ο L-συντελεστής µεταβλητότητας L-C v = λ 2 /λ 1, ενώ από την κατηγορία (γ) ο συντελεστής ασυµµετρίας C s και κύρτωσης C k των κλασικών ροπών καθώς και οι L-συντελεστές ασυµµετρίας και κύρτωσης L-C s και L-C k των L-ροπών. Επίσης έχει εκτιµηθεί και η πιθανότητα ξηρής ηµέρας P d, που ορίζεται για ένα συγκεκριµένο διάστηµα ως ο λόγος των ηµερών χωρίς βροχόπτωση προς τις συνολικές ηµέρες του διαστήµατος. Τα περισσότερα από τα παραπάνω στατιστικά µέτρα είναι τετριµµένα και δεν απαιτούν κάποια περαιτέρω περιγραφή. Αξίζει µια σύντοµη αναφορά στα µέτρα που βασίζονται στις L-ροπές [Hosking, 1990] που ορίζονται ως γραµµικός συνδυασµός των αναµενόµενων τιµών των διατεταγµένων στατιστικών και χρησιµοποιούνται πλέον ευρέως στην υδρολογία τόσο ως µέθοδος προσαρµογής κατανοµών αλλά και όσο και ως περιγραφικά στατιστικά µέτρα [Kroll and Vogel, 2002; Lim and Lye, 2003]. Το βασικό πλεονέκτηµα των L-ροπών είναι πως οι δειγµατικές εκτιµήσεις τους ως γραµµικοί συνδυασµοί του διατεταγµένου δείγµατος, δεν υψώνουν τις παρατηρήσεις του δείγµατος σε τετραγωνικές ή κυβικές δυνάµεις, όπως συµβαίνει µε την κλασική µέθοδο των ροπών. Ως αποτέλεσµα, οι εκτιµήσεις των L-αδιάστατων συντελεστών διασποράς L-C v = λ 2 /λ 1, L-ασυµµετρίας L-C s = λ 3 /λ 2, και L-κύρτωσης L-C k = λ 4 /λ 2, είναι αµερόληπτες µε κανονική σχεδόν κατανοµή, όπου λ i είναι η i-οστή L-ροπή [Sankarasubramanian and Srinivasan, 1999; Vogel and Fennessey, 1993].Τιµή του L-C s < 0 υποδηλώνει αρνητική ασυµµετρία ενώ τιµή του L- C s > 0 θετική ασυµµετρία. Αντίστοιχα, για τη κύρτωση, τιµή του L-C κ > , που είναι η τιµή της κανονικής κατανοµής, υποδηλώνει λεπτόκυρτη κατανοµή, ενώ L-C κ < πλατύκυρτη κατανοµή Ηµερήσιες χρονοσειρές Ένα βασικό χαρακτηριστικό της ηµερήσιας βροχόπτωσης είναι ο διαλείπων χαρακτήρα της, η ιδιότητά της δηλαδή σε κάποια χρονικά διαστήµατα να βρέχει και σε κάποια άλλα να µην βρέχει. Συνεπώς, στη µηδενική τιµή βροχόπτωσης αντιστοιχίζεται µια συγκεκριµένη θετική πιθανότητα, 14

15 ενώ σε οποιαδήποτε µη µηδενική τιµή της αντιστοιχίζεται πιθανότητα ίση µε µηδέν, έτσι η µη µηδενική βροχόπτωση είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή. Στη µελέτη της ηµερήσιας βροχόπτωσης, εκτός από την εκτίµηση της πιθανότητας ξηρασίας, ουσιαστική είναι προφανώς και η µελέτη της κατανοµής της µη µηδενικής ηµερήσιας βροχόπτωσης, δηλαδή της κατανοµής της βροχόπτωσης δεδοµένου ότι βρέχει. Για τη µελέτη της ηµερήσιας βροχόπτωσης σε κάθε σταθµό της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού, χρησιµοποιήθηκαν οι ηµερήσιες χρονοσειρές του χρονικού διαστήµατος από 01/01/1964 έως 31/12/2006. Τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης καθώς και η πιθανότητα να µην βρέχει παρουσιάζονται στον Πίνακα Α.1 του Παραρτήµατος Α, ενώ µια συνοπτική εικόνα για κάθε σταθµό παρουσιάζεται στο Σχήµα 2.1. Τόσο από τα στατιστικά χαρακτηριστικά του Πίνακα Α.1 όσο και από το Σχήµα 2.1, προκύπτει πως η θετική ηµερήσια βροχόπτωση παρουσιάζει µεγάλη θετική ασυµµετρία, µε της τιµές των συντελεστών ασυµµετρίας και L-ασυµµετρίας, να κυµαίνονται από 2.2 έως 4 και από 0.38 έως 0.54, αντίστοιχα. Γενικά, παρατηρείται αρκετά µεγάλη οµοιότητα στα στατιστικά χαρακτηριστικά των περισσοτέρων σταθµών, π.χ., η µέση τιµή στους περισσότερους κυµαίνεται γύρω από τα 10 mm ± 2 mm, ενώ η τυπική απόκλιση γύρω από τα 13 mm ± 2 mm. Τέλος, η πιθανότητα να µην βρέχει κυµαίνεται από 0.66 στο σταθµό της Πυράς, που σηµαίνει πως κατά µέσο όρο βρέχει 54 µέρες το χρόνο, έως 0.85 στο σταθµό του Παύλου που αντιστοιχεί 124 µέρες βροχής. Σχήµα 2.1 Θηκογράµµατα της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης σε mm σε σταθµούς της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Οι άνω και κάτω φράχτες κάθε θηκογράµµατος ορίζουν το 95% εµπειρικό διάστηµα εµπιστοσύνης Ηµερήσιες χρονοσειρές σε µηνιαία βάση Μια πιο λεπτοµερής ανάλυση, επιβάλλει τη µελέτη της βροχόπτωσης ανά µήνα, δεδοµένης της κυκλικής µεταβολής του κλίµατος, που αναµφίβολα επηρεάζει όλες τις διεργασίες που σχετίζονται µε αυτό. Για τη µελέτη της ηµερήσιας βροχόπτωσης σε κάθε σταθµό της λεκάνης του Βοιωτικού

16 Κηφισού ανά µήνα, χρησιµοποιήθηκαν οι συµπληρωµένες ηµερήσιες χρονοσειρές του χρονικού διαστήµατος από 01/01/1964 έως 31/12/2006 αφού πρώτα αποµονώθηκαν τα δεδοµένα κάθε µήνα και σταθµού ώστε να κατασκευαστούν οι επιµέρους χρονοσειρές. Τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης κάθε σταθµού ανά µήνα καθώς και η πιθανότητα ξηρασίας σε µηνιαία βάση παρουσιάζονται στους Πίνακες Α.2 ως Α.14 του Παραρτήµατος Α. Μια τυπική εικόνα για ένα σταθµό παρουσιάζεται στο Σχήµα 2.2, ενώ συνολικά τα θηκογράµµατα όλων των σταθµών παρουσιάζονται στο Παράρτηµα Α (Σχήµατα Α.1 ως Α.13). Ο Πίνακας 2.3 παρουσιάζει τη µέση τιµή της πιθανότητας ξηρής ηµέρας P d, όπως προκύπτει από όλους τους σταθµούς. Είναι φανερή η µεγάλη διαφοροποίηση µεταξύ των µηνών, όπως άλλωστε ήταν αναµενόµενο εξαιτίας της εποχιακής µεταβολής του κλίµατος. Αυτή η διαφοροποίηση µεταξύ των µηνών αποτελεί ουσιώδες στοιχείο, αφού είναι η βασική αιτία που διαφοροποιεί το συνολικό ύψος βροχής ανά µήνα. Πίνακας 2.3: Μέση τιµή πιθανότητας στεγνής ηµέρας όλων των σταθµών ανά µήνα. Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαϊ Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ P d Σχήµα 2.2 Θηκογράµµατα µηνιαίας θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης σε mm στο σταθµό ρυµαία της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Μελετώντας τόσο τα στατιστικά χαρακτηριστικά της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης στους πίνακες Α.2 έως Α.14 αλλά και τα θηκογράµµατα όλων των σταθµών στα σχήµατα Α.1 έως Α.13 του Παραρτήµατος Α, προκύπτει πως στην πλειοψηφία των σταθµών η θετική ηµερήσια βροχόπτωση ανά µήνα κάθε σταθµού έχει περίπου την ιδία κατανοµή µεταξύ των µηνών. Το βασικό στοιχείο δηλαδή που διαφοροποιείται είναι η πιθανότητα ξηρής ηµέρας. Ακόµη και στην περίπτωση που η βροχόπτωση των χειµερινών µηνών παρουσιάζει µεγαλύτερη µέση τιµή και µεγαλύτερη διασπορά από τους υπολοίπους µήνες, τα χαρακτηριστικά σχήµατος της κατανοµής 16

17 φαίνεται να παραµένουν περίπου ίδια µεταξύ των µηνών. Συνεπώς, το γεγονός αυτό υπονοεί πως ίσως να υπάρχει µια και µόνο θεωρητική κατανοµή που να περιγράφει ικανοποιητικά την ηµερήσια βροχόπτωση για όλους τους µήνες Προσαρµογή κατανοµών Είναι γνωστό από τη βιβλιογραφία πως η κατανοµή της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης παρουσιάζει µεγάλη θετική ασυµµετρία. Παραδοσιακά, οι κατανοµές που έχουν περισσότερο χρησιµοποιηθεί ως κατανοµές ηµερήσιας βροχόπτωσης είναι η εκθετική, η κατανοµή Γάµα ή µίξεις εκθετικών [π.χ., Waymire and Gupta, 1981; Wilks, 1998; Woolhiser and Roldan, 1982]. Παρόλα αυτά, άλλες εργασίες [Fraedrich and Larnder, 1993; Veneziano et al., 1996; Wilks, 1999] προτείνουν αντί της χρήσης εκθετικών κατανοµών τη χρήση κατανοµών τύπου Pareto, µε ουρά δηλαδή τύπου δύναµης [Papalexiou and Koutsoyiannis, 2009a, 2008]. Στην παρούσα εφαρµογή θα χρησιµοποιηθεί µια ευέλικτη τρι-παραµετρική κατανοµή τύπου δύναµης η οποία έχει αναλυτική και απλή έκφραση της συνάρτησης κατανοµής και είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως κατανοµή Burr τύπου ΧII [Rodriguez, 1977; Tadikamalla, 1980]. Ο Πίνακας 2.4 συνοψίζει τα βασικά χαρακτηριστικά της κατανοµής. Πυκνότητα πιθανότητας Πίνακας 2.4: Βασικά χαρακτηριστικά κατανοµής Burr ΧII. Εξίσωση γ γ γγ x x BrXII ( ) = 1+ 2 f x γ β β β 1 Συνάρτηση κατανοµής γ 1 γ1γ 2 x FBrXII ( x) = 1 1+ γ 2 β 1 Ποσοστηµόριο γγ 1 ( ) 1 2 γ 1 u 1 QB rxii( u) = β γ 2 + Πεδίο ορισµού µεταβλητής X R Περιορισµοί παραµέτρων β > 0, γ1 > 0, γ2 > 0 Ροπή τάξης q q 1 q/ γ 1 γ 1 2q mq = β γ 2 B1 + q/ γ1, γγ 1 2 Ύπαρξη ροπών m q < αν 1/ γ 2 > q 1/ Ασυµπτωτική συµπεριφορά 2 ( ) Χαρακτηριστικά σχήµατος 1 a 1 b B ab, = t 1 t 1 dt ( ) ( ) 0 Αναφορά (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) P X > x ~ x γ (2.13) γ1 < 1 fbrxii (0) γ1 = 1 fbrxii(0) 1/ β γ > 1 f ( 0) 0 1 BrXII Η υπεροχή της κατανοµής Burr XII έναντι µιας πιο παραδοσιακής κατανοµής όπως για παράδειγµα η κατανοµή Γάµα ή η Εκθετική, αποδεικνύεται από το Σχήµα 2.3 που απεικονίζει το σύνολο των εµπειρικών σηµείων (L-C v, L-C s ), συνολικά 156 σηµεία (13 σταθµοί επί 12 µήνες), των

18 χρονοσειρών της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης ανά µήνα των σταθµών της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Είναι φανερό, πως η συντριπτική πλειονότητα των σηµείων εντοπίζεται µέσα στη θεωρητική περιοχή της κατανοµής BrXII και πάνω από το κάτω όριό της που εκφράζει την κατανοµή Weibull που είναι εκθετικού τύπου. Τονίζεται πως τα σηµεία έξω από την θεωρητική περιοχή της κατανοµής µπορεί να οφείλονται σε δειγµατική διακύµανση εξαιτίας του σχετικά µικρού δείγµατος. Σχήµα 2.3: ιάγραµµα L-µεταβλητότητας και L- ασυµµετρίας. Οι τελείες αναπαριστούν τα εµπειρικά (L-C v, L-C s ) σηµεία των ηµερήσιων βροχοπτώσεων ανά µήνα (13x12 σηµεία) και η πράσινη τελεία το µέσο όρο τους, ενώ η έγχρωµη περιοχή αποτελεί το θεωρητικό χώρο της κατανοµής Burr XII. Ως µέθοδος προσαρµογής της κατανοµής Burr XII στα δείγµατα των θετικών ηµερήσιων βροχοπτώσεων σε µηνιαία βάση, εφαρµόστηκε η µέθοδος των L-ροπών. Γενικά, σε µια τριπαραµετρική κατανοµή η εκτίµηση των παραµέτρων προκύπτει από την επίλυση του συστήµατος που σχηµατίζεται από την εξίσωση των τριών πρώτων θεωρητικών ροπών της κατανοµής µε τις αντίστοιχες δειγµατικές. Εδώ εφαρµόστηκε µια ελαφρά τροποποιηµένη µέθοδος, ήτοι, αντί της επίλυσης του συστήµατος οι παράµετροι προέκυψαν από την ελαχιστοποίηση του σφάλµατος των θεωρητικών και δειγµατικών ροπών ώστε να καθίσταται δυνατή η εύρεση παραµέτρων και για τα σηµεία που είναι εκτός της θεωρητικής περιοχής της BrXII. Συγκεκριµένα οι παράµετροι της κατανοµής προέκυψαν από την 2 arg min ( λq l q), q = { 1, 2,3} (2.14) βγ γ, 1, 2 όπου λ q και l q η θεωρητική και δειγµατική ροπή, αντίστοιχα, τάξης q. Οι παράµετροι των προσαρµοσµένων κατανοµών (συνολικά 156 κατανοµές, 13 σταθµοί x 12 µήνες) παρουσιάζονται συνολικά και ενδεικτικά στα θηκογράµµατα του Σχήµα 2.4, ενώ ένα ενδεικτικό γράφηµα των εµπειρικών κατανοµών της ηµερήσιας θετικής βροχόπτωσης και των προσαρµοσµένων κατανοµών Burr XII για το σταθµό της Πυράς το µήνα Ιανουάριο και το σταθµό της Τιθορέας το µήνα Αύγουστο δίνεται στο Σχήµα

19 Σχήµα 2.4: Θηκογράµµατα παραµέτρων προσαρµοσµένων κατανοµών Burr VII στα δείγµατα της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης. Σχήµα 2.5: Ενδεικτικό γράφηµα εµπειρικών κατανοµών της ηµερήσιας θετικής βροχόπτωσης και οι προσαρµοσµένες κατανοµές Burr ΧII Ανάλυση αυτοσυσχετίσεων και ετεροσυσχετίσεων Οι συνθετικές χρονοσειρές που προκύπτουν από την εφαρµογή ενός πολυµεταβλητού στοχαστικού µοντέλου, οφείλουν να είναι συνεπείς όχι µόνο ως προς τα στατιστικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών υπό µελέτη, αλλά επίσης και ως προς τη δοµή της αυτοσυσχέτισης που παρουσιάζει κάθε χρονοσειρά, όπως και ως προς τη δοµή των ετεροσυσχετίσεων που προκύπτουν µεταξύ των χρονοσειρών. Είναι γνωστό πως υπάρχουν δύο βασικοί τύποι συσχέτισης, (α) συσχέτιση µε εµµονή, όπου ο συντελεστής συσχέτισης ρ(τ) είναι ανάλογος µιας συνάρτησης δύναµης της υστέρησης τ, δηλαδή ρ(τ) ~ τ -α, µε 0 < α < 1, γεγονός που σηµαίνει πως η τιµή του µειώνεται πολύ αργά µε το χρόνο και (β) ο συντελεστής συσχέτισης να είναι ανάλογος µιας εκθετικής συνάρτησης της υστέρησης, δηλαδή ρ(τ) ~ α -τ, µε 0 < α < 1, που σηµαίνει πως η τιµή του µειώνεται πολύ γρήγορα µε το χρόνο. Αν και ο τύπος συσχέτισης που έχει περισσότερο χρησιµοποιηθεί στη µοντελοποίηση γεωφυσικών χρονοσειρών είναι ο εκθετικός, υπάρχουν αρκετές εργασίες [Beran, 1992; Cox, 1984; Montanari, 2003] που υποστηρίζουν τη χρήση του τύπου δύναµης ως πιο κατάλληλου. Παρόλα αυτά, η

20 συσχέτιση τύπου δύναµης, που βάσει του ακριβούς ορισµού της είναι µια ασυµπτωτική ιδιότητα, δηλαδή αναφέρεται σε πολύ µεγάλες τιµές της υστέρησης, είναι δύσκολο αν όχι αδύνατο να αποδειχθεί σε γεωφυσικές χρονοσειρές που προφανώς έχουν πεπερασµένο µήκος. Γεγονός πάντως είναι πως η ύπαρξη εµµονής αλλάζει ουσιαστικά τη δοµή των παραγόµενων χρονοσειρών και συνεπώς, αν υπάρχουν ενδείξεις εµµονής, η εφαρµογή του στοχαστικού µοντέλου οφείλει να τις αναπαράγει. Με στόχο να διαπιστωθεί αν υπάρχουν ενδείξεις εµµονής έχουν κατασκευαστεί τα αυτοσυσχετογράµµατα και τα ετεροσυσχετογράµµατα των χρονοσειρών τον ηµερήσιων βροχοπτώσεων σε µηνιαία βάση µέχρι και για υστέρηση πέντε ηµερών. Ο Πίνακας 2.5 παρουσιάζει τις αριθµητικές τιµές των µηνιαίων µέσων τιµών αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης που προκύπτουν από όλους τους σταθµούς µέχρι και για υστέρηση τριών ηµερών. Ενδεικτικά, το Σχήµα 2.6 παρουσιάζει την εµπειρική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ACF, όλων των σταθµών για ένα χειµερινό και ένα θερινό µήνα. Οι τελείες αναπαριστούν τις εµπειρικές τιµές του συντελεστή αυτοσυσχέτισης των χρονοσειρών των σταθµών (13 τελείες) για την αντίστοιχη υστέρηση, ενώ η συµπαγής γραµµή αναπαριστά τη µέση τιµή τους. Οµοίως, το Σχήµα 2.7 παρουσιάζει την εµπειρική συνάρτηση ετεροσυσχέτισης CCF, όλων των διαφορετικών συνδυασµών των σταθµών ανά δύο, για ένα χειµερινό και ένα θερινό µήνα. Οι τελείες αναπαριστούν τις εµπειρικές τιµές του συντελεστή ετεροσυσχέτισης των χρονοσειρών των σταθµών (156 τελείες) για την αντίστοιχη υστέρηση, ενώ η συµπαγής γραµµή αναπαριστά τη µέση τιµή τους. Το σύνολο των γραφηµάτων για όλους του µήνες παρουσιάζεται σχήµατα Α.14 έως Α.17 του Παραρτήµατος Α. Η µελέτη των αυτοσυσχετογραµµάτων και των ετεροσυσχετογραµµάτων δεν υποδεικνύει την ύπαρξη εµµονής. Αντιθέτως, η µείωση της συσχέτισης είναι ραγδαία και συνεπώς το θεωρητικό µοντέλο συσχέτισης που ταιριάζει στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι το εκθετικό. Αξίζει να σχολιαστεί, πως οι χειµερινοί µήνες παρουσιάζουν πιο ισχυρή συσχέτιση από τους θερινούς, γεγονός αναµενόµενο εξαιτίας των πολύ λιγότερων ηµερών βροχής κατά τους τελευταίους. Τέλος, το εύρος των τιµών των συντελεστών ετεροσυσχέτισης είναι πολύ µεγάλο, για παράδειγµα για το µήνα Ιούλιο κυµαίνεται περίπου από 0 έως 0.75, γεγονός επίσης αναµενόµενο, δεδοµένου ότι οι σταθµοί που βρίσκονται κοντά ο ένας στον άλλον παρουσιάζουν µεγάλη ετεροσυσχέτιση, ενώ αυτοί που βρίσκονται µακριά µικρή. Σχήµα 2.6: Ενδεικτικά αυτοσυσχετογράµµατα για δύο διαφορετικούς µήνες. 20

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση)

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση) ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Κατακρηµνίσεις ( η Άσκηση) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ιάρθρωση ου Μαθήµατος Ασκήσεων Έλεγχος οµοιογένειας

Διαβάστε περισσότερα

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση Ανδρέας Ευστρατιάδης, υποψήφιος διδάκτορας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών πόρων Ποσοτική και ποιοτική θεώρηση της λειτουργίας του ταµιευτήρα Πλαστήρα Περιβαλλοντικές Επιπτώσεις από Υδραυλικά

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΑΕΡΟΣΩΜΑΤΙ ΙΑΚΗΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΣΕ ΣΧΕ ΟΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΑΕΡΟΣΩΜΑΤΙ ΙΑΚΗΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΑΠΟ ΟΡΥΦΟΡΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 1 1. Υδρολογική ανάλυση Η ποσότητα και η ποιότητα υδρολογικών δεδοµένων που διατίθενται για επεξεργασία καθορίζει τις δυνατότητες και τη διαδικασία που θα ακολουθηθεί, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογικές Μελέτες και Διαθεσιμότητα Δεδομένων στην Ελλάδα:

Υδρολογικές Μελέτες και Διαθεσιμότητα Δεδομένων στην Ελλάδα: Υδρολογικές Μελέτες και Διαθεσιμότητα Δεδομένων στην Ελλάδα: Ιωάννης Α. Νιάδας Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., M.Sc. Υδρολογίας Ζ&Α Π. Αντωναρόπουλος και Σ/τες Α.Μ.Ε. Ενότητες της παρουσίασης Η ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΑΠΟ

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα

Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα Δ. Παπαδήμος ΕΚΒΥ καθ. Δ. Παπαμιχαήλ - ΑΠΘ 8- Νοεμβρίου 204, Θεσσαλονίκη Περιοχές Μελέτης 4 πιλοτικές περιοχές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 2013 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 2013 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Σεπτέµβριος 20 29 27 25 23 21 19 17 15 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο

Διαβάστε περισσότερα

5000 Γεωµετρικό µοντέλο 4500 Γραµµικό µοντέλο 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1991 2001 2011 2021 2031 2041 2051

5000 Γεωµετρικό µοντέλο 4500 Γραµµικό µοντέλο 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1991 2001 2011 2021 2031 2041 2051 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Άσκηση Ε1: Εκτίµηση παροχών σχεδιασµού έργων υδροδότησης οικισµού Σύνταξη

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση και επεξεργασία χρονοσειρών

ιαχείριση και επεξεργασία χρονοσειρών ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. ιαχείριση και επεξεργασία χρονοσειρών Ι. Μαρκόνης

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ

Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ 1 Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ Οι αντηλιακές µεµβράνες 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ µελετήθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Οκτώβριος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο 2015.

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο 2015. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 4 Ιουνίου 20 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάρτιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών Α. Κουκουβίνος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2015

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 20 Πειραιάς, 12 Νοεµβρίου 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εκτίμηση της διακύμανσης της παροχής αιχμής σε λεκάνες της Πελοποννήσου με συγκριτική αξιολόγηση δύο διαδεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΜΑΚΡΑΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΞΗΡΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΜΑΚΡΑΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΞΗΡΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΜΑΚΡΑΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΞΗΡΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ Εμμανουέλα Ιακωβίδου Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Υ ΡΟΣΚΟΠΙΟ

Εισαγωγή στο Υ ΡΟΣΚΟΠΙΟ ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Εισαγωγή στο Υ ΡΟΣΚΟΠΙΟ Ν. Μαµάσης & Σ. Μίχας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΛΕΚΑΝΗΣ ΞΗΡΙΑ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΛΕΚΑΝΗΣ ΞΗΡΙΑ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΛΕΚΑΝΗΣ ΞΗΡΙΑ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή 1 1.1 Αντικείµενο και διάρθρωση της µελέτης...1 1.2 Περιοχή µελέτης...1 1.2.1 Φυσιογραφικά χαρακτηριστικά...1 1.2.2 Γεωλογικά χαρακτηριστικά...1

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

«Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα

«Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα «Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα Δημήτρης Μ. Παπαμιχαήλ Καθηγητής Α.Π.Θ. Εργαστήριο Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Το νερό των κατακρημνισμάτων ακολουθεί διάφορες διαδρομές στη πορεία του προς την επιφάνεια της γης. Αρχικά συναντά επιφάνειες που αναχαιτίζουν την πορεία του όπως είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, Σεπτεμβρίου 20 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρμοσμένο δείκτη ανεργίας για τον Ιούνιο 20.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ Η ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΤΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

Η ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ Η ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΤΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 26 27 Φεβρουαρίου 2014, Athens Ledra Hotel, Αθήνα Η ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ Η ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΤΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Καθ. Ζαχαράτος Γεράσιμος Δρ. Μαρκάκη Μαρία Πανούση Σοφία Δρ. Σώκλης Γιώργος Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ - Επί της Μελέτης 1. Προκαθορισµένα επίπεδα φόρτισης Σύµφωνα µε το Άρθρο 50 - Μελέτη προσδιορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΑΡΑΧΘΟΥ

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΑΡΑΧΘΟΥ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΑΡΑΧΘΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή 1 1.1 Αντικείµενο και διάρθρωση της µελέτης...1 1.2 Περιοχή µελέτης...1 1.2.1 Φυσιογραφικά χαρακτηριστικά...1 1.2.2 Κλίσεις...3 1.2.3 Υδρογεωλογία...4

Διαβάστε περισσότερα

Λιµνοδεξαµενές & Μικρά Φράγµατα

Λιµνοδεξαµενές & Μικρά Φράγµατα Λιµνοδεξαµενές & Μικρά Φράγµατα Φώτης Σ. Φωτόπουλος Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, MEng ΕΜΠ, ΜSc MIT Ειδικός συνεργάτης ΕΜΠ, & Επιλογή τύπου και θέσης έργου Εκτίµηση χρήσεων & αναγκών σε νερό Οικονοµοτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 7 Πλημμύρες πλημμυρικές απορροές ρ. Θεοχάρης Μενέλαος

Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 7 Πλημμύρες πλημμυρικές απορροές ρ. Θεοχάρης Μενέλαος Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 7 Πλημμύρες πλημμυρικές απορροές ρ. Θεοχάρης Μενέλαος 3.4 Πλημμυρικές απορροές Πλημμυρικές απορροές θεωρούνται οι απορροές που ακολουθούν κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Εξέλιξη του ποσοστού ανεργίας, κατά µήνα: Οκτώβριος 2010 Οκτώβριος 2012

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Εξέλιξη του ποσοστού ανεργίας, κατά µήνα: Οκτώβριος 2010 Οκτώβριος 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: 20 Πειραιάς, 10 Ιανουαρίου 2013 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Οκτώβριο

Διαβάστε περισσότερα

329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας

329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας 329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας Σκοπός Το Τμήμα σκοπό έχει να αναδείξει επιστήμονες ικανούς να σχεδιάζουν, να αναλύουν και να επεξεργάζονται στατιστικές καθώς επίσης και να δημιουργούν προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα προσοµοίωσης υδρολογικού κύκλου λεκάνης Βοιωτικού Κηφισού - Υλίκης

Σύστηµα προσοµοίωσης υδρολογικού κύκλου λεκάνης Βοιωτικού Κηφισού - Υλίκης Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Σύστηµα προσοµοίωσης υδρολογικού κύκλου λεκάνης Βοιωτικού Κηφισού - Υλίκης Α. Ευστρατιάδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα