Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε."

Transcript

1 ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΤΑΜΕΙΟ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΥΚΑΛΙΩΝ Εκτίµηση πληµµυρικών ροών στην Ελλάδα σε συνθήκες υδροκλιµατικής µεταβλητότητας: Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένου εννοιολογικού-πιθανοτικού πλαισίου και υπολογιστικών εργαλείων Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Ινστιτούτο Ερευνών Περιβάλλοντος και Βιώσιµης Ανάπτυξης Ενότητα Εργασίας 3 Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένων εργαλείων υδρολογίας πληµµυρών Παραδοτέο Π3.4 Τεχνική έκθεση θεωρητικής τεκµηρίωσης µοντέλου γέννησης συνθετικών υετογραφηµάτων

2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η προσοµοίωση των πληµµυρικών γεγονότων απαιτεί τη µελέτη και προσοµοίωση του φαινοµένου της βροχής σε µικρές χρονικές κλίµακες (π.χ. µικρότερες της µηνιαίας). Ωστόσο, στις κλίµακες αυτές η µοντελοποίηση παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες αφενός λόγω της διαλείπουσας φύσης του φαινοµένου και αφετέρου λόγω της έντονης εξάρτησης και µεταβλητότητας των µεγεθών του. Σε αυτά τα πλαίσια, αναπτύχθηκε ένα ευέλικτο πολυµεταβλητό σχήµα στοχαστικής προσοµοίωσης της βροχόπτωσης που µπορεί να εφαρµοστεί σε µεγάλος εύρος χρονικής κλίµακας. Η προτεινόµενη µεθοδολογία έχει ως βάση το κυκλοστάσιµο πολυµεταβλητό µοντέλο αυτοπαλινδρόµησης τάξης 1 (PAR1), ενώ για την αναπαραγωγή της διαλείπουσας φύσης των χρονοσειρών εφαρµόζεται ένα πρωτότυπο σχήµα µετασχηµατισµών. Η µεθοδολογία επαληθεύτηκε στη λεκάνη του Βοιωτικού Κηφισού και όπως αποδεικνύεται το µοντέλο καταφέρνει να διατηρήσει τόσο τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της ηµερήσιας βροχόπτωσης, συµπεριλαµβανοµένης της πιθανότητας ξηρασίας, όσο και τις δοµές αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης. Ως µια εναλλακτική λύση για την παραγωγή συνθετικών υετογραφηµάτων παρουσιάζεται το στοχαστικό µοντέλο συστάδων ορθογωνικών παλµών Bartlett-Lewis. Το συγκεκριµένο µοντέλο τυγχάνει ευρείας αποδοχής για την µονοµεταβλητή προσοµοίωση της βροχής σε λεπτές χρονικές κλίµακες και σε συνεχή χρόνο. Η υλοποίησή του έγινε σε προγραµµατιστικό περιβάλλον R και είναι διαθέσιµο µέσα από το υπολογιστικό πακέτο HyetosR. ABSTRACT The simulation of flood events necessitates the simulation of the rainfall over small times scales (e.g., smaller than the monthly scale). Nevertheless, rainfall modelling at small time scales is not simple as rainfall at these scales is an intermittent process and exhibits large variability in its statistical-stochastic characteristics. In this context, a flexible multivariate framework of stochastic simulation of rainfall was developed that can be applied to a large range of times scales. The proposed methodology is based on the cyclostationary multivariate autoregressive model of order 1 (PAR1), while the intermittency characteristics were reproduced using a novel transformation structure. The methodology was verified in the basin of Boeotikos Kephisos and it was verified that the model preserves satisfactorily the basic statistical characteristics of daily rainfall, including the probability dry, as well as the autocorrelation and the cross correlation structures. As an alternative for the generation of synthetic hyetographs the stochastic model known as the rectangular pulse Bartlett-Lewis model is presented. This model is widely accepted for the single-variate simulation of rainfall at fine time scales and in continuous time. The implementation was done in R programming environment and is available through the computer package HyetosR.

4 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1 Εισαγωγή Αντικείµενο του τεύχους - Ιστορικό ιάρθρωση τεύχους Στοχαστική µοντελοποίηση βροχόπτωσης Επιλογή στοχαστικού µοντέλου Παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών Κανονικοποίηση ιστορικών χρονοσειρών Εκτίµηση µητρώων συσχετίσεων και παραµέτρων µοντέλου Περιοχή µελέτης και διαθέσιµα δεδοµένα Στατιστική-στοχαστική ανάλυση ιστορικών βροχοπτώσεων Βασικά περιγραφικά µέτρα Ηµερήσιες χρονοσειρές Ηµερήσιες χρονοσειρές σε µηνιαία βάση Προσαρµογή κατανοµών Ανάλυση αυτοσυσχετίσεων και ετεροσυσχετίσεων Στατιστική-στοχαστική ανάλυση συνθετικών βροχοπτώσεων Ηµερήσιες χρονοσειρές συνθετικής βροχής Ηµερήσιες χρονοσειρές συνθετικής βροχής σε µηνιαία βάση Ανάλυση αυτοσυσχετίσεων και ετεροσυσχετίσεων συνθετικής βροχής Στοχαστική προσοµοίωση της βροχής µε µοντέλα συστάδων ορθογωνικών παλµών Εισαγωγή Η βροχή στις µικρές χρονικές κλίµακες Τα µοντέλα συστάδων ορθογωνικών παλµών Το µοντέλο ορθογωνικών παλµών Neyman-Scott (NSRPM) Το µοντέλο ορθογωνικών παλµών Bartlett-Lewis (BLRPM) Το τυχαίο µοντέλο Bartlett-Lewis (RBLRPM) Το τυχαίο µοντέλο Γάµα Bartlett-Lewis (RBLRPM) Βιβλιογραφικά συµπεράσµατα από την εφαρµογή του µοντέλου Εκτίµηση παραµέτρων µοντέλων Bartlett-Lewis Τοποθέτηση προβλήµατος στα πλαίσια της βελτιστοποίησης Κριτήρια επιλογής στατιστικών µεγεθών Ευαισθησία παραµέτρων στην κλίµακα µελέτης Το υπολογιστικό πακέτο HyetosR 46 5 Αναφορές 51 4

5 6 Παράρτηµα Α 57 7 Παράρτηµα B 75

6 1 Εισαγωγή 1.1 Αντικείµενο του τεύχους - Ιστορικό Στα πλαίσια της ράσης «Συνεργασία» του ΕΣΠΑ , η Γενική Γραµµατεία Έρευνας και Τεχνολογίας ανέθεσε στη σύµπραξη τεσσάρων φορέων (ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες, Γραφείο Μαχαίρα, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, και Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών) το ερευνητικό έργο ΕΥΚΑΛΙΩΝ Εκτίµηση πληµµυρικών ροών στην Ελλάδα σε συνθήκες υδροκλιµατικής µεταβλητότητας: Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένου εννοιολογικού-πιθανοτικού πλαισίου και υπολογιστικών εργαλείων. Το έργο αποσκοπεί στην ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένων µεθοδολογιών µοντελοποίησης και πρόγνωσης των ισχυρών καταιγίδων και των επαγόµενων πληµµυρικών φαινοµένων, προσαρµοσµένων στις ιδιαιτερότητες των ελληνικών υδροκλιµατικών και γεωµορφολογικών συνθηκών. Στα πλαίσια του έργου προβλέπεται η ανάπτυξη ενός δικτύου ερευνητικών λεκανών, υφιστάµενων και νέων, στην Ελλάδα και την Κύπρο. Από την ανάλυση των δεδοµένων πεδίου (υδρολογικών, µετεωρολογικών, γεωγραφικών) των εν λόγω λεκανών θα εξαχθούν φυσικά τεκµηριωµένες περιοχικές σχέσεις για την εκτίµηση χαρακτηριστικών υδρολογικών µεγεθών σχεδιασµού. Ακόµη, θα αναπτυχθούν υδρολογικά-υδραυλικά µοντέλα που θα ολοκληρωθούν σε ένα επιχειρησιακό σύστηµα υδροµετεωρολογικής πρόγνωσης. Τέλος, προβλέπεται ακόµη η προετοιµασία (υπό µορφή προσχεδίου για επιστηµονική συζήτηση) ενός πλαισίου κριτηρίων σχεδιασµού και µεθοδολογιών εκπόνησης µελετών αντιπληµµυρικών έργων. Σκοπός της Ενότητας Εργασίας 3 µε τίτλο Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένων εργαλείων υδρολογίας πληµµυρών είναι η αξιοποίηση των ιστορικών πληροφοριών και των δεδοµένων πεδίου που θα συλλεχθούν από το νέο µετρητικό δίκτυο, για την διατύπωση ενός φυσικά εδραιωµένου µεθοδολογικού πλαισίου, το οποίο αφορά στη µοντελοποίηση των πληµµυρών, προσαρµοσµένου στις ελληνικές συνθήκες. Το πλαίσιο αυτό περιλαµβάνει ένα φάσµα µεθοδολογικών προσεγγίσεων, από στοιχειώδεις εµπειρικές σχέσεις έως προχωρηµένα µοντέλα προσοµοίωσης, τα οποία θα ελεγχθούν στις πιλοτικές περιοχές του έργου και θα συγκριθούν µε κοινές πρακτικές των µελετητών και καταξιωµένα υπολογιστικά εργαλεία της βιβλιογραφίας. Η παρούσα τεχνική έκθεση αναφέρεται στην ανάπτυξη µοντέλων στοχαστικής προσοµοίωσης για την παραγωγή συνθετικών καταιγίδων, που χρησιµοποιούνται στη συνέχεια ως στοιχεία εισόδου σε υδρολογικά µοντέλα πληµµυρών. Τα συνθετικά επεισόδια (ή χρονοσειρές) που γεννώνται µέσω προσοµοίωσης αναπαράγουν πλήρως τη στοχαστική δοµή των ιστορικών δειγµάτων βροχής, διατηρώντας τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της βροχής σε όλες τις κλίµακες, καθώς και τις χρονικές και χωρικές συσχετίσεις στις χρονικές κλίµακες ενδιαφέροντος. Τα µοντέλα που αναπτύχθηκα και οι αντίστοιχες εφαρµογές τους σε κατάλληλο υπολογιστικό περιβάλλον, υλοποιούν µονοµεταβλητά (βασισµένα στην ανέλιξη Bartlett-Lewis) και πολυµεταβλητά σχήµατα, όπως περιγράφεται αναλυτικά στην παρούσα έκθεση καθώς και πρωτότυπα εναλλακτικά σχήµατα προσοµοίωσης. Η οµάδα εκπόνησης του παρόντος τεύχους είναι: Σίµων-Μιχαήλ Παπαλεξίου, Περιβαλλοντολόγος, MSc, ρ. Μηχανικός ΕΜΠ Παναγιώτης Κοσσιέρης, Πολιτικός Μηχανικός, MSc, Υποψ. ρ. ΕΜΠ 6

7 1.2 ιάρθρωση τεύχους Η παρούσα έκθεση αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια και δύο παραρτήµατα. Tο πρώτο κεφάλαιο αποτελεί την εισαγωγή της έκθεσης και εµπεριέχει το αντικείµενο του έργου, την οµάδα µελέτης και τη διάρθρωση του τεύχους. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται ένα ευέλικτο πολυµεταβλητό σχήµα στοχαστικής προσοµοίωσης της βροχόπτωσης που µπορεί να εφαρµοστεί σε µεγάλος εύρος χρονικής κλίµακας. Επίσης παρουσιάζεται και µια αναλυτική εφαρµογή αυτού του σχήµατος στη λεκάνη του Βοιωτικού Κηφισού όπου πραγµατοποιείται προσοµοίωση της ηµερήσιας βροχόπτωσης τους 13 σταθµούς της Λεκάνης. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα στοχαστικά µοντέλα προσοµοίωσης της βροχής σε συνεχή χρόνο, µε ιδιαίτερη έµφαση στο µοντέλο συστάδων ορθογωνικών παλµών Bartlett-Lewis. Επίσης παρουσιάζεται µια εκτενής βιβλιογραφική επισκόπηση από την εφαρµογή του συγκεκριµένου µοντέλου για την προσοµοίωση βροχών διαφορετικών τύπων, καθώς και το πρόβληµα εύρεσης των παραµέτρων του µοντέλου στα πλαίσια ολικής βελτιστοποίησης. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το υπολογιστικό πακέτο HyetosR που υλοποιεί τα σχήµατα Bartlett-Lewis για την προσοµοίωση της βροχής σε µικρές χρονικές κλίµακες, είτε σειριακά είτε µέσω επιµερισµού. Στα Παραρτήµατα Α και Β παρουσιάζονται πίνακες και διαγράµµατα των στατιστικών και στοχαστικών αναλύσεων των ιστορικών και των συνθετικών χρονοσειρών.

8 2 Στοχαστική µοντελοποίηση βροχόπτωσης 2.1 Επιλογή στοχαστικού µοντέλου Η στοχαστική µοντελοποίηση της βροχόπτωσης παρουσιάζει πολλές ιδιαιτερότητες και δυσκολίες που οφείλονται κυρίως στον διαλείποντα χαρακτήρα της. Συγκεκριµένα, η ηµερήσια βροχόπτωση δεν µπορεί να θεωρηθεί ούτε ανέλιξη συνεχών τυχαίων µεταβλητών αλλά ούτε ανέλιξη διακριτών τυχαίων µεταβλητών και αυτό διότι η περιθώρια κατανοµή της ηµερήσιας βροχόπτωσης ανήκει στην κατηγορία των µικτών τυχαίων µεταβλητών, που είναι εν µέρει διακριτή και εν µέρει συνεχής. Επιπλέον, η παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών από θετικά ασύµµετρες κατανοµές, όπως αυτή της ηµερήσιας βροχόπτωσης, που να διατηρούν ζητούµενη δοµή αυτοσυσχέτισης, είναι πολύ πιο δύσκολη από ότι η παραγωγή χρονοσειρών από συµµετρικές κατανοµές όπως η κανονική. Γενικά, οι προσεγγίσεις µοντελοποίησης της βροχόπτωσης στη βιβλιογραφία [Waymire and Gupta, 1981] διαχωρίζουν τη µοντελοποίηση σε δύο στάδια, στο πρώτο, µοντελοποιούνται οι περίοδοι ξηρασίας και βροχόπτωσης και στο δεύτερο, µοντελοποιούνται οι τιµές τις βροχόπτωσης όταν βρέχει. Μια άλλη τεχνική που εφαρµόζεται κυρίως σε συνεχείς µεταβλητές και όχι σε µεταβλητές µε διαλείποντα χαρακτήρα, είναι πρώτον, η κανονικοποίηση τους, δεύτερον, η παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών µε τα χαρακτηριστικά της κανονικοποιηµένης χρονοσειράς και τρίτον, η αποκανονικοποίηση της κανονικοποιηµένης χρονοσειράς ώστε να µοιάζει µε την αρχική. Η µεθοδολογία που παρουσιάζεται εδώ αποτελεί µια τροποποίηση αυτής της παραπάνω τεχνικής ώστε να είναι εφαρµόσιµη και σε χρονοσειρές διαλείποντος χαρακτήρα όπως επίσης και σε πολλαπλές χρονικές κλίµακες. Η επιλογή του στοχαστικού µοντέλου βασίζεται τόσο στα χαρακτηριστικά του συστήµατος που καλείται να προσοµοιώσει όσο και στα χαρακτηριστικά που είναι επιθυµητό αυτό να αναπαράγει. Έστω πως υπάρχει ένας µετασχηµατισµός που κανονικοποιεί της ιστορικές χρονοσειρές βροχόπτωσης, καθώς και ο αντίστροφός του ώστε να είναι εφικτή η αποκανονικοποίηση τους, τότε στοχαστικό µοντέλο πρέπει να έχει τα εξής χαρακτηριστικά: (α) να είναι πολυµεταβλητό, (β) να αναπαράγει την µηνιαία κυκλική µεταβλητότητα και (γ) να διατηρεί τη δοµή της αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης. Ένα µοντέλο που διατηρεί αυτά τα χαρακτηριστικά, είναι το κυκλοστάσιµο πολυµεταβλητό αυτοπαλινδρόµησης τάξης 1 (PAR1). Το µοντέλο αυτό έχει χρησιµοποιηθεί ευρέως στην υδρολογία [Bras and Rodriguez-Iturbe, 1993; Ledolter, 1978; Raman and Sunilkumar, 1995; Salas and Delleur, 1980] και διατηρεί ή αναπαράγει την ετεροσυσχέτιση µεταξύ των σταθµών για υστέρηση βήµατος 0 και 1, καθώς και την αυτοσυσχέτιση για βήµα 1. Συµβολίζοντας µε Ζ i,j (t) την κανονικοποιηµένη µεταβλητή την ηµέρα t, στον i-oστό σταθµό για το µήνα j, µε i = 1,,n και j = 1,,12 το µοντέλο PAR1 ορίζεται από τη σχέση: () t = ( t 1) + ( t) Z A Z B ε (2.1) j j j j T T όπου Z () t Z () t... Z () t µε Ζ i,j (t) ~ N(0,1), ( t) ε ( t) ε ( t) j = 1, j n, j ε = 1... n το διάνυσµα των τυχαίων διαταραχών µε ε i (t) ~ N(0,1), A j και B j τα n x n µητρώα παραµέτρων µε το j να εξαρτάται από το µήνα που η µέρα t ανήκει. Συνεπώς, πρέπει να εκτιµηθούν 12 διαφορετικά µητρώα 8

9 παραµέτρων A j και B j, δηλαδή ένα για κάθε µήνα. Σχετικά µε την υλοποίηση του µοντέλου διευκρινίζεται πως σε κάθε βήµα t πρέπει να επιλέγονται τα κατάλληλα µητρώα παραµέτρων, για παράδειγµα, για τις πρώτες 31 τιµές τα µητρώα A 1 και B 1, για τις επόµενες 28 τιµές τα A 2 και B 2 κτλ. εδοµένου ότι το µοντέλο είναι κυκλοστάσιµο η επιλογή των µητρώων A j και B j είναι περιοδική, επαναλαµβάνεται κάθε 365 ή 366 τιµές. Τα µητρώα των παραµέτρων A j και B j µπορούν να εκτιµηθούν, αντίστοιχα, από τις εξισώσεις j T j 1 j = Z ( 1) ( 0) j Z j 1 T ( 0) ( 1) ( 0) ( 1) A K K (2.2) BB = K K K K (2.3) Zj Zj Zj Zj όπου K Z j ( τ ) είναι το µητρώο συσχετίσεων για υστέρηση τ, του µήνα j, που ορίζεται από τη σχέση K Z j ( ) µε p = 1,,n και q = 1,,n. ( ) K ( ) ρ1,1 τ ρ1, n τ τ = M O M ρpq, ( τ) = E Zp, j( t) Zq, j( t τ) ρn,1 ( τ) K ρn, n( τ) (2.4) 2.2 Παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών Κανονικοποίηση ιστορικών χρονοσειρών Γενικά, για έναν αυθαίρετο ένα-προς-ένα µετασχηµατισµό h µιας και συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Υ που ορίζεται σε ένα αυθαίρετο σύνολο k και µετασχηµατίζει την Υ στην τυποποιηµένη κανονική µεταβλητή Ζ, µε δεδοµένο ότι το πεδίο ορισµού της Ζ είναι το R, πρέπει να ισχύει h : k R. Αν + συµβολίσουµε µε Υ την βροχόπτωση που ορίζεται στο R και συνεπώς είναι µια µεταβλητή µικτού τύπου µε συγκεκριµένη πιθανότητα p = Pr(Υ = 0) και µε Χ τη θετική βροχόπτωση, που ορίζεται δηλαδή στο ( 0, ), είναι φανερό πως οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός της Υ θα οδηγήσει και πάλι σε µια µεταβλητή µικτού τύπου, ενώ αντιθέτως ένας συνεχής µετασχηµατισµός που δρα στη Χ θα τη µετασχηµατίσει σε συνεχή µεταβλητή. Με βάση την προηγούµενη παρατήρηση είναι φανερό πως µόνο η θετική βροχόπτωση Χ µπορεί να µετασχηµατιστεί στην τυποποιηµένη κανονική µεταβλητή Ζ µε την εφαρµογή ενός καταλλήλου µετασχηµατισµού Ζ = g(x). Παρόλα αυτά, σε ένα δείγµα n τιµών βροχόπτωσης µε n 0 µηδενικές τιµές, η µικρότερη θετική τιµή του δείγµατος x (1) έχει εµπειρική πιθανότητα µη υπέρβασης κατά Weibull ίση µε (n 0 +1)/(n+1) = p + 1/(n+1) > 0 και συνεπώς η τιµή της µεταβλητής Ζ που αντιστοιχεί σε αυτή την πιθανότητα είναι z(1) > zp >, όπου z p η τιµή της µεταβλητής Ζ που αντιστοιχεί στην πιθανότητα p = Pr(Υ = 0). Έτσι, αρκεί για το µετασχηµατισµό g να ισχύει g: ( 0, ) ( z p, ). Επίσης, σχετικά µε τα χαρακτηριστικά του µετασχηµατισµού g, δεδοµένου ότι από την ανάλυση των θετικών ηµερήσιων βροχοπτώσεων ανά µήνα έχει προκύψει ότι η κατανοµή τους είναι θετικά ασύµµετρη και τύπου δύναµης, θα πρέπει ο µετασχηµατισµός Ζ = g(x) να οδηγεί σε µια κατανοµή µε παρόµοια χαρακτηριστικά. Λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω ο µετασχηµατισµός που προτείνεται είναι:

10 c b x + z = g( x) = d + ln g: R ( d + ln 2, ) (2.5) a όπου a, b, c, d οι παράµετροι του µετασχηµατισµού και d + ln 2 = zp. Εφαρµόζοντας την αλλαγή µεταβλητής z = g(x) στην τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, τότε η πυκνότητα πιθανότητας της µεταβλητής X είναι f X ( x) 2 b 1 b c 1 b c x x 1 x 1 exp ln 1 1 d a a 2 a 1 bc = 1 p 2a 2π b c b c x x ln a a η οποία όπως µπορεί να διαπιστωθεί, έχει παρόµοια συµπεριφορά µε µια ευέλικτη τρι-παραµετρική κατανοµή τύπου δύναµης που είναι γνωστή ως Burr τύπου XII. Συγκεκριµένα, για b < 0 η πυκνότητα πιθανότητας απειρίζεται στο 0, ενώ για έχει b > 0 η πυκνότητα πιθανότητας µηδενίζεται στο 0. Επιπλέον, το πιο σηµαντικό είναι πως η κατανοµή είναι τύπου δύναµης και ειδικά για d = 0 έχει δείκτη ασυµπτωτικής συµπεριφοράς ίσο µε b c / Είναι προφανές πως ο µετασχηµατισµός (2.6) πρέπει να εφαρµοστεί σε κάθε µεταβλητή X i,j που αναφέρεται στην βροχόπτωση του i-oστού σταθµού για το µήνα j Εκτίµηση µητρώων συσχετίσεων και παραµέτρων µοντέλου Για να εφαρµοστεί το µοντέλο PAR1 πρέπει να εκτιµηθούν τα µητρώα των παραµέτρων A j και B j που σύµφωνα µε τις σχέσεις (2.2) και (2.3) απαιτείται γνώση των µητρώων συσχετίσεων K Z j ( τ ), όπως αυτά ορίζονται στην σχέση (2.4). Είναι φανερό πως η εφαρµογή του µετασχηµατισµού K δεν είναι µετασχηµατίζει µόνο τις θετικές τιµές της βροχόπτωσης και συνεπώς τα µητρώα ( ) Z j τ δυνατόν να εκτιµηθούν µε ακρίβεια από τις µετασχηµατισµένες χρονοσειρές εξαιτίας της ύπαρξης των µηδενικών. Για να λυθεί αυτό το πρόβληµα, πραγµατοποιήθηκε µια πληθώρα προσοµοιώσεων κανονικών χρονοσειρών µε δεδοµένες τιµές συσχέτισης, και µελετήθηκε η επίδραση του αντίστροφου µετασχηµατισµού της σχέσης (2.6) στις αποκανονικοποιηµένες χρονοσειρές. Από τη ανάλυση, προέκυψε ότι ο µετασχηµατισµός προκαλεί διαφοροποίηση της συσχέτισης που εξαρτάται τόσο από την πιθανότητα στεγνής ηµέρας p όσο και από τις τιµές των παραµέτρων του. Συνεπώς, τα K τ που ορίζονται από την εξίσωση µητρώα ( ) Z j τ K εκτιµώνται από τα αντίστοιχα µητρώα ( ) K X j ( ) ( ) K ( ) ρ1,1 τ ρ1,13 τ Cov X p, j() t, Xq, j( t τ ) τ = ρp, q( τ M O M ) = σ X () t σ ( ) p, j X t τ q, j ρ13,1 ( τ) K ρnn, ( τ) οι τιµές των οποίων προσαυξήθηκαν κατά ένα ποσοστό που προέκυψε από τα αποτελέσµατα της προαναφερθείσας ανάλυσης. Ο Πίνακας 2.1 παρουσιάζει το ποσοστό προσαύξησης που κατά µέσο X j (2.6) (2.7) 10

11 όρο πρέπει να πραγµατοποιηθεί στις τιµές των συντελεστών συσχέτισης των µητρώων K X ( τ ) j ώστε να προκύψουν τα µητρώα K ( τ ). Μετά την εκτίµηση των µητρώων K ( τ ) Z j Z j, η εκτίµηση των µητρώων των παραµέτρων A j και B j πραγµατοποιήθηκε εφαρµόζοντας τις σχέσεις (2.2) και (2.3). Αναφέρεται, πως τα µητρώα των παραµέτρων B j εκτιµήθηκαν βάσει της µεθόδου Cholesky. Τέλος, η παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών της βροχόπτωσης, πραγµατοποιείται βάσει του µοντέλου PAR1 µε χρήση των εκτιµηµένων παραµέτρων και τη χρήση του αντίστροφου µετασχηµατισµού της (2.1), ήτοι 1 όπου g ( z) 0, z zp i, j x= g z = g d + R (2.8) Z i, j ( ) b :( ln2, ) ( z d) c Z i, j a e 1 1, z > zp i, j είναι ο µετασχηµατισµός που αναφέρεται στον i-οστό σταθµό του µήνα j, και p i, j η αντίστοιχη πιθανότητα στεγνής ηµέρας. 2.3 Περιοχή µελέτης και διαθέσιµα δεδοµένα Η περιοχή που εφαρµόστηκε η µεθοδολογία είναι η λεκάνη απορροής του Βοιωτικού Κηφισού (Σχήµα 2.1). Η λεκάνη έχει έκταση km 2, το µέσο υψόµετρό της ανέρχεται σε m, ενώ το µέγιστο υψόµετρό της είναι στην κορυφή Λιάκουρα του Παρνασσού, η οποία φτάνει τα m. Ο υδροκρίτης της ορίζεται βόρεια και βορειοανατολικά από τα όρη Οίτη, Καλλίδροµο, Σφίγγιο και Χλωµό, και νότια και νοτιοδυτικά από τα όρη Γκιώνα, Παρνασσός και Ελικώνας. Τα ηµερήσια βροχοµετρικά δείγµατα προέρχονται από 13 υδροµετεωρολογικούς σταθµούς της ευρύτερης περιοχής, οι θέσεις των οποίων απεικονίζονται στον χάρτη του Σχήµατος 2.2. Επισηµαίνεται ότι οι σταθµοί Πυράς και Συκέας, αν και ανήκουν στην υδρολογική λεκάνη του Μόρνου, επιλέχθηκαν ως αντιπροσωπευτικοί ορεινοί σταθµοί, αφού στην περιοχή µελέτης υπάρχει ανεπάρκεια µετρήσεων βροχόπτωσης σε µεγάλα υψόµετρα. Ακόµη, εκτός των ορίων της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού βρίσκεται και ο σταθµός της Αταλάντης. Κάποια βασικά χαρακτηριστικά των σταθµών παρουσιάζονται στον Πίνακα 2.1, ενώ τα δεδοµένα τους ελήφθησαν από ερευνητικό έργο του ΕΜΠ (Ευστρατιάδης και Μαµάσης, 2004). Πίνακας 2.1: Ποσοστό προσαύξησης συντελεστών συσχέτισης των µητρώων ( τ ) K X. j Υστέρηση Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαϊ Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ τ = τ =

12 Σχήµα 2.1: Ψηφιακό µοντέλο εδάφους λεκάνης Βοιωτικού Κηφισού. Σχήµα 2.2: Θέσεις βροχοµετρικών σταθµών. 12

13 Πίνακας 2.1: Χαρακτηριστικά βροχοµετρικών σταθµών. Ονοµασία Υπηρεσία Υψόµετρο (m) Μέσο ετήσιο ύψος βροχής (mm) Αγία Τριάδα ΥΠΕΧΩ Ε Αλίαρτος ΕΜΥ Άνω Μπράλος ΥΠΕΧΩ Ε Αταλάντη ΥΠΕΧΩ Ε Γραβιά ΥΠΕΧΩ Ε αύλεια ΥΠΕΧΩ Ε ρυµαία ΥΠΕΧΩ Ε Επτάλοφος ΥΠΕΧΩ Ε Κάτω Τιθορέα ΥΠΕΧΩ Ε Λειβαδιά ΥΠΕΧΩ Ε Παύλος ΥΠΕΧΩ Ε Πυρά ΥΠΕΧΩ Ε Συκέα ΥΠΕΧΩ Ε Τα δεδοµένα αυτών των σταθµών διατίθενται σε ψηφιακή µορφή από την ΕΤΥΜΠ και επικαιροποιήθηκαν µετά από αποδελτίωση (µέχρι τις 31/12/2006) στα πλαίσια ενός ερευνητικού προγράµµατος του ΕΜΠ (Παπαλεξίου και Ευστρατιάδης, 2009). Ο Πίνακας 2.1 παρουσιάζει αναλυτικά το χρονικό διάστηµα των διαθέσιµων χρονοσειρών. Ειδικά για το σταθµό της Αλίαρτου της ΕΜΥ, υπάρχουν δεδοµένα µόνο για το χρονικό διάστηµα 01/03/1965 έως 30/09/1990, καθώς στη συνέχεια ο σταθµός έπαψε να λειτουργεί. Σταθµός Πίνακας 2.2: ιαθέσιµες χρονοσειρές δεδοµένων ηµερήσιας βροχόπτωσης ιαθέσιµα από ΕΤΥΜΠ Έναρξη Λήξη Επικαιροποίηση µε αποδελτίωση έως Συκέα 01/08/ /09/ /12/2006 Πυρά 01/08/ /09/ /12/2006 Γραβιά 08/12/ /12/ /12/2006 Άνω Μπράλος 01/11/ /09/ /12/2006 Επτάλοφος 01/12/ /12/ /12/2006 ριµέα 01/11/ /12/ /12/2006 Τιθορέα 01/11/ /09/ /12/2006 αυλειά 01/12/ /09/ /12/2006 Αταλάντη 08/12/ /12/ /12/2006 Λειβαδιά 06/09/ /09/ /12/2006 Παύλος 01/11/ /01/ /12/2006 Αγία Τριάδα 01/12/ /12/ /12/2006 Αλίαρτος 01/03/ /09/1990 ιαθέσιµα από ΕΜΥ

14 Επισηµαίνεται πως τα πρωτογενή αυτά δεδοµένα ελεγχτήκαν για σφάλµατα εγγραφής, π.χ., για την ορθή ηµερολογιακή διάταξη, τις διπλές εγγραφές, κ.α. Επίσης πραγµατοποιήθηκε συγχρονισµός των χρονοσειρών (διαπιστώθηκε πως τα δεδοµένα της Τιθορέας είναι συστηµατικά µετατοπισµένα κατά µία ηµέρα προς τα πίσω), η χιονόπτωση µετατράπηκε σε βροχή καθώς πραγµατοποιήθηκε και συµπλήρωση των κενών µε τη µέθοδο της πολλαπλής γραµµικής παλινδρόµησης (Παπαλεξίου και Ευστρατιάδης, 2009). 2.4 Στατιστική-στοχαστική ανάλυση ιστορικών βροχοπτώσεων Βασικά περιγραφικά µέτρα Στα υποκεφάλαια που ακολουθούν παρουσιάζεται η περιγραφική στατιστική ανάλυση των ιστορικών χρονοσειρών της βροχόπτωσης των σταθµών της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Συγκεκριµένα αναλύονται οι χρονοσειρές της ηµερήσιας και της ηµερήσιας σε µηνιαία βάση βροχόπτωσης. Σκοπός της ανάλυσης αυτής είναι να σχηµατιστεί µια αναλυτική στατιστική εικόνα της συµπεριφοράς της βροχόπτωσης, η οποία θα συµβάλει στην ορθή στατιστική-στοχαστική µοντελοποίηση της. Γενικά, τα περιγραφικά µέτρα µπορούν να χωριστούν σε τρεις βασικές κατηγορίες: (α) µέτρα θέσης, (β) µέτρα µεταβλητότητας και (γ) µέτρα σχήµατος. Τα περιγραφικά µέτρα που έχουν εκτιµηθεί και παρουσιάζονται σε πίνακες (βλ. Παράρτηµα Α) στην παρούσα εργασία είναι από την κατηγορία (α) η µέση τιµή µ, από την κατηγορία (β) η τυπική απόκλιση σ, τα τεταρτηµόρια Q 1, Q 2, και Q 3, η µέγιστη και ελάχιστη τιµή, ο συντελεστής µεταβλητότητας C v = σ/µ και ο L-συντελεστής µεταβλητότητας L-C v = λ 2 /λ 1, ενώ από την κατηγορία (γ) ο συντελεστής ασυµµετρίας C s και κύρτωσης C k των κλασικών ροπών καθώς και οι L-συντελεστές ασυµµετρίας και κύρτωσης L-C s και L-C k των L-ροπών. Επίσης έχει εκτιµηθεί και η πιθανότητα ξηρής ηµέρας P d, που ορίζεται για ένα συγκεκριµένο διάστηµα ως ο λόγος των ηµερών χωρίς βροχόπτωση προς τις συνολικές ηµέρες του διαστήµατος. Τα περισσότερα από τα παραπάνω στατιστικά µέτρα είναι τετριµµένα και δεν απαιτούν κάποια περαιτέρω περιγραφή. Αξίζει µια σύντοµη αναφορά στα µέτρα που βασίζονται στις L-ροπές [Hosking, 1990] που ορίζονται ως γραµµικός συνδυασµός των αναµενόµενων τιµών των διατεταγµένων στατιστικών και χρησιµοποιούνται πλέον ευρέως στην υδρολογία τόσο ως µέθοδος προσαρµογής κατανοµών αλλά και όσο και ως περιγραφικά στατιστικά µέτρα [Kroll and Vogel, 2002; Lim and Lye, 2003]. Το βασικό πλεονέκτηµα των L-ροπών είναι πως οι δειγµατικές εκτιµήσεις τους ως γραµµικοί συνδυασµοί του διατεταγµένου δείγµατος, δεν υψώνουν τις παρατηρήσεις του δείγµατος σε τετραγωνικές ή κυβικές δυνάµεις, όπως συµβαίνει µε την κλασική µέθοδο των ροπών. Ως αποτέλεσµα, οι εκτιµήσεις των L-αδιάστατων συντελεστών διασποράς L-C v = λ 2 /λ 1, L-ασυµµετρίας L-C s = λ 3 /λ 2, και L-κύρτωσης L-C k = λ 4 /λ 2, είναι αµερόληπτες µε κανονική σχεδόν κατανοµή, όπου λ i είναι η i-οστή L-ροπή [Sankarasubramanian and Srinivasan, 1999; Vogel and Fennessey, 1993].Τιµή του L-C s < 0 υποδηλώνει αρνητική ασυµµετρία ενώ τιµή του L- C s > 0 θετική ασυµµετρία. Αντίστοιχα, για τη κύρτωση, τιµή του L-C κ > , που είναι η τιµή της κανονικής κατανοµής, υποδηλώνει λεπτόκυρτη κατανοµή, ενώ L-C κ < πλατύκυρτη κατανοµή Ηµερήσιες χρονοσειρές Ένα βασικό χαρακτηριστικό της ηµερήσιας βροχόπτωσης είναι ο διαλείπων χαρακτήρα της, η ιδιότητά της δηλαδή σε κάποια χρονικά διαστήµατα να βρέχει και σε κάποια άλλα να µην βρέχει. Συνεπώς, στη µηδενική τιµή βροχόπτωσης αντιστοιχίζεται µια συγκεκριµένη θετική πιθανότητα, 14

15 ενώ σε οποιαδήποτε µη µηδενική τιµή της αντιστοιχίζεται πιθανότητα ίση µε µηδέν, έτσι η µη µηδενική βροχόπτωση είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή. Στη µελέτη της ηµερήσιας βροχόπτωσης, εκτός από την εκτίµηση της πιθανότητας ξηρασίας, ουσιαστική είναι προφανώς και η µελέτη της κατανοµής της µη µηδενικής ηµερήσιας βροχόπτωσης, δηλαδή της κατανοµής της βροχόπτωσης δεδοµένου ότι βρέχει. Για τη µελέτη της ηµερήσιας βροχόπτωσης σε κάθε σταθµό της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού, χρησιµοποιήθηκαν οι ηµερήσιες χρονοσειρές του χρονικού διαστήµατος από 01/01/1964 έως 31/12/2006. Τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης καθώς και η πιθανότητα να µην βρέχει παρουσιάζονται στον Πίνακα Α.1 του Παραρτήµατος Α, ενώ µια συνοπτική εικόνα για κάθε σταθµό παρουσιάζεται στο Σχήµα 2.1. Τόσο από τα στατιστικά χαρακτηριστικά του Πίνακα Α.1 όσο και από το Σχήµα 2.1, προκύπτει πως η θετική ηµερήσια βροχόπτωση παρουσιάζει µεγάλη θετική ασυµµετρία, µε της τιµές των συντελεστών ασυµµετρίας και L-ασυµµετρίας, να κυµαίνονται από 2.2 έως 4 και από 0.38 έως 0.54, αντίστοιχα. Γενικά, παρατηρείται αρκετά µεγάλη οµοιότητα στα στατιστικά χαρακτηριστικά των περισσοτέρων σταθµών, π.χ., η µέση τιµή στους περισσότερους κυµαίνεται γύρω από τα 10 mm ± 2 mm, ενώ η τυπική απόκλιση γύρω από τα 13 mm ± 2 mm. Τέλος, η πιθανότητα να µην βρέχει κυµαίνεται από 0.66 στο σταθµό της Πυράς, που σηµαίνει πως κατά µέσο όρο βρέχει 54 µέρες το χρόνο, έως 0.85 στο σταθµό του Παύλου που αντιστοιχεί 124 µέρες βροχής. Σχήµα 2.1 Θηκογράµµατα της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης σε mm σε σταθµούς της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Οι άνω και κάτω φράχτες κάθε θηκογράµµατος ορίζουν το 95% εµπειρικό διάστηµα εµπιστοσύνης Ηµερήσιες χρονοσειρές σε µηνιαία βάση Μια πιο λεπτοµερής ανάλυση, επιβάλλει τη µελέτη της βροχόπτωσης ανά µήνα, δεδοµένης της κυκλικής µεταβολής του κλίµατος, που αναµφίβολα επηρεάζει όλες τις διεργασίες που σχετίζονται µε αυτό. Για τη µελέτη της ηµερήσιας βροχόπτωσης σε κάθε σταθµό της λεκάνης του Βοιωτικού

16 Κηφισού ανά µήνα, χρησιµοποιήθηκαν οι συµπληρωµένες ηµερήσιες χρονοσειρές του χρονικού διαστήµατος από 01/01/1964 έως 31/12/2006 αφού πρώτα αποµονώθηκαν τα δεδοµένα κάθε µήνα και σταθµού ώστε να κατασκευαστούν οι επιµέρους χρονοσειρές. Τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης κάθε σταθµού ανά µήνα καθώς και η πιθανότητα ξηρασίας σε µηνιαία βάση παρουσιάζονται στους Πίνακες Α.2 ως Α.14 του Παραρτήµατος Α. Μια τυπική εικόνα για ένα σταθµό παρουσιάζεται στο Σχήµα 2.2, ενώ συνολικά τα θηκογράµµατα όλων των σταθµών παρουσιάζονται στο Παράρτηµα Α (Σχήµατα Α.1 ως Α.13). Ο Πίνακας 2.3 παρουσιάζει τη µέση τιµή της πιθανότητας ξηρής ηµέρας P d, όπως προκύπτει από όλους τους σταθµούς. Είναι φανερή η µεγάλη διαφοροποίηση µεταξύ των µηνών, όπως άλλωστε ήταν αναµενόµενο εξαιτίας της εποχιακής µεταβολής του κλίµατος. Αυτή η διαφοροποίηση µεταξύ των µηνών αποτελεί ουσιώδες στοιχείο, αφού είναι η βασική αιτία που διαφοροποιεί το συνολικό ύψος βροχής ανά µήνα. Πίνακας 2.3: Μέση τιµή πιθανότητας στεγνής ηµέρας όλων των σταθµών ανά µήνα. Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαϊ Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ P d Σχήµα 2.2 Θηκογράµµατα µηνιαίας θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης σε mm στο σταθµό ρυµαία της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Μελετώντας τόσο τα στατιστικά χαρακτηριστικά της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης στους πίνακες Α.2 έως Α.14 αλλά και τα θηκογράµµατα όλων των σταθµών στα σχήµατα Α.1 έως Α.13 του Παραρτήµατος Α, προκύπτει πως στην πλειοψηφία των σταθµών η θετική ηµερήσια βροχόπτωση ανά µήνα κάθε σταθµού έχει περίπου την ιδία κατανοµή µεταξύ των µηνών. Το βασικό στοιχείο δηλαδή που διαφοροποιείται είναι η πιθανότητα ξηρής ηµέρας. Ακόµη και στην περίπτωση που η βροχόπτωση των χειµερινών µηνών παρουσιάζει µεγαλύτερη µέση τιµή και µεγαλύτερη διασπορά από τους υπολοίπους µήνες, τα χαρακτηριστικά σχήµατος της κατανοµής 16

17 φαίνεται να παραµένουν περίπου ίδια µεταξύ των µηνών. Συνεπώς, το γεγονός αυτό υπονοεί πως ίσως να υπάρχει µια και µόνο θεωρητική κατανοµή που να περιγράφει ικανοποιητικά την ηµερήσια βροχόπτωση για όλους τους µήνες Προσαρµογή κατανοµών Είναι γνωστό από τη βιβλιογραφία πως η κατανοµή της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης παρουσιάζει µεγάλη θετική ασυµµετρία. Παραδοσιακά, οι κατανοµές που έχουν περισσότερο χρησιµοποιηθεί ως κατανοµές ηµερήσιας βροχόπτωσης είναι η εκθετική, η κατανοµή Γάµα ή µίξεις εκθετικών [π.χ., Waymire and Gupta, 1981; Wilks, 1998; Woolhiser and Roldan, 1982]. Παρόλα αυτά, άλλες εργασίες [Fraedrich and Larnder, 1993; Veneziano et al., 1996; Wilks, 1999] προτείνουν αντί της χρήσης εκθετικών κατανοµών τη χρήση κατανοµών τύπου Pareto, µε ουρά δηλαδή τύπου δύναµης [Papalexiou and Koutsoyiannis, 2009a, 2008]. Στην παρούσα εφαρµογή θα χρησιµοποιηθεί µια ευέλικτη τρι-παραµετρική κατανοµή τύπου δύναµης η οποία έχει αναλυτική και απλή έκφραση της συνάρτησης κατανοµής και είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως κατανοµή Burr τύπου ΧII [Rodriguez, 1977; Tadikamalla, 1980]. Ο Πίνακας 2.4 συνοψίζει τα βασικά χαρακτηριστικά της κατανοµής. Πυκνότητα πιθανότητας Πίνακας 2.4: Βασικά χαρακτηριστικά κατανοµής Burr ΧII. Εξίσωση γ γ γγ x x BrXII ( ) = 1+ 2 f x γ β β β 1 Συνάρτηση κατανοµής γ 1 γ1γ 2 x FBrXII ( x) = 1 1+ γ 2 β 1 Ποσοστηµόριο γγ 1 ( ) 1 2 γ 1 u 1 QB rxii( u) = β γ 2 + Πεδίο ορισµού µεταβλητής X R Περιορισµοί παραµέτρων β > 0, γ1 > 0, γ2 > 0 Ροπή τάξης q q 1 q/ γ 1 γ 1 2q mq = β γ 2 B1 + q/ γ1, γγ 1 2 Ύπαρξη ροπών m q < αν 1/ γ 2 > q 1/ Ασυµπτωτική συµπεριφορά 2 ( ) Χαρακτηριστικά σχήµατος 1 a 1 b B ab, = t 1 t 1 dt ( ) ( ) 0 Αναφορά (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) P X > x ~ x γ (2.13) γ1 < 1 fbrxii (0) γ1 = 1 fbrxii(0) 1/ β γ > 1 f ( 0) 0 1 BrXII Η υπεροχή της κατανοµής Burr XII έναντι µιας πιο παραδοσιακής κατανοµής όπως για παράδειγµα η κατανοµή Γάµα ή η Εκθετική, αποδεικνύεται από το Σχήµα 2.3 που απεικονίζει το σύνολο των εµπειρικών σηµείων (L-C v, L-C s ), συνολικά 156 σηµεία (13 σταθµοί επί 12 µήνες), των

18 χρονοσειρών της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης ανά µήνα των σταθµών της λεκάνης του Βοιωτικού Κηφισού. Είναι φανερό, πως η συντριπτική πλειονότητα των σηµείων εντοπίζεται µέσα στη θεωρητική περιοχή της κατανοµής BrXII και πάνω από το κάτω όριό της που εκφράζει την κατανοµή Weibull που είναι εκθετικού τύπου. Τονίζεται πως τα σηµεία έξω από την θεωρητική περιοχή της κατανοµής µπορεί να οφείλονται σε δειγµατική διακύµανση εξαιτίας του σχετικά µικρού δείγµατος. Σχήµα 2.3: ιάγραµµα L-µεταβλητότητας και L- ασυµµετρίας. Οι τελείες αναπαριστούν τα εµπειρικά (L-C v, L-C s ) σηµεία των ηµερήσιων βροχοπτώσεων ανά µήνα (13x12 σηµεία) και η πράσινη τελεία το µέσο όρο τους, ενώ η έγχρωµη περιοχή αποτελεί το θεωρητικό χώρο της κατανοµής Burr XII. Ως µέθοδος προσαρµογής της κατανοµής Burr XII στα δείγµατα των θετικών ηµερήσιων βροχοπτώσεων σε µηνιαία βάση, εφαρµόστηκε η µέθοδος των L-ροπών. Γενικά, σε µια τριπαραµετρική κατανοµή η εκτίµηση των παραµέτρων προκύπτει από την επίλυση του συστήµατος που σχηµατίζεται από την εξίσωση των τριών πρώτων θεωρητικών ροπών της κατανοµής µε τις αντίστοιχες δειγµατικές. Εδώ εφαρµόστηκε µια ελαφρά τροποποιηµένη µέθοδος, ήτοι, αντί της επίλυσης του συστήµατος οι παράµετροι προέκυψαν από την ελαχιστοποίηση του σφάλµατος των θεωρητικών και δειγµατικών ροπών ώστε να καθίσταται δυνατή η εύρεση παραµέτρων και για τα σηµεία που είναι εκτός της θεωρητικής περιοχής της BrXII. Συγκεκριµένα οι παράµετροι της κατανοµής προέκυψαν από την 2 arg min ( λq l q), q = { 1, 2,3} (2.14) βγ γ, 1, 2 όπου λ q και l q η θεωρητική και δειγµατική ροπή, αντίστοιχα, τάξης q. Οι παράµετροι των προσαρµοσµένων κατανοµών (συνολικά 156 κατανοµές, 13 σταθµοί x 12 µήνες) παρουσιάζονται συνολικά και ενδεικτικά στα θηκογράµµατα του Σχήµα 2.4, ενώ ένα ενδεικτικό γράφηµα των εµπειρικών κατανοµών της ηµερήσιας θετικής βροχόπτωσης και των προσαρµοσµένων κατανοµών Burr XII για το σταθµό της Πυράς το µήνα Ιανουάριο και το σταθµό της Τιθορέας το µήνα Αύγουστο δίνεται στο Σχήµα

19 Σχήµα 2.4: Θηκογράµµατα παραµέτρων προσαρµοσµένων κατανοµών Burr VII στα δείγµατα της θετικής ηµερήσιας βροχόπτωσης. Σχήµα 2.5: Ενδεικτικό γράφηµα εµπειρικών κατανοµών της ηµερήσιας θετικής βροχόπτωσης και οι προσαρµοσµένες κατανοµές Burr ΧII Ανάλυση αυτοσυσχετίσεων και ετεροσυσχετίσεων Οι συνθετικές χρονοσειρές που προκύπτουν από την εφαρµογή ενός πολυµεταβλητού στοχαστικού µοντέλου, οφείλουν να είναι συνεπείς όχι µόνο ως προς τα στατιστικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών υπό µελέτη, αλλά επίσης και ως προς τη δοµή της αυτοσυσχέτισης που παρουσιάζει κάθε χρονοσειρά, όπως και ως προς τη δοµή των ετεροσυσχετίσεων που προκύπτουν µεταξύ των χρονοσειρών. Είναι γνωστό πως υπάρχουν δύο βασικοί τύποι συσχέτισης, (α) συσχέτιση µε εµµονή, όπου ο συντελεστής συσχέτισης ρ(τ) είναι ανάλογος µιας συνάρτησης δύναµης της υστέρησης τ, δηλαδή ρ(τ) ~ τ -α, µε 0 < α < 1, γεγονός που σηµαίνει πως η τιµή του µειώνεται πολύ αργά µε το χρόνο και (β) ο συντελεστής συσχέτισης να είναι ανάλογος µιας εκθετικής συνάρτησης της υστέρησης, δηλαδή ρ(τ) ~ α -τ, µε 0 < α < 1, που σηµαίνει πως η τιµή του µειώνεται πολύ γρήγορα µε το χρόνο. Αν και ο τύπος συσχέτισης που έχει περισσότερο χρησιµοποιηθεί στη µοντελοποίηση γεωφυσικών χρονοσειρών είναι ο εκθετικός, υπάρχουν αρκετές εργασίες [Beran, 1992; Cox, 1984; Montanari, 2003] που υποστηρίζουν τη χρήση του τύπου δύναµης ως πιο κατάλληλου. Παρόλα αυτά, η

20 συσχέτιση τύπου δύναµης, που βάσει του ακριβούς ορισµού της είναι µια ασυµπτωτική ιδιότητα, δηλαδή αναφέρεται σε πολύ µεγάλες τιµές της υστέρησης, είναι δύσκολο αν όχι αδύνατο να αποδειχθεί σε γεωφυσικές χρονοσειρές που προφανώς έχουν πεπερασµένο µήκος. Γεγονός πάντως είναι πως η ύπαρξη εµµονής αλλάζει ουσιαστικά τη δοµή των παραγόµενων χρονοσειρών και συνεπώς, αν υπάρχουν ενδείξεις εµµονής, η εφαρµογή του στοχαστικού µοντέλου οφείλει να τις αναπαράγει. Με στόχο να διαπιστωθεί αν υπάρχουν ενδείξεις εµµονής έχουν κατασκευαστεί τα αυτοσυσχετογράµµατα και τα ετεροσυσχετογράµµατα των χρονοσειρών τον ηµερήσιων βροχοπτώσεων σε µηνιαία βάση µέχρι και για υστέρηση πέντε ηµερών. Ο Πίνακας 2.5 παρουσιάζει τις αριθµητικές τιµές των µηνιαίων µέσων τιµών αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης που προκύπτουν από όλους τους σταθµούς µέχρι και για υστέρηση τριών ηµερών. Ενδεικτικά, το Σχήµα 2.6 παρουσιάζει την εµπειρική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ACF, όλων των σταθµών για ένα χειµερινό και ένα θερινό µήνα. Οι τελείες αναπαριστούν τις εµπειρικές τιµές του συντελεστή αυτοσυσχέτισης των χρονοσειρών των σταθµών (13 τελείες) για την αντίστοιχη υστέρηση, ενώ η συµπαγής γραµµή αναπαριστά τη µέση τιµή τους. Οµοίως, το Σχήµα 2.7 παρουσιάζει την εµπειρική συνάρτηση ετεροσυσχέτισης CCF, όλων των διαφορετικών συνδυασµών των σταθµών ανά δύο, για ένα χειµερινό και ένα θερινό µήνα. Οι τελείες αναπαριστούν τις εµπειρικές τιµές του συντελεστή ετεροσυσχέτισης των χρονοσειρών των σταθµών (156 τελείες) για την αντίστοιχη υστέρηση, ενώ η συµπαγής γραµµή αναπαριστά τη µέση τιµή τους. Το σύνολο των γραφηµάτων για όλους του µήνες παρουσιάζεται σχήµατα Α.14 έως Α.17 του Παραρτήµατος Α. Η µελέτη των αυτοσυσχετογραµµάτων και των ετεροσυσχετογραµµάτων δεν υποδεικνύει την ύπαρξη εµµονής. Αντιθέτως, η µείωση της συσχέτισης είναι ραγδαία και συνεπώς το θεωρητικό µοντέλο συσχέτισης που ταιριάζει στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι το εκθετικό. Αξίζει να σχολιαστεί, πως οι χειµερινοί µήνες παρουσιάζουν πιο ισχυρή συσχέτιση από τους θερινούς, γεγονός αναµενόµενο εξαιτίας των πολύ λιγότερων ηµερών βροχής κατά τους τελευταίους. Τέλος, το εύρος των τιµών των συντελεστών ετεροσυσχέτισης είναι πολύ µεγάλο, για παράδειγµα για το µήνα Ιούλιο κυµαίνεται περίπου από 0 έως 0.75, γεγονός επίσης αναµενόµενο, δεδοµένου ότι οι σταθµοί που βρίσκονται κοντά ο ένας στον άλλον παρουσιάζουν µεγάλη ετεροσυσχέτιση, ενώ αυτοί που βρίσκονται µακριά µικρή. Σχήµα 2.6: Ενδεικτικά αυτοσυσχετογράµµατα για δύο διαφορετικούς µήνες. 20

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις Προς µια ορθολογική αντιµετώπιση των σύγχρονων υδατικών προβληµάτων: Αξιοποιώντας την Πληροφορία και την Πληροφορική για την Πληροφόρηση Υδροσκόπιο: Εθνική Τράπεζα Υδρολογικής & Μετεωρολογικής Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς.

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς. Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς Θέμα 1 Σε θέση ποταμού, όπου πρόκειται να κατασκευαστεί ταμιευτήρας,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΠΡΩΤΕΥΟΥΣΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τομέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε.

Συνεργαζόµενοι φορείς: ΕΤΜΕ: Πέππας & Συνεργάτες Ε.Ε. Γραφείο Μαχαίρα Α.Ε. ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΤΑΜΕΙΟ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΥΚΑΛΙΩΝ Εκτίµηση πληµµυρικών ροών στην Ελλάδα σε συνθήκες υδροκλιµατικής µεταβλητότητας: Ανάπτυξη φυσικά εδραιωµένου εννοιολογικού-πιθανοτικού

Διαβάστε περισσότερα

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση Ανδρέας Ευστρατιάδης, υποψήφιος διδάκτορας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών πόρων Ποσοτική και ποιοτική θεώρηση της λειτουργίας του ταµιευτήρα Πλαστήρα Περιβαλλοντικές Επιπτώσεις από Υδραυλικά

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΥΣΣΕΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Ο ΥΣΣΕΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ' Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης 2000-2006 Επιχειρησιακό Πρόγραµµα Ανταγωνιστικότητα ΝΑΜΑ ΕΜΠ ΕΥΑΚ ΑΕΙΦΟΡΙΚΗ MDS ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΠΡΩΤΕΥΟΥΣΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τομέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 1 1. Υδρολογική ανάλυση Η ποσότητα και η ποιότητα υδρολογικών δεδοµένων που διατίθενται για επεξεργασία καθορίζει τις δυνατότητες και τη διαδικασία που θα ακολουθηθεί, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα

Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα Διημερίδα για τη διαχείριση των υδατικών πόρων στη λίμνη Πλαστήρα Νεοχώρι Καρδίτσας 26-27 Ιανουαρίου 21 Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση)

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση) ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Κατακρηµνίσεις ( η Άσκηση) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ιάρθρωση ου Μαθήµατος Ασκήσεων Έλεγχος οµοιογένειας

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΑΕΡΟΣΩΜΑΤΙ ΙΑΚΗΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΣΕ ΣΧΕ ΟΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΑΕΡΟΣΩΜΑΤΙ ΙΑΚΗΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΑΠΟ ΟΡΥΦΟΡΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογικές Μελέτες και Διαθεσιμότητα Δεδομένων στην Ελλάδα:

Υδρολογικές Μελέτες και Διαθεσιμότητα Δεδομένων στην Ελλάδα: Υδρολογικές Μελέτες και Διαθεσιμότητα Δεδομένων στην Ελλάδα: Ιωάννης Α. Νιάδας Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., M.Sc. Υδρολογίας Ζ&Α Π. Αντωναρόπουλος και Σ/τες Α.Μ.Ε. Ενότητες της παρουσίασης Η ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΑΠΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα

Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα Εκτίμηση της μεταβολής των τιμών μετεωρολογικών παραμέτρων σε δασικά οικοσυστήματα στην Ελλάδα Δ. Παπαδήμος ΕΚΒΥ καθ. Δ. Παπαμιχαήλ - ΑΠΘ 8- Νοεμβρίου 204, Θεσσαλονίκη Περιοχές Μελέτης 4 πιλοτικές περιοχές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ Τελική

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Ένα σύνολο διαδοχικών δεδοµένων αποτελεί µια σειρά. εδοµένα που σχηµατίζουν σειρές προέρχονται γενικά από την καταγραφή της τιµής µιας µεταβλητής κατά την εξέλιξή της. Χρονοσειρά είναι η καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας

Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Ημερίδα της ΕΥΔΑΠ για την Παγκόσμια Ημέρα Νερού Αθήνα, 22 Μαρτίου 2001 Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Δημήτρης Κουτσογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων Μεταπτυχιακό Υπολογιστικής Φυσικής Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων ηµήτρης Κουγιουµτζής E-mail: dkugiu@gen.auth.gr 31 Ιανουαρίου 2017 Οδηγίες : Σχετικά µε την παράδοση της εργασίας ϑα πρέπει : Το κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου

Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου Ελένη Μαρία Μιχαηλίδη Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στόχοι εργασίας Διερεύνηση μηχανισμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών

Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών Από την οπτική γωνία της θεωρίας πιθανοτήτων οι υδρολογικές διεργασίες είναι στοχαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Τα κύρια σηµεία της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι: Η πειραµατική µελέτη της µεταβατικής συµπεριφοράς συστηµάτων γείωσης

Τα κύρια σηµεία της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι: Η πειραµατική µελέτη της µεταβατικής συµπεριφοράς συστηµάτων γείωσης Κεφάλαιο 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το σηµαντικό στην επιστήµη δεν είναι να βρίσκεις καινούρια στοιχεία, αλλά να ανακαλύπτεις νέους τρόπους σκέψης γι' αυτά. Sir William Henry Bragg 5.1 Ανακεφαλαίωση της διατριβής

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα επαναληπτικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Έκδοση 4 Αθήνα 1997 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Επίκουρος Καθηγητής Τομέας Υδατικών Πόρων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση και επεξεργασία χρονοσειρών

ιαχείριση και επεξεργασία χρονοσειρών ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. ιαχείριση και επεξεργασία χρονοσειρών Ι. Μαρκόνης

Διαβάστε περισσότερα

5000 Γεωµετρικό µοντέλο 4500 Γραµµικό µοντέλο 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1991 2001 2011 2021 2031 2041 2051

5000 Γεωµετρικό µοντέλο 4500 Γραµµικό µοντέλο 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1991 2001 2011 2021 2031 2041 2051 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Άσκηση Ε1: Εκτίµηση παροχών σχεδιασµού έργων υδροδότησης οικισµού Σύνταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1 υπάρχουν 154 υποψήφιοι που έχουν συµµετάσχει στις εξετάσεις των ετών 01 και 02. Για αυτούς γίνεται στο Κεφάλαιο 6 ξεχωριστή συγκριτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 2013 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 2013 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Σεπτέµβριος 20 29 27 25 23 21 19 17 15 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο

Διαβάστε περισσότερα

Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ

Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ 1 Πιστοποίηση των αντηλιακών µεµβρανών 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ Οι αντηλιακές µεµβράνες 3M Scotchtint της εταιρίας 3Μ µελετήθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών Α. Κουκουβίνος

Διαβάστε περισσότερα

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου ηµήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μέρη της

Διαβάστε περισσότερα

25-34» 13,0 18,2 25,3 33,9 36,6 36, » 8,2 11,1 15,6 22,2 24,2 22, » 6,7 9,2 13,2 19,6 21,0 18, » 4,7 6,1 8,2 13,9 16,0 16,0

25-34» 13,0 18,2 25,3 33,9 36,6 36, » 8,2 11,1 15,6 22,2 24,2 22, » 6,7 9,2 13,2 19,6 21,0 18, » 4,7 6,1 8,2 13,9 16,0 16,0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 11 εκεµβρίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Σεπτέµβριος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Βραχυπρόθεσμη τοπική μετεωρολογική πρόγνωση με αναζήτηση ανάλογων καταστάσεων

Βραχυπρόθεσμη τοπική μετεωρολογική πρόγνωση με αναζήτηση ανάλογων καταστάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Βραχυπρόθεσμη τοπική μετεωρολογική πρόγνωση με αναζήτηση ανάλογων καταστάσεων Γεώργιος Θεοδωρόπουλος Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου ηµήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μέρη της

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 Ιουλίου 2014 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 Ιουλίου 2014 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 Ιουλίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Απρίλιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Απρίλιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 10 Απριλίου 2014 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2014 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΜΑΚΡΑΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΞΗΡΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΜΑΚΡΑΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΞΗΡΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΜΑΚΡΑΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΞΗΡΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ Εμμανουέλα Ιακωβίδου Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 8 Σεπτεµβρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 8 Σεπτεµβρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 8 Σεπτεµβρίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιούνιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 12 Μαΐου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 12 Μαΐου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 12 Μαΐου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Φεβρουάριος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 9 Απριλίου 2015

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 9 Απριλίου 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 9 Απριλίου 2015 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2015 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Υ ΡΟΣΚΟΠΙΟ

Εισαγωγή στο Υ ΡΟΣΚΟΠΙΟ ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Εισαγωγή στο Υ ΡΟΣΚΟΠΙΟ Ν. Μαµάσης & Σ. Μίχας

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Οκτώβριος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εκτίμηση της διακύμανσης της παροχής αιχμής σε λεκάνες της Πελοποννήσου με συγκριτική αξιολόγηση δύο διαδεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ

ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΙΩΑΝΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Αθήνα Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Χρονοσειρών. Κεφάλαιο Ανάλυση Χρονοσειρών

Ανάλυση Χρονοσειρών. Κεφάλαιο Ανάλυση Χρονοσειρών Κεφάλαιο 22 Ανάλυση Χρονοσειρών 22.1 Ανάλυση Χρονοσειρών Με τον όρο Χρονοσειρά εννοούµε µια σειρά από παρατηρήσεις που παίρνονται σε ορισµένες χρονικές στιγµές ή περιόδους που ισαπέχουν µεταξύ τους. Υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

CASTALIA: A SYSTEM FOR THE STOCHASTIC SIMULATION OF HYDROLOGICAL VARIABLES

CASTALIA: A SYSTEM FOR THE STOCHASTIC SIMULATION OF HYDROLOGICAL VARIABLES ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΠΡΩΤΕΥΟΥΣΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ WATER SUPPLY AND SEWAGE COMPANY OF ATHENS NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2015

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 20 Πειραιάς, 12 Νοεµβρίου 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΠΑΛΑΙΑΣ ΚΑΙ ΝΕΑΣ ΚΟΙΤΗΣ Π. ΠΗΝΕΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ - ΜΕΡΟΣ Β ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΙΑΡΚΕΙΑΣ ΠΑΡΟΧΩΝ

ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΠΑΛΑΙΑΣ ΚΑΙ ΝΕΑΣ ΚΟΙΤΗΣ Π. ΠΗΝΕΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ - ΜΕΡΟΣ Β ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΙΑΡΚΕΙΑΣ ΠΑΡΟΧΩΝ ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΠΑΛΑΙΑΣ ΚΑΙ ΝΕΑΣ ΚΟΙΤΗΣ Π. ΠΗΝΕΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ - ΜΕΡΟΣ Β ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΙΑΡΚΕΙΑΣ ΠΑΡΟΧΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή...1 2 Μεθοδολογία κατάρτισης

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική διερεύνηση ισχυρών βροχοπτώσεων και στερεοαπορροών του Θριάσιου πεδίου

Υδρολογική διερεύνηση ισχυρών βροχοπτώσεων και στερεοαπορροών του Θριάσιου πεδίου Υδρολογική διερεύνηση ισχυρών βροχοπτώσεων και στερεοαπορροών του Θριάσιου πεδίου ηµήτρης Κουτσογιάννης και Νίκος Μαµάσης Περιεχόµενα 1. Εισαγωγή 2 2. Περιοχή µελέτης 3 3. Κλιµατικά δεδοµένα 4 4. Κατάρτιση

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάρτιος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 5 Ιουνίου 2014

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάρτιος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 5 Ιουνίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 5 Ιουνίου 20 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάρτιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα