- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να"

Transcript

1 - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν την ίδια γωνία (δηλαδή ο εκτελεστής σουτάρει στην αριστερή γωνία και ο τερματοφύλακας πέσει στην αριστερή γωνία ή ο εκτελεστής σουτάρει στη δεξιά γωνία και ο τερματοφύλακας πέσει στη δεξιά γωνία), τότε ο τερματοφύλακας αποκρούει το πέναλτι, οπότε η απόδοση του τερματοφύλακα είναι και η απόδοση του εκτελεστή είναι -. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν διαφορετικές γωνίες (δηλαδή ο εκτελεστής σουτάρει στην αριστερή γωνία και ο τερματοφύλακας πέσει στη δεξιά γωνία ή ο εκτελεστής σουτάρει στη δεξιά γωνία και ο τερματοφύλακας πέσει στην αριστερή γωνία), τότε ο εκτελεστής πετυχαίνει γκολ, οπότε η απόδοση του τερματοφύλακα είναι - και η απόδοση του εκτελεστή είναι.

2 - Αυτή η κατάσταση στρατηγικής αλληλεπίδρασης περιγράφεται από ένα παίγνιο δύο παικτών, όπου: Οπαίκτης είναι ο εκτελεστής του πέναλτι και ο παίκτης είναι ο τερματοφύλακας. Κάθε παίκτης έχει στη διάθεσή του δύο στρατηγικές: να επιλέξει την αριστερή γωνία (Left L) ή να επιλέξει τη δεξιά γωνία (Right R). O χώρος στρατηγικών για κάθε παίκτη i=, είναι: S = S = { L, R} Οι αποδόσεις ( u των παικτών παριστάνονται από τον, u) παρακάτω πίνακα αποδόσεων (payoff matrix): Παίκτης (Τερματοφύλακας) L R Παίκτης (Εκτελεστής) L R (-,) (,-) (,-) (-,)

3 - Δηλαδή, οι συναρτήσεις απόδοσης u( s, s), u( s, s) των παικτών παίρνουντιςεξήςτιμές: u( L, L) =, u( L, R) =, u( R, L) =, u( R, R) = u ( L, L) =, u ( L, R) =, u ( R, L) =, u ( R, R) = - Για να υπολογίσουμε την ισορροπία(ή τις ισορροπίες) κατά Nash του παιγνίου, ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω. Βήμα. Βρίσκουμε την άριστη αντίδραση κάθε παίκτη σε κάθε διαθέσιμη στρατηγική του άλλου παίκτη και την παριστάνουμε με το αντίστοιχο βέλος ιδίου συμφέροντος. Παίκτης Παίκτης L L R R 3

4 Άριστες Αντιδράσεις Παίκτη - Αν ο παίκτης επιλέξει L, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει L, διότι: u ( L, L) = > u ( L, R) = - Αν ο παίκτης επιλέξει R, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει R, διότι: u ( R, R) = > u ( R, L) = Άριστες Αντιδράσεις Παίκτη - Αν ο παίκτης επιλέξει L, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει R, διότι: u ( R, L) = > u ( L, L) = - Αν ο παίκτης επιλέξει R, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει L, διότι: u ( L, R) = > u ( R, R) = 4

5 ( s, s ) Βήμα. Ένας συνδυασμός στρατηγικών είναι μια ισορροπία κατά Nash εάν τα βέλη ιδίου συμφέροντος των παικτών σχηματίζουν κλειστό κύκλωμα στον συγκεκριμένο συνδυασμό. Δεν υπάρχει ισορροπία κατά Nash στο συγκεκριμένο παίγνιο. - Παρατήρηση. Εφόσον δεν υπάρχει ισορροπία κατά Nash, δεν υπάρχει ούτε ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές. - Πράγματι, μπορούμε να ελέγξουμε αν υπάρχει ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές ακολουθώντας τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω. Βήμα. Βρίσκουμε την άριστη αντίδραση κάθε παίκτη σε κάθε διαθέσιμη στρατηγική του άλλου παίκτη και την παριστάνουμε με το αντίστοιχο βέλος ιδίου συμφέροντος (βλ. σελ. 3). Βήμα. (i) Ελέγχουμε αν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη. s - Μια στρατηγική είναι κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη αν όλα τα βέλη ιδίου συμφέροντος του παίκτη καταλήγουν στη στρατηγική Δεν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη (διότι το ένα βέλος ιδίου συμφέροντος του παίκτη καταλήγει στη στρατηγική L ενώ το άλλο βέλος καταλήγει στη στρατηγική R). s. 5

6 (ii) Ελέγχουμε αν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη. - Μια στρατηγική s είναι κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη αν όλαταβέληιδίουσυμφέροντοςτουπαίκτη καταλήγουν στη στρατηγική s. Δεν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη (διότι το ένα βέλος ιδίου συμφέροντος του παίκτη καταλήγει στη στρατηγική L ενώ το άλλο βέλος καταλήγει στη στρατηγική R). - Άρα, δεν υπάρχει ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές στο συγκεκριμένο παίγνιο. - Γενικά: Τα παίγνια στα οποία υπάρχει αρκετά μεγάλος αριθμός διαθέσιμων στρατηγικών για κάθε παίκτη προσφέρουν αρκετή ευελιξία ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη τουλάχιστον μίας ισορροπίας κατά Nash. - Τέτοιου είδους παίγνια κατατάσσονται σε δύο γενικές κατηγορίες. (Π) Παίγνια όπου η στρατηγική που επιλέγει κάθε παίκτης είναι μια συνεχής μεταβλητή και, επομένως, ο χώρος στρατηγικής είναι ένα συνεχές διάστημα. 6

7 - Παράδειγμα. Οι παίκτες, είναι δύο επιχειρήσεις που επιλέγουν την τιμή (p i ) στην οποία θα πουλήσουν το προϊόν τους, οπότε: s = p [0, + ) i i - Για τη συγκεκριμένη κατηγορία παιγνίων, ισχύει το παρακάτω θεώρημα. - Θεώρημα. Έστω ένα παίγνιο n παικτών. Αν: (i) O χώρος στρατηγικών S i είναι ένα μη κενό, κυρτό και συμπαγές (κλειστό και φραγμένο) σύνολο για κάθε i=,,n, και (ii) Η συνάρτηση απόδοσης u i (s,,s n ) είναι συνεχής ως προς (s,,s n ) και οιονεί κοίλη ως προς s i για κάθε i=,,n, τότε υπάρχει ισορροπία κατά Nash στο παίγνιο G. G = { S,..., S ; u,..., u } n (Π) Παίγνια όπου οι παίκτες μπορούν να χρησιμοποιήσουν μικτές στρατηγικές. G = { S,..., S ; u,..., u } - Ορισμός. Έστω ένα παίγνιο n παικτών, όπου S = { s,..., s } n i i ik είναι ο χώρος στρατηγικών για τον παίκτη i=,,n. Τότε, κάθε στρατηγική sij Si (όπου j=,,k) ονομάζεται αμιγής στρατηγική 7 (pure strategy) του παίκτη i. n n

8 - Δηλαδή: Οι αμιγείς στρατηγικές ενός παίκτη είναι οι διαφορετικές ενέργειες που μπορεί να επιλέξει ο συγκεκριμένος παίκτης (τα στοιχεία του χώρου στρατηγικών του). - Παράδειγμα. Στο παίγνιο της εκτέλεσης πέναλτι, οι αμιγείς στρατηγικές κάθε παίκτη είναι οι L και R, ενώ στο δίλημμα του φυλακισμένου οι αμιγείς στρατηγικές κάθε παίκτη είναι οι C και D. - Ορισμός. Έστω ένα παίγνιο n παικτών n n, όπου Si = { si,..., sik} είναι ο χώρος στρατηγικών για τον παίκτη i=,,n. Τότε, μια μικτή στρατηγική (mixed strategy) για τον παίκτη i είναι μια κατανομή πιθανότητας ( p επί των αμιγών στρατηγικών του i,..., pik) παίκτη i, όπου p ij είναι η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης i επιλέγει την αμιγή στρατηγική s ij (για j=,,k) και G = { S,..., S ; u,..., u } - Δηλαδή: Κάθε παίκτης i επιλέγει την πιθανότητα (p ij ) με την οποία θα ακολουθήσει κάθε αμιγή στρατηγική (s ij ). - Παρατήρηση. Στην περίπτωση αυτή, οι επιλεγόμενες στρατηγικές (p ij ) είναι συνεχείς μεταβλητές και, επομένως, προσφέρουν αρκετή ευελιξία που εξασφαλίζει την ύπαρξη ισορροπίας κατά Nash, η οποία ονομάζεται 8 ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές. k j= p ij =.

9 Μεθοδολογία Υπολογισμού Ισορροπίας κατά Nash σε Μικτές Στρατηγικές - Παράδειγμα (συνέχεια). Για να υπολογίσουμε την ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές στο παίγνιο της εκτέλεσης πέναλτι, ακολουθούμε την παρακάτω μεθοδολογία. Βήμα. Ορίζουμε την πιθανότητα με την οποία κάθε παίκτης, επιλέγει κάθε αμιγή στρατηγική του. - Έστω p η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει L και (-p ) η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει R. H μικτήστρατηγικήτουπαίκτη είναι ( p,-p ) καιορίζεταιπλήρως από την πιθανότητα p. - Έστω p η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει L και (-p ) η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει R. H μικτήστρατηγικήτουπαίκτη είναι ( p,-p ) καιορίζεταιπλήρως από την πιθανότητα p. 9

10 - Οι πιθανότητες με τις οποίες επιλέγονται οι διάφοροι συνδυασμοί αμιγών στρατηγικών παριστάνονται στον παρακάτω πίνακα. Παίκτης (Τερματοφύλακας) L R Παίκτης (Εκτελεστής) L R p p p (-p ) (-p )p (-p )(-p ) Βήμα. Υπολογίζουμε την αναμενόμενη απόδοση των παικτών, ως συνάρτηση των πιθανοτήτων p, p. -H αναμενόμενη απόδοση του παίκτη είναι: V ( p, p ) = p p u ( L, L) + p ( p ) u ( L, R) + ( p ) p u ( R, L) + + ( p )( p ) u ( R, R) = p + p 4 p p -H αναμενόμενη απόδοση του παίκτη είναι: V( p, p) = ppu( LL, ) + p( p) u( LR, ) + ( p) pu( RL, ) + + ( p )( p ) u ( R, R) = p p + 4 p p 0

11 Βήμα 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της αναμενόμενης απόδοσης για κάθε παίκτη και βρίσκουμε τις συναρτήσεις άριστης αντίδρασης των παικτών,. Παίκτης - Οπαίκτης επιλέγει την πιθανότητα p (δηλαδή τη μικτή στρατηγική του) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοσή του, θεωρώντας δεδομένη την πιθανότητα p (δηλαδή θεωρώντας δεδομένη τη μικτή στρατηγική του παίκτη ): max V ( p, p ) = p + p 4 p p { p } st.. 0 p (VMP ) -H λύση του VMP είναι: p( p ) =, αν p < / οτιδήποτε [0,], αν p = / () 0, αν p > /

12 - Ησυνάρτηση p (p ) (δηλαδήηλύσητουvmp ) δείχνει την άριστη αντίδραση του παίκτη σε κάθε μικτή στρατηγική (p ) του παίκτη και ονομάζεται συνάρτηση άριστης αντίδρασης (best response function) ή καμπύλη αντίδρασης (reaction curve) του παίκτη. Παίκτης - Οπαίκτης επιλέγει την πιθανότητα p (δηλαδή τη μικτή στρατηγική του) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοσή του, θεωρώντας δεδομένη την πιθανότητα p (δηλαδή θεωρώντας δεδομένη τη μικτή στρατηγική του παίκτη ): max V ( p, p ) = p p + 4 p p { p } st.. 0 p -H λύση του VMP είναι: p( p ) = 0, αν p < / (VMP ) οτιδήποτε [0,], αν p = /, αν p > / ()

13 - Ησυνάρτηση p (p ) (δηλαδήηλύσητουvmp ) δείχνει την άριστη αντίδραση του παίκτη σε κάθε μικτή στρατηγική (p ) του παίκτη και ονομάζεται συνάρτηση άριστης αντίδρασης (best response function) ή καμπύλη αντίδρασης (reaction curve) του παίκτη. p p (p ) p (p ) p = / E 0 p = / Βήμα 4. Ένας συνδυασμός πιθανοτήτων είναι μια ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές (Nash Equilibrium in Mixed Strategies NEMS) αν η στρατηγική p αποτελεί την άριστη αντίδραση του παίκτη στη στρατηγική p του παίκτη και η στρατηγική p αποτελεί την άριστη αντίδραση του παίκτη στη στρατηγική του παίκτη : 3 p p ( p, p )

14 V ( p, p ) V ( p, p ), p [0,] V ( p, p ) V ( p, p ), p [0,] - Για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά την ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές ( p, p), λύνουμε ως προς p,p το σύστημα εξισώσεων: p = p( p) p = p ( p ) όπου οι p (p ), p (p ) δίνονται από τις () και (), αντίστοιχα. Ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές: ( p, p ) = (/,/) - Η ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές προσδιορίζεται διαγραμματικά από το σημείο τομής (σημείο Ε) των καμπυλών αντίδρασης των παικτών,. - Δηλαδή: Οπαίκτης επιλέγει L με πιθανότητα p =/ και R με πιθανότητα -p =/, ενώ ο παίκτης επιλέγει L με πιθανότητα p =/ και R με πιθανότητα -p =/. 4

15 - Οι αναμενόμενες αποδόσεις των παικτών, σε ισορροπία είναι: ( V, V ) = (0,0) - Παρατήρηση (Ερμηνεία Μικτών Στρατηγικών). Η μικτή στρατηγική ( p = /) του παίκτη αντανακλά την αβεβαιότητα του παίκτη σχετικά με την αμιγή στρατηγική που θα επιλέξει ο παίκτης. (δηλαδή ο παίκτης πιστεύει ότι ο παίκτης είναι εξίσου πιθανό να επιλέξει L όσο και να επιλέξει R) H επιλογή του παίκτη μπορεί να εξαρτάται από κάποιον ιδιοσυγκρασιακό παράγοντα (π.χ. από ένα όνειρο που είδε το προηγούμενο βράδυ), τον οποίο αγνοεί ο παίκτης. Από την άποψη του παίκτη, η επιλογή του παίκτη είναι αβέβαιη (τυχαία), μολονότιοίδιοςοπαίκτης ακολουθεί μια καθορισμένη (ντετερμινιστική) στρατηγική. - Γενικά: Η μικτή στρατηγική κάθε παίκτη i εκφράζει την αβεβαιότητα των άλλων παικτών σχετικά με την επιλογή του παίκτη i. 5

16 - Παρατήρηση. Η μικτή στρατηγική p = ταυτίζεται με την αμιγή στρατηγική L του παίκτη. (ο παίκτης επιλέγει L με πιθανότητα και R με πιθανότητα 0) Η μικτή στρατηγική παίκτη. Η μικτή στρατηγική παίκτη. Η μικτή στρατηγική παίκτη. p = 0 p = p = 0 ταυτίζεται με την αμιγή στρατηγική R του ταυτίζεται με την αμιγή στρατηγική L του ταυτίζεται με την αμιγή στρατηγική R του - Γενικά: Οι αμιγείς στρατηγικές των παικτών είναι απλώς ειδικές (ακραίες) περιπτώσεις μικτών στρατηγικών. - Στο Δίλημμα του Φυλακισμένου [βλ. Week 0 ( of ), σελ. 4], έχουμε βρει ότι η ισορροπία κατά Nash σε αμιγείς στρατηγικές είναι: ( s, s ) = ( D, D) - Αυτή η ισορροπία μπορεί να εκφραστεί επίσης ως ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές: ( p, p ) = (0,0) (όπου p i είναι η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης i=, επιλέγει C) 6

17 - Άρα: Κάθε ισορροπία κατά Nash σε αμιγείς στρατηγικές είναι απλώς μια ειδική (ακραία) περίπτωση ισορροπίας κατά Nash σε μικτές στρατηγικές. Ύπαρξη Ισορροπίας κατά Nash σε μικτές Στρατηγικές - Ορισμός. Ένα παίγνιο n παικτών ονομάζεται πεπερασμένο (finite) αν οι χώροι στρατηγικών S i όλων των παικτών i=,,n έχουν πεπερασμένο πλήθος στοιχείων (δηλαδή αν το πλήθος των αμιγών στρατηγικών που έχει στη διάθεσή του κάθε παίκτης είναι πεπερασμένο). Θεώρημα (Nash, 950). Κάθε πεπερασμένο παίγνιο n παικτών G = { S,..., Sn; u,..., un} έχει τουλάχιστον μία ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές. - Η απόδειξη βασίζεται στο θεώρημα του σταθερού σημείου (Brouwer s Fixed Point Theorem) και παραλείπεται (βλ. Gibbons, R. 99, A Primer in Game Theory, Κεφάλαιο.3.B). 7

18 Αξιολόγηση Ισορροπίας (L,R) (R,L) V NEMS :( V, V ) = (0,0) - 0 V - (L,L) (R,R) - Ο συνδυασμός (αναμενόμενων) χρησιμοτήτων ισορροπίας είναι: ( V, V ) = (0,0) Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, ηισορροπίαnash σε μικτές στρατηγικές ( p, p ) = (0,0) είναι άριστη κατά Pareto, διότι δεν υπάρχει άλλος εφικτός συνδυασμός χρησιμοτήτων που να ωφελεί ταυτόχρονα και τους δύο παίκτες (σεσχέσημετοσυνδυασμόισορροπίας). 8

19 - Παρατήρηση. Γνωρίζουμε: V ( p, p ) = p + p 4p p V ( p, p ) = p p + 4p p i Για p = p = /, είναι: V ( p, p ) = 0 p [0,] i Για p = p = /, είναι: V ( p, p ) = 0 p [0,] - Δηλαδή: Αν ο παίκτης πιστεύει ότι ο παίκτης θα επιλέξει τη μικτή στρατηγική ισορροπίας ( p = /), τότε ο παίκτης είναι αδιάφορος αν θα επιλέξει τη δική του μικτή στρατηγική ισορροπίας ( p ή = /) οποιαδήποτε άλλη μικτή (ή αμιγή) στρατηγική. Δεν υπάρχει κάποιος πειστικός λόγος για τον οποίο ο παίκτης θα επιλέξει τη μικτή στρατηγική ισορροπίας ( p = /). - Όμοια: Αν ο παίκτης πιστεύει ότι ο παίκτης θα επιλέξει τη μικτή στρατηγική ισορροπίας ( p, τότε ο παίκτης είναι αδιάφορος αν = /) θα επιλέξει τη δική του μικτή στρατηγική ισορροπίας ( p ή = /) οποιαδήποτε άλλη μικτή (ή αμιγή) στρατηγική. Δεν υπάρχει κάποιος πειστικός λόγος για τον οποίο ο παίκτης θα επιλέξει τη μικτή στρατηγική ισορροπίας ( p = /). 9

20 - Άρα: Η ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές δεν αποτελεί ιδιαίτερα πειστική πρόβλεψη για το αποτέλεσμα του παιγνίου. - Παράδειγμα 3. Η Μάχη των Φύλων (Battle of the Sexes) - Ένας άνδρας και μια γυναίκα είναι πολύ αγαπημένοι και θέλουν να περάσουν το απόγευμα μαζί. - Η δραστηριότητα που προτιμά ο άνδρας είναι να παρακολουθήσει έναν ποδοσφαιρικό αγώνα στο γήπεδο, ενώ η δραστηριότητα που προτιμά η γυναίκα είναι να παρακολουθήσει μια συναυλία κλασικής μουσικής στη Λυρική Σκηνή. - Αν ο άνδρας και η γυναίκα πάνε μαζί στο γήπεδο, τότε έχουν και οι δύο θετική απόδοση επειδή βρίσκονται μαζί, αλλά η απόδοση του άνδρα (δύο μονάδες) είναι μεγαλύτερη από την απόδοση της γυναίκας (μία μονάδα) διότι η γυναίκα δεν αγαπάει το ποδόσφαιρο. - Αν ο άνδρας και η γυναίκα πάνε μαζί στη συναυλία, τότε έχουν και οι δύο θετική απόδοση επειδή βρίσκονται μαζί, αλλά η απόδοση της γυναίκας (δύο μονάδες) είναι μεγαλύτερη από την απόδοση του άνδρα 0 (μία μονάδα) διότι ο άνδρας δεν αγαπάει την κλασική μουσική.

21 - Αν ο άνδρας και η γυναίκα πάνε σε διαφορετικά μέρη, τότε είναι και οι δύο δυστυχισμένοι (έχουν μηδενική απόδοση) επειδή χωρίσανε. - Αυτή η κατάσταση στρατηγικής αλληλεπίδρασης περιγράφεται από ένα παίγνιο δύο παικτών, όπου: Οπαίκτης είναιοάνδρας καιοπαίκτης είναι η γυναίκα. Κάθεπαίκτηςέχειστηδιάθεσήτουδύοστρατηγικές: να πάει στον ποδοσφαιρικό αγώνα (Football F) ή να πάει στη συναυλία (Concert C). O χώρος στρατηγικών για κάθε παίκτη i=, είναι: S = S = { F, C} Οι αποδόσεις ( u, u) των παικτών παριστάνονται από τον παρακάτω πίνακα αποδόσεων (payoff matrix): Παίκτης (Γυναίκα) F C Παίκτης (Άνδρας) F C (,) (0,0) (0,0) (,)

22 - Δηλαδή, οι συναρτήσεις απόδοσης u( s, s), u( s, s) των παικτών παίρνουντιςεξήςτιμές: u( F, F) =, u( F, C) = 0, u( C, F) = 0, u( C, C) = u ( F, F) =, u ( F, C) = 0, u ( C, F) = 0, u ( C, C) = - Για να υπολογίσουμε την ισορροπία(ή τις ισορροπίες) κατά Nash σε αμιγείς στρατηγικές, ακολουθούμε τη συνήθη μεθοδολογία. Βήμα. Βρίσκουμε την άριστη αντίδραση κάθε παίκτη σε κάθε διαθέσιμη στρατηγική του άλλου παίκτη και την παριστάνουμε με το αντίστοιχο βέλος ιδίου συμφέροντος. Παίκτης Παίκτης F F C C

23 Άριστες Αντιδράσεις Παίκτη - Αν ο παίκτης επιλέξει F, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει F, διότι: u ( F, F) = > u ( F, C) = 0 - Αν ο παίκτης επιλέξει C, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει C, διότι: u ( C, C) = > u ( C, F) = 0 Άριστες Αντιδράσεις Παίκτη - Αν ο παίκτης επιλέξει F, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει F, διότι: u ( F, F) = > u ( C, F) = 0 - Αν ο παίκτης επιλέξει C, τότε η άριστη αντίδραση του παίκτη είναι να επιλέξει C, διότι: u ( C, C) = > u ( F, C) = 0 3

24 Βήμα. Ένας συνδυασμός στρατηγικών ( s, s) είναι μια ισορροπία κατά Nash σε αμιγείς στρατηγικές εάν τα βέλη ιδίου συμφέροντος των παικτών σχηματίζουν κλειστό κύκλωμα στον συγκεκριμένο συνδυασμό. Υπάρχουν δύο ισορροπίες κατά Nash σε αμιγείς στρατηγικές: (i) ( s, s) = ( F, F), οπότε οι χρησιμότητες ισορροπίας είναι u u = (ii)( s, s ) = ( C, C), οπότε οι χρησιμότητες ισορροπίας είναι ( u, u ) = (,) (, ) (,) - Ελέγχουμε αν υπάρχει ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές, σύμφωνα με τη συνήθη μεθοδολογία. Βήμα. Βρίσκουμε την άριστη αντίδραση κάθε παίκτη σε κάθε διαθέσιμη στρατηγική του άλλου παίκτη και την παριστάνουμε με το αντίστοιχο βέλος ιδίου συμφέροντος (βλ. σελ. ). Βήμα. (i) Ελέγχουμε αν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη. s - Μια στρατηγική είναι κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη αν όλα τα βέλη ιδίου συμφέροντος του παίκτη καταλήγουν στη στρατηγική Δεν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη (διότι το ένα βέλος ιδίου συμφέροντος του παίκτη καταλήγει στη στρατηγική F ενώ το άλλο βέλος καταλήγει στη στρατηγική C). s. 4

25 (ii) Ελέγχουμε αν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη. s - Μια στρατηγική είναι κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη αν όλα τα βέλη ιδίου συμφέροντος του παίκτη καταλήγουν στη στρατηγική Δεν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για τον παίκτη (διότι το ένα βέλος ιδίου συμφέροντος του παίκτη καταλήγει στη στρατηγική F ενώ το άλλο βέλος καταλήγει στη στρατηγική C). - Άρα, δεν υπάρχει ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές στο συγκεκριμένο παίγνιο. - Υπολογίζουμε την ισορροπία (ή τις ισορροπίες) κατά Nash σε μικτές στρατηγικές, σύμφωνα με τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω. Βήμα. Ορίζουμε την πιθανότητα με την οποία κάθε παίκτης, επιλέγει κάθε αμιγή στρατηγική του. - Έστω p η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει F και (-p ) η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει C. H μικτήστρατηγικήτουπαίκτη είναι ( p,-p ) καιορίζεταιπλήρως από την πιθανότητα p 5. s.

26 - Έστω p η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει F και (-p ) η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης επιλέγει C. H μικτήστρατηγικήτουπαίκτη είναι ( p,-p ) καιορίζεταιπλήρως από την πιθανότητα p. - Οι πιθανότητες με τις οποίες επιλέγονται οι διάφοροι συνδυασμοί αμιγών στρατηγικών παριστάνονται στον παρακάτω πίνακα. F Παίκτης (Γυναίκα) C Παίκτης (Άνδρας) F C p p p (-p ) (-p )p (-p )(-p ) Βήμα. Υπολογίζουμε την αναμενόμενη απόδοση των παικτών, ως συνάρτηση των πιθανοτήτων p, p. -H αναμενόμενη απόδοση του παίκτη είναι: 6

27 V( p, p) = ppu( F, F) + p( p) u( F, C) + ( p) pu( C, F) + + ( p )( p ) u ( C, C) = p + 3 p p p -H αναμενόμενη απόδοση του παίκτη είναι: V ( p, p ) = p p u ( F, F) + p ( p ) u ( F, C) + ( p ) p u ( C, F) + + ( p )( p ) u ( C, C) = p + 3 p p p Βήμα 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της αναμενόμενης απόδοσης για κάθε παίκτη και παίρνουμε τις συναρτήσεις άριστης αντίδρασης των παικτών,. Παίκτης - Οπαίκτης επιλέγει την πιθανότητα p (δηλαδή τη μικτή στρατηγική του) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοσή του, θεωρώντας δεδομένη την πιθανότητα p (δηλαδή θεωρώντας δεδομένη τη μικτή στρατηγική του παίκτη ): max V ( p, p ) = p + 3p p p { p } st.. 0 p (VMP ) 7

28 -H λύση του VMP είναι: p( p ) = 0, αν p < /3 οτιδήποτε [0,], αν p = /3, αν p > /3 (Συνάρτηση άριστης αντίδρασης του παίκτη ) Παίκτης (3) - Οπαίκτης επιλέγει την πιθανότητα p (δηλαδή τη μικτή στρατηγική του) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοσή του, θεωρώντας δεδομένη την πιθανότητα p (δηλαδή θεωρώντας δεδομένη τη μικτή στρατηγική του παίκτη ): max V ( p, p ) = p + 3p p p { p } st.. 0 p (VMP ) 8

29 -H λύση του VMP είναι: p( p ) = 0, αν p < /3 οτιδήποτε [0,], αν p = /3, αν p > /3 (Συνάρτηση άριστης αντίδρασης του παίκτη ) (4) p p (p ) p = /3 E 3 E p (p ) E 0 p = /3 p 9

30 ( p, p ) Βήμα 4. Ένας συνδυασμός πιθανοτήτων είναι μια ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές (Nash Equilibrium in Mixed Strategies NEMS) αν η στρατηγική p αποτελεί την άριστη αντίδραση του παίκτη στη στρατηγική p του παίκτη και η στρατηγική p αποτελεί την άριστη αντίδραση του παίκτη στη στρατηγική του παίκτη. - Για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά την ισορροπία (ή τις ισορροπίες) κατά Nash σε μικτές στρατηγικές ( p, p), λύνουμε ως προς p,p το σύστημα εξισώσεων: p = p ( p ) p = p ( p ) όπου οι p (p ), p (p ) δίνονται από τις (3) και (4), αντίστοιχα. - Οι ισορροπίες κατά Nash σε μικτές στρατηγικές προσδιορίζονται διαγραμματικά από τα σημεία τομής των καμπυλών αντίδρασης των παικτών,. Υπάρχουν τρεις ισορροπίες κατά Nash σε μικτές στρατηγικές: ( p, p ) = (,) (i) : Σημείο Ε p 30

31 - Η συγκεκριμένη ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές ταυτίζεται με την ισορροπία σε αμιγείς στρατηγικές - Στην περίπτωση αυτή, οι αναμενόμενες αποδόσεις των παικτών, σε ισορροπία είναι: ( V, V ) = (,) ( p, p ) = (0,0) (ii) : Σημείο Ε ( s, s ) = ( F, F). - Η συγκεκριμένη ισορροπία κατά Nash σε μικτές στρατηγικές ταυτίζεται με την ισορροπία σε αμιγείς στρατηγικές ( s, s ) = ( C, C). - Στην περίπτωση αυτή, οι αναμενόμενες αποδόσεις των παικτών, σε ισορροπία είναι: ( V, V ) = (,) (iii) : Σημείο Ε 3 ( p, p ) = (/3,/3) - Στην περίπτωση αυτή, οι αναμενόμενες αποδόσεις των παικτών, σε ισορροπία είναι: ( V, V ) = (/3,/3) 3

32 Αξιολόγηση Ισορροπίας V E (F,F) (C,F) (F,C) E 3 /3 0 /3 E (C,C) V - Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, οι δύο ισορροπίες Nash σε αμιγείς στρατηγικές (F,F) [σημείο Ε ] και (C,C) [σημείο Ε ] είναι άριστες κατά Pareto, διότι δεν υπάρχει άλλος εφικτός συνδυασμός χρησιμοτήτων που να ωφελεί ταυτόχρονα και τους δύο παίκτες (σε σχέσημετοσυνδυασμόισορροπίαςε ήσεσχέσημετοσυνδυασμό ισορροπίας Ε ). 3

33 - Αντίθετα, η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές ( p, p ) = (/3,/3) [σημείο E 3 ] δεν είναι άριστη κατά Pareto, διότι υπάρχει δυνατότητα μετακίνησης από το σημείο Ε 3 σε άλλον εφικτό συνδυασμό (στο συνδυασμό Ε ή στο συνδυασμό Ε ) κατά τρόπο ώστε να ωφελούνται ταυτόχρονα και οι δύο παίκτες. - Άρα: Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, οι ισορροπίες Nash σε αμιγείς στρατηγικές (F,F) και (C,C) είναι ανώτερες κατά Pareto από την ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές ( p, p ) = (/3,/3). 33

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία Ολιγοπωλιακή Ισορροπία - Χρησιμοποιούμε τις βασικές αρχές της θεωρίας παιγνίων για να εξετάσουμε τη στρατηγική αλληλεπίδραση των επιχειρήσεων σε ατελώς ανταγωνιστικές αγορές, εστιάζοντας την προσοχή μας

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Σηματοδοτικά Παίγνια και Τέλεια Μπεϊζιανή Ισορροπία

Σηματοδοτικά Παίγνια και Τέλεια Μπεϊζιανή Ισορροπία Σηματοδοτικά Παίγνια και Τέλεια Μπεϊζιανή Ισορροπία - Ορισμός. Ένα παίγνιο ονομάζεται παίγνιο πλήρους πληροφόρησης (game of complete information) όταν κάθε παίκτης διαθέτει πλήρη πληροφόρηση για τις συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος . Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος - Ορισμός. Αν η αύξηση του επιπέδου ενός χαρακτηριστικού που διαφοροποιεί τα προϊόντα των επιχειρήσεων ωφελεί κάποιους καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενο Μάθηµα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούµενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος () Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος - Στα χωροθετικά υποδείγματα διαφοροποιημένου προϊόντος, οι καταναλωτές είναι ετερογενείς (δηλαδή έχουν διαφορετικές προτιμήσεις μεταξύ τους ή βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand 3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα ertrand - To υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, ενώ στην πραγματικότητα οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης - Οι επιχειρήσεις δεν ανταγωνίζονται μόνο ως προς τις τιμές στις οποίες επιλέγουν να πουλήσουν τα προϊόντα τους. - Ο μη-τιμολογιακός ανταγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Μερική Παρατηρησιµότητα Θεωρία Παιγνίων Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Reinforcement Learning (RL)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Συνέχεια από πριν.. Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι μπορούμε να επιλύσουμε παίγνια με την μέθοδο της απαλοιφής

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή Διάκριση Τιμών ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) -H διάκριση τιμών 1 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή επιχείρηση γνωρίζει τις ατομικές συναρτήσεις ζήτησης όλων των καταναλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση ΙΙ

Μικροοικονομική Ανάλυση ΙΙ Κατ επιλογήν υποχρεωτικό, 3 ώρες εβδομαδιαίως, Θεωρία, Διδάσκον: Περιλαμβάνει: 1. Θεωρία Βιομηχανικής Οργάνωσης 2. Θεωρία Γενικής Ισορροπίας 1 Ορισμοί και βασικές έννοιες Βιομηχανικής Οργάνωσης Ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

John Nash. Παύλος Στ. Εφραιµίδης. Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

John Nash. Παύλος Στ. Εφραιµίδης. Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ορισµένα αποτελέσµατα του τα σηµεία ισορροπίας Nash (NE Nash Equilibrium) ύπαρξη σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά:

Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά: Γενικοί Ορισμοί Η Θεωρία Παιγνίων (game theory) εξετάζει δραστηριότητες στις οποίες το αποτέλεσμα της απόφασης ενός ατόμου εξαρτάται όχι μόνο από τον τρόπο με τον οποίο επιλέγει ανάμεσα από διάφορες εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 4: Η τραγωδία των κοινών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 4: Η τραγωδία των κοινών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 4: Η τραγωδία των κοινών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή Ποιότητας και Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος

Επιλογή Ποιότητας και Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος Επιλογή Ποιότητας και Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος - Τα προϊόντα που παράγουν οι επιχειρήσεις μπορούν να διαφοροποιούνται ως προς ένα πλήθος χαρακτηριστικών. Παράδειγμα: Τα αυτοκίνητα διαφοροποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αυτάρκης Οικονομία

Α. Αυτάρκης Οικονομία σελ. από 9 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης Μάθημα: 473 Διεθνής Οικονομική Εαρινό Εξάμηνο 05 Καθηγητής: Γιώργος Αλογοσκούφης Φροντιστής: Αλέκος Παπαδόπουλος 8/5/05 Διαγραμματική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } st. : g ( x,...,

Διαβάστε περισσότερα

Evolutionary Equilibrium

Evolutionary Equilibrium Evolutionary Equilibrium Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών v. 22.05.2012 Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 1 τι θα πούμε εξελικτικά

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ (Παράδειγμα: ΜΟΝΟΠΩΛΙΟ)

ΔΥΝΑΜΗ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ (Παράδειγμα: ΜΟΝΟΠΩΛΙΟ) Θεωρήματα Οικονομικών της Ευημερίας (1) Οι ανταγωνιστικές αγορές συντονίζουν τις αποφάσεις των καταναλωτών και των παραγωγών εξασφαλίζοντας Pareto αποτελεσματικές κατανομές των παραγωγικών πόρων και των

Διαβάστε περισσότερα

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I 6. Το Υπόδειγμα τν Επικαλυπτόμενν Γενεών: Ανταλλαγή I 6.. Ερτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα τν παρακάτ προτάσεν. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σστή κάτ από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Παύλος Σ. Εφραιμίδης Περιεχόµενα Τι είναι η θεωρία παιγνίων Ο ρόλος ενός µαθηµατικού µοντέλου Το δίληµµα του φυλακισµένου Σηµείο ισορροπίας Nash Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων (game theory) µας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Έννοιες Θεωρίας v. 01/06/2014 Παύλος Σ. Εφραιμίδης Βασικές Έννοιες Θεωρίας Περιεχόμενα Τι είναι η θεωρία παιγνίων Ο ρόλος ενός μαθηματικού μοντέλου Το δίλημμα του φυλακισμένου Σημείο ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής - Η παραγωγή είναι η δραστηριότητα μέσω της οποίας κάποια αγαθά και υπηρεσίες (εισροές) μετατρέπονται σε άλλα αγαθά και υπηρεσίες (εκροές ή προϊόντα).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Θεωρία Παιγνίων Μαρκωβιανά Παιχνίδια Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Μερική αρατηρησιµότητα POMDPs

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Extensive Games with Imperfect Information

Extensive Games with Imperfect Information Extensive Games with Imperfect Information Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταµένα παίγνια µε ατελή πληροφόρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής.

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Ιστορική αναδρομή 1713 Ο Francis Waldegrave, σε ένα γράμμα του, παρουσίασε την πρώτη μικτή στρατηγική μεγίστου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

1. Επιλογή Διαφημιστικής Δαπάνης στη Μονοπωλιακή Αγορά

1. Επιλογή Διαφημιστικής Δαπάνης στη Μονοπωλιακή Αγορά 1. Επιλογή Διαφημιστικής Δαπάνης στη Μονοπωλιακή Αγορά 1Α. Δελεαστική Διαφήμιση στη Μονοπωλιακή Αγορά - Έστω ότι η αγορά ενός αγαθού είναι μονοπωλιακή και η διαφήμιση του προϊόντος είναι δελεαστική δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά - Ορισμός: Η αγορά ενός αγαθού είναι η διαδικασία (θεσμικό πλαίσιο) μέσω της οποίας έρχονται σε επικοινωνία οι αγοραστές και οι πωλητές του συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται

(γ) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται Βασικές Έννοιες Οικονομικών των Επιχειρήσεων - Τα οικονομικά των επιχειρήσεων μελετούν: (α) Τον τρόπο με τον οποίο λαμβάνουν τις αποφάσεις τους οι επιχειρήσεις. (β) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 11. Γενική Ισορροπία με Παραγωγή VA 31

Διάλεξη 11. Γενική Ισορροπία με Παραγωγή VA 31 Διάλεξη 11 Γενική Ισορροπία με Παραγωγή VA 31 1 Οικονομίες ανταλλαγής (ξανά) Καθόλου παραγωγή, μόνο αρχικά αποθέματα, οπότε δεν υπάρχει περιγραφή του πώς οι πόροι μετατρέπονται σε αγαθά. Γενική ισορροπία:

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση του Κέρδους

Μεγιστοποίηση του Κέρδους Μεγιστοποίηση του Κέρδους - Έστω η συνάρτηση παραγωγής: q = f ( x,..., x ). - Η τιμή του παραγόμενου προϊόντος είναι και οι τιμές των εισροών είναι w= ( w,..., w ). - Υπόθεση: Η επιχείρηση είναι αποδέκτης

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα IS-LM. (1) ΗΚαμπύληIS (Ισορροπία στην Αγορά Αγαθών)

Το Υπόδειγμα IS-LM. (1) ΗΚαμπύληIS (Ισορροπία στην Αγορά Αγαθών) Το Υπόδειγμα IS-LM Νομισματική και Δημοσιονομική Πολιτική σε Κλειστή Οικονομία - Ταυτόχρονη Ανάλυση Μεταβολών της Ισορροπίας στην Αγορά Αγαθών και στην Αγορά Χρήματος => Υπόδειγμα IS-LM (1) ΗΚαμπύληIS

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ Μ.Π.Σ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Ι. ΠΟΛΥΡΑΚΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΓΚΡΑΒΑΣ Αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας .. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Φρόντισε ώστε οι δυνατότητες σου σαν τερματοφύλακας να είναι στο ύψιστο σημείο σε κάθε περίσταση

Φρόντισε ώστε οι δυνατότητες σου σαν τερματοφύλακας να είναι στο ύψιστο σημείο σε κάθε περίσταση «Φρόντισε ώστε οι δυνατότητες σου σαν τερματοφύλακας να είναι στο ύψιστο σημείο σε κάθε περίσταση». Αυτή είναι η συμβουλή του βετεράνου τερματοφύλακα της Tottenham, Brand Friedel. Ποιά είναι η ρουτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5 Κεφάλαιο 3 Δυναμικά παίγνια 3.1 Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε αναλύσει παίγνια στα οποία όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Αυτή η υπόθεση όμως δεν είναι πάντα κατάλληλη. Σε πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει το άτομο (i =,,n). - Πρόβλημα καταναλωτή: Κάθε άτομο (καταναλωτής)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα. και. και το αρχικό απόθεμα και.

ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα. και. και το αρχικό απόθεμα και. ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ Άσκηση 5 Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα u ( x, x ) = x + x 1 2 1 2 και u ( x, x ) = x + x 1 2 1 2 Ω = (2,0) Ω = (0,1) και το αρχικό απόθεμα και. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της

H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της (1) Ελαστικότητα της Ζήτησης 1A. Ελαστικότητα της Ζήτησης ως προς την Τιμή - Γιαναμετρήσουμετηνευαισθησίατηςζητούμενηςποσότητας( ) στις μεταβολές της τιμής (), μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων ιδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος ΛΥΣΕΙΣ ΑΟΘ 1 ΓΙΑ ΑΡΙΣΤΑ ΔΙΑΒΑΣΜΕΝΟΥΣ ΟΜΑΔΑ Α Α1 γ Α2 β Α3 δ Α4 Σ Α5 Σ Α6 Σ Α7 Σ Α8 Λ ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ. 57-59 ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. ΟΜΑΔΑ Γ Γ1. Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα