Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα"

Transcript

1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

2 Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση των δικτύων μεταφοράς (tranportation network), δηλαδή δικτύων στα οποία οι ακμές μεταφέρουν κάποιο είδος κίνησης και οι κόμβοι ως "μεταγωγείς" για τη μεταφορά της κίνησης στις διάφορες ακμές. Παραδείγματα..1 οδικό δίκτυο εθνικών οδών ακμές είναι εθνικοί οδοί κόμβοι είναι έξοδοι εθνικών οδών.2 δίκτυο υπολογιστών ακμές είναι συνδέσεις που μεταφέρουν πακέτα κόμβοι είναι μεταγωγείς (roter).3 δίκτυο μεταφοράς υγρών ακμές είναι σωληνώσεις κόμβοι είναι συνδέσεις μεταξύ των σωληνώσεων Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 2/37

3 Χαρακτηριστικά Μοντέλων Δικτύων Χωρητικότητα. Οι ακμές έχουν χωρητικότητα (capacity) η οποία δείχνει πόση ποσότητα μπορεί να μεταφερθεί. Kόμβοι Προέλευσης. Κόμβοι προέλευσης (orce) στο γράφημα οι οποίοι παράγουν κίνηση. Kόμβοι Απόληξης. Κόμβοι απόληξης ή προορισμού (target) στο γράφημα οι οποίοι μπορούν να "απορροφήσουν" την κίνηση που καταφθάνει. Κίνηση. Η κίνηση που διαδίδεται μέσω των ακμών. Αναφερόμαστε στην κίνηση αυτή ως ροή (flow). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 3/37

4 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V. Οι υπόλοιποι κόμβοι, εκτός των και t, θα ονομάζονται εσωτερικοί (internal) κόμβοι. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37

5 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V. Διάφορες Παραδοχές..1 δεν υπάρχει ακμή που να εισέρχεται στην προέλευση V ή να εξέρχεται από την απόληξη t V,.2 υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή προσκείμενη σε κάθε κόμβο.3 όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι αριθμοί Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37

6 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V t 20 Παράδειγμα δικτύου ροής με προέλευση, απόληξη t και χωρητικότητες δίπλα στις ακμές. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37

7 Ροή Λέμε ότι η ροή t ( t flow) είναι μια συνάρτηση f που αντιστοιχίζει κάθε ακμή e σε έναν μη αρνητικό πραγματικό αριθμό f : E R +. Διαισθητικά η τιμή f(e) αντιπροσωπεύει την ποσότητα ροής που μεταφέρεται από την ακμή e. Η ροή πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω δύο ιδιότητες..1 (Συνθήκες χωρητικότητας) Για κάθε ακμή e E, έχουμε 0 f(e) c e..2 (Συνθήκες διατήρησης) Για κάθε κόμβο εκτός των and t, έχουμε f(e) = f(e) e προς το e από το Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 5/37

8 Τιμή Ροής Η τιμή μιας ροής f, που συμβολίζουμε ως (f), ορίζεται ως η ποσότητα της ροής που παράγεται στην προέλευση. (f) = f(e) e από το Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 6/37

9 Μερικοί Ορισμοί Για να κάνουμε πιο συμπαγή τον τρόπο γραφής μας, ορίζουμε ότι f ot () = f(e), e από το και f in () = f(e). e προς το Το ίδιο και για σύνολα κόμβων S V ορίζουμε πως f ot (S) = f(e), e από το S και f in (S) = f(e). e προς το S Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 7/37

10 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Max Flow Problem Πρόβλημα. Με δεδομένο ένα δίκτυο ροής, βρείτε μια ροή με τη μέγιστη δυνατή τιμή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/37

11 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Max Flow Problem Πρόβλημα. Με δεδομένο ένα δίκτυο ροής, βρείτε μια ροή με τη μέγιστη δυνατή τιμή. Από τι εξαρτάται η μέγιστη ροή; Υποθέστε πως διαιρούμε τους κόμβους του γραφήματος σε δύο σύνολα, A και B, έτσι ώστε A και t B. Διαισθητικά, οποιαδήποτε ροή πρέπει να περνάει από το A στο B και άρα να χρησιμοποιεί κάποια από τις χωρητικότητες ακμής από το A στο B. A B t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/37

12 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

13 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

14 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

15 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

16 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι 30. Δεν μπορούμε να στείλουμε τίποτα άλλο αν δεν πάρουμε πίσω κάποια ροή από την ακμή (, t ) Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

17 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι Δεν μπορούμε να στείλουμε τίποτα άλλο αν δεν πάρουμε πίσω κάποια ροή από την ακμή (, ). 30 t Ουσιαστικά πρέπει να στείλουμε μονάδες ροής μέσω της ακμής (, ), να αναιρέσουμε μονάδες ροής από την ακμή (, ) και να στείλουμε μονάδες μέσω της ακμής (, t). 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

18 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Τεχνική. Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής γενικότερο τρόπο για την προώθηση ροής. θα προωθούμε προς τα εμπρός (ευθύδρομα) σε ακμές που έχουν περίσσευμα χωρητικότητας θα προωθούμε προς τα πίσω (ανάδρομα) σε ακμές που μεταφέρουν ήδη ροή, έτσι ώστε να την εκτρέψουμε σε διαφορετική κατεύθυνση. Για να κάνουμε αυτή την τεχνική πιο σαφής θα ορίσουμε το υπολειπόμενο γράφημα (reidal graph). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο /37

19 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Δεδομένου ενός γραφήματος G και μιας ροής f στο G, ορίζουμε το υπολειπόμενο γράφημα G f του G ως προς την ροή f με τον εξής τρόπο. Το G f έχει το ίδιο σύνολο κόμβων με το G. Για κάθε ακμή e = (, ) του G όπου f(e) < c e υπάρχουν c e f(e) μονάδες χωρητικότητας ελεύθερες. Συμπεριλαμβάνουμε την ακμή e = (, ) στο G f με χωρητικότητα c e f(e). Αυτές οι ακμές λέγονται ευθύγραμμες (forward edge). Για κάθε ακμή e = (, ) του G όπου f(e) > 0, μπορούμε να "αναιρέσουμε" f(e) μονάδες. Συμπεριλαμβάνουμε την ακμή e = (, ) στο G f με χωρητικότητα f(e). Αυτές οι ακμές λέγονται ανάδρομες (backward edge). Κάθε ακμή e G μπορεί να δημιουργήσει το πολύ δύο ακμές στο G f. Άρα το G f έχει το πολύ διπλάσιες ακμές από το G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 11/37

20 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Όταν αναφερόμαστε στη χωρητικότητα ακμής στο υπολειπόμενο γράφημα, χρησιμοποιούμε τον όρο υπολειπόμενη χωρητικότητα (reidal capacity). 20/20 0/ 20/30 t 0/ 20/20 Το υπολειπόμενο γράφημα μας δίνει ένα συστηματικό τρόπο να αλλάζουμε την ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 12/37

21 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Όταν αναφερόμαστε στη χωρητικότητα ακμής στο υπολειπόμενο γράφημα, χρησιμοποιούμε τον όρο υπολειπόμενη χωρητικότητα (reidal capacity). 20/20 0/ 20 20/30 t 20 t 0/ 20/20 20 Το υπολειπόμενο γράφημα μας δίνει ένα συστηματικό τρόπο να αλλάζουμε την ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 12/37

22 Διαδρομές Επαύξησης Agmenting Path Οποιαδήποτε διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f από τον κόμβο προέλευσης στον κόμβο απόληξης t ονομάζεται διαδρομή επαύξησης. Ορισμός bottleneck. Έστω P μια απλή διαδρομή t στο γράφημα G f. Ορίζουμε ότι η b(p, f) είναι η ελάχιστη υπολειπόμενη χωρητικότητα οποιασδήποτε ακμής της P, σε σχέση με τη ροή f. Επαύξηση (agmentation). Έστω μια διαδρομή επαύξησης P στο G f. Oρίζουμε την παρακάτω λειτουργία, η οποία παράγει μια νέα ροή f στο G. Για κάθε ακμή e = (, ) P της διαδρομής P G f Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή αύξησε το f(e) στο G κατά b(p, f). Αν e = (, ) είναι ανάδρομη ακμή μείωσε το f(, ) στο G κατά b(p, f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/37

23 Παράδειγμα 0/15 0/ 0/30 t 0/ 0/20 Έστω το δίκτυο G στα αριστερά και f η μηδενική ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

24 Παράδειγμα 0/15 0/ 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Το υπολειπόμενο γράφημα G f στα δεξιά. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

25 Παράδειγμα 0/15 0/ 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Έστω P =,, t μια διαδρομή επαύξησης με b(p, f) = Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

26 Παράδειγμα /15 / 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Στέλνουμε στο γράφημα G ροή από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

27 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 0/ 0/20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

28 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t 0/ 0/20 20 Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

29 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t 0/ 0/20 20 Έστω P =,, t μια διαδρομή επαύξησης πάλι με b(p, f ) = Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

30 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t / /20 20 Στέλνουμε στο γράφημα G ροή από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

31 Παράδειγμα /15 / 0/30 t / /20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

32 Παράδειγμα /15 / / 0/30 t / t Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

33 Παράδειγμα /15 / / 0/30 t / t Έστω P =,,, t η μόνη διαδρομή επαύξησης με b(p, f ) = 5 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

34 Παράδειγμα 15/15 / / 5/30 t 15/ t Στέλνουμε στο γράφημα G ροή 5 από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

35 Παράδειγμα 15/15 / 5/30 t / 15/20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

36 Παράδειγμα 15/15 / 15 / 5/30 t 15/ t Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

37 Παράδειγμα 15/15 / 15 / 5/30 t 15/ t Δεν υπάρχει t διαδρομή στο G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

38 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

39 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Πρέπει να επαληθεύσουμε τις συνθήκες χωρητικότητας και διατήρησης. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

40 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Η f διαφέρει από την f μόνο κατά μήκος της P, άρα αρκεί να ελέγξουμε μόνο αυτές τις ακμές. Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι c e f(e) και έχουμε 0 f(e) f (e) = f(e) + b(p, f) f(e) + (c e f(e)) = c e. Αν (, ) G f είναι ανάδρομη ακμή που προκύπτει από την e = (, ) G, τότε η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι f(e) και άρα c e f(e) f (e) = f(e) b(p, f) f(e) f(e) = 0. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

41 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Η f διαφέρει από την f μόνο κατά μήκος της P, άρα αρκεί να ελέγξουμε μόνο αυτές τις ακμές. Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι c e f(e) και έχουμε 0 f(e) f (e) = f(e) + b(p, f) f(e) + (c e f(e)) = c e. Αν (, ) G f είναι ανάδρομη ακμή που προκύπτει από την e = (, ) G, τότε η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι f(e) και άρα c e f(e) f (e) = f(e) b(p, f) f(e) f(e) = 0. Πρέπει να ελέγξουμε για διατήρηση τους εσωτερικούς κόμβους της P. Έστω ένας τέτοιος κόμβος. Μπορούμε να επαληθεύσουμε πως η μεταβολή στην ποσότητα ροής που εισέρχεται στον κόμβο είναι ίδια με την μεταβολή στην ποσότητα ροής που εξέρχεται από τον κόμβο. Επειδή η f ικανοποιούσε τη συνθήκη διατήρησης στον το ίδιο θα ισχύει και για την f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

42 Αλγόριθμος Ford-Flkeron Έυρεση Μέγιστης Ροής Inpt: Δίκτυο G(V, E) με χωρητικότητες στις ακμές {c e : e E}. Otpt: Μέγιστη ροή Αρχικά f(e) = 0 για όλα τα e E while υπάρχει t διαδρομή P στο γράφημα G f do f f + επαύξηση κατά b(p, f) ενημέρωσε το G f με βάση την καινούρια ροή end Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 16/37

43 Τερματισμός Αλγορίθμου Ακέραιες Τιμές Τερματισμός. Για να αποδείξουμε πως ο αλγόριθμος τερματίζει, θα δείξουμε πως κάνει συνέχεια βήματα προόδου. Ακέραιες Τιμές Ροής. Είναι εύκολο μέσω επαγωγής να δείξουμε πως οι τιμές ροής {f(e)} και οι υπολειπόμενες χωρητικότητες στο G f είναι πάντα ακέραιοι αριθμοί. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/37

44 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

45 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

46 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Το γράφημα G δεν έχει ακμές που εισέρχονται στον κόμβο, και άρα μια εξερχόμενη ακμή από το στο γράφημα G f είναι υποχρεωτικά ευθύδρομη ακμή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

47 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Το γράφημα G δεν έχει ακμές που εισέρχονται στον κόμβο, και άρα μια εξερχόμενη ακμή από το στο γράφημα G f είναι υποχρεωτικά ευθύδρομη ακμή. Η ακμή e είναι η μόνη ακμή του που αλλάζει η ροή της και η ροή της αυξάνεται κατά b(p, f). Άρα f = f + b(p, f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

48 Τερματισμός Αλγορίθμου Άνω όριο της Μέγιστη Ροής Άνω Όριο. Ο αλγόριθμος υπολογίζει διαρκώς ακέραιες ροές και η ροή που υπολογίζει αυξάνει από βήμα σε βήμα. Για να δείξουμε πως τερματίζει αρκεί να βρούμε και ένα άνω όριο της μέγιστης ροής. Εξερχόμενες ακμές από την προέλευση. Αν όλες οι ακμές που εξέρχονται από τον μπορούσαν να κορεστούν πλήρως με ροή, η τιμή της ροής θα ήταν c e. e από το Έστω ότι C συμβολίζει αυτό το άθροισμα. Έχουμε πως για κάθε t ροή f. (f) C Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 19/37

49 Τερματισμός Αλγορίθμου Απόδειξη Έχουμε πλέον όλα τα εργαλεία για να αποδείξουμε πως ο αλγόριθμος τερματίζει. Θεώρημα Υποθέστε ότι όλες οι χωρητικότητες σε ένα δίκτυο ροής G είναι ακέραιες. Ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τερματίζει μετά από το πολύ C επαυξήσεις. Απόδειξη Καμία ροή στο G δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από C. Κάθε ροή είναι ακέραιος και κάθε επαύξηση αυξάνει την ροή τουλάχιστον κατά μια μονάδα. Η ροή στην αρχή είναι μηδέν και άρα θα εκτελεστούν το πολύ C επαυξήσεις. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 20/37

50 Χρόνος Εκτέλεσης Ford-Flkeron Επειδή έχουμε υποθέσει πως όλοι οι κόμβοι έχουν τουλάχιστον μια προσκείμενη ακμή, ισχύει m n/2 και άρα για απλούστευση θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός πως O(m + n) = O(m). Θεώρημα Αν όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι, ο αλγόριθμος Ford-Flkeron μπορεί να υλοποιηθεί ώστε να εκτελείται σε χρόνο O(mC). Απόδειξη Η επανάληψη εκτελείται το πολύ C φορές. Σε κάθε επανάληψη κάνουμε τα εξής. φτιάχνουμε το G f σε χρόνο O(m) ψάχνουμε διαδρομή t, έστω P, στο γράφημα G f σε χρόνο O(m + n) = O(m) με DFS ή BFS. Υπολογίζουμε το f σε χρόνο O(n) αφού η P έχει το πολύ n 1 ακμές. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 21/37

51 Μέγιστη Ροή Έχουμε δείξει πως ο αλγόριθμος τερματίζει αλλά δεν έχουμε αποδείξει ακόμη πως υπολογίζει την μέγιστη δυνατή ροή. Όρια του Δικτύου. Το βασικό ερώτημα είναι πως η δομή του δικτύου θέτει άνω όρια ως προς τη μέγιστη τιμή μιας ροής t. Εξερχόμενη Χωρητικότητα του. Είδαμε ήδη ένα άνω όριο: η τιμή (f) για οποιαδήποτε ροή t είναι το πολύ ίση με C = c e. Θέλουμε όμως e από το ένα πιο καλό όριο, αυτό το όριο είναι πολλές φορές πολύ αδύναμο. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 22/37

52 Αποκοπή Ct Αποκοπή t. Μια αποκοπή t είναι μια διαμέριση (A, B) του συνόλου των κορυφών V έτσι ώστε A και t B. Χωρητικότητα. Η χωρητικότητα μιας αποκοπής (A, B), την οποία συμβολίζουμε ως c(a, B), είναι απλώς το άθροισμα των χωρητικοτήτων για όλες τις ακμές που εξέρχονται από το A: c(a, B) = c e. e από το A Οι αποκοπές παρέχουν πολύ φυσικά όρια ως προς τις τιμές των ροών. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 23/37

53 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37

54 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Απόδειξη Από τον ορισμό (f) = f ot (). Με βάση τις παραδοχές μας f in () = 0 και άρα (f) = f ot () f in (). Επίσης όλες οι κορυφές A εκτός του είναι εσωτερικές και άρα f ot () f in () = 0. Έτσι (f) = A(f ot () f in ()). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37

55 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Απόδειξη Από τον ορισμό (f) = f ot (). Με βάση τις παραδοχές μας f in () = 0 και άρα (f) = f ot () f in (). Επίσης όλες οι κορυφές A εκτός του είναι εσωτερικές και άρα f ot () f in () = 0. Έτσι (f) = A(f ot () f in ()). Θα αναδιατυπώσουμε το άθροισμα. Έστω μια ακμή e = (, ). Εαν A και A τότε η ακμή εμφανίζεται 2 φορές στο άθροισμα με αντίθετα πρόσημα, και άρα αλληλοαναιρούνται. Αν A και A δεν εμφανίζεται καθόλου. Αλλιώς εμφανίζεται μια φορά. Με βάση αυτά μπορούμε να γράψουμε: (f) = (f ot () f in ()) = f(e) f(e) = f ot (A) f in (A). A e προς το A e από το A Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37

56 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37

57 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Απόδειξη (f) = f ot (A) f in (A) f ot (A) = e από το A e από το A = c(a, B) f(e) c e Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37

58 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Απόδειξη (f) = f ot (A) f in (A) f ot (A) = e από το A e από το A = c(a, B) f(e) c e Με άλλα λόγια στην τιμή κάθε ροής τίθεται ένα άνω όριο με βάση τη χωρητικότητα κάθε αποκοπής. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37

59 Αλγόριθμος Ford-Flkeron και Μέγιστη Ροή Έστω ότι το f συμβολίζει τη ροή που επιστρέφεται από τον αλγόριθμο Ford-Flkeron. Στόχος. Θέλουμε να δείξουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron βρίσκει την μέγιστη ροή. Μέθοδος. Θα βρούμε μια t αποκοπή (A, B ) για την οποία ( f) = c(a, B ). Η ύπαρξη αυτής της αποκοπής αμέσως αποδεικνύει πως η f είναι μέγιστη λόγω του προηγούμενου λήμματος. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 26/37

60 Max-Flow Min-Ct Theorem Θεώρημα Αν η f είναι μια ροή t τέτοια ώστε να μην υπάρχει διαδρομή t στο υπολειπόμενο γράφημα G f, τότε υπάρχει μια t αποκοπή (A, B ) στο G για την οποία (f) = c(a, B ). Κατά συνέπεια, η f έχει τη μέγιστη τιμή από όλες τις ροές του G και η (A, B ) έχει την ελάχιστη χωρητικότητα από όλες τις αποκοπές t του G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

61 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

62 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε A και B. Τότε η ακμή είναι κορεσμένη, f(e) = c e, αλλιώς η e θα ήταν ευθύδρομη στο G f. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε B και A. Τότε η ακμή είναι αχρησιμοποίητη, f(e) = 0, αλλιώς η ανάδρομη της e = (, ) θα υπήρχε στο G f. G f t A B Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

63 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε A και B. Τότε η ακμή είναι κορεσμένη, f(e) = c e, αλλιώς η e θα ήταν ευθύδρομη στο G f. Άρα Έστω e = (, ) G έτσι ώστε B και A. Τότε η ακμή είναι αχρησιμοποίητη, f(e) = 0, αλλιώς η ανάδρομη της e = (, ) θα υπήρχε στο G f. (f) = f ot (A ) f in (A ) = f(e) f(e) e από το A e προς το A = c e 0 e από το A = c(a, B ). G f A B t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

64 Max-Flow Min-Ct Theorem Μπορούμε να διατυπώσουμε πιο γενικά το τελευταίο αποτέλεσμα. Θεώρημα Σε όλα τα δίκτυα ροής η μέγιστη τιμή μιας ροής t είναι ίση με την ελάχιστη χωρητικότητα μιας αποκοπής t. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 28/37

65 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

66 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

67 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

68 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

69 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

70 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

71 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

72 Μια παραλλαγή των Edmond και Karp BFS. Εαν υλοποιήσουμε την αναζήτηση για μονοπάτια προσαύξησης στο G f με BFS τότε ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει στην χειρότερη περίπτωση σε χρόνο O(m 2 n) αντι για O(mC). Μικρότερος Αριθμός Ακμών. Με άλλα λόγια διαλέγουμε πάντα το μονοπάτι προσαύξησης t που έχει τον μικρότερο αριθμό ακμών. Στο παράδειγμα της προηγούμενη διαφάνειας ο αλγόριθμος τερματίζει με 2 προσαυξήσεις αντί για 00. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 30/37

73 Διμερές Ταίριασμα Ένα γράφημα G(V, E) είναι διμερές (bipartite) αν το σύνολο των κόμβων του V μπορεί να διαμεριστεί σε σύνολα A και B με τέτοιο τρόπο ώστε η κάθε ακμή να έχει το ένα άκρο στο A και το άλλο στο B. a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 31/37

74 Διμερές Ταίριασμα Ένα ταίριασμα (matching) σε ένα γράφημα G(V, E) είναι ένα σύνολο ακμών M E με την ιδιότητα ότι κάθε κόμβος εμφανίζεται το πολύ σε μια ακμή του M. Το M είναι ένα τέλειο ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μια μόνο ακμή του M. Με ταιριάσματα μοντελοποιούμε προβλήματα ανάθεσης, για παράδειγμα ανάθεση υπολογιστικών εργασιών σε υπολογιστές όπου μια ακμή υποδηλώνει την ικανότητα του εκάστοτε υπολογιστή να διεκπεραιώσει την λειτουργία. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 32/37

75 Διμερές Ταίριασμα Το πρόβλημα Διμερούς Ταιριάσματος (Bipartite matching problem) είναι το ακόλουθο: Δεδομένου ενός διμερούς γραφήματος G, βρείτε ένα ταίριασμα μέγιστου μεγέθους. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 33/37

76 Αναγωγή σε Max-Flow Ξεκινώντας με το γράφημα G ενός προβλήματος Διμερούς Ταιριάσματος, κατασκευάζουμε ένα δίκτυο ροής G. t Προσθέτουμε κόμβους και t και όλες οι ακμές έχουν χωρητικότητα 1. Η τιμή της μέγιστης ροής στο καινούριο δίκτυο t είναι ίση με το μέγεθος τους μέγιστου ταιριάσματος στο G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 34/37

77 Αναγωγή σε Max-Flow Λήμμα Έστω στο G ένα μέγιστο ταίριασμα που αποτελείται από k ακμές (a 1, b 1 ),..., (a k, b k ). Τότε υπάρχει ροή t στο G με τιμή k. Απόδειξη Έστω η ροή που στέλνει μια μονάδα κατά μήκος κάθε διαδρομής, a i, b i, t. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 35/37

78 Αναγωγή σε Max-Flow Λήμμα Έστω στο G μια μέγιστη ροή f με τιμή k. Υπάρχει ταίριασμα στο G με k ακμές. Απόδειξη Από το θεώρημα ακέραιων τιμών για τις μέγιστες ροές γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια ακέραια ροή f με τιμή k, και αφού c e = 1 για κάθε e G έχουμε πως f(e) {0, 1}. Έστω M το σύνολο των ακμών της μορφής (a, b) για τις οποίες η τιμή της ροής είναι 1. Έχουμε πως M = k και επίσης κάθε κόμβος είτε του A είτε του B έχει το πολύ μια μονάδα ροής που περνάει από αυτόν λόγω αρχής διατήρησης. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 36/37

79 Χρόνος Εκτέλεσης Έστω πως n = A = B και έστω m το πλήθος των ακμών στο διμερές γράφημα G. t αποκοπή. Έχουμε C = e από το c e = A = n. Χρόνος Ford-Flkeron. Το χρονικό όριο O(mC) είναι ουσιαστικά O(mn) σε αυτή την περίπτωση. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 37/37

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 13: Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι; Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91 Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Διαδικασίες

Επαναληπτικές Διαδικασίες Επαναληπτικές Διαδικασίες Οι επαναληπτικές δομές ( εντολές επανάληψης επαναληπτικά σχήματα ) χρησιμοποιούνται, όταν μια ομάδα εντολών πρέπει να εκτελείται αρκετές- πολλές φορές ανάλογα με την τιμή μιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 7ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ταιριάσματα(matchings) Ορισμός(Ταίριασμα) Εστωγράφημα G = (V,E).Ταίριασμακαλείταιένασύνολο M E,τέτοιοώστεκάθεκόμβοςτου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους

Διάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Κατακερματισμός Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Λεξικό Dictionary Ένα λεξικό (dictionary) είναι ένας αφηρημένος τύπος δεδομένων (ΑΤΔ) που διατηρεί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Τελική Εξέταση Απρίλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα