Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα"

Transcript

1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

2 Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση των δικτύων μεταφοράς (tranportation network), δηλαδή δικτύων στα οποία οι ακμές μεταφέρουν κάποιο είδος κίνησης και οι κόμβοι ως "μεταγωγείς" για τη μεταφορά της κίνησης στις διάφορες ακμές. Παραδείγματα..1 οδικό δίκτυο εθνικών οδών ακμές είναι εθνικοί οδοί κόμβοι είναι έξοδοι εθνικών οδών.2 δίκτυο υπολογιστών ακμές είναι συνδέσεις που μεταφέρουν πακέτα κόμβοι είναι μεταγωγείς (roter).3 δίκτυο μεταφοράς υγρών ακμές είναι σωληνώσεις κόμβοι είναι συνδέσεις μεταξύ των σωληνώσεων Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 2/37

3 Χαρακτηριστικά Μοντέλων Δικτύων Χωρητικότητα. Οι ακμές έχουν χωρητικότητα (capacity) η οποία δείχνει πόση ποσότητα μπορεί να μεταφερθεί. Kόμβοι Προέλευσης. Κόμβοι προέλευσης (orce) στο γράφημα οι οποίοι παράγουν κίνηση. Kόμβοι Απόληξης. Κόμβοι απόληξης ή προορισμού (target) στο γράφημα οι οποίοι μπορούν να "απορροφήσουν" την κίνηση που καταφθάνει. Κίνηση. Η κίνηση που διαδίδεται μέσω των ακμών. Αναφερόμαστε στην κίνηση αυτή ως ροή (flow). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 3/37

4 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V. Οι υπόλοιποι κόμβοι, εκτός των και t, θα ονομάζονται εσωτερικοί (internal) κόμβοι. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37

5 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V. Διάφορες Παραδοχές..1 δεν υπάρχει ακμή που να εισέρχεται στην προέλευση V ή να εξέρχεται από την απόληξη t V,.2 υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή προσκείμενη σε κάθε κόμβο.3 όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι αριθμοί Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37

6 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V t 20 Παράδειγμα δικτύου ροής με προέλευση, απόληξη t και χωρητικότητες δίπλα στις ακμές. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37

7 Ροή Λέμε ότι η ροή t ( t flow) είναι μια συνάρτηση f που αντιστοιχίζει κάθε ακμή e σε έναν μη αρνητικό πραγματικό αριθμό f : E R +. Διαισθητικά η τιμή f(e) αντιπροσωπεύει την ποσότητα ροής που μεταφέρεται από την ακμή e. Η ροή πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω δύο ιδιότητες..1 (Συνθήκες χωρητικότητας) Για κάθε ακμή e E, έχουμε 0 f(e) c e..2 (Συνθήκες διατήρησης) Για κάθε κόμβο εκτός των and t, έχουμε f(e) = f(e) e προς το e από το Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 5/37

8 Τιμή Ροής Η τιμή μιας ροής f, που συμβολίζουμε ως (f), ορίζεται ως η ποσότητα της ροής που παράγεται στην προέλευση. (f) = f(e) e από το Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 6/37

9 Μερικοί Ορισμοί Για να κάνουμε πιο συμπαγή τον τρόπο γραφής μας, ορίζουμε ότι f ot () = f(e), e από το και f in () = f(e). e προς το Το ίδιο και για σύνολα κόμβων S V ορίζουμε πως f ot (S) = f(e), e από το S και f in (S) = f(e). e προς το S Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 7/37

10 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Max Flow Problem Πρόβλημα. Με δεδομένο ένα δίκτυο ροής, βρείτε μια ροή με τη μέγιστη δυνατή τιμή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/37

11 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Max Flow Problem Πρόβλημα. Με δεδομένο ένα δίκτυο ροής, βρείτε μια ροή με τη μέγιστη δυνατή τιμή. Από τι εξαρτάται η μέγιστη ροή; Υποθέστε πως διαιρούμε τους κόμβους του γραφήματος σε δύο σύνολα, A και B, έτσι ώστε A και t B. Διαισθητικά, οποιαδήποτε ροή πρέπει να περνάει από το A στο B και άρα να χρησιμοποιεί κάποια από τις χωρητικότητες ακμής από το A στο B. A B t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/37

12 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

13 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

14 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

15 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

16 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι 30. Δεν μπορούμε να στείλουμε τίποτα άλλο αν δεν πάρουμε πίσω κάποια ροή από την ακμή (, t ) Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

17 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι Δεν μπορούμε να στείλουμε τίποτα άλλο αν δεν πάρουμε πίσω κάποια ροή από την ακμή (, ). 30 t Ουσιαστικά πρέπει να στείλουμε μονάδες ροής μέσω της ακμής (, ), να αναιρέσουμε μονάδες ροής από την ακμή (, ) και να στείλουμε μονάδες μέσω της ακμής (, t). 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37

18 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Τεχνική. Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής γενικότερο τρόπο για την προώθηση ροής. θα προωθούμε προς τα εμπρός (ευθύδρομα) σε ακμές που έχουν περίσσευμα χωρητικότητας θα προωθούμε προς τα πίσω (ανάδρομα) σε ακμές που μεταφέρουν ήδη ροή, έτσι ώστε να την εκτρέψουμε σε διαφορετική κατεύθυνση. Για να κάνουμε αυτή την τεχνική πιο σαφής θα ορίσουμε το υπολειπόμενο γράφημα (reidal graph). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο /37

19 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Δεδομένου ενός γραφήματος G και μιας ροής f στο G, ορίζουμε το υπολειπόμενο γράφημα G f του G ως προς την ροή f με τον εξής τρόπο. Το G f έχει το ίδιο σύνολο κόμβων με το G. Για κάθε ακμή e = (, ) του G όπου f(e) < c e υπάρχουν c e f(e) μονάδες χωρητικότητας ελεύθερες. Συμπεριλαμβάνουμε την ακμή e = (, ) στο G f με χωρητικότητα c e f(e). Αυτές οι ακμές λέγονται ευθύγραμμες (forward edge). Για κάθε ακμή e = (, ) του G όπου f(e) > 0, μπορούμε να "αναιρέσουμε" f(e) μονάδες. Συμπεριλαμβάνουμε την ακμή e = (, ) στο G f με χωρητικότητα f(e). Αυτές οι ακμές λέγονται ανάδρομες (backward edge). Κάθε ακμή e G μπορεί να δημιουργήσει το πολύ δύο ακμές στο G f. Άρα το G f έχει το πολύ διπλάσιες ακμές από το G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 11/37

20 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Όταν αναφερόμαστε στη χωρητικότητα ακμής στο υπολειπόμενο γράφημα, χρησιμοποιούμε τον όρο υπολειπόμενη χωρητικότητα (reidal capacity). 20/20 0/ 20/30 t 0/ 20/20 Το υπολειπόμενο γράφημα μας δίνει ένα συστηματικό τρόπο να αλλάζουμε την ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 12/37

21 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Όταν αναφερόμαστε στη χωρητικότητα ακμής στο υπολειπόμενο γράφημα, χρησιμοποιούμε τον όρο υπολειπόμενη χωρητικότητα (reidal capacity). 20/20 0/ 20 20/30 t 20 t 0/ 20/20 20 Το υπολειπόμενο γράφημα μας δίνει ένα συστηματικό τρόπο να αλλάζουμε την ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 12/37

22 Διαδρομές Επαύξησης Agmenting Path Οποιαδήποτε διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f από τον κόμβο προέλευσης στον κόμβο απόληξης t ονομάζεται διαδρομή επαύξησης. Ορισμός bottleneck. Έστω P μια απλή διαδρομή t στο γράφημα G f. Ορίζουμε ότι η b(p, f) είναι η ελάχιστη υπολειπόμενη χωρητικότητα οποιασδήποτε ακμής της P, σε σχέση με τη ροή f. Επαύξηση (agmentation). Έστω μια διαδρομή επαύξησης P στο G f. Oρίζουμε την παρακάτω λειτουργία, η οποία παράγει μια νέα ροή f στο G. Για κάθε ακμή e = (, ) P της διαδρομής P G f Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή αύξησε το f(e) στο G κατά b(p, f). Αν e = (, ) είναι ανάδρομη ακμή μείωσε το f(, ) στο G κατά b(p, f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/37

23 Παράδειγμα 0/15 0/ 0/30 t 0/ 0/20 Έστω το δίκτυο G στα αριστερά και f η μηδενική ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

24 Παράδειγμα 0/15 0/ 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Το υπολειπόμενο γράφημα G f στα δεξιά. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

25 Παράδειγμα 0/15 0/ 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Έστω P =,, t μια διαδρομή επαύξησης με b(p, f) = Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

26 Παράδειγμα /15 / 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Στέλνουμε στο γράφημα G ροή από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

27 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 0/ 0/20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

28 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t 0/ 0/20 20 Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

29 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t 0/ 0/20 20 Έστω P =,, t μια διαδρομή επαύξησης πάλι με b(p, f ) = Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

30 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t / /20 20 Στέλνουμε στο γράφημα G ροή από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

31 Παράδειγμα /15 / 0/30 t / /20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

32 Παράδειγμα /15 / / 0/30 t / t Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

33 Παράδειγμα /15 / / 0/30 t / t Έστω P =,,, t η μόνη διαδρομή επαύξησης με b(p, f ) = 5 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

34 Παράδειγμα 15/15 / / 5/30 t 15/ t Στέλνουμε στο γράφημα G ροή 5 από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

35 Παράδειγμα 15/15 / 5/30 t / 15/20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

36 Παράδειγμα 15/15 / 15 / 5/30 t 15/ t Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

37 Παράδειγμα 15/15 / 15 / 5/30 t 15/ t Δεν υπάρχει t διαδρομή στο G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37

38 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

39 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Πρέπει να επαληθεύσουμε τις συνθήκες χωρητικότητας και διατήρησης. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

40 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Η f διαφέρει από την f μόνο κατά μήκος της P, άρα αρκεί να ελέγξουμε μόνο αυτές τις ακμές. Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι c e f(e) και έχουμε 0 f(e) f (e) = f(e) + b(p, f) f(e) + (c e f(e)) = c e. Αν (, ) G f είναι ανάδρομη ακμή που προκύπτει από την e = (, ) G, τότε η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι f(e) και άρα c e f(e) f (e) = f(e) b(p, f) f(e) f(e) = 0. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

41 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Η f διαφέρει από την f μόνο κατά μήκος της P, άρα αρκεί να ελέγξουμε μόνο αυτές τις ακμές. Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι c e f(e) και έχουμε 0 f(e) f (e) = f(e) + b(p, f) f(e) + (c e f(e)) = c e. Αν (, ) G f είναι ανάδρομη ακμή που προκύπτει από την e = (, ) G, τότε η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι f(e) και άρα c e f(e) f (e) = f(e) b(p, f) f(e) f(e) = 0. Πρέπει να ελέγξουμε για διατήρηση τους εσωτερικούς κόμβους της P. Έστω ένας τέτοιος κόμβος. Μπορούμε να επαληθεύσουμε πως η μεταβολή στην ποσότητα ροής που εισέρχεται στον κόμβο είναι ίδια με την μεταβολή στην ποσότητα ροής που εξέρχεται από τον κόμβο. Επειδή η f ικανοποιούσε τη συνθήκη διατήρησης στον το ίδιο θα ισχύει και για την f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37

42 Αλγόριθμος Ford-Flkeron Έυρεση Μέγιστης Ροής Inpt: Δίκτυο G(V, E) με χωρητικότητες στις ακμές {c e : e E}. Otpt: Μέγιστη ροή Αρχικά f(e) = 0 για όλα τα e E while υπάρχει t διαδρομή P στο γράφημα G f do f f + επαύξηση κατά b(p, f) ενημέρωσε το G f με βάση την καινούρια ροή end Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 16/37

43 Τερματισμός Αλγορίθμου Ακέραιες Τιμές Τερματισμός. Για να αποδείξουμε πως ο αλγόριθμος τερματίζει, θα δείξουμε πως κάνει συνέχεια βήματα προόδου. Ακέραιες Τιμές Ροής. Είναι εύκολο μέσω επαγωγής να δείξουμε πως οι τιμές ροής {f(e)} και οι υπολειπόμενες χωρητικότητες στο G f είναι πάντα ακέραιοι αριθμοί. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/37

44 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

45 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

46 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Το γράφημα G δεν έχει ακμές που εισέρχονται στον κόμβο, και άρα μια εξερχόμενη ακμή από το στο γράφημα G f είναι υποχρεωτικά ευθύδρομη ακμή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

47 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Το γράφημα G δεν έχει ακμές που εισέρχονται στον κόμβο, και άρα μια εξερχόμενη ακμή από το στο γράφημα G f είναι υποχρεωτικά ευθύδρομη ακμή. Η ακμή e είναι η μόνη ακμή του που αλλάζει η ροή της και η ροή της αυξάνεται κατά b(p, f). Άρα f = f + b(p, f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37

48 Τερματισμός Αλγορίθμου Άνω όριο της Μέγιστη Ροής Άνω Όριο. Ο αλγόριθμος υπολογίζει διαρκώς ακέραιες ροές και η ροή που υπολογίζει αυξάνει από βήμα σε βήμα. Για να δείξουμε πως τερματίζει αρκεί να βρούμε και ένα άνω όριο της μέγιστης ροής. Εξερχόμενες ακμές από την προέλευση. Αν όλες οι ακμές που εξέρχονται από τον μπορούσαν να κορεστούν πλήρως με ροή, η τιμή της ροής θα ήταν c e. e από το Έστω ότι C συμβολίζει αυτό το άθροισμα. Έχουμε πως για κάθε t ροή f. (f) C Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 19/37

49 Τερματισμός Αλγορίθμου Απόδειξη Έχουμε πλέον όλα τα εργαλεία για να αποδείξουμε πως ο αλγόριθμος τερματίζει. Θεώρημα Υποθέστε ότι όλες οι χωρητικότητες σε ένα δίκτυο ροής G είναι ακέραιες. Ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τερματίζει μετά από το πολύ C επαυξήσεις. Απόδειξη Καμία ροή στο G δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από C. Κάθε ροή είναι ακέραιος και κάθε επαύξηση αυξάνει την ροή τουλάχιστον κατά μια μονάδα. Η ροή στην αρχή είναι μηδέν και άρα θα εκτελεστούν το πολύ C επαυξήσεις. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 20/37

50 Χρόνος Εκτέλεσης Ford-Flkeron Επειδή έχουμε υποθέσει πως όλοι οι κόμβοι έχουν τουλάχιστον μια προσκείμενη ακμή, ισχύει m n/2 και άρα για απλούστευση θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός πως O(m + n) = O(m). Θεώρημα Αν όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι, ο αλγόριθμος Ford-Flkeron μπορεί να υλοποιηθεί ώστε να εκτελείται σε χρόνο O(mC). Απόδειξη Η επανάληψη εκτελείται το πολύ C φορές. Σε κάθε επανάληψη κάνουμε τα εξής. φτιάχνουμε το G f σε χρόνο O(m) ψάχνουμε διαδρομή t, έστω P, στο γράφημα G f σε χρόνο O(m + n) = O(m) με DFS ή BFS. Υπολογίζουμε το f σε χρόνο O(n) αφού η P έχει το πολύ n 1 ακμές. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 21/37

51 Μέγιστη Ροή Έχουμε δείξει πως ο αλγόριθμος τερματίζει αλλά δεν έχουμε αποδείξει ακόμη πως υπολογίζει την μέγιστη δυνατή ροή. Όρια του Δικτύου. Το βασικό ερώτημα είναι πως η δομή του δικτύου θέτει άνω όρια ως προς τη μέγιστη τιμή μιας ροής t. Εξερχόμενη Χωρητικότητα του. Είδαμε ήδη ένα άνω όριο: η τιμή (f) για οποιαδήποτε ροή t είναι το πολύ ίση με C = c e. Θέλουμε όμως e από το ένα πιο καλό όριο, αυτό το όριο είναι πολλές φορές πολύ αδύναμο. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 22/37

52 Αποκοπή Ct Αποκοπή t. Μια αποκοπή t είναι μια διαμέριση (A, B) του συνόλου των κορυφών V έτσι ώστε A και t B. Χωρητικότητα. Η χωρητικότητα μιας αποκοπής (A, B), την οποία συμβολίζουμε ως c(a, B), είναι απλώς το άθροισμα των χωρητικοτήτων για όλες τις ακμές που εξέρχονται από το A: c(a, B) = c e. e από το A Οι αποκοπές παρέχουν πολύ φυσικά όρια ως προς τις τιμές των ροών. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 23/37

53 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37

54 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Απόδειξη Από τον ορισμό (f) = f ot (). Με βάση τις παραδοχές μας f in () = 0 και άρα (f) = f ot () f in (). Επίσης όλες οι κορυφές A εκτός του είναι εσωτερικές και άρα f ot () f in () = 0. Έτσι (f) = A(f ot () f in ()). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37

55 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Απόδειξη Από τον ορισμό (f) = f ot (). Με βάση τις παραδοχές μας f in () = 0 και άρα (f) = f ot () f in (). Επίσης όλες οι κορυφές A εκτός του είναι εσωτερικές και άρα f ot () f in () = 0. Έτσι (f) = A(f ot () f in ()). Θα αναδιατυπώσουμε το άθροισμα. Έστω μια ακμή e = (, ). Εαν A και A τότε η ακμή εμφανίζεται 2 φορές στο άθροισμα με αντίθετα πρόσημα, και άρα αλληλοαναιρούνται. Αν A και A δεν εμφανίζεται καθόλου. Αλλιώς εμφανίζεται μια φορά. Με βάση αυτά μπορούμε να γράψουμε: (f) = (f ot () f in ()) = f(e) f(e) = f ot (A) f in (A). A e προς το A e από το A Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37

56 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37

57 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Απόδειξη (f) = f ot (A) f in (A) f ot (A) = e από το A e από το A = c(a, B) f(e) c e Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37

58 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Απόδειξη (f) = f ot (A) f in (A) f ot (A) = e από το A e από το A = c(a, B) f(e) c e Με άλλα λόγια στην τιμή κάθε ροής τίθεται ένα άνω όριο με βάση τη χωρητικότητα κάθε αποκοπής. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37

59 Αλγόριθμος Ford-Flkeron και Μέγιστη Ροή Έστω ότι το f συμβολίζει τη ροή που επιστρέφεται από τον αλγόριθμο Ford-Flkeron. Στόχος. Θέλουμε να δείξουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron βρίσκει την μέγιστη ροή. Μέθοδος. Θα βρούμε μια t αποκοπή (A, B ) για την οποία ( f) = c(a, B ). Η ύπαρξη αυτής της αποκοπής αμέσως αποδεικνύει πως η f είναι μέγιστη λόγω του προηγούμενου λήμματος. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 26/37

60 Max-Flow Min-Ct Theorem Θεώρημα Αν η f είναι μια ροή t τέτοια ώστε να μην υπάρχει διαδρομή t στο υπολειπόμενο γράφημα G f, τότε υπάρχει μια t αποκοπή (A, B ) στο G για την οποία (f) = c(a, B ). Κατά συνέπεια, η f έχει τη μέγιστη τιμή από όλες τις ροές του G και η (A, B ) έχει την ελάχιστη χωρητικότητα από όλες τις αποκοπές t του G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

61 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

62 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε A και B. Τότε η ακμή είναι κορεσμένη, f(e) = c e, αλλιώς η e θα ήταν ευθύδρομη στο G f. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε B και A. Τότε η ακμή είναι αχρησιμοποίητη, f(e) = 0, αλλιώς η ανάδρομη της e = (, ) θα υπήρχε στο G f. G f t A B Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

63 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε A και B. Τότε η ακμή είναι κορεσμένη, f(e) = c e, αλλιώς η e θα ήταν ευθύδρομη στο G f. Άρα Έστω e = (, ) G έτσι ώστε B και A. Τότε η ακμή είναι αχρησιμοποίητη, f(e) = 0, αλλιώς η ανάδρομη της e = (, ) θα υπήρχε στο G f. (f) = f ot (A ) f in (A ) = f(e) f(e) e από το A e προς το A = c e 0 e από το A = c(a, B ). G f A B t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37

64 Max-Flow Min-Ct Theorem Μπορούμε να διατυπώσουμε πιο γενικά το τελευταίο αποτέλεσμα. Θεώρημα Σε όλα τα δίκτυα ροής η μέγιστη τιμή μιας ροής t είναι ίση με την ελάχιστη χωρητικότητα μιας αποκοπής t. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 28/37

65 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

66 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

67 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

68 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

69 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

70 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

71 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37

72 Μια παραλλαγή των Edmond και Karp BFS. Εαν υλοποιήσουμε την αναζήτηση για μονοπάτια προσαύξησης στο G f με BFS τότε ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει στην χειρότερη περίπτωση σε χρόνο O(m 2 n) αντι για O(mC). Μικρότερος Αριθμός Ακμών. Με άλλα λόγια διαλέγουμε πάντα το μονοπάτι προσαύξησης t που έχει τον μικρότερο αριθμό ακμών. Στο παράδειγμα της προηγούμενη διαφάνειας ο αλγόριθμος τερματίζει με 2 προσαυξήσεις αντί για 00. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 30/37

73 Διμερές Ταίριασμα Ένα γράφημα G(V, E) είναι διμερές (bipartite) αν το σύνολο των κόμβων του V μπορεί να διαμεριστεί σε σύνολα A και B με τέτοιο τρόπο ώστε η κάθε ακμή να έχει το ένα άκρο στο A και το άλλο στο B. a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 31/37

74 Διμερές Ταίριασμα Ένα ταίριασμα (matching) σε ένα γράφημα G(V, E) είναι ένα σύνολο ακμών M E με την ιδιότητα ότι κάθε κόμβος εμφανίζεται το πολύ σε μια ακμή του M. Το M είναι ένα τέλειο ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μια μόνο ακμή του M. Με ταιριάσματα μοντελοποιούμε προβλήματα ανάθεσης, για παράδειγμα ανάθεση υπολογιστικών εργασιών σε υπολογιστές όπου μια ακμή υποδηλώνει την ικανότητα του εκάστοτε υπολογιστή να διεκπεραιώσει την λειτουργία. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 32/37

75 Διμερές Ταίριασμα Το πρόβλημα Διμερούς Ταιριάσματος (Bipartite matching problem) είναι το ακόλουθο: Δεδομένου ενός διμερούς γραφήματος G, βρείτε ένα ταίριασμα μέγιστου μεγέθους. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 33/37

76 Αναγωγή σε Max-Flow Ξεκινώντας με το γράφημα G ενός προβλήματος Διμερούς Ταιριάσματος, κατασκευάζουμε ένα δίκτυο ροής G. t Προσθέτουμε κόμβους και t και όλες οι ακμές έχουν χωρητικότητα 1. Η τιμή της μέγιστης ροής στο καινούριο δίκτυο t είναι ίση με το μέγεθος τους μέγιστου ταιριάσματος στο G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 34/37

77 Αναγωγή σε Max-Flow Λήμμα Έστω στο G ένα μέγιστο ταίριασμα που αποτελείται από k ακμές (a 1, b 1 ),..., (a k, b k ). Τότε υπάρχει ροή t στο G με τιμή k. Απόδειξη Έστω η ροή που στέλνει μια μονάδα κατά μήκος κάθε διαδρομής, a i, b i, t. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 35/37

78 Αναγωγή σε Max-Flow Λήμμα Έστω στο G μια μέγιστη ροή f με τιμή k. Υπάρχει ταίριασμα στο G με k ακμές. Απόδειξη Από το θεώρημα ακέραιων τιμών για τις μέγιστες ροές γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια ακέραια ροή f με τιμή k, και αφού c e = 1 για κάθε e G έχουμε πως f(e) {0, 1}. Έστω M το σύνολο των ακμών της μορφής (a, b) για τις οποίες η τιμή της ροής είναι 1. Έχουμε πως M = k και επίσης κάθε κόμβος είτε του A είτε του B έχει το πολύ μια μονάδα ροής που περνάει από αυτόν λόγω αρχής διατήρησης. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 36/37

79 Χρόνος Εκτέλεσης Έστω πως n = A = B και έστω m το πλήθος των ακμών στο διμερές γράφημα G. t αποκοπή. Έχουμε C = e από το c e = A = n. Χρόνος Ford-Flkeron. Το χρονικό όριο O(mC) είναι ουσιαστικά O(mn) σε αυτή την περίπτωση. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 37/37

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Κατακερματισμός Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Λεξικό Dictionary Ένα λεξικό (dictionary) είναι ένας αφηρημένος τύπος δεδομένων (ΑΤΔ) που διατηρεί

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Συμβολοσειρές Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Συμβολοσειρές Συμβολοσειρές και προβλήματα που αφορούν συμβολοσειρές εμφανίζονται τόσο συχνά που

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Περίληψη Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος ( Decrease and Conquer ) Μείωση κατά µια σταθερά (decrease by a constant) Μείωση κατά ένα ποσοστό (decrease by a constant

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ελάχιστα Γεννητικά Δένδρα Ελάχιστο Γεννητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 12 η Αναζήτηση/Ταξινόμηση Πίνακα Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα C: Από τη Θεωρία στην

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα...

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα... Περιεχόμενα Σχετικά με τους συγγραφείς...3 Πρόλογος... 11 Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... 23 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές Ταίριασμα...25 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δρ. Κόννης Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος και του Προγράμματος/Αλγορίθμου

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: 7 Α1. Κάθε σωστή απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΠΕΝΗΣΙΟΥ ΙΩΡΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 16/12/2008. Τµήµα ΓΤ2 Όνοµα:...

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΠΕΝΗΣΙΟΥ ΙΩΡΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 16/12/2008. Τµήµα ΓΤ2 Όνοµα:... ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΠΕΝΗΣΙΟΥ ΙΩΡΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 16/12/2008 Τµήµα ΓΤ2 Όνοµα:... ΘΕΜΑ 1 ο. Α) Να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας Σ εάν κρίνετε ότι η πρόταση είναι σωστή και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου 2.87 Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Μέχρις_ότου Ημορφή της δομής επανάληψης Μέχρις_ότου είναι: Μέχρις_ότου Συνθήκη Η ομάδα εντολών στο εσωτερικό της επανάληψης, εκτελείται μέχρις ότου ισχύει η συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Δημήτρης Μπάλιος ΘΕΩΡΙΑ Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Η επιχείρηση παράγει πολλά τεμάχια ενός μοναδικού προϊόντος (τυποποιημένο προϊόν) για μεγάλο χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

2 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C

2 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 20 ΟΚΤ 2015

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-2: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις H ανάλυση ενός κυκλώματος με αντιστάσεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ευσταθές Ταίριασμα Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πελοπόννησου. Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Δίκτυα και Δρομολόγηση Πακέτων

Τ.Ε.Ι. Πελοπόννησου. Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Δίκτυα και Δρομολόγηση Πακέτων Τ.Ε.Ι. Πελοπόννησου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Δίκτυα και Δρομολόγηση Πακέτων Νικολέττα Δελλατόλα (Α.Μ.: 2005161) Επιβλέπων καθηγητής: Γρηγόριος Καραγιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 40 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ

ΔΕΟ 40 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ ΔΕΟ 40 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ Έργο είναι μια ακολουθία μοναδικών, σύνθετων και αλληλοσυσχετιζόμενων δραστηριοτήτων που αποσκοπούν στην επίτευξη κάποιου συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα