Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

Transcript

1 Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

2 Τοπολογιές απειονίσεις Τοπολογία Κλάδος των μαθηματιών που μελετά ανάμεσα σε άλλα τις ιδιότητες εείνες των γεωμετριών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες ατά τις τοπολογιές απειονίσεις Η έννοια της τοπολογιής απειόνισης ισοδυναμεί με παραμόρφωση ενός γεωμετριού σχήματος

3 Τοπολογιές απειονίσεις Η παραμόρφωση όμως πρέπει να συμβεί με τέτοιο τρόπο ούτως ώστε: Να μη διαρραγεί το αρχιό σχήμα Να μην λείσουν τυχόν ενά που περιλαμβάνει Το σχήμα που προύπτει από μία τοπολογιή απειόνιση θεωρείται τοπολογιά ισοδύναμο ή ομόφορφο ως προς το πρώτο

4 Τοπολογιές απειονίσεις Για παράδειγμα: Η έλλειψη είναι τοπολογιά ισοδύναμη ως προς τον ύλο Η σφαίρα είναι τοπολογιά ισοδύναμη ως προς τον ύβο Η σφαίρα δεν είναι τοπολογιά ισοδύναμη ως προς τον ύλο Απαιτείται αφαίρεση τμήματος της σφαίρας παραμόρφωση που δε θεωρείται τοπολογιή απειόνιση

5 Τοπολογιές απειονίσεις Χάρτης του μετρό

6 Τοπολογιές απειονίσεις Χάρτης του μετρό

7 Τοπολογιές απειονίσεις Οι γέφυρες του Könisberg Χάρτης του Könisberg

8 Τοπολογιές απειονίσεις Οι γέφυρες του Könisberg O Leonard Euler ρωτήθηε αν μπορεί να υποδείξει διαδρομή η οποία να διέρχεται από όλες τις γέφυρες αριβώς μία φορά Αρχιά ο Euler παρατήρησε ότι το μοναδιό στοιχείο της διαδρομής που ενδιαφέρει το πρόβλημα είναι η σειρά με την οποία η διαδρομή περνάει πάνω από τις γέφυρες Το σέλος της διαδρομής στη ξηρά ή η πορεία πάνω στη γέφυρα δεν ενδιαφέρει το πρόβλημα

9 Τοπολογιές απειονίσεις Οι γέφυρες του Könisberg Η παρατήρηση αυτή του επέτρεψε να θέσει το πρόβλημα σε μια περισσότερο αφηρημένη βάση: Τμήματα ξηράς αναπαρίστανται απλά ως όμβοι (nodes ή vertices) Το σχήμα ή το μέγεθος τους δεν ενδιαφέρει το πρόβλημα Οι γέφυρες αναπαρίστανται απλά ως αμές (edges) οι οποίες συνενώνουν τμήματα ξηράς Το σχήμα ή το μέγεθος τους δεν ενδιαφέρει το πρόβλημα

10 Τοπολογιές απειονίσεις Οι γέφυρες του Könisberg Τμήματα ξηράς Γέφυρες

11 Τοπολογιές απειονίσεις Οι γέφυρες του Könisberg Ο παραπάνω γράφος προύπτει από παραμόρφωση του χάρτη του Könisberg Είναι λοιπόν τοπολογιά ισοδύναμος, ή ομόμορφος, με το σχήμα του χάρτη εφόσον η παραμόρφωση προύπτει χωρίς: Να διαρραγεί αμιά από τις γέφυρες Να αφαιρεθεί άποιο τμήμα ξηράς (να λείσει δηλαδή άποια από τις οπές του σχήματος) Προύπτει ότι το πρόβλημα δεν έχει λύση:

12 Τοπολογιές απειονίσεις Οι γέφυρες του Könisberg Προειμένου να υπάρξει λύση θα πρέπει σε άθε τμήμα ξηράς να προσπίπτει άρτιος αριθμός γεφυρών ετός από: Το τμήμα ξηράς από το οποίο αρχίζει η διαδρομή Το τμήμα ξηράς στο οποίο αταλήγει η διαδρομή Από τον παραπάνω γράφο προύπτει ότι τέτοιο τμήμα ξηράς δεν υπάρχει Σε άθε όμβο προσπίπτει περιττός αριθμός αμών

13 Τοπολογία Οι γέφυρες του Könisberg Ένα παρόμοιο πρόβλημα αλείται να επιλύσει το παιχνίδι της μονοονδυλιάς Η διαδρομή πρέπει να αρχίζει από όμβο με περιττό αριθμό προσπιπτουσών αμών

14 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Ένας γράφος G=(V,E) αποτελείται από ένα σύνολο όμβων (vertices ή nodes) V αι ένα σύνολο αμών (edges) E Κάθε αμή ορίζεται ως ένα μη διατεταγμένο ζεύγος δύο όμβων: E V V Έτσι η αμή α = (, ) αν αι μόνο αν η α είναι προσπίπτουσα στους όμβους,

15 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Παράδειγμα: 5 V E = {,,,, } = { (, ),(, ),(, ),(, ), (, ),(, ),(, ),(, )}

16 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Ένας γράφος G=(V,E) μπορεί εναλλατιά να αναπαρασταθεί από έναν πίναα γειτνίασης (adjacency matrix) Ο πίναας έχει μέγεθος V Κάθε στοιχείο του α i,j (όπου i,j< V ) ορίζεται ως: a i, j =,, αν ( i, j) E σε άθε άλλη περίπτωση

17 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Παράδειγμα:

18 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Δύο αμές προσπίπτουσες στο ίδιο ζεύγος όμβων ονομάζονται παράλληλες Μία αμή προσπίπτουσα στον ίδιο όμβο ονομάζεται βρόγχος (loop) Ένας γράφος χωρίς παράλληλες αμές αι βρόγχους ονομάζεται απλός Ένα μονοπάτι (path) από τον όμβο στον όμβο Τ ορίζεται ως μία αολουθία όμβων <,,, i,, Τ > τέτοια ώστε:

19 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Για άθε όμβο της αολουθίας i ( i Τ ), (, i ) i+ E όπου i+ είναι ο επόμενος όμβος στην αολουθία Ως απόσταση δύο όμβων ορίζεται το συντομότερο μονοπάτι ανάμεσα τους Ένα μονοπάτι είναι απλό όταν περνάει αριβώς μία φορά από άθε όμβο Ένα μονοπάτι είναι υλιό όταν έχει ως αρχή αι τέλος τον ίδιο όμβο

20 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Ένας γράφος ονομάζεται συνδεδεμένος αν υπάρχει μονοπάτι μεταξύ δύο οποιονδήποτε όμβων του

21 Θεωρία γράφων Βασιές έννοιες Ένας γράφος ονομάζεται επίπεδος αν μπορεί να σχεδιαστεί σε ένα επίπεδο χωρίς να τέμνονται μεταξύ τους αμία από τις αμές του

22 Κατευθυνόμενοι γράφοι - διγράφοι Ένας ατευθυνόμενος (directed) γράφος ή διγράφος (digraph) G=(V,E) αποτελείται από ένα σύνολο όμβων V αι αμών E Κάθε στοιχείο του συνόλου E είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος όμβων Οι αμές αναπαρίστανται ως βέλη Η φορά ενός βέλους δείχνει προς το δεύτερο όμβο του διατεταγμένου ζεύγους που ορίζει την αντίστοιχη αμή

23 Κατευθυνόμενοι γράφοι - διγράφοι Για μία αμή a= (, ) (όπου, V) η αντίστοιχη αντιστραμμένη αμή a ορίζεται ως a = (, ) Ένας διγράφος είναι συμμετριός αν για άθε αμή a E η αντίστοιχη αντιστραμμένη αμή a ανήει επίσης στο Ε

24 Κατευθυνόμενοι γράφοι - διγράφοι Παράδειγμα: Ο πίναας γειτνίασης για συμμετριούς διγράφους είναι συμμετριός

25 Κατευθυνόμενοι γράφοι - διγράφοι Ένας γράφος μπορεί να έχει συσχετισμένο έναν συντελεστή βάρους με άθε αμή του Στην περίπτωση αυτή το μήος ενός μονοπατιού ορίζεται ως το άθροισμα των συντελεστών βάρους των αμών στην ατεύθυνση του μονοπατιού Προύπτει ότι η μιρότερη απόσταση μεταξύ δύο όμβων αι το μιρότερο μήος μονοπατιού μεταξύ των όμβων αυτών δε συμπίπτουν ατ ανάγη

26 Κατευθυνόμενοι γράφοι - διγράφοι Παράδειγμα: Ο πίναας γειτνίασης συμπληρώνεται με τους αντίστοιχους συντελεστές βάρους 6 5 5

27 Θεωρία γράφων Δένδρα Ένα δένδρο είναι ένας γράφος G=(V,E) τέτοιος ώστε για άθε, V υπάρχει ένα μοναδιό απλό μονοπάτι από το στο Εναλλατιά, ένα δένδρο μπορεί να οριστεί ως: Ένας γράφος G ο οποίος είναι συνδεδεμένος αι δεν εμπεριέχει ύλους (είναι αυλιός acyclic)

28 Θεωρία γράφων Δένδρα Ένας γράφος G ο οποίος είναι συνδεδεμένος αι περιλαμβάνει ν όμβους αι ν- αμές

29 Θεωρία γράφων Δένδρα Ένας από τους όμβους ορίζεται ως ρίζα Συνήθως τοποθετείται στην ορυφή του γραφήματος Οι όμβοι ενός δένδρου χωρίζονται σε επίπεδα ανάλογα με την απόσταση τους από το επίπεδο Στο επίπεδο βρίσεται η ρίζα του δένδρου Κάθε όμβος ενδέχεται να έχει έναν ή περισσότερους όμβους-παιδιά (children)

30 Θεωρία γράφων Δένδρα Ένας όμβος θεωρείται το παιδί ενός όμβου εάν (, ) E αι ο βρίσεται ένα επίπεδο άτω από τον Ο θεωρείται ο γονέας του Ένας όμβος μπορεί να έχει, ή περισσότερα παιδιά αλλά το πολύ ένα γονέα Ή ρίζα είναι ο μοναδιός όμβος που δεν έχει γονέα Ένας όμβος ο οποίος δεν έχει όμβουςπαιδιά ονομάζεται φύλλο (leaf)

31 Θεωρία γράφων Δένδρα Ένα δένδρο μπορεί να είναι ατευθυνόμενος γράφος (διγράφος) ή όχι επίπεδο ρίζα επίπεδο επίπεδο γονέας παιδί φύλλο