Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Transcript

1 Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

2 Υποχωρήσεις Στηρίξεων Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι υποχωρήσεις στηρίξεων, η θερμοκρασιακή μεταβολή και τα κατασκευαστικά λάθη προκαλούν ένταση στους υπερστατικούς φορείς. Η επίδραση αυτών των παραγόντων λαμβάνεται υπόψη με την κατάλληλη τροποποίηση της εξίσωσης συμβιβαστού. Δ09-2 Περίπτωση 1 η : Οταν η υποχώρηση στήριξης και το θεωρούμενο υπερστατικό μέγεθος συμπίπτουν (θέση και διεύθυνση) Στηνπερίπτωσηπουηυποχώρησηστήριξης αντιστοιχεί στο θεωρούμενο υπερστατικό μέγεθος, η μετακίνηση της στήριξης τίθεται ίση με την τιμή της υποχώρησης της στήριξης. Για παράδειγμα, στη δοκό του σχήματος, αν το άκρο Β υποχωρεί κατά 1 in τότε η εξίσωση συμβιβαστού γράφεται Δ Β = -1 in Η υποχώρηση στήριξης θεωρείται θετική όταν είναι ομόφορη της θεωρούμενης φοράς του υπερστατικού μεγέθους. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

3 Υποχωρήσεις Στηρίξεων (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ09-3 Περίπτωση 2 η : Όταν η υποχώρηση στήριξης και το θεωρούμενο υπερστατικό μέγεθος δε συμπίπτουν Στηνπερίπτωσηπουηυποχώρησηστήριξηςδεν αντιστοιχεί σε υπερστατικό μέγεθος, τότεηεπίδρασητηςλαμβάνεταιυπόψηστην ανάλυση του θεμελιώδους φορέα. Συγκεκριμένα, υπολογίζεται η μετακίνηση που αντιστοιχεί στο υπερστατικό μέγεθος λόγω της υποχώρησης άλλης στήριξης. Για παράδειγμα στη δοκό του σχήματος (a), όπου ως υπερστατικό μέγεθος έχει επιλεγεί η αντίδραση R B, η στήριξη Α υποχωρεί κατά 0.5 in και περιστρέφεται κατά 0.01 rad και η στήριξη Β υποχωρεί κατά 1 in. Στο σχήμα (b) φαίνεται η μετακίνηση Δ BS του σημείου Β, λόγω της υποχώρησης (-0.5 in) και στροφής (0.01 rad) του Α. Στο σχήμα (c) φαίνεται η μετακίνηση του Β λόγω του φορτίου w. Η εξίσωση συμβιβαστού γράφεται, Δ Β = -1 (Δ Β0 + Δ BS ) + δ ΒΒ Χ Β = -1 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

4 Παράδειγμα 9-1 Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ09-4 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στη συνεχή δοκό αν η στήριξη Β υποχωρεί κατά 0.72 in. και η στήριξη C κατά 0.48 in. [ΕI σταθερό, E=29,000 kips/in 2, I= 288 in 4 ]. Οφορέαςστοσχήμα(a) είναι μία φορά υπερστατικός, αφού οι άγνωστες αντιδράσεις είναι 4 και μόνο 3 εξισώσεις ισορροπίας είναι διαθέσιμες. Ως υπερστατικό μέγεθος επιλέγουμε την αντίδραση της στήριξης Β. Ο θεμελιώδης φορέας με τη στήριξη C μετατοπισμένη φαίνεται στο σχήμα (b). Επειδή ο φορέας στο σχήμα (b) είναι ισοστατικός, η υποχώρηση της στήριξης στο C δεν προκαλεί ένταση και ο φορέας παραμένει ευθύγραμμος. Αφού οι μετακινήσεις μεταβάλλονται γραμμικά από το Α στο C, Δ ΒS = 0.24 in. Οιδυνάμειςκαιοιμετακινήσειςλόγωμοναδιαίουφορτίου φαίνονται στο σχήμα (c). To δ ΒΒ υπολογίζεται από πίνακες 3 3 PL 1(32) (1728) δ BB = = = in 48EI 48(29,000)288 Η εξίσωση συμβιβαστού σ αυτήν την περίπτωση είναι: 0 Δ Β = in (Δ Β0 + Δ BS )+ Χδ ΒΒ = in ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

5 Παράδειγμα 9-1 (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ09-5 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση συμβιβαστού προκύπτει το υπερστατικό μέγεθος Χ: X = 0 X = 3.4 kips Αφού υπολογιστεί η αντίδραση Χ, προσδιορίζουμε τις άγνωστες αντιδράσεις των στηρίξεων από επαλληλία των μεγεθών του σχήματος (b) και 3.4 φορές τα μεγέθη του σχήματος (c). Στο σχήμα (d) φαίνονται οι τελικές τιμές των αντιδράσεων. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

6 Μέθοδος των Δυνάμεων: Ανάλυση Φορέων με Βαθμό Υπερστατικότητας > 1 Δ09-6 Η ανάλυση φορέων με βαθμό υπερστατικότητας μεγαλύτερο από ένα είναι ανάλογη με την ανάλυση φορέων με βαθμό υπερστατικότητας ίσο με ένα. Επιλέγεται ένας στερεός, ισοστατικός θεμελιώδης φορέας αφού αφαιρεθούν δεσμεύσεις (αντιδράσεις ή εσωτερικές δυνάμεις). Ακολούθως, οι (άγνωστου μεγέθους) δεσμεύσεις που αφαιρέθηκαν και η δοσμένη φόρτιση επιβάλλονται ως φόρτιση στο θεμελιώδη φορέα. Η ανάλυση του θεμελιώδους φορέα συνίσταται στην ανάλυση: λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης, και λόγω κάθε υπερστατικού μεγέθους ξεχωριστά Για κάθε υπερστατικό μέγεθος καταστρώνεται μία εξίσωση συμβιβαστού. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

7 Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ09-7 Ανάλυση Φορέων με Βαθμό Υπερστατικότητας > 1 (...) Με επίλυση αυτών των εξισώσεων υπολογίζονται οι άγνωστες τιμές των υπερστατικών μεγεθών. Αφού υπολογιστούν τα άγνωστα υπερστατικά μεγέθη, υπολογίζονται οι υπόλοιπες αντιδράσεις είτε από τις εξισώσεις ισορροπίας χρησιμοποιώντας τον αρχικό φορέα, είτε από επαλληλία των επιμέρους αναλύσεων του θεμελιώδους φορέα. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

8 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ09-8 Ανάλυση Φορέων με Βαθμό Υπερστατικότητας > 1 (...) Οφορέαςστοσχήμα(a) είναι δύο φορές υπερστατικός αφού υπάρχουν 5 άγνωστες αντιδράσεις και μόνο 3 εξισώσεις ισορροπίας χρειάζονται ακόμα 2 εξισώσεις (πρέπει να αφαιρεθούν 2 δεσμεύσεις). Τυχαία επιλέγονται να αφαιρεθούν οι δεσμεύσεις R B και R C, ώστε να προκύψει ένας στερεός ισοστατικός φορέας (= θεμελιώδης φορέας). H ανάλυση του θεμελιώδους φορέα συνίσταται στην ανάλυση λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης, w (σχήμα (b)) λόγω του υπερστατικού μεγέθους R B (σχήμα (c)) λόγω του υπερστατικού μεγέθους R C (σχήμα (d)).

9 Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ09-9 Ανάλυση Φορέων με Βαθμό Υπερστατικότητας > 1 (...) Οι εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων σ αυτήν την περίπτωση είναι: Δ Β = 0 Δ Β0 + Χ Β δ ΒΒ + Χ C δ BC = 0 Δ C = 0 Δ C0 + Χ Β δ CΒ + Χ C δ CC = 0 Αφού προσδιοριστούν οι 6 μετακινήσεις, υπολογίζονται οι άγνωστες τιμές των δύο υπερστατικών μεγεθών. Κάποια μείωση του υπολογιστικού φόρτου επιτυχγάνεται με χρήση του θεωρήματος Betti-Maxwell, σύμφωνα με το οποίο δ BC =δ CΒ, και οι άγνωστες μετακινήσεις μειώνονται σε 5. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

10 Θεώρημα Betti Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ09-10 Το θεώρημα Betti-Maxwell στηγενικήτουμορφήδιατυπώνεται ως εξής: Έστω ένας γραμμικά ελαστικός φορέας ο οποίος υποβάλαλλεται σε δύο ανεξάρτητες φορτίσεις F Α και F Β. Τότε, το δυνατό έργο των δυνάμεων F Α πάνω στις μετακινήσεις Δ ΑΒ (που προκαλούνται από τη φόρτιση F Β και έχουν τη διεύθυνση της φόρτισης F Α ) ισούται με το δυνατό έργο των δυνάμεων F Β πάνω στις μετακινήσεις Δ ΒΑ (που προκαλούνται από τη φόρτιση F Α και έχουν τη διεύθυνση της φόρτισης F Β ). F Δ = F Δ A AB B BA όπου Δ ΑΒ = κατακόρυφη μετατόπιση στο σημείο Α λόγω εφαρμογής της δύναμης F Β στο σημείο Β. Δ ΒΑ = κατακόρυφη μετατόπιση στο σημείο Β λόγω εφαρμογής της δύναμης F A στο σημείο Α. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

11 Θεώρημα Betti-Maxwell Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ09-11 Αν οι δυνάμεις F A και F B στην προηγούμενη εξίσωση αντικατασταθούν με μοναδιαία φορτία, προκύπτει το θεώρημα Betti-Maxwell ή θεώρημα της αμοιβαιότητας των μετατοπίσεων: Δ =Δ AB BA Η μετατόπιση Δ ΑΒ στη θέση Α λόγω εφαρμογής μοναδιαίου φορτίου στο σημείο Β, ισούται με τη μετατόπιση Δ ΒΑ στη θέση Β λόγω εφαρμογής μοναδιαίου φορτίου στο σημείο Α. Το θεώρημα Betti-Maxwell είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στην ανάλυση των υπερστατικών φορέων, καθώς η εφαρμογή του επιφέρει μείωση του υπολογιστικού φόρτου αφού κάποιοι δείκτες ευκαμψίας προκύπτουν κατευθείαν βάσει αυτής της συμμετρίας. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών IΙ

12 Παράδειγμα 9-2 Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ09-12 Να επιλυθεί η συνεχής δοκός αφού αφαιρεθούν οι δεσμεύσεις Μ Α και Μ Β.Τα φορτία ασκούνται στο μέσο κάθε ανοίγματος. [ΕI σταθερό] Οφορέαςστοσχήμα(a) είναι δύο φορές υπερστατικός. Ο θεμελιώδης φορέας προκύπτει εισάγοντας μία εσωτερική άρθρωση στο σημείο Β και αντικαθιστώντας την πάκτωση στο σημείο Α με άρθρωση. Ο θεμελιώδης φορέας, με την αρχική φόρτιση και τις άγνωστες δυνάμεις στα σημείο που αφαιρέθηκαν οι δεσμεύσεις, φαίνεται στο σχήμα (b). Οι εξισώσεις συμβιβαστού βασίζονται στις πιο κάτω γεωμετρικές συνθήκες: 1) Η κλίση στον κόμβο Α είναι μηδέν: θ Α = 0 2) Η κλίση της δοκού εκατέρωθεν του κόμβου Β είναι η ίδια, άρα η σχετική στροφή εκατέρωθεν του Β είναι μηδέν: θ B,Rel = 0 Ο θεμελιώδης φορέας επιλύεται για: τα εξωτερικά φορτία (σχήμα (c)) μοναδιαία ροπή στο Α (σχήμα (d)) μοναδιαία ροπή στο B (σχήμα (e)). ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

13 Παράδειγμα 9-2 (...) Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ09-13 Οι εξισώσεις συμβιβαστού μπορούν να γραφτούν ως θ Α = 0 θ Α0 + Μ Α α ΑΑ + Μ Β α ΑΒ = 0 θ B,Rel = 0 θ Β0 + Μ Α α ΒΑ + Μ Β α ΒΒ = 0 Οι στροφές μπορούν να υπολογιστούν από πίνακες: 2 2 PL PL L θa0 =, θb0 = 2, αaa = 16EI 16EI 3EI L L L αba =, αab =, αbb = 2 6EI 6EI 3EI Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις συμβιβαστού, επιλύουμε για τα άγνωστα υπερστατικά μεγέθη: M A 3PL 9PL = MB = Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι οι ροπές που υπολογίστηκαν έχουν αντίθετη φορά από αυτήν που θεωρήθηκε αρχικά. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

14 Παράδειγμα 9-2 (...) Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ09-14 Στο σχήμα (f) φαίνονται τα ΔΕΣ που χρησιμοποιήθηκαν για να υπολογιστούν οι τέμνουσες στα άκρα, όπως επίσης και τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων και ροπών. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II